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Envy free makespan approximation
- 1. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Envy-free makespan approximation Strumenti di teoria dei giochi per l’informatica Vincenzo De Maio Universita‘ degli studi di Salerno 05/07/2010 Meglio essere invidiati che essere compatiti Erodoto, 484-430 A.C. Envy-free makespan approximation 1/27
- 2. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia 1 Introduzione 2 Definizioni di base 3 Envy-freeness vs Incentive-compatibility 4 Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound 5 Bibliografia Envy-free makespan approximation 2/27
- 3. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Descrizione del problema Nell’articolo viene presentato un meccanismo Envy-free per lo scheduling di task (divisibili o meno) su macchine non correlate che approssima il minimum-makespan. Envy-free makespan approximation 3/27
- 4. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Definizione del problema Abbiamo: Envy-free makespan approximation 4/27
- 5. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Definizione del problema Abbiamo: • m macchine (bidder) Envy-free makespan approximation 4/27
- 6. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Definizione del problema Abbiamo: • m macchine (bidder) • n tasks (gli oggetti da assegnare ai bidder) Envy-free makespan approximation 4/27
- 7. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Definizione del problema Abbiamo: • m macchine (bidder) • n tasks (gli oggetti da assegnare ai bidder) • Una matrice Cm×n tale che cij e‘ il tempo di esecuzione per il task j sulla macchina i. Envy-free makespan approximation 4/27
- 8. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Definizione del problema Abbiamo: • m macchine (bidder) • n tasks (gli oggetti da assegnare ai bidder) • Una matrice Cm×n tale che cij e‘ il tempo di esecuzione per il task j sulla macchina i. • Una matrice Am×n tale che Envy-free makespan approximation 4/27
- 9. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Definizione del problema Abbiamo: • m macchine (bidder) • n tasks (gli oggetti da assegnare ai bidder) • Una matrice Cm×n tale che cij e‘ il tempo di esecuzione per il task j sulla macchina i. • Una matrice Am×n tale che • aij contiene la frazione del task j assegnata a i Envy-free makespan approximation 4/27
- 10. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Definizione del problema Abbiamo: • m macchine (bidder) • n tasks (gli oggetti da assegnare ai bidder) • Una matrice Cm×n tale che cij e‘ il tempo di esecuzione per il task j sulla macchina i. • Una matrice Am×n tale che • aij contiene la frazione del task j assegnata a i • j∈[m] aij = 1 ∀i ∈ [n] Envy-free makespan approximation 4/27
- 11. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Meccanismi envy-free Definiamo quindi il meccanismo M = (a, p) con Envy-free makespan approximation 5/27
- 12. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Meccanismi envy-free Definiamo quindi il meccanismo M = (a, p) con • a : Cm×n → Am×n e‘ la funzione di allocazione Envy-free makespan approximation 5/27
- 13. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Meccanismi envy-free Definiamo quindi il meccanismo M = (a, p) con • a : Cm×n → Am×n e‘ la funzione di allocazione • p : Cm×n → n e‘ la funzione dei pagamenti Envy-free makespan approximation 5/27
- 14. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Meccanismi envy-free Definiamo quindi il meccanismo M = (a, p) con • a : Cm×n → Am×n e‘ la funzione di allocazione • p : Cm×n → n e‘ la funzione dei pagamenti L’utilita‘ dei singoli agenti viene dunque definita come ui = p(C)i − ci ∗ a(c)i Envy-free makespan approximation 5/27
- 15. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Meccanismi envy-free Definiamo quindi il meccanismo M = (a, p) con • a : Cm×n → Am×n e‘ la funzione di allocazione • p : Cm×n → n e‘ la funzione dei pagamenti L’utilita‘ dei singoli agenti viene dunque definita come ui = p(C)i − ci ∗ a(c)i Definizione M si dice Envy-free se ∀1 ≤ i, j ≤ m p(C)i − ci ∗ a(c)i ≥ p(C)j − ci ∗ a(c)j Envy-free makespan approximation 5/27
- 16. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Funzioni localmente efficienti Una funzione di allocazione a e‘ detta Localmente efficiente se per ogni matrice di costo C e per ogni permutazione π di [1, . . . , m] vale che m i=1 ci ∗ a(c)i ≤ m i=1 ci ∗ a(c)π(i) Envy-free makespan approximation 6/27
- 17. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Envy-free implementability Una funzione di allocazione a viene detta Envy-free implementable se esiste una funzione pagamento p tale che M = (a, p) e‘ envy-free. Envy-free makespan approximation 7/27
- 18. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Envy-free implementability Una funzione di allocazione a viene detta Envy-free implementable se esiste una funzione pagamento p tale che M = (a, p) e‘ envy-free. Teorema Una funzione di allocazione a e‘ EF-implementable ⇔ a e‘ Localmente efficiente[1] Envy-free makespan approximation 7/27
- 19. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Relazioni tra envy-freeness e incentive-compatibility E‘ universalmente noto che envy-freeness e incentive-compatibility non sono collegate; in particolare 1 Incentive-compatibility Envy-freeness 2 Envy-freeness Incentive-compatibility Consideriamo il caso in cui abbiamo 2 macchine e 2 task. Envy-free makespan approximation 8/27
- 20. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Sia f t = v1(1) ≥ 1 ⇒ bidder 1 ottiene un elemento v2(1) ≥ 4 ⇒ bidder 2 ottiene un elemento Envy-free makespan approximation 9/27
- 21. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Sia f t = v1(1) ≥ 1 ⇒ bidder 1 ottiene un elemento v2(1) ≥ 4 ⇒ bidder 2 ottiene un elemento • Questa funzione e‘ chiaramente incentive-compatible con p1 = 1 e p2 = 4. Envy-free makespan approximation 9/27
- 22. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Sia f t = v1(1) ≥ 1 ⇒ bidder 1 ottiene un elemento v2(1) ≥ 4 ⇒ bidder 2 ottiene un elemento • Questa funzione e‘ chiaramente incentive-compatible con p1 = 1 e p2 = 4. • Ma con v1(1) = 2 e v2(1) = 3 ? Envy-free makespan approximation 9/27
- 23. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Sia f t = v1(1) ≥ 1 ⇒ bidder 1 ottiene un elemento v2(1) ≥ 4 ⇒ bidder 2 ottiene un elemento • Questa funzione e‘ chiaramente incentive-compatible con p1 = 1 e p2 = 4. • Ma con v1(1) = 2 e v2(1) = 3 ? • Quindi Incentive-compatibility Envy-freeness Envy-free makespan approximation 9/27
- 24. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Sia f e = v1 = v2 ⇒ tutti gli elementi allocati a 2 vi (1) ≥ 4 ⇒ bidder i ottiene un elemento Envy-free makespan approximation 10/27
- 25. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Sia f e = v1 = v2 ⇒ tutti gli elementi allocati a 2 vi (1) ≥ 4 ⇒ bidder i ottiene un elemento • f e e‘ localmente efficiente =⇒ f e e‘ envy-free Envy-free makespan approximation 10/27
- 26. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Sia f e = v1 = v2 ⇒ tutti gli elementi allocati a 2 vi (1) ≥ 4 ⇒ bidder i ottiene un elemento • f e e‘ localmente efficiente =⇒ f e e‘ envy-free • f e e‘ monotona? Envy-free makespan approximation 10/27
- 27. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Sia f e = v1 = v2 ⇒ tutti gli elementi allocati a 2 vi (1) ≥ 4 ⇒ bidder i ottiene un elemento • f e e‘ localmente efficiente =⇒ f e e‘ envy-free • f e e‘ monotona? • Quindi Envy-freeness Incentive-compatibility Envy-free makespan approximation 10/27
- 28. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Algoritmo • Ora presenteremo un algoritmo polinomiale che approssima di un fattore O(log m ∗ OPT) il minimum makespan envy-free. Envy-free makespan approximation 11/27
- 29. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Algoritmo • Ora presenteremo un algoritmo polinomiale che approssima di un fattore O(log m ∗ OPT) il minimum makespan envy-free. • Assumiamo che l’algoritmo inizi con un’allocazione OPT che minimizza il makespan. Envy-free makespan approximation 11/27
- 30. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Algoritmo • Ora presenteremo un algoritmo polinomiale che approssima di un fattore O(log m ∗ OPT) il minimum makespan envy-free. • Assumiamo che l’algoritmo inizi con un’allocazione OPT che minimizza il makespan. • L’allocazione fissa un partizionamento dei job in bundles B = b1, . . . , bm Envy-free makespan approximation 11/27
- 31. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Algoritmo • Ora presenteremo un algoritmo polinomiale che approssima di un fattore O(log m ∗ OPT) il minimum makespan envy-free. • Assumiamo che l’algoritmo inizi con un’allocazione OPT che minimizza il makespan. • L’allocazione fissa un partizionamento dei job in bundles B = b1, . . . , bm • Dove bi e‘ l’insieme dei job allocati alla macchina i Envy-free makespan approximation 11/27
- 32. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Algoritmo • Ora presenteremo un algoritmo polinomiale che approssima di un fattore O(log m ∗ OPT) il minimum makespan envy-free. • Assumiamo che l’algoritmo inizi con un’allocazione OPT che minimizza il makespan. • L’allocazione fissa un partizionamento dei job in bundles B = b1, . . . , bm • Dove bi e‘ l’insieme dei job allocati alla macchina i • Per un insieme di bundles D = {dj }k j=1 con k ≤ m denotiamo con LE(D) un assegnamento localmente efficiente per D Envy-free makespan approximation 11/27
- 33. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia All’inizio di ogni fase abbiamo un sottoinsieme dei bundle che non sono ancora stati assegnati. Envy-free makespan approximation 12/27
- 34. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia All’inizio di ogni fase abbiamo un sottoinsieme dei bundle che non sono ancora stati assegnati. 1 Troviamo un assegnamento localmente efficiente dei bundles Envy-free makespan approximation 12/27
- 35. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia All’inizio di ogni fase abbiamo un sottoinsieme dei bundle che non sono ancora stati assegnati. 1 Troviamo un assegnamento localmente efficiente dei bundles 2 Se tra le macchine ce n’e‘ una che ha un carico maggiore di 2OPT Envy-free makespan approximation 12/27
- 36. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia All’inizio di ogni fase abbiamo un sottoinsieme dei bundle che non sono ancora stati assegnati. 1 Troviamo un assegnamento localmente efficiente dei bundles 2 Se tra le macchine ce n’e‘ una che ha un carico maggiore di 2OPT 3 Scartiamo tutti i bundles assegnati a queste macchine Envy-free makespan approximation 12/27
- 37. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia All’inizio di ogni fase abbiamo un sottoinsieme dei bundle che non sono ancora stati assegnati. 1 Troviamo un assegnamento localmente efficiente dei bundles 2 Se tra le macchine ce n’e‘ una che ha un carico maggiore di 2OPT 3 Scartiamo tutti i bundles assegnati a queste macchine 4 Ripetiamo finche‘ il makespan e‘ ≤ 2OPT Envy-free makespan approximation 12/27
- 38. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia FIND-APPROX(B,c) q ← 0 Bout ← ∅ Bactive ← B while Bactive = ∅ do q ← q + 1 a ← LE(Bactive ) while makespan(a) > 2OPT do for all i do if ci ∗ ai > 2OPT then Bout ← Bout ∪ ai Bactive ← Bactive ai end if a ← LE(Bactive ) end for end while aq ← a Bactive ← Bout Bout ← ∅ end while ai = ∪q j=1aj i return a Envy-free makespan approximation 13/27
- 39. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Upper bound Teorema L’allocazione a restituita dall’algoritmo FIND − APPROX e‘ localmente efficiente e il suo makespan e‘ O(log m ∗ OPT) Envy-free makespan approximation 14/27
- 40. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Upper bound Teorema L’allocazione a restituita dall’algoritmo FIND − APPROX e‘ localmente efficiente e il suo makespan e‘ O(log m ∗ OPT) Lemma 1 Durante una fase dell’algoritmo, non vengono scartati piu‘ di k 2 bundles. Envy-free makespan approximation 14/27
- 41. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Upper bound Teorema L’allocazione a restituita dall’algoritmo FIND − APPROX e‘ localmente efficiente e il suo makespan e‘ O(log m ∗ OPT) Lemma 1 Durante una fase dell’algoritmo, non vengono scartati piu‘ di k 2 bundles. Lemma 2 Quando l’algoritmo termina, q ≤ log m + 1 Envy-free makespan approximation 14/27
- 42. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Upper bound Teorema L’allocazione a restituita dall’algoritmo FIND − APPROX e‘ localmente efficiente e il suo makespan e‘ O(log m ∗ OPT) Lemma 1 Durante una fase dell’algoritmo, non vengono scartati piu‘ di k 2 bundles. Lemma 2 Quando l’algoritmo termina, q ≤ log m + 1 Lemma 3 Sia c una matrice di costi e siano b e b due assegnamenti di diversi insiemi di jobs allo stesso insieme di macchine. Sia a l’assegnamento tale che per ogni i, ai = bi ∪ bi . Se b e b sono localmente efficienti, anche a lo e‘. Envy-free makespan approximation 14/27
- 43. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Lemma 1 Lemma 1 Durante una fase dell’algoritmo, non vengono scartati piu‘ di k 2 bundles. Envy-free makespan approximation 15/27
- 44. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Lemma 1 Lemma 1 Durante una fase dell’algoritmo, non vengono scartati piu‘ di k 2 bundles. • Consideriamo l’insieme di bundles Bactive = {bi1, . . . , bik}, k = Bactive Envy-free makespan approximation 15/27
- 45. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Lemma 1 Lemma 1 Durante una fase dell’algoritmo, non vengono scartati piu‘ di k 2 bundles. • Consideriamo l’insieme di bundles Bactive = {bi1, . . . , bik}, k = Bactive • Sia ai il bundle assegnato alla macchina i dall’assegnamento LE(Bactive) Envy-free makespan approximation 15/27
- 46. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Lemma 1 Lemma 1 Durante una fase dell’algoritmo, non vengono scartati piu‘ di k 2 bundles. • Consideriamo l’insieme di bundles Bactive = {bi1, . . . , bik}, k = Bactive • Sia ai il bundle assegnato alla macchina i dall’assegnamento LE(Bactive) • m i=1 ci ∗ ai ≤ k j=1 ci j ∗ bi j ≤ k ∗ OPT Envy-free makespan approximation 15/27
- 47. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Lemma 1 Lemma 1 Durante una fase dell’algoritmo, non vengono scartati piu‘ di k 2 bundles. • Consideriamo l’insieme di bundles Bactive = {bi1, . . . , bik}, k = Bactive • Sia ai il bundle assegnato alla macchina i dall’assegnamento LE(Bactive) • m i=1 ci ∗ ai ≤ k j=1 ci j ∗ bi j ≤ k ∗ OPT • Il loop interno viene ripetuto al piu‘ k∗OPT 2∗OPT = k 2 volte =⇒ al piu‘ k bundles possono essere scartati. Envy-free makespan approximation 15/27
- 48. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Lemma 2 Quando l’algoritmo termina, q ≤ log m + 1 • Il Lemma 2 segue direttamente dal Lemma 1. Envy-free makespan approximation 16/27
- 49. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Lemma 2 Quando l’algoritmo termina, q ≤ log m + 1 • Il Lemma 2 segue direttamente dal Lemma 1. • Abbiamo al piu‘ log m + 1 fasi Envy-free makespan approximation 16/27
- 50. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Lemma 2 Quando l’algoritmo termina, q ≤ log m + 1 • Il Lemma 2 segue direttamente dal Lemma 1. • Abbiamo al piu‘ log m + 1 fasi • Il makespan dell’assegnamento restituito e‘ O(log m ∗ OPT) Envy-free makespan approximation 16/27
- 51. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Lemma 2 Quando l’algoritmo termina, q ≤ log m + 1 • Il Lemma 2 segue direttamente dal Lemma 1. • Abbiamo al piu‘ log m + 1 fasi • Il makespan dell’assegnamento restituito e‘ O(log m ∗ OPT) • Resta da provare se l’assegnamento ottenuto e‘ localmente efficiente. Envy-free makespan approximation 16/27
- 52. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Lemma 3 Lemma 3 Sia c una matrice di costi e siano b e b due assegnamenti di diversi insiemi di jobs allo stesso insieme di macchine. Sia a l’assegnamento tale che per ogni i, ai = bi ∪ bi . Se b e b sono localmente efficienti, anche a lo e‘. • La prova procede per assurdo. Envy-free makespan approximation 17/27
- 53. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Lemma 3 Lemma 3 Sia c una matrice di costi e siano b e b due assegnamenti di diversi insiemi di jobs allo stesso insieme di macchine. Sia a l’assegnamento tale che per ogni i, ai = bi ∪ bi . Se b e b sono localmente efficienti, anche a lo e‘. • La prova procede per assurdo. • Per assurdo, sia a non localmente efficiente. Envy-free makespan approximation 17/27
- 54. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia • ∃π di [1 . . . m] : ci ∗ aπ(i) < ci ∗ ai Envy-free makespan approximation 18/27
- 55. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia • ∃π di [1 . . . m] : ci ∗ aπ(i) < ci ∗ ai • (ci ∗ bπ(i) + ci ∗ b π(i)) < (ci ∗ b + ci ∗ b i ) Envy-free makespan approximation 18/27
- 56. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia • ∃π di [1 . . . m] : ci ∗ aπ(i) < ci ∗ ai • (ci ∗ bπ(i) + ci ∗ b π(i)) < (ci ∗ b + ci ∗ b i ) • ci ∗ bπ(i) < ci ∗ bi oppure ci ∗ b π(i) < ci ∗ b i ... Envy-free makespan approximation 18/27
- 57. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia • ∃π di [1 . . . m] : ci ∗ aπ(i) < ci ∗ ai • (ci ∗ bπ(i) + ci ∗ b π(i)) < (ci ∗ b + ci ∗ b i ) • ci ∗ bπ(i) < ci ∗ bi oppure ci ∗ b π(i) < ci ∗ b i ... • Il che contraddice l’ipotesi che b e b siano assegnamenti localmente efficienti. Envy-free makespan approximation 18/27
- 58. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Lower bound • Sia n il numero di jobs. Envy-free makespan approximation 19/27
- 59. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Lower bound • Sia n il numero di jobs. • Abbiamo m = n + macchine, con scelto in modo che 2 = log n 4 log log n . Envy-free makespan approximation 19/27
- 60. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Lower bound • Sia n il numero di jobs. • Abbiamo m = n + macchine, con scelto in modo che 2 = log n 4 log log n . • ∀n, possiamo definire la matrice dei costi Cm×n nel modo seguente: Envy-free makespan approximation 19/27
- 61. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Lower bound • Sia n il numero di jobs. • Abbiamo m = n + macchine, con scelto in modo che 2 = log n 4 log log n . • ∀n, possiamo definire la matrice dei costi Cm×n nel modo seguente: • Per 1 ≤ i ≤ n • La macchina i ha un costo pari a 1 per il job i. • Per j < i, il costo e‘ pari a 1 − (i−j) 2(n−j) • Per j > i, il costo e‘ pari a ∞ Envy-free makespan approximation 19/27
- 62. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Lower bound • Sia n il numero di jobs. • Abbiamo m = n + macchine, con scelto in modo che 2 = log n 4 log log n . • ∀n, possiamo definire la matrice dei costi Cm×n nel modo seguente: • Per 1 ≤ i ≤ n • La macchina i ha un costo pari a 1 per il job i. • Per j < i, il costo e‘ pari a 1 − (i−j) 2(n−j) • Per j > i, il costo e‘ pari a ∞ • Per n + 1 ≤ i ≤ n + • Ogni macchina i ha costo pari a 2i Envy-free makespan approximation 19/27
- 63. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia 1 ∞ ∞ ∞ . . . ∞ ∞ 1 − 1 2(n−1) 1 ∞ ∞ . . . ∞ ∞ 1 − 2 2(n−1) 1 − 1 2(n−2) 1 ∞ . . . ∞ ∞ 1 − 3 2(n−1) 1 − 2 2(n−2) 1 − 1 2(n−3) 1 . . . ∞ ∞ ... ... ... ... ... ... ... 1 2 + 1 2(n−1) 1 2 + 1 2(n−2) 1 2 + 1 2(n−3) 1 2 + 1 2(n−4) . . . 1 ∞ 1 2 1 2 1 2 1 2 . . . 1 2 1 2 2 2 2 . . . 2 2 4 4 4 4 . . . 4 4 ... ... ... ... ... ... ... 2 2 2 2 . . . 2 2 Envy-free makespan approximation 20/27
- 64. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia E‘ possibile dimostrare che ogni allocazione che rispetta la proprieta‘ di envy-freeness per questa istanza ha un makespan pari almeno a 2 = log n 4 log log n . Envy-free makespan approximation 21/27
- 65. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia E‘ possibile dimostrare che ogni allocazione che rispetta la proprieta‘ di envy-freeness per questa istanza ha un makespan pari almeno a 2 = log n 4 log log n . Lemma Per la matrice C, Per ogni allocazione con makespan < 2 soddifa le seguenti proprieta‘ 1 Ad ogni macchina vengono allocati meno di 2 +1 job. 2 Alla macchina n < i ≤ n + sono allocati meno di 2 2(i−n) 3 Alla macchina n + 1 ≤ i ≤ n + vengono allocati meno di 2 jobs. Envy-free makespan approximation 21/27
- 66. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia 1 ci,j ≥ 1 2∀i, j Envy-free makespan approximation 22/27
- 67. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia 1 ci,j ≥ 1 2∀i, j 2 Per n < i ≤ n + sappiamo che ci,j ≥ 2i−n Envy-free makespan approximation 22/27
- 68. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia 1 ci,j ≥ 1 2∀i, j 2 Per n < i ≤ n + sappiamo che ci,j ≥ 2i−n 3 (n+ ) i=n+1( 2 2(i−n) − 1) Envy-free makespan approximation 22/27
- 69. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Teorema Per ogni partizione dei job in bundles, il makespan di qualsiasi assegnamento localmente efficiente di essi e‘ pari ad almeno 2 = log n 4 log log n Envy-free makespan approximation 23/27
- 70. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Teorema Per ogni partizione dei job in bundles, il makespan di qualsiasi assegnamento localmente efficiente di essi e‘ pari ad almeno 2 = log n 4 log log n Dimostrazione Fissiamo arbitrariamente una partizione in bundle e supponiamo per assurdo che vi sia un assegnamento envy-free dei bundles tale che il suo makespan sia < 2 . Envy-free makespan approximation 23/27
- 71. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia • Nessun bundle e‘ assegnato alla macchina n + . Envy-free makespan approximation 24/27
- 72. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia • Nessun bundle e‘ assegnato alla macchina n + . • Dal punto 1 del Lemma, nel bundle assegnato alla macchina n c’e‘ un numero di job ≤ 2 +1 − 1, quindi spostando il bundle alla macchina n + 1 ne aumentiamo il carico di al piu‘ 3 22 +1 Envy-free makespan approximation 24/27
- 73. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia • Nessun bundle e‘ assegnato alla macchina n + . • Dal punto 1 del Lemma, nel bundle assegnato alla macchina n c’e‘ un numero di job ≤ 2 +1 − 1, quindi spostando il bundle alla macchina n + 1 ne aumentiamo il carico di al piu‘ 3 22 +1 • Spostare un bundle dalla macchina i alla macchina i + 1 aumenta il carico su i + 1 di 2, per le macchine n + 1 ≤ i ≤ n + . Envy-free makespan approximation 24/27
- 74. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia • Nessun bundle e‘ assegnato alla macchina n + . • Dal punto 1 del Lemma, nel bundle assegnato alla macchina n c’e‘ un numero di job ≤ 2 +1 − 1, quindi spostando il bundle alla macchina n + 1 ne aumentiamo il carico di al piu‘ 3 22 +1 • Spostare un bundle dalla macchina i alla macchina i + 1 aumenta il carico su i + 1 di 2, per le macchine n + 1 ≤ i ≤ n + . • L’incremento totale del carico e‘ pari a 3 22 +1 + 2 = ( + 3)2 con 2 = log n 4 log log n Envy-free makespan approximation 24/27
- 75. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia • Per il punto 3 del Lemma, alle macchine n + 1 ≤ i ≤ n + e‘ possibile assegnare al piu‘ 2 job e per il punto 1 alla macchina n ne possiamo assegnare al piu‘ 2 +1. Envy-free makespan approximation 25/27
- 76. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia • Per il punto 3 del Lemma, alle macchine n + 1 ≤ i ≤ n + e‘ possibile assegnare al piu‘ 2 job e per il punto 1 alla macchina n ne possiamo assegnare al piu‘ 2 +1. • Nei bundles assegnati alle macchine tra 1 e n − 1 sono presenti almeno n − 3 ∗ 2 . Envy-free makespan approximation 25/27
- 77. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia • Per il punto 3 del Lemma, alle macchine n + 1 ≤ i ≤ n + e‘ possibile assegnare al piu‘ 2 job e per il punto 1 alla macchina n ne possiamo assegnare al piu‘ 2 +1. • Nei bundles assegnati alle macchine tra 1 e n − 1 sono presenti almeno n − 3 ∗ 2 . • Togliendo il job j da questi bundles, il carico totale si riduce di 1 2(n−j) Envy-free makespan approximation 25/27
- 78. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia • Per il punto 3 del Lemma, alle macchine n + 1 ≤ i ≤ n + e‘ possibile assegnare al piu‘ 2 job e per il punto 1 alla macchina n ne possiamo assegnare al piu‘ 2 +1. • Nei bundles assegnati alle macchine tra 1 e n − 1 sono presenti almeno n − 3 ∗ 2 . • Togliendo il job j da questi bundles, il carico totale si riduce di 1 2(n−j) • La riduzione totale di carico data dallo spostamento dei bundles e‘ pari a 1 2(Hn − H3∗2 ) ≥ (1 2 − ) ln n per n sufficientemente grande. Envy-free makespan approximation 25/27
- 79. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia • Per il punto 3 del Lemma, alle macchine n + 1 ≤ i ≤ n + e‘ possibile assegnare al piu‘ 2 job e per il punto 1 alla macchina n ne possiamo assegnare al piu‘ 2 +1. • Nei bundles assegnati alle macchine tra 1 e n − 1 sono presenti almeno n − 3 ∗ 2 . • Togliendo il job j da questi bundles, il carico totale si riduce di 1 2(n−j) • La riduzione totale di carico data dallo spostamento dei bundles e‘ pari a 1 2(Hn − H3∗2 ) ≥ (1 2 − ) ln n per n sufficientemente grande. • Otteniamo una contraddizione... Envy-free makespan approximation 25/27
- 80. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia • Per il punto 3 del Lemma, alle macchine n + 1 ≤ i ≤ n + e‘ possibile assegnare al piu‘ 2 job e per il punto 1 alla macchina n ne possiamo assegnare al piu‘ 2 +1. • Nei bundles assegnati alle macchine tra 1 e n − 1 sono presenti almeno n − 3 ∗ 2 . • Togliendo il job j da questi bundles, il carico totale si riduce di 1 2(n−j) • La riduzione totale di carico data dallo spostamento dei bundles e‘ pari a 1 2(Hn − H3∗2 ) ≥ (1 2 − ) ln n per n sufficientemente grande. • Otteniamo una contraddizione... • m = n + = O(n), quindi l’approssimazione e‘ Ω( log m log log m ) Envy-free makespan approximation 25/27
- 81. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Jason Hartline, Sam Ieong, Ahuva Mualem, Michael Schapira, Aviv Zohar Multi-dimensional envy-free scheduling mechanism Technical Report 1144 The Hebrew Univ. 2008 Envy-free makespan approximation 26/27
- 82. Envy-free makespan approximation Vincenzo De Maio Sommario Introduzione Definizioni di base Envy-freeness vs Incentive- compatibility Algoritmo per job indivisibili Upper bound Lower bound Bibliografia Grazie per la cortese attenzione Envy-free makespan approximation 27/27