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MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN
METAHEURÍSTICA
Presenta:
Miguel Alejandro Hernández Briones
Análisis Numérico

Presenta: Miguel Hernández Métodos de Optimización Metaheurística 2
1. Optimización del Juego del Caos: Inspiración

Presenta: Miguel Hernández
❖La teoría del caos es una rama de las matemáticas que se concentra en
las características específicas de los sistemas dinámicos que son
extremadamente sensibles a las condiciones iniciales.
❖Considerando la aleatoriedad de estos sistemas dinámicos, la teoría del
caos denota la existencia de algunos patrones primarios en el
comportamiento de estos sistemas que los representan como dinámicas
autosimilares y sistemas autoorganizados como:
▪ Bucles similares, plantillas repetidas, fractales y múltiples
subsistemas.
Métodos de Optimización Metaheurística 3

❖La teoría del caos demuestra que:
▪ Algunos pequeños cambios en las condiciones iniciales de un
sistema dinámico, darán como resultado algunas diferencias
extremas en las condiciones venideras de estos sistemas.
❖Según esta teoría:
▪ El estado actual de un sistema podría determinar el estado posterior
de este sistema.
▪ El estado actual de un sistema aproximado, no determina
aproximadamente el estado posterior de este sistema.
• La mayoría de los procesos caóticos tienen formas gráficas de
fractales.

❖En matemáticas, un fractal es un patrón geométrico específico se repite
en múltiples escalas.
▪ Los fractales tienen formas aproximadamente similares en diferentes
escalas que los representan como sistemas auto-similares.
Uno de los fractales famosos es el conjunto de Mandelbrot, que representa un límite infinito en el que se
demuestran progresivamente múltiples detalles recursivos en diferentes escalas.

❖En matemáticas, el juego del caos es la metodología de creación de
fractales utilizando una forma de polígono inicial y un punto inicial
seleccionado al azar.
▪ El objetivo principal es crear una secuencia de puntos de manera
iterativa para lograr un boceto que tenga una forma similar en
diferentes escalas.
• En este sentido, los vértices de un polígono que se considera
como la forma principal del fractal, deben colocarse
correctamente en primer lugar.

▪ Luego, se selecciona un punto aleatorio inicial como punto de partida
para crear el fractal.
• A partir de este punto inicial, se determina el siguiente punto de la
secuencia como una fracción de la distancia entre el punto inicial
y uno de los vértices del polígono que se selecciona
aleatoriamente en cada iteración.
▪ Al repetir este proceso continuamente considerando el punto inicial
aleatorio y la selección aleatoria de vértices en cada iteración, se
crea un fractal.
• Al utilizar tres vértices con el factor de 1/2, se crea un triángulo de
Sierpinski.

❖Como ejemplo sencillo, se presenta la creación de un triángulo de
Sierpinski mediante la metodología del juego del caos.
▪ Al principio, se seleccionan tres vértices para crear la forma principal
del fractal, lo que da como resultado una forma de triángulo en este
caso.

▪ Cada uno de los vértices seleccionados está marcado por uno de los
colores rojo, azul y verde.
▪ Se toma un dado que tiene dos caras rojas, dos caras azules y dos
caras verdes.
▪ Se selecciona un punto aleatorio inicial como punto de partida del
fractal que se considera como una semilla en este ejemplo.
Punto inicial

❖A medida que se lanza el dado, según el color que salga, la semilla en el
punto inicial se mueve hacia el vértice relacionado a la mitad de la
distancia entre la semilla y el vértice.
❖La nueva posición de la semilla se utiliza en la siguiente iteración como el
punto de partida en el que se lanza el dado nuevamente y la semilla se
mueve al nuevo vértice.
▪ Tirando los dados muchas veces, se logra el triángulo de Sierpinski
como la forma final. La vista esquemática de la metodología
presentada se muestra a continuación:

❖La forma final del triángulo de Sierpinski y su autosimilitud en diferentes
escalas se presenta en la siguiente figura:

❖Los fractales y el juego del caos se utilizan para formular el CGO.
▪ El algoritmo CGO considera un número de soluciones candidatas
(𝑋) que representan algunas semillas elegibles dentro de un
triángulo de Sierpinski.
▪ En este algoritmo, cada solución candidata (𝑋𝑖) consta de algunas
variables de decisión (𝑥𝑖,𝑗) que representan la posición de estas
semillas elegibles dentro de un triángulo de Sierpinski.
▪ El triángulo de Sierpinski se considera como el espacio de búsqueda
de soluciones candidatas en el algoritmo de optimización.
1. Optimización del Juego del Caos: Modelo

❖La presentación matemática de estos aspectos es la siguiente:
▪ Donde:
• n: es el número de semillas elegibles (candidatos a solución)
dentro del triángulo de Sierpinski (espacio de búsqueda);
• d: es la dimensión de estas semillas.

❖Las posiciones iniciales de estas semillas elegibles se determinan
aleatoriamente en el espacio de búsqueda de la siguiente manera:
▪ Donde:
• 𝑥𝑖
𝑗
0 : determina la posición inicial de las semillas elegibles;
• 𝑥𝑖, 𝑚𝑖𝑛
𝑗
y 𝑥𝑖, 𝑚𝑎𝑥
𝑗
son los valores mínimo y máximo permitidos
para la j-ésima variable de decisión de la i-ésima solución
candidata;
• 𝑟𝑎𝑛𝑑: es un número aleatorio en el intervalo de [0,1].

❖Las semillas iniciales (semillas elegibles), representan los patrones
primarios de los sistemas dinámicos basados en la teoría del caos.
▪ La elegibilidad de estas semillas para ser patrones primarios
(autosimilitud) se puede modelar con soluciones candidatas (𝑋) para
un problema de optimización.
• Las soluciones candidatas con los niveles de elegibilidad más
altos y más bajos son equivalentes a los mejores y peores
valores de aptitud, respectivamente.

❖El objetivo de este modelo matemático es crear diferentes semillas elegibles dentro del
espacio de búsqueda para completar la forma general de un triángulo de Sierpinski.
❖Para cada una de las semillas elegibles en el espacio de búsqueda (𝑋𝑖), se dibuja un
triángulo temporal con tres semillas de la siguiente manera:
▪ La posición del Global Best 𝐺𝐵 – la mejor solución candidata encontrada hasta
ahora con los niveles de elegibilidad más altos;
▪ La posición del Mean Group (𝑀𝐺𝑖) – los valores medios de algunas semillas
elegibles seleccionadas al azar con la misma probabilidad de incluir la semilla
elegible inicial considerada actualmente (𝑋𝑖);
▪ La posición de la i-ésima solución candidata (𝑋𝑖) como semilla seleccionada.
❖El 𝐺𝐵, el 𝑀𝐺𝑖 y el 𝑋𝑖 se consideran como tres vértices de un triángulo de Sierpinski.

❖Para cada una de las semillas elegibles iniciales en el espacio de
búsqueda, se crea un triángulo temporal con el propósito de crear
algunas semillas nuevas dentro del espacio de búsqueda que podrían
considerarse como semillas elegibles nuevas para completar el triángulo
de Sierpinski.

❖El procedimiento paso a paso del algoritmo CGO es el siguiente:
▪ Paso 1 Las posiciones iniciales de las soluciones candidatas (X) o las
semillas elegibles iniciales en el espacio de búsqueda se definen
aleatoriamente.
▪ Paso 2 Se calculan los valores de aptitud de las soluciones candidatas
iniciales en función de la autosimilitud de las semillas elegibles iniciales.
▪ Paso 3 Se determina el Global Best (GB) relacionado con la semilla con los
niveles más altos de elegibilidad.
▪ Paso 4 Para cada semilla elegible (Xi) en el espacio de búsqueda, se
determina un Grupo medio (MGi).
▪ Paso 5 Para cada semilla elegible ( Xi ) en el espacio de búsqueda, se
determina un triángulo temporal con tres vértices de Xi , GB y MGi.

▪ Paso 6 Para cada uno de los triángulos temporales, se calculan los valores
𝛼𝑖 , 𝛽𝑖, 𝛾𝑖 .
▪ Paso 7 Para cada uno de los triángulos temporales, se crean cuatro
semillas.
▪ Paso 8 Para las nuevas semillas con la variable fuera del rango, se realiza
una verificación de la condición límite.
▪ Paso 9 Se calculan los valores de aptitud de las nuevas semillas en función
de los problemas de autosimilitud.
▪ Paso 10 Las semillas elegibles disponibles con los peores valores de aptitud
correspondientes a los peores niveles de autosimilitud se sustituyen por las
nuevas semillas.
▪ Paso 11 Se comprueba el criterio de terminación.

2. Algoritmo de Generación de Materiales: Inspiración

❖Un material es una mezcla de múltiples sustancias compuestas de los
elementos del universo con volumen y masa.
▪ Los elementos son los bloques de construcción básicos de los
materiales, que no se pueden dividir en partes o incluso transformar
en otros elementos.
❖El proceso de generación de materiales se refiere a la capacidad de
diferentes sustancias para fusionarse entre sí para generar nuevos
materiales con mayor funcionalidad y mejores niveles de energía.
❖Los materiales se diseñan en una escala atómica, nano, micro o macro
para controlar las propiedades específicas y mejorar el rendimiento de un
material.

❖Los materiales generados de forma única se clasifican en función de sus
propiedades generales y características específicas y de acuerdo con los
cambios físicos y químicos que influyen en el comportamiento de un
material.
❖La química de materiales es una de las disciplinas más importantes en el
campo de la investigación de materiales.
▪ Los cambios químicos en los materiales se logran mediante la
reacción y la combinación de varios productos químicos.
▪ Las propiedades químicas se alteran por la transferencia o el
intercambio de electrones entre átomos de diferentes materiales.

❖En este modelo se consideran tres conceptos principales de la química
de materiales para formular un algoritmo de optimización metaheurística.
▪ Compuestos químicos;
▪ Reacciones químicas;
▪ Estabilidad química.

❖Compuesto químico:
▪ La mayoría de los compuestos químicos se crean a través de
combinaciones con otros elementos.
▪ Los compuestos se forman mediante la combinación de múltiples
productos químicos a través de enlaces químicos, o la transferencia o
el intercambio de electrones.

❖Reacción química
▪ Las reacciones químicas son el proceso de transformar un material
en otro, mientras que las ecuaciones químicas se utilizan para
representar reacciones químicas, donde los productos resultantes
tendrán propiedades diferentes a las de los materiales de partida y
productos intermedios.

❖Estabilidad química
▪ Al generar nuevos materiales con diferentes características, es
importante considerar la estabilidad de los compuestos químicos y las
reacciones en diferentes situaciones.
▪ En términos de estabilidad química (resistencia de un material a
cambiar en presencia de otros químicos), los productos químicos
tienen la tendencia a resistir cambios, como la descomposición,
debido a factores internos e influencias externas como el calor, el
aire, la luz y la presión.

❖Estabilidad química
▪ Un producto químico estable se refiere a aquel que no ha sido
específicamente reactivo en el medio ambiente y retiene sus
propiedades durante un período de tiempo específico.
▪ Comparativamente, los materiales químicos inestables se
descomponen, corroen, polimerizan, explotan o queman fácilmente
bajo ciertas condiciones.
❖Al producir nuevos materiales químicos, los procesos de transferencia o
intercambio de electrones dentro de los materiales iniciales ocurrirán de
tal manera que el producto final será estable y aplicable durante un
período de tiempo específico.

❖Los conceptos químicos de compuestos, reacciones y estabilidad, se
utilizan para desarrollar y formular un modelo matemático bien definido
para el MGA.
❖Teniendo en cuenta que muchos algoritmos de evolución natural
establecen una población predefinida de soluciones candidatas que
evolucionan a través de alteraciones y selecciones aleatorias:
▪ MGA determina una cantidad de materiales (𝑀𝑎𝑡) compuestos por
múltiples elementos de la tabla periódica (𝑃𝑇𝐸𝑠).
2. Algoritmo de Generación de Materiales: Modelo

❖En este algoritmo, se considera una serie de materiales como candidatos
a la solución (𝑀𝑎𝑡𝑛), que se componen de algunos elementos
representados como variables de decisión (𝑃𝑇𝐸𝑖
𝑗
):
❖Donde
▪ d: es el número de elementos (variables de decisión) en cada
material (candidatos a solución);
▪ n: es el número de materiales considerados candidatos a solución.

❖En la primera etapa del proceso de optimización, 𝑃𝑇𝐸𝑖
𝑗
se determina
aleatoriamente, mientras que los límites de las variables de decisión se definen
en función del problema considerado. Las posiciones iniciales de los 𝑃𝑇𝐸𝑠 se
determinan aleatoriamente en el espacio de búsqueda de la siguiente manera:
❖Donde:
▪ 𝑃𝑇𝐸𝑖
𝑗
0 : determina el valor inicial del j-ésimo elemento en el i-ésimo
material;
▪ 𝑃𝑇𝐸𝑖,𝑚𝑖𝑛
𝑗
y 𝑃𝑇𝐸𝑖,𝑚𝑎𝑥
𝑗
: son los valores mínimo y máximo permitidos para la
j-ésima variable de decisión de la i-ésima solución candidata,
respectivamente;
▪ 𝑈𝑛𝑖 𝑓 (0, 1): es un número aleatorio en el intervalo de [0, 1].

3. Optimizador del Halcón de Fuego: Inspiración

❖Los nativos australianos utilizan el fuego como una herramienta eficaz
para controlar y mantener el equilibrio del ecosistema y el paisaje local.
▪ La mayoría de las veces, los incendios que se inician a propósito o
que pueden ocurrir naturalmente debido a los rayos pueden ser
propagados por personas y otros factores, lo que aumenta la
vulnerabilidad del paisaje nativo y la vida silvestre.
▪ Además, los milanos silbadores, los milanos negros y los halcones
pardos también son responsables de la propagación de incendios en
todo el país; esta causa alternativa solo se ha descubierto
recientemente.

❖Estas aves, conocidas como halcones de fuego, intentan esparcir fuego
intencionalmente llevando palos ardientes en sus picos y garras, lo que
se reporta como un fenómeno destructivo en la naturaleza.
❖ Como mecanismo de control y captura de sus presas, las aves recogen
palos ardiendo y los dejan caer en otros lugares no quemados para hacer
pequeños fuegos. Estos pequeños fuegos asustan a las presas, incluidos
roedores, serpientes y otros animales, y las obligan a huir de la manera
más apresurada y nerviosa que facilita mucho la captura de los halcones.

❖El algoritmo metaheurístico FHO imita el comportamiento de búsqueda
de alimento de los halcones de fuego, considerando el proceso de
provocar y propagar incendios y atrapar presas.
▪ Al principio, se determina un número de soluciones candidatas (𝑋)
como los vectores de posición de los halcones de fuego y las presas.
▪ Se utiliza un proceso de inicialización aleatoria para identificar las
posiciones iniciales de estos vectores en el espacio de búsqueda.
3. Optimizador del Halcón de Fuego: Modelo

❖ Donde:
▪ 𝑋𝑖: representa la i-ésima solución candidata en el espacio de búsqueda;
▪ 𝑑: representa la dimensión del problema considerado;
▪ 𝑁: es el número total de soluciones candidatas en el espacio de búsqueda;
▪ 𝑋𝑖
𝑗
es la j-ésima variable de decisión de la i-ésima solución candidata;
▪ 𝑋𝑖
𝑗
(0) representa la posición inicial de los candidatos a solución;
▪ 𝑋𝑖,𝑚𝑖𝑛
𝑗
y 𝑋𝑖,𝑚𝑎𝑥
𝑗
son los límites mínimo y máximo de la j-ésima variable de decisión para la i-ésima
solución candidata;
▪ rand es un número aleatorio uniformemente distribuido en el rango de [0,1].

❖Para determinar las ubicaciones de los Halcones de Fuego en el espacio
de búsqueda, la evaluación de la función objetivo para los candidatos a
solución considera el problema de optimización seleccionado.
▪ Algunas de las soluciones candidatas con mejores valores de función
objetivo se representan como Halcones de Fuego , mientras que el
resto de las soluciones candidatas son la presa.

❖Los halcones de fuego seleccionados se utilizan para esparcir fuego
alrededor de la presa en el espacio de búsqueda para facilitar la caza.
▪ Además, se supone que la mejor solución global es el fuego principal
que utilizan primero los halcones de fuego para propagar fuegos a
través del espacio de búsqueda.

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