Capítulo 4 pp. 253 293 word

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Geometría plana y elementos de trigonometría
4.1 Introducción
Las primeras indicaciones del estudio de ecuaciones cuantita...

4.2 Propiedades y relaciones entre las figuras geométricas elementales
A lo largo de los estudios primarios y secundarios ...

Ejemplo 1
Demuestra que los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Resolución
En la figura 4.3 tenemos:
(1) α + β = ...

Si dos rectas paralelas a y b son cortadas por una secante c, los ángulos alternos
(correspondientes) que se forman son ig...

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En todos los triángulos existen ángulos interiores y exteriores (Fig. 4.6). Los exteriores
son los determinados por un lad...

obtusángulo. Clasifica los triángulos que aparecen en la figura 4.8 según los datos
dados:

Ejemplo 3
Di si son verdaderas...

a) Verdadera, pues en todo triángulo a lados iguales se oponen ángulos iguales y
viceversa.
b) Falsa, porque la suma de la...

j) Verdadera, porque el triángulo equilátero se puede considerar tres veces isósceles
por tanto las tres alturas relativas...

intersecan en un punto llamado incentro (Fig. 4.12), por ser el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo (circ...

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Resolución
Son cuadriláteros las figuras 4.14b, 4.14d y 4.14f, pues son regiones del plano
limitadas por cuatro rectas que...

¿Podemos afirmar que todo paralelogramo es un trapecio? Para que un cuadrilátero
sea un trapecio basta con que tenga un so...

Resolución
Para encontrar la vía de solución es conveniente:
1. Analizar toda la información que nos brindan los datos.
2....

∴ AFDC es un paralelogramo por tener un par de lados opuestos paralelos e iguales.
Ejemplo 3
∆ABC: isósceles de base AB
D:...

Hemos analizado que los triángulos y los cuadriláteros son regiones del plano limitadas
por líneas poligonales cerradas de...

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El área de la sección transversal se calcularía sumando las áreas del triángulo y el
trapecio, y restándole el área del re...

conjuntos de puntos; a uno de ellos pertenecen los puntos interiores de la
circunferencia y al otro los exteriores a ella,...

• Un ángulo semiinscrito es aquel ángulo que tiene su vértice en la circunferencia, un
lado está situado sobre una tangent...

Ejemplo 3
En la figura 4.23
FH : diámetro

FH

⊥ BC

;

EH

⊥ AC .

FH ∩AC ∩BD ={G}

Prueba que:
a) AB = CD = EF
b) ABCD e...

L = 2πr (r: longitud del radio de la circunferencia)
¿Podemos decir lo mismo respecto al círculo? No, pues este es una reg...

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d = BD = 2r ≈ (2 ⋅ 8 ) cm =16 cm
d = 2 l

l =
l =
l=

d
2
2 d
2
2 ⋅ 16
cm = 8 2 cm
2

( )

(

)

2
2
2
2
Luego: As = π r –...

Sea el segmento MN (Fig. 4.26).
• Se hace centro en uno de los extremos del
segmento, digamos M, y con un radio cuya
longi...

¿Cuándo es posible construir un triángulo conocida las longitudes de los lados? Esto es
posible si se cumple la desigualda...

7. En la figura 4.33, CE ⊥AG , BF GΙ y ∠ CGH = ∠ HGΙ = ∠ CGΙ. Calcula la
amplitud del ∠ A.
8. Demuestra que las bisectri...

17. Prueba que una paralela a cualquiera de los lados de un triángulo equilátero forma
un triángulo equilátero.
18. Prueba...

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24. Prueba que las bisectrices de los ángulos consecutivos de un paralelogramo son
perpendiculares.
25. Prueba que si dos ...

a) Calcula el área sombreada si:
BC = 8,1 cm; AC = 7,2 cm; AM = 5,4 cm y ∠B = 53,1o

Fig. 4.46

4.3 Igualdad de triángulos...

• los tres lados (Fig. 4.47a), o
• dos lados y el ángulo comprendido (Fig. 4.47b), o
• un lado y los ángulos adyacentes a ...

criterio que plantea que para que dos triángulos sean iguales es suficiente que tengan
sus tres lados respectivamente igua...

1. Sobre una recta se traza el segmento
AB de longitud c.
2. Se trazan dos rectas paralelas a una
distancia de 5 cm de AB ...

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

Demuestra que en el ejemplo anterior el cuadrilátero ADEF es un rectángulo y que
BCEF es un trapecio isósceles.

Ejerci...

11. O es el centro del paralelogramo ABCD (Fig. 4.56), M y N puntos de AB y
respectivamente. Prueba que AM = NC .

Fig. 4....

18. Prueba que si desde los extremos de las diagonales de un paralelogramo se trazan
segmentos perpendiculares a la otra d...

• Cuarto proporcional, si: a : b = c : x.
• Medio proporcional (media geométrica), si: x2 = a · b o a · x = x : b.
• Terce...

Teorema de las transversales
Si dos semirrectas de origen común son cortadas por varias rectas paralelas, entonces
la razó...

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 3 · 16 
OC = 
 cm = 3,2 cm
 15 

Cálculo de

CD :

= OD − OC

CD

por resta de segmentos

CD =16 cm – 3,2 cm

CD = ...

Según el teorema de las transversales las paralelas
determinan segmentos proporcionales en las semirrectas
que cortan, es ...

Teniendo en cuenta lo antes dicho, las figuras que tienen la misma forma y
dimensiones proporcionales se llaman figuras se...

∠ B = ∠ B´
∠ C = ∠ C´
AB
BC
CA
=
=
= k
A′B ′
B ′C ′
C ′A′

Decimos que el ∆ABC es semejante al ∆A´B´C´ y lo expresamos sim...

• iguales dos ángulos, o
• dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido, o
• proporcionales sus tres lados.
Ejem...

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

Plantea la proporcionalidad de los lados homólogos en los restantes triángulos que
son semejantes.

Ejemplo 2
En el tri...

∴ ∆AED ∼ ∆BFE por tener respectivamente proporcionales sus tres lados.



La semejanza de los triángulos se puede demostr...

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