8 g r_2016

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

2
УДК 51(075.3)
ББК 22.1я723
Р 59
Експерти, які здійснили експертизу даного підручника під час проведення конкур-
сного ві...

3
ЮНІ ДРУЗІ!
Ми продовжуємо вивчення однієї з основних математичних дисцип-
лін — геометрії. У 8 класі ми поглибимо знання...

4
Рубрики «Цікаво знати», «Застосуйте знання» призначено для індивіду-
альної роботи учнів.
За допомогою завдань рубрик «К...

Advertisement

6 § 1. Чотирикутники
§ 1. ЧОТИРИКУТНИКИ
1. Ламана.
Рис. 1
Нехай дано скінченне число точок, наприклад, п’ять (рис. 1 а). П...

1.1. Проста замкнена лінія 7
3. Замкнена ламана.
Рис. 2
Якщо сполучити відрізком АD кінці ламаної ABCD (рис. 2 а), то отри...

8 § 1. Чотирикутники
1. Чотирикутник і його елементи.
Рис. 3
На рис. 3 а) – в) зображено фігури, кожна з яких складається ...

1.2. Чотирикутники 9
вано. A і C, B і D — пари протилежних вершин, АВ і СD та АD і ВС — пари
протилежних сторін.
У будь-як...

Advertisement

10 § 1. Чотирикутники
У кожного чотирикутника є чотири кути. Кути при двох протилежних
вершинах називають протилежними, а ...

1.2. Чотирикутники 11
Чотирикутник MOPK, зображений на рис. 7 а) – г), відносно прямих MO
і MK лежить в одній півплощині (...

12 § 1. Чотирикутники
9. Накресліть опуклий чотирикутник MPOL. Проведіть прямі, які містять
сторони чотирикутника. Поясніт...

Основне в параграфі 13
Простою ламаною називають ламану, у
якої несусідні ланки не мають спільних
точок.
Замкненою ламаною...

14 § 1. Чотирикутники
Задача 1. Довести, що в будь-якому чотирикутнику кожна сторона менша від
суми трьох інших сторін.
● ...

Advertisement

Для тих, хто хоче знати більше 15
Властивість діагоналей опуклого чотирикутника.
В опуклому чотирикутнику ABCD (рис. 10) д...

16 § 1. Чотирикутники
Зауваження. У неопуклому чотирикутнику (рис. 11) один з кутів більший від
розгорнутого. Діагоналі не...

Задачі до параграфа 17
Рис. 12
19. Три сторони чотирикутника дорівнюють 3 см, 7 см і 9 см, а його пери-
метр — 36 см. Знай...

18 § 1. Чотирикутники
30. У чотирикутнику MNKP сторони NK і MP паралельні. Визначте кути N і
P, якщо ∠М = 41°, ∠K = 125°.
...

Цікаво знати 19
● Інформація про деякі властивості окремих видів чотирикутників місти-
лася ще в давніх єгипетських і вави...

Advertisement

20 § 2. Паралелограм
§ 2. ПАРАЛЕЛОГРАМ
2.1. ПАРАЛЕЛОГРАМ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ
1. Означення паралелограма.
На рис. 13 пара па...

2.1. Паралелограм і його властивості 21
Рис. 14
1. Проведемо одну з діагоналей паралелограма, наприклад, AC. Вона
поділяє ...

22 § 2. Паралелограм
різносторонні при AD||BC і січній AC, ∠2 = ∠4 як внутрішні різносторонні
при AD||BC і січній BD. Отже...

2.2. Ознаки паралелограма 23
ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ
46. Накресліть паралелограм ACDK, проведіть його діагоналі. Запишіть
вл...

24 § 2. Паралелограм
рений чотирикутник ABCD, у якого дві сторони паралельні та рівні, парале-
лограмом? Відповідь на це з...

Advertisement

2.2. Ознаки паралелограма 25
4. Оскільки кути BCA і DAC — внутрішні різносторонні при прямих BC
й AD та січній AC, то з їх...

26 § 2. Паралелограм
1. Проведемо одну з діагоналей чотирикутника, наприклад, BD
(рис. 22 а). Вона поділяє його на два три...

2.2. Ознаки паралелограма 27
● Доведення. Нехай ABCD — довільний опуклий чотирикутник, у якого
діагоналі перетинаються в т...

28 § 2. Паралелограм
ОСНОВНЕ В § 2
ОЗНАЧЕННЯ ПАРАЛЕЛОГРАМА
Паралелограмом називають чотирику-
тник, у якого протилежні сто...

Розв’язуємо разом 29
Задача 1. Знайти кути паралелограма, якщо різниця двох з них дорівнює 120°.
Розв’язання
● Оскільки за...

Advertisement

30 § 2. Паралелограм
Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то сторони даного
паралелограма дорівнюють 7 см; 14 ...

Застосуйте знання 31
= ∠ABC – (90° – α + 90° – α) = ∠ABC – (180° – 2α). Оскільки сума сусідніх
кутів паралелограма дорівню...

32 § 2. Паралелограм
2. Рама велосипеда має форму паралелограма з діагоналлю. Навіщо проти-
лежні вершини паралелограма з’...

Задачі до параграфа 33
РІВЕНЬ А
58. Сума двох кутів паралелограма дорівнює 250°. Знайдіть гострий кут
паралелограма.
59. О...

34 § 2. Паралелограм
72. У чотирикутнику MNOK ∠KMO = ∠NOM і ∠MОK = ∠NМО. Доведіть,
що чотирикутник MNOK є паралелограмом.
...

Advertisement

Задачі до параграфа 35
86. Обчисліть кути та периметр паралелограма, зображеного на рисунку 28.
Рис. 28
87. Периметр парал...

36 § 2. Паралелограм
94. На рисунку 30 АВСD — паралелограм. Точка О ділить діагональ BD
навпіл. Доведіть, що KBMD — парале...

Задачі до параграфа 37
105. Бісектриси двох сусідніх кутів паралелограма перетинаються в точці,
яка лежить на більшій стор...

38 § 2. Паралелограм
115. На діагоналі АС паралелограма АВСD взято точки М і Р так, що
АМ = СР, а на діагоналі BD точки N ...

Цікаво знати 39
● Уважають, що термін «паралелограм» увів Евклід (ІІІ ст. до н. е.). У
його «Началах» доведено теорему про...

Advertisement

40 § 2. Паралелограм
Початковий рівень
1. На якому з рисунків точки А, В, С і D є вершинами паралелограма
АВСD?
3. Якщо ку...

Контроль навчальних досягнень 41
9. Діагональ BD паралелограма ABCD утворює зі стороною АВ кут 67°, а зі
стороною AD — кут...

42 § 3. Прямокутник. Ромб. Квадрат
§ 3. ПРЯМОКУТНИК. РОМБ. КВАДРАТ
3.1. ПРЯМОКУТНИК
1. Означення і властивості прямокутник...

3.1. Прямокутник 43
1. Розглянемо прямокутні трикутники ABD і DCA, гіпотенузами у яких є
відповідно діагоналі прямокутника...

44 § 3. Прямокутник. Ромб. Квадрат
2. Доведемо, що кути A і D паралелограма ABCD рівні, а, значить, і пря-
мі. Розглянемо ...

Advertisement

3.2. Ромб. Квадрат 45
1. Означення і властивості ромба.
На рис. 36 зображено паралелограм ABCD, у якого сусідні сторони AB...

46 § 3. Прямокутник. Ромб. Квадрат
3. За властивістю медіани рівнобедреного трикутника BO — висота та
бісектриса трикутник...

3.2. Ромб. Квадрат 47
ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ
130. Накресліть ромб MNPK і його діагоналі. Точку перетину діагоналей по-
знач...

48 § 3. Прямокутник. Ромб. Квадрат
ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ
136. Накресліть квадрат MOPK, проведіть його діагоналі і запишіть...

Розв’язуємо разом 49
● Доведення. Нехай АВС — прямокутний трикутник із прямим кутом С, у
якого СМ — медіана, тобто АМ = МВ...

Advertisement

50 § 3. Прямокутник. Ромб. Квадрат
Утворений чотирикутник CADB — паралелограм (ознака за діагоналя-
ми) (рис. 40 в). За вл...

Застосуйте знання 51
● Доведення. Нехай ABCD — паралелограм, О — точка перетину його
діагоналей. Точка М, яка належить пря...

52 § 3. Прямокутник. Ромб. Квадрат
4. У прямокутній пластині потрібно просверлити круглий отвір на однако-
вій відстані ві...

Задачі до параграфа 53
РІВЕНЬ А
138. Одна зі сторін прямокутника на 6 см більша від іншої. Знайдіть сторони
прямокутника, ...

54 § 3. Прямокутник. Ромб. Квадрат
РІВЕНЬ Б
157. Точка перетину діагоналей прямокутника віддалена від його сусідніх
сторін...

Задачі до параграфа 55
Доведіть, що точка перетину діагоналей ромба рівновіддалена від усіх
його сторін.
174. Доведіть: як...

56 § 3. Прямокутник. Ромб. Квадрат
189. Побудуйте прямокутник за діагоналлю та сумою двох сусідніх сторін.
190. Побудуйте ...

Контроль навчальних досягнень 57
раніше вони мали форму квадрата або ромба, про що свідчать зображення
«бубен» на гральних...

58 § 3. Прямокутник. Ромб. Квадрат
3. Якщо діагональ прямокутника утворює з однією з його сторін кут 25°,
то з іншою сторо...

4.1. Теорема Фалеса 59
§ 4. ТЕОРЕМА ФАЛЕСА.
СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ ТРИКУТНИКА
1. Теорема Фалеса.
Розглянемо деякі теореми, заснован...

60 § 4. Теорема Фалеса. Середня лінія трикутника
Рис. 44
Нехай на одній стороні довільного кута A відкладено рівні відрізк...

4.1. Теорема Фалеса 61
Рис. 45
Побудова
● 1. Проводимо довільний промінь АМ (рис. 45 б).
2. Відкладемо на промені АМ рівні...

62 § 4. Теорема Фалеса. Середня лінія трикутника
На рис. 46 а відрізок МK сполучає точки М і K — середини сторін АВ і
ВС т...

4.2. Середня лінія трикутника 63
За теоремою Фалеса, точка K — середина сторони ВС. Отже, МK — се-
редня лінія трикутника ...

64 § 4. Теорема Фалеса. Середня лінія трикутника
Задача 1. У трикутнику АВС через точку М — середину сторони АВ, й точку
Р...

Розв’язуємо разом 65
МK = 2РО = 2 · 12 = 24 (см). АС = 2МK = 2 · 24 = 48 (см).
Відповідь: АС = 48 см. ●
Задача 2. У трикут...

66 § 4. Теорема Фалеса. Середня лінія трикутника
● Доведення. 1. Відрізок MN є середньою лінією трикутника АВС
(рис. 50). ...

Задачі до параграфа 67
РІВЕНЬ А
210. Кут K перетнуто прямими АС і BD так, що ∠KAC = ∠KBD, KC = CD =
= 5 см, АВ = 7 см, до ...

68 § 4. Теорема Фалеса. Середня лінія трикутника
РІВЕНЬ Б
222. Доведіть, що середні лінії трикутника поділяють його на чот...

Цікаво знати 69
235. Послідовно сполучили середини сторін квадрата, діагональ якого дорів-
нює b. Визначте вид утвореного ...

70 § 5. Трапеція
§ 5. ТРАПЕЦІЯ
5.1. ТРАПЕЦІЯ. СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ ТРАПЕЦІЇ
1. Означення трапеції та її властивості.
На рис. 51 з...

5.1. Трапеція. Середня лінія трапеції 71
Рис. 52
На основі теореми Фалеса та теореми про середню лінію трикутника
доведемо...

72 § 5. Трапеція
2) MN = AT = (AD + DT). Оскільки DT = BC, то одержуємо:
MN = (AD + BC). Теорему доведено. ●
3. Висота тра...

5.2. Рівнобічна трапеція 73
На рис. 55 зображено трапецію ABCD, у якої бічні сторони AB і CD рів-
ні. Таку трапецію назива...

74 § 5. Трапеція
3. З рівностей AB = CP і AB = CD (за умовою) випливає, що CP = CD.
Отже, ∆PCD — рівнобедрений з основою Р...

Основне в параграфі 75
Задача 1. Довести, що в будь-якій трапеції хоча б один кут при більшій осно-
ві гострий.
● Доведенн...

76 § 5. Трапеція
Рис. 58
1. Утворимо чотирикутник АВСМ, який є паралелограмом (ознака за
парою протилежних сторін: АМ = ВС...

Розв’язуємо разом 77
2. Оскільки PK = PM + MN + NK, то MN = PK – (PM + NK).
3. Відрізок РМ є середньою лінією трикутника А...

78 § 5. Трапеція
Рис. 61
Оскільки ΔBKD = ΔCMA (за гіпотенузою АС = BD і катетом BK = CM),
то ∠BDK = ∠CAM. Отже, трикутник ...

Застосуйте знання 79
● Доведення. Нехай у рівнобічній трапеції ABCD (AD||BC, АВ = DC)
діагоналі АС і BD перетинаються в то...

80 § 5. Трапеція
1. Який чотирикутник називають трапецію?
2. Що називають середньою лінією трапеції? Яка її властивість?
3...

Задачі до параграфа 81
258. Діагональ трапеції ділить її середню лінію на відрізки завдовжки 5 см і
8 см. Знайдіть різницю...

82 § 5. Трапеція
274. Доведіть, що бісектриси кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції,
перетинаються під прямим кутом....

Задачі до параграфа 83
287. Менша основа рівнобедреної трапеції дорівнює бічній стороні, а діаго-
наль перпендикулярна до ...

84 § 5. Трапеція
301. Менша діагональ прямокутної трапеції дорівнює її бічній стороні. Знай-
діть середню лінію трапеції, ...

Контроль навчальних досягнень 85
316. У рівнобічній трапеції діагональ поділяє навпіл кут при меншій основі.
Доведіть, що ...

86 § 5. Трапеція
Середній рівень
4. У рівнобедреному трикутнику АВС сполучено середину основи — точ-
ку М — із серединою б...

Цікаво знати 87
● Твердження про те, що середня лінія
трапеції дорівнює півсумі її основ, було
відомо ще стародавнім єгипт...

88 § 6. Кути, пов’язані з колом. Вписані й описані чотирикутники
§ 6. КУТИ, ПОВ’ЯЗАНІ З КОЛОМ.
ВПИСАНІ Й ОПИСАНІ ЧОТИРИКУТ...

6.1. Центральні кути. Вписані кути 89
На рис. 65 а) ∠AOB = 90°, отже, ∪ACB = 90°. На рис. 65 б) ∠MOK = 225°,
отже, ∪MPK = ...

90 § 6. Кути, пов’язані з колом. Вписані й описані чотирикутники
Центр кола може лежати всередині вписаного кута (рис. 66 ...

6.1. Центральні кути. Вписані кути 91
Отже, ∠АВС = ∠АОС = ∪АmС.
2 випадок. Центр кола О лежить усередині кута АВС (рис. 67...

92 § 6. Кути, пов’язані з колом. Вписані й описані чотирикутники
На рис. 68 а) кути АМВ, ANB, AKB вписані й спираються на ...

6.2. Вписаний чотирикутник 93
Рис. 69
Такий чотирикутник називають вписаним у коло, або вписаним чотири-
кутником.
Якщо чо...

94 § 6. Кути, пов’язані з колом. Вписані й описані чотирикутники
про міру вписаного кута одержуємо:
∠А + ∠С = ∪BCD + ∪BAD ...

6.3. Описаний чотирикутник 95
332. Поясніть, чому не можна описати коло навколо паралелограма, ромба,
які мають гострий ку...

96 § 6. Кути, пов’язані з колом. Вписані й описані чотирикутники
● Доведення. Нехай ABCD — описаний чотирикутник (рис. 71 ...

Основне в параграфі 97
341. Сума двох протилежних сторін описаного чотирикутника дорівнює
15 см. Чи можна визначити периме...

98 § 6. Кути, пов’язані з колом. Вписані й описані чотирикутники
● Доведення. Нехай S — точка, яка лежить поза даним круго...

Розв’язуємо разом 99
Рис. 72
Проведемо з точки S два промені, які перетинають коло в точках А і С та
B і D. Доведемо, що ∠...

100 § 6. Кути, пов’язані з колом. Вписані й описані чотирикутники
● Доведення. Нехай дано коло з центром у точці О і точку...

Розв’язуємо разом 101
Рис. 75
Проведемо через точку А діаметр AD, який утворює з дотичною АВ пря-
мий кут (властивість дот...

102 § 6. Кути, пов’язані з колом. Вписані й описані чотирикутники
Задача 6. В описаному чотирикутнику ABCD AB : BC : CD = ...

Для тих, хто хоче знати більше 103
Рис. 77
а) Припустимо, що точка D лежить усередині круга. Продовжимо відрізок AD по
пря...

104 § 6. Кути, пов’язані з колом. Вписані й описані чотирикутники
Рис. 78
а) Припустимо, що СD є січною до кола. Проведемо...

Задачі до параграфа 105
8. Сформулюйте й доведіть властивість вписаного кута.
9. Сформулюйте й доведіть властивість: а) чо...

106 § 6. Кути, пов’язані з колом. Вписані й описані чотирикутники
357. У вписаному чотирикутнику два протилежних кути відн...

Задачі до параграфа 107
372. Коло розділене точками на чотири дуги, кутові міри яких відносяться як
3 : 7 : 5 : 3. Знайдіт...

108 § 6. Кути, пов’язані з колом. Вписані й описані чотирикутники
384. Побудуйте рівнобічну трапецію за меншою основою, бі...

Задачі до параграфа 109
401. У чотирикутнику АВCD ∠АВС = 110°, ∠ADC = 70°, ∠BDC = 25°. Знай-
діть кут АСВ.
402. Трапецію в...

110 § 6. Кути, пов’язані з колом. Вписані й описані чотирикутники
Початковий рівень
1. У якому з випадків градусна міра ду...

Контроль навчальних досягнень 111
Достатній рівень
7. Вершини чотирикутника АВСD знаходяться на колі і ділять його у від-
...

112 § 6. Кути, пов’язані з колом. Вписані й описані чотирикутники
● Подане в підручнику доведення теореми «Вписаний кут ви...

113

114 § 7. Пропорційні відрізки
§ 7. ПРОПОРЦІЙНІ ВІДРІЗКИ
1. Відношення двох відрізків.
Оскільки довжини відрізків є додатни...

Пропорційні відрізки 115
Рис. 80
Маємо і , тобто відношення відрізків АВ і CD та
відрізків MN і PK рівні. У такому випадку...

116 § 7. Пропорційні відрізки
Чи будуть відрізки прямої a пропорційними до відповідних відрізків
прямої b, наприклад, відр...

Пропорційні відрізки 117
ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ
412. Дано: AB = 4 см, CD = 12 см. Знайдіть: а) ; б) .
413. Дано: MN = 30 см...

118 § 7. Пропорційні відрізки
Теорема про відрізки паралельних прямих.
На рис. 84 а) сторони кута C перетнуті паралельними...

Розв’язуємо разом 119
● Доведення. Нехай дано кут C і паралельні прямі AA1 й BB1, у яких точки А і В
лежать на одній сторо...

120 § 7. Пропорційні відрізки
● Нехай ABCD — дана за умовою трапеція, у якої продовження бічних
сторін перетинаються в точ...

Застосуйте знання 121
● Доведення. Нехай BD — бісектриса трикутника АВС (∠1 = ∠2)
(рис. 87). Доведемо, що .
Рис. 87
1. Чер...

122 § 7. Пропорційні відрізки
Рис. 88
Побудуємо чотирикутник MNDE, де M і N — середини відрізків АО і ВО.
Оскільки відрізо...

Самоперевірка та повторення 123
1. Що називають відношенням двох відрізків?
2. У якому випадку два відрізки називають проп...

124 § 7. Пропорційні відрізки
423. Накресліть довільний відрізок і поділіть його у відношенні: а) 2 : 3;
б) 3 : 5.
424. За...

Задачі до параграфа 125
взято точку D таку, що її відстань до точки A відноситься до її відстані
до точки B як AC : CB. Зн...

126 § 7. Пропорційні відрізки
440. Відстань від точки перетину медіан рівнобедреного трикутника до його
основи дорівнює 6 ...

Цікаво знати 127
додержання певних співвідношень між окремими частинами споруди,
картини, твору.
● У математиці та мистецт...

128 § 8. Подібні трикутники
§ 8. ПОДІБНІ ТРИКУТНИКИ
1. Означення подібних трикутників.
На рисунку 90 а) – в) зображено пар...

Подібні трикутники 129
Якщо трикутник A1B1C1 подібний до трикутника ABC, то записують:
∆A1B1C1 ~ ∆ABC. Це означає, що вико...

130 § 8. Подібні трикутники
1. Розглянемо трикутники BMK і BAC (рис. 92). У них ∠B — спільний,
∠M = ∠A як відповідні кути ...

Подібні трикутники 131
деякі з них. Умови, достатні для подібності трикутників, називають ознаками
подібності трикутників....

132 § 8. Подібні трикутники
Друга ознака подібності трикутників.
● Доведення. Нехай у трикутниках A1B1C1 і ABC ∠A1 = ∠A і ...

Подібні трикутники 133
● Доведення. Нехай у трикутниках A1B1C1 і ABC ,
тобто A1B1 = kAB, B1C1 = kBC і A1C1 = kAC (1) (рис....

134 § 8. Подібні трикутники
451. Дано трикутники ABC й POD. Відомо, що . Яка умова повин-
на виконуватись, щоб трикутник A...

Основне в параграфі 135
ОСНОВНЕ В § 8
Два трикутники називають подібними,
якщо їх кути попарно рівні, а відповідні
сторони...

136 § 8. Подібні трикутники
Задача 1. Точка перетину діагоналей трапеції поділяє одну з діагоналей на
відрізки, які віднос...

Розв’язуємо разом 137
● Доведення. Нехай до кола з центром в точці О проведено дві січних
АВ і CD, які перетинаються в точ...

138 § 8. Подібні трикутники
● Доведення. Нехай до кола з центром у точці О проведено дотичну KA
(А — точка дотику) і січну...

Застосуйте знання 139
2. Використовуючи дані, наведені на рисунку, знайдіть довжину АВ озера.
3. Людина, зріст якої 1,7 м,...

140 § 8. Подібні трикутники
1. Які два трикутники називають подібними?
2. Який трикутник відтинає пряма, паралельна одній ...

Задачі до параграфа 141
465. Прямі AB й CD перетинаються в точці O, а прямі AC й BD паралельні.
Доведіть, що ∆AOC ~ ∆BOD. ...

142 § 8. Подібні трикутники
474. О — точка перетину діагоналей трапеції ABCD, у якої основи AD й BC
відповідно дорівнюють ...

Цікаво знати 143
487. У трапеції АВСD з основами AD й ВС та діагоналлю BD кути ABD і BCD
рівні. Знайдіть АВ і AD, якщо ВС ...

144 § 8. Подібні трикутники
Рис. 101
Початковий рівень
2. Сторони одного трикутника відносяться як 5 : 6 : 8. Якому з трик...

Контроль навчальних досягнень 145
5. У чотирикутнику АВСD діагоналі АС і BD завдовжки відповідно 65 см і
91 см перетинають...

146 § 9. Середні пропорційні у прямокутному трикутнику
§ 9. СЕРЕДНІ ПРОПОРЦІЙНІ У ПРЯМОКУТНОМУ
ТРИКУТНИКУ. ТЕОРЕМА ПІФАГОР...

9.1. Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику 147
1. З будь-якої точки, яка не лежить на даній прямій, можна...

148 § 9. Середні пропорційні у прямокутному трикутнику
● Доведення. Нехай ABC — довільний прямокутний трикутник із пря-
ми...

9.1. Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику 149
1. Розглядаємо подібні трикутники: ADC й CDB. За означення...

150 § 9. Середні пропорційні у прямокутному трикутнику
Наслідком теореми про середні пропорційні у прямокутному трикутни-
...

9.2. Теорема Піфагора 151
ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ
498. На основі якої теореми доведено теорему Піфагора?
499. Накресліть пря...

152 § 9. Середні пропорційні у прямокутному трикутнику
ОСНОВНЕ В § 9
Похилою до прямої, проведеної з даної
точки, називают...

Розв’язуємо разом 153
Задача 1. Знайти катет прямокутного трикутника, якщо його проекція на гі-
потенузу дорівнює 8 см, а ...

154 § 9. Середні пропорційні у прямокутному трикутнику
● Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (рис. 107), у якої AD = 15 см,
A...

Розв’язуємо разом 155
Задача 4. Дано відрізки a і b (рис. 109). Побудувати відрізок х такий, що
а : х = х : b.
Розв’язання...

156 § 9. Середні пропорційні у прямокутному трикутнику
Рис. 111
Побудуємо прямокутний трикутник А1В1С1 з прямим кутом С1 і...

Застосуйте знання 157
ВН = ; ВН = = = . Позначимо радіус опи-
саного кола через R, а радіус вписаного — через r. Оскільки ...

158 § 9. Середні пропорційні у прямокутному трикутнику
4. Хлопчик і дівчинка, попрощавшись на перехресті, пішли по взаємно...

Самоперевірка та повторення 159
1. На прикладі поясніть, що називають перпендикуляром, похилою, проек-
цією похилої.
2. Як...

160 § 9. Середні пропорційні у прямокутному трикутнику
514. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 10 см і 24 см. Знайд...

Задачі до параграфа 161
530. Перпендикуляр, опущений з точки кола на діаметр, ділить його на від-
різки, різниця яких дорі...

162 § 9. Середні пропорційні у прямокутному трикутнику
543. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 4 см, а проекц...

Цікаво знати 163
555. Медіана та висота, проведені з вершини прямого кута прямокутного
трикутника, відповідно дорівнюють 2...

164 § 9. Середні пропорційні у прямокутному трикутнику
● Доведення теореми Піфагора містять і «Начала» Евкліда. Формулюван...

Контроль навчальних досягнень 165
Початковий рівень
Середній рівень
4. Периметр ромба дорівнює 68 см, а одна з його діагон...

166 § 9. Середні пропорційні у прямокутному трикутнику
Достатній рівень
7. Точка дотику кола, вписаного в ромб, периметр я...

168 § 10. Многокутники
§ 10. МНОГОКУТНИКИ
1. Многокутник і його елементи.
На рис. 113 зображено фігури, кожна з яких склад...

Многокутники 169
У кожного многокутника однакова кількість вершин, сторін і кутів.
Якщо число сторін многокутника відоме, ...

170 § 10. Многокутники
Для опуклих многокутників, як і для опуклих чотирикутників, справед-
ливі такі властивості.
На рис....

Многокутники 171
3. Теорема про суму кутів опуклого многокутника.
Як відомо, сума кутів трикутника дорівнює 180° (рис. 117...

172 § 10. Многокутники
Рис. 118
Аналогічно означують і зовнішній кут будь-якого многокутника
(рис. 118 б).
На рис. 118 б) ...

Многокутники 173
Центром кола, описаного навколо многокутника, є точка, рівновіддале-
на від усіх його вершин, тобто точка...

174 § 10. Многокутники
567. Скільки діагоналей можна провести з однієї вершини: а) п’ятикутника;
б) десятикутника; в) n-ку...

Розв’язуємо разом 175
Задача 1. Скільки діагоналей має довільний n-кутник?
Розв’язання
● З будь-якої вершини многокутника ...

176 § 10. Многокутники
Отже, n-кутник (n > 3) має діагоналей. Так, у чотирикутника:
діагоналі; у п’ятикутника діагоналей; ...

Для тих, хто хоче знати більше 177
1. Знайдіть кути, які утворюють вулиці кварталу ABCD, що має форму
чотирикутника, викор...

178 § 10. Многокутники
РІВЕНЬ А
574. Обчисліть суму кутів: а) шестикутника; б) 22-кутника.
575. На скільки сума кутів опук...

Цікаво знати 179
592. Доведіть, що многокутник, у якого всі зовнішні кути прямі, є чотири-
кутником.
593. Два кути многоку...

180 § 11. Площі многокутників
§ 11. ПЛОЩІ МНОГОКУТНИКІВ
11.1. ПОНЯТТЯ ПРО ПЛОЩУ. ПЛОЩА ПРЯМОКУТНИКА
1. Що таке площа? Осно...

11.1. Поняття про площу. Площа прямокутника 181
В окремих випадках площу фігури можна встановити безпосереднім
підрахунком...

182 § 11. Площі многокутників
ника. Отримуємо b прямокутних смуг, кожна з яких складається з a одинич-
них квадратів. Отже...

11.2. Площа трикутника 183
596. Знайдіть площу прямокутника, якщо його сторони дорівнюють:
а) 3 м і 0,4 м; б) 80 дм і 5 м;...

184 § 11. Площі многокутників
Рис. 123
Через вершини гострих кутів проведемо прямі, перпендикулярні до ка-
тетів, точка D ...

11.2. Площа трикутника 185
Можливі три випадки розміщення точки D — основи висоти AD віднос-
но сторони ВС (рис. 124 а) – ...

186 § 11. Площі многокутників
Рис. 125
З ∆ABK за теоремою Піфагора знаходимо висоту BK:
BK = .
Отже, S = , S = . ●
ЗАПИТАН...

11.3. Площа паралелограма, ромба, трапеції 187
609. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, у якого бічна сторона та
вис...

188 § 11. Площі многокутників
Рис. 127
Для доведення проведемо одну з діагоналей паралелограма, наприклад,
BD. Вона поділи...

11.3. Площа паралелограма, ромба, трапеції 189
Рис. 128
Кожна з діагоналей ромба поділяє його на два рівні між собою рівно...

190 § 11. Площі многокутників
Для доведення проводимо одну з діагоналей, наприклад, BD. Вона поді-
ляє трапецію на два три...

Основне в параграфі 191
Рис. 130
ОСНОВНЕ В § 11
Площа квадрата зі стороною, яка дорів-
нює одиниці довжини, дорівнює одини...

192 § 11. Площі многокутників
Рівновеликикими називають фігури, які
мають однакові площі.
Площа прямокутника дорівнює добу...

Розв’язуємо разом 193
Задача 1. Різниця сторін прямокутника дорівнює 4 см, а діагональ — 20 см.
Знайти площу прямокутника....

194 § 11. Площі многокутників
Задача 3. Дві сторони трикутника дорівнюють 8 см і 12 см. Висота, проведе-
на до сторони 12 ...

Розв’язуємо разом 195
Отже. . ●
● Доведення. Нехай у трикутнику дано сторони ВС = а, АС = b і висоти
ВВ1 = hb, AA1 = ha (р...

196 § 11. Площі многокутників
Задача 6. Довести, що висоти паралелограма обернено пропорційні сторо-
нам, до яких вони про...

Розв’язуємо разом 197
Розв’язання
Рис. 135
● Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (рис. 135), у якої AD = 50 см,
ВС = 14 см і ...

198 § 11. Площі многокутників
Проведемо через точку О перпендикуляр MN до її основи.
ΔABD = ΔDCA за трьома сторонами. Тоді...

Застосуйте знання 199
4. Сад має форму прямокутника зі сторонами 580 м і 376 м. Скільки в ньо-
му росте яблунь, якщо на ко...

200 § 11. Площі многокутників
1. Що приймають за одиницю площі? Назвіть одиниці вимірювання площі.
2. Перелічіть основні в...

Задачі до параграфа 201
628. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 6 см. Знайдіть інший
катет, якщо площа трикут...

202 § 11. Площі многокутників
645. Одна зі сторін паралелограма дорівнює 8 см, а висота, проведена до
неї, — 6 см. Висота ...

Задачі до параграфа 203
Рис. 138
658. Дві сторони трикутника дорівнюють 9 см і 6 см. Висота трикутника,
проведена до сторо...

204 § 11. Площі многокутників
669. Сторона й одна з діагоналей ромба відповідно дорівнюють 10 см і 12 см.
Знайдіть висоту ...

Задачі до параграфа 205
685. Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить один з
його катетів на відрізки ...

206 § 11. Площі многокутників
● З давніх часів обчислення площ було одним з найважливіших застосу-
вань геометрії. Про це ...

Контроль навчальних досягнень 207
Початковий рівень
3. Скільки сторін в опуклому n-кутнику, якщо сума його кутів дорівнює
...

208 § 11. Площі многокутників
9. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на від-
різки завдовжки 10 ...

210 § 12. Тригонометричні відношення у прямокутному трикутнику
§ 12. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ВІДНОШЕННЯ
У ПРЯМОКУТНОМУ ТРИКУТНИКУ
...

Тригонометричні відношення у прямокутному трикутнику 211
2. Відношення катета, прилеглого до кута α, і гіпотенузи:
.
3. Ві...

212 § 12. Тригонометричні відношення у прямокутному трикутнику
На рис. 140 б) sinM = = 0,6, sinN = = 0,8.
Властивості сину...

Тригонометричні відношення у прямокутному трикутнику 213
При наближенні кута α до 90° синус α наближається до 1, а при наб...

214 § 12. Тригонометричні відношення у прямокутному трикутнику
Рис. 142
703. Знайдіть синус гострого кута прямокутного три...

Тригонометричні відношення у прямокутному трикутнику 215
Рис. 143
На рис. 143 б) сosM = = 0,8, cosN = = 0,6.
Властивості к...

216 § 12. Тригонометричні відношення у прямокутному трикутнику
тів до гіпотенуз зменшуються: < < . Отже, якщо
α3 > α2 > α1...

Тригонометричні відношення у прямокутному трикутнику 217
З означення косинуса cosA = випливає, що b = с · cosA і c = .
ЗАП...

218 § 12. Тригонометричні відношення у прямокутному трикутнику
4. Тангенс гострого кута і його властивості.
Рис. 146
На ри...

Тригонометричні відношення у прямокутному трикутнику 219
Нижче наведено таблицю наближених значень тангенсів для кутів, кр...

220 § 12. Тригонометричні відношення у прямокутному трикутнику
723. Порівняйте: а) tg15° і tg10°; б) tg17° і tg40°; в) tg8...

Тригонометричні відношення у прямокутному трикутнику 221
cosA = cos30° = = .
tgA = tg30° = = .
sinB = sin60° = = .
cosB = ...

222 § 12. Тригонометричні відношення у прямокутному трикутнику
Задача 1. Сторони прямокутника дорівнюють 12 см і 16 см. Зн...

Розв’язуємо разом 223
Розв’язання
Рис. 150
● Нехай ABCD — прямокутник (рис. 150), у якого АВ = 16 см і
AD = 12 см. Кутом м...

224 § 12. Тригонометричні відношення у прямокутному трикутнику
Побудова
1. Креслимо довільний відрізок m і такі два відріз...

Застосуйте знання 225
Побудова
1. Будуємо прямокутний трикутник з катетами, які дорівнюють а й 3а,
де а — довільний відріз...

226 § 12. Тригонометричні відношення у прямокутному трикутнику
2. Маятник у вигляді металевої кульки, підвішеної на нитці,...

Задачі до параграфа 227
РІВЕНЬ А
729. Знайдіть наближено гострі кути прямокутного трикутника, у якого один
з катетів дорів...

228 § 12. Тригонометричні відношення у прямокутному трикутнику
744. Знайдіть наближено синус, косинус і тангенс гострого к...

Цікаво знати 229
757. У прямокутному трикутнику ABC з прямим кутом C синус гострого ку-
та дорівнює , а прилеглий до цього...

230 § 13. Розв’язування прямокутних трикутників
§ 13. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ.
ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ
1. Розв’язув...

Розв’язування прямокутних трикутників 231
Задача 2. Розв’язати трикутник за гіпотенузою і катетом.
Дано: a і c.
Знайти: b;...

232 § 13. Розв’язування прямокутних трикутників
Задача 4. Розв’язати трикутник за катетом і гострим кутом.
Дано: a, ∠A.
Зн...

Розв’язування прямокутних трикутників 233
таблиці синусів до числа 0,035 найближчим є значення синуса 0,0349, яке
відповід...

234 § 13. Розв’язування прямокутних трикутників
● На місцевості під прямим кутом до шуканого відрізка АС відкладають
відрі...

Розв’язування прямокутних трикутників 235
3. З деякої точки вершину гори видно під кутом 30°. Якщо наблизитися до
гори на ...

236 § 13. Розв’язування прямокутних трикутників
1. Що називають:
а) синусом; б) косинусом; в) тангенсом гострого кута α?
В...

Задачі до параграфа 237
762. Розв’яжіть прямокутний трикутник АВС (∠С = 90°), у якого катет b до-
рівнює 20 см, а кут B — ...

238 § 13. Розв’язування прямокутних трикутників
РІВЕНЬ В
775. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює α, а основ...

Контроль навчальних досягнень 239
3. Якщо sinα = m, cosα = n, то tgα = ...
А m · n; Б ; В ; Г m + n.
Середній рівень
4. У ...

240 § 13. Розв’язування прямокутних трикутників
● Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника
розглядаю...

Задачі за курс 8 класу 241
ЗАДАЧІ ЗА КУРС ГЕОМЕТРІЇ 8 КЛАСУ
РІВЕНЬ А
781. Знайдіть четвертий кут чотирикутника, якщо три й...

242 Задачі за курс 8 класу
798. Побудуйте прямокутник за діагоналлю, довжина якої дорівнює 4 см, і
кутом між діагоналями, ...

Задачі за курс 8 класу 243
820. В описаному чотирикутнику ABCD АВ = 5 см і CD = 8 см. Знайдіть пе-
риметр чотирикутника.
8...

244 Задачі за курс 8 класу
РІВЕНЬ Б
837. Доведіть, що найбільший кут опуклого чотирикутника не може бути гост-
рим.
838. Д...

Задачі за курс 8 класу 245
853. У паралелограмі ABCD (AD > AB) бісектриси кутів А та В перетинають сто-
рони паралелограма...

246 Задачі за курс 8 класу
РІВЕНЬ В
870. Доведіть: якщо діагоналі опуклого чотирикутника рівні, то його площа
дорівнює пів...

Задачі за курс 8 класу 247
886. Доведіть, що бісектриси кутів, прилеглих до бічної сторони, перетина-
ються в точці, яка р...

248 Додатки
ДОДАТКИ
ЗНАЧЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ
ГОСТРИХ КУТІВ
Градуси sin cos tg ctg
0 0,0000 1,0000 0,0000 — 90
1 0...

Додатки 249
Значення кутів, менших від 45°, розміщені у лівому стовпці «градуси»,
відповідні їм значення тригонометричних ...

250 Предметний покажчик
ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
Відношення двох відрізків .............114
Квадрат ..............................

Відповіді та вказівки 251
ВІДПОВІДІ
§ 1
20. 125 см. 25. 110°. 30. 139°, 55°. 32. 35 см. 39. 12 см, 10 см, 24 см, 36 см.
41...

252 Відповіді та вказівки
115°, 65°, 115°. 403. 7 см. 407. 3 см, 10,5 см, 18 см, 10,5 см. 408. 10 см, 30 см.
409. 3 см. 41...

Відповіді та вказівки 253
§ 12
731. 55°, 55°, 70°. 733. 4 см, 8 см. 739. . 742. 64°, 64°, 52°. 743. 60°.
745. , , . 749. 3...

254 Зміст
ЗМІСТ
РОЗДІЛ І. ЧОТИРИКУТНИКИ
§ 1. ЧОТИРИКУТНИКИ...................................................................

Зміст 255
§ 9. СЕРЕДНІ ПРОПОРЦІЙНІ У ПРЯМОКУТНОМУ ТРИКУТНИКУ.
ТЕОРЕМА ПІФАГОРА...............................................

Навчальне видання
Роганін Олександр Миколайович
Капіносов Анатолій Миколайович
Кондратьєва Лариса Іванівна
ГЕОМЕТРІЯ
Підру...

Share Slideshare

LinkedIn
Facebook
Twitter

Embed

Size (px)

Show related Slideshows at end

WordPress Shortcode

Link

Share
Email

8 a k_2016 by 8new 103637 views
8 by 8new 50061 views
8 g i_2016 by 8new 392372 views
8 by 8new 87367 views

View on Slideshare

1 of 256 Ad

View on Slideshare

1 of 256 Ad