Downloaded 60 times
задачі від мудрої совы
- 1.
- 2. У посібнику поданоумови та розв’язки рубрики «Задачі від Мудрої Сови», проведено класифікацію їх за способами розв’язку Рекомендується вчителям математики та учням, які працюють у 5класі за підручником авторів А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С.Якір « Математика 5 клас » Схвалено радою методичного кабінету відділу освіти виконкому Лебединської міської ради Сумської області (протокол №2 від 05.10.2011р)
- 3. Комбінаторні задачі Задачіна спостережливість і вміння аналізувати Задачі на ділення Задачі на застосування арифметичної і геометричної прогресій. Задача Гауса Задачі на переріз та об'єднання множин Логічні задачі. Які вони? Задачі, які розв'язуються методом підбору і використання подільності чисел Раціональність розв'язування практичних задач Застосування рівнянь та нерівностей
- 4. Складаємо “ дерево” числа Комбінаторні задачі Запишіть усі трицифрові числа, що складаються із цифр 3, 4, 7, причому в записі цих чисел кожна цифра має використовуватися один раз. Перша можлива цифра 7 4 3 3 4 3 7 4 4 7 4 7 3 3 7 Друга можлива цифра Третя можлива цифра Відповідь: 743, 734, 473, 437, 374, 347
- 5. Скількома способами можнарозставити на полиці 5різних книжок? Розв’язання. №18 с.8 Діти в 5-6 класах люблять розв'язувати комбінаторні задачі, які дозволяють «експериментувати», розвивають уяву, тренують пошукові здібності. В задачі № 18, щоб порахувати кількість способів, якими можна розставити на полиці 5 різних книжок, можна це підрахувати, розв'язуючи задачі, коли на полиці 1, 2, 3, 4 книги, після чого використати метод підрахунку кількості способів для даної задачі. Якщо на полиці 1 книга, спосіб 1. Якщо книг 2, то способів є 2 (1 • 2), якщо книг є 3, то способів є 6 (1 • 2 • 3). Якщо книг є 4, то є 24 способи (6 • 4). Аналогічно у випадку 5-ти книг, способів розставити їх є 120 (24 • 5). Отже, розв’язком задачі буде: 1×2×3×4×5= 120 (способів)
- 6. До 5 різнихзамків є 5 ключів. Причому невідомо який ключ до якого замка підходить. Скільки спроб треба буде зробити в найгіршому випадку, щоб до кожного замка підібрати його ключ? Розв’язання Щоб знайти за скільки спроб в найгіршому випадку можна підібрати 5 ключів до 5 замків, слід розуміти, що ключ від одного замка можна знайти за 5 спроб, від другого - за 4, від третього - за 3 спроби, і т.д. Всього спроб є 5×4×3 ×2= 120 (спроб) №693 с168
- 8. № 93 ст.27 Розв’язання Тиждень – це 7 днів. 62:7 = 8 (остача 6). Якщо батько святкував день народження у неділю, то мати святкуватиме у понеділок, тому, що вона молодше його на 8 повних тижнів і 6 днів Розв’язання Вивчаючи тему «Ряд натуральних чисел» в 5 класі, діти знайомляться з властивістю ряду натуральних чисел, ряду парних і непарних натуральних чисел, коли різниця наступних і попередніх чисел складає 1 чи 2. Цей підхід може бути використаний у задачі № 93, коли різниця ряду чисел 3, 8, 15, 24, 35 складає 5, 7, 9, 11. Тому наступні дві різниці є 13, 15, а шукані числа 35 + 13 = 48, 48 + 15 = 63 відповідно. № 120 ст. 34 Розв’язання
- 9. 7 гномів зібралиразом 28 грибів. Причому, всі вони зібрали різну кількість грибів і у жодного не було порожнього кошика. Скільки грибів зібрав кожний гном? №831 с 204 Василько розповів друзям, що позавчора йому було 10 років, а в наступному році йому виповниться 13 років. Як таке може бути? Розв’язання День народження Василька - 31 грудня. Тому 1 січня він розповідає друзям: до 30 грудня йому було 10 років, 31 грудня – 11 років, 31 грудня цього року – 12 років, а 31 грудня наступного року – 13 років. № 254 ст. 66 У скільки разів шлях по сходах з першого поверху на десятий довший за шлях з першого поверху на другий? Відповідь: шлях по сходах з першого поверху на десятий довший за шлях з першого на другий у 9 разів. 4 1 2 3 5 6 7 8 9
- 10. №295 с.78 Утрьох ящичках лежать кульки: у першому ящичку – дві білі, у другому – дві чорні, у третьому – біла і чорна. На ящички наклеєно етикетки ББ, ЧЧ і БЧ так, що вміст кожного з них не відповідає етикетці. Як, вийнявши одну кульку, дізнатися, що в якому ящичку лежить? ББ БЧ ЧЧ Розв’язання. Спочатку треба вийняти кульку з ящичка БЧ. Якщо вона біла, то там дві білих, у ящичку ББ – дві чорних, у ящичку ЧЧ – біла і чорна. Якщо вона чорна, то і друга там чорна, у ящичку ЧЧ – дві білих, у ящичку ББ – біла і чорна. № 280 с. 72 Кабінки розважального атракціону «Колесо» послідовно пронумеровані числами 1, 2, 3 і т. д. Скільки всього є кабінок, якщо відомо, що коли кабінка 24 займає найвищу позицію, то кабінка 10 - найнижчу? Розв’язання Оскільки кабінки атракціону розміщені по колу і кабінка 24 займає найвищу позицію, а кабінка 10 - найнижчу, то від 10-ої до 24-аї кабінки міститься 13 кабінок і стільки ж від 24-аї до 10-ої, але в іншому напрямку. Отже, 13 + 13 = 26 , і ще дві кабінки: 10-а і 24-а. Тоді всіх кабінок на колесі 28.
- 11. Схематично розв'язання задачі№28 можна показати так: 24 23 Приклад 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 9 10 11 8 7 6 5 2 3 4 1 28 27 26 25
- 12. Розв’язання Щоб розділити7 яблук між 12 друзями, потрібно спочатку спробувати розрізати кожне яблуко на 12 рівних частин, тоді кожен учень одержить по 1/12 кожного з 7 яблук, тобто по 7/12 яблука. За умовою задачі кожне яблуко можна розрізати не більше, ніж на 4 частини, тому 7/12 розкладемо на доданки 3/12 і 4/12, кожен з яких дорівнює 1/4 і 1/3 відповідно. Отже, кожен учень одержить 1/3 і 1/4 яблука, то кожне з 4 яблук слід розрізати на 3 рівні частини, а кожне з трьох - на 4. №791 с. 195 Як розділити порівну 7 яблук між 12 друзями, якщо кожне яблуко можна розрізати не більше ніж на 4 частини?
- 13. Задачі на застосуванняарифметичної і геометричної прогресій. Задача Гауса В іст орії мат емат ики відомий такий випадок. Одного разу, а було це в Німеччині, в кінці 18 в., для т ого щоб змусит и учнів попрацюват и, учит ел ь дав їм завдання підрахуват и суму всіх нат уральних чисел від 1 до 100. Яке ж було його здивування,коли вже через кілька хвилин один учень сказав йому відповідь: шукана сума дорівнює 5050! Розв'Цей язання. учень, Карл Фрідріх Гаус, 1+2+3+…+а йому 98+99+100=(було 1+100)т оді 50. 10 років, ст ав одним з великих Відповідь: (мат 1+100)емат 50=5050 иків світ у. Розв'язати задачу застосовуючи метод Гауса. Є 9 гир вагою 1г, 2г, 3г, 4г, 5г, 6г, 7г, 8г, 9г. Чи можна розкласти на три купки рівною вагою? Розв'язання. Сума мас всіх гирьок: (1+9)*4+5 =45(г). Значить, в одній купці будуть гирі вагою 15г. Спробуємо це зробити: 1г +9 г +5 г , 2г +6 г +7 г, 3г +4 г +8 г. Тут можливі інші результати, наприклад: 1г +8 г +6 г , 3г +5 г +7 г, 2г +4 г +9 г.
- 14. № 310 с.83 Задача Гауса є такою, що розв'язати її може майже кожний п'ятикласник, але зробити це раціональним шляхом, витративши мінімум часу, може далеко не кожний. Метод підрахунку суми чисел, використаний в даній задачі, може бути використаний при знаходженні суми чисел, кратних іншим числам. Це є задачі на знаходження суми арифметичної прогресії, але не менш цікавими є задачі на знаходження члена геометричної прогресії (задача № 310 ) На озері почали розпускатися лілії. Кожного дня кількість лілій збільшувалася удвічі. На двадцятий день ліліями заросла вся поверхня озера. На який день половина озера була вкрита ліліями? Розв’язання На 20-й день ліліями заросла вся поверхня озер, тоді на кінець 19 дня - у двічі менша величина, тобто половина озера, тому що кожного дня кількість лілій збільшувалась удвічі. Відповідь: на 19-й день.
- 15. № 394 ст.105 Задачі на переріз та об'єднання множин Кожен учень гімназії вивчає принаймні одну двох іноземних мов. Англійську мову вивчає 328 учні, французьку мову - 246 учнів, англійську і французьку одночасно - 109 учнів. Скільки всього учнів навчається в гімназії? Розв’язання Використовуючи круги Ейлера можна схематично зобразити учнів школи. Дивлячись на малюнок, знайти кількість учнів, що вивчають французьку і англійську мову (328 + 246 = 574) і від даної суми відняти 109 учнів, які вивчають одночасно 2 мови (574 — 109 = 465). Можна застосувати інший спосіб розв'язання. Відповідь: 465 учнів всього навчається в гімназії Англійська 328 Французька 246 109
- 16. У школі в5-х класах навчаються 100 учнів. З них 75 учнів вивчають німецьку мову, 85 учнів - французьку, а 10 учнів не вивчають жодної з цих мов. Скільки учнів вивчають тільки французьку, а скільки - тільки німецьку мову? № 927 ст. 222 Розв'язання. 1) 100 – 10 = 90 (учн) – вивчають дві мови: німецьку і французьку. 2) 90 – 75 = 15 (учн.) – вивчають тільки французьку. 3) 90 – 85 = 5 (учн.) – вивчають тільки німецьку. Відповідь: 15учнів вивчають тільки французьку, 5учнів – тільки німецьку Всього – 100 учнів, не вивчають жодної – 10 учнів Французька мова, 15учнів Німецька мова, 5 учнів 70 учнів
- 17. Логічні задачі. Яківони? Теми логічних задач – самі різні, з усіх областей цікавої математики: задачі про брехунів, на проміжки, математичні ребуси, текстові задачі. Можна виділити шість простих кроків на шляху пошуку розв'язку логічної задачі: Завжди робіть таблицю, у ній враховуйте всі ймовірні варіанти Уважно читайте кожне твердження Намагайтесь відшукати головне твердження Викресліть ті, безглуздість яких видно Методом послідовних виключень знаходимо розв'язок Порівняйте, визначте зв'язки та протиріччя
- 18. Частина арифметичних іалгебраїчних задач розв'язуються складанням таблиць. Умови таких задач є громіздкими. Тому дані умови (об'єкти) розміщують по горизонталі, а їх характеристики – по вертикалі. Слід пам'ятати, що на перетині горизонтальної та вертикальних ліній лише одне твердження є правильним. № 927 ст. 222 У п’ятому класі вчаться троє друзів: Михайлик, Дмитрик та Сашко. Один ходить у футбольну секцію, другий - у басейн, а третій – у секцію боксу. У футболіста немає ні брата, ні сестри, він наймолодший з друзів. Михайлик старший за боксера і товаришує із сестрою Дмитрика. Яким видом спорту займається кожний з друзів? Михайлик Дмитрик Сашко Складаємо таблицю: Футбол - - + Басейн + - - Бокс - + - З речень «У футболіста немає ні брата, ні сестри, він наймолодший з друзів. Михайлик старший за боксера…» робимо висновок, що Михайлик і Дмитрик не можуть бути футболістами. Отже, футболіст – Сашко (заповнився перший рядок таблиці). Якщо Сашко – футболіст, то він не може ходити у басейн і занімитися боксом (заповнився третій стовпчик). З речення « Михайлик старший за боксера» робимо висновок, що Михайлик не може бути боксером. Значить, він – ходить у басейн (заповнюється перший стовпчик таблиці) Після цього другий стовпчик заповнюється автоматично. Відповідь: Михайлик ходить у басейн, Дмитрик знімається боксом, Сашко – футболіст.
- 19. Розв’язання •З речення«Марійка купила квиток раніше, ніж Мишко, але пізніше за Наталку» випливає такий порядок у черзі:Наталка, Марійка, Мишко •З речення «Дмитрик не був поруч ні з Наталкою, ні з Марійкою» має такий порядок: Наталка, Марійка, Мишко, Дмитрик •И остаточно маємо:Наталка, Марійка,Петрик, Мишко, Дмитрик № 576 ст. 143 У черзі за квитками в цирк стояли Мишко, Наталка, Петрик, Дмитрик і Марійка. Марійка купила квиток раніше, ніж Мишко, але пізніше за Наталку, Петрик Наталка не стояли поруч, а Дмитрик не був поруч ні з Наталкою, ні з Марійкою, ні з Петриком. Хто за ким стояв у черзі? Мишко Наталка Петрик Дмитрик Марійка 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +
- 20. № 769 ст.189 Учні Федоренко, Дмитренко, і Петренко входили до збірної школи з шахів. Імена Цих учнів були: Федір, Дмитро і Петро. Відомо, що прізвище Федора не Петренко, волосся Дмитра рудого кольору і вчиться він у шостому класі, Петренко вчиться в 7 класі, а волосся Федоренко чорного кольору. Вкажіть прізвища та ім'я кожного хлопчика. Розв’язання Федоренко Дмитренко Петренко (7кл) Федір + - - Дмитро(рудий, - + - 6клас) Петро - - + •З « прізвище Федора не Петренко, волосся Дмитра рудого кольору і вчиться він у шостому класі, Петренко вчиться в 7 класі» заповнюється третій стовпчик. •Після цього автоматично заповнюється третій рядок. •З того, що Дмитро рудий, а Федоренко чорний заповнюється таблиця. Відповідь: Федор Федоренко, Дмитро Дмитренко, Петро Петренко.
- 21. Задачі, які розв'язуютьсяметодом підбору і використання подільності чисел Дітям 5 і 6 класів важко зрозуміти, що задачі не завжди мають єдиний розв'язок, а можуть зовсім не мати розв'язку або мати більше одного. Якщо задача не має розв'язку або має їх безліч, то учень повинен це довести. А якщо розв'язків декілька, то всі їх треба знайти. Саме такими є задачі, які розв'язуються методом підбору і використання подільності чисел.
- 22. Розв’язання 1) 70– 45 = 25(б.) – з'їли Вінні-Пух і П'ятачок разом. 2) Кролик та Іа з'їли разом 45 бананів за умовою. Якщо ж вони з'їли майже порівну (22б, 23Б), то Вінні з'їв більше, тобто - 24б. Отже, П'ятачку залишається тільки один банан. Вінні-Пух – 24б. 25 б. П’ятачок – 1б. Іа – 70 бананів Кролик - 45 б. Відповідь: П’ятачок з’їв1банан. Розв’язання Нехай купили n лимонів. За умовою задачі 2< n < 7, n – натуральне число і 850 г (загальна маса) повинна ділитися на нього. Отже, n = 5. № 356 ст. 96 Лимони однакової маси продають поштучно. Купили більше двох, але менше 7 лимонів. Маса всієї покупки становить 850 г. Яка маса одного лимона? № 717 ст. 176 Вінні-Пух, П'ятачок, Іа та Кролик з'їли разом 70 бананів, при чому кожний з них з'їв хоча б 1 банан. Вінні-Пух з'їв більше за кожного з них, Кролик та Іа з'їли разом 45 бананів, Скільки бананів з'їв П'ятачок?
- 23. Розв’язання 1) 280: 2 = 140 (місць) – половина. 2) 100% - 47% = 53% - учні інших шкіл. 3) 47% та 53% повинні бути цілим числом. Це може бути тільки у випадку, коли 1% - ціле число. Це може бути, якщо 1% - 1 учень, тоді 47 + 53 = 100 <141, якщо 1% - 2 учня, тоді 94 + 106 = 200 >141, задовольняє умову, якщо 1% - 3 учня, тоді 141 + 159 = 300 >280, не задовольняє умову. Відповідь: 200 глядачів. № 1099 ст. 253 Для перегляду кінофільму в залі для глядачів зібрались учні кількох шкіл. Виявилось, що учні однієї з шкіл становлять 47 % кількості глядачів. Скільки всього глядачів було в залі, якщо в ньому 280 місць і понад половину місць було зайнято?
- 24. Раціональність розв'язування практичнихзадач Математичні задачі розв'язуються, як правило, не одним, а декількома способами. Ряд практичних задач передбачає раціональний підхід у складанні алгоритму розв'язування. Розв’язання Наливаємо у 5-літровий бідон воду та наповнюємо з нього 3- литрову банку. У бідоні залишається 2л. Виливаємо воду з банки на землю, а в банку переливаємо 2л з бідону. Знову наповнюємо 5-літровий бідон водою, відливаємо з нього у 3- літрову банку 1л (2л там вже є). Отже, в бідоні залишається 4л. № 996 ст. 234 Як за допомогою 5-літрового бідону і 3-літрової банки набрати на березі річки 4 л води?
- 25. № 1019 ст.238 Одночасно на сковороду можна покласти 2 карася. Щоб підсмажити карася з одного боку, потрібно 1 хв. Чи можна за 3 хв підсмажити з двох боків 3 карасів? Відповідь: можна (див. мал.) Позначимо карасів: 1, 2, 3 та їхні сторони А і Б 1 хвилина 2 хвилина 3 хвилина У пачці було 1000 конвертів. Скільки часу потрібно листоноші, щоб відкласти 850 конвертів, якщо за 1 хвилину він відраховує 100 конвертів? Розв’язання № 815 с 200 Листоноші для того, щоб відкласти 850 конвертів з пачки, де їх є 1000, не обов'язково рахувати від 1 до 850 конвертів, а достатньо відібрати 150 конвертів за 1,5 хв, щоб їх залишилось 1000 — 150 = 850. Відповідь: 1хв 30с
- 26. Відомо, що мотузказгорає за 4 хв. і горить при цьому нерівномірно. Як за допомогою: 1) однієї мотузки відміряти 2 хв.; 2) двох таких мотузок відміряти 3 хв.? №560 с. 140 № 431 с.114 Розв’язання •підпалити мотузку з двох кінців; •підпалити одну мотузку з двох кінців, далі другу скласти удвічі і теж підпалити з двох кінців. 1) Складіть із 10 сірників три квадрати. 2) Складіть із 19 сірників шість квадратів 3)Які чотири сірники треба забрати , щоб залишилися п’ять квадратів? 1) 2) 3)
- 27. №610 с. 149 Відстань між містами А і В дорівнює 30 км. Із міста А в місто В виїхав велосипедист, який рухався зі швидкістю 15км/год. Одночасно з ним з міста В у напрямку міста А вилетів птах зі швидкістю 30 км/год. Зустрівшись з велосипедистом, птах розвернувся і полетів назад. Прилетівши у місто В, він знову розвернувся і полетів назустріч велосипедисту. Зустрівшись з ним, птах розвернувся і полетів назад у місто В і т.д. Скільки кілометрів пролетів птах за той час, що велосипедист їхав з міста А у місто В? А В Розв’язання 1) 30 : 15 = 2 (год) – час, за який велосипедист подолає шлях з міста А до міста В. 2) Час, що рухався велосипедист дорівнює часу, що летів птах. Тому, 30 × 2 = 60 (км) – пролетів птах. Відповідь: 60км.
- 28. №875 с 212 Чортеня запропонувало Петру Скупердяйку: «Кожного разу, коли ти перейдеш цей міст, який я зроблю чарівним, твої гроші подвояться. За це віддаватимеш мені кожного разу 24 гривні». Зробив Скупердяйко так три рази і залишився зовсім без грошей. Скільки грошей було в Петра до зустрічі з чортеням? Розв’язання Нехай х грн. було у Петра. Після першого проходу через міст у нього стало 2х грн.. Він віддав 24 грн. Залишилися (2х – 24)грн. Після другого переходу подвоїлися: (4х – 48)грн. Віддав 24 грн. і залишилося: (4х – 48 – 24)грн.. Після третього разу маємо рівняння: 8х - 96 – 48 – 24 = 0 (Розв'язання цього рівняння 5-класникам можна пояснити за допомогою шалькових терезів) Звідси, х = 21 Відповідь: 21 гривня була у Петра.
- 29. Застосування рівнянь танерівностей №1081 с 250 Скільки коштує 1кг цукерок, якщо 9кг цих цукерок коштує менше 10 грн., а 10 кг – більше 11грн? Розв’язання Нехай х грн. коштує 1кг цукерок. Тоді X < 10/9, з одного боку, а з другого x > 11/9 10/9 = 1,111…, а 11/10 = 1,1 Отже, 1кг цукерок коштує 1грн 11коп.
- 30. •А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С.Якір« Математика 5 клас » •http://skazles.ru/files/img/0005.jpg •http://t2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQA4vf7kOJcHSlr24ZIJOC ewBcVLmUv_BHPitCJNGWOqM16fzlQQA •http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQzoaYEJ5q9fT7jpSIjjFGj OHzFu6CUsQyqxpRa7SbCkBnQuXoVUg •http://t0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSJrOYWimdzG_iEjylKw0i DowZsRxQnMSvXVX_KF7SNpDX6mLB7 •http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTxLfBSusezky3lHYDN9ya pHquTFMHe4hz0HRtjxApkMiBmwlNAkw •http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcT-BERSliFid39b5QetDMwyckhwKG6ttT3OmhnPLa7Ylb_ 4QRTP •http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQJRDJyz9uyeIqG7pbU96 5IlXvJxGTaQSGPY2EekojQogiDP4pC •http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcR23ZtcHC5OBMsz6_gbU VLcODXUeqoWnc3h3R8wdfFkP7OjwWOyjA