1. Osnove elektrotehnike II

3. Uvod-zgodovina-magnetike(0).doc 0.
UVOD - ZGODOVINA MAGNETIKE
Imena za naravni magnet v različnih jezikih:
Francosko: aimant (ljubeč)
Kitajsko: tzhu shih (ljubezenski kamen)
Angleško: lodestone (leading, guiding stone)
PPT PREZENTACIJA ZGODOVINE
KITAJSKA - KOMPAS. Kos magnetita z močno magnetizacijo tvori železov magnet, ki na
plavajoči podlagi vedno kaže v isto smer. Kitajci so prvi, ki so
dokumentirano spoznali magnetni učinek in ga med drugim uporabili
za izum kompasa (dinastija Quin, 221-206 pred našim štetjem). Prvi
dokumentiran zapis o kompasu izvira iz leta 1297. Ta pomemben
izum, ki omogoča ladjam navigacijo tudi daleč od kopnega, se je hitro
razširil tudi v Arabijo in v Evropo.
GRKI – MAGNETIT. Stari Grki poznajo magnet, saj izvira ime
magnet iz pokrajine Magnesia (sedaj v Turčiji), kjer so našli
primerke kamnov (magnetita) z magnetnimi lastnostmi. Že
Thales iz Mileta trdi, da ima magnet dušo. Lucretius je
predstavnik atomistov in v delu De Rerum Natura opisuje, da
magnet privlači železo tako, da odganja atome v njegovi okolici.
Magnetit (Fe3O4) je narvni mineral, ki
V resnici povzema učenje Epicuriusa (342 – 270 BC), ki je
ima od vseh naravnih magnetnih
naslednik učenja Demokrita. Po njihovem učenju naj bi bila vsa materialov najbolj izražene magnetne
snov sestavljena iz atomov, ki pa so ob smrti razpadli (ni bilo lastnosti.
življenja po smrti). Iz tistega časa izvira tudi prepričanje, da česen zmanjša moč magneta. To
prepričanje se je vleklo vse do leta 1600, še posebno so se česna izogibali morjeplovci.
GILBERT – PRVI ZNANSTVEN PRISTOP. Prve resnejše in obsežne poskuse iz
magnetike opravi W. Gilbert in jih objavi v knjigi »De Magnete« leta 1600. Znan je bil kot
osebni doktor kraljice Elizabete. Gilbert je bil trden zagovornik Kopernika, kar je bilo v
drugih bolj dogmatičnih državah življensko nevarno. Istega leta, kot je izšla njegova knjiga,
1/3

4. William Gilbert (1540 - 1603) se
smatra prvi, ki se je znanstveno lotil
raziskovanja magnetnih pojavov in
Uvod-zgodovina-magnetike(0).doc 0.
jih opisal v knjigi De Magnete.
so Giordana Bruna v Italiji zakurili na grmadi. Gilbert je
delal mnogo poskusov iz elektrike, pri čemer je uporabljal
elektroskop. Naredil je obsežen seznam materialov, ki se
bolj ali manj naelektrijo – dandanes to imenujemo
triboelektrična lestvica. Ugotovil je tudi, da je električna
sila različna od magnetne, da naelektren objekt nima polov,
kot jih ima magnet in da je mogoče električno silo
zmanjšati s kosom papirja, magnetno pa ni mogoče. (Ena
pomembnejših stvari, ki se jih lahko naučimo od Gilberta,
je spoznanje, kako je pomembno proučiti in preverjati
dejstva in ne le povzemati pisanje drugih. Še posebno, če ne temelji na znanstvenem delu. To
vodilo bi lahko bilo v veljavi še danes. Čeprav je vrsta pojavov že zelo natančno pojasnjena,
je za pravo razumevanje najboljše lastno preverjanje. Če je le mogoče, naj to velja za vse, ki
se učijo.)
Gilbert je proučeval tako naravne magnete iz magnetita (loadstone), kot tudi umetno
namagnetene materiale – železo. V popolnosti je tudi razumel inducirano magnetno polje, kjer
nenamagneten vendar (fero)magnetni material
prevzame magnetne lastnosti ob stiku.
Ugotovil je, da ne le, da kaže magnetna igla
(kompas) proti severu, pač pa tudi pod
določenim kotom na površino zemlje.
Predlagal je uporabo naprave, s katero bi
lahko določali ne le smer severa, pač pa tudi
geografsko višino iz tega kota. Gilbert je
Knjiga W. Gilberta De Magnete.
naredil model zemlje, ki ga je poimenoval
terella (majhna zemlja) v katerega je vgradil
trajni magnet. S tem modelom prikazuje delovanje kompasa na zemlji in ugotavlja, da je sama
zemlja en velik magnet. Kdor raziskuje se lahko tudi moti: Gilbert v
zadnjem delu knjige predvideva (pod vplivom Kopernikove teorije), da
je magnetno polje tisto, ki prispeva k gibanju teles v vesolju.
Po Gilbertovih dognanjih se je dve desetletji na področju raziskav
magnetike dogajalo bolj malo.
1700 – 1800. Do leta 1800 velja omeniti nekaj pomembnejših dognanj
pri razumevanju elektrike. Otto von Guericke (1672) izumi naelektritveno sfero in prvo
2/3

5. Uvod-zgodovina-magnetike(0).doc 0.
vakumsko steklenico. Sledi odkritje t.i. Leidenske flaše oziroma prvega kondenzatorja, ki
omogoča začasno hranjenje večje količine električnega naboja oziroma doseganje višjih
napetosti. Benjamin Franklin predlaga koncept le enega naboja, pozitivnega ali negativnega.
Luigi Galvani eksperimentira z živalsko elektriko, kar nadaljuje Alessandro Volta, ki je med
drugim zaslužen za izum elektroskopa in baterije. Ta omogoča bolj konstanten in trajnejši tok
kot elektrostatični generatorji. Charles Coulomb v Franciji s pomočjo magnetne igle, ki ji
visela na tanki nitki zazna šibke odklone pri bližanju drugega magneta. Coulomb je ugotovil,
da sila pada s kvadratom razdalje, kot pri električni ali gravitacijski sili. Inštrument, kot ga je
zasnoval Coulomb, je bil osnova magnetnih detektorjev za nadaljnjih 170 let. Silo odboja
uporabi Jonathan Swift v Guliverjevih potovanjih, kjer otok lebdi v prostoru zaradi »anti-
gravitacije«. Kljub vsem raziskavam, v tem času še ni bila znana povezava med elektriko in
magnetiko. Coulomb celo trdi, da te povezave ni.
OERSTED – eksperiment s tokom in kompasom . Leta 1820 profesor Hans Christian
Oersted v Kopenhagnu (Danska)
pripravlja eksperiment iz segrevanja
prevodnika in tudi iz magnetike.
Presenečeno ugotovi, da se igla
kompasa premakne vsakič, ko sklene
tokokrog. Ugotovi, da se kompas ne
usmeri v smeri električnega toka pač pa
prečno na smer toka in da magnetno
polje obkroža tok. Svoje delo objavi
Oerstedov eksperiment in kompas, na katerem je opazil premik ob toku v vodniku. Po
julija 1820 in s tem naredi pomemben
Oerstedu se imenuje tudi enota za jakost magnetnega polja. Ta enota se je uporabljala v
sistemu enot CGS (centimeter, gram, sekunda) in se dandanes več ne uporablja, korak pri razumevanju elektrike in
nadomestila jo je SI enota [A/m]. Ker pa se jo v določenih primerih še vedno zasledi (npr. magnetike. Da sta elektrika in
pri magnetnih materialih in njihovih karakteristikah), velja vedeti, da je 1 Oe = 1000/4pi
magnetika pravzaprav povezana, saj
A/m.
električni tok povzroča magnetno polje.
Kristale magnetita najdemo tudi v določenih bakterijah ter v možganih čebel, termitov in nekaterih ptic.
Ocenjuje se, da so lahko ti materiali vzrok za sposobnosti določenih živali, da se orientirajo v magnetnem polju
zemlje, kar imenujemo magnetorecepcija. Poiščite več o tem na spletu.
3/3

6. Sila na vodnik 1.
SILA NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU
Equation Chapter 1 Section 1
Vsebina poglavja: izraz za silo med dvema vzporednima tokovodnikoma, privlačna in odbojna
sila, permeabilnost vakuuma, enota za električni tok, tokovni element, gostota magnetnega
pretoka.
Andre-Marie Ampère je v Franciji takoj preveril ugotovitve Oersteda in jih tudi razdelal.
Pravilno je predvidel, da če električni tok povzroča magnetno polje in s tem odklon magnetne
igle, mora obstajati tudi sila med dvema vodnikoma s tokom. To je tudi dokazal in to silo tudi
ovrednotil. Izkazalo se je, da je sila med dvema vzporednima vodnikoma sorazmerna
produktu toka v obeh vodnikih in njune dolžine in nasprotno sorazmerna razdalji med
vodnikoma. To bi matematično zapisali kot
I1I 2l
F =k⋅ . (1.1)
r
Ampère je tudi ugotovil, da je sila privlačna, če toka tečeta v isto smer in odbojna, če toka
tečeta v nasprotno smer.
SLIKA: Vzporedno ležeča vodnika s tokom v isto smer se privlačita, s tokom v
nasprotno smer pa se odbijata.
µ0
Konstanta k je enaka , kjer je µ0 permeabilnost vakuuma in ima vrednost 4π10 −7 . Torej je
2π
enačba za silo med dvema ravnima vzporednima vodnikoma iz (1.1) enaka:
µ0 I1I 2l
F= . (1.2)
2πr
Permeabilnost vakuuma. Poglejmo, kakšno enoto mora imeti µ0 , da bo ustrezalo enačbi
A⋅A⋅m N
(1.1): N = [ µ0 ] oziroma [ µ0 ] = 2 . Kasneje bomo ugotovili, da lahko zapišemo z
m A
osnovnimi ali izpeljanimi električnimi enotami (H je enota za induktivnost):
N V ⋅s H
[ µ0 ] = = = .
A 2
A⋅m m
1/7

7. Sila na vodnik 1.
Primer: Določimo velikost sile med dvema ravnima vzporednima (neskončno dolgima)
vodnikoma s tokom 1 A na dolžini enega metra, ki sta med sabo razmaknjena za 1 m.
4π10−7 N/A 2 ⋅1A ⋅1A ⋅1m
Izračun: Ta sila je enaka F = = 2 ⋅10−7 N , kar je tudi osnova za enoto
2π ⋅1m
amper [A], ki si jo je Ampère prislužil za svoja pomembna odkritja na področju raziskovanja
električnih pojavov. To je tudi edina električna enota, ki jo potrebujemo za povezavo med
elektriko in mehaniko.
Enota za električni tok. Amper je enota za električni tok, ki pri prehodu skozi dva neskončna
ravna vodnika zanemarljivega prereza na razdalji med vodnikoma 1 m v vakuumu povzroči
silo 2 ⋅10−7 N/m .
Osnovne SI enote: Katere so torej osnovne enote po mednarodnem sistemu SI
(Systeme International – SI po konvenciji iz leta 1875)? Meter (m), kilogram (kg),
sekunda (s), Ampère (A), Kelvin (K), mol (mol) in kandela (cd). Izpeljane enote pa so
na primer newton, joule, watt, coulomb, volt, ...)
Ampère je skonstrurial več t.i. tokovnih tehtnic, s pomočjo katerih je ugotavljal sile med
tokovodniki. Da bi povečal sile med vodniki je večkrat navil vodnike okoli iste osi in tako
dobil prve primere tuljav....
Tokovni element. Enačba (1.1) za silo med vodnikoma velja le, če sta vodnika vzporedna. Za
izračun sile na (toko)vodnik poljubne oblike, je Ampère vpeljal koncept tokovnega elementa
I dl . Tokovni element imenujemo produkt toka v vodniku z vektorjem majhne (diferencialne)
razdalje v smeri vodnika.
SLIKA: Tokovni element je predstavljen kot (diferencialen) del dolžine vodnika pomnožen s
tokom v vodniku: I ⋅ d l .
Silo na tokovni element I1dl1 lahko zapišemo kot
2/7

8. Sila na vodnik 1.
µ0 I1dl1 ⋅ I 2dl2 ⋅ sin θ
dF12 = 2
, kjer je r12 vektor od tokovnega elementa 2 do tokovnega
4π r12
elementa 1 in θ kót med tem vektorjem in smerjo tokovnega elementa 2.
SLIKA: Dva tokovna elementa in sila med njima.
Magnetna sila na tokovni element izražena z gostoto magnetnega pretoka. Da bi določili
celotno silo na tokovni element 1, moramo sešteti vse prispevke tokovnih elementov na tem
mestu. Če to upoštevamo, lahko enačbo zapišemo tudi kot
dF12 = I1dl1 ⋅ B ,
kjer imenujemo B magnetno polje1 oziroma bolj natančno gostota magnetnega pretoka na
mestu tokovnega elementa I1dl1 . Pomembna je tudi smer gostote pretoka. Sila na tokovni
element je pravokotna tako na tokovni element, kot na magnetno polje. Sila je največja, ko je
polje pravokotno na tok(ovni element). To lahko zapišemo z vektorskim produktom
d F 12 = I1dl1 × B , ki jo v končni obliki lahko pišemo brez indeksov:
d F = Id l × B (1.3)
Poenostavljene enačbe:
Če na ravni vodnik deluje homogeno polje B, ki je pravokotno na vodnik, je sila nanj enaka
F = IlB , (1.4)
kar je znana enačba iz srednje šole (BIL). Če pa med smerjo vodnika in poljem ni pravi kot, je
potrebno upoštevati vektorski produkt vektorjev, od katerih en kaže v smeri toka na katerega
računamo silo drugi smer gostote magnetnega pretoka (B).. Torej bo velikost sile
1
Pogosto za (vektor) gostote magnetnega pretoka uporabljamo bolj poljuden izraz magnetno polje ali kar kratko
polje.
3/7

9. Sila na vodnik 1.
F = IlB sin(θ ) , smer sile pa bo pravokotna na ravnino, ki jo določata smer toka v vodniku
in polja, ki deluje na vodnik.
Gostota magnetnega pretoka je posledica delovanja Vektorski produkt vektorjev A in B je
C = A × B = en A ⋅ B ⋅ sin(θ ) , kjer je e n
električnega toka (tokov). Obstajajo pa tudi snovi, ki
vektor, ki kaže pravokotno na ravnino, ki
povzročajo v svoji okolici magnetno polje brez jo določata vektorja A in B . Pravilno
dodatnega tokovnega vzbujanja. To so trajni magneti, ki smer vektorja C dobimo kot smer vrtenja
tako, da zavrtimo prvi vektor (A) v
pa jih bomo podrobneje obravnavali kasneje.
najkrajši smeri proti drugemu vektorju
(B).
SLIKA: Magnetna sila na tokovni element deluje v smeri, ki je pravokotna tako na tokovni
element kot na vektor gostote pretoka. Theta je kót med dl in B .
Definicija gostote magnetnega pretoka. Iz enačbe (1.4) tudi izhaja definicija za gostoto
magnetnega pretoka, ki jo lahko zapišemo kot silo na tokovni element:
F
B= .
Il
Poišči analogijo z definicijo električne poljske jakosti: sila na enoto naboja.
Podobno kot je bil pri elektrostatiki osnovni gradnik, ki je povzročal magnetno polje naboj Q
oziroma diferencial naboja dQ, je v magnetostatiki osnovni gradnik, ki povzroča magnetno
polje tokovni element I dl .
Poglejmo si najprej nekaj primerov računanja sile po enačbi (1.3):
Primer: V ravnem bakrenem vodniku je tok 28 A. Kolikšna mora biti velikost in smer
gostote magnetnega pretoka, da bo sila na vodnik dolžine 1 m enako velika a nasprotne smeri
kot sila gravitacije? Žica ima linearno gostoto snovi 46,6 g/m.
Izračun:
4/7

10. Sila na vodnik 1.
IlB = mg
(m / l ) g
B= = 1, 6 ⋅10 −2 T.
I
Preveri še smer (tok v vodniku v tablo, smer Bja na desno)
ENOTA ZA B je Tesla (T), starejša enota je Gauss. Velja 1 T=104 Gaussa ali iz enačbe (1.2).
EKSPERIMENT: Funkcijski generator priključimo na malo tuljavico, znotraj katere damo
trajni magnet. Skupaj jih prilepimo z lepilnim trakom. Pri priključitvi izmeničnega signala
tuljavica ustvarja izmenično magnetno polje, ki s silo deluje na trajni magnet (in obratno).
Lepilni trak deluje kot opna: vibrira in povzroča zvok.
a. tuljavica iz firme Iskra Feriti
b. trajni magnet, prečno namagneten, firme RLS doo
c. RAZNO: zvočnik deluje podobno, le da se giblje tuljavica v fiksnem magnetu,
nariši
TIPIČNE VELIKOSTI POLJA. Red velikosti od 108 T do 10–14 T.
• V magnetno zaščiteni sobi 10-14 T
• V medgalaktičnem prostoru 10-10 T
• Na površini zemlje 10-4 T
• Na površini majhnega trajnega magneta 10-2 T
• V bližini velikega elektromagneta 1,5 T
• Na površini neutronske zvezde 108 T
Običajno so torej v elektromagnetiki vrednosti B-ja od militesla do 1 tesla.
Pokazali smo že dva primera izračuna sile na ravne (toko)vodnike. Kolikšna pa je sila, če
vodnik ni raven? Tedaj je potrebno vodnik razdeliti na manjše dele in določiti silo na vsak tak
del.
Primer: Določimo silo na del vodnika v obliki polkroga s polmerom R = 4 cm in s tokom 6
A, ki je v homogenem polju velikosti 0,5 T . Polje je pravokotno na vodnik.
5/7

11. Sila na vodnik 1.
Izračun: Uporabimo izraz dF = Idl × B , kjer (diferencialni) del polkroga zapišemo kot
dl = Rdϕ : dF = IRdϕ ⋅ B . Potrebno je seštevati le tisto komponento sile, ki je usmerjena v
smeri osi Z, zato velja:
π/2
dFz = F sin ϕ in Fz = 2 ∫ IRB sin ϕ dϕ = 2 IRB = 240 mN
0
SLIKA: Sila na vodnik v obliki polkroga v homogenem polju.
Primer: Kolikšna je sila na vodnik s tokom 6 A , ki je postavljen vzdolž X osi, na razdalji od
x = 0 m do x= 4 m in nanj deluje nehomogeno magnetno polje B = (2 T/m ⋅ x, 2 T, 0) . x je v
metrih.
Izračun: Ker je polje nehomogeno, je potrebno uporabiti integracijo diferenciala sile
dF = Idl × B , kjer je
T
dF = Idxex × B = Idx(1,0,0) × (2 x,2 T,0)
m
T
dF = Idxex × B = Idx 2 (0,0,1)
m
4m
T
F = I 2 (0,0,1) ∫ dx = ez 48 N
m 0
Dodatno: Kaj če je y komponenta polja enaka x komponenti?
SLIKA: Izračun sile na vodnik v nehomogenem polju.
6/7

12. Sila na vodnik 1.
POVZETEK:
µ0 I1I 2l
1. Velikost magnetne sile med dvema ravnima vodnikoma je F= .
2πr
2. Sila je privlačna, če je smer toka v vzporednih ravnih vodnikih enaka.
3. Definicija enote 1 A: sila med dvema vzporednima vodnikoma v vakuumu s tokom 1
A, ki sta oddaljena za 1 m, je 2 ⋅10-7 N/m .
4. Tokovni element Id l je definiran kot produkt toka v vodniku in diferenciala dolžine
vodnika.
5. Sila na tokovni element je d F = Id l × B , kjer B imenujemo gostota magnetnega
pretoka. Smer sile je pravokotna tako na vektor dl kot na vektor B .
6. Podobno, kot lahko električno poljsko jakost definiramo kot (električno) silo na naboj
( E = Fe / Q ), lahko gostoto magnetnega pretoka definiramo kot (magnetno) silo na
Fm
tokovni element B = .
Il
1. Poiščite na spletu informacije o osnovnih SI enotah.
2. Poiščite informacije o tokovnih tehtnicah, ki omogočajo »tehtanje« magnetne sile. (ključne
besede v ang.: current balance, history)
3. Galvanometer je osnovna merilna naprava, ki uporablja koncept sile na tokovodnik v
magnetnem polju (slika desno). Poiščite več informacij na spletu.
Primeri nalog:
izpit, 16. aprila 2002
izpit, 28. junij 2006
kolokvij OE II 23.04 2002
7/7

13. Biot-Savartov zakon 2.
2. BIOT-SAVARTOV ZAKON
Equation Section 2
Vsebina poglavja: zapis Biot-Savartovega zakona, izračuni magnetnega polja v okolici
osnovnih oblik tokovodnikov: premice, daljice, zanke in solenoida.
Polje, ki ga v okolici povzroča neskončen raven vodnik smo že zapisali, ko smo
µ0 I
obravnavali silo med dvema ravnima vodnikoma. To polje je B = . To enačbo in
2πR
druge, za poljubno obliko vodnika s tokom lahko izračunamo z uporabo Biot-
Savartovega zakona.
Polje, ki ga tokovni element Idl povzroča v točki T je:
µ0 Idl ⋅ sin(θ )
dB = ⋅ (2.1)
4π r2
kjer je r razdalja od tokovnega elementa do točke T, θ pa je kót med vektorjema dl in
r.
Ta enačba dá le velikost polja, ne pa tudi smeri. Smer polja je pravokotna na ravnino,
ki jo določata vektorja dl in r , kar lahko zapišemo z vektorskim produktom
µ0 Idl × r µ0 Idl × e r
dB = 3
= (2.2)
4π r 4π r2
SLIKA: Tokovni element oddaljen od točke T za razdaljo r povzroča v točki T gostoto
magnetnega pretoka, določeno z Biot-Savartovim zakonom.
Da bi določili polje v točki T za celotni tokovodnik, je potrebno sešteti (integrirati)
prispevke vseh tokovnih elementov:
µ0 Idl × r
B=∫ . BIOT-SAVARTOV ZAKON (2.3)
L
4π r3
1/10

14. Biot-Savartov zakon 2.
MAGNETNO POLJE OSNOVNIH STRUKTUR
(TOKOVODNIKOV), IZRAČUNANO Z UPORABO BIOT-SAVARTOVEGA
ZAKONA
1. TOKOVNA PREMICA
Raven, neskončen, tanek tokovodnik (tokovna premica) postavimo vzdolž Z osi s
tokom v smeri Z osi. Pri z = 0 postavimo na oddaljenosti R od izhodišča (od vodnika)
točko T, v kateri računamo polje. Na poljubni točki na vodniku na Z osi označimo
tokovni element in narišemo vektor r od tokovnega elementa do točkeT.. Zapišemo
µ0 Idl ⋅ sin(θ )
Biot-Savartov zakon v obliki dB = ⋅ , smer polja pa ugotovimo iz
4π r2
vektorskega produkta tokovnega elemeta in smeri vektorja r in kaže v smeri kóta fi.
R
Velja dl = dz , sin θ = , kjer je r = z 2 + R 2 . Vstavimo izraze v B-S zakon in dobimo
r
µ0 Idz ⋅ R µ0 IRdz
dB = = . Sedaj je potrebno le še sešteti vplive vseh tokovnih
4π r 3
4π ( z + R 2 )3/ 2
2
elementov, ki se nahajajo vzdolž Z osi, kar naredimo z integracijo diferenciala polja:
+∞
µ0 IRdz µ0 IR +∞ dz
B= ∫ dB = ∫ 4π = ∫ .
(z )
2 3/ 2
(z + R2 )
3/ 2
po vseh −∞
2
+R 4π −∞
2
tokovnih
elementih
Rešitev tega integrala poiščemo v tablicah integralov. Dobimo
+∞
µ0 IR z µ0 I µ0 I
B= = (1 − (−1) ) = .
4π R 2
z +R
2 2
−∞
4πR 2πR
µ0 I
Končni rezultat je torej B = eϕ . (2.4)
2πR
SLIKA: Tokovna premica postavljena vzdolž Z osi.
2/10

15. Biot-Savartov zakon 2.
SLIKA: Polje tokovnega elementa kaže v smeri vektorskega produkta med
vektorjem tokovnega elementa in vektorjem, ki kaže od tokovnega elementa do
točke T. Ugotovimo, da je smer polja v okolici tokovne premice v smeri kóta fi
oziroma v smeri tangente na krožnico. Preprost način določanja smeri toka je
tudi s pomočjo prstov desne roke, pri čemer palec desne roke usmerimo v smer
toka, prsti, ki ovijajo tokovodnik pa ponazarjajo smer magnetnega polja.
function poljepremice
% polje tokovne premice
mi0=4*pi*1e-7
I=1
r=0:0.1:10
B=mi0*I./(2*pi*r);
plot(r,B)
xlabel('r / m')
ylabel('B / T')
SLIKA: Program v Matlabu za izračun polja v okolici tokovne premice po
enačbi (2.4).
2. TOKOVNA DALJICA
Tokovna daljica je en od osnovnih elementov, s pomočjo katerih lahko sestavimo bolj
kompleksne tokovodnike. Izpeljava sledi izpeljavi polja v okolici tokovne premice, le
meje integracije je potrebno spremeniti od nekega –z1 do +z2. Dobimo
3/10

16. Biot-Savartov zakon 2.
+ z2
µ0 I  
+ z2
µ0 IR dz µ0 IR z z2 − z1
B= ∫ in B = =  − .
(z + R2 ) 4πR  z2 + R 
3/ 2
4π 2 4π R 2 z 2 + R 2 2 2
z12 + R 2
− z1 − z1  
z1
Ta rezultat lahko napišemo tudi nekoliko bolj preprosto, saj je = cos θ1 in
z12 + R 2
z2
= − cos θ 2 . Sledi:
z2 + R 2
2
µ0 I
B = eϕ
4π R
( cos(θ1 ) − cos (θ 2 ) ) . (2.5)
Preverimo še, če dobimo enak rezultat za tokovno premico, če upoštevati θ1 = 0 in
θ2 = π .
SLIKA: Tokovna daljica (določitev razdalje R in kótov).
Primer: Narišimo polje v oddaljenosti od dveh premih vodnikov s programom
MATLAB. Iz slike določite smer, pozicijo in velikost tokov
function polje2premic
% polje dveh premic
a=4;
mi0=4*pi*1e-7;
I=1;
x=-2:0.1:10;
B1=mi0*I./(2*pi*(x-2));
B2=mi0*I./(2*pi*(x-2-a));
B=B1-B2
plot(x,B,[-2 10],[0 0])
xlabel('x / m')
ylabel('B / T')
4/10

17. Biot-Savartov zakon 2.
3. TOKOVNA ZANKA (OBROČ)
Tokovna zanka navidezno deluje kot nepomemben element. V resnici pa je vsaj tako
pomemben kot tokovna premica. Iz niza tokovnih obročev lahko sestavimo tuljavo
(solenoid ali toroid), ki je v magnetiki osnoven element. V kratkem bomo vpeljali tudi
koncept magnetnega dipola oziroma magnetnega dipolnega momenta. Ta koncept
nam bo med drugim pomagal razložiti polje trajnih magnetov. Gradnik magnetnega
dipolnega momenta je tokovna zanka.
Polje v splošni točki v okolici tokovne zanke ni enostavno izračunati, dokaj hitro pa
lahko izpeljemo tudi pomembne izraze za polje v središču in osi tokovne zanke.
Polje v središču tokovne zanke.
Zanko polmera R postavimo tako, da ima center v središču valjnega koordinatnega
sistema. Označimo tokovni element in razdaljo od tokovnega elementa do središča.
π
Velja d l = Rd ϕ , r = R in sin θ = . Vstavimo v B-S zakon in dobimo
2
µ0 Idl sin(θ ) µ0 IRdϕ µ0 Idϕ
dB = 2
= 2
= . Sedaj le še seštejemo (integriramo)
4π r 4π R 4π R
2π
µ0 Idϕ µ0 I 2π µ0 I
prispevke vseh tokovnih elementov in dobimo B = ∫ 4π
0
R
=
4π R
=
2R
.
V primeru, da je smer toka v smeri kóta fi, je polje usmerjeno v smeri +Z osi in je
µ0 I
B = ez . (2.6)
2R
SLIKA: Tokovna zanka postavljena v središče valjnega koordinatnega sistema.
5/10

18. Biot-Savartov zakon 2.
Polje dela tokovne zanke.
Hitro lahko ugotovimo, da lahko določimo polje dela tokovne zanke tako, da
integriramo prispevke le med določenima kótoma, recimo ϕ1 in ϕ2 . Potem je enačba
ϕ2
µ0 Idϕ µ0 I
oblike B = ∫ = (ϕ2 − ϕ1 ) . Če izrazimo razliko kótov β = ϕ2 − ϕ1 velja
ϕ 4π
1
R 4πR
µ0 I
B= β (2.7)
4πR
SLIKA: Polje dela tokovne zanke, omejen s kótom beta.
Polje v osi tokovne zanke
Tudi polje v osi tokovne zanke je dokaj enostavno določiti. Če označimo z R polmer
obroča in se točka T nahaja na razdalji z od središča zanke, velja
π µ Idl sin(θ ) µ0 IRdϕ
d l = Rd ϕ , r = z 2 + R 2 in sin θ = . Sledi dB = 0 = . Tega
2 4π r2 4π z 2 + R 2
izraza še ne smemo integrirati po tokovnih elementih, preprosto zato, ker vektor polja
ne kaže v isto smer za vse tokovne elemente. Ugotovimo lahko, da se bo zaradi
simetrije ohranila le tista komponenta polja, ki je v smeri osi Z. Zato pišemo
µ0 IRdϕ R µ0 IR 2 dϕ
dBz = dB ⋅ sin α = ⋅ = .
4π z 2 + R 2 z 2 + R2 4π ( z 2 + R 2 )3/ 2
Integracija je preprosta. Dobimo
2π
µ0 IR 2 dϕ µ0 IR 2 2π µ0 IR 2
Bz = ∫ 4π = = . Če upoštevamo še smer
(z + R2 ) 4π ( z 2 + R 2 )3/ 2 2 ( z 2 + R2 )
2 3/ 2 3/ 2
0
µ0 IR 2
polja, dobimo B = e z . (2.8)
2 ( z 2 + R2 )
3/ 2
6/10

19. Biot-Savartov zakon 2.
SLIKA: Polje v osi tokovne zanke.
unction poljevosizanke(R);
set(0,'DefaultLineLineWidth',1.5)
% DEFINICIJA KONSTANT
mi0=4*pi*1e-7;
I=1; % TOK
% Z os
zmin=0;zmax=3*R; dz=zmax/200;
z=zmin:dz:zmax;
B=0.5*mi0*I*R^2./(R^2+z.^2).^(1.5);
plot(z,B)
SLIKA: Primer uporabe programa Matlab za izračun
polja v osi zanke. Funkcija je uporabljena 2x, z radijem 1 m in 0,5 m. Vmes smo uporabili ukaz
hold on (poljevosizanke(1); hold on; poljevosizanke(0.5))
Polje izven osi tokovne zanke
Polje izven osi tokovne zanke ni enostavno izpeljati in tudi rezultat ni preprost. Je pa
pomemben, zato ga vseeno zapišimo - vsaj v poenostavljeni obliki, ki velja za večje
razdalje od zanke (recimo za razdalje R dosti večje od polmera zanke a) in je v
sferičnih koordinatah:
µ0 Ia 2
B = er ⋅ Br + eθ ⋅ Bθ =
4 R3
(e r )
⋅ 2 cos(θ ) + eθ ⋅ sin(θ ) . (2.9)
Dobimo tako komponento v smeri radija kot kóta. Pomembno je, da polje pada z
razdaljo s tretjo potenco, tako kot električno polje v oddaljenosti od električnega
dipola.
7/10

20. Biot-Savartov zakon 2.
SLIKA: Skica polja v okolici tokovne zanke.
function poljedvehzank;
I=1; R=2; d=1;
set(0,'DefaultLineLineWidth',1.5)
% DEFINICIJA KONSTANT
mi0=4*pi*1e-7;
xmin=-2*d;xmax=2*d; dx=xmax/200;
x=xmin:dx:xmax;
B1=0.5*mi0*I*R^2./(R^2+x.^2).^(1.5);
B2=0.5*mi0*I*R^2./(R^2+(x-d).^2).^(1.5);
B=B1+B2
plot(x,B)
Slika: Primer izračuna polja para v osi vzporednih tokovnih zank oddaljenih za 1 m.
Polmeri zank so 2m, 1 m in 0,5 m. Tok je 1 A. Dokaj homogeno polje se utvari v sredini
tuljave, ki ima tako polmer kot razdaljo med zankama enako 1 m. Takima zankama
rečemo Helmholtzov par in se pogosto (v obliki dveh navitij) uporablja v praksi.
4. POLJE V OSI RAVNE TULJAVE - SOLENOIDA
Solenoid predstavimo kot N zank s tokom I na doložini l. Da bi izračunali polje v
poljubni točki na osi, postavimo točko T na razdaljo z od središča k.s.. Nato zapišemo
polje, ki ga v tej točki povzroča le ena zanka, ki se nahaja na razdalji z' od izhodišča.
µ0 IR 2
Uporabimo že izpeljan izraz za polje v osi tokovne zanke Bz = , ki jo
2 ( z 2 + R2 )
3/ 2
µ0 dIR 2
moramo ustrezno preoblikovati v dBz = , kjer dI določimo kot
( )
3/ 2
2 ( z − z ') + R
2 2
NI
dI = dz ' . Če omejimo tuljavo med z ' = z1 in z ' = z2 , pri čemer le l = z2 − z1 , dobimo
l
8/10

21. Biot-Savartov zakon 2.
polje v osi tuljave na razdalji z centra z rešitvijo integrala
µ0 NIR 2
z2
Bz = ∫ dz ' .
( ( z − z ') )
3/ 2
+R
2 2
z1 2l
Rešitev je
z2
   
µ NIR  2
z '− z  = µ0 NI  z2 − z ( z1 − z ) .
Bz = 0 −
2l  R 2 ( z − z ') + R 2 − z1 2l 
2 
( z − z2 )
2
+ R2 2 
( z − z1 ) + R 
2
 
Ta manj pregleden zapis lahko poenostavimo z ugotovitvijo, da lahko uporabimo kóta
z2 − z z − z1
cos β 2 = in cos β1 = .
( z − z2 ) + R 2 ( z − z1 ) + R 2
2 2
µ0 NI
Dobimo B = e z ( cos( β1 ) + cos( β 2 ) ) . (2.10)
2l
SLIKA: Polje v osi ravne tuljave - solenoida.
Poenostavljeni izrazi za dolge tuljave:
Izraz za polje v sredini dolge tuljave dobimo, če upoštevamo β1 = β 2 = 0 :
µ0 NI
B = ez . (2.11)
l
Polje na robu dolge tuljave pa dobimo z upoštevanjem β1 = π/2 in β 2 = 0 :
µ0 NI
B = ez . (2.12)
2l
SLIKA: Polje v osi solenoida s tokom NI
= 10 A, polmera ovojev 1 m in dolžine 5
m in 10 m. Začetek tuljave je pri z = 0 m.
9/10

22. Biot-Savartov zakon 2.
POVZETEK:
1. Iz enačbe za silo med dvema tokovnima elementoma ugotovimo, da nastopa
µ0 Idl sin(θ )
člen , ki ga poimenujemo gostota magnetnega pretoka. Popolni
4π r2
izraz za gostoto magnetnega pretoka predstavlja Biot-Savartovega zakon in
vsebuje vektorski produkt tokovnega elementa in vektorja r in integracijo po
µ0 I ⋅ dl × r
tokovnih elementih: B = ∫ ⋅ .
L
4π r2
µ0 I
2. Polje v okolici tokovne premice je B = eϕ . Polje v okolici tokovne
2πR
premice je rotacijsko, smer polja določimo iz vektorskega produkta dl × r ali z
ovijanjem prstov desne roke, če tok kaže v smeri palca.
µ0 I
3. Polje tokovne daljice je B = eϕ
4πR
( cos(θ1 ) − cos (θ 2 ) ) . (Razloži R in kót
theta. Skica.)
µ0 I
4. Polje v središču tokovne zanke je B = e z . (Kaj je R in kam kaže polje
2R
glede na smer toka v zanki in izbiro koordinatnega sistema?)
µ0 IR 2
5. Polje v osi tokovne zanke je B = e z . (Kje je največje? V katero
2 ( z 2 + R2 )
3/ 2
smer kaže? Skiciraj potek. )
µ0 NI
6. Polje v osi ravne tuljave – solenoida je B = e z ( cos( β1 ) + cos( β 2 ) ) . (Kaj
2l
je l, kako določimo kóte, poenostavitev enačbe v primeru zelo dolgega
solenoida.)
Primeri izpitnih in kolokvijskih nalog:
izpit, 17. septembra 2002
izpit, 16. aprila 2002
izpit, 4. 12. 2001
izpit, 20. september 2006
izpit, 31. avgust 2006
izpit, 19. september 2005
izpit, 3. 12. 2001
izpit, 30. avgust 2005
Izpit 26. 6. 2002
Izpit 4. 9. 2003
1. kolokvij , 17.4.2002
1. kolokvij, 9. maj 2005
izpit, 20. september 2004
Izpit, 17. 01. 2002
Prvi kolokvij, 9. maj 2002
10/10

23. Magnetno polje zemlje
Magnetno polje zemlje je posledica tokov zunanje
plasti jedra zemlje. Pogosto ta efekt imenujemo
dinamo efekt. Poenostavljeno ga lahko predstavimo
kot polje magnetno polje tokovne zanke oziroma
trajnega magneta. Velikost polja se nekoliko
spreminja po površini zemlje in se giblje med 30 µT
do 60 µT. To polje torej ni enako veliko povsod po
površini zemlje, poleg tega pa ima tudi lokalne
spremembe, predvsem na področjih, kjer je v zemlji
mnogo magnetita (naravnega feromagnetnega
materiala – železovega oksida). Te razlike je
potrebno upoštevati pri navigaciji s pomočjo
kompasa, zato so korekcijske vrednosti dandanes vpisane v navigacijskih kartah.
Geografski severni pol ni na enakem mestu kot geomagnetni.
Poleg tega, da je geomagnetni nekoliko zamaknjen v osi (cca
110), je tudi obrnjen: na geografskem severnem polu je
geomagnetni južni pol.
Znano je, da se ta s časom spreminja, kar je potrebno pri
natančni navigaciji upoštevati. Kompas je en pomembnejših
izumo človeštva, saj je bistveno olajšal potovanje po odprtem
morju.
Spreminjanje lokacije
magnetnega severnega pola.
Vir: Zanimivo je tudi, da se magnetno polje zemlje zasuka (obrne)
http://science.nasa.gov/head na vsakih deset tisoč do milijon let, v povprečju na približno
lines/y2003/29dec_magnetic 250 000 let.
field.htm
Levo: Model prvega kompasa iz Kitajske; žlica iz naravnega magnetnega
materiala na bakreni skledici. Na desni namagnetena igla na vodi – primer
navigacijskega kompasa. Vir:
http://www.computersmiths.com/chineseinvention/compass.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Compass

24. Mogoče je zaznati tudi dnevne fluktuacije (spremembe) magnetnega polja. Te so posledica
elektirčnih tokov visoko nad površino zemelje – v ionisferi. V ionosferi nastaja namreč
mnogo nabojev kot posledica trkanja visokoenergijskega žarčenja (UV-žarki in X-žarki). Iz
nevtralnih delcev tako nastanejo pozitivni in negativni delci, ki povzročajo električni tok, ta
pa magnetno polje. Ta proces je najmočnejši med poldnevom, ko je žarčenje sonca na zemljo
najmočnejše, kar se lepo zazna z občutljivimi inštrumenti.
Dnevno spreminjanje magnetnega polja v observatoriju Hartland.:Spodaj prikaz
sprememb s spremembo lege igle kompasa (v pretiranih vrednostih)
Združeno magnetno polje zemlje in sonca
Tudi sonce ima svoje magnetno
polje, katero močno vpliva na
spremembe magnetnega polja
na zemlji. Sonce povzroča t.i.
solarni (sončni) veter, ki je v
osnovi plazma nabitih delcev, ki
se giblje stran od sonca s
povprečno hitrostjo 400 km/h.
Vsled tega se magnetno polje
zemlje spremeni in ga
imenujemo magnetosfera. Med
magnetosfera in področjem
Slika prikazuje popularizirano obliko spremenjenega sončnega vetra je ozko
magnetnega polja zemlje (na desni) zaradi vpliva področje, ki ga imenujemo
sončnega vetra. magnetopauza. Več na:
http://www.aurorawatch.york.ac.uk/popmagnet/ http://www.kvarkadabra.net/fizi
ka/teksti/severni_sij.html
Naelektreni delci se odklanjajo v magnetnem polju. Leta 1950 so raziskovalci odkrili, da
zemljo obdajata dva pasova z izrazito povečano koncentracijo nabitih delcev. Poimenovali so
jo Van Allenovi radiacijski pasovi. Ti so v osnovi posledica solarnega vetra. Nabiti delci, ki

25. vstopijo v ta pasov, začnejo krožiti se se
usmerjati v smeri polov. Tam dosežejo
ozračje zemlje in s trki z delci ozračja
(kisikove in dušikove molekule)
povzročajo spektakularne svetlobne
efekte, ki jih imenujemo severni ali južni
sij : aurora borealis in aurora australis.
(Lepe slike so na spletni strani
http://www.geo.mtu.edu/weather/aurora/)
.
Ti efekti so posebno izraziti v obdobju
aktivnejšega delovanja sonca, ki ima
cikle aktivnejšega delovanja na 11 let.
Posledice tega aktivnejšega delovanja
Slika prikazuje ujetje in vijuganje niso vidne le v svetlobnih sijih, pač pa
naelektrenega delca v Van Alenovem pasu. tudi v kvarnih efektih na omrežnih
transformatorjih (zaradi povečanih
induciranih tokov
lahko pride do
okvar), povečanja
korozije na
plinovodih,
nevarnemu
izpostavljanju
sevanja
astronavtov,
segrevanju zemlje
in ekspanziji
ozračja, zaradi
česar lahko na
zemljo padejo
sateliti, povečani
Letna spremljanja magnetnih neviht (stolpci) in aktivnost sonca obremenitvi
(rdeča krivulja). Črtkane črte označujejo minimalno, pikčaste pa sevanja na
maksimalno solarno delovanje. Vir: satelitih.
http://www.geomag.bgs.ac.uk/earthmag.html

26. Amperov zakon 3.
3. AMPEROV ZAKON
Equatio n Section 3
Vsebina poglavja: Integral polja po zaključeni zanki je sorazmeren toku, ki ga zanka
objame. Izračuni polja s pomočjo Amperovega zakona za: tokovno premico, solenoid,
toroid, polje znotraj vodnika, tokovno oblogo.
Amperov zakon zapišemo na sledeč način:
∫ B ⋅ dl = µ I
L
0 (3.1)
oziroma z besedami: integral gostote magnetnega pretoka po ZAKLJUČENI POTI (zanki) je
sorazmeren toku, ki ga oklepa zanka. V skladu z zapisanim skalarnim produktom je potrebno
integrirati le tisto komponento polja, ki je v smeri poti. Včasih ta zakon imenujemo tudi zakon
vrtinčnosti polja, saj je vrednost takega integrala različna od nič le, če je polje vrtinčno.
(Koliko je bil v elektrostatiki ∫ E ⋅ dl ? Kaj to pomeni v primerjavi z Amperovim zakonom?)
L
SLIKA: Zanka v magnetnem polju. Integral komponente magnetnega polja v smeri zanke je
sorazmeren toku, ki ga zanka oklepa.
Amperov zakon je en osnovnih zakonov elektromagnetike. V nekoliko preoblikovani (bolj
splošni obliki) je znan tudi kot ena od štirih Maxwellovih enačb. Te v celoti popisujejo
elektromagnetno polje.
Primer: Poglejmo, če zakon velja premi tokovodnik, ki ga obkrožimo z zanko v obliki
krožnice. (SKICA) Polje po poti krožnice je konstantno in kaže v isti smeri kot dl , torej velja
µ0 I
2π
∫ B ⋅ dl = B ∫ dl =B ⋅ 2π R = µ I . Iz enačbe sledi B = 2πR .
L 0
0
Dobimo enak rezultat za polje v okolici tokovne premice kot z uporabo Biot-Savartovega
zakona.
1/8

27. Amperov zakon 3.
SLIKA: Integracija polja po krožnici v sredini katere je premi tokovodnik.
Kaj pa, če vzamemo drugačno obliko zanke? Dobimo zopet enak rezultat, saj če B ni v smeri
dl-a, B vedno kaže v smeri kota (SKICA) in se manjša z razdaljo od premice, dl pa lahko
razstavimo na komponento v smeri Bja (kota) in pravokotno. Dobimo
( )
B ⋅ dl = eϕ B(r ) ⋅ dl eϕ cos(θ ) + e r sin(θ ) =
= B(r ) ⋅ dl ⋅ cos(θ ) = B(r ) ⋅ r ⋅ dϕ
Z integracijo pridemo do enakega rezultata kot zgoraj. Kar pomeni, da je neodvisno od oblike
zanke po kateri izvajamo integacijo rezultat integracije Bja v smeri zanke vedno enak:
Oklenjen tok pomnožen s permeabilnostjo vakuuma.
SLIKA: Integracija polja po krožnici znotraj katere je premi tokovodnik.
Primer : Določite ∫ B ⋅ dl
L
za določene konfiguracije vodnikov in zank.
SLIKA: Zanka in vodniki.
Amperov zakon, kot smo ga zapisali, ne velja popolnoma splošno, saj obstajajo materiali
(magneti), kjer nimamo vzbujalnih tokov, pa vendar je B različen od nič in je vrtinčen. Zakon,
kot smo ga spoznali danes bomo v nadaljevanju nekoliko dopolnili, da bo veljala tudi za take
primere.
2/8

28. Amperov zakon 3.
Za analitičen izračun polja v poljubnih strukturah je uporaba Amperovega zakona pogosto
neprimerna, saj iščemo neznano veličino znotraj integrala. Uporaba tega zakona za izračun
polja je posebno primerna le tedaj, ko imamo neko simetrično porazdelitev toka: tipični
primeri so:
• Zunanjost in notranjost ravnega vodnika
• Dolga ravna tuljava – solenoid
• Toriod pravokotnega preseka – eksaktno (auditorne vaje)
• Toroid okroglega preseka – približno
• Tokovna obloga
Polje polnega vodnika.
Zamislimo si pot integracije po krožnici polmera r znotraj vodnika polmera R ( r < R ). Ker so
vse točke na krožnici enako oddaljene od središča lahko predpostavimo, da je polje v vseh
točkah na krožnici enako veliko in torej odvisno le od polmera krožnice: B = eϕ B (r ) . Ker gre
za integracijo po krožnici je dl = eϕ rdϕ . Skalarni produkt teh dveh vektorjev je
2π
B ⋅ d l = eϕ B (r ) ⋅ eϕ rdϕ = B (r )rdϕ , integracija pa dá ∫
L
B ⋅ dl = ∫ B(r )rdϕ = B(r )2πr .
0
Desna stran enačbe je enaka permeabilnosti pomnoženi z objetim tokom
µ0 I
µ0 I objeti = µ0 JA(r ) = πr 2 .
πR 2
SLIKA: Polni vodnik: skica za izračun polja, b) potek polja znotraj in zunaj zanke.
µ0 I µ0 I
Združimo levo in desno stran enačbe B 2πr = πr 2 in dobimo B = eϕ r.
πR 2
2πR 2
3/8

29. Amperov zakon 3.
Polje narašča linearno z oddaljevanjem od središča vodnika. Izven vodnika upada kot
µ0 I
B= . Pomembna razlika med elektrostatičnim poljem in magnetostatičnim poljem je ta, da
2πr
pri elektrostatiki električnega polja znotraj prevodnika ni, magnetno polje v tokovodniku pa
je.
Polje dolge tuljave - solenoida.
Za del razsežnega (neskončnega) solenoida predpostavimo, da je polje znotraj homogeno in
vzporedno z dolžino tuljave, v zunanjosti pa ga ni. Zamislimo si pravokotno zanko, ki seka
del ovojev na dolžini l. Če zapišemo Amperov zakon in ga razčlenimo po štirih odsekih
zanke, ugotovimo, da je vrednost integrala različna od nič le na odseku, kjer je polje
vzporedno s smerjozanke. Ostali prispevki so enaki nič, saj je v zunanjosti tuljave polje enako
nič, na dveh delih poti pa je polje pravokotno na smer integracije. Na dolžini l z zanko
zaobjamemo N zank in torej NI toka.. Dobimo:
Bl + 0 + 0 + 0 = µ0 NI .
µ0 NI
Rezultat za polje solenoida je B = . Ta rezultat je skladen s tistim, ki smo ga dobili z
l
uporabo B-S zakona in poenostavili za primer dolge tuljave.
SLIKA: Solenoid: zanka in oznake.
Polje toroida.
Toroid je tuljava, ki je vase zavita. Zamislimo si zanko po
sredini toroida po krožnici polmera r. Z enakim razmislekom
kot pri solenoidu lahko zapišemo B 2πr = µ0 NI in
µ0 NI
B= (3.2)(3.3)
2πr
4/8

30. Amperov zakon 3.
SLIKA: Toroid.
Polje tokovne obloge.
Določimo gostoto magnetnega pretoka tokovne obloge. Tokovna obloga je tok vzdolž tankega
I
vodnika velike površine na enoto prečne dolžine: K = . Enota je A/m.
l
SLIKA: Razlaga tokovne obloge.
Polje je usmerjeno vzporedno z ravnino vendar prečno na smer toka, kar lahko ugotovimo, če
tokovno oblogo razdelimo na vrsto tokovnih premic. Poleg tega se smer polja zamenja na
drugi strani tokovne obloge.
Zamislimo si pravokotno zanko, ki seka tokovno oblogo na dolžini l. Rezultat integracije
polja je različen od nič le na odsekih, ki so vzporedni z ravnino.
µ0 K
Zapišemo: B ⋅ l + 0 + B ⋅ l + 0 = µ0 K ⋅ l . Rezultat je B = . (3.4)
2
Smer polje je prečna na smer toka, določimo jo tako, kot da bi imeli opravka s tokovno
premico nad točko. Če prevodna površina leži na XY ravnini (z=0) in je tok (tokovna obloga)
v smeri osi Y, bo za
µ0 K
z > 0 : B = −e x
2
µ0 K
z < 0 : B = +e x
2
SLIKA: Polje v okolici tokovne obloge je konstantno.
5/8

31. Amperov zakon 3.
APLIKACIJA: TOKOVNE KLEŠČE
SLIKA: Inštrumenti za merjenje toka uporabljajo princip Ameprovega zakona za
merjenje toka s pomočjo merjenja magnetnega polja. Levo: Nekoliko bolj »napreden”
inštrument s tokovnimi kleščami uporablja za merjenje Hallov element (Fluke 345) .
Desno: Hallov element integriran v feritni obroček za merjenje toka.
(http://www.ayainstruments.com/applications3.html, http://www.kew-
ltd.co.jp/en/support/mame_02.html, http://en.wikipedia.org/wiki/Hall_effect )
6/8

32. Amperov zakon 3.
POVZETEK:
1) Integral gostote magnetnega pretoka v smeri poljubno izbrane zaključene poti (zanke)
je sorazmeren toku, ki ga zanka oklepa ali z enačbo: ∫ B ⋅ dl = µ I .
L
0 Ta zapis
imenujemo Amperov zakon.
2) Predznak zaobjetega toka je odvisen od smeri integracije v zanki in smeri toka v
vodniku, ki ga zanka obkroža. Predznak je pozitiven, če predpostavimo, da smer zanke
predstavlja smer toka v zanki in je polje te zanke na mestu vodnika s tokom enaka kot
smer toka v vodniku. (SKICA)
3) S pomočjo Amperovega zakona smo določili približne izraze za polje v sredini
µ0 NI
solenoida in toroida. Rezultat je B = , kjer je l dolžina tuljave, oziroma dolžina
l
srednje poti v toroidu.
4) S pomočjo Amperovega zakona smo zapisali polje tokovne obloge, kjer tok opišemo s
µ0 K
površinsko gostoto toka K [A/m]. Dobimo B = . Polje je prečno na smer toka,
2
smer določimo enako kot smer Bja okoli vodnika.
5) V elektrostatiki smo imeli ∫ E ⋅ dl = 0
L
in smo rekli, da je tako polje potencialno.
Posledica tega namreč je, da lahko E zapišemo kot gradient potenciala. Kot vidimo, je
magnetno polje drugačno, lahko rečemo daje polje rotacijsko ali vrtinčno.
6) Kasneje bomo obravnavali še razširjeno obliko Amperovega zakona, ki predstavlja
eno od Maxwellovih enačb. Za osnovo ima zapisano obliko, ki pa je spremenjena v
toliko, da upošteva tudi toke zaradi magnetizacije snovi ter toke časovno
spreminjajočega se električnega polja.
7/8

33. Amperov zakon 3.
SLIKA: Na desni je primer prikaza polja v okolici dveh zank (Helmholtzov par), kjer je
prikazano le polje za polovico zanke. Celotno polje bi dobili z rotacijo okoli leve
stranice. Opazimo lahko precejšnjo homogenost polja v osi tuljav. Na levi je primer
merjenja polja v sredini Helmholtzovega para.
Andre Marie Ampere na spletu: http://chem.ch.huji.ac.il/history/ampere.htm
Primeri izpitnih in kolokvijskih nalog:
1. kolokvij , 17.4.2002
1. kolokvij, 3. maj 2004
izpit, 20. junij 2001
Prvi kolokvij OE II 23.04 2002
8/8

34. VIZUALIZACIJA MAGNETNEGA POLJA
Za dobro predstavo o porazdelitvi magnetnega polja v okolici virov (tokovodnikov ali
trajnih magnetov) je zelo pomemben primeren način vizualizacije polja. Poslužimo se
lahko vrste postopkov:
EKSPERIMENTALNO določanje polja
1) Natresemo železne opilke, na katere deluje sila v magnetnem polju. Orientirajo se
tako, da nakazujejo smer polja.
2) Uporabimo ploščo z malimi magnetki, ki se usmerijo v smer polja.
3) Uporabimo kompas ali več kompasov.
4) Skeniranje z merilnikom magnetnega polja (Hallov sensor)
SLIKA: Levo: Feromagnetni opilki se v bližini trajnega magneta usmerijo v smeri
gostote magnetnega pretoka. Desno: Trajni magnetki se kot mali kompasi usmerijo
v smer magnetnega polja.
SLIKA: Levo: Tangencialni galvanometer s kompasom v sredini. Vir:
http://chem.ch.huji.ac.il/instruments/test/galvanometers.htm. Desno: Merjenje
polja s Hallovo sondo med Helmholtzovim parom tuljav.

35. ANALITIČNI IZRAČUNI
Vzemimo primer izračuna polja v osi solenoida – ravne tuljave polmera R, z N ovoji in
tokom I. Enačba za izračun polja je:
 
µ0 NI  z2 − z ( z1 − z )

Bz = −
2l  ( z − z )2 + R 2 2 
( z − z1 ) + R 
2
 2
mi0=4*pi*1e-7
NI=10
z1=-5e-2;
z2=5e-2
L=z2-z1;
for R=0.5e-2:0.5e-2:5e-2
z=2*z1:L/200:2*z2
B=mi0*NI/(2*L)*((z2-z)./sqrt(R^2+(z2-z).^2)+(z-z1)./sqrt(R^2+(z1-z).^2));
plot(z*100,B*1e6)
hold on
end
140
120
100
80
B / uT
60
40
20
0
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
z / cm
SLIKA: Polje v osi tuljave za dolžino tuljave 10 cm in spreminjajoče polmere od 0,5
cm do 5 cm.

36. NUMERIČNI IZRAČUNI
1) Z integracijo prispevkov tokovnih elementov
Primer numeričnega izračuna polja izven osi tokovne zanke.
Tokovno zanko sestavimo iz končnega števila (N) tokovnih elementov in zapišemo
enačbo, ki omogoča izračun polja za tokovni element v poljubni točki v smeri radija. S
seštevanjem vrednosti polj posameznih tokovnih elementov dobimo celotno vrednost
polja v določeni točki. To ponovimo za vse točke v smeri radija in izrišemo polje.
function [B]=polje(R, rc) dfi=2*pi/N;
% funkcija izracuna polje krozne zanke polmera rc pri dBB=0;
radiju R for i=1:N
if (R==rc) fi=fi+dfi;
error('Pri polmeru zanke B ni definiran') r2=rc^2+R.^2-2*rc.*R*cos(fi);
end r=sqrt(r2);
if (rc==0) theta1=acos((rc^2+r2-R.^2)./(2*rc.*r));
error('Polmer zanke ne more biti enak 0') theta=pi/2+theta1;
end dB=k*sin(theta)./r2;
% dBB=[dBB dB]
mi0=4*pi*1e-7 B=B+dB;
I=10 end
k=mi0*I/(4*pi)
%R=0.1
fi=0; N=100; B=0;
%plot(dBB(2:N))
B0=mi0*I/(2*rc);
function risipoljezanke(a)
% Narise polje tokovne zanke kot funkcijo radija od
0 do 2x polmera zanke
dr=1.01*a/100
r=0:dr:2*a;
BB=poljezanke(r,a);
plot(r,BB)
xmin=0; xmax=max(r); ymin=-100*BB(1); ymax=-
ymin;
axis([xmin xmax ymin ymax])
SLIKA: Polje tokovne zanke v smeri radija. Polmer tokovne zanke je 1 m, kjer
opazimo znatno povečanje polja in hkrati obrat smeri polja za radije večje od 1 m.

37. 2) Numerično izračunavanje z diskretizacijo osnovnih enačb (Amperovega zakona)
in zapis diskretiziranih enačb za veliko število točk v prostoru. Reševanje sistema
enačb opravi računalnik. Polje lahko vizualiziramo na vrsto načinov:
a. Z vektorji,ki prikazujejo smer in velikost polja v določenih točkah
b. Z barvami in ekvipoljskimi črtami
c. 3D vizualizacija
d. Z gostotnicami
SLIKA: Polje v okolici dveh polnih vodnikov s tokom enake velikosti. Bolj »vroča«
barva predstavlja večjo absolutno vrednost polja. Smer in velikost polja kažejo tudi
puščice (vektorji).
SLIKA: Polje solenoida (tuljave).
Prikazan je le en del preseka,
potrebno si je zamisliti rotacijsko
simetrijo. Polje v osi kaže slika
desno zgoraj, polje v sredini tuljave
prečno na smer polja pa slika desno
spodaj.

38. Magnetni pretok 4.
MAGNETNI PRETOK – FLUKS
Equation Section 4
Vsebina poglavja: Določitev magnetnega pretoka, brezizvornost magnetnega polja,
upodobitev polja z gostotnicami, induktivnost, lastna induktivnost, magnetni sklep.
Veličina, ki jo v magnetiki napogosteje obravnavamo in pogosto imenujemo kar magnetno
polje, je gostota magnetnega pretoka (B). Gotovo mora obstajati tudi veličina, ki ji rečemo
magnetni pretok? Velja si predstavljati analogijo z gostoto električnega toka J in celotnim
tokom I. Pri tokovnem polju smo uporabili zapis I = ∫ J ⋅ d A , kjer I predstavlja tok, ki gre
A
skozi neko (nezaključeno !) ploskev. V magnetiki zapišemo na podoben način
Φ = ∫ B ⋅dA , (4.1)
A
kjer Φ imenujemo magnetni pretok, pogosto pa tudi magnetni fluks ali kar samo fluks. Enota
je T m2, ali pa Wb (Weber),ali pa tudi V s.
SLIKA: Magnetni pretok je enak integralu normalne komponente gostote magnetnega pretoka
po določeni površini. Predstavljamo si ga z analogijo med gostoto (električnega) toka in gostoto
magnetnega pretoka (J in B) ter tokom in fluksom (I in Φ).
Izračun fluksa. Za izračun magnetnega pretoka moramo torej poznati vektor gostote
magnetnega pretoka povsod po površini, skozi katero nas zanima pretok. Pri izračunu pretoka
preko določene površine je potrebno upoštevati le tisto komponento gostote pretoka, ki je
pravokotna na površino, torej tisto, ki »prebada« površino. V enačbi to izrazimo z uporabo
skalarnega produkta med vektorjema polja in diferenciala površine. Rezultat te operacije je
skalar. Če je polje homogeno povsod po površini, lahko (4.1) zapišemo v preprostejši obliki:
Φ = ∫ B ⋅ d A = ∫ B ⋅ en dA = BA cos α (4.2)
A A
kjer je alfa kot med smerjo Bja in normalo na površino (SKICA). Če je polje pravokotno na
ravno površino, je fluks največji in enak kar
Φ = BA . (4.3)
1/7

39. Magnetni pretok 4.
Primer: Homogeno polje 5 mT je usmerjeno pod kotom 60o na normalo na pravokotno zanko
površine 4x5 cm2. Določimo magnetni pretok skozi zanko.
SLIKA: Homogeno polje usmerjeno pod kotom na pravokotno zanko.
Izračun: Zaradi homogenosti polja po površini zanke lahko uporabimo izraz
Φ = ∫ B ⋅ d A = BA cos α in Φ = 5mT ⋅ 20 ⋅10−4 m 2 cos 600 = 5 µVs=5 µWb .
A
Primer: Določimo magnetni pretok skozi pravokotno zanko, ki je v ravnini ravnega vodnika
s tokom 36 A in od vodnika oddaljena za a = 5 cm. Dolžina zanke je l = 10 cm, širina pa b = 4
cm.
Izračun: Skicirajmo zanko v ravnini XY in izračunajmo pretok skozi zanko v smeri osi Z.
Vodnik naj leži na Y osi, s tokom, usmerjenim v smeri -Y osi. V tem primeru je polje vodnika
µ0 I
za x > 0 enako B = ez , diferencial površine pa je d A = e z dxdy . Velja
2πx
a +b l
µ0 I µ0 I a+b
Φ = ∫ B⋅dA = ∫ ∫e z ⋅ e z dx ⋅ dy = l ln .
A a 0
2πx 2π a
V dobljeno enačbo vstavimo vrednosti in dobimo
V⋅s
4π10−7 36 A
Φ= A⋅m 0,1 m ⋅ ln
9 cm
= 423 nV ⋅ s = 423 nWb .
2π 5 cm
SLIKA: Pravokotna zanka in vzporedno ležeči vodnik.
Primer: Določimo fluks med ravnima vodnikoma (dvovodom) s polmeroma R = 0, 5 cm in
medosno razdaljo d = 2 m na dolžini 100 m. Tok v vodnikih je 150 A.
2/7

40. Magnetni pretok 4.
Izračun: Način izračuna je podoben, kot v prejšnjem primeru. Ugotovimo, da se polji med
vodnikoma seštevata, zaradi enakih dimenzij vodnikov pa se seštevata tudi fluksa. Zato je
µ0 Il d −R
Φ = 2⋅ ln ≅ 35,9 mWb .
2π R
SLIKA: Ravna vodnika (dvovod).
Brezizvornost magnetnega polja. Koliko pa je fluks skozi zaključeno površino? Ker je polje
vrtinčno, enak del pretoka, ki v določen prostor vstopa, tudi izstopa. Integral polja po
zaključeni površini bo torej enak nič ali z enačbo
∫ B⋅d A = 0 .
A
(4.4)
SLIKA: Enaka količina fluksa, kot v določen zaključen prostor vstopa, na drugem delu
prostora tudi izstopa. Zaključeno površino razdelimo na štiri površine. Vsota štirih
fluksov iz te površine je enaka Φ1 + Φ2 + Φ3 + Φ4 = 0 .
To je pomemben rezultat, saj govori o brezizvornosti magnetnega polja. Da torej ne obstaja
magnetni izvor in ponor v podobnem smislu, kot to poznamo pri električnem naboju. Temu
zapisu lahko rečemo tudi Gaussov zakon za magnetiko, in predstavlja eno od Maxwellovih
enačb (3.) – zopet le v integralni obliki.
Primerjava z Gaussovim zakonom iz elektrostatike. Tam je bil integral Eja po zaključeni
površini sorazmeren zaobjetemu naboju. Iz tega je sledil zaključek, da je električno polje
izvorno (izvira na pozitivni nabojih in ponira na negativnih). Analogno električnim nabojem
ne moremo najti magnetnega naboja. Torej magnetno polje ni izvorno. Včasih rečemo tudi,
3/7

41. Magnetni pretok 4.
da je solenoidno.Vsak trajni magnet je tako izvor kot ponor magnetnega polja. Se pa kljub
neobstoju magnetnega naboja v smislu analogije in lažjega računanja polj trajnih magnetov
včasih uporablja tudi pojem magnetnega naboja, oziroma bolj natančno magnetnega
površinskega naboja.
Upodobitev magnetnega polja z gostotnicami. Gostoto pretoka smo lahko prikazali z
množico puščic (vektorjev) v prostoru. Če te puščice med seboj povežemo v krivulje, dobimo
gostotnice (včasih se jih imenuje tudi silnice). Prostor med gostotnicami si lahko zamislimo
kot cevke z določeno velikostjo pretoka. Pretok torej lahko vizualiziramo (predstavljamo) z
gostotnimi cevkami. Ker običajno rišemo polje v dveh dimenzijah, gostotne cevke
zapolnjujejo prostor med dvema gostotnicama. Običajno jih rišemo tako, da je fluks med
sosednjimi gostotnicami konstanten ∆Φ i = konst . Gostotne cevke ravnega vodnika
ponazorimo s koncentričnimi krogi s polmeri, ki se gostijo v smeri manjšanja razdalje od
vodnika. Da bo fluks med dvema vodnikoma konstanten, mora veljati
µ0 I ri +1 ri +1
∆Φ = ln = konst , oziroma = e k ⋅∆Φ . Na podoben način smo risali tudi
2π ri ri
ekvipotencialne ploskve pri elektrostatiki.
SLIKA: Upodobitev magnetnega polja z gostotnimi cevkami.
4/7

42. Magnetni pretok 4.
INDUKTIVNOST (prvič)
Kot vidimo v izrazih za fluks, je le-ta linearno odvisen od toka. Večji je tok, večji je fluks:
Φ = nekaj ⋅ I . To »nekaj« definiramo kot induktivnost (simbol L), torej velja Φ = LI .
Sledi, da je induktivnost strukture definirana kot kvocient fluksa in toka:
Φ
L= ¸ (4.5)
I
Enota za induktivnost je V s/A ali H (Henry).
Primer: Določimo induktivnost dvovoda iz primera 2, če upoštevamo le fluks med žicama
(ne tudi v žicah).
Φ µ0l d−R
L= = ln ≅ 240 µH .
I π R
Če bi želeli eksaktno določiti induktivnost dvovoda, bi morali upoštevati tudi tisti del fluksa,
µ0 l d−R
ki gre skozi vodnika. Izpeljana enačba L = ln torej ni eksaktna enačba induktivnosti
π R
dvovoda. Ker pa ta fluks ne zajame celotnega toka vodnika, je izpeljava končnega izraza
nekoliko bolj zapletena (AR Sinigoj: Osnove elektrotehnike, str. 354). Če bi upoštevali še to,
µ0l  1 d
bi kljub vsej zahtevnosti izračuna dobili preprost izraz : L =  + ln  . Če bi v ta izraz
π 4 R
vstavili vrednosti iz primera, bi dobili rezultat približno 250 µH. Očitno je, da je osnovni izraz
dovolj natančen, če je le razdalja med vodnikoma mnogo večja od polmera vodnikov.
Magnetni sklep.
Kadar je vodnik izdelan v taki obliki, da gre fluks skozi velč vodnikov, je smiselno definirati
novo veličino, ki jo imenujemo magnetni sklep in ga označimo z veliko grško črko Ψ (psi).
Magnetni sklep je enak vsoti fluksov skozi vse zanke, ki jih tvori vodnik. V primeru, da gre
enak fluks skozi N zank, velja kar Ψ = ΝΦ .
V primeru, da ima struktura več zank, velja
Ψ
L= . (4.6)
Ι
V primeru, ko tok I skozi vodnik (strukturo) ustvarja magnetni sklep Ψ v isti (lastni)
strukturi, govorimo o lastni induktivnosti. Če gre isti fluks skozi N zank velja:
5/7

43. Magnetni pretok 4.
Ψ NΦ
L= = , (4.7)
I I
Lastna induktivnost solenoida in toroida.
Induktivnost je osnovni podatek za vsako tuljavo. Pogledali si bomo poenostavljena (vendar
pogosto v praksi uporabljana) primera izračuna induktivnosti solenoida in toroida, pri čemer
bomo predpostavili, da je polje znotraj solenoida (toroida)
homogeno.
Primer: Določimo poenostavljen izraz za lastno
induktivnost dolgega solenoida in jo izračunamo za primer:
polmer tuljave 1 cm, dolžina 5 cm, 100 ovojev.
µ0 NI µ0 NI µ0 N 2 A
Izračun: B ≅ , Φ≅ A, Ψ = ΝΦ ≅ I
l l l
NΦ µ0 N 2
L= ≅ A ≅ 79 µH .
Ι l
SLIKA: Dolga ravna tuljava = solenoid.
µ0 A
Poenostavljen izraz za induktivnost tuljave je torej L = N 2 . Hitro lahko opazimo
l
A
podobnost z izrazom za kapacitivnost ploščnega kondenzatorja C = ε 0 , kjer je l dolžina
d
tuljave, d pa razdalja med ploščama, A površina preseka
tuljave oz. plošče kondezatorja. Ugotovimo lahko, da
induktivnost tuljave zelo povečamo z večjim številom
ovojev.
Primer: Zapišimo poenostavljen izraz za lastno
induktivnost toroida krožnega preseka z notranjim
polmerom 4 cm in zunanjim 5 cm. Toroid ima 200 ovojev.
(Računamo s srednjim polmerom in homogenim poljem
SLIKA: Toroid krožnega preseka.
znotraj preseka toroida)
µ0 NI µ NI µ N 2I 2 µ N2 2
Izračun: B= , Φ ≅ 0 A, Ψ ≅ 0 π rA , L ≅ 0 rA ≅ 55,85 µH
2π rsr 2π rsr 2π rsr 2rsr
6/7

44. Magnetni pretok 4.
Induktivnost je geometrijska lastnost. V elektrostatiki smo definirirali kapacitivnost iz
zveze med nabojem in napetostjo Q = CU . Izračunali smo jo tako, da smo med dve prevodni
telesi priključili napetost U, pri čemer se je na telesoma nakopičilo naboja ±Q . Izkazalo se je,
da je kapacitivnost odvisna le od geometrijskih lastnosti. Podobno velja za induktivnost, kjer
velja zveza Ψ = LI . Torej, skozi vodnik (zanko) »pošljemo tok I, določimo fluks oziroma
Ψ
magnetni sklep in iz kvocienta določimo induktivnost: L = .
Ι
POVZETEK:
1) Magnetni pretok ali fluks skozi poljubno površino smo definirali na enak način kot pri
tokovnem polju kot Φ = ∫ B ⋅ d A . V preprostem primeru, ko je polje homogeno in
A
konstantno po površini A, se izraz poenostavi v Φ = BA cos α , kjer je alfa kot med
normalo na površino in smerjo Bja. Pretok je največji, ko je polje usmerjeno
pravokotno na površino. Magnetni pretok skozi zaključeno površino je enak nič, kar
matematično zapišemo kot ∫ B ⋅ d A = 0 . To je Gaussov zakon za magnetno polje ali
A
tudi zakon o brezizvornosti magnetnega polja.
NΦ
3) Lastno induktivnost smo zapisali kot L = , enota je H(enry)
I
4) Izračuni:
µ0 I r
a. fluks skozi pravokotno zanko ob vodniku: Φ = l ⋅ ln 2
2π r1
b. Aproksimativni izrazi za induktivnost:
µ0 N 2
i. ravna tuljava: L ≅ A
l
µ0 N 2
ii. toroid: L ≅ 2
rA
2rsr
µ0l  1 d
iii. dvovod (brez izpeljave): L =  + ln 
π 4 R
Naloge:
izpit, 17. septembra 2002
izpit, 3. septembra 2002
izpit, 17. 4. 2003
izpit, 5. septembra 2002
izpit, 31. avgust, 2004
Izpit 4. 9. 2003
1. kolokvij, 22. april 2003
Prvi kolokvij, 9. maj 2002 7/7

45. Delo magnetnih sil 5.
DELO MAGNETNIH SIL
Vsebina poglavja: izračun dela magnetnih sil iz spremembe fluksa skozi tokovodnik.
Spoznali smo že enačbo za izračun sile na vodnik v magnetnem polju
F = ∫ I dl × B (5.1)
L
Sedaj nas zanima, kolikšno delo opravimo pri premiku vodnika s tokom I v magnetnem polju B iz
začetne lege, ki jo bomo označili s T1, v končno lego T2. To dobimo z integracijo sile po poti S
A = ∫ F ⋅ ds (5.2)
S
kjer smo z ds označili diferencial poti v smeri premika in z S celotno pot. Z vstavitvijo enačbe (5.1)
T2
( ) ( )
v (5.2) dobimo A = ∫ I dl × B ⋅ d s = I ∫ d s × dl ⋅ B . Sedaj moramo pogledati, kaj predstavlja
S T1
produkt d s × dl oziroma celotna integracija tega produkta na poti od začetne do končne lege zanke.
Vrednost vektorskega produkta je površina, ki jo določata vektorja glede na definicijo vektorskega
produkta, smer pa je pravokotna na to površinico (v smeri normale). Če to površinico skalarno
pomnožimo z vektorjem gostote pretoka dobimo diferencial fluksa
(d s × dl ) ⋅ B = d A ⋅ B = B ⋅ d A = dΦ in v skladu s to ugotovitvijo lahko delo zapišemo v obliki
Končna
lega
A= I ∫ dΦ .
Začetna
lega
Rezultat integracije je celoten fluks, ki gre skozi »plašč«, ki ga opiše vodnik na poti. A = IΦ plašča .
Ker pa je, kot smo že spoznali, magnetno polje brezizvorno ( ∫ B ⋅ d A = 0 ), mora biti celoten fluks
A
skozi navidezno telo, ki ga opiše premikajoči vodnik, enak nič. To pa tudi pomeni, da mora biti
fluks skozi plašč enak razliki fluksa skozi površino, ki jo opisuje vodnik v končnem položaju in
fluksu začetnem v položaju. Če želimo pri tem fluks skozi zanko, ki jo opisuje vodnik računati v
isti smeri tako na začetku kot na koncu, velja Φ plašča = Φ končni − Φ začetni . Smer teh fluksov
računamo v t.i. pozitivni smeri, ki jo določa tok v gibajoči zanki (smer polja v zanki , ki jo
povzroča tok I).
A = I (Φ končni − Φ začetni ) (5.3)
1/4

46. Delo magnetnih sil 5.
SLIKA: Primer premikanja tokovne zanke iz lege T1 v legoT2 v polju B.
Kdaj bo rezultat (delo magnetnih sil) pozitiven? Tedaj, ko bo fluks skozi zanko v končni legi
večji kot v začetni. Če ima torej tokovna zanka možnost prostega gibanja, se bo zanka postavila
tako, da bo fluks skozi zanko največji. (Enako ugotovitev bomo postavili tudi v naslednjem
poglavju, ko se bomo srečali z navorom na tokovno zanko.) Če je rezultat pozitiven, pomeni, da so
delo opravile magnetne sile magnetnega polja, če pa je negativen pa to, da je delo za premik zanke
v magnetnem polju moral vložiti nek zunanji vir (recimo kar mi sami): Amag + Azun = 0 .
Primer: Vzporedno z ravnim vodnikom s tokom I1=10 A, na oddaljenosti d = 2 cm leži pravokotna
zanka dolžine a = 5 cm in širine b=3 cm s tokom I2 = 0,2 A. Koliko dela opravi magnetno polje za
translatorni premik zanke stran od vodnika za razdaljo d = 2 cm? Primer reši tako z integracijo
magnetnih sil kot z razliko fluksov. (SLIKA)
Izračun: Sila deluje na dva vodnika zanke, ki sta vzporedna z vodnikom. Delo magnetnih sil
potrebno za premik bo torej:
d + 2 cm d + a + 2 cm
A = A' + A'' = ∫
d
F ' ⋅ dl + ∫
d +a
F '' ⋅ dl
dl = e x dx
µ0 I1
F ' = I 2b ( − ex )
2πx
µ0 I1
F '' = ex I 2b
2πx
µ0 I 1 d + 2 cm
A' = − I 2b ln
2π d
µ0 I 1 d + a + 2 cm
A'' = I 2b ln
2π d +a
µ0 I1 I 2b  d d + a + 2 cm 
A= ln   ≅ −5,3 nJ
2π  d + 2 cm d +a 
2/4

47. Delo magnetnih sil 5.
Drugi način:
A = I 2 ( Φ končni − Φ začetni )
d + a + 2 cm
µ0 I 1 µ0 I1b d + a + 2 cm
Φkončni = ∫ Β dΑ = ∫ bdx = ln
A d+a
2πx 2π d+a
d + 2 cm
µ0 I 1 µ0 I1b d + 2 cm
Φzačetni = ∫ Β dΑ = ∫ bdx = ln
A d
2πx 2π d
µ0 I1b  d d + a + 2 cm 
A = I2 ln   ≅ −5,3 nJ
2π  d + 2 cm d +a 
Vprašanje: Zakaj je končni rezultat negativen? Odgovor: Če računamo delo z integracijo sile po
poti vidimo, da je sila na bližjo stranico zanke usmerjena v smeri vodnika (privlačna), sila na daljno
pa je odbojna. Torej mora delo opraviti zunanji vir.
Primer: Koliko dela opravi magnetno polje, da se zanka iz primera 1 zavrti okoli sredinske osi za
kot 900? (SLIKA
Izračun: Delo najlažje izračunamo iz spremembe fluksa skozi zanko. Pred vrtenjem je bil fluks
d + 2 cm
µ0 I 1 µ0 I1b d + 2 cm
skozi zanko maksimalen, enak Φzačetni = ∫ Β dΑ = ∫ bdx = ln , po vrtenju pa je
A d
2πx 2π d
fluks skozi zanko enak nič (enako veliko fluksa, kot v zanko vstopa, tudi iz zanke izstopa). Zato je
µ0 I1b d +a
delo enako Α = Ι 2 (0 − Φzačetni ) = −Ι 2 ln = −8,3 nJ .
2π d
Vprašanja:
1. Zakaj je rezultat negativen? Ker mora zunanji vir opraviti delo. Zanko moramo
zavrteti v nasprotni smeri, kot bi se zavrtela pod vplivom magnetne sile.
2. Zakaj je fluks skozi zanko enak nič, ko je zanka postavljena prečno na osnovno
lego? Ker gre skozi en del zanke fluks skozi zanko v pozitivni smeri, skozi drugi
(enako velik) del pa enako velik fluks v negativni smeri.
3. Kateri je stabilen položaj zanke? Zanka se želi postaviti tako, da je fluks skozi zanko
največji. Torej tedaj, ko leži ravni vodnik v ravnini zanke. Ta lega je stabilna, če so
sile usmerjene stran od zanke in labilna, le so sile na vodnika v smeri osi zanke.
4. Kolikšen bi bil rezultat, če bi zanko zavrteli za 1800? Fluks skozi zanko je v končni
legi enako velik kot v začetni legi, le nasprotnega predznaka je. Torej bo rezultat
A = 2 I 2Φ T 2 . Kaj pa, če zanko zavrtimo tako, da zopet pride v začetno lego (obrat za
3/4

48. Delo magnetnih sil 5.
3600)? Takrat je fluks skozi zanko enako velik, kot na začetku, vendar če je v prvi
polovici zasuka (za 1800) delo negativno, bo v drugem delu zasuka delo pozitivno
(delo opravi magnetno polje), skupno delo pa bo enako nič. (V prejšnji veziji
napaka). Lahko pa s pomočjo preklopa smeri toka v zanki ob polovici obrata
zagotovimo pogoje (komutator), v katerih bo sila na zanko vedno v s meri rotacije,
kar je osnovni princip delovanja raznovrstnih motorjev.
POVZETEK:
T2
1) Delo magnetnih sil lahko izračunamo iz osnovne zveze A = ∫ F m ⋅ dl , ali pa kar iz
T1
razlike fluksov skozi zanko v končni in začetni legi A = I (Φ končni − Φ začetna ) . Fluks je
potrebno računati v pozitivni smeri (kot bi kazal B v notranjost premikajoče zanke, ki
ga povzroča tok v zanki). Negativen rezultat pomeni, da je delo za premik morala
opraviti zunanja sila, pozitiven pa, da je delo opravilo magnetno polje – da se je zanka
gibala v smeri rezultirajočih magnetnih sil na zanko.
2) Naredili smo primer iz translatornega premika in pokazali, da dobimo enak rezultat z
integracijo magnetne sile po poti in iz produkta toka zanke in razlike fluksov skozi
zanko v začetni in končni legi zanke. V primeru vrtenja zanke je lažje računati le z
razliko fluksov, pri čemer je potrebno upoštevati število rotacij.
3) S pomočjo komutacije toka v zanki omogočimo vrtenje zanke v magnetnem polju.
Naloge:
izpit, 24. junij 2003
izpit, 31. avgust, 2004
izpit, 20. september 2004
4/4

49. Navor na vodnik 6.
NAVOR NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU
Equatio n Section 6 Vsebina poglavja: Navor kot vektorski produkt ročice in sile, magnetni moment, navor na
magnetni moment, d'Arsonvalov ampermeter/galvanometer.
Če na tokovodnik v magnetnem polju deluje sila, potem v primeru vpetja z ročico dolžine r
deluje na vodnik navor*
T = r×F (6.1)
Velikost navora je torej T = rF sin θ , kjer je θ kot med smerjo vektorja ročice in sile. Smer
vrtenja je pravokotna na ravnino, ki jo določata vektorja ročice in sile.
SLIKA: Na tokovodnik v magnetnem polju deluje sila. Navor deluje v smeri
vektorskega produkta med silo in ročico.
Primer: Vodnik v obliki zanke (tokovna zanka) s tokom 10 A dolžine 10 cm in stranice 5 cm
vpet na zgornjem vodniku kot kaže slika. Prečno na zanko, pod kotom 300 na normalo na
zanko je homogeno polje 0,1 T. Kolikšen je navor na zanko?
SLIKA: Viseča zanka vpeta na zgornji stranici.
*
Včasih se za navor uporablja tudi simbol M. Za pravilno smer navora je potrebno zavrteti vektor r v F in ne
obratno.
1/6

50. Navor na vodnik 6.
r = −e y r = (0, − r , 0)
F = ( F sin α , − F cos α , 0 ) , kjer je F = IlB .
ex ey ez
T = r×F = 0 −r 0 = e z rF sin α
F sin α − F cos α 0
ali direktno z izračunom amplitude navora: T = rF sin α = 2,5 mNm .
Primer: Kolikšen tok bi moral teči skozi tokovno zanko na sliki, če želimo, da se zanka
postavi pod kotom 450 na osnovno lego, ko zanka visi vpeta na zgornjo stranico. L=10 cm,
R=4 cm, B=50 mT. Pri izračunu poenostavimo navor na zanko zaradi sile gravitacije tako, da
upoštevamo le silo na spodnjo stranico z maso 10 g. (Magnetno polje je usmerjeno v smeri
gravitacije)
FB mg 10−2 kg ⋅ 9,8 m/s 2
tan α = = 1 , IlB = mg ⇒ I = = = 19, 6 A .
mg lB 0,1 m ⋅ 50 ⋅10−3 T
SLIKA: Slika zanke zamaknjene za kot 450.
Navor na zanko je osnovni princip delovanja vseh vrtljivih delov pri izkoriščanju pojava
magnetnega polja kot npr. prikazovalniki z vrtljivimi tuljavicami ali motorji.
Navor na tokovno zanko v magnetnem polju.
Običajno nas zanima navor na zanko v magnetnem polju. Vzemimo pravokotno zanko dolžine
l in širine d, ki ima v sredini vpeto na os, kot kaže slika. Navor na tako zanko v homogenem
polju, ki je za kot θ zamaknjeno od normale na površino zanke dobimo z upoštevanjem sile na
stranico dolžine l:. Poleg sile, ki deluje med vodniki lastne zanke (ki ne povzroča rotacijo
2/6

51. Navor na vodnik 6.
zanke), delujeta v zunanjem magnetnem polju na stranici zanke sili F B ,l na levo in F B ,l na
desno stranico. Če označimo z d vektor, od levega do desnega vodnika, velja
d  d
T= × F B , d +  −  × F B ,l .
2  2
Če je zanka v homogenem polju, velja F B ,l = − F B , d , od koder sledi
 d
T=
d
2
( )
× F B ,d +  −  × − F B ,l = d × F B , d . Z upoštevanjem, da je F B , d = I l × B dobimo
 2
( ) ( )
T = d × I l × B = I d × l × B . Vektorski produkt d × l je enak površini zanke, smer pa ima
pravokotno na površino, v smeri polja, ki ga povzroča tok zanke v sredini zanke. Torej je
d × l = en dl = en A . Z uvrstitvijo v enačbo dobimo končen izraz
T = e n IA × B (6.2)
SLIKA: Navor na pravokotno zanko v homogenem magnetnem polju. Prikaz sil na
stranice zanke, smer polja in kota med vektorjem ročice in sile.
Magnetni dipolni moment.
Ugotovimo lahko, da bi enačbo (6.2) lahko zapisali tudi v splošni obliki T = I A × B , kjer je
A = en A = en dl vektor, katerega absolutna vrednost je enaka površini zanke, smer pa je
pravokotna na površino zanke – smer kamor kaže polje, ki ga povzroča tok zanke v središču
zanke. Produkt toka in površine zanke ima poseben pomen v magnetiki (elektrotehniki) in ga
imenujemo magnetni (dipolni) moment.
m = e n IA , (6.3)
3/6

52. Navor na vodnik 6.
To je osnovni element v magnetiki, tako, kot je električni dipolni moment osnovni element v
elektrostatiki.
SLIKA: Magnetni dipolni moment si predstavljamo v obliki zankice s tokom I. Njegova
velikost je enaka produktu površine zanke in toka zanke. Smer pa je pravokotna na
površino zanke.
Z upoštevanjem definicije za magnetni moment lahko enačbo (6.2) za navor na zanko
zapišemo tudi z magnetnim momentom kot:
T = m× B . (6.4)
Navor deluje na tokovno zanko v polju tako, da jo zasuka pravokotno na smer polja, oziroma
tako, da bo smer magnetnega momenta enaka smeri polja. Hkrati lahko ugotovimo, da se
zanka v magnetnem polju obrne tako, da je pretok magnetnega polja skozi zanko največji.
SLIKA: a) Zanka pravokotna na smer zunanjega polja – navor je enak nič in b) zanka
položena v smeri zunanjega polja – navor je maksimalen in enak mB , c) zanka z
magnetnim momentom v nasprotni smeri polja – navor je nič, labilna lega.
Magnetni dipolni moment je pomemben element magnetike, saj z njim na primer razložimo
magnetno polje v snovi, kar bomo tudi v naslednjih poglavjih pokazali.
4/6

53. Navor na vodnik 6.
Primer: Določite torzijsko konstanto polžaste vzmeti galvanometra z vrtljivo tuljavico in
trajnim magnetom tako, da bo odklon kazalca pri toku 100 µA enak 280. Tuljavica z 250 ovoji
je dolga 2,1 cm in široka 2,1 cm in se nahaja v homogenem polju 0,23 T.
Izračun: Tuljavica se nahaja v enako velikem polju neodvisno od kota fi, kar pomeni, da bo
navor neodvisen od kota fi ter linearno odvisen od toka I. Navor lahko povečamo z večjim
številom ovojev tuljave.
M vzmeti = M tuljave ⇒ kϕ = NIAB
SLIKA: Navor na zanko v homogenem magnetnem polju.
Povzetek:
1. Navor na tokovno zanko v magnetnem polju določa vektorski produkt ročic(e) in
sil(e): T = r × F . Po velikost je enak T = rF sin θ , kjer je θ kot med smerjo
vektorja ročice in sile.
2. magnetni dipolni moment definiramo kot produkt toka in površine zanke s smerjo,
ki je pravokotna na povrršino zanke in usmerjena enako kot polje, ki ga povzroča
tok zanke v središču zanke. Velja: m = I A = e n IA .
3. Navor na zanko lahko izrazimo z magnetnim dipolnim pomentom in je enak
T = m× B .
4. Tokovna zanka se v magnetnem polju postavi (zarotira) pravokotno na smer polja
oziroma tako, da je smer magnetnega dipolnega momenta enaka smeri polja
oziroma tako, da je fluks skozi zanko največji.
Naloge:
izpit, 4. februar 2005
5/6

54. Navor na vodnik 6.
D'Arsonvalov ampermeter
Francoski fizik Arséne d’Arsonval je leta 1882 izumil merilnik toka na osnovi vrtljive tuljave
vstavljene v radialno homogeno magnetno polje, kar je dosegel z uporabo permanentnega
magnetna in železnega jedra. Sili na tuljavo v
magnetnem polju nasprotuje vzmet s konstanto
vzmeti.
D’Arsonvalov galvanometer ima nad
tuljavico malo zrcalce, v katerega
usmerimo snop svetlobe in opazujemo
njen odklon.
http://en.wikipedia.org/wiki/Galvanometer
http://physics.kenyon.edu/EarlyApparatus/Electrical_Measurements/DArsonval_Galvano
meter/DArsonval_Galvanometer.html
Pokaži izdelek tovarne Magneti, ki izdeluje jedro za navitje za merilni kazalec. Pokaži še
kazalec za avtomobil s trajnim magnetom s prečno magnetizacijo in dvema navitjema.
EKSPERIMENT: Sila med trajnim magnetom in tuljavico deluje kot zvočnik.
Potrebujem malo tuljavico, trajni magnet, ki gre v tuljavico in selotejp, ki drži skupaj magnet
in tuljavico ter obenem deluje kot membrana. Na tuljavico priključimo vir izmeničnega toka.
Ta ustvarja magnetno polje, ki deluje privlačno ali odbojno na magnetno polje trajnega
magneta odvisno od polaritete signala. Nariši shemo.
V tem eksperimentu se premika trajni magnet, v zvočnikih pa se običajno premika tuljavica,
ki je povezana z membrano. Nariši shemo.
6/6

55. Gibanje nabojev 7.
GIBANJE NABOJEV V ELEKTRIČNEM IN MAGNETNEM
POLJU
Equation Section 7
Vsebina poglavja: električna in magnetna sila na naboj, Lorentzova sila, rotacija naboja v magnetnem
polju, pomembne aplikacije: katodna cev, Hallov pojav, ciklotron.
Gibanje nabojev v električnem polju smo že spoznali. Pozitivno naelektren delec se giblje v smeri
električnega polja, sila na naboj Q je Fe = Q E . Dinamiko gibanja opišemo z enačbo
.. .
QE
ma = QE oziroma r = v = a = . Ker deluje pospešek v smeri električnega polja, se mu s potjo
m
povečuje tudi hitrost in s tem kinetična energija. Zmanjšuje pa se mu potencialna energija, saj se
giblje v smeri zmanjšanja potenciala.
Kako pa na gibanje naboja vpliva magnetno polje? Poznamo izraz za silo na vodnik v magnetnem
dQ dQ dl
polju: d F = Idl × B . Tok zapišemo v obliki in dobimo d F = dl × B = dQ × B , pri čemer
dt dt dt
dl
je hitrost gibanja naboja dQ. Dobimo d F = dQv × B oziroma 1
dt
F m = Qv × B . (7.1)
Sila na naboje v magnetnem polju ne deluje v smeri magnetnega polja temveč pravokotno na to
smer. Poleg tega deluje ta sila le v primeru, če se naboj giblje (v električnem polju pa deluje
električna sila tudi na mirujoč naboj). Sila je v skladu z enačbo (7.1) pravokotna na smer vektorja
hitrosti in magnetnega polja.
SLIKA: Smer vektorja magnetnega polja, hitrosti in sile. V homogenem polju bo delec rotiral
po krožnici. Smer je odvisna od predzanaka naboja.
1
Velja poudariti, da je v formuli potrebno hitrost delca upoštevati kot hitrost relativno na opazovalca.
1/12

56. Gibanje nabojev 7.
V primeru, da bo naelektren delec priletel v homogeno polje, ki je pravokotno na smer leta, bo
Q
rotiral okoli centra s pospeškom a = v × B . Radij rotacije dobimo z izenačenjem magnetne in
m
mv 2
centrifugalne sile = QvB :
R
mv
R= . (7.2)
QB
Ker deluje sila na delec pravokotno na vektor hitrosti delca, se delcu v magnetnem polju ne
spreminja kinetična energija2.
Primer: Proton prileti s kinetično energijo 5 MeV v prostor homogenega magnetnega polja
velikosti 1,5 mT, ki je pravokotno na smer priletelega delca. S kolikšno silo deluje nanj magnetno
polje, kolikšen je radialni pospešek delca in kolikšen radij bi opisal v homogenem polju?
mv 2
Izračun: Kinetična energija delca je Wk = in se jo v fiziki delcev pogosto obravnava z enoto eV
2
(elektron-volt), ki ustreza energiji 1eV = 1,6 10-19 J. Ker je masa protona (približno) enaka 1,6 10-27
2Wk
kg, bo hitrost delca enaka v = ≅ 31,6 ⋅ 106 m/s . Sila bo enaka Fm = QvB ≅ 7,6 ⋅ 10−15 N . To je
m
majhna sila vendar deluje na majhno maso, zato je kljub temu vpliv pomemben: radialni pospešek
Fm mv
je enak: a = ≈ 4,7 ⋅ 10−12 m/s2 . Radij kroženja je R = ≅ 210 m .
m QB
Lorentzova sila. Če na naboj deluje tako električno kot magnetno polje, je potrebno zapisati silo
kot vsoto električne in magnetne sile:
F = QE + Qv × B (7.3)
Temu zapisu rečemo tudi Lorentzova sila, ki bi v principu zadoščala za obravnavo električnih in
magnetnih pojavov. Poznati bi morali porazdelitev nabojev, nato pa bi računali njihovo gibanje v
prostoru, preprosto z reševanjem diferencialne enačbe ma = QE + Qv × B . V praksi je problem bolj
kompleksen, saj je gibanje delcev v snovi zelo zapleteno. Je pa omenjen zapis primeren za
obravnavo gibanja nabojev v vakuumu (zraku).
2
Zopet drugače kot v električnem polju, kjer delec pospešuje v smeri polja in se mu povečuje hitrost in s tem kinetična
energija.
2/12

57. Gibanje nabojev 7.
Kako se giblje delec, če sta tako električno kot magnetno polje usmerjena v isto smer? Naboj
pospešuje v smeri polja in rotira okoli Bja. Gibanje je torej helično.
SLIKA: Gibanje delca v homogenem električnem in magnetnem polju: a) E v isti smeri kot B,
v = 0; b) E v smeri v, B pravokotno; c) E in B v isti smeri vendar pravokotno na v.
NARAVNI POJAV: Odklanjanje delcev v magnetnem polju zemlje
Primer heličnega gibanja je tudi gibanje nabojev v zemeljskem magnetne polju, še posebno v
pasovih povečanega magnetnega polja, ki je znan kot Van Allenov radiacijski pas, kjer se
ionizirani delci iz vesolja ujamejo v magnetno polje zemlje. Ker se to polje zgoščuje v smeri proti
poloma, se delci gibljejo helično z vedno
večjo frekvenco proti polu vendar obenem
opravljajo vedno manjšo pot. Na nekem
delu se ustavijo in začnejo krožiti v obratni
smeri. Temu principu rečemo magnetno
zrcalo. Delec je ujet v magnetno polje,
čemur rečemo tudi magnetna steklenica.
Ob povečani sončevi aktivnosti dodatno
injicirani močno energetizirani elektroni in
protoni v Van Allenovem radiacijskem
SLIKA: Primer severnega sija, ki nastane kot
pasu povzročijo spremembno električnega
posledica vpada energijskih delcev v zemeljsko
polja v področju odboja delcev, ki se
atmosfero kot posledica povečane sončeve aktivnosti
namesto odboja usmerijo proti zemeljski
in spiralnega kroženja nabojev v Van Allenovem
radijaciskem pasu. površini. Pri tem trkajo v atome in
molekule zraka, ki ob trkih sevajo svetlobo.
Ta svetloba ustvarja sij, ki ga poznamo kot severni sij (aurora borealis). Poznamo tudi južni sij
(aurora australis).
3/12

58. Gibanje nabojev 7.
SLIKA: Gibanje delcev v Van Allenovem radijacijskem pasu.
Pomembnejši primeri odklanjanja delcev:
• Katodna cev.
• Ciklotron
• Masni spektrograf
• Fuzijski reaktor
• Odklanjanje delcev v magnetnem polju zemlje
APLIKACIJA: KATODNA CEV
Katodna cev je steklena cev z zmanjšanim tlakom v notranjosti. V njen je katoda, ki je
izpostavljena močnemu električnemu polju in je primerno segreta, da iz nje z lahkoto izhajajo
elektroni. Ti potujejo v smeri električnega polja, ki ga ustvarimo z virom visoke napetosti (več kV).
V sredini anode je luknjica, ki prepušča elektrone in jih v bistvu fokusira. Elektroni nadaljujejo pot
proti fluorescentnemu zaslonu, med potjo pa preletijo prečno električno in magnetno polje, ki ga
ustvarjajo kondenzatorji in tuljave. Ti s svojim poljem omogočajo usmerjanje (curka) elektronov in
s tem risanje slike po zaslonu.
Primer: V polju z napetostjo med anodo in katodo 2 kV pospešimo elektron do končne hitrosti.
Nato prileti v sredino med ravni plošči, kjer je v prečni smeri homogeno električno polje 10 kV/m.
Dolžina elektrod je L=10 cm. Kolikšen je odklon elektrona na dolžini elektrod? Nariši še potrebno
smer polja?
F QE
Odklanjajo jih s pospeškom a y = = , torej bo hitrost v y = a ⋅ t in pot v smeri polja
m m
1 QEL2
y= a ⋅ t 2 , v smeri zaslona pa L = vx ⋅ t . Odklon je torej enak y = 2
. Če hitrost v smeri x-a
2 2mvx
2
mvx 2QU
določimo iz izenačenja kinetične in potencialne energije = QU ⇒ vx =
2
in dobimo
2 m
2 ⋅103 V/m ⋅ ( 0,1m )
2
EL2
y= . y= = 2,5 mm .
4U 4 ⋅ 2 ⋅103 V
4/12

59. Gibanje nabojev 7.
POMEMBNI ODKRITJI: OBSTOJ ELEKTRONA IN DOLOČITEV NABOJA
ELEKTRONA
S podobnim eksperimentom je leta 1897 J. J. Thomson na univerzi v Cambridge(u) dokazal obstoj
elektronov. Če upoštevamo še silo, ki jo ustvarjamo z magnetnim poljem, dosežemo ravnotežje sil,
E
ko velja QE = QvB , od koder je v = . Iz razmerja sil (električne poljske jakosti in gostote
B
magnetnega pretoka) lahko določimo hitrost delca, kar pa lahko določimo tudi iz odklona. Torej
lahko iz odklona delca in znanega električnega in magnetnega polja določimo razmerje med maso
in nabojem, kar je naredil JJ Thomson:
m B 2 L2
= . S tem je uspel dognati osnovne značilnosti elektrona, osnovnega naboja, zato se ta
Q 2 yE
eksperiment obravnava kot odkritje elektrona. Ker ni natančno poznal mase elektrona, iz poskusa ni
mogel določiti velikosti osnovnega naboja. Prvo natančnejšo vrednost za velikost osnovnega naboja
je postavil Robert A. Millikan leta 1910-1913 s svojim znamenitim poskusom s kapljicami olja v
električnem polju (Nobelova nagrada 1923).
POMEMBNO ODKRITJE: HALLOV POJAV
++++++++ Ali se odklonijo tudi naboji v prevodniku, če je
B v xB +
v U le ta izpostavljen magnetnemu polju. Odgovor je
H
-
pozitiven in prvi ga je dokazal Edvin H Hall leta
Fm
------------
1879, takrat še 24 letni absolvent univerze Johns
Hopkins. Elektroni v prevodniku potujejo s
+ hitrostjo drifta, ki jo poznamo iz tokovnega
U polja, kjer je gostota toka J = ρ vd .ρ je
volumska gostota naboja. Na te naboje v prečnem magnetnem polju deluje sila Fm = QvB in
povzroči rotiranje in kopičenje elektronov proti eni strani prevodne ploščice. Na drugi strani hkrati
nastane pomanjkanje elektronov oziroma kopičenje pozitivnega naboja. Prečno na tok v vodniku se
torej vzpostavi električno polje in s tem napetost, ki je sicer običajno majhna pa še vedno merljiva
(velikosti µV). Ker mora nastopiti ravnovesje med električno in magnetno silo velja QE = QvB , od
5/12

60. Gibanje nabojev 7.
I
J IB
koder je Hallova napetost U H = Ew = vBw = Bw = wd Bw = , kjer je w širina traku, d pa
ρ ρ ρd
debelina. Iz Hallove napetosti lahko določimo hitrost drifta nabojev ali gostoto nabojev,
najpogosteje pa se Hallova napetost uporablja za merjenje gostote magnetnega pretoka. Pri tem se
IB
običajno uporablja kar formula U H = RH ⋅ , kjer se RH imenuje Hallov koeficient. Iz izraza
d
vidimo, da je Hallova napetost inverzno proporcionalna koncentraciji prostega naboja. Zato so za
realizacijo Hallovega senzorja bolj primerni polprevodniški materiali. Običajno so nosilci naboja
elektroni, tedaj dobimo polariteto Hallove napetosti kot je prikazano na skici. Če pa je
polprevodnik tipa p, v njem prevajajo vrzeli (pomanjkanje elektronov), kar se odraža v spremembi
predznaka Hallove napetosti. Hallov senzor je realiziran s polprevodniško tehnologijo, ki omogoča
miniaturizacijo in natančno določitev dopiranja (dodajanja primesi) polprevodnika, točk zajema
napetosti, v modernejši izvedbi pa tudi realizacijo z vgrajenim tokovnim virom in ojačevalcem
Hallove napetosti.
http://en.wikipedia.org/wiki/Hall_effect
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/hall.html
http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw2_ge/kap_2/backbone/r2_1_3.html
APLIKACIJA: MERJENJE MAGNETNEGA POLJA S HALLOVIM
EFEKTOM
Ena najpogostejših uporab Hallovega efekta je merjenje gostote magnetnega pretoka. Pri realizaciji
je pomembno zagotoviti čim bolj natančen tokovni vir, kar dandanes omogoča integracija
Hallovega elementa z ostalimi elektronskimi elementi v čipu.
Večina tokovnih klešč vsebuje Hallov senzor, najdemo ga v elektronskih kompasih, za merjenje
pomikov, rotacije, itd.
SLIKA: Čip senzorja s teslametrom.
6/12

61. Gibanje nabojev 7.
Primer: Določite Hallovo napetost, če je prečno na d = 0,5 mm debel bakreni trak s tokom 50 A
magnetno polje gostote 2 T. Koncentracija nosilcev naboja je n = 8,4 1028 m-3.
Izračun: Velja ρ = Qe ⋅ n = 13, 44 ⋅ 109 C/m3 in zato
J I /( wd ) IB
U H = Ew = vBw = Bw = Bw = ≅ 15 µV .
ρ ρ ρd
* DODATNO: merjenje Hallove napetosti na isti strani lističa.
Ni nujno, da merimo napetost med nasprotnima točkama traku. Upoštevati moramo, da naboji ne
potujejo le pod vplivom magnetne sile, pač pa tudi zaradi vzdolžne električne sile. Vzdolžno polje
J I IB
je Evzdolž = = . Izraz za prečno silo smo že zapisali in je enak E prečno = , torej bo razmerje
σ σ dt ρ dt
E prečno σ
med prečnim in vzdolžnim poljem = B . V primeru bakra ( σ = 5, 7 ⋅107 S/m ) dobimo
Evzdolžno ρ
razmerje enako 8,5 10-3 oziroma kot 0,5 stopinj. Enako Hallovo napetost bi izmerili, če bi bili
merilni točki na isti strani vendar zamaknjeni za ta kot.
Obstajajo tudi bolj občutljivi merilniki magnetnega polja. Na primer taki, ki delujejo na principu
spreminjanja upornosti pri vzpostavitvi magnetnega polja. Senzorji takega tipa se na primer
uporabljajo kot tipala v diskih.
ODKRITJE IN APLIKACIJA: CIKLOTRON
Ciklotron je naprava za pospeševanje nabitih delcev s pomočjo magnetnega polja. No, samo
magnetno polje ne more biti dovolj, saj delec v magnetnem polju ne pospešuje (razen tega, da ima
radialni a konstanten pospešek). Dodaten efekt pospeševanja dosežemo tako, da znotraj rotacije
delec preleti kratko razdaljo v električnem polju, ki delcu doda hitrost in s tem kinetično energijo.
mv
Delcu se nekoliko poveča tudi radij kroženja R = . Tako se delcu ob vsaki rotaciji nekoliko
QB
poveča hitrost, energija in radij kroženja do dokončnega izstopa iz polja. Pomembno je, da se pri
7/12

62. Gibanje nabojev 7.
QB
kroženju ne spreminja frekvenca kroženja, saj je v = ω R in zato ω = . S to frekvenco deluje tudi
m
vzbujevalno električno polje.
Za večje energije delcev (več kot 50 MeV) ciklotron ni več primeren, saj je potrebno upoštevati, da
se hitrost delca približuje hitrosti svetlobe in se ne povečuje več linearno. V namene pospeševanja
do večjih energij je potrebno uporabiti npr. sinhrotrone, ki so bistveno večji (radij kilometer ali več)
in sproti korigirajo smer delcev z električnim in magnetnim poljem.
SLIKA: Levo: Zgradba ciklotrona iz dveh D-jev (nasproti obrnjenih črk D). Desno: največji
ciklotron na svetu: TRIUMPH (University of British Calumbia, Kanada) pospeši H- ione do
energije 520 MeV. Je premera 18 m, težek 18 ton, znotraj je polje 0,46 T, delce pa pospešuje
napetostni vir 186 kV pri frekvenci 23 MHz (Wikipedia).
SLIKA: Levo: slika delovanja ciklotrona iz patenta US1948384, avtor Ernest O. Lawrence.
Desno: prvi delujoči ciklotron iz University of California.
8/12

63. Gibanje nabojev 7.
http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/early-years.html
http://bancroft.berkeley.edu/Exhibits/physics/bigscience02.html
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/articles/kullander/index.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotron
APLIKACIJA: MASNI SPEKTROGRAF
Je naprava, ki s pridom uporablja efekt odklanjanja nabitih delcev v magnetnem polju. Delce z
znano hitrostjo usmerimo v področje s homogenim poljem, kjer začnejo krožiti. Na izhodu iz
področja s poljem je fotografski film ali detektor, ki zazna prilet naboja. Iz znane začetne hitrosti in
polmera poti delca lahko določimo maso delca in s tem sam delec.
Primer: Ion z nabojem 1,6 10-19 C in maso 5,2 10-20 kg pospešimo v električnem polju s
potencialno razliko 1 kV, nakar vstopi v področje homogenega magnetnega polja 80 mT, ki je
prečno na smer leta iona. Na kolikšni razdalji od vhodne točke v polje delec prileti v zaslon, če je
zaslon od vstopne točke oddaljen za 25 cm?
Izračun: Hitrost delca pri vstopu v polje določimo iz izenačenja kinetične in potencialne energije
mv 2 2QU
= QU , od koder je hitrost delca ob vstopu v polje enaka v = ≅ 78,44 m/s , radij kroženja
2 m
mv
pa R = ≅ 319 m . Ker velja l = R ⋅ sin θ ⇒ θ = 44,9 ⋅ 10−3 o in y = R − R cos(θ ) ≅ 98 µm
QB
SLIKA: Odklanjanje v polju.
* DODATNO: RELATIVISTIČEN POGLED NA GIBANJE DELCEV
Spoznali smo, da lahko gibanje nabojev opišemo z Lorentzovo silo F = QE + Qv × B . Problem
razumevanja te sile lahko nastane, če na ta zapis gledamo iz različnih prostorov – koordinatnih
sistemov. Lorentz se je s temi vprašanji ubadal in prišel zelo blizu teoriji, ki je dandanes poznana
9/12

64. Gibanje nabojev 7.
kot teorija relativnosti. Einstein pa jo je opisal v svojem znamenitem delu iz leta 1905 z naslovom
»O elektrodinamiki telesa v gibanju«. Govori o tem, da mora veljati relativistična invariantnost
vsake teorije. Tudi elektromagnetne. Torej morajo veljati enaki zakoni v kakršnem koli
koordinatnem sistemu. S klasičnim razumevanjem Lorentzove sile tako lahko pridemo v težave v
primeru, ko se tudi koordinatni sistem premika z enako hitrostjo kot naboj. Običajno je lažje
razmišljati na način, da se opazovalec (mi) giblje obenem z nabojem. Glede na opazovalca naboj
miruje in nanj ne more delovati magnetna sila, saj je zanjo potrebno, da se delec giblje. Za
zunanjega opazovalca, recimo mu O2, ki pa se ne giblje in vidi gibanje naboja in prvega
opazovalca (O1), pa na naboj deluje sila. Ker ne more biti, da v enem primer na naboj deluje sila, v
drugem pa ne (zahteva po invariantnosti) je rešitev v t.i. Lorentzovi transofrmaciji, ki upošteva
gibanje različnih koordinatnih sistemov. V konkretnem primeru lahko zaplet rešimo tako, da
premikajoči opazovalec tudi opazi silo na naboj, ki pa ne bo magnetna temveč električna. Enaka bo
vB , kjer je v (skupna) hitrost gibanja. Iz tega vidimo, da sta električno in magnetno polje
neposredno povezana. Kaj pa, če se koordinatni sistem giblje z drugo hitrostjo, recimo u, delec pa s
,, ,, ,,
hitrostjo v. Tedaj lahko pišemo F = QE + Q(v − u ) × B . Z enakim razmislekom kot prej dobimo
F ,, = QuB + Q(v − u )( B) = QvB . Zopet enak rezultat in potrditev invariantnosti. Torej opazovalec,
ki se giblje z različno hitrostjo kot delec»vidi« dve polji, tako električno kot magnetno, ki pa se
delno med sabo izničita in rezultirata v enaki obliki kot prej. (povzeto po I Galili, D. Kaplan:
»Changing approach to teaching electromagnetism in a conceptually oriented introductory physics
course«, Am.J.Phys 65 (7), July 1997.)
ODKRITJE: Kvantni Hallov efekt.
Leta 1980 je nemški fizik Klaus von Klitzing odkril (Nobelova nagrada za leto 1985), da se
Hallova upornost ne spreminja zvezno s spremembo magnetnega polja pač pa skokovito in da ti
skoki nastopajo pri upornostih, ki niso odvisne od lastnosti materialov pač pa od določene
kombinacije osnovnih fizikalnih konstant deljenih s celim številom. Ugotovil je torej, da je tudi
upornost kvantizirana. Pri teh upornostih »običajna« Ohmska upornost izostane in material postane
Qe2
superprevoden. Hallova prevodnost je s kvantnim Hallovim efektom določena z enačbo σ = n ,
h
kjer je n celo število, Qe naboj elektrona in h Plankova konstanta (6,626 10-34 J s) in je izredno
h
natančno določena, tako, da je tudi sprejeta kot merilo za upornost ( je približno 25 812,8
Qe2
ohmov, http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_quantum_Hall_effect).
10/12

65. Gibanje nabojev 7.
SLIKA: Skokovito spreminjanje upornosti z magnetnim poljem.
(http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1998/press.html, K. von Klitzing, G. Dorda,
and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494, 1980).
PPT PRIKAZ: CIKLOTRONI, SIHHROTRONI IN MASNI SPEKTROGRAFI
PPT PRIKAZ: HALLOV EFEKT IN UPORABA TER DRUGI EFEKTI (GMR, ...)
POVZETEK:
1) Sila na naboj v električnem polju je F e = QE . Gibanje delca določa enačba ma = QE .
Gibanje je pospešeno, v smeri polja, delcu se povečuje kinetična, zmanjšuje pa potencialna
mv 2
energija. Kinetična energija je , potencialna pa QV .
2
2) Sila na naboj v magnetnem polju je F m = Qv × B . Sila deluje le na gibajoč naboj, usmerjena
pa je pravokotno na ravnino, ki jo določata vektorja hitrosti in polja. Naboj v magnetnem
mv
polju rotira, polmer rotacije v homogenem polju je R = . Smer rotacije je odvisna od
QB
predznaka naboja. Hitrost naboja ostaja pri rotaciji ista, zato se mu ne spreminja kinetična
energija.
3) V električnem in magnetnem polju je potrebno upoštevati obe sili, dobimo
F = QE + Qv × B . Ta zapis imenujemo Lorentzova sila.
11/12

66. Gibanje nabojev 7.
Primeri kolokvijskih in izpitnih nalog:
1. kolokvij, 11. april 2005
1. kolokvij , 17.4.2002
1. kolokvij, 4. maj 2006
1. kolokvij, 3. maj 2004
1. kolokvij , 17.4.2002
izpit, 19. januar 2006
izpit, 8. aprila 2002
izpit, 29. januar 2007
Izpit, 20. aprila 2005
12/12

67. Magnetne lastnosti snovi 8.
MAGNETNE LASTNOSTI SNOVI
Equation Section 8
Vsebina poglavja: vektor magnetizacije, magnetni naboj?, zveza med vektorjem magnetizacije
in tokom, magnetna poljska jakost in razširjen Amperov zakon, zveza med B, H in M, magnetna
susceptibilnost, relativna permeabilnost, zveza med B in H, magnetna napetost, magnetni
potencial, mejni pogoji magnetnega polja.
Vemo, da trajni (permanentni) magnet v svoji okolici povzroča magnetno polje. Kot smo že
ugotavljali, splošno velja Gaussov zakon za magnetno polje, ki »govori« o brezizvornosti
magnetnega polja. Od kod torej trajnim magnetom lastnost, da povzročajo magnetno polje?
Že Ampere je razrešil to vprašanje s trditvijo, da morajo obstajati nekakšni tokovi v snovi, ki
to polje povzročajo. Spoznanja moderne fizike so pokazala, da kroženje elektronov okoli
jedra atoma pa tudi lastno vrtenje elektrona okoli svoje osi določajo magnetne lastnosti snovi.
Kroženje elektrona okoli lastne osi opišemo s spinom elektrona. Spin elektrona je v osnovi
pojav, ki ga je mogoče razložiti le z upoštevanjem kvantne fizike, pri čemer se izkaže, da
elektron poseduje kotni moment, ki ga je mogoče povezati z magnetnim dipolnim momentom
m = IA . Vsi atomi imajo določene magnetne lastnosti, vendar velika večina zelo šibke, saj se
magnetno polje magnetnih momentov posameznih elektronov zaradi njihovega naključnega
gibanja izničuje. Snovi s takimi lastnostmi imenujemo diamagnetiki. Obstajajo pa določeni
atomi, v katerih se magnetni momenti ne izničujejo in povzročajo izrazito magnetno polje v
svoji okolici. Materiale s takimi lastnostmi imenujemo feromagnetiki (po železu, latinsko
Ferrum). Ti lahko tvorijo trajne magnete, ki si jih lahko predstavljamo kot skupek velikega
števila majhnih enako usmerjenih magnetkov. Te magnetke pa lahko opišemo z njihovimi
magnetnimi dipolnimi momenti (tokovnimi zankicami), ki v svoji okolici povzročajo
magnetno polje, ki je vsota polj posameznih zankic.
SLIKA: Trajni magnet (S in N), razdeljen na vrsto majhnih magnetov, ki jih opišemo z
množico tokovnih zankic.
1/16

68. Magnetne lastnosti snovi 8.
Vektor magnetizacije. Prehod iz mikroskopskega v makroskopsko obravnavo magnetnega
polja trajnih magnetov omogoča definiranje vektorja magnetizacije. Ta je definiran kot
povprečje magnetnih dipolnih momentov na enoto volumna:
M = lim
∑m , (8.1)
∆V →0 ∆V
kjer je ∆v makroskopsko majhen volumen (ki še vedno vsebuje milijone atomov oziroma
magnetnih momentov). Trajni magnet lahko torej namesto z upoštevanjem velikega števila
(atomskih - mikroskopskih) magnetnih momentov obravnavamo z (makroskopskim)
vektorjem magnetizacije. Ta način obravnave je zelo podoben načinu obravnave električnih
lastnosti snovi z vpeljavo vektorja polarizacije P. Enota vektorja magnetizacije je
 A ⋅ m2   A 
 3 
= .
 m  m
SLIKA: Vektor magnetizacije kot (volumska) gostota magnetnih dipolnih momentov.
Primer: Magnet v obliki cilindrične palice premera 1 cm in dolžine 5 cm ima enakomerno
magnetizacijo M = 5,3 103 A/m. Kolikšen je magnetni dipolni moment celotne palice?
Izračun: Uporabimo enačbo (8.1) in pišemo m = M ⋅ V = M ⋅ π r 2 L = 2, 08 ⋅10−2 Am.
Magnetni naboj1. Zgodovinsko gledano je bil za razlago trajnih magnetov, še bolj pa za
izračun polja, dolgo v uporabi koncept magnetnega naboja, pač analogno električnemu
naboju. Kljub temu, da se zavedamo, da magnetnega naboja v naravi ni, ga lahko definiramo
v smislu analogije z električnim nabojem. Obravnavamo ga s površinsko gostoto magnetnega
naboja σ m , ki je lahko pozitiven (na N strani magneta) ali negativen (na S strani). Celotni
magnetni naboj na N površini je tako Qm = σ m ⋅ A . Če ta naboj primerjamo z vektorjem
magnetizacije, ugotovimo, da velja σ m = − M ⊥ , kjer je M ⊥ komponenta vektorja
magnetizacije, ki je pravokotna na površino (normalna komponenta), torej σ m = en ⋅ M .
1
Kljub temu, da je koncept magnetnega naboja napačen v smislu njenega neobstoja, se v določenih primerih še
vedno uporablja (tako v študijski literaturi (npr. W. Saslow: Electricity, magnetism and light, Thomson Learning
2002), kot v praksi).
2/16

69. Magnetne lastnosti snovi 8.
Magnetni naboj »nastopa« torej le na mestih, kjer je vektor magnetizacije pravokoten na
površino. Analogija z elektrostatiko je neposredna: Električna sila na električni naboj je
F e = Qe ⋅ E , magnetna sila na »magnetni naboj« pa je F m = Qm ⋅ B . Silo med dvema dolgima
paličastima magnetoma razmaknjenima za razdaljo r (ki je dosti manjši od dolžine) lahko v
tem smislu ocenimo kar kot silo med dvema »točkastima« magnetnima nabojema (če
µ0Qm
2
upoštevamo le bližnja »pola«): Fm = .
4πr 2
SLIKA: Vpliv magnetizacije lahko upoštevamo z vpeljavo (fiktivnega) magnetnega
naboja, na N strani magneta s pozitivno gostoto magnetnega naboja σ m , na S strani pa z
negativno.
Ker smo uporabili analogijo z električnim nabojem, lahko uporabimo tudi izraze, ki smo jih
izpeljali za električno polje v okolici naelektrenih teles za določitev magnetnega polja v
okolici magnetiziranih teles. Na primer, magnetno polje tik nad tanko namagnetneno ploščo
σ σm
lahko določimo analogno električni poljski jakosti naelektrene ravnine E = kot B = µ0
2ε 0 2
Primer: Ocenimo magnetno polje tik nad površino trajnega magneta iz Alnica (AlNiCo)
dolžine 15 cm, pravokotnega preseka A = 1 cm2 , z magnetizacijo vzdolž daljše osi M = 8,5
105 A/m.
Izračun: Največji prispevek lahko pričakujemo od prispevka magnetnega naboja na površini,
kjer računamo polje. Tu lahko zaradi velike površine glede na točko merjenja (tik nad
σm
površino) uporabimo enačbo za namagnetneno ploščo, torej B = µ0 , kjer je σ m = M in je
2
M
torej B = µ0 ≅ 0,53 T . Drugi »pol« je dosti bolj oddaljen in njegov prispevek lahko ocenimo
2
kot prispevek »točkastega magnetnega naboja«. Ta prispevek bo torej velik
µ0Qm µ0 MA
B= = ≅ 377 µT . To vrednost je potrebno odšteti od že izračunanega, vidimo pa, da
4π r 2 4π r 2
3/16

70. Magnetne lastnosti snovi 8.
je dosti manjši in ga lahko tudi zanemarimo. Naj ponovno povemo, da magnetnih nabojev NI,
lahko pa ta koncept izkoristimo za izračun magnetnega polja v okolici magnetov ali sile na
magnete.
Zveza med magnetizacijo in površinskim tokom. Če primerjamo polje, ki ga v svoji okolici
povzroča trajni magnet in polje ravne tuljave, ugotovimo, da sta ti dve polji navzven enaki. To
nas tudi navede na misel, da lahko polje trajnega magneta prikažemo tudi kot posledico
površinskega toka oz. tokovne obloge (Km) ali pa kot tuljavo z N ovoji in tokom Im. Preproste
zveze to pokažejo na sledeč način
m I m ⋅ ∆ A I m N NI m
M= = = ⋅ = = Km . (8.2)
∆v ∆ A ⋅ ∆l ∆l N l
SLIKA: Trajni magnet s prikazom magnetizacije in tokovnih zankic, katerih vpliv na
magnetno polje ohranja le prispevek tokov na površini telesa. V tem smislu lahko
opišemo vpliv magnetizacije s površinskim tokom oz. tokovno oblogo.
Primer: Ocenimo velikost magnetnega polja v sredini trajnega magneta v obliki diska
polmera R = 2 cm in debeline l = 5 mm z magnetizacijo M = 5 104 A/m v smeri osi.
Uporabimo koncept izračuna s pomočjo opisa magneta s tokovno zanko s površinskim tokom.
Izračun: Iz enačbe (8.2) ugotovimo, da je M = K, torej je tok v zanki NI m = Kl = Ml = 250 A . V
µ0 I m
skladu z enačbo za polje v sredini tokovne zanke velja B = ≅ 7,85 mT .
2R
Magnetna poljska jakost (H) in razširjen Amperov zakon.
Naredimo preprost eksperiment. Vzemimo zračni toroid za katerega smo že pokazali, da je
polje v sredini ovojev enako
µ0 NI
B= , (8.3)
l
4/16

71. Magnetne lastnosti snovi 8.
kjer je l dolžina srednje poti in N število ovojev. Polje lahko izmerimo na primer s
postavitvijo Hallove sonde v sredino ovojev. Nato vzamemo toroidno jedro iz feromagnetika
in ga ovijemo z enakim številom ovojev. Pri vzbujanju s tokom I ugotovimo povečanje polja
v sredini ovojev (v praksi bi morali narediti majhno odprtino (režo) v feromagnetik za
vstavitev Hallove sonde)2.
SLIKA: Primerjava gostote magnetnega pretoka v zračnem toroidu in toroidu s
feromagnetnim jedrom.
Amperov zakon, kot smo ga poznali do sedaj, očitno ne bo več primeren za izračun polja v
feromagnetiku, saj povečanja polja ne predvidi. Zakon je potrebno spremeniti tako, da bo
upošteval tudi vplive magnetnih momentov v feromagnetiku. Spremenjena oblika bo
∫ B ⋅ dl = µ N ( I + I
L
0 m ), (8.4)
kjer smo z NIm označili tok zaradi magnetizacije feromagnetika. Ta tok lahko povežemo z
vektorjem magnetizacije, kot smo prikazali z enačbo (8.2). Polje znotraj toroida s
feromagnetikom bi torej lahko zapisali kot
 NI NI m   NI 
B = µ0  +  = µ0  +M . (8.5)
 l l   l 
Enačbo lahko preuredimo tako, da bo na desni strani enačbe le vzbujanje NI
B NI
−M = . (8.6)
µ0 l
Očitno bi torej lahko zapisali Amperov zakon v obliki, ki bi imela na desni strani enačbe le
vzbujanje NI, če bi pisali
 B 
∫µ
L 0
− M  ⋅ dl = NI .

(8.7)
2
Reža v feomagnetiku bo sicer nekoliko zmanjšala velikost polja, kar s poznavanjem vpliva zračne reže lahko
pri izračunu upoštevamo. (To bomo kasneje tudi naredili.) Da bi se izognili temu problemu, lahko spremembo
velikosti polja v feromagnetiku ugotovimo tudi posredno z vzbujanjem z izmeničnim signalom in merjenjem
inducirane napetosti na dodatnem (sekundarnem) navitju na toroidu. Tudi to bomo spoznali v nadaljevanju.
5/16

72. Magnetne lastnosti snovi 8.
Enačba postane zopet podobna prvotnemu zapisu Amperovega zakona, če definiramo novo
veličino, magnetno poljsko jakost H kot
B
H= −M . (8.8)
µ0
Amperov zakon dobi obliko
∫ H ⋅ dl = NI
L
. (8.9)
V slošnem je potrebno upoštevati, da je integral jakosti magnetnega polja po zaključeni poti
enak vsoti vseh objetih konduktivnih tokov, kar lahko zapišemo (tokovno polje!) v obliki
∫ H ⋅ dl = ∫ J
L A
c ⋅dA 3
AMPEROV ZAKON (8.10)
L predstavlja zaključeno zanko s površino A. Bistvena razlika med tem zapisom Amperovega
zakona in osnovnim (z Bjem) je v tem, da ta ni odvisen od snovi temveč le od vzbujalnih
tokov, ki jih zanka zajame. Vpliv snovi pa dobimo s povezavo med B, H in M.
Podobno, kot smo modificirali Amperov zakon, lahko modificiramo tudi Biot-Savartov zakon
za izračun polja v okolici tokovodnikov, saj preprosto upoštevamo kar H =
B
µ0
(
; M =0 : )
Idl × r
H =∫
4πr 3
L (8.11)
Zveza med B, H in M.. V primeru, da nas zanima gostota magnetnega pretoka pri uporabi
feromagnetikov, lahko najprej izračunamo jakost polja (z Amperovim zakonom ali pa z Biot-
Savartovim zakonom za H), nato pa iz enačbe (8.8) še gostoto pretoka. Pri tem enačbo (8.8)
običajno zapišemo kot
(
B = µ0 H + M ) (8.12)
3
Amperov zakon je ena od osnovnih enačb za opis elektromagnetnega polja. V splošni obliki, ki je tudi znana
kot prva Maxwellova enačba, je za tok na desni strani enačbe (8.12) potrebno upoštevati vse vrste tokov, ki
vplivajo na razvoj magnetnega polja (konduktivni in poljski tok) in je v integralni obliki običajno zapisana v
∂D
obliki ∫ H ⋅dl = ∫ J
L A
c ⋅d A+ ∫
A
∂t
⋅ d A.
6/16

73. Magnetne lastnosti snovi 8.
Magnetna poljska jakost ima očitno enako enoto kot vektor magnetizacije, torej A/m in je
neposredno povezana s tokovnim vzbujanjem.
Primer: Skicirajmo polje znotraj in v okolici trajnega magneta cilindrične oblike z
magnetizacijo v smeri osi. Vpliv magnetizacije upoštevajmo kot vpliv tokovne obloge, torej
polje določimo kot polje v okolici ravne tuljave (solenoida).
1) Gostota magnetnega pretoka (magnetno polje) ima enako obliko kot polje solenoida.
2) Zunaj magneta magnetizacije ni M = 0, torej je v skladu z enačbo (8.12) jakost
B
magnetnega polja H = in ima enako smer kot gostota magnetnega pretoka.
µ0
3) Jakost magnetnega polja znotraj magneta je usmerjena v nasprotni smeri kot je vektor
magnetizacije. To sledi iz razširjenega Amperovega zakona, saj ker ni zunanjega
tokovnega vira velja ∫ H ⋅ d l = 0 , torej mora biti določen del H-ja v smeri poti usmerjen
L
v drugo smer, da bo celotni integral po zaključeni (poljubni) poti enak nič.
4) Poleg tega, da je H znotraj magneta v nasprotni smeri, kot je M (in tudi B), je tudi smer
drugačna kot smer M-a in B-ja, saj mora veljati H = B − M , pri čemer sta znotraj
µ0
magneta B in M drugače usmerjena (razen na osi).
SLIKA: Prikaz gostote magnetnega pretoka v okolici tuljave (levo) in trajnega magneta
(desno). Trajni magnet ima homogeno magnetizacijo v smeri v desno.
7/16

74. Magnetne lastnosti snovi 8.
SLIKA: Prikaz jakost magnetnega polja v okolici tuljave (levo) in trajnega magneta
(desno). Trajni magnet ima homogeno magnetizacijo v smeri v desno.
Magnetna susceptibilnost in relativna permeabilnost. Velikost magnetizacije je odvisna od
velikost tokovnega vzbujanja. Običajno velja, da večanje vzbujanja povečuje magnetozacijo,
saj se usmerjenost magnetnih dipolov z večanjem vzbujanja vedno bolj orientira v smer
vzbujalnega polja. To zvezo opišemo kot
M = χm H 4
, (8.13)
kjer χm imenujemo magnetna susceptibilnost, ki je mera za dovzetnost materiala za
magnetizacijo pri vzpostavitvi magnetnega polja. Z upoštevanjem te zveze v enačbi (8.12),
dobimo
B = µ0 ( H + χ m H ) = µ0 (1 + χ m ) H = µ0 µr H , (8.14)
kjer µr imenujemo relativna permeabilnost in je brez enote. V skladu z enačbo (8.14)
določimo µr iz zveze med Hjem in Bjem
B
µr = . (8.15)
µ0 H
SLIKA: Linearna in nelinearna B/H karakteristika.
4
Ta zveza je lahko tudi bolj kompleksna, saj se lahko material različno magnetizira v različnih smereh pri
vzpostavitvi magnetnega polja. V takem primeru je potrebno susceptibilnost zapisati kot tenzor (v obliki
matrike), kar seveda še dodatno zaplete analizo magnetnih materialov. V tem primeru rečemo,da ima material
izotropne lastnosti, sicer pa anizotropne.
8/16

75. Magnetne lastnosti snovi 8.
Za določen material torej iz poznanega vzbujanja (Hja) in izmerjenega polja (Bja) določimo
relativno permeabilnost. Za feromagnetne materiale se izkaže, da ni linearna in je torej
funkcija vzbujanja µr = µ r ( H ) . Pa ne le to, izkaže se, da se relativna permeabilnost po
izključitvi vzbujanja spreminja drugače, kot pri vključitvi. Tej lastnosti rečemo histereza in
bistveno vpliva na uporabo magnetnih materialov v elektrotehniki.
Zveza med B in H. Enačbo (8.14) običajno pišemo kar v obliki
B = µH , (8.16)
kjer je µ = µr µ0 .
Analogija z elektrostatiko. Vsekakor je mogoče najti analogijo z elektrostatiko, kjer smo
električne lastnosti materialov opisali z električno susceptibilnostjo ali relativno
dielektričnostjo ter zvezo med gostoto električnega pretoka in električno poljsko jakostjo
D = ε r ε 0 E = ε E . Pri tem velja omeniti, da v smislu osnovnih veličin (tiste, ki so neposredno
povezane s pojmom sile) v magnetiki nastopa gostota magnetnega pretoka B, v elektrostatiki
pa električna poljska jakost E. Gostota električnega pretoka D in magnetna poljska jakost H
pa sta uvedeni predvsem v smislu lažje obravnave električnega in magnetnega polja v snoveh.
Primer: V toroidnem feromagnetnem jedru srednje dolžine 12 cm s 150 ovoji in tokom 1,2 A
je vzdolž srednje dolžine gostota magnetnega pretoka 1,22 T. Kolikšna je jakost magnetnega
polja, magnetizacija, relativna permeabilnost in magnetna susceptibilnost?
Izračun:
NI
H= = 1500 A/m,
l
B
M= − H ≅ 9, 69 ⋅ 105 A/m, .
µ0
B
µr = ≅ 647, χ = µr − 1 ≅ 646
µ0 H
9/16

76. Magnetne lastnosti snovi 8.
Magnetna napetost. V enačbi (8.9) nastopa tok pomnožen s številom ovojev kot vzbujanje
(vir) magnetnega polja. Zato ga pogosto imenujemo tudi magnetna napetost Θ = NI in
enačbo (8.9) zapišemo kot ∫ H ⋅ dl = Θ
L
ali v obratnem vrstnem redu kot
Θ= ∫ H ⋅ dl . (8.17)
L
Magnetna napetost je pomemben koncept pri analizi magnetnih sestavov iz feromagnetnih
materialov in navitij, ki jih lahko obravnavamo kot magnetna vezja. Tam magnetna napetost
predstavlja analogijo z električno napetostjo, le da se je potrebno zavedati, da je to v bistvu
vzbujalni tok pomnožen s številom ovojev. Njegova enota je torej A(mpere), pogosto rečemo
tudi Amperski ovoji.
Primer: Določimo magnetno napetost iz prejšnjega primera. Izračun: Θ = NI = 180 Aov. .
Magnetni potencial5. Če obstaja magnetna napetost, ali obstaja tudi magnetni potencial?
Obstaja, oziroma, lahko ga definiramo, vendar z eno omejitvijo. Za električni potencial je v
elektrostatiki veljalo, da je integral električne poljske jakosti po zaključeni poti enak nič, v
magnetostatiki pa to ne velja, saj je integral jakosti magnetnega polja po zaključeni poti enak
magnetni napetosti, oziroma toku, ki ga zanka oklene. Torej ima smisel definirati magnetni
potencial le tedaj, ko ga ne računamo po zaključeni poti. V tem primeru bo magnetna napetost
T2
med točkama T1 in T2 določena kot Vm (T1 ) − Vm (T2 ) = ∫ H ⋅ dl . Če si v točki T2 izberemo
T1
magnetni potencial enak nič, lahko magnetni potencial v točki T1 zapišemo kot
T2 (Vm = 0)
Vm (T1 ) = ∫
T1
H ⋅dl . (8.18)
Ko bomo obravnavali magnetna vezja bomo torej lahko govorili o tem, da imamo vzdolž
zaključene poti po jedru delne padce napetosti, ki so posledica magnetnih upornosti
5
Bolj natančno rečemo magnetnemu potencialu, ki ga opisuje enačba (8.18) skalarni
magnetni potencial, saj poznamo tudi vektorski magnetni potencial. Že ime samo pove, da
je slednji definiran kot vektor (običajno zapisan s simbolom A) in ima v teoriji
elektromagnetike pomembno vlogo, ga pa v okviru tega predmeta zaradi dodatne zahtevnosti
ne obravnavamo.
10/16

77. Magnetne lastnosti snovi 8.
materialov. Ker pa bomo računali po zaključeni poti, bo vsota padcev magnetnih napetosti
enaka magnetnim vzbujanjem, določenim s tokovi v navitjih okoli jedra.
Mejni pogoji magnetnega polja
Zanima nas, kako se spremeni magnetno polje pri prehodu iz ene snovi v drugo. Ti snovi
morata seveda imeti različne magnetne lastnosti, ki jih opišemo z njunima relativnima
permeabilnostima. Vzemimo dve snovi (prostora) s permeabilnostima µ1 in µ2 in poljema
B1 in B 2 , ki sta tik ob skupni meji (SKICA). Mejne pogoje lahko določimo z
upoštevanjem dveh splošno veljavnih zakonov: o brezizvornosti magnetnega polja (Gaussov
zakon za magnetiko) ∫ B⋅dA = 0
A
in o vrtinčnosti magnetnega polja (Amperov zakon)
∫ H ⋅ dl = ∫ J ⋅ d A .
L A
Če si zamislimo mali volumen, ki sega v obe snovi in obravnavamo
Gaussov zakon v limiti, ko stiskamo volumen proti mejam obeh snovi, ugotovimo, da se mora
fluks skozi mejno površino ohranjati, oziroma, da mora veljati Bn 2 ⋅ A = Bn1 ⋅ A , kjer sta
Bn1 in Bn 2 komponenti polja na meji snovi z indeksom 1 in 2, ki sta v smeri (iste) normale
na površino. Torej mora veljati
Bn 2 = Bn1. (8.19)
( )
V vektorski obliki pa enačbo (8.19) zapišemo kot e n ⋅ B 2 − B1 = 0 .
SLIKA: Skica dveh snovi in meje, fluks skozi mali volumen pri stiskanju v smeri meje.
stranski fluksi se izničijo, normalni se ohrani.
11/16

78. Magnetne lastnosti snovi 8.
Ugotovili smo torej, da morata normalni komponenti gostote magnetnega pretoka ostati
nespremenjeni. Ali velja to tudi za tangencialni komponenti? To obravnavajmo najprej v
primeru, ko na meji ni površinskih tokov. V tem primeru si zamislimo pravokotno zankico, ki
vsebuje polje obeh snovi. Upoštevamo Amperov zakon, ko zanko stiskamo v smeri meje.
Magnetne napetosti na stranicah s procesom stiskanja zanke (v limiti) izzvenijo, vzdolžne pa
se izenačijo, oziroma H t 2 ⋅ l − H t1 ⋅ l = 0 , kar tudi pomeni, da se ohranjata tangencialni
komponenti jakosti polja:
H t 2 = H t1 . (8.20)
SLIKA: Zanka, ki oklepa tako snov 1 kot 2 s smerjo integracije, tangencialnega H-ja in
limitiranje v smeri meje.
Kako torej dobimo še tangencialni komponenti gostote magnetnega pretoka? Preprosto, z
B
upoštevanjem H = (iz enačbe (8.14)) velja
µ
Bt 2 Bt1
= . (8.21)
µ2 µ1
Če sedaj upoštevamo še možnost, da po površini med snovema teče površinski tok (tokovna
obloga označena s simbolom K), moremo ugotoviti, da mora biti razlika tangencialnih
magnetnih jakosti ravno enaka gostoti toka po površini (tokovni oblogi K) :
H t 2 ⋅ l − H t1 ⋅ l = ± K . Gre za K, ki je pravokoten na smer tangencialnih komponent H-ja, pa še
smer (predznak) K-ja je pomembna. V tem smislu je ta pogoj najbolje zapisati kar z uporabo
vektorskega produkta kot
(
en × H 2 − H 1 = K , ) (8.22)
pri čemer je pomembna tudi smer normale, ki je definirana od snovi z indeksom 1 v snov z
indeksom 2.
12/16

79. Magnetne lastnosti snovi 8.
Primer: Ht1 = 0, Ht2 = 10 A/m. Skicirajmo smer in velikost tokovne obloge.
Rešitev: K = Ht2 = 10 A/m, smer pa je pravokotna na Ht2 in sicer tako, da v prvem mediju
ustvari polje, ki je nasprotno usmerjeno kot Ht2, saj se morata vpliva H-ja v drugem mediju in
tokovne obloge izničiti.
Primer: V zraku je homogeno polje 1,5 mT, ki je usmerjeno pod kotom 300 na normalo na
površino feromagnetika z relativno permeabilnostjo 1200. Kolikšna je gostota magnetnega
pretoka v feromagnetiku in pod kakšnim kotom je glede na normalo? NARIŠI SLIKO.
SLIKA:
Izračun: Normalna komponenta polja se ohranja in je torej enaka (glej (8.19))
Bn 2 = Bn1 = B1 ⋅ cos(300 ) = 1,3mT . Tangencialna komponenta pa se »ojača« za razmerje
µ2 µ
permeabilnosti (glej (8.21)): Bt 2 = ⋅ Bt1 = 2 ⋅ B1 ⋅ sin(300 ) = 0,9 T . V feromagnetiku je torej
µ1 µ1
polje precej »ojačano« glede na zunanjost. Normalna komponenta polja ne prispeva skoraj nič
k skupnemu polju v notranjosti: B2 = Bn 2 + Bt 2 = 0,9T . Zanimivo je pogledati še smer polja
B 
v feromagnetiku. Glede na normalo bo ta kot enak α = Arc tan  t 2  = 98,90 , torej skoraj
 Bn 2 
enak 900. To je pomemben rezultat, saj kaže, da čim magnetno polje vstopi v feromagnetik, se
njegova pot popolnoma spremeni in usmeri praktično vzdolž njegove oblike.
13/16

80. Magnetne lastnosti snovi 8.
SLIKA: Magnetno polje v okolici tuljave
(puščice in barve) z vloženim
feromagnetnim materialom. Polje znotraj
feromagnetika se izrazito poveča v skladu z
mejnimi pogoji. Predvsem se poveča
tangencialna komponenta (v razmerju
permeabilnosti), kar ima tudi za posledico
prevladujočo usmerjenost fluksa v smeri
vzdolž feromagnetika. (simulacija s
programom Comsol Multiphysics)
SLIKA: Polje podkvastega
magneta. Ravna dela imata
trajno magnetizacijo,
ukrivljen del je iz
feromagnetnega materiala.
(simulacija s programom
Comsol Multiphysics)
14/16

81. Magnetne lastnosti snovi 8.
POVZETEK:
1. Magnetne lastnosti snovi so posledica rotacije elektronov okoli jedra in spina
elektronov v atomih. Te rotacije lahko opišemo kot majhne tokovne zanke, te pa z
magnetnim dipolnim momentom. Na te deluje magnetna sila oz. navor, ki jih poskuša
zavrteti v smer polja.
2. Vpliv velikega števila usmerjenih magnetnih dipolnih momentov na celotno magnetno
polje modeliramo z vpeljavo vektorja magnetizacije, ki predstavlja (volumsko) gostoto
magnetnih dipolnih momentov.
3. Magnetno polje se poveča, če vanj vnesemo feromagnetni material, kar je posledica
usmerjanja magnetnih dipolnim momentov v feromagnetiku v smer polja. To
povečanje polja zapis Amperovega zakona v obliki ∫ B ⋅ dl = µ NI ne predvidi, ker ne
L
0
upošteva dodatnih tokov magnetizacije. V ta namen smo modificirali Amperov zakon
v obliko ∫ H ⋅ dl = NI , kjer je H magnetna poljska jakost (v A/m). Bolj splošen zapis
L
je ∫ H ⋅ dl = ∫ J
L A
c ⋅ d A , kjer desna stran predstavlja zaobjeti konduktivni (vzbujalni)
tok. Prednost tega zapisa Amperovega zakona je v tem, da je H neodvisnen od
prisotnosti magnetnih materialov.
( )
4. Zveza med B in H je B = µ0 H + M . Med vzbujanjem H in magnetizacijo M
vpeljemo zvezo M = χ m H , kjer je χ m magnetna susceptibilnost, ki je snovna
lastnost.. Sledi zveza B = µ0 ( H + χ m H ) = µ0 (1 + χ m ) H = µ0 µr H = µ H , kjer
µr imenujemo relativna permeabilnost. Za feromagnetike je zveza med B in H
nelinearna.
5. Analogno električni napetosti lahko definiramo magnetno napetost, ki pa po zaključeni
poti ni enaka nič pač pa zaobjetemu vzbujalnemu toku Θ = ∫ H ⋅ dl . Enota je torej
L
A(mpere), včasih zapišemo tudi kot »amperske ovoje« Aov.. O magnetnem potencialu
lahko govorimo le v primeru nezaključene poti.
6. Na meji dveh magnetnih snovi se ohranja normalna komponenta gostote magnetnega
pretoka Bn 2 = Bn1 in v primeru, da na meji ni površinskega toka tudi tangencialna
komponenta magnetne poljske jakosti H t 2 = H t1 . V primeru, ko je na površini tok (ki
ga opišemo s tokovno oblogo K), je razlika tangencialnih komponent enaka temu toku,
ki pa je usmerjen prečno na tangencialno komponento.
15/16

82. Magnetne lastnosti snovi 8.
PRIMERI MAGNETNIH MATERIALOV (POKAŽI)
1. RLS prečno magnetiziran magnet za dajalnike kota (NeFeB)
2. Iskra magneti: Prečno magnetiziran magnet za majhne motorčke (AlNiCo)
3. Iskra magneti: Močan magnet za magnetne zavore
4. Magnet za pritrditev mobitela (NS NS magnetizacija), problem pritrditve
5. NSNSNS magneti za otroke
6. Iskra Feriti: Feritni lončki
7. Iskra Feriti: Nikelj (surovina)
Primeri kolokvijskih in izpitnih nalog:
Mejni pogoji:
1. kolokvij, 13. april 2006
1. kolokvij 19.04.2001
Izpit, 28. avgust 2006
Izpit 28. 01. 2005
Izpit, 18. 09. 2003
izpit, 6. februar 2003
Izpit, 17. 01. 2002
16/16

83. Magnetni materiali 9.
MAGNETNI MATERIALI, HISTEREZNA ZANKA IN
RAČUNANJE MAGNETNIH STRUKTUR
Equation Section 9 Vsebina poglavja: magnetni materiali (diamagnetiki, paramagnetiki, antiferimagnetiki,
ferimagnetiki, superparamagnetiki, feromagnetiki), krivulja magnetenja, histerezna zanka,
razmagnetenje, računanje magnetnih struktur.
Kot smo že omenili, imajo vsi materiali določene magnetne lastnosti, le da so močno izražene
le pri zelo redkih. Glede na obnašanje snovi v magnetnem polju jih delimo na diamagnetike,
paramagnetike, feromagnetike, antiferomagnetike, ferimagnetike in superparamagnetike.
Diamagnetiki izkazujejo izredno šibke magnetne lastnosti. Magnetni dipolni momenti
kroženja elektronov in njihovega spina se v taki snovi kompenzirajo. Se pa pod vplivom
zunanjega magnetnega polja nekoliko celo zmanjša magnetno polje v notranjosti, ker je vpliv
zunanjega polja na spin elektronov nekoliko močnejši kot na orbitalni moment. Te snovi
imajo negativno magnetno susceptibilnost oziroma relativno permeabilnost, ki je malo manjša
od 1. Primeri takih snovi so Cu (relativna permeabilnost 0,999983), Au, Ag, Hg, H2O
(0,999991), itd. Če diamagnetik postavimo v bližino močnega trajnega magneta, bo med
njima odbojna sila (neodvisno od pola magneta). To je odkril že Michael Faraday leta 1846 na
primeru bizmuta (0,99983).
SLIKA: M kaže v nasprotni smeri kot vzbujanje. Diamagnetik se odbija od trajnega
magneta: sila je v smeri manjše gostote polja.
Paramagnetiki so snovi, v katerih ni ravnotežja med magnetnimi dipolnimi momenti zaradi
kroženja elektronov in spina. Vsak atom izkazuje rezultančni magnetni dipolni moment, ki pa
se zaradi neurejenosti strukture kompenzirajo. Se pa s postavitvijo take snovi v magnetno
1/13

84. Magnetni materiali 9.
polje v določeni meri magnetno polje v notranjosti nekoliko poveča (usmerijo se magnetni
dipoli) v smeri zunanjega polja. Take snovi so npr. aluminij (1,00002), platina, mangan, kisik,
zrak (1,0000004).
V smislu upoštevanja magnetnih lastnosti dia- in paramagnetikov bi lahko zaključili, da je
njihova susceptibilnost v praksi najpogostelje zanemarljiva.
SLIKA: Magnetizacija kaže v smeri vzbujalnega polja. Sila na paramagnetik v polju je
v smeri večje gostote polja.
SLIKA: B(H) magnetilna krivulja za vakuum, diamagnetike in paramagnetike.
Antiferimagnetiki so snovi, v katerih se magnetni momenti sosednjih atomov usmerijo v
nasprotni smeri, zato je skupen magnetni moment teh snovi pri vzpostavitvi zunanjega polja
enak nič.
Ferimagnetiki imajo tudi nasprotno usmerjene
magnetne momente, vendar njihova vrednost ni
enaka nič. Še vedno pa ni ta efekt tako izrazit kot
pri feromagnetikih. So pa določeni ferimagnetiki, ki
jih imenujemo feriti izredno pomembni v
elektrotehniki, saj je v nasprotju z feromagnetiki
2/13

85. Magnetni materiali 9.
njihova električna prevodnost zelo majhna, kar s pridom izkoriščamo tam, kjer bi sicer imeli
velike izgube zaradi ohmskih tokov (vrtinčni toki) pri višjih frekvencah. Srečamo ga tudi v
naravi, kot magnetit (železov oksid Fe3O4).
Superparamagnetiki so feromagnetiki, ki so vmešani v dielektričen material. Uporabljajo se
npr. za audio in video trakove.
Feromagnetiki. V feromagnetikih ima vsak
atom relativno velik magnetni dipolni
moment. Le ta je posledica neuravnoteženih
momentov spinov elektronov, kar se da
prikazati z uporabo spoznanj kvantne fizike.
Tipični predstavnik feromagnetikov so železo
(5000), nikel (600) in kobalt (250), ki so v periodičnem sistemu na mestih 26, 27 in 28. Poleg
izraženih dipolnih momentov na nivoju atoma, se ti atomi v kristalni strukturi grupirajo v
območja, ki jim pravimo magnetne domene, znotraj katerih so momenti orientirani, navzven
pa so domene neurejene in zato tudi magnetno polje ni izrazito. Lahko pa se pod vplivom
zunanjega polja magnetni momenti v domenah usmerijo v smer zunanjega polja. Proces
orientiranja se odvija po fazah, tako, da se najprej nekoliko povečajo domene, katerih stene
tvorijo majhen kot glede na zunanje polje. Pri taki reorientaciji je polje reverzibilno: če
izklopimo zunanje polje, se domene vrnejo v prvoten položaj. Če se zunanje polje še dodatno
poveča, se začnejo obračati celotne domene. Če potem izklopimo zunanje polje, se domene ne
vrnejo več v začetno stanje, temveč ostanejo delno orientirane. Če pa zunanje polje še
povečujemo, prihaja do nasičenja, ko so praktično že vsi dipolni momenti domen usmerjeni v
smer polja. Povečevanje polja s strani feromagnetika ni več mogoče. Gostota magnetnega
pretoka sicer še naprej narašča vendar le kot posledica povečevanja vzbujanja. Relativna
permeabilnost se ob približevanju nasičenja zmanjšuje in približuje vrednosti 1 (feromagnetik
se obnaša kot zrak).
SLIKA: Primer zgradbe feromagnetnega materiala z domenami in magnetnimi
dipolnimi momenti. Prikaz usmerjanja dipolov pred magnetizacijo in ob nasičenju.
3/13

86. Magnetni materiali 9.
Krivulja magnetenja. Zanima nas, kako se
magnetizacija spreminja z večanjem vzbujalne
gostote magnetnega pretoka. Namesto
opazovanja M(B), je bolj običajno, da zunanje
vzbujanje opišemo z jakostjo magnetnega
polja H, rezultat magnetenja pa opazujemo z
naraščanjem gostote magnetnega pretoka B.
Dobimo torej B(H) krivuljo, ki pa pri
feromagnetikih ni linearna. Na začetku je
naklon manjši, potem največji in pri velikih
vzbujanjih zopet manjši (nasičenje). Začetni
krivulji magnetenja rečemo deviška krivulja,
ker se ob izklopu zunanjega vzbujanja gostota
pretoka ne vrne na nič, pač pa na neko
vrednost, ki je različna od nič.
SLIKA: Magnetilna krivulja s tipičnimi izrazi: deviška krivulja, nasičenje. Meja
reverzibilnega in ireverzibilnega procesa. Prikaz zveze B(H) v vakuumu.
Relativne permeabilnost (statična, dinamična, inkrementalna)
Z upoštevanjem zveze med Bjem in Hjem je relativna permeabilnost definirana kot
B
µr,s = . (9.1)
µ0 H
To permeabilnost imenujemo tudi statična in je primerna za obravnavo v primerih, ko se
magnetilni tok ne spreminja ali pa je take oblike, da jo lahko dobro aproksimiramo s premico.
Tej permeabilnosti rečemo tudi statična, saj ni definiran z naklonom krivulje pač pa z
razmerjem med B in H. Zadnji odsek predstavlja nasičenje, kjer relativna permeabilnost
4/13

87. Magnetni materiali 9.
postane enaka 1. Pri feromagnetikih so vrednosti relativne permeabilnosti nekaj tisoč do nekaj
sto tisoč. Vrednost statične relativne permeabilnosti je odvisna od točke računanja in bo
zaradi nelinarne magnetilne krivulje tudi sama nelinearna. V smislu lažjega računanja jo
pogosto poenostavimo tako, da lineariziramo magnetilno krivuljo. Tako postane statična
relativna permeabilnost konstanta. V nasičenju pa ima relativna statična permeabilnost
vrednost 1.
V določenih primerih (npr. pri vzbujanju z majhnimi izmeničnimi signali) je bolj primerno
upoštevati le del krivulje magnetenja pri čemer je bolj smiselno upoštevati naklon na krivuljo
v določeni (delovni) točki. Tako dobimo dinamično relativno permeabilnost, ki je definirana
1 dB
kot µr,d = .
µ 0 dH
SLIKA: Prikaz statične relativne permeabilnosti kot razmerje med B in µ0H v točki.
Krivulja ima določen maksimum in pade v nasičenju na vrednost 1.
Če imamo opravka z izmeničnim signalom, ki je superponiran na enosmernega, je običajno
bolj primerno uporabiti t.i. inkrementalno relativno permeabilnost, ki ni definirana z odvodom
∆B
krivulje pač pa z diferencami v lokalni histerezni zanki µr,i = . Ta je manjša od
µ0 ⋅ ∆ H
dinamične permeabilnosti.
Histerezna zanka: Do določenega Bja je proces magnetenja še reverzibilen, ko pa je ta
vrednost presežena, se pri zmanjševanju vzbujanja B počasneje zmanjšuje kot pri
povečevanju. Dobimo histrezno zanko. Ko je vzbujanje izklopljeno, ostane v materialu
določeno polje, ki ga imenujemo remanenčno in označimo z Br. Če smer vzbujanja obrnemo,
se zmanjšuje polje in pri določeni vrednosti vzbujanja pade na nič. Tej točki vzbujanja rečemo
5/13

88. Magnetni materiali 9.
koercitivna jakost polja in jo označimo s Hc. Pri še povečanem vzbujanju pridemo do
nasičenja v negativni smeri. Vzbujanje zopet zmanjšujemo do nič in nato do nasičenja, kjer se
začetna in končna krivulja stakneta.
SLIKA: Histerezna krivulja s prikazom remanenčne gostote magnetnega pretoka (Br), ki
ostane v materialu po izklopu vzbujanja in koercitivne jakost polja (Hc), kjer je gostota
pretoka enaka nič.
Mehkomagnetni in trdomagnetni materiali.
Če želimo material uporabiti kot trajni magnet, je primerno uporabiti material, ki ima veliko
vrednost remanenčne gostote polja. Poleg tega je pomembno tudi, da ga ni lahko razmagnetiti,
torej mora imeti veliko tudi koercitivno jakost polja. Najboljši materiali za trajni magnet
imajo veliko vrednost produkta Hc in Br. Takim materialom rečemo tudi trdomagnetni.
Mehkomagnetni materiali imajo ozko histerezno zanko in veliko permeabilnost. Tipičen
mehkomagnetni material je čisto železo. Zelo ozke histerezne zanke imajo tudi feritni
materiali.
SLIKA: Primerjava med histerezno zanko mehkomagnetnega materiala in
trdomagnetnega materiala.
Razmagnetenje. Običajni način razmagnetenja je zmanjševanje izmeničnega polja, pri čemer
pa moramo začeti razmagnetenje z amplitudo, pri kateri je material v nasičenju. Določeni
6/13

89. Magnetni materiali 9.
materiali so zelo občutljivi na mehanske udarce (so krhki), ki tudi lahko delno spremenijo
magnetne lastnosti. Poleg tega vsak material izgubi magnetne lastnosti pri dovolj visoki
temperaturi, ki jo imenujemo Curiejeva temperatura. Pri tej temperaturi snov zaradi
povečanega termičnega gibanja izgubi magnetne lastnosti. Pri železu je Tc=7700 C.
SLIKA: Primer uporabe prečno
magnetiziranega trajnega magneta NeFeB za
aplikacijo dajalnika kota, ki se ga določa z
odčitavanjem magnetnega polja. Pod
senzorjem se nahaja čip z množico Hallovih
elementov in elementi za obdelavo signalov.
Čip je bil razvit na Fakulteti za
elektrotehniko v Ljubljani, celotni produkt
pa trži slovensko podjetje RLS: www.rls.si.
7/13

90. Magnetni materiali 9.
RAČUNANJE MAGNETNIH STRUKTUR
Spoznali smo obliko Amperovega zakona izraženo z jakostjo magnetnega polja H:
∫ H ⋅ dl = NI . Ugotovili smo, da je ta oblika zapisa posebno primerna za obravnavo polja v
L
snoveh z izraženimi magnetnimi lastnostmi (npr. feromagnetiki). Zveza med gostoto
( )
magnetnega pretoka in jakostjo polja je B = µ0 H + M = µr µ0 H = µ H , kjer je zveza lahko
podana v matematični obliki (konstantna permeabilnost ali nelinearna funkcija H-ja) ali pa je
podana grafično – v obliki magnetilne krivulje. Za analizo magnetnih struktur nam služi ravno
Amperov zakon, ki pa ga moramo nekoliko poenostaviti. Namesto v integralni obliki ga
zapišemo kot vsoto posameznih padcev magnetne napetosti. Tako dobimo obliko
N
∑H
i =1
i ⋅ li = Θ . (9.2)
Desna stran enačbe predstavlja tokovno vzbujanje (lahko je več takih vzbujanj), leva stran
enačbe pa so padci magnetne napetosti na posameznih odsekih po zaključeni magnetni poti.
Pri tem smo morali narediti določeno poenostavitev in sicer, da je po preseku jedra polje
homogeno in da računamo razdalje li po srednji dolžini gostotnice (po sredini jedra).
Poleg zgornjega zapisa, ki spominja na Kirchofov zakon o vsoti napetosti po zaključeni poti,
potrebujemo še povezavo med gostotami pretoka v sosednjih odsekih poti. To zvezo dobimo
iz zakona o brezizvornosti magnetnega polja ( ∫ B ⋅ d A = 0 ), ki ga zopet zapišemo v diskretni
A
N
obliki ∑Φ
i =1
i =0, (9.3)
kjer je N število odcepov. Poglejmo si to na primeru E oblike jedra na sliki.
SLIKA: Prikaz srednjih dolžin gostotnic ter vsote
fluksov v jedru E oblike. Veljati mora:
Φ1 + Φ2 + Φ3 = 0 .
8/13

91. Magnetni materiali 9.
PRIMERI IZRAČUNOV:
Primer 1: Navitje na feromagnetnem jedru s konstantno permeabilnostjo brez zračne
reže: Na feromagnetnem jedru pravokotnega preseka 1 cm2 s sredno dolžino gostotnice 24 cm
je navitje s tokom 1,2 A in 150 ovoji. Relativna permeabilnost feromagnetika je 647. Določite
gostoto magnetnega pretoka, fluks v jedru in induktivnost navitja. (SLIKA)
Izračun:
NI = Hl ⇒ H = 750 A/m
B = µr µ0 H = 0,6 T
Φ = BA = 6 ⋅ 10-5 Wb
NΦ
L= = 7,5 mH.
I
Primer 2: Navitje na jedru iz feromagnetika s konstantno permeabilnostjo in z zračno
režo: Vzemimo enako jedro kot v primeru 1, pri čemer naj ima jedro še 1 mm široko zračno
režo. Privzemimo, da v zračni reži ni stresanja polja (enako homogeno kot v jedru). Kolikšno
polje dobimo v zračni reži in feromagnetiku pri enakem vzbujanju ter kolikšna je induktivnost
navijta? (SLIKA)
Izračun: Vsota vseh padcev magnetnih napetosti po zaključeni dolžini magnetne poti mora
N
biti enaka magnetnemu vzbujanju ∑H
i =1
i ⋅ li = Θ . Imamo dva padca magnetnih napetosti: eno
v feromagnetiku in drugo v zračni reži. Predpostavili bomo, da je polje v feromagnetiku
(index m) homogeno po prerezu in da računamo integral po srednji dolžini magnetne poti:
H m ⋅ lm + H zr ⋅ lzr = NI . Sedaj Hje izrazimo z Bji, pri čemer je potrebno upoštevati različne
Bm Bzr
relativne permeabilnosti (v zraku le µ0): ⋅ lm + ⋅ lzr = NI . (9.4)
µrm µ0 µ0
Da dobimo zvezo med poljem v feromagnetiku in zračni reži uporabimo enačbo (9.3) iz
katere sledi, da mora biti fluks skozi jedro enak fluksu skozi zračno režo:
Φ m = Φ zr torej zaradi predpostavljene homogenosti polja Bm ⋅ Am = Bzr ⋅ Azr . Če zanemarimo
stresanje polja v zračni reži ( Am = Azr ), je gostota polja v feromagnetiku enako velika gostoti
polja v zračni reži: Bm = Bzr . Z upoštevanjem tega v enačbi (9.4) dobimo izraz za izračun
9/13

92. Magnetni materiali 9.
µ0 NI
polja v feromagnetiku (in zračni reži) Bm = . Vidimo, da se je polje znotraj
lm
+ lzr
µrm
feromagnetika zmanjšalo glede na prejšnji primer (0,9 T) in sedaj znaša 0,16 T. Prav tako se
zmanjša tudi lastna induktivnost, ki je sedaj 2 mH.
Vprašanje: Zakaj potem sploh uporabiti zračno režo, če pa tako močno zmanjša polje?
Ponavadi je zračno režo potrebno uporabiti zato, da se zmanjšajo nelinearnosti, ki so
posledica nelinearne zveze med Bjem in Hjem, ki se odraža v nelinearni relativni
permeabilnosti. Zračna reža deluje kot magnetni upor, ki je popolnoma linearen in zmanjša
končen vpliv nelinearnosti feromagnetika. Potrebno je najti ravno pravi kompromis, ki daje
dovolj velik odziv, nelinearnosti pa morajo biti znotraj določenih okvirov (meja).
Primer 3: Navitje na feromagnetnem jedru brez zračne reže. Upoštevamo magnetilno
krivulja feromagnetika.
Vzemimo feromagnetno jedro iz litega jekla pravokotne preseka 1 cm2. Na jedru je navitje s
150 ovoji, srednjo dolžino gostotnice 24 cm in tokom 1,2 A. Določimo gostoto magnetnega
pretoka, fluks v jedru in induktivnost navitja.
Izračun: Zapišemo H m ⋅ lm = NI od koder sledi Hm = 750 A/m. Bm določimo iz magnetilne
krivulje, kot prikazuje slika. Dobimo Bm = 0,95 T. Fluks bo torej = 95 µWb in induktivnost
L=11,8 mH. Ta induktivnost ni več linearna, temveč je odvisna od toka vzbujanja, medtem ko
je bila pri jedru s konstantno permeabilnostjo konstantna.
SLIKA: Primer določitve gostote pretoka iz znane jakosti polja.
10/13

93. Magnetni materiali 9.
Primer 4: Navitje na jedru z zračno režo. Upoštevamo magnetilno krivuljo
feromagnetika. Podan je NI, iščemo fluks ali gostoto pretoka.
Vzemimo jedro iz primeru 3, ki pa mu dodamo 1 mm široko zračno režo.
Zopet lahko pišemo H m ⋅ lm + H zr ⋅ lzr = NI . Jakost polja v zračni reži izrazimo z gostoto
pretoka v zračni reži, ki je ob zanemaritvi stresanja polja enaka kot v jedru. Torej velja
Bm
H m ⋅ ( lm − lzr ) + ⋅ lzr = NI . To je enačba z dvema neznankama. Druga zveza med B in H je
µ0
podana z magnetilno krivuljo. Primer lahko rešimo s preizkušanjem ali pa grafično:
Izračun s preizkušanjem: enačbo napišemo z vstavljenimi vrednostmi (enostavneje kar brez
enot) H m ⋅ 0, 24 + Bm ⋅ 796 = 180 . Pri pravilno izbranem Bm in Hm mora biti leva stran enačbe
enaka 180. Izberemo si določen B in na magnetilni krivulji poiščemo ustrezen H. Preverimo
če rezultat ustreza in se s preizkušanjem bližamo rešitvi.
Bm = 1 T, Hm = 800 A/m, H m ⋅ 0, 24 + Bm ⋅ 796 = 988 ; mnogo preveč
Bm = 0,5 T, Hm = 320 A/m, H m ⋅ 0, 24 + Bm ⋅ 796 = 475 ; mnogo preveč
Bm = 0,2 T, Hm = 200 A/m, H m ⋅ 0, 24 + Bm ⋅ 796 = 207 ; blizu rešitve
Bm = 0,15 T, Hm = 150 A/m, H m ⋅ 0, 24 + Bm ⋅ 796 = 155, 4 ; premalo
Zaključimo, da mora biti Bm med 0,2 in 0,15 T.
Izračun z grafičnim postopkom: Gornja enačba predstavlja enačbo premice, ki v presečišču z
magnetilno krivuljo določa delovno točko. Potrebujemo dve točki na premici. Najbolj
enostavno kar Bm(Hm=0) = 0,226 T in Hm(Bm=0) = 750 A/m. Skozi ti dve točki potegnemo
premico in odčitamo delovno točko.
SLIKA: Primer grafičnega določanja delovne točke in posledično magnetne napetosti.
11/13

94. Magnetni materiali 9.
Primer 5: Jedro z zračno režo. Podan fluks ali gostota toka, iščemo NI.
Isto kot primer 3 in 4, le da iščemo magnetno napetost pri želeni gostoti pretoka v zračni reži.
Na primer pri B = 0,5 T.
Enačba je enaka kot v prejšnjem primeru, postopek pa je direkten. Ker zanemarimo stresanje
polja v zračni reži, je gostota pretoka v jedru enaka kot v zračni reži. Iz magnetilne krivulje
odčitamo H pri B = 0,5 T, ki je 320 A/m in vstavimo v enačbo. Dobimo 475 A.
Primer 6: Izračun trajnega magneta.
Poiščimo velikost magnetizacije trajnega magneta z zračno režo dolžine 5 mm, pri čemer je
magnet oblike toroida okroglega preseka notranjega polmera 2,5 cm in zunanjega polmera 3,5
cm. V zračni reži smo izmerili polje 50 mT (spremenjena vrednost!).
3,5 cm+2,5cm
lm = 2π = 6π cm .
2
Izračun: Ker ni (zunanjega) vzbujanja, bo veljalo H m ⋅ lm + H zr ⋅ lzr = 0 , od koder je
H zr ⋅ lzr
Hm = − .Vidimo, da je smer jakosti polja v magnetu različna kot v zračni reži. In ker
lm
je smer gostote pretoka v zračni reži enaka smeri jakosti polja ( B = µ0 H ), lahko zaključimo,
da je smer B-ja v magnetu različna od smeri H-ja (to smo ugotovili tudi že v prejšnjem
poglavju). Ker zvezo med B in H v zraku vedno poznamo, lahko določimo H v železu
Bzr
lm
µ0
Hm = − = −1,84 kA/m . Ker sta fluksa v zračni reži in magnetu enaka, sta tudi gostoti
lm
pretoka enaki (če ne upoštevamo stresanja polja) je polje v magnetu enako veliko kot polje v
zračni reži, 0,05 T. Z upoštevanjem stresanja bi morali upoštevati efektivno zmanjšanje
zračne reže za (Carterjev) faktor približno 0,7. Magnetizacijo dobimo iz izraza
Bm
Bm = µ0 H m + µ0 M , od koder je M = − H m = 40,87 ⋅103 A/m .
µ0
SLIKA: Jakost polja in gostota pretoka ter magnetizacija v magnetu in zračni reži.
12/13

95. Magnetni materiali 9.
Delovna točka magneta. Ugotovili smo, da sta B in H pri trajnem magnetu nasprotnega
Bm ⋅ lzr
predznaka, saj velja H m = − . Torej se delovna točka magneta nahaja na magnetilni
lm
krivulji v drugem kvadrantu. Temu delu histerezne zanke rečemo tudi krivulja
demagnetizacije ali razmagnetilna krivulja. Enačba predstavlja naklon premice in v
presečišču s krivuljo magnetenja določa delovno točko. Za trajni magnet si večinoma želimo,
da ima čim večji produkt B-ja in H-ja. Optimalna delovna točka je tam, kjer je produkt Bja in
Hja največji. Kot bomo videli, določa produkt B-ja in H-ja gostoto magnetne energije v jedru.
Desno od grafa B(-H) običajno narišemo še graf B(B H), kjer lahko identificiramo točko z
največjim produktom BH.
SLIKA: Delovna točka trajnega magneta.
Primeri kolokvijev in izpitov:
Magnetizacija, trajni magnet:
kolokvij, 9. maj 2005
izpit, 20. junij 2006
izpit, 19. januar 2006
izpit, 8. aprila 2002
izpit, 24. junij 2004
Feromagnetik podan z magnetilno krivuljo:
kolokvij, 13. april 2006
kolokvij, 3. maj 2004
kolokvij, 15. april 2004
kolokvij, 07. maja 2002
Feromagnetik z ali brez zračne reže, konstantna
permeabilnost:
kolokvij, 4. maj 2006
izpit 23. junija 2006
13/13

96. Feromagnetiki in ferimagnetiki v praksi
Uporaba feromagnetikov in ferimagnetikov v praksi
Efektivna permeabilnost in faktor induktivnosti.
Enačbo, ki smo jo izpeljali za polje v feromagnetiku z zračno režo se v praksi pogosto zasledi
v katalogih proizvajalcev feromagnetnih in feritnih jeder zapisano v smislu efektivne relativne
permeabilnosti. Z dodatkom zračne reže v jedro se namreč polje zmanjša in lahko pišemo
µ0 NI µ rm µ0 NI µrm µ0 NI µ r ,ef µ0 NI
Bm = = = = ,
lm lm + µrmlzr  l  lm
+ lzr lm 1 + µrm zr 
µ rm  lm 
µ rm
kjer je efektivna relativna permeabilnost določena kot µr ,ef .
lzr
1 + µrm
lm
Zapis z efektivno relativno permeabilnostjo je posebno pogost pri zapisu induktivnosti
feromagnetnega jedra z zračno režo, kjer dobimo induktivnost kot
Ψ NΦ µ ref µ0 N A
2
L= = = . Pogosto je za jedra podan t.i. faktor induktivnosti AL, ki je
I I lm
L
določen kot AL = . To popolnoma poenostavi izračun potrebne induktivnosti, saj jo
N2
dobimo kar z množenjem faktorja induktivnosti s kvadratom števila ovojev.
SLIKA: Izsek prospekta podjetja Iskra FERITI (skupina Kolektor), ki kaže primere uporabe
feritnih jeder, ki jih izdeluje podjetje. Prospekti so na voljo na spletnih straneh podjetja, žal le v
angleškem jeziku: www.iskra-feriti.si. Na sliki je prikazan primer RM jedra z izmerami in
pomembnim podatkom AL, iz katerega določimo potrebno induktivnost z množenjem s
kvadratom ovojev.
1/5

97. Feromagnetiki in ferimagnetiki v praksi
SLIKA: Aplikacije in primeri jeder, ki so predlagani za te aplikacije. Vir: Iskra Feriti.
Upoštevanje stresanja fluksa v zračni reži.
V dosedanjih primerih smo predpostavili, da je polje homogeno tudi v zračni reži. To je dober
približek le v primeru, ko je zračna reža ozka v primerjavi z dolžino preseka jedra. Če to ne
velja, je potrebno upoštevati, da se gostotna cevka v zračni reži razširi, oziroma, da je polje
stresano v okolici zračne reže. To lahko upoštevamo kot povečano (efektivno) površino
preseka zračne reže ali pa kot efektivno podaljšano širino zračne reže. To podaljšanje
upoštevamo s t.i. Carterjevim faktorjem, ki je odvisen od širine zračne reže in dolžina preseka
jedra d: δ C = C ⋅ δ :
d 3 - 6 10 - 20 30 - 100
δ
C 0,67 – 0,76 0,80 – 0,87 0,90 – 0,96
Uporaba programov za numerično simulacijo magnetnih struktur.
Pri dimenzioniranju magnetnih jeder si pogosto pomagamo tudi z numerično simulacijo. Ta je
zelo primerna tudi za lažje razumevanje porazdelitve polja v feromagnetih, omogoča pa tudi
izračune jeder bolj kompleksnih oblik, stresanje polja, oblike navitja, itd. En od programov, ki
je brezplačen za uporabo je Maxwell SV (Student version). Naložite si ga iz interneta in ga
preiskusite.
2/5

98. Feromagnetiki in ferimagnetiki v praksi
SLIKA: Prikaz numeričnega izračuna polja v jedru brez in z zračno režo. Numeričen izračun
upošteva realno geometrijo jedra in s tem tudi prikaže efekt stresanje polja v zračni reži kot tudi
vse druge nehomogenosti, ki so posledica geometrijskih danosti. Ugotovimo lahko, da je polje v
jedru precej homogeno, v zračni reži pa se razširi po okolici. Če primerjamo še velikosti polja
pri enakem vzbujanju v obeh primerih, ugotovimo precejšnje zmanjšanje polja v primeru
uporabe zračne reže.
Trajni magneti.
V poglavju 9 smo že ugotovili, da je delovna točka trajnih magnetov v drugem kvadrantu. Za
te (trdomagnetne) materiale so torej ponavadi prikazuje le
ta del histerezne zanke, ki ga imenujemo tudi demagnetilna
ali razmagnetilna karakteristika. Za te materiale se podaja
predvsem koercitivna jakost polja Hc in remanenčna
gostota pretoka Br , pogosto pa tudi maksimalni produkt
Bja in Hja, ki predstavlja največjo možno gostoto energije
magneta. Spodja slika kaže tipične razmagnetilne krivulje
za materiale Neodij-železo-bor (NeFeB), Samarij-kobalt
(SmCo), Aluminij-nikelj-kobalt (AlNiCo). Tipično je
tudi, da pogosto proizvajalci vztrajajo pri uporabi starih
enot (Oerstead za jakost polja (namesto A/m) in Gauss za
gostoto magnetnega pretoka (namesto T)), kar je pač
potrebno vedeti in upoštevati pretvorbo.
V Sloveniji je med večjimi proizvajalci predvsem
podjetje Magneti Ljubljana d.d. (nekoč Iskra Magneti), med prodajalci magnetov in aplikacij
pa tudi podjetje Magsis.
3/5

99. Feromagnetiki in ferimagnetiki v praksi
SLIKA: Primer grafa iz prospekta podjetja Dexter, ki prikazuje demagnetizacijske krivulje
najpogosteje uporabljenih materialov za trajne magnete. Opazimo lahko tudi vztrajanje
proizvajalcev pri starih (nedovoljenih) enotah za gostoto magnetnega pretoka in magnetno
poljsko jakost, kar pa običajno podajo v dodatni preglednici, glej naslednjo sliko. Pogosto
odločitev o uporabi določenega materiala za trajni magnet ne temelji na kakovosti magneta pač
pa na ceni: izberemo tak material, ki še zadovoljuje naše potrebe in je cenen.
SLIKA: Preglednica, ki se uporablja za pretvorbo med starimi (žal še vedno v praksi
uporabljanimi) CGS enotami in mednarodno sprejetim sistemom SI enot (iz kataloga podjetja
Dexter: www.dextermag.com).
4/5

100. Feromagnetiki in ferimagnetiki v praksi
Eksperimenti:
S pomočjo magnetov si je mogoče zamisliti mnogo najrazličnejših
eksperimentov. Poglejte si spletno stran
http://www.coolmagnetman.com/magindex.htm. Npr: lebdeči vlak ali
izstrelitvena ploščad. Na isti strani so opisani tudi eksperimenti z
elektromagneti in pa eksperimenti, ki razlagajo oz. uporabljajo princip elektromagnetne indukcije.
Privoščite si kakšnega!
Poleg omenjene strani, lahko raziščete bogato morje drugih spletnih naslovov, ki opisujejo to področje
in so zbrani na strani http://www.coolmagnetman.com/maglinks.htm
Poleg te bi veljalo pregledati še povezave na strani
http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/webresources.html
5/5

101. Magnetna vezja 10.
MAGNETNA VEZJA
Vsebina poglavja: Diskretizacija Amperovega zakona in zakona brezizvornosti magnetnega
polja, magnetna upornost, magnetno vezje.
Spoznali smo obliko Amperovega zakona izraženo z jakostjo magnetnega polja H: ∫ H ⋅ dl = NI .
L
Ugotovili smo, da je ta oblika zapisa posebno primerna za obravnavo polja v snoveh z izraženimi
magnetnimi lastnostmi (npr. feromagnetiki). Zveza med gostoto magnetnega pretoka in jakostjo
( )
polja pa je B = µ0 H + M = µr µ0 H = µ H . Gostota magnetnega pretoka se ob uporabi
feromagnetika izrazito poveča, kar s pridom izkoristimo v vrsto namenov. Tuljave tako pogosto
navijemo okoli feromagnetnih jeder. Za analizo takih sestavov nam služi ravno Amperov zakon, ki
pa ga moramo nekoliko poenostaviti. Namesto v integralni obliki ga zapišemo kot vsoto
posameznih padcev magnetne napetosti. Tako dobimo obliko
N
∑H
i =1
i ⋅ li = Θ . (10.1)
Desna stran enačbe predstavlja tokovno vzbujanje (lahko je več takih vzbujanj), leva stran enačbe
pa so padci magnetne napetosti na posameznih odsekih po zaključeni magnetni poti. Pri tem smo
morali narediti določeno poenostavitev in sicer, da je po preseku jedra polje homogeno in da
računamo razdalje li po srednji dolžini gostotnice (po sredini jedra).
Poleg zgornjega zapisa, ki spominja na Kirchofov zakon o vsoti napetosti po zaključeni poti,
potrebujemo še povezavo med gostotami pretoka v sosednjih odsekih poti. To zvezo dobimo iz
zakona o brezizvornosti magnetnega polja (), ki ga zopet zapišemo v diskretni obliki
N
∑Φ
i =1
i =0, (10.2)
kjer je N število odcepov.
Magnetna upornost. Že doslej smo govorili o magnetni napetosti, o viru magnetne napetosti Θ in
o padcih magnetne napetosti H l. Ali lahko govorimo tudi o »magnetnem toku« in »magnetni
N
upornosti«? Lahko, le enačbo ∑H
i =1
i ⋅ li = Θ bomo v ta namen nekoliko preoblikovali. Ker smo
predpostavili homogenost polja v preseku jedra, lahko za fluks pišemo
Φ = B ⋅ A = µH ⋅ A (10.3)
1/4

102. Magnetna vezja 10.
in nadomestimo H s fluksom:
N
li
∑Φ
i =1
i ⋅
µi Ai
=Θ (10.4)
V enačbi (10.4) prepoznamo podobnost električni upornosti ravnega vodnika, ki smo jo zapisali v
l
obliki Re = , kjer je γ specifična električna prevodnost snovi. Očitno lahko analogno izrazimo
γA
magnetno upornost kot
l
Rm = , (10.5)
µA
kjer je µ permeabilnost, lahko bi rekli tudi specifična magnetna prevodnost. Večja kot je
permeabilnost, bolj je material “magnetno prevoden”. Enota magnetne upornosti seveda ni Ohm,
 
 m  A  1 
pač pa 
Vs  =   =  .
 ⋅ m 2   Vs   s 
 Am 
Enačba (10.4) bo torej z upoštevanjem magnetne upornosti enaka
N
∑Φ
i =1
i ⋅ Rmi = Θ . (10.6)
Primerjalno z Ohmovim zakonom in Kirchofovimi zakoni za električno vezje, lahko tvorimo t.i.
magnetna vezja, kjer fluks zamenja vlogo toka, vlogo virov prevzame magnetna napetost z
amperskimi ovoji, namesto električne pa nastopa magnetna upornost. Tako lahko obravnavamo
poljubno magnetno vezje, kjer pa je potrebno upoštevati, da mora biti relativna permeabilnost
konstantna. Omejeni smo torej na tiste primere, kjer je magnetilna krivulja podana v obliki
premice.
Primer: Določimo polje v jedru magneta iz naloge 2 še z uporabo magnetnega upora.
Izračun: Ker je fluks skozi jedro in zračno režo le en, magnetna upora pa dva, pišemo:
2/4

103. Magnetna vezja 10.
Φ ⋅ Rm + Φ ⋅ Rδ = NI
Φ ⋅ ( Rm + Rδ ) = NI
NI NI µ0 NIA
Φ= = =
Rm + Rδ lm
+
lδ lm
+ lδ
µ rm µ0 A µ0 A µ rm
Φ µ0 NI
B= =
A lm
+ lδ
µ rm
, enako kot pri drugem primeru.
Za analizo magnetnih vezij lahko uporabimo vse metode za analizo električnih vezij, ki smo jih
spoznali pri predmetu Osnove elektrotehnike I, kot npr. zančna metoda, metoda superpozicije,
metoda spojiščnih potencialov pa tudi Theveninov in Nortonov teorem.
Primer: Določite fluks v zračni reži dolžine 1 mm, če so I1 = 1 A, N1 = 100 ,I2 = 0,5 A, N2 = 400, a=2 cm,
A=1 cm2, µ rz = 100 ?
2a 2a Vm
I1 R2 Rδ
R1
N1 2A 3a
A +
R3
A N1I1
+
N2 I2 N2I2
Izračun: Najprej narišemo magnetno vezje z magnetnimi upornostmi in viri magnetne napetosti. V
našem primeru imamo tri stebre, kar v vezju predstavimo s tremi vejami vezja. Leva in srednja veja
imata eno po magnetno upornost, v desni veji imamo dve magnetni upornosti, eno zaradi magnetne
upornosti feromagnetika, drugo pa zaradi magnetne upornosti zračne reže. Vire moramo pravilno
označiti. Potrebno je preveriti, kako je jedro navito in v katero smer teče tok. Smer toka, ki jo na
viru označuje znak “+” mora ustrezati smeri fluksa v jedru, ki ga poganja vir.
Način reševanja je lahko poljuben. V konkretnem primeru bomo uporabili metodo spojiščnih
potencialov, saj je v tem primeru potrebno zapisati le eno enačbo. (Ponovi metode reševanja vezij).
Vsota vseh fluksov v zgornje spojišče mora biti enak nič: Φ1 + Φ 2 + Φ 3 = 0 . Flukse izrazimo z
3/4

104. Magnetna vezja 10.
magnetnim potencialom (spodnje spojišče ozemljimo, potencial zgornjega označimo z Vm, napetost
med spojiščema je torej Vm.):
Vm − N1 I1 Vm Vm + N 2 I 2
+ + =0
R1 R2 Rδ + R3
Magnetne upornosti so:
7a
R1 =
100 µ0 A
3a
R2 =
100 µ0 2 A
.
7a − δ
R3 =
100 µ0 A
δ
Rδ =
µ0 A
Po ustavitvi v zgornjo enačbo in preurejanju dobimo
Vm − N1 I1 V V + N2 I2
+ m + m = 0.
7a 3a / 2 7 a + 100δ
Vm − 100A Vm Vm + 200A
Sedaj vstavimo vrednosti in dobimo + + = 0 . Rešitev je Vm = −1, 24 A .
14 cm 3cm 24cm
Očitno se vpliv virov med sabo odšteva, rezultat je ta, da fluks v desnem stebru povzroča skoraj
izključno magnetna napetost navitja na tem stebru.Fluks skozi zračno režo bo
Vm + N 2 I 2
Φ3 = = 10, 5 µWb .
Rδ + R3
Naloge:
Magnetna vezja:
izpit, 23. januar 2007
1. kolokvij , 17.4.2002
izpit, 14. junij 2006
Izpit, 10. marec 2006
4/4

105. Statična, dinamična, inkrementalna in začetna permeabilnost
Relativna permeabilnost podaja velikost povečanja gostote magnetnega pretoka, če (v
jedru) uporabimo magnetni material.
Glede na tipe vzbujanj razlikujemo več 3
različnih definicij in uporabe relativne
permeabilnosti. Za enosmerna vzbujanja 2.5
je bolj primerna statična relativna
permeabilnost, za vzbujanje z 2
izmeničnimi signali pa dinamična ali
B /T
tudi inkrementalna relativna 1.5
permeabilnost.
Namen prikazane simulacije je prikazati 1
razlike v definicijah. V ta namen
vzamemo primer magnetilne krivulje, ki 0.5
jo aproksimiramo z zamaknjeno arkus
0
tangens funkcijo (matematična oblika je 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
H / A/m
opisana na koncu teksta)
Statična relativna permeabilnost je 3 600
B
določena kot µ r = . Iz zgornje
µ0 H
krivulje dobimo sliko na desni (rdeče B,
zeleno µr)
2 400
B /T
1 200
0 0
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
H / A/m
Dinamična relativna permeabilnost je
določena z odvodom Bja po Hju: 4 1000
1 dB
µr,d = .
µ 0 dH
Slika desno (rdeče B, zeleno µrd)
Ugotovimo, da je oblika dinamične
relativne permeabilnosti tudi dejansko 2 500
bolj dinamična od statične in dosega
večje vrednosti.
0 0
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

106. Razliko med dinamično in statično relativno permeabilnostjo lahko prikažemo tudi na
skupni sliki spodaj (zelena – dinamična, rdeča - statična):
1000
staticna
dinamicna
900
800
700
600
mi, relativna
500
400
300
200
100
0
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
H / A/m
Poleg dinamične in statične relativne permeabilnosti poznamo še inkrementalno, ki je
∆B
določena kot µ r,i = in je odvisna od oblike lokalne histrerezne zanke.
µ0 ⋅ ∆ H
Inkrementalna permeabilnost bo vedno nekoliko manjša od dinamične.
Poznamo še začetno ali inicijalno permeabilnost, ki je določena (kot ime pove) pri
majhnih vrednosti Bja oz. kar z začetnim naklonom B-H krivulje. Le-ta je običjano okoli
10% maksimalne statične permeabilnosti.
Program v Matlabu za izris karakteristik:
mi0=4*pi*1e-7;
Hmax=10000;
ds=0.01
s=-pi:ds:4*pi;
H=(s+pi)/(4*pi)*Hmax;
B=atan(s)-atan(-pi)
plot(H,B)
mir=B./(mi0*H);
plotyy(H,B,H,mir)
dH=diff(H);
difmir=[0 diff(B)/dH(1)]/mi0;
figure; plotyy(H,B,H,difmir)
figure; plot(H,mir,H,difmir)

107. Inducirana napetost 11.
Inducirana napetost
Equatio n Section 11
Vsebina poglavja: Inducirana napetost izražena s časovno
spremembo magnetnega pretoka (sklepa) skozi zanko
(tuljavo), inducirana napetost izražena z lastno ali
medsebojno induktivnostjo, padec napetosti na tuljavi,
realna tuljava, induktivna upornost pri izmeničnih signalih,
dogovor zapisa o podpiranju fluksov med dvema tuljavama,
faktor sklopa, gibalna in rezalna inducirana napetost, 2.
Maxwellova enačba.
V tem poglavju bomo nadgradili spoznanja o magnetnih pojavih
v stacionarnih razmerah (pri konstantnem toku) z analizo razmer
Michael Faraday (1791-1867): en
pri časovno spremenljivih signalih. Ugotovili bomo, da pri največjih znanstvenikov in izumiteljev:
elektromagnetna indukcija, dinamo,
časovno spremenljivih signalih pride do pojavov, ki jih v elektroliza, odkril vrsto kemijskih
substanc, vpeljal pojme anoda, katoda,
enosmernih razmerah nismo opazili. Najpomembnejša elektroda, ion, …
http://en.wikipedia.org/wiki/Michael_
ugotovitev bo, da pri časovni spremembi fluksa skozi tuljavo na
Faraday
priključkih tuljave zaznamo (izmerimo) napetost, ki jo bomo
poimenovali inducirana napetost.
Časovno spreminjajoči fluks v tuljavi povzroči inducirano
napetost. Michael Faraday je prvi ugotovil, da tedaj dobimo
napetost na sponkah tuljave, ki je enaka časovni spremembi
fluksa skozi tuljavo pomnoženim s številom ovojev tuljave,
Predavanja Faradaya so bila izredno
dΦ priljubjena tudi med širšo množico.
matematično torej N .
dt
Napetosti, ki se ob spremembi časovni fluksa skozi tuljavo pojavi na priključnih sponkah
imenujemo inducirana napetost. Je takega predznaka, da bi po sklenjeni zanki (kratko sklenjeni
tuljavi) pognala tok, katerega fluks bi nasprotoval prvotnemu fluksu skozi zanko. Temu »pravilu«
rečemo tudi Lentzovo pravilo, ki ga matematično upoštevamo s predznakom minus:
dΦ
ui = − N . (11.1)
dt

108. Inducirana napetost 11.
V primeru, da ne gre skozi vseh N ovojev celoten fluks, je potrebno upoštevati že obravnavan
pojem magnetnega sklepa, kjer za eno zanko z N1, N2 ... ovoji in pripadajočimi fluksi skozi ovoje
velja
Ψ = ∑ ± NiΦι , (11.2)
i
ali v primeru, da gre celoten fluks skozi N ovojev zanke Ψ = NΦ . Z upoštevanjem koncepta
magnetnega sklepa je inducirana napetost enaka
dΨ
ui = − . (11.3)
dt
SLIKA: Eksperimenti z inducirano napetostjo: a) premikanje trajnega magneta v tuljavi, b)
premikanje tuljave pri mirujočem magnetu, c) s spreminjanjem fluksa skozi tuljavo ustvarimo
inducirano napetost, ki požene tok skozi žarnico.
SLIKA: Zanka znotraj katere fluks s časom narašča v določeni smeri. V vodniku, ki objema fluks
inducira tako električno polje, ki bi v primeru sklenjenega vodnika v njem povzročilo (induciran) tok,
ki bi s svojim fluksom nasprotoval osnovnemu.
Inducirana napetost v zanki pri znani spremembi magnetnega pretoka skozi zanko.
Oglejmo si primer, ko se v tuljavi časovno spreminja gostota magnetnega pretoka zaradi zunanje
spremembe polja.

109. Inducirana napetost 11.
Primer: Tuljavica z N=100 ovoji površine A = 2 cm2 je postavljena pravokotno na smer polja, ki se
spreminja harmonično po enačbi B(t ) = Bo sin(103 s-1t ) , kjer je Bo = 50 mT. Določimo inducirano
napetost na sponkah tuljave.
Izračun: Gre za krajevno homogeno polje, zato je fluks skozi tuljavico enak kar
Φ (t ) = B(t ) A = Bo A sin(103 s-1t ) = 10sin(103 s-1t ) µVs . Inducirana napetost je
Φ (t )
ui = −Ν
dt
= −100 ⋅
d
dt
(10sin(103 s-1t ) µVs ) == −10 ⋅100 ⋅103 cos(103 s-1t ) µV = −1cos(103 s-1t ) V
SLIKA: Tuljavica v homogenem časovno spreminjajočem se polju.
Ugotovili smo, da se v tuljavi inducira napetost, če se znotraj tuljave časovno spreminja magnetno
polje. V izračunanem primeru je bil fluks skozi ovoje tuljave posledica spreminjanja magnetnega
polja, ki ni bil posledica toka skozi ovoje tuljave. Ali se na sponkah tuljave pojavi napetost tudi v
primeru, da je povzročitelj spremembe fluksa v tuljavi lasten tok v tuljavi? Odgovor je pozitiven.
Inducirana napetosti na tuljavi pri znanem toku skozi ovoje tuljave in padec napetosti na
tuljavi.
Pri računanju fluksa skozi tuljavo smo ugotavljali, da je le ta odvisen od toka v ovojih tuljave. V
primeru, da ni posredi feromagnetnih materialov, velja linearna zveza med magnetnim sklepom in
tokom skozi tuljavo Ψ = ΝΦ = LI , od koder je lastni induktivnost tuljave
Ψ NΦ
L= = .
I I
Ta povzroči na sponkah tuljave inducirano napetost
dΨ d ( Li ) di
ui = − =− = −L .
dt dt dt
Pri tem pa je potrebno opozoriti na pravilno razumevanje predznaka inducirane napetosti. Ta
predznak je uveden zato, da se pravilno interpretira učinek spreminjanja fluksa pri nastanku

110. Inducirana napetost 11.
inducirane napetosti, ki je tak, da se v zanki generira taka notranja (generatorska) napetost , ki z
lastnim induciranim tokom nasprotuje spremembam fluksa v zanki. V konkretnem primeru pa
gledamo na tuljavo s stališča bremena, saj tok skozi tuljavo povzroča na njej padec napetosti.
Gledano na tuljavo s stališča bremena (ki ga v smislu koncentriranega elementa shematično
predstavimo z nekaj narisanimi ovoji), je padec (bremenske) napetosti ravno nasproten
(generatorski) inducirani napetosti
di
u L = −uiL = L . (11.4)
dt
V prvem primeru opazujemo pojav inducirane napetosti z vidika vira napetosti,v drugem pa z
vidika bremena.
SLIKA: Tuljava z induktivnostjo kot koncentriran element. Smer padca (zunanje) napetosti
je nasprotna smeri inducirane (notranje) napetosti in je v smeri vzbujalnega toka.
Inducirana napetost na tuljavi pri vzbujanju tuljave s harmoničnim (sinusnim) tokom.
Poglejmo si razmere na konkretnem primeru.
Primer: Tok skozi tuljavo z induktivnostjo L = 2 mH se spreminja harmonično, z amplitudo I0 =
0,5 A in periodo T = 5 ms. Določimo padec napetosti na tuljavi.
Izračun: Najprej moramo tokovni signal zapisati v matematični obliki. Zagotoviti moramo
ponovitev signala na vsakih 5 ms, zato tok zapišemo v obliki* i (t ) = 0,5sin (ωt ) A = I 0 sin(ωt ) , kjer
1 1
je frekvenca signala enaka f = = = 200 s-1 = 200 Hz , kotna frekvenca ω pa je
T 5 ms
di
ω = 2πf = 2π200 Hz ≃ 1, 26 ⋅ 103 s-1 . Odvajamo tok: = I 0ω cos(ωt ) in ga pomnožimo z
dt
*
Za osnovo bi lahko vzeli tudi kosinusni tokovni signal.

111. Inducirana napetost 11.
di
induktivnostjo in dobimo u L = L = LI 0ω cos(ωt ) ≅ 1, 26 cos(1, 26 ⋅103 s -1t )V . Rezultat lahko
dt
 π
zapišemo tudi kot 1, 26sin  ωt +  V .
 2
Iz rezultata ugotovimo, da se napetost na tuljavi spreminja z enako frekvenco kot tok, vendar je
 π
napetostni signal časovno zamaknjen glede na tokovnega za kot 900: cos (ωt ) = sin  ωt +  . Če
 2
oba signala narišemo v časovnem diagramu, ugotovimo, da doseže napetostni signal maksimalno
amplitudo za četrtino periode pred tokovnim signalom. To običajno opišemo kot prehitevanje
napetosti na tuljavi za tokom za kot π / 2 . Enakovredno lahko rečemo tudi, da tok na tuljavi
zaostaja za napetostjo za kot π / 2 .
Kako si razložimo ta zamik? Če si zamislimo harmonično spreminjajoč se tok skozi tuljavo,
ugotovimo, da bo časovna sprememba toka največja tedaj, ko tok zamenja predznak, tedaj pa bo
tudi padec napetosti na tuljavi zaradi največje spremembe fluksa največji. Ko bo tok okoli ničle, bo
napetost maksimalna, kar opišemo s sinusnim potekom toka in s kosinusnim potekom napetosti.
1.5 1.5
tok (A) tok (A)
napetost (V) napetost (V)
1 1
0.5 0.5
tok, napetost
tok, napetost
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0.005 0.01 0.015 ω t /rd
Cas /s
π
SLIKA: Napetost na tuljavi (črtkano) prehiteva tok (pikčasto) za četrtino periode signala   . Slika
2
na levi ima na abscisi čas t, na desni pa kot ωt . Perioda je pri ωt = 2π ≃ 6,28 . Prikaz na desni
omogoča neposredno odčitavanje faznega kota med tokom in napetostjo.

112. Inducirana napetost 11.
Kako se spreminja amplituda napetosti glede na frekvenco signala? Ugotovimo, da bo amplituda
večja pri višji frekvenci in sicer se linearno veča s frekvenco signala: uL = U m cos(ωt ) , kjer je
U m = LI oω . To je tudi razumljivo, saj zaradi časovno hitrejšega spreminjanja toka zvečuje tudi
največja sprememba toka in s tem napetost.
Realna tuljava – ohmska in induktivna upornost.
Nobena tuljava ni idealna (razen, če jo ohladimo blizu absolutne ničle, ko pade ohmska upornost
ovojev na nič), pač pa ima tudi neko ohmsko upornost*. Ta je v osnovi odvisna od specifične
l
prevodnosti materiala (pri navitjih običajno kar baker), preseka in dolžine: R = . V realni tuljavi
γA
tako lahko ločimo dva padca napetosti: zaradi padca napetosti na ohmski upornosti (Ohmov zakon)
in padca napetosti na t.i. induktivni upornosti†. Matematično bi za napetost na tuljavi zapisali
di
u = uR + uL = iR + L . (11.5)
dt
Slika: Padec napetosti na realni tuljavi kot vsota dveh padcev napetosti: na ohmski in
induktivni upornosti.
Primer: Vzemimo, da upoštevamo poleg induktivnosti tuljave iz drugega primera (Tok skozi
tuljavo z induktivnostjo L = 2 mH se spreminja harmonično, z amplitudo I0 = 0,5 A in periodo T =
5 ms.) še njeno upornost, ki naj bo 1 Ω. Kolikšna bo sedaj napetost na tuljavi?
*
Če pa smo še bolj natančni, moramo upoštevati tudi kapacitivno komponento, ki postane pomembna predvsem pri
višjih napetostih.
†
V resnici dveh padcev napetosti na tuljavi ne moremo »fizično« ločiti, saj nastopata hkrati in na zunanjih
sponkah opazujemo skupen učinek. Lahko pa ju ločeno obravnavamo v matematičnem smislu.

113. Inducirana napetost 11.
Slika: Tuljava z upornostjo oz. tuljava in upor.
Izračun: V skladu z enačbo (11.5) bo napetost na tuljavi enaka
d
u = RI 0 sin(ωt ) + L ( I 0 sin(ωt ) ) = RI 0 sin(ωt ) + LI 0ω cos(ωt ) .
dt
Amplituda padca napetosti zaradi induktivnosti bo 1,26 V (kot smo že izračunali), zaradi ohmske
upornosti pa 0,5 A ⋅ 1 = 0,5 V . Ali bo skupna napetost 1,26 V + 0,5 V? Ne. Napetost na tuljavi je
vsota dveh napetosti, ki pa sta časovno zamaknjeni za četrtino periode signala. Zato amplitude ne
moremo preprosto sešteti. Lahko pa ugotovimo, da je dobljeni napetosti signal zopet sinusne oblike
in da je amplituda in faza signala v skladu z matematično zvezo
a sin(ωt ) + b cos(ωt ) = a 2 + b 2 sin(ωt + ϕ ) = A sin(ωt + ϕ ) . A je amplituda signala in je v
konkretnem primeru enaka A = I 0 R 2 + (ω L) 2 = 1,36 V , ϕ pa je fazni kot in označuje prehitevanje
b
ali zaostajanje signala za prvotnim signalom. Določimo ga kot ϕ = arctan   = 68,36o . V našem
a
primeru bo rezultat u (t ) ≅ 1, 36 ⋅ sin(1, 26 ⋅103 s -1t + 68, 360 ) V . Predznak plus predstavlja prehitevanje
napetostnega signala pred tokovnim, ki pa v primeru realne tuljave ni 900, pač pa nek manjši kot,
pač v skladu z velikostjo padcev napetosti na idealni tuljavi in na ohmski upornosti tuljave.
SLIKA: Tokovno vzbujanje (modra pikčasta črta). Napetost na induktivnosti tuljave (črtkano,
zelena), napetost na ohmski upornosti tuljave (pikčasto, po obliki in vrednosti enako tokovnemu

114. Inducirana napetost 11.
signalu) in skupna napetost na tuljavi (polna rdeča črta). Napetost na realni tuljavi prehiteva tok
tuljave za kot 900 < ϕ < 00 .
Kazalci. Pogosto si pri izračunu zvez med tokom in napetostjo olajšamo delo z grafičnim prikazom
le teh s t.i. kazalci. Vsak kazalec predstavlja eno od veličin, ki se vrti okoli izhodišča glede na
kotno hitrost, pri čemer upoštevamo še fazo signala. Zveza med tokom in napetostjo na ohmski
upornosti tuljave je preprosta, saj se »vrtita« skladno, v isti legi. Rečemo tudi, da sta tok in napetost
v fazi. Kazalec napetosti idealne tuljave pa je premaknjen glede na tokovnega za kot 900. Skupen
padec napetosti bo vsota obeh kazalcev, ki ju grafično seštejemo. Dobimo amplitudo napetosti kot
vsoto kvadratov in določimo še zamik med kazalcema napetosti in toka – fazni kot. Tangens tega
kota je enak razmerju velikosti kazalcev ali pa kar razmerju induktivne in ohmske upornosti.*
SLIKA: Prikaz kazalčnega diagrama toka in napetosti na idealni in realni tuljavi.
Induktivna upornost - reaktanca. Kot smo ugotovili, je amplituda padca napetosti na tuljavi pri
vzbujanju s harmoničnim signalom sorazmerna produktu amplitude toka in produkta ωL. Slednji
predstavlja upornost tuljave pri izmeničnih signalih in jo imenujemo induktivna upornost ali
reaktanca in uporabimo simbol X L = ω L . Ponovno lahko ugotovimo, da se induktivna upornost
linearno veča z večanjem frekvence vzbujalnega signala.
SLIKA: Večanje induktivne upornosti – reaktance s frekvenco vzbujanja.
*
Tak način obravnave je bil običajen v srednješolskem izobraževanju. V nadaljevanju bomo
spoznali, da je mnogo bolj učinkovit, pa tudi korekten, zapis kazalcev v t.i. kompleksni ravnini.

115. Inducirana napetost 11.
Inducirana napetost v tuljavi zaradi spremembe fluksa v drugi tuljavi.
Primer: Tuljava dolžine 15 cm premera 3,2 cm ima 30 ovojev na centimeter. V njeno sredino
postavimo manjšo tuljavo dolžine 2 cm premera 2,1 cm s 60 ovoji. Tok v večji tuljavi se od časa t =
0 s linearno manjša od 1,5 A in doseže -0,5 A v času 25 ms. Nato ostane konstanten. Kolikšna je
inducirana napetost v manjši tuljavi? Predpostavimo homogeno polje v večji tuljavi, ki ga
izračunamo z aproksimativno formulo.
SLIKA: Sprememba toka v večji tuljavi povzroča inducirano napetost v manjši tuljavi. Inducirana
napetost je odvisna od hitrosti spreminjanja toka v večji tuljavi oziroma od spreminjanja hitrosti
magnetnega pretoka skozi manjšo tuljavo.
Izračun: Inducirano napetost bomo dobili z uporabo enačbe (11.1), torej moramo izračunati fluks,
ki gre skozi manjšo tuljavico v času spremembe toka v večji. Izračun razdelimo na dve fazi. V prvi
se tok linearno manjša, v drugi pa ostane konstanten. Označimo z indeksom 1 večjo tuljavo, z 2 pa
manjšo tuljavo. Ker gre za linearne spremembe, lahko namesto odvajanja uporabimo diference
∆Φ ∆Φ 21 Φ − Φ začetna 
(rezultat bo enak) ui 2 = − N 2 = − N2 = − N 2  končna . (11.6)
∆t 2 ∆t  tkončna − t začetna 
Začetni fluks izračunamo iz začetne gostote pretoka v tuljavi, končnega pa iz končnega pretoka.
µ Ni
Polje znotraj tuljave določimo iz poenostavljene formule B= . Dobimo
l
µ0 Nizačetni N Vs
Bzačetni = = µ0 izačetni = 4π10−7 ⋅ 30 ⋅ 102 m -1 ⋅ 1,5A ≅ 5, 7mT . Pri izračunu fluksa skozi
l l Am
tuljavico moramo upoštevati površino manjše tuljavice in ne večje:
2
 2,1 ⋅ 10−2 m 
Φ začetni = Bzačetni ⋅ A2 = Bzačetni ⋅ π   ≅ 1,96 µWb . Na enak način bi dobili z upoštevanjem
 2 
toka –0,5 A končni pretok Φ končni = −0, 653 µWb .

116. Inducirana napetost 11.
Uporabimo še enačbo (11.6) in z njeno pomočjo določimo inducirano napetost v času od t = 0 s do t
−0, 653 ⋅10−6 Wb − 1,96 ⋅10−6 Wb
= 25 ms: ui = −60 ≅ 6, 27 mV . To napetost bi lahko izmerili, če bi
25ms − 0ms
na zunanje sponke tuljave priključili sondo osciloskopa. (Zaradi poenostavitev s homogenostjo
polja bi meritev pokazala seveda nekoliko različno vrednost.). Ta napetost je konstantna ves čas
spreminjanja toka v veliki tuljavi. V drugi fazi, ko bo tok skozi večjo tuljavo konstanten, v manjši
tuljavi ne bo spremembe magnetnega pretoka in s tem bo inducirana napetost enaka 0.
SLIKA: Graf spremembe toka v mali tuljavi, spodaj graf inducirane napetosti v večji tuljavi.
Medsebojna induktivnost. O lastni induktivnosti smo že govorili. Povezana je s fluksom, ki gre
skozi tuljavo zaradi toka v lastni tuljavi. Če pa nas zanima fluks v navitju, ki je posledica vzbujanja
v drugem (ne lastnem) navitju, govorimo o medsebojni induktivnosti. Definiramo jo kot
Ψ 21 N 2 ⋅Φ 21
M 21 = = ,
I1 I1
(11.7)
kjer je Φ 21 fluks skozi drugo tuljavo zaradi toka I1 skozi prvo tuljavo. Na isti način lahko
Ψ 12 N1 ⋅Φ12
definiramo M12 kot M 12 = = . Poglejmo si razmere na sliki.
I2 I2

117. Inducirana napetost 11.
SLIKA: Medsebojna induktivnost določa zvezo med tokom v drugem navitju in fluksom, ki ga ta tok
povzroča v lastnem navitju.
Če imamo opravka z linearnimi magnetnimi materiali (če je µr konstanten), sta M21 in M12 kar
enaka, torej M = M 21 = M 12 .
Inducirana napetost izražena z medsebojno induktivnostjo.
V prejšnjem razdelku smo obravnavali primer, ko je šel en del fluksa prve tuljave skozi drugo
tuljavo in v slednji povzročil inducirano napetost. Izračunali smo fluks skozi drugo tuljavo zaradi
spreminjanja toka v prvi tuljavi. Sedaj smo ugotovili, da to zvezo lahko opišemo z medsebojno
induktivnostjo, kjer je magnetni sklep v drugi tuljavi zaradi toka v prvi določen z
Ψ 21 = M 21 I1 = MI1 . Torej lahko inducirano napetost v drugi tuljavi izrazimo kot
dΨ 21 d ( Mi1 ) di
uiM 21 = − =− = −M 1 .
dt dt dt
Ponovno lahko ugotovimo, da je predznak le posledica upoštevanja Lentzovega pravila. Če pa
upoštevamo, da je zunanja napetost ravno nasprotna notranji (gonilni), bomo zopet pisali
di1
uM 21 = −uiM 21 = M .
dt
Primer: Določimo inducirano napetost v manjši tuljavi iz prejšnjega primera s pomočjo
medsebojne induktivnosti.
Izračun: Za določitev medsebojne induktivnosti moramo poiskati fluks skozi drugo tuljavo ki ga
povzroča tok skozi prvo tuljavo. Fluks je
µ0 N 1 I 1
Ψ 21 = N 2Φ 21 = N 2 B1 A2 = N 2 A2
l1
,
Ψ 21 µ0 N1 N 2
M 21 = = A2 ≅ 78, 35 µH
I1 l1
kjer smo z indeksom 1 označili veliko tuljavo, z 2 pa manjšo tuljavo. Sprememba toka v času 25 ms
2A di
bo − = −80 A/s , inducirana napetost pa uM 21 = M 1 = 78, 35 mH ⋅ ( −80 A/s) = 6,3 mV .
25 ms dt

118. Inducirana napetost 11.
Razlika v končnem rezultatu glede na primer 1 je izključno posledica različnega zaokroževanja v
prvem in drugem primeru. Natančnejši rezultat je slednji. Preverite še sami.
Faktor sklopa.
Če je magnetna povezava med dvema tuljavama (1 in 2) linearna, ima smisel določiti faktor sklopa.
Če sta magnetni sklep skozi lastno tuljavo in sosednjo določena z linearno zvezo
Ψ 21 = kΨ 11
,
Ψ 12 = kΨ 22
kjer sta Ψ 11 in Ψ 22 fluksa skozi lastno tuljavo pomnožena s številom ovojev lastne tuljave. Velja
Ψ 21 Ψ 12 k ⋅Ψ 1 k ⋅Ψ 2
M 21 ⋅ M 12 = M 2 = ⋅ = ⋅ = k 2 L1 L2
I1 I2 I1 I2
in iz tega
M = k L1 L2 (11.8)
ali faktor sklopa
M
k= .
L1 L2
Označitev medsebojne induktivnosti kot koncentriran element.
Kako označimo medsebojno induktivnost kot koncentriran element? V osnovi enako kot dve
navadni tuljavi z lastno induktivnostjo, ki pa ju povežemo z linijo in puščicama , s čimer
prikažemo, da je med njima magnetni sklep. Pri tem pa je zopet potrebno paziti na predznak padca
napetosti zaradi medsebojne induktivnosti, saj je predznak odvisen od lege posameznih tuljav.
Predznak je tako lahko pozitiven ali pa negativen, kar mora biti v sami električni shemi razvidno.
To označujemo s pikami na začetku ali konce vsake tuljave (glede na smer toka) odvisno od tega,
če se magnetna pretoka tuljav med seboj podpirata ali ne. Dogovor je tak, da postavimo piki na
začetek (ali na konec) obeh tuljav glede na smer toka, če se magnetni pretok druge tuljave skozi
prvo tuljavo podpira z lastnim pretokom skozi prvo tuljavo.

119. Inducirana napetost 11.
SLIKA: Dve tuljavi z medsebojno induktivnostjo. Podpiranje fluksov označimo s piko na tisti strani
tuljave, kjer vstopa ali izstopa tok.
Splošen zapis zveze med dvema tuljavama z diferencialno enačbo.
Če imamo dve sklopljeni navitji, potem tok skozi eno navitje povzroča padec napetosti v lastnem,
pa tudi v drugem navitju. Slednji je proporcionalen spremembi toka in medsebojni induktivnosti.
Vpliv pa je v obe smeri. Torej, če spreminjajoči fluks v drugi tuljavi povzroča tok v drugem
navitju, pride do vzajemnega učinka. Napetost na prvi tuljavi je*
di1 di
u1 = R1i1 + L1 ±M 2 , (11.9)
dt dt
na drugi pa
di2 di
u2 = R2i2 + L2 ±M 1 (11.10)
dt dt
Padec napetosti zaradi medsebojne induktivnosti lahko ponazorimo z novim simbolom v obliki
romba, ki predstavlja t.i. tokovno krmiljen napetostni element. Podobne elemente se pogosto
uporablja za modele delovanja polprevodniških elementov.
SLIKA: Vezje z dvema tuljavama z medsebojnim sklopom in prikaz padca napetostii zaradi
medsebojne induktivnosti s tokovno krmiljenim napetostnim virom.
*
Dobimo sistem dveh (linearnih) diferencialnih enačb, ki ga je potrebno reševati s primerno
metodo. Ugotovili bomo, da nam za obravnavo izmeničnih signalov lahko analizo bistveno olajša
uporaba kompleksnega računa.

120. Inducirana napetost 11.
Gibalna in rezalna inducirana napetost
Ugotovili smo že, da je inducirana napetost v zanki določena s časovno spremembo fluksa skozi
zanko, kar smo v matematični obliki zapisali kot
dΨ
ui = − , (11.11)
dt
kjer je predznak minus posledica upoštevanja Lentzovega pravila, da je predznak inducirane
napetosti v zanki tak, da induciran tok v zanki povzroča fluks, ki nasprotuje spremembi fluksa
skozi zanko.
Ugotovili smo tudi, da gre pri inducirani napetosti za notranjo, generatorsko napetost, ki je
porazdeljena po zanki. Lahko bi v osnovi govorili tudi o induciranju električne poljske jakosti, ki v
zanki požene inducirani tok. Če se spomnimo definicije električne napetosti kot integrala električne
poljske jakosti, lahko tudi sedaj pogledamo, kaj dobimo z integracijo inducirane električne poljske
jakosti po poti zanke. Zanima nas torej ∫E
L
i ⋅ dl . V elektrostatiki smo ugotovili, da je ta integral po
zaključeni poti enak nič (dobimo kot razliko dveh elektrostatičnih potencialov v isti točki), iz česar
je tudi sledila definicija električne poljske jakosti kot gradienta potenciala. Pri izmeničnih signalih
ta integral očitno ne bo enak nič, pač pa bo enak inducirani napetosti
∫E
L
i ⋅ dl = ui (11.12)
Celotna električna poljska jakost je vsota elektrostatične in inducirane jakosti E = E es + E i , kar pa
enačbo (11.12) spremeni le v toliko, da velja še bolj splošno
∫ E ⋅ dl = u .
L
i (11.13)
Če upoštevamo v enačbi (11.13) še enačbo (11.11) in to, da lahko fluks zapišemo kot integral Bja
po preseku zanke Φ = ∫ B ⋅ d A , dobimo splošen zapis
A
d
∫ E ⋅ d l = − dt ∫ B ⋅ d A .
L A
(11.14)
To je pomembna enačba, ki jo v elektrotehniki poznamo kot 2. Maxwellova enačba. V osnovi gre
za Faradayevo enačbo, ki pa jo je Maxwell pravilno uvrstil v sistem osnovnih enačb za opis
elektromagnetnega polja.

121. Inducirana napetost 11.
Dva tipa inducirane napetosti: transformatorska in gibalna.
V osnovi lahko ločimo dva različna tipa induciranja napetosti: v prvem primeru, ki smo ga že
spoznali, se inducirana napetost v zanki pojavi kot posledica časovne spremembe fluksa v zanki.
Tej napetosti pogosto rečemo transformatorska inducirana napetost. Drugi tip induciranja pa
nastopi kot posledica gibanja prevodnika v časovno konstantnem ali spremenljivem magnetnem
polju. Tej inducirani napetosti rečemo tudi gibalna ali rezalna inducirana napetost.
Gibalna (rezalna) inducirana napetost.
Poglejmo si primer prevodne palice, ki se premika s hitrostjo v v prečnem polju gostote B. V
prevodniku je zelo veliko prostih nosilcev naboja (elektronov) na katere deluje magnetna sila
Fm = Qv × B . V polju bo na naboje delovala magnetna sila, oziroma (inducirana) električna poljska
jakost Em ,ind , ki bo
F
E m,ind = =v×B. (11.15)
Q
Integral jakosti polja vzdolž palice pa dá napetost – gibalno inducirano napetost:
L
(
ui = ∫ v × B ⋅ dl ) (11.16)
0
Tej napetosti rečemo tudi rezalna napetost, saj nastane tedaj, ko prevodnik “reže” magnetno polje
Primer: Prevodna palica dolžine l = 5 cm je postavljena vzdolž Y osi in se giblje s hitrostjo
v = ex 2 m/s v homogenem polju B = ez 5 mT . Določite inducirano napetost med koncema palice.
l =5 cm
∫ ( −e vB ) ⋅ e dy = −vBl = −5 ⋅10
−4
Izračun: v × B = −e y vB = −e y 10−2 T ⋅ m/s . ui = y y V = −0 ,5 mV .
0
Dodatno: Hitro lahko pokažemo, da do enakega rezultata pridemo tudi iz enačbe za časovno
spremembo fluksa skozi zanko, če si pač zamislimo, da je palica del stranice zanke, ki se veča v
smeri X osi. Ker se s časom povečuje površina zanke, se veča tudi fluks skozi zanko. Dobimo
Φ ( t ) = B ⋅ A( t ) = B ⋅ lx = B ⋅ lvt , inducirana napetost v zanki (med koncema potujoče palice) pa je
dΦ
ui = − = − Blv = −0,5 mV
dt
SLIKA: a) premikanje vodnika v magnetnem polju. Na koncih premikajoče se prevodne palice v
prečnem magnetnem polju se pojavi (inducira) napetost. b) Časovno večanje površine zanke zaradi
premikanja stranice zanke povzroči povečanje fluksa in posledično inducirno napetost.

122. Inducirana napetost 11.
Skupna transformatorska in gibalna inducirana napetost. Kakšna pa je zveza med tem
zapisom inducirane napetosti in tistim s časovno spremenljivim fluksom? Na tem primeru lahko
pokažemo, da bi z uporabo osnovnega zapisa dobili enak rezultat. Le zamisliti bi si morali virtualno
zanko, katere fluks se veča ali zmanjšuje s časom.
Z drugačnim zapisom enačbe (11.14) lahko upoštevamo tako inducirano napetost, ki je posledica
časovne spremembe gostote pretoka v mirujoči zanki in inducirano napetost, ki je posledica gibanja
v časovno konstantnem polju:
∂
∫
L
E ⋅ dl = − ∫
A
∂t
B⋅dA+ ∫ v× B
L
(11.17)
Prvi člen imenujemo transformatorska, drugega pa gibalna ali rezalna inducirana napetost. Odvisno
od primera moramo upoštevati prvo, drugo ali pa kar obe hkrati.
Faradayev homopolarni generator*
Je naprava, ki proizvaja enosmerno napetost pri vrtenju
prevodnega diska v magnetnem polju. Prvi jo je opisal že leta
1831 Michael Faraday. Deluje tudi v obratnem režimu, kot
motor in se smatra kot prvi enosmerni električni motor.
SLIKA: Vrteči prevodni disk v prečnem magnetnem polju. Med osjo in obodom priključimo
kontaktorje in na sponkah se pojavi napetost – inducirana napetost.
http://www.zamandayolculuk.com/cetinbal/faradaydisk.htm
Za izračun generatorske (inducirane) napetosti: med kontaktoma si zamislimo prevodno progo med
osjo in točko na robu diska. Na naboje v disku, ki se vrtijo s hitrostjo v = ωr deluje magnetna sila
*
Ta tip generatorja je pogosto »tarča« najrazličnejših raziskovanj, tudi takih, ki iščejo nenavadnosti v delovanju
elektromagnetnega polja. Prepričajte se sami z »deskanjem« po spletnih straneh.

123. Inducirana napetost 11.
Fm = Qv × B , ki premakne (pozitivne) naboje v smeri vektorskega produkta. Pojavi se torej
inducirana električna poljska jakosti Ei = v × B , ki je v smeri radija od osi proti zunanjemu
R R
R2
kontaktu. Med kontaktoma se inducira napetost ui = ∫ Ei dl = ∫ ω rBdr=ω B.
0 0
2
Primer: Prevodni disk polmera R = 10 cm se vrti s hitrostjo 1000 obr/min v prečnem homogenem
magnetnem polju 200 mT. Določimo inducirano napetost med osjo in obodom diska.
R R
R2 1000 (0,1 m)2
Izračun: ui = ∫ Ei dl = ∫ ω rBdr=ω B = 2π 0 ,2 T = 104 ,8 mV .
0 0
2 60 s 2
Napetost ni velika, je pa zato lahko zelo velik tok, ki steče v zanki, saj je ohmska upornost izredno
majhna. Zato dejansko lahko pričakujemo izredno velike toke. Problem se pojavi v kontaktih, kjer
se pojavi velika kontaktna upornost, ki je moteča še posebno pri zelo velikih tokih
SLIKA: Homopolarni generator.
Generator izmenične napetosti z vrtenjem tuljave v magnetnem polju.
Tuljavo postavimo v enosmerno homogeno magnetno polje in jo vrtimo s kotno hitrostjo ω. Pojavi
inducirane napetosti v zanki lahko razložimo na oba načina: kot posledico časovne spremembe
fluksa skozi zanko (transformatorska napetost) ali pa kot posledico sile na gibajoče naboje (rezalna
napetost). V prvem primeru opazujemo časovno spreminjanje fluksa skozi zanko, ki bo enako
Φ = B ⋅ A( t ) = B ⋅ b ⋅ acos(ωt ) , inducirana napetost pa bo
dΦ dcos(ωt )
ui = − N = − Bab = Babωsin(ωt ) = U msin(ωt ) . Amplituda inducirane napetosti je odvisna
dt dt
od površine zanke (ne od oblike, ki je lahko tudi trikotna), velikosti magnetnega polja in kotne
frekvence. Izhodna (inducirana) napetost je sinusne oblike.

124. Inducirana napetost 11.
SLIKA: a) Vrtenje pravokotne tuljave v homogenem magnetnem polju. b) Izhodna napetost je
sinusne oblike.
Primer 3. Vrtenje zanke v magnetnem polju: izpit, 5. septembra 2002
MALO ZA ZABAVO MALO ZARES:
Izdelajte in raziščite delovanje homopolarnega motorja sestavljenega iz baterije, vijaka, žičke in
trajnega magneta.¸ http://www.evilmadscientist.com/article.php/HomopolarMotor
Primeri kolokvijev in izpitov:
kolokvij, 3. maj 2004
2. kolokvij, 11. 6. 2003
izpit, 16. april 2002
izpit, 8. april 2002
izpit, 4. 12. 2001
Izpit, 03. 09. 2003
izpit, 5. septembra 2002
S pomočjo induktivnosti:
Izpit, 25. 08. 2004
Izpit, 21. 06. 2004

125. Energija magnetnega polja 12.
Energija magnetnega polja
Vsebina: moč in energija, energija sistema tuljav, nadomestna induktivnost,
energija v nelinearnih magnetnih strukturah, gostota energije, izračun
induktivnosti iz magnetne energije, energija histerezne zanke, izgube v jedru,
produkt BH, magnetna sila.
Izhajamo iz moči na tuljavi, ki je enaka produktu toka in napetosti na tuljavi
p = uL ⋅ iL . To so sedaj časovno spreminjajoče veličine, lahko bi torej pisali tudi
p (t ) = u L (t ) ⋅ iL (t ) . Upoštevamo še izraz za padec napetosti na tuljavi
dΨ di
uL = = L , ki je izražena s produktom induktivnosti in spremembe toka v
dt dt
d i (t )
tuljavi in dobimo p (t ) = L ⋅ i (t ) . Integracija moči po času pa je energija
dt
t
W (t ) = ∫ p(t )dt . Integracijo po času nadomestimo z integracijo po toku
t0
t t i (t )
idt = ∫ Lidi in dobimo W (t ) = L ( i 2 (t ) − i 2 (t0 ) ) . Vzemimo,
di 1
W (t ) = ∫ p (t )dt = ∫ L
t0 t0
dt i ( t0 )
2
da na začetku ni bilo toka skozi tuljavo ( i (t0 ) = 0A ), potem je trenutna energija
sorazmerna kvadratu trenutne vrednosti toka skozi tuljavo
1 2
W (t ) = Li (t ) (12.1)
2
To je energija, ki je shranjena v magnetnem polju tuljave v časovnem trenutku t.
Z upoštevanjem zveze med magnetnim sklepom in tokom skozi tuljavo Ψ (t ) = Li (t ) ,
lahko energijo izrazimo tudi s trenutno vrednostjo magnetnega sklepa
Ψ 2 (t )
W (t ) = . (12.2)
2L
Primer: Izračunajmo in skicirajmo časovni potek energije v tuljavi z induktivnostjo 2
mH, če skozi ovoje teče tok 0,5sin(ω t ) A , kjer je perioda signala T = 5 ms. Določimo
še maksimalno vrednosti te energije.

126. Energija magnetnega polja 12.
Izračun: Časovna potek energije v tuljavi je W (t ) = 0,5 LI 02 sin 2 (ω t ) . Maksimalna
energija nastopi pri četrtini periode tokovnega vzbujanja (pri ωt = π / 2 ), tedaj je
Wmax = 0,25 mJ .
Napotek: Funkcijo sin 2 (ωt ) enostavno izrišemo, če upoštevamo zvezo
1
sin 2 (ωt ) = (1 − cos(2ωt ) ) . Gre torej za harmonični signal dvojne frekvence
2
osnovnega, ki ima dodatno enosmerno komponento, ki je ravno enaka polovici
amplitude.
SLIKA: Časovni potek toka (črtkano, v [A]) in magnetne energije (polno, v [mJ])v polju
tuljave. Energija je sorazmerna kvadratu toka in v primeru harmoničnega vzbujanja
2
doseže maksimum v četrtini periode signala. Takrat je enaka 0,5LI 0 , kjer je I0
amplituda toka. Matlab: t=0:1e-6:15e-3; om=2*pi/5e-3; i=0.5*sin(om.*t);
W=0.25*sin(om.*t).^2; plot(t,i,t,W)
Energija sistema več tuljav. Kakšne pa so energijske razmere, če je tuljav več, med
njimi pa je magnetni sklep? V tem primeru je potrebno upoštevati še magnetno
energijo zaradi skupnega tvorjenja magnetnega polja v sistemu več tuljav.
Energija v sistemu dveh tuljav je
(( ) )
t t
 di di  
) ( di   di
W = ∫ uL1 ± uM12 i1 + uL2 ± uM 21 i2 dt = ∫  L1 1 ± M 12 2  i1 +  L2 2 ± M 21 1  i2  dt
t0 
t0
dt dt   dt dt  
Predznak je v obeh primerih enak: pozitiven, če se fluksa tuljav »podpirata« in

127. Energija magnetnega polja 12.
negativen, če se »ne podpirata«. Skupna energija je ob upoštevanju zveze
M = M 12 = M 21 enaka1
1 2 1 2
W= L1i1 + L2i2 ± Mi1 i2 . (12.3)
2 2
Poglejmo še poseben primer, ko gre skozi obe tuljavi isti tok. Tedaj lahko pišemo
1 2 1 2
W= L1i + L2i ± Mi 2 . Izpostavimo i2/2 in dobimo
2 2
1
W= ( L1 + L2 ± 2 M ) i 2 . (12.4)
2
Izraz v oklepaju lahko »razumemo« kot skupno (nadomestno) induktivnost, ki bo
torej
Lnad = L1 + L2 ± 2 M , (12.5)
tako, da je energija sistema dveh sklopjenih tuljsv s skupnim tokom enaka
1
W= Lnad i 2 .
2
Splošna formula za sistem N sklopljenih tuljav je2
1 N N
W (t ) = ∑∑ L jk ⋅ i j (t ) ⋅ ik (t )
2 j =1 k =1
(12.6)
.
Primer: Tuljavi z induktivnostima 2 mH in 4 mH sta vezani zaporedno. Njuna fluksa
se podpirata s faktorjem sklopa 0,8. Tok skozi tuljavi je simetrične žagaste oblike s
periodo 5 ms in amplitudo 2 A. Skicirajmo potek skupne energije tuljav in
izračunajmo velikost energije v času t = 2,5 ms.
1
Rešujemo enačbo
(( ) )
t t
) (
W = ∫ uL1 ± uM12 i1 + uL2 ± uM 21 i2 dt = ∫ ( L1i1di1 ± M 12i1di2 +L2i2di2 ± M 21i2di1 ) pri čemer
t0 t0
smatramo, da velja M = M 12 = M 21 . Z upoštevanjem integracije »per partes«:
d(i1i2 )=i1di2 + i2di1 velja ± ( M 12i1di2 +M 21i2di1 ) = ± Md(i1i2 ) dobimo
t
1 2 1 2
∫ ( L i d i +L i d i
t0
11 1 2 2 2 ± Md(i1i2 )) =
2
L1i1 + L2i2 ± Mi1 i2 .
2
2
Za izpeljavo glej npr. A.R.Sinigoj, Osnove elektromagnetiko, 367- 370.

128. Energija magnetnega polja 12.
SLIKA: Sistem dveh sklopljenih tuljav z istim tokom in nadomestno vezje.
SLIKA: Tok (modra črtkana, v [A]) in skupna energija sistema dveh tuljav (polna črta,
v [mJ]). MATLAB: Lnad=8.26e-3; t=0:1e-6:15e-3; om=2*pi/5e-3;
i=2*sawtooth(om.*t,0.5); W=1e3*0.5*Lnad*i.^2; plot(t,i,t,W,t,zeros(1,length(t)))
Izračun: Medsebojno induktivnost določimo kot
M = k L1 L2 = 0 ,8 2 ⋅ 4 mH ≅ 2 ,26 mH . Ker se fluksa vzajemno podpirata je
nadomestna induktivnost enaka
Lnad = L1 + L2 + 2 M = (2 + 4 + 2 ⋅ 2, 26) mH = 10,52 mH . Časovni potek energije je
parabolično naraščanje in upadanje z dvojno periodo tokovnega vzbujanja. V času 2,5
ms je tok enak 2A in velikost energije
1
W = i 2 Lnad = 0,5 ⋅ (2A) 2 ⋅10,52 mH = 21, 04 mJ .
2

129. Energija magnetnega polja 12.
Energija magnetnega polja v nelinearnih magnetnih
strukturah
Pri doslej izpeljanih izrazih za energijo v magnetnem polju magnetnih struktur (tuljav)
smo predpostavili linearno zvezo med fluksom in tokom: Φ = Li . Ta predpostavka je
pogosto upravičena, vsekakor tedaj, ko nimamo opravka z magnetnimi materiali ali pa
tedaj, ko je upravičena linearizacija magnetilne krivulje. V teh primerih je relativna
permeabilnost konstantna.
Sedaj pa bomo obdelali še primer, ko linearizacija magnetilne krivulje ni upravičena,
oziroma, bi s tovrstno poenostavitvijo naredili preveliko poenostavitev. Zanima nas
torej energija magnetnega polja v nelinearnih strukturah, v feromagnetnih jedrih, kjer
je zveza med B-jem in H-jem oziroma magnetnim sklepom in vzbujalnim tokom
nelinearna. Še več, običajno imamo opravka s histerezno zanko.
dΨ
Izhajamo iz osnovne zveze p = i ⋅ u in u = , od koder je dW = pdt = idΨ .
dt
t
Energija, potrebna za magnetenje od časa 0 do t je enaka Wmag (t ) = ∫ idΨ . Vzemimo
0
feromagnetno jedro, tesno ovito z N ovoji, kjer velja Amperov zakon Ni = ∫ H ⋅ dl ;
L
za diferencial magnetnega sklepa lahko pišemo dΨ = NdΦ = N B ⋅ d A . Z ( )
upoštevanjem obeh zvez, pa tudi tega, da bo potrebno paziti na časovno spremembo
t
1 
( )
Bja, dobimo Wmag (t ) = ∫ ∫ ∫  H ⋅ d l  Nd B ⋅ d A . Enačbo preuredimo tako, da
0 L A 
N
združimo integracijo po površini in dolžini v integracijo po volumnu3:
t 
Wmag (t ) = ∫  ∫ H ⋅ d B dV (12.7)
V0 
V oklepaju v enačbi (12.7) lahko razpoznamo gostoto magnetne energije, ki jo lahko
zapišemo kot
wmag (t ) = ∫
B (t )
H ⋅ dB , (12.8)
3
To lahko naredimo, ker so trije od štirih vektorjev v integralu kolinearni (enako usmerjeni). To so
( ) (
d B, d A, dl . Zato lahko združimo H ⋅ d B in d l ⋅ d A . )

130. Energija magnetnega polja 12.
pri čemer je potrebno integrirati jakost polja po gostoti pretoka. Če magnetimo
B0
material od B = 0 T do nekega B0, bo w( B0 ) = ∫ H ⋅ dB .
0
SLIKA: Integracija gostote magnetne energije. Integriramo vzdolž B osi!
Gostota energije pri linearni magnetilni krivulji.
V primeru, da imamo opravka z materialom, ki ga lahko opišemo z linearno
magnetilno krivuljo, lahko uporabimo zvezo B = µ H , kar vstavimo v gornjo enačbo
in določimo gostoto energije kot
B2
w=
2µ (12.9)
B02
oziroma, če magnetimo do B0 je w( B0 ) = .
2µ
Celotno energijo magnetenja dobimo z integracijo gostote energije po volumnu
B2
W =∫ dV . (12.10)
V
2µ
Če predpostavimo homogeno polje v volumnu, pa je energija kar
B2
W= V. (12.11)
2µ
µH 2
To enačbo lahko zapišemo tudi s H-jem kot W = V.
2
µH 2 Li 2
Pokažite enakost izraza W = V in W = .
2 2

131. Energija magnetnega polja 12.
Primer: Jedro brez zračne reže iz feromagnetnega materiala z µr = 850 ima 350
ovojev. Presek jedra ima površino 3 cm2, srednja dolžina gostotnice pa je 60 cm.
Določimo magnetno energijo v jedru pri enosmernem toku skozi ovoje 2 A.
NI 350 ⋅ 2A
Izračun: H = = = 1166, 7 A/m
l 0,6m
Vs A
µ r µ0 H 2 850 ⋅ 4π 10−7 (1166,7 )2
w= = Am m = 727 J/m 3
2 2
W = wV = 727 ⋅ 0, 6 ⋅ 3 ⋅10 −4 J = 0,13J .
SLIKA: Primer jedra z linearno magnetilno krivuljo s prikazom gostote energije v jedru
kot površine med magnetilno krivuljo in B osjo.
Energija v nelinearnih magnetnih strukturah.
V primeru, da je magnetilna krivulja nelinearna, je potrebno energijo računati
neposredno iz enačbe (12.8). Lahko tudi zapišemo diferencial gostote magnetne
energije, ki bo
dw = H ⋅ d B . (12.12)
Gostoto energije dobimo torej z integracijo površine med magnetilno krivuljo in osjo
B:
Bkončna
w= ∫
Bzačetna
H ⋅ dB . (12.13)
Če upoštevamo celotno histerezno zanko, ugotovimo, da bo gostota energije v tem
materialu enaka površini histerezne zanke:
w = ABH zanke . (12.14)

132. Energija magnetnega polja 12.
SLIKA: Primer jedra z nelinearno magnetilno krivuljo s prikazom gostote energije v
jedru kot površine med magnetilno krivuljo in H osjo.
Primer: Vzemimo primer linearizirane magnetilne krivulje, ki jo opišemo s
prelomnima točkama B1 = 1T, H1 = 1200 A/m in B2 = 1,2 T, H2 = 2400 A/m.
Določimo gostoto magnetne energije v jedru feromagnetika s podano magnetilno
krivuljo, če ga magnetimo od 0 T do gostote 1,1 T.
Izračun: Izračunati je potrebno integral po enačbi (12.13), ki pa ga v primeru
linearizirane krivulje lahko določimo preprosto iz delnih površin krivulje:
1200 A/m ⋅1T 600 A/m ⋅ 0,1T
w= + 1200 A/m ⋅ 0,1T + = 750 J/m3
2 2
SLIKA: Odsekoma zvezna magnetilna krivulja in gostota energije kot površina med
histerezno krivuljo in B osjo.
Produkt B in H
V poglavju 9 smo že govorili o trdomagnetnih in mehkomagnetnih materialih in
omenili, da je lastnost trdomagnetnih materialov velika remanenčna gostoto polja (Br),
pa tudi velika koercitivna jakost polja (Hc). Ugotovitev tega poglavja je, da je gostota
magnetne energije sorazmerna produktu Hja in Bja. V tem smislu lahko delimo
materialne na trdomagnetne in mehkomagnetne po maksimalni gostoti energije, ki jo
dosežejo ti materiali. Ta produkt določimo kot pravokotnik z največjo površino v
drugem kvadrantu magnetilne B(H) krivulje. S pojmom gostote energije se v praksi
predvsem označuje trdomagnetne materiale, ki se jih glede na ta kriterij lahko deli še
nadalje: v t.i. konvencionalne tromagnetne materiale s produktom ( BH )max med 2 in
80 kJ/m3 (npr. AlNiCo: aluminij-nikelj-kobalt) in visokoenergijske trdomagnetne
materiali (npr. SmCo: samarij-kobalt in NeFeB: neodij.železo-bor) s produktom

133. Energija magnetnega polja 12.
( BH )max nad 80 kJ/m3. Tipične vrednosti prikazujeta sledeči tabeli (ponovno
ugotovimo vzrajnost pojavljanja enot kot so Oe: Oerstead in G: Gauss):
SLIKA: Trdomagnetni materiali: kompozicija, Br, Hc, ( BH )max , Curiejeva temperatura
in specifična upornost. Vir: Povzeto po ASM Handbook, Vol.2, ASM International,
1990.
SLIKA: Mehkomagnetni materiali: kompozicija, začetna permeabilnost, maksimalna
(saturacijska) gostota polja, histerezne izgube (gostota energije), specifična upornost.
Vir: Povzeto po ASM Handbook, Vol.2, ASM International, 1990.
Izgube v jedru.
Energija, vložena v grajenje magnetnega polja v nelinearni magnetni strukturi je
nepovratna. Uporabi se za magentenje materiala, za obračanje t.i. Weissovih obsegov,
pri čemer pride do (mehanskega) trenja. Če je tok v ovojih na jedru izmeničen in
»obhodi« histerezno krivuljo f krat na sekundo (frekvenca signala), bo gostota
izgubne moči enaka (iz w = pT ):
phist = fABH zanke (12.15)

134. Energija magnetnega polja 12.
celotna histerezna izgubna moč pa bo enaka gostoti moči pomnoženi z volumnom
materiala4
Phist = phistV . (12.16)
A A Vs J 
Opozorilo: ABH zanke predstavlja gostoto energije, enota je  T = = , V
m m m 2 m3 

predstavlja volumen [m3].
Primer: Določimo histerezno izgubno moč jedra prostornine 120 cm3, katerega
magnetilna krivulja je na sliki. (Je v obliki kvadrata z Br = 1,5 T in Hc = 2000 A/m).
Vzbujalni signal ima frekvenco 50 Hz.
SLIKA: Histezna zanka določena z Br in Hc.
Izračun: Površina histerezne zanke je 4⋅1,5T⋅2000 A/m = 12000 J/m3. To je gostota
magnetne energije, ki je potrebna za magnetenje jedra. Gostota izgubne moči je po
enačbi (12.14): 50s-1⋅12000 J/m3=6⋅105 J/(s m3), celotna moč histereznih izgub pa
120⋅10-6 m3⋅6⋅105 J/(s m3) = 72 W.
4
V praksi se običajno histerezne izgube računa po formuli kh f B 2 [W/kg], kjer je kh konstanta. Za več
informacij o načrtovanju transformatorjev in dušilk priporočam priročnik F. Mlakar, I Kloar: Mali
transformatorji in dušilke, Elektrotehniški vestnik, 1970. (na razpolago v knjižnici FE). V praktičnih
formulah pogosto namesto kvadrata Bja nastopa lahko tudi različen faktor, tako recimo Steinmetzova
formula vzame za eksponent vrednost 1,6, konstanta kh pa npr. 0,0002 za mehko železo in 0,003 za
jeklo. (M.A. Plonus: Applied Electromagnetics). Poleg histreznih izgub lahko nastopajo še izgube
zaradi vrtinčnih tokov. Te so za prevodne feromagnetike običajno sorazmerne kvadratu gostote pretoka
2 2
in kvadratu frekvence ( f B ).

135. Energija magnetnega polja 12.
Določevanje induktivnosti iz magnetne energije.
Enačba za izračun energije v magnetnem polju je primerna tudi za določevanje lastne
induktivnosti. Pri enosmernem toku skozi vodnik je magnetna energija v prostoru
enaka
LI 2
W= (12.17)
2
Če je induktivnost neznana, magnetno energijo, ki jo v prostoru povzroča tok v
vodniku pa znamo določiti na drug način, lahko induktivnost iz energije določimo iz
2W
L= . (12.18)
I2
Kako pa izračunamo magnetno energijo na drugačen način kot s pomočjo
induktivnosti? Iz poznavanja gostote magnetnega pretoka v prostoru. Določimo
B2
gostoto energije po enačbi w = in jo integriramo po volumnu:
2µ
W = ∫ w dV (12.19)
V
Ta zapis je posebno primeren tedaj, ko je težko določiti fluks skozi ploskev. Tak
primer so polni vodniki, ki imajo magnetno polje tudi v notranjosti vodnika in ne le v
zunanjosti. Torej je tudi v notranjosti vodnika določena magnetna energija, ki
prispeva k celotni induktivnosti vodnika.
Primer: Določimo induktivnost na enoto dolžine za notranjost (okroglega) vodnika
polmera 1,5 cm. Vodnik je iz neferomagnetnega materiala.
Slika: Okrogel vodnik polmera R.
Izračun: Najprej z uporabo Amperovega zakona določimo gostoto pretoka v
µ0 I
notranjosti in dobimo B = r (glej poglavje o Amperovem zakonu). Nato
2πr02
zapišemo gostoto energije znotraj vodnika v skladu z enačbo:

136. Energija magnetnega polja 12.
2
B 2  µ0 I  1
w= = r / . Gostoto energije je potrebno integrirati po celotnem
2 µ0  2πr02  2 µ0
2
 µ I  1 µ I 2l
r0
volumnu vodnika W = ∫ wdV = ∫  0 2 r ( 2πrdr ⋅ l ) = 0 , kjer je l dolžina
V 0
2πr0  2µ0 16π
2W µ0
vodnika. Induktivnost znotraj vodnika je enaka L = ⇒ L/l = . Dobimo
I2 8π
zanimiv rezultat, da induktivnost notranjosti vodnika ni odvisna od polmera vodnika.
4π10−7 H/m
Na enoto dolžine je enaka L / l = = 50 nH/m .
8π
Dodatno: Določimo še preostalo induktivnost vodnika (v okolici).
Polje je tudi izven vodnika, kar je seveda tudi potrebno upoštevati pri induktivnosti
µ0 I
vodnika. Gostota polja izven vodnika je B = , gostota energije je torej
2πr
∞ ∞
1  µ0 I  µ0  I 
2 2
B2 dr
w= =   , celotna energija pa W = ∫   l 2πrdr = k ∫ = ∞.
2 µ0 2 µ0  2πr  r0
2  2πr  r0
r
Dobimo rezultat, s katerim prav gotovo ni nekaj v redu, saj energija ne more biti
neskončna. Pa vendar, rezultat je smiseln, če je smiseln tudi neskončen vodnik.
Neskončen vodnik pa je le koncept, ki nam poenostavi razumevanje polja, saj zelo
dolg vodnik v svoji okolici povzroča polje, ki ni dosti drugačno, kot bi ga povzročal
neskončen vodnik. Se pa zaplete pri določenih izračunih, kjer postane neskončnost
problematična, kot je na primer računanje fluksa ali energije v neskončni okolici
vodnika. Rešitev je v upoštevanju realnih primerov, kjer mora biti vodnik zaključen,
da lahko v njem teče tok. Tak je primer dvovoda, ki smo ga že obravnavali v poglavju
o magnetnem pretoku, kjer smo izračunali induktivnost med dvovodoma. Lahko pa
induktivnost takega dvovoda obravnavamo tudi iz izraza za energijo, kjer je potrebno
namesto integracijo do neskončnosti integrirati od polmera vodnika do sredine
µ0  I  µ 0 I 2 l d dr µ0 I 2l
d 2
d
drugega vodnika. Dobimo W =∫   l 2πrdr = ∫ = ln in
r0
2  2πr  4π r0
r 4π r0
2W µ0l d
L= = ln . S tem smo upoštevali šele energijo, ki jo prispeva en vodnik. Za
I2 2π r0
celotno induktivnost dvovoda moramo upoštevati fluksa obeh vodnikov, skupni

137. Energija magnetnega polja 12.
rezultat še z induktivnostjo v notranjosti vodnika bo
µ0 l µ0 l d µ0l  1 d 5
Ldvovoda = + ln =  + ln  .
4π π r0 π 4 r0 
Magnetna sila.
Ko nas zanima sila med poloma magneta, v zračni reži magneta ali pa med dvema
vodnikoma s tokom, moramo ločiti dva primera:
1) ko ni virov, ki bi dovajali energijo v sistem. Tedaj bo X komponenta
sile enaka
∂Wm
Fx = − (12.20)
∂x Φ = konst
ali v splošnem
 ∂W ∂W ∂W 
F = − m , m , m  , (12.21)
 ∂x ∂y ∂z  Φ = konst
kjer je ∂W sprememba energije shranjene v magnetnem polju. Mehansko delo bo v
tem primeru zmanjšalo magnetno energijo. Tipičen primer je trajni magnet.
2) Ko je vir priključen in konstanten bo X komponenta sile enaka
∂Wm
Fx = . (12.22)
∂x I = konst
V tem primeru pa bo opravljeno mehansko delo rezultiralo v povečanju magnetne
energije, ki bo “prišla” iz vira(ov). Tipičen primer je elektromagnet.
Vzemimo trajni magnet z režo razdalje x in preseka A v smeri osi X. Magnetna
Bδ2 Ax
energija v zračni reži je Wδ = . Pri tem smo predpostavili, da v zračni reži ni
2µ0
∂Wδ Bδ2 A
stresanja polja. Silo dobimo z odvajanjem energije po x-u: Fx = =
∂x 2 µ0 .
5
Rezultat je pravilen, čeprav je bil izračun induktivnosti izven notranjosti vodnika nekoliko
poenostavljen. Bolj poglobljena analiza upošteva razdelitev vodnika na splošne zanke in izračun
povprečnega pretoka med dvovodoma. (Glej na npr. A.R: Sinigoj: Osnove elektromagnetike) Končni
rezultat pa je enak, kot ta, ki smo ga navedli.

138. Energija magnetnega polja 12.
Pozitivni predznak pomeni predvsem to, da bo energija sistema po opravljenem
mehanskem delu večja kot pred tem.
Sila med poloma je vedno taka, da ju vleče skupaj, kar velja tudi za sistem magnet –
feromagnetik. V tem primeru pride do analognega procesa kot pri električni indukciji.
Na strani feromagnetika, ki je bliže severnemu polu magneta, se inducira južni pol
(usmerijo se magnetni dipolni momenti), kar pomeni, da se trajni magnet in
feromagnetik privlačita. Poseben primer so diamagnetiki, ki bi se odbijajo od
magnetov6.
Primer: Magnetno jedro E oblike na skici (a = 5 cm, A = 1 cm2) z µr = 1000 ima
magnetilno tuljavo na srednjem stebru. Določimo težo pločevine, ki jo še lahko drži
elektromagnet, če je v N = 200 ovojih tok 1,2 A. Magnetno upornost pločevine
zanemarimo, zaradi hrapavosti površine pa upoštevamo 50 µm širine zračne reže.
Slika: Magnetno jedro E oblike.
Izračun: Narišemo magnetno vezje in določimo fluks v srednjem stebru. Dobimo
 Rm1 + Rδ 
Φ 2  Rm 2 + Rδ +  = NI
 2 
NI µ0 ANI .
Φ2 = = ≅ 172,34 µWb
a δ 2a δ 2a 3δ
+ + + +
µr µ0 A µ0 A 2µr µ0 A 2µ0 A µr 2
Upoštevati moramo silo v vseh treh zračnih režah, formulo za silo v zračni reži pa
B2 A Φ2
zapišemo s fluksom F = = . Upoštevamo še, da je v stranskih stebrih fluks
2µ0 2µ0 A
2x manjši od tistega v srednjem stebru in dobimo
6
Odboj je neodvisen od postavitve diamagnetika in omogoča lebdenje (levitacija) diamagnetnega
materiala. Ker pa so ti efekti zelo šibki, so za opazovanje lebdenja potrebna zelo velika polja, ki jih
običajno dosežemo s superprevodnimi magneti.

139. Energija magnetnega polja 12.
3 Φ2
F=
1
2µ0 A
( 2Φ + Φ ) = 22 A ≅ 177,3 N . To silo izenačimo s silo teže in dobimo
1
2 2
2
µ0
2
177,3 N
m≅ ≅ 18,1 kg .
9,8 m/s 2
SLIKA: Gostota energije je
pomemben podatek za izbiro trajnih
magnetov. Največjo energijsko
vrednost imata materiala Nd-Fe-B in
Sm-Co. V končni fazi je seveda izbira
materiala odvisna od razmerja med
ceno in učinkom.
Primer kolokvijskih in izpitnih nalog :
Magnetna sila:
izpit, 23. januar 2007
izpit, 4. februar 2005
Energija:
Drugi kolokvij OE II , 29.05 2002
2. kolokvij (11.06.2002)

140. Energija magnetnega polja 12.
POVZETEK:
1) V primeru linearne zveze med fluksom in tokom v magnetni strukturi,
lahko energijo sistema (tuljave) izrazimo z lastno induktivnostjo kot
1 2
W (t ) = Li (t ) .
2
2) V primer dveh sklopljenih linearnih sistemov velja zveza
1 2 1 2
W= L1i1 + L2i2 ± Mi1 i2 , ki je v primeru istega toka skozi oba elementa
2 2
1 1
W= ( L1 + L2 ± 2M ) i 2 ali tudi W= Lnad i 2 , kjer je
2 2
Lnad = L1 + L2 ± 2 M . Predznak je odvisen od tega ali se fluksa obeh
tuljav podpirata (+) ali nasprotujeta (-).
3) Če je zveza med fluksom in tokom nelinearna, je potrebno magnetno
energijo določiti iz gostote energije, ki je enaka wmag (t ) = ∫
B (t )
H ⋅ d B . Gre za
integracijo magnetilne krivulje vzdolž B osi.
4) V primeru linearne ali linearizirane magnetilne krivulje, je gostota energije
B02
določena z w( B0 ) = , celotna energija v jedru (ob predpostavki
2µ
B2
homogenosti polja v jedru) pa W = Al .
2µ
5) Površina histrezne zanke je sorazmerna histereznim izgubam. Zato so za
uporabo pri velikih izmeničnih signalih (npr. transformatorji) bolj primerna
mehkomagnetna jedra. Moč histereznih izgub je phist = f ⋅ ABH zanke , kjer je f
frekvenca vzbujalnega signala, ABH zanke pa površina histerezne zanke.
LI 2
6) Z upoštevanjem izraza za energijo tuljave W = lahko ob poznavanju
2
2W
energije določimo lastno indukcivnost kot L = .
I2
7) Silo v magnetnem polju dobimo s parcialnim odvajanjem magnetne
 ∂W ∂W ∂W 
energije in je F = ±  m , m , m  . Predznak je odvisen od tega, ali je
 ∂x ∂y ∂z 
v sistem vključen vir (pozitivni predznak) ali ni vira (negativen predznak).
Bδ2 A
Sila v zračni reži je F = − . Negativni predznak nastopa v smislu
2µ0
zmanjšanja energije sistema.

141. Lastna in medsebojna induktivnost 13.
Lastna in medsebojna induktivnost
(povzetki ugotovitev)
O lastni in medsebojni induktivnosti smo že kar nekaj povedali. Induktivnost
predstavlja neposredno zvezo med fluksom v navitju in tokom (virom), predvsem pa
je pojem induktivnosti neposredno povezan z energijo magnetnega polja in inducirano
napetostjo. V tem poglavju bomo ponovili nekaj ugotovitev predhodnih poglavij in
dodali še nekaj novih.
Lastna induktivnost.
Ugotovili smo, da je za določitev lastne induktivnosti potrebno določiti fluks skozi
(lastne) ovoje, ki jih povzroča tok v lastnem navitju. Upoštevati je potrebno magnetni
sklep, torej fluks skozi ovoje pomnožiti s številom ovojev, kar da
Ψ NΦ
L= = . (13.1)
I I
V primeru, da je navitje porazdeljeno tako, da ne gre celotni fluks skozi vse ovoje,
Ψ Ψ 1 +Ψ 2 + ⋅⋅⋅⋅
induktivnost določimo kot L = = .
I I
Podobno kot za kapacitivnost lahko tudi za induktivnost ugotovimo, da je odvisna od
snovno geometrijskih lastnosti.
Induktivnost kot zveza med tokom in fluksom.
Induktivnost nam predstavlja zvezo med tokom v navitju in fluksom oziroma
magnetnim sklepom skozi navitje: Ψ = LI .
Induktivnost kot mera za sposobnost shranjevanja magnetne energije.
Magnetna energija v polju tuljave je sorazmerna produktu induktivnosti in kvadrata
1 2
toka: W = Li . Induktivnost je torej mera zmožnosti tuljave za shranjevanje
2
magnetne energije1.
1
Spomnimo se lahko na poglavje o energiji polja v elektrostatičnem polju (OE1), kjer smo ugotovili,
CU 2
da je kapacitivnost mera za shranjevanje energije v elektrostatičnem polju kondenzatorja: We =
2

142. Lastna in medsebojna induktivnost 13.
Izračun lastne induktivnosti iz energije magnetnega polja.
Lastno induktivnost lahko izračunamo iz energije magnetnega polja, iz enačbe
LI 2
W= , če le poznamo energijo, ki jo povzroča tok I. To pa lahko dobimo iz
2
gostote magnetnega polja oz. integracijo gostote energije wmag (t ) = ∫
B (t )
H ⋅ d B in
W = ∫ wmag dV .
V
Induktivnost kot mera za velikost inducirane napetosti.
Poleg tega je pojem induktivnosti neposredno povezan z inducirano napetostjo:
di
ui = − L .
dt
Izračun sile iz izraza za energijo tuljave.
Tudi magnetno silo lahko izrazimo s pomočjo spremembe induktivnosti in/ali toka.
Kot primer vzemimo možnost premikanja tuljave v smeri osi X:
∂W 1 ∂
( Li 2 ) = ± 1  L ∂ix + i 2 ∂L  .
 2

Fx = ± =±
∂x 2 ∂x 2 ∂ ∂x 
Predznak je odvisen od tega, ali pride energija potrebna za premik iz vira (+) ali pa se
porabi za premik energija shranjena v polju (-).
Medsebojna induktivnost. Če nas zanima fluks v navitju, ki je posledica vzbujanja v
drugem (ne lastnem) navitju, govorimo o medsebojni induktivnosti. Definiramo jo kot
N 2 ⋅Φ 21
M 21 = , (13.2)
I1
kjer je Φ 21 fluks skozi drugo tuljavo zaradi toka skozi prvo tuljavo. Analogno lahko
N1 ⋅Φ12
definiramo M12 kot M 12 = .
I2
Če imamo opravka z linearnimi magnetnimi materiali (če je µr konstanten), sta M21 in
M12 kar enaka, torej M = M 21 = M 12 .

143. Lastna in medsebojna induktivnost 13.
POZOR: Pri računanju medsebojne induktivnosti moramo en od virov »odklopiti«.
Če računamo M21, skozi navitje 1 »spustimo« tok I1 in določimo fluks, ki gre skozi
tuljavo 2.
Faktor sklopa.
Če je magnetna povezava med tuljavama 1 in 2 linearna, velja med lastnima
induktivnostima in medsebojno induktivnostjo tuljave zveza
M = k L1 L2 (13.3)
Induktivnost pri nelinearnih magnetnih strukturah.
V primeru uporabe feromagnetnih materialov jed zveza med B in H nelinearna, v tem
smislu postane nelinearna tudi permeabilnost in induktivnost. Upoštevanje
nelinearnosti je odvisno od in uporabe (oblika vzbujalnega signala) in želene
natančnosti izračuna. Natančnejša analiza presega obseg tega predmeta.
Primeri kolokvijskih in izpitnih nalog:
prvi kolokvij, 11. april 2005
1. kolokvij, 3. maj 2004
prvi kolokvij, 15. april 2004
Prvi kolokvij, 22. april 2003
23.04 2002
Izpit, 28. avgust 2006
izpit, 4. februar 2005,
Izpit, 29.03.2004
Izpit, 30. 1. 2004
izpit, 6. februar 2003
Izpit 26. 6. 2002
izpit, 4. 12. 2001
2. kolokvij, 12. 6. 2003

144. Primeri upoštevanja matematične magnetilne krivulje pri izračunu
inducirane napetosti
Vzemimo primer jedra z nelinearno in linearizirano magnetilno krivuljo, na katerem
imamo navitje s 1000 ovoji. Jedro ima presek 1 cm2 in srednjo dolžino 0,24 m.
V primeru, da predpostavimo linearizirano magnetilno krivuljo, je induktivnost jedra
neodvisna od vzbujalnega toka, torej konstantna. Inducirana napetost pa bo enaka kar
di
produktu induktivnosti in časovnem odvoda toka v ovojih ui = − L . V primeru
dt
vzbujanja s sinusnim signalom, bo potek inducirane napetosti kosinusna funkcija.
Če pa upoštevamo nelinearnost uvedeno z magnetilno krivuljo, je potrebno izračunati
fluks skozi jedro in ga odvajati po času. Inducirana napetost popačena, velikost popačenja
pa je odvisna od velikosti vzbujalnega signala.
V primerih ni upoštevana histerezna B(H) karakteristika.
1. primer: Magnetilna krivulja
podana v matematični obliki 2.5
B=sqrt(2)*atan(H/750);
2
Slika na desni prikazuje predpostavljeno
magnetilno krivuljo zapisano v obliki
matematične funkcije arkus tangens. 1.5
B /T
1
0.5
0
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
H / A/m
1600
B
V skladu z enačbo µ r = je
µ0 H 1400
relativna permeabilnost (mir) iz 1200
zgornje magnetilne krivulje prikazana
na sliki na desni. 1000
mi r
800
600
400
200
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
H / A/m

145. -4
x 10
2
Magnetni pretok – fluks
1.5
Ker predpostavimo homogenost
gostote magnetnega pretoka v jedru, 1
je fluks enak produktu magnetnega
pretoka in preseka, torej je časovno 0.5
Fluks /Wb
spreminjanje fluksa v jedru enako
0
časovnemu spreminjanju gostote
magnetnega pretoka v jedru. Pri -0.5
majhnih amplitudah toka je signal
fluksa enak signalu vzbujalnega toka -1
(sinusne oblike), pri večjih pa postaja
-1.5
bolj popačene oblike, ki gre v smeri
pravokotnega signala, kot kažjo -2
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
slike. Cas /s
-4
x 10
3
2
V nasičenju je oblika fluksa v jedru
skoraj pravokotne oblike.
1
Fluks /Wb
0
-1
-2
-3
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Cas /s
Induktivnost
Vzemimo primer jedra brez zračne
0.8
reže in z zračno režo 0,5 mm.
Primerjamo induktivnost določeno z 0.7
linearizacijo magnetilne krivulje pri
H = 1000 A/m in induktivnost, 0.6
NΦ
določeno iz L = . V prvem
Ι
0.5
L /H
primeru bo induktivnost konstantna 0.4
(zgornja črta na sliki desno) , v
drugem pa nelinearna (polna črta). Z 0.3
vstavitvijo zračne reže se zmanjša B
0.2
in induktivnost. Zračna reža zmanjša
nelinearnost induktivnosti. 0.1
0
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
H / A/m

146. Inducirana napetost
Imax =0.2A Hmax =833.3333A/m
Kakšna pa bo inducirana napetost, če 8
predpostavimo, da se bo signal “gibal”
6
po izrisani magnetilni krivulji (brez
histereze)? V tem primer je potrebno 4
izračunati odvod fluksa po času.:
Vzbujalni tok je sinusne oblike. 2
Napetost / V
i=Imax*sin(omega*t);
0
B=BB1(N*i/l);
Fluks=B*A; -2
u=-N*[0 diff(Fluks)]/dt;
-4
Popačenje napetostnega signala je
-6
odvisno od amplitude toka. Za majhne
amplitude je napetostni signal še dokaj -8
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
nepopačen (kosinusne oblike), z Cas / s
večanjem amplitude pa se veča tudi
popačenje. Slika desno zgoraj kaže tri
Imax =1A Hmax =4166.6667A/m
oblike inducirane napetosti, pri sinusnem 40
tokovnem vzbujanju z amplitudami toka
30
0,05, 0,1 in 0,2 A. Ugotovimo večanje
popačenja signala z večanjem amplitude 20
toka.
10
Napetost / V
0
Popačenje se z večanjem amplitude toka
še povečuje (sliki desno na sredini in -10
spodaj). Inducirana napetost postaja pri
-20
zelo velikih vrednosti polja izrazito
nelinearna. Dobimo napetostne špice, -30
tam, kjer tokovni signal prehaja iz
-40
pozitivne v negativno vrednost, saj se 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Cas / s
okoli te točke fluks najhitreje spreminja.
Imax =4A Hmax =16666.6667A/m
200
150
100
50
Napetost / V
0
-50
-100
-150
-200
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Cas / s

147. 2. primer nelinearne magnetilne
3
krivulje
Vzemimo magnetilno krivuljo, 2.5
aproksimirano s zamaknjeno Arctan
funkcijo v obliki Matlab formule: 2
function [B]= BB(H)
Hmax=10000;
B /T
1.5
s=abs(H)*(4*pi)/Hmax-pi;
B=(atan(s)-atan(-pi)).*sign(H)
1
Funkcijo prikazuje slika desno.
0.5
0
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
H / A/m
Statična relativna permeabilnost 500
Dobimo jo iz kvocienta gostote in jakosti 450
magnetnega polja. Enake oblike kot je
400
(statična) relativna permeabilnost, je tudi
induktivnost, izračunana iz kvocienta 350
fluksa in toka v jedru. 300
plot(H,BB(H)./(mi0*H));
mi r
250
Pri velikih vrednosti jakosti polja bi 200
morala iti relativna permeabilnost proti 150
vrednosti 1 (narisana gre proti 2,8).
100
50
0
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
H / A/m
-5
x 10
1.5
Magnetni pretok – fluks
Ob predpostavki homogenega polja v 1
jedru je fluks enak produktu gostote
pretoka in preseka. Če upoštevamo 0.5
nelinearno magnetilno krivuljo, je fluks
Fluks /Wb
odvisen od nelinearnosti B(H) 0
karakteristike.Na sliki desno je prikazan
časovni potek fluksa skozi jedro za
-0.5
amplitude vzbujalnega toka 0,05, 0,1 in
-1
-1.5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Cas /s

148. -4
x 10
4
0,2 A. Oblika toka je sinusna (ni 3
narisana), oblika fluksa pa se od
sinusne oblike razlikuje, saj se z 2
večanjem toka (jakosti polja) polje
1
Fluks /Wb
izraziteje veča (v skladu z relativno
permeabilnostjo na prejšnji strani).
0
Če se amplituda toka še povečuje,
-1
prehaja jedro v del magnetilne
krivulje, kjer se B spreminja
-2
počasneje s H-jem (bližanje
nasičenju jedra). V tem delu postaja
-3
potek fluksa bolj “pravokotne” 0 0.05
-4
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
x 10 Cas /s
oblike. To se še izraziteje pojavlja v 4
primeru, ko je vzbujanje tako veliko,
da je jedro v nasičenju. V takem 3
primeru bo fluks v jedru praktično
pravokotne oblike, kot prikazuje 2
spodnja slika.
1
Fluks /Wb
0
-1
-2
-3
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Cas /s
0.35
Induktivnost
Induktivnost izračunamo iz razmerja 0.3
magnetnega sklepa in toka. V primeru linearne
0.25
B(H) karakteristike je induktivnost
konstantna, sicer je odvisna od toka (Hja). 0.2
Nelinearnost lahko zmanjšamo z zračno režo v
L /H
jedru, kar prikazuje slika. Dve ravni črti 0.15
prikazujeta linearizirano induktivnost za H =
0.1
1000 A/m z in brez zračne reže in hkrati
induktivnost z upoštevanjem nelinearnosti 0.05
magnetilne krivulje. Z vključitvijo zračne reže
se induktivnost zmanjša, hkrati pa je bolj 0
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
konstanta. H / A/m

149. Imax =0.2A Hmax =833.3333A/m
0.6
Inducirana napetost
0.4
Inducirano napetost dobimo z
odvajanjem fluksa po času in 0.2
množenjem s številom ovojev. Pri
majhnih tokih (jakostih polja) je
Napetost / V
0
napetostni signal še dokaj nepopačen
(kosinusna funkcija), pri velikih pa je -0.2
vedno bolj popačen. Zgoraj je
prikazana inducirana napetost pri -0.4
vzbujanju s sinusnim signalom
amplitude toka 0,05, 0,1 in 0,2 A, -0.6
spodaj pa dodana še napetostna
signala pri vzbujanju s sinusnim -0.8
tokom amplitude 0,5 A in 1 A. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Cas / s
Imax =1A Hmax =4166.6667A/m
25
Pri nadaljnjem povečevanju 20
amplitude toka je jedro vedno dlje
15
časa v nasičenju. Tedaj se fluks
časovno le malo spreminja, odvod 10
fluksa (inducirana napetost) po času
5
Napetost / V
pa majhen. Dobimo izrazite špice
inducirane napetosti, ki sta posledica 0
prehoda jedra v nasičenje in iz -5
nasičenja. Na sliki je prikazan detajl
-10
odzivov (inducirane napetosti) za
polovico periode. -15
-20
-25
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Cas / s
Imax =20A Hmax =83333.3333A/m
450
400
350
300
Napetost / V
250
200
150
100
50
0
0.165 0.17 0.175 0.18 0.185 0.19 0.195 0.2 0.205 0.21
Cas / s

150. Spreminjanje debeline zračne reže pri enaki magnetilni krivulji kot v prejšnjem
primeru.
-4
x 10
V prejšnjem primeru smo uporabili jedro brez 3
zračne reže. V primeru, da uporabimo jedro z
zračno režo, se zveča magnetna upornost 2
celotnega jedra, kar se odraža v manjši gostoti
magnetnega pretoka v jedru in posledično 1
manjšemu fluksu v jedru. To prikazuje slika
Fluks /Wb
za tok sinusne oblike amplitude 2 A in 0
debeline zračnih rež (z zanemaritvijo stresanja
-1
polja) 0 mm (veliko popačenje in velik fluks),
0,5 mm, 5 mm in 10 mm (majhno popačenje
-2
in majhen fluks). (Izračun v Matlabu
opravimo tako, da najprej določimo zvezo
-3
med B in H, nato določimo za poljuben H 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Cas /s
0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
določen tok, potem pa izračunamo obratno, za
točke na sinusni obliki toka določimo Bje).
H1=-12000:100:12000;
B1=BB1(H1) Imax =2A Hmax =8333.3333A/m
Imax=2; 20
for lz=[0,0.5e-3,5e-3,1e-2] 15
i=Imax*sin(omega*t);
II=H1*l/N+B1*lz/mi0/N; 10
Bi= interp1(II,B1,i) 5
Fluks1=Bi*A;
Napetost / V
0
-5
Napetostni signal dobimo z -10
odvajanjem fluksa (in množenjem -15
s številom ovojev). Pri majhnih -20
zračnih režah je inducirana 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Cas / s
napetost velika vendar popačene
oblike glede na tokovni signal, pri 350
velikih zračnih režah pa je
amplituda inducirane napetosti 300
manjša, je pa zato signal manj
popačen (kosinusne oblike). 250
Med poloma zračne reže deluje
sila, ki je sorazmerna kvadratu 200
Sila /N
gostote polja v zračni reži
B2 150
F= A . Sila niha z dvojno
2 µ0
100
frekvenco vzbujalnega signala in je
v primeru nepopačenja tudi sinusne 50
oblike.
0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Cas /s

151. Primer trikotne oblike tokovnega 20
signala 15
Vzemimo tokovni signal na sliki desno, 10
pri katerem dve tretjini periode signal
5
narašča in eno tretjino pada.
i /A
0
-5
Za tokovni signal na sliki dobimo fluks, -10
ki je tudi trikotne oblike, dokler
popačenje ni tako veliko. Pri večjih -15
vrednostih vzbujanja se oblika fluksa
-20
približuje pravokotni obliki (v 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Cas /s
nasičenju).
-4
x 10
2.5
2
1.5
1
0.5
Fluks /Wb
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
Cas /s
Pri majhnih vzbujalnih signalih trikotne Imax =0.5A Hmax =2083.3333A/m
oblike je inducirana napetost pravokotne
5
oblike različnih amplitud zaradi različnih
naklonov tokovnega signala. Večji naklon, 4
večja je inducirana napetost. 3
2
Napetost / V
Pri večanju amplitude tokovnega signala
1
se jedro nahaja vedno večji del časa v
nasičenju, zato bo špica napetostnega 0
signala v bližini točke, ko prehaja tok iz -1
pozitivne v negativno vrednost.
-2
-3
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
Cas / s

152. Program za izračune:
Celoten program za izračune (v enem primeru je potrebno uporabiti funkcijo BB, v
drugem pa BB1). Za vmesne prikaze je potrebno dodati funkcijo break.
mi0=4*pi*1e-7;
A=1e-4;
l=0.24;
N=1000;
Imax=2;
I=0:0.01:Imax;
H=N*I/l;
H1000=N*1/l
plot(H,BB(H)); xlabel('H / A/m'); ylabel('B / T')
figure; plot(H,BB(H)./(mi0*H)); xlabel('H / A/m'); ylabel('mi r')
% lineariziram pri H=1000
B1000=BB(1000);
mir1000=B1000/(mi0*1000)
Fluks=B1000*A
I1000=1000*l/N;
L=N*Fluks/I1000
plot(H,ones(length(H))*L)
hold on
% racunam z magnetilno krivuljo
B=BB(H);
Fluks=B*A;
II=H*l/N;
L=N*Fluks./II
plot(H,L); xlabel('H / A/m'); ylabel('L / H')
% Z zracno rezo
lz=0.5e-3;
Bz1000=mir1000*mi0*1000;
Fluks=Bz1000*A
I1000=(1000*l+Bz1000/mi0*lz)/N;
L=N*Fluks/I1000
plot(H,ones(length(H))*L,'--')
% z rezo in upostevanjem magnetilne krivulje
% racunam z magnetilno krivuljo
B=BB(H);
Fluks=B*A;
II=H*l/N+B*lz/mi0/N;
L=N*Fluks./II

153. plot(H,L,'--'); xlabel('H / A/m'); ylabel('L / H')
H1=0:100:5000;
B1=BB(H1)
plot(H1,B1)
figure;
% INDUCIRANA NAPETOST
% Racunam inducirano napetost (BREZ UPOSTEVANJA ZRACNE REZE)
hold off
j=0; barva=['k','b','r','g','c','b']
for Imax=[0.05,0.1,0.2,0.5,1]
dt=0.001;
t=0:dt:0.5;
omega=50;
i=Imax*sin(omega*t);
Hmax=N*Imax/l;
B=BB(N*i/l);
Fluks=B*A;
%plot(t,i)
u=-N*[0 diff(Fluks)]/dt;
j=j+1;
plot(t,u,'Color',barva(j),'LineWidth',2)
xlabel('Cas / s'); ylabel('Napetost / V');
title(strcat('Imax = ',num2str(Imax), 'A',' Hmax = ',num2str(Hmax),
'A/m'))
hold on
k = waitforbuttonpress
end
function [B]= BB(H)
Hmax=10000;
s=abs(H)*(4*pi)/Hmax-pi;
B=(atan(s)-atan(-pi)).*sign(H)
function [B]= BB(H)
B=sqrt(2)*atan(H/750);

154. Razširjen Amperov zakon 14.
* Razširjen Amperov zakon
(*neobvezno gradivo)
Vsebina poglavja: Dosedanji zapis Amperovega zakona ne upošteva toka v kondenzatorju,
razširjen Amperov zakon predstavlja 1. Maxwellovo enačbo, premikalni (poljski tok),
uporaba premikalnega in konduktivnega toka, difuzija ravninskega polja.
Problem uporabe Amperovega zakona v obliki ∫ H ⋅ dl = ∫ J ⋅ d A , kjer smo za gostoto toka vzeli
L A
konduktivni tok ( J = γ E ) se pokaže, ko želimo ta zapis uporabiti tudi zvezo med magnetnim
poljem in tokom v kondenzatorju. Za kondenzator vemo, da v njem (v idealnem primeru) ni
konduktivnega toka, saj je specifična prevodnost med ploščama tako majhna, da jo običajno lahko
kar zanemarimo.
Vzemimo, da se tok v vodniku s priključenim kondezatorjem časovno spreminja. Tedaj bo tok tudi
skozi kondenzator vendar ne konduktivni. Dokler smo zunaj kondenzatorja in zaobjamemo žico z
zanko L1 bo veljalo
∫ H ⋅ dl = i
L1
kond (14.1)
Če pa postavimo zanko L2 znotraj kondenzatorja dobimo z dosedanjim zapisom Amperovega
zakona ∫ H ⋅ dl = 0 . Očitno zakonu manjka še komponenta toka, ki bi opisovala tudi tak tok, ki
L2
omogoča prevajanje skozi kondenzator. Poglejmo, kako ga določimo: če se bo tok v prevodniku
spreminjal časovno, se bo na ploščah kondezatorja časovno spreminjala velikost naboja, skladno z
dQ
enačbo i = ic = . Naboj na ploščah pa lahko izrazimo z gostoto površinskega naboja σ , tega pa
dt
z gostoto električnega pretoka D:
dQ d(σ A) d( DA) dD
ic = = = = A (14.2)
dt dt dt dt
Očitno moramo v Amperovem zakonu v primeru izmeničnih signalov upoštevati poleg
konduktivnega toka tudi obliko toka skozi kondenzator. Temu toku, ki sicer ni vezan na
kondenzatorje pač pa na vse dielektrične snovi, imenujemo premikalni tok, pogosto pa tudi poljski
tok1.
1
Ta tok je prvi vpeljal J.C. Maxwell leta 1860 (objavil leta 1864) in ga poimenoval premikalni (ang. displacement
current). To je tok, ki ni posledica potovanja naboja v smislu konduktivnega ali konvektivnega toka pač pa le manjšega

155. Razširjen Amperov zakon 14.
Če je ta tok nehomogen po preseku, ga zapišemo z integralom kot
∂D
ic = ∫ ⋅dA (14.3)
A
∂t
Če sedaj dodamo še to obliko toka k zapisu enačbe (14.1), dobimo
 ∂D 
∫ H ⋅ dl = i
L
kond + ic = ∫  J kond +
A
⋅dA
∂t 
(14.4)
To obliko imenujemo tudi razširjen Amperov zakon ali pa tudi 1. Maxwellova enačba.
Prispevek Maxwella je bil izredno pomemben, saj je pravilno predvidel, da mora magnetno polje
povzročati ne le konduktivni tok, pač pa tudi spreminjanje električnega polja med ploščama
kondenzsatorja. V splošnem bi morali v poštev vzeti vse toke, ki prispevajo k nastanku magnetnega
polja, torej tudi konvektivni tok.2
Premikalni (poljski) tok
Kot sledi iz enačbe (14.4), lahko za gostoto premikalnega toka pišemo tudi
∂D
Jc = . (14.5)
∂t
Iz elektrostatike vemo, da lahko gostoto električnega pretoka izrazimo z električno poljsko jakostjo
in vektorjem električne polarizacije D = ε 0 E + P . Če to upoštevamo v zgornji enačbi in dobimo
dva člena gostote premikalnega toka
∂D ∂E ∂P
Jc = = ε0 + (14.6)
∂t ∂t ∂t
Prvi člen predstavlja časovno spremembo prostega naboja na ploščama kondenzatorja oz. časovno
spremembo polja v vakuumu, drugi pa še dodatni prispevek zaradi časovne spremembe polarizacije
snovi (obračanje dipolov).
Kdaj bi bil za analizo bolj pomemben konduktivni in kdaj premikalni tok?
premika proti ali stran od elektrod ter posledica rotacije dipolov v dielektriku. Pri nas se ta tok pogosto imenuje tudi
poljski tok, saj je posledica časovne spremembe električnega polja. Maxwell je tudi ugotovil, da enačbe nakazujejo na
enačbo valovanja in da se to elektromagnetno valovanje premika s svetlobno hitrostjo. Dokaze pravilnosti te trditve je
eksperimentalno dokazal šele Heinrich Hertz leta 1887, ki je uporabil zanko z majhno zračno režo. Ob dovolj visoki
napetosti je v zračni reži prišlo to preboja, ki pa je »hkrati« nastala tudi sosednji (nevzbujani) v zanki z zračno režo.
2
Tok zaradi magnetizacije pa je upoštevan že v samem zapisu Amperovega zakona z vektorjem H. Če pa bi pisali
Amperov zakon z vektorjem B, bi pa morali upoštevati tudi tok zaradi magnetizacije na desni strani enačbe.

156. Razširjen Amperov zakon 14.
Do odgovora na to vprašanje najlaže pridemo tako, da predpostavimo harmonično vzbujanje, pri
čemer bo električno polje enako E = E0 sin ( ωt ) . V primeru linearne snovi lahko upoštevamo zvezi
J = γ E in D = ε E , s čimer bosta konduktivni in premikalni tok enaka γ E0 sin (ωt ) in
γ
ωε E0 cos (ωt ) . Kateri tok bo prevladal, je odvisno od amplitud tokov, torej od razmerja . Pri
ωε
visokih frekvencah in majhnih prevodnostih bo očitno prevladoval premikalni (poljski) tok, v
nasprotnem pa konduktivni.
Primer: Ocenimo, pri katerih frekvencah bo prevladoval konduktivni in pri katerih premikalni tok?
Za dober prevodnik vzemimo γ = 107 S/m , za dober izolator pa γ = 10−10 S/m , dielektričnost
zaokrožimo na ε = 10 −11 F/m . Razmerje tokov naj bo najmanj 1000.
γ
Konduktivni tok bo prevladoval, ko bo veljalo ≥ 1000 , oziroma
ωε
γ 107
ω≤ = = 1015 s -1 . Ugotovimo, da bo konduktivni tok v dobrem prevodniku
1000 ⋅ ε 103 ⋅10−11
prevladoval nad premikalnim do zelo visokih frekvenc.
γ
Premikalni tok bo prevladoval, ko bo veljalo ≤ 1000 , oziroma
ωε
γ 10−10
ω≥ = 3 −11 = 10 −2 s -1 . Ugotovimo, da bo premikalni tok v dobrem izolatorju (recimo
1000 ⋅ ε 10 ⋅10
kar zraku) prevladoval nad konduktivnim od zelo nizkih frekvenc dalje.
Primer: Difuzija ravninskega polja v prevodniku (dodatno, kot informacija)
Vzemimo primer, ko upoštevamo le konduktivni tok3. Zanima nas časovno in krajevno
spreminjanje Hja in Eja v prevodniku pri čemer bomo zaradi siceršnje kompleksnosti reševanja
poenostavili problem v toliko, da bomo predpostavili, da ima polje H le Y komponento, polje E pa
le X komponento, gibljeta pa naj se v Z smeri.
3
V naprotnem primeru, če bi upoštevali le premikalni tok, bi nas rešitev privedla do valovne enačbe. Ta problematika
posega v področje, ki ga pri tem predmetu ne obravnavamo. Za osnovne informacije se poslužite učbenika A.R.
Sinigoj: Osnove elektromagnetike, sicer pa iz omenjenega področja študijske literature ne primanjkuje.

157. Razširjen Amperov zakon 14.
Postopek je tak, da moramo najprej diskretizirati Amperov in Faradayev zakon, zapisati ustrezno
diferencialno enačbo in jo rešiti.
Vzemimo dve zanki ki sta pravokotni druga na drugo (glej sliko). Za zanko L1, ki leži v XZ ravnini
zapišemo diskretiziran Amperov zakon v obliki
∆z
(H y ( z , t ) − H y ( z + ∆ z ) ) ⋅ l ≅ γ Ex ( z +
2
) ⋅ ∆z ⋅ l
Enačbo delimo z delta z in limitiramo, pri čemer diference postanejo parcialni odvodi
∂H y
− = γ Ex (14.7)
∂z
Poleg te enačbe diskretiziramo še Faradayev zakon indukcije, ki ga zapišemo po zanki L2, ki leži v
XY ravnini in dobimo
∂Ex ∂H y
= −µ (14.8)
∂z ∂t
Sedaj moramo enačbo (14.7) odvajati po Zju in jo uvrstiti v enačbo (14.8). Dobimo
∂2H y ∂H
= γµ (14.9)
∂z 2
∂t
To pa je tip diferencialne enačbe, katere rešitev je v obliki sinusne funkcije z dodanim
eksponentnim naraščanjem ali padanjem
H y ( z , t ) = H y 0 e px sin(ωt + qz ) (14.10)
Konstanti p in q bi dobili z odvajanjem rešitve in uvrstitvijo v izpeljane zveze. Dobili bi
ωµγ 1
p=q=± =± (14.11)
2 δ
2
Delta bo torej δ = in jo imenujemo vdorna globina ali tudi globina prodiranja. Pri tej
ωµγ
globini bo polje padlo za faktor 1/e.
Rešitev bo torej oblike
x
± z
H y ( z, t ) = H y 0e δ
sin(ωt ± ) (14.12)
δ
Primer: Doličimo globine prodiranja polja v bakren vodnik za signale s frekvencami 100 MHz, 1
MHz, 1 kHz in 50 Hz. γ Cu = 6 ⋅107 S/m .

158. Razširjen Amperov zakon 14.
2
Izračun: Iz enačbe δ = določimo δ = 6,5 µm pri 100 MHz, 65 µm pri 1MHz, 2 mm pri 1
ωµγ
kHz in 9,2 mm pri 50 Hz.
Kako do polja Ex? S pomočjo enačbe (14.7), torej tako, da odvajamo rešitev za polje H in delimo s
specifično prevodnostjo. Dobimo
1
Ex ( z , t ) = ± H y 0 e ± z / δ ( sin(ωt ± z / δ ) + cos(ωt ± z / δ ) ) (14.13)
γδ
S preureditvijo dobimo
ωµ  π 
Ex ( z , t ) = ± H y 0 e ± z / δ  sin(ωt + ± z / δ )  (14.14)
γ  4 
Zanimivosti:
- Električno in magnetno polje sta fazno premaknjena za π / 4
- Obe polji padata (usihata) eksponentno
ωµ
- Razmerje amplitud je , ki ima enoto upornosti in je za zrak 150 µΩ.
γ

159. Povzetek enačb elektromagnetnega polja
(zapisi označeni z (*) so neobvezni)
S študijem električnih in magnetnih pojavov smo prišli do osnovnih zvez, ki opisujejo
lastnosti elektromagnetnega polja. Električno polje smo razložili in v matematični obliki
popisali z električno poljsko jakostjo E, magnetno polje pa z gostoto magnetnega pretoka B.
V osnovi ob poznavanju teh dveh veličin določimo silo na naelkren delec kot
F = QE + Qv × B .
Ta enačba je znana kot Lorentzova sila.
Ker sta ti dve količini primerni za obravnavo le v vakuumu (v snovi nista narobe, pač pa je
nabojev preveč, da bi računali vpliv vsakega z vsakim), smo vpeljali še dve veličini, gostoto
električnega pretoka D in jakost magnetnega polja H, ki omogočata obravnavo
elekromagnetnih pojavov tako v vakuumu kot v snoveh. Zgodovinsko gledano so se zapisi
enačb dopolnjevali in spreminjali, v obliki, v kakršni jih danes poznamo, pa jih je združil J.C.
Maxwell (Pravzaprav njegovi nasledniki, predvsem Heaviside. Maxwell jih je zapisal
nekoliko manj pregledno). Osnovne zveze predstavljajo štiri t.i. Maxwellove enačbe:
1. Maxwellova enačba = razširjen Amperov zakon:
 ∂D 
∫ H ⋅ dl = ikond + ic = ∫  J kond + ∂t  ⋅ d A
L A

Integral H-ja po zaključeni poti je enak oklenjenemu toku, ta pa je enak vsoti konduktivnega
in poljskega (premikalnega) toka. Ta dva pa lahko izrazimo z gostoto konduktivnega toka in z
odvodom gostote električnega pretoka po času. To je zapis v t.i. integralni obliki, pogosto ga
∂D
zasledimo tudi v t.i. diferencialni obliki: rot H = J kond + . Rot je oznaka za operator, ki ga
∂t
imenujemo rotor. Znanja o teh zapisih presegajo domet predmeta, podajamo jih le zato, da bi
pri morebitni kasnejši zasleditvi izraza lažje našli povezavo z že slišanim.
2. Maxwellova enačba = Faradayev zakon indukcije
∂B
∫ E ⋅ dl = − ∫ ∂t ⋅ d A
L A
Integral E-ja po zaključeni poti je enak inducirani napetosti oziroma negativni časovni
spremembi fluksa skozi zanko L. V primeru gibanja zanke, je potrebno členu na desni dodati
( )
še t.i. gibalno napetost, člen ∫ v × B ⋅ dl .V diferencialni obliki je enačba oblike:
L
∂B
rot E = − . (*)
∂t
3. Maxwellovan enačba = Gaussov zakon za magnetni polje
A
∫ B ⋅dA = 0

160. Integral B-ja po zaključeni površini je enak nič, oziroma magnetni pretok skozi zaključeno
površino je enak nič. Rečemo tudi, da magnetno polje ni izvorno, oz., da je rotacijsko. V
diferencialni obliki: div B = 0 (*).
4. Maxwellova enačba = Gaussov zakon za električno polje.
A
∫ D ⋅ d A = ∫ ρ dV
Integral D-ja po zaključeni površini je enak zaobjetemu prostemu naboju. V diferencialni
obliki je zapis oblike divD = ρ (*) in če upoštevamo, da je E = ε D in E = −gradV dobimo
enačbo, ki je znana kot Poissonova enačba divε gradV = − ρ (*). V primeru, da v snovi ni
prostih nabojev, pogosto to enačbo zapišemo kot divε gradV = 0 (*) in je znana kot
Laplaceova enačba.
Štiri osnovne enačbe opisujejo zvezo med električnim in magnetnim poljem. Vidimo, da sta ta
dva med seboj povezana, da časovna sprememba električnega polja povzroči nastanek
magnetnega polja (1 enačba), in da časovna sprememba magnetnega polja rezultira v nastanku
magnetnega polja.
Poleg teh štirih enačb moramo še upoštevati zakon o ohranitvi naboja, ki ga zapišemo v
obliki t.i. kontinuitetne enačbe:
∂ρ
∫ J ⋅ d A = − ∫ ∂t dV
A
Snovne lastnosti upoštevamo z zvezo med E-jem in D-jem v obliki
D = εE
in med B-jem in H-jem
B = µ H , ter med J-jem in E-jem
J =γE .
V primeru bolj kompleksnih materialov (izotropnih) je lahko permeabilnost ali dielektričnost
različna v različnih smereh in jo je potrebno zapisati v obliki tenzorja. Poleg tega so zveze
lahko neliearne, recimo v primeru feromagnetnih materialov. (Poznamo tudi feroelektrične
materiale, za katere je značilno, da imajo tudi histerezno povezavo med E in D.)

161. Prehodni pojavi 16.
Prehodni pojavi
Vsebina: Stacionarno stanje – prehodni pojav, zveze med tokom in napetostjo na
uporu, tuljavi in kondenzatorju, začetni pogoji, zapis in oblika rešitve
diferencialne enačbe, polnenje in praznenje kondenzatorja in tuljave, časovna
konstanta, »obrtniška metoda«, uporaba programov za analizo vezij.
Z analizo vezij priključenih na enosmerne vire smo se že spoznali. Pri tem smo
obravnavali le vezja, sestavljena izključno iz uporov. Če bi poleg uporov vsebovala še
tuljave in kondenzatorje, bi morali ugotoviti, da v enosmernih razmerah kondenzatorji
predstavljajo odprte sponke (upornost izolatorja/dielektrika je izredno velika), tuljave
pa kratek stik ( če zanemarimo Ohmsko upornost navitja). Take razmere nastopijo v
vezju tudi po preteku prehodnega pojava.
SLIKA: Vezje z upori, idealnimi kondenzatorji in idealnimi tuljavami
priključenimi na enosmerni vir v stacionarnih razmerah.
Popolnoma drugačne razmere pa imamo tedaj, ko vire šele priklopimo ali odklopimo
z vezja. V prvem trenutku po priklopu vira se na elementih vezja še ne bodo
vzpostavile razmere, kot so v enosmernih razmerah. Ugotovili bomo, da tok skozi
tuljavo ne more sunkovito narasti, saj mu to preprečuje inducirano polje, ki je večje
ob večji spremembi toka. Prav tako ne more hipoma narasti napetost na tuljavi, saj je
le ta odvisna od naboja med elektrodama, ta pa mora priteči s tokom. V tem primeru
pride do t.i. prehodnega pojava.
SLIKA: Prehod med dvema stacionarnima stanjema imenujemo prehodni pojav.
1/18

162. Prehodni pojavi 16.
Prehodni pojavi. Prehodne pojave srečujemo na vsakem koraku. Dobesedno. Z
drsenjem čevljev ob tla se le ti naelektrijo, ob vsakem stiku s tlemi pa razelektrijo. Če
ostanemo naelektreni in se približevamo določenemu prevodnemu objektu (recimo
kljuki) pride do razelektritve1.
Tako, kot se prehodni pojavi dogajajo v naravi, jih najdemo tudi pri čisto
»elektrotehniških« problemih. Ti nas navsezadnje še najbolj zanimajo. Na primer
polnenje ali praznega avtomobilskega akumulatorja. Ali pa vžigalni sistem s tuljavo z
zelo velikim številom ovojev. Če skozi tuljavo teče enosmeren tok, je padec napetosti
na tuljavi odvisen le od upornosti ovojev tuljave. Če pa ta tok v hipu prekinemo, pride
do induciranja napetosti na tuljavi, ki je lahko ob hipni spremembi toka zelo velika,
di (t )
saj velja u (t ) = L . Ob veliki induktivnosti in hipni spremembi toka je lahko
dt
napetost med kontaktoma tuljave tako velika, da pride do razelektritve s preskokom
iskre. Ta pa povzroči malo eksplozijo stisnjenega bencina, ta premik bata in že se
premikamo. S prehodnim pojavom imamo opravka pri vsakem električnem vezju, ki
ga občasno priključimo na napajanje ali pa izklopimo. Elemente vezja je torej
potrebno dimenzionirati tudi za delovanje pri teh razmerah in ne le v stacionarnem
stanju.
1
Ta razelektritev nastopi pri napetostih 5 do 15 kV z maksimalnim tokom do 1 A. To je precejšen tok,
ki pa traja izredno malo časa (reda µs), poleg tega je koncentriran le pri mestu nastopa razelektritve,
potem pa se razširi na večje območje1. To neprijetnost lahko zmanjšamo z zmanjšanjem upornosti med
telesom in zemljo. Ta upornost naj ne bi bila večja od 100 MΩ, kjer pa je verjetnost razelektritve
posebno velika, pa naj ne bo manjša od 50 kΩ. V posebnih primerih (nevarnost explozij) je potrebno
uporabiti oblačila, katerih upornost ne sme preseči veliksoti GΩ. V primeru naravnih materialov to
običajno ni problem, je pa potrebno to upoštevati pri umetnih materialih1. Znan nam je tudi pojav
razelektritve ob stiku s karoserijo avta, ki nas neprijetno strese. Še bolj neprijetno je lahko ob
razelektritvi naboja nevihtnega oblaka. Zamislimo si razelektritev kondenzatorja, ki se naelektri na
napetost med 10 MV in 100 MV. Tokovi razelektritve so velikosti nekaj deset do 150 kA, dogodek pa
lahko traja nekaj sto mikrosekund1. Med zemljo in ionosfero je konstantna visoka napetost, zemlja pa
je bolj pozitivno naelektrena. Sistem si lahko predstavljamo kot velikanski kondenzator s
kapacitivnostjo 5000 F, ki se počasi polni preko »izgubne« upornosti ozračja.
2/18

163. Prehodni pojavi 16.
Zveze med tokom in napetostjo na elementih vezja
Za analizo prehodnega pojava se moramo vrniti k osnovnim zvezam med napetostjo
in tokom na elementih vezja:
UPOR: u (t ) = R ⋅ i (t ) ⇔ i (t ) = G ⋅ u (t )
t
1 du (t )
KONDENZATOR: u (t ) = ∫ i (t )dt + uC 0 ⇔ i (t ) = C
C0 dt
velja tudi Q(t ) = Cu (t )
t
di (t ) 1
L∫
TULJAVA: u (t ) = L ⇔ i (t ) = u (t )dt + iL 0
dt 0
Poleg teh osnovnih zvez moramo upoštevati še oba Kirchoffova zakona ter začetne
pogoje, ki določajo kontinuiteto toka ali napetosti ob prehodnem pojavu.
Začetni pogoji. Napetost na kondenzatorju je integral toka skozi kondenzator. Tudi
če se tok skozi kondenzator hipoma spremeni (hipna sprememba pritekanja ali
odtekanja naboja), se lahko napetost spremeni le postopoma, zvezno. To pa tudi
pomeni, da bo morala biti napetost na kondenzatorju tik pred spremembo enaka
napetosti tik po spremembi, kar lahko zapišemo kot
uC (0 + ) = uC (0− ) . (25.1)
Enako trditev ne moremo postaviti tudi za tok skozi kondenzator, le ta se lahko
spremeni tudi hipoma.
Začetni pogoj za tok ali napetost na tuljavi ugotovimo s podobnim razmisekom, le da
se pri tuljavi ne more hipoma spremeniti tok skozi tuljavo (lahko pa se napetost).
Zato velja
iL (0 + ) = iL (0 − ) (25.2)
Ta dva pogoja nam zadostujeta, da z razmislekom ugotovimo vrednost napetosti ali
toka na poljubnih elementih v vezju tok ob prekopu.
Postopek analize vezij pri prehodnem pojavu je sledeč:
3/18

164. Prehodni pojavi 16.
Zapišemo enačbe vezja po preklopu z uporabo Kirchoffovih zakonov. Tako tvorimo
sistem (ene ali več) diferencialnih enačb, ki jih je potrebno rešiti. V ta namen
potrebujemo še začetne pogoje, to je stanje na elementih vezja tik po preklopu (ob
začetku prehodnega pojava).2
Polnjenje kondenzatorja.
Primer 1: Ob času t = 0 priklopimo kondenzator in zaporedno vezan upor na
enosmerni vir napetosti 12 V. Določimo časovni potek napetosti in toka na
kondenzatorju. R = 10 Ω, C = 100µF .
SLIKA: Shema vezja
Izračun:
Uporabimo 2 Kirchoffov zakon U g = u R (t ) + uC (t ) in zvezi med tokom in napetostjo
1
C∫
na uporu in kondenzatorju U g = iR + idt . Z odvajanjem dobimo diferencialno
di i
enačbo za tok skozi kondenzator3 0 = R + . Dobimo diferencialno enačbo prvega
dt C
reda s konstantnima koeficientoma, pa še homogeno povrhu (levi del je enak nič).
Načinov reševanje takih enačb je več. Pri enostavnih sistemih diferencialnih enačb
poznamo t.i. nastavek za rešitev. V konkretnem primeru diferencialne enačbe je
rešitev v obliki eksponentne funkcije i = Aeλt . Ta nastavek uvrstimo v diferencialno
 1  λt
enačbo in dobimo  λ +  Ae = 0 .
 RC 
2
Že pri analizi vezij z izmeničnimi signali bi lahko zapisali sistem diferencialnih enačb in ga tudi
reševali. Temu smo se elegantno izognili z vpeljavo kompleksorjev in kompleksnega računa, pri čemer
smo reševanje sistemov diferencialnih enačb prevedli v sistem navadnih algebrajskih enačb. Odvajanje
 1 
je bilo ekvivalentno množenju z jω , integracija pa deljenju z jω :  .
 jω 
3
Ta tok običajno imenujemo kar polnilni tok, saj pri tem prehodnem pojavu elektrimo kondenzator z
nabojem. Naboj je sorazmeren napetosti na kondenzatorju, saj velja Q (t ) = C ⋅ u (t ) ).
4/18

165. Prehodni pojavi 16.
1
Očitno bo enačbi zadoščeno, če bo λ=− . S tem bo rešitev oblike
RC
t t
τ = RC .
− −
i (t ) = Ae RC
= Ae τ , kjer je Tau ima enoto časa, zato mu tudi pravimo
časovna konstanta.
Določiti moramo še konstanto A. V ta namen moramo upoštevati začetni pogoj (25.1)
: napetost na kondenzatorju tik po preklopu mora biti enaka kot tik pred preklopom
uC (0 + ) = uC (0− ) . Zato je uC (0 + ) = 0 V . V trenutku t = 0+ bo torej vsa napetost na
uR U g
uporu uR (0+ ) = U g , tok pa bo enak i (0+ ) = = . To pa je začetni pogoj, ki ga
R R
potrebujemo za dokončno rešitev. Upoštevamo ga v nastavku in dobimo
t
+
Ug Ug −
i (0 ) = = A . Rešitev bo torej eksponentno zmanjševanje toka i (t ) = e . τ
R R
Napetost na uporu je sorazmerna temu toku, napetost na kondenzatorju pa lahko
dobimo z integracijo toka v skladu z enačbo ali pa kar kot razliko priključene
 −
t

napetosti in napetosti na uporu. Dobimo uC (t ) = U g 1 − e τ .
 
SLIKA: Prikaz napetosti na uporu in kondenzatorju (uR) in (uC) ter toku pri
prehodnem pojavu polnenja kondenzatorja preko upora.
5/18

166. Prehodni pojavi 16.
Časovna konstanta.
Za zgornji primer je časovna konstanta 100 µs. V tem času pade napetost na uporu za
τ
−
e τ
= e −1 ali na 37 % začetne vrednosti. V času 2τ pade na 13,5 % in v času 5τ že pod
1 % začetne vrednosti. Časovno konstantno dobimo lahko tudi iz naklona signala v
času t = 0 (ob preklopu)4.
SLIKA: Časovna konstanta je čas, ko se zmanjša ali poveča vrednost opazovane
veličine za približno 63 %.
Močnostne razmere.
du
Moč na uporu je pR (t ) = i 2 R , na kondenzatorju pa pC (t ) = iC ⋅ uC = Cu .
dt
SLIKA: Moč na uporu (modra) upada s tokom, na kondenzatorju (zelena) pa narašča,
doseže maksimum in upada proti nič.
4 di
(t = 0) = I 0 e
−0 / τ  − 1  = − I ali tudi ∆i (t = 0) = I − 0 = − I
 
0 0 0
dt  τ τ ∆t 0 −τ τ
6/18

167. Prehodni pojavi 16.
Energijske razmere.
t
Energijo dobimo z integracijo moči po času: W (t ) = ∫ p (t )dt .
0
t
UgC 
2
− 
2t
Energija na uporu je WR (t ) = ∫ Ri 2 dt =  1 − e τ  , na kondenzatorju pa
0
2  
2
u 2 CU g
2
 − 
t
WC (t ) = C C =  1 − e τ  . Energija na uporu se je med prehodnim pojavom
2 2  
»potrošila« oz. pretvorila v toploto (Joulske izgube), energija na kondenzatorju pa se
je shranila v obliki zgrajenega električnega polja oz. v obliki naelektrenosti.
SLIKA: Energijske razmere pri polnjenju kondenzatorja: Energija na kondenzatorju
(črtkana zelena črta) narašča, naraščajo pa tudi joulske izgube (pikčasta morda črta) na
uporu. Vsota (polna rdeča črta) je energija, ki je enaka energiji, ki jo elementom
zagotavlja vir (krogci).
Praznenje kondenzatorja.
Primer 2: Vzemimo, da se je kondenzator polnil do časa t = 2τ , nato pa vir
odklopimo in ga hkrati preklopimo na upor R2= 100 Ω. Določimo tok praznenja in
napetost na kondenzatorju.
SLIKA vezja.
7/18

168. Prehodni pojavi 16.
di i
Izračun: Rešujemo enačbo 0 = ( R1 + R2 ) + . Rešitev bo podobna kot v prejšnjem
dt C
t
− −
t
( R1 + R2 )C
primeru, torej i (t ) = Ae = Ae , kjer pa bo sedaj časovna konstanta daljša,
τ
enaka 1,1 ms (prej 0,1 ms). Drugačen je tudi začetni pogoj, saj bo sedaj ob preklopu
ostala napetost na kondenzatorju nespremenjena in enaka
uC (t = 2τ ) = U g (1 − e −2 ) ≈ 0,86 ⋅ U g . Ta napetost bo v trenutku preklopa tudi enaka
napetosti na obeh uporih, torej bo tok v času t (2τ ) enak
0,86 ⋅ U g 0,86 ⋅12V
i (2τ + ) = = ≈ 0, 094 A . Konstanta A bo torej
R1 + R2 110 Ω
2τ
−
( R1 + R2 )C
i (2τ ) = Ae = Ae −2 = 0, 094A ⇒ A = 0,697A . Tok praznjenja je torej
t
−
( R1 + R2 )C
i (t ) = 0, 697e A . Napetost na uporoma bo enaka napetosti na kondenzatorju
t
−
u R (t ) = uC (t ) = 76, 67e τ V .
Dodatno: Ob času t = 4τ zopet vklopimo generator preko upora 10 Ω. Kakšen je sedaj
potek polnenja?
Izračun: Začetni pogoj je napetost na kondenzatorju
4τ
−
uC (t = 4τ ) = 78, 67e τ
V = 1, 44 V . ....
Oglejte si tudi primer simulacije s programom Spice na koncu poglavja. Prvi primer je
ravno simulacija polnenja in praznenja kondenzatorja, ki je priključen na vir napetosti
s periodičnimi pulzi.
8/18

169. Prehodni pojavi 16.
Vklop tuljave. (»polnjenje« tuljave)
Primer 3: Poglejmo še primer vklopa tuljave in zaporedno vezanega upora na
enosmerno napetost Ug ob času t = 0 s.
SLIKA vezja.
Ob vklopu bo napetost generatorja enaka vsoti napetosti na uporu in tuljavi:
di
U g = u R (t ) + uL (t ) = iR + L . Dobili smo (nehomogeno) diferencialno enačbo prvega
dt
reda s konstantnima koeficientoma. Rešitev homogene enačbe zopet iščemo v obliki
t t
 R R − −
i = Aeλt in dobimo  λ +  Aeλt = 0 , od koder je λ = − in i = Ae L / R = Ae τ . Tau
 L L
L
je časovna konstanta in je enaka τ= .
R
Za rešitev diferencialne enačbe zopet potrebujemo ustrezen začetni pogoj. Ta bo
sedaj določen s tokom skozi tuljavo. Ker je bil pred preklopom enak nič, mora biti v
skladu z začetnim pogojem i (0+ ) = i (0− ) tok tik po preklopu i (0+ ) = 0 A . Če ta pogoj
upoštevamo v enačbi i = Aeλt dobimo 0 = Ae0 , oziroma A=0. Ta rešitev očitno ne bo
ustrezna. Pozabili smo namreč na rešitev nehomogenega dela enačbe. En od možnih
načinov za določitev prispevka nehomogenega dela enačbe je reševanje z variacijo
konstante. Pri takem načinu predstavimo konstanto A kot funkcija časa A(t). Z
odvajanjem enačbe i = A(t )eλt in uvrstitvijo v diferencialno enačbo dobimo
U g = R ( Aeλt ) + L ( A '(t )eλt + λ Aeλt ) = LA '(t )eλt oziroma A ' =
Ug
e − λt . Z integracijo
L
1 U g − λt U g − λt
konstante dobimo A(t ) = e +B= e + B , kjer je B neka nova konstanta.
−λ L R
Ug
Rešitev torej iščemo v obliki i (t ) = A(t )eλt = + Beλt . Konstanto B določimo iz
R
9/18

170. Prehodni pojavi 16.
Ug
začetnega pogoja (tok enak nič) in bo enaka B = − . Končni rezultat je torej
R
Ug  −
t

i = Aeλt =  1− e τ . Napetost na uporu je sorazmerna temu toku
R  
 −
t
 di −
t
uR = U g 1 − e τ  , napetost na tuljavi pa odvodu toka: u L = L = U g e τ .
  dt
Drug način reševanja:
Ug L di U
Diferencicalno enačbo zapišemo v obliki i − =− in jo delimo z i − g in
R R dt R
i (t ) t
di R di R
množimo z dt:
U
= − dt . Sedaj jo integriramo in dobimo
L ∫+ U g = − L ∫ dt
i− g i (0 ) i − 0
R R
Ug
i (t ) − t
Rezultat je R = e −τ , po preureditvi in upoštevanju začetnega pogoja
Ug
i (0+ ) −
R
Ug  −
t

i (0+ ) = 0A pa dobimo i (t ) =  1− e τ  . Rezultat je seveda identičen kot v
R  
prejšnjem primeru.
Določanje prehodnega pojava z nastavkom in izračunom časovne konstante iz
Theveninove nadomestne upornosti
Ugotovili bi lahko, da prehodni pojav v primeru uporabe le enega kondezatorja ali
tuljave v vezju vedno lahko zapišemo v obliki diferencialne enačbe prvega reda (s
t
−
konstantnimi koeficienti), katere rešitev je vedno oblike Ae τ
+ B . Določiti moramo
le konstanti A, B in časovno konstanto τ.
Eno od konstant dobimo iz začetnega pogoja, drugo pa lahko določimo s premislekom
o razmerah po prehodnem pojavu – v stacionarnem stanju. Tedaj bodo v primeru
vklopa ali izklopa enosmernega napajanja nastopile enosmerne razmere, v katerih
ostane le še vpliv ohmskih upornosti. Upornost kondenzatorja je v idealnih
enosmernih razmerah neskončna – skozenj ni toka. Upornost tuljave v enosmernih
razmerah pa je le v smislu upornosti navitja. To upornost pri idealni tuljavi
zanemarimo. Napetost na tuljavi pri enosmernih razmerah je torej enaka nič. Z
10/18

171. Prehodni pojavi 16.
upoštevanjem teh lastnosti na enostaven način ugotovimo poljubno napetost ali tok ob
koncu prehodnega pojava. Ugotoviti moramo le še časovno konstanto τ, ki pa bo
vedno oblike RC ali L/R, pri čemer bo R notranja (Theveninova) upornost gledana s
sponk kondenzatorja ali tuljave. Prikažimo uporabo tega načina reševanja na
naslednjem primeru.
Primer 4: Določimo tok skozi tuljavo med prehodnim pojavom za vezje na sliki.
Rg = 10Ω, R1 = 20 Ω, R2 = 40 Ω, L = 20mH, U g = 10V
t=0
R1
Rg
Začetni pogoj določimo iz toka skozi tuljavo tik po
R2
preklopu, ki bo enak kot tik pred preklopom, torej 0 A. = L
Ug
Ko bo prehodni pojav izzvenel, bodo nastopile
enosmerne razmere. Tedaj bo tok skozi upor Rg
Ug 10 V
ig (t → ∞) = = = 0, 4286 A . Tok skozi tuljavo pa bo
Rg + R1 R2 20 ⋅ 40
10Ω + Ω
60
R2
iL (t → ∞) = 0, 4286 A ⋅ ≈ 0, 29 A . Tok skozi tuljavo ob začetku prehodnega
R1 + R2
pojava bo torej enak nič, na koncu pa 0,29 A. Ta pogoja vstavimo v splošen nastavek
t
−
i = Ae τ
+ B in dobimo
0 = A+ B
.
0, 29 = B
t
−
Tok skozi tuljavo bo torej enak iL (t ) = 0, 29(1 − e τ ) A .
Časovno konstanto tudi lahko določimo s pomočjo Theveninove nadomestne
upornosti5. Ugotovili smo, da je pri vklopu ali izklopu kondenzatorja časovna
konstanta vedno oblike τ = RC , pri vklopu ali izklopu tuljave pa bo oblike τ = L / R .
5
Zakaj je to tako? Lahko si zamislimo primer, ko je v tuljavi ali kondenzatorju pred prehodnim
pojavom shranjena energija v obliki magnetnega (tuljava) ali električnega (kondenzator) polja. Ob
prehodnem pojavu se ta energija sčasoma pretvori v toplotno s tokom skozi nadomestno vezavo uporov
– skozi upore, ki jih »vidi« tuljava ali kondenzator. To pa je ravno nadomestna ali Theveninova
upornost, določena s sponk tuljave oz. kondenzatorja.
11/18

172. Prehodni pojavi 16.
Sedaj moramo to ugotovitev le še posplošiti. Če imamo opravka le z enim reaktivnim
elementom (C ali L), bo R enak upornosti Thevenina, gledano s sponk reaktivnega
L
elementa (kondenzatorja ali tuljave), torej bo splošna oblika τ = RTh C ali τ = .V
RTh
L 10 ⋅ 40
konkretnem primeru je τ = , kjer je RTh = Rg R2 + R1 = Ω + 20Ω = 28Ω .
RTh 50
Časovna konstanta je torej τ ≈ 0, 71 ms .
* Vklop zaporedne vezave upora in kondenzatorja na izmenični vir napetosti.
SLIKA: Vklop RC člena na izmenični vir napetosti.
Napetostni vir zapišemo v obliki u g (t ) = U g cos(ωt + ϕ g ) .
Diferencialna enačba, do katere moramo priti je praktično identična tisti, ki smo jo že
1
C∫
zapisali pri vklopu RC člena na enosmerni vir, saj velja u g = iR + idt . Namesto
opazovanja toka lahko zapišemo enačbo za napetost na kondenzatorju. V tem primeru
duC du
tok izrazimo kot i = C in velja u g = RC C + uC . Zopet pridemo do nehomogene
dt dt
diferencialne enačbe prvega reda. Rešitev moramo tokrat iskati v obliki funkcije, ki
vsebuje tako harmonično nihanje kot tudi eksponentno upadanje:
uC (t ) = Aeλ t + B cos(ωt + ϕ g − ϕ ) .
Neznane konstante so štiri: A, λ , B in ϕ . Za določitev teh konstant je potrebno
nastavek uvrstiti v diferencialno enačbo ter upoštevati začetni pogoj, ki je določen z
uC (0+ ) = uC (0− ) = 0 V . Časovno konstanto določimo iz homogene enačbe, od koder je
1
τ =− = RC . Določitev ostalih koeficientov je nekoliko bolj »matematična«, zato jo
λ
bomo preskočili. Zainteresiran bralec jo najde npr. v A.R. Sinigoj: Osnove
elektromagnetike, str. 415. Rešitev je
12/18

173. Prehodni pojavi 16.
cos (ωt + ϕ g − arctg (ω RC ) ) − cos (ϕ g − arctg (ω RC ) ) e − t / τ 
Ug
uC (t ) =  
1 + (ω RC ) 2
Rezultat je nekoliko daljši pa vendar zanimiv. Ugotovimo lahko, da je sestavljen iz
dveh delov: iz harmoničnega nihanja, ki ostane tudi po koncu prehodnega pojava ter
drugi člen, ki eksponentno izzveni s časom.
0.4
/V
0.2
Napetosti uC1, uC2 in uC
0
-0.2
-0.4
-0.6
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Cas /s
Slika: Prehodni pojav pri vklopu RC člena na izmenični vir napetosti. Rešitev
(modra črta ) je sestavljena iz dveh členov: eksponentno upadanje »dušenja«
(zelena črta) in harmonični signal (rdeče pike). Izračun za ω = 100 s -1 , τ = 0,03 s .
* Analiza s programi za simualcijo vezij - SPICE.
V srednjih šolah je za simulacijo vezij precej popularen program Electronic
WorkBench (EWB), bolj izpopolnjena in profesionalna varianta pa je program
SPICE. Obstaja mnogo verzij programa, nekatere od njih so brezplačne, druge
plačljive. Eno od verzij programa (SPICE OPUS) razvijajo tudi na naši fakulteti
(fides.fe.uni-lj.si/spice). SPICE omogoča različne načine simulacije, enosmerno,
izmenično, tranzientno (prehodni pojavi), pogosto pa omogoča tudi simulacijo šumnih
13/18

174. Prehodni pojavi 16.
lastnosti, Fourierove analize, analizo občutljivosti itd. Omogoča simulacijo množice
različnih elementov, od linearnih do nelinearnih, sklopljenih, pogosto pa omogoča
uporabo že prednastavljenih modelov. Nekatere za lažje delo podajo že proizvajalci
elementov. Tu predstavljam primer uporabe programa 5Spice, ki je posebno primeren
za začetnike, saj omogoča grafično postavitev elementov vezja in je v osnovni verziji
brezplačen za uporabo (www.5spice.com).
Transient - New, UnTitled + UnTitled, 23 maj 2006
TPi1 (left) TPv1 (right) y 2,85628E-1
x 6,00000E-3
300m 8,00
R2
R1 20
10 7,00
250m
TPv1 TPi1
Vs1 R3 6,00
+
DC: Volts undefined 40
-- AC: Volts 1,0 AC: Phase 200m
Tran: Step 10
Distort: Sine undefined 5,00
L1
20m
150m
4,00
G
3,00
100m
Title L vklop 2,00
50,0m
Number
1,00
FE, DK
0
0
Date maj 23 2006 Size S
Sheet of Rev
File: Lvklop.Sch -50,0m -1,00
0 600u 1,20m 1,80m 2,40m 3,00m 3,60m 4,20m 4,80m 5,40m 6,00m
Time
SLIKA: Levo: Grafično oblikovanje analiziranega vezja s programom 5Spice.
Desno: Primer vklopa induktivnega bremena. Na sliki tok skozi tuljavo (rdeča polna
črta) in napetost na tuljavi (modra črtkana črta). Slika dobljena s simulacijo s
programom 5Spice.
* Nekaj primerov analize prehodnih pojavov s programom 5Spice:
1) Priklop zaporedno vezanega kondenzatorja na napetostni generator
pravokotnih pulzov amplitude 10V.
Na sliki napetost na generatorju (polna redeča črta), tok v vezju (modra črtkana) in
napetost na kondenzatorju (zelena črtkana). Napetost na kondenzatorju v času
trajanja pulza eksponentno narašča v skladu s spoznanimi enačbami, v času
izklopa pa upada. V začetku narašča napetost na kondenzatorju hitreje (ker je
kondenzator prazen), v nekaj periodah pa se začne ponavljati. V času praznenja
kondenzatorja se smer toka spremeni. Tok skozi kondenzator se spreminja
skokovito, napetost pa zvezno.
14/18

175. Prehodni pojavi 16.
uG (left) ic (left) y 1.00038E+0
Uc (right) x 1.99325E-3
11.0 8.00
10.0
7.00
9.00
6.00
8.00
7.00 5.00
TPv2 6.00
Ug 4.00
R2 C1 5.00
10K 100nF
3.00
4.00
TPi1
3.00 2.00
Vs1
+
DC: Volts undefined 2.00
-- AC: Volts 1.0 AC: Phase 1.00
Tran: PieceWise
Distort: Sine undefined 1.00
0
0
-1.00 -1.00
0 600u 1.20m 1.80m 2.40m 3.00m 3.60m 4.20m 4.80m 5.40m 6.00m
Time
G
2.) Polnenje kondenzatorja pri zaporedni vezavi upora in kondenzatorja ter
diode priključene na izmenični vir napetosti amplitude 10 V (polna rdeča črta).
V pozitivni polperiodi dioda prevaja, napetost na kondenzatorju raste (polna modra
črta). V negativni polperiodi dioda ne prevaja – tok je enak nič (črtkana zelena črta),
ves padec napetosti je na diodi, napetost na diodi ostaja enaka. V realnih razmerah
napetost na kondenzatorju v negativni polperiodi nekoliko pada zaradi neidealnega
kondenzatorja in zapornega toka diode, ki je majhen vendar različen od nič.
Transient - New, Cvklop_D.Sch + Lvklop.Anl, 24 maj 2006
uG (left) Uc (left) y -9.00323E-1
ic (right) x 1.98980E-3
15.0 900m
800m
10.0
700m
600m
D1 ic 5.00
.SILICON D 500m
IdealDiode.lib 0 400m
R1
10 300m
uG Uc
-5.00
200m
Vs1
+
DC: Volts undefined
-- AC: Volts 10 AC: Phase 0 C1 100m
Tran: Sine 10 (peak) Freq 1e3 100u -10.0
Distort: Sine undefined
0
-15.0 -100m
0 600u 1.20m 1.80m 2.40m 3.00m 3.60m 4.20m 4.80m 5.40m 6.00m
Time
G
Analiza vezja z zaporedno vezavo upora, kondenzatorja in tuljave
Vsota vseh napetosti je
u g = u R + uC + u L , oziroma
1 di
u g = iR +
C ∫ idt + L dt . Z odvajanjem dobimo diferencialno enačbo drugega reda
di 1 d2i
0= R + i + L 2 . Rešitve te diferencialne enačbe so lahko zelo razvejane, odvisne
dt C dt
od vzbujanja in vrednosti elementov.
15/18

176. Prehodni pojavi 16.
3) Odklop in vklop enosmernega vira od zaporedne vezave upora, kondenzatorja
in tuljave.
Ob vklopu začne strmo naraščati tok v
TPv2
vezju (zelena črtkana črta), obenem pa Ug
R2 C1
10K 100nF
močno naraste napetost na tuljavi
TPi1
(oranžna črtkana črta). Tok doseže svoj
Vs1
+
DC: Volts undefined
maksimum in nato pade zlagoma na nič -- AC: Volts 1.0 AC: Phase
Tran: PieceWise
Distort: Sine undefined
L1
amperov. Napetost na kondenzatorju 10mH
(polna modra črta) je nič ob vklopu in ob
koncu prehodnega pojava doseže G
napetost vira.
uG (left) Uc (left) y 1.52617E-4
ic (right) UL (left) x 1.99320E-3
15.0 100m
0
10.0
-100m
-200m
5.00
-300m
0 -400m
-500m
-5.00
-600m
-700m
-10.0
-800m
-15.0 -900m
0 400u 800u 1.20m 1.60m 2.00m 2.40m 2.80m 3.20m 3.60m 4.00m
Time
uG (left) Uc (left) y 9.99968E+0
ic (right) UL (left) x 1.32653E-3
11.0 900m
10.0
800m
9.00
700m
8.00
600m
7.00
6.00 500m
5.00 400m
4.00 300m
3.00
200m
2.00
100m
1.00
0
0
-1.00 -100m
0 400u 800u 1.20m 1.60m 2.00m 2.40m 2.80m 3.20m 3.60m 4.00m
Time
16/18

177. Prehodni pojavi 16.
4) Vklop izmeničnega vira na zaporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja.
uG (left) Uc (left) y 8.70438E+0
ic (right) UL (left) x 1.33221E-3
15.0 1.50
1.00
10.0
500m
5.00
0
0
-500m
-5.00
-1.00
-10.0
-1.50
-15.0 -2.00
0 500u 1.00m 1.50m 2.00m 2.50m 3.00m 3.50m 4.00m 4.50m 5.00m
Time
5) Izklop izmeničnega vira na zaporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja
. (R=1 Ω, L=1 mH, C = 100 µF).
uG (left) Uc (left) y -1.41059E-1
ic (right) UL (left) x 1.50084E-3
20.0 4.00
15.0
3.00
10.0
2.00
5.00
1.00
0
0
-5.00
-1.00
-10.0
-2.00
-15.0
-20.0 -3.00
0 500u 1.00m 1.50m 2.00m 2.50m 3.00m 3.50m 4.00m 4.50m 5.00m
Time
17/18

178. Prehodni pojavi 16.
6) Izklop izmeničnega vira na zaporedno vezavo upora, tuljave in kondenzatorja.
(R=10 Ω, L=1 mH, C = 100 µF). 10x večja upornost povzroči nadkritično nihanje.
Transient - New, RLC_odklop_sin.Sch + RLC1.ANL, 25 maj 2006
uG (left) Uc (left) y -1.08516E-1
ic (right) UL (left) x 1.50084E-3
15.0 1.00
800m
10.0
600m
400m
5.00
200m
0 0
-200m
-5.00
-400m
-600m
-10.0
-800m
-15.0 -1.00
0 500u 1.00m 1.50m 2.00m 2.50m 3.00m 3.50m 4.00m 4.50m 5.00m
Time
Vprašanja za obnovo:
1) Kaj je to prehodni pojav? Kdaj nastopi?
2) Prehodni pojav v vezjih: kako ga zapišemo z enačbami?
3) Osnovne zveze med tokom in napetostjo na uporu, tuljavi in kondenzatorju.
4) Začetni pogoji.
5) Rešitev diferencialne enačbe: nastavek.
6) Časovna konstanta.
7) Primer polnenja in praznenja kondenzatorja.
8) Primer vklopa in izklopa tuljave.
Primeri kolokvijskih in izpitnih nalog:
Kolokvij, 9.6.2000,
Kolokvij 12.04.2001,
Izpit 03. 12. 2002,
Izpit 20. aprila 2005,
izpit 17. 4. 2003,
Izpit 13. september 2005,
Izpit 14. 09. 2004.
18/18

179. Periodični signali, osnovni pojmi 17.
Osnovni pojmi pri obravnavi periodičnih signalov
Vsebina: Opis periodičnih signalov z periodo, frekvenco, krožno frekvenco. Razlaga pojmov
amplituda, faza, harmonični signal. Določanje srednje, efektivne in usmerjene vrednosti
periodičnih signalov. Pojmi faktor oblike, temenski faktor.
1) Perioda signala. Času, v katerem se začne funkcija ponavljati pravimo perioda in jo označimo
z veliko črko T. Za tako funkcijo velja f (t ) = f (t + T ) .
SLIKA: Primer periodičnega signala s periodo T.
1
2) Frekvenca periodičnega signala je f = , njena enota je s-1, pogosteje uporabimo ekvivalentno
T
enoto Hz (po Heinrichu Hertzu, ki je s svojimi eksperimenti prvi dokazal pravilnost Maxwellovih
enačb). Pogosto uporabimo za opis signala tudi krožna frekvenco (kotna frekvenca, v primeru
2π
vrtenja zanke kotna hitrost) ω, ki je enaka ω = 2π f = .
T
3. Harmonični, sinusni signal lahko zapišemo v
obliki i (t ) = I m sin(ωt − ϕ ) , kjer je Im amplituda,
ω krožna frekvenca in φ fazni kot.
Primer: Prikažimo na grafu signal
i (t ) / A = 1 ⋅ sin(2s -1t − π/6) . Perioda signala je
2π
T= = π s ≅ 3,14 s .
ω
1/16

180. Periodični signali, osnovni pojmi 17.
Pogosto namesto prikaza časa na abscisi
uporabimo kot spremenljivko produkt krožne
frekvence in časa, kar predstavlja fazni kot. V
tem primeru je perioda signala določena pri
vrednosti 2π . Prednost tega prikaza je tudi v
direktnem odčitavanju faznega kota. V
konkretnem primeru je ϕ = π/6 ≅ 0,52 rd .
Harmoničen signal je lahko sestavljen
15
iz več sinusnih signalov različnih i
i1
amplitud in frekvenc. Prikažimo to na 10 i2
primeru harmoničnega signala
5
sestavljenega iz vsote signalov
Tok /A
i1 (t ) / A = 10sin(2s -1t ) in 0
i2 (t ) / A = 2sin(10s -1t ) : -5
i (t ) / A = 10 sin(2s -1t ) + 2sin(10s -1t ) .
-10
Zanimivo je, da je mogoče poljuben
signal zapisati v obliki vsote sinusnih -15
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Cas / s
signalov, kar imenujemo Fourierova
vrsta in se pogosto v praksi uporablja za analizo različnih oblik signalov (Fourierova analiza).
4. Fazni kot med dvema signaloma, običajno med napetostjo in tokom.
Vzemimo primer signala toka i (t ) = I m sin(ωt + ϕi ) in napetosti u (t ) = U m sin(ωt + ϕu ) . Fazni kot
med napetostjo in tokom je ϕ = ϕu − ϕi . Če je fazni kot pozitiven, rečemo, da napetost prehiteva
tok, če pa je negativen, pa, da tok prehiteva napetost. To seveda ne gre jemati dobesedno, saj imata
oba signala ob poljubnem času neko vrednost. Morda je najlažje določiti signal, ki prehiteva
drugega tako, da pogledamo na grafu, kateri signal doseže maksimalno vrednost pred drugim. Pri
tem moramo opazovati najkrajšo časovno razliko.
2/16

181. Periodični signali, osnovni pojmi 17.
SLIKA: Primer, ko napetostni signal prehiteva tokovnega. Fazni kot je pozitiven.
5) Srednja ali povprečna vrednost signala
je določena s površino pod krivuljo signala v eni periodi deljena s periodo ali matematično (za npr.
tokovni signal)
T
1
I sr = ∫ i (t )dt (17.1)
T 0
Ta zapis pogosto za harmonične signale preuredimo tako, da namesto integracije po času zapišemo
integracijo po kotu ωt . V tem primeru je
2π
1
I sr =
2π ∫ i(t )d(ωt )
0
(17.2)
Slika: Periodični signal in njegova povprečna vrednost, ki je enaka površini signala deljeni s
periodo Integral signala v eni periodi je torej enak I mT .
3/16

182. Periodični signali, osnovni pojmi 17.
6) Efektivna vrednost (ang. RMS – root mean square)
je določena kot koren iz srednje vrednosti kvadrata signala:
T
1 2
T∫
I ef = i (t ) ⋅ dt (17.3)
0
Efektivna vrednost signala je posebno pomembna tedaj, ko nas zanima povprečna moč ali energija
signala, kar pa je v elektrotehniki pogosto.
Primer: Določimo srednjo in efektivno vrednost tokovnega signala oblike i = I m sin(ωt ) .
2π
Izračun: I sr =
1
2π ∫I
0
m sin(ωt )d(ωt ) =
1
2π
( 2π
)
− cos(ωt ) 0 = 0 . Srednja vrednost je očitno enaka nič,
saj je sorazmerna površini pod krivuljo, ki pa je enaka v pozitivni in negativni Y osi. Drugače pa je
z efektivno vrednostjo, saj s kvadriranjem postane signal izključno pozitiven. Pri izračunu
1
upoštevamo zvezo sin 2 (ωt ) = (1 − cos(ωt ) ) :
2
2π
1 1  2π  I
I ef = ∫I
2
sin 2 (ωt )d(ωt ) = I m  − 0 = m .
2π 2π  2
m
0  2
Dobimo večini znan rezultat, da je efektivna vrednost harmoničnega signala enaka maksimalni
vrednosti signala deljeni z 2.
SLIKA: Sinusni signal (polna črta) in kvadrat signala (črtkana črta).
Izris in izračun s programom Matlab: T=5e-3; om=2*pi/T; dt=T/1000; t=0:dt:3*T;
plot(t,sin(om.*t),t,(sin(om.*t)).^2,'--')
4/16

183. Periodični signali, osnovni pojmi 17.
7) Usmerjena vrednost (ang. rectified)
je določena kot povprečje usmerjenega signala, torej kot povprečna vrednost absolutne vrednosti
signala.
T
1
I r = ∫ i (t ) dt
T 0
8) Faktor oblike (ang. form factor) pogosto uporabimo za karakterizacijo oblike signala. Določen
je kot kvocient efektivne in usmerjene vrednosti
I ef
faktor oblike = FF = . (17.4)
Ir
Merjenje efektivne vrednosti signala v praksi
Cenejši merilni inštrumenti ne merijo prave efektivne vrednosti, pač pa jo določajo iz
usmerjene vrednosti ali pa iz maksimalne vrednosti. V primeru signala sinusne oblike je
I
I ef = m , usmerjena vrednost pa je (integriramo le do π, ker se potem signal ponovi):
2
2π π
1 1 1 2
∫ I m sin(ωt ) d(ωt ) = π ∫ I m sin(ωt )d(ωt ) = I m π ( − cos(ωt ) ) 0 = I m π = 0, 64 I m . Faktor
π
Ir =
2π 0 0
I ef Im / 2
oblike je torej FF = = ≅ 1,1107 . Merilni inštrument za izračun efektivne vrednosti
Ir Im 2 / π
torej pomnoži izmerjeno usmerjeno vrednost signala s faktorjem 1,1107, pri čemer predvideva,
da je signal sinusne oblike. Čim je merjeni signal drugačne oblike, je prikazani rezultat
efektivne vrednosti napačen. Boljši inštrumenti merijo t.i. “pravo” efektivno vrednost (ang. true
RMS).
VEČ:
http://cp.literature.agilent.com/litweb/pdf/5988-6916EN.pdf
http://cp.literature.agilent.com/litweb/pdf/5988-5513EN.pdf
http://us.fluke.com/usen/support/appnotes/default?category=A
P_DMM(FlukeProducts)&parent=APP_NOTES(FlukeProduct
s)#
SLIKA: TRUE RMS meter Fluke 114.
Za merjenje prave efektivne vrednosti je mogoče uporabiti več
metod. En od principov temelji na uporabi termistorja, ki meri
spremembo temperature na elementu, ta pa je neposredno
povezana z efektivno vrednostjo toka. Na tržišču obstajajo tudi
čipi, ki opravljajo množenje (kvadriranje) signala in s tem
močno olajšajo delo. Primer takega elementa je čip AD8361
podjetja Analog Devices, www.analog.com. Vse več
inštrumentov pa že zajema signale s pomočjo
analogno/digitalne pretvorbe, kjer je izračun efektivne
vrednosti mogoč z enostavno numerično integracijo kvadriranega signala. Vir:
http://en.wikipedia.org/wiki/True_RMS_converter.
5/16

184. Periodični signali, osnovni pojmi 17.
7) Podobno kot faktor oblike je definiran temenski faktor (ang. crest factor). Določen je kot
kvocient maksimalne in efektivne vrednosti
Im
temenski faktor = (17.5)
I ef
Im
Za sinusni signal je temenski faktor enak = 2 ≅ 1, 414 .
Im / 2
Primer: Določimo periodo, frekvenco, srednjo vrednost in efektivno vrednost časovne oblike
tokovnega signala na sliki. Signal je naraščajoč v 80% časa periode in v preostalem času padajoč.
1 1
Izračun: Perioda signala je T = 5 ms, frekvenca je f = = = 200 s −1 = 200 Hz . Za izračun
T 5 ms
srednje vrednosti moramo signal zapisati v matematični obliki in ga integrirati v času ene periode
ter deliti s periodo. Ker je sestavljen iz premic (odsekoma zvezen), mora biti oblike y = k ⋅ t + n . Iz
zapisa v dveh skrajnih točkah od t = 0 do t = 0,8 ⋅ 5 ms = 4 ms velja −1 = k ⋅ 0 + n in 3 = k ⋅ 4 ms - 1 , od
koder dobimo enačbo i(t ) = 1 A / ms ⋅ t - 1 A . Podobno dobimo za drugi del periode enačbo
i(t ) = −4 A / ms + 19 A .
Sedaj uporabimo enačbo za izračun srednje vrednosti in dobimo
1  
T 4 ms 5 ms
1
I sr = ∫ i (t )dt =  ∫ (1 A / ms ⋅ t -1 A)dt + ∫ (−4 A / ms ⋅ t + 19 A)dt  . Rešitev enačbe je:
T 0 5 ms  0
 4 ms


1
I sr = ( 8 − 4 - 2(25 -16) + 19(5 - 4) ) A ⋅ ms = 1 A . Srednja vrednost tokovnega signala je 1 A. Z
5 ms
izračunom efektivne vrednosti je nekaj več dela, saj je potrebno rešiti sledeči integral:
6/16

185. Periodični signali, osnovni pojmi 17.
1  
T 4 ms 5 ms
1
T∫
I ef = i (t )dt =  ∫ (1A / ms ⋅ t -1A) dt + ∫ (−4A / ms + 19A) dt  .
2 2
Rešitev za vajo
0
5 ms  0
 4 ms


poskusite najti sami. Mi jo bomo poiskali kar s programom Matlab, ki da vrednost 1,5275.
1  
T 4 ms 5 ms
1
Usmerjena vrednost je I r =
T ∫ i (t ) dt = 
5ms  ∫ 1A / ms ⋅ t -1A dt + ∫ −4A / ms + 19A dt  = 1, 250

0  0 4 ms 
I ef Im 3
faktor oblike = = 1,222, temenski faktor = = = 1,964.
Ir I ef 1,5275
SLIKA: Absolutna vrednost signala: iz te izračunamo usmerjeno vrednost.
Izračun s programom Matlab (signal izrišemo v treh periodah, zato tudi povprečje računamo v
treh periodah): T=5e-3; om=2*pi/T; dt=T/1000; t=0:dt:3*T; i=2*sawtooth(om.*t,0.8)+1; plot(t,i);
Isr=trapz(i)*dt/(3*T); hold on; plot([0 0 3*T], [0 0 0],'b--');Ief=sqrt(trapz(i.^2)*dt/(3*T));
Ir=trapz(abs(i)*dt/(3*T)); FF=Ief/Ir
Dodatno: Kolikšna moč se troši na bremenu (uporu 3 kΩ), če gre skozi upor tok oblike na sliki (v
amperih).
Izračun: Trenutna moč na uporu je p = uR iR = iR R .
2
Povprečna moč pa bo
T T T
1 1 2 1 2
p=P= ∫ pdt = T ∫ iR Rdt = R ⋅ T ∫ iR dt = RI R ,ef .
2
T0 0 0
Povprečno moč običajno označimo z veliko črko P. Očitno je povprečna moč na uporu sorazmerna
kvadratu efektivne vrednosti toka. Tu se že kaže pomembnost definiranja efektivne vrednosti: med
drugim določa povprečno moč na uporu pri izmeničnih signalih. V konkretnem primeru je
povprečna moč na uporu enaka P = R ⋅ I R ,ef = 3 k ⋅ 1,5275 A 2 = 7 kW .
2
7/16

186. Periodični signali, osnovni pojmi 17.
Če bi želeli preračunati moč, ki se na ohmskem bremenu troši z merilnikom, ki določa efektivno
vrednost iz usmerjene vrednosti, bi dobili vrednost 1,25 1,1107 = 1,3884 namesto pravilne
vrednosti 1,5275. Napaka prikaza bi bila 9,1 %.
Zveze med tokom in napetostjo na uporu, tuljavi in kondenzatorju
UPOR
Velja zveza u (t ) = Ri (t ) .
Če je tok sinusne oblike i = I m sin(ωt ) , je napetost tudi sinusne oblike
u = RI m sin(ωt ) = U m sin(ωt ) , kjer je U m = RI m .
Moč na uporu dobimo kot zmnožek toka in napetosti na uporu
p = u ⋅ i = i 2 R = I m R sin 2 (ωt )
2
(17.6)
1
tok
napetost
0.8 moc
SLIKA: Tok in napetost na 0.6
uporu sta v fazi. Moč niha z 0.4
dvojno frekvenco in ima
0.2
tok, napetost, moc
enosmerno komponento, ki je
0
povprečna moč.
-0.2
-0.4
-0.6
Moč. Moč na uporu lahko z
-0.8
uporabo zveze
(1 − cos ( 2α ) )
-1
1
sin 2 (α ) =
0 1 2 3 4 5 6 7
cas
2
zapišemo kot
2
(1 − cos ( 2ωt ) )
Im R
p= (17.7)
2
Ugotovimo, da ima (trenutna) moč na uporu tudi sinusno obliko, vendar niha z dvojno frekvenco
2
Im R
osnovnega signala, povprečna vrednost pa je P = = I ef R . Povprečno vrednost moči določa
2
2
efektivna vrednost (tokovnega ali napetostnega) signala.
8/16

187. Periodični signali, osnovni pojmi 17.
Energija. Določimo še energijo v eni periodi (toplotna energija ali joulske izgube), ki bo
T
WT = ∫ pdt = PT = I ef RT
2
(17.8)
0
Skupne ugotovitve za upor:
1) Če je tok skozi tuljavo i = I m sin(ωt ) , bo napetost na uporu u = U m sin(ωt ) . Napetost na
uporu je v fazi s tokom, kar lahko prikažemo tudi grafično na kazalčnem diagramu.
2) Amplituda napetosti je U m = I m R .
3) Upornost (R) je neodvisna od frekvence tokovnega (in napetostnega) signala.
4) Moč na uporu niha z dvojno frekvenco tokovnega (ali napetostnega) signala „okoli”
2
Im R
enosmerne komponente, ki predstavlja povprečno moč in je enaka P = = I ef R .
2
2
9/16

188. Periodični signali, osnovni pojmi 17.
TULJAVA
Zveza med tokom skozi tuljavo in napetostjo na tuljavi je
dΨ di
u= =L .
dt dt
Če je tokovni signal oblike i = I m sin(ωt ) , bo napetost na tuljavi
( I m sin(ωt ) ) = LI mω cos(ωt ) = U m cos(ωt ) ali tudi u = U msin  ωt + π  .
d
u=L  
dt  2
Napetosttni signal je časovno zamaknjen glede na tokovni signal. Rečemo, da napetost prehiteva
tok za kot π . To lahko prikažemo tako v časovnem poteku, kot s kazalčnim diagramom ali
2
kasneje – s kompleksorji v kompleksni ravnini.
SLIKA: Časovni potek in kazalčni diagram faznega prehitevanja napetosti na tuljavi pred tokom.
Amplituda napetosti bo torej U m = I mω L , kjer ω L = X L imenujemo reaktanca oz. upornost tuljave
pri izmeničnih signalih. Upornost tuljave (reaktanca) pri izmeničnih signalih se veča linearno s
Um
frekvenco in je enaka = X L = ωL .
Im
Moč. Trenutna moč je zmnožek trenutne napetosti in toka na tuljavi, torej
I mU m
p = iu = I m sin(ωt ) ⋅ U m cos(ωt ) = sin(2ωt ) (17.9)
2
Trenutna moč niha z dvojno frekvenco vendar je brez enosmerne komponente. Povprečna
(izgubna) moč je 0 W.
10/16

189. Periodični signali, osnovni pojmi 17.
1
tok
napetost
0.8 moc
0.6
0.4
0.2
tok, napetost, moc
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 1 2 3 4 5 6 7
cas
SLIKA: Tokovni in napetostni signal na tuljavi sta zamaknjena za četrtino periode. Napetost
prehiteva tok, moč na tuljavi niha z dvojno frekvenco in nima enosmerne komponente. Povprečna
moč na tuljavi je nič.
Energija. Energijo v tuljavi dobimo z integracijo moči
t t
I mU m I mU m
W (t ) = ∫ pdt =
0
2 0 ∫ sin(2ωt )dt = 2.2ω (1 − cos(2ωt ) ) . Energija, ki je akumulirama v magnetnem
polju tuljave, niha z dvojno frekvenco osnovnega signala, je v vsakem trenutku pozitivna in v
povprečju velika
2
I mU m LI m
Wsr = = . (17.10)
4ω 4
Spomnimo se še druge oblike zapisa trenutne energije. V poglavju (13) smo obravnavali energijo v
magnetnem polju tuljave in ugotovili, da jo lahko zapišemo kot
t t i (t )
di
W (t ) = ∫ p (t )dt = ∫ L idt = ∫ Lidi od koder smo zapisali enačbo za trenutno energijo v
t0 t0
dt i ( t0 )
Li 2
magnetnem polju tuljave z induktivnostjo L v obliki W = .
2
Maksimalna energija v tuljavi nastopi tedaj, ko je maksimalen tok. Tedaj je
2
LI m
Wmax = (17.11)
2
11/16

190. Periodični signali, osnovni pojmi 17.
2
1.5
tok, napetost, moc
1
0.5
0
-0.5
-1
0 1 2 3 4 5 6
cas
Slika:Moč (polna črna črta) in energija (polna modra črta) pri vzbujanju tuljave s sinusnim tokovnim
signalom (modra črtkana črta).
Skupne ugotovitve za tuljavo:
π
1) Če je tok skozi tuljavo i = I m sin(ωt ) , bo napetost na tuljavi u = U m sin(ωt + ) . Napetost
2
na tuljavi prehiteva tok za četrtino periode signala, kar lahko prikažemo tudi grafično na
kazalčnem diagramu.
2) Amplitudo napetosti lahko zapišemo tudi kot U m = I mω L , kjer je ω L upornost tuljave pri
izmeničnih signalih, kar imenujemo tudi reaktanca X L = ω L . Reaktanca se linearno veča s
frekvenco.
3) Za lažjo predstavo lahko tuljavo pri zelo nizkih frekvencah (enosmerne razmere)
nadomestimo s kratkim stikom (zelo majhna upornost), pri zelo visokih pa z odprtimi
sponkami (zelo velika upornost).
4) Moč na tuljavi niha z dvojno frekvenco tokovnega (ali napetostnega) signala, povprečna
moč je enaka nič.
5) Energija v magnetnem polju tuljave niha z dvojno frekvenco osnovnega signala, je vedno
2
LI m
pozitivna in v povprečju velika W = Wsr = . Trenutna vrednost je sorazmerna kvadratu
4
Li 2
toka W = , maksimalna energija v tuljavi nastopi vsako četrtino periode signala, ko je
2
2
LI m
velika Wmax = .
2
6) Za vezja, v katerih napetost prehiteva tok rečemo, da imajo induktivni karakter.
12/16

191. Periodični signali, osnovni pojmi 17.
Primer: Na toroidno jedro okroglega preseka površine 1 cm2 , s srednjim polmerom 2 cm in µr =
100, navijemo 500 ovojev. Kolikšna je napetost na tuljavi, če jo vzbujamo s tokom
i = 0, 4 cos(100s-1t ) A ? Določimo še povprečno in maksimalno moč na tuljavi.
µ r µ0 N 2 A
Izračun: Induktivnost toroida je L= = 25 mH , torej je induktivna upornost
2π rs
X L = ω L = 2,5 , maksimalna napetost je U m = I m X L = 0, 4 A ⋅ 2,5 = 10 V . Če bi želeli zapisati
napetost na tuljavi v obliki časovnega signala, bi morali upoštevati, da napetost na tuljavi tok
π π
prehiteva za fazni kot , torej bo u (t ) = 10 cos(100s-1t + ) V . Povprečna moč je enaka nič vatov,
2 2
I mU m LI 2
maksimalna moč je = 2 W , povprečna energija je Wsr = m = 1 mJ , maksimalna pa 2 mJ.
2 4
13/16

192. Periodični signali, osnovni pojmi 17.
KONDENZATOR
Zopet vzemimo sinusno obliko toka i = I m sin(ωt ) . Tok izrazimo s časovno spremembo naboja na
dQ
ploščah kondenzatorja i = in upoštevamo zvezo med nabojem na ploščah in napetostjo
dt
du
Q (t ) = Cu (t ) in dobimo i = C . Ker tok poznamo, zanima pa nas napetost, izrazimo napetost na
dt
t
1
kondenzatorju kot u = ∫ idt + u(0) . Za sinusno obliko toka bo napetost enaka
1
C0
π
t
1 Im Im 
u=
C0∫ I m sin(ωt ) ⋅ dt + u(0) = − ωC cos(ωt ) = ωC sin  ωt − 2  oziroma


 π
u = U m sin  ωt −  . Napetost na kondenzatorju zaostaja za tokom za četrtino periode.
 2
SLIKA: Časovni potek in kazalčni diagram faznega zaostajanja napetosti na kondenzatorju pred
tokom.
Im
Amplituda napetosti je torej U m = .
ωC
1
Člen ima enoto upornosti in tudi predstavlja upornost kondenzatorja pri izmeničnih signalih.
ωC
Moč. Trenutna moč je zmnožek trenutne napetosti in toka na kondenzatorju, torej
I mU m
p = iu = − I m sin(ωt ) ⋅ U m cos(ωt ) = − sin(2ωt ) (17.12)
2
Trenutna moč niha z dvojno frekvenco vendar brez enosmerne komponente, enako kot pri tuljavi.
Povprečna (izgubna) moč je torej tako kot na tuljavi enaka nič vatov.
1
Zakaj dodamo u(0)? Pri veličinah, ki so določene z integralom, je potrebno upoštevati “zgodovino” integranta. Torej
t t
1 1
bi bilo vedno potrebno slediti integrirano veličino od –inf. , torej u= ∫ idt = C ∫ idt + u(0) .
C −∞ 0
14/16

193. Periodični signali, osnovni pojmi 17.
1
tok
napetost
0.8 moc
0.6
0.4
0.2
tok, napetost, moc
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 1 2 3 4 5 6 7
cas
SLIKA: Tokovni in napetostni signal na kondenzatorju. Napetost na kondenzatorju zaostaja za tokom
za četrtino periode signala.
Energija. Podobno kot pri tuljavi energija v kondenzatorju niha z dvojno frekvenco osnovnega
2
CU m
signala, je vedno pozitivna, v povprečju enaka Wsr = , maksimalna energija shranjena v polju
4
2
CU m
kondenzatorja pa je Wmax = .
2
4000
3500
1 3000
SLIKA: Kapacitivna upornost X C =
ωC 2500
reaktanca / Ohm
se zmanjšuje s višanjem frekvence 2000
vzbujalnega signala s funkcijsko 1500
odvisnostjo 1 . Na sliki je reaktanca za 1000
f
500
C = 10 µF.
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
frekvenca / Hz
Skupne ugotovitve za kondenzator:
π
1) Če je tok skozi tuljavo i = I m sin(ωt ) , bo napetost na kondenzatorju u = U m sin(ωt − ) .
2
Tok na kondenzatorju prehiteva napetost za četrtino periode signala, kar lahko
prikažemo tudi grafično na kazalčnem diagramu.
15/16

194. Periodični signali, osnovni pojmi 17.
Im 1
2) Amplitudo napetosti lahko zapišemo tudi kot U m = , kjer je upornost kondenzatorja
ωC ωC
pri izmeničnih signalih2. Upornost kondenzatorja se manjša s frekvenco.
3) Za lažjo predstavo lahko kondenzator pri zelo nizkih frekvencah (enosmerne razmere)
nadomestimo z odprtimi sponkami (zelo velika upornost), pri zelo visokih pa s kratkim
stikom (zelo majhna upornost).
4) Moč na kondenzatorju niha z dvojno frekvenco tokovnega (ali napetostnega) signala,
povprečna moč je enaka nič.
2
CU m
5) Energija niha z dvojno frekvenco osnovnega signala, v povprečju je enaka Wsr = ,
4
maksimalna energija v kondenzatorju nastopi vsako četrtino periode signala, ko je velika
2
CU m
Wmax = . Energija je akumulirana v električnem polju kondenzatorja.
2
6) Za vezja, v katerih napetost zaostaja za tokom rečemo, da imajo kapacitivni karakter.
Primer: Na kondenzator kapacitivnosti 8 µF priključimo vir napetosti sinusne oblike amplitude 1
V. Kolikšna mora biti frekvenca napetostnega signala, da bo imel tok kondenzatorja amplitudo 2,5
mA?
Im 1V
Izračun: Iz Um = dobimo ωC = = 400 , od koder je
ωC 2,5 mA
1 312,50
ω= = 312,50 s-1 oziroma f = Hz ≈ 50 Hz .
400 ⋅ 8 µF 2π
Vprašanja za obnovo:
1) Osnovni pojmi: perioda, frekvenca, kotna frekvenca.
2) Srednja vrednost, efektivna vrednost, usmerjena vrednost, faktor oblike, temenski faktor.
3) Zveze med tokom in napetostjo na uporu, tuljavi in kondenzatorju:
a. Časovni signali, kazalčni prikaz
b. Prehitevanje ali zaostajanje toka za napetostjo, karakter vezja
c. Moč, povprečna moč
d. Energija, trenutna energija, povprečna, maksimalna
Kolokvijske in izpitne naloge:
e. Upornosti pri izmeničnih signalih Efektivna vrednost:
2. kolokvij, 13. 06.2002
izpit, 20. junij 2003
Izpit 26. 6. 2002
izpit, 8. aprila 2002
1
2
Pogosto se uporablja zapis reaktance kondenzatorja kot X C = . Kasneje bomo ugotovili, da je reaktanca
ωC
1
definirana kot imaginarni del impedance in je v primeru kondenzatorja negativna, torej X C = − .
ωC
16/16

195. Izmenični signali, osnovne zveze 18.
Upor, tuljava in kondenzator pri izmeničnih signalih
Equation Section 18Vsebina: Zveze med tokom in napetostjo na uporu, tuljavi in
kondenzatorju pri vzbujanju z izmeničnimi signali. Časovni poteki toka, napetosti, moči in
energije na posameznih elementih. Zaostajanje ali prehitevanje signalov napetosti in toka –
fazni kot. Povprečne vrednosti moči in energije. Maksimalna energija. Karakter vezja.
UPOR
Velja zveza u (t ) = Ri (t ) .
Če je tok sinusne oblike i = I m sin(ωt ) , je napetost tudi sinusne oblike
u = RI m sin(ωt ) = U m sin(ωt ) , kjer je U m = RI m .
Moč na uporu dobimo kot zmnožek toka in napetosti na uporu
p = u ⋅ i = i 2 R = I m R sin 2 (ωt )
2
(18.1)
1
tok
napetost
0.8 moc
SLIKA: Tok in napetost na 0.6
uporu sta v fazi. Moč niha z 0.4
dvojno frekvenco in ima
0.2
tok, napetost, moc
enosmerno komponento, ki je
0
povprečna moč.
-0.2
-0.4
-0.6
Moč. Moč na uporu lahko z
-0.8
uporabo zveze
(1 − cos ( 2α ) )
-1
1
sin 2 (α ) =
0 1 2 3 4 5 6 7
cas
2
zapišemo kot
2
(1 − cos ( 2ωt ) )
Im R
p= (18.2)
2
1/9

196. Izmenični signali, osnovne zveze 18.
Ugotovimo, da ima (trenutna) moč na uporu tudi sinusno obliko, vendar niha z dvojno frekvenco
2
Im R
osnovnega signala, povprečna vrednost pa je P = = I ef R . Povprečno vrednost moči določa
2
2
efektivna vrednost (tokovnega ali napetostnega) signala.
Energija. Določimo še energijo v eni periodi (toplotna energija ali joulske izgube), ki bo
T
WT = ∫ pdt = PT = I ef RT
2
(18.3)
0
Skupne ugotovitve za upor:
1) Če je tok skozi tuljavo i = I m sin(ωt ) , bo napetost na uporu u = U m sin(ωt ) . Napetost na
uporu je v fazi s tokom, kar lahko prikažemo tudi grafično na kazalčnem diagramu.
2) Amplituda napetosti je U m = I m R .
3) Upornost (R) je neodvisna od frekvence tokovnega (in napetostnega) signala.
4) Moč na uporu niha z dvojno frekvenco tokovnega (ali napetostnega) signala „okoli”
2
Im R
enosmerne komponente, ki predstavlja povprečno moč in je enaka P = = I ef R .
2
2
2/9

197. Izmenični signali, osnovne zveze 18.
TULJAVA
Zveza med tokom skozi tuljavo in napetostjo na tuljavi je
dΨ di
u= =L .
dt dt
Če je tokovni signal oblike i = I m sin(ωt ) , bo napetost na tuljavi
( I m sin(ωt ) ) = LI mω cos(ωt ) = U m cos(ωt ) ali tudi u = U msin  ωt + π  .
d
u=L  
dt  2
Napetostni signal je časovno zamaknjen glede na tokovni signal. Rečemo, da napetost prehiteva tok
za kot π . To lahko prikažemo tako s časovnim potekom, kot s kazalčnim diagramom ali kasneje
2
– s kompleksorji v kompleksni ravnini.
SLIKA: Časovni potek in kazalčni diagram faznega prehitevanja napetosti na tuljavi pred tokom.
Amplituda napetosti bo torej U m = I mω L , kjer ω L = X L imenujemo reaktanca oz. upornost tuljave
pri izmeničnih signalih. Upornost tuljave (reaktanca) pri izmeničnih signalih se veča linearno s
Um
frekvenco in je enaka = X L = ωL .
Im
Moč. Trenutna moč je zmnožek trenutne napetosti in toka na tuljavi, torej
I mU m
p = iu = I m sin(ωt ) ⋅ U m cos(ωt ) = sin(2ωt ) (18.4)
2
Trenutna moč niha z dvojno frekvenco vendar je brez enosmerne komponente. Povprečna
(izgubna) moč je 0 W.
3/9

198. Izmenični signali, osnovne zveze 18.
1
tok
napetost
0.8 moc
0.6
0.4
0.2
tok, napetost, moc
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 1 2 3 4 5 6 7
cas
SLIKA: Tokovni in napetostni signal na tuljavi sta zamaknjena za četrtino periode. Napetost
prehiteva tok, moč na tuljavi niha z dvojno frekvenco in nima enosmerne komponente. Povprečna
moč na tuljavi je nič.
Energija. Energijo v tuljavi dobimo z integracijo moči
t t
I mU m I Um
W (t ) = ∫ pdt =
0
2 0 ∫ sin(2ωt )dt = 2m⋅ 2ω (1 − cos(2ωt ) ) . Energija, ki je akumulirama v magnetnem
polju tuljave, niha z dvojno frekvenco osnovnega signala. V vsakem trenutku je pozitivna in v
povprečju velika
2
I mU m LI m
Wsr = = . (18.5)
4ω 4
Spomnimo se še druge oblike zapisa trenutne energije. V poglavju (13) smo obravnavali energijo v
magnetnem polju tuljave in ugotovili, da jo lahko zapišemo kot
t t i (t )
di
W (t ) = ∫ p (t )dt = ∫ L idt = ∫ Lidi od koder smo zapisali enačbo za trenutno energijo v
t0 t0
dt i ( t0 )
Li 2
magnetnem polju tuljave z induktivnostjo L v obliki W = .
2
Maksimalna energija v tuljavi nastopi tedaj, ko je maksimalen tok. Tedaj je
2
LI m
Wmax = (18.6)
2
4/9

199. Izmenični signali, osnovne zveze 18.
2
1.5
tok, napetost, moc
1
0.5
0
-0.5
-1
0 1 2 3 4 5 6
cas
Slika:Moč (polna črna črta) in energija (polna modra črta) pri vzbujanju tuljave s sinusnim tokovnim
signalom (modra črtkana črta).
Skupne ugotovitve za tuljavo:
π
1) Če je tok skozi tuljavo i = I m sin(ωt ) , bo napetost na tuljavi u = U m sin(ωt + ) . Napetost
2
na tuljavi prehiteva tok za četrtino periode signala, kar lahko prikažemo tudi grafično na
kazalčnem diagramu.
2) Amplitudo napetosti lahko zapišemo tudi kot U m = I mω L , kjer je ω L upornost tuljave pri
izmeničnih signalih, kar imenujemo tudi reaktanca X L = ω L . Reaktanca se linearno veča s
frekvenco.
3) Za lažjo predstavo lahko tuljavo pri zelo nizkih frekvencah (enosmerne razmere)
nadomestimo s kratkim stikom (zelo majhna upornost), pri zelo visokih pa z odprtimi
sponkami (zelo velika upornost).
4) Moč na tuljavi niha z dvojno frekvenco tokovnega (ali napetostnega) signala, povprečna
moč je enaka nič.
5) Energija v magnetnem polju tuljave niha z dvojno frekvenco osnovnega signala, je vedno
2
LI m
pozitivna in v povprečju velika W = Wsr = . Trenutna vrednost je sorazmerna kvadratu
4
Li 2
toka W = , maksimalna energija v tuljavi nastopi vsako četrtino periode signala, ko je
2
2
LI m
velika Wmax = .
2
6) Za vezja, v katerih napetost prehiteva tok rečemo, da imajo induktivni karakter.
5/9

200. Izmenični signali, osnovne zveze 18.
Primer: Na toroidno jedro okroglega preseka površine 1 cm2 , s srednjim polmerom 2 cm in µr =
100, navijemo 500 ovojev. Kolikšna je napetost na tuljavi, če jo vzbujamo s tokom
i = 0, 4 cos(100s-1t ) A ? Določimo še povprečno in maksimalno moč na tuljavi.
µ r µ0 N 2 A
Izračun: Induktivnost toroida je L= = 25 mH , torej je induktivna upornost
2π rs
X L = ω L = 2,5 , maksimalna napetost je U m = I m X L = 0, 4 A ⋅ 2,5 = 10 V . Če bi želeli zapisati
napetost na tuljavi v obliki časovnega signala, bi morali upoštevati, da napetost na tuljavi tok
π π
prehiteva za fazni kot , torej bo u (t ) = 10 cos(100s-1t + ) V . Povprečna moč je enaka nič vatov,
2 2
I mU m LI 2
maksimalna moč je = 2 W , povprečna energija je Wsr = m = 1 mJ , maksimalna pa 2 mJ.
2 4
6/9

201. Izmenični signali, osnovne zveze 18.
KONDENZATOR
Zopet vzemimo sinusno obliko toka i = I m sin(ωt ) . Tok izrazimo s časovno spremembo naboja na
dQ
ploščah kondenzatorja i = in upoštevamo zvezo med nabojem na ploščah in napetostjo
dt
du
Q (t ) = Cu (t ) in dobimo i = C . Ker tok poznamo, zanima pa nas napetost, izrazimo napetost na
dt
t t
1
kondenzatorju kot ∫ du = ∫ idt . Za sinusno obliko toka bo napetost enaka
1
0
C0
1
t
I I  π
u (t ) = ∫ I m sin(ωt ) ⋅ dt + u (0) = − m cos(ωt ) = m sin  ωt −  oziroma
C0 ωC ωC  2
 π
u = U m sin  ωt −  . Napetost na kondenzatorju zaostaja za tokom za četrtino periode.
 2
SLIKA: Časovni potek in kazalčni diagram faznega zaostajanja napetosti na kondenzatorju pred
tokom.
Im
Amplituda napetosti je torej U m = .
ωC
1
Člen ima enoto upornosti in tudi predstavlja upornost kondenzatorja pri izmeničnih signalih.
ωC
Moč. Trenutna moč je zmnožek trenutne napetosti in toka na kondenzatorju, torej
I mU m
p = iu = − I m sin(ωt ) ⋅ U m cos(ωt ) = − sin(2ωt ) (18.7)
2
Trenutna moč niha z dvojno frekvenco vendar brez enosmerne komponente, enako kot pri tuljavi.
Povprečna (izgubna) moč je torej tako kot na tuljavi enaka nič vatov.
1
Zakaj dodamo u(0)? Pri veličinah, ki so določene z integralom, je potrebno upoštevati “zgodovino” integranta. Torej
t t
1 1
bi bilo vedno potrebno slediti integrirano veličino od –inf. , torej u= ∫ idt = C ∫ idt + u(0) .
C −∞ 0
7/9

202. Izmenični signali, osnovne zveze 18.
1
tok
napetost
0.8 moc
0.6
0.4
0.2
tok, napetost, moc
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 1 2 3 4 5 6 7
cas
SLIKA: Tokovni in napetostni signal na kondenzatorju. Napetost na kondenzatorju zaostaja za tokom
za četrtino periode signala.
Energija. Podobno kot pri tuljavi energija v kondenzatorju niha z dvojno frekvenco osnovnega
2
CU m
signala. Je vedno pozitivna, v povprečju enaka Wsr = . Maksimalna energija shranjena v polju
4
2
CU m
kondenzatorja pa je Wmax = .
2
4000
3500
1 3000
SLIKA: Kapacitivna upornost X C =
ωC 2500
reaktanca / Ohm
se zmanjšuje s višanjem frekvence 2000
vzbujalnega signala s funkcijsko 1500
odvisnostjo 1 . Na sliki je reaktanca za 1000
f
500
C = 10 µF.
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
frekvenca / Hz
Skupne ugotovitve za kondenzator:
π
1) Če je tok skozi tuljavo i = I m sin(ωt ) , bo napetost na kondenzatorju u = U m sin(ωt − ) .
2
Tok na kondenzatorju prehiteva napetost za četrtino periode signala, kar lahko
prikažemo tudi grafično na kazalčnem diagramu.
8/9

203. Izmenični signali, osnovne zveze 18.
Im 1
2) Amplitudo napetosti lahko zapišemo tudi kot U m = , kjer je upornost kondenzatorja
ωC ωC
pri izmeničnih signalih2. Upornost kondenzatorja se manjša s frekvenco.
3) Za lažjo predstavo lahko kondenzator pri zelo nizkih frekvencah (enosmerne razmere)
nadomestimo z odprtimi sponkami (zelo velika upornost), pri zelo visokih pa s kratkim
stikom (zelo majhna upornost).
4) Moč na kondenzatorju niha z dvojno frekvenco tokovnega (ali napetostnega) signala,
povprečna moč je enaka nič.
2
CU m
5) Energija niha z dvojno frekvenco osnovnega signala, v povprečju je enaka Wsr = ,
4
maksimalna energija v kondenzatorju nastopi vsako četrtino periode signala, ko je velika
2
CU m
Wmax = . Energija je akumulirana v električnem polju kondenzatorja.
2
6) Za vezja, v katerih napetost zaostaja za tokom rečemo, da imajo kapacitivni karakter.
Primer: Na kondenzator kapacitivnosti 8 µF priključimo vir napetosti sinusne oblike amplitude 1
V. Kolikšna mora biti frekvenca napetostnega signala, da bo imel tok kondenzatorja amplitudo 2,5
mA?
Im 1V
Izračun: Iz Um = dobimo ωC = = 400 , od koder je
ωC 2,5 mA
1 312,50
ω= = 312,50 s-1 oziroma f = Hz ≈ 50 Hz .
400 ⋅ 8 µF 2π
Vprašanja za obnovo:
1) Določitev napetosti na uporu, tuljavi, kondenzatorju pri vzbujanju z izmeničnim signalom.
2) Zveze med amplitudami toka in napetosti. Upornosti pri izmeničnih signalih.
3) Prehitevanje ali zaostajanje toka za napetostjo, karakter vezja.
4) Moč: časovni signal, povprečna moč.
5) Energija: trenutna, povprečna, maksimalna.
Kolokvijske in izpitne naloge:
Efektivna vrednost:
2. kolokvij, 13. 06.2002
izpit, 20. junij 2003
Izpit 26. 6. 2002
izpit, 8. aprila 2002
1
2
Pogosto se uporablja zapis reaktance kondenzatorja kot X C = . Kasneje bomo ugotovili, da je reaktanca
ωC
1
definirana kot imaginarni del impedance in je v primeru kondenzatorja negativna, torej X C = − .
ωC
9/9

204. Izmenični signali, moč 19.
Izmenični signali – moč
Vsebina poglavja: časovna oblika moči za poljubni linearni dvopol, nihanje z dvojno frekvenco
osnovnega signala, razdelitev moči na več komponent, delovna moč (faktor delavnosti), jalova moč,
navidezna moč, trikotnik moči, odčitek S in P iz časovne oblike signala moči.
Zanima nas potek trenutne moči v linearnem dvopolnem (dve zunanji sponki) vezju, kjer je
napetost na zunanjih sponkah enaka u = U m sin(ωt ) , tok pa je zamaknjen za nek poljubni kot
i = I m sin(ωt − ϕ ) . Trenutna moč v vezje je enaka zmnožku napetosti in toka
p (t ) = u (t ) ⋅ i (t ) = U m sin(ωt ) ⋅ I m sin(ωt − ϕ ) . (19.1)
1
Z uporabo zveze sin(α ) ⋅ sin( β ) = ( cos(α − β ) − cos(α + β ) ) zapišemo moč vezja kot
2
Um Im
p (t ) = [cos(ϕ ) − cos(2ωt − ϕ )] (19.2)
2
Vidimo, da lahko trenutno moč vezja opišemo kot vsoto dveh komponent moči, ene enosmerne in
ene izmenične, ki niha z dvojno frekvenco. S povprečenjem moči preko periode dobimo povprečno
moč, ki bo očitno kar enaka tej enosmerni komponenti moči, ki jo imenujemo delovna moč.
KAPACITIVNI KARAKTER
1
tok
0.8 napetost
moc
0.6
0.4
tok, napetost, moc
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0 1 2 3 4 5 6 7
cas
SLIKA: Primer moči na bremenu kapacitivnega karakterja (tok prehiteva napetost).
Delovna moč. Delovna moč je torej določena kot povprečna moč. »Okoli« te vrednosti niha
trenutna moč:
Um Im
P= cos(ϕ ) = U ef I ef cos(ϕ ) . (19.3)
2
1/7

205. Izmenični signali, moč 19.
To je del moči, ki se pretevarja v neko drugo obliko, na uporu v toplotno (Joulske izgube), v
motorjih pa v mehansko. Faktor cos(ϕ ) pogosto imenujemo tudi faktor delavnosti ali faktor moči.
Navidezna moč. Trenutna moč niha z dvojno frekvenco okoli vrednosti povprečne moči.
Amplituda nihanja moči (brez enosmerne komponente) je
I mU m
S= (19.4)
2
in jo imenujemo navidezna moč. Navidezna moč je običajno tista, ki nam pove, koliko smemo
obremenjevati napravo.
Jalova moč. Tudi nihanje moči okoli enosmerne komponente (povprečne moči) lahko razstavimo
v skladu z zvezo cos(α − β ) = cos(α ) ⋅ cos( β ) + sin(α ) ⋅ sin( β ) . Dobimo
cos(2ωt − ϕ ) = cos(2ωt ) ⋅ cos(ϕ ) + sin(2ωt ) ⋅ sin(ϕ ) . Ob vstavitvi tega člena v enačbo (19.2) dobimo
Um Im
p (t ) =  cos(ϕ ) (1 − cos(2ωt ) ) − sin(ϕ ) sin(2ωt )  (19.5)
2  
Prvi člen v oglatem oklepaju predstavlja nihanje moči okoli povprečne (delovne) moči, drugi člen
pa nihanje moči okoli ničle. Amplituda drugega člena je enaka
I mU m
Q= sin(ϕ ) . (19.6)
2
in jo imenujemo jalova moč.
Očitno je, da velja
S 2 = P2 + Q2 , (19.7)
kar običajno prikažemo s pravokotnim trikotnikom s stranicami P, Q in S.
SLIKA: Trikotnik moči sestavljajo delovna, jalova in navidezna moč.
Zaradi pomembnosti moči v elektrotehniki in lažje prepoznavnosti, za delovno moč uporabljamo
enoto W (Watt), za jalovo pa VAr (Volt – Ampere reaktivno), za navidezno pa VA (Volt - Ampere
).
2/7

206. Izmenični signali, moč 19.
KAPACITIVNI KARAKTER
1
tok
napetost
0.8 moc
0.6
0.4
0.2
P
0
-0.2
-0.4
-0.6
P =0.12361
-0.8 Q =-0.38042
S =0.4
-1
0 1 2 3 4 5 6 7
SLIKA: Primer časovnega poteka komponent moči (s polno črto) na vezju kapacitivnega karakterja
(tok prehiteva napetost). Prikazana je trenutna moč (polna krepka črna črta), pa tudi razdelitev te
moči na dva dela: nihanje moči z amplitudo izmeničnega signala enaki P okoli povprečja (polna rdeča
črta), ki je enako P in jalova moč Q, ki je enaka amplitudi dela signala moči, ki niha okoli ničle (polna
črta turkizne barve). Trenutna moč niha okoli povprečne vrednosti (delovne moči P) z amplitudo, ki
je enaka navidezni moči S.
Primer: Motor priključimo na izmeničen vir napetosti u = 400sin(ωt ) V in med delovanjem
izmerimo efektivno vrednost toka 3,68 A, ki za napetostnim signalom zaostaja za fazni kot 250.
Določite delovno, jalovo in navidezno moč motorja.
Izračun: Maksimalna vrednost toka bo I m = I ef 2 = 5, 2 A . Delovna moč bo
I mU m I U I U
P= cos(ϕ ) ≅ 961W , jalova Q = m m sin(ϕ ) ≈ 448VAr in navidezna S = m m = 1060VA .
2 2 2
Primer: Navidezna moč električnega aparata je 550 VA, faktor delavnosti pa je 0,8. Določimo
delavno in jalovo moč aparata.
3/7

207. Izmenični signali, moč 19.
Izračun: Iz trikotnika moči lahko razberemo, da je delovna moč P = S cos(ϕ ) = 440 W . Ker
poznamo P in S lahko Q določimo iz Q = S 2 − P 2 = 330 VAr .
Primer: Iz grafa trenutne moči določimo delovno, jalovo in navidezno moč ter frekvenco in fazni
kot med napetostjo in tokom. Vrišimo delovno in navidezno moč v sliko. Določimo še amplitudo
napetosti, če je amplituda toka 2A.
0.8
0.7
0.6
0.5
moc/W
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0 1 2 3 4 5 6 7
cas/ms
Izračun: Amplituda moči je navidezna moč, ki niha okoli enosmerne komponente, ki je enaka
delovni moči. Iz vršnih vrednosti lahko razberemo navidezno moč. Spodnja temenska vrednost
0, 72 − ( −0, 08)
moči je –0,08 W, zgornja pa 0,72 W, S = = 0, 4 VA . Če to vrednost odštejemo od
2
zgornje vršne vrednosti ali pa prištejemo spodnji, dobimo delovno moč
P = 0, 72 W − 0, 4 W = 0,32 W , jalova moč bo torej Q = S 2 − P 2 = 0, 24 VAr .
Razberemo še periodo signala, ki je 3,2 ms, od koder je frekvenca signala moči
1
f moc = = 312,5s-1 . Moč niha z dvojno frekvenco toka (napetosti), tok bo torej nihal s kotno
3, 2 ms
frekvenco 156,3 Hz. Ugotoviti moramo še fazni zamik med napetostjo in tokom. Že iz prejšnjega
S
primer smo ugotovili, da je S = P cos(ϕ ) od koder je ϕ = Arc cos   = 180 . Določimo še
P
I mU m 2S
amplitudo napetosti: iz S = sledi U m = = 0,4V .
2 Im
4/7

208. Izmenični signali, moč 19.
Slika: Primer izrisa trenutne moči iz
osciloskopa pri laboratorijski vaji za
induktivni karatker vezja. Razloči
signal napetosti, toka, moči, določi
periodo, frekvenco, delovno moč,
navidezno moč. Kako določimo jalovo
moč? Kaj izmerimo z ampermetrom
in voltmerom?
Vprašanja za obnovo:
1) Trenutna moč na poljubnem elementu vezja.
2) Delovna moč in faktor moči, jalova moč, navidezna moč. Enote. Trikotnik moči.
3) Prikaz moči kot časovni signal in določitev delovne, navidezne moči in frekvence iz
signala. (Pomoč: Laboratorijske vaje)
Primeri izpitnih in kolokvijskih nalog
izpit, 23. januar 2007
Izpit, 10. 06. 2004
5/7

209. Izmenični signali, moč 19.
DODATEK: Matlab program za prikaz moči na bremenu kapacitivnega, ohmskega ali
induktivnega značaja
% Moc na bremenu, fazo spreminjamo od -pi/2 do +pi/2
Im=1; Um=0.8;
x=0:0.01:2*pi;
axis auto
for ii=-1:0.2:1
fi=ii*pi/2;
i=Im*sin(x);
u=Um.*sin(x+fi);
P=Um*Im*cos(fi)/2;
Q=Um*Im*sin(fi)/2;
S=Um*Im/2;
plot(x,i,':',x,u,'--','LineWidth',2);
hold on
plot(x,u.*i,'k','LineWidth',3)
plot(x,P*(1-cos(2*x)),'r',x,Q*sin(2*x),'c','LineWidth',2)
plot([0 2*pi], [0 0],'Color','b','LineStyle','--')
plot([0 2*pi], [P P],'Color','k','LineStyle','-')
%axis off
title('OHMSKI KARAKTER')
if fi<0 title('KAPACITIVNI KARAKTER'); end
if fi>0 title('INDUKTIVNI KARAKTER'); end
if fi==0 title('OHMSKI KARAKTER'); end
legend('tok','napetost','moc')
text(0.5,-0.7,strcat('P = ',num2str(P)));
text(0.5,-0.8,strcat('Q = ',num2str(Q)));
text(0.5,-0.9,strcat('S = ',num2str(S)));
text(6.5,P,'P');
k = waitforbuttonpress
hold off
end
6/7

210. Izmenični signali, moč 19.
SLIKA: Moč na bremenu induktivnega
SLIKA: Moč na kondenzatorju. karakterja
SLIKA: Moč na induktivnem bremenu
SLIKA: Moč na bremenu kapacitivnega
(tuljavi)
karakterja.
SLIKA: Moč na uporu
7/7

211. Izmenični signali, kompleksni račun 20.
Od diferencialnih enačb do kompleksnega računa
Vsebina: Reševanje vezja z diferencialnimi enačbami. Osnove kompleksnega računa:
kompleksno število, osnovne operacije, konjugacija, Eulerjev obrazec. Povezava med
časovnim signalom sinusne oblike in kompleksnim zapisom - v obe smeri. Prikaz
kompleksorjev v kompleksni ravnini. Povezava med kompleksorji toka in napetosti na uporu,
kondenzatorju in tuljavi. Kirchoffova zakona s kompleksorji, kompleksna upornost in
prevodnost (impedanca, admitanca), reaktanca, susceptanca.
Spoznali smo že zveze med tokom in napetostjo na posameznih elementih pri vzbujanju z
izmeničnimi signali. Običajno imamo opravka z vezji, v katerih imamo pri napajanju z izmeničnimi
signali priključene tako upore kot tudi kondenzatorje in tuljave. Kako v takih primerih analizirati
vezje? Vzemimo kar preprost primer tuljave, ki je preko zaporedno vezanega upora priključena na
izmenični napetostni generator. Kako določiti tok v vezju ali napetost na tuljavi?
Pokažimo to kar na konkretnem primeru. Upor R = 2 Ω je zaporedno s tuljavo z induktivnostjo L =
10 mH priključen na vir izmenične napetosti u g = 10sin( ωt ) V ; ω = 50 Hz .
SLIKA: Zaporedna vezava upora in tuljave priključena na vir izmenične napetosti.
Pri izračunu moramo upoštevati osnovne zveze med tokom in napetostjo na posameznem elementu
in Kirchoffova zakona. Odtod sledi u g = u R + u L . Sedaj napetosti na uporu in tuljavi izrazimo s
tokom:
di
u g = Ri + L .
dt
Dobimo diferencialno enačbo, katere rešitev bo tok v vezju. Obstaja vrsta načinov reševanja
diferencialnih enačb, morda najpreprostejši je kar z uporabo t.i. »nastavka«, to je vnaprej poznane
oblike rešitve. V konkretnem primeru bo le ta oblike i = Asin( ωt ) + Bcos( ωt ) . Ta nastavek
uporabimo v diferencialni enačbi in dobimo (za enostavnejše računanje ne upoštevamo enot)
1/15

212. Izmenični signali, kompleksni račun 20.
10sin(ωt )=2 ( Asin(ωt ) + Bcos(ωt ) ) + 0 ,01 ⋅ ( Aω cos(ωt ) − Bωsin(ωt ) ) . Sedaj moramo le še združiti člene,
ki sodijo skupaj (sinusne in kosinusne člene) in dobimo:
10sin( ωt )=2Asin( ωt ) − 0 ,01Bωsin( ωt ) , od koder mora veljati 10 = 2 A − 0 ,5B in hkrati
0=2Bcos( ωt ) + 0 ,01Aωcos( ωt ) , od koder mora veljati 0 = 2 B + 0 ,5 A . Dobimo sistem dveh enačb, od
koder določimo konstanti A in B, ki sta B = -1,1765 in A = 4,7059. Rešitev je torej
i ≅ 4 ,71sin( ωt ) − 1,18cos( ωt ) . To rešitev lahko zapišemo tudi v obliki i = K sin(ωt + ϕ ) , kjer je
B 1800
K = A2 + B 2 ≅ 4,86 in ϕ = Arc tan ≅ −0, 25 v radianih oziroma ϕ ≅ −0, 25 ⋅ = −140 , torej
A π
i = 4,86sin(ωt − 140 ) A .
10
8
6
Napetost (V), Tok (A)
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
Cas /s
SLIKA: Napetost (modra polna črta) in tok (zelena črtkana črta).
Rezultat je zanimiv in pričakovan. Če bi bil na vir priključen le upor, bi bil tok v fazi z napetostjo,
če bi bila priključena le idealna tuljava, bi tok zaostajal za 900, če pa sta zaporedno priključena oba
elementa, pa tok zaostaja za napetostjo za določen fazni kot, ki je med 0 in 900. V konkretnem
primeru tok zaostaja za napetostjo za fazni kot 140.
Dodatno: Ali bi bila situacija podobna, če bi na napetostni vir priključili vzporedno vezana upor in
tuljavo?
Odgovor: Da, tudi v tem primeru bi tok zaostajal za napetostjo. Poskusite preveriti sami!
Ugotovitev: Za analizo tudi že preprostega vezja, ki je priključeno na izmenični vir, potrebno
zapisati diferencialno(e) enačbo(e) in poiskati njeno rešitev. To pa ni vedno enostavno. V
nadaljevanju bomo ugotovili, da je najbolj učinkovita metoda za analizo vezij vzbujanih z
2/15

213. Izmenični signali, kompleksni račun 20.
izmeničnimi signali z uporabo kompleksnega računa. S pomočjo kompleksnega računa lahko v
osnovi diferencialne enačbe »prevedemo« na preproste algebrajske. Poleg analitičnega pristopa
nam bo v veliko pomoč tudi grafičen prikaz s t.i. kompleksorji (kazalci) v kompleksni ravnini.
Osnove kompleksnega računa
Kompleksno število. Kompleksno število sestavlja realni in imaginarni del. Običajno
kompleksna števila označimo s črtico pod črko. Primer takega števila je npr. Z = 2 + j3 . 2 je realni
del, 3 pa imaginarni del kompleksnega števila.
j je imaginarno število in je enako j = −1 oziroma, j 2 = −1 . V matematiki ga pogosto označimo
s črko i, ki pa jo v elektrotehniki pogosto uporabljamo kot simbol za tok.
Kompleksno število lahko prikažemo v t.i. kompleksni ravnini kot točko s koordinatama na realni
in imaginarni osi (2, j3). Še bolj pogosto tako število prikažemo s kazalcem – kompleksorjem v
kompleksni ravnini.
Poljubno kompleksno število zapišemo z realnim in imaginarnim delom kot
Z = Re {Z } + j Im {Z } = X + jY .
X je realni del, Y pa imaginarni del kompleksnega števila.
SLIKA: Prikaz kompleksnega števila v kompleksni ravnini kot točka ali v obliki kazalca (vektorja).
Določen je z realnim in imaginarnim delom ali pa z amplitudo in faznim kotom.
3/15

214. Izmenični signali, kompleksni račun 20.
Pogosto zapišemo kompleksno število tudi v polarni obliki, z amplitudo in faznim kotom. Velja
Z = X 2 + Y 2 , fazni kot pa je ϕ = Arctan  
Y
  . Narišemo ga s kazalcem (kompleksorjem) v
X 
kompleksni ravnini. Velikost kazalca je Z in je od realne osi »zasukan« za kot ϕ .
Eulerjev obrazec.
Za tvorjenje kompleksnih signalov (kompleksorjev) in za pretvarjanje iz polarnega zapisa v realni
in imaginarni del kompleksnega števila se poslužujemo t.i. Eulerjevega obrazca
e jα = cos(α ) + j sin(α ) (20.1)
Primeri računanja s kompleksnimi števili.
Z 1 = 2 + j 3 ; Z 2 = 4 − j5
Vsota: Z 1 + Z 2 = 2 + j 3 + 4 − j5 = 6 − j 2
Razlika: Z 1 − Z 2 = ( 2 + j 3) − ( 4 − j 5) = −2 + j8
Produkt: Z 1 ⋅ Z 2 = ( 2 + j 3) ⋅ ( 4 − j 5) = 2 ⋅ 4 − j 215 + j (12 − 10) = 23 + j 2
Kvocient: Z 1 / Z 2 =
( 2 + j 3) = ( 2 + j 3) ( 4 + j5) = −7 + j 22 = −7 + j 22 ≅ −0,17 + j 0 ,54
( 4 − j 5) ( 4 − j5) ( 4 + j5) 42 + 52 41
Kvocient s pomočjo polarnega zapisa:
( 2 + j3) ≅ 3,6e j 56
0
Z1 / Z 2 = ≅ 0 ,562e j107 ≅ 0 ,562 ( cos(1070 )+jsin(107 0 ) ) = −0 ,164 + j 0 ,54 .
0
( 4 − j5 ) 6,4e− j 51 0
Razlika med prvim in drugim izračunom nastopi zaradi različnega zaokroževanja. Polarni zapis je
bolj primeren za množenje in deljenje. Pri pretvarjanju v polarni zapis je potrebno biti previden v
primeru, ko je realni del negativen, saj se to število (kazalec) nahaja v drugem ali tretjem
kvadrantu. V tem primeru je potrebno kotu dodati 1800 oz. π . Primer: Pretvorimo kompleksno
 2 
j  π+Arc tan 
j ( 3π/4 )
število −2 + j 2 = 2 2e  −2 
= 2 2e .
Konjugacija: Z * = 2 − j 3 . Pri konjugaciji obrnemo predznak imaginarnemu delu. Posebno
1
primerna je uporaba konjugacije za izračun absolutne vrednosti kompleksnega števila:
Z 1 = 2 + j3 = Z 1 ⋅ Z 1 =
*
( 2 + j 3)( 2 − j 3) = 22 + 32 = 13
Prikaz kompleksorjev v kompleksni ravnini. Posamezne kompleksorje lahko prikažemo v
kompleksni ravnini, jih seštevamo ali odštevamo na enak način kot vektorje.
4/15

215. Izmenični signali, kompleksni račun 20.
SLIKA: Primer seštevanja in odštevanja dveh kompleksorjev v kompleksni ravnini. Princip je enak
kot pri seštevanju vektorjev. S konjugacijo se kompleksor prezrcali preko realne osi.
Tvorjenje kompleksorjev iz časovnih (harmoničnih) signalov.
S pomočjo Eulerjevega obrazca lahko zapišemo poljuben harmoničen signal, pri čemer pa poleg
realnega dela pridobimo še imaginarni del. Vzemimo primer tokovnega signala oblike
i (t ) = 2 cos(ω t ) A . Ta tok lahko zapišemo z upoštevanjem Eulerjevega obrazca kot
i(t ) = 2 ( cos(ωt ) + j sin(ωt ) ) A = 2e jωt A . Tak kompleksen zapis toka seveda nima posebnega
fizikalnega pomena. Fizikalno ima pomen le njegov realni del, torej
i(t ) = Re {i(t )} = Re {2 ( cos(ωt ) + j sin(ωt ) ) A} = 2 cos(ωt )A . V nadaljevanju bomo spoznali, da
nam to »kompliciranje« z vpeljavo kompleksnih števil olajša obravnavo vezij vzbujanih s
harmoničnimi signali.
Vzemimo sedaj bolj splošen zapis toka i ( t ) = I cos(ωt + ϕ ) in ga zapišimo z upoštevanjem
Eulerjevega obrazca kot i (t ) = I ( cos(ωt + ϕ ) + j sin(ωt + ϕ ) ) = Ie
j ( ω t +ϕ )
= Ie jϕ e jωt = Ie jωt . Tvorili
smo kompleksor harmonične funkcije I = Ie jϕ , ki opisuje amplitudo in fazo (fazni kot) toka, kar pa
je tudi popolna informacija o toku v vezju. Frekvenca signala se namreč pri linearnih vezjih
vzbujanih s harmoničnim signalom ne spreminja. Dovolj bo torej, da bomo poznali le amplitudo in
fazo (fazni kot) signala, seveda relativno na druge signale v vezju, če pa bi nas zanimal trenutni
(časovni) potek signala, kompleksor pomnožimo s členom e jω t in upoštevamo le realni del.
Kompleksorje tvorimo iz časovnih harmoničnih signalov tako, da upoštevamo le amplitudo in
fazo (fazni kot) signala, relativno glede na kosinusno funkcijo in ga zapišemo v obliki
I = Ie jϕ .
Primeri: Tvorimo kompleksorje toka za sledeče oblike tokov:
i1 (t ) = 1cos(ω t ) A ⇒ I1 = 1 A
i2 (t ) = 2 cos(ωt + 450 )A ⇒ I 2 = 2e j 45 A
0
5/15

216. Izmenični signali, kompleksni račun 20.
i3 (t ) = 3sin(ωt ) A = 3cos(ωt − π/2)A ⇒ I 3 = 3e − jπ/2 A = 3 ( cos(-π/2)+jsin(-π/2) ) A = − j 3 A
i4 (t ) = 4sin(ωt + 300 ) A = 4cos(ωt − 900 +300 ) A = 4cos(ωt − 600 ) A
1 3
⇒ I 4 = 4e − j 60 A = 4 ( cos(-600 )+jsin(-600 ) ) A = 4  − j  A ≅ ( 2 − 3, 46 ) A
0
2 
2 

SLIKA: Prikaz kompleksorjev toka v kompleksni ravnini.
Določitev časovnega signala iz kompleksorja.
Iz znanega kompleksorja vedno lahko dobimo časovno obliko signala. Kompleksor je potrebno
pomnožiti z e jωt in upoštevati le realni del signala. Vzemimo kot primer kompleksor toka
I 2 = 2e j 45 A , ki ga pomnožimo z e jωt in upoštevamo Eulerjev obrazec. Časovno obliko toka
0
dobimo iz realnega dela izraza
{ 0
} { 0
}
i2 (t ) = Re 2e j 45 e jωt A = Re 2e j (ωt + 45 ) A = 2 Re {cos(ωt + 450 ) + j sin(ωt + 450 )} A=2 cos(ωt + 450 )A
Primer: Rešimo primer zaporedne vezave upora in tuljave na začetku poglavja z uporabo
kompleksnega računa.
Izračun: Napetostni signal oblike ug = U msin( ωt ) = U mcos(ωt − π/2) zapišemo kot
u g = U m e j( ωt − π/2) = Ue jωt , kjer je U = U m e − jπ/2 = − jU m . Rešitev pričakujemo v obliki i = Ie j( ωt +ϕi ) = Ie jωt ,
kjer je I = Ie jϕ .
i
di
Vstavimo ta zapisa v diferencialno enačbo ug = Ri + L in dobimo
dt
Ue jωt = RIe jωt + L
d
dt
( Ie jωt ) in z odvajanjem Ue jωt = RIe jωt + LI jωe jωt . Člen e jωt lahko v enačbi
pokrajšamo in tako postane enačba enostavna algebrajska: U = RI + jω LI . Iz enačbe določimo
U
kompleksor toka I = . Razstavimo enačbo na realni in imaginarni del. Če se želimo
R + jω L
6/15

217. Izmenični signali, kompleksni račun 20.
»znebiti« imaginarnega dela v imenovalcu, moramo imenovalec pomnožiti z njegovo konjugirano
kompleksno vrednostjo, to je z R − jω L . Dobimo
U (R − jω L) U (R − jω L) U (R − jω L)
I= = 2 = 2 . To je že rešitev, ki jo lahko izrišemo v
(R + jω L) ⋅ (R − jω L) R − (jω L)2 R + (ω L ) 2
kompleksni ravnini. Narišemo kompleksor napetosti, ki je
− jU m (R − jω L) U (ω L + jR )
U = U m e − jπ/2 = − jU m , kompleksor toka pa je I = = − m2 in ima negativen
R 2 + (ω L) 2 R + (ω L )2
tako realni kot imaginarni del. Vsota teh dveh kompleksorjev je kompleksor toka, ki zaostaja za
kompleksorjem napetosti za kot, ki ga dobimo iz zapisa toka v polarni obliki: I = Ie jϕ . Amplituda i
U Um  Im{I }   −R 
toka je I = = , fazni kot pa* ϕi = Arctan   = Arctan   . Z vstavitvijo
R + jω L R + (ω L )
2 2
 Re{I }   −ω L 
vrednosti dobimo I = 4,85 A in ϕi ≅ 760 + 1800 = 2560 . Kompleksor toka je torej I ≅ 4 ,85e j 256 A .
0
Spomnimo se lahko, da je bil kompleksor napetosti U = U m e − jπ/2 = U m e j 3π/2 = U m e j 270 . Fazni kot med
0
tokom in napetostjo je torej ϕ = ϕ u − ϕi = 2700 − 2560 = 140 . Kazalec napetosti prehiteva kazalec toka
za fazni kot 140. To predstavlja induktivni karakter vezja.
Tok v časovni obliki dobimo tako, da kompleksor toka pomnožimo z e jωt in upoštevamo le realni
del:
{ } { }
i (t ) = Re {Ie jωt } = Re 4,85e j 256 e jωt A = Re 4,85e j (ωt + 256 ) A = 4,85cos(ωt + 2560 ) A ,
0 0
kar lahko
zapišemo tudi s sinusom:
i (t ) = 4,85sin(ωt + 900 + 2560 ) A = 4,85sin(ωt + 3460 ) A=4,85sin(ωt − 140 ) A
SLIKA: Kazalca (kompleksorja) napetosti in toka.
*
Dobljenemu kotu je potrebno prišteti kot 180o, saj sta tako realni kot imaginarni del negativna.
7/15

218. Izmenični signali, kompleksni račun 20.
Kompleksorji toka in napetosti na elementih vezja.
Kako si torej pomagamo s kompleksnim računom pri analizi vezij s harmoničnimi signali?
Poglejmo si zveze med kompleksorji toka in napetosti na posameznih elementih vezja:
UPOR
Vzemimo i (t ) = I cos(ωt ) , kompleksor bo kar I = Ie j 0 = I . Tokovni signal pa lahko zapišemo kot
i (t ) = Re {Ie jωt } . Napetost na uporu bo u (t ) = Re {Ue jωt } in bo enaka u (t ) = R ⋅ i (t ) oziroma
Re {Ue jωt } = Re {RIe jωt } od koder sledi zapis s kompleksorji:
U = RI (20.2)
Ponovno vidimo, da sta kompleksorja toka in napetosti na uporu v fazi.
SLIKA: Kompleksor napetosti in toka na uporu.
TULJAVA
Vzemimo zopet i (t ) = I cos(ωt ) s kompleksorjem I = Ie j 0 = I . Ugotovili smo že, da napetost na
 π
tuljavi prehiteva tok za četrtino periode in bo torej enaka u (t ) = I ω L cos  ωt +  . Če ta signal
 2
π
j
zapišemo kot kompleksor, dobimo U = Iω Le 2
= Iω L ⋅ j , kar v splošnem zapišemo v obliki
U = jω LI (20.3)
SLIKA: S prikazom v kompleksni ravnini pokažemo, da napetost na tuljavi prehiteva tok za četrtino
periode signala.
8/15

219. Izmenični signali, kompleksni račun 20.
Drugačna razlaga: Tvorimo kompleksni časovni signal (pravi je realni del tega): i (t ) = Ie jωt . Ker
di di
velja u = L , mora veljati tudi u = L . Po odvajanju dobimo u (t ) = LI jωe jωt = Ue jωt . Veljati
dt dt
mora U = jω LI .
KONDENZATOR
Vzemimo zopet i (t ) = I cos(ωt ) s kompleksorjem I = Ie j 0 = I . Ugotovili smo že, da napetost na
I  π
kondenzatorju zaostaja za tokom za četrtino periode in bo torej enaka u (t ) = cos  ωt −  . Če
ωC  2
I − jπ I I
ta signal zapišemo kot kompleksor, dobimo U = e 2 = π
= , kar v splošnem
ωC j jωC
e ωC 2
zapišemo v obliki
I
U= (20.4)
jωC
ali tudi
I
U =−j
ωC
SLIKA: S prikazom v kompleksni ravnini pokažemo, da napetost na kondenzatorju zaostaja za
tokom za četrtino periode signala.
Drugačna razlaga: Tvorimo kompleksni časovni signal (pravi je realni del tega): i (t ) = Ie jωt . Ker
1 1 1 1 jωt jωt
velja u =
C ∫ idt , mora veljati tudi u = C ∫ idt . Po integraciji dobimo u (t ) = C I jω e = Ue .
I
Veljati mora U = .
jωC
9/15

220. Izmenični signali, kompleksni račun 20.
Kirchoffova zakona s kompleksnim zapisom.
m
Pri vezjih z enosmernimi signali je za 1 K.Z. veljalo ∑I
k =1
k = 0 , kar bi pri vezjih z izmeničnimi
m m
signali lahko zapisali v obliki ∑ ik (t ) = ∑ I k cos(ωt + ϕk ) = 0 oziroma izraženo s kompleksnim
k =1 k =1
∑ Re {I e jωt } = 0 . To bo veljalo, če bo
m
zapisom k
k =1
m
∑I
k =1
k =0. (20.5)
Z besedami: vsota vseh kompleksorjev toka v spojišče je enaka nič.
SLIKA: Vsota vseh kompleksorjev toka v spojišču je enaka nič.
Podobno bi lahko pokazali, da za drugi K.Z. velja
n
∑U
j =1
j = 0, (20.6)
oziroma, da je vsota vseh kompleksorjev napetosti v zanki je enaka nič.
SLIKA: Vsota vseh kompleksorjev napetosti v zanki je enaka nič.
Kirchoffove zakone torej lahko uporabimo tudi pri zapisu tokov in napetosti s kompleksorji.
10/15

221. Izmenični signali, kompleksni račun 20.
Primer: Tok i (t ) = 3cos(ωt + 300 )A se razdeli v dve veji. Kolikšen je tok v drugi veji, če je v prvi
veji tok enak i1 (t ) = 2 cos(ωt − 450 ) A ?
SLIKA: Izris tokov v vejah.
Izračun: Tokove zapišemo kot kompleksorje I = 3e j 30 A , I 1 = 2e − j 45 A in ker mora biti vsota vseh
tokov v spojišče enaka nič, bo to veljalo tudi za kompleksorje I 2 = I − I 1 . Torej lahko zapišemo
I 2 = 3e j 30 A − 2e − j 45A = 3(cos(300 ) + j sin(300 ))A+2(cos( −450 ) + j sin( −450 ))A .
I 2 = 3e j 30 A − 2e − j 45A = 3(cos(300 ) + jsin(300 )) A+2(cos(-450 ) + jsin(-450 )) A
I 2 = ( 2 ,6 + j1,5) A − (1,414 - j1,414 ) A = (1,18 + j 2 ,9 ) A = 3,15e j 67 ,9 A . Če želimo zapisati tok v
0
drugi veji v časovni obliki, pomnožimo kompleksor z e jω t in upoštevamo le realni del signala
{ 0
} { 0
}
i2 (t ) = Re 3,155e j 67,9 A ⋅ e jωt = Re 3,15e j (ωt +67,9 ) A = 3,15cos(ωt + 67,90 ) A .
Impedanca in admitanca
Vzemimo tokovni signal oblike i (t ) = I cos(ωt + ϕi ) , ki ga opišemo s kompleksorjem I = Ie jϕi , ki
na sponkah v dvopolno vezje povzroča padec napetosti oblike u (t ) = U cos(ωt + ϕu ) , ki ga opišemo
s kompleksorjem U = Ue jϕu . Kvocient komplesorjev napetosti in toka imenujemo impedanca ali
kompleksna upornost (včasih rečemo tudi polna upornost):
U
Z= . (20.7)
I
Ue jϕu U j (ϕu −ϕi )
Velja Z = jϕi = e = Ze jϕ .
Ie I
Govorimo lahko o Ohmovem zakonu pri izmeničnih signalih zapisan v obliki
U = ZI (20.8)
11/15

222. Izmenični signali, kompleksni račun 20.
SLIKA: Poljubno (dvovhodno) vezje s priključeno napetostjo in tokom v vezje. Kvocient
kompleksorjev napetosti in toka je definiran kot impedanca vezja.
Impedanca je izražena kot kompleksno število. Absolutna vrednost impedance je kvocient med
amplitudo napetosti in toka, argument pa je razlika med faznima kotoma napetostnega in tokovnega
signala. Inverzna impedanci je admitanca ali kompleksna prevodnost
1 I
Y= = , (20.9)
Z U
1 − jϕ
ki jo tudi lahko predstavimo kot Y = e = Ye − jϕ .
Z
Zapišimo kompleksne upornosti in prevodnosti za posamezne elemente vezja
Impedanca Admitanca
Z Y
Upor R G
1
Tuljava jω L = jX L = jBL
jω L
1
Kondenzator = jX C jωC = jBC
jωC
Pogosto se uporablja tudi pojma reaktanca in susceptanca. Reaktanca predstavlja imaginarni del
1
impedance in je za tuljavo X L = ω L in za kondenzator† X C = − . Susceptanca predstavlja
ωC
1
imaginarni del admitance in je za tuljavo BL = − in BC = ωC .
ωL
†
Pogosto se v literaturi pojem reaktance enači s pojmom upornosti pri izmeničnih signalih. V tem smislu se uporablja
za reaktanco kondezatorja pozitivno vrednost. Glede na definicijo (reaktanca je imaginarni del impedance), mora biti
reaktanca kondenzatorja negativna.
12/15

223. Izmenični signali, kompleksni račun 20.
Zaporedna in vzporedna vezava impedanc in admitanc.
Če so impedance vezane zaporedno, jih lahko seštevamo tako, kot smo seštevali zaporedno vezane
upornosti pri enosmernih vezjih
Z zaporedno = Z 1 + Z 2 + Z 3 + ... (20.10)
SLIKA: Zaporedna vezava impedanc.
Enako lahko seštevamo tudi vzporedno vezane kompleksne prevodnosti
Y vzporedno = Y 1 + Y 2 + Y 3 + ... (20.11)
SLIKA: Vzporedna vezava impedanc (admitanc).
Primer: Določimo impedanco zaporedno vezanega upora R = 100 Ω in kondenzatorja C = 2 µF pri
frekvenci ω = 1 kHz.
Izračun: Ker imamo zaporedno vezavo, pišemo
1 1
Z =R+ = 100 + = (100 − j500 ) . Dobimo realni in imaginarni del
jωC j10 ⋅ 2 ⋅ 10 −6
3
impedance, ki jo lahko predstavimo v kompleksni ravnini. Določimo lahko še amplitudo in fazo
 −500 
impedance kot Z = 1002 + (−500) 2 = 510 in fazni kot ϕ = Arctan   = −78,7 .
0
 100 
SLIKA:
13/15

224. Izmenični signali, kompleksni račun 20.
Primer: Določimo admitanco vzporedne vezave upora in kondenzatorja iz prejšnjega primera.
Izračun: Tokrat seštevamo prevodnosti, rezultat bo Y = G + jωC , številčno pa
Y = 0, 01 S + j 0, 002 S = 0,01 (1 + j 0, 2 ) S=1,02 ⋅ 10-2e j11,3 S
0
SLIKA:
Primer: Tok v vezje vzporedne vezave kondenzatorja in upora iz prejšnjega primera je
i (t ) = 20cos(103 s−1 ⋅ t ) mA . Določimo napetost na sponkah vezja.
Izračun: Admitanco smo že izračunali v primeru 2, tvorimo še kompleksor tokovnega signala
I 20 mA
I = 20A in upoštevamo U = Z I = = = 1,96e − j11,3 V . Da dobimo »nazaj«
0
Y 1,02 ⋅ 10−2 e j11,3 S
0
napetostni signal, moramo kompleksor napetosti pomnožiti z e jωt in upoštevati le realni del:
{ }
u(t ) = Re 1,96e − j11,3 ⋅ e jωt V = 1,96cos(10−3 s-1t − j11,30 ) V .
0
Primer: Na sponke vezja na sliki priključimo napetostni vir z amplitudo 400 V in frekvenco 50 Hz.
Določimo impedanco vezja, tok v vezje in delovno moč. (C = 100 µF, L = 20 mH, R = 20 Ω)
C
L R
1
Izračun: Izračunamo impedanco vezja Z = Z C + Z L R , kjer je Z C = = − j 31, 3 in
jωC
j 6,28 ⋅ 20
Z L = jω L = j 6, 28 in ZL R = = (1,79 + j5,7 ) . Impedanca vezja je torej
j 6,28 + 20
Z = ( − j 31,3 + 1, 79 + j5, 7 ) = (1, 79 - j 25,58) = 26, 2e- j 86
0
. Tok v vezje je
14/15

225. Izmenični signali, kompleksni račun 20.
400 V
I = UY= S ≅ 15, 3e j 86 A .
0
− j 860
Delovno moč dobimo iz
26,2 ⋅ e
UmIm 400V ⋅ 15, 6A
P= cos(ϕ ) = cos( −860 ) = 213, 45 W .
2 2
Primer: Tok v zaporedno vezavo dveh elementov je i( t ) = 5cos( ωt + 450 ) A , napetost pa
u( t ) = 20cos( ωt − 100 ) V . Določimo vrednosti elementov, če je ω = 5 kHz .
Izračun: Tvorimo kompleksorja toka in napetosti: I = 5e j 45 A in U = 20e − j10 V . Določimo
0
U 20e − j10 V
impedanco: Z = = = 4e − j 55
0
j 450
. Sedaj zapišemo v obliki realnega in imaginarnega dela:
I 5e A
Z = 4 ( cos(-550 )+jsin(-550 ) ) ≅ ( 2 ,29 − j 3,28 ) . Očitno bo en element upor vrednosti 2,29 Ω, drug
1
element pa bo kondenzator z reaktanco −3,28 = − ⇒ C = 6 ,1 µF .
ωC
Dodatno: Določite elementa vzporedne vezave vezij za enak tok in napetost.
Izračun: R ≅ 6,98 , C ≅ 97 ,66 µF .
Vprašanja za obnovo:
1) Kako analizirano vezja, ki so vzbujana z izmeničnimi signali?
2) Kompleksno število: računanje s kompleksnimi števili, Eulerjev obrazec, zapis signala s
kompleksorjem, prehod iz časovnega signala v kompleksni zapis in obratno.
3) Zveze med kompleksorji toka in napetosti na uporu, tuljavi in kondenzatorju.
4) Zapis Kirchoffovih zakonov s kompleksorji.
5) Definicija impedance in admitance. Impedanca in admitanca posameznih elemenotv
vezja.
6) Definicija reaktance in susceptance. Reaktanca in susceptanca tuljave in kondenzatorja.
7) Zaporedna in vzporedna vezava impedanc in admitanc.
Primeri izpitnih in kolokvijskih nalog
Izpit, 19. 11. 2004
Izpit 20. 06. 2005 (4)
Izpit, 17. 4. 2003 (3)
Izpit, 17. 09.2002 (3)
Izpit, 17.04.2003
Izpit, 11.12.2002 (3)
15/15

226. Izmenični signali, kompleksna moč 21.
Moč s kompleksnim računom
Vsebina: Zapis moči s kompleksnim računom, delovna, jalova, navidezna moč, bilanca moči,
kompenzacija jalove moči, maksimalna moč.
Ugotovili smo že, da moč poljubnega (linearnega) dvopola niha z dvojno frekvenco vzbujalnega
Um Im U I
signala okoli povprečne – delovne moči P = cos(ϕ ) . Moč niha s amplitudo S = m m okoli
2 2
povprečne (delovne) moči. S imenujemo navidezna moč. Jalovo moč, ki je definirana kot
Um Im
Q= sin(ϕ ) direktno iz časovnega signala moči ne moremo razbrati (razen če je breme čisto
2
kapacitivno ali induktivno), lahko pa jo določimo iz. t.i. trikotnika moči, saj velja S 2 = P 2 + Q 2 .
Lahko pa časovni signal moči razdelimo na dva signala: enega, ki je vedno pozitiven in niha okoli
povprečne moči. To je skupna moč na uporih. Drug signal niha okoli ničle in predstavlja moč na
Um Im
tuljavah in kondenzatorjih, ki je v povprečju enaka nič, njena amplituda pa je Q = sin(ϕ ) .
2
SLIKA: Prikaz časovnega signala moči in razdelitev na dva signala: enega, ki predstavlja
moč na uporih in enega, ki predstavlja moč na tuljavah in kondenzatorjih.
Navidezno moč lahko zapišemo tudi s kompleksorjem v obliki
S = P + jQ , (21.1)
oziroma
S = S ( cos(ϕ ) + j sin(ϕ ) ) = Se jϕ (21.2)
Fazni kot je razlika faznih kotov napetostnega in tokovnega signala: ϕ = ϕu − ϕi . Če to upoštevamo
I mU m jϕu − jϕi
v enačbi (21.2), lahko kompleksor moči zapišemo v obliki S = e e , oziroma kot
2
1/10

227. Izmenični signali, kompleksna moč 21.
1
S = U ⋅I ,
*
(21.3)
2
pri čemer sta U = U m e jϕu in I = I m e jϕi kompeksorja napetosti in toka. Pri izračunu moči s
kompleksorji je torej potrebno upoštevati konjugirano vrednost kompleksorja toka.
Če pri enačbi (21.3) upoštevamo še Ohmov zakon v kompleksnem zapisu, dobimo uporabne zveze:
1 1 2 1 1
S= I Z I = I Z = I 2 Z = U 2Y
* *
(21.4)
2 2 2 2
Delovna moč predstavlja realno, jalova pa imaginarno komponento kompeksorja navidezne moči,
1  1
P = Re {S } = Re  I 2 Z  = I 2 Re {Z } (21.5)
2  2
1  1
Q = Im {S } = Im  I 2 Z  = I 2 Im {Z } (21.6)
2  2
Pri gornjih zapisih je potrebno biti previden v toliko, da se zavedamo, da smo tvorili kompleksorje
toka in napetosti z upoštevanjem amplitude časovnega signala. Pogosto se v literaturi pojavljajo
tudi oblike zapisa moči z upoštevanjem efektivnih vrednosti toka in napetosti, ki so od
maksimalnih pri harmoničnih signalih manjše za 2 . Primer zapisa z efektivnimi vrednostmi toka
in napetosti bi torej bil S = U ef ⋅ I ef , pri čemer se pogosto index ef kar izpušča. Za pravilno uporabe
*
formule za moč moramo torej vedeti, da pri uporabi amplitud signalov upoštevamo faktor 1 , pri
2
efektivnih pa je že upoštevan.
Primer: Izračunajmo delovno, jalovo in navidezno moč vezja na
sliki, ki je vzbujano z napetostnim signalom u (t ) = 50sin(ωt ) V .
R1 = 10 , R2 = 5 , L = 100 mH, ω = 50 s-1 .
Izračun: V konkretnem primeru je najenostavneje izračunati admitanco vezja, ki je enaka
1 1
Y= + , kar je z vstavitvijo vrednosti enako
R1 R2 + jω L
1 1 1− j
Y= + = 0,1 S + S = 0,1(2 - j ) S . Za določitev moči zadostuje
10 (5 + j 50 ⋅ 0,1) 10
poznavanje absolutne vrednosti napetosti (ali toka). Dobimo
2/10

228. Izmenični signali, kompleksna moč 21.
1 1
S = U 2 Y = ( 50 V) ⋅ 0,1(2 + j )S = 125(2 + j ) VA , torej je delovna moč 250 W, jalova 125
* 2
2 2
P
Var-ov, navidezna pa 279,5 VA. Faktor moči je cos(ϕ ) = = 0, 45 .
S
Dodatno: vprašajmo se o močeh na posameznih elementih vezja. Naredimo primerjavo tako, da
izračunamo posebej moč na uporu R1 in R2. Moč na uporu R1 lahko izračunamo neposredno, saj je
U 2 ( 50V)
2
na tem uporu celotna priključena napetost in je torej PR1 = = = 125 W . Moč na uporu
2 R1 2 ⋅10
U
R2 dobimo iz toka skozi ta upor, ki je I2 = , oziroma amplituda toka
R2 + jω L
U 1
I2 = = 7, 07 A . Moč na tem uporu bo torej P = ( 7, 07 A) 5 = 125 W .
2
R2 + (ω L ) 2
2 2
Oglejmo si še sliko, ki prikazuje posamezne prispevke moči v vezju ter seštevek.
600
p(R1)
p(R2)
p(L)
500
p(vezja)
400
Posamezne komponente moci
300
200
100
0
-100
-200
0 1 2 3 4 5 6 7
ωt
SLIKA: Posamezne komponente moči na elementih vezja in skupna moč. Moč niha z dvojno
frekvenco, na uporih je vedno pozitivna, na tuljavi pa niha okoli ničle. Amplituda izmenjalne moči je
jalova moč (125 VAr-ov), amplitudi posameznih delovnih moči pa sta tudi 125 W, skupaj 250 W.
(moc2.m)
3/10

229. Izmenični signali, kompleksna moč 21.
Bilanca moči. Vzemi primer iz prejšnjega poglavja in izračunajmo moč, ki jo v vezje pošilja
napetostni generator. Ugotovimo lahko, da je ta moč pg (t ) = u g (t ) ⋅ ig (t ) enaka moči vezja. Torej je
moč, ki jo generator pošilja v vezje enaka potrošeni moči. Lahko ugotovimo še več: to moč lahko
razdelimo v jalovo in delovno in ugotovimo, da mora veljati tudi ta bilanca. Poleg tega velja tudi
splošno, za več generatorjev.
Vsota moči virov (generatorjev) = vsota moči na bremenih vezja
Primer: Kot primer lahko vzamemo kar prejšnji primer, kjer smo že ugotovili, da je moč na uporih
enaka 2x125 W, na tuljavi pa 125 Var-ov, skupaj torej S = 125(2 + j ) VA . Tok v vezje dobimo iz
admitance in bo I = U ⋅ Y = 50 V ⋅ 0,1(2 - j ) S = 5(2 - j )A . Moč v vezje bo torej
1 1
S = U ⋅ I = U 2 Y , kar pa je ista enačba, s katero smo že izračunali moč vezja.
* *
2 2
Kompenzacija jalove moči
Večina električnih naprav ima induktivni karakter, saj za pretvarjanje iz električne v mehansko
energijo potrebujejo razna navitja. To so predvsem razni motorji, transformatorji, dušilke, varilni
aparati, indukcijske peči, fluorescenčne svetilke in podobno. Ti potrebujejo energijo za
vzpostavljanje in »zmanjševanje« magnetnega polja, ki se manifestira v izmenjalni moči, ta pa v
jalovi moči, ki je definirana kot amplituda te izmenjalne moči. Ta moč je potrebna a delovanje
električnih naprav, torej se ji ne moremo izogniti. Bremeni pa ta moč električno omrežje in jo v tem
smislu porabnik tudi plačuje. Jalovo moč je navzven mogoče do določene mere kompenzirati, to
pomeni, da bremenu dodamo elemente, ki izmenjujejo energijo z bremenom. V ta namen se
uporablja vzporedno vezavo kondenzatorjev. Ločimo popolno in nepopolno kompenzacijo. Pri
popolni kompenzaciji breme navzven deluje kot ohmsko, torej je jalova moč navzven enaka nič. Pri
nepopolni kompenzaciji pa jalovo moč le zmanjšamo do določene mere. Pogosto za mero
kompenzacije uporabimo faktor delavnosti cos(ϕ ) . Popolna kompenzacija terja, da je faktor
delavnosti enak 1.
Primer: Določimo velikost kompenzacijskega kondenzatorja (kondezatorjev) za popolno
kompenzacijo bremena iz primera 1. Kondenzator(je) vežemo vzporedno bremenu.
4/10

230. Izmenični signali, kompleksna moč 21.
Izračun: Tudi pri priključenem kondenzatorju je (jalova) moč tuljave še vedno enaka 125 Var-ov,
zapišimo jo kot QL = 125 VAr . Ta je pozitivnega predznaka, ki jo kompenziramo z reaktivno
1 1 1
jQC = U 2 Y C = U 2 (− jωC ) , oziroma QC = − U 2ωC .
*
(jalovo) močjo kondezatorja, ki bo
2 2 2
2 ⋅125VAr
Veljati mora QL + QC = 0 , oziroma C = = 2 mF *.
U ⋅ω
2
SLIKA: Trikotnik moči s prikazom popolne kompenzacije jalove moči.
Pogosto ne želimo ali pa ne potrebujemo popolne kompenzacije delovne moči. V tem primeru
uporabimo kondenzatorje za zmanjšanje, ne pa tudi izničenje jalove moči. Poglejmo kar primer.
Primer: Vzemimo, da želimo za kompenzacijo moči iz primera 1 in 2 uporabiti kondenzator s
kapacitivnostjo 0,5 mF. Za koliko procentov bomo zmanjšali jalovo energijo?
Izračun: Z uporabo enakih zvez kot v primeru 2 ugotovimo jalovo komponento moči na
1
kondenzatorju, ki bo QC = − U 2ωC = −31, 25VAr . Celotno jalovo komponento bomo zmanjšali
2
za 125 VAr - 31, 25 VAr = 93, 75 VAr , kar je za 25%. Izračunajmo še faktor moči, ki bo sedaj
P
S = P 2 + Q 2 = 267 VA in cos(ϕ ) = ≅ 0,94 .
S
SLIKA: Trikotnik moči z delno kompenzacijo jalove moči.
*
To je precejšnja vrednost za kapacitivnost. V praksi je za izračun primerne kompenzacije potrebno vzeti v obzir vse
stroške, torej tudi stroške nabave in vzdrževanja kondenzatorjev, dielektrične izgube, kot tudi število obratovalnih ur v
višji in nižji tarifi itd.
5/10

231. Izmenični signali, kompleksna moč 21.
400 celotna moc
moc na R1 in R2
Moc / W
moc na C in L
200
0
S=279.5085 Q=125
P=250
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
cas / s
a)
400 celotna moc
moc na R1 in R2
Moc / W
moc na C in L
200
0
S=257.6941 Q=62.5
P=250
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
cas / s
b)
400 celotna moc
moc na R1 in R2
Moc / W
moc na C in L
200
0
S=250 Q=0
P=250
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
cas / s
c)
SLIKA: Celotna moč, moč na uporih R1 in R2 ter moč na C in L pri a) nekompenziranem vezju, b)
delno kompenziranem vezju (C = 1 mF) in c) popolnom kompenziranem vezju (C = 2 mF).
(RL_kompenzacija_moci.m)
6/10

232. Izmenični signali, kompleksna moč 21.
800 800
600 600
400 400
S, P, Q /VA
S, P, Q /VA
200 200
S
P
0 0 Q
-200 -200
S
P
-400 Q -400
-600 -600
-7 -6 -5 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 5 6 7
10 10 10 10 10 10
C/F C/F -3
x 10
SLIKA: Spreminjanje S, P in Q s spreminjanjem vrednosti kompenzacijskega kondezatorja.
Na desni linearna, na levi logaritemska skala abscise. Ko je Q = 0 Varov, je navidezna moč (S)
najmanjša in enaka delovni moči (P). (RRL_kompenzacija_moci.m)
Prilagoditev bremena – maksimalna delovna moč
V katerem primeru bo moč na bremenu največja? Enako vprašanje smo si zastavili tudi pri
enosmernih vezjih in prišli do zaključka, da bo to tedaj, ko bo upornost bremena enaka nadomestni
notranji upornosti gledano s sponk bremena. Pogosto smo jo določili kot Theveninovo ali
Nortonovo nadomestno upornost. Tudi pri vezjih z izmeničnimi signali ni dosti drugače.
Ogledati si moramo razmere, ko na realni vir, ki ga lahko opišemo s kompleksorjema napetosti
generatorja U g in notranje kompleksne upornosti generatorja Z g , priključimo kompleksno breme
Z b . Moč na bremenu dobimo kot realni del kompleksorja navidezne moči P = Re {S b } in je
1 2 1
P= I Re {Z b } = I 2 Rb . Amplitudo toka dobimo iz preproste zveze
2 2
U g = I ( Z g + Z b ) = I ( Rg + Rb + j ( X g + X b ) ) od koder izpeljemo
2
1 Ug
Pb = Rb . (21.7)
2 ( Rg + Rb ) 2 + ( X g + X b ) 2
Sedaj se vprašamo, v katerem primeru bo ta moč največja. Vsekakor tedaj, ko bo imenovalec čim
manjši, to pa bo tedaj, ko bo
7/10

233. Izmenični signali, kompleksna moč 21.
X g = −Xb . (21.8)
Najprimernejši ohmski upornosti pa bi dobili z odvajanjem moči po določeni upornosti. Ugotovili
bi podobno kot pri enosmernih vezjih, da bo delovna moč največja tedaj, kot bosta ohmski
upornosti bremena in generatorja enaki:
Rg = Rb . (21.9)
Če združimo ugotovitve o reaktivnih in ohmskih komponentah v en zapis, lahko zapišemo pogoj za
maksimalno delovno moč na bremenu
Z g = Zb
*
(21.10)
In seveda tudi obratno, Z b = Z g . Ko to velja rečemo tudi, da je breme prilagojeno na
*
harmoničen vir.
Pogoja za maksimalno moč (21.8) in (21.9) vstavimo v enačbo (21.7) in dobimo†
2
Ug
Pb ,max = (21.11)
8 Rg
Primer: Vir z notranjo upornostjo, ki jo predstavimo z zaporedno vezavo upora Rg = 10 in
tuljave z X L = ω L = 10 je priključen na breme iz vzporedno vezanega upora in kondezatorja.
Določimo vrednosti bremenskih upornosti, da bo na bremenu maksimalna moč. ω = 104 s -1 .
1 1 1 1+ j
Izračun: Veljati mora Z b = Z g , torej tudi Y b = = = S=
*
S . Ker je
Z g Rb − jω L 10 − j10
*
20
Y b = Gb + jωC , mora biti ob izpolnitvi pogoja za maksimalno moč na bremenu
1 1
Gb = S ⇒ Rb = 20 in C = = 5 µF .
20 ω ⋅ 20
SLIKA: Vezje priključeno na kompleksno breme.
2
U g ,ef
†
Če je kompleksor napetosti določen iz efektivne vrednosti, velja U g ,ef = U g / 2 in Pb ,max = -
4 Rg
8/10

234. Izmenični signali, kompleksna moč 21.
45
40
35
30
25
Moc / W
20
15
10
5
0
-7 -6 -5 -4 -3 -2
10 10 10 10 10 10
Kapacitivnost / F
SLIKA: Slika prikazuje delovno moč na bremenu pri spreminjanju kapacitivnosti za različne
upornosti bremena. Upornosti se vrstijo od 5 Ω, 20 Ω, 35 Ω in 50 Ω. Največjo moč dosežemo (kot
pričakovano) pri kapacitivnosti 5 µF in upornosti bremena 20 Ω. (maxmoc.m)
% maksimalna moc, Matlab program
Rg=10; L=1e-3; om=1e4; Rb=20; U=60;
Zg=Rg+j*om*L;
for Rb=5:15:50
ii=2:0.01:7;
C=10.^(-ii);
Yb=1/Rb+j*om.*C;
Zb=1./Yb;
I=U./(Zg+Zb);
Pb=0.5*I.*conj(I).*real(Zb);
semilogx(C,Pb)
hold on
end
xlabel('Kapacitivnost / F')
ylabel('Moc / W')
Maksimalna moč pri le ohmskem ali le induktivnem bremenu
Kaj pa če ne moremo poljubno izbirati vseh komponent? Na primer, da ima vir le ohmsko ali pa le
induktivno breme. Potem ugotovimo, da lahko Z g = Z b pomnožimo s konjugiranimi vrednostmi in
*
dobimo pravilo, da morajo biti enake absolutne vrednosti bremena in vira:
9/10

235. Izmenični signali, kompleksna moč 21.
Zb = Z g (21.12)
Če imamo na razpolago le Rb ne pa tudi Xb, mora biti le ta za maksimalno moč enak Rb = Z g .
2
Ug
Ustrezno se spremeni tudi izraz za maksimalno moč, ki bo sedaj Pb,max = . (21.13)
4 ( Rg + Z g )
Za obnovo:
1) Izračun moči s kompleksorjem toka in napetosti.
2) Zapis kompleksne moči z delovno in jalovo komponento. Trikotni moči.
3) Različni zapisi moči z upoštevanjem Ohmovega zakona.
4) Tellegenov stavek – bilanca moči.
5) Kompenzacija jalove moči. Priključitev kondenzatorja. Popolna in nepopolna
kompenzacija. Izračun potrebne velikost kondenzatorja.
6) Prilagoditev moči – maksimalna moč na bremenu: kdaj nastopi, pogoj če je breme
kompleksno ali če je čisto realno (upor). Kako določimo potrebno velikost bremena za
optimalno prilagoditev? Enačba za določitev maksimalne moči.
Primeri izpitnih in kolokvijskih nalog
Izpit, 9. junij 2005
izpit, 14. junij 2006
izpit, 20. junij 2006 (5)
izpit, 14. junij 2006
2. kolokvij, 16. junij 2004
2. kolokvij, 13. 06.2002
10/10

236. Izmenični signali - Resonanca 22.
Resonančni pojav
Equation Section 2 2
Vsebina: Zaporedni in vzporedni nihajni krog ali tokovna in napetostna resonanca. Pogo za
resonanco in določitev resonančne frekvence in bočnih frekvenc. Dodatni pojmi kot npr.
pasovna širina, normirana pasovna širina, kvaliteta vezja, dušenje, razglašenost.
V vezjih s harmoničnimi signali je posebno zanimiv pojav, ko na zunanjih sponkah vezja (pa tudi
na določenih elementih vezja) pri določeni frekvenci dosežemo izrazito visoke napetosti ali toke.
Tej frekvenci rečemo resonančna frekvenca, vezje pa je tedaj v resonanci. Podrobneje si bomo
pogledali le vezji z zaporedno ali vzporedno vezavo upora, kondenzatorja in tuljave. Ti vezji
imenujemo tudi zaporedni in vzporedni nihajni krog.
Resonančne pojave v elektrotehniki pogosto koristno uporabimo za različna filtriranja ali
prilagoditve, lahko pa so tudi nezaželeni (samozagon motorjev, itd).
Zaporedni nihajni krog - tokovna resonanca
SLIKA: Zaporedni nihajni krog.
Vzemimo najprej primer zaporednega nihajnega kroga, ki ga sestavljajo zaporedna vezava
kondenzatorja, upora in tuljave. Na vhod priključimo napetostni harmonični vir u (t ) = U cos(ωt ) .
Napetosti na kondenzatorju in tuljavi sta fazno zamaknjeni za π , rečemo tudi, da sta v protifazi.
Ko je trenutna moč na tuljavi v naraščanju, je na kondenzatorju v upadanju. Njuna vsota je v
resonanci enaka nič. Kompleksorji napetosti na posameznih elementih vezja so:
U R = IR
U L = I jω L
1
UC = I
jωC
1/10

237. Izmenični signali - Resonanca 22.
1 1 1 1
Moči določimo kot P = I 2 R , QL = I 2ω L in QC = − I 2 . Pri nizkih frekvencah (pred
2 2 2 ωC
resonančno frekvenco) je amplituda moči na kondenzatorju velika, saj je na njem velika napetost. Z
višanjem frekvence se povečuje moč na tuljavi, ki je ves čas v protifazi z močjo na kondenzatorju
(ti moči se torej (gledano iz zunanjih sponk) odštevata). Z bližanjem resonančni frekvenci se
povečuje tok skozi zaporedno vezavo in s tem tudi moč na uporu. V resonanci sta moči na tuljavi
in kondenzatorju v protifazi in se s stališča zunanjih sponk popolnoma kompenzirata. Tedaj je
»breme« čisto ohmsko, napetost in tok sta v fazi, tok je maksimalen in enak U/R.
SLIKA: Kompleksorji napetosti in toka pred, pri in po resonančni frekvenco.
Energija je integral moči. Na uporu se energija porablja, na tuljavi in kondenzatorju pa se
shranjuje v obliki magnetnega in električnega polja. V resonanci je vezje čisto ohmsko, energija
tuljave in kondenzatorja se izmenjuje 2x v periodi.
frekvenca = 5011.8723
1
napetost
0.5 tok
Napetost in tok
0
-0.5
-1
0 1 2 3 4 5
Cas /s x 10
-4
0.02
p
0.01 pR
pL
Moc
0 pC
-0.01
-0.02
0 1 2 3 4 5 6
Cas /s x 10
-4
-7
x 10
6
wC
wL
4
Energija
2
0
0 1 2 3 4 5 6
-4
x 10
2/10

238. Izmenični signali - Resonanca 22.
SLIKA: Prikaz napetosti in toka (zgoraj), moči na posameznih elementih vezja (sredina) in
energija na kondenzatorju in tuljavi v resonanci. Tok in napetost na zunanjih sponkah sta v
fazi, moči na tuljavi in kondenzatorju sta v protifazi in se odštevata, energija med
kondenzatorjem in tuljavo se izmenja 2x v periodi signala.
Izračun resonančne frekvence in toka pri resonanci.
1  1 
U = U R + U L + U C = IR + I jω L + I = I  R + jω L +  = IZ .
jωC  jωC 
1
Impedanca vezja je torej: Z = R + jω L − j .
ωC
U U U
Tok v vezje je I = = = . Tok bo maksimalen, ko bo
Z  1   1 
2
R + j  ωL −  R +  ωL −
2
 ωC  
 ωC 
 1 
absolutna vrednost impedance najmanjša, ta pa bo tedaj, ko bo  ω L −  = 0 , kar bo pri t.i.
 ωC 
1
resonančni frekvenci ω0 = .
LC
Pri tej frekvenci bo imaginarni del impedance enak nič, impedanca vezja bo čisto ohmska, tok v
vezje pa bo največji. Enak bo
I ( f = f0 ) = I 0 = U / R .
Vezje bo torej v resonanci tedaj, ko bo navzven (na zunanjih sponkah) čisto ohmsko: tok in
napetost bosta v fazi. Pogoj za resonanco zaporedne vezave RLC je
ϕ = ϕu − ϕi = 0 , (22.1)
oziroma, ko je
Im {Z } = 0 (22.2)
oziroma, ko je
Im {Y } = 0 . (22.3)
Za izračun resonance vezja je primerna enačba (22.1) ali (22.2) ali (22.3), odvisno pač od tega, s
katero obliko lažje pridemo do izračuna. Potrebno pa je poudariti, da je lahko pri vezjih, ki niso
primer zaporedne ali vzporedne vezave upora, kondenzatorja in tuljave maksimum amplitude toka
ali napetosti dosežen tudi pri različnih vrednostih kot izhajajo iz gornjih pogojev. Značilnost
resonančnega pojava je v tem, da tedaj prihaja do usklajenega prehajanja energije iz elementov
3/10

239. Izmenični signali - Resonanca 22.
vezja, ki shranjujejo energijo v magnetnem polju (tuljave) v elemente, ki shranjujejo energijo v
električnem polju (kondenzatorji). Zaradi tega so napetosti ali toki na elementih vezja v resonanci
lahko mnogo večji kot na vhodnih sponkah. Razlog, da le te niso največje na vhodnih sponkah je v
tem, da so ti toki ali napetosti v vezju v protifazi (zamaknjeni za 1800 ali blizu) in se navzven med
seboj odštevajo.
Lastnosti resonančnega vezja opisujemo z naslednjimi parametri:
Razglašenost vezja je določena z izrazom
ω ω0
β= − , (22.4)
ω0 ω
Kvaliteta vezja je določena s kvocientom moči na reaktivnem elementu in delovno močjo
QX 0
Q= (22.5)
P
1 2 1 1 1
kjer je QX 0 = I ω0 L = I 2 in P = I 2 R , torej
2 2 ω0 C 2
ω0 L L/C
Q= = (22.6)
R R
Kvaliteta vezja je mera za »ozkost« resonančne krivulje. Bolj kot je krivulja ozka (strma okoli
resonančne frekvence), večja je njena kvaliteta. V primeru zaporedne vezave elementov R, L, C je
kvaliteta večja pri manjši upornosti.
Dušenje je soroden pojem kot kvaliteta, saj je definiran kot recipročna vrednost kvalitete
D = 1/Q.
Bočni frekvenci in pasovna širina
SLIKA: Tok kot funkcija frekvence. Označimo resonančno frekvenco f 0 , tok pri resonančni
frekvenci I 0 = I ( f = f 0 ) , ter spodnjo in zgornjo bočno frekvenco ( f1 in f 2 ), ki nastopita pri
I0
ter pasovno širino.
2
4/10

240. Izmenični signali - Resonanca 22.
Bočni frekvenci (f2 in f1) sta določeni pri vrednostih toka, ki je od maksimalne vrednosti manjši za
2.
Razlika med zgornjo in spodnjo bočno frekvenco je pasovna širina vezja
B = f 2 − f1 . Poznamo tudi normirano pasovno širino, ki je pasovna širina deljena z resonančno
f 2 − f1
frekvenco: Bnorm = . Kvaliteta je definirana tudi kot recipročna vrednost normirane pasovne
f0
1 f0
širine Q = = .
Bnorm f 2 − f1
Določimo pasovno širino za serijsko resonančno vezje. Poiskati moramo frekvenci, pri kateri pade
U I max U
amplituda za 2 . Veljati mora I( ω1,2 ) = = = . Enačbi bo zadoščeno,
2
 2 R 2
1 
R 2 +  ω1,2 L − 
 ω1,2C 
2
 1  1 1
če bo R +  ω1,2 L −
2
 = 2 R oziroma ω1,2 L −
2
= R , to pa bo tedaj, ko bo ω1 L − = − R in
 ω1,2C  ω1,2C ω1C
ω2 L −
1
= R . Če enačbi seštejemo, dobimo zvezo LC =
1 1
= 2 oziroma f 02 = f1 f 2 . Če pa
ω2C ω1ω2 ω0
R
enačbi odštejemo izpeljemo zvezo Bnorm = .
ω0 L
1
Da bi določili pasovno širino, moramo rešiti kvadratno enačbo, saj iz ω1 L − = − R sledi
ω1C
2 2
 R 
in ω1 =   + ω02 − .
1 R R R
ω12 L − = ω1 R . Rešitvi za ω1 in ω2 sta: ω2 =   + ω0 +
2
 
C  2L  2L  2L  2L
5/10

241. Izmenični signali - Resonanca 22.
DODATNI SLIKOVNI MATERIAL:
Slika A: Prikaz toka kot funkcijo frekvence (resonančna krivulja) za konkretne podatke za tri
različne vrednosti upornosti. Opazujemo lahko obliko krivulj, spreminjanje faznega kota in
kvaliteto vezja.
Slika B: Prikaz ohmskih upornosti kot funkcijo frekvence.
Slika C: Prikaz časovnega signala toka in napetosti ter moči na posameznih elementih pri različnih
frekvencah (pred, po in pri resonanci).
-3
x 10
8
6
Tok / A
4
2
0
3 4 5
10 10 10
f / Hz
2
1
fazni kot / rd
0
-1
-2
3 4 5
10 10 10
f / Hz
SLIKA A: Primer zaporedne resonance pri vrednostih elementov L = 10 mH, C = 10 µF, R = 100 Ω
(polna črta), 316 Ω (prekinjena črta) in 1000 Ω (pikčasta črta). Pri manjši upornosti je krivulja toka
bolj ozka, kar določimo tudi s pasovno širino ali kvaliteto nihanjega kroga. Na spodnji sliki vidimo
spreminjanje faznega kota, ki je pri resonančni frekvenci enak nič. Skala na abscisi je logaritemska.
(RLC2.m)
6/10

242. Izmenični signali - Resonanca 22.
2500
2000
1500
Upornosti / Ohm
1000
500
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
f / Hz
SLIKA B: Spreminjanje posamezne upornosti s frekvenco. Pri resonančni frekvenci sta reaktanci
tuljave in kondenzatorja enaki. (RLC2.m)
501.187
1 1995.26
1
napetost
napetost
tok
tok
0.5
0.5
Napetost in tok
Napetost in tok
0 0
-0.5 -0.5
-1 -1
0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5
-3 -3
x 10 x 10
-4 -3
x 10 x 10
2 1
p p
pR pR
pL 0.5 pL
pC pC
Moc
Moc
0 0
-0.5
-2 -1
0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
-3 -3
x 10 x 10
19952.6
1
napetost
5011.87
tok
1
napetost 0.5
Napetost in tok
tok
0.5
Napetost in tok
0
0
-0.5
-0.5
-1
0 0.5 1 1.5
-1 -4
0 1 2 3 4 5 x 10
-4 -4
x 10 x 10
5
0.02 p
p pR
pR pL
0.01 pL pC
pC
Moc
0
Moc
0
-0.01
-0.02 -5
0 2 4 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
-4 -4
x 10 x 10
SLIKA C: Zgoraj: prikaz časovnega signala napetosti in toka pred (levo zgoraj, f = 901 Hz), tik pred
(desno zgoraj, f = 2000 Hz) pri (levo spodaj, f = 5011 Hz) in za (desno spodaj, f = 901 Hz) resonančno
frekvenco. Spodaj: Moč na uporu (pR), moč na tuljavi (pL), moč na kondenzatorju (pC) in skupna
moč (p): Jalova moč v resonanci je enaka nič, na posameznih reaktivnih elementih (tuljava,
kondenzator) pa je jalova moč velika vendar v protifazi. (RLC3.m)
7/10

243. Izmenični signali - Resonanca 22.
Vzporedni nihajni krog - napetostna resonanca
Imamo vzporedno vezavo upora, kondenzatorja in tuljave.
SLIKA: Vzporedni nihajni krog.
I I
Napetost na sponkah vezja je U = I Z = = . Napetost na sponkah vezja bo
Y  1 
2
G +  ωC −
2

 ωL 
1
maksimalna, ko bo izpolnjen pogoj ωC − = 0 . To pa je tudi tedaj, ko bo admitanca vezja
ωL
1
( Y = G + jωC + ) čisto realna, oziroma, ko bo imaginarni del admitance enak nič. Iz tega sledi,
jω L
1
da bo resonančna frekvenca ω0 = , kar je enako kot pri zaporedni resonanci.
LC
1
Admitanca tega vezja je Y = G + jωC + . Vezje bo v resonanci, ko bo imaginarni del
jω L
1
admitance enak nič, to je, ko bo ωC − =0.
ωL
V čem je torej razlika med »vzporedno« in »zaporedno« resonanco? Razlika je v tem, da je sedaj
pri resonančni frekvenci na zunanjih sponkah maksimalna napetost, pri zaporedni resonanci pa tok.
Vzporedno resonanco zato tudi imenujemo napetostna, zaporedno pa tokovna resonanca.
ω ω0 ωC
Tudi pri vzporedni resonanci lahko govorimo o razglašenosti β = − , kvaliteti Q = 0 in
ω0 ω G
1
pasovni širini B = . Analogno zaporedni resonanci lahko izpeljemo zvezo med bočnima
Q
frekvencama in resonančno frekvenco f 0 = f1 f 2 .
2
8/10

244. Izmenični signali - Resonanca 22.
Druga vezja. Vzemimo primer vezja vzporedno vezanih dveh impedanc: upora in
kondenzatorja v eni veji in tuljave in kondenzatorja v drugi veji. Admitanca vezja bo
1 1
Y= + . S pomočjo analize admitance lahko ugotovimo, da gre za primer
R+
1 R + jω L
jωC
napetostne impedance, ki pa nima maksimuma vedno pri faznem kotu enakem nič. Pri R = 100 Ω
(polna črta) je pri maksimumu impedance (toka) fazni kot enak 600, pri 316 Ω (prekinjena črta)
11,80 in pri 1000 Ω (pikčasta črta) 1,70. Vidimo tudi, da se pri različnih vrednostih upornosti ne
spreminja le amplituda impedance (napetosti), pač pa tudi resonančna frekvenca.
2000
Impedanca / Ohm
1500
1000
500
0
3 4 5
10 10 10
f / Hz
2
1
fazni kot / rd
0
-1
-2
3 4 5
10 10 10
f / Hz
SLIKA: Primer resonance vezja pri faznem kotu, ki je različen od nič. (RLC.m)
9/10

245. Izmenični signali - Resonanca 22.
Vprašanja za obnovo:
1) Kaj je to resonančni pojav? Kaj je značilno za resonančni pojav?
2) Kakšne elemente moramo imeti v vezju, da pride do resonančnega pojava?
3) Kaj je to zaporedni in vzporedni nihajni krog? Kakšen je pogoj za resonanco? Kako
določimo resonančno frekvenco? Kakšen je karakter bremena pri resonanci?
4) Prikaz časovnega poteka toka, napetosti in moči pred in ob resonanci.
5) Prikaz kazalcev napetosti/toka pri resonanci.
6) Razglašenost, kvaliteta vezja, dušenje, bočna frekvenca, pasovna širina.
7) Določitev resonančne frekvence za splošno vezje.
Izpit 19. 1. 2006
Izpit, 28. avgust 2006 (4)
Izpit, 6.02.2003 (4)
10/10

246. * Nizkoprepustni filter
Napetostni harmonični vir priklopimo na zaporedno vezana upor in kondenzator. Zanima
nas napetost na kondenzatorju. Kompleksor te napetosti je
1
jω C 1
UC =U =U
R+
1 1 + jω RC
jω C
Razmerje med amplitudama napetosti na kondenzatorju in vhodne napetosti lahko
označimo kot ojačanje (ali tudi prenosna funkcija)
UC 1
A= = , fazni kot med napetostnima signaloma pa je ϕ = Atan(−ω RC ) .
U 1 + (ω RC )
2
Ojačanje in fazni kot na sliki opisuje zmanjšanje napetosti na kondenzatorju pri višjih
frekvencah. To je tudi sicer pričakovano, saj se upornost kondenzatorja pri izmeničnih
 1 
signalih s frekvenco manjša   , torej se manjša tudi padec napetosti na njej. Hkrati se
 ωC 
spreminja fazni kot izhodnega signala, ki je v konkretnem primeru enak razliki med
faznim kotom napetosti na kondenzatorju in faznim kotom vhodnega napetostnega
signala. Ta je pri nizkih frekvencah enak nič, saj je tedaj na kondenzatorju praktično vsa
vhodna napetost. Pri visokih frekvencah pa bo praktično vsa napetost na uporu, le majhen
del pa na kondenzatorju.

247. 1
Razmerje napetosti
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4
10 10 10 10 10
Frekvenca /Hz
0
Fazni kot /rad
-0.5
-1
-1.5
-2
0 1 2 3 4
10 10 10 10 10
Frekvenca /Hz
SLIKA: Zgoraj: razmerje napetosti na kondenzatorju in na vhodu kot funkcija
frkvence. Spodaj: fazni kot kot funkcija frekvence.
To, da je napetost na kondenzatorju pri višjih frekvencah zelo nizka, lahko smatramo kot
primer preprostega nizkofrekvenčnega (prepustnega) RC filtra (sita), ki »ohrani«
nizkofrekvenčne signale, visokofrekvenčne pa zmanjša oz. »izloči«.
Običajno določimo frekvenco, pri kateri se začne napetost bistveno zmanjševati pri
vrednosti U C = U / 2 = 0,707 ⋅ U . To imenujemo tudi mejna frekvenca f 0 :
1 1 1
= ⇒ 2 = 1 + ( 2πf 0 RC ) ⇒ f 0 =
2
1 + (ω0 RC ) 2πRC
2
2
Pogosto uporabimo logaritemsko merilo za prikaz »ojačanja« filtra in sicer kot
ADb = 20log( A) . Pri ojačanju ena je logaritem enak nič, pri mejni frekvenci pa je ojačanje
enako 20log(0.707) ≅ −3 dB .

248. 0
Razmerje napetosti v Db
-20
-40
-60
0 1 2 3 4
10 10 10 10 10
Frekvenca /Hz
SLIKA: Prikaz razmerja napetosti v decibelih. Bodejev graf.
Poglejmo si preprost primer, ko imamo na vhodu zaporednega RC vezja napetostni signal
sestavljen iz treh frekvenc: u (t ) = U1 cos(ω1t ) + U 2 cos(ω2t ) + U 3 cos(ω3t ) . Vzemimo, da so
vse amplitude enake 10 V, frekvence pa so ω1 = 10 s −1 , ω1 = 102 s −2 , ω1 = 103 s −3 . Vzemimo
še R = 1 k , C = 10 µF .
Vhodni signal vidimo na sliki
30
20
10
Napetost /V
0
-10
-20
-30
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Cas /s
SLIKA: Primer vhodnega signala, sestavljenega iz treh signalov različnih frekvec in
enakih amplitud (10 V).

249. Ta signal »spustimo« skozi RC filter in opazujemo napetost na kondenzatorju1. Ta je
prikazana skupaj z nizkofrekvenčnim signalom na sliki.
30
20
10
Napetost /V
0
-10
-20
-30
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Cas /s
SLIKA: Vhodni signal (modra črta), ki vključuje signal nizke frekvence (rdeča
črta). Izhodna napetost na kondenzatorju pri filtru z R = 1 k , C = 10 µF (črna črta).
Vidimo, da že preprosti RC filter lepo prepusti signal nizke frekvence in mnogo manj
komponent visokih frekvenc. V primerjavi z delom vhodnega signala nizke frekvence pa
lahko ugotovimo, da izhodni signal ni popolnoma identičen nizkofrekvenčnemu, pač pa
ima nekoliko drugačno fazo in tudi amplitudo. To bi lahko pričakovali glede na
frekvenčno odvisnost faze in ojačanja.
Pri tem nismo imeli mejne frekvence optimalno nastavljene, saj je bila približno
1
f0 = ≅ 16 Hz . Če povečamo upornost na 5 kΩ, dobimo mejno frekvenco 3 Hz, ki
2πRC
lepo ohrani nizkofrekvenčni signal in ga tudi mnogo manj »premakne v fazi«.
1
Za izračun določimo kompleksor izhodne napetosti (na kondenzatorju) za vsako frekvenco posebej,
kompleksorje pretvorimo v časovni signal in časovne signale seštejemo. Zaradi različnih frekvenc signalov
ne smemo seštevati posameznih kompleksorjev izhodnih signalov, pač pa jih moramo najprej pretvoriti v
časovni prostor.

250. 30
20
10
Napetost /V
0
-10
-20
-30
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Cas /s
SLIKA: Vhodni signal (modra črta), ki vključuje signal nizke frekvence (rdeča
črta). Izhodna napetost na kondenzatorju pri filtru z R = 5 k , C = 10 µF (črna črta).

251. Izmenični signali, metode reševanja 23.
Izmenični signali – metode reševanja vezij
Vsebina poglavja: Metode za analizo vezij z izmeničnimi signali (metoda Kirchoffovih zakonov,
metoda zančnih tokov, metoda spojiščnih potencialov), stavki (superpozicije, Theveninovo in
Nortonovo nadomestno vezje, Tellegen). Posebnost pri izmeničnih vezjih – obravnava
sklopljenih tuljav.
Načine analize enosmernih vezij smo že spoznali. Pri vezjih z izmeničnimi signali lahko
ugotovimo, da smo z vpeljavo kompleksorjev toka in napetosti vpeljali sorodne relacije: s
kompleksorji smo zapisali Ohmov zakon ter oba Kirchoffova zakona. Za reševanje vezij z
izmeničnimi signali lahko torej uporabimo iste metode reševanja kot pri enosmernih, le s
kompleksorji jih moramo pisati.
Sklopljene tuljave. Imamo pa pri izmeničnih signalih še en poseben slučaj. In sicer magnetno
sklopljene elemente, ki nastopajo v primeru obravnave vezij z najmanj dvema tuljavama, ki si
delita del (ali celoten) fluksa. Ti elementi imajo zaradi sklopitve dodaten padec napetosti na
tuljavi, ki se padcu napetosti zaradi lastne induktivnosti prišteva ali pa odšteva.
O označevanju podpiranja fluksov smo že govorili v prejšnjih poglavjih, torej samo na kratko:
podpiranje (seštevanje) fluksov označimo tako, da postavimo piko v obeh sklopljenih
elementih na začetek ali konec elementa glede na tok v element.
Ta dodatni padec napetosti lahko označimo s posebnim simbolom (romb) in ga imenujemo
tokovno krmiljen napetostni vir. S takimi in podobnimi elementi si pomagamo tudi pri
nadomestnih vezjih bolj zahtevnih elementov, kot so različni tipi nelinearnih elementov
(tranzistorjev, ...).
Primer: V veji s tokom I 1 = 10A je tuljava z X L1 = 10 , ki ima magnetni sklep (k = 0,8) s
tuljavo z X L 2 = 90 v sosednji veji s tokom I 2 = (2 + j 5) A . Fluksa se podpirata. Kolikšna je
napetost na tuljavama?
Izračun: Določiti moramo medsebojno induktivnost oziroma upornost zaradi medsebojne
induktivnosti ω M = ω k L1 L2 = k ω L1 ⋅ ω L2 = k X L1 X L 2 , ki bo 24 Ω. Nato določimo še
padec napetosti kot
1/12

252. Izmenični signali, metode reševanja 23.
U 1 = I 1 ⋅ jX L1 + I 2 ⋅ jX M = 10A ⋅ j10 + (2 + j 5)A ⋅ j 24 = (−120 + j148) A
U 2 = I 2 ⋅ jX L 2 + I 2 ⋅ jX M = (2 + j 5)A ⋅ j 90 +10A ⋅ j 24 + = (−450 + j 420) A
SLIKA: Magnetno sklopljeni tuljavi. Napetost zaradi medsebojne induktivnosti lahko
predstavimo s tokovno krmiljenim napetostnim virom.
Osnovne metode za analizo vezij:
1) Metoda Kirchoffovih zakonov
2) Metoda zančnih tokov
3) Metoda spojiščnih potencialov
Stavki (teoremi):
1) Stavek superpozicije
2) Stavek Thevenina / Nortona
3) Stavek Tellegena
4) Stavek o največji moči
Vse omenjene metode analize in stavkov bomo prikazali na sledečem primeru vezja.
2/12

253. Izmenični signali, metode reševanja 23.
Ig
J3
I1 R1 (2) R2 I2 (3)
(1)
+ I5
Ug ~ J1 L2 J2
I3 C1
L1
I4 (0 V)
SLIKA: Primer vezja za analizo vezij: R1 = 10 Ω, R2 = 5 Ω, C = 5 µF, L1 = 16,67 mH, L2 = 50 mH,
ug = 100 cos(ωt) V, ig = 1 cos(ωt +π/2 ) A, ω = 33,34 s-1. (Matlab: metode.m)
π
Tvorimo kompleksorje impedanc in virov:
1
Z L1 = jω L = j 5 , Z L2 = j15 , ZC = = − j 20 , U g = 100 V , I g = j1 A .
jωC
1. Metoda Kirchoffovih zakonov.
Temelji na uporabi 1. in 2 K. Z.:
1K.Z.: Vsota vseh tokov iz (ali v) spojišča je enaka nič, število enačb = število spojišč -1.
spojišče (1): I 1 + I 4 + I g = 0
spojišče (2): − I 1 + I 3 + I 2 = 0
spojišče (3): − I 2 + I 5 − I g = 0
spojišče (0): ni potrebno, odvečna enačba
2.K. Z.: Vsota vseh napetosti v zanki je enaka nič, število enačb = številu dopolnilnih vej.
zanka J1: I 1 R1 + I 3 Z L 2 + (− I 4 Z L1 ) − U g = 0
zanka J 2 : − I 3 Z L1 + I 2 R2 + I 5 Z C = 0
zanka J 3 : ni potrebna, niti je ne moremo zapisati
Dobimo pet enačb za pet tokov. Reševanje takega sistema je lahko zamudno, običajno nam to
delo poenostavijo računalniki. Mi moramo le poskrbeti, da sistem enačb zapišemo v matrični
obliki. V našem primeru bi tvorili sistem:
3/12

254. Izmenični signali, metode reševanja 23.
1 0 0 1 0   I 1   − j1
 −1 1 1 0 0  I 2   0 
     
 0 −1 0 0 1  ⋅  I 3  =  j1 
     
10 0 j15 − j 5 0   I 4  100 
 0 5 − j15 0 − j 20   I 5   0 
     
To je zapis v obliki A x=b Poglejmo si primer reševanja takega sistema s programom Matlab.
Tvorimo matriko A, ki bo A=[1,0,0,1,0;-1,1,1,0,0;0,-1,0,0,1;10,0,15j,-5j,0;0,5,-15j,0,-20j] in
vektor b, ki bo b=[-j;0;j;100;0]. Matlab ponuja različne načine reševanja sistemov enačb. Še
najbolj enostavno dobimo rešitev tako, da invertiramo matriko A in jo pomnožimo z
vektorjem b: Dobimo rešitev v obliki vektorja z iskanimi toki. Matlab: x=inv(A)*b
Rezultat:
1.0873 - 2.3450i
-0.1135 + 3.1485i
1.2009 - 5.4934i
-1.0873 + 1.3450i
-0.1135 + 4.1485i
Tok I1 bo torej (1,0873-j2,3450) A itd.
Drugi načini reševanja sistema enačb: Lahko uporabimo tudi Kramerjevo pravilo z
reševanjem z determinanto in poddeterminantami, ki pa je nekoliko bolj zamudno.
Determinanto dobimo z ukazom det(A), pri poddeterminantah pa moramo najprej sekvenčno
menjati stolpce z vektorjem b. To naredimo s sledečimi ukazi: D1=A, D1(:,1)=b,
I1=det(D1)/det(D). Dobimo 1.0873 - 2.3450i, kar je seveda rešitev za tok I1. Tretji način je
tako imenovana Gaussova eliminacija (več pri matematiki), kjer enak rezultat dobimo s
preprostim Matlab ukazom x=Ab.
Ig
Analiza vezja v primeru sklopljenih tuljav.
J3
I1 1 (2) R2 I2 (3)
Slika: Enako kot predhodno vezje, le da sta tuljavi (1)
sklopljeni s faktorjem sklopa k. + I5
Ug ~ J1 L2 J2
k
I3 C1
V tem primeru je potrebno upoštevati dodatna padca L1
I4 (0 V)
napetosti na tuljavah, ki sta posledica fluksa iz
4/12

255. Izmenični signali, metode reševanja 23.
sosednjih tuljav. Ta se prišteva ali odšteva od napetosti na tuljavi v skladu z dogovorom o
»pikah«. V konkretnem primeru gre v obeh tuljavah tok najprej skozi tuljavo in potem
»skozi« piko, zato se prispevka prištevata. Določiti je potrebno kompleksno upornost zaradi
medsebojne induktivnosti, ki je:
jω M = jω k L1 L2 = jk ω L1ω L2 = j 0,8 5 Ω ⋅15 Ω ≅ j 6,93 Ω
Napetosti na tuljavi L1 se prišteje prispevek I 3 Z M = I 3 jω M , napetosti na tuljavi L2 pa se
prišteje prispevek I 4 Z M = I 4 jω M .
Za vsoto napetosti v zankah sedaj dobimo enačbe:
zanka J1: I 1 R1 + I 3 Z L 2 + I 4 Z M + (− I 4 Z L1 ) + (− I 3 Z M ) − U g = 0
zanka J 2 : − I 3 Z L1 − I 4 Z M + I 2 R2 + I 5 Z C = 0
zanka J 3 : ni potrebna, niti je ne moremo zapisati
Nova matrika bo torej (spremenjeni sta le zadnji dve vrstici):
1 0 0 1 0   I 1   − j1
 −1 1 1 0 0  I 2   0 
     
 0 −1 0 0 1  ⋅  I 3  =  j1  .
     
10 0 j8, 07 j1, 93 0   I 4  100 
0 5
 − j15 − j 6,93 − j 20   I 5   0 
    
Rešitev je sedaj seveda drugačna: I1=2.0536 - 3.6033i, I2=-2.9026 + 6.8662i, itd.
2. Metoda zančnih tokov.
Označimo zanke z zančnimi toki in zapišemo enačbe v skladu z 2 K.Z. Vejske toke zapišemo
z zančnimi. Število potrebnih enačb je enako številu dopolnilnih vej (ponovi pojme graf,
drevo, veje, dopolnilne veje,... iz OE1).
( J 1 − J 3 ) R1 + ( J 1 − J 2 ) Z L 2 + J 1 Z L1 − U g = 0
( J 2 − J 1 ) Z L 2 + ( J 2 − J 3 ) R2 + J 2 Z C = 0
J3 = Ig
Dobimo sistem treh enačb, ki pa je pravzaprav le sistem dveh, saj je tok v tretji zanki določen
kar s tokom Ig. Če to upoštevamo v naslednjem koraku, dobimo matrični sistem oblike1
 R1 + Z L 2 + Z L1 − jZ L 2   J1  U g + I g R1 
 ⋅ = 
 −Z L 2 R2 + Z L 2 + Z C   J 2   I g R2 
  
10 + j 20 − j15   J1  100 + j10 
oziroma  ⋅ =
 − j15 5 − j 5  J 2  
    j5  
5/12

256. Izmenični signali, metode reševanja 23.
Tudi ta sistem enačb lahko preprosto rešimo z eno od zgoraj omenjenih načinov. Matrika A
bo A=[10+20j,-15j;-15j,5-5j], b pa b=[100+10j;5j]. Rešitev dobimo z ukazom X=inv(A)*b
in dobimo
1.0873 - 1.3450i
-0.1135 + 4.1485i
Zančni tok J1 je torej (1,0873-j1,3450) A. Ta tok je tudi enak toku -I4, kar se lahko prepričamo
iz prejšnje rešitve sistema petih enačb.
3. Metoda spojiščnih potencialov.
Število enačb enako številu spojišč -1. Izhajamo iz tega, da izrazimo toke v vejah s
potenciali spojišč.
Če je v veji upor, izrazimo tok v veji s padcem napetosti na tem uporu, le-to pa izrazimo s
potenciali spojišč, na katera je priključen. Če je v veji le napetostni vir, tok v tej veji izrazimo
s toki v sosednje spojišče (v skladu s 1 KZ). Potencial enega od spojišč lahko poljubno
izberemo (običajno ozemljimo).
V 1 −U g V 1 −V 2
spojišče (1): + + Ig = 0
Z L1 R1
V 2 −V 1 V 2 V 2 −V 3
spojišče (2): + + =0
R1 Z L2 R2
V 3 −V 2 V 3
spojišče (3): + −Ig = 0
R2 ZC
Dobimo sistem treh enačb, ki jih zapišemo v matrični obliki
1/ j 5 + 1/10 −1/10 0  V 1   − j + 100 / j 5
 −1/10 1/10 + 1/ 5 + 1/ j15 −1/ 5  ⋅ V 2  =  0 
     

 0 −1/ 5 1/ 5 − 1/ j 20  V 3  
    j 

Rešitev so spojiščni potenciali, iz katerih lahko nato izračunamo vejske toke, itd.
Izračun z Matlabom: A=[1/5j+1/10,-1/10,0; -1/10,1/10+1/5+1/15j,-1/5;0,-1/5,1/5-1/20j], b=[-
j+100/5j;0;j], inv(A)*b
Rešitev je
93.2751 - 5.4367i
82.4017 +18.0131i
82.9694 + 2.2707i
6/12

257. Izmenični signali, metode reševanja 23.
STAVKI
1) Stavek superpozicije
Če imamo več različnih virov v vezju, lahko pri linearnem vezju odklopimo določen vir in
analiziramo vezje kot vsoto več poenostavljenih vezij. Če so viri različnih frekvenc, ne
smemo izračunanih kompleksorjev tokov preprosto sešteti, saj gre za časovne signale
različnih frekvenc. Seštejemo lahko časovne signale. Z metodo superpozicije lahko
analiziramo tudi vezje, ki vključuje enosmerne in izmenične vire. Odklopljen napetostni vir
nadomestimo s kratkim stikom, tokovni vir pa z odprtimi sponkami.
SLIKA: Razdelitev vezja v dve vezji s posameznimi vključenimi viri.
2) Theveninovo in Nortonovo nadomestno vezje.
Enako kot je veljalo za enosmerna vezja, lahko pri (linearnih) izmeničnih vezjih vezje med
poljubnima dvema sponkama nadomestimo z realnim napetostnim ali tokovnim virom.
Nortonovo nadomestno vezje je ekvivalentno Theveninovemu, le da ga predstavimo z realnim
U Th
tokovnim virom. Velja I N = in Z Th = Z N = 1 / Y N .
Z Th
SLIKA: Theveninovo in Nortonovo nadomestno vezje.
7/12

258. Izmenični signali, metode reševanja 23.
SLIKA: Levo: Nadomestimo vezje med sponkama upora R2 s Theveninovim nadomestnim
virom. Desno: Theveninov nadomestni vir.
Osnovna pravila za izračun elementov Theveninovega (ali Nortonovega) nadomestnega
vezja:
- Theveninovo (ali Nortonovo) nadomestno upornost določimo kot kompleksno
upornost med sponkama, kjer želimo določiti nadomestno vezje. Pri tem
napetostne vire v vezju kratko sklenemo, tokovne pa odklopimo. Za lažje
pomnjenje si lahko pomagamo z vedenjem, da je notranja upornost idealnega
napetostnega vira enaka nič, tokovnega pa neskončna. Velja Z Th = Z N = 1/ Y N .
- V primeru bolj kompleksnega vezja (če ni mogoče kar preprosto seštevati
zaporedno in vzporedno vezane elemente vezja) moramo Theveninovo
upornost določiti tako, da med sponki priključimo poljubno napetost (npr. Kar
1 V) in določimo tok v vezje. Razmerje med njima pa je vhodna impedanca
oziroma Theveninova nadomestna (kompleksna) upornost. Tak primer vezja so
tudi vezja s sklopljenimi elementi.
- Theveninovo nadomestno napetost določimo kot napetost odprtih sponk med
sponkama (seveda pri priključenih virih).
- Vrednost Nortonovega tokovnega vira določimo kot tok kratkega stika med
priključnima sponkama ( I N = I k.s. ) ali iz Theveninove napetosti:
I N = U Th Z Th
Primer: Izračun toka skozi upor R2 z nadomestitvijo vezja med sponkama upora s
Theveninovim nadomestnim virom.
Recimo, da nas zanima le en tok v vezju, ki ga analiziramo. Naj bo to tok skozi upor R2 v že
analiziranem vezju. Poiščimo nadomestno Theveninovo upornost in napetost. Theveninova
upornost je notranja upornost vezja gledana s sponk upora R2, pri čemer tokovni vir
8/12

259. Izmenični signali, metode reševanja 23.
odklopimo (odprte sponke), napetostnega pa kratko sklenemo. Dobimo
Z Th = ( R1 + Z L1 ) Z L 2 + Z C . Zopet si pomagajmo z Matlabom >>ZT=1/(1/(10+5j)+1/(15j))-
20j. Rezultat je Z Th = 4,5 − j14 .
Napetost Thevenina dobimo kot napetost med sponkama odklopljenega upora. Uporabiti
moramo določeno metodo reševanja tudi za izračun te napetosti. Vzemimo za vajo metodo
spojiščnih potencialov, pri kateri upoštevamo, da mora biti vsota tokov v spojišče enaka nič:
V 1 −U g V1  1 1  Ug
+Ig + = 0 ⇒ V1  +  = −I g + .
Z L1 R1 + Z L 2  Z L1 R1 + Z L 2  Z L1
Rešitev z Matlabom: >> V1=(-j+100/5j)/(1/5j+1/(10+15j)). Rezultat je V1=(84-j10,5)V.
Z L2
Napetost Thevenina je U Th = U L 2 + U C = V 1 − I g ZC .
R1 + Z L 2
Rešitev z Matlabom >> UTh=V1*15j/(10+15j)-j*(-20j). Rezultat je UTh = (43+j31,5) V.
U Th 43 + j 31,5 V
Tok skozi upor R2 je torej I R 2 = = = ( −0,1135 + j 3,1485) A .
Z T + R2 4,5 − j14 + 5
Rezultat je enak kot z metodo Kirchoffovih zakonov.
Poskusimo še z metodo zančnih tokov (pri čemer je sedaj upor R2 odklopljen): Napetost
Thevenina bo U Th = ( J 1 − I g ) Z L 2 + ( − I g ) ( Z C ) . Tok J1 dobimo iz zančne enačbe
−U g + J 1 ( R1 + Z L1 + Z L 2 ) − I g ( R1 + Z L 2 ) = 0 , od koder >> J1=(100+j*(10+15j))/(10+20j)
J 1 = ( 2 ,1 − j 3,2 ) A in >> UTh=(J1-j)*15j-j*(-20j) U Th = ( 43 + j 31,5) V .
3) Tellegenov stavek.
Tellegenov stavek pravi, da je vsota moči virov enaka vsoti moči bremen. V obravnavanem
vezju bo moralo veljati
1 1 1 1 1 1 2 1
U g (− I 4 ) + (V 3 − V 1 ) I g = I 42 Z L1 + I 32 Z L 2 + I 52 Z C + I 2 R2 + I12 R1 .
* *
2 2 2 2 2 2 2
Izračunamo z Matlabom: >> PV=0.5*100*(-I(4))+0.5*j*(V(3)-V(1)). Dobimo
S virov = ( 50 ,5 − j122 ,4 ) VA .
Moč na bremenih pa je >> PB=0.5*(I(4)^2*5j+I(3)^2*15j+I(5)^2*(-
20j)+I(2)^2*5+I(1)^2*10). Dobimo S bremen = ( 50,5 − j122 ,4 ) VA .
9/12

260. Izmenični signali, metode reševanja 23.
Vidimo, da sta moči enaki, kar je tudi dober način preverjanja pravilnega rezultata analize
vezja.
Vprašanje: Zakaj smo množili z − I * in ne z I * . Odgovor: Zato, ker moramo upoštevati tok, ki
4 4
izhaja iz + sponke.
4) Maksimalna moč.
O maksimalni moči smo že govorili v poglavju o moči (PONOVI). Zato tokrat bolj na kratko.
Vzemimo primer optimiranja upornosti R2 iz obravnavanega primera tako, da bo na njem
(delovna) moč maksimalna. Iz teorije vemo, da bo to tedaj, ko bo upornost bremena (upora)
enaka absolutni vrednosti Theveninove upornosti, ki je Z Th = 4 ,5 − j14 = 14,7 .
Maksimalna moč pa bo2 >> Pmax=UTh*conj(UTh)/(4*(5+14.7))
2
U Th
Pb ,max = ≈ 36 W .
4 ( R2 + Z Th )
Poleg uporabljene metode lahko uporabimo tudi klasično analizo vezij za določitev
maksimalne moči. Uporaba programov Matlab je dobrodošla tudi v primeru optimiranja
elementov, saj je izračunavanje (linearnih) sistemov enačb izredno hitro. Naredimo preprost
programček, ki povečuje vrednost upora R2 od 1 do 100 Ω, vsakič izračunamo toke in moč na
uporu R2 ter na koncu izrišemo graf. Iz grafa ugotovimo, da bo največja moč dejansko pri
upornosti R2 med 10 in 20. Glede na natančnost izračuna, dobimo maksimum pri vrednosti
upora 15 Ω. Poleg tega odčitamo
maksimalno moč približno 36 W. 40
35
SLIKA: Moč na uporu R2 ima maksimum 30
pri vrednosti, ki je enaka absolutni 25
Moc na R2 / W
vrednosti Theveninove nadomestne 20
upornosti. (Matlab: Moc_na_R2.m)
15
10
5
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
R2 / Ohm
2
S »polovičko« pri izrazih za moč je potrebno biti vedno nekoliko previden. Včasih so moči izražene z
efektivnimi vrednostmi, tedaj je izraz za moč brez polovičke, če pa so z maksimalnimi, pa je potrebno v izrazu
upoštevati ½.
10/12

261. Izmenični signali, metode reševanja 23.
% Program v Matlabu za izris moči na uporu R2
P=[]; % prazen array
for R2=0:1:100 % povečujem upornost od 0 do 100
A=[1,0,0,1,0;-1,1,1,0,0;0,-1,0,0,1;10,0,15j,-5j,0;0,R2,-15j,0,-20j]; % matrika
b=[-j;0;j;100;0];
I=inv(A)*b; % resitev tokov, I(2) je tok skozi upor R2
PR2=0.5*I(2).*conj(I(2))*R2 % izracun moci
P=[P PR2] % shranjevanje vrednosti moci v vektor P
end
plot(0:1:100,P) % izris
xlabel('R2 / Ohm')
ylabel('Moc na R2 / W')
Vprašanja za obnovo:
1) Upoštevanje sklopljenih tuljav pri analizi vezij. Tokovno krmiljen napetostni vir.
2) Metode reševanja vezij: način uporabe, primer.
3) Stavki: superpozicija, Thevenin/Norton, Tellegen, maksimalna moč: primer
uporabe.
izpit, 14. junij 2006
izpit, 28. junij 2006
2 kol. 9.6.1999
11/12

262. Izmenični signali, metode reševanja 23.
* Reševanje bolj kompleksnih vezij s programsko opremo. Programi za analizo vezij, kot
je na primer Spice, najpogosteje uporabljajo kar »preprosto« metodo Kirchoffovih zakonov,
saj reševanje večjega sistema enačb za računalnike ni težava. Reševanje postane težavnejše,
ko v analizi upoštevamo kompleksnejše modele nelinearnih elementov. Ti imajo lahko tudi
modele, ki so opisani z več kot deset parametri. Zaradi zahtevnosti določanja teh parametrov,
pogosto proizvajalci podajajo kar SPICE parametre svojih izdelkov.
SLIKA: Primer SPICE modela Schottky diode 10BQ100 (zaporna napetost 100 V) proizvajalca
International Rectifier. »Preprosto« diodo popišejo z nič manj kot 15 parametri.
12/12

263. Izmenični signali, transformator 24.
Transformator
Vsebina: Zapis enačb transformatorja kot dveh sklopljenih tuljav, napetostna prestava, povezava med
maksimalnim fluksom in napetostjo, neobremenjen transformator in magnetilni tok, obremenjen
transformator in ravnotežni tok, tokovna prestava, enačba magnetnega ravnotežja, ponazoritev
tokov in napetosti na neobremenjenem in obremenjenem transformatorju s kazalci
(kompleksorji), reducirane vrednosti (sekundarne napetosti, toka in impedance bremena),
moč na primarju in bremenu, vhodna impedanca, realni transformator.
SLIKA: Primer različnih tipov transformatorjev podjetja Elma TT. Osnovni informaciji sta
navidezna moč in dimenzije transformatorja. http://www.elmatt.si/
Transformator je primer posebno zanimive električne naprave, ki jo lahko obravnavamo kot
posebno obliko vezja s sklopljenima tuljavama (lahko tudi več sklopljenih tuljav). Zanimiv ni le
teoretično, temveč predvsem zaradi njegove pogoste uporabe. S transformatorjem lahko zvišamo ali
znižamo izmenično napetost, prilagodimo breme, ga uporabimo za merjenja, kot ločilni
transformator, itd.. Ne vsebuje gibljivih delov in je s tem njegova življenjska doba dolga, poleg
1/11

264. Izmenični signali, transformator 24.
tega pa z dokaj dobrim magnetnim sklepom omogoča relativno majhne izgube pri pretvarjanju iz
višje v nižjo napetost in obratno.
V osnovi lahko transformator predstavimo kot dvovhodno vezje s sklopljenima tuljavama. Vhodna
in izhodna stran sta v principu enakovredni, saj lahko z zamenjavo strani zvišamo ali znižamo
izhodno napetost, impedanco, tok.
SLIKA: Transformator je naprava, ki ima dve navitji na skupnem jedru iz feromagnetnega
materiala. Ločimo primarno in sekundarno navitje. a) transformator v obliki dveh navitij na jedru, b)
transformator predstavljen s koncentriranimi elementi in c) transformator kot dvovhodno vezje.
V obliki koncentriranih elementov ga lahko predstavimo s sklopljenima tuljavama. Vzemimo
idealno sklopljeni tuljavi s faktorjem sklopa enak 1. Tedaj bo zveza med lastnima induktivnostima
navitij in medsebojno induktivnostjo sledeča: M = L1 L2 .
Vhodno napetost na eni strani zapišemo kot
U 1 = jω L1 I 1 + jω M I 2 . (24.1)
To stran bomo imenovali primarna, drugo stran pa sekundarna. Primarna stran je običajno
priključena na napajalno napetost (vir), sekundarna pa na breme. Ker smo toka in pike označili
tako, da se fluksa obeh tuljav podpirata, bo napetost na drugi strani (sekundarni) enaka
U 2 = jω L2 I 2 + jω M I 1 . (24.2)
Če iz te enačbe izrazimo vhodni tok, dobimo
U2 L
I1 = − 2 I2. (24.3)
jω M M
Če sedaj to enačbo vstavimo v prvo (24.1), dobimo:
 U2 L 
U 1 = jω L1  − 2 I 2  + jω M I 2 (24.4)
 jω M M 
2/11

265. Izmenični signali, transformator 24.
S preureditvijo dobimo
jω L1  LL 
U1 = U 2 + jω  M − 1 2  I 2 (24.5)
jω M  M 
Ker pa je pri idealnem sklepu (k = 1) M = L1 L2 , je drugi člen enačbe (24.5) enak nič, in je
L1 L1 L1
U1 = U2 = U2 = U2. (24.6)
M L1 L2 L2
Pridemo do zanimivega zaključka, da je izhodna napetost odvisna le od razmerja lastnih
N2
induktivnosti tuljav. Za te pa vemo, da so sorazmerne kvadratu ovojev, saj velja L = , kjer je Rm
Rm
magnetna upornost tuljave in bo torej
U1 L1 N12 Rm N1
= = 2
= =n (24.7)
U2 L2 N 2 Rm N 2
To enačbo lahko zapišemo tudi samo z amplitudami vhodne in izhodne napetosti:
U1 N1
= =n.
U2 N2
Dobili smo mnogim srednješolcem znan izraz, da je razmerje med vhodno in izhodno napetostjo
enako razmerju števila ovojev n. Temu razmerju rečemo tudi napetostna prestava.
Primer: Na primarju s100 ovoji imamo priključen generator izmenične napetosti z amplitudo 320
V. Kolikšno število ovojev potrebujemo za sekundarno navitje , da bo amplituda izhodne napetosti
50 V?
U2 50V
Izračun: N 2 = N1 = 100 ≈ 15, 6.
U1 320V
Napetostna prestava in maksimalni fluks v jedru. Do izraza za napetostno prestavo lahko
pridemo tudi na nekoliko bolj preprost način, če predpostavimo idealni transformator brez
priključenega bremena. Potem je inducirana napetost na primarni strani enaka časovni spremembi
d Φ gl d Φ gl
magnetnega sklepa, torej ui1 = − N1 , na sekundarni pa ui 2 = − N 2 . Če trenutne vrednosti
dt dt
napetosti izrazimo z maksimalnimi (ali efektivnimi), dobimo
3/11

266. Izmenični signali, transformator 24.
U2 N2
= = n . Pogosto se zapis inducirane napetost s spremembo fluksa izkoristi za izpeljavo zveze
U1 N1
d Φ gl
med inducirano napetostjo in fluksom. Če izraz zapišemo s kompleksorji v obliki u i1 = − N1
dt
in predpostavimo, da se glavni fluks spreminja harmonično, bo kompleksor inducirane napetosti na
primarni strani
U i1 = − N1 jω Φ gl . (24.8)
Fluks običajno zapišemo z maksimalno vrednostjo, napetost pa z efektivno. V tem smislu bo
efektivna vrednost inducirane napetosti na primarni strani
Φ gl ,max
U i1,ef = U i1,ef = N1 2π f = 4, 44 fN1Φ gl ,max . (24.9)
2
Na enak način bi lahko zapisali za sekundarno stran U i 2,ef = 4, 44 fN 2Φ gl ,max Ti enačbi pogosto
zasledimo v učbenikih, pa tudi v priročnikih, saj lahko služijo oceni velikosti gostote magnetnega
pretoka v jedru, to pa je pomembno za pravilno dimenzioniranje transformatorja. Enačba je
»nerodna« le v toliko, da je inducirana napetost izražena z efektivno, fluks pa z maksimalno
vrednostjo.
Primer: Enofazni 50 Hz transformator ima na primarni strani 25, na sekundarni pa 300 ovojev.
Jedro ima presek 300 cm2. Določimo največjo gostoto pretoka v jedru, če je transformator na
primarni strani priključen na napetost 250 V (efektivno).
Izračun: 250 V = 4, 44 ⋅ 50 Hz ⋅ 25 ⋅ B ⋅ 300cm 2 , B = 1,5T .
Komentar: v smislu načrtovanja transformatorja bi morali sedaj preveriti, ali smo pri ocenjeni
vrednosti polja posegli v področje magnetilne krivulje, ki se približuje ali celo presega nasičenje. V
tem primeru lahko zaradi izrazite nelinearnosti induktivnosti v tem območju pričakujemo tudi
nelinearno (popačeno glede na vhodni signal) izhodno napetost. Rešitev moramo v tem primeru
iskati v primerni izbiri materiala za jedro, večjem preseku jedra, ...
Magnetilni tok. Vrnimo se še malo na naš zapis enačb transformatorja z lastnimi in medsebojnimi
induktivnostmi. Če so na sekundarni strani sponke odprte, teče na primarni strani tok
U1
I1 = = I1m . (24.10)
jω L1
4/11

267. Izmenični signali, transformator 24.
Temu toku rečemo magnetilni tok, ki je očitno tok, ki povzroča fluks v jedru transformatorja. Ta
tok je v fazi s fluksom.
Obremenjen transformator. Če na sekundarno navitje transformatorja priključimo breme,
U2
rečemo, da je transformator obremenjen. Tedaj tok I2 ni več enak nič, pač pa je − I 2 = I b = .
Zb
Sedaj bomo imeli dva toka, ki magnetita jedro. Celotna magnetna napetost bo torej (glede na
označbe) vsota posameznih magnetnih napetosti:
Θ = N1 I 1 + N 2 I 2 . (24.11)
Ta magnetna napetost bo neodvisna od bremenskega toka, saj se priključena napetost in s tem
inducirana napetost na primarni strani (ki je v idealnih razmerah enaka priključeni napetosti) ni
spremenila. Nespremenjena magnetna napetost bo torej enaka
Θ = N1 I 1m , (24.12)
kjer I1m imenujemo magnetilni tok. Veljati mora torej N1 I 1m = N1 I 1 + N 2 I 2 oziroma s
preureditvijo N1 ( I 1 − I 1m ) = − N 2 I 2 . Razliko celotnega toka v primarju in magnetilnega toka
imenujemo ravnotežni tok: I 1r = I 1 − I 1m . To je tok, ki mora teči v primarnem navitju poleg
magnetilnega. Velja torej
N1 I 1r = − N 2 I 2 . (24.13)
Ta tok bo očitno »držal ravnotežje« vplivu toka I2 na primarni strani, tako, da bo inducirana
napetost nespremenjena.
Povzemimo: Če je transformator neobremenjen, je vhodni tok enak magnetilnemu toku, ki je
potreben za magnetenje (in razmagnetenje jedra). Če pa je transformator obremenjen, je tok
primarja vsota magnetilnega in ravnotežnega toka, pri čemer je magnetilni tok običajno dosti
manjši od ravnotežnega:
N2
I 1 = I 1m + I 1r ≈ I 1r = − I2.
N1
*
Ta pomemben rezultat, da bo razmerje tokov (približno) obratno sorazmerno številu ovojev
zapišimo še enkrat:
I1 1
=− (24.14)
I2 n
*
Negativen predznak pri tokovni prestavi se pogosto v literaturi ne pojavlja. Tu je posledica tega, da tokove pišemo s
kompleksorji in da smo označili tok I2 v nasprotni smeri kot tok bremena.
5/11

268. Izmenični signali, transformator 24.
Ta izraz imenujemo tudi tokovna prestava.
I1 1
Če upoštevamo le absolutne vrednosti tokov, je enačba enaka le brez minusa: = .
I2 n
Primer: Idealni transformator je priključen na izmenično napetost z efektivno vrednostjo 240 V in
ima na sekundarju z napetostjo 12 V (efektivno) priključeno 150 W žarnico. Določimo napetostno
prestavo in tok bremena in tok primarja.
N1 240 V P 150 W I 12,5 A
Izračun: n = = = 20 . I b = b = = 12, 5A , I1 = b = = 0,625 A .
N 2 12 V U2 12 V n 20
Združeni enačbi (24.11) in (24.12) imenujemo tudi enačba magnetnega ravnotežja
N1 I 1 + N 2 I 2 = N1 I 1m , (24.15)
saj pove, da je v idealiziranem transformatorju rezultatna (celotna) magnetna napetost konstantna –
neodvisna od obremenitve. To pa tudi pomeni, da je v idealnem transformatorju glavni fluks v
jedru neodvisen od obremenitve, enak je v primeru, ko je transformator neobremenjen kot tedaj, ko
je obremenjen. Pri realnem transformatorju se zaradi izgub glavni fluks pri obremenitvi celo
nekoliko zmanjša.
Ponazoritev tokov in napetosti na neobremenjenem in obremenjenem transformatorju s
kazalci (kompleksorji).
Neobremenjen transformator: Običajno rišemo kazalce (kompleksorje) tako, da postavimo kazalec
glavnega fluksa v jedru v smeri realne osi (predpostavimo, da je kosinusna funkcija). Kazalec
π
inducirane napetosti na primarju v skladu z enačbo U i1 = − N1 jω Φ gl zaostaja za . Hkrati
2
ugotovimo, da je kazalec priključene napetosti pri neobremenjenem transformatorju ravno
π
nasprotnega predznaka od inducirane napetosti: U 1 = −U i1 in torej prehiteva kazalec fluksa za .
2
Magnetilni tok je v fazi z glavnim fluksom, saj je to tok, ki ta fluks povzroča. V skladu z
napetostno prestavo je kazalec inducirane napetosti sekundarja enako usmerjen kot kazalec
inducirane napetosti primarja, kar je hkrati tudi napetost na zunanjih sponkah sekundarja.
Obremenjen transformator: Vzemimo, da obremenimo transformator z bremenom induktivnega
značaja. V tem primeru tok Ib zaostaja za napetostjo sekundarja za določen kot ϕ2 . Kot
6/11

269. Izmenični signali, transformator 24.
kompenzacija teče v primarju t.i. magnetilni tok, ki je nasprotnega predznaka glede na tok I2 in
enakega kot Ib. Tok primarja je sedaj vsota ravnotežnega in magnetilnega toka.
SLIKA: Kompleksorji glavnega fluksa, priključene napetosti, induciranih napetosti in napetosti na
bremenu: a) neobremenjen transformator, b) obremenjen transformator.
Reducirane vrednosti napetosti in tokov.
Za analizo delovanja se pogosto uporabljajo t.i. reducirane veličine, ki jih dobimo na sledeči način:
enačbo (24.15) delimo z N1 in dobimo enačbo oblike
I 1 + I 2 = I 1m ,
'
(24.16)
N2 I
kjer smo zapisali tok I 2 zapisali kot I 2 = I 2 = 2 . Ta tok imenujemo reducirana vrednost
' '
N1 n
sekundarnega toka, namen tega zapisa pa je predvsem v tem, da lahko tvorimo preprosto
nadomestno vezje z nereducirano primarno stranjo in reducirano sekundarno stranjo. Pri tem je
potrebno »reduciratni« tudi sekundarno napetost kot U 2 = nU 2 , pa tudi bremensko upornost, saj
'
'
U
velja Z = ' 2 = n 2 Z b .
'
b
I2
7/11

270. Izmenični signali, transformator 24.
SLIKA: Nadomestna shema idealnega transformatorja prikazana z reduciranimi vrednostmi.
Moč. Kompleksor moči na primarju je
1
2
1
2
( * *
) 1
2
* 1
S 1 = U 1 I 1 = U 1 I 1m + I 1r = U 1 I 1m − U 2 I 2 = S 1m + S 2
*
2
*
(24.17)
Moč na bremenu je manjša od moči na vhodu za jalovo moč magnetenja S 1m . Le-ta pa je običajno
dosti manjša od moči na bremenu, torej bo veljalo
S1 ≅ S 2 (24.18)
Kar pomeni, da je v idealnih razmerah moč bremena enaka moči na vhodu.
Vhodna impedanca transformatorja. Vhodno impedanco dobimo iz kvocienta
U1
Z vh = . (24.19)
I1
S preureditvijo osnovnih enačb transformatorja in ob predpostavki, da bo bremenska upornost
U1 U1 I 2 U 2 U
mnogo manjša od induktivnih upornosti, bo Z vh = = = −n2 2 = n2 Z b
I1 I1 U 2 I 2 −I b
Z vh ≈ n 2 Z b (24.20)
Rezultat, ki bi ga pričakovali tudi iz nadomestnega vezja idealnega transformatorja z reduciranimi
komponentami.
Realni transformator z železnim jedrom. Realni transformator se od idealnega razlikuje
predvsem po tem, da pri upoštevamo še ohmske upornosti primarnega in sekundarnega navitja ter
sipana magnetna pretoka primarne in sekundarne tuljave (tisti pretok, ki gre le skozi ovoje ene, ne
pa tudi druge tuljave).To lahko v nadomestnem vezju predstavimo z ohmskima upornostima ter
induktivnostima v primarnem (sekundarnem) tokokrogu.
8/11

271. Izmenični signali, transformator 24.
SLIKA: Nadomestna shema realnega transformatorja z upoštevanjem ohmske upornosti primarnega
in sekundarnega navitja in sipanih magnetnih pretokov primarne in sekundarne tuljave (navitja).
Vprašanja za obnovo:
1) Ponazoritev transformatorja kot dvopolno vezje s sklopljenima tuljavama.
2) Zapis enačb za analizo idealnega transformatorja.
3) Napetostna prestava.
4) Neobremenjen transformator. Magnetilni tok. Kaj je njegova »funkcija«.
5) Zveza med fluksom v jedru in napetostjo na primarju.
6) Obremenjen transformator. Ravnotežni tok.
7) Tokovna prestava.
8) Ponazoritev tokov in napetosti neobremenjenega in obremenjenega transformatorja s
kompleksorji v kompleksni ravnini.
9) Enačba magnetnega ravnotežja.
10) Vhodna in izhodna moč transformatorja.
11) Vhodna impedanca transformatorja.
12) Izgube v transformatorju.
13) Nadomestno vezje idealnega in realnega transformatorja.
* Osnove dimenzioniranja transformatorjev v praksi.
Za optimalno načrtovanje transformatorjev je potrebno upoštevati mnogo dejavnikov, od katerih je
1
najpomembnejša moč primarja, ki je določena s produktom toka in napetosti primarja† U1 I 1 ,
2
podana v VA. Pravilna izbira jedra bo odvisna od tega, da pri tej moči jedro še ne bo prišlo v
nasičenje. V ta namen moramo poznati vrednost gostote magnetnega pretoka v nasičenju oz. točko,
do katere je magnetilna krivulja še razmeroma linearna. Do primerne enačbe za potreben presek
jedra pridemo z množenjem enačbe (24.9) z efektivnim tokom primarja. Dobimo
1
S1 = U1,ef I1,ef = 4, 44 fN1Φ I1,ef = 4, 44 fB 2 AFe
2
N1 I1,ef . S preureditvijo enačbe dobimo
Φ
aproksimativni izraz, ki je znan v praksi, to je, da je primerna površina preseka jedra približno
AFe = C S1 / f , (24.21)
†
Pogosto se pri dimenzioniranju transformatorjev uporabljajo efektivne vrednosti tokov in napetosti. To smo ugotovili
že pri enačbi (24.9), kjer je bila inducirana napetost izražena kot efektivna vrednost, fluks v jedru pa kot maksimalni.
9/11

272. Izmenični signali, transformator 24.
kjer je konstanta C odvisna od oblike transformatorja. Po praksi in izkušnjah je njena vrednost
enaka 7 ⋅ 10−4 m2 / Ws , kar pri gostoti 1 T in frekvenci 50 Hz da znan aproksimativni izraz
A fe ≈ S1 v cm 2 . Iz enačbe (24.21) je razvidno, da je potreben presek jedra manjši pri višjih
frekvencah. To je t.i. čisti presek jedra, ki ne upošteva površine laminacije, za določitev končnega
(geometričnega preseka) je potrebno upoštevati še t.i. polnilni faktor jedra.
Tudi število ovojev primarja določimo iz enačbe (24.9), ki jo zapišemo v obliki
U i ,ef = 4, 44 fN1 BAFe . Površino AFe smo določili iz (24.21), gostota magnetnega pretoka je okoli 1
do 1,2 T za vroče valjano silicijevo-železno pločevino. Za število ovojev sekundarja lahko
upoštevamo napetostno prestavo, v praksi pa lahko zaradi izgub upoštevamo potrebno povečanje
števila ovojev z množenjem s faktorjem 1,1, do 1,2.
Potrebno površino prereza (premera) žice določimo iz toka v primarnem in sekundarnem navitju
S1
glede na še dopustno segretje navitja, ki je določeno z gostoto toka. Tok primarja je I1,ef = ,
U1,ef
I1,ef I1,ef
gostota toka pa J = , od koder je ACu = . Če vzamemo v praksi pogosto uporabljeno
ACu J
vrednost gostote toka 2,55 A/mm2, dobimo za premer žice izraz 0,5 I mm .
Vir: F. Mlakar, I Kloar: Mali transformatorji in dušilke, Elektrotehniški vestnik, Ljubljana, 1970.
Dostopen v knjižnici FE.
Še nedokončano ….
* Izvedbe.
Mnogo transformatorjev je izdelanih tako, da imajo na sekundarju dva odcepa. Npr 2x25 V toroidni
transformator pri 5 A (250 VA) ima na sekundarju dve navitji. Ti lahko vežemo vzporedno, kar
omogoča toke do 10 A vendar le napetost do 25 V ali pa zaporedno, pri čemer dobimo na
sekundarju napetost 50 V pri toku 5 A ali pa v primeru vezave sredinskega odcepa na ozemljitev
napetost +25 V in -25 V.
10/11

273. Izmenični signali, transformator 24.
SLIKA: Primeri vezave transformatorja z odcepom na sekundarju. Vir: R. Elliott, Transformers –
Part II, http://sound.westhost.com/xfmr.htm
Izgube. Izgube v jedru zaradi histereznih in vrtinčnih tokov lahko predstavimo z upornostjo Rp, ki
je vzporedna induktivnosti primarnega navitja Lp. L predstavlja stresano induktivnost zaradi sipanja
magnetnega polja (nepopoln magnetni sklep). Rw so izgube zaradi upornosti navitja, C1 in C2 pa
predstavljata kapacitivnosti med posameznimi ovoji navitja. Cp-s predstavlja kapacitivnost med
primarnim in sekundarnim navitjem, ki običajno predstavlja probleme šuma transformatorja.
Toroidni transformatorji imajo v tem oziru večje težave kot transformatorji iz E-I jedra. V primeru
da je ta kapacitivnost velika, prenaša šume iz primarja (npr omrežja) na sekundarno stran.
SLIKA: Nekaj primerov feritnih jedr.
Posebni transformatorji: avtotransformator, trifazni tranformatorji, ...
Viri na spletu:
http://www.ee.lsu.edu/mendrela/transformers.pdf
11/11

274. Vrtilno magnetno polje 25.
Vrtilno magnetno polje
SLIKA: Paroma dve tuljavi postavljeni pravokotno in napajani s tokom, ki je v fazi premaknjen
za pi/2 povzročata v središču vrtilno magnetno polje s konstantno amplitudo.
Vzemimo primer dveh parov tuljav, ki sta postavljeni kot kaže skica in napajani s tokoma
 π
iA (t ) = I m sin(ωt ) in iB (t ) = I m sin  ωt +  = I m cos(ωt ) . Poglejmo kakšno magnetno polje
 2
povzročajo tuljave v središču, ki ga obenem označimo kot središče koordinatnega sistema.
Tuljavi s tokom iA imata os v smeri Y osi, tuljavi s tokom iB pa imata os v smeri X osi. Polje v
osi tuljave (pa tudi izven osi) je sorazmerno in v fazi s tokom tuljave, torej sta polji
B A (0, t ) = e y Bm .sin(ωt ) in B B (0, t ) = e x Bm .cos(ωt ) . Skupno polje je vsota obeh polj in je
enako B = B A + B B = e y Bm .sin(ωt ) + e x Bm .cos(ωt ) .
Poglejmo, kolikšna je amplituda polja:
B = ( Bm .sin(ωt ) ) + ( Bm .cos(ωt ) ) = Bm
2 2
Amplituda tega polja je konstantna in torej neodvisna od časa, oziroma od kotne frekvence.
In kakšna je smer polja?
Bm sin(ωt )
tan(α ) = = tan(ωt ) ⇒ α = ωt .
Bm cos(ωt )
Ves čas konstantno veliko magnetno polje se vrti s konstantno kotno hitrostjo ω.
Uporaba vrtilnega magnetnega polja
Asinhroni stroji delujejo na principu kratko sklenjene vrtljive tuljave (zanke) v vrtilnem
magnetnem polju. V kratko sklenjeni tuljavici se pod vplivom časovne spremembe fluksa
inducira napetost, ki požene t.i. kratkostični tok v tuljavi. Ta tok povzroča lastno polje tuljave.
Vemo, da na vodnike s tokom deluje magnetna sila (d F = Idl × B ) in navor T = r × F . Za

275. Vrtilno magnetno polje 25.
analizo vrtljivih delov tokovodnikov je bolj primeren izraz za navor na magnetni dipolni
moment tuljavice m = en IA , ki je T = m × B vrt . Na tuljavico torej deluje navor, ki zavrti zanko.
Ker magnetni moment nastaja pod vplivom toka v zanki, ta je pa posledica inducirane
napetosti v tuljavi (ki zaostaja za tokom, ki tvori vrtilno magnetno polje), se vrteča tuljavica
vrti počasneje kot vrtilno magnetno polje. Temu rečemo asinhrono ali nesočasno vrtenje.
Asinhroni stroji so predvsem motorji, lahko pa so tudi generatorji. V slednjem primer se moa
tuljavica vrteti hitreje od vrtilnega polja, ki ga dobimo v stacionarnih tuljavah.
SLIKA: Navor na kratko sklenjeno tuljavico v vrtilnem magnetnem polju povzroča vrtenje
zanke. Hitrost vrtenja zaostaja za hitrostjo vrtenja magnetnega polja.
Sinhroni stroji. Poleg asinhronih motorjev poznamo tudi sinhrone motorje. Pri teh je na
rotorju trajni magnet ali pa ima dodatno navitje, ki je napajano z enosmernim tokom
(elektromagnet). Tak rotor se vrti sinhrono z vrtilnim magnetnim poljem. Zopet bi lahko
upoštevali zapis za navor T = m × B vrt . Sinhrone motorje uporabljamo predvsem kot
generatorje. V tem primeru magnetni dipolni moment prehiteva vektor vrtilnega magnetnega
polja. Kot motorje jih uporabljamo za kompenzacijo jalove moči. Se pa ti motorji ne morejo
vzbuditi sami, zato imajo na rotorju dve navitji, eno kratkostično, ki je potrebno pri zagonu in
eno navitje, ki ga napajamo z enosmernim tokom. Ko vklopimo ta tok, potegne rotor v
sinhronizem z »zunanjim« vrtilnim poljem.

276. Vrtilno magnetno polje 25.
SLIKA: Primer trajektorije vrtilnega magnetnega polja, ki ga dobimo s preprostimi ukazi v
Matlabu. Poskusite spreminjati amplitudo in fazo posameznega toka (polja). Na zaslonu dobimo
različne oblike elips.
% prikaz trajektorije vrtilnega polja s programom Matlab
ot=0:0.01:2*pi; % kotna hitrost
Bx=1*sin(ot);
By=1*cos(ot)
plot(Bx,By)
axis equal
% Bolj dovršen program v Matlabu, ki riše trajektorijo gibanja:
% Definicija tocke, ki se rise na zaslonu
tocka=line('Xdata',[],'Ydata',[],'marker','o','markersize',8,'markerfacecolor','b');
% Definiranje polj
t=[0:0.01:4*pi];
x=zeros(1,length(t)); y=zeros(1,length(t));
% Enacbe, ki mi predstavljajo gibanje elektrona v magnetnem polju v vseh treh koordinatah
x=0.5*sin(t); y=1*cos(t);
% prikaz na zaslonu
grid; axis([min(x) max(x) min(y) max(y)]); axis equal
xlabel('x / m'); ylabel('y / m');
% izris koordinat gibajoce tocke
i=0;
while 1
i=i+1;
set(tocka,'Xdata',x(i),'Ydata',y(i),'erasemode','xor');
% set(tocka1,'Xdata',x(i),'Ydata',y(i),'erasemode','none');
for j=1:50000; j; end;
drawnow;
if i>length(t)-2; i=0; end
end

277. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.
Trifazni sistemi
Equation Section 2 6
Vsebina poglavja: sistem trifaznih napetosti, zapis faznih napetosti, efektivne vrednosti
in prikaz kompleksorji. Fazne in medfazne napetosti. Vezava bremena v trikot, vezava
bremena v zvezdo z ali brez ničelnega vodnika. Potencial zvezdišča. Simetrično in
nesimetrično breme.
Spoznali smo že primer dvofaznega sistema pri vrtilnem magnetnem polju, ki sta ga
ustvarjala dva para prečno postavljenih tuljav s fazno zamaknjenim tokom za ¼
periode. Ugotovili smo, da bi tako ustvarjeno vrtilno magnetno polje ustvarjalo navor
na kratko sklenjeno vrtljivo tuljavico in njeno vrtenje (laboratorijske vaje). Vrtenje
tuljavice bi dosegli tudi, če bi vrtljivo tuljavo napajali s konstantnim tokom. V prvem
primeru dobimo asinhrono vrtenje (tuljava se vrti z manjšo frekvenco kot je frekvenca
vzbujanja), v drugem pa sinhrono (frekvenca vrtenja je enaka frekvenci vzbujanja).
Možen pa je tudi obraten postopek: da se vrti magnet ali vrtljiva tuljava napajana z
enosmernim tokom, v stranskih tuljavah pa se inducirajo napetosti, ki so fazno
zamaknjene v skladu z lego tuljav. V že obravnavanem primeru bi dobili inducirane
napetosti na tuljavah, ki bi bile fazno zamaknjene za četrtino periode. Z ustrezno
priključitvijo dobimo dvofazni sistem napetosti. Na podoben način, le z uporabo treh
parov navitij na fiksnem delu (statorju) okoli vrtečega dela (rotorja) z
(elektro)magnetom, dobimo trifazni sistem napetosti. Za vrtenje rotorja uporabimo
recimo vodno energijo (hidroelektrarne). Že Nikola Tesla je ugotovil, da ima trifazni
sistem kar nekaj prednosti pred enosmernim, ki ga je v začetnem obdobju
elektrifikacije promoviral Edison. Glavna prednost trifaznega sistema je bila lažji
prenos energije na večje oddaljenosti, ki je bil v primeru Edisonovega enosmernega
zaradi Ohmskih izgub na »omrežju« praktično onemogočen in omejen le na krajše
razdalje. Poleg tega večfazni simetrični sistemi omogočajo dodatno zmanjšanje
količine materiala, saj lahko en vodnik uporabimo skupno (povratni ali ničelni
vodnik). V primeru, da je na simetrični trifazni sistem generatorjev priključeno
simetrično trifazno breme, je vsota vseh faznih tokov v skupno spojišče enaka nič, kar
pomeni, da v ničelnem vodniku ni toka. V takem primeru bi lahko ta vodnik
»izpustili«, lahko pa ga obdržimo za primer, ko breme ni popolnoma simetrično. V
takem primeru bo tok v ničelnem vodniku različen od nič, vendar običajno še vedno
1/13

278. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.
manjši od tokov v faznih vodnikih. Premer ničelnega vodnika je v takih primerih
lahko manjši od faznih vodnikov.
Sistem trifaznih napetosti.
V poglavju o vrtilnem polju smo spoznali, da je le-ta posledica krmiljenja sistema
zasukanih tuljav s fazno zamaknjenim tokom. Ugotovili smo, da to polje omogoča
vrtenje trajnega magneta ali kratkostične tuljavice, kar je osnova za razumevanje
delovanja motorjev. Režim motorja lahko tudi obrnemo. Če namesto vzbujanja tuljav
s tokom vrtimo rotor, se bo v tuljavah inducirala napetost. Če so tuljave zamanjene za
določen kot, bomo dobili več virov napetosti s faznim zamikom določenim z kotom
zamika tuljav. Če imamo sistem treh tuljav zavrtenih za kot 1200, dobimo na izhodu
0
tuljav napetosti, ki so fazno zamaknjene za kot 120 .
Slika: Postavitev tuljav in generacija faznih napetosti.
Glej še:
http://www.k-wz.de/physik/threephasegenerator.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Three-phase_electric_power
http://www.windpower.org/en/tour/wtrb/syncgen.htm
Zapis faznih napetosti.
V primeru trifaznega sistema bomo na sponkah parov tuljav, ki zajemajo šestine
oboda statorja, dobili napetosti:
2/13

279. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.
u1 = U m cos(ω t + α ),
 2π 
u2 = U m cos  ω t + α − ,
 3 
 2π 
u3 = U m cos  ω t + α + .
 3 
Trifazni sistem s takim zaporedjem faz imenujemo pozitiven, saj se kompleksorji
napetosti izmenjujejo v smeri urinega kazalca. V nasprotnem primeru imamo opravka
z negativnim trifaznim sistemom. Mi bomo obravnavali na strani generatorjev le
simetrične trifazne sisteme, to so taki, katerih amplituda vseh treh virov je enaka, faze
2π
pa so zamaknjene za .
3
SLIKA: Trifazni sistem prikažemo kot tri generatorje z enako amplitudo in faznim
 2π 
zamikom za 1/3 periode   . Prikazana je vezava v »zvezdo«, pri kateri vežemo
 3 
negativne sponke v skupno točko, ki jo ozemljimo.
Efektivne vrednosti in prikaz s kazalci (kompleksorji).
Običajno si pri analizi vezij s trifaznimi sistemi pomagamo s kazalčnimi diagrami
(kompleksorji), kjer običajno namesto amplitud napetosti in tokov uporabljamo
efektivne vrednosti. Razlog je preprosto v tem, da sta v energetiki prenos in poraba
moči izredno pomembni, ti pa sta direktno povezani z efektivnimi vrednostmi
signalov. Za kompleksor napetosti harmoničnega signala v poljubni fazi bo torej
efektivna vrednost napetosti enaka U = U ef = U m / 2 .
3/13

280. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.
Za kot α si lahko izberemo poljubno vrednost, saj gre v principu za časovno vrtenje
π
treh fazno zamaknjenih kazalcev. Mi si bomo izbrali kot , lahko pa bi si izbrali tudi
2
drugega (pogosto je v uporabi tudi α = 0 ). V primeru vezave v zvezdo je med
ničelnim vodnikom in faznim vodnikom t.i. fazna napetost, torej bi lahko pisali tudi
U = Uf. Nam vsem sta znani fazna (efektivna) napetost 230 V in medfazna napetost
400 V, ki jo dobimo iz domače vtičnice. Kompleksorji napetosti bodo torej
π
j
U1 = U f e = U f e j 90 = jU f
0
2
(26.1)
 π 2π  π
j −  −j
U2 =Ufe =Ufe = U f e − j 30
0
2 3  6
(26.2)
 π 2π 
j + 
U3 =U fe = U f e − j150
0
2 3 
(26.3)
Najlepše to prikažemo na sliki, kjer so kazalci zarotirani za 2π / 3 (za 1200).
SLIKA: Kazalčni diagram faznih napetosti simetričnega pozitivnega trifaznega sistema.
Pogosto potrebujemo tudi zapise napetosti v obliki realnega in imaginarnega dela.
Tedaj pišemo
U 1 = jU f
 3 1
U2 =Uf 
 2 −j 
 (26.4)
 2
 3 1
U3 =U f −
 2 −j 

 2
4/13

281. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.
Medfazne napetosti.
Pogosto se trifazne vire priključuje na breme tudi tako, da se uporabi medfazne
napetosti. Te dobimo tako, da priključimo breme med sponke faznih napetosti.
Matematičo jih dobimo z odštevanjem kompleksorjev faznih napetosti, kot na primer
 3 1  3 3  1 3
U 12 = U 1 − U 2 = jU f − U f 
 2 − j 2 =Uf
 −
 2 − j 2  = 3U f
 − − j
 2 

     2 
(26.5)
 3 1  3 1
U 23 = U 2 − U 3 = U f 
 2 − j 2  −  − 2 − j 2  = 3U f
   (26.6)
   
 3 1  1 3
U 31 = U 3 − U 1 = U f  −
 2 − j  − jU f = 3U f
 − − j
 2 
 (26.7)
 2  2 
Prikažimo medfazne napetosti še v kompleksni ravnini. Tu dobimo kompleksor
medfazne napetosti preprosto z odštevanjem kazalcev dveh faznih napetosti.
SLIKA: Prikaz faznih in medfaznih napetosti v kompleksni ravnini.
Tako iz matematičnega zapisa medfaznih napetosti, kot iz prikaza v kompleksni
ravnini, lahko ugotovimo, da so medfazne napetosti za 3 večje od faznih
( U mf = 3U f ), kar lahko s pridom izkoriščamo npr. za povečanje moči na bremenu.
V drugih primerih pa lahko s tako vezavo uničimo napravo, ki je namenjena
priključitvi le na fazne napetosti.
5/13

282. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.
Vezava bremen.
Najpogosteje se uporabljata dva načina vezave bremen na trifazni sistem.
Poimenujemo ju vezava v trikot in vezava v zvezdo. V prvem primeru ločimo še
vezavo v zvezdo z ničelnim vodnikom in brez ničelnega vodnika. Pri vezavi v
trikot uporabimo za priklop bremena medfazne napetosti in ničelnega vodnika ne
potrebujemo.
Vezava bremena v zvezdo z ničelnim vodnikom.
Ta vezava je morda najbolj enostavna za obravnavo, saj je vsako od bremen
priključeno na eno od faznih napetosti. Fazni toki so zato
U1
I1 = = U 1Y 1
Z1
U2
I2 = = U 2Y 2 (26.8)
Z2
U
I 3 = 3 = U 3Y 3
Z3
Vsota faznih tokov je enaka toku v ničelnem vodniku
I 0 = I1 + I 2 + I 3 (26.9)
Moč bremena je enaka vsoti moči posameznih bremen
S = S1 + S 2 + S 3 , (26.10)
kjer posamezno moč lahko določimo z že znanimi zvezami. Npr, moč v fazi 1 je1
S 1 = U 1 I 1 = I12 Z 1 = U12 Y 1
* *
(26.11)
SLIKA: Vezava bremena na trifazni sistem v obliki trikot.
1
Pri zapisu enačb za moč smo upoštevali (kot je v navadi pri obravnavi trifaznih sistemov) efektivne
vrednosti tokov in napetosti. V primeru obravnave z maksimalnimi vrednostmi je potrebno izraze
pomnožiti z 0,5.
6/13

283. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.
Primer: Trifazno breme, ki ga sestavljajo impedance
Z 1 = 100 Ω, Z 2 = ( 50 + j 50 ) Ω, Z 3 = − j100 Ω priključimo na trifazni sistem 230/400
V v vezavi v zvezdo z ničelnim vodnikom. Določimo delovno moč bremena.
Izračun: Delovno moč lahko izračunamo na enak način, kot smo že spoznali pri
enofaznih sistemih. Zopet imamo na razpolago dva načina. Pri prvem uporabimo
zvezo P = UI cos(ϕ ) , pri drugem pa P = Re {S } = U 2 Re Y { } . V fazi 1 imamo le
*
(230V) 2
upor, moč na njem je P = = 529 W . Za moč na bremenu v fazi 2 zapišemo
100 Ω
1
π π
j 1 j 1  2 2
impedanco Z 2 = 50 2e 4 Ω in Y 2 = +j
*
e 4S=   S . Realni del
50 2 50 2  2


2 
konjugirane admittance je zopet 1/100 Ω, torej bo moč bremena v fazi 2
(230 V) 2
P2 = = 529 W . Delovna moč v fazi tri je enaka nič (je le jalova moč), vsota
100 Ω
vseh delovnih moči pa je 1058 W.
Dodatno: Določimo navidezno moč na bremenu:
(230 V) 2
S1 = = 529 VA
100 Ω
(230 V) 2
S2 = = 529(1 + j ) VA
50 2e − j 45 Ω
0
(230 V) 2
S3 = = − j 529 VA
j100 Ω
S = 1058VA
Primer: Za podatke iz prejšnjega primera določimo tok v ničelnem vodniku.
Izračun: Tok v ničelnem vodniku je enak vsoti posameznih faznih tokov
I 0 = I 1 + I 2 + I 3 . Izračunati moramo torej vsak fazni tok posebej in jih sešteti:
U 1 j 230 V
I1 = = = j 2, 3 A
Z 1 100 Ω
230e − j 30 V
0
U
I2 = 2 = = 3, 25e− j 75 A ≈ (0,84 - j 3,14) A
0
Z 2 50 2e j 45 Ω
0
7/13

284. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.
230e − j150 V
0
U
I3 = 3 = = 2, 3e − j 60 A ≈ (1,15 - j 2) A
0
− j 900
Z 3 100e Ω
I 0 = I 1 + I 2 + I 3 ≈ (2 − j 2,83) A
Vezava bremena v zvezdo brez ničelnega vodnika.
Iz prejšnjega primera ugotovimo, da tok v ničelnem vodniku ni enak nič. Zakaj ni
enak nič oziroma kakšna bremena bi morali imeti priključena, da bi bil enak nič?
Odgovori si sam!
Kaj pa, če ničelnega vodnika ni, ali pa recimo izpade? Kakšne bodo razmere v tem
primeru? Ali bo delovna moč še vedno enako velika?
SLIKA: Vezava bremena v zvezdo brez ničelnega vodnika.
Potencial zvezdišča. Razmere na bremenu vezanem v trikot brez ničelnega vodnika
lahko analiziramo s poljubno metodo analize vezij. Najpreprosteje kar z metodo
spojiščnih potencialov. En potencial ozemljimo, običajno tistega na strani spojišča
generatorjev, potencial drugega pa določimo iz pogoja, da mora biti vsota vseh faznih
tokov enaka nič:
I1 + I 2 + I 3 = 0 (26.12)
Slika: Vezava v trikot brez ničelnega vodnika.
8/13

285. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.
Te toke izrazimo s tokovi skozi posamezne impedance bremena
( ) ( )
− V −U 1 Y 1 − V −U 2 Y 2 − V −U 3 Y 3 = 0
* *
( *
) (26.13)
S preureditvijo dobimo
V (Y 1 + Y 2 + Y 3 ) = U 1Y 1 + U 2 Y 2 + U 3 Y 3 ,
*
(26.14)
od koder je
U 1Y 1 + U 2 Y 2 + U 3 Y 3
V =
*
. (26.15)
Y1 + Y 2 + Y 3
Temu potencialu rečemo potencial zvezdišča. Če je ničelni vodnik priključen, je
seveda potencial zvezdišča enak nič in predstavlja točko v središču kompleksne
ravnine. V nasprotnem primeru pa se ta točka premakne v neko drugo točko, napetosti
na elementih pa so razlike med faznimi napetostmi in potencialom zvezdišča:
U Z1 = U 1 − V
*
(26.16)
U Z2 = U 2 −V
*
(26.17)
U Z3 = U 3 −V
*
(26.18)
Ko izračunamo napetosti na impedancah bremena, je pot do izračuna tokov ali moči
na elementih preprosta.
SLIKA: Premik potenciala zvezdišča ob odklopu ničelnega vodnika in kompleksorji
napetosti na elementih bremena.
Primer: Določimo potencial zvezdišča in moči na elementih bremena iz primera 1
vezanih v zvezdo, če v tem primeru nimamo ničelnega vodnika (je odklopljen).
Izračun: Poiščemo potencial zvezdišča:
9/13

286. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.
j 230V 230e − j 30 V 230e − j150 V
0 0
2 − j 750
+ + j+ + e − j 60
0
e
U Y + U 2 Y 2 + U 3Y 3 100 Ω 50 2e Ω 100e
j 450 − j 900
Ω = 230 V 2
V = 1 1 =
*
Y1 +Y 2 +Y 3 1
+
1
+
1
1+
2 j 450
e +j
100 Ω 50 2e Ω 100e
j 450 − j 900
Ω 2
V = (−21 − j120, 6) V
*
Moči na posameznih bremenih so torej
Matlab: S2=abs(230*(sqrt(3)/2-0.5j)-(-21-120.6j))^2/(50-50j)
* 2 1
S1 = U 1 − V Y 1 = j 230 − (−21 − j120, 6) = 1233, 9 VA
* 2
100 Ω
2
* 2  3 1 1
S 2 = U 2 −V Y = 230 
 2 − j 2  − (−21 − j120, 6) V (50 − j 50) Ω = 485,13(1 + j ) VA
* 2
2 
 
2
* 2  3 1 1
S3 = U 3 −V Y = 230  −
 2 − j 2  − (−21 − j120, 6) V j100 Ω = − j 317, 65 VA
* 2
3 
 
Ugotovimo lahko, da so se moči na elementih bremena spremenile. Navidezna moč je
sedaj S ≈ (1719 + j167, 7) VA , torej je delovna moč enaka 1719 W, kar za 62,5 % več
kot pri priključitvi z ničelnim vodnikom.
Komentar: Ugotovimo lahko, da se napetosti na posameznih elementih bremena lahko
precej spremenijo ob izklopu ničelnega vodnika. To lahko predstavlja tudi problem v
primeru, da napetost na elementu (ali pa moč) preseže dovoljeno vrednost.
Vezava bremena v trikot.
Pri tej vezavi so elementi bremena priključeni na medfazne napetosti. V tej vezavi
torej nimamo možnosti uporabe ničelnega vodnika. Napetosti na posameznih
elementih bremena so za 3 večji od faznih napetosti: U mf = 3U f . Toki skozi
posamezne impedance so torej določeni z medfaznimi napetostmi, npr:
U 12 U U
I 12 = , I 23 = 23 , I 31 = 31 .
Z 12 Z 23 Z 31
Fazni toki pa so razlike teh tokov, npr:
I 1 = I 12 − I 31 , itd.
10/13

287. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.
Slika: Vezava bremena v trikot (dva različna načina prikaza). Desno: Prikaz medfaznih
napetosti s kompleksorji.
Primer: Zopet vzemimo elemente bremena iz primera 1:
Z 1 = 100Ω, Z 2 = ( 50 + j 50 ) Ω, Z 3 = − j100Ω in ga v vezavi trikot priključimo na
trifazni sistem 230/400 V. Določimo navidezno moč bremena.
Izračun: Zopet vzemimo formulo S = U 2 Y , pri čemer so sedaj elementi bremena na
*
medfazni napetosti, ki je za 3 večji od faznih, razlika v izračunu navidezne moči v
prvem primeru in tem primeru so le v večji medfazni napetosti. Ker je za moč
pomemben kvadrat napetosti, bo moč v vezavi trikot za 3x večja od tiste pri vezavi
v zvezdo z ničelnim vodnikom. S△ = 3S ϒ .
( 3 ⋅ 230 V) 2 (230 V)2
S1 = =3 = 1587 VA , itd..
100 Ω 100 Ω
S = 3 ⋅1058VA
Simetrično breme.
Simetrično breme je posebno primerno tedaj, ko nimamo na razpolago ničelnega
vodnika, saj ga v primeru simetričnega bremena niti ne potrebujemo (tok v ničelnem
vodniku je enak nič). V primeru simetričnega bremena (vse impedance v posameznih
fazah (ali medfazah) so enake) bodo bremenski toki zaostajali ali prehitevali fazne ali
medfazne napetosti za isti fazni kot. To lahko prikažemo v kompleksni ravnini.
11/13

288. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.
SLIKA: Prikaz napetosti in tokov v kompleksni ravnini pri simetričnem trifaznem
bremenu.
Trenutne moči na posameznih elementih bremena so:
p1 (t ) = UI cos(ω t ) ⋅ cos(ω t + β )
2π 2π
p2 (t ) = UI cos(ω t − ) ⋅ cos(ω t + β − )
3 3
2π 2π
p3 (t ) = UI cos(ω t + ) ⋅ cos(ω t + β + )
3 3
Vprašanja za obnovo:
1) Kako dobimo sistem dvofaznih ali trifaznih napetosti?
2) Zapišite časovni potek napetosti trifaznih generatorjev.
3) Pozitiven in negativen trifazni sistem.
4) Prikaz trifaznih napetosti s kazalci: fazne in medfazne napetosti.
5) Vezava bremen:
a. Zvezda z ničelnim vodnikom
b. Zvezda brez ničelnega vodnika
c. Trikot
6) Napetost na bremenih, fazni tok in tok skozi breme, moč na bremenu pri
posamezni vezavi.
7) Napetost zvezdišča.
8) Simetrično breme. Trenutna moč.
Kolokvijske in izpitne naloge:
2. kolokvij 12.04.2001
izpit, 19. januar 2006
izpit, 23. junij 2005
kolokvij, 16. junij 2004
izpit, 24. junij 2004
Izpit, 10. marec 2006
Izpit, 11. 06. 2002
Izpit 20. 06. 2005
Izpit 28. 01. 2005
izpit, 4. februar 2005
Izpit, 28. avgust 2006
Izpit, 15. september 2006
Izpit, 15. september 2006
izpit, 16. aprila 2002
izpit 23. junija 2006
Izpit 26. 6. 2002
Izpit, 02. 12. 2003
12/13

289. Izmenični signali, trifazni sistemi 26.
Vsoto vseh teh moči lahko vidimo na sliki. Za simetrično breme ugotovimo, da je
3
trenutna moč konstantna in enaka p (t ) = UI cos( β ) . Torej precej različna od
2
enofaznega sistema, ko trenutna moč niha z dvojno frekvenco vira.
SLIKA: Na trifazni sistem je priključeno simetrično breme z vezavo v zvezdo z ničelnim
π
j
vodnikom. a) Breme je ohmsko, b) breme je induktivnega značaja: Z = Ze 6
, c) breme
je čisto induktivno in d) breme je nesimetrično. Trenutna moč na posameznem elementu
bremena niha z dvojno frekvenco vira (prikazana s črtkanimi črtami), celotna trenutna
moč bremena je vsota trenutnih moči na posameznih elementih (polna črta). V primerih
a in b je trenutna moč bremena konstantna (največja je v primeru čisto ohmskega
bremena), v primeru c je delovna moč enaka nič, v primeru d breme ni simetrično zato
trenutna moč niha z dvojno frekvenco osnovnega signala (toka ali napetosti).
13/13

290. Osnove elektrotehnike II - enačbe in formule
Diferenciali dolžin: Konstante: e ≅ 1, 602 ⋅10−19 C, c0 = 299792458 m/s; Lorentzova sila: Magnetna sila na tokovni
dx , dy , dz ;
µ0 = 4π ⋅10 Wb/(A m) ≅ 12,566 ⋅10
−7 −7
Wb/(A m); FLor. = Q( E + w × B); element:
dρ , ρ dϕ , dz; dF = I dl × B (T )
µ ε c = 1; ε 0 ≅ 8,854 ⋅10
2 −12
C/(V m) E = ( FLor. / Q )
dr, r dϑ , r sin ϑ dϕ 0 0 0 w=0
Biot-Savartov zakon:
Magnetni pretok: Lastnosti gostote magnetnega pretoka: Magnetni dipol: m = IS ;
µ I dl ′× R φ = ∫ B ⋅ da ∫ B ⋅ da = 0; ∫ B ⋅ dl = µ0 Iskozi L = µ0 ∫ J ⋅ da M m = m × B; Wmp = −m ⋅ B
dB(T ) = 0 A A L A
4π R 3
Magnetik: H = B / µ 0 − M ; Mejni pogoji: Bn (T+ ) − Bn (T− ) = 0; Prelom gostotnic:
Delo magnetne sile za tan α1 µ1
premik zanke: M = χ m H ; B = µ H ; χ m + 1 = µr ; H t1 (T+ ) − H t1 (T− ) = K t 2 prosti (T ); = ,
H t 2 (T+ ) − H t 2 (T− ) = − K t1 prosti (T ); tan α 2 µ2
Am = I (φkončni − φzačetni )
∫ H ⋅ dl = I prosti skozi L = ∫ J prosti ⋅ da
velja pri K prosti = 0
L A
n × ( H (T+ ) − H (T− ) ) = K prosti (T )
Magnetna potencial in napetost: Magnetni upor:
B φ = GmΘ ; Gm Rm = 1 Sklep ψ je pretok, ki Indukcijski zakon: uind. = − dψ dt ;
∫ H ⋅ dl = Θ AB = Vm ( A) − Vm ( B); ga pentlja objame d
A
Zakona magnetnih vezij: v pozitivnem smislu. ∫ E ⋅ dl =− ∫ B ⋅ da ;
dt A
dVm = − H ⋅ dl ; H = −n ∂Vm ∂n
∑ (±)φk = 0; ∑ (±)Θm = 0
L
∂B
uind. = − ∫ ⋅ da + ∫ ( w × B ) ⋅ dl
k m
Energija: A ∂t L
n n n Energija magnetenja:
Wm = 1
2 ∑∑ L ii =
jk j k
1
2 ∑ψ i;
k k
t2 t2
Upor: u = Ri; Kondenzator: i = Cu′;
k =1 j =1 k =1 Wmag. (t1 , t2 ) = ∫ i dψ ; wmag. (t1 , t2 ) = ∫ H dB
wm = µ H1
2
2 t1 t1 pt = Ri 2 = Wt ′ We = 1 Cu 2 ; pe = We ′
2
Tlak na reži:
f mn = B 2 / 2µ0 Tuljava: u = Li′; Wm = 1 Li 2 ;
2
pm = Wm ′ Sklop dveh tuljav:
u1 = L1i1′ ± Mi2′; u2 = ± Mi1′ + L2 i2′;
Periodična količina, Srednja in efektivna vrednost: Wm = 1 L1i12 ± Mi1i2 + 1 L2 i2 ; pm = Wm ′
2 2
2
perioda in frekvenca: −1
τ +T τ +T
∫τ
−1
Gsr. = T g (t )dt ; Gef. = T ∫τ
2
g 2 (t )dt
g (t + T ) = g (t ); Tf = 1 Zakona električnih vezij: ∑ (±)i
k
k = 0; ∑ (±)u
m
m =0
Kompleksno število: Harmonična količina in njen kazalec:
e ± jϕ = cos ϕ ± jsinϕ ; z = x + jy; g (t ) = Gm cos(ω t + α ) ⇔ G = Gm e jα ; Moči v kompleksnem: S = P + jQ = 1 U I * ;
2
x = Re( z ); y = Im( z ); g (t ) = Re(G e jωt ) S = 1 U m I m ; P = 1 U m I m cos ϕ ; Q = 1 U m I m sin ϕ
2 2 2
z = abs( z ) = x 2 + y 2 ;
Imitance elementov: Prilagoditev: Z b = Z Th → Pb maks. = U Th. ( 8RTh. ) ;
* 2
arctan y / x, x ≥ 0 Z = U / I ; Y = 1/ Z ;
α = arg( z ) = 

;
±π + arctan y / x, x < 0 Z R = R = 1/ G = 1/ Y R ; Rb = Z Th. → Pb maks. = U Th.
2
( 4( R Th. + Z Th. ) )
z = z (cos α + jsinα ) Z L = jω L; Y C = jω C Krožna tokovna zanka: Dolga tuljava:
µI a2 µ NI
Tokovna daljica: Tokovna premica: Bz (T ) = 0 Bz (T ) = 0 ( cos α1 − cos α 2 )
µI α1 → 0, α 2 → π ⇒ 2 ( a 2 + z 2 )3 / 2 2l
Bϕ (T ) = 0 ( cos α1 − cos α 2 ) NI
4πρ µ0 I a2
Bϕ (T ) = O T a1 Z
a1 I a2 Z 2πρ I z T j
r a Z
T l
Tračni vodnik: Vodnik okroglega Pretok skozi krog: Pretok skozi pravokotnik:
µK
Bx (T ) = 0 z (α1 − α 2 ) ;
2π
preseka:
Z T
φ = µ0 I b − b − a( 2 2
) µ Il b
φ = 0 ln
2π a
a r I
µK r I
By (T ) = 0 z ln 1 I
f b a
2π r2 f b
 µ0 I ρ a
 2πa 2 ρ≤a l
Y 
Bϕ (T ) = 
 µ0 I
r1 T r2 Medsebojna induktivnost dvovodov:
a1 a2 ρ>a
Kz  2πρ
 µl D D
X Induktivnost dvovoda: L12 = 0 ln 12 21
µ l1 d 2π d12 d 21
L = 0  + ln 
π 4 r i2 D12 i2
r d12 d21
d r
i i i1 D21
i1

291. Zaèetne krivulje magnetenja za mehke magnetne materiale
B/T
2,6
2,4
III
2,2
B/T
2,0 2,0
1,8 1,8
II II
1,6 1,6
1,4 1,4
I
1,2 1,2
I
1,0 1,0
0,8 0,8 II
0,6 0,6
0,4 0,4
I
0,2 dinamska ploèevina 0,2 lito elezo
transformatorska ploèevina lito jeklo
0 I 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 H / (kA/m) 0 I 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 H / (kA/m)
II 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 II 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
III 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

292. Osnove elektrotehnike II, VSŠ
Vprašanja na ustnem izpitu (Humar, Križaj)
1. Magnetostatika
1. Amperov zakon magnetne sile (med tokovnima elementoma)
2. Vektor gostote magnetnega pretoka (definicija, Biot-Savartov zakon)
3. Uporaba Biot-Savartovega zakona (tokovna daljica, premica, krožni ovoj)
4. Magnetni pretok (definicija, pretok skozi ploskev ob ravnem tokovodniku)
5. Neizvornost magnetnega polja (magnetni Kirchhofov zakon)
6. Vrtinčnost magnetnega polja – Amperov zakon
7. Uporaba zakona vrtinčnosti (magnetno polje v notranjosti vodnika krožnega preseka)
8. Magnetna sila na gibajoč naelektren delec (sled delca v enovitem polju, uporabe)
9. Hallov pojav in merjenje gostote magnetnega pretoka
10. Magnetna sila na tokovodnik (definicija enote amper)
11. Navor na tokovno zanko v magnetnem polju
12. Delo magnetne sile za premik ali zasuk tokovne zanke
13. Magnetni dipol, magnetni dipolski moment (analogije na električni dipol)
14. Snov v magnetnem polju (vektor magnetizacije, Amperovi toki)
15. Dia-, para- in feromagnetizem (modeli odzivanj)
16. Vektor magnetne poljske jakosti (vrtinčnost poljske jakosti, permeabilnosti)
17. Feromagnetiki (magnetilne krivulje, histerezna zanka, anomalije magnetnih snovi)
18. Mejna pogoja vektorjev magnetnega polja ob stiku medijev
19. Skalarni magnetni potencial, magnetna napetost (omejitve)
20. Magnetna vezja (magnetni viri in trajni magnet, magnetni upori)
21. Analiza magnetnih vezij
2. Dinamično elektromagnetno polje
1. Faradayev zakon indukcije (inducirano električno polje, Lenzovo pravilo, gibalna in
transformatorska inducirana napetost, magnetni sklep)
2. Lastna in medsebojna induktivnost (dvovod, tuljave na jedrih, sklopni faktor)
3. Energija magnetnega polja (energija magnetenja, linearni in nelinearni sistemi)
4. Histerezne in vrtinčne izgube
5. Magnentna sila na kotvo elektromagneta
3. Časovno spremenljivo vzbujana in harmonično vzbujana el. vezja
1. Časovno spremenljiva in periodična količina (časovni diagram, trenutna vrednost)
2. Periodična količina (perioda, frekvenca, srednja in efektivna vrednost))
3. Harmonična količina (amplituda, frekvenca, faza)
4. Odnos med tokom in napetostjo na uporu (kondenzatorju, tuljavi)
5. Močnostne in energijske razmere na uporu (kondenzatorju, tuljavi)
6. Kazalec harmonične količine (časovni in frekvenčni prostor)
7. Odnos med kazalcema toka in napetosti na uporu (kondenzatorju, tuljavi)
8. Kirchhoffova zakona v kompleksnem
9. Imitanca (impedanca, admitanca) dvopola (enostavnih in sestavljenih dvopolov)
10. Kompleksna moč (delovna, jalova in navidezna moč, faktor moči)
11. Kompenzacija jalove moči
12. Resonanca (vsiljeno nihanje zaporednega in vzporednega nihajnega kroga)
13. Pasovna širina in kvaliteta nihajnega kroga (bočni frekvenci, razglašenost, uporabe)
14. Metode analize harmonično vzbujanih vezij
15. Theveninov in Nortonov teorem
16. Teorem maksimalne moči (na kompleksnem in realnem bremenu)
17. Transformator brez izgub (prestava, magnetilni in ravnotežni tok, transformacija moči)

293. 18. Idealni transformator (transformacija impedance)
19. Realni transformator (vrste izgub in modelno vezje ter kazalčni diagram)
20. Trifazni sistem (modelno vezje trifaznega generatorja, fazne in medfazne napetosti)
21. Prednosti trifaznega sistema (pri prenosu energije, vrtilno magnetno polje)
22. Analiza vzbujanega trifaznega bremena v zvezdni vezavi z nevtralnim vodnikom
23. Potencial zvezdišča
24. Analiza vzbujanega trifaznega bremena v trikotni vezavi
25. Prehodni pojav (fizikalno ozadje, metode reševanja, začetno in končno stanje)
26. Polnjenje in praznjenje kondenzatorja ali tuljave
4. Vprašanje iz poročila z laboratorijskih vaj