Download as PDF, PPTX
![Фрактал
• Фрактал [fractal] -
1. множество, обладающее свойством самоподобия
2. Рекурсивно-определённое бесконечное множество,
хаусдорфова размерность которого больше топологической
размерности
• Требование не выполняется для Гильбертовых кривых, которые часто
также относят к фракталам
• На удивление хорошо представлены в Википедии:
• http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal
© 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 3](https://image.slidesharecdn.com/programmingteachingfractalsinpython-181108220200/85/Python-3-320.jpg)
![Популярные фракталы
• Множество Кантора [Cantor set] – нигде не плотное несчётное
совершенное множество
• Кривая Коха [Koch curve] – несамопересекающаяся
непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая
касательной ни в одной точке
• Треугольник Серпинского [Sierpinski triangle] («скатерть») +
ковёр Серпинского – аналоги множества Кантора на плоскости
• Губка Менгера [Menger sponge] – аналог множества Кантора в
трёхмерном пространстве
• Функция Вейерштрасса [Weierstrass function] – нигде не
дифференцируемая непрерывная функция
• Кривая Пеано [Space-filling curve] – непрерывная кривая,
проходящая через все точки квадрата
© 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 5](https://image.slidesharecdn.com/programmingteachingfractalsinpython-181108220200/85/Python-5-320.jpg)
![«Снежинка Коха» – определение
• Снежинка Коха [Koch snowflake]
• Хельге фон Кох, 1904 год
• Замкнутая кривая бесконечной длины –
Геометрический фрактал в 2D
• Нигде не дифференцируема
• Коэффициент подобия = 1/3
• Хаусдорфова размерность = ln 4/ln 3 ≈ 1,26
• Итеративная процедура построения
• Начать с равностороннего треугольника
• Его стороны – начальные три отрезка
• Каждый отрезок заменяем на три новых отрезка:
© 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 6](https://image.slidesharecdn.com/programmingteachingfractalsinpython-181108220200/85/Python-6-320.jpg)
![Функция Вейерштрасса – определение
• Функция Вейерштрасса [Weierstrass function]
• К. Вейерштрасс, 1872 год
• Непрерывная функция, нигде не имеющая производной
• Задаётся рядом Фурье:
• 𝑤 𝑥 = σ 𝑛=0
∞
𝑎 𝑛cos(𝑏 𝑛 𝜋𝑥), где:
• 0 < 𝑎 < 1,
• 𝑏 – положительное нечётное число,
• 𝑎𝑏 > 1 +
3
2
𝜋
• В 1930 году Б. ван дер Варден предложил более простой
вариант: 𝑣 𝑥 = σ 𝑛=0
∞ {10 𝑛 𝑥}
10 𝑛 , где {} – взятие дробной части
© 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 11](https://image.slidesharecdn.com/programmingteachingfractalsinpython-181108220200/85/Python-11-320.jpg)
![Треугольник Серпинского – определение
• Треугольник Серпинского [Sierpiński triangle]
• В. Серпинский, 1915 год
• Принцип построения известен задолго до...
• Часто использовался в орнаментах
• Итеративное вырезание из треугольника центра
(в виде треугольника) с получением трёх меньших
треугольников...
• Хаусдорфова размерность = ln 3/ln 2 ≈ 1,585
• Очевидным образом можно на границах треугольников построить
кривую Серпинского
• Связь с треугольником Паскаля
• Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет,
а чётные – в белый, то образуется треугольник Серпинского
© 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 13](https://image.slidesharecdn.com/programmingteachingfractalsinpython-181108220200/85/Python-13-320.jpg)
![Папоротник Барнсли – определение
• Папоротник Барнсли [Barnsley's fern]
• Майкла Барнсли, 1988 год
• Курс «Фрактальная геометрия»
[Fractal Geometry]
• Пример системы итеративных функций
[iterated function system (IFS)]
• Самоподобие каждого фрагмента
«веточки» самой «веточке»
© 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 16](https://image.slidesharecdn.com/programmingteachingfractalsinpython-181108220200/85/Python-16-320.jpg)
![Множество Мандельброта – определение
• Множество Мандельброта [Mandelbrot set]
• Множество комплексных чисел 𝑐 такое что
𝑧 𝑛+1 = 𝑧 𝑛
2 + 𝑐 при 𝑧0 = 0 задаёт
ограниченную последовательность
• П. Фату + Г. Жюлиа, 1905 г. (исследование) →
Р. Брукс, 1978 г. (первая отрисовка) →
Б. Мандельброт с коллегами, 1980
(полноценная компьютерная визуализация)
• C самоподобием у него не всё хорошо
• Особо интересны варианты т.н. «p/q-limb» (http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set)
© 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 19](https://image.slidesharecdn.com/programmingteachingfractalsinpython-181108220200/85/Python-19-320.jpg)
![Pillow – Пример создания миниатюр
1. from __future__ import print_function
2. import os, sys
3. from PIL import Image
4. size = (128, 128)
5. for infile in sys.argv[1:]:
6. outfile = os.path.splitext(infile)[0] + ".thumbnail"
7. if infile != outfile:
8. try:
9. im = Image.open(infile)
10. im.thumbnail(size)
11. im.save(outfile, "JPEG")
12. except IOError:
13. print("cannot create thumbnail for", infile)
© 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 37](https://image.slidesharecdn.com/programmingteachingfractalsinpython-181108220200/85/Python-37-320.jpg)
Uploaded byAlexey Neznanov
Фрактальная геометрия и программирование на Python
Документ представляет собой учебный материал по фрактальной геометрии и программированию на Python, описывающий различные типы фракталов и их визуализацию. Он охватывает теоретические аспекты, такие как определения, примеры и парадоксы, а также практическое применение фракталов в программировании и графике. Рассматриваются фракталы как в математическом, так и в художественном контексте, включая алгоритмы и библиотеки Python для их генерации.
More Related Content
Similar to Фрактальная геометрия и программирование на Python
Фрактальная геометрия и программирование на Python
- 1. Фрактальная геометрия и программированиена Python (школа учителей 2018) Незнанов Алексей Андреевич, доцент департамента анализа данных и искусственного интеллекта факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ, старший научный сотрудник международной лаборатории интеллектуальных систем и структурного анализа ФКН НИУ ВШЭ © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 1
- 2. Математика и фракталы ✓Фракталы ✓ Типы и способы задания ✓ Рекурсивные функции ✓ Дробная размерность ✓ Примеры © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 2
- 3. Фрактал • Фрактал [fractal]- 1. множество, обладающее свойством самоподобия 2. Рекурсивно-определённое бесконечное множество, хаусдорфова размерность которого больше топологической размерности • Требование не выполняется для Гильбертовых кривых, которые часто также относят к фракталам • На удивление хорошо представлены в Википедии: • http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 3
- 4. Типы фракталов • Обычновыделяют три основных типа фракталов: 1. Геометрический фрактал • Рекурсивный генератор бесконечной линии или поверхности 2. Алгебраический фрактал • Нелинейная динамическая система 3. Стохастический фрактал • Случайный процесс с изменяющимися параметрами • Только геометрические фракталы визуализируются «напрямую» в виде конкретной фигуры • Остальные типы позволяют визуализировать некоторую «проекцию», «срез», «реализацию» и т.п. © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 4
- 5. Популярные фракталы • МножествоКантора [Cantor set] – нигде не плотное несчётное совершенное множество • Кривая Коха [Koch curve] – несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке • Треугольник Серпинского [Sierpinski triangle] («скатерть») + ковёр Серпинского – аналоги множества Кантора на плоскости • Губка Менгера [Menger sponge] – аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве • Функция Вейерштрасса [Weierstrass function] – нигде не дифференцируемая непрерывная функция • Кривая Пеано [Space-filling curve] – непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 5
- 6. «Снежинка Коха» –определение • Снежинка Коха [Koch snowflake] • Хельге фон Кох, 1904 год • Замкнутая кривая бесконечной длины – Геометрический фрактал в 2D • Нигде не дифференцируема • Коэффициент подобия = 1/3 • Хаусдорфова размерность = ln 4/ln 3 ≈ 1,26 • Итеративная процедура построения • Начать с равностороннего треугольника • Его стороны – начальные три отрезка • Каждый отрезок заменяем на три новых отрезка: © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 6
- 7. «Снежинка Коха» –анимация © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 7 © 2015, Vermip
- 8. Обобщения кривой Коха •Принципы • Изменения угла: от 60° до 90° • Изменения принципа разделения отрезка • Примеры кривых: • Квадратичная 1 типа: • Квадратичная 2 типа: © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 8
- 9. Откуда берётся дробнаяразмерность • Фрактальная размерность (http://ru.wikipedia.org/wiki/Фрактальная_размерность) • Предел отношения мощности двух бесконечных (счётных) множеств • Сейчас не будем погружаться... • Для понимания вопрос: • Какова длина береговой линии? • А если уточнить? • «Парадокс береговой линии» (http://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_береговой_линии) © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 9
- 10. Иллюстрация парадокса береговой линии •Измеряем береговую линию Великобритании • Если используем отрезки по 100 км, то длина ≈ 2 800 км • Если используем отрезки по 50 км, то длина ≈ 3 400 км • На 600 км больше! • И так далее до бесконечности... © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 10
- 11. Функция Вейерштрасса –определение • Функция Вейерштрасса [Weierstrass function] • К. Вейерштрасс, 1872 год • Непрерывная функция, нигде не имеющая производной • Задаётся рядом Фурье: • 𝑤 𝑥 = σ 𝑛=0 ∞ 𝑎 𝑛cos(𝑏 𝑛 𝜋𝑥), где: • 0 < 𝑎 < 1, • 𝑏 – положительное нечётное число, • 𝑎𝑏 > 1 + 3 2 𝜋 • В 1930 году Б. ван дер Варден предложил более простой вариант: 𝑣 𝑥 = σ 𝑛=0 ∞ {10 𝑛 𝑥} 10 𝑛 , где {} – взятие дробной части © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 11
- 12. Функция Вейерштрасса –иллюстрация © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 12
- 13. Треугольник Серпинского –определение • Треугольник Серпинского [Sierpiński triangle] • В. Серпинский, 1915 год • Принцип построения известен задолго до... • Часто использовался в орнаментах • Итеративное вырезание из треугольника центра (в виде треугольника) с получением трёх меньших треугольников... • Хаусдорфова размерность = ln 3/ln 2 ≈ 1,585 • Очевидным образом можно на границах треугольников построить кривую Серпинского • Связь с треугольником Паскаля • Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные – в белый, то образуется треугольник Серпинского © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 13
- 14. Треугольник Серпинского –итерации © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 14
- 15. Кривая Пеано –итерации © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 15
- 16. Папоротник Барнсли –определение • Папоротник Барнсли [Barnsley's fern] • Майкла Барнсли, 1988 год • Курс «Фрактальная геометрия» [Fractal Geometry] • Пример системы итеративных функций [iterated function system (IFS)] • Самоподобие каждого фрагмента «веточки» самой «веточке» © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 16
- 17. Папоротник Барнсли – классическийалгоритм • Первая точка ставится в начале координат (𝑥0 = 0, 𝑦0 = 0) • Следующие точки итеративно вычисляются путем случайного применения одного из следующих четырех преобразований координат: 1. 𝑥 𝑛+1 = 0 ; 𝑦 𝑛+1 = 0,16 𝑦𝑛 • В 1% случаев, указывает на точку у основания «стебля» 2. 𝑥 𝑛+1 = 0,85 𝑥 𝑛 + 0,04 𝑦𝑛 ; 𝑦 𝑛+1 = −0.04 𝑥 𝑛 + 0,85 𝑦𝑛 + 1,6 • В 85% случаев, лист 3. 𝑥 𝑛+1 = 0,2 𝑥 𝑛 − 0,26𝑦_𝑛 ; 𝑦 𝑛+1 = 0,23 𝑥 𝑛 + 0,22𝑦𝑛 + 1,6 • В 7% случаев, начало листьев с одной стороны веточки 4. 𝑥 𝑛+1 = −0,15 𝑥 𝑛 + 0,28 𝑦𝑛 ; 𝑦 𝑛+1 = 0.26 𝑥 𝑛 + 0.24 𝑦𝑛 + 0,44 • В 7% случаев, начало симметричных листьев © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 17
- 18. Пример другой IFS ©2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 18
- 19. Множество Мандельброта –определение • Множество Мандельброта [Mandelbrot set] • Множество комплексных чисел 𝑐 такое что 𝑧 𝑛+1 = 𝑧 𝑛 2 + 𝑐 при 𝑧0 = 0 задаёт ограниченную последовательность • П. Фату + Г. Жюлиа, 1905 г. (исследование) → Р. Брукс, 1978 г. (первая отрисовка) → Б. Мандельброт с коллегами, 1980 (полноценная компьютерная визуализация) • C самоподобием у него не всё хорошо • Особо интересны варианты т.н. «p/q-limb» (http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set) © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 19
- 20. Мандельброт в текстовомрежиме © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 20 © 2018, E. Bosman
- 21. Коралл в папоротники обратно © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 21 © 2018, Зона кода
- 22. Папоротник в треугольники обратно © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 22 © 2018, Зона кода
- 23. Приложения фракталов ✓ Описаниемира ✓ Синтез систем ✓ Сжатие данных © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 23
- 24. Фракталы для описаниямира • Всё в нашем мире – фрактал • Листья деревьев • Артерии и вены в нашем теле • Облака • Молекула ДНК • Поведение фондового рынка • Космологические конструкции (вселенная) • Турбулентные вихри • Шероховатость поверхностей • ... © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 24
- 25. Анализ и синтезна основе фракталов • Сжатие изображений • Начиная с JPEG • Изменение размера изображений • Фильтры на основе фракталов • Генерация изображений • Фрактальные поверхности и фрактальные текстуры • Производящие функции + IFS • + Raytracing, raymatching • … © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 25
- 26. Приложения – абстрактнаяживопись • Фрактал Ляпунова – бифуркационные фракталы, порождённые расширением логистического отображения, в которых степень роста совокупности периодически меняет значение с 𝐴 на 𝐵 и наоборот • Lyapunov Exponents (http://www.efg2.com/Lab/FractalsAndChaos/Lyapunov.htm) © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 26
- 27. Приложения – генерацияландшафтов • Минимальным объёмом кода! • This 4-kilobyte demo squeezes a universe of fractals into the size of a Word document (http://www.theverge.com/2012/5/14/3014698/assembly-4k- demoscene-fractals) • Hartverdrahtet by Akronyme Analogiker (http://www.pouet.net/prod.php?which=59086) • Elevated by Rgba & TBC (http://www.pouet.net/prod.php?which=52938) • Ixaleno by Rgba (http://www.pouet.net/prod.php?which=50068) © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 27
- 28. Фрактальный ландшафт (Iñigo Quilez,2016) © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 28
- 29. Фрактальный ландшафт ипогода • David Hoskins (http://www.shadertoy.com) © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 29
- 30. Arcane Landscape byDavid Hoskins, 2018 © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 30
- 31. Питон и фракталы ✓Графика при программировании на Python ✓ Черепашка ✓ Pillow ✓ Matplotlib ✓ Реализация фракталов © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 31
- 32. Графика и Python •Подходы • 2D- и 3D-графика • Векторная и растровая графика • Платформы • Unix-like • Windows • MacOS • iOS • Android • … • Библиотеки • Огромное количество! • Рассмотрим Turtle, Pillow и MatPlotLib © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 32
- 33. Черепашка в Python •Одна из реализаций: Python Turtle (http://docs.python.org/3.3/library/turtle.html) • В repl.it (http://repl.it) нужно выбрать язык • Python (with Turtle): A dynamic language emphasizing readability © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 33
- 34. Pillow – чтоэто? • PIL (Python Imaging Library) → Pillow • Pillow – The friendly PIL fork (http://python-pillow.org) • Pillow Docs (http://pillow.readthedocs.io) • Managed by Alex Clark • Текущая версия: 5.3.0 • Установка из PyPI: $ pip install Pillow • Начинающим: • Pillow Tutorial (http://pillow.readthedocs.io/en/latest/handbook/tutorial.html) • Продолжающим • Распараллеленная версия (http://github.com/uploadcare/pillow-simd) • Производительность: • Pillow Performance (http://python-pillow.org/pillow-perf/) © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 34
- 35. Pillow – Зависимости •Libjpeg – для баззовой поддержки формата JPEG • Zlib – для пожжержки сжатия (компрессии) • Libtiff – для поподдержки сжатых TIFF-файлов • Libfreetype – для поддержки шрифтов FreeType • Littlecms – для управления цветовыми профилями (CMS) • tcl/tk – для поддержки tkinter • Libwebp – для поддержки формата WebP • Openjpeg – для поддержки формата JPEG 2000 • Libimagequant – для продвинутой работы с цветом • Libraqm – для работы со шрифтами © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 35
- 36. Pillow – какначать использовать? • from PIL import <Модуль> • Модули: • Image – основной модуль, содержащий класс Image • ImageChops – поканальные операции • ImageColor – таблицы цветов, включая CSS3 для веба • ImageCMS – управление цветовыми профилями • ImageDraw – 2D векторная графика (есть отдельный модуль aggdraw на основе знаменитого проекта Anti-Grain Geometry (AGG) М. Шиманарева) • ImageEnhance – обработка изображений (в основном – улучшение качества) • ImageFile – ввод/вывод • ImageFilter – стандартные растровые фильтры • ImageMath – алгебра над изображениями (арифметика и логика) • ImageMorph – морфологические • ImageFont – работа со своим собственных форматом шрифтов + FreeType • ImagePalette – управление палитрами • ImageStat – статистика по пикселям изображения или фрагмента • … © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 36
- 37. Pillow – Примерсоздания миниатюр 1. from __future__ import print_function 2. import os, sys 3. from PIL import Image 4. size = (128, 128) 5. for infile in sys.argv[1:]: 6. outfile = os.path.splitext(infile)[0] + ".thumbnail" 7. if infile != outfile: 8. try: 9. im = Image.open(infile) 10. im.thumbnail(size) 11. im.save(outfile, "JPEG") 12. except IOError: 13. print("cannot create thumbnail for", infile) © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 37
- 38. Pillow – заготовкадля рисования 1. from PIL import Image 2. XRange = 512 3. YRange = 512 4. image = Image.new("RGB", (XRange, YRange)) 5. #... 6. image.putpixel((x, y), (r, g, b)) 7. #... 8. image.save("name.png", "PNG") © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 38
- 39. MatPlotLib • Matplotlib (http://matplotlib.org)– библиотека «научной графики» • Координировалась John Hunter (вплоть до его смерти в 2012 году) • Текущая версия 3.0.0 • Позволяет очень удобно строить графики функций, статистические диаграммы и т.п. • Поддерживает интерактивный режим работы пользователя • Активно используется почти во всех во всех научных приложениях на Python • Введение на русском: • Построение графиков в Python при помощи Matplotlib (http://python-scripts.com/matplotlib) © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 39
- 40. Примеры реализации • Подготовленныедля экспериментов: • Папоротник 1 (http://repl.it/@Alex_Neznanov/Fractal-Fern-Leon-Hostetler) • Ньютон 1 (http://repl.it/@Alex_Neznanov/Newton-FractalsPyRecipe) • Мандельброт (http://repl.it/@Alex_Neznanov/Fractal-Mandelbrot-Schurov) • Другие • ActiveState Recipes (http://github.com/ActiveState/code/tree/master/recipes/Python) + поиск по слову «Fractal» • Fractals in Python (http://github.com/danilobellini/fractal) • Python Fractals (http://www.101computing.net/python-fractals/) • A turtle can draw fractals (http://blog.klipse.tech/python/2017/01/04/python-turtle-fractal.html) • Snowflakes Fractal using Python (http://www.geeksforgeeks.org/snowflakes-fractal-using-python/) • Щуров И. Рисуем Мандельброта с помощью Python и Numpy. 2016 (http://ischurov.github.io/mandelbrot.html) © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 40
- 41. Папоротник 1 (Matplotlib) ©2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 41
- 42. Ньютонов фрактал (𝑧3− 1) (Pillow) © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 42
- 43. Фрактал Мандельброта (Matplotlib) ©2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 43
- 44. Но это ещёне конец?! Спасибо за внимание к тёмным углам в обучении программированию! Контакты: •Алексей Незнанов • International Laboratory for Intelligent System and Structural Analysis, NRU HSE, Moscow, Russia • School of Data Analysis and Artificial Intelligence, Faculty of Computer Science, NRU HSE, Moscow, Russia • E-mail: aneznanov@hse.ru • Web-site: http://hse.ru/staff/aneznanov • Blog: http://siberianshamanssongs.blogspot.ru (RU) © 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 44