Este documento describe conceptos fundamentales sobre relaciones y grafos. Define una relación como un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos que vincula elementos de los conjuntos. Un grafo se representa como un conjunto de vértices unidos por aristas, y permite estudiar las interrelaciones entre elementos. También introduce conceptos como relaciones binarias, funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, y clases de equivalencia.
Relaciones y Grafos
Producto cartesiano
Relación binaria
Representaciones de Relaciones
Diagrama de flechas
Propiedades de las relaciones (reflexiva, irreflexiva, simétrica, asimétrica, anti simétrica, transitiva)
Relaciones de equivalencia (cerraduras, clases de equivalencia, particiones)
Funciones (inyectiva, suprayectiva, biyectiva)
El documento trata sobre relaciones y grafos. Explica que una relación es un par de conjuntos ordenados que se corresponden, y que un grafo consiste en un conjunto de vértices y aristas. También define conceptos como relaciones binarias, propiedades de relaciones como reflexividad y transitividad, y tipos de funciones como inyectivas y sobreyectivas. Finalmente, concluye que la teoría de grafos permite modelar estructuras de datos y medir propiedades de redes.
Una función asigna a cada elemento de un conjunto dominio A un único elemento de un conjunto codominio B. Una función se grafica en un plano cartesiano donde el dominio se grafica en el eje x y el codominio en el eje y. El dominio de una función es el subconjunto de A al que se mapean elementos, mientras que el recorrido es el subconjunto de imágenes en B.
El documento describe los conceptos de grafos eulerianos y hamiltonianos. Un grafo es euleriano si cada vértice tiene un grado par y se puede trazar un camino que pase por cada arista una vez. Un grafo es hamiltoniano si contiene un camino que visita cada vértice exactamente una vez. El documento explica las propiedades y diferencias entre caminos y ciclos eulerianos y hamiltonianos.
Este documento describe las relaciones matemáticas de reflexividad y simetría. Explica que una relación es reflexiva si cada elemento en un conjunto está relacionado consigo mismo, mientras que una relación es simétrica si para cada par ordenado aRb existe su par simétrico bRa. Proporciona ejemplos de relaciones reflexivas y simétricas usando conjuntos y productos cartesianos para ilustrar estas propiedades.
Este documento resume varias leyes fundamentales de los conjuntos, incluyendo la ley de idempotencia, la ley de Morgan, la ley conmutativa, la ley asociativa y la ley distributiva. Proporciona definiciones formales de cada ley junto con ejemplos numéricos para ilustrar cómo se aplican.
Un documento describe diferentes tipos de relaciones y funciones. Explica que una relación involucra conjuntos y sus elementos en pares ordenados. Las relaciones se clasifican por el número de conjuntos involucrados, como relaciones binarias entre dos conjuntos. Luego define funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas según si cada elemento de un conjunto es asignado a otro de manera única o completa.
Este documento describe las relaciones de orden y equivalencia en teoría de conjuntos. Explica que una relación de orden es binaria y cumple con las propiedades de reflexividad, antisimetría y transitividad. También clasifica las relaciones de orden en totales y parciales. Por otro lado, define una relación de equivalencia como aquella que cumple con reflexividad, simetría y transitividad, y genera clases de equivalencia que permiten particionar el conjunto original.
Relaciones y Grafos
Producto cartesiano
Relación binaria
Representaciones de Relaciones
Diagrama de flechas
Propiedades de las relaciones (reflexiva, irreflexiva, simétrica, asimétrica, anti simétrica, transitiva)
Relaciones de equivalencia (cerraduras, clases de equivalencia, particiones)
Funciones (inyectiva, suprayectiva, biyectiva)
El documento trata sobre relaciones y grafos. Explica que una relación es un par de conjuntos ordenados que se corresponden, y que un grafo consiste en un conjunto de vértices y aristas. También define conceptos como relaciones binarias, propiedades de relaciones como reflexividad y transitividad, y tipos de funciones como inyectivas y sobreyectivas. Finalmente, concluye que la teoría de grafos permite modelar estructuras de datos y medir propiedades de redes.
Una función asigna a cada elemento de un conjunto dominio A un único elemento de un conjunto codominio B. Una función se grafica en un plano cartesiano donde el dominio se grafica en el eje x y el codominio en el eje y. El dominio de una función es el subconjunto de A al que se mapean elementos, mientras que el recorrido es el subconjunto de imágenes en B.
El documento describe los conceptos de grafos eulerianos y hamiltonianos. Un grafo es euleriano si cada vértice tiene un grado par y se puede trazar un camino que pase por cada arista una vez. Un grafo es hamiltoniano si contiene un camino que visita cada vértice exactamente una vez. El documento explica las propiedades y diferencias entre caminos y ciclos eulerianos y hamiltonianos.
Este documento describe las relaciones matemáticas de reflexividad y simetría. Explica que una relación es reflexiva si cada elemento en un conjunto está relacionado consigo mismo, mientras que una relación es simétrica si para cada par ordenado aRb existe su par simétrico bRa. Proporciona ejemplos de relaciones reflexivas y simétricas usando conjuntos y productos cartesianos para ilustrar estas propiedades.
Este documento resume varias leyes fundamentales de los conjuntos, incluyendo la ley de idempotencia, la ley de Morgan, la ley conmutativa, la ley asociativa y la ley distributiva. Proporciona definiciones formales de cada ley junto con ejemplos numéricos para ilustrar cómo se aplican.
Un documento describe diferentes tipos de relaciones y funciones. Explica que una relación involucra conjuntos y sus elementos en pares ordenados. Las relaciones se clasifican por el número de conjuntos involucrados, como relaciones binarias entre dos conjuntos. Luego define funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas según si cada elemento de un conjunto es asignado a otro de manera única o completa.
Este documento describe las relaciones de orden y equivalencia en teoría de conjuntos. Explica que una relación de orden es binaria y cumple con las propiedades de reflexividad, antisimetría y transitividad. También clasifica las relaciones de orden en totales y parciales. Por otro lado, define una relación de equivalencia como aquella que cumple con reflexividad, simetría y transitividad, y genera clases de equivalencia que permiten particionar el conjunto original.
Este documento define las relaciones binarias y sus propiedades. Explica que una relación binaria es un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos A y B. Luego describe las propiedades fundamentales de las relaciones binarias como reflexivas, simétricas, transitivas y totales. Finalmente, proporciona ejemplos y representaciones gráficas de relaciones binarias como diagramas cartesiano y de Venn.
Este documento presenta un curso de matemáticas discretas. El curso tiene como objetivo enseñar conceptos y herramientas básicas de matemáticas universitarias para resolver problemas complejos. Cubrirá temas como conjuntos, lógica, demostraciones, teoría de grafos y redes. El estudiante será evaluado a través de exámenes, tareas y asistencia.
El documento trata sobre relaciones y grafos. Explica que un grafo representa relaciones binarias entre elementos mediante vértices unidos por aristas, y que pueden usarse para modelar redes. También define conceptos matemáticos como el producto cartesiano, relaciones binarias, propiedades de relaciones (reflexividad, simetría, etc.), y tipos de funciones (inyectiva, sobreyectiva, biyectiva).
Este documento resume conceptos clave sobre grafos bipartitos, grafos bipartitos completos, isomorfismo de grafos y subgrafos. Define un grafo bipartito como uno que puede dividirse en dos partes de tal forma que una parte solo se conecta a la otra. Un grafo bipartito completo es uno donde cada vértice de una parte se conecta a todos los de la otra. Dos grafos son isomorfos si preservan las relaciones de adyacencia. Un subgrafo es un grafo formado por un subconjunto de vértices y aristas de un grafo mayor.
Este documento resume varias leyes y propiedades fundamentales de los conjuntos, incluyendo la idempotencia, la ley conmutativa, la involución, las leyes de Morgan, e identidades como A ∪ U = U y A ∩ ∅ = ∅. Se proveen definiciones formales de cada concepto junto con ejemplos ilustrativos.
Este documento trata sobre relaciones y grafos. Explica que un grafo consiste en un conjunto de vértices o nodos conectados por aristas o arcos, y que puede representar diversas relaciones en la vida real como mapas de carreteras o circuitos eléctricos. También define conceptos como relaciones binarias, producto cartesiano y diferentes propiedades de las relaciones como reflexividad y simetría. Por último, introduce las clases de equivalencia que surgen de una relación de equivalencia sobre un conjunto.
Una relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B. Puede expresarse mediante pares ordenados (a, b) o indicando que aRb. Las relaciones binarias pueden ser homogéneas, entre elementos de un mismo conjunto, o heterogéneas, entre elementos de conjuntos distintos. Las relaciones binarias pueden cumplir propiedades como ser reflexiva, simétrica o transitiva.
El documento describe los principios fundamentales del conteo y diferentes técnicas de conteo como la adición, la multiplicación, los arreglos con y sin repetición, las permutaciones y las permutaciones con repetición. Explica cómo aplicar estas técnicas para contar el número de posibilidades o decisiones en diferentes situaciones como elegir películas y obras de teatro, ir al teatro y luego a cenar, crear claves de cajero automático y disponer estudiantes en fila para una foto.
El documento describe el producto cartesiano de dos conjuntos y sus propiedades. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados posibles formados por un elemento de A y uno de B. Se proveen ejemplos y formas de representar el producto cartesiano como una tabla o diagrama de Venn. También se define la noción de relación entre elementos de conjuntos y se describen propiedades como reflexiva, simétrica, transitiva y más.
El documento presenta una introducción a la teoría de grafos, incluyendo definiciones básicas como vértices, aristas, grafos dirigidos y no dirigidos, así como aplicaciones como rutas entre ciudades. Explica el problema original planteado por Euler sobre los puentes de Königsberg y cómo lo resolvió usando un grafo. También describe algoritmos comunes como el de Floyd-Warshall para encontrar caminos mínimos.
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de grafos, incluyendo definiciones de grafos, vértices, aristas y tipos de grafos. Explica el problema histórico de los siete puentes de Königsberg y cómo se resolvió utilizando la teoría de grafos. También cubre temas como matrices de adyacencia e incidencia, isomorfismo de grafos, ciclos de Euler y Hamilton. Finalmente, incluye ejercicios para identificar elementos en grafos.
Tema 3,APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES EN LA ADMINISTRACIONJORGE JIMENEZ
Este documento trata sobre la aplicación de ecuaciones lineales en la administración. Explica conceptos como coordenadas cartesianas, líneas rectas, sistemas de ecuaciones, costos fijos y variables, punto de equilibrio, depreciación lineal y oferta y demanda. Utiliza ecuaciones lineales para modelar diferentes conceptos financieros y de negocios como costos de producción, punto de equilibrio de una empresa y equilibrio del mercado.
El documento introduce la teoría de grafos y sus conceptos fundamentales. Explica que un grafo consiste en un conjunto de nodos unidos por aristas o segmentos. Presenta diferentes tipos de grafos como grafos dirigidos, no dirigidos, regulares, bipartitos, conexos y árboles. También define conceptos clave como camino, valencia, lazo y ramas paralelas. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de los grafos como la modelización de circuitos y rutas de transporte público.
Este documento describe los conceptos básicos de los grafos y sus aplicaciones. Los grafos permiten modelar relaciones entre elementos que interactúan. Se definen grafos como conjuntos de nodos y aristas, y se explican conceptos como caminos, ciclos, grado de nodos, y diferentes tipos de grafos como grafos dirigidos, ponderados y bipartitos. También se introducen teoremas importantes como los de Euler y Hamilton para encontrar caminos y ciclos especiales en grafos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica que los grafos se utilizan para modelar situaciones mediante una representación simplificada que considera solo las características relevantes. Define formal e informalmente los conceptos de vértices, aristas y grafos. Luego introduce otras definiciones como vértices adyacentes, grado de un vértice y representaciones matriciales de grafos. Finalmente, aborda conceptos como caminos, ciclos, grafos regulares e isomorfismos.
Este documento trata sobre relaciones y grafos. Explica que un grafo consiste en un conjunto de vértices y aristas que conectan los vértices. También define las propiedades de relaciones como reflexiva, simétrica y transitiva. Finalmente, discute formas de representar relaciones como conjuntos, grafos, diagramas de flechas y matrices.
Este documento describe las redes de transporte y el flujo máximo en ellas. Una red de transporte es un grafo dirigido y ponderado que modela una red como una red de tuberías de petróleo. Se define el flujo como valores asignados a los lados dirigidos sin exceder la capacidad. Se presentan teoremas sobre la conservación del flujo y las propiedades de fuentes y depósitos. También se explica cómo convertir un grafo general en una red de transporte y la orientación de arcos. Finalmente, se describe el algoritmo de flujo
Este documento proporciona una introducción a los grafos. Define un grafo como una estructura de datos dinámica que permite representar relaciones entre objetos de manera gráfica. Explica conceptos clave como nodos, aristas, grado de un nodo, camino y grafos dirigidos y no dirigidos. También cubre métodos para representar y obtener caminos en grafos, así como conceptos adicionales como subgrafos y árboles de expansión mínima.
4.1 Espacios vectoriales
4.2 Subespacios vectoriales
4.3 Combinaciones lineales
4.4 Dependencia e independencia lineal
4.5 Base y dimensión
4.6 Kernel, imagen, espacio columna y espacio fila de una matriz
4.7 Ecuaciones lineales y espacios vectoriales
4.8 Cambio de base
4.9 Espacio cociente
4.10 Sumas y sumas directas
El documento presenta información sobre relaciones y grafos. Explica que una relación es un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos que vincula elementos de un conjunto de partida con elementos de un conjunto de llegada. Los grafos son estructuras matemáticas formadas por nodos unidos por aristas que permiten representar relaciones binarias. También describe propiedades de las relaciones como ser reflexiva, simétrica o transitiva, y cómo las relaciones de equivalencia dividen los conjuntos en clases de equivalencia.
Este documento explica conceptos básicos de grafos y relaciones como grafos, relaciones binarias, representaciones de relaciones, propiedades de relaciones como reflexividad y simetría, relaciones de equivalencia, clases de equivalencia, particiones, funciones y tipos de funciones. El autor concluye que estos temas son importantes para sistemas computacionales por su uso en órdenes, detección de errores y agrupamiento de datos.
Este documento define las relaciones binarias y sus propiedades. Explica que una relación binaria es un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos A y B. Luego describe las propiedades fundamentales de las relaciones binarias como reflexivas, simétricas, transitivas y totales. Finalmente, proporciona ejemplos y representaciones gráficas de relaciones binarias como diagramas cartesiano y de Venn.
Este documento presenta un curso de matemáticas discretas. El curso tiene como objetivo enseñar conceptos y herramientas básicas de matemáticas universitarias para resolver problemas complejos. Cubrirá temas como conjuntos, lógica, demostraciones, teoría de grafos y redes. El estudiante será evaluado a través de exámenes, tareas y asistencia.
El documento trata sobre relaciones y grafos. Explica que un grafo representa relaciones binarias entre elementos mediante vértices unidos por aristas, y que pueden usarse para modelar redes. También define conceptos matemáticos como el producto cartesiano, relaciones binarias, propiedades de relaciones (reflexividad, simetría, etc.), y tipos de funciones (inyectiva, sobreyectiva, biyectiva).
Este documento resume conceptos clave sobre grafos bipartitos, grafos bipartitos completos, isomorfismo de grafos y subgrafos. Define un grafo bipartito como uno que puede dividirse en dos partes de tal forma que una parte solo se conecta a la otra. Un grafo bipartito completo es uno donde cada vértice de una parte se conecta a todos los de la otra. Dos grafos son isomorfos si preservan las relaciones de adyacencia. Un subgrafo es un grafo formado por un subconjunto de vértices y aristas de un grafo mayor.
Este documento resume varias leyes y propiedades fundamentales de los conjuntos, incluyendo la idempotencia, la ley conmutativa, la involución, las leyes de Morgan, e identidades como A ∪ U = U y A ∩ ∅ = ∅. Se proveen definiciones formales de cada concepto junto con ejemplos ilustrativos.
Este documento trata sobre relaciones y grafos. Explica que un grafo consiste en un conjunto de vértices o nodos conectados por aristas o arcos, y que puede representar diversas relaciones en la vida real como mapas de carreteras o circuitos eléctricos. También define conceptos como relaciones binarias, producto cartesiano y diferentes propiedades de las relaciones como reflexividad y simetría. Por último, introduce las clases de equivalencia que surgen de una relación de equivalencia sobre un conjunto.
Una relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B. Puede expresarse mediante pares ordenados (a, b) o indicando que aRb. Las relaciones binarias pueden ser homogéneas, entre elementos de un mismo conjunto, o heterogéneas, entre elementos de conjuntos distintos. Las relaciones binarias pueden cumplir propiedades como ser reflexiva, simétrica o transitiva.
El documento describe los principios fundamentales del conteo y diferentes técnicas de conteo como la adición, la multiplicación, los arreglos con y sin repetición, las permutaciones y las permutaciones con repetición. Explica cómo aplicar estas técnicas para contar el número de posibilidades o decisiones en diferentes situaciones como elegir películas y obras de teatro, ir al teatro y luego a cenar, crear claves de cajero automático y disponer estudiantes en fila para una foto.
El documento describe el producto cartesiano de dos conjuntos y sus propiedades. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados posibles formados por un elemento de A y uno de B. Se proveen ejemplos y formas de representar el producto cartesiano como una tabla o diagrama de Venn. También se define la noción de relación entre elementos de conjuntos y se describen propiedades como reflexiva, simétrica, transitiva y más.
El documento presenta una introducción a la teoría de grafos, incluyendo definiciones básicas como vértices, aristas, grafos dirigidos y no dirigidos, así como aplicaciones como rutas entre ciudades. Explica el problema original planteado por Euler sobre los puentes de Königsberg y cómo lo resolvió usando un grafo. También describe algoritmos comunes como el de Floyd-Warshall para encontrar caminos mínimos.
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de grafos, incluyendo definiciones de grafos, vértices, aristas y tipos de grafos. Explica el problema histórico de los siete puentes de Königsberg y cómo se resolvió utilizando la teoría de grafos. También cubre temas como matrices de adyacencia e incidencia, isomorfismo de grafos, ciclos de Euler y Hamilton. Finalmente, incluye ejercicios para identificar elementos en grafos.
Tema 3,APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES EN LA ADMINISTRACIONJORGE JIMENEZ
Este documento trata sobre la aplicación de ecuaciones lineales en la administración. Explica conceptos como coordenadas cartesianas, líneas rectas, sistemas de ecuaciones, costos fijos y variables, punto de equilibrio, depreciación lineal y oferta y demanda. Utiliza ecuaciones lineales para modelar diferentes conceptos financieros y de negocios como costos de producción, punto de equilibrio de una empresa y equilibrio del mercado.
El documento introduce la teoría de grafos y sus conceptos fundamentales. Explica que un grafo consiste en un conjunto de nodos unidos por aristas o segmentos. Presenta diferentes tipos de grafos como grafos dirigidos, no dirigidos, regulares, bipartitos, conexos y árboles. También define conceptos clave como camino, valencia, lazo y ramas paralelas. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de los grafos como la modelización de circuitos y rutas de transporte público.
Este documento describe los conceptos básicos de los grafos y sus aplicaciones. Los grafos permiten modelar relaciones entre elementos que interactúan. Se definen grafos como conjuntos de nodos y aristas, y se explican conceptos como caminos, ciclos, grado de nodos, y diferentes tipos de grafos como grafos dirigidos, ponderados y bipartitos. También se introducen teoremas importantes como los de Euler y Hamilton para encontrar caminos y ciclos especiales en grafos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de grafos. Explica que los grafos se utilizan para modelar situaciones mediante una representación simplificada que considera solo las características relevantes. Define formal e informalmente los conceptos de vértices, aristas y grafos. Luego introduce otras definiciones como vértices adyacentes, grado de un vértice y representaciones matriciales de grafos. Finalmente, aborda conceptos como caminos, ciclos, grafos regulares e isomorfismos.
Este documento trata sobre relaciones y grafos. Explica que un grafo consiste en un conjunto de vértices y aristas que conectan los vértices. También define las propiedades de relaciones como reflexiva, simétrica y transitiva. Finalmente, discute formas de representar relaciones como conjuntos, grafos, diagramas de flechas y matrices.
Este documento describe las redes de transporte y el flujo máximo en ellas. Una red de transporte es un grafo dirigido y ponderado que modela una red como una red de tuberías de petróleo. Se define el flujo como valores asignados a los lados dirigidos sin exceder la capacidad. Se presentan teoremas sobre la conservación del flujo y las propiedades de fuentes y depósitos. También se explica cómo convertir un grafo general en una red de transporte y la orientación de arcos. Finalmente, se describe el algoritmo de flujo
Este documento proporciona una introducción a los grafos. Define un grafo como una estructura de datos dinámica que permite representar relaciones entre objetos de manera gráfica. Explica conceptos clave como nodos, aristas, grado de un nodo, camino y grafos dirigidos y no dirigidos. También cubre métodos para representar y obtener caminos en grafos, así como conceptos adicionales como subgrafos y árboles de expansión mínima.
4.1 Espacios vectoriales
4.2 Subespacios vectoriales
4.3 Combinaciones lineales
4.4 Dependencia e independencia lineal
4.5 Base y dimensión
4.6 Kernel, imagen, espacio columna y espacio fila de una matriz
4.7 Ecuaciones lineales y espacios vectoriales
4.8 Cambio de base
4.9 Espacio cociente
4.10 Sumas y sumas directas
El documento presenta información sobre relaciones y grafos. Explica que una relación es un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos que vincula elementos de un conjunto de partida con elementos de un conjunto de llegada. Los grafos son estructuras matemáticas formadas por nodos unidos por aristas que permiten representar relaciones binarias. También describe propiedades de las relaciones como ser reflexiva, simétrica o transitiva, y cómo las relaciones de equivalencia dividen los conjuntos en clases de equivalencia.
Este documento explica conceptos básicos de grafos y relaciones como grafos, relaciones binarias, representaciones de relaciones, propiedades de relaciones como reflexividad y simetría, relaciones de equivalencia, clases de equivalencia, particiones, funciones y tipos de funciones. El autor concluye que estos temas son importantes para sistemas computacionales por su uso en órdenes, detección de errores y agrupamiento de datos.
La Evolución de la Matemática Hasta la Actualidadslaterken
Este documento trata sobre las relaciones y grafos. Explica conceptos clave como grafos, producto cartesiano, relaciones binarias, representaciones de relaciones, diagramas de flechas, propiedades de reflexión, simetría y transitividad, relaciones de equivalencia, clases de equivalencia, funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Concluye resaltando la importancia de comprender la naturaleza de estas relaciones y funciones.
Este documento define relaciones y funciones matemáticas. Explica qué son las relaciones de equivalencia y cómo forman particiones a través de clases de equivalencia. También describe propiedades de relaciones como reflexividad, simetría y transitividad. Finalmente, introduce órdenes parciales, diagramas de Hasse y representaciones de funciones.
Este documento presenta información sobre relaciones, grafos y sus representaciones. Explica que una relación es un vínculo entre dos conjuntos, y que un grafo representa relaciones entre elementos mediante nodos y aristas. También describe cómo representar relaciones y grafos usando matrices, diagramas de flechas y otros métodos.
Este documento describe diferentes tipos de relaciones entre conjuntos, incluyendo relaciones binarias, relaciones de equivalencia, relaciones de orden y relaciones inversas. Explica que una relación binaria es un subconjunto del producto cartesiano de un conjunto consigo mismo y analiza propiedades como ser reflexiva, simétrica o transitiva. También define clases de equivalencia y el conjunto cociente determinado por una relación de equivalencia.
Este documento presenta información sobre grafos y relaciones binarias. Explica que un grafo representa gráficamente un conjunto de puntos unidos por líneas, y permite estudiar las interrelaciones entre unidades. También define conceptos como relaciones binarias, producto cartesiano, diagramas de flechas y propiedades de las relaciones como reflexiva, simétrica y transitiva. Finalmente, introduce relaciones de equivalencia y clases de equivalencia.
Las relaciones y grafos son importantes porque permiten representar de forma visual las relaciones entre elementos de estudio. Las relaciones son vínculos entre conjuntos donde cada elemento de un conjunto corresponde a al menos un elemento del otro conjunto. Los grafos permiten resolver problemas de manera práctica y confiable. Las relaciones se pueden representar mediante matrices, diagramas de flechas y particiones de conjuntos.
1º Clase del tema de Relaciones Binarias. Muestr los distintos modos de representarlas: Por notacion conjuntista, por Digrafos y por medio de Matricesa
El documento explica conceptos básicos de teoría de grafos y relaciones matemáticas como grafos, relaciones binarias, propiedades de relaciones (reflexiva, simétrica, transitiva), clases de equivalencia, particiones y funciones (inyectiva, suprayectiva, biyectiva). Estos conceptos son importantes para sistemas computacionales ya que permiten representar y estudiar interrelaciones entre unidades que interactúan.
El documento describe diferentes tipos de relaciones entre conjuntos, incluyendo relaciones, correspondencias, aplicaciones y relaciones de equivalencia. Explica que una relación binaria es un subconjunto del producto cartesiano de un conjunto consigo mismo. También define propiedades como reflexiva, simétrica y transitiva que pueden tener las relaciones binarias. Por último, introduce las clases de equivalencia que surgen de una relación de equivalencia y el conjunto cociente formado por todas las clases.
El documento describe el álgebra relacional, que incluye ocho operadores como selección, proyección, producto cartesiano, unión, intersección, diferencia y join. Estos operadores manipulan relaciones mediante la selección, combinación y reorganización de datos de acuerdo con ciertas condiciones. El álgebra relacional proporciona una representación intermedia de consultas a bases de datos que puede optimizarse para una mayor eficiencia.
El documento define un retículo como un conjunto en el que se han definido dos operaciones llamadas unión e intersección que cumplen ciertas propiedades. Proporciona ejemplos de retículos como conjuntos ordenados y subespacios vectoriales. También explica las propiedades de asociatividad, conmutatividad e idempotencia que cumplen las operaciones de un retículo.
El documento habla sobre relaciones binarias y productos cartesianos. Define conceptos como pares ordenados, producto cartesiano de conjuntos, y relaciones binarias. Las relaciones binarias pueden tener propiedades como reflexiva, simétrica, antisimétrica o transitiva. También introduce las nociones de relación de equivalencia y relación de orden.
Este documento explica las funciones racionales y cómo representarlas gráficamente. Define una relación como una correspondencia entre dos conjuntos, y una función como una relación especial donde cada elemento del primer conjunto está relacionado con exactamente un elemento del segundo conjunto. Explica cómo calcular el dominio y codominio de una función y representarla mediante tablas, gráficas y expresiones algebraicas.
Este documento presenta información sobre el álgebra relacional. Define el álgebra relacional como un conjunto de operaciones que describen cómo procesar consultas sobre relaciones de bases de datos. Explica que hay ocho operadores en el álgebra relacional, incluyendo selección, proyección, producto cartesiano, unión, intersección, diferencia, join y división. Luego proporciona ejemplos detallados de cómo aplicar los operadores de selección, proyección y producto cartesiano a relaciones.
Este documento introduce las relaciones binarias y n-arias, y discute varias formas de representar y operar con relaciones. Explica que las relaciones son conjuntos de pares ordenados y que pueden representarse como listas, matrices u otros métodos. También define los conceptos de dominio, rango e introduce algunas operaciones comunes con relaciones como la inversa, unión, intersección y complemento.
El documento habla sobre conceptos de relaciones y funciones como dominio, recorrido, funciones, relaciones de equivalencia, particiones de conjuntos, diagramas de Hasse y álgebra relacional. Explica que el dominio de una relación es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados, mientras que el recorrido es el conjunto de las segundas componentes. Una función requiere que cada elemento del dominio tenga una única imagen en el recorrido. También define relaciones de equivalencia y clases de equivalencia.
Son pequeños espacios para el bienestar de toda la población para así poder distraerse realizar deportes para la salud
bienestar para la educación superior
2. Introducción
• Una relación matemática puede ser descrita como un
par de conjuntos ordenados que tienen un vínculo entre
sí.
• Un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o
nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que
permiten representar relaciones binarias entre elementos
de un conjunto.
3. Relaciones
• A continuación, definimos una relación como cualquier conjunto de pares
ordenados. En el contexto de álgebra, las relaciones de interés son conjuntos
de pares ordenados (x, y) en el plano de coordenadas rectangular.
Típicamente, las coordenadas están relacionadas por una regla expresada
usando una ecuación algebraica. Por ejemplo, ambas ecuaciones algebraicas
y = | x | −2 y x = | y | +1 definen relaciones entre x e y. Los siguientes son
algunos enteros que satisfacen ambas ecuaciones:
4. Grafos
• Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de
puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas).
• Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten estudiar las
interrelaciones entre unidades que interactúan unas con otras. Por ejemplo,
una red de computadoras puede representarse y estudiarse mediante un
grafo, en el cual los vértices representan terminales y las aristas
representan conexiones.
• Prácticamente cualquier problema puede representarse mediante un grafo, y
su estudio trasciende a las diversas áreas de las ciencias exactas y las
ciencias sociales.
5. Ejemplo
• La imagen es una representación del siguiente grafo:
• V:={1,2,3,4,5,6}
• E:={{1,2},{1,5},{2,3},{2,5},{3,4},{4,5},{4,6}}
• El hecho que el vértice 1 sea adyacente con el vértice 2 puede ser denotado
como 1 ~ 2.
• En la teoría de las categorías una categoría puede ser considerada como un
multigrafo dirigido, con los objetos como vértices y los morfismos como
aristas dirigidas.
• En ciencias de la computación los grafos dirigidos son usados para
representar máquinas de estado finito y algunas otras estructuras discretas.
• Una relación binaria R en un conjunto X es un grafo dirigido simple. Dos
vértices a, b en X están conectados por una arista dirigida ab si aRb.
6. Propiedades de los Grafos
• Adyacencia: dos aristas son adyacentes si tienen un vértice en común, y dos
vértices son adyacentes si una arista los une.
• Incidencia: una arista es incidente a un vértice si ésta lo une a otro.
• Ponderación: corresponde a una función que a cada arista le asocia un valor
(costo, peso, longitud, etc.), para aumentar la expresividad del modelo. Esto
se usa mucho para problemas de optimización, como el del vendedor viajero o
del camino más corto.
• Etiquetado: distinción que se hace a los vértices y/o aristas mediante una
marca que los hace unívocamente distinguibles del resto.
Matriz de adyacencia Lista de adyacencia
7. Producto Cartesiano
• Dados dos conjuntos A y B una relación es un subconjunto del producto
cartesiano A x B.
Un elemento a, que pertenece al conjunto A, está relacionado con un
elemento b, que pertenece al conjunto B, si el par (a, b) pertenece a un
subconjunto G (llamado grafo) del producto cartesiano A x B.
• Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto cartesiano
A x B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}. Una relación sería R =
{(a,1),(c,2)}.
8. Producto Cartesiano
• Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las
parejas ordenadas (a, b) en donde a ∈ A y b ∈B se llama producto o
producto cartesiano de A y B. La definición de producto cartesiano
puede extenderse fácilmente al caso de más de dos conjuntos.
Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa
A x B, al conjunto de pares ordenados (a, b), tales que el primer
elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al
segundo conjunto. Es decir:
• A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B} El producto cartesiano, en general, no es
conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A.
• Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes.
9. Ejemplo
Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:
• A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3),
(c, 4)}
• Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como
se muestra a continuación. Aquí, cada punto P representa una pareja
ordenada (a, b) de números reales y viceversa; la línea vertical a través de P
encuentra al eje x en a, y la línea horizontal a través de P encuentra el eje y
en b.
• A esta representación se le conoce como diagrama cartesiano.
10. Relación Binaria
• La relación binaria definida en un conjunto A es un subconjunto del producto
cartesiano A x A.
• EJEMPLO:
• Sea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representa una
relación binaria definida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y, y)
constituyen un subconjunto de A x A.
Se dice que dos elementos a y b están
relacionados, y se escribe a R b, “a está relacionado
con b mediante la relación binaria R”, cuando el
par ordenado (a, b) pertenece al subconjunto del
producto cartesiano que define la relación.
Si dos elementos a y b no están relacionados
mediante R en algún sentido, escribiremos a R b o
b R a o ambas cosas.
11. Propiedades de las Relaciones
• Las principales propiedades que puede presentar una relación binaria R
definida en un conjunto A se indican en la siguiente tabla, junto con sus
respectivas condiciones.
12. Diagrama de Flechas
• El diagrama de flechas es el indicador de orden de cómo deben ser
ejecutadas las actividades de un determinado proyecto, Se encuentra
fundamentado por la aplicación metodológica del camino crítico. Su
objetivo es darle facilidad a la planificación y programación de los
proyectos que sean altamente complejos y de gran magnitud y
comprende una simplificación del método PERT.
13. Diagrama de Flechas
• Este tipo de diagrama brinda la posibilidad de poder planificar y controlar
correctamente el desarrollo y progreso de cualquier proyecto que esté
formado por una gran diversidad de actividades. Permite que las actividades
vinculadas al proyecto, la secuencia y el tiempo de duración, se conozcan.
• Además, proporciona el total control del proyecto, permitiendo afrontar las
dificultades que se presenten en el transcurso de la ejecución del mismo, lo
que se puede demostrar en un solo documento. Esta técnica la puede utilizar
cualquier persona que sea parte de una organización como una favorable
herramienta que se involucre en el trabajo diario.
• Este método es una técnica de red de proyectos, se basa en actividades
representadas por medio de flechas. Su uso ha permitido que gran parte de
los sistemas de computación utilicen esta representación, por lo tanto, es un
desarrollo favorable que ha ido en aumento hoy en día.
14. Relaciones de Equivalencia
• En teoría de conjuntos y álgebra, la
noción de relación de equivalencia
sobre un conjunto permite establecer
una relación entre los elementos del
conjunto que comparten cierta
característica o propiedad. Esto
permite reagrupar dichos elementos
en clases de equivalencia, es decir,
«paquetes» de elementos similares.
Esto posibilita la construcción de
nuevos conjuntos «añadiendo» todos
los elementos de una misma clase
como un solo elemento que los
representará y que define la noción de
conjunto cociente.
15. Clase de equivalencia
• En lógica de clases y análisis matemático, la relación de equivalencia R
define subconjuntos disjuntos en K llamados clases de equivalencia:
• Dado un elemento a K, el conjunto dado por todos los elementos
relacionados con a definen la clase:
• Se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento a.
• Al elemento a se le llama representante de la clase.
• Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia;
si éste es finito, se dice que la relación es de orden finito.
• El concepto de clase de equivalencia tiene importancia en ciencia, dado un
conjunto de objetos o entidades abstractas (potencialmente infinitas),
pueden establecerse relaciones de equivalencia sobre la base de algún
criterio, las clases resultantes son los "tipos" en los que se puede clasificar
toda la gama de objetos.
16. Partición de equivalencia
• Una relación de equivalencia sobre un conjunto induce una partición del
mismo, es decir, un conjunto en el que se ha definido una relación de
equivalencia puede ser dividido en varios subconjuntos de elementos
equivalentes entre sí y tales que la reunión de esos subconjuntos coincide
con el conjunto entero. El siguiente teorema expresa en términos más
formales esa misma idea:
• Proposición: Una relación de equivalencia en el conjunto no vacío K
determina una partición de este, y toda partición de K determina una
relación de equivalen La partición tiene como elementos las clases de
equivalencia. Estas son disjuntas dos a dos y la unión de ellas es igual al
conjunto K.
• Para cualquiera dos no relacionados tenemos:
• La unión de todos integra al total:
17. Cerradura
• En muchas ocasiones una relación no cumple alguna de las propiedades de
equivalencia, pero hay relaciones que la incluyen y que sí cumplen la
propiedad. De todas las relaciones la menor posible se llama su cerradura.
• Sea R una relación en un conjunto A
• Una cerradura reflexiva ref( R ) de R en A es la “menor” relación que la
incluye y que es reflexiva, con símbolos:
(∀ R’ reflexiva) (A ⊆ R’ ⊆ ref( R )) ⇒ R’ = ref( R ))
• Una cerradura simétrica sim( R ) de R en A es la “menor” relación que la
incluye y que es simétrica, con símbolos:
(∀ R’ reflexiva) (A ⊆ R’ ⊆ ref( R )) ⇒ R’ = ref( R ))
• Una cerradura transitiva trans( R ) de R en A es la “menor” relación que la
incluye y que es transitiva, con símbolos:
(∀ R’ reflexiva) (A ⊆ R’ ⊆ ref( R )) ⇒ R’ = ref( R )
18. Función Inyectiva
• Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que
tengan la misma imagen. Formalmente:
19. Función sobreyectiva
• Una función es sobreyectiva, también llamada suprayectiva o exhaustiva,
cuando el codominio y el recorrido coinciden. Formalmente:
20. Función biyectiva
• Una función es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo
tiempo. Formalmente: