O documento descreve o controle de um pêndulo invertido por meio de realimentação de estados. Inicialmente, o sistema é modelado matematicamente e linearizado em torno de um ponto de equilíbrio. Em seguida, três controladores são projetados usando LQR, escolha de polos e place de Matlab. Simulações mostram que o LQR2 e place fornecem respostas rápidas e estabilizam o sistema, enquanto o LQR1 responde lentamente. O Simulink é usado para validar os resultados.
Projeto de Controle de Posição entre veículos, Análise de Sistemas IIICiro Marcus
Análise de Sistemas III
Projeto de Controle de Posição entre veículos
Documentação apresentada à disciplina de Análise de Sistemas III, do curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Professor: Ciro Marcus Monteiro Campos
1. O documento discute funções de transferência para sistemas analógicos, incluindo circuitos elétricos e mecânicos.
2. Uma função de transferência relaciona algebricamente a saída de um sistema à sua entrada através da transformada de Laplace.
3. Exemplos mostram como derivar funções de transferência para circuitos elétricos simples e complexos usando as leis de Kirchhoff.
1) O documento descreve a modelagem e simulação de um gerador síncrono usando equações de Park no software Matlab/Simulink para analisar seu comportamento dinâmico. 2) É apresentada a teoria do gerador síncrono, incluindo suas equações matemáticas e o modelo de circuito equivalente. 3) A simulação analisa a resposta do gerador a mudanças no torque mecânico aplicado, mostrando valores de tensão, corrente e vel angular.
Modelagem de pendulo invertido, trabalho monografico.Leo Laurett
1. O documento descreve o estudo, construção e modelagem de um pêndulo invertido para o laboratório de controle de uma faculdade de engenharia.
2. Foi construída uma planta física de pêndulo invertido acoplada a um sistema de transmissão movido por um motor CC para manter o pêndulo na posição vertical.
3. O documento apresenta a modelagem matemática e simulações do pêndulo invertido realizadas no Matlab/Simulink para identificar os parâmetros da planta e validar
1) O documento apresenta três exemplos de sistemas de controle adaptativo com ganho programado. O primeiro exemplo trata de um atuador não linear, o segundo de um tanque com área variável e o terceiro de controle de concentração com fluxo variável.
2) Nos exemplos do tanque e da concentração, parâmetros do controlador PI como ganho e tempo de integração são determinados em função de variáveis de processo como nível, área ou fluxo para manter o desempenho.
3) Simulações confirmam que o ganho programado melhora o
PTC2413 (2008)- Controle I - Trabalho da Disciplina de Graduação em Eng. Eletronica na Escola Politecnica da Universidade de São Paulo: Modelagem de Sistema de Controle de Suspensão Dinamica Automotiva , aplicada em um Onibus.
O documento discute sistemas de controle digital, introduzindo conceitos básicos de malha fechada e variáveis envolvidas. Apresenta exemplos de sistemas de controle, incluindo o controle de posição de um satélite, um servomotor e um sistema de apontamento de antena, modelando cada um matematicamente através de equações diferenciais e funções de transferência.
Projeto de Controle de Posição entre veículos, Análise de Sistemas IIICiro Marcus
Análise de Sistemas III
Projeto de Controle de Posição entre veículos
Documentação apresentada à disciplina de Análise de Sistemas III, do curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Professor: Ciro Marcus Monteiro Campos
1. O documento discute funções de transferência para sistemas analógicos, incluindo circuitos elétricos e mecânicos.
2. Uma função de transferência relaciona algebricamente a saída de um sistema à sua entrada através da transformada de Laplace.
3. Exemplos mostram como derivar funções de transferência para circuitos elétricos simples e complexos usando as leis de Kirchhoff.
1) O documento descreve a modelagem e simulação de um gerador síncrono usando equações de Park no software Matlab/Simulink para analisar seu comportamento dinâmico. 2) É apresentada a teoria do gerador síncrono, incluindo suas equações matemáticas e o modelo de circuito equivalente. 3) A simulação analisa a resposta do gerador a mudanças no torque mecânico aplicado, mostrando valores de tensão, corrente e vel angular.
Modelagem de pendulo invertido, trabalho monografico.Leo Laurett
1. O documento descreve o estudo, construção e modelagem de um pêndulo invertido para o laboratório de controle de uma faculdade de engenharia.
2. Foi construída uma planta física de pêndulo invertido acoplada a um sistema de transmissão movido por um motor CC para manter o pêndulo na posição vertical.
3. O documento apresenta a modelagem matemática e simulações do pêndulo invertido realizadas no Matlab/Simulink para identificar os parâmetros da planta e validar
1) O documento apresenta três exemplos de sistemas de controle adaptativo com ganho programado. O primeiro exemplo trata de um atuador não linear, o segundo de um tanque com área variável e o terceiro de controle de concentração com fluxo variável.
2) Nos exemplos do tanque e da concentração, parâmetros do controlador PI como ganho e tempo de integração são determinados em função de variáveis de processo como nível, área ou fluxo para manter o desempenho.
3) Simulações confirmam que o ganho programado melhora o
PTC2413 (2008)- Controle I - Trabalho da Disciplina de Graduação em Eng. Eletronica na Escola Politecnica da Universidade de São Paulo: Modelagem de Sistema de Controle de Suspensão Dinamica Automotiva , aplicada em um Onibus.
O documento discute sistemas de controle digital, introduzindo conceitos básicos de malha fechada e variáveis envolvidas. Apresenta exemplos de sistemas de controle, incluindo o controle de posição de um satélite, um servomotor e um sistema de apontamento de antena, modelando cada um matematicamente através de equações diferenciais e funções de transferência.
Este documento apresenta um sistema de controle para reduzir vibrações em máquinas de lavar causadas por desequilíbrio de carga durante a centrifugação. O sistema de controle proposto usa duas estratégias combinadas: linearização por realimentação e controle preditivo não linear. Os resultados da simulação indicam que a estratégia proposta atenua adequadamente as oscilações do sistema.
Calibracao de relogios comparadores metr30lucinei30
O documento descreve os procedimentos para calibração de relógios comparadores de acordo com a norma brasileira NBR 6388/1983. Inclui definições de repetibilidade e exatidão, condições de teste, montagem do relógio em suporte rígido e uso de tabela para identificar desvios permissíveis. Também mostra como analisar resultados por meio de gráficos para identificar erros do relógio.
Este documento discute a modelagem matemática de sistemas dinâmicos. Apresenta conceitos como função de transferência e resposta ao impulso para sistemas lineares invariantes no tempo. Explica como representar modelos de sistemas físicos usando diagramas de blocos.
Este documento descreve um sistema de controle de distância de uma bola sobre uma viga utilizando um controlador PID. O modelo matemático do sistema é desenvolvido e simulado no Simulink para encontrar parâmetros de controle ideais. Esses parâmetros são então usados para implementar o controle em tempo real com um Arduino, sensor ultrassônico e servomotor.
Este documento descreve o projeto de um sistema de cruise control para veículos utilizando controle proporcional, integral e derivativo. Inicialmente, o autor simula o sistema usando apenas controle proporcional e ajusta o ganho Kp para atender aos requisitos de desempenho. Em seguida, adiciona um controle integral para eliminar o erro estacionário, ajustando Kp e Ki. Por fim, analisa o uso de controle derivativo, ajustando Kp e Kd.
Desenvolvimento análise de sistemas linearesMaique Mateus
1. O documento apresenta um estudo sobre o comportamento de um sistema de pêndulo de torção, definindo suas componentes e modelo matemático.
2. O exercício proposto para análise envolve um pêndulo de torção com momento de inércia J, atrito B e elastância K, cujo comportamento é modelado por uma equação diferencial.
3. A memória de cálculo apresenta os passos para se obter a função de transferência do sistema e representá-lo no espaço de estados, analisando também características como frequ
1. O documento apresenta um estudo comparativo entre o filtro digital simples e o filtro Kalman aplicados a dados de um acelerômetro.
2. Dois algoritmos de filtragem são desenvolvidos: um utilizando média móvel e outro o algoritmo de Kalman.
3. Os sinais filtrados do acelerômetro acoplado a um pêndulo amortecido são analisados para comparar os desempenhos dos filtros.
Este documento apresenta uma dissertação de mestrado sobre a estimação de parâmetros de sistemas não lineares utilizando o algoritmo de otimização Busca de Cuco via voos de Lévy. O trabalho propõe melhorias neste algoritmo e compara seus resultados com o algoritmo genético NSGAII na identificação dos parâmetros de dois modelos de sistemas.
O documento apresenta o relatório de um experimento realizado com motores de indução trifásicos com rotores bobinado e gaiola. Nele são apresentados os objetivos dos ensaios, a preparação experimental, os resultados obtidos em tabelas e gráficos, e conclusões sobre o comportamento dos motores.
O documento descreve simulações realizadas com o modelo de Lorenz para dinâmica não-linear e caos. O modelo é representado por três equações diferenciais acopladas que descrevem o comportamento do sistema para diferentes valores do parâmetro β. Quando β é igual a 1 ocorre uma bifurcação com dois pontos fixos. Para β igual a 13,926 há uma transição das órbitas entre positivas e negativas. Uma bifurcação de Hopf subcrítica ocorre quando β é próximo de 24,74.
Este capítulo apresenta exemplos resolvidos no MATLAB de um sistema mecânico. Os exemplos ilustram conceitos de controle e observabilidade através da análise do sistema mecânico, como controlabilidade, observabilidade, realização e estabilizabilidade.
O documento discute o Controle Estatístico de Processos (CEP) e fornece ferramentas para analisar a variação em processos. Ele explica como criar e interpretar gráficos de controle como Xbar-R e I-MR para monitorar processos e identificar causas especiais de variação. O objetivo do CEP é manter processos sob controle e minimizar variação através do uso de dados para tomar decisões.
O documento discute o Controle Estatístico de Processos (CEP) e fornece ferramentas para analisar a variação em processos. Ele explica como criar e interpretar gráficos de controle como Xbar-R e I-MR para monitorar processos e identificar causas especiais de variação. O objetivo do CEP é manter processos sob controle e minimizar variação através do uso de dados para tomar decisões.
Este relatório descreve um experimento sobre indutores e circuitos RL. Os estudantes mediram a indutância de um indutor de 100mH em vários circuitos RL variando a frequência. Eles obtiveram valores de indutância entre 82-189mH, com erro médio de 32%. A constante de tempo τ e o tempo de meia vida t1/2 foram calculados e comparados com os valores medidos no osciloscópio.
1. O documento fornece instruções para responder a perguntas sobre modelagem de carga em sistemas elétricos usando o MATLAB. É fornecida uma tabela com as questões a serem respondidas.
2. São apresentados 40 exercícios sobre modelagem de carga, incluindo definições de carga típica, curva de carga, fatores de carga e demanda, além de modelos de carga e fluxo de potência.
3. Instruções são dadas para desenvolver funções e scripts no MATLAB para modelar carga, plotar
1) O documento discute métodos de sintonia de controladores PID para sistemas de controle.
2) A síntese direta é um método que especifica a saída desejada do sistema para obter o controlador PID correspondente.
3) Quando a saída desejada possui a forma de uma resposta de 1a ordem sem atraso, é possível projetar o controlador PID para fornecer essa resposta com um tempo de estabilização de aproximadamente 4 vezes o constante de tempo desejado.
As mudanças trazidas pela globalização alteraram as formas de comercialização de produtos e serviços,
exigindo, consequentemente, uma mudança nos modelos de planejamento e distribuição de materiais.
PAIÃO, L. S. Logística Empresarial. Maringá: UniCesumar, 2021.
Essas mudanças levaram as organizações a investirem em logística para atingir seu objetivo principal de:
ALTERNATIVAS
Disponibilizar mão de obra especializada para atividades de recebimento e expedição de materiais.
Disponibilizar matéria- prima na linha de produção, em conformidade com as especificações do produto.
Disponibilizar produtos nos centros de distribuição, a fim de agilizar o processo de distribuição de materiais.
Disponibilizar informações referentes à qualidade, entregas e assistência técnica dos produtos fabricados pela
organização.
Disponibilizar produtos e serviços, na hora e lugar certos, na qualidade desejada, quantidade e custo esperados pelo
cliente.
Entre em contato conosco
54 99956-3050
Este documento apresenta um sistema de controle para reduzir vibrações em máquinas de lavar causadas por desequilíbrio de carga durante a centrifugação. O sistema de controle proposto usa duas estratégias combinadas: linearização por realimentação e controle preditivo não linear. Os resultados da simulação indicam que a estratégia proposta atenua adequadamente as oscilações do sistema.
Calibracao de relogios comparadores metr30lucinei30
O documento descreve os procedimentos para calibração de relógios comparadores de acordo com a norma brasileira NBR 6388/1983. Inclui definições de repetibilidade e exatidão, condições de teste, montagem do relógio em suporte rígido e uso de tabela para identificar desvios permissíveis. Também mostra como analisar resultados por meio de gráficos para identificar erros do relógio.
Este documento discute a modelagem matemática de sistemas dinâmicos. Apresenta conceitos como função de transferência e resposta ao impulso para sistemas lineares invariantes no tempo. Explica como representar modelos de sistemas físicos usando diagramas de blocos.
Este documento descreve um sistema de controle de distância de uma bola sobre uma viga utilizando um controlador PID. O modelo matemático do sistema é desenvolvido e simulado no Simulink para encontrar parâmetros de controle ideais. Esses parâmetros são então usados para implementar o controle em tempo real com um Arduino, sensor ultrassônico e servomotor.
Este documento descreve o projeto de um sistema de cruise control para veículos utilizando controle proporcional, integral e derivativo. Inicialmente, o autor simula o sistema usando apenas controle proporcional e ajusta o ganho Kp para atender aos requisitos de desempenho. Em seguida, adiciona um controle integral para eliminar o erro estacionário, ajustando Kp e Ki. Por fim, analisa o uso de controle derivativo, ajustando Kp e Kd.
Desenvolvimento análise de sistemas linearesMaique Mateus
1. O documento apresenta um estudo sobre o comportamento de um sistema de pêndulo de torção, definindo suas componentes e modelo matemático.
2. O exercício proposto para análise envolve um pêndulo de torção com momento de inércia J, atrito B e elastância K, cujo comportamento é modelado por uma equação diferencial.
3. A memória de cálculo apresenta os passos para se obter a função de transferência do sistema e representá-lo no espaço de estados, analisando também características como frequ
1. O documento apresenta um estudo comparativo entre o filtro digital simples e o filtro Kalman aplicados a dados de um acelerômetro.
2. Dois algoritmos de filtragem são desenvolvidos: um utilizando média móvel e outro o algoritmo de Kalman.
3. Os sinais filtrados do acelerômetro acoplado a um pêndulo amortecido são analisados para comparar os desempenhos dos filtros.
Este documento apresenta uma dissertação de mestrado sobre a estimação de parâmetros de sistemas não lineares utilizando o algoritmo de otimização Busca de Cuco via voos de Lévy. O trabalho propõe melhorias neste algoritmo e compara seus resultados com o algoritmo genético NSGAII na identificação dos parâmetros de dois modelos de sistemas.
O documento apresenta o relatório de um experimento realizado com motores de indução trifásicos com rotores bobinado e gaiola. Nele são apresentados os objetivos dos ensaios, a preparação experimental, os resultados obtidos em tabelas e gráficos, e conclusões sobre o comportamento dos motores.
O documento descreve simulações realizadas com o modelo de Lorenz para dinâmica não-linear e caos. O modelo é representado por três equações diferenciais acopladas que descrevem o comportamento do sistema para diferentes valores do parâmetro β. Quando β é igual a 1 ocorre uma bifurcação com dois pontos fixos. Para β igual a 13,926 há uma transição das órbitas entre positivas e negativas. Uma bifurcação de Hopf subcrítica ocorre quando β é próximo de 24,74.
Este capítulo apresenta exemplos resolvidos no MATLAB de um sistema mecânico. Os exemplos ilustram conceitos de controle e observabilidade através da análise do sistema mecânico, como controlabilidade, observabilidade, realização e estabilizabilidade.
O documento discute o Controle Estatístico de Processos (CEP) e fornece ferramentas para analisar a variação em processos. Ele explica como criar e interpretar gráficos de controle como Xbar-R e I-MR para monitorar processos e identificar causas especiais de variação. O objetivo do CEP é manter processos sob controle e minimizar variação através do uso de dados para tomar decisões.
O documento discute o Controle Estatístico de Processos (CEP) e fornece ferramentas para analisar a variação em processos. Ele explica como criar e interpretar gráficos de controle como Xbar-R e I-MR para monitorar processos e identificar causas especiais de variação. O objetivo do CEP é manter processos sob controle e minimizar variação através do uso de dados para tomar decisões.
Este relatório descreve um experimento sobre indutores e circuitos RL. Os estudantes mediram a indutância de um indutor de 100mH em vários circuitos RL variando a frequência. Eles obtiveram valores de indutância entre 82-189mH, com erro médio de 32%. A constante de tempo τ e o tempo de meia vida t1/2 foram calculados e comparados com os valores medidos no osciloscópio.
1. O documento fornece instruções para responder a perguntas sobre modelagem de carga em sistemas elétricos usando o MATLAB. É fornecida uma tabela com as questões a serem respondidas.
2. São apresentados 40 exercícios sobre modelagem de carga, incluindo definições de carga típica, curva de carga, fatores de carga e demanda, além de modelos de carga e fluxo de potência.
3. Instruções são dadas para desenvolver funções e scripts no MATLAB para modelar carga, plotar
1) O documento discute métodos de sintonia de controladores PID para sistemas de controle.
2) A síntese direta é um método que especifica a saída desejada do sistema para obter o controlador PID correspondente.
3) Quando a saída desejada possui a forma de uma resposta de 1a ordem sem atraso, é possível projetar o controlador PID para fornecer essa resposta com um tempo de estabilização de aproximadamente 4 vezes o constante de tempo desejado.
As mudanças trazidas pela globalização alteraram as formas de comercialização de produtos e serviços,
exigindo, consequentemente, uma mudança nos modelos de planejamento e distribuição de materiais.
PAIÃO, L. S. Logística Empresarial. Maringá: UniCesumar, 2021.
Essas mudanças levaram as organizações a investirem em logística para atingir seu objetivo principal de:
ALTERNATIVAS
Disponibilizar mão de obra especializada para atividades de recebimento e expedição de materiais.
Disponibilizar matéria- prima na linha de produção, em conformidade com as especificações do produto.
Disponibilizar produtos nos centros de distribuição, a fim de agilizar o processo de distribuição de materiais.
Disponibilizar informações referentes à qualidade, entregas e assistência técnica dos produtos fabricados pela
organização.
Disponibilizar produtos e serviços, na hora e lugar certos, na qualidade desejada, quantidade e custo esperados pelo
cliente.
Entre em contato conosco
54 99956-3050
O presente trabalho consiste em realizar um estudo de caso de um transportador horizontal contínuo com correia plana utilizado em uma empresa do ramo alimentício, a generalização é feita em reserva do setor, condições técnicas e culturais da organização
AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL COMUNICAÇÃO ASSERTIVA E INTERPESSOA...Consultoria Acadêmica
A capacidade de ouvir e compreender o outro inclui não apenas a fala, mas também as expressões e
manifestações corporais, consideradas elementos fundamentais no processo de comunicação. Assim, o
estudo da linguagem corporal, conhecida por cinésica, assume um papel importante na decodificação das
mensagens recebidas durante as interações profissionais ou pessoais.
Fonte: Krieser, Deise Stolf. Estudo Contemporâneo e Transversal - Comunicação Assertiva e Interpessoal.
Indaial, SC: Arqué, 2023.
Considerando o papel da linguagem corporal no processo de comunicação, analise as seguintes afirmações:
I. A capacidade de ouvir e compreender o outro no processo de comunicação inclui apenas a interpretação
das palavras faladas.
II. As expressões e manifestações corporais não são elementos fundamentais na comunicação,
desempenhando um papel secundário na compreensão das mensagens.
III. O estudo da linguagem corporal, conhecido como cinésica, é relevante para a decodificação das
mensagens durante as interações profissionais ou pessoais.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I, apenas.
II, apenas.
III, apenas.
I e III, apenas.
I, II e III.
Entre em contato conosco
54 99956-3050
AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL EMPREENDEDORISMO CORPORATIVO UNICES...Consultoria Acadêmica
O Plano de Negócios, de maneira geral, se apresenta com um instrumento constituído de uma sequência
lógica que sugere uma análise para a viabilidade de uma ideia. A elaboração segue direcionamentos para
facilitar o desenvolvimento e a posterior análise.
RODRIGUES, F. L. S. et al. Análise da tendência do serviço de delivery e como um plano de negócios pode
colaborar em sua praticidade. Revista Interdisciplinar Pensamento Científico, v. 5, n. 4, 2019. Disponível
em: https://bit.ly/3UR7Tap. Acesso em: 13 dez. 2022.
Com base nas informações apresentadas e considerando essa ferramenta, analise as afirmativas a seguir.
I. A utilização é específica para pessoas externas à empresa.
II. A interpretação das divisões do Plano pode atender diferentes propósitos.
III. A profundidade e quantidade de detalhes acompanha a proporção do tamanho do negócio.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I, apenas.
III, apenas.
I e II, apenas.
II e III, apenas.
I, II e III.
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54 99956-3050
1. Controle de um pêndulo invertido
SEL0382 - CONTROLE ROBUSTO
Universidade de São Paulo
Escola de Engenharia de São Carlos
Departamento de Engenharia Elétrica e Computação
Aluno: Raphael Luiz Vicente Fortulan
Professor: Vilma Alves de Oliveira
2. Sumário
Pêndulo invertido .................................................................................................................... 3
Equacionamento........................................................................................................................ 3
Linearização.............................................................................................................................. 4
Resposta do sistema linear vs Resposta do sistema não liner para um degrau na entrada .... 5
Realimentação........................................................................................................................... 6
LQR....................................................................................................................................... 6
Escolha dos polos de malha fechada..................................................................................... 6
Simulações ................................................................................................................................ 7
Códigos de Matlab desenvolvidos........................................................................................... 17
EDO’s não lineares com realimentação .............................................................................. 17
EDO’s não lineares sem realimentação............................................................................... 17
Código para comparar o sistema linear com o não linear ................................................... 17
Código para o sistema realimentado e cálculo das matrizes K’s......................................... 18
3. Pêndulo invertido
Equacionamento
Pelas leis de Newton são obtidas as equações abaixo:
São aplicadas as relações:
E o sistema é simplificado para o conjunto de equações abaixo:
4. Para acertar a notação das equações é feito o seguinte procedimento:
As equações finais são:
Matricialmente:
Linearização
É desejado linearizar o sistema em um ponto de equilíbrio. Analisando as equações diferencias,
verifica-se que pontos de equilíbrio são dependentes do valor de 𝜃.Para valores 0,𝜋, 2 𝜋, … o
seno zera e as variáveis zeram também. Assim é escolhido o ponto de equilíbrio[
0
0
0
0
] (instável).
Calcula-se a Jacobiana do espaço de estado:
Utilizando que M=2 kg,l=0,5 m,m=0, 1 kg e g=9,81 m/s2
:
A=
B=
5. Resposta do sistema linear vs Resposta do sistema não liner para um degrau na entrada
Aplicando um degrau unitário sob a entrada do sistema linearizado e do não linear, são
verificadas as respostas para o ângulo e a posição do carrinho.
Figura 1 Ângulo vs tempo Linear e Não Linear
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Pendulo invertido theta
Tempo (s)
Theta
(radianos)
Não linear
linear
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Pendulo invertido posição do carrinho
Tempo (s)
Posição
(m)
Não linear
linear
Figura 2 Posição vs tempo Linear e Não Linear
6. É observado que o sistema linear representa com eficiência o sistema não linear.
Realimentação
É desejado realimentar o sistema. Antes, porém, deve-se verificar se o sistema é controlável.
Sabe-se que o sistema linear é controlável se o posto da matriz de controlabilidade for igual à
dimensão da matriz A. Então:
𝐶𝑜𝑛𝑡 = [𝐵 𝐴𝐵 𝐴2
𝐵 … 𝐴𝑛−1
𝐵] =
O posto dessa matriz pode ser obtido pela redução de Gauss-Jordan na matriz 𝐶𝑜𝑛𝑡. A matriz
reduzida é :
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 = .
Assim a matriz possui posto igual a 4 e o sistema é controlável.
Para a realimentação de estados serão utilizadas duas técnicas : LQR e escolha dos polos de
malha fechada.
LQR
É necessário encontrar a matriz K de maneira a minimizar a função de custo quadrático
dt
Ru
u
Qx
x
J )
*
*
(
0
.
Para resolver esse problema foi utilizado o comando lqr do Matlab e as seguintes matrizes de
peso:
𝑄1 = [
100 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
] , 𝑅1 = 100 e 𝑄2 = [
0.1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
], 𝑅2 = 0.1
As matrizes utilizadas na realimentação encontradas foram:
𝐾1 = [−44.15 −9.7431 −0.1 −0.7002]
𝐾2 = [−66.086 −15.0.313 −3.1623 −6.2709]
Escolha dos polos de malha fechada
É escolhida a matriz K de forma que os autovalores de A-B*K fiquem iguais aos polos
escolhidos de malha fechada.
Por ser um problema de difícil resolução manual foi utilizado o algoritmo numérico place do
Matlab.
Os polos de malha fechada escolhidos foram -10,-2,-1+1.5j e -1-1.5j. A matriz utilizada na
realimentação encontrada foi:
𝐾3 = [−71.1639 −18.0265 −6.6259 −8.0530]
7. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-60
-40
-20
0
20
40
60
tempo [s]
teta
[º]
angulo vs tempo para LQR2
-60º
-15º
60º
45º
30º
15º
Simulações
O sistema não linear foi realimentado com os controladores baseados no modelo linear,
calculados acima. Para verificar a eficiência de cada um, o sistema foi simulado para seis
condições iniciais ([
𝜃
0
0
0
]com 𝜃=-60, -15, 60, 45,30 e 15 graus), e nenhuma entrada.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-60
-40
-20
0
20
40
60
tempo [s]
teta
[º]
angulo vs tempo para LQR1
-60º
-15º
60º
45º
30º
15º
Figura 4- Ângulo vs tempo para LQR2
Figura 3- Ângulo vs tempo para LQR1
8. Figura 5- Ângulo vs tempo para Place
Figura 6- Velocidade Angular vs tempo para LQR1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-60
-40
-20
0
20
40
60
tempo [s]
teta
[º]
angulo vs tempo para Place
-60º
-15º
60º
45º
30º
15º
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
tempo [s]
teta
ponto
[º/s]
velocidade angular vs tempo para LQR1
-60º
-15º
60º
45º
30º
15º
9. Figura 7- Velocidade Angular vs tempo para LQR2
Figura 8- Velocidade Angular vs tempo para Place
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
tempo [s]
teta
ponto
[º/s]
velocidade angular vs tempo para LQR2
-60º
-15º
60º
45º
30º
15º
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
tempo [s]
teta
ponto
[º/s]
velocidade angular vs tempo para Place
-60º
-15º
60º
45º
30º
15º
10. Figura 9- Posição vs tempo para LQR1
Figura 10- Posição vs tempo para LQR2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
tempo [s]
posição
[m]
posição vs tempo para LQR1
-60º
-15º
60º
45º
30º
15º
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
tempo [s]
posição
[m]
posição vs tempo para LQR2
-60º
-15º
60º
45º
30º
15º
11. Figura 11 Posição vs tempo para Place
Figura 12- Velocidade Linear vs tempo para LQR1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
tempo [s]
posição
[m]
posição vs tempo para Place
-60º
-15º
60º
45º
30º
15º
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
tempo [s]
Velocidade
Linear
[m/s]
Velocidade Linear vs tempo para LQR1
-60º
-15º
60º
45º
30º
15º
12. Figura 13- Velocidade Linear vs tempo para LQR2
Figura 14- Velocidade Linear vs tempo para Place
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
tempo [s]
Velocidade
Linear
[m/s]
Velocidade Linear vs tempo para LQR2
-60º
-15º
60º
45º
30º
15º
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
tempo [s]
Velocidade
Linear
[m/s]
Velocidade Linear vs tempo para Place
-60º
-15º
60º
45º
30º
15º
13. Os resultados das Simulações apresentados nas Figuras 3 até 14 verificam que a utilização do
LQR1 torna a resposta do sistema muito lenta. Com a escolha dos polos de malha fechada e
com a utilização do LQR2, o sistema responde rapidamente e volta para a posição de equilíbrio
de maneira eficaz.
Deve-se ressaltar que os princípios físicos de funcionamento do sistema foram mantidos em
todas as simulações. Por exemplo, se o ângulo inicial for positivo seria esperado que o carrinho
sofresse uma aceleração linear positiva na tentativa de forçar o pêndulo a retornar na posição de
repouso. O ângulo iria se tornando cada vez menor e haveria a desaceleração do carrinho,
gerando uma velocidade linear negativa sob o ele para compensar a mudança de posição. Porém
se a aceleração do carrinho for muito rápida (sistema muito rápido), o pêndulo passaria da
posição de equilíbrio e o ângulo ficaria negativo. Para contrabalancear, o carrinho seria
acelerado negativamente e o ângulo começaria a ficar mais positivo. O processo ocorreria até
que a posição de equilíbrio fosse encontrada. Se observadas as Figuras 3 até 14, verifica-se que
realmente as simulações são condizentes com a análise feita.
Com base na análise teórica desenvolvida acima é possível apresentar uma qualidade do
controlador baseado no LQR1. Graças à resposta lenta do sistema, durante o transitório, o
ângulo não adquire valores muito distantes do ponto de equilíbrio e não há oscilações na
posição do carrinho. Já com a escolha dos polos de malha fechada e com a utilização do LQR2,
apesar da rapidez da resposta, há oscilações.
14. Simulink
Foi criado o sistema não linear com o auxílio do Simulink. Para as simulações, foi utilizado o
método numérico ode23 e foi desabilitada a opção de detecção de cruzamento em zero.
Figura 15- Modelo do Sistema Realimentado
Figura 16- Modelo do Pêndulo Invertido Não Linear
15. Figura 17- Modelo do Controlador
O resultado das simulações via Simulink ou código de Matlab foram os mesmos. Porém com o
Simulink é mais simples de se obter a resposta do controlador. Então, nas Figuras 18,19 e 20
estão apresentadas as respostas do controlador para as mesmas condições inicias das simulações
anteriores.
Figura 18- Saída do Controlador para LQR1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
tempo (s)
Força
(N)
Saída do Controlador para LQR1
-60º
-15º
60º
45º
30º
15º
16. Figura 19- Saída do Controlador para LQR2
Figura 20- Saída do Controlador para Place
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
tempo (s)
Força
(N)
Saída do Controlador para LQR2
-60º
-15º
60º
45º
30º
15º
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
tempo (s)
Força
(N)
Saída do Controlador para Place
-60º
-15º
60º
45º
30º
15º
17. Códigos de Matlab desenvolvidos
EDO’s não lineares com realimentação
%função não linear
function zponto = nlinearf(t,z)
global u M m g len K
zponto = zeros(size(z));
u = -K*z;
c1 = (M+m); c2 = m*len; c3 = m*g; c4 = (M+m)*len; c5 = (M+m)*g;
zponto(1) = z(2);
top2 = u*cos(z(1)) - c5*sin(z(1)) + c2*cos(z(1))*sin(z(1))*z(2)^2;
zponto(2) = top2/(c2*cos(z(1))^2 - c4);
zponto(3) = z(4);
top4 = u + c2*sin(z(1))*z(2)^2 - c3*cos(z(1))*sin(z(1));
zponto(4) = top4/(c1-m*cos(z(1))^2);
EDO’s não lineares sem realimentação
%função não linear
function zponto = nlinear(t,z)
global u M m g len
zponto = zeros(size(z));
c1 = (M+m); c2 = m*len; c3 = m*g; c4 = (M+m)*len; c5 = (M+m)*g;
zponto(1) = z(2);
top2 = u*cos(z(1)) - c5*sin(z(1)) + c2*cos(z(1))*sin(z(1))*z(2)^2;
zponto(2) = top2/(c2*cos(z(1))^2 - c4);
zponto(3) = z(4);
top4 = u + c2*sin(z(1))*z(2)^2 - c3*cos(z(1))*sin(z(1));
zponto(4) = top4/(c1-m*cos(z(1))^2);
Código para comparar o sistema linear com o não linear
clear all, close all, nfig = 0;
%Sistema Linearizado-Sem realimentação
A=[0 1 0 0;20.601 0 0 0; 0 0 0 1;-0.4905 0 0 0];
B=[0;-1;0;0.5];
C=[1 0 0 0;0 0 1 0];
D=0;
Pl=ss(A,B,C,D);
[yl,tl,zl] = step(Pl,linspace(0,1,31));
%Sistema não linear
global u M m g len % Constantes
M = 2.0; m = 0.1; % massas
len = 0.5; % Comprimento do pêndulo
g = 9.81; % aceleração da gravidade
u = 1; % Entrada do sistema
to = 0; tf = 1.0;
zo = [0 0 0 0]'; tol = 1.0e-6;
options = odeset('RelTol',tol);
[tnl,znl] = ode45('nlinear',[to tf],zo,options);
18. nfig = nfig+1; figure(nfig);
plot(tnl,znl(:,1),'g-',tl,zl(:,1),'go'),grid
title('Pêndulo invertido theta')
xlabel('Tempo (s)'),ylabel('Theta (radianos)')
legend('Não linear','linear')
nfig = nfig+1; figure(nfig);
plot(tnl,znl(:,3),'r-',tl,zl(:,3),'ro'),grid
title('Pêndulo invertido posição do carrinho')
xlabel('Tempo (s)'),ylabel('Posição (m)')
legend('Não linear','linear')
Código para o sistema realimentado e cálculo das matrizes K’s
clear all
close all
% Realimentando o sistema
A=[0 1 0 0;20.601 0 0 0; 0 0 0 1;-0.4905 0 0 0];
B=[0;-1;0;0.5];
%LQR
K1=lqr(A,B,[100 0 0 0;0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1],100);
Alqr=A-B*K1;
K2=lqr(A,B,[0.1 0 0 0;0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1],0.1);
Alqr2=A-B*K2;
%Place
p=[-10,-2,-1+1.5*j,-1-1.5*j];
K3=place(A,B,p);
Apl=A-B*K3;
%--------------------------------------------------------------------------
global u M m g len K % Constantes
M = 2.0; m = 0.1; % massas
len = 0.5; % Comprimento do pêndulo
g = 9.81; % aceleração da gravidade
to = 0; tf = 10.0;
% tol = 1.0e-6;
% options = odeset('RelTol',tol);
%--------------------------------------------------------------------------
%Condições inicias
zo1=[-60*pi/180 0 0 0]';
zo2=[-15*pi/180 0 0 0]';
zo3=[60*pi/180 0 0 0]';
zo4=[45*pi/180 0 0 0]';
zo5=[30*pi/180 0 0 0]';
zo6=[15*pi/180 0 0 0]';
%--------------------------------------------------------------------------
% LQR 1
K=K1;
[tnl1,znl1] = ode45('nlinearf',[to tf],zo1);
[tnl2,znl2] = ode45('nlinearf',[to tf],zo2);
[tnl3,znl3] = ode45('nlinearf',[to tf],zo3);
[tnl4,znl4] = ode45('nlinearf',[to tf],zo4);
[tnl5,znl5] = ode45('nlinearf',[to tf],zo5);
[tnl6,znl6] = ode45('nlinearf',[to tf],zo6);
figure
hold on
plot(tnl1,180/pi*znl1(:,1),'g');
19. plot(tnl2,180/pi*znl2(:,1),'b');
plot(tnl3,180/pi*znl3(:,1),'k');
plot(tnl4,180/pi*znl4(:,1),'c');
plot(tnl5,180/pi*znl5(:,1),'y');
plot(tnl6,180/pi*znl6(:,1),'r');
xlabel('tempo [s]')
ylabel('teta [º]')
title('angulo vs tempo para LQR1')
legend('-60º','-15º','60º','45º','30º','15º')
figure
hold on
plot(tnl1,znl1(:,2),'g');
plot(tnl2,znl2(:,2),'b');
plot(tnl3,znl3(:,2),'k');
plot(tnl4,znl4(:,2),'c');
plot(tnl5,znl5(:,2),'y');
plot(tnl6,znl6(:,2),'r');
xlabel('tempo [s]')
ylabel('teta ponto [º/s]')
title('velocidade angular vs tempo para LQR1')
legend('-60º','-15º','60º','45º','30º','15º')
figure
hold on
plot(tnl1,znl1(:,3),'g');
plot(tnl2,znl2(:,3),'b');
plot(tnl3,znl3(:,3),'k');
plot(tnl4,znl4(:,3),'c');
plot(tnl5,znl5(:,3),'y');
plot(tnl6,znl6(:,3),'r');
xlabel('tempo [s]')
ylabel('posição [m]')
title('posição vs tempo para LQR1')
legend('-60º','-15º','60º','45º','30º','15º')
figure
hold on
plot(tnl1,znl1(:,4),'g');
plot(tnl2,znl2(:,4),'b');
plot(tnl3,znl3(:,4),'k');
plot(tnl4,znl4(:,4),'c');
plot(tnl5,znl5(:,4),'y');
plot(tnl6,znl6(:,4),'r');
xlabel('tempo [s]')
ylabel('Velocidade Linear [m/s]')
title('Velocidade Linear vs tempo para LQR1')
legend('-60º','-15º','60º','45º','30º','15º')
%--------------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------------
% LQR 2
K=K2;
[tnl1,znl1] = ode45('nlinearf',[to tf],zo1);
[tnl2,znl2] = ode45('nlinearf',[to tf],zo2);
[tnl3,znl3] = ode45('nlinearf',[to tf],zo3);
[tnl4,znl4] = ode45('nlinearf',[to tf],zo4);
[tnl5,znl5] = ode45('nlinearf',[to tf],zo5);
[tnl6,znl6] = ode45('nlinearf',[to tf],zo6);
figure
hold on
20. plot(tnl1,180/pi*znl1(:,1),'g');
plot(tnl2,180/pi*znl2(:,1),'b');
plot(tnl3,180/pi*znl3(:,1),'k');
plot(tnl4,180/pi*znl4(:,1),'c');
plot(tnl5,180/pi*znl5(:,1),'y');
plot(tnl6,180/pi*znl6(:,1),'r');
xlabel('tempo [s]')
ylabel('teta [º]')
title('angulo vs tempo para LQR2')
legend('-60º','-15º','60º','45º','30º','15º')
figure
hold on
plot(tnl1,znl1(:,2),'g');
plot(tnl2,znl2(:,2),'b');
plot(tnl3,znl3(:,2),'k');
plot(tnl4,znl4(:,2),'c');
plot(tnl5,znl5(:,2),'y');
plot(tnl6,znl6(:,2),'r');
xlabel('tempo [s]')
ylabel('teta ponto [º/s]')
title('velocidade angular vs tempo para LQR2')
legend('-60º','-15º','60º','45º','30º','15º')
figure
hold on
plot(tnl1,znl1(:,3),'g');
plot(tnl2,znl2(:,3),'b');
plot(tnl3,znl3(:,3),'k');
plot(tnl4,znl4(:,3),'c');
plot(tnl5,znl5(:,3),'y');
plot(tnl6,znl6(:,3),'r');
xlabel('tempo [s]')
ylabel('posição [m]')
title('posição vs tempo para LQR2')
legend('-60º','-15º','60º','45º','30º','15º')
figure
hold on
plot(tnl1,znl1(:,4),'g');
plot(tnl2,znl2(:,4),'b');
plot(tnl3,znl3(:,4),'k');
plot(tnl4,znl4(:,4),'c');
plot(tnl5,znl5(:,4),'y');
plot(tnl6,znl6(:,4),'r');
xlabel('tempo [s]')
ylabel('Velocidade Linear [m/s]')
title('Velocidade Linear vs tempo para LQR2')
legend('-60º','-15º','60º','45º','30º','15º')
%--------------------------------------------------------------------------
% Place
K=K3;
[tnl1,znl1] = ode45('nlinearf',[to tf],zo1);
[tnl2,znl2] = ode45('nlinearf',[to tf],zo2);
[tnl3,znl3] = ode45('nlinearf',[to tf],zo3);
[tnl4,znl4] = ode45('nlinearf',[to tf],zo4);
[tnl5,znl5] = ode45('nlinearf',[to tf],zo5);
[tnl6,znl6] = ode45('nlinearf',[to tf],zo6);
figure
hold on
21. plot(tnl1,180/pi*znl1(:,1),'g');
plot(tnl2,180/pi*znl2(:,1),'b');
plot(tnl3,180/pi*znl3(:,1),'k');
plot(tnl4,180/pi*znl4(:,1),'c');
plot(tnl5,180/pi*znl5(:,1),'y');
plot(tnl6,180/pi*znl6(:,1),'r');
xlabel('tempo [s]')
ylabel('teta [º]')
title('angulo vs tempo para Place')
legend('-60º','-15º','60º','45º','30º','15º')
figure
hold on
plot(tnl1,znl1(:,2),'g');
plot(tnl2,znl2(:,2),'b');
plot(tnl3,znl3(:,2),'k');
plot(tnl4,znl4(:,2),'c');
plot(tnl5,znl5(:,2),'y');
plot(tnl6,znl6(:,2),'r');
xlabel('tempo [s]')
ylabel('teta ponto [º/s]')
title('velocidade angular vs tempo para Place')
legend('-60º','-15º','60º','45º','30º','15º')
figure
hold on
plot(tnl1,znl1(:,3),'g');
plot(tnl2,znl2(:,3),'b');
plot(tnl3,znl3(:,3),'k');
plot(tnl4,znl4(:,3),'c');
plot(tnl5,znl5(:,3),'y');
plot(tnl6,znl6(:,3),'r');
xlabel('tempo [s]')
ylabel('posição [m]')
title('posição vs tempo para Place')
legend('-60º','-15º','60º','45º','30º','15º')
figure
hold on
plot(tnl1,znl1(:,4),'g');
plot(tnl2,znl2(:,4),'b');
plot(tnl3,znl3(:,4),'k');
plot(tnl4,znl4(:,4),'c');
plot(tnl5,znl5(:,4),'y');
plot(tnl6,znl6(:,4),'r');
xlabel('tempo [s]')
ylabel('Velocidade Linear [m/s]')
title('Velocidade Linear vs tempo para Place')
legend('-60º','-15º','60º','45º','30º','15º')