Tecnológico Nacional de México Ingeniería en Sistemas Computacionales Matemáticas Discretas Unidad III: Logica matemática

1. TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
Matemáticas Discretas
Unidad III: Lógica Matemática

2. Competencia Específica a Desarrollar
• Analizar y resolver problemas computacionales utilizando las
técnicas básicas de lógica.
2
Matemáticas Discretas

3. Lógica Proposicional
• Proposición: Una proposición se define como un enunciado,
una oración declarativa, o una expresión simbólica, de la cual
se puede decir sin ambigüedad, que es verdadera o falsa, pero
no ambas.
3
Matemáticas Discretas

4. • Las proposiciones mas sencillas posible se denominan
atómicas y se representan habitualmente con letras
minúsculas a partir de la p.
• Una proposición expresada como una cadena de caracteres se
denomina expresión lógica o fórmula
4
Matemáticas Discretas

5. Ejemplos de proposiciones
• "¿Qué hora es?"
• "Juan es un nombre"
• "8 es un número primo"
• "8 no es un número primo“
• ¿Cuánto es 3 mas 5?
5
Matemáticas Discretas

6. • Las proposiciones constituidas por proposiciones atómicas y
otras partículas que sirven de nexo se llaman moleculares o
compuestas y se representan habitualmente con letras
mayúsculas a partir de la P.
6
Matemáticas Discretas

7. Ejemplos de proposiciones compuestas
• Federico es alto y Jaime también.
• Federico y Jaime son altos.
• Las manzanas son verdes o rojas.
• México es un país o una ciudad.
• Juan no es alto.
7
Matemáticas Discretas

8. Conectores Lógicos
• Los Conectores Lógicos son palabras que sirven
para formar Proposiciones Compuestas, es decir,
dos o más proposiciones unidas, que al verse
como una sola debe cumplir la regla básica de
falsedad o verdad.
8
Matemáticas Discretas

9. Disyunción (O, OR)
• La disyunción de P,Q es
denotada por P v Q. La
disyunción es verdadera si al
menos uno de sus elementos
es verdad P, Q es verdadero,
esto se conoce como
Disyunción Inclusiva. A
continuación se muestra la
tabla de verdad de O:
9
Matemáticas Discretas

10. Disyunción Exclusiva (O
EXCLUSIVO, XOR)
• El símbolo representa el O
EXCLUSIVO (XOR), que es incluido
en muchos lenguajes de
programación. Una proposición P
Q se lee como “P o Q pero no
ambos", es decir no pueden ser
ambos verdaderos o ambos falsos.
A continuación se muestra la tabla
de verdad de XOR: 10
Matemáticas Discretas

11. Conjunción (Y, AND)
• La conjunción de P,Q es
denotada por P ^ Q. La
conjunción es verdadera solo si
P y Q son verdaderos.
A continuación se muestra la
tabla de verdad de Y:
11
Matemáticas Discretas

12. Negación (NO, NOT)
• Una sentencia que es modificada con el
conectivo no es llamada la negación de
la sentencia original. Simbólicamente, sí
P es una proposición entonces ¬P (no P),
denota la negación de P. A continuación
se muestra la tabla de verdad de la
negación ¬:
12
Matemáticas Discretas

13. Condicional
• Para dos declaraciones P,Q decimos “P
implica Q" y se escribe P Q para
denotar la implicación de Q por P. La
proposición P es llamada la hipótesis o
antecedente de la implicación; Q es
llamada la conclusión o consecuente de
la implicación. Una condicional solo es
falsa cuando p es cierta y q falsa; en el
resto de casos es verdadera.
13
Matemáticas Discretas

14. Bicondicional (SI Y SOLO SI, SII)
• Otra declaración común en matemáticas
es “P si y solo si Q", o simbólicamente P
Q. Esto es llamado la equivalencia de dos
proposiciones, P, Q. A continuación se
muestra la tabla de verdad de SII.
14
Matemáticas Discretas

15. Ejemplos:
• Si María estudia mucho será buena estudiante.
• Juan puede cursar Matemáticas Discretas solo si está en tercer
semestre de carrera.
15
Matemáticas Discretas

16. Jerarquía de los Conectores:
v
^
¬
16
Matemáticas Discretas

17. Tautologías, Contradicciones y Contingencia
• Tautología: es una expresión lógica que es verdadera para
todas las asignaciones posibles
17
Matemáticas Discretas

18. • Contradicción: es una expresión lógica que es falsa para todas
las asignaciones posibles
18
Matemáticas Discretas

19. • Contingencia: es una expresión lógica que no es ni tautología ni
contradicción
19
Matemáticas Discretas

20. Equivalencias Lógicas
• Dos formas proposicionales P y Q se dicen lógicamente
equivalentes, y se escribe P ≡ Q, si sus tablas de verdad
coinciden.
El programa está bien escrito y bien documentado.
El programa está bien documentado y bien escrito.
20
Matemáticas Discretas

21. 1. ∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q
2. ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q
21
Matemáticas Discretas