1) The document describes an algorithm for finding the shortest path between two nodes on a graph using A* search. It uses an example graph to illustrate the step-by-step process.
2) The algorithm calculates heuristics values, which are the straight-line distances to the destination node, to help guide the search. It uses a priority queue to iteratively expand the most promising node.
3) Working through the example graph, it shows how the priority queue is updated at each step as different paths are explored until the shortest path from Ramtha to Aqaba is found.
The document discusses solving recurrence relations through the following steps:
1) Write the recurrence relation and initial conditions as a characteristic equation.
2) Find the solutions to the characteristic equation.
3) Use the solutions to write the general solution as a linear combination with constants.
4) Determine the constants using the initial conditions.
Two examples are provided to demonstrate solving both regular and similar solutions to linear homogeneous recurrence relations.
This document discusses regular languages and finite automata (FA). It begins by stating that any regular expression (Regex) can be converted to a finite automaton (FA) and vice versa, since Regex and FA are equivalent in their descriptive power. A regular language is one that is recognized by some FA.
The document then provides details on converting a deterministic finite automaton (DFA) to a regular expression (Regex) in two steps: 1) converting the DFA to a generalized nondeterministic finite automaton (GNFA) and 2) converting the GNFA to a Regex. It describes the properties of a GNFA, including that transition functions can contain Regex, and provides an example and formal definition of a
This document discusses finite automata and regular languages. It begins by introducing finite state machines as the simplest computational model due to their extremely limited memory. Examples of finite state machines in everyday devices like automatic doors, elevators, and calculators are provided. The document then presents a formal definition of a finite automaton as a 5-tuple consisting of a finite set of states, a finite input alphabet, a transition function, a start state, and a set of accept states. An example three-state finite automaton M1 is defined formally using this 5-tuple notation. The language recognized by M1 is described as the set of strings containing at least one 1 and an even number of 0s following the last 1.
1) The document describes an algorithm for finding the shortest path between two nodes on a graph using A* search. It uses an example graph to illustrate the step-by-step process.
2) The algorithm calculates heuristics values, which are the straight-line distances to the destination node, to help guide the search. It uses a priority queue to iteratively expand the most promising node.
3) Working through the example graph, it shows how the priority queue is updated at each step as different paths are explored until the shortest path from Ramtha to Aqaba is found.
The document discusses solving recurrence relations through the following steps:
1) Write the recurrence relation and initial conditions as a characteristic equation.
2) Find the solutions to the characteristic equation.
3) Use the solutions to write the general solution as a linear combination with constants.
4) Determine the constants using the initial conditions.
Two examples are provided to demonstrate solving both regular and similar solutions to linear homogeneous recurrence relations.
This document discusses regular languages and finite automata (FA). It begins by stating that any regular expression (Regex) can be converted to a finite automaton (FA) and vice versa, since Regex and FA are equivalent in their descriptive power. A regular language is one that is recognized by some FA.
The document then provides details on converting a deterministic finite automaton (DFA) to a regular expression (Regex) in two steps: 1) converting the DFA to a generalized nondeterministic finite automaton (GNFA) and 2) converting the GNFA to a Regex. It describes the properties of a GNFA, including that transition functions can contain Regex, and provides an example and formal definition of a
This document discusses finite automata and regular languages. It begins by introducing finite state machines as the simplest computational model due to their extremely limited memory. Examples of finite state machines in everyday devices like automatic doors, elevators, and calculators are provided. The document then presents a formal definition of a finite automaton as a 5-tuple consisting of a finite set of states, a finite input alphabet, a transition function, a start state, and a set of accept states. An example three-state finite automaton M1 is defined formally using this 5-tuple notation. The language recognized by M1 is described as the set of strings containing at least one 1 and an even number of 0s following the last 1.
2. A spanning tree of a graph is just a subgraph that
contains all the vertices and is a tree.
A graph may have many spanning trees.
or or or
Some Spanning Trees from Graph AGraph A
Spanning Trees
4. Minimum Spanning Trees
The Minimum Spanning Tree for a given graph is the Spanning Tree of
minimum cost for that graph.
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Complete Graph Minimum Spanning Tree
5. Algorithms for Obtaining the Minimum Spanning Tree
• Kruskal's Algorithm
• Prim's Algorithm
• Boruvka's Algorithm
6. Kruskal's Algorithm
This algorithm creates a forest of trees. Initially the forest consists of n
single node trees (and no edges). At each step, we add one edge (the
cheapest one) so that it joins two trees together. If it were to form a cycle,
it would simply link two nodes that were already part of a single
connected tree, so that this edge would not be needed.
7. The steps are:
1. The forest is constructed - with each node in a separate tree.
2. The edges are placed in a priority queue.
3. Until we've added n-1 edges,
1. Extract the cheapest edge from the queue,
2. If it forms a cycle, reject it,
3. Else add it to the forest. Adding it to the forest will join two
trees together.
Every step will have joined two trees in the forest together, so that at
the end, there will only be one tree in T.
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B
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C
C
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D H
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E G
F
F
G
I
G
G
I
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H J
JI
1A D
4B C
4A B
Sort Edges
(in reality they are placed in a priority
queue - not sorted - but sorting them
makes the algorithm easier to visualize)
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B C
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Minimum Spanning Tree Complete Graph
23. Analysis of Kruskal's Algorithm
Running Time = O(m log n) (m = edges, n = nodes)
Testing if an edge creates a cycle can be slow unless a complicated data
structure called a “union-find” structure is used.
It usually only has to check a small fraction of the edges, but in some
cases (like if there was a vertex connected to the graph by only one edge
and it was the longest edge) it would have to check all the edges.
This algorithm works best, of course, if the number of edges is kept to a
minimum.
24. Prim's Algorithm
This algorithm starts with one node. It then, one by one, adds a node that
is unconnected to the new graph to the new graph, each time selecting
the node whose connecting edge has the smallest weight out of the
available nodes’ connecting edges.
25. The steps are:
1. The new graph is constructed - with one node from the old graph.
2. While new graph has fewer than n nodes,
1. Find the node from the old graph with the smallest connecting
edge to the new graph,
2. Add it to the new graph
Every step will have joined one node, so that at the end we will have
one graph with all the nodes and it will be a minimum spanning tree of
the original graph.
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Old Graph New Graph
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Complete Graph Minimum Spanning Tree
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38. Complete Graph Minimum Spanning Tree
– Matrix Form
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A
B C
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Prim’s Algorithm: Find the Minimum
Spanning Tree T:
Step 1: Select any node to be the first of T
Step 2: Circle the new node of T in the top
row and cross out the row corresponding
to this new node.
Step 3: Find the smallest weight left in the
columns of the nodes of T. Circle the weight.
Then choose the node whose weight is the
minimum to join T. (if several, choose any)
Step 4: Repeat steps 2 and 3 until T contains
every node.
39. Complete Graph Minimum Spanning Tree
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A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0
40. Complete Graph Minimum Spanning Tree
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A B C D E F G H I J
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B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0
41. Complete Graph Minimum Spanning Tree
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A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0
42. Complete Graph Minimum Spanning Tree
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A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0
43. Complete Graph Minimum Spanning Tree
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C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0
44. Complete Graph Minimum Spanning Tree
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C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0
45. Complete Graph Minimum Spanning Tree
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C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0
46. Complete Graph Minimum Spanning Tree
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A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
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C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0
47. Complete Graph Minimum Spanning Tree
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A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0
Two minimum edges, choose one!
48. Complete Graph Minimum Spanning Tree
4
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C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0
Two minimum edges, choose one!
49. Complete Graph Minimum Spanning Tree
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A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0
50. Complete Graph Minimum Spanning Tree
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A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0
51. Complete Graph Minimum Spanning Tree
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A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0
52. Complete Graph Minimum Spanning Tree
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A
B C
D
E F
G
H
I
J
A B C D E F G H I J
A 0 4 ∞ 1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
B 4 0 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10
C ∞ 4 0 ∞ 2 1 ∞ ∞ ∞ ∞
D 1 4 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ 5 ∞ 6
E ∞ ∞ 2 ∞ 0 ∞ 2 ∞ ∞ ∞
F ∞ ∞ 1 ∞ ∞ 0 3 ∞ 5 ∞
G ∞ ∞ ∞ ∞ 2 3 0 ∞ 3 4
H ∞ ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 2
I ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 3 ∞ 0 3
J ∞ 10 ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 3 0
82. Analysis of Prim's Algorithm
Running Time = O(m + n log n) (m = edges, n = nodes)
If a heap is not used, the run time will be O(n^2) instead of
O(m + n log n). However, using a heap complicates the code since
you’re complicating the data structure. A Fibonacci heap is the best kind
of heap to use, but again, it complicates the code.
Unlike Kruskal’s, it doesn’t need to see all of the graph at once. It can
deal with it one piece at a time. It also doesn’t need to worry if adding
an edge will create a cycle since this algorithm deals primarily with the
nodes, and not the edges.
For this algorithm the number of nodes needs to be kept to a minimum
in addition to the number of edges. For small graphs, the edges matter
more, while for large graphs the number of nodes matters more.