Este documento trata sobre la teoría de conjuntos y funciones. Explica definiciones clave como conjunto, dominio, rango e imagen de una función. También describe diferentes tipos de conjuntos como finitos, infinitos, vacíos y sus propiedades. Finalmente, presenta ejemplos y ejercicios sobre funciones e incluye información sobre números racionales y polinomios.
El documento define los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la notación de conjuntos, elementos, cardinalidad, pertenencia, subconjuntos, igualdad de conjuntos, conjuntos disjuntos, conjuntos potencia, tipos de números y operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento.
Este documento proporciona definiciones básicas sobre la teoría de conjuntos, incluyendo conceptos como conjunto, elemento, conjunto vacío, número cardinal, conjunto finito e infinito, conjunto bien definido, conjuntos iguales, conjunto universal y subconjuntos. También explica formas de representar y expresar conjuntos como listados, diagramas de Venn y notación de construcción.
Este documento introduce el concepto de función matemática. Explica que una función es una relación entre dos conjuntos A y B donde a cada elemento de A se le asigna un único elemento de B. Proporciona ejemplos de funciones como la longitud de una circunferencia en función de su radio. Luego define formalmente una función y explica conceptos como el dominio, el rango y la notación funcional f(x).
Este documento define los números racionales como aquellos que pueden escribirse como una fracción a/b, donde a y b son números enteros y b ≠ 0. Explica que dos números racionales a/b y c/d son equivalentes si ad = bc. También describe dos métodos para obtener números racionales equivalentes: amplificación, que multiplica ambos términos de la fracción por el mismo número, y simplificación, que los divide por el mismo número.
Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Explica conceptos básicos como elementos, pertenencia a conjuntos, notación de conjuntos, cardinalidad y tipos de conjuntos como vacío, unitario, finito e infinito. También define operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica, así como propiedades de estas operaciones y de relaciones como inclusión. Finalmente, presenta ejemplos numéricos de conjuntos.
Este documento trata sobre relaciones y grafos. Explica que un grafo consiste en un conjunto de vértices o nodos conectados por aristas o arcos, y que puede representar diversas relaciones en la vida real como mapas de carreteras o circuitos eléctricos. También define conceptos como relaciones binarias, producto cartesiano y diferentes propiedades de las relaciones como reflexividad y simetría. Por último, introduce las clases de equivalencia que surgen de una relación de equivalencia sobre un conjunto.
Este documento introduce la teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de términos como elemento, pertenencia a un conjunto, determinación de conjuntos por extensión y comprensión, diagramas de Venn, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, unión e intersección, y tipos especiales de conjuntos como el conjunto vacío, conjunto unitario y conjunto potencia. Explica las propiedades básicas de estas operaciones y relaciones entre conjuntos.
El documento define los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la notación de conjuntos, elementos, cardinalidad, pertenencia, subconjuntos, igualdad de conjuntos, conjuntos disjuntos, conjuntos potencia, tipos de números y operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento.
Este documento proporciona definiciones básicas sobre la teoría de conjuntos, incluyendo conceptos como conjunto, elemento, conjunto vacío, número cardinal, conjunto finito e infinito, conjunto bien definido, conjuntos iguales, conjunto universal y subconjuntos. También explica formas de representar y expresar conjuntos como listados, diagramas de Venn y notación de construcción.
Este documento introduce el concepto de función matemática. Explica que una función es una relación entre dos conjuntos A y B donde a cada elemento de A se le asigna un único elemento de B. Proporciona ejemplos de funciones como la longitud de una circunferencia en función de su radio. Luego define formalmente una función y explica conceptos como el dominio, el rango y la notación funcional f(x).
Este documento define los números racionales como aquellos que pueden escribirse como una fracción a/b, donde a y b son números enteros y b ≠ 0. Explica que dos números racionales a/b y c/d son equivalentes si ad = bc. También describe dos métodos para obtener números racionales equivalentes: amplificación, que multiplica ambos términos de la fracción por el mismo número, y simplificación, que los divide por el mismo número.
Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Explica conceptos básicos como elementos, pertenencia a conjuntos, notación de conjuntos, cardinalidad y tipos de conjuntos como vacío, unitario, finito e infinito. También define operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica, así como propiedades de estas operaciones y de relaciones como inclusión. Finalmente, presenta ejemplos numéricos de conjuntos.
Este documento trata sobre relaciones y grafos. Explica que un grafo consiste en un conjunto de vértices o nodos conectados por aristas o arcos, y que puede representar diversas relaciones en la vida real como mapas de carreteras o circuitos eléctricos. También define conceptos como relaciones binarias, producto cartesiano y diferentes propiedades de las relaciones como reflexividad y simetría. Por último, introduce las clases de equivalencia que surgen de una relación de equivalencia sobre un conjunto.
Este documento introduce la teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de términos como elemento, pertenencia a un conjunto, determinación de conjuntos por extensión y comprensión, diagramas de Venn, relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, unión e intersección, y tipos especiales de conjuntos como el conjunto vacío, conjunto unitario y conjunto potencia. Explica las propiedades básicas de estas operaciones y relaciones entre conjuntos.
Este documento resume los conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos y explica la notación utilizada para representar conjuntos. Describe las relaciones entre conjuntos como la inclusión, igualdad, unión e intersección. También define conjuntos especiales como el conjunto vacío, conjunto unitario y conjunto finito.
Este documento describe diferentes conceptos relacionados con conjuntos, incluyendo la inclusión, notación, propiedades, conjuntos comparables, igualdad, conjuntos disjuntos y conjunto potencia. La inclusión se refiere a que todos los elementos de un conjunto A también pertenecen a otro conjunto B. Los conjuntos son comparables si uno está incluido en el otro. Dos conjuntos son iguales si comparten los mismos elementos. Conjuntos disjuntos no tienen elementos en común. El conjunto potencia contiene todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado.
El documento introduce los conceptos básicos de los conjuntos matemáticos. Explica que un conjunto es una agrupación de objetos llamados elementos, y que se representan usando llaves. Luego describe operaciones entre conjuntos como la unión, intersección y diferencia. Finalmente, cubre temas como subconjuntos, conjuntos finitos e infinitos, y diagramas para ilustrar relaciones entre conjuntos.
Este documento define los conceptos básicos de los conjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos o entidades distinguibles. Los elementos de un conjunto pueden definirse explícitamente mediante la lista de sus elementos o implícitamente mediante las características que comparten. También introduce conceptos como la pertenencia, subconjuntos, conjuntos vacíos y universales, operaciones entre conjuntos como la unión e intersección, y diagramas de Venn para representar relaciones entre conjuntos.
El documento define intervalos, desigualdades e inecuaciones. Explica que un intervalo es un conjunto de números reales comprendidos entre dos extremos, y clasifica intervalos en abiertos, cerrados y semiabiertos. Luego, define una desigualdad como una expresión algebraica relacionada por signos de comparación, y explica propiedades de desigualdades como sumar o multiplicar términos. Finalmente, introduce el valor absoluto y sus propiedades.
Este documento habla sobre los diferentes tipos de cuantificadores lógicos. Explica que hay cuatro tipos principales: cuantificador universal, existencial, singular y nulo. Define cada uno y su simbología correspondiente. También describe los pasos para cuantificar una afirmación matemática y proporciona ejemplos de cómo aplicar los cuantificadores.
El documento explica los conceptos básicos del plano cartesiano, incluyendo el eje x y y, el origen de coordenadas, los cuadrantes, y cómo ubicar puntos usando pares ordenados. Muestra ejemplos de conjuntos de puntos y cómo representarlos en el plano cartesiano mediante productos cartesianos. También explica cómo identificar en qué cuadrante se encuentra un punto dado sus coordenadas.
El documento presenta conceptos básicos de conjuntos y funciones matemáticas. Introduce las nociones de pertenencia, conjunto vacío y subconjunto. Explica el producto cartesiano de dos conjuntos y provee ejemplos. Luego, define relación y función, y distingue entre ambos conceptos. Finalmente, describe cómo representar funciones gráficamente usando coordenadas cartesianas, incluyendo ejemplos de funciones lineales y constantes.
Conceptos asociados al conjunto de los números enterosBriggitte Parrales
Este documento presenta conceptos matemáticos relacionados con los números enteros. Explica las reglas de divisibilidad para números enteros y cómo descomponer números compuestos en factores primos. También define números primos, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, y propiedades de números pares e impares.
El documento explica los números enteros y el valor absoluto. Define los números enteros como los positivos, negativos y cero. El valor absoluto de un número es el número natural que resulta al eliminar el signo. Luego, describe las operaciones de suma, producto y cociente con números enteros, incluyendo la regla de los signos para multiplicar y dividir números enteros.
El documento describe diferentes tipos de conjuntos matemáticos, incluyendo conjuntos vacíos, unitarios, finitos e infinitos. Un conjunto vacío no tiene elementos, un conjunto unitario tiene un solo elemento, un conjunto finito tiene un número limitado de elementos, y un conjunto infinito tiene un número ilimitado de elementos. También describe el conjunto universal como un conjunto referencial que contiene todos los elementos de una situación particular.
El documento define los conceptos básicos de conjuntos, incluyendo que un conjunto es una colección de objetos distinguibles. Explica que existen conjuntos vacíos, unitarios, finitos e infinitos. También describe las formas de expresar un conjunto (extensión y comprensión) y las operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento.
Este documento presenta una introducción a los conjuntos. Define los conceptos básicos de conjunto, pertenencia, igualdad e inclusión de conjuntos. También introduce operaciones como la unión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos, y establece algunas de sus propiedades fundamentales. Finalmente, asume la existencia de un conjunto universo de referencia U.
El documento describe los conceptos y métodos fundamentales del razonamiento matemático deductivo, incluyendo el uso de lenguaje simbólico preciso, la deducción de nuevas proposiciones a partir de axiomas, definiciones, teoremas y lemas previamente establecidos, y el proceso de demostración para validar afirmaciones matemáticas.
Este documento describe diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones constantes, potencias, raíces enésimas e inversas. Explica que una función es una correspondencia entre un conjunto de números reales x y otro conjunto de números reales y, y que el dominio es el conjunto de valores de x que acepta la función. También proporciona ejemplos gráficos de cada tipo de función y describe sus dominios y simetrías.
Este documento define los conceptos básicos de conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos o entidades distinguibles. Los elementos de un conjunto pueden definirse explícitamente mediante listado o implícitamente mediante características. Describe las relaciones de pertenencia, igualdad, subconjuntos y operaciones básicas como unión e intersección. También introduce conceptos especiales como el conjunto vacío y conjunto universal.
Una ecuación lineal involucra sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia. Se puede representar como una recta en el plano cartesiano. Tiene la forma de un polinomio de primer grado donde las incógnitas no están elevadas a potencias ni multiplicadas entre sí.
Tema 4: Propiedades de los Números RealesPomales CeL
Este documento describe las propiedades fundamentales de los números reales. Explica las diferentes clases de números (naturales, enteros, racionales, irracionales) y cómo se relacionan para formar el conjunto de los números reales. Resume las propiedades clave de los números reales, incluyendo la clausura, elemento identidad, elemento inverso, asociatividad, conmutatividad y distributividad. Finalmente, proporciona ejercicios para practicar la aplicación de estas propiedades.
El documento describe las relaciones entre conjuntos, incluyendo parejas ordenadas, productos cartesianos, correspondencias y aplicaciones. Explica que un producto cartesiano consiste en todas las parejas ordenadas posibles entre los elementos de dos conjuntos. También define relaciones binarias, relaciones de equivalencia, clases de equivalencia, y relaciones de orden.
Este documento presenta conceptos básicos de matemáticas. Introduce los conceptos de conjuntos, elementos y pertenencia usando lenguaje simbólico y diagramas de Venn. Explica formas de determinar conjuntos como extensión y comprensión. Luego define operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
El documento presenta un libro de precálculo destinado a estudiantes de ciencias biológicas. Explica los temas cubiertos en cada capítulo, incluyendo conjuntos, aritmética elemental, álgebra, funciones polinomiales, funciones trascendentes y funciones trigonométricas. El objetivo es ilustrar los temas con ejemplos relevantes para las ciencias de la vida.
Este documento resume los conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos y explica la notación utilizada para representar conjuntos. Describe las relaciones entre conjuntos como la inclusión, igualdad, unión e intersección. También define conjuntos especiales como el conjunto vacío, conjunto unitario y conjunto finito.
Este documento describe diferentes conceptos relacionados con conjuntos, incluyendo la inclusión, notación, propiedades, conjuntos comparables, igualdad, conjuntos disjuntos y conjunto potencia. La inclusión se refiere a que todos los elementos de un conjunto A también pertenecen a otro conjunto B. Los conjuntos son comparables si uno está incluido en el otro. Dos conjuntos son iguales si comparten los mismos elementos. Conjuntos disjuntos no tienen elementos en común. El conjunto potencia contiene todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado.
El documento introduce los conceptos básicos de los conjuntos matemáticos. Explica que un conjunto es una agrupación de objetos llamados elementos, y que se representan usando llaves. Luego describe operaciones entre conjuntos como la unión, intersección y diferencia. Finalmente, cubre temas como subconjuntos, conjuntos finitos e infinitos, y diagramas para ilustrar relaciones entre conjuntos.
Este documento define los conceptos básicos de los conjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos o entidades distinguibles. Los elementos de un conjunto pueden definirse explícitamente mediante la lista de sus elementos o implícitamente mediante las características que comparten. También introduce conceptos como la pertenencia, subconjuntos, conjuntos vacíos y universales, operaciones entre conjuntos como la unión e intersección, y diagramas de Venn para representar relaciones entre conjuntos.
El documento define intervalos, desigualdades e inecuaciones. Explica que un intervalo es un conjunto de números reales comprendidos entre dos extremos, y clasifica intervalos en abiertos, cerrados y semiabiertos. Luego, define una desigualdad como una expresión algebraica relacionada por signos de comparación, y explica propiedades de desigualdades como sumar o multiplicar términos. Finalmente, introduce el valor absoluto y sus propiedades.
Este documento habla sobre los diferentes tipos de cuantificadores lógicos. Explica que hay cuatro tipos principales: cuantificador universal, existencial, singular y nulo. Define cada uno y su simbología correspondiente. También describe los pasos para cuantificar una afirmación matemática y proporciona ejemplos de cómo aplicar los cuantificadores.
El documento explica los conceptos básicos del plano cartesiano, incluyendo el eje x y y, el origen de coordenadas, los cuadrantes, y cómo ubicar puntos usando pares ordenados. Muestra ejemplos de conjuntos de puntos y cómo representarlos en el plano cartesiano mediante productos cartesianos. También explica cómo identificar en qué cuadrante se encuentra un punto dado sus coordenadas.
El documento presenta conceptos básicos de conjuntos y funciones matemáticas. Introduce las nociones de pertenencia, conjunto vacío y subconjunto. Explica el producto cartesiano de dos conjuntos y provee ejemplos. Luego, define relación y función, y distingue entre ambos conceptos. Finalmente, describe cómo representar funciones gráficamente usando coordenadas cartesianas, incluyendo ejemplos de funciones lineales y constantes.
Conceptos asociados al conjunto de los números enterosBriggitte Parrales
Este documento presenta conceptos matemáticos relacionados con los números enteros. Explica las reglas de divisibilidad para números enteros y cómo descomponer números compuestos en factores primos. También define números primos, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, y propiedades de números pares e impares.
El documento explica los números enteros y el valor absoluto. Define los números enteros como los positivos, negativos y cero. El valor absoluto de un número es el número natural que resulta al eliminar el signo. Luego, describe las operaciones de suma, producto y cociente con números enteros, incluyendo la regla de los signos para multiplicar y dividir números enteros.
El documento describe diferentes tipos de conjuntos matemáticos, incluyendo conjuntos vacíos, unitarios, finitos e infinitos. Un conjunto vacío no tiene elementos, un conjunto unitario tiene un solo elemento, un conjunto finito tiene un número limitado de elementos, y un conjunto infinito tiene un número ilimitado de elementos. También describe el conjunto universal como un conjunto referencial que contiene todos los elementos de una situación particular.
El documento define los conceptos básicos de conjuntos, incluyendo que un conjunto es una colección de objetos distinguibles. Explica que existen conjuntos vacíos, unitarios, finitos e infinitos. También describe las formas de expresar un conjunto (extensión y comprensión) y las operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento.
Este documento presenta una introducción a los conjuntos. Define los conceptos básicos de conjunto, pertenencia, igualdad e inclusión de conjuntos. También introduce operaciones como la unión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos, y establece algunas de sus propiedades fundamentales. Finalmente, asume la existencia de un conjunto universo de referencia U.
El documento describe los conceptos y métodos fundamentales del razonamiento matemático deductivo, incluyendo el uso de lenguaje simbólico preciso, la deducción de nuevas proposiciones a partir de axiomas, definiciones, teoremas y lemas previamente establecidos, y el proceso de demostración para validar afirmaciones matemáticas.
Este documento describe diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones constantes, potencias, raíces enésimas e inversas. Explica que una función es una correspondencia entre un conjunto de números reales x y otro conjunto de números reales y, y que el dominio es el conjunto de valores de x que acepta la función. También proporciona ejemplos gráficos de cada tipo de función y describe sus dominios y simetrías.
Este documento define los conceptos básicos de conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos o entidades distinguibles. Los elementos de un conjunto pueden definirse explícitamente mediante listado o implícitamente mediante características. Describe las relaciones de pertenencia, igualdad, subconjuntos y operaciones básicas como unión e intersección. También introduce conceptos especiales como el conjunto vacío y conjunto universal.
Una ecuación lineal involucra sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia. Se puede representar como una recta en el plano cartesiano. Tiene la forma de un polinomio de primer grado donde las incógnitas no están elevadas a potencias ni multiplicadas entre sí.
Tema 4: Propiedades de los Números RealesPomales CeL
Este documento describe las propiedades fundamentales de los números reales. Explica las diferentes clases de números (naturales, enteros, racionales, irracionales) y cómo se relacionan para formar el conjunto de los números reales. Resume las propiedades clave de los números reales, incluyendo la clausura, elemento identidad, elemento inverso, asociatividad, conmutatividad y distributividad. Finalmente, proporciona ejercicios para practicar la aplicación de estas propiedades.
El documento describe las relaciones entre conjuntos, incluyendo parejas ordenadas, productos cartesianos, correspondencias y aplicaciones. Explica que un producto cartesiano consiste en todas las parejas ordenadas posibles entre los elementos de dos conjuntos. También define relaciones binarias, relaciones de equivalencia, clases de equivalencia, y relaciones de orden.
Este documento presenta conceptos básicos de matemáticas. Introduce los conceptos de conjuntos, elementos y pertenencia usando lenguaje simbólico y diagramas de Venn. Explica formas de determinar conjuntos como extensión y comprensión. Luego define operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
El documento presenta un libro de precálculo destinado a estudiantes de ciencias biológicas. Explica los temas cubiertos en cada capítulo, incluyendo conjuntos, aritmética elemental, álgebra, funciones polinomiales, funciones trascendentes y funciones trigonométricas. El objetivo es ilustrar los temas con ejemplos relevantes para las ciencias de la vida.
Este documento presenta un libro de texto sobre precálculo destinado a estudiantes de ciencias biológicas. Explica conceptos básicos de conjuntos y números reales, álgebra elemental, funciones polinomiales, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, con ejemplos relevantes para las ciencias de la vida. El libro fue escrito por profesores de matemáticas de la UAM-IZTAPALAPA para cubrir el material necesario para los estudiantes de biociencias de su institución de una manera
Este documento presenta notas sobre álgebra abstracta de Lucio Elias Flores Bustinza. Las notas se originan de una práctica profesional realizada del 20 de marzo al 17 de julio de 2008 en la asignatura de álgebra abstracta. El documento contiene dos capítulos, el primero sobre el conjunto de números reales y el segundo sobre grupos. El objetivo es servir como referencia para futuras prácticas profesionales sobre álgebra abstracta.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos. Introduce definiciones como conjunto, elemento de un conjunto, conjunto vacío y operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica las relaciones de igualdad, contención e inclusión entre conjuntos y cómo representar conjuntos y sus relaciones mediante diagramas de Venn.
El documento describe los diferentes conjuntos de números y sus propiedades. Introduce el conjunto de los números naturales N y el conjunto de los números enteros Z. Explica que el conjunto de los números racionales Q incluye fracciones a/b donde a y b son números enteros y b ≠ 0. También define números irracionales y explica cómo obtener expansiones decimales finitas e infinitas para números racionales.
Este documento presenta una guía teórico-práctica sobre matemáticas básicas para estudiantes de nuevo ingreso de la Universidad Central de Venezuela. Explica conceptos fundamentales como conjuntos numéricos, operaciones con números reales, ecuaciones de primer y segundo grado, polinomios, funciones trigonométricas y resolución de triángulos rectángulos.
Este documento presenta los conceptos básicos de los conjuntos en matemáticas. Define qué es un conjunto y explica que un conjunto está compuesto por elementos o miembros. Describe dos formas de definir un conjunto, por extensión o enumeración y por comprensión. Explica la notación y símbolos utilizados para representar conjuntos y las operaciones entre ellos como unión, intersección y diferencia. Finalmente, muestra ejemplos de diagramas de Venn y diferentes tipos de conjuntos.
Este documento define conceptos básicos de teoría de conjuntos como qué es un conjunto, elementos de un conjunto, representación de conjuntos, diagramas de Venn y ejemplos de operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica que un conjunto es una colección de objetos bien definidos y que pueden representarse de forma extensiva o comprensiva. También describe símbolos y notación para representar conjuntos y realizar operaciones entre ellos.
Este documento define conceptos básicos de teoría de conjuntos como qué es un conjunto, elementos de un conjunto, representación de conjuntos, diagramas de Venn y ejemplos de operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica que un conjunto es una colección de objetos bien definidos y que pueden representarse de forma extensiva o comprensiva. También describe símbolos y notación para representar conjuntos y realizar operaciones entre ellos.
Este documento presenta una introducción al concepto de conjunto en matemáticas. Define qué es un conjunto y explica que un conjunto está compuesto por elementos que comparten alguna característica común. Describe dos formas de definir un conjunto, ya sea mediante la enumeración de sus elementos o a través de una descripción. Incluye ejemplos de representación de conjuntos y operaciones entre ellos como unión, intersección y diferencia. Finalmente, presenta diagramas de Venn para representar conjuntos gráficamente.
Este documento define conceptos básicos de teoría de conjuntos como qué es un conjunto, elementos de un conjunto, representación de conjuntos, diagramas de Venn y ejemplos de operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica que un conjunto es una colección de objetos bien definidos y que pueden representarse de forma extensiva o comprensiva. También describe símbolos y notación para representar conjuntos y realizar operaciones entre ellos.
Este documento presenta una introducción a los conjuntos numéricos y espacios vectoriales. Explica los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales, y cómo su unión forma el conjunto de los números reales. También define conceptos como vector, operaciones con vectores, norma de un vector, y demuestra que Rn define un espacio vectorial.
El documento trata sobre funciones y relaciones matemáticas. Explica conceptos clave como función, dominio, recorrido, funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. También define funciones especiales como la constante, identidad y lineal. El objetivo es analizar las relaciones que se establecen entre conjuntos de datos y generar información a partir de ellas.
Este documento describe un proyecto para desarrollar una herramienta que resuelva problemas comunes en matemáticas discretas de manera eficiente. Estos incluyen el cálculo de factoriales, operaciones con conjuntos, combinaciones y permutaciones, mínimo común múltiplo y máximo común divisor, e interpretación de reglas de sucesiones. La herramienta tendrá una interfaz gráfica que permita ingresar datos y mostrar resultados de manera intuitiva.
Este documento presenta una introducción al álgebra lineal. En el capítulo 1 se define la noción de matriz y se estudian sus propiedades algebraicas. Se analizan también los sistemas de ecuaciones lineales y las operaciones elementales sobre matrices. Los capítulos siguientes tratan conceptos como determinantes, espacios vectoriales, transformaciones lineales, autovalores y autovectores. El objetivo general es iniciar al estudiante en los fundamentos del álgebra lineal.
Conjuntos y estructuras_alvaropinzonescamilla-130914155551guido guzman perez
Este documento es un libro de texto sobre teoría de conjuntos y estructuras matemáticas. Presenta conceptos básicos de lógica, conjuntos, relaciones, funciones, álgebra booleana y estructuras algebraicas como grupos, anillos y cuerpos. Incluye definiciones, teoremas, problemas resueltos y ejercicios propuestos para cada capítulo. El prólogo describe el objetivo y alcance del libro para estudiantes universitarios y personas interesadas en las matemáticas.
Este documento presenta los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica que los números naturales son un subconjunto de los enteros, y que los enteros son a su vez un subconjunto de los racionales. Define fracciones y explica cómo representar números racionales como fracciones y mediante expansiones decimales periódicas o finitas.
Este documento trata sobre los números reales. Explica que los números reales incluyen números racionales como los naturales, enteros y fraccionarios, así como números irracionales como los algebraicas y trascendentes. También presenta ejemplos y ejercicios sobre operaciones con diferentes tipos de números reales.
El documento define los conceptos de conjunto, operaciones con conjuntos como unión, intersección y diferencia, y también explica el valor absoluto y cómo resolver desigualdades de valor absoluto. Los conjuntos son colecciones de elementos que comparten propiedades, y se pueden realizar operaciones entre ellos. El valor absoluto representa la distancia de un número a cero en la recta numérica, y las desigualdades de valor absoluto requieren considerar dos casos al resolverlas.
Este documento trata sobre polinomios. Define polinomios y clasifica sus diferentes tipos. Explica cómo reducir términos semejantes y realizar operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de polinomios.
El documento presenta varios ejercicios de álgebra resueltos en 3 pasos o menos: 1) Despejar la variable x de la ecuación dada, 2) Sustituir el valor de x encontrado en la ecuación original, 3) Verificar que se cumple la igualdad original. Se muestran 5 ejemplos resueltos siguiendo estos pasos para despejar x de ecuaciones como x-3=-8, 4-x=-1, y 5-(−x)=4.
Bases Legales Vinculadas a la Protección Civil y Administración de DesastresHoly Gungner
Bases Legales Vinculadas a la Protección Civil y Administración de Desastres, Marco legal por el cual se rige la Organización de Protección Civil y Administración de Desastres
breve cursillo de Latex, con el editor Lyx, de fácil instalación y creación de archivos tex, yo personalmente uso Latexila. Recomiendo este documento para principiantes.
Este documento presenta apuntes sobre física para las unidades I y II. La unidad I cubre conceptos básicos de vectores como magnitudes escalares y vectoriales, definiciones elementales de vectores, propiedades de vectores, componentes de vectores, vectores unitarios, producto escalar y vectorial. La unidad II trata sobre cinemática y presenta fórmulas para desplazamiento, velocidad, aceleración y rapidez.
Este documento habla sobre la burundanga, una droga que se usa para dopar a las víctimas y cometer delitos. Explica lo que es, sus efectos, cómo actúa químicamente y los síntomas que produce. También advierte sobre los peligros de aceptar comida, bebida o cremas de extraños, para evitar ser dopado con esta droga.
Es en el Paleozoico cuando comienza a aparecer la vida más antigua. En Venezuela, el Paleozoico puede considerarse concentrado en tres regiones positivas distintas:
Región Norte del Escudo Guayanés.
Cordillera de los Andes venezolanos.
Sierra de Perijá.
¿Qué es?
El VIH es un virus que ataca el sistema inmunitario del cuerpo humano, debilitándolo y dejándolo vulnerable a otras infecciones y enfermedades.
Se transmite a través de fluidos corporales como sangre, semen, secreciones vaginales y leche materna.
A medida que avanza, el VIH puede desarrollarse en SIDA, una etapa avanzada de la infección donde el sistema inmunitario está severamente comprometido.
Estadísticas
Más de 38 millones de personas viven con VIH en todo el mundo, según datos de la ONU.
Las tasas de infección varían según la región y el grupo demográfico, con una prevalencia más alta en África subsahariana.
Modos de Transmisión
El VIH se transmite principalmente a través de relaciones sexuales sin protección, compartir agujas contaminadas y de madre a hijo durante el parto o la lactancia.
No se transmite por contacto casual como estrechar la mano o compartir utensilios.
Prevención y Tratamiento
La prevención incluye el uso de preservativos durante las relaciones sexuales, evitar compartir agujas y acceder a la profilaxis preexposición (PrEP) para aquellos con mayor riesgo.
El tratamiento del VIH implica el uso de terapia antirretroviral (TAR), que ayuda a controlar la replicación viral y permite que las personas con VIH vivan vidas más largas y saludables
Presentación con todo tipo de contenido sobre el hábitat del desierto cálido. Perfecto para exposiciones escolares. La presentación contiene las características del desierto cálido así como geográficamente donde se encuentra al rededor del mundo. Además contiene información sobre la fauna y flora y sus adaptaciones al medio ambiente en este caso, el desierto cálido. Por último contiene curiosidades y datos importantes sobre el desierto cálido.
Una unidad de medida es una cantidad de una determinada magnitud física, definida y adoptada por convención o por ley. Cualquier valor de una cantidad física puede expresarse como un múltiplo de la unidad de medida. Para entender mejor las mismas, hay que saber como se pueden convertir en otras unidades de medida.
Cardiopatias cianogenas con hipoflujo pulmonar.pptxELVISGLEN
Las cardiopatías congénitas acianóticas incluyen problemas cardíacos que se desarrollan antes o al momento de nacer pero que normalmente no interfieren en la cantidad de oxígeno o de sangre que llega a los tejidos corporales.
Reacciones Químicas en el cuerpo humano.pptxPamelaKim10
Este documento analiza las diversas reacciones químicas que ocurren dentro del cuerpo humano, las cuales son esenciales para mantener la vida y la salud.
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Durante este trabajo de la doctora Mar junto con la coordinadora Hidalgo, se presenta un didáctico documento en donde repasaremos la definición de este misterio de la biología y medicina. Proteinas que al tener una estructura incorrecta, pueden esparcir esta estructura no adecuada, generando huecos en el cerebro, de esta manera creando el tejido espongiforme.
Esta presentación nos informa sobre los pólipos nasales, estos son crecimientos benignos en el revestimiento de los senos paranasales o fosas nasales, causados por inflamación crónica debido a alergias, infecciones o asma.
4. Matem´aticas P´agina 4 de 32
Teor´ıa de conjuntos
Es una rama de la matem´aticas que estudia la propiedades y relaciones de
los conjuntos; colecciones abstractas de objetos consideradas como objetos en
s´ı mismo. Los conjuntos y sus operaciones m´as elementales son una herramien-
ta b´asica en la formulaci´on de cualquier teor´ıa matem´atica.
La palabra conjunto denota una colecci´on de elementos claramente entre s´ı que
guardan alguna caracter´ıstica en com ´un ya sean n ´umeros, personas, figuras,
ideas y conceptos.
La importancia de la teor´ıa de conjuntos radica en que a partir de ella se pue-
de reconstruir toda la matem´atica por ejemplo: La teor´ıa de conjuntos se puede
definir los siguientes conceptos y probar todas sus propiedades, par ordena-
do, relaci´on, funci´on, partici´on, orden, estructuras algebraicas, el conjunto de
los n ´umeros naturales N, los n ´umeros racionales Q, los n ´umeros reales R, los
n ´umeros enteros Z, los n ´umeros complejos C.
Definici´on de conjunto
Una colecci´on o agrupaci´on de objetos o elementos que responden a una mis-
ma categor´ıa o grupo. Haciendo un an´alisis de los miembros que lo conforman,
pueden existir los siguientes tipos:
Tipos de conjuntos
Seg ´un los miembros que los conforman, pueden existir los siguientes tipos:
Conjunto finito
En este conjunto los elementos o miembros que lo conforman pueden ser enume-
rados o contados. Por ejemplo: El agrupamiento de todas las letras del abecedario
conformar´ıa un conjunto de esta clase.
Conjunto infinito
En estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser enumerados
ni contados, un ejemplo de conjunto infinito, ser´ıa todos los granos de arena del
planeta.
Conjunto unitario
Estos conjuntos est´an conformados por un s´olo miembro o elemento. Ejemplo la
Letra A.
Iosu Landa Marcano. 16 de abril de 2018 LATEX
5. Matem´aticas P´agina 5 de 32
Conjunto vac´ıo
Estos conjuntos carecen de elementos o bien, estos son inexistentes, por ejemplo:
Un unicornio, en caso de elementos inexistente.
Conjunto referencial
A este conjunto se le conoce tambi´en, como Conjunto Universal y se caracteriza,
por estar conformado por los miembros de todos los elementos que forman parte
de la caracterizaci´on.
Conjunto disyuntivo
Estos conjuntos no poseen ning ´un elemento que coincida. Esto tambi´en se pue-
de expresar diciendo que la intersecci´on entre los conjuntos disyuntivos es el
Conjunto vac´ıo
Conjunto equivalentes
Son aquellos conjuntos que poseen el mismo n ´umero cardinal, lo que signi-
fica que contienen la misma cantidad de elementos.Por ejemplo el conjunto
A = {1, 2, 3, 4, } y B = {a, b, c, d} por tanto A y B son equivalentes.
Conjunto iguales
Esto se da cuando dos o m´as conjuntos contienen iguales elementos. ejemplo:
A = {2, 4, 6, 8, } y B = {8, 6, 4, 2} ambos conjuntos son iguales porque poseen los
mismos elementos, sin importar su orden.
Conjunto congruentes
Aqu´ı pertenecen aquellos conjuntos num´ericos cuyos respectivos miembros se
corresponden uno a uno de modo que la distancia entre ellos se conserve, por
ejemplo: el conjunto A = {2, 4, 6, 8, 10} mientras que B = {7, 9, 11, 13, 15} de esta
manera 10 y 15, 8 y 13 6 y 11, 4 y 9, 2 y 7 mantienen entre s´ı una distancias de 5.
Conjunto no congruentes
Estos conjuntos, en cambio no se establece correspondencia alguna entre sus
miembros, por lo que, la distancia entre los elementos es inconstante. Por ejem-
plo el conjunto A = {2, 4, 6, 8, 10} mientras que B = {4, 5, 6, 7, 8}
Conjunto no homog´eneos
En estos conjuntos los elementos o miembros que lo componen responden al
mismo genero o tipo. Por ejemplo: el conjunto A = {1, 5, 3, 7, 6, 8} aqu´ı todos los
sus elementos son n ´umeros por lo tanto conforma un conjunto no homog´eneo.
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6. Matem´aticas P´agina 6 de 32
Conjunto no heterog´eneo
Estos conjuntos est´an compuestos por elementos que corresponden a distintos
tipos, g´eneros o clases, por ejemplo: A = {1, 5,perro,azul}
Definici´on de Funci´on
Una funci´on es una relaci´on que cumple con los siguientes las siguientes condi-
ciones:
Todos los elementos del conjunto de partida tienen im´agenes en el conjunto
de llegada.
Cada elemento del conjunto de partida tiene una imagen en el conjunto de
llegada.
§
Las Funciones se denotan con letras min ´usculas f, g, h o letras may ´usculas; F,
G, H
Ejemplo:
F : A −→ B F : A en B
F : G −→ H F : G en H
Imagen de una Funci´on
Si X es un elemento de un conjunto A y el est´a relacionado a trav´es de F con un
elemento de B se dice que Y es la imagen de de X a trav´es de la funci´on F.
Dado el conjunto A = {a, b, c} y el conjunto B = {1, 2, 3} en el diagrama sagital
hallar la imagen
Ejemplo
a
b
c
A
1
2
3
B
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7. Matem´aticas P´agina 7 de 32
Im´agenes:
a −→ 1
b −→ 2
c −→ 3
Pares:
{(a,1) (b,2) (c,3)}
Dominio y Rango de una Funci´on
En una funci´on f : a −→ b es necesario hacer una distinci´on entre el conjunto A
llamado conjunto “conjunto de partida”y el conjunto B llamado conjunto “con-
junto de llegada”.
Dados Al conjunto de partida A se le llama Dominio de una funci´on.
Ejemplo: A = {a, b, c} y al conjunto de los elementos del conjunto de llegada B que
son las im´agenes de alg ´un elemento del dominio de la funci´on se le denomina
rango de una funci´on.
Dados los conjuntos A y B A = {a, b, c, d} y el conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5}. Se define
una relaci´on F : A −→ B dada por el siguiente diagrama. Hallar DomF; RangF,
imagenes y pares.
Ejemplo
a
b
c
d
A
5
1
2
3
4
B a.- DomF : {a, b, c, d}
b.- RangF : {1, 2, 3, 4}
Im´agenes:
a −→ 1
b −→ 2
c −→ 3
d −→ 4
Pares:
{(a, 1)(b, 2)(c, 3)(d, 4)}
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8. Matem´aticas P´agina 8 de 32
Ejercicios
Dados los siguientes diagramas sagitales definir si son funciones o no
1
2
3
A
1
2
4
9
B
a
b
c
A
1
2
4
B
a
b
c
A
1
2
3
4
B
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9. Matem´aticas P´agina 9 de 32
Soluci´on:
1
2
3
A
1
2
4
9
B
S´ı porque todos lo elementos del conjunto A est´an relacionados con un elemento
del conjunto B.
a
b
c
A
1
2
4
B
S´ı porque todos lo elementos del conjunto A est´an relacionados con un elemento
del conjunto B.
a
b
c
A
1
2
3
4
B
No porque el elemento a est´a relacionado con dos elementos del conjunto B.
Dado el conjunto P = {2, −2, 3, −3} y el conjunto T = {3, 8} y la funci´on estableci-
da F : A −→ T, definida F(a) = a2
− 1,
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10. Matem´aticas P´agina 10 de 32
Hallar:
a) F(−2); F(2); F(3); F(−3)
b) Hallar Domf y Rang
c) Representar la funci´on mediante pares.
d) Representar la funci´on en forma sagital.
Respuesta:
a)
F(a) = a2
− 1
F(2) = 22
− 1 = 4 − 1 = 3
F(2) = −22
− 1 = 4 − 1 = 3
F(3) = 32
− 1 = 9 − 1 = 8
F(2) = −32
− 1 = 9 − 1 = 8
b) DomF y RangF
DomF{2, −2, 3, −3}
RangF{3, 8}
c) Representaci´on por pares
{(2, 3); (−2, 3); (3, 8); (−3, 8)}
d) Representaci´on Diagrama Sagital
2
−2
3
−3
A
3
8
B
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11. Matem´aticas P´agina 11 de 32
Justifique su respuesta:
Si F(x) = x2
+ 2x, entonces la diferencia F(−2) − F(3) es igual a:
a) 0
b) 3
c) −3
d) N.A
F(−2) = 22
+ 2(−2) = 0
F(−3) = −32
+ 2(−3) = 3
Si g(x) =
1 − x
1 + x
y entonces g(−2) es:
a) −
1
3
b) −3
c) 2
d) N.A
g(−2) =
1 − (−2)
1 + (−2)
=
1 + 2
1 − 2
=
3
−1
= −3
Dado el conjunto A = {1, −1, 2, 3} y la funci´on F(x) = x2
− 2x el conjunto de
im´agenes de F es:
a) {−1, 3, 0, 8}
b) {−1, −3, 0, 8}
c) {1, −3, 0, 8}
d) {−1, −3, 3, 8}
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12. Matem´aticas P´agina 12 de 32
Funci´on inyectiva
Una funci´on es inyectiva si al seleccionar dos elementos cualesquiera del domi-
nio, notamos que sus im´agenes son diferentes.
1
2
3
4
A
a
b
c
d
e
B
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13. Matem´aticas P´agina 13 de 32
Funcion sobreyectiva
Una funci´on es sobreyectiva si el conjunto de llegada coincide con el rango.
Ejemplo:
1
2
3
4
5
A
a
e
i
o
B
1
2
3
C
a
D
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14. Matem´aticas P´agina 14 de 32
Funcion Biyectiva
Una funci´on es es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva simult´aneamente.
m
n
s
A
1
2
3
B
N´umeros Racionales
N ´umero racional es todo n ´umero que puede representarse como el cociente de
dos n ´umeros enteros o, m´as precisamente, un entero y un natural positivo;1 es
decir, una fracci´on com ´un a/b con numerador a y denominador b distinto de ce-
ro. El t´ermino “racional” alude a una fracci´on o parte de un todo. El conjunto de
los n ´umeros racionales se denota por Q, “cociente” (Quotient en varios idiomas
europeos).
Este conjunto de n ´umeros incluye a los n ´umeros enteros (Z), y es un subcon-
junto de los n ´umeros reales (R).
Operaciones con N´umeros Racionales
Suma
Se define la suma o adici´on de dos n ´umeros racionales a la operaci´on que a todo
par de n ´umeros racionales le hace corresponder su suma.
a
b
+ c
d
= ad
bd
+ bc
bd
= ad+bc
bd
Resta
La operaci´on que a todo par de n ´umeros racionales le hace corresponder su dife-
rencia se llama resta o diferencia y se la considera operaci´on inversa de la suma.
c
d
− a
b
= c
d
+ (−a
b
)
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15. Matem´aticas P´agina 15 de 32
Multiplicaci´on
La multiplicaci´on o producto de dos n ´umeros racionales:
a
b
×
c
d
=
a × c
b × d
.
Divisi´on
Se define la divisi´on o cociente de dos racionales r entre s distinto de 0, al pro-
ducto r × s−1
.En otra notaci´on.
a
b
÷
c
d
=
a
b
×
d
c
.
Rectas
Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman entre s´ı un ´angulo de
90◦
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
0
90º 90º
90º 90º
Sistemas de coordenada rectangulares o cartesianas:
Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (sistema cartesiano)
son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios eucl´ıdeos, para la
representaci´on gr´afica de una relaci´on matem´atica (funciones matem´aticas y
ecuaciones de geometr´ıa anal´ıtica), o del movimiento o posici´on en f´ısica, ca-
racterizadas por tener como referencia ejes ortogonales entre s´ı que concurren
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16. Matem´aticas P´agina 16 de 32
en el punto origen. En las coordenadas cartesianas se determinan las coorde-
nadas al origen como la longitud de cada una de las proyecciones ortogonales
de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominaci´on de “cartesiano”
se introdujo en honor de Ren´e Descartes, quien las utiliz´o por primera vez de
manera formal.
El sistema en s´ı es un sistema bidimensional, que se denomina plano carte-
siano. El punto de intersecci´on de las rectas, por definici´on, considera como el
punto cero de las rectas y se conoce como origen de coordenadas. Al eje hori-
zontal o de las abscisas se le asigna los n ´umeros reales de las equis (“x”); y al
eje vertical o de las ordenadas se le asignan los n ´umeros reales de las yes (“y”).
Al cortarse las dos rectas, dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se
conocen con el nombre de cuadrantes:
Primer cuadrante “I”: Regi´on superior derecha
Segundo cuadrante “II”: Regi´on superior izquierda
Tercer cuadrante “III”: Regi´on inferior izquierda
Cuarto cuadrante “IV”: Regi´on inferior derecha
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
0
II Cuadrante I Cuadrante
IV CuadranteIII Cuadrante
(-x,y) (x,y)
(-x,-y) (x,-y)
El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicaci´on a cualquier punto en
el plano. En la gr´afica se indica el punto +2 en las abscisas y +3 en las ordena-
das. El conjunto (2 , 3) se denomina “par ordenado” y del mismo modo se pueden
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17. Matem´aticas P´agina 17 de 32
ubicar otros puntos.
Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema carte-
siano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (l´ınea recta), respecto
a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre
s´ı (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas.
En el plano, las coordenadas cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La
abscisa es la coordenada horizontal y se representa habitualmente por la letra x,
mientras que la ordenada es la coordenada vertical y se representa por la y.
1. Graficar los siguientes puntos en un sistema de ejes de coordenadas rectan-
gulares.
−12 −10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
−12
−10
−8
−6
−4
−2
2
4
6
0
A
B
C
D
EF
G
H
2. Dibujar un Tri´angulo cuyos v´ertices cuyos vertices est´an constituidos por los
puntos:
Iosu Landa Marcano. 16 de abril de 2018 LATEX
18. Matem´aticas P´agina 18 de 32
a) (−3, −2)
b) (1, 4)
c) (−5, 0)
−8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 12
−4
−2
2
4
6
8
10
0
a
b
c
3. Dibujar un cuadrilatero cuyos v´ertices son los puntos P(1, 3); Q(−1, 2); R(0, 5);
S(1, 3)
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19. Matem´aticas P´agina 19 de 32
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
0
P
Q
R
S
B
Funci´on afin
Una funci´on af´ın es una funci´on de variable real definida por: y = f(x) = mx + b
Donde m y b son n ´umeros reales. La representaci´on de una funci´on af´ın es una
l´ınea recta de pendiente m que pasa por el punto (0, b). Si m > 0, la funci´on es
creciente; si m < 0, la funci´on es decreciente.
Definici´on
1. Graficar la funci´on F(x) = y = 3x2
Para X = −1; X = 0; X = 1; X = 2
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20. Matem´aticas P´agina 20 de 32
−6 −4 −2 2 4 6
−10
−8
−6
−4
−2
2
4
0
Puntos: (−1, −5), (0, −2), (1, 1), (2, 4)
2. Graficar la funci´on F(x) = y = −x + 2
Para X = −1; X = −2; X = 0; X = 1
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21. Matem´aticas P´agina 21 de 32
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
0
Definici´on de Polinomios
Definici´on Algebraica
Los polinomios est´an constituidos por un conjunto finito de variables (no deter-
minadas o desconocidas) y constantes (llamadas coeficientes), con las operacio-
nes aritm´eticas de suma, resta y multiplicaci´on, as´ı como tambi´en exponentes
enteros positivos. Pueden ser de una o de varias variables.
Clasificaci´on de la expresiones algebraicas
Monomio: Es una expresi´on algebraica que consta de un solo t´ermino como
3a, −5b,
x2
4a3
Polinomio: Es una expresi´on algebraica que consta de m´as de un t´ermino,
como: 2x3
+ 3x + 2
Un polinomio es entero cuando ninguno de sus t´erminos tiene denominador li-
teral como x2
+ 5x = 6
x2
2
−
x
3
+
1
5
.
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22. Matem´aticas P´agina 22 de 32
Es fraccionario cuando alguno de sus t´erminos tiene letras en el denominador
a2
b
+
b
c
− 8.
Es racional cuando no contiene radicales como en los ejemplos anteriores.
,
Un polinomio es irracional cuando contienen radical como
√
a +
√
b +
√
abc.
Es homog´eneo cuando sus t´erminos son del mismo grado absoluto, como 4a3
+
5a2
b+6ab2
+b3
y heterog´eneos cuando sus t´erminos no son del mismo grado como
x3
+ x2
+ x − 6.
Polinomio completo con relaci´on a una letra es el que contiene todos los compo-
nente sucesivos de dicha letra, desde el m´as alto al m´as bajo que tenga dicha
letra en el polinomio. As´ı el polinomio x5
+ x4
+ x3
+ x2
+ 3x es completo respecto
de la x, porque contiene todos los elementos sucesivos de la x desde el m´as alto
5, hasta el m´as bajo 1, osea, 5, 4, 3, 2, 1; el polinomio a4
− a2
b + a2
b2
− ab3
+ b4
es
completo respecto de a y b.
Polinomio ordenado con respecto a una letra es un polinomio en el cual los
exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz van aumentando o
disminuyendo.
As´ı, el polinomio x4
− 4x3
+ 2x2
− 5x + 8 est´a ordenado en orden descendente con
relaci´on a la letra ordenatriz x; el polinomio a5
− 2a4
b + 6a3
b2
− 5a2
b3
+ 3ab4
− b5
est´a ordenado en orden descendente respecto a la letra ordenatriz a y en orden
ascendente respecto a la letra ordenatriz b.
Reducci´on de t´erminos semejantes
a) Reducci´on de dos o m´as t´erminos semejantes del mismo signo.
b) Reducci´on de dos t´erminos semejantes de distinto signo.
c) Reducci´on de m´as de dos t´erminos semejantes de signos distintos.
a) Reducci´on de dos o m´as t´erminos semejantes del mismo signo
Regla
Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que
tienen todos y a continuaci´on se escribe la parte literal.
Ejemplo:
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23. Matem´aticas P´agina 23 de 32
P = x + 2x
El signo com ´un a todos los t´erminos es el +. Los coeficientes de los t´erminos son
1 y 2.
La parte literal igual en todos los t´erminos es x
Por lo tanto: 1 + 2 = 3; −→ x + 2x = 3x
b) Reducci´on de dos t´erminos semejantes de distinto signo
Regla
Se restan lo coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor
y a continuaci´on se escribe la parte literal.
Nota: dos t´erminos semejantes con igual coeficiente y distinto signo se anulan.
Ejemplo 1:
P = 8a − 6a
La parte literal igual en todos los t´erminos es a
Los coeficientes de los terminos son 8 y 6
El mayor coeficiente en valor absoluto tiene signo +
8 − 6 = 2
Por lo tanto: 8a − 6a = 2a
Ejemplo 2:
P = 2a − 2a
2a − 2a = 0
dos t´erminos semejantes con igual coeficiente y signo distinto se anulan
c) Reducci´on de m´as de dos t´erminos semejantes de signos distintos
Regla
Se reducen a un s´olo t´ermino todos los positivos, se reducen a un solo termino
todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso
anterior.
Iosu Landa Marcano. 16 de abril de 2018 LATEX
24. Matem´aticas P´agina 24 de 32
P = 9a − 3 + 5a
9a + 5a = 14a reducci´on de los t´erminos positivos.
−3a: t´ermino negativo.
La parte literal igual en los dos t´erminos es a.
Los coeficientes de los t´erminos son 14 y 3.
El mayor coeficiente en valor absoluto tiene signo +.
14 − 3 = 11
14a − 3a = 11a −→ 9a − 3a + 5a = 11a
Polinomios de una variable
Para a0, · · · , an constantes en alg ´un anillo A (en particular podemos tomar un
cuerpo, como R o C, en cuyo caso los coeficientes del polinomio ser´an n ´umeros)
con an distinto de cero y n ∈ N, entonces un polinomio P de grado n en la variable
x es un objeto de la forma:
anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x1
+ a0x0
Un polinomio P(x) ∈ K[x] no es m´as que una sucesi´on matem´atica finita {an}n
tal que an ∈ K
Presentado como:
P(x) = a0 + a1x + a2x2
+ ... + anxn
El polinomio se puede escribir m´as concisamente usando sumatoria como:
P(x) =
n
i=0
aixi
.
Las constantes a0, · · · , an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama
el coeficiente constante (o t´ermino independiente) y a an, el coeficiente prin-
cipal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama m´onico o
normalizado.
Ejemplo:
P(x) = 2x5
+ 3x + 1
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25. Matem´aticas P´agina 25 de 32
Grado de un polinomio
Definici´on
Se define el grado de un monomio como el exponente de su variable. El grado de
un polinomio es el del monomio de mayor grado.
Ejemplos:
P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del t´ermino inde-
pendiente).
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3x2
+ 2x, polinomio de grado dos.
P(x) = 2x3
+ 3x + 2, polinomio de grado tres.
P(x) = 4x4
+ 4x + 2, polinomio de grado cuatro.
P(x) = 2x5
+ 3x + 1, polinomio de grado cinco.
Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como −∞.
En particular los n ´umeros son polinomios de grado cero.
Operaciones con Polinomios
Dados los polinomios P(x), Q(x), R(x) de la forma general:
P(x) = a0 + a1x + a2x2
+ a3x3
+ · · · + anxn
O mediante la sumatoria de los t´erminos:
P(x) =
n
i=0
aixi
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26. Matem´aticas P´agina 26 de 32
Definici´on
Podemos definir como operaciones con polinomios las operaciones aritm´eticas o
algebraicas, que partiendo de uno o m´as de esos polinomios nos da unos valores
u otro polinomio, seg ´un la operaci´on de que se trate.
Adici´on o suma de polinomios
La suma de polinomios es una operaci´on en la que partiendo de dos polinomios
P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores,
R(x) tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de
los monomios de P(x) y Q(x) del mismo grado.
Dados los dos polinomios P(x)yQ(x):
P(x) =
n
i=0
aixi
El polinomio suma R(x), ser´a:
R(x) = P(x) + Q(x)
Que es lo mismo que:
R(x) =
n
i=0
aixi
+
n
i=0
bixi
Sacando factor com ´un a las potencias de x en cada monomio:
R(x) =
n
i=0
(ai + bi)xi
Ejemplo:
3x6
−2x5
+8x4
+8x3
−3x2
+7x +1
+ +4x5
+x4
+9x3
−12x2
+6x −5
3x6
+2x5
+9x4
+17x3
−15x2
+13x −4
Resta de polinomios
Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno
de los t´erminos del sustraendo, as´ı que a continuaci´on del minuendo escribire-
mos el sustraendo cambi´andole el signo a todos sus t´erminos.
Iosu Landa Marcano. 16 de abril de 2018 LATEX
27. Matem´aticas P´agina 27 de 32
Tomemos el siguiente ejemplo:
P(x) − Q(x) = (4x3
+ 2x − 5) − (3x3
− 4x2
+ 5x)
Seg ´un lo explicado anteriormente, tenemos que modificar los signos del sus-
traendo para realizar la operaci´on: 4x3
+ 2x − 5 − 3x3
+ 4x2
− 5x. Como se puede
advertir, los signos del minuendo no cambian (4x3
+ 2x − 5).
Hecho esto, debemos agrupar y simplificar los monomios: 4x3
−3x3
+4x2
+2x−5x−5
.
Finalmente completamos la operaci´on de acuerdo a los monomios que quedaron:
x3
+ 4x2
− 3x − 5.
El resultado de la resta de polinomios (4x3
+ 2x − 5) − (3x3
− 4x2
+ 5x) es, en defi-
nitiva, x3
+ 4x2
− 3x − 5.
Otra forma de restar polinomios consiste en escribir el opuesto de cada uno de-
bajo del otro. As´ı, los monomios semejantes quedar´an encolumnados y podemos
proceder a sumarlos.
4x3
+0x2
+2x −5
− −3x3
+4x2
−5x
x3
+4x2
−3x −5
Multiplicaci´on de dos polinomios
Definici´on
La multiplicaci´on de polinomios es una operaci´on algebraica que tiene por objeto
hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multipli-
cando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multipli-
cando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad
positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de fac-
tores del producto.
Dados dos polinomios P(x) de grado n y Q(x) de grado m, el producto de estos
dos polinomios P(x) ∗ Q(x) que ser´a un polinomio de grado n + m:
P(x) =
n
i=0
aixi
Iosu Landa Marcano. 16 de abril de 2018 LATEX
28. Matem´aticas P´agina 28 de 32
Q(x) =
m
j=0
bjxj
Entonces:
P(x) · Q(x) =
n
i=0
aixi
·
m
j=0
bjxj
Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicaci´on:
P(x) · Q(x) =
n
i=0
m
j=0
(aixi
) · (bjxj
)
Agrupando t´erminos:
P(x) · Q(x) =
n
i=0
m
j=0
aibjxi
xj
La doble sumatoria anterior puede reordenarse en la siguiente forma:
P(x) · Q(x) =
m+n
k=0
k
p=0
apbk−p xk
Ejemplo:
P(x) = −2 x3
+ 5 x2
+ 6 x − 3
Q(x) = 3 x2
+ x − 4
El producto de los polinomios P(x) ∗ Q(x):
−2x3
+5x2
+6x −3
× 3x2
+x −4
Multiplicando P(x) por cada uno de los monomios de Q(x), sumando despu´es el
resultado:
−2x3
+5x2
+6x −3
× 3x2
+x −4
8x3
−20x2
−24x +12
Luego:
−2x3
+5x2
+6x −3
× 3x2
+x −4
8x3
−20x2
−24x +12
−2x4
+5x3
+6x2
−3x
hacemos lo mismo con el tercer monomio de Q(x):
Iosu Landa Marcano. 16 de abril de 2018 LATEX
29. Matem´aticas P´agina 29 de 32
−2x3
+5x2
+6x −3
× 3x2
+x −4
8x3
−20x2
−24x +12
−2x4
+5x3
+6x2
−3x
−6x5
+15x4
+18x3
−9x2
Y finalmente hacemos la suma de los productos parciales, seg ´un las distintas
potencias de x, con lo que obtenemos el resultado:
−2x3
+5x2
+6x −3
× 3x2
+x −4
8x3
−20x2
−24x +12
−2x4
+5x3
+6x2
−3x
−6x5
+15x4
+18x3
−9x2
−6x5
+13x4
+31x3
−23x2
−27x +12
El resultado es un polinomio de grado 5
Otro ejemplo:
2x3
−3x2
+4x
× 2x2
−3
Resolvemos:
2x3
−3x2
+4x
× 2x2
−3
−6x3
+9x2
+12x
Luego:
2x3
−3x2
+4x
× 2x2
−3
−6x3
+9x2
+12x
4x5
−6x4
+8x3
Sumamos:
2x3
−3x2
+4x
× 2x2
−3
−6x3
+9x2
+12x
4x5
−6x4
+8x3
4x5
−6x4
+2x3
+9x2
+12x
Resultado un Polinomio de grado 5
Otro ejemplo:
P(x) = (3x2
–4x + 6)
Iosu Landa Marcano. 16 de abril de 2018 LATEX
30. Matem´aticas P´agina 30 de 32
Q(x) = (5x–3)
3x2
–4x +6
× 5x −3
−9x2
+12x −18
15x3
−20x2
+30x
15x3
−29x2
+42x −18
Ejemplo:
P(x) = (3x2
–4x + 6)
Q(x) = (5x)
3x2
–4x +6
× 5x
15x3
−20x2
+30x
Divisi´on de polinomios
Definici´on
La divisi´on algebraica es la operaci´on que consiste en hallar uno de los factores
de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado
divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.
La divisi´on de polinomios tiene las mismas partes que la divisi´on aritm´etica,
as´ı hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de
P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero,
siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y R(x)(resto).
Ejemplo:
P(x) = 3 x4
− 2 x3
+ 4 x2
+ 2 x − 3
Q(x) = x2
− 2 x − 1
3x4
−2x3
+4x2
+2x −3 x2
−2x −1
Iosu Landa Marcano. 16 de abril de 2018 LATEX