1. สรุปสูตร เรื่ องตรี โกณมิติ
วงกลมหนึ่งหน่ วย
sin   y
และ
cos   x
ดังนัน
้
y
x
x
cot  
y
,     , 3 , 5 ,...
1
x
1
csc  
y
1. นิยาม
,     , 3 , 5 ,...
tan  
sec  
2
2
2
,   ,2,3,...
2
2
2
,   ,2,3,...
2. อัตราส่วนตรี โกณมิติ
a
b
c
cos A 
b
a
tan A 
c
sin Ä 
cos ecA 
b
a
b
c
c
cot A 
a
sec A 
3. ฟั งก์ชนตรี โกณมิติของมุมที่ควรจําได้
ั
ฟั งก์ชน
ั
0
sin
0
cos
tan
1
0

 30 o
6
1
2
3
2
1

 45 o
4
1

 90 o
2
  180 o

2
2
3
2
1
0

2
2
1
2
0
1
_
0
0
_
_
1
1
_
2
1

 60 o
3
2
1
3
3
cot
_
3
1
1
3
sec
1
2
2
2
3
cosec
_
2
2
2
3

2. 4. การหาค่าของฟั งก์ชนตรี โกณของมุมประกอบที่ค่าของฟั งก์ชนไม่เปลี่ยนแปลง
ั
ั
ถ้ ากําหนดให้

อยู่ ควอดรันต์ 2
0


2
อยู่ ควอดรันต์ 3
2  
อยู่ ควอดรันต์ 4

อยู่ ควอดรันต์ 4
sin(  )  sin 
sin(  )   sin 
sin(2  )   sin 
sin()   sin 
cos(  )   cos 
cos(  )   cos 
cos(2  )  cos 
cos()  cos 
tan(  )   tan 
tan(  )  tan 
tan(2  )   tan 
tan()   tan 
กรณีที่มมเป็ นองศา ก็เช่นเดียวกัน
ุ
180 o   อยู่ ควอดรันต์ 2
180 o   อยู่ ควอดรันต์ 3 360 o   อยู่ ควอดรันต์ 4

sin(180 o  )  sin 
sin(180 o  )   sin 
sin(360 o  )   sin 
sin()   sin 
cos(180 o  )   cos 
cos(180 o  )   cos 
cos(360 o  )  cos 
cos()  cos 
tan(180 o  )   tan 
tan(180 o  )   tan 
tan(360 o  )   tan 
tan()   tan 
ในทํานองเดียวกันถ้ า
และเป็ นฟั งก์ชนของมุมที่เกินรอบ
ั
nI
sin(2n  )   sin 
sin(2n  )  sin 
cos(2n  )  cos 
cos(2n  )  cos 
tan(2n  )   tan 
อยู่ ควอดรันต์ 4
tan(2n  )   tan 
หมายเหตุ สูตรเหล่านี ้ใช้ ได้ กบ
ั

ทุกขนาดของมุมหรื อจํานวนจริงใด ๆ
การหาค่าของฟั งก์ชนตรี โกณของมุมประกอบที่ค่าของฟั งก์ชนต้ องเปลี่ยนแปลงฟั งก์ชน
ั
ั
ั
(co-function)

  อยู่ ควอดรันต์ 1
2

sin(  )  cos 
2

cos(  )  sin 
2

tan(  )  cot 
2

  อยู่ ควอดรันต์ 2
2

sin(  )  cos 
2

cos(  )   sin 
2

tan(  )   cot 
2
กรณีที่มมเป็ นองศา ก็เช่นเดียวกัน
ุ
o
90   อยู่ ควอดรันต์ 1 90 o   อยู่ ควอดรันต์ 2
3
  อยู่ ควอดรันต์ 3
2
3
sin(  )   cos 
2
3
cos(  )   sin 
2
3
tan(  )  cot 
2
270 o  
อยูควอดรันต์ 3
่
3
  อยู่ ควอดรันต์ 4
2
3
sin(  )   cos 
2
3
cos(  )  sin 
2
3
tan(  )   cot 
2
270 o  
อยูควอดรันต์ 4
่
sin(90 o  )  cos 
sin(90 o  )  cos 
sin( 270 o  )   cos 
sin( 270 o  )   cos 
cos(90 o  )  sin 
cos(90 o  )   sin 
cos(270 o  )   sin 
cos(270 o  )  sin 
tan(90 o  )  cot 
tan(90 o  )   cot 
tan(270 o  )  cot 
tan(270 o  )   cot 
5. ค่าสูงสุดและตํ่าสุดของ
a sin   b cos 
คือ
 a 2  b2

3. 6. เอกลักษณ์พื ้นฐานที่ควรทราบ
กําหนดให้  เป็ น มุม , ความยาวส่วนโค้ ง หรื อ จํานวนจริงใด ๆ
1  cot 2   cos ec 2 
 sin    1  cos 2 
จะเลือก + หรื อ – ต้ องขึ ้นอยูกบ
่ ั

 cos    1  sin 2 
sin 2   cos 2   1
จะเลือก + หรื อ – ต้ องขึ ้นอยูกบ
่ ั

และ
1  tan 2   sec 2 
กราฟของฟั งก์ชนตรี โกณมิติ
ั
ฟั งก์ชน
ั
กราฟ
โดเมน
เรนจ์
คาบ
แอมพลิจด
ู
y  sin x
R
[1,1]
2
y  cos x
R
[1,1]
2
y  tan x

 2n  1  


 
x x  

 2  


R

R

(,1]  [1, )
2
(,1]  [1, )
2
nI
y  cot x
x x  n 
nI
y  sec x

 2n  1  


 
x x  
2  




nI
y  cos ecx
x x  n 
nI

4. สูตรฟั งก์ชนตรี โกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรื อจํานวนจริง
ั
sin( A  B)

sin A  cos B  cos A  sin B
sin( A  B)

sin A  cos B  cos A  sin B
cos(A  B)

cos A  cos B  sin A  sin B
cos(A  B)

cos A  cos B  sin A  sin B
tan( A  B)

tan(A  B)

cot(A  B)

cot(A  B)

tan A  tan B
1  tan A  tan B
tan A  tan B
1  tan A  tan B
cot A  cot B  1
cot B  cot A
cot A  cot B  1
cot B  cot A
สูตรฟั งก์ชนตรี โกณมิติของมุม 2 เท่า
ั
sin 2A

2 sin A  cos A
หรื อ
sin A

cos 2A

cos 2 A  sin 2 A
หรื อ
cos A


2 cos 2 A  1
หรื อ
cos A


1  2 sin 2 A
หรื อ
cos A

tan 2A

2 tan A
หรื อ
tan A

cot 2A

เนื่องจาก
tan 2A
1  tan 2 A
A
A
 cos
2
2
A
2 A
cos
 sin 2
2
2
2 A
2 cos
1
2
A
1  2 sin 2
2
A
2 tan
2
2 A
1  tan
2
2 sin
cot 2 A  1
2 cot A

2 tan A
เราสามารถหา
sin 2A

cos 2A
1  tan A
2

สูตรฟั งก์ชนตรี โกณมิติของมุม 3 เท่า
ั
sin 3A

3 sin A  4 sin 3 A
cos 3A

4 cos 3 A  3 cos A
tan 3A

cot 3A

3 tan A  tan 3 A
1  3 tan 2 A
cot 3 A  3 cot A
3 cot 2  1
สูตรฟั งก์ชนตรี โกณมิติของมุมครึ่ง
ั
sin 2 A

1 cos 2A
2
หรื อ
sin A


1 cos 2A
2
cos 2 A

1 cos 2A
2
หรื อ
cos A


1 cos 2A
2
2 tan A
1  tan 2 A
1  tan 2 A
1  tan 2 A

5. tan 2 A
1  cos 2A
1  cos 2A

หรื อ
tan A


1  cos 2A
1  cos 2A
ค่าของฟั งก์ชนของมุมบางมุมที่ควรทราบ
ั
sin 15 o

3 1
cos 75 o 

6 2
4

6 2
4
2 2
sin 75 o

3 1
cos 15 o 
2 2
tan 15 o

tan 75 o

cot 15 o 
sin 18 o

cos 72 o 
cos 18 o

sin 72 o 
cos 36 o

sin 54 o 
sin 36 o

3 1
cot 75 o 
cos 54 o 
3 1
3 1
3 1
5 1
4
10  2 5
4
5 1
4
10  2 5
4
sin 22.5 o

cos 67.5 o 
2 2
2
cos 22.5 o

sin 67.5 o 
2 2
2
สูตรการเปลี่ยนผลคูณของฟั งก์ชนเป็ นผลบวกหรื อผลต่างของฟั งก์ชน
ั
ั
2 sin A  cos B  sin( A  B)  sin( A  B) หรื อ 2 sin cos
 sin( A  B)  sin( A  B) หรื อ 2 cos sin
2 cos A  sin B
2 cos A  cos B
 cos(A  B)  cos(A  B) หรื อ 2 cos cos
2 sin A  sin B
 cos(A  B)  cos( A  B) หรื อ 2 sin sin
สูตรการเปลี่ยนผลบวกหรื อผลต่างของฟั งก์ชนเป็ นผลคูณของฟั งก์ชน
ั
ั
sin A  sin B


sin(sum)  sin(diff )

sin(sum)  sin(diff )

cos(sum)  cos(diff )

cos(diff )  cos(sum)
AB
AB
2 sin 
  cos

 2 
 2 
sin A  sin B

AB
AB
2 cos
  sin 

 2 
 2 
cos A  cos B

AB
AB
2 cos
  cos

 2 
 2 
cos A  cos B

AB
 BA 
2 sin 
  sin 

2 

 2 
sin 20 o  sin 40 o  sin 80 o
cos 20 o  cos 40 o  cos 80 o


3
8
1
8
หรื อ 
AB
AB
 2 sin
  sin

2 

 2 
หรื อ
sin 20 o  sin 40 o  sin 60 o  sin 80 o
หรื อ
cos 20 o  cos 40 o  cos 60 o  cos 80 o 

3
16
1
16

6. อินเวอร์ สของฟั งก์ชนตรี โกณมิติ
ั
ฟั งก์ชนตรี โกณมิติ
ั
อินเวอร์ สของฟั งก์ชน
ั
ฟั งก์ชนอินเวอร์ ส
ั
x  sin y
y  arcsin x หรื อ
y  sin x
โดเมนของ
ฟั งก์ชนอินเวอร์ ส
ั
[1,1]
  
 2 , 2 


[1,1]
0, 
y  sin 1 x
y  cos x
y  arccos x หรื อ
x  cos y
y  cos
y  tan x
1
x
y  arctan x หรื อ
x  tan y
R
y  tan 1 x
y  cot x
y  arc cot x หรื อ
x  cot y
เรจน์ของ
ฟั งก์ชนอินเวอร์ ส
ั
R
  
 , 
 2 2
(0, )
y  cot 1 x
y  sec x
y  arc sec x หรื อ
x  sec y
R  (1,1)
2
y  sec 1 x
y  csc x
y  arc csc x หรื อ
x  csc y
R  (1,1)
y  csc 1 x
สูตรความสัมพันธ์ของฟั งก์ชนอินเวอร์ สตรี โกณมิติ
ั

x  1,1
1. arcsin( x )   arcsin x
2. arccos( x )    arccos x 
x  1,1
xR
3. arctan( x )   arctan x

4. sin(arcsin x )  x 
x  1,1
และ

arcsin(sin x )

x
sin(arcsin x )

  
x   , 
 2 2
arcsin(sin x )

x 
x  1,1

x 
x  0, 
cos(arccos x )
6.
cos(arccos x )
arccos(cos x )
5.

arccos(cos x )
tan(arctan x )

x

xR
arctan(tan x )

x

  
x  , 
 2 2
tan(arctan x )

arctan(tan x )


ดังนัน
้
x  1,1

0,     
 
และ
ดังนัน
้
x  1,1
และ
ดังนัน
้
  
x  , 
 2 2
  
 2 , 2   0



7. 7.
และ
cot(arc cot x )

x 
xR
arc cot(cot x )

x 
x  (0, )
cot(arc cot x )

arc cot(cot x )
8. sec(arc sec x )

x 
x  R  (1,1)
และ
arc sec(sec x )

x 

x  0,    
2
ดังนัน
้
sec(arc sec x )

arc sec(sec x )
csc(arc csc x )

x 
x  R  (1,1)
arc csc(csc x )

x 
  
x   ,   0
 2 2
sec(arc sec x )

arc sec(sec x )
9.

arctan x  arctan y


arctan
arctan x  arctan y

  arctan
arctan x  arctan y

   arctan
2 arctan x
12.
arcsin x

arctan
ดังนัน
้




 arctan x  arctan y 
2
2
xy
1  xy




 arctan x  arctan y 
2
2
xy
1  xy
xy
1  xy

2

arctan x  arctan y 

arctan x  arctan y  

2
2x
1 x 2

arccos 1  x 2

arctan

arc cot

arc sec

13.
และ
 x  R  (1,1)
xy
arctan
1  xy
11.
x  (0, )

 x  0,    
2
arctan x  arctan y
10.
ดังนัน
้
arc csc
arcsin x  arccos x
arctan x  arc cot x
arc sec x  arc csc x
x
1 x 2
1 x 2
x
1
1 x 2
1
x

2


2


2


x  1,1

xR

x  R  1,1
การแก้ สมการตรี โกณมิติ
1. ถ้ าโจทย์กําหนด เอกภพสัมพัทธ์ ต้ องตอบในรูปของเซตจํากัด
2. ถ้ าโจทย์ไม่กําหนด เอกภพสัมพัทธ์ ต้ องตอบในรูปทัวไป และกําหนดให้ เอกภพสัมพัทธ์
่
2.1 ถ้ า sin x  sin  คําตอบของสมการ คือ x  n  (1) n 
2.2 ถ้ า cos x  cos  คําตอบของสมการ คือ x  2n  
R
ดังนี ้

8. 2.3 ถ้ า tan x  tan  คําตอบของสมการ คือ x  n  
3. หลักที่ควรคํานึงถึงเกี่ยวกับเรื่ องการแก้ สมการ คือ
3.1 การแปลงทุกค่าของตัวแปรให้ เป็ นฟั งก์ชนเดียวกันและมุมเดียวกัน
ั
3.2 การแยกตัวประกอบ
การแก้ อสมการตรี โกณมิติ
ใช้ หลักเหมือนกับการแก้ สมการในระบบจํานวนจริง โดยมีคาของฟั งก์ชนตรี โกณมิติเป็ นตัวแปรใด ๆ
่
ั
การแก้ รูปสามเหลี่ยม
ใช้ หลักดังนี ้ คือ
1. ถ้ าสามเหลี่ยมดังกล่าวนันเป็ นสามเหลี่ยมมุมฉากใช้
้
1.1 ทฤษฎีบทพีธากอรัส
1.2 อัตราส่วนตรี โกณมิติ
2. ถ้ าสามเหลี่ยมนันเป็ นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ใช้
้
2.1 กฎของไซน์
คือ
2.2 กฎของโคไซน์
a
b
c


sin A sin B sin C
คือ
a 2  b 2  c 2  2bc cos A  cos A 
b2  c2  a 2
2bc
b 2  a 2  c 2  2ac cos B  cos B 
a 2  c2  b2
2ac
c 2  a 2  b 2  2ab cos C  cos C 
a 2  b2  c2
2ab
2.3 กฎของโปรเจกชัน
a  b cos C  c cos B
b  a cos C  c cos A
c  a cos B  b cos A
3. การหาพื ้นที่รูปสามเหลี่ยม
1
 ฐาน 
2
1
  ab sin C
2

สูง
 s(s  a )(s  b)(s  c)
4. การหาพื ้นที่ของรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ ง

1

2

4.1 เมื่อทราบความยาวฐานโค้ ง
โดยที่
s
1
 (a  b  c )
2
1
r
2
ฐานโค้ ง
4..2 เมื่อทราบขนาดของมุมที่จดศูนย์กลาง
ุ



o
รัศมี
ตารางหน่วย
 r 2
ตารางหน่วย
360


 r 2
2