poussees-et-butees

Géotechnique 1 - Ouvrages de soutènement I. GUEYE
1
CHAPITRE 4 : EQUILIBRE LIMITE ET OUVRAGES
DE SOUTENEMENT
A – POUSSEES ET BUTEES
4.1 Généralités
4.2 Equilibre limite de RANKINE
4.3 Calcul des forces de poussées et de butée par la méthode de
RANKINE
4.4 Calcul des forces de poussées et de butées par la méthode de
COULOMB
Méthode graphique de CULMANN (méthode de COULOMB)
4.5 Calcul des forces de poussées et de butées par la méthode de
BOUSSINESQ
4.6 Comparaison entre les différentes méthodes
B – OUVRAGES DE SOUTENEMENT
4.7 Différents types d’ouvrages de soutènement
4.8 Dimensionnement des murs poids
4.9 Dimensionnement des murs cantilever
4.10 Rideaux de palplanches
4.11 Excavations blindées

2
A – POUSSEES ET BUTEES
4.1 – Généralités
4.1.1. Définition
On considère un ouvrage de soutènement, par exemple un mur en béton retenant un massif
de sol (fig. 4.1.) et l’on examine les types de sollicitations qui s’exercent sur ce mur.
Fig. 4.1 : Sollicitations exercées sur un mur de soutènement
En dehors des forces de pesanteur, représentées par le poids W du mur, s’exercent sur
toutes les faces du mur, en contact avec le sol, trois (3) forces dont la connaissance est du
ressort de la mécanique des sols.
i) Sur la face amont du mur, généralement verticale, le sol retenu exerce des efforts
ayant tendance soit à renverser le mur, soit à le déplacer horizontalement la
résultante générale de ses efforts est une force dont la composante principale est
horizontale. On l’appelle force de poussée (ou encore poussée) et on la note « Fa »
l’indice précisant qu’il s’agit d’une force active ;
ii) Sur la face aval du mur, dont la partie enterrée est souvent faible, le sol exerce : des
efforts qui ont tendance à retenir. Leur résultante générale est une force dont la
composante principale est horizontale et opposée à la composante horizontale de
T
N
W
Fp
Fa

3
« Fa ». On appelle cette résultant force de butée (ou encore butée) et on la note par
« Fp », l’indice « p » précisant qu’il s’agit d’une force passive ;
iii) Sur la base du mur, le sol de fondation exerce des efforts dont la résultante générale
est une force inclinée par rapport à la verticale. Sa composante verticale, notée
« N », est appelée force portante, tandis que la composante horizontale, notée
« T » est appelée force de résistance au glissement, car elle s’oppose au
glissement du mur sur la base sous l’action de la force de poussée.
L’objet de ce chapitre est de déterminer les forces de poussée et de butée en fonction de la
géométrie du mur et du massif de sol retenu, des caractéristiques mécaniques du sol et du
frottement entre le sol et le mur.
4.1.2. Relations fondamentales entre pressions latérales et déplacements
Des expériences simples, sur modèles réduits, montrent que les valeurs des forces latérales
précédemment introduites (forces de poussée et de butée) dépendent essentiellement des
déplacements horizontaux de soutènement.
On suppose par exemple que l’on encastre légèrement à la surface horizontale d’un massif
de sable un écran vertical parfaitement lisse et que l’on remblaie progressivement derrière
l’écran, en appliquant à ce dernier des efforts de résultante générale « F » tels qu’il n’y ait
aucun déplacement de l’écran (fig. 4.2.a). Ce dernier étant parfaitement lisse, la force « F »
est horizontale (pas de frottement entre l’écran et le massif)
Après remblaiement horizontal, la valeur de la force F est F0. Si l’on effectue une translation
horizontale de l’écran vers l’intérieur du remblai, la force F croit en fonction du déplacement,
ε, jusqu’à un maximum Fp qui correspond à la mobilisation totale de la butée (fig. 4.2. b). La
valeur Fp est de 3 à 4 fois la valeur totale de la force initiale F0.
Inversement, si l’on effectue une translation horizontale de l’écran vers l’extérieur du remblai,
la force F diminue jusqu’à une valeur minimale Fa qui correspond à l’état de poussée. La
valeur de Fa de l’ordre de la moitié de celle de F0.
Si on compare les déplacements, on constate qu’il faut un déplacement εp beaucoup plus
important pour atteindre l’état complet de butée que pour atteindre celui de poussée εa. Les
déplacements typiques nécessaires pour atteindre l’état de poussée sont indiqués au
tableau 1 pour plusieurs types de sols.

4
Fig. 4.2 : Relation force – déplacement pour un écran rigide en translation
Tableau 1 : Déplacements typiques
Types de sol Translation
Sable : dense
lâche
0.001H à 0.002 2 H
0.002 H à 0.004 H
Argile : raide
Molle
0.01 H à 0.02 H
0.02 H à 0.05 H
Remarque : H représente la hauteur du mur
4.1.3. Terres au repos – Coefficient de pression latérale
On se place dans un cas géostatique, c'est-à-dire celui d’un massif de sol semi-infini,
homogène et isotrope, à surface horizontale.
Les équations de l’équilibre montrent que la contrainte totale σv s’exerçant sur un plan
horizontal, à la profondeur z est verticale et a pour valeur (fig. 4.3) :
Fp
Fa
εp
εa
F
0 ε
0
H
Butée
ε
ε
Poussée
a) Ecran rigide en translation b) Relation force - déplacement

5
σv = γ ⋅ z
Où : γ est le poids volumique du sol,
σv est une contrainte principale.
Fig. 4.3 : Coefficient K0 de pression latérale des terres au repos
Par contre, le calcul de la contrainte totale horizontale σh s’exerçant au même point sur le
plan vertical nécessiterait la connaissance de la loi de comportement du sol. Aussi la
détermine t-on expérimentalement en remarquant que dans un sol en place, sous un
chargement uniforme, il n’y a pas de déplacement horizontal εh = 0, on utilise généralement
un appareil triaxial. Les résultats de ces essais donnent le rapport σh/σv, appelé coefficient de
pression latérale au repos et noté K0 :
K0 = σh / σv
Remarques :
- Le coefficient K0 est généralement inférieur à 1
- Il ne s’applique qu’aux contraintes effectives. Donc dans un sol en place, saturé, K0
devient :
K0 = σ
σ
σ
σ’h / σ
σ
σ
σ’v
Où : σh = u + σ’h et σv = u + σ’v
σ’h = contrainte effective horizontale,
σ’v = contrainte effective verticale,
u = la pression interstitielle.
- Sa valeur varie suivant les types de sols. Elle est donnée de façon approximative au
tableau 2.
z
σ
σ
σ
σv = γ
= γ
= γ
= γ . z
Surface du terrain naturel
σ
σ
σ
σh =
=
=
= K0 σ
σ
σ
σv

6
- Dans le cas des sables et des argiles normalement consolidées, il existe une formule
empirique, due à Jacky, donnant la valeur de Ko en fonction de l’angle de frottement
interne φ’.
K0 = 1 – sin φ
φ
φ
φ’
Tableau 2 : Coefficient Ko pour quelques types de sols
Type de sol Valeur de K0
Sable lâche 0.45 à 0.50
Sable compact 0.40 à 0.45
Argile normalement consolidée 0.50
Argile surconsolidée >0.50
- Dans le cas des sols surconsolidés, la valeur de K0 peut même dépasser 1.
4.2 – Equilibres limites de RANKINE
4.2.1 – Sol pulvérulent (c = 0, φ
φ
φ
φ ≠ 0)
4.2.1.1 – Surface horizontal
On vient de voir que, dans le cas où il n’y a pas de déplacement latéral, les contraintes
verticale σv et horizontale σh (fig. 4.4 a) sont égales respectivement à :
σv = γ ⋅ z et σh = K0 γ ⋅ z
Cet état de contrainte est représenté par le cercle de MOHR de diamètre AB sur la figure 4.4
d (OA = σv = γ ⋅ z ; OB = σh = K0 γ ⋅ z).
Examinons de quelle façon il peut y avoir rupture dans la masse de sol.
Si l’on permet au sol une expansion latérale (ε
ε
ε
εh < 0), la contrainte verticale reste principale,
égale à γ ⋅ z, et la contrainte horizontale diminue. Sur la figure 4.4 d, le point B se déplace
jusqu’au point C pour lequel le cercle de MOHR est tangent aux droites intrinsèques. Il y a
alors rupture du sol et cette rupture a lieu en tout point du massif. On dit aussi que
l’équilibre est limite. Les plans de rupture en chaque point enveloppent un réseau de
surfaces de glissement planes, dont l’inclinaison est déterminée à partir des points de
contact I et G du cercle de MOHR à la rupture avec la courbe intrinsèque et qui font entre
elles l’angle (90 + φ°
) égal à l’angle ICG dans le diagramme de MOHR. Cette rupture
correspond à l’état de poussée (fig. 4.4 b). On note σ
σ
σ
σha la contrainte horizontale

7
correspondante. Dans l’état de poussée, on tire facilement du diagramme de MOHR de la
fig. 4.4 d :






−
=
+
−
=
=
2
45
tan
sin
1
sin
1 2 φ
φ
φ
σ
σ
v
ha
a
K
Fig. 4.4 : Etats de contraintes de poussée et de butée pour un sol pulvérulent
A
45°
45°
45°
45° +
+
+
+ φ/2
φ/2
φ/2
φ/2
σ
σ
σ
σv =
=
=
= γ
γ
γ
γ z σ
σ
σ
σhp
σ
σ
σ
σha
45° + φ/2
45° + φ/2
45° + φ/2
45° + φ/2
z
σ
σ
σ
σv = γ
= γ
= γ
= γ z
σ
σ
σ
σh =
=
=
= K0 σ
σ
σ
σv
σ
σ
σ
σv = γ
= γ
= γ
= γ z
σ
σ
σ
σha
a) ε
ε
ε
εh = 0
σ
σ
σ
σha
c) ε
ε
ε
εh > 0, butée (contraction)
b) ε
ε
ε
εh < 0, poussée (expansion)
σ
σ
σ
σv = γ
= γ
= γ
= γ z
σ
σ
σ
σhp σ
σ
σ
σhp
d) Diagramme de MOHR
Plan de rupture
Plan de rupture
Butée
Poussée
45° − φ/2
45° − φ/2
45° − φ/2
45° − φ/2
B
C D
J
I
φ
φ
φ
φ
G
H
σ
σ
σ
σ
τ
τ
τ
τ
45° − φ/2
45° − φ/2
45° − φ/2
45° − φ/2

8
Le rapport σ
σ
σ
σ’h / σ
σ
σ
σ’v est appelé coefficient de poussée et noté Ka. Il est également possible de
provoquer la rupture du sol par compression latérale (ε
ε
ε
εh > 0). Dans ce cas, le point B (σ
σ
σ
σh =
K0 γ z = K0 σ
σ
σ
σv). Sur la fig. 4.4 d le point B se rapproche d’abord du point A correspondant à
un état de contrainte isotrope (σ
σ
σ
σh = σ
σ
σ
σv = γ z).
Puis la contraction latérale augmentant, le point B atteint le point D, il y a alors rupture ou
équilibre limite ; le cercle MOHR étant tangent aux droites intrinsèques, on note σ
σ
σ
σhp la
contrainte horizontale correspondante. La rupture a lieu en même temps en tout point du
massif et les plans de glissement font eux un angle de (90 + φ) égal à l’angle JDH dans le
diagramme de MOHR. Cette rupture correspond à l’état de butée et noté Kp, a pour
expression :






+
=
−
+
=
=
2
45
tan
sin
1
sin
1 2 φ
φ
φ
σ
σ
v
hp
p
K
Remarques :
i. Les deux (2) coefficients Ka et Kp sont inverses l’un de l’autre
p
a K
K /
1
=
ii. Les contraintes σ
σ
σ
σha et σ
σ
σ
σhp sont des contraintes principales
iii. Dans le cas de la poussée, la distribution de la contrainte σ
σ
σ
σha le long d’une verticale
tracée dans le massif est triangulaire car (fig. 4.5a) :
σ
σ
σ
σha = Ka γ z = Ka σ
σ
σ
σv
iv. Dans le cas de la butée, la distribution de la contrainte σ
σ
σ
σhp le long d’une verticale
tracée dans le massif est aussi triangulaire car (fig. 4.5 b) :
σ
σ
σ
σhp = Kp γ z = Kp σ
σ
σ
σv
v. Les lignes de glissement sont des lignes droites.

9
Fig. 4. 5 : Etat de poussée et de butée dans un sol pulvérulent
4.2.1.2 Surface inclinée
Soit un massif de sol pulvérulent dont la surface fait un angle β avec l’horizontale (fig. 4.6a).
La résolution partielle des équations d’équilibre de la mécanique des milieux continus montre
que, sur le plan parallèle à la surface et situé à la profondeur z, la contrainte « f » est
verticale et égale γ z cos β. On cherche à déterminer la contrainte « p » qui s’exerce sur un
plan vertical à la profondeur z dans l’état de poussée ou l’état de butée. Dans le plan des
cercles de MOHR (fig. 4. 6d) la contrainte verticale f est représentée par le vecteur OA
(OA = γ z cos β).
En appliquant la méthode du pôle pour la détermination des contraintes, les états de
contraintes de poussée et de butée en un point M à la profondeur z sont représentés par les
2 cercles de MOHR passant par le point A et tangents à la courbe intrinsèque d’équation
φ
σ
τ tan
n
±
= . Les deux pôles p1 et p2 sur ces cercles sont des points d’intersection autres
que A, sur la droite OA. Il en résulte que la contrainte 2
1 p
et
p qui s’exercent sur un plan
vertical en M sont représentées par les points B1 et B2 sur la droite symétrique de OA par
rapport à l’axe des σ (P1 B1 et P2 B2 verticales) cela montre que :
a) La contrainte p est toujours parallèle à la surface du sol, quelque soit l’état des
contraintes ; les contraintes f et p sont conjuguées ;
σ
σ
σ
σha = Κ
= Κ
= Κ
= Κα
α
α
α γ
γ
γ
γ z
Sol : γ
γ
γ
γ et φ
φ
φ
φ
a) Etat de poussée dans un sol pulvérulent
Contrainte
z
σ
σ
σ
σhp = Κ
= Κ
= Κ
= Κπ
π
π
π γ
γ
γ
γ z
Sol : γ
γ
γ
γ et φ
φ
φ
φ
b) Etat de butée dans un sol pulvérulent
Contrainte
z

10
Fig.4.6 : Coefficients de poussée et de butée pour un massif de sol pulvérulent à
surface inclinée
Plan de rupture
θ
θ
θ
θ1
1
1
1
θ
θ
θ
θ2
2
2
2
B2
Poussée
P1
B1
H
G
F
A
z
M
σ
σ
σ
σ1
a) surface inclinée
c) butée, compression
(σ
σ
σ
σ1 contrainte principale majeure)
b) poussée, expansion
(σ
σ
σ
σ1 contrainte principale majeure)
σ
σ
σ
σ1
d) Diagramme de MOHR
Plan de rupture
Verticale
Butée
E
β
β
β
β
τ = σ
τ = σ
τ = σ
τ = σ tan φ
φ
φ
φ
σ
σ
σ
σ
τ
τ
τ
τ
β
β
β
β
p
f
45°
45°
45°
45° − φ/2
− φ/2
− φ/2
− φ/2
P2
45° − φ/2
45° − φ/2
45° − φ/2
45° − φ/2
D
Verticale
φ
φ
φ
φ
OB2 = P2
OB1 = P1
θ
θ
θ
θ2
2
2
2
θ
θ
θ
θ1
1
1
1

11
b) Les coefficients de poussée et de butée, définis par rapport aux contraintes
conjuguées ont pour expression :
( )
( ) 2
1
1
OB
OA
OA
OB
Kp
Ka =
=
=
β
β
Soit : ( )
( ) φ
β
φ
β
β
β
β
2
2
2
2
cos
cos
cos
cos
cos
cos
1
−
+
−
−
=
=
Kp
Ka
c) Dans le cas de la poussée, on a :
β
γ
σ cos
.z
v =
φ
β
β
φ
β
β
β
γ
σ
2
2
2
2
1
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
.
−
+
−
−
×
=
= z
p
ha
Dans le cas de la butée, les deux expressions ci-dessus deviennent :
β
γ
σ cos
.z
v =
φ
β
β
φ
β
β
β
γ
σ
2
2
2
2
2
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
.
−
−
−
+
×
=
= z
p
hp
Remarques :
i) - Si β = 0 : Poussée : p1 = γ.z
φ
φ
sin
1
sin
1
+
−
Butée : p2 = γ.z
φ
φ
sin
1
sin
1
−
+
ii) - Si ( ) ( ) 1
: =
=
= β
β
φ
β p
a K
K
iii) Dans le cas de la poussée, les plans de rupture enveloppent un réseau de surface
de glissement planes dont l’inclinaison est déterminée à partir des points de
contact E et F du cercle de MOHR à la rupture avec la courbe intrinsèque et qui
font entre elles l’angle (90°
+ Ф) égal à l’angle Ep1F dans le diagramme de MOHR.
De plus les plans de glissement font des angles θ1 et θ2 avec la verticale p1 B1 (fig.
4.6d). Les valeurs de ces angles θ1 et θ2 sont données par les expressions
suivantes :
( ) ( )
β
ε
φ
θ −
+
−
=
2
1
90
2
1
1
( ) ( )
β
ε
φ
θ −
−
−
=
2
1
90
2
1
2
Avec : sin ε =sin β /sinφ et (θ1 + θ2) = 90 - φ

12
La contrainte σ
σ
σ
σha n’est pas une contrainte principale : La distribution de σha le long
d’une verticale tracée dans le massif est triangulaire car :
σha = γ.z cos β . Ka ( )
β
De plus la contrainte σha agit sur un plan parallèle à la pente du massif.
iv) Dans le cas de la butée, les plans de glissement font entre eux un angle de (90 - φ)
égal à l’angle Hp2G dans le diagramme de MOHR (fig. 4.6d). Dans ce cas les
angles θ1 et θ2 par rapport à la verticale p2 B2 sont donnés par les expressions
suivantes :
( ) ( )
β
ε
φ
θ +
−
+
=
2
1
90
2
1
1
( ) ( )
β
ε
φ
θ +
+
+
=
2
1
90
2
1
2
Avec : sinε = sin β / sinφ et (θ1 + θ2)= (90 - φ)
La contrainte σhp n’est pas une contrainte principale et elle est parallèle à la pente du massif.
La distribution de σhp le long de la verticale dans le massif est triangulaire car :
( )
β
β
γ
σ p
hp K
z .
cos
.
= .

13
4.2.2 – Sol cohérent (c et φ
φ
φ
φ ≠ 0)
4.2.2.1 – Surface horizontale :
Dans le cas d’un sol cohérent, la courbe intrinsèque est représentée par la droite de
COULOMB. L’équation de cette droite est donnée par l’expression suivante :
τ = σ tan φ + c (fig. 4.7)
Sur cette figure, l’état de pressions des terres au repos est représenté par le cercle de
diamètre égal à AB. La distance OA = σv = γ.z et la distance OB = K0 σv = K0 γ.z. Les
équilibres limites de poussée et de butée peuvent être atteint de la façon déjà décrite en
4.2.1. La distance OC représente la contrainte de poussée, tandis que la distance OD
représente la contrainte de butée. A partir de l’équation de la droite de COULOMB, on peut
déterminer les contraintes σha et σhp.
a) Dans le cas de la poussée, le diagramme de la figure 4.7 permet de déterminer la
relation suivante :
2
1
sin
1
sin
1
2
sin
1
sin
1








+
−
−
×
+
−
=
φ
φ
σ
φ
φ
σ c
v
ha
2
1
sin
1
sin
1
2
sin
1
sin
1








+
−
−
×
+
−
=
φ
φ
γ
φ
φ
σ c
z
ha
Ou encore : Ka
c
K
z a
ha 2
. −
=γ
σ
La distribution des contraintes horizontales de poussée est indiquée à la fig. 4.8 ci-dessous.
On constate que jusqu’à la distance ht de la surface définie par :






+
=
=
2
45
2
2 φ
γ
γ
tau
c
Ka
c
ht
Le massif exerce des contraintes de traction ou de tension

14
Fig. 4.7 : Etats de contraintes de poussée et de butée pour un sol cohérent
Fig. 4. 8 : Etat de poussée pour un sol cohérent
A la surface du sol, cette contrainte de traction est égale à Ka
c
2
− . De plus, on remarquera
sur le diagramme des contraintes de la fig. 4.8 que la résultante des efforts sur une
longueur 2ht à partir de la surface libre est nulle. Il est donc vraisemblable qu’une
excavation ou une tranchée puisse tenir sous soutènement sur une hauteur voisine de
2ht. Cette hauteur appelée hauteur critique est notée Hc et vaut :
Contrainte
z
tension
compression
Hc = 2 ht
a
t
K
c
h
γ
2
=
a
K
c
2
−
c
c
C
σ
σ
σ
σha
σ
σ
σ
σv =
=
=
= γ
γ
γ
γ z
D
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σha
Plan de rupture
Plan de rupture
Butée
Poussée
45°
45°
45°
45° +
+
+
+ φ/2
φ/2
φ/2
φ/2
A
B
J
I
φ
φ
φ
φ
G
H
τ
τ
τ
τ
c cotan φ
φ
φ
φ
τ
τ
τ
τ = σ
σ
σ
σ tan φ +
φ +
φ +
φ + c
σ
σ
σ
σhp
45° − φ/2
45° − φ/2
45° − φ/2
45° − φ/2

15






+
=
=
2
45
4
4 φ
γ
γ
tau
c
Ka
c
Hc
Cette formule donne des valeurs considérables, ainsi pour c = cu = 30 kPa ; γ = 20 KN/m3
et
φ = 0, on a Hc = 6 m.
Cette hauteur libre n’est possible qu’à très court terme. Très rapidement l’argile dans les
zones voisines des parois de la tranchée se déforme. D’où des fissures à la partie
supérieure fig.4.9 ; le retrait en période sèche, accentue celles-ci, les pluies créant ensuite
des forces de percolations détruisant l’équilibre à court terme.
Fig. 4. 9 : Instabilité des massifs argileux à parement libre
b) Dans le cas de la Butée, le diagramme de la figure 4.8 permet de déterminer la
relation suivante :
φ
φ
σ
φ
φ
σ
sin
1
sin
1
2
.
sin
1
sin
1
−
+
+
−
+
= c
v
hp
p
v
p
hp K
c
K 2
. +
= σ
σ
La distribution des contraintes de butée σhp est indiquée à la figure 4.10. On constate d’après
l’équation ci-dessus que le massif de sol exerce toujours des contraintes de compression.
Paroi verticale
Tranchée
Fissures

16
Fig. 4.10 : Etat de butée dans un sol cohérent
D’autre part, dans le cas soit de la poussée soit de la butée, pour un massif de sol à surface
horizontale β = 0, les contraintes σha et σhp sont des contraintes principales.
4.2.2.2 – Surface inclinée :
On considère un massif cohérent indéfini, limité par un plan faisant un angle β avec le plan
horizontal. On suppose qu’aucune surcharge n’existe sur le plan limitant le massif et ce
dernier n’est donc pas sollicité que par son propre poids, dû aux terres, dont le poids
volumique est . Soit (fig.4.11) à l’intérieur du massif un point M, à la profondeur Z. On
suppose que le massif étant indéfini et en équilibre, qu’en chaque point de la verticale
comprise entre le point M et la surface libre, la direction conjuguée de cette verticale est
orienté parallèlement au plan limitant le massif.
Dans ces conditions, la contrainte au point M sur la facette parallèle à la surface libre vaut :
β
γ cos
.z
f = .
En procédant de la façon décrite en 2.12, on peut tracer le diagramme de MOHR de la figure
4.11. Toutefois, à cause de la cohésion c, le point o ne sera pas confondu avec le point o’, le
cercle de MOHR et par conséquent l’orientation des facettes de glissement et des facettes
principales dépendent de la profondeur à laquelle se trouve le point considéré.
Contrainte
z
compression
p
K
c
2
p
p
v
hp K
c
K 2
. +
=σ
σ

17
Fig.4.11 : Etat de poussée et de butée dans un sol cohérent
Dans ces conditions, il est nécessaire de discuter les diverses solutions que donne le cercle
de MOHR lorsque la profondeur du point M varie et lorsque l’inclinaison β , du plan limitant le
massif, est plus ou moins grand.
Cette discussion étant fort complexe et en dehors du cadre de ce présent cours, il devient
nécessaire de noter uniquement que, comme dans le cas précédent où β = 0°
, l’on trouve ici
aussi une profondeur ht dans laquelle le sol se trouve en traction. Cette profondeur vaut :






+
=
2
45
tan
2 φ
γ
c
ht
On pourra donc, théoriquement, creuser des tranchées en parois verticales jusqu’au moins
cette profondeur. L’apparition de fissures de traction aura comme effet de réduire la hauteur
d’excavation.
B2
B1
A
P1
P2
c
c
D
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σha
Butée
Poussée
β
β
β
β
φ
φ
φ
φ
O’ O
τ
τ
τ
τ
c cotan φ/
φ/
φ/
φ/
τ
τ
τ
τ = σ
σ
σ
σ tan φ +
φ +
φ +
φ + c
β
γ cos
.z
OA
f =
=

18
4.3 – Calcul des forces de poussée et de butée : Méthode de RANKINE
4.3.1. Principe
La méthode de RANKINE consiste à calculer les forces de poussée et de butée agissant
contre le mur ou un écran à partir des relations développées à la section précédente. Cette
méthode implique qu’en cas de rupture du massif se trouvant derrière l’écran, les plans de
glissement puissent se développer tel que montré précédemment. Cette méthode repose
donc sur l’hypothèse fondamentale suivante :
La présence de discontinuités, provoquées par la présence de murs ou d’écrans dans
le massif de sol, ne modifie pas la répartition des contraintes dans le sol, soit au
contact entre le sol et l’écran soit à l’intérieur du massif (fig.4.12) :
Fig. 4.12 : Hypothèse de la méthode de RANKINE
Ainsi, sur un plan parallèle à la surface du massif du sol, la contrainte reste verticale et égale
à γ.z cos β . De plus, à la rupture, les contraintes de poussée et de butée, σha et σhp, restent
z
σ
σ
σ
σv = γ
= γ
= γ
= γ z
z
M
β
β
β
β
p
f
z σ
σ
σ
σv
z
M
f
β
β
β
β

19
parallèles à la surface du sol. L’inconvénient d’une pareille hypothèse est d’imposer, en tout
point du mur, la direction de la contrainte qui s’exerce sur le mur, et donc de ne pas tenir
compte de la valeur du frottement entre le sol et le mur (c'est-à-dire la rugosité de l’écran).
Ainsi, dans le cas d’un sol à surface horizontale et d’un mur à paroi verticale, la
théorie de RANKINE suppose que le frottement entre le mur et le sol est nul, puisque
la contrainte est horizontale.
Cette méthode conduit à une répartition triangulaire des contraintes de poussée et de butée
sur l’écran et permet d’obtenir le point d’application de la force correspondante. On examine
ci-après trois exemples d’application.
4.3.2. Calcul de la force de poussée pour un massif pulvérulent à surface
horizontale
a) Sol sec (absence de nappe)
Soit un mur à parement vertical supportant un massif à surface horizontal, constitué d’un sol
pulvérulent sec (fig. 4.13). Si le sol est en état de rupture de poussée, la contrainte qui
s’exerce sur le mur est horizontale, principale et a pour expression :








+
−
=
=
φ
φ
γ
γ
σ
sin
1
sin
1
.
. z
K
z a
ha
Fig. 4.13 : Force de poussée exercée par un massif sec
La répartition est linéaire, et la force de poussée horizontale Fra est appliquée au tiers (H/3)
de la hauteur à partir de la base. Elle a pour expression :
Fra
σ
σ
σ
σha
Sol : γ
γ
γ
γ et φ
φ
φ
φ
z
Mur
H/3
H

20
∫
=
∫
=
∫
=
H
O
a
a
H
O
ha
H
O
ra K
z
dz
K
z
dz
F 2
.
2
1
.
.
.
. γ
γ
σ
Où : a
ra K
H
F 2
.
2
1
γ
=
Exemple 1 : H=10 m, φ = 30°
, γ = 20 kN/m3
.
Solution : 333
.
0
sin
1
sin
1
=
+
−
=
φ
φ
a
K
mur
de
linéaire
m
KN
K
H
F a
ra /
333
333
.
0
10
20
2
1
2
1 2
2
=
×
×
=
= γ
Fra est appliqué à 3.33 m de la base du mur.
b) Présence de la nappe
Soit un mur à parement vertical supportant un massif à surface horizontale, constitué d’un
sol pulvérulent dont la partie inférieure est saturée (fig. 4.14). Si le sol est en état d’équilibre
limite de poussée, la contrainte qui s’exerce sur le mur est horizontale, principale, et a pour
expression dans la partie saturée :
σha = u + Ka σ’v
Fig. 4.14 : Force de poussée exercée sur un mur dans un massif pulvérulent
partiellement saturé
( )
[ ] ( )
( )
2
'
2
1
2
.
2
w
w
w
a
w
a
w
a
w
w
a
w
ra
H
H
H
H
K
H
K
H
H
K
H
H
K
H
F
−
+
−
×
+
−
+
+
=
γ
γ
γ
γ
γ
a
b
c
σ
σ
σ
σ'ha
Sol : γ
γ
γ
γ, γ
γ
γ
γsat, φ
φ
φ
φ
Mur
+
H
Hw
σ
σ
σ
σeau = u
σ
σ
σ
σ'ha = Hw γ
γ
γ
γ Ka
σ
σ
σ
σ'ha = [Hw γ
γ
γ
γ + (H – Hw) γ
γ
γ
γ’]Ka σ
σ
σ
σh eau = u = γ
γ
γ
γeau (H - Hw)
N. P.

21
Exemple 2
°
=
=
=
=
=
=
30
/
10
/
20
/
18
3
10
3
3
3
φ
γ
γ
γ
m
kN
m
kN
m
kN
m
H
m
H
eau
sat
w
Solution : pour 333
.
0
30 =
→
°
= a
K
φ
0
/
18
3
3
18
33
.
0
.
:
int
:
int
2
=
=
×
×
×
=
=
=
heau
a
ha
ha
m
kN
z
K
b
Po
o
a
Po
σ
γ
σ
σ
( )
[ ]
( ) kPa
kPa
K
K
K
p
c
Po
a
a
a
ha
33
.
41
3
1
124
70
54
7
10
20
3
18
'
:
int 0
=
×
=
+
=
−
+
×
=
=
σ
7/3 m
Fra3
1 m
Fra1
Fra2 Fra
3
3
3
3
2.96 m
70
70
70
70 11
11
11
111.3
1.3
1.3
1.3
18
18
18
18
a
b
c
41.33
41.33
41.33
41.33
Sable
m
kN
m
kN
m
kN
eau
sat







°
=
=
=
=
30
/
10
/
20
/
18
3
3
3
φ
γ
γ
γ
+
10 m
3 m
=
18
18
18
18
10 m
3 m
1
1
1
1
2
7/2 m
N. P.

22
( )
m
kN
F
m
kN
F
F
F
F
ra
ra
ra
ra
ra
/
66
.
479
/
66
.
479
66
.
326
126
27
2
7
18
33
.
111
7
18
2
3
18
3
2
1
=
⇒
=
+
+
=
×
−
+
×
+
×
=
+
+
=
Point d’application : ∑ = 0
c
M
m
Z
Z
96
.
2
66
.
479
21
.
1419
21
.
1419
21
.
762
0
.
441
0
.
216
3
7
66
.
326
5
.
3
126
8
27
66
.
479
=
=
⇒
=
+
+
=
×
+
×
+
×
=
×
Exemple 3 : Cas de bicouche sable - gravier
Déterminer la force de poussée sur le mur ci-dessous. Trouver le point d’application de cette
force.
Solution :
238
.
0
sin
1
sin
1
38
:
333
.
0
sin
1
sin
1
30
:
=
+
−
=
→
°
=
=
+
−
=
→
°
=
φ
φ
φ
φ
φ
φ
a
a
K
gravier
de
Couche
K
sable
de
Couche
50.7
50.7
50.7
50.7
z
7 m
3 m
Gravier : γ
γ
γ
γ = 22 kN/m
3
φ
φ
φ
φ = 38°
Sable : γ
γ
γ
γ = 20 kN/m
3
φ
φ
φ
φ = 30°
Fra1
Fra = 257.5 kN
20
20
20
20
7/3 m
1 m
Fra3
z = 3.4 m
Fra2
14.3
14.3
14.3
14.3

23
Profondeur :
( )
( )
mur
de
linéaire
m
kN
F
kPa
K
z
m
z
kPa
K
z
m
z
Gravier
kPa
K
z
m
z
Sable
ra
a
ha
a
ha
a
ha
/
5
.
257
5
.
227
30
7
7
.
50
3
.
14
2
1
3
20
2
1
7
.
50
238
.
0
22
7
20
3
:
10
3
.
14
238
.
0
3
20
.
:
3
:
0
.
20
333
.
0
20
.
:
3
:
=
+
=
×
+
+
×
×
=
=
×
+
×
=
=
=
=
×
×
=
=
=
=
×
=
=
=
γ
σ
γ
σ
γ
σ
Point d’application :
( ) ( )
m
Z
Z
Mbase
45
.
3
5
.
257
3
.
297
4
.
350
0
.
240
5
.
257
3
7
7
3
.
14
7
.
50
2
1
2
7
7
3
.
14
1
7
30
0
=
+
=
=
×
=
×
−
+
×
×
+
∑ +
×
⇒
=
On a toujours besoin du point d’application de la force.
4.3.3 Calcul de la force de poussée pour un massif pulvérulent à surface
inclinée
Soit un écran vertical appliqué sur un massif pulvérulent dont la surface libre est inclinée à
β sur l’horizontal (fig.4.14). Si l’on met le sol en rupture de poussée, la force de poussée
exercée est donnée par : ∫
=
H
ha
rp dz
F 0
σ
La contrainte σ
σ
σ
σha exercée sur le sol est inclinée à l’angle β sur l’horizontale et a pour
valeur :
a
ha K
z .
cos β
γ
σ =
Fig. 4.14 : Force de poussée sur un massif pulvérulent à surface inclinée.
β
β
β
β
Sol : γ
γ
γ
γ, φ
φ
φ
φ
H
Fra = 1/2 γ
γ
γ
γ H
2
cos β
β
β
β Ka
σ
σ
σ
σ'ha = γ
γ
γ
γ H cos β
β
β
β . Ka
H/3

24
D’où : Ka
H
Fra .
cos
2
1 2
β
γ
=
Exemple 4 :
Déterminer la force de poussée dans le cas du mur ci-dessous
Solution :
m
kN
K
H
F
K
a
ra
a
/
3
.
265
940
.
0
441
.
0
8
20
2
1
cos
2
1
441
.
0
750
.
0
883
.
0
94
.
0
750
.
0
883
.
0
94
.
0
cos
cos
cos
cos
cos
cos
2
2
2
2
2
2
=
×
×
×
=
=
=
−
+
−
−
=
−
+
−
−
=
β
γ
φ
β
β
φ
β
β
Point d’application : m
H
Z 67
.
2
3
8
3
=
=
=
m
KN
F
KPa
K
H
m
z
à
ra
a
ha
ha
/
3
.
265
2
8
3
.
66
3
.
66
.
cos
:
8
=
×
=
=
=
= β
γ
σ
σ
4.3.4 Calcul de la force de poussée pour un massif cohérent à surface
horizontale
Soit un mur à parement vertical supportant un massif cohérent à surface horizontale (fig.
4.15) et d’angle de frottement φ et de cohésion c. Si le sol est en état de rupture, de
poussée, la contrainte qui s’exerce sur le mur est horizontale, principale et a pour
expression :
β = 20°
β = 20°
β = 20°
β = 20°
Sol : γ
γ
γ
γ = 20 kN/m
3
φ
φ
φ
φ = 30°
8 m
Fra = 1/2 γ
γ
γ
γ H
2
cos β
β
β
β Ka
σ
σ
σ
σha = 66.3 kPa
2.67 m

25






−
=
∫ ∫ ∫
−
=
=
−
=
H
K
c
K
H
F
soit
dz
K
c
dz
K
z
dz
F
où
d
K
c
K
z
a
a
ra
H A H
O a
a
ha
ra
a
a
ha
.
2
2
1
2
.
:
'
2
.
2
0 0
γ
γ
σ
γ
σ
Fig. 4.15 : Force de poussée exercée par un massif cohérent
Exemple 5 :
Déterminer la force de poussée sur le mur illustré ci-dessous. Trouver le point d’application
de la résultante.
σ
σ
σ
σha
68.3 kPa
ht = 1.57 m
Sol : γ
γ
γ
γ = 20 kN/m
3
c = 10 kPa
φ
φ
φ
φ = 25°
H = 10 m
405
.
0
sin
1
sin
1
=
+
−
=
φ
φ
a
K
Fra = 278 kN/m
- 12.7 kPa
Z = 2.57 m
tension
compression
ht
a
K
c
2
−
Sol : γ
γ
γ
γ, c et φ
φ
φ
φ
H
a
a
ha K
c
K
z 2
. −
= γ
σ
Hc = 2 ht

26
Solution :
m
K
c
h
kPa
Ka
c
m
z
a
t
ha
57
.
1
405
.
0
20
10
2
2
7
.
12
405
.
0
10
2
2
:
0
=
×
=
=
=
×
−
=
−
=
=
γ
σ
kPa
K
c
K
z
m
z a
a
ha 3
.
68
7
.
12
0
.
81
7
.
12
405
.
0
10
20
2
:
10 =
−
=
−
×
×
=
−
=
= γ
σ
r
mu
de
m
kN
H
K
c
K
H
F a
a
ra
/
278
127
405
10
7
.
12
405
.
0
10
20
2
2
1 2
2
=
−
=
×
−
×
×
=
−
= γ
La force de poussée Fra aurait pu être calculée en faisant la somme des surfaces de la
distribution, soit :
( ) m
KN
Fra /
278
9
.
287
97
.
9
57
.
1
0
.
10
3
.
68
2
1
57
.
1
7
.
12
2
1
=
+
−
=
−
+
×
×
−
=
Point d’application :
( )
m
Z
Z
M base
57
.
2
278
3
57
.
1
10
9
.
287
57
.
1
3
2
57
.
1
10
97
.
9
0
=
=
−
×
+






×
+
−
×
−
→
=
∑
Remarques
i. Vu l’impossibilité pour la plupart des sols de résister aux contraintes de
traction, la partie en extension de la répartition des contraintes est souvent
négligée. Dans ce cas, on aurait Fra = 288 kN/m.
ii. A long terme, la cohésion du sol en arrière du mur à tendance à disparaître,
ce qui entraîne la disparition des zones en extension et, dans ce cas,
m
kN
F
soit
K
H
F ra
ra
ra /
405
405
.
0
10
20
2
1
:
,
2
1 2
2
=
×
×
=
= γ
Exemple 6 :
Déterminer la force de poussée sur le mur illustré ci-dessous.
Déterminer la répartition des contraintes sur le mur et le point d’application de la résultante.

27
Solution :
( ) kPa
K
c
K
p
m
z
m
Ka
c
h
kPa
K
c
m
z
a
a
ha
t
a
ha
3
.
34
3
.
12
6
.
46
12
376
,
0
10
7
18
3
'
2
'
:
10
81
.
1
'
2
3
.
12
376
.
0
10
2
'
2
:
0
0 =
−
=
−
×
×
+
×
=
−
=
=
=
=
−
=
×
=
−
=
=
σ
γ
σ
kPa
m
z ha 0
.
8
3
.
12
376
.
0
18
3
:
3 =
−
×
×
=
= σ
( ) m
kN
F
Sols ra /
8
.
141
1
.
148
8
.
4
1
.
11
7
3
.
34
8
2
1
8
19
.
1
2
1
81
.
1
3
.
12
2
1
: =
+
+
=
×
+
+
×
×
+
×
×
−
=
−
m
kN
F
Eau eau /
245
7
70
2
1
: =
×
=
−
m
kN
F
F
totale
Force eau
ra /
8
.
386
0
.
245
8
.
141 =
+
=
+
=
−
Point d’application de la résultante : 0
=
Σ base
M
( )
( )
mur
du
base
la
de
m
Z
Z
37
.
2
8
.
386
3
7
70
7
2
1
3
7
7
8
3
.
34
2
1
2
7
0
.
7
0
.
8
19
.
1
3
1
7
8
.
4
81
.
1
3
2
19
.
1
7
111
=
=
×
×
+
×
×
−
+






+
+






×
+
+






×
+
+
×
−
34.3 kPa
8 kPa
70 kPa
ht = 1.81 m
Sol Sol : γ
γ
γ
γ = 18 kN/m
3
γ
γ
γ
γ' = 10 kN/m
3
γ
γ
γ
γω
ω
ω
ω = 10 kN/m
3
c’ = 10 kPa
φ
φ
φ
φ = 27°
H = 10 m
1.19 m
+
- 12.3 kPa
sol eau
3 m

28
4.4 – Calcul des forces de poussée et de butée : Méthode de Coulomb
Mise au point par COULOMB en 1773, cette méthode permet de déterminer les forces de
poussée et de butée s’exerçant derrière un écran ou un mur quelconque sans
considération de l’état des contraintes exerçant dans le sol derrière le mur.
Elle repose sur deux (2) hypothèses :
Le sol se rompt suivant une surface plane passant par le pied de l’écran.
La force agissant sur l’écran à une direction connue. En d’autres termes, cela
signifie que l’angle de frottement entre l’écran (ou le mur) et le sol est connu.
Ces deux (2) hypothèses faites, la force agissant sur le mur est calculée par simples
considérations d’équilibre statique. Le calcul sera d’abord conduit dans le cas des sols
pulvérulents, puis étendu au cas des sols cohérents.
4.4.1 – Principe
Soit un mur de soutenant un massif de sol pulvérulent, d’angle de frottementφ . On suppose
que la surface de rupture est le plan AC faisant l’angle ρ avec l’horizontale (fig. 4.16) En
chaque point M du plan de rupture s’exerce une contrainte Τ faisant l’angle φ avec la
normale au plan. Donc, la réaction R du sol sur ce plan de rupture fait avec la normale à ce
plan l’angleφ . Le principe consiste à écrire l’équilibre statique du coin de sol ABC entraîné
dans la rupture sous l’action des forces qui lui sont appliquées et qui sont :
- Son poids W
- La force Fca ou la force de poussée de COULOMB
- La réaction R exercée par le sol sur le plan de rupture
On détermine ainsi la valeur de la force Fca en fonction de l’angle ρ que fait le plan de rupture
avec l’horizontale.

29
Fig. 4.16 : Principe du calcul de la poussée par la méthode COULOMB
La force de poussée correspondra au maximum de la force F(ρ) on écrira :
0
=
ρ
d
dF
La formule générale est la suivante dans le cas de la poussée :
ca
ca K
H
F 2
2
1
γ
=
Avec :
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 























+
−
−
+
+
−
+
= 2
2
2
sin
sin
sin
sin
1
sin
sin
sin
β
α
δ
α
β
φ
δ
φ
δ
α
α
φ
α
ca
K
Remarque : Cette théorie ne permet pas de déterminer le point d’application de la force Fca.
On suppose la répartition des contraintes triangulaire et le point d’application de la force
résultante est ainsi au tiers (H/3) inférieure de la hauteur.
Dans le cas de la butée, la force Fcp a pour expression : (voir aussi fig. 4.17)
cp
cp K
H
F 2
2
1
γ
=
Plan de rupture
φ
φ
φ
φ
R W
Fca
C
A
B
β
β
β
β
ρ
ρ
ρ
ρ
M
Mur
a) Prisme de rupture
H
Fca
R
W
b) Polygone des forces
α
α
α
α
φ
φ
φ
φ
δ
δ
δ
δ
θ
θ
θ
θ
θ = α − δ
θ = α − δ
θ = α − δ
θ = α − δ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ = ρ − φ
= ρ − φ
= ρ − φ
= ρ − φ
τ
τ
τ
τ

30
Avec :
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 























+
+
+
+
−
+
−
= 2
2
2
sin
sin
sin
sin
1
sin
sin
sin
β
α
δ
α
β
φ
δ
φ
δ
α
α
φ
α
cp
K
Fig. 4.17 : Etat de butée de COULOMB
Dans le cas de la butée, la force Fcp correspond au maximum de la résistante du sol. La
répartition est assumée aussi triangulaire et au point d’application de la résultante se situe
au tiers de la hauteur à partir de la base.
Exemple 7 : Déterminer la force de poussée par la méthode de coulomb du mur suivant :
Plan de rupture
φ
φ
φ
φ
R
W
Fcp
C
A
B
β
β
β
β
ρ
ρ
ρ
ρ
Mur
a) Prisme de rupture
H
Fca
R
W
b) Polygone des forces
α
α
α
α
ψ
ψ
ψ
ψ
δ
δ
δ
δ
ψ
ψ
ψ
ψ = ρ + φ
= ρ + φ
= ρ + φ
= ρ + φ
θ = α + ρ
θ = α + ρ
θ = α + ρ
θ = α + ρ
θ
θ
θ
θ

31
4.4.2 – Effet d’une surcharge uniforme (fig. 4.18 ci-dessous)
Fig. 4.18 : Coin de COULOMB
A
δ
δ
δ
δ
Plan de rupture
φ
φ
φ
φ
C
B β
β
β
β
q
H
Fca
R
W
α
α
α
α
Parallèle à AB
AB sin (α +
(α +
(α +
(α + β)
β)
β)
β)
α
α
α
α
Mur
15°
15°
15°
15°
B
A
β = 20°
β = 20°
β = 20°
β = 20°
Mur
H = 8 m
α = 85°
α = 85°
α = 85°
α = 85°
γ =
γ =
γ =
γ = 20 kN/m
3
φ
φ
φ
φ = 30°
β
β
β
β = 20°
δ
δ
δ
δ = 15°
B
A
Mur
Z = 2.67 m
α = 85°
α = 85°
α = 85°
α = 85°
Fca = 300.8 kN/m
3
Normale à AB
Kca = 0.470
Fca = ½ γ
γ
γ
γ H
2
Kca
= ½ 20 x 8
2
x 0.470
Fca = 300.8 kN/m
3
σ
σ
σ
σha = [γ
γ
γ
γ H Kca ]/sin 85°
= [20 x 8 x 0.470]/sin 85°= 75.5 kPa

32
Dans le cas de la fig. 4.18, le coin ABC est toujours soumis à trois forces R , ca
F et W , mais
au lieu des poids W’ des terres, il faut maintenant prendre en considération le poids des
terres (W’) et de surcharge ( q . BC). On a ainsi :
BC
q
W
W .
'+
=
Soit : ( )
[ ] BC
q
AB
W .
2
sin
2
1
+
+
= β
α
γ
Que l’on peut écrire :
( )
( )
e
équivalent
densité
AB
q
avec
BC
AB
W
=
+
+
=
+
=
β
α
γ
γ
β
α
γ
sin
2
.
sin
.
2
1
1
1
Autrement dit, tout se passe comme si le coin était chargé mais avec un poids volumique
fictif 1
γ . On trouvera par conséquent la même position de la ligne de glissement réelle et la
même expression pour la poussée. On aura poussée totale :
( )
( )
e
équivalent
ou
fictive
hauteur
appelée
est
q
H
hauteur
la
H
H
K
H
F
encore
ou
K
H
q
K
H
F
Soit
K
H
F
ca
ca
ca
ca
ca
ca
ca
β
α
γ
γ
γ
β
α
α
γ
γ
+
=






+
=
+
+
=
=
sin
sin
'
:
'
2
1
2
1
:
sin
sin
.
.
2
1
:
2
1
2
2
2
Pour déterminer la répartition des contraintes sur le mur et le point d’application de la
résultante, il suffit de se rappeler que la distribution des contraintes sur l’écran résulte de
l’addition d’une distribution triangulaire et d’une distribution uniforme (voir fig. 4.19).

33
Fig. 4.19 : Répartition des contraintes le long du mur
Exemple 8 : Déterminer la force de poussée sur le mur illustré à la figure ci-dessous :
Solution :
( )
β
α
α
γ
+
+
=
sin
sin
.
.
2
1 2
ca
ca
ca K
H
q
K
H
F
m
kN
F
soit ca
/
959
487
472
966
.
0
996
.
0
472
.
0
10
100
472
.
0
10
20
2
1
: 2
=
+
=
×
×
×
+
×
×
=
β
β
β
β = 20°
q = 100 kPa
H = 10 m
959 kN/m
α
α
α
α
487 kN/m (surcharge)
472 kN/m (sols)
σ
σ
σ
σha =
=
=
= 48.5 kPa (surcharge)
σ
σ
σ
σha =
=
=
= 94.0 kPa (sols)
H/3
H/2
4.18
γ
γ
γ
γ = 20 kN/m
3
φ
φ
φ
φ = 30°
α
α
α
α = 85°
δ
δ
δ
δ = 20°
β
β
β
β = 20°
- Kca = 0.472
A
B β
β
β
β
q
H
Fca
α
α
α
α
δ
δ
δ
δ
q H Kca /sin (α + β
(α + β
(α + β
(α + β) (surcharge)
α
α
α
α
½ γ
γ
γ
γ H
2
Kca (sols)
σ
σ
σ
σha =
=
=
= γ
γ
γ
γ H’ Kca . sin α
α
α
α (surcharge)
= [q Kca . sin
2
α
α
α
α]/ sin (α + β
(α + β
(α + β
(α + β)
σ
σ
σ
σha =
=
=
= (
(
(
(γ
γ
γ
γ H sin α
α
α
α) . Kca
H/3
H/2

34
Répartition des contraintes
( )
kPa
K
q
e
Surch
kPa
K
H
Sols
m
H
z
ca
ha
ca
ha
5
.
48
sin
sin
:
arg
0
.
94
sin
:
:
10
2
=
+
=
=
=
=
=
β
α
α
σ
α
γ
σ
Point d’application : 0
: =
Σ base
M
Z
mur
du
base
la
de
m
Z
Z
18
.
4
959
/
4008
4008
2435
1573
2
10
487
3
10
472
959
=
=
=
+
=
×
+
×
=
×
4.4.3 - Méthode graphique de CULMAN (Méthode de COULOMB graphiquement)
Lorsque les conditions géométriques ne permettent pas de déterminer analytiquement la
force de poussée ou de butée (ex. surface non régulière), on utilise une méthode graphique
qui est basée sur la théorie de COULOMB et qui est due à CULMANN. (Chargement répartie
ou ponctuel ne couvrant pas toute la surface du sol).
4.4.3.1 – Sols pulvérulents
Cette méthode consiste à calculer la force de poussée exercée sur le mur pour différentes
valeurs d’inclinaison du plan de rupture. En reportant ces valeurs sur un graphique, on
détermine, à partir de la courbe obtenue, le maximum qui correspond à la valeur de la force
de poussée Fca.
La figure 4.20 suivante donne les éléments de la démonstration, l’écran AB, la surface libre
BT, la ligne de glissement hypothétique AC faisant l’angle µ avec la verticale, une ligne
auxiliaire AD qui fait avec l’horizontale l’angle φ, une AS appelée ligne de position définie par
l’angle δ
α
φ −
= qu’elle fait avec AD, θ étant l’angle que fait Fca avec la verticale.
Par un point C1 choisi, traçons la parallèle à AB, elle coupe AD en d1 ; par d1 traçons la
parallèle à AS, elle coupe AC1 en e1. Le triangle Ad1 e1 est semblable au triangle des forces
(fig. 4. 20 b) ; ou encore on passe du triangle des forces au triangle Ad1e1 par une rotation
(90°+ φ) tel qu’indiquée à la figure 4.20c. On a :
3
2
1
triangle
du
Aire
ca
BC
L
w
Comme
Ad
d
e
w
F
1
1
1
2
1
1
γ
=
= 1
1
1
1
2
1
d
e
A
B
L
F
d
c
ca ×
= γ

35
Fig. 4.20 : Construction de CULMANN
φ
φ
φ
φ
θ
θ
θ
θ
e1
e2
di
d1
d2
A
θ
θ
θ
θ =
=
=
= α − δ
α − δ
α − δ
α − δ
Mur
H
B
ei
Ci
C1
C2
D
S
H
T
direction parallèle à AS
ligne de position
droite faisant avec
l’horizonle l’angle φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
µ
µ
µ
µ1
1
1
1
µ
µ
µ
µι
ι
ι
ι
µ
µ
µ
µ2
2
2
2
α
α
α
α
δ
δ
δ
δ
Ri
Wi
Fcai
(b) Polygone des forces
θ
θ
θ
θ
µ
µ
µ
µι
ι
ι
ι
φ + µ
φ + µ
φ + µ
φ + µι
ι
ι
ι
horizontale
(d)
D
X
φ
φ
φ
φ
Wi
W1
W2
θ
θ
θ
θ
direction faisant avec
l’horizonle l’angle φ
φ
φ
φ + µ
+ µ
+ µ
+ µ
direction parallèle à Fcai
ei
di
e1
e2
d1
d2
(a)
(e)
A
B
Ci
La direction de Ri fait l’angle
(φ
φ
φ
φ + µ
µ
µ
µi) avec l’horizontale
Ri
horizontale
µ
µ
µ
µι
ι
ι
ι
Wi
Fcai
µ
µ
µ
µ1
1
1
1
µ
µ
µ
µ2
2
2
2
µ
µ
µ
µι
ι
ι
ι
direction parallèle à AB
Ri
(c) Rotation
90° + φ
90° + φ
90° + φ
90° + φ
Fca

36
Or quand c varie, le rapport BC1/Ad1 reste constant, donc Fca est directement proportionnelle
à e1d1, le maximum de Fca sera aussi celui de eidi.
Quand Ci décrit la surface libre du massif, le point ei décrit la courbe Aei appelée courbe de
CULMANN. La valeur maximale eidi atteinte, correspond au point ei pour lequel la tangente à
la courbe de CULMANN est parallèle à AD. La tangente à la courbe de CULMANN permet
donc de trouver une valeur minimale pour eidi, donc de trouver la valeur de Fca.
D’autre part, le rapport BCi/Adi étant constant et i
i BC
L
W γ
2
1
= , donc Adi est directement
proportionnel à Wi. On pourra adopter pour la fig. 4.20a, une échelle des longueurs
définissant l’échelle des forces sur AD avec WABCi = Adi. Pour chaque position de Ci on aura
Adi = Wi. Etant donné que Fcai = diei, on pourra mesurer selon l’échelle des forces imposée,
pour trouver Fcai.
D’une autre manière, on peut conserver les directions d’action de W , Fca et R tel que
montre à la fig. 4. 20d. Ceci équivaut à une rotation de (90 +φ ) de la fig. 4 20a. Soit D la
verticale et la ligne d’action des Wi, on peut alors choisir sur AD une échelle des forces
arbitraire. Wi correspondant au coin défini par µi et Wi = Adi (fig. 4.20d). La ligne d’action que
R fait l’angle (µi + φ) avec l’horizontale (fig. 4.20e) ; la ligne d’action de Fca fait l’angle
( )
δ
α − avec la verticale. Traçons (fig. 4.20 d) ces deux droites respectivement par A et di,
elles se coupent en ei, diei représente Fcai. Il est intéressant de tracer la droite AX inclinée de
φ par rapport à l’horizontale ; à partir de cette droite, ou devra simplement prendre chaque
coin ABCi considéré, la droite faisant avec AX l’angle µi. La courbe de CULMANN étant
trouvée, la valeur maximale de diei donne Fca qui correspond au point ei pour lequel la
tangente à la courbe est parallèle à la droite AD.
Des applications typiques de la méthode graphique de CULMANN sont présentées aux
figures 4.21 : surface du massif irrégulière, 4.22 : charge ponctuelle linéaire et 4.23 : charge
répartie en bande.

37
Fig. 4.21 : Méthode de CULMANN
Fig.4.22 : Charge ponctuelle linéaire – Méthode de CULMANN
A
(b)
X
φ
φ
φ
φ
W1
W2
W2 + q
direction de R sur le
plan de rupture trouvée
e1
di
e2
e4
d2
dq
(a)
A
B
C1
Surface de rupture
réelle trouvée
Ri
φ
φ
φ
φ
µ
µ
µ
µ4
4
4
4
µ
µ
µ
µ2
2
2
2
µ
µ
µ
µ3
3
3
3
µ
µ
µ
µ1
1
1
1
µ
µ
µ
µ2
2
2
2
µ
µ
µ
µ1
1
1
1
µ
µ
µ
µ3
3
3
3
C2
C3
C4
µ
µ
µ
µ4
4
4
4
eq
W4 d4
Q (kN/m)
e3
W3 d3
e’2
Fca
A
(b)
X
φ
φ
φ
φ
W1
W2
W3
θ
θ
θ
θ
direction de R s’appliquant
sur le plan de rupture
e1
di
e2
e4
d2
d3
(a)
A
B
C1
Surface réelle trouvée
Ri
φ
φ
φ
φ
µ
µ
µ
µ4
4
4
4
µ
µ
µ
µ2
2
2
2
µ
µ
µ
µ3
3
3
3
µ
µ
µ
µ1
1
1
1
µ
µ
µ
µ2
2
2
2
µ
µ
µ
µ1
1
1
1
µ
µ
µ
µ3
3
3
3
C2
C3 C4
Ci
µ
µ
µ
µ4
4
4
4
e3
W4
d4
Fcai

38
Fig. 4.23 : Charge répartie en bande – Méthode de CULMANN
Point d’application de Fca.
Il convient de noter que la méthode de CULMAN ne donne que l’intensité de la poussée, il
reste à préciser son point d’application, ce qui revient au même, la distribution des
contraintes sur l’écran, on divise le parement AB (fig. 4.24) en un certain nombre de
segments égaux (3 en général), AB1, B1B2, et B2B et l’on admet que la répartition des
contraintes est linéaire sur chacun de ces segments. Pour déterminer cette répartition, on
calcule par la méthode de CULMANN la poussée qui s’exerce sur les parements BB2 et BB1,
soit P1 et P2. On connaît déjà la poussée qui s’exerce sur le mur AB. La répartition des
contraintes a donc pour résultante P1 sur BB2, P2 – P1 sur B2B1 et P - P2 sur B1B. Si l’on
cherche à préciser le point d’application de P, il suffit de prendre les moments par rapport à
la base, B ( )
0
=
Σ B
M .
µ
µ
µ
µ(
(
(
(
µ
µ
µ
µ2
2
2
2
µ
µ
µ
µ∋
∋
∋
∋
µ
µ
µ
µ3
3
3
3
A
(b)
X
φ
φ
φ
φ
W1
W2
W3
e1
di
e2
e4
d2
d3
(a)
A
B C1
Surface de rupture
réelle trouvée
Ri
φ
φ
φ
φ
µ
µ
µ
µ2
2
2
2
µ
µ
µ
µ3
3
3
3
µ
µ
µ
µ1
1
1
1
µ
µ
µ
µ1
1
1
1
C2
C3
C5
µ
µ
µ
µ4
4
4
4
e3
W5 d5
Q1
e5
W4 d4
Q2
C4
L1
L2
Q1 = q L1
Q2 = q L2 q (kPa)
µ
µ
µ
µ5
5
5
5
Fca

39
Fig. 4.24 : Répartition des contraintes et point d’application de la résultante
( ) ( )
[ ]
[ ]
P
P
P
P
H
encore
Ou
P
P
P
P
H
Soit
H
P
P
P
H
H
P
P
P
H
P
P
H
+
+
=






+
+
=
+






+






−
=
−
−
×
−
+
×
=
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
2
9
Z
9
1
9
2
9
4
Z
9
9
2
9
2
3
2
Z
.
P
*
9
2
3
2
2
3
2
P
2
Z
.
P
*
(b) Diagramme
P1
(a) Mur
A
B
C1
C2
C3
C’1
C’2
C’3
B2
B1
H/3
H/3
H/3
A
B
B2
B1
P1
P2 – 2P1
P – 2(P2 – P1)
P2 – 2P1
H/3
H/3
H/3
2P1
2(P2 – 2P1)
P – 2(P2 – P1)
(b) Points d’application des différentes
H/9

40
4.4.3.2. – Sols cohérents
Dans le cas des sols cohérents, le problème est plus complexe sur le plan de rupture, les
contraintes tangentielles τ et normales σ sont, en effet, liées par la relation de COULOMB.
φ
σ
τ tan
+
=c
Avec : c = cohésion du sol
φ = angle de frottement interne du sol
Il en résulte, dans l’équilibre du prisme de rupture, une force supplémentaire C parallèle au
plan de rupture, due à la cohésion. De plus, le long de l’écran il existe une force
d’adhérence a
C . Ces deux (2) forces doivent être ajoutées à W , ca
F et R , ce qui rend le
problème assez complexe. Cette méthode est illustrée à la fig. 4.25 ci-dessous.
Fig. 4.25 : Sol cohérent
Fcai
φ
φ
φ
φ
(b)
X
φ
φ
φ
φ
(a)
A
B
Ri
µ
µ
µ
µι
ι
ι
ι
µ
µ
µ
µι
ι
ι
ι
Ci
fissures
Wi
C
Fcai
Ca
C
Ht
cohésion
ACi
C
adhésion
AB
Ca
×
=
= .
1
B1
H
Ca
δ
δ
δ
δ

41
4.5 - Calcul des forces de poussée et de butée : Méthode de BOUSSINESQ
La théorie de RANKINE (ou de COULOMB) est très simple, mais ses applications pratiques
sont parfois limitées. Ainsi les lignes de glissement que l’on observe sur place ne sont pas
habituellement rectilignes. De plus les massifs sont souvent limités par des parois, murs ou
écrans et l’on constate que la rugosité de ces écrans joue un rôle important, l’équilibre de
RANKINE (ou de COULOMB) ne permet pas d’en tenir compte. La fig. 4. 27a donne un
exemple dans le cas de la poussée. On constate que les lignes de glissement diffèrent peu
des lignes droites, c’est un résultat assez général surtout lorsque l’écran est proche de la
verticale. Il n’en va plus de même pour la butée, où les lignes de glissement sont courbes
comme le montre la fig. 4. 27b.
Fig. 4.26 : Schémas de ruptures véritables
La théorie de BOUSSINESQ tient compte de la rugosité de l’écran et respecte la courbure
des lignes de glissement observées expérimentalement au voisinage de l’écran. En pratique
on utilise des abaques ou des tables (Caquot Kérisel ou Absi) pour trouver les coefficients
de poussée et de butée.
Plan de rupture
(a) Poussée (b) Butée
Plan de rupture
H

42
4.6 – Comparaison des différentes méthodes
4.6.1. – Comparaison
a) RANKINE : basée sur toute une zone de rupture, elle présente l’inconvénient
d’imposer à priori la valeur du frottement entre le sol et le mur
b) COULOMB : la zone de rupture est réduite à un plan de rupture et il n’y a
aucune prise en compte de l’état des contraintes dans le sol. L’hypothèse du
plan de rupture est relativement bien vérifiée pour les sols pulvérulents en état
de poussée, mais ne l’est pas ni pour les sols cohérents, ni pour les états de
butée.
c) BOUSSINESQ : c’est la plus satisfaisante des trois (3) méthodes compte tenu
des hypothèses faites.
4.6.2. – Choix d’une méthode
Dans le calcul des forces de poussée et de butée, le choix d’une méthode dépend
également de la géométrie de l’ouvrage.
a) Mur vertical et surface libre horizontale : la méthode de RANKINE, malgré
ses simplifications, est dans ce cas fréquemment utilisée. Il convient
cependant de vérifier si l’hypothèse de frottement nul n’est pas trop éloignée
de la réalité, auquel cas la méthode de BOUSSINESQ ou la méthode de
COULOMB peut être employée.
b) Mur plan incliné et surface libre inclinée : la méthode de BOUSSINESQ
permet un calcul correct des forces de poussée et de butée. On utilise ainsi la
méthode de COULOMB dans le cas des problèmes de poussée.
c) Mur quelconque et surface libre quelconque : on applique la méthode de
COULOMB avec résolution graphique CULMANN. Seule utilisable.

43
B – OUVRAGES DE SOUTENEMENT
4.7 – Différents types d’ouvrages de soutènement
Le rôle des ouvrages de soutènement est de retenir un massif de terre. Il existe en grande
variété, chacun des types ou presque nécessitant une méthode spécifique d’étude et de
contrôle du dimensionnement assurant la stabilité. Tous ces ouvrages ont en commun la
force de poussée exercée par le massif de terre retenu. Par contre, c’est principalement la
manière dont cet effort de poussée est repris qui sépare les différents types d’ouvrages.
Trois modes peuvent être distingués :
• La poussée est reprise par le poids de l’ouvrage de soutènement ;
• La poussée est reprise par encastrement de l’ouvrage de soutènement ;
• La poussée est reprise par les ancrages.
Le tableau 3 ci-dessous montre les divers types d’ouvrages de soutènement classés d’après
la distinction précédente.
4.7.1 : Cas où la poussée est reprise par le poids de l’ouvrage
i. Le type d’ouvrage le plus classique et le plus ancien est le mur poids en béton
ou en maçonnerie. Ce sont des ouvrages rigides qui supportent très mal les
tassements différentiels.
ii. Les murs en terre armée sont des ouvrages souples qui supportent assez
bien les tassements différentiels du sol.
iii. Les ouvrages cellulaires utilisés principalement dans les travaux maritimes
forment également des ouvrages souples.
4.7.2 : Cas où la poussée est reprise par encastrement de l’ouvrage
i. Le mur cantilever en béton armé qui, doté d’une base élargie encastrée à la
partie supérieure du sol, fonctionne sous l’effet du poids du remblai ; un mur
cantilever peut d’ailleurs être considéré comme un ouvrage poids si l’on y
inclut le poids du remblai compris entre le mur et la verticale (1) passant par
l’extrémité arrière de la semelle (fig. 4.28), les murs cantilever sont également
des ouvrages rigides.

44
ii. Les murs en parois moulés qui fonctionnent également par encastrement, en
totalité ou en partie.
iii. Les rideaux de palplanches, encastrés dans le sol de fondation : ce sont des
ouvrages de soutènement flexibles, où l’interaction structure - remblai a une
influence prépondérante sur le comportement de l’ouvrage.
Tableau 4.3 : Classification des ouvrages de soutènement d’après le mode de reprise
de la poussée
Mode de
reprise de la
poussée
Ouvrages de soutènement
Poids de
l’ouvrage
Encastrement
Ancrage
Ouvrages cellulaires
Rideau ancré
Rideau de palplanches
Paroi moulée ancrée
Paroi moulée
Mur en terre armé
Mur en béton ancré
Mur cantilever en
béton armé
Mur poids en béton
ou en maçonnerie

45
Fig. 4.27 : Mur cantilever en béton armé
4.7.3 : Cas où la poussée est reprise en totalité ou en partie par les ouvrages
Dans les ouvrages de soutènement en déblai, l’effort de poussée est fréquemment repris en
partie par des ancrages (murs et parois moulées ancrés). Il en est de même pour les rideaux
de palplanches, lorsque le sol de fondation est trop résistant et ne permet pas d’enfoncer les
palplanches à une profondeur suffisante.
4.8 – Dimensionnement des murs poids en maçonnerie ou béton
Dimensionner un mur poids consiste à déterminer sa géométrie et sa structure pour qu’il soit
stable sans l’action des forces qui lui sont appliquées à savoir (fig. 4.28) :
- le poids du mur W
- la force de poussée a
F
- la force de butée p
F
- la réaction du sol R
Ν.Β :
Ν.Β :
Ν.Β :
Ν.Β : γ
γ
γ
γsat sera utilisé pour le calcul de la force la poussée s’il n’y a pas de protection, si
pas de nappe (infiltration par exemple).
B
A
C
Fa
Fa = Force de poussée

46
a
F = force de poussée
p
F = force de butée
R = réaction du sol
W = poids du mur
Fig. 4. 28 : Forces s’exerçant sur un mur poids
Comme pour tout ouvrage de soutènement, le dimensionnement d’un mur comporte les
étapes suivantes :
• Calcul des efforts de poussée et de butée,
• Sécurité au renversement,
• Sécurité vis-à-vis d’un glissement sur la base du mur,
• Sécurité vis-à-vis d’une rupture du sol de fondation,
• Sécurité vis-à-vis d’un grand glissement englobant le mur,
• Sécurité vis-à-vis de la stabilité interne du mur.
4.8.1 : Calcul des efforts de poussée et de butée
En premier lieu, il convient de vérifier que les déplacements du mur sont suffisants pour
mobiliser la poussée ou la butée. En fait, le déplacement du pied du mur n’est généralement
pas suffisant pour mobiliser l’état de butée à l’aval ; c’est pourquoi cette force ( )
p
F est
rarement prise en compte. Lorsqu’il n’y a pas possibilité de déplacement du mur, comme
cela est le cas pour un pont cadre ou dalot, la force de poussée doit être calculée avec le
coefficient Ko et non avec Ka.
La force de poussée doit, par ailleurs, être calculée en fonction des conditions hydrauliques
probables les plus défavorables derrière le mur. Il faut avoir présent à l’esprit qu’un remblai
horizontal totalement saturé d’eau pousse environ 2.5 fois plus que le même remblai sec. Il
convient donc d’éviter toute saturation du remblai et de prévoir un dispositif de drainage.
R
W
Fa
Fp

47
Habituellement, pour la plupart des murs poids, les efforts de poussée sont calculés d’après
la théorie de COULOMB (CULMANN inclus).
ca
ca K
H
F 2
2
1
γ
=
4.8.2 : Sécurité au renversement
La sécurité au renversement traduit son équilibre statique par rapport au moment des forces
exercées. Le coefficient de sécurité peut être déterminé en considérant l’équilibre lorsque le
mur se renverse autour de son arête extérieure. Au dessus de la base, le mur est sollicité
par deux types de forces (fig. 4.29)
Fig. 4.29 : Sécurité au renversement
a) Des forces qui tendent à stabiliser le mur, principalement le poids W,
b) Des forces qui tendent à renverser le mur, principalement la force de poussée. On
définit le coefficient de sécurité au renversement :
5
.
1
.
2
1
.
.
≥
⋅
=
Σ
Σ
=
d
F
d
W
M
M
F
a
renvers
stab
R
On utilise parfois la règle du tiers central, qui consiste à s’assurer que la réaction R (fig.
4.28) sur la base passe dans le tiers central de la semelle de fondation. Cette règle équivaut
à ce que, dans une distribution linéaire des contraintes verticales sous la semelle, aucune
W
Fa
d2
d1

48
zone de cette semelle ne soit pas en traction. Si la résultante est dans le 1/3 central alors
toute la section est en compression.
4.8.3 – Sécurité vis-à-vis d’un glissement sur la base du mur
Le déplacement du mur par glissement sur le plan de sa fondation est la deuxième
éventualité à envisager (fig. 4.30)
Fig. 4.30 : Sécurité au glissement
Il faut comparer :
La composante T de la résultante R sur le plan de la fondation
La résistance que terrain est capable d’opposer au glissement, à savoir :
δ
tan
. N
B
Ca +
Avec : B = largeur du mur à la base
N = composante normale de R
a
C = adhésion ou adhérence
δ = angle de frottement entre le sol et la base du mur.
Le coefficient de sécurité au glissement est alors égal à :
5
.
1
tan
.
≥
+
=
T
N
B
C
F a
G
δ
N R
B
N

49
4.8.4 – Sécurité vis-à-vis d’une rupture de sol de fondation
La sécurité vis-à-vis d’une rupture du sol de fondation est obtenue par l’adoption d’un
coefficient de sécurité égal à 3 sur la capacité portante du sol de fondation relative à une
charge excentrée et inclinée (fig. 4.31).
Fig. 4.31 : Surface de rupture du sol de fondation
4.8.5 : Sécurité au grand glissement
Il y a rupture par grand glissement lorsque la partie du massif de sol glisse en englobant le
mur, la surface de rupture passant alors à l’arrière du mur (fig. 4.32).
Le coefficient de sécurité correspondant est défini comme le rapport du moment des forces
motrices (forces de pesanteur) au moment des forces résistantes mobilisables le long de la
surface de rupture. La valeur du coefficient de sécurité doit être supérieure ou égale à 1.5.
Cette équation est examinée éventuellement en détail dans le chapitre sur la stabilité des
pentes.
R
B
D

50
Fig. 4.32 : Rupture par grand glissement
4.8.6 : Stabilité interne du mur
Il reste à s’assurer que les contraintes dans la maçonnerie restent inférieures aux contraintes
admissibles. C’est un problème de résistance des matériaux. En principe, on ne doit pas
faire travailler de la maçonnerie ou du béton non armé à la traction, il faut donc, dans ce cas,
que la résultante des forces tombe dans le tiers central de chaque section le long du mur.
Surface de rupture

51
4.8.7 : Dimensions usuelles d’un mur poids
Il est indiqué à la fig. 4.33 les proportions les plus usuelles d’un mur de soutènement
gravitaire. Ces indications peuvent servir pour dégrossir un avant projet.
Fig. 4.33 : Dimensions usuelles d’un mur poids
4.9 – Mur de soutènement cantilever en béton armé
4.9.1 – Principe
La conception des murs de soutènement cantilever en béton armé diffère sensiblement de
celle des murs poids. Les terres sont retenues par un voile vertical dont l’équilibre est assuré
par une semelle qui se prolonge sous le remblai (fig. 4.34). Cette semelle supporte le poids
des terres dont le rôle stabilisateur est évident. La partie la plus délicate de l’ouvrage se situe
à l’encastrement du voile dans la semelle, il se développe là des moments fléchissant
notables.
La méthode habituelle dans le cas des murs de type cantilever consiste à calculer la force de
poussée sur le parement fictif (AB) en utilisant les hypothèses de RANKINE. Ce faisant, l’on
assume que les plans de glissement inclinés à 2
1 θ
θ et par rapport à la verticale AB,
puissent se former sans interférence de la part du mur.
½ H à 2/3 H
H
t = (H/8 t H/6)
H/12 (min = 30 cm)
t/2 à t

52
Fig. 4.34 : Mur de soutènement cantilever en béton armé
Les critères de stabilité (renversement, glissement, etc..) sont les mêmes que pour les murs
poids, sauf que l’on permet l’existence des forces de traction dans la voile. Ces forces sont
reprises par les armatures d’acier.
4.9.2. – Dimensions usuelles d’un mur cantilever
La figure 4.35 résume les dimensions les plus courantes des ouvrages de ce genre.
Fig. 4.35 : Dimensions usuelles d’un mur cantilever
B = H/2 à 2/3 H
H
H/12
H/24
B/3
H/12
β
β
β
β
A
H
Fra = ½(g AB)
2
[RANKINE]
Plan de rupture
AB/3
Plan de rupture
B
β
β
β
β
θ
θ
θ
θ2
2
2
2
θ
θ
θ
θ1
1
1
1
Verticale

53
4.10 – Rideaux de palplanches
4.10.1 – Généralités
Les rideaux de palplanches sont constitués de palplanches sont constitués de palplanches
métalliques en général, emboîtées les unes dans les autres et battues dans le sol de
fondation, pour former un écran vertical, le plus souvent rectiligne, servant de soutènement à
un massif de sol. Les rideaux de palplanche peuvent constitués des ouvrages provisoires
(batardeaux) ou définitifs. Leur caractéristique essentielle est que le soutènement ainsi formé
est souple, ce qui nécessite une méthode spécifique de dimensionnement.
Outre les sécurités classiques d’une rupture par renversement ou grand glissement, la
méthode consiste à vérifier que les déformations du rideau restent en tout point admissibles,
c'est-à-dire que la contrainte maximale dans la palplanche ne dépasse pas le taux de
contrainte admissible pour l’acier, soit (fig. 4. 36)
Z = module de résistance = 2I/h
I = moment d’inertie
h = hauteur (épaisseur)
Fig. 4.36 : Caractéristiques d’une palplanche
adm
Z
M
σ
σ ≤
= max
max
Avec : Mmax = moment maximum
Z = Module de résistance
σadm = contrainte admissible de l’acier
On distingue deux (2) types de rideaux :
Les rideaux ancrés,
Les rideaux sans ancrages
X
h
X

54
Dans ce dernier cas, la stabilité est assurée uniquement par les réactions du sol sur la partie
enterrée que l’on appelle la fiche, c’est le cas de la plupart des batardeaux (fig. 4.37)
Fig. 4.37 : Exemple de Batardeau
Les rideaux ancrés au contraire doivent une part de leur stabilité à une ou plusieurs lignes de
tirants qui sont reliés à des plaques d’ancrage enterrées dans le sol à quelque distance de la
paroi. Ces tirants sont attachés sur le rideau dans sa moitié supérieure. Les murs de quai en
palplanches sont généralement des rideaux ancrés (fig. 4.38)
Fig. 4.38 : Exemple de mur de quai ancré
Les rideaux ancrés résistent donc à la poussée des terres à la fois grâce aux efforts
d’ancrage et grâce à la butée sur la fiche.
La flexibilité du rideau et l’importance de la fiche jouent un rôle important dans la
détermination de la butée.
Remblai Eau
Sol
Palplanche
D = Fiche
ancrage
Eau
Palplanche
D = Fiche

55
4.10.2 – Méthodes de calcul
Deux méthodes classiques sont couramment utilisées :
La première, où le rideau est ancré et simplement buté en pieds,
La seconde, dans laquelle le rideau n’est pas ancré en tête, mais résiste
uniquement par un bon encastrement dans le sol de fondation.
4.10.2.1 – Rideau ancré, simplement butée en pieds
Un rideau ancré, simplement butée en pied correspond à une faible valeur de la fiche, ce qui
permet une rotation du rideau autour de son point d’ancrage et un déplacement du pied
mobilisant la butée maximale. Le diagramme des efforts exercés sur le rideau, dans le cas
d’un sable, est représenté sur la figure 4.39.
Fig. 4.39 – Rideau ancré, simplement butée en pied
La butée n’est plus entièrement mobilisée du fait des faibles déplacements c’est pourquoi, en
général on prend Kp/2.
Les inconnues à déterminer sont la fiche D et l’effort de l’ancrage T . L’équilibre statique
fournit les relations suivantes :
D/3
a
A
Sable
(H + D)/3
D
H
Fp
Fa
T

56
( )
( )
( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
]
2
[
:
0
)
]
1
[
0
3
2
6
2
3
3
2
:
2
1
2
1
:
3
2
3
2
0
)
2
2
3
2
2
p
a
H
a
a
a
p
a
p
p
p
a
a
p
a
A
F
F
T
donc
F
b
K
a
H
H
D
K
a
H
H
D
K
a
H
K
a
H
D
K
K
donc
K
D
F
K
D
H
F
avec
a
H
D
F
a
H
D
F
M
a
−
=
=
Σ
−
=
−
−
−
−
−
−
−
+
−
=
+
=






−
+
=






−
+
⇒
=
Σ
−
γ
γ
La valeur de D étant connue (équation [1]), l’équation [2] fournit la valeur de l’effort
d’ancrageT .
N.B : Pour tenir compte d’un coefficient de sécurité par rapport à l’équilibre ainsi
calculé, on admet généralement que l’on ne mobilise que la moitié de la butée, ce qui,
dans l’équation déterminant la fiche D, conduit à remplacer Kp par Kp/2.
Exemple 9 :
Déterminer la longueur des palplanches en assumant un coefficient de sécurité de 1 sur Kp.
Sol : sable = °
=
= 30
,
/
18 3
φ
γ m
KN
Ancrage : 2.0 m de la surface (fig. 4.4.0)
φ = 30° → Ka = 0.33 et Kp = 3.00 (selon RANKINE)
Fig. 4.40 : Exemple 9
D/3
2 m
A
Sable
(H + D)/3
D = 2.2 m
H = 6 m
Fp
Fa
T

57
Solution :
Equation [1] page précédente ⇒
m
D
H
m
D
où
d
D
D
D
D
D
D
2
.
8
15
.
2
'
0
216
144
78
16
0
3
1
6
36
3
1
4
36
3
1
10
3
3
4
3
3
1
3
2
2
3
2
3
≈
+
⇒
=
=
−
−
+
⇒
=
×
×
−
×
×
−






×
×
−
×
×
+






−
⇒
4.10.2.2. – Rideau non ancré en tête et encastré en pied
La théorie classique considère que le rideau pivote autour d’un axe situé légèrement au
dessus de son extrémité inférieure. Le déplacement du rideau provoque au dessus de l’axe
de rotation la formation de deux zones plastiques correspondant à l’équilibre de RANKINE,
poussée à gauche et butée à droite. (fig. 4.41 a).
Fig. 4.41 : Rideau sans ancrage
Au dessous de l’axe de rotation O au contraire, le terrain situé à gauche de la palplanche est
refoulé, il oppose une contre-butée, tandis que le terrain à droite est décomprimé. Au
moment de la rupture, la distribution des contraintes normales doit donc ressembler à celle
qui est indiquée à la fig. 4.41b.
Poussée
B
Poussée
z
Butée
(a) Déplacement du rideau
O
C
(b) Pression des terres sur le rideau
A
Butée

58
Pour les besoins du calcul, on remplace la distribution des contraintes de la figure 4.42 b par
la distribution plus simple de la figure 4.42 a. Les efforts de contre-butée sont équivalents à
une force horizontale Fc appliquée au niveau du centre de rotation O (fig. 4.42 b). C’est un
problème isostatique à deux (2) inconnues : la profondeur fo et la force Fc . En écrivant
;
o
Mo =
Σ on peut trouver ,
fo de plus ,
O
FH =
Σ on peut ainsi trouver Fc et par
conséquent, la profondeur Z. On a donc ainsi déterminé la fiche D = z
fo+ et la longueur
des palplanches. On s’abstient souvent de calculer z en utilisant la formule approchée :
D = 1.20 f0, ce résultat est du côté de la sécurité.
Fig. 4.42 : Hypothèses admises pour le calcul d’un rideau non ancré
( ) 




 +
+
+
=
2
0
f
H
K
fo
H
F a
a γ 2
/
0
0 f
K
f
F p
p ×
= γ
poussée
de
force
Fa = butée
de
force
Fp =
( )
[ ] poussée
butée
de
Force
K
D
K
f
H
z
butée
contre
de
force
F a
p
c −
=
×
−
+
=
−
= γ
0
En trouvant le moment maximal et en considérant contrainte admissible de l’acier, on peut
trouver la section requise de la palplanche. La méthode que l’on vient d’exposer est un
calcul à la rupture en ce qui concerne le sol ; il est donc indispensable d’introduire un
coefficient de sécurité. La manière la plus répandue consiste à diviser les coefficients de
butée par le coefficient de sécurité (2 en général) et à utiliser ces nouveaux coefficients de
butée dans les calculs de la fiche et du moment sans modifier les coefficients de poussée.
Fc
Fa
(a) Distribution simplifiée
O
(b) Forces
O
Sable
F
z
H
D
f0

59
4.11. – Excavations blindées
4.11.1. – Généralités et principe
On se contentera, dans cette section de donner quelques indications sommaires sur le calcul
du blindages des fouilles (la paroi formant le blindage peut être un rideau de palplanche mais
elle peut être aussi constituée de planches ou de madriers) → La stabilité du blindage est
assurée par des étais horizontaux placés à différents niveaux. (figure 4.43).
Fig. 4.43 : Excavation blindée
Du fait des étais, ce calcul du blindage apparaît à première vue, comme le calcul d’une
poutre continue, reposant sur plusieurs appuis. Il est malheureusement impossible de prévoir
le comportement mécanique du rideau. Les étais sont mis en place les uns après les autres
à mesure que l’excavation progresse, aussi la partie supérieure du blindage a-t-elle déjà subi
des déformations lorsque la partie inférieure est mis en charge, il faudrait en tenir compte
dans le calcul du rideau. De plus la déformation élastique de l’étai est loin d’être la même
pour tous les étais. Le rideau se comporte alors comme une poutre sur appuis dénivelés,
mais la dénivellation est inconnue. Il n’est donc pas possible de calculer le blindage en
assimilant à une poutre continue, il y a trop d’inconnues d’ordre expérimental dont le rôle est
déterminant en raison de la grande hyperstabilité du problème.
Pour des raisons analogues, la répartition théorique le long de la paroi n’est plus facile à
déterminer.
Il est certain, toutefois, que cette répartition ne ressemble à rien à la distribution linéaire
classique, car la déformation de la paroi n’est pas compatible avec l’apparition d’un équilibre
Fond de fouille
Palplanches
Etais
H

60
correspondant au schéma de RANKINE ou de BOUSSINESQ. Les mesures faites « in situ »
lors de la réalisation de grandes fouilles ont montré que cette répartition avait une allure
grossièrement parabolique, due vraisemblablement à des efforts de voûte. On constate aussi
qu’outre les efforts de voûte, l’ordre de mise en place des blindages et des étais joue un rôle
important ainsi d’ailleurs que la température et le temps.
Dans ces conditions, on conseillera de s’en tenir à une méthode empirique qui découle
principalement des mesures faites par SPILKER, lors de la construction du métro de Berlin
pendant les années 30 et de celles auxquelles à procédé PECK en 1940-1942 à l’occasion
de la réalisation du métro à Chicago.
Cette méthode comporte deux (2) étapes. On choisit d’abord un diagramme de répartition
des contraintes analogues à ceux qui sont dessinées sur la figure 4.45 a, b et c. On admet
ensuite que la paroi est articulée au droit de chacun des étais (sauf ce qui concerne le plus
élevé) ainsi qu’au fond de fouille. On est amené ainsi à calculer une succession de poutres
droites sur appuis simples (fig. 4.45 d). C’est un problème isostatique qui est donc
particulièrement facile à résoudre.
4.11.2 – Instabilités
4.11.2.1. – Effets hydrauliques, RENARD
Fig. 4.44 : Calcul empirique du blindage
Le coefficient minorateur m peut varier de 0.4 à 1.0
(a) Sable
0.65 Ka γ
γ
γ
γ H
(c) Argiles raides très fissurées
H
(b) Argiles molles à raides
4 m cu γ
γ
γ
γ H 0.2 γ
γ
γ
γ H à 0.4 γ
γ
γ
γ H
0.75 H
0.25 H
H H
0.25 H
0.25 H
0.5 H

61
Fig. 4.44 (suite) : Calcul empirique du blindage
Dans les sections précédentes, on a passé sous silence le rôle joué par l’eau. On admet
généralement que l’eau (mur de quai) est en équilibre hydrostatique de part et d’autre du
rideau, même si les niveau sont différents. Dans ces cas, pour obtenir la distribution des
contraintes totales agissant sur la palplanche, il faut simplement ajouter les contraintes
effectives et la pression interstitielle.
Mais en réalité, lorsque le niveau de l’eau n’est pas le même des deux (2) côtés du rideau,
des efforts hydrodynamiques s’ajoutent aux effets hydrostatiques, car il y a un écoulement
d’eau le long de la palplanche et sous la palplanche du niveau amont vers le niveau aval
(fig. 4.45).
Fig. 4.45 : Ecoulement d’eau
h
D
N. P.
N. P.
(d) Principe de calcul
0.2 γ
γ
γ
γ H à 0.4 γ
γ
γ
γ H
H
0.25 H
0.25 H
0.5 H
Etais

62
Dans le cas de la figure 4.46, cet écoulement augmente les contraintes effectives à gauche
du rideau donc accroît la poussée, diminue les contraintes effectives à droite donc réduit la
butée. Cet effet est habituellement négligé si h est faible. Néanmoins si h est important, le
gradient hydraulique risque d’atteindre une valeur voisine de la valeur critique, on peut alors
craindre le phénomène de « RENARD ». Pour éviter ce problème, en pratique on utilise une
longueur de fiche de l’ordre de 0.7 à 1.0 h.
4.11.2.2 Soulèvement de fond par manque de capacité portante
(Argiles)
Cette condition est illustrée à la figure 4.46. Si l’excavation est assez profonde, il peut y avoir
rupture. On définit un cœfficient de sécurité par :
25
.
1
*
≥
+
=
p
H
N
c
F c
γ
Nc*définit au chapitre II (Fondations superficielles)
Fig. 4.46 : Manque de capacité portante
4.11.2.3 – Soulèvement de fond par pression d’eau
Lorsque l’excavation est faite dans un sol imperméable (argile) et que cette argile est sur une
couche perméable (sable ou gravier), il peut y avoir soulèvement de fond (fig. 4.47). Pour
éviter ce problème, on exige en pratique un coefficient de sécurité d’au moins 1.25. Ce
coefficient est défini par l’expression suivante :
B X L
Sol : γ
γ
γ
γ et Cu
D
P = surcharge

63
25
.
1
≥
×
×
=
eau
eau
s
sat
h
h
F
γ
γ
Fig. 4.47 : Soulèvement de fond de fouille
Argile
hs
Eau Eau
Sable ou gravier
Argile
heau
γ
γ
γ
γsat
N. P.

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