En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de geometría en el espacio. Aprende a calcular el ángulo que forman dos rectas y a estudiar la posición relativa de dos rectas en el espacio.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: geometría en el espacio
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Estudiar la posición relativa de dos rectas en el espacio.
- Calcular el ángulo que forman dos rectas.

2. ENUNCIADO:
Considera las rectas:
𝑟:
2𝑥 − 4𝑧 = 2
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑠:
𝑥
2
=
𝑦 + 2
𝑎
=
𝑧 −
1
2
1
Se pide:
a) Estudia la posición relativa de r y s en función del parámetro a.
b) Si a=2, calcula el ángulo que forman las rectas r y s.
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3. a) Estudia la posición relativa de r y s en función del parámetro a.
En primer lugar vamos a expresar la recta s en ecuaciones implícitas.
𝑠:
𝑥
2
=
𝑦 + 2
𝑎
=
𝑧 −
1
2
1
De aquí tenemos:
𝑥
2
=
𝑦 + 2
𝑎
𝑥
2
=
𝑧 −
1
2
1
𝑎𝑥 − 2𝑦 = 4
𝑥 − 2𝑧 = −1
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4. Para estudiar la posición relativa de las rectas r y s, estudiamos el sistema formado por las ecuaciones correspondientes a las
dos rectas. Es decir, estudiamos el sistema:
2𝑥 − 4𝑧 = 2
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑎𝑥 − 2𝑦 = 4
𝑥 − 2𝑧 = −1
En este sistema la matriz de coeficientes y la matriz ampliada vienen determinadas por:
𝐴 =
2 0 −4
1 1 1
𝑎
1
−2
0
0
−2
𝐴∗
=
2 0 −4 2
1 1 1 1
𝑎
1
−2
0
0 4
−2 −1
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5. Estudiamos en primer lugar el rango de la matriz ampliada 𝐴∗.
Observamos que la matriz 𝐴∗
es una matriz que tiene 4 filas y 4 columnas, por lo que el rango a lo sumo es 4. Para estudiar si
tiene rango 4 realizaremos el determinante de la matriz.
𝐴∗
=
2 0 −4 2
1 1 1 1
𝑎
1
−2
0
0 4
−2 −1
= 2
1 1 1
−2 0 4
0 −2 −1
− 0
1 1 1
𝑎 0 4
1 −2 −1
+ −4
1 1 1
𝑎 −2 4
1 0 −1
− 2
1 1 1
𝑎 −2 0
1 0 −2
= −8𝑎 − 24
Tenemos que estudiar cuando este determinante vale cero.
−8𝑎 − 24 = 0 𝑎 = −3
En consecuencia tenemos que:
• Si 𝑎 ≠ −3, 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴∗ = 4, y en consecuencia el sistema es incompatible. Por lo que las rectas se cruzan.
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6. Vamos a estudiar a continuación el caso en que a=-3.
• 𝑎 = −3
En este caso debemos estudiar el rango de la matriz ampliada. Sustituimos el valor y tenemos que:
𝐴∗
=
2 0 −4 2
1 1 1 1
−3
1
−2
0
0 4
−2 −1
Observemos que la primera fila es proporcional a la última.
Si estudiamos los menores de orden 3 de ésta matriz tenemos que el menor correspondiente que se obtiene al eliminar la
primera fila y la primera columna
1 1 1
−2 0 4
0 −2 −2
= 10 ≠ 0
Por lo tanto el rango de 𝐴∗
= 3
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7. De esta forma tenemos que:
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴∗
=
4 𝑎 ≠ −3
3 𝑎 = −3
Estudiamos el rango de A en el caso de a=-3.
𝐴 =
2 0 −4
1 1 1
−3
1
−2
0
0
−2
Como es una matriz con cuatro filas y tres columnas el rango de A debe ser a lo sumo 3. Para estudiar si el rango es 3
debemos estudiar los menores de orden 3 de la matriz. Éstos se obtienen eliminando una fila. Si nos fijamos la primera y la
última filas son proporcionales, por tanto si quitamos otra fila distinta de éstas el determinante será cero. Si eliminamos la
primera fila tenemos:
1 1 1
−3 −2 0
1 0 −2
= 0
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8. Por lo tanto el rango de A no es 3.
Basta con observar que:
2 0
1 1
= 2 ≠ 0
Para concluir que el rango de A es 2.
En consecuencia cuando a=-3, tenemos que
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴∗
= 3
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 = 2
𝐿𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎𝑠
Resumiendo tenemos:
𝑟 𝑦 𝑠 𝑠𝑒 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑛 𝑆𝑖 𝑎 ≠ −3
𝑟 𝑦 𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑆𝑖 𝑎 = −3
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9. b) Si a=2, calcula el ángulo que forman las rectas r y s.
El ángulo que forman las rectas r y s viene determinado por:
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑣𝑟 ∙ 𝑣𝑠
𝑣𝑟 𝑣𝑠
Siendo 𝑣𝑟 𝑦 𝑣𝑠 los vectores directores de las rectas r y s.
La recta r viene determinada por 𝑟:
2𝑥 − 4𝑧 = 2
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
, por tanto podemos calcular su vector director como el producto
vectorial de los normales.
𝑣𝑟 =
𝑖 𝑗 𝑘
2 0 −4
1 1 1
= 𝑖
0 −4
1 1
− 𝑗
2 −4
1 1
+ 𝑘
2 0
1 1
= 4, −6,2
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10. La recta s viene determinada por:
𝑠:
𝑥
2
=
𝑦 + 2
2
=
𝑧 −
1
2
1
Por lo tanto su vector director viene dado por:
𝑣𝑠 = 2,2,1
En consecuencia, el ángulo que forman viene determinado por la expresión:
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑣𝑟 ∙ 𝑣𝑠
𝑣𝑟 𝑣𝑠
=
4, −6,2 ∙ 2,2,1
4, −6,2 2,2,1
=
8 − 12 + 2
42 + −6 2 + 22 22 + 22 + 12
=
2
6 14
=
1
3 14
Por lo tanto
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
2
3 14
= 79,7º
FIN
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