APRENDIZAJE AUTONOMO

1. ASIGNATURA: MATEMATICA.
TEMA: CONCEPTOS BASICOS DE TRIGONOMETRIA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA, INFORMÁTICA Y MECÁNICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA
DOCENTE: JOSE PERCY TINTAYA QUISPE
INTEGRANTES:
1. MONTAÑEZ CHOQUEPUMA JORGE ROLANDO 235405
2. QUIPO QUISPE CARLOS RILDO 231298
3. PAUCAR RUIZ KINDER KAIDO
234918

2. BASICOS DE
TRIGONOMETRIA

3. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
El ángulo trigonométrico es aquel
que se genera por la rotación de
un rayo al rededor de un punto
fijo llamado vértice.
𝛼
O
ELEMENTOS:
Vértice: O
Lado inicial: OA
Lado final: OA´
Medida del ángulo: 𝛼
ANGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOS
 Si el giro del rayo es en sentido
antihorario, el ángulo se
considera positivo.
 Si el giro del rayo es en sentido
horario, el ángulo se considera
negativo .

4. SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
SISTEMA SEXAGESIMAL “S” (INGLES)
Tiene por unidad de medida al grado sexagesimal “1°”
Se define como la 360 ava parte de la medida del ángulo de una vuelta
360
1°
1° =
𝑚⋖1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎
360
Sub unidades de medida
 Minuto sexagesimal
 Segundo sexagesimal
Medidas equivalentes :
1° = 60´
1´ = 60°
1°= 3600′′

5. SISTEMA CENTESIMAL “C” (FRANCES)
Tiene por unidad de medida al grado centesimal “1𝑔
”
Se define como la 400 ava parte de la medida del ángulo de una vuelta.
1𝑔
=
𝑚⋖1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎
400
Sub unidades de medida
 Minuto centesimal
 Segundo centesimal
Medidas equivalentes :
1𝑔
=100𝑚
1𝑚 = 100𝑔
1𝑔
= 10000𝑠
1𝑔 < 1° < 1𝑟𝑎𝑑

6. 1.- Simplificar la siguiente expresión y hallar el valor de 10x – 9y
X°
𝑦𝑔
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑

7. Relaciones trigonométricas en triángulos rectángulos.
α
β
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜
α + β + 90 = 180
• 𝑆𝑒𝑛 𝛼 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
• 𝐶𝑜𝑠(𝛼) =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
• 𝑇𝑎𝑛(𝛼) =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

8. α
β
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜
• 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
=
1
𝑠𝑒𝑛(𝛼)
• 𝑆𝑒𝑐 (𝛼) =
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
1
cos(𝛼)
• 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
=
1
tan(𝛼)

9. Ejemplo:
α
β
8
6
• 𝑆𝑖𝑛(𝛼) =
8
10
= 0.8
• 𝐶𝑜𝑠 𝛼 =
6
10
= 0.6
• 𝑇𝑎𝑛 𝛼 =
8
6
= 1.33 …
• 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑐(𝛼) =
10
8
= 1.25
• 𝑆𝑒𝑐(𝛼) =
10
6
= 1.66 …
• 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛(𝛼) =
6
8
= 0.75

10. Definiciones de seno, coseno, y tangente con base en el círculo
unitario
B
C
A
1
1
1
(x;y)
0
1
α
1
• 𝑆𝑒𝑛(𝛼) =
𝐵𝐶
𝑟
=
𝑦
1
= 𝑦
• 𝐶𝑜𝑠 𝛼 =
𝐴𝐶
𝑟
=
𝑥
1
= 𝑥
• 𝑇𝑎𝑛(𝛼) =
𝐵𝐶
𝐴𝐶
=
𝑦
𝑥

11. B
C
A
1
1
1
(-0.89; -0.66)
0
1
α
1
Ejemplo:
• 𝑆𝑖𝑛 𝛼 = 𝑦 = −0.66
• 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 𝑥 = −0.89
• 𝑇𝑎𝑛 𝛼 =
−0.66
−0.89
= 0.74

12. 2) Identidades pitagóricas
y son utilizadas frecuentemente en problemas
relacionados con triángulos rectángulos.
Las identidades pitagóricas son:
1) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1
2) 𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥
3)𝑐𝑜𝑡𝑛2
𝑥 + 1 = 𝑐𝑠𝑐2
𝑥

13. 1) 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟: 𝐸 =
𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
+ 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑥
2)𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟: 𝐸 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑔2𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥(1 − 𝑡𝑎𝑛2𝑥)

14. Identidades de ángulos suma y diferencia
Las identidades suma y
resta de ángulos son
identidades trigonométricas
usadas para calcular los
valores de ángulos.
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE LA SUMA
Sen ( 𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽
Cos (𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽
Tan ( 𝛼 + 𝛽) =
tan 𝛼 + tan 𝛽
1 − 𝑡𝑎𝑛𝛼 tan 𝛽

15. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE LA DIFERENCIA
Sen (𝛼 − 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼. cos𝛽 − 𝑐𝑜𝑠𝛼 . 𝑠𝑒𝑛𝛽
Cos (𝛼 − 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛼. 𝑠𝑒𝑛 𝛽
Tan( 𝛼 − 𝛽) =
tan 𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽
1+𝑡𝑎𝑛𝛼.𝑡𝑎𝑛𝛽

16. EJEMPLOS DE APLICACIÓN.

18. Extensión a las funciones reciprocas: cotangente, secante
y cosecante.
Si, por ejemplo, una razón
es a/b, entonces, el recíproco
es b/a, de esta manera, las
funciones trigonométricas
poseen funciones recíprocas
en el mismo ángulo. Estas
son:
Función
trigonométrica
Función recíproca
Seno Cosecante
Coseno Secante
Tangente Cotangente

19. • FUNCIÓN COSECANTE
Función
Dominio 𝑅 − 𝑛𝜋
Rango 𝑅 −< −1; 1 >
Periodo 2𝜋
Discontinua … . . −𝜋, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋. . ; 𝑛𝜋
cuadrante son . en
I Decreciente < +∞; 1]
II creciente [1; +∞ >
III creciente < −∞; −1]
IV decreciente [−1; −∞ >
.𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓: 𝑅 → 𝑅
𝑓 = [ 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑅 ∗ 𝑅 𝑦 = 𝑐𝑠𝑐𝑥; 𝑥 ∈ 𝑅 − [𝐾𝜋]; 𝑘 ∈ 𝑍]
Donde:
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑐𝑥, 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑓 𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
= 𝑐𝑠𝑒𝑐𝑥

20. *FUNCIÓN SECANTE
𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓: 𝑅 → 𝑅
𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑓 𝑥 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 𝑠𝑒𝑐𝑥
𝑓 = [ 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑅 ∗ 𝑅 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐𝑥; 𝑥 ∈ 𝑅 − (2𝐾 + 1)
𝜋
2
; 𝑘 ∈ 𝑍]
Donde:
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥, 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
función ff(x) = secx
Dominio 𝑅 − (2𝑛 + 1)
𝜋
2
Rango 𝑅 − 𝑛𝜋
Periodo 2𝜋
Discontinua 𝜋
2
;
3𝜋
2
; … . (2𝑛 + 1)
𝜋
2
Par 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥)
cuadrante son . en
I creciente [1; +∞ >
II creciente < −∞; −1]
III decreciente [−1; −∞ >
IV decreciente < +∞; 1]

21. FUNCIÓN COTANGENTE
𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓: 𝑅 → 𝑅
𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑓 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑓 = [ 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑅 ∗ 𝑅 𝑦 = 𝐶𝑡𝑎𝑛𝑥; 𝑥 ∈ 𝑅 − 𝐾𝜋; 𝑘 ∈ 𝑍]
Donde:
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑡𝑔𝑥, 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
función ff(x) = ctanx
Dominio 𝑅 − 𝑛𝜋
Rango 𝑅
Periodo 𝜋
Discontinua … . . 𝜋, 2𝜋, 3𝜋, … 𝑛𝜋
Impar 𝑓 𝑥 ≠ 𝑓(−𝑥)
cuadrante son . en
I Decreciente < +∞; 𝑜]
II Decreciente [0; −∞ >
III Decreciente [−1; −∞ >
IV Decreciente [0; −∞ >

22. 1) 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑦 = 𝑓 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝑠𝑒𝑛3𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜: recordamos que sen3x- senx= 2senx.cos2x
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝑥 ≠ 𝑛𝜋 , 2𝑥 ≠ (2𝑛 + 1)
𝜋
2
2) 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑥 = 4𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥