Estas diapositivas son de cuarto ciclo de la carrera de ingeniería industrial, y pretenden la enseñanza de vectores y sus diferentes operaciones como parte del análisis matemático, y el espacio 3D.

2. MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III
2021-2
ESTUDIOS GENERALES
SEMANA 01: Vectores en 𝑅3

3. UNIDAD DIDÁCTICA 1
TEMA DE SESIÓN: Vectores en 𝑅3
APRENDIZAJES ESPERADOS:
• Grafica un vector en 𝑅3
, halla el producto escalar y vectorial de un vector en 𝑅3
CAPACIDAD GENERAL:
CAPACIDAD ESPECÍFICA:
• Comprende cómo se define un vector en 𝑅3
, aplicando sus propiedades.
• Comprende las definiciones y teoremas necesarios para el trazado de superficies en el espacio tridimensional mediante el
uso de las funciones vectoriales para describir el movimiento de un objeto a lo largo de una curva en el espacio y ser capaz
de solucionar problemas mediante ejercicios y tareas académicas.
SEMANA 1 SESIÓN
2
1
1

5. COORDENADAS EN EL ESPACIO
Antes de extender el concepto de vector a tres
dimensiones, se debe poder identificar puntos en el
sistema de coordenadas tridimensional. Se puede
construir este sistema trazando en el origen un eje 𝑧
perpendicular al eje 𝑥 y al eje 𝑦, como se muestra en la
figura 1.
Tomados por pares, los ejes determinan tres planos
coordenados: el plano 𝒙𝒚, el plano 𝒙𝒛 y el plano 𝒚𝒛.
Estos tres planos coordenados dividen el espacio
tridimensional en ocho octantes. El primer octante es en
el que todas las coordenadas son positivas.
Figura 1. Sistema de coordenadas
tridimensional.

6. En este sistema tridimensional un punto 𝑃 en
el espacio está determinado por una terna
ordenada 𝑥, 𝑦, 𝑧 donde 𝑥, 𝑦 y 𝑧 son:
𝑥 = distancia dirigida que va del plano 𝑦𝑧 a 𝑃
𝑦 = distancia dirigida que va del plano 𝑥𝑧 a 𝑃
𝑧 = distancia dirigida que va del plano 𝑥𝑦 a 𝑃
En la figura 2 se muestran varios puntos.
Figura 2. Los puntos en el sistema de coordenadas
tridimensional se representan por medio de ternas
ordenadas.
Nota. Muchas de las fórmulas establecidas
para el sistema de coordenadas bidimensional
pueden extenderse a tres dimensiones

7. Para encontrar la distancia entre dos puntos en el
espacio, se usa dos veces el teorema pitagórico, como se
muestra en la figura 3. Haciendo esto se obtiene la
fórmula de la distancia entre los puntos 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 y
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 .
𝑑 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2 + 𝑧2 − 𝑧1
2
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL ESPACIO
Halle la distancia entre los puntos 2, −1, 3 y 1, 0, −2 .
Ejercicio 1
Solución
Figura 3. Distancia entre dos puntos
en el espacio.

8. VECTORES EN EL ESPACIO
Figura 4. Vectores unitarios
canónicos o estándar en el espacio.

9. Figura 5.
𝑞1 − 𝑝1, 𝑞2 − 𝑝2, 𝑞3 − 𝑝3
Si 𝒗 se representa por el segmento de recta dirigido de
P(p1, p2, p3) a Q(q1, q2, q3), como se muestra en la
figura 5, las componentes de 𝒗 se obtienen restando las
coordenadas del punto inicial de las coordenadas del
punto final como sigue
𝑣 = 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 = 𝑞1 − 𝑝1, 𝑞2 − 𝑝2, 𝑞3 − 𝑝3

11. Halle las componentes y la longitud del vector 𝑣 que tiene punto inicial (–2, 3, 1) y punto final
(0, –4, 4). Después, halle un vector unitario en la dirección de 𝑣.
Ejercicio 2
Solución

12. Por ejemplo, en la figura 6 los vectores u, v
y w son paralelos, porque
u = 2v y w = –v.
Figura6. Vectores paralelos.

13. EL PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

14. Ejercicio 3

15. EL ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
Si 𝜃 es el ángulo entre dos vectores 𝑢 y 𝑣 diferentes de cero, entonces
cos 𝜃 =
𝑢 ∙ 𝑣
𝑢 𝑣
Ángulo entre dos vectores

16. VECTORES ORTOGONALES
Los vectores 𝑢 y 𝑣 son ortogonales si 𝑢 ∙ 𝑣 = 0
Definición de vectores ortogonales
• Los términos ortogonal y perpendicular significan esencialmente lo mismo, se
satisfacen en ángulos rectos.
• El vector cero es ortogonal a cualquier vector 𝑢 porque 0 ∙ 𝑢 = 0.
Nota

17. Ejercicio 3
Solución
Halle el ángulo 𝜃 entre 𝑢 = 3, −1, 2 y 𝑣 = −4, 0, 2 .

18. COMPONENTES VECTORIALES
Sean 𝑢 y 𝑣 vectores diferentes de cero tales que
𝑢 = 𝑤1 + 𝑤2
donde 𝑤1 y 𝑤2 son ortogonales y 𝑤1 es paralelo a (o a un múltiplo escalar de) 𝑣, como se muestra
en la Figura. Los vectores 𝑤1 y 𝑤2 se denominan componentes vectoriales de 𝑢. El vector 𝑤1 es la
proyección de 𝑢 sobre 𝑣 y está denotado por
𝑤1 = proy𝑣 𝑢
El vector 𝑤2 está dado por 𝑤2 = 𝑢 − 𝑤1.
Definición de componentes vectoriales
𝜃 es agudo 𝜃 es obtuso

19. De la definición de componentes vectoriales se puede ver que es fácil hallar la componente 𝑤2
una vez que se encuentre la proyección de 𝑢 sobre 𝑣. Para determinar la proyección se puede
usar el producto punto, como sigue.

20. Sean 𝑢 y 𝑣 vectores diferentes de cero. La proyección de 𝑢 sobre 𝑣 es
proy𝑣 𝑢 =
𝑢 ∙ 𝑣
𝑣 2
𝑣
Proyección de 𝒖 sobre 𝒗
Ejercicio 5
Halle la proyección de 𝑢 = 3, −5 sobre 𝑣 = 6, 2 . Después escriba 𝑢 como la suma de dos
vectores ortogonales, uno de los cuales proy𝑣 𝑢.

21. EL PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
Sean los vectores 𝑢 = 𝑢1𝑖 + 𝑢2𝑗 + 𝑢3𝑘 y 𝑣 = 𝑣1𝑖 + 𝑣2𝑗 + 𝑣3𝑘 vectores en el espacio.
El producto cruz de 𝑢 y 𝑣 es el vector
Definición
𝑢 × 𝑣 = 𝑢2𝑣3 − 𝑢3𝑣2 𝑖 − 𝑢1𝑣3 − 𝑢3𝑣1 𝑗 + 𝑢1𝑣2 − 𝑢2𝑣1 𝑘
Nota: Esta definición sólo aplica a vectores tridimensionales. El producto vectorial no
está definido para vectores bidimensionales.

22. Una manera adecuada para calcular 𝑢 × 𝑣 es usar determinantes con expansión de cofactores,
como se muestra a continuación. (Esta forma empleando determinantes 3 × 3 se usa sólo para
ayudar a recordar la fórmula del producto vectorial, pero técnicamente no es un determinante,
porque las entradas de la matriz correspondiente no son todas números reales.)
𝑢 × 𝑣 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑢1 𝑢2 𝑢3
𝑣1 𝑣2 𝑣3
=
𝑖 𝑗 𝑘
𝑢1 𝑢2 𝑢3
𝑣1 𝑣2 𝑣3
𝑖 −
𝑖 𝑗 𝑘
𝑢1 𝑢2 𝑢3
𝑣1 𝑣2 𝑣3
𝑗 +
𝑖 𝑗 𝑘
𝑢1 𝑢2 𝑢3
𝑣1 𝑣2 𝑣3
𝑘
=
𝑢2 𝑢3
𝑣2 𝑣3
𝑖 −
𝑢1 𝑢3
𝑣1 𝑣3
𝑗 +
𝑢1 𝑢2
𝑣1 𝑣2
𝑘
= 𝑢2𝑣3 − 𝑢3𝑣2 𝑖 − 𝑢1𝑣3 − 𝑢3𝑣1 𝑗 + 𝑢1𝑣2 − 𝑢2𝑣1 𝑘

23. Ejercicio 1
Dados 𝑢 = 𝑖 − 2𝑗 + 𝑘 y 𝑣 = 3𝑖 + 𝑗 − 2𝑘, halle cada uno de los siguientes productos
vectoriales.
𝑎) 𝑢 × 𝑣 𝑏) 𝑣 × 𝑢 𝑐) 𝑣 × 𝑣

24. TEOREMA. Propiedades algebraicas del producto vectorial
Sean 𝑢, 𝑣 y 𝑤 vectores en el espacio, y sea 𝑐 un escalar.
1) 𝑢 × 𝑣 = − 𝑣 × 𝑢
2) 𝑢 × 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑢 + 𝑤
3) 𝑐 𝑢 × 𝑣 = 𝑐𝑢 × 𝑣 = 𝑢 × 𝑐𝑣
4) 𝑢 × 0 = 0 × 𝑢 = 0
5) 𝑢 × 𝑢 = 0
6) 𝑢 ∙ 𝑣 × 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 ∙ 𝑤

25. TEOREMA. Propiedades geométricas del producto vectorial
Figura. Los vectores 𝑢 y 𝑣 son los lados adyacentes de un paralelogramo.

26. Figura. Sistemas dextrógiros.

27. Ejercicio 2
Halle un vector unitario que es ortogonal tanto a
𝑢 = 𝑖 − 4𝑗 + 𝑘
como a
𝑣 = 2𝑖 + 3𝑗

28. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
A.BASICA
Vera, C. (2003). Mátemática Básica. Lima: Moshera. [Código de clasificación: 510 V47]
Instituto de Ciencias y Humanidades. (2008). Algebra y principios del análisis. Lima: Lumbreras.
[Código de clasificación: 512 I 2008 t.2]
James, S., Lothar, R., & Saleem, W. (2007). Precálculo. Mexico, D.F: CENGAGE Learning.
[Código de clasificación: 515.1 S79 2012]
B.COMPLEMENTARIA
Osnaya, E., Hernández, C., & Carrillo, A. (2007). Algebra. Mexico D.F: Pearson Educación.
[Código de clasificación: 512 A 2007]
Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. México, D.F: CENGAGE
Learning. [Código de clasificación: 515.3 S79 2008]