GUIA DE CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE UNDÉCIMO 2024.pdf

COLEGIO RESTREPO MILLAN IED
“FORMACIÓN DEL CIUDADANO MEDIANTE EL DESARROLLO DE VALORES, CON ESPÍRITU DEMOCRÁTICO, ACADÉMICO Y HUMANÍSTICO”
Resolución de integración Nº 2266 de Agosto 12 de 2003
DANE: 111001010928 NIT: 900017942 - 2
Sede A IED Restrepo Millán: Calle 40 Sur Nº 23 - 25. Tel: 2 05 30 30 – Fax: 2 05 34 98
Sede B Isabel II de Inglaterra: Calle 40 Nº 26 – 90 Sur. Tels.: 279 92 72 – 7 69 48 61
Sede C El Pesebre: Av. Caracas Nº 38 – 02 Sur. Tel: 7 60 70 14
Hoja ______ de _______
GEOMETRÍA ANALÍTICA: CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE.
Introducción
Después de haber estudiado los sistemas de coordenadas, rectas, Teorema de Pitágoras y fórmula de la distancia entre dos puntos, se pasará a
hacer un estudio de líneas curvas que pueden ser definidas como lugares geométricos. Las figuras que se van a estudiar en esta guía son la
circunferencia y la elipse. Dichas curvas pertenecen al conjunto genérico de curvas cónicas donde además de la circunferencia y elipse también están
la parábola y la hipérbola.
Toda sección cónica propiamente dicha puede describirse como intersección de un cono circular recto de doble hoja con un plano que no pase por
el vértice del cono. Dependiendo el nombre de la curva intersección: circunferencia, elipse, parábola o hipérbola, del ángulo que forme dicho plano
con la recta que contiene al eje del cono
El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga, Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar
un cono cualquiera por varios planos, obteniéndose circunferencias, elipses, parábolas o hipérbolas. Si bien no disponía de la geometría analítica
todavía, Apolonio hace un tratamiento de las curvas antes mencionadas, varios matemáticos en la antigüedad estudiaron estas curvas para poder
describir los movimientos de los planetas. Para ver entender algo de este estudio veremos en clase la película de Ágora.
Galileo Galilei estudia un proyectil lanzado desde una torre y advierte que la trayectoria fue parabólica. En 1600 Johannes Kepler descubre la
trayectoria elíptica por planetas e Isaac Newton demuestra la posibilidad de esta teoría gracias a la gravedad. Sin embargo, después de René
Descartes en 1637 con la aplicación del algebra a la geometría, las secciones cónicas se convirtieron en parte de la matemática.
La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones reales, como por ejemplo la primera ley de Kepler sobre
el movimiento de los planetas. Esta ley dice que los planetas siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.

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Hoja ______ de _______

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Hoja ______ de _______
DEFINICIÓN Y ECUACIÓN DE LA ELIPSE
Una elipse es el conjunto de todos los puntos P del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F y F’es constante.
Esos dos puntos se llaman focos de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal.
La gráfica de una elipse E con focos F y F’ puede describirse
como el siguiente conjunto de puntos (por comodidad llamamos 2a a la
suma de las distancias del punto a los focos):
E(F,F’ )={P(x,y) : d(P,F) + d(P,F )= 2a}
Una elipse puede construirse por varios métodos. Uno muy
sencillo (llamado “método del jardinero”) consiste en tomar
una cuerda y fijar con estacas sus extremos en dos puntos
del terreno (F y F’), y con un movimiento continuo extender
la cuerda manteniéndola tensa hasta dar un giro completo.
Ver https://www.youtube.com/watch?v=qmuGhCUxXG0
Elementos:
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes .
5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
6. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.
8. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
9. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
1. Ecuación canónica de la elipse: (a² denominador mayor)
Caso I: Eje Mayor Horizontal
!𝑥−ℎ"
2
𝑎2 +
!𝑦−𝑘"
2
𝑏
2 = 1
Coordenadas del centro, de los vértices y de los focos
● Coordenadas del centro O(h,k) para la gráfica el centro
es O(0,0)
● Coordenadas de los vértices A y A’ (h± a, k)
● Coordenadas de los vértices De B y B’ (h, k ± b)
● Coordenadas de los focos F y F’ ( h± c, k), tener en cuenta que c se
obtiene de:
2
2
2
b
a
c -
=
(h,k)

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Hoja ______ de _______
Caso II: Eje Mayor Vertical
!𝑥−ℎ"
2
𝑏2 +
!𝑦−𝑘"
2
𝑎2 = 1
Coordenadas del centro, de los vértices y de los focos
● Coordenadas del centro O(h,k) para la gráfica el centro
es C(0,0)
● Coordenadas de los vértices A y A’ (h, k ± a)
● Coordenadas de los vértices De B y B’ (h ± b, k)
● Coordenadas de los focos F y F’ (h, k± c), tener en cuenta que c se obtiene
de:
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Hallar la ecuación canónica de la elipse con vértices en y y eje menor de longitud .
Solución
Como la longitud del eje menor es de unidades, entonces . Como los vértices están en
y , entonces el centro está en , el eje mayor de la elipse es vertical y .Con lo cual
Por último, la excentricidad es y la ecuación canónica es
2
2
2
b
a
c -
=
( )
1
,
3 ( )
9
,
3 6
6 3
=
b ( )
1
,
3
( )
9
,
3 ( )
5
,
3 4
=
a
7
7
9
16
2
2
2
=
Þ
=
-
=
-
= c
b
a
c
4
7
=
=
a
c
e
( ) ( ) 1
16
5
4
3
2
2
=
-
+
- y
x
(h,k)

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Hoja ______ de _______
Los focos están en , . La gráfica de la elipse se muestra en la figura
2. Ecuación general de la elipse: (a² denominador mayor)
Desarrollando la ecuación canónica se llega a la ecuación general.
𝑥$ − 2ℎ𝑥 + ℎ$
𝑎$
+
𝑦$ − 2𝑘𝑦 + 𝑘$
𝑏$
= 1
Realizamos la suma de fracciones en el lado derecho de la ecuación:
𝑏$(𝑥$ − 2ℎ𝑥 + ℎ$) + 𝑎$(𝑦$ − 2𝑘𝑦 + 𝑘$)
𝑎$𝑏$
= 1
Luego pasamos a multiplicar el denominador por 1 así:
𝑏$
(𝑥$
− 2ℎ𝑥 + ℎ$
) + 𝑎$
(𝑦$
− 2𝑘𝑦 + 𝑘$
) = 𝑎$
𝑏$
Se resuelven las ecuaciones aplicando jerarquía de operaciones y se llega a una expresión general
Ecuación general: A𝑥(+ B𝑦(+ Cx + Dy + E = 0
Ejemplo 3:
Hallar la ecuación canónica de la elipse y trazar su gráfica identificando
los vértices, los focos, el centro y la excentricidad.
Solución
Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado de la expresión en ambas variables.
( )
7
5
,
3
1 -
F ( )
7
5
,
3
2 +
F
0
8
4
8
4 2
2
=
-
+
-
+ y
x
y
x

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Hoja ______ de _______
Completamos en cada paréntesis el Trinomio cuadrado Perfecto.
De donde obtenemos que el centro es , el valor de ( es la longitud
mayor, esto nos dice que la elipse es vertical), el valor de y el valor de está dado por:
Y así, los focos están dados por , y los vértices por y . Por
último, la excentricidad es
La gráfica se muestra en la figura
0
8
4
8
4 2
2
=
-
+
-
+ y
x
y
x
( ) ( ) 8
4
2
4 2
2
=
+
+
- y
y
x
x
( ) ( ) 8
4
4
4
1
1
2
4 2
2
=
-
+
+
+
-
+
- y
y
x
x
( )
( ) ( )
( ) 8
4
2
1
1
4
2
2
=
-
+
+
-
- y
x
( ) ( ) 8
4
2
4
1
4
2
2
=
-
+
+
-
- y
x
( ) ( ) 16
2
1
4
2
2
=
+
+
- y
x
( ) ( ) 1
16
2
4
1
2
2
=
+
+
- y
x
( )
2
,
1 -
C 4
16
2
=
Þ
= a
a a
2
4
2
=
Þ
= b
b c
12
4
16
2
=
-
=
c
3
2
=
c
( )
3
2
2
,
1
1 -
-
F ( )
3
2
2
,
1
2 +
-
F ( )
6
,
1 - ( )
2
,
1
2
3
4
3
2
=
=
e

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Hoja ______ de _______
La excentricidad de una Elipse:
La excentricidad es una medida de la "circularidad" de una elipse, entre más cerca de cero más circular y entre más cerca de
uno más alargada.
Definición (excentricidad)
La excentricidad de una elipse está dada por el cociente
Observe que al estar situados los focos en el eje mayor entre el centro y los vértices, siempre se tiene que
Es decir, las elipses tienen una excentricidad menor a uno. Para una elipse casi circular, los focos están cerca
del centro y es pequeño. Para una elipse alargada los focos están cerca de los vértices y es casi . Tal como se
ilustran en las siguientes figuras:
Esto explica la dificultad de los astrónomos en detectar las órbitas elípticas de los planetas, pues estas tienen los
focos muy cerca de su centro, lo cual las hace casi circulares. La siguiente tabla muestra la excentricidad de las órbitas
de los nueve planetas y la Luna.
TALLER: LA CIRCUNFERENCIA
a
c
e =
1
0
1
0
0 <
<
Þ
<
<
Þ
<
< e
a
c
a
c
a
c
a
c

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Hoja ______ de _______
TALLER: LA ELIPSE
1. Traza una elipse, tan exactamente como puedas, en una hoja de papel o en un cartón, ayudandote de una cuerda y dos clavos o
chinches, de manera que se puedan apreciar los focos, los ejes mayor (2a) y menor(2b). Para poder elaborar el ejemplo, puedes
visualizar el vídeo https://www.youtube.com/watch?v=qmuGhCUxXG0 o el que se hace en la clase junto con tu profesora y que
está subido en la página del curso https://materestrepomillan11.jimdofree.com/. Luego toma fotos o un vídeo donde
expliques todo el proceso.
2. Encuentre los centros, vértices y focos de la elipse. Trace su gráfica mostrando la información anterior
3. Encuentre la ecuación para la elipse que se muestra en la figura
3.
7
8
9
10
3.1. 3.2.

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4. Encuentre la ecuación para la elipse que tiene su centro en el origen y satisface las condiciones dadas.
BIBLIOGRAFÍA:
● Swokowski Earl W, Cole Jeffery A. (2012) Álgebra y Trigonometría con geometría analítica. Undécima
edición (pág 891). México.: Thomson Learning.
PROFESORA PAOLA ANDREA ROPERO RUEDA.
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
3.3. 3.4.

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