Este documento presenta 13 ejercicios sobre semejanza de triángulos y escalas. Los ejercicios cubren temas como calcular escalas, áreas y distancias reales basadas en planos o mapas a escala, y resolver problemas utilizando la propiedad de que triángulos semejantes tienen lados proporcionales.
El documento trata sobre sistemas de medición angular. Explica que los ángulos se miden en grados, minutos y segundos en el sistema sexagesimal, mientras que en el sistema circular se usan radianes. También define conceptos como el radian y la equivalencia entre sistemas. Finalmente, incluye ejercicios prácticos sobre conversiones entre unidades y cálculos con ángulos.
Este documento presenta 8 problemas que involucran el Teorema de Pitágoras para encontrar medidas desconocidas. Se pide calcular la altura de una escalera, la diagonal de un cuadrado, la altura de un rectángulo, la altura de una rampa inclinada, la altura a la que vuela una cometa, la altura de dos trapecios rectangulares y la longitud total de cables que sostienen una antena, así como el perímetro de un triángulo.
Este documento presenta ejemplos y actividades sobre la aplicación del Teorema de Pitágoras para calcular longitudes en triángulos rectángulos. Explica el teorema y cómo usarlo para resolver problemas como calcular la longitud de una escalera apoyada en la pared, hallar la altura de un triángulo equilátero, y encontrar diagonales y longitudes en otras figuras geométricas. Luego propone nueve actividades para que los estudiantes apliquen el teorema a distintas situaciones.
El documento presenta una prueba de 15 preguntas de selección múltiple sobre el teorema de Tales. Cada pregunta contiene una figura geométrica y pregunta por algún valor desconocido basado en las relaciones de paralelismo y proporcionalidad entre los segmentos de las figuras.
Este documento presenta una evaluación de matemáticas para el grado séptimo que contiene 10 preguntas. La primera pregunta trata sobre las ganancias y pérdidas de la venta de frutas. Las preguntas del 2 al 8 se basan en un gráfico de temperaturas de un material sometido a procesos químicos durante 8 horas. Las últimas preguntas tratan sobre raíces y la suma de números negativos.
El documento presenta una evaluación de matemáticas para 2° medio con 20 preguntas de opción múltiple sobre temas como clasificación de números, propiedades de conjuntos y operaciones, racionalización de expresiones, resolución de ecuaciones radicales y análisis de conjunto de soluciones. El examen busca evaluar objetivos de aprendizaje como clasificar números, aplicar propiedades de conjuntos, operar con raíces y resolver problemas con números racionales e irracionales.
Este documento presenta una guía de prácticas de álgebra que incluye ejercicios para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas utilizando diferentes métodos como sustitución, igualación, reducción y Cramer. También incluye ejercicios para plantear ecuaciones a partir de descripciones verbales de problemas.
El documento presenta conceptos básicos de álgebra, incluyendo términos algebraicos, expresiones algebraicas, grado de polinomios, valoración de expresiones, términos semejantes y multiplicación. Define términos como monomio, binomio, trinomio y polinomio. Explica cómo determinar el grado de una expresión, valorar variables en una expresión, reducir términos semejantes y los pasos para multiplicar expresiones algebraicas.
El documento trata sobre sistemas de medición angular. Explica que los ángulos se miden en grados, minutos y segundos en el sistema sexagesimal, mientras que en el sistema circular se usan radianes. También define conceptos como el radian y la equivalencia entre sistemas. Finalmente, incluye ejercicios prácticos sobre conversiones entre unidades y cálculos con ángulos.
Este documento presenta 8 problemas que involucran el Teorema de Pitágoras para encontrar medidas desconocidas. Se pide calcular la altura de una escalera, la diagonal de un cuadrado, la altura de un rectángulo, la altura de una rampa inclinada, la altura a la que vuela una cometa, la altura de dos trapecios rectangulares y la longitud total de cables que sostienen una antena, así como el perímetro de un triángulo.
Este documento presenta ejemplos y actividades sobre la aplicación del Teorema de Pitágoras para calcular longitudes en triángulos rectángulos. Explica el teorema y cómo usarlo para resolver problemas como calcular la longitud de una escalera apoyada en la pared, hallar la altura de un triángulo equilátero, y encontrar diagonales y longitudes en otras figuras geométricas. Luego propone nueve actividades para que los estudiantes apliquen el teorema a distintas situaciones.
El documento presenta una prueba de 15 preguntas de selección múltiple sobre el teorema de Tales. Cada pregunta contiene una figura geométrica y pregunta por algún valor desconocido basado en las relaciones de paralelismo y proporcionalidad entre los segmentos de las figuras.
Este documento presenta una evaluación de matemáticas para el grado séptimo que contiene 10 preguntas. La primera pregunta trata sobre las ganancias y pérdidas de la venta de frutas. Las preguntas del 2 al 8 se basan en un gráfico de temperaturas de un material sometido a procesos químicos durante 8 horas. Las últimas preguntas tratan sobre raíces y la suma de números negativos.
El documento presenta una evaluación de matemáticas para 2° medio con 20 preguntas de opción múltiple sobre temas como clasificación de números, propiedades de conjuntos y operaciones, racionalización de expresiones, resolución de ecuaciones radicales y análisis de conjunto de soluciones. El examen busca evaluar objetivos de aprendizaje como clasificar números, aplicar propiedades de conjuntos, operar con raíces y resolver problemas con números racionales e irracionales.
Este documento presenta una guía de prácticas de álgebra que incluye ejercicios para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas utilizando diferentes métodos como sustitución, igualación, reducción y Cramer. También incluye ejercicios para plantear ecuaciones a partir de descripciones verbales de problemas.
El documento presenta conceptos básicos de álgebra, incluyendo términos algebraicos, expresiones algebraicas, grado de polinomios, valoración de expresiones, términos semejantes y multiplicación. Define términos como monomio, binomio, trinomio y polinomio. Explica cómo determinar el grado de una expresión, valorar variables en una expresión, reducir términos semejantes y los pasos para multiplicar expresiones algebraicas.
Solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.AbyDialy0804
1. El documento presenta teoremas y ejemplos para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto. Incluye temas como conjuntos de soluciones vacíos y el conjunto de todos los números reales.
2. Se explican cinco teoremas para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto en función de si la expresión es igual a un número positivo, negativo o cero.
3. Se incluyen 30 ejercicios resueltos como ejemplos para aplicar los teoremas.
MONOMIOS,Taller de nivelacion grado Octavo periodo doscriollitoyque
El documento presenta un taller de nivelación sobre monomios en matemáticas para grado 8. Explica los elementos de un monomio, cómo clasificar monomios como homogéneos o heterogéneos, y realizar operaciones como suma, resta y multiplicación con monomios. El taller contiene 10 ejercicios para identificar partes de monomios, reducir monomios semejantes, simplificar sumas y restas de monomios, y realizar multiplicaciones y divisiones con polinomios.
1) Este documento contiene 32 ejercicios tipo prueba de matemáticas racionales, incluyendo fracciones, decimales, porcentajes y operaciones básicas.
2) Los ejercicios van desde calcular el costo de comprar 3/4 kg de asado a $2.400 el kg, hasta ordenar fracciones y números decimales de menor a mayor y realizar operaciones como divisiones y multiplicaciones con fracciones y decimales.
3) El documento provee una serie de ejercicios para evaluar conocimientos básicos de matemáticas racionales
El documento presenta 8 preguntas de matemáticas sobre fracciones, decimales, operaciones aritméticas y coincidencias de viajeros. Las preguntas 1-5 involucran conversiones de fracciones a decimales, cálculos con fracciones y determinar el mayor divisor común. Las preguntas 6-7 implican convertir decimales a fracciones y calcular cuando coincidirán tres viajeros con diferentes frecuencias de viaje. La pregunta 8 incluye multiplicaciones con decimales.
Icfes ejemplo de preguntas matemáticas 2010Amigo VJ
Este documento presenta 13 preguntas de selección múltiple sobre conceptos matemáticos como gráficas de posición-tiempo, velocidad, funciones, triángulos y semejanza. Las preguntas están acompañadas de información contextual relevante y cuatro opciones de respuesta cada una. El objetivo es evaluar la comprensión de estos conceptos a través de la habilidad para seleccionar la respuesta correcta basándose en la información proporcionada.
Este documento explica la función cuadrática y sus características principales. La función cuadrática general es de la forma f(x)=ax2+bx+c. La gráfica es una parábola cuyo vértice y eje de simetría dependen de los coeficientes a y b. Se proporcionan ejemplos para ilustrar cómo calcular estos elementos y representar gráficamente funciones cuadráticas.
Prueba de matematicas tipo saber grado 6colegionusefa
Mariana vendió 6 pasteles de chocolate y 4 de fresa originalmente. Le quedaron 2 de chocolate y 2 de fresa, por lo que debe haber vendido 4 de chocolate y 2 de fresa, para un total de 6 pasteles vendidos. Un DVD portátil cuesta $3,800 y tiene un descuento del 65%, por lo que el precio final con descuento es $1,330.
Ejercicios de Radicación de números enterosgutidiego
Este documento presenta varios ejercicios sobre radicación de números enteros. Los ejercicios incluyen escribir raíces a partir de potencias dadas, hallar el valor de raíces, realizar operaciones con raíces, y comparar valores de raíces. El documento también incluye una sección sobre encontrar el camino de entrada a salida coloreando raíces exactas y posibles en el conjunto de los números enteros. Finalmente, proporciona dos referencias bibliográficas sobre matemáticas.
El documento presenta una serie de ejercicios y problemas relacionados con progresiones aritméticas y geométricas. Incluye 15 ejercicios de progresiones aritméticas que implican calcular términos generales, sumas de términos y valores de términos específicos. También presenta 10 problemas sobre sucesiones aritméticas y geométricas que involucran cálculos de poblaciones, maquinaria, intereses compuestos y ángulos de triángulos. Por último, contiene ejercicios sobre términos gener
Taller las propiedades de la radicaciónRamiro Muñoz
El documento describe diferentes propiedades de las raíces. Explica cuatro propiedades fundamentales: 1) la raíz de un producto, 2) la raíz de un cociente, 3) la raíz de una raíz, y 4) la raíz de una potencia. Además, presenta fórmulas para aplicar cada propiedad y ejemplos numéricos para ilustrarlas. Finalmente, propone actividades complementarias para practicar el uso de estas propiedades en diferentes casos.
Este documento presenta una guía de ejercicios de inecuaciones para estudiantes de 8° básico. Incluye instrucciones para representar gráficamente diferentes intervalos en una recta numérica y escribir los intervalos correspondientes a gráficos dados. Luego, propone 22 problemas de inecuaciones lineales para que los estudiantes resuelvan escribiendo la respuesta como desigualdad y gráficamente.
Este documento presenta un examen de fracciones para el séptimo grado que consta de 18 preguntas de selección múltiple. Se proporcionan instrucciones sobre el tiempo permitido, la forma de responder y la escala de calificación. Las preguntas cubren temas como operaciones con fracciones, conversiones entre fracciones y decimales, y problemas matemáticos que involucran el uso de fracciones.
Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre proporcionalidad directa. Explica que dos variables son directamente proporcionales si la razón entre ellas es constante. Muestra ejemplos de tablas, gráficos y fórmulas para representar situaciones de proporcionalidad directa. Finalmente, incluye una serie de ejercicios para que los estudiantes apliquen estos conceptos.
El documento explica la notación científica, la cual es un método para representar números muy grandes o pequeños usando pocos números y potencias de 10. Se escribe un número entre 1 y 10 multiplicado por 10 elevado a un exponente positivo o negativo. El documento también cubre cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números escritos en notación científica.
Este documento contiene una serie de ejercicios sobre ángulos en geometría para 6o primaria. Los ejercicios cubren temas como tipos de ángulos, medición de ángulos en grados, minutos y segundos, comparación y clasificación de ángulos, y suma de ángulos. El documento proporciona las instrucciones para cada ejercicio y en algunos casos incluye espacios en blanco para que el estudiante complete.
Taller potenciación y radicación para la webdiomeposada
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con la potenciación y radicación de números enteros. Incluye completar potencias de números, aplicar propiedades de potenciación y radicación, simplificar expresiones y resolver operaciones combinadas que involucran potencias y raíces.
áNgulos cortados por dos paralelas y una secanteJuan Jose Tello
Este documento presenta los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante. Explica que los ángulos correspondientes son iguales, los ángulos alternos internos son iguales y los ángulos conjugados internos suman 180°. Luego, proporciona 26 problemas para calcular valores desconocidos x basándose en estas propiedades.
El documento presenta 9 ejemplos de tablas de frecuencias con datos agrupados y no agrupados. Se pide elaborar tablas de frecuencias para cada uno de los ejemplos, incluyendo la frecuencia, frecuencia porcentual y frecuencia porcentual acumulada cuando corresponda. Los ejemplos incluyen datos como bebidas preferidas, temperaturas máximas, colores favoritos, ventas de autos Toyota y tiempos de entrega de paquetería.
Este documento presenta una prueba de matemáticas sobre inecuaciones lineales para estudiantes de cuarto medio. La prueba consta de 20 puntos de selección múltiple y 28 puntos de desarrollo para resolver inecuaciones, sistemas de inecuaciones y problemas relacionados. Los estudiantes deben demostrar su comprensión de conceptos como resolver inecuaciones lineales de una incógnita y utilizarlas para resolver problemas.
Este documento contiene 30 preguntas sobre conceptos geométricos como congruencia de triángulos, elementos secundarios y propiedades de figuras planas. Las preguntas abarcan temas como identificar triángulos congruentes basados en ángulos y lados correspondientes, determinar medidas de ángulos utilizando propiedades de figuras como bisectrices y medianas, y reconocer cuándo se cumplen las condiciones para la congruencia entre triángulos. Incluye también algunos ejercicios sobre cuadriláteros y sus propiedades.
El documento presenta 6 problemas de matemáticas relacionados con geometría y trigonometría. El primer problema determina la distancia desde el piso hasta la punta superior de un árbol de navidad usando el teorema del seno. Los problemas subsiguientes incluyen cálculos de áreas, aplicaciones de semejanza y congruencia de triángulos, y gráficas funcionales.
Solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.AbyDialy0804
1. El documento presenta teoremas y ejemplos para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto. Incluye temas como conjuntos de soluciones vacíos y el conjunto de todos los números reales.
2. Se explican cinco teoremas para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto en función de si la expresión es igual a un número positivo, negativo o cero.
3. Se incluyen 30 ejercicios resueltos como ejemplos para aplicar los teoremas.
MONOMIOS,Taller de nivelacion grado Octavo periodo doscriollitoyque
El documento presenta un taller de nivelación sobre monomios en matemáticas para grado 8. Explica los elementos de un monomio, cómo clasificar monomios como homogéneos o heterogéneos, y realizar operaciones como suma, resta y multiplicación con monomios. El taller contiene 10 ejercicios para identificar partes de monomios, reducir monomios semejantes, simplificar sumas y restas de monomios, y realizar multiplicaciones y divisiones con polinomios.
1) Este documento contiene 32 ejercicios tipo prueba de matemáticas racionales, incluyendo fracciones, decimales, porcentajes y operaciones básicas.
2) Los ejercicios van desde calcular el costo de comprar 3/4 kg de asado a $2.400 el kg, hasta ordenar fracciones y números decimales de menor a mayor y realizar operaciones como divisiones y multiplicaciones con fracciones y decimales.
3) El documento provee una serie de ejercicios para evaluar conocimientos básicos de matemáticas racionales
El documento presenta 8 preguntas de matemáticas sobre fracciones, decimales, operaciones aritméticas y coincidencias de viajeros. Las preguntas 1-5 involucran conversiones de fracciones a decimales, cálculos con fracciones y determinar el mayor divisor común. Las preguntas 6-7 implican convertir decimales a fracciones y calcular cuando coincidirán tres viajeros con diferentes frecuencias de viaje. La pregunta 8 incluye multiplicaciones con decimales.
Icfes ejemplo de preguntas matemáticas 2010Amigo VJ
Este documento presenta 13 preguntas de selección múltiple sobre conceptos matemáticos como gráficas de posición-tiempo, velocidad, funciones, triángulos y semejanza. Las preguntas están acompañadas de información contextual relevante y cuatro opciones de respuesta cada una. El objetivo es evaluar la comprensión de estos conceptos a través de la habilidad para seleccionar la respuesta correcta basándose en la información proporcionada.
Este documento explica la función cuadrática y sus características principales. La función cuadrática general es de la forma f(x)=ax2+bx+c. La gráfica es una parábola cuyo vértice y eje de simetría dependen de los coeficientes a y b. Se proporcionan ejemplos para ilustrar cómo calcular estos elementos y representar gráficamente funciones cuadráticas.
Prueba de matematicas tipo saber grado 6colegionusefa
Mariana vendió 6 pasteles de chocolate y 4 de fresa originalmente. Le quedaron 2 de chocolate y 2 de fresa, por lo que debe haber vendido 4 de chocolate y 2 de fresa, para un total de 6 pasteles vendidos. Un DVD portátil cuesta $3,800 y tiene un descuento del 65%, por lo que el precio final con descuento es $1,330.
Ejercicios de Radicación de números enterosgutidiego
Este documento presenta varios ejercicios sobre radicación de números enteros. Los ejercicios incluyen escribir raíces a partir de potencias dadas, hallar el valor de raíces, realizar operaciones con raíces, y comparar valores de raíces. El documento también incluye una sección sobre encontrar el camino de entrada a salida coloreando raíces exactas y posibles en el conjunto de los números enteros. Finalmente, proporciona dos referencias bibliográficas sobre matemáticas.
El documento presenta una serie de ejercicios y problemas relacionados con progresiones aritméticas y geométricas. Incluye 15 ejercicios de progresiones aritméticas que implican calcular términos generales, sumas de términos y valores de términos específicos. También presenta 10 problemas sobre sucesiones aritméticas y geométricas que involucran cálculos de poblaciones, maquinaria, intereses compuestos y ángulos de triángulos. Por último, contiene ejercicios sobre términos gener
Taller las propiedades de la radicaciónRamiro Muñoz
El documento describe diferentes propiedades de las raíces. Explica cuatro propiedades fundamentales: 1) la raíz de un producto, 2) la raíz de un cociente, 3) la raíz de una raíz, y 4) la raíz de una potencia. Además, presenta fórmulas para aplicar cada propiedad y ejemplos numéricos para ilustrarlas. Finalmente, propone actividades complementarias para practicar el uso de estas propiedades en diferentes casos.
Este documento presenta una guía de ejercicios de inecuaciones para estudiantes de 8° básico. Incluye instrucciones para representar gráficamente diferentes intervalos en una recta numérica y escribir los intervalos correspondientes a gráficos dados. Luego, propone 22 problemas de inecuaciones lineales para que los estudiantes resuelvan escribiendo la respuesta como desigualdad y gráficamente.
Este documento presenta un examen de fracciones para el séptimo grado que consta de 18 preguntas de selección múltiple. Se proporcionan instrucciones sobre el tiempo permitido, la forma de responder y la escala de calificación. Las preguntas cubren temas como operaciones con fracciones, conversiones entre fracciones y decimales, y problemas matemáticos que involucran el uso de fracciones.
Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre proporcionalidad directa. Explica que dos variables son directamente proporcionales si la razón entre ellas es constante. Muestra ejemplos de tablas, gráficos y fórmulas para representar situaciones de proporcionalidad directa. Finalmente, incluye una serie de ejercicios para que los estudiantes apliquen estos conceptos.
El documento explica la notación científica, la cual es un método para representar números muy grandes o pequeños usando pocos números y potencias de 10. Se escribe un número entre 1 y 10 multiplicado por 10 elevado a un exponente positivo o negativo. El documento también cubre cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números escritos en notación científica.
Este documento contiene una serie de ejercicios sobre ángulos en geometría para 6o primaria. Los ejercicios cubren temas como tipos de ángulos, medición de ángulos en grados, minutos y segundos, comparación y clasificación de ángulos, y suma de ángulos. El documento proporciona las instrucciones para cada ejercicio y en algunos casos incluye espacios en blanco para que el estudiante complete.
Taller potenciación y radicación para la webdiomeposada
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con la potenciación y radicación de números enteros. Incluye completar potencias de números, aplicar propiedades de potenciación y radicación, simplificar expresiones y resolver operaciones combinadas que involucran potencias y raíces.
áNgulos cortados por dos paralelas y una secanteJuan Jose Tello
Este documento presenta los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante. Explica que los ángulos correspondientes son iguales, los ángulos alternos internos son iguales y los ángulos conjugados internos suman 180°. Luego, proporciona 26 problemas para calcular valores desconocidos x basándose en estas propiedades.
El documento presenta 9 ejemplos de tablas de frecuencias con datos agrupados y no agrupados. Se pide elaborar tablas de frecuencias para cada uno de los ejemplos, incluyendo la frecuencia, frecuencia porcentual y frecuencia porcentual acumulada cuando corresponda. Los ejemplos incluyen datos como bebidas preferidas, temperaturas máximas, colores favoritos, ventas de autos Toyota y tiempos de entrega de paquetería.
Este documento presenta una prueba de matemáticas sobre inecuaciones lineales para estudiantes de cuarto medio. La prueba consta de 20 puntos de selección múltiple y 28 puntos de desarrollo para resolver inecuaciones, sistemas de inecuaciones y problemas relacionados. Los estudiantes deben demostrar su comprensión de conceptos como resolver inecuaciones lineales de una incógnita y utilizarlas para resolver problemas.
Este documento contiene 30 preguntas sobre conceptos geométricos como congruencia de triángulos, elementos secundarios y propiedades de figuras planas. Las preguntas abarcan temas como identificar triángulos congruentes basados en ángulos y lados correspondientes, determinar medidas de ángulos utilizando propiedades de figuras como bisectrices y medianas, y reconocer cuándo se cumplen las condiciones para la congruencia entre triángulos. Incluye también algunos ejercicios sobre cuadriláteros y sus propiedades.
El documento presenta 6 problemas de matemáticas relacionados con geometría y trigonometría. El primer problema determina la distancia desde el piso hasta la punta superior de un árbol de navidad usando el teorema del seno. Los problemas subsiguientes incluyen cálculos de áreas, aplicaciones de semejanza y congruencia de triángulos, y gráficas funcionales.
Este documento describe tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes: (1) Si dos ángulos de cada triángulo son iguales, (2) Si los lados correspondientes de cada triángulo son proporcionales, (3) Si dos lados correspondientes son proporcionales y el ángulo entre ellos es igual. Se proveen ejemplos para ilustrar cada criterio.
Aplicación de congruencias de triángulos prácticaAna Robles
Este documento presenta una lección sobre la aplicación de congruencias de triángulos. Revisa los teoremas y postulados de congruencia de triángulos, incluyendo LLL, LAL y ALA. Luego, proporciona varios ejercicios prácticos para que los estudiantes apliquen estos criterios de congruencia para hallar medidas de ángulos y valores desconocidos. Las soluciones a los ejercicios se muestran al final para revisión.
Se pueden sumar y restar números irracionales siempre que tengan el mismo índice y radicando, aunque a veces es necesario factorizar los radicandos primero para aplicar la propiedad distributiva de la radicación y simplificar los términos. No es posible sumar o restar números irracionales con diferentes índices o radicandos.
RETOS MATEMÁTICOS 5° GRADO <desafÍos>Ness D Celis
Este documento presenta un material didáctico llamado "Desafíos Alumnos. Quinto Grado" elaborado por la Secretaría de Educación Pública de México para alumnos de quinto grado de primaria. El material contiene 97 actividades divididas en cinco bloques temáticos con el objetivo de presentar retos matemáticos a los estudiantes.
El documento presenta información sobre la trigonometría y los triángulos semejantes. Explica que dos triángulos son semejantes si cumplen condiciones como tener ángulos iguales y lados proporcionales. Luego, describe criterios para determinar si dos triángulos son semejantes como comparar ángulos, lados o un ángulo y los lados correspondientes. Finalmente, pide indicar si algunas parejas de triángulos son semejantes o no.
El documento presenta un cuaderno de ejercicios para estudiantes de matemáticas de tercero de secundaria. El cuaderno contiene 13 actividades organizadas en tres ejes temáticos: sentido numérico y pensamiento algebraico, forma, espacio y medida, y manejo de la información. Cada actividad incluye entre uno y tres ejercicios que abordan conceptos matemáticos como ecuaciones cuadráticas, semejanza y congruencia de triángulos, funciones trigonométricas y estadística elemental. El objetivo
9. Taller No 9 Congruencia Y Semejanza IiiJuan Galindo
Este documento presenta un taller sobre congruencia y semejanza para estudiantes de noveno grado. El taller incluye actividades individuales y en grupo para que los estudiantes identifiquen las diferencias y similitudes entre figuras geométricas, establezcan los criterios para determinar si figuras son congruentes u semejantes, y definan congruencia y semejanza. El taller concluye con una evaluación donde los estudiantes deben aplicar los conceptos aprendidos para determinar si pares de figuras son congruentes o semejantes.
El documento clasifica los triángulos en equilátero, isósceles y escaleno según el número y longitud de sus lados. También los clasifica en agudángulo, rectángulo y obtusángulo según el tamaño de sus ángulos. Explica que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180 grados y proporciona ejemplos para calcular ángulos desconocidos y lados mediante proporcionalidad.
El documento presenta 22 problemas relacionados con la congruencia de triángulos. Los problemas involucran calcular lados, ángulos y medidas desconocidas usando propiedades como igualdad de lados, ángulos y triángulos congruentes.
Este documento presenta 20 problemas de geometría que involucran la congruencia de triángulos. Cada problema contiene una figura geométrica con triángulos y segmentos de línea, y pide calcular un ángulo desconocido, la medida de un lado o determinar si dos triángulos son congruentes basándose en las propiedades de los triángulos congruentes.
El documento trata sobre la semejanza de triángulos y presenta dos problemas relacionados con la altura de objetos basándose en las sombras que proyectan. El primer problema pregunta por la altura de un árbol cuya sombra es de 2.4 metros, si un muchacho de 1.6 metros proyecta una sombra de 2.5 metros. El segundo problema busca la altura de una torre de iglesia cuya sombra es de 8.4 metros, si un señor de 1.8 metros proyecta una sombra de 0
Este documento presenta los conceptos de proporcionalidad geométrica y semejanza de triángulos. Explica que dos segmentos son proporcionales si su razón es constante y que el Teorema de Tales establece que si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. También describe los tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes y cómo la semejanza de triángulos se puede aplicar para resolver problemas de la vida real.
Proyecto de geometria 4to año. semejanza de triángulosRUBEN ESPINOZA
Este documento describe un proyecto de geometría sobre la semejanza de triángulos. El proyecto incluye tres actividades para medir la altura de postes y árboles utilizando la semejanza de triángulos. La primera actividad utiliza un cuadrado de cartón para medir la altura de un poste, la segunda mide la sombra de un árbol y un palo para calcular la altura del árbol, y la tercera actividad mide la sombra de un observador para hallar la altura del mismo árbol.
Este documento presenta 8 preguntas de geometría sobre triángulos. Las preguntas involucran calcular ángulos desconocidos, hallar bisectrices y relaciones entre ángulos. El documento provee gráficos y datos numéricos para que el lector pueda resolver las preguntas planteadas.
El documento describe el concepto de semejanza de figuras geométricas y los criterios de semejanza para triángulos. Existen tres criterios de semejanza de triángulos: ángulo-ángulo (AA), lado-lado-lado (LLL), y lado-ángulo-lado (LAL). El documento incluye definiciones, ejemplos y ejercicios para ilustrar estos criterios.
El documento presenta una serie de 14 problemas de lógica y razonamiento que involucran mover palitos de fósforo entre figuras para lograr ciertas transformaciones, como formar más cuadrados o triángulos. Cada problema viene acompañado de la figura inicial de palitos y las instrucciones sobre la transformación requerida moviendo sólo unos pocos palitos. El objetivo es desarrollar el pensamiento lógico a través de estos retos prácticos.
Se le pide al jugador que tome 3 fósforos de un grupo de 15 y los coloque en una nueva figura formando 3 cuadrados, dejando los 12 fósforos restantes en su posición original.
Este documento presenta 14 ejercicios resueltos sobre semejanza de triángulos. Los ejercicios involucran el cálculo de escalas, áreas, volúmenes, distancias y dimensiones reales basados en planos o mapas a diferentes escalas. También incluyen problemas geométricos que utilizan las propiedades de triángulos semejantes. Cada ejercicio está explicado con detalle paso a paso.
Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con la semejanza de triángulos y las escalas. Los ejercicios involucran el cálculo de distancias, áreas, volúmenes y dimensiones reales basados en planos y mapas a diferentes escalas. Se explican las soluciones paso a paso utilizando teoremas geométricos como el teorema del cateto y el teorema de la altura.
Este documento presenta varios temas clave de matemáticas para el segundo año de la educación secundaria obligatoria. Explica el teorema de Tales, la semejanza de figuras, la ampliación y reducción de figuras, y el teorema de Pitágoras. También incluye ejemplos y ejercicios resueltos para cada tema.
Este documento presenta varios temas clave de matemáticas para el segundo año de la educación secundaria obligatoria. Introduce el teorema de Tales, la semejanza de figuras, la ampliación y reducción de figuras, y el teorema de Pitágoras. Explica cada concepto con definiciones, ejemplos y ejercicios resueltos. El objetivo es que los estudiantes aprendan a aplicar estos conceptos geométricos fundamentales.
Este documento presenta varios temas matemáticos de 2o de ESO como el Teorema de Tales, la semejanza de figuras, la ampliación y reducción de figuras y el Teorema de Pitágoras. Incluye definiciones, ejemplos y ejercicios resueltos de cada tema. El objetivo es que los estudiantes aprendan a aplicar correctamente estos conceptos geométricos.
El documento habla sobre el tangram, un rompecabezas chino compuesto por 7 piezas geométricas que forman un cuadrado. Se pide construir figuras geométricas usando las piezas y comparar el área y perímetro de un triángulo y un cuadrado formados con ellas. El propósito es establecer relaciones entre atributos medibles de objetos reales y sus representaciones bidimensionales.
El documento presenta la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Explica cómo identificar los valores de a, b y c en una ecuación cuadrática y aplicar la fórmula para encontrar las raíces. Resuelve un ejemplo paso a paso usando la fórmula general para resolver la ecuación 5x^2 - 8x = -3. Finalmente, presenta actividades para que los estudiantes apliquen la fórmula general para resolver diferentes ecuaciones cuadráticas.
El documento presenta la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Explica cómo identificar los valores de a, b y c en una ecuación cuadrática y aplicar la fórmula para encontrar las raíces. Resuelve un ejemplo paso a paso usando la fórmula general para resolver la ecuación 5x^2 - 8x = -3.
El documento presenta una demostración geométrica del Teorema de Pitágoras, seguida de ejercicios y problemas de aplicación. Explica cómo usar el teorema para calcular lados desconocidos en triángulos rectángulos a través de la relación entre los cuadrados de los catetos y la hipotenusa.
Este documento contiene un examen de evaluación con varias preguntas sobre geometría, proporcionalidad y semejanza. Las preguntas incluyen calcular medidas, identificar figuras semejantes, determinar distancias usando escalas y resolver problemas usando proporcionalidad directa e inversa.
Este documento presenta información sobre geometría, incluyendo semejanza, trigonometría y resolución de triángulos rectángulos. Contiene ejemplos y ejercicios resueltos sobre el teorema de Thales, el teorema de Pitágoras, razones trigonométricas y relaciones entre ellas.
Este documento contiene 39 ejercicios sobre semejanzas y trigonometría. Los ejercicios involucran cálculos geométricos usando propiedades de figuras semejantes como triángulos, rectángulos y otras formas. También incluye conversiones entre grados y radianes. El objetivo es que los estudiantes practiquen la resolución de problemas matemáticos relacionados con las semejanzas y la trigonometría.
Este documento presenta información sobre el área de diferentes figuras planas como cuadrados, rectángulos, rombos, romboides, triángulos y polígonos regulares e irregulares. Explica cómo calcular el área de cada figura utilizando fórmulas como multiplicar la base por la altura para rectángulos y romboides, y dividir el producto de la diagonal mayor por la menor para rombos. También proporciona ejemplos numéricos de cálculos de área y preguntas para practicar el tema.
Este documento repasa conceptos matemáticos básicos como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, porcentajes, así como también figuras geométricas, perímetros y áreas. Explica cómo calcular el perímetro de triángulos, cuadrados, rectángulos y círculos, y el área de cuadrados, rectángulos y triángulos. Incluye ejercicios de práctica para reforzar estos conceptos.
El documento presenta una serie de ejercicios de álgebra, ecuaciones y sistemas de ecuaciones, semejanza y proporcionalidad. Incluye expresiones algebraicas, operaciones con polinomios, resolución de ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones y problemas de semejanza que implican figuras geométricas, proporciones y escalas.
Este documento presenta el plan de estudios de geometría y trigonometría para el tercer grado durante el período del 9 de mayo al 6 de junio. Cubre temas como la congruencia y semejanza de triángulos, teoremas relacionados y cómo resolver problemas utilizando estos conceptos.
Este documento presenta un manual de corrección para una ficha de problemas de 2o grado sobre planos y mapas a escala. Incluye indicadores de evaluación y resuelve 15 preguntas utilizando estrategias como determinar coordenadas, calcular distancias reales basadas en escalas dadas, y usar proporcionalidad para resolver problemas con figuras semejantes. El documento muestra de manera detallada los pasos para llegar a cada solución.
El documento presenta una demostración geométrica del Teorema de Pitágoras y luego proporciona ejercicios y problemas de aplicación. Explica cómo usar el Teorema de Pitágoras para calcular lados desconocidos en triángulos rectángulos dibujados en los problemas propuestos.
Este documento presenta 18 problemas de álgebra que involucran ecuaciones de segundo grado. Cada problema describe una situación matemática y pide calcular valores desconocidos. Las soluciones a cada problema se proporcionan. Los problemas cubren una variedad de temas como números, áreas, perímetros y lados de figuras geométricas.
Este documento presenta un modelo de prueba de matemática que consta de 35 preguntas distribuidas en 4 ejes temáticos: números y proporcionalidad, álgebra y funciones, geometría y probabilidad y estadística. Incluye instrucciones específicas para responder la prueba y una lista de símbolos matemáticos. El propósito de la prueba es evaluar la capacidad de los estudiantes en reconocer conceptos matemáticos, identificar y aplicar métodos para resolver problemas, y analizar y evaluar información
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1. Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 1
TEMA 6 – SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
ESCALAS
EJERCICIO 1 : En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la
realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene
Fernando en la realidad?
Solución
Altura en la foto de María 2,5 1
Calculamos la escala: Escala La escala es 1:67.
Altura real de María 167,5 67
Calculamos la altura real de Fernando: Altura real 67 · 2,7 180,9 cm
EJERCICIO 2 : Una empresa de construcción ha realizado la maqueta a escala 1:90 de un nuevo
edificio de telefonía móvil, con forma de pirámide cuadrangular. En la maqueta, la altura de la
pirámide es de 5,3 dm y el lado de la planta es de 2,4 dm. Calcula el volumen real del edificio
expresando en metros cúbicos el resultado.
Solución:
1
El volumen de una pirámide es Área de la base Altura.
3
Calculamos la altura en la realidad: Altura real 5,3 · 90 477 dm
Calculamos el área de la base en la realidad, aplicando que la razón entre las áreas de dos figuras
Maqueta 2,42 5,76 dm2
semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza: Área de la base
Real A
A
Razón de semejanza 90 Luego: 902 A 90 2 5,76 46 656 dm2
5,76
Finalmente, sustituyendo en la fórmula del volumen, se obtiene:
1
VREAL 46 656 477 7 418304 dm3 7 418,304 m3
3
EJERCICIO 3 : Lorena presenta este plano de su cocina junto con el tendedero a una empresa de
reformas. ¿De qué superficie dispondrá si decide unir la cocina y el tendedero?
Solución:
Medimos en el plano las dimensiones correspondientes:
Largo 7,4 cm Largo 3,5 cm
Cocina Tendedero
Ancho 3,4 cm Ancho 1,3 cm
Calculamos las dimensiones reales sabiendo que el plano está realizado a escala 1:50:
Largo 7,4 50 370 cm 3,7 m
Cocina Área 3,7 1,7 6,29 m
Ancho 3,4 50 170 cm 1,7 m
Largo 3,5 50 175 cm 1,75 m
Tendedero Área 1,75 0,65 1,14 m2
Ancho 1,3 50 65 cm 0,65 m
Área total disponible 6,29 1,14 7,43 m2
2. Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 2
EJERCICIO 4 : Se quiere enmarcar una fotografía de dimensiones 6 cm 11 cm. Calcula las
dimensiones del marco para que la razón entre el área del marco y el área de la fotografía sea 25/16.
Solución
Llamamos x área del marco x 25
2 por ser la fotografía y el marco
Área fotografía 66 cm 66 16
25
semejantes, y la razón entre sus áreas, .
16
x 25 25 5
De la igualdad se deduce que la razón de semejanza es .
66 16 16 4
5 30 5 55
Dimensiones del marco: 6 7,5 cm 11 13,75 cm.
4 4 4 4
EJERCICIO 5 : En un mapa, de escala 1:250 000, la distancia entre dos pueblos es de 1,3 cm.
a ¿Cuál es la distancia real entre ambos pueblos?
b ¿Cuál sería la distancia en ese mapa, entre otros dos pueblos que en la realidad distan 15 km?
Solución
Distancia mapa
a) Distancia real 1,3 250000 325 000 cm 3,25 km
Escala
En la realidad están separados 3,25 km.
1500000
b) Distancia mapa Escala Distancia real 6 cm
250000
En el mapa, los dos pueblos están separados 6 cm.
EJERCICIO 6 : Marcos ha realizado este plano de su habitación a escala 1:50. Calcula el área de la
habitación y las dimensiones de la cama.
Solución
Dimensiones en el plano de la habitación:
Largo 6,5 cm Ancho 6,3 cm
Dimensiones reales de la habitación:
Largo 6,5 · 50 325 cm 3,25 m Ancho 6,3 · 50 315 cm 3,15 m
Área de la habitación 3,25 · 3,15 10,24 m2
Dimensiones en el plano de la cama:
Largo 3,8 cm Ancho 2,7 cm
En la realidad, las dimensiones de la cama serán:
Largo 3,8 · 50 190 cm 1,9 m Ancho 2,7 · 50 135 cm 1,35 m
EJERCICIO 7 : En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cuál será la escala de ese
mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa, ¿cuál sería la
distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm?
Solución
3. Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 3
En este mapa, 7,5 cm representan 153 km reales. 7,5 cm 153 km 15 300 000 cm
Distancia mapa 7,5 1
Escala La escala es 1:2 040 000.
Distancia real 15300 000 2040000
Si en el mapa hay dos poblaciones que distan 12,25 cm, la distancia real será:
12,25 · 2 040 000 24 990 000 cm 249,9 km
PROBLEMAS
EJERCICIO 8 : Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura
de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué
profundidad tiene la piscina?
Solución: Hacemos un dibujo que refleje la situación:
x profundidad de la piscina
Los triángulos ABC y CDE son semejantes (sus ángulos son iguales).
2,3 x 2,3 1,74
Luego: x 3,45 m La profundidad de la piscina es de 3,45 m.
1,16 1,74 1,16
EJERCICIO 9 : Se quiere construir un parterre con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que la
altura y la proyección de un lado sobre el lado mayor hipotenusa miden 15,3 m y 8,1 m,
respectivamente. Calcula el perímetro del parterre.
Solución: Dibujamos un triángulo rectángulo y ponemos los datos en él:
Hemos de calcular x, y, z.
Por el teorema de la altura, calculamos x: 15,32 8,1 · x 234,09 8,1 · x x 28,9 m
Calculamos y, z usando el teorema del cateto:
z 2 8,1 28,9 8,1 z 2 8,1 37 z2 299,7
y 2 28,9 28,9 8,1 y 2 28,9 37 y 2 1069,3
Luego: z 17,31 m, y 32,7 m
Así, el perímetro del parterre será: 17,31 32,7 37 87,01 m
EJERCICIO 10 : Calcula la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del día
proyecta una sombra de 3,5 m y una persona que mide 1,87 m tiene, en ese mismo instante, una
sombra de 85 cm.
Solución
La casa y la persona forman con su sombra un triángulo rectángulo; ambos triángulos son semejantes por
ser los rayos del sol, en cada momento, paralelos.
4. Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 4
x altura de la casa
x 3,5 3,5 1,87
Por la semejanza de triángulos, se tiene: x 7,7 m es la altura de la casa.
1,87 0,85 0,85
EJERCICIO 11 : Dos farmacias se encuentran en un mismo edificio por la misma cara. Cristina, que
está en el portal del edificio de enfrente, quiere comprar un medicamento. Observa el dibujo e indica
cuál de las dos farmacias está más cerca de Cristina haciendo los cálculos que correspondan. ¿A
qué distancia está Cristina del quiosco?
Solución
Según el dibujo, las visuales desde donde está Cristina a las farmacias forman un ángulo de 90.
Pongamos los datos en el triángulo:
Calculamos x e y aplicando el teorema del cateto:
x 2 18,05 21,25 x 2 383,56 x 19,58 m
y 2 3,2 21,25 y 2 68 y 8,25 m
Cristina está más cerca de la farmacia 2.
2 2
Calculamos h usando el teorema de la altura:h 18,05 · 3,2 h 57,76 h 7,6 m
Cristina está a 7,6 m del quiosco.
EJERCICIO 12 : En un triángulo rectángulo se inscribe un rectángulo cuya base es dos veces su
altura. Los catetos del triángulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente. Calcula las dimensiones del
rectángulo.
Solución
Hacemos un dibujo que represente la situación:
5. Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 5
Los triángulos ABC y CDE son semejantes (están en posición de Tales).
5 7
Luego 7a 5 7 2a 7a 35 10a 17a 35 a 2,06 cm
a 7 2a
Las dimensiones del rectángulo son, aproximadamente, 2,06 y 4,12 cm.
EJERCICIO 13 : Antonio y Víctor tienen sus casas en la misma acera de una calle recta. Todos los
días van a un polideportivo que forma triángulo rectángulo con sus casas. Observa la figura y
responde:
a ¿A qué distancia está la casa de Víctor del polideportivo?
b ¿Qué distancia separa ambas casas?
Solución
Necesitamos calcular x e y:
Para calcular x lo más rápido es calcular el valor de la hipotenusa, que llamaremos z, aplicando el
teorema del cateto: 7,52 4,5 · z 56,25 4,5 · z z 12,5 km
Así, la distancia entre ambas casas es de 12,5 km.
Calculamos y aplicando, de nuevo, el teorema del cateto:
y 2 x z y 2 12,5 4,5 12,5 y 2 8 12,5 y 2 100 y 10 km
Entre la casa de Víctor y el polideportivo hay 10 km.
EJERCICIO 14 : El siguiente dibujo nos muestra el circuito que hace un excursionista que parte de
A. Calcula la longitud del circuito sabiendo que AC 5 km y la distancia de B al albergue
.
es de 2,4 km.
Solución
6. Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 6
El objetivo es calcular AB y BC.
Empezamos por calcular x aplicando el teorema de la altura: 2,42 x · 5 x 5,76 5x x2
3,2
5 25 23,04 5 1,96 5 1,4
x2 5x 5,76 0 x
2 2 1
1,8
Si x 3,2 5 x 5 3,2 1,8
Tenemos pues, según el dibujo, que x 1,8 km y 5 x 3,2 km.
Si x 1,8 5 x 5 1,8 3,2
y 2 1,8 5 y 2 9 y 3km
Calculamos y y z aplicando el teorema del cateto: 2 2
z 3,2 5 z 16 z 4km
La longitud del circuito será 3 4 5 12 km.
EJERCICIO 15 : Un barco se halla entre dos muelles separados (en línea recta) 6,1 km. Entre ambos
se encuentra una playa situada a 3,6 km de uno de los muelles. Calcula la distancia entre el barco y
los muelles sabiendo que si el barco se dirigiera hacia la playa, lo haría perpendicularmente a ella.
¿Qué distancia hay entre el barco y la playa? (NOTA: El ángulo que forma el barco con los dos
muelles es de 90).
Solución
Hacemos una representación del problema:
x 2 6,1 2,5 x 2 15,25 x 3,91km
Aplicando el teorema del cateto, calculamos x e y:
y 2 6,1 3,6 y 2 21,96 y 4,69 km
El barco se encuentra a 3,91 km de un muelle y a 4,69 km del otro.
Calculamos la distancia del barco a la playa, aplicando el teorema de la altura: h2 2,5 · 3,6
2
h 9 h 3 km La distancia del barco a al playa es de 3 km
EJERCICIO 16 : Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en
el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.
Solución
La longitud de un puente será x 10,2; la del otro, y 6,5; por tanto, el objetivo está en calcular el valor
de x e y.
Los triángulos que se forman son semejantes (sus tres ángulos son iguales) y son:
7. Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 7
15,9 10,2 10,6 10,2
x 6,8 m
10,6 x 15,9
Se cumple, pues, la proporcionalidad entre lados respectivos:
15,9 y 15,9 6,5
y 9,75 m
10,6 6,5 10,6
Las longitudes de los puentes son: 6,8 10,2 17 m y 9,75 6,5 16,25 m.
EJERCICIO 17 : Entre Sergio, de 152 cm de altura, y un árbol, hay un pequeño charco en el que se
refleja su copa. Calcula la altura de dicho árbol sabiendo que las distancias que separan a Sergio del
lugar de reflejo en el charco y del árbol son de 3,2 m y 10,7 m, respectivamente.
Solución
Hacemos una representación del problema llamando x a la altura del árbol:
Los dos triángulos rectángulos que se obtienen son semejantes (sus ángulos son iguales),
x 7,5
Luego: x 3,56 Por tanto, la altura del árbol es de 3,56 m.
1,52 3,2
EJERCICIO 18 : Una torre mide 100 m de altura. En un determinado momento del día, una vara
vertical de 40 cm arroja una sombra de 60 cm. ¿Cuánto medirá la sombra proyectada en ese instante
por la torre?
Solución
La torre y la vara forman con su sombra un triángulo rectángulo; ambos triángulos son semejantes por ser
los rayos del sol, en cada momento, paralelos.
Por la semejanza de triángulos se obtiene:
100 x 100 0,6
x 150 Por tanto, la sombra de la torre mide 150 m.
0,4 0,6 0,4
EJERCICIO 19 : Para medir la altura de una montaña, Pedro, de 182 cm de altura, se sitúa a 2,3 m de
un árbol de 3,32 m situado entre él y la montaña de forma que su copa, la cima de dicha montaña y
los ojos de Pedro se encuentran en línea. Sabiendo que Pedro se encuentra a 138 m del pie de la
montaña, calcula la altura de la montaña.
Solución
Hacemos una representación del problema:
8. Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 8
x 138 1,5 138
En la figura tenemos dos triángulos semejantes. Luego: x 90
1,5 2,3 2,3
La altura de la montaña será: x 1,82 90 1,82 91,82 m
EJERCICIO 20 : Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 47 m en el mismo
momento que la sombra de Alberto, de altura 1,80 m, mide 3 m.
Solución
Alberto y el edificio forman con su sombra un triángulo rectángulo; ambos triángulos son semejantes pues
los rayos del sol, en cada momento, son paralelos.
x 47 1,8 47
Por la semejanza de triángulos se tiene: x 28,2
1,8 3 3
El edificio mide 28,2 m de altura.
EJERCICIO 21 : Se quiere enterrar un cable por el exterior de un terreno triangular de vértices A, B,
C, rectángulo en B. Se sabe que AC 35,36 m y la altura sobre AC es 15,6 cm. .
Calcula la cantidad de cable que se necesita y cuánto costará, sabiendo que el precio es de 0,3 €/m.
Solución
El objetivo es calcular x e y; calculamos previamente a y b, usando el teorema de la altura:
15,62 a b 2 2 2
15,6 a 35,36 a 243,36 35,36a a a 35,36a 243,36 0
b 35,36 a
26 b 9,36
35,36 276,8896 35,36 16,64
a
2 2
9,36 b 26
Observando el dibujo, tomamos a 9,36 m y b 26 m.
Calculamos x e y aplicando el teorema del cateto:
9. Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 9
x 2 a 35,36 x 2 9,36 35,36 x 2 330,9696
Luego, x 18,19 m e y 30,32 m.
y 2 b 35,36 y 2 26 35,36 y 2 919,36
La cantidad de cable que se necesita coincidirá con el perímetro del triángulo:
18,19 30,32 35,36 83,87 m
Y su coste será 83,87 · 0,3 25,16 €
EJERCICIO 22 : Calcula el perímetro y el área de un triángulo rectángulo sabiendo que la altura y la
proyección de un cateto sobre la hipotenusa son de 2 cm y 2,5 cm, respectivamente.
Solución:
Necesitamos calcular el valor de x, y, z.
Calculamos x aplicando el teorema de la altura:22 x · 2,5 4 x · 2,5 x 1,6 cm
Calculamos y y z aplicando el teorema del cateto:
y 2 1,6 1,6 2,5 y 2 1,6 4,1 y 2 6,56
Luego, y 2,56 cm y z 3,2 cm.
z2 2,5 1,6 2,5 z 2 2,5 4,1 z 2 10,25
4,1 2
Por tanto: Perímetro 2,56 3,2 4,1 9,86 cm Área 4,1 cm2
2
AREAS Y VOLÚMENES
EJERCICIO 23 : Un arquitecto ha hecho una maqueta a escala 1:100 de un edificio destinado a
oficinas, con forma de cubo cuya arista mide 70 m. Calcula la superficie de la planta y el volumen
que el edificio tendrá en la maqueta.
Solución
Calculamos la longitud, L; de la arista en la maqueta:
7 000
70 m 7 000 cm longitud L Longitud real escala 70 cm
100
Luego: Area de la planta 70 · 70 4 900 cm2 0,49 m2
Volumen del edificio 703 343 000 cm3 0,343 m3
EJERCICIO 24 : Los lados de dos pentágonos regulares miden 7 cm y 5 cm, respectivamente. ¿Son
semejantes? En caso afirmativo calcula la razón de semejanza entre sus áreas.
Solución
Sí son semejantes. Por ser pentágonos regulares, todos sus lados y sus ángulos medirán lo
7
mismo, luego la razón de semejanza será siempre la misma, .
5
La razón de semejanza entre sus áreas será igual al cuadrado de la razón de semejanza,
2
7 49
es decir, será .
5 25
EJERCICIO 25 : Un rectángulo tiene dimensiones 3 cm 6 cm. Calcula el área y las dimensiones de
9
otro rectángulo semejante a él, sabiendo que la razón entre sus áreas es de .
4
Solución
10. Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 10
Área del rectángulo conocido 3 6 18 cm2
x 9 18 9
x 40,5 cm2
Área del rectángulo que nos piden x
18 4 4
La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza. Por
9 3
tanto: Razón de semejanza
4 2
3 9 3 18
Luego las dimensiones del rectángulo que nos piden son: 3 4,5 cm 6 9 cm
2 2 2 2
CUESTIONES
EJERCICIO 26 : ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones? Razona la respuesta:
a Dos triángulos equiláteros son siempre semejantes.
b
Los triángulos AOC A’OB’ y A’’OB’’ no son semejantes.
c El valor de x es de 4 cm.
Solución
a Verdadero. En un triángulo equilátero todos los ángulos son iguales, 60.
b) Falso. Los tres triángulos tienen dos ángulos iguales, el de 90° y el ángulo O, luego son semejantes.
c Verdadero. Los dos triángulos que se forman están en posición de Tales, luego:
2 x 23
x 4 cm
1,5 3 1,5
EJERCICIO 27 : Razona si son ciertas o no las siguientes afirmaciones:
a En dos triángulos semejantes, la razón de dos alturas correspondientes es igual a la razón de
semejanza.
b ABC es semejante a CDE.
11. Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 11
c En dos triángulos isósceles, el ángulo que forman sus dos lados iguales coincide (70), pero los
triángulos no son semejantes.
Solución
a Verdadero. Dibujamos dos triángulos y trazamos la misma altura en ambos:
ABC y ABC son semejantes A A.
ABD y ABD serán semejantes por tener dos ángulos iguales, que son A y D 90.
BD AB
Luego, sus lados han de ser proporcionales. Así: razón de semejanza
BD AB
Luego la razón entre dos alturas correspondientes será igual a la razón de semejanza.
b Falso. Sus lados no son proporcionales.
15 10 9
A simple vista se ve que uno es isósceles y otro no.
3 2 2
c Falso. En ambos triángulos los ángulos van a coincidir.
180 70
110 110 En ambos triángulos, los ángulos son de 70, 55 y 55.
55
2
EJERCICIO 28 : Explica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a Dos triángulos rectángulos isósceles son siempre semejantes.
b Si unimos los puntos medios de un cuadrado obtenemos otro cuadrado que no es semejante al
anterior.
c
12. Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 12
Los triángulos ABC y CDE son semejantes.
Solución
a Verdadero. Por ser rectángulo, un ángulo será de 90. Luego, 90. Por ser isósceles, , es
decir, 45.
Todos los triángulos rectángulos isósceles serán semejantes, por tener los ángulos respectivos iguales:
90, 45 y 45.
b
Falso. La razón de semejanza entre los lados de dos cuadrados es siempre la misma,
a
, según la figura.
b
c Verdadero. Los tres ángulos son iguales en ambos:
180 115 21 44 Los ángulos son pues de 115, 21 y 44.
EJERCICIO 29 : Razona las siguientes afirmaciones, indicando si son ciertas o no.
a Dos triángulos rectángulos son siempre semejantes.
b Los triángulos ABC y ABD están en posición de Tales.
c Los triángulos ABC y A’B’D’ con C = C’, AC = 6 cm, BC = 8 cm, A’B’ = 9 cm y
B’C’ = 12 cm son semejantes.
Solución
a Falso. Tendrían el ángulo recto igual, pero necesitaríamos que los catetos fueran proporcionales entre
ambos triángulos, o bien que uno de los ángulos agudos coincidiera en los dos triángulos.
b Falso. Tienen un ángulo en común, pero los lados opuestos a este ángulo no son paralelos.
c
9 12
1,5 Verdadero. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman esos lados es igual.
6 8
13. Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 13
EJERCICIO 30 : Indica, explicando el motivo, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a El triángulo de lados 3, 5 y 7 cm es semejante a otro de lados 7,5; 12,5 y 16,8 cm.
b El triángulo ABD es semejante al triángulo ABC.
c Dos antenas verticales y paralelas forman con sus sombras dos triángulos que están en posición
de Tales se suponen antenas de distintas alturas.
Solución
7,5 12,5 16,8
a Falso. Los lados no son proporcionales:
3 5 7
b Verdadero. Colocamos los dos triángulos rectángulos por separado:
34,56 14,4
2,4
14,4 6
Son semejantes porque tienen un ángulo igual el de 90 y los lados de ese ángulo son proporcionales.
c Verdadero. Hagamos un dibujo que represente la situación:
Se forman dos triángulos rectángulos, con un ángulo común y los lados opuestos a éste ángulo son
paralelos. Por tanto, están en posición de Tales.