Este documento presenta las ecuaciones básicas de la cinemática para el movimiento rectilíneo, incluyendo desplazamiento, velocidad media, velocidad instantánea, aceleración media, aceleración instantánea y movimiento con aceleración constante. Resuelve ejemplos numéricos y explica el movimiento en caída libre.
El documento describe la cinemática de una partícula, incluyendo movimiento con aceleración constante, caída libre, y movimiento bidimensional con aceleración constante. Presenta fórmulas para posición, velocidad y aceleración en términos del tiempo. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar el uso de las fórmulas.
El documento describe el movimiento rectilíneo con aceleración constante, incluyendo las ecuaciones para la posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo. También cubre el movimiento bidimensional parabólico de proyectiles y cuerpos en caída libre, con ejemplos numéricos.
Este documento introduce el concepto de aceleración media y aceleración constante para describir el movimiento de una partícula que se mueve en línea recta. Define la aceleración media como el cambio de velocidad dividido por el cambio de tiempo. Para un movimiento con aceleración constante, la aceleración no cambia con el tiempo y hay relaciones lineales entre la posición, velocidad y tiempo. También presenta ecuaciones para calcular la velocidad y posición de una partícula en cualquier instante de tiempo si se conoce su aceleración constante y condic
El documento resume diferentes tipos de movimientos como el movimiento rectilíneo uniforme, movimiento rectilíneo uniformemente variado, movimiento circular, tiro vertical y tiro parabólico. Explica las ecuaciones que rigen cada movimiento y provee ejemplos numéricos para ilustrarlos.
El documento presenta información sobre cinemática en una y dos dimensiones. Explica conceptos como posición, desplazamiento, velocidad promedio e instantánea, aceleración, y movimiento de proyectiles. Incluye ecuaciones para calcular estas cantidades y ejemplos numéricos de problemas de movimiento.
Aplicación de ecuaciones vectoriales paramétricas para la determinación de la...daisy_hernandez
Este documento presenta conceptos fundamentales de cinemática, incluyendo posición, velocidad, aceleración y ecuaciones vectoriales. Explica cómo se define la posición, velocidad media y velocidad instantánea de una partícula en movimiento rectilíneo. También describe cómo usar ecuaciones vectoriales, paramétricas y cartesianas para representar rectas y planos.
Este documento trata sobre la cinemática de una partícula y describe conceptos fundamentales como sistemas de referencia, vectores de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración. Explica el movimiento rectilíneo uniforme, el movimiento rectilíneo uniformemente variado y el movimiento con aceleración constante. Define las componentes intrínsecas de la aceleración y describe el movimiento en caída libre.
El documento trata sobre la cinemática y los diferentes tipos de movimiento. Explica que el movimiento rectilíneo uniforme (MRU) es aquel en el que la velocidad se mantiene constante, por lo que el móvil se desplaza a la misma velocidad en línea recta. También introduce el movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), donde la velocidad cambia de forma constante debido a una aceleración que se mantiene fija.
El documento describe la cinemática de una partícula, incluyendo movimiento con aceleración constante, caída libre, y movimiento bidimensional con aceleración constante. Presenta fórmulas para posición, velocidad y aceleración en términos del tiempo. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar el uso de las fórmulas.
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02 – vectores y cinemática en una dimensiónoscarvelasco64
El documento describe conceptos básicos de cinemática, incluyendo: 1) La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos considerados como partículas; 2) Para describir el movimiento se necesita ubicar la partícula en el espacio usando un sistema de coordenadas y medir el tiempo; 3) La posición, velocidad, aceleración y otras cantidades pueden representarse como escalares o vectores dependiendo de si incluyen dirección.
El documento describe la aceleración como la relación entre los cambios en la velocidad y el tiempo en que ocurren. La aceleración puede ser tangencial, que relaciona cambios en la rapidez, o normal, que relaciona cambios en la dirección. El movimiento puede ser rectilíneo uniforme, con velocidad constante, o uniformemente acelerado, con velocidad variable debido a una aceleración constante.
El documento describe los conceptos fundamentales de la cinemática vectorial, incluyendo vectores de posición, itinerario y trayectoria, velocidad instantánea, velocidad media, aceleración media e instantánea. Presenta ejemplos de movimiento rectilíneo uniforme, lanzamiento de proyectiles, movimiento circular uniforme y no uniforme, y define las componentes tangencial y normal de la aceleración.
Este documento trata sobre el movimiento rectilíneo uniforme. Define el movimiento rectilíneo uniforme como aquel en el que la velocidad es constante. Presenta las fórmulas fundamentales para calcular distancia, velocidad y tiempo en este tipo de movimiento. También describe las gráficas de posición vs tiempo y velocidad vs tiempo para el movimiento rectilíneo uniforme y resuelve algunos problemas de aplicación.
Este documento trata sobre la cinemática, que es el estudio del movimiento. Explica conceptos como el vector posición, desplazamiento, velocidad, aceleración y diferentes tipos de movimiento como el rectilíneo uniforme, rectilíneo uniformemente acelerado y circular uniforme. Incluye ecuaciones y ejemplos para calcular estas cantidades en diferentes situaciones de movimiento.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la cinemática del punto material, incluyendo:
1) Los tipos de movimiento (traslación y rotación), y los sistemas de referencia.
2) Las definiciones de posición, trayectoria, desplazamiento y espacio recorrido.
3) Las definiciones y ecuaciones de la velocidad media, velocidad instantánea, aceleración media e instantánea.
4) Los diferentes tipos de movimiento como rectilíneo uniforme, rectilíneo uniformemente acelerado,
El documento describe los conceptos básicos del movimiento rectilíneo y curvilíneo. Explica que el movimiento rectilíneo sigue una línea recta mientras que el curvilíneo sigue trayectorias parabólicas, elípticas u oscilatorias. También define conceptos como posición, desplazamiento, velocidad media e instantánea, aceleración media e instantánea y sus componentes tangenciales y normales para el movimiento curvilíneo.
Este documento describe la interpretación cinemática de la derivada. Explica que la derivada representa la rapidez instantánea de variación de una función y puede interpretarse geométricamente como la pendiente de la tangente. También analiza conceptos como velocidad, aceleración y su relación con la derivada para describir el movimiento rectilíneo.
El documento describe el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), donde los cuerpos se mueven a velocidad constante en línea recta sin aceleración. Explica que la posición en el MRU se puede representar gráficamente como una recta donde la pendiente es igual a la velocidad, y que la gráfica de velocidad frente al tiempo es una línea paralela al eje del tiempo. También presenta ejemplos y ecuaciones para calcular distancias y velocidades en el MRU.
El documento describe el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), donde los cuerpos se mueven a velocidad constante en línea recta sin aceleración. Explica que la posición en el MRU se puede representar gráficamente como una recta en un gráfico posición-tiempo, donde la pendiente es igual a la velocidad. También presenta fórmulas para calcular la posición, velocidad y distancia recorrida en el MRU y ofrece ejemplos gráficos y analíticos.
Este documento presenta conceptos fundamentales de la mecánica. Explica que la cinemática describe el movimiento de los cuerpos, mientras que la dinámica explica las causas del movimiento. Se describen varios tipos de movimiento como el movimiento uniformemente acelerado, el movimiento circular y el armónico. También se introducen conceptos como la velocidad, aceleración, cantidad de movimiento e ímpetu. Finalmente, se presentan las tres leyes de Newton de la dinámica.
Este documento presenta conceptos básicos sobre el movimiento rectilíneo uniforme, incluyendo definiciones de términos como velocidad, distancia, tiempo y gráficas de velocidad frente a tiempo y distancia frente a tiempo. Explica las fórmulas para calcular distancia, velocidad y tiempo en este tipo de movimiento. También resuelve varios problemas aplicando estas fórmulas y conceptos.
Este documento describe diferentes tipos de movimiento, incluyendo movimiento rectilíneo uniforme, movimiento rectilíneo uniformemente variado, movimiento curvilíneo, movimiento parabólico, caída libre y tiro vertical. Explica las características y ecuaciones que definen cada tipo de movimiento.
Este documento presenta conceptos básicos de cinemática. Explica que la posición de un móvil se determina mediante un vector de posición respecto a un sistema de referencia. Define el vector desplazamiento como la diferencia entre el vector de posición final e inicial. Introduce las nociones de velocidad media e instantánea, siendo esta última la derivada del vector posición respecto al tiempo. Finalmente, define la aceleración media e instantánea, siendo esta última la derivada de la velocidad respecto al tiempo.
Este documento describe los conceptos fundamentales del movimiento, incluyendo sistemas de referencia, vectores de posición y desplazamiento, velocidad, aceleración, y diferentes tipos de movimiento como el movimiento rectilíneo uniforme, movimiento circular uniforme, y movimiento circular uniformemente acelerado. Explica las ecuaciones que definen estas cantidades y tipos de movimiento.
Este documento describe diferentes tipos de movimiento como el movimiento rectilíneo uniforme, movimiento circular uniforme y movimiento circular uniformemente acelerado. Explica conceptos como velocidad, aceleración, trayectoria, desplazamiento y fuerzas involucradas en cada tipo de movimiento.
Este documento presenta una introducción a la cinemática, que estudia el movimiento de objetos sin considerar las fuerzas. Explica los tres tipos de movimiento (traslacional, rotacional y vibratorio) y define conceptos clave como posición, desplazamiento, velocidad promedio e instantánea, aceleración promedio e instantánea. También presenta ecuaciones para el movimiento con aceleración constante y varios ejemplos de aplicación.
Este documento presenta las aplicaciones de las derivadas en la ciencia física. Explica que la derivada mide el cambio rápido de una magnitud y se usa para calcular la velocidad, aceleración y otras cantidades físicas. Por ejemplo, la velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo, y la aceleración es la derivada de la velocidad. También provee ejemplos como calcular la velocidad de un auto basado en su función de posición.
Este documento explica el concepto de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV), donde la aceleración se mantiene constante. Explica cómo analizar gráficamente este tipo de movimiento a través de las gráficas de velocidad, posición y aceleración en función del tiempo. También presenta las ecuaciones fundamentales del MRUV y un ejemplo de análisis gráfico por intervalos.
Este documento describe los tipos y características de las aguas ácidas de mina. Se forman por la oxidación de sulfuros metálicos como la pirita expuestos al aire y agua. Presentan pH bajo, alta acidez, sulfatos y metales disueltos. Se detallan varios métodos de tratamiento como la precipitación de hidróxidos y la reducción bacteriana de sulfatos, así como sistemas pasivos como los drenes de caliza anóxica y los sistemas de flujo vertical.
Un acuífero es una formación geológica permeable que permite el almacenamiento y circulación del agua subterránea a través de poros o grietas. Existen varios tipos de acuíferos clasificados según su capacidad de almacenamiento, transmisividad, comportamiento hidráulico y litología. Los acuíferos pueden ser libres, confinados o semiconfinados dependiendo de su posición estructural en el terreno.
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Este documento proporciona información sobre el muestreo de aguas, incluyendo los diferentes tipos de muestras, métodos de muestreo, precauciones y consideraciones para la toma, conservación y análisis de muestras. Explica que el muestreo implica examinar una porción representativa del agua para analizar sus características, y que factores como el objetivo, ubicación, frecuencia y recursos son importantes de considerar. Además, destaca que la calidad de los análisis depende de obtener muestras
El documento describe los procesos magmáticos y el origen de los magmas. Explica que el magma es una mezcla de silicatos fundidos entre 600-1000°C compuesta principalmente por oxígeno, silicio, aluminio, calcio, magnesio, hierro, sodio y potasio. Los magmas se originan por fusión parcial de rocas en la corteza o manto. A través de procesos como la diferenciación y el fraccionamiento, los magmas evolucionan dando lugar a una variedad de rocas ígneas.
El documento describe varios problemas relacionados con la presencia de agua en obras civiles subterráneas y de construcción. La presencia de agua reduce la estabilidad, seguridad y efectividad de túneles, excavaciones y cimentaciones, además de aumentar costos. También dificulta procesos como barrenación y voladuras. El agua puede alterar las características de las rocas y suelos.
Este documento trata sobre las aguas subterráneas. Explica que es importante estudiar el estado de las aguas subterráneas antes de construir un proyecto para evitar imprevistos. También describe diferentes métodos para controlar las aguas subterráneas como tablestacado y pozos. Luego presenta ejemplos de cómo el bombeo excesivo de aguas subterráneas ha causado problemas como hundimientos en Venecia y Houston. Finalmente, define conceptos clave relacionados con las aguas subterráneas como ac
El documento define la ecoeficiencia como producir más con menos recursos y menos contaminación. Explica que implica maximizar la productividad de los recursos, minimizar desechos y emisiones, y generar valor para todas las partes interesadas. También describe los aspectos clave de la ecoeficiencia como la reducción de la intensidad material y energética, dispersión de materiales tóxicos, y mayor durabilidad y uso de recursos renovables. Además, explica que la ecoeficiencia beneficia a las empresas al mejorar su competitividad y relaciones.
Este documento habla sobre flujo másico y volumétrico. Explica que el flujo másico es la velocidad a la que la masa de una sustancia pasa a través de una superficie, mientras que el flujo volumétrico es la velocidad a la que el volumen pasa. También describe factores que afectan el flujo másico como temperatura, presión y viscosidad. Finalmente, presenta conclusiones y referencias bibliográficas.
La viscosidad es una medida de la resistencia a la deformación de un fluido. Se define mediante la Ley de Newton, que relaciona el esfuerzo cortante con la velocidad de deformación. Existen tres tipos de viscosidad: dinámica, cinemática y aparente. La viscosidad de un fluido depende de factores como la temperatura, la presión y la velocidad de deformación. Generalmente, la viscosidad disminuye con la temperatura e incrementa con la presión.
El documento describe el efecto Magnus, nombrado en honor al físico alemán Heinrich Gustav Magnus. Es un fenómeno físico donde la rotación de un objeto afecta su trayectoria a través de un fluido como el aire. Se ha usado para sistemas de propulsión como grandes cilindros verticales giratorios capaces de producir empuje hacia adelante usando la presión del aire. También se mencionan aplicaciones como aeronaves y generadores eólicos que aprovechan este efecto.
1) El documento trata sobre mecánica de fluidos, específicamente sobre energía, bombeo y tuberías. 2) Explica conceptos como número de Reynolds, pérdida de carga continua y local, ecuación de la energía y potencia de bombeo. 3) También cubre el dimensionamiento de tuberías y presenta tres casos básicos para resolver problemas en tuberías sencillas.
Business Plan -rAIces - Agro Business Techjohnyamg20
Innovación y transparencia se unen en un nuevo modelo de negocio para transformar la economia popular agraria en una agroindustria. Facilitamos el acceso a recursos crediticios, mejoramos la calidad de los productos y cultivamos un futuro agrícola eficiente y sostenible con tecnología inteligente.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
2. Desplazamiento
El desplazamiento es el cambio de posición de una
partícula.Matemáticamente esto se expresa así:
¿Cual es el desplazamiento de un objeto que se desplaza
desde una posición de x1 = 5m a una posición de x2 = 25m ?
2
3. Desplazamiento
Supongamos que un chofer de autos maneja su auto por una carretera recta.
Para analizar este movimiento ,debemos utilizar un sistema de coordenadas
para analizar la posición del auto.
Entonces tomamos el eje x a lo largo de la trayectoria recta del auto,con el
origen O en la línea de salida.
Una forma describir el movimiento es representarlo como una partícula y
decir que el cambio de posición del carro o de la partícula ocurrió en un
intervalo de tiempo determinado.
Suponiendo que el auto parte del reposo y su frente esta en el punto P1, a 5m
del origen ,y 3s más tarde está en P2, a 100m del origen.
El desplazamiento es un vector que apunta de P1 a P2 .
Entones la componenete x del desplazamiento del auto es el cambio del
valor de x (100m-5m)=95m ,que hubo en un intervalo de tiempo de (3s-
0s)=3s ,tal como se muestra en la siguientes figura.
3
4. Entonces tomando en consideración el movimiento del auto , la velocidad
media se define como una cantidad vectorial cuya magnitud es igual al
cambio de posición dividido entre el intervalo de tiempo de manera que si
el cambio de posición es 95m y el intervalo de tiempo es de 3s ,entonces la
velocidad media es (95m/3s)=31.67m/s .Matemáticamente la velocidad
media se expresa así:
¿Cuál es la velocidad media de una partícula que se desplaza de una
posición x1 = 3m en un tiempo t1 = 0s, a una posición de x2 = 13m en un
tiempo de t2 = 2s?
Solución:
Calculamos el desplazamiento que es (13m-3m)=10m,luego calculamos el
lapso de tiempo en que se hizo este desplazamiento que es t2-t1 = 2s-0s =
2s, por tanto la velocidad media es :
4
Velocidad Media
5. La figura siguiente muestra el proceso geometrico de
la velocidad media , la gráfica es una representación
de la posición en función del tiempo ,es decir una
gráfica x-t.
La curva de la figura no representa la trayectoria de
una partícula u objeto ;ya que la trayectoria es una
línea recta como se puede ver en la figura donde
aparece un carro en movimiento .
Entonces la gráfica es una manera de representar
cómo cambia la posición de la partícula u objecto con
el tiempo ,los puntos representados por P1 y
P2 corresponden a la trayectotia que sigue la partícula
u objecto.La línea P1P2 es la hipotenusa del triángulo
que se forma en la siguiente figura en donde los
catetos de este triángulo son:
5
Velocidad media
6. Como se pudo ver la velocidad media de una partícula en un lapso de tiempo
no nos da información sobre que rapidez y en qué dirección se estaba
moviendo la partícula en un instante determinado de un intervalo de tiempo .
Por tanto para describir el movimiento más detalladamente necesitamos
definir la velocidad en cualquier instante o punto especifico de una
trayectoria determinada.
Esta velocidad es la velocidad instantánea.
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media en dónde el
intervalo de tiempo tiende a cero, y es igual a la tasa instantánea de cambio
de posición con el tiempo.
Matemáticamente esto se expresa así:
6
Velocidad instantánea
7. En dónde siempre tomamos Δt como positivo ,entonces
si Δx es positivo la velocidad instantánea es positiva , si Δx
es negatitivo la velocidad instantánea es negativa.
La velocidad instantánea al igual que la velocidad media
también es un vector , la ecuación anterior define la
componente x de la velocidad instantánea y puede ser
positiva o negativa.En lo que concierne al movimiento
rectilíneo las demás componenetes (y) y (z) son cero,
entonces la velocidad instantánea definiendo el eje x cómo
el eje de acción es: Vx
7
Velocidad instantánea
8. Rapidez:
Es la magnitud del vector velocidad .
Como se puede observar la diferencia que existe entre la velocidad y la
rapidez es que la rapidez es una cantidad escalar mientras
la velocidad es una cantidad vectorial
Ejemplo: Si una partícula se mueve según la función de desplazamiento
¿Cuál es la velocidad instantánea en t=0s ,t=1s,t=2s ?
Solución: Tomamos la primera derivada
que corresponde a la velocidad instantánea
de la función desplazamiento de la partícula.
.
8
9. Rapidez:
Ahora evaluamos la función de velocidad instantánea resultante
en t=0s , t=1s , t=2s .
Cómo se puede ver la velocidad instantánea en los diferentes instantes
es 0m/s , 6m/s , 24m/s
9
10. La aceleración se define cómo el ritmo al que cambia la velocidad de una
partícula u objeto con el tiempo.
De manera que cómo la velocidad es la tasa de cambio de la posición en el
tiempo
.La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad en el tiempo.
Si observamos una partícula que se mueve en el eje x.
Suponiendo que ,en el tiempo t1 ,la partícula está en el punto P1 y tiene una
componente x de la velocidad instantánea y en un instante más tarde t2 está
en P2 y tiene otra componente x de la velocidad instantánea , este cambio de
velocidad instantánea se expresa así:
Este cambio de velocidad se dá en un intervalo de tiempo que se expresa así:
De manera que la aceleración media en
el eje x se expresa matemáticamente así: 10
Aceleración media
11. Ejemplo:
¿Cuál es la aceleración media de una partícula que se mueve a
lo largo del eje x, que en t1=2s tiene una velocidad instantánea
de 2m/s y en t2=4s tiene una velocidad instantánea de 12m/s?
Solución:
Sacamos los datos del problema luego los sustituimos
en la formula de aceleración media.
Ahora sustituimos cada dato en la ecuación de la
aceleración media
11
Aceleración media
12. La aceleración instantánea se define siguiendo el camino que se siguió
para definir la velocidad instantánea.
Como se puede ver en la figura anterior para definir la aceleración en
el punto P1 ,acercamos el punto P2 cada vez más al punto P1 de modo
que la aceleración media se puede medir en intervalos de tiempo cada
vez menores.
La aceleración instantánea es el límite de la aceleración media en
dónde el intervalo de tiempo tiende a cero.En el mundo del cálculo la
aceleración instantánea es la tasa instantánea de cambio de la
velocidad con el tiempo. Matemáticamente esto se expresa así:
efg 12
Aceleración instantánea
13. Ejemplo:
Un auto experimenta una velocidad dada por la siguiente función
¿Cuál es la aceleración instantánea
en t1=1s , t2=2s , t3=3s ?
Solución:
Obtenemos la primera derivada
de la función velocidad .
Una vez obtenida la derivada de la velocidad instantánea que es igual a la
aceleración instantánea , evaluamos la misma en los tiempos dados de esta
manera obtenemos la aceleración
instantánea.
13
Aceleración
instantánea
14. Este es uno de los tipos de movimiento más fácil de analizar.
En este caso del movimiento rectilíneo , la velocidad cambia a un ritmo o tasa
constante todo el tiempo.
Este movimiento rectilíneo con aceleración constante es un caso muy especial
, pero que suele darse en la naturaleza , como veremos más adelante un
cuerpo que cae libremente tiene aceleración constante si los efectos del aire
son aproximadamente nulos . Esto también puede suceder con un cuerpo que
se desliza por una pendiente o línea horizontal sin fricción .
En el mundo tecnologico un avión que despega de un portaviones se le debe
imprimir cierta aceleración para que pueda despegar del portaviones sin caer
al mar.
Como se puede observar si la aceleración es constante la
gráfica a-trepresenta una línea horizontal.
14
Movimiento con Aceleración
constante
15. Para deducir una expresión matemática para la velocidad en el movimiento
con aceleración constante , para esto usamos nueva vez la formula para
aceleración media.
Ahora procedemos a sustituir cada término de la
formula por sus nuevos valores para el caso en
que el cuerpo experimenta aceleración constante.
Luego procedemos a sustituir cada valor en la formula de la aceleración
media de esta manera tenemos que:
Ahora procedemos a despejar la velocidad final para esto primero
multiplicamos ambos miembros de la ecuación anterior por (t) .
Entonces la expresión anterior nos queda así .
Y finalmente despejamos la velocidad final pasando la velocidad inicial al
miembro derecho de la ecuación con su signo cambiado.
15
16. Como se puede ver la formula deducida representa la velocidad final de un
cuerpo que experimenta aceleración constante , la velocidad en el
movimiento con aceleración constante se representa
graficamente con una línea recta que parte d
el origen P si la velocidad inicial es cero
en caso contrario parte de un punto diferente
del origen P .
Ahora deduciremos una expresión que nos permita obtener r la posición de
un cuerpo utilizando aceleración constante.
Para ello tomaremos las formula para la aceleración media.
Sustituimos cada una de las variables por su nuevos valores.
16
17. También tomamos el promedio de la velocidad inicial y final que sólo se
cumple en el caso de movimiento
rectilíneo con aceleración constante
Ahora sustuimos la velocidad final en la formula anterior para obtener.
Luego igualamos las dos expresiones para
la velocidad media.
Ahora multiplicamos por (t) ambos
miembros de la igualdad.
Ahora despejamos la posición final simplemente pasando al miembro
derecho de la expresión la variable que representa la posición inicial.
17
18. De manera que la formula u expresión anterior
representa la posición final de una partícula que
experimenta movimiento rectlíneo con
aceleración constante.
La posición en el movimiento con aceleración
constante se representa graficamente con una
parábola que parte del origen P si la posición
inicial es cero en caso contrario parte de un
punto diferente del origen P .
18
Para verificar que la velocidad es la derivada de la
posición y que ambas expresiones son congruentes
les invitamos a obtener la derivada de la posición y
así obtener que :
La formula que nos permite calcular la posición cuándo desconocemos la
aceleración se deduce de las 2 ecuaciones de velocidad media
es
19. Ecuaciones del movimiento con aceleración
constante.
Como se ha podido observar las ecuaciones que nos permiten resolver
cualquier problema de cinemática que se relacione con el movimiento
rectilíneo de una partícula con aceleración constante son las siguientes :
19
20. Ejemplo
Una partícula se encuentra a una distancia de 6m de un
punto de referencia en t=0s, la aceleración de la
partícula es constante e igual 3m/s2 ,y se mueve a una
velocidad de 14m/s al este .
a) Calcular la posición y velocidad de la partícula en
t=3s .
b) ¿Dónde está la partícula cuando su velocidad es
30m/s ?.
c) ¿En qué instante la velocidad de la partícula es de
30m/s ?.
20
21. Solución:
Como el problema nos establece que la aceleración es constante usaremos
las fórmulas para aceleración constante que nos permitan resolver este
problema.
Primero extraemos los datos y las variables metas para la parte (a) del
problema.
Ahora para obtener la posición de la
partícula en t=3s usaremos la fórmula
Ahora hallaremos la velocidad final en
t=3s usando la fórmula que relaciona
la velocidad final con el tiempo , velocidad inicial y aceleración
Para contestar la parte (b) y (c) del problema utilizamos los siguientes datos
21
22. Solución:
Ahora buscamos una fórmula que nos relacione la posición con los datos
anteriores , luego despejamos la posición y sustituimos los datos anteriores
Sustituyendo los datos obtenemos que :
Para contestar la parte (c) del problema utilizamos los siguientes datos .
22
23. Ahora buscamos una fórmula que relacione todo estos datos y luego
despejamos el tiempo en que la velocidad es 30m/s .
Una vez hecho esto sustituimos los datos que se nos dan .
23
24. Resolución de problemas de
cinematica
"Solución" para obtener la posición final .
Posición inicial, Velocidad inicial, Aceleración, Tiempo
Posición final
24
25. El movimiento en caída libre
El movimiento en caída libre como el título así lo indica es cuando un
objeto o cuerpo cae libremente bajo la influencia de la atracción
gravitacional de la tierra ,Tal como se muestra en la figura de la
izquierda .
Este tipo de movimiento vertical ha capturado la atención de filósofos y
científicos desde tiempos antiguos .
De tal manera que en el siglo IV a.C, Aristósteles afirmaba de manera
equivocada que los cuerpos pesados caen más rapido que los cuerpos
menos pesados o más ligero , de manera proporcional al peso .
Pasados 19 siglos , el científico Galileo afirmó que los cuerpos caen con
una misma aceleración constante independientemente del peso del
objeto .Se dice que Galileo hacía pruebas en la torre de Pisa de Francia ,
dejando caer objetos .
Desde aquel tiempo se viene estudiando el movimiento de los cuerpos
en caída libre con mucha mayor exactitud
25
26. El movimiento en caida libre
Como ya se ha podido demostrar Galileo estaba en lo correcto si se
ignora los efectos del aire , todo cuerpo cae con la misma aceleración
, sin importat su peso siempre y cuando la distancia de caida de el
cuerpo sea muy pequeña en comparación con el radio terrestre .
Como se puede ver el movimiento en caida libre se puede analizar de
manera idealizada ya que todos los cuerpos en caida libre
experimenta cierta resistencia del aire que hace que la aceleración
pueda variar en ocasiones y no ser constante .
Si medimos la velocidad de un cuerpo en caida libre en diferente
instante , siendo la diferencia de estos instantes o tiempos iguales se
demuestra que el cambio de velocidad dividido entre la diferencia de
estos instantes o intervalos de tiempo el valor que se obtiene es
constante , por tanto la aceleración del cuerpo en caida libre es
constante y se conoce como aceleración de la gravedad ,
y es representada por la letra "g" , siendo su valor
aproximado de :
Ejemplo la aceleración de la gravedad en la superficie de la luna es
aproximadamente 1.6m/s2 . 26
27. Analizar un problema de movimiento
en caída libre
Para analizar un problema de movimiento en caida libre utilizamos las
mismas ecuaciones o fórmule que se utilizan para aceleración
constante ya que la aceleración de la graveada es constante , pero si
queremos indicar que el objeto o cuerpo se mueve hacia abajo
debemos tomar la aceleración , la velocidad inicial y posición inicial
como negativa .
Ahora bien si el movimiento del objeto o partícula es hacia arriba
tomamos la aceleración de la gravedad como negativa y la velocidad y
posición como positiva .
De manera que el signo negaitivo de la aceleración nos indica que esta
siempre actúa hacia abajo sin importar la dirección del movimiento del
objeto .
27
28. Analizar un problema de movimiento
en caida libre
Ejemplo. Un objeto se deja caer desde una edificio , si el objeto parte desde
el reposo .¿Cuál será su posición y velocidad después de t=2s , t=3s ?
Solución:
Primero sustituimos las fórmulas para la posicón y velocidad en el eje x por
el eje y , entonces la aceleración la sustituimos por la aceleración de la
gravedad.
Ahora encontramos la posición y la velocidad en t=2s ,sustituyendo este
valor en las expresiones encontradas.
Ahora encontramos la posición y velocidad en t=3s .
28
29. Ejemplo 2:
Un pitcher lanza una bola de baseball directamente hacia arriba con una
velocidad inicial de 10m/s .
a) ¿Qué altura máxima alcanza la bola?
b) ¿En cuánto tiempo alcanza esta altura?
c) ¿Qué velocidad tiene la bola en t = 1.5s ?
Solución:
Para resolver la parte a) del problema buscamos una de la fórmulas de
aceleración constante que relacione la velocidad final , la velocidad inicial y
la altura .
Luego sustituimos los datos en la fórmula
anterior.
Ahora procedemos a despejar la altura .
Para resolver la parte b) del problema una vez más buscamos una fórmula
que relacione la velocidad final que es cero cuándo la bola alcanza su
máxima altura , la velocidad inicial y el tiempo y luego sustituimos los datos
correspondientes
29
30. Ejemplo 2:
Para resolver la parte b) del problema una vez más buscamos una fórmula
que relacione la velocidad final que es cero cuándo la bola alcanza su
máxima altura , la velocidad inicial y el tiempo y luego sustituimos los datos
correspondientes
Ahora procedemos a despejar el tiempo
Ahora vamos a resolver la parte c) del
problema sustituyendo los datos que se nos dan
en una expresión que relacione la velocidad
final , la velocidad inicial y el tiempo .
Como se puede ver la velocidad en un tiempo igual 1.5s tiene un signo
negativo , lo que nos da ha entender que la bola se está moviendo hacia abajo
con una magnitud de velocidad igual a 4.7m/s .. 30
34. Ejemplos de MRU y MRUA
EJEMPLO 1
Un auto de fórmula1, recorre la recta de un circuito, con velocidad constante. En el
tiempo t1 = 0,5 s y t2 = 1,5 s, sus posiciones en la recta son x1 = 3,5 m y x2 = 43,5 m.
Calcular: a) ¿A qué velocidad se desplaza el auto?.
b) ¿En qué punto de la recta se encontraría a los 3 s?.
Desarrollo Datos: t1 = 0,5 s x1 = 3,5 m
t2 = 1,5 s x2 = 43,5 m
a) Δv = (43,5 m - 3,5 m)/(1,5 s - 0,5 s) Δv = 40 m/s Δv = 40 m/s
b) Para t3 = 3 s se debe tener en cuenta que la velocidad es constante a partir de t1.
Por lo tanto:
Δt = t3 - t1 ⇒ Δt = 3,0 s - 0,5 s ⇒ Δt = 2,5 s
v = Δx/Δt ⇒ Δx = v.ΔtΔx = (40 m/s).2,5 s ⇒ Δx = 100 m
Entonces: x3 = Δx + x1 ⇒ x3 = 100 m + 3,5 m x = 103,5 m
34
35. Ejemplos de MRU y MRUA
EJEMPLO 2
Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s durante 9 s, y
luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas velocidades del
mismo sentido:
a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?.
b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?.
Desarrollo Datos: v1 = 1.200 cm/s t1 = 9 s v2 = 480 cm/s t2 = 7 s
a) El desplazamiento es: x = v.t
Para cada lapso de tiempo: x1 = (1200 cm/s).9s x1 = 10800 cm
x2 = (480 cm/s).7 s x2 = 3360 cm
El desplazamiento total es: Xt = X1 + x2 Xt = 10800 cm + 3360 cm
Xt = 14160 cm = 141,6 m
b) Como el tiempo total es: tt = t1 + t2 = 9 s + 7 s = 16 s
Con el desplazamiento total recien calculado aplicamos: Δv = xt/tt Δv = 141,6
m/16 s Δ v = 8,85 m/s
35
36. Ejemplos de MRU y MRUA
Resolver el problema
Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s
durante 9 s, y luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s,
suponiendo que las velocidades son de distinto :
a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?.
b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?.
Desarrollo
a) Si son de distinto sentido:
Xt = X1 - x2 Xt = 10800 cm - 3360 cm Xt = 7440 cm =
74,4 m
b) Δv = xt/tt Δv = 74,4 m/16 s Δ v = 4,65 m/s
36
37. Ejemplos de MRU y MRUA
EJEMPLO 3
Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30
s una velocidad de 588 m/s. Calcular:
a) Aceleración. b) ¿Qué espacio recorrió en esos 30 s?.
Desarrollo Datos: v0 = 0 m/s vf = 588 m/s t = 30 s
Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t²/2
a) De la ecuación (1): vf = v0 + a.t vf = a.t a = vf/t a = (588 m/s)/(30 s)
a = 19,6 m/s²
b) De la ecuación (2): x = v0.t + a.t²/2 x = a.t²/2 x = (19,6 m/s²).(30 s)²/2
x = 8820 m
Resolver
¿Cuánto tiempo tardará un móvil en alcanzar una velocidad de 60 km/h, si
parte del reposo acelerando constantemente con una aceleración de 20 km/h²?
Desarrollo Datos: v0 = 0 km/h vf = 60 km/h a = 20 km/h²
Aplicando: vf = v0 + a.t vf = a.t t =vf/a t =
(60 km/h)/(20 km/h²) t = 3 h
37
38. Interpretar el grafico
Para la gráfica de la figura, interpretar como
ha variado la velocidad, trazar el diagrama
v = f(t) y hallar la distancia recorrida en
base a ese diagrama.
A partir de la pendiente de cada tramo de recta obtenemos la velocidad.
v AB = Δx AB/Δt AB v AB = (20 m - 0 m)/(10 s - 0 s) v AB = 2 m/s
v BC = Δx BC/Δt BC v BC = (30 m - 20 m)/(30 s - 10 s) v BC = 0,5 m/s
v CD = Δx CD/Δt CD v CD = (30 m - 30 m)/(40 s - 30 s) v CD = 0 m/s
v DE = Δx DE/Δt DE v DE = (10 m - 30 m)/(50 s - 40 s)⇒ v DE = - 2 m/s
Δx AE = xE - xA Δx AE = 10 m - 0 m Δx AE = 10 m
Esto se debe a que el móvil regresa por el mismo
camino.
38
39. Encuentro
Dos puntos a y b están separados por una distancia de 100 m. En un mismo
momento pasan dos móviles, uno desde a hacia b y el otro desde b hacia a,
con M.R.U., de tal manera que uno de ellos tarda 2 s en llegar al punto b y el
otro 1,5 s en llegar al punto a ..
Hallar: a) El punto de encuentro. b) El instante del encuentro.
Desarrollo
Datos: d AB = 100 m t AB = 2 s t BA = 1,5 s
Ecuaciones: v AB = d AB/t AB (1) v BA = d AB/t BA (2)
El gráfico:
a) Para el punto de encuentro: d AB = d AO + d BO (3)
39
40. Solucion
Datos: d AB = 100 m t AB = 2 s t BA = 1,5 s
Ecuaciones: v AB = d AB/t AB (1) v BA = d AB/t BA (2)
: Para el punto de encuentro: d AB = d AO + d BO (3)
Siendo el punto "O" el punto de encuentro.
Como ambos comienzan su movimiento en el mismo instante el tiempo de
encuentro es el mismo para ambos móviles. t AO = t BO = t E
Para el encuentro las (1) y (2) ecuaciones quedan:
v AB = d AO/t E d AB/t AB = d AO/t E v BA = d BO/t E d AB/t BA = d BO/t E
Despejamos (t E) y luego igualamos: t E = t AB.d AO/d AB (4)
t E = t BA.d BO/d AB (5)
40
41. Solucion
Despejamos (t E) y luego igualamos: t E = t AB.d AO/d AB (4)
t E = t BA.d BO/d AB (5)
t AB.d AO/d AB = t BA.d BO/d AB t AB.d AO = t BA.d BO
De la ecuación (3): d AO = d AB - d BO t AB.(d AB - d BO) =
t BA.d BO t AB.d AB - t AB.d BO = t BA.d BO
t AB.d AB = t AB.d BO + t BA.d BO t AB.d AB = (t AB + t BA).d BO
d BO = t AB.d AB/(t AB + t BA)
d BO = (2 s)(100 m)/(2 s + 1,5 s) d BO = 57,14 m (desde el punto B)
ó d AO = 42,86 m (desde el punto A)
b) Empleando la ecuación (4) ó (5): t E = (2 s).(42,86 m)/(100 m)
t E = 0,86 s
Resolver el problema anterior, suponiendo que el primer móvil partió 0,1 s antes
que el otro. Desarrollo Datos: d AB = 100 m t AB = 2 s t BA = 1,5 s
Ecuaciones: v AB = d AB/t AB (1) v BA = d AB/t BA (2) 41
42. Tiro vertical
Se dispara verticalmente hacia arriba un
objeto desde una altura de 60 m y se observa
que emplea 10 s en llegar al suelo.
¿Con que velocidad se lanzo el objeto?
Desarrollo
Datos: h0 = 60 m t = 10 s g = 9,81 m/s².
Ecuaciones: Δy = v0.t + g.t²/2
Solución: La gráfica que representa los vectores velocidad y gravedad es:
Despejamos la velocidad inicial:
Δh = hf - h0 = V0.t + g.t²/2 V0.t = hf - h0 - g.t²/2 V0 = (hf - h0 - g.t²/2)/t
Empleamos los signos correctos para las variables, según la gráfica:
V0 = [0 m - 60 m - (-9,81 m/s²).(10 s)²/2]/(10 s)
V0 = [- 60 m + (9,81 m/s².100 s²)/2]/(10 s)
V0 = (- 60 m + 490,5 m)/(10 s) V0 = (- 60 m + 490,5 m)/(10 s)
V0 = 43,05 m/s 42
43. Tiro vertical
Se lanza verticalmente hacia abajo una piedra de la parte alta de un
edificio de 14 pisos, llega al suelo en 1,5 s, tomando en cuenta que cada piso
mide 2,6 m de altura. Calcular la velocidad inicial de la piedra y la velocidad
al llegar al piso.
Desarrollo Datos:Número de pisos = 14 Altura de cada piso = 2,6 m
t = 1,5 s g = 9,81 m/s²
Ecuaciones: 1) Δh = v0.t + g.t²/2 2) vf = v0 + g.t
Solución: La altura será: Δh = 14.2,6 m Δh = 36,4 m
Despejando v0 de la ecuación (1): Δh = v0.t + g.t²/2 ⇒ v0.t = Δh - g.t²/2
⇒ v0 = (Δh - g.t²/2)/t
v0 = (36,4 m - [(9,81 m/s²).(1,5 s)²]/2)/(1,5 s) v0 = (36,4 m - [(9,81
m/s²).(2,25 s²)]/2)/(1,5 s)
v0 = (36,4 m - (22,0725 m)/2)/(1,5 s) v0 = (36,4 m - 11,03625 m)/(1,5 s)
v0 = (25,36375 m)/(1,5 s) v0 = 16,91 m/s
Luego, empleando la ecuación (2): vf = v0 + g.t vf = 16,91 m/s + (9,81
m/s²).(1,5 s) vf = 16,91 m/s + 14,715 m/s vf = 31,625 m/s 43
45. Ejercicio 1.
1. Un ciclista marcha por una región donde hay muchas subidas y
bajadas
En las cuestas arriba lleva una rapidez constante de 5 km/h y en
las cuestas abajo 20 km/h. Calcular:
a) ¿Cuál es su rapidez media si las subidas y bajadas tienen la
misma longitud?
b) ¿Cuál es su rapidez media si emplea el mismo tiempo en las
subidas que en las bajadas?
c) ¿Cuál es su rapidez media si emplea doble tiempo en las
subidas que en las bajadas?
45
46. Ejercicio 2.
Un auto está parado ante un semáforo.
Después viaja en línea recta y su distancia respecto al semáforo
está dada por x(t) = bt2 - ct3 ,
donde b = 2,40 m/s2 y c = 0,120 m/s3.
a) Calcule la velocidad media del auto entre t = 0 y t = 10,0 s.
b) Calcule la velocidad instantánea en
1) t = 0; 2) t = 5,0 s; 3) t = 10,0 s.
c) ¿Cuánto tiempo después de arrancar vuelve a estar parado el
auto?
46
47. Ejercicio 3.
En el momento en que se enciende la luz verde en un semáforo, un
auto arranca con aceleración constante ac =2.5 m /s2 .
En el mismo momento, un camión que lleva una velocidad
constante 10( ) cv = m s alcanza al auto y lo pasa.
a) Construya un gráfico velocidad versus tiempo para dos móviles,
b) ¿a qué distancia del punto de partida, el auto alcanzará al
camión?,
c) ¿qué velocidad llevará el auto en ese momento?
47
48. Ejercicio 4.
Se deja caer una piedra desde un globo
que asciende con una velocidad de 3 m/s;
si llega al suelo a los 3 s
Calcular:
a) Altura a que se encontraba el globo
cuando se soltó la piedra.
b) Distancia globo-piedra a los 2 s del
lanzamiento.
48
49. Ejercicio 5.
Una maceta con flores cae del borde de una ventana y pasa
frente a la ventana de abajo.
Se puede despreciar la resistencia del aire.
La maceta tarda 0,420 s en pasar por esta ventana, cuya altura
es de 1,90 m.
¿A qué distancia debajo del punto desde el cual cayó la
maceta está el borde superior de la ventana de abajo?
49
50. Aceleración en función del
tiempo
La gráfica de la figura muestra la magnitud de la aceleración de una
partícula que se mueve sobre un eje horizontal dirigido hacia la
derecha, que llama-remos x'x. Sabiendo que cuando t = 1 s, x = 3 cm y
v = − 4.5 cm/s, calcule: a) la posición de la partícula cuando su
velocidad es nula; b) su velocidad cuando t = 3 s y su posición cuando
t = 5 s.
50
51. Aceleración en función del
tiempo
Un tren que parte de la estación A aumenta su velocidad
uniformemente hasta alcanzar los 60 km/h.
A partir de ese instante comienza a frenar, también uniformemente,
hasta detenerse en la esta-ción B.
Si el viaje dura veinte minutos, ¿cuánto distan las estaciones A y B? .
51
52. Aceleración en función del
velocidad
La aceleración de un avión que aterriza en una pista a 50
m/s se puede expresar, para un cierto lapso, como a = − 4
(10)−3v2, donde si v está en m/s, a resulta en m/s2.
Determine el tiempo requerido para que el avión reduzca
su velocidad a 20 m/s.
52