Posición, movimiento, velocidad de una partícula en una dimensión

1. Cinemática de
Partículas

2. 11.1 INTRODUCCIÓN A LA
DINÁMICA
 Galileo y Newton (Los experimentos de
Galileo llevaron a las leyes de Newton)
 Cinemática - estudio del movimiento
 Cinética - el estudio de las causas de los
cambios en el movimiento
 Dinámica está compuesta de la
cinemática y cinética

3. Movimiento rectilíneo de
partículas

4. POSICIÓN, VELOCIDAD, Y
ACELERACIÓN
La distancia x con su signo
define la posición de un
objeto. Unidades de posición
son m, pies, etc.
El desplazamiento x
debido al cambio de
posición de la partícula

5. Las unidades de velocidad estarían en m/s,
ft/s, etc.
POSICIÓN, VELOCIDAD, Y
ACELERACIÓN
La velocidad media es:
La magnitud de v es la rapidez de la partícula
𝒗 =
Δ𝑥
Δ𝑡
𝒊

6. La velocidad instantánea es
𝑣 = lim
∆𝑡→0
Δ𝑥
Δ𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑖=𝑥𝑖
La aceleración media es
t
v
a




𝑚 = 𝑣

7. La aceleración instantánea es
𝑎 = lim
∆𝑡→0
Δ𝑣
Δ𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2 𝑖=𝑥𝑖
𝑚 = 𝑎
Positiva
Negativa

8. S= S2 – S1
= (area v -t)
V= V2 – V1
= (area a -t)
Interpretaciones Graficas

9. Cinemática Grafica
2
3
6t
t
x 


t
12
t
3
v 2



12
t
6
a 


% grafico de funciones en matlab
clc, clear
t=0:0.01:6;
x=-t.^3+6*t.^2;
xp=-3*t.^2+12*t;
xpp=-6*t+12;
subplot(3,1,1); plot(t,x)
title('Posicion')
subplot(3,1,2); plot(t,xp)
title('Velocidad')
subplot(3,1,3); plot(t,xpp)
title('Aceleracion')

10. Ejemplo: Encontrar la aceleración en t=2 s,
si la posición esta dada como
𝑥(𝑡)= 3𝑒4𝑡
m
𝑣(𝑡)=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=12𝑒4𝑡 𝑚
𝑠
𝑎(𝑡)=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=48𝑒4𝑡 𝑚
𝑠2
𝑎(2) =48𝑒4(2)
≈ 1.43∙ 105 𝑚
𝑠2
% grafico de funciones en matlab
clc, clear
t=0:0.01:2;
x=3*exp(4*t);
xp=12*exp(4*t);
xpp=48*exp(4*t);
subplot(3,1,1); plot(t,x)
title('Posicion')
subplot(3,1,2); plot(t,xp)
title('Velocidad')
subplot(3,1,3); plot(t,xpp)
title('Aceleracion')

11. Movimiento Rectilineo Uniforme
constant
v 
0
a 


 vdt
x
x 0
vt
x
x 0 

vt

dx
v
dt


12. Movimiento Rectilíneo Uniformemente
acelerado
a
dx
dv
v 
constant
a 
at
v
v 
 0
2
2
1
0 at
t
v
x
x o 


)
x
x
(
a
2
v
v 0
2
0
2




13. La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta está
definida por la relación x=t3+6t2-15t+40, donde x se expresa en metros y t en
segundos. Determine a) el tiempo al cual la velocidad será cero, b) la posición y el
desplazamiento de la partícula en ese tiempo, c) la aceleración de la partícula en
ese tiempo, d) la distancia total recorrida por la partícula desde t=4 s hasta t=6 s.
Las ec. de mov. son:
a) v=0
0=3t2-12t-15=3(t2-4t-5)
0=(t-5)(t+1) v=0 en t= 5 s
b) x5=(5)3-6(5)2-15(5)+40= - 60 m
x0=40 m
x= x5-x0=-60-40= -100 m
c) a5=6(5)-12= 18 m/s2
d) x6=(6)3-6(6)2-15(6)+40= - 50 m
x4=(4)3-6(4)2-15(4)+40= - 52 m
distancia total= x45 + x56=-60-(-52) + (-50-(-60))
distancia total= 8+10=18 m

14. Una partícula metálica se halla sometida a la influencia de
un campo magnético tal que se mueve hacia abajo a
través de un fluido que llena el espacio de la placa A a la
B (véase Fig. 12.5). Si la partícula parte del reposo en el
punto medio e, s = 100 mm, Y se mide que la aceleración
es a = (4s) m/s2, donde s está en‘ metros, calcule la
velocidad de la partícula al alcanzar la placa B, s = 200
mm, y el tiempo que necesita para pasar de e a B.
Cuando s = 200 mm = 0.2 m,

15. En cualquier instante se define la posición de la cometa
de la figura mediante las coordenadas x = (30t) ft y Y
= (9t2) ft, en las cuales t está en segundos. Calcule (a)
la ecuación que describe la trayectoria y la distancia de
la cometa con respecto al niño, cuando t = 2 s, (b) la
magnitud y la dirección de la velocidad cuando t = 2 s,
Y (e) la magnitud y dirección de la aceleración cuando t
= 2 s.
Cuando t = 2 s

16. Movimiento de varias partículas
Cuando las partículas independientes se mueven en
la misma línea, existen ecuaciones independientes
para cada una. Entonces, uno debe utilizar el
mismo origen y tiempo.

17. La velocidad relativa de B con respecto a A
A
B v
v
v A
B 

La posición relativa de B con respecto a A
A
B x
x
x A
B 

Movimiento relativo de dos particulas.
La aceleración relativa de B con respecto a A
A
B
A
B
a
a
a 


18. El sistema tiene un grado de
libertad, ya que sólo una
coordenada puede ser elegida
de forma independiente.
A
C D
B
E F
G
xA
xB
t
tan
cons
x
2
x B
A


0
v
2
v B
A


0
a
2
a B
A


Echemos un vistazo a las relaciones.
movimientos dependientes

19. B
El sistema tiene 2 grados de libertad.
C
A
xA
xC
xB
t
tan
cons
x
x
2
x
2 C
B
A



0
v
v
2
v
2 C
B
A



0
a
a
2
a
2 C
B
A



Echemos un vistazo a las relaciones.

20. Calcule la velocidad del bloque A de la figura si el Bloque B tiene una velocidad de
6 ft/s hacia arriba.

21. COMPONENTES RECTANGULARES
DE LA VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
r

k̂
z

j
ˆ
y

î
x

j
ˆ
y


v

î
x

 k̂
z


j
ˆ
y



a

i
xˆ


 k̂
z




22. x
z
y
r

j
ˆ
y
k̂
z
î
x
x
z
y
P
v

î
vx
j
ˆ
vy
k̂
vz
a


23. x
z
y
j
ˆ
ay
k̂
az
î
ax
a


24. Componentes de la velocidad en Movimiento de proyectiles
0
x
ax

 

xo
x
v
x
v 
 
t
v
x xo

0
z
az

 

0
v
z
v zo
z


 
0
z 
g
y
ay


 

gt
v
y
v yo
y


 
2
2
1
yo
gt
t
v
y 


25. x
z
y
x’
z’
y’
O
A
B
A
B
A
B r
r
r /





MOVIMIENTO RELATIVO A UN MARCO
DE REFERENCIA EN TRASLACIÓN
B
r
 A
/
B
r

A
r


26. A
/
B
A
B
r
r
r





A
/
B
A
B
r
r
r 






 A
/
B
A
B
v
v
v





A
/
B
A
B
v
v
v 







A
/
B
A
B
a
a
a





A
/
B
A
B
r
r
r 











27. El agua gotea de la llave a un ritmo de cinco gotas por segundo como se muestra en
la figura 12.43. Calcule la separación vertical entre dos gotas consecutivas cuando la
gota inferior ha alcanzado una velocidad de 3 m/s.

28. Un tren que viaja a velocidad constante de 60 mi/h cruza sobre una carretera, tal
como se ve en la figura. Si el automóvil A viaja a 45 mi/h por la carretera, calcule la
velocidad relativa del tren con respecto al automóvil.
VT = VA + VT/A
60i = (45 cos 45° i + 45 sen 45° j )+ VT/A
VT/A = [28.2i - 31.8j) mi/h

29. La velocidad es tangente a la trayectoria de una
partícula.
La aceleración no esta necesariamente en la misma
dirección.
A menudo es conveniente expresar la aceleración
en términos de componentes tangente y normal a
la trayectoria de la partícula.
Componentes tangencial y normal

30. Movimiento plano de una partícula
O x
y
t
ê
v
v 
 

t
ê
'
t
ê
t
ê

n
ê
'
n
ê
P
P’

31. 




t
0
ê
lim
 




t
0
n
ê
lim
ê


 







 





2
sin
2
lim
ê
0
n

d
ê
d
ê t
n

n
ê

 







 2
2
sin
lim
ê
0
n






t
ê
'
t
ê
t
ê




32. dt
v
d
a




d
ê
d
ê t
n

t
ê
v
v 

t
ê
dt
dv

dt
ê
d
v t


33. n
ê
v


O x
y
t
ê
'
t
ê
P
P’


 s




 
s






 d
ds
s
lim
0



t
ê
dt
dv
a 

dt
ê
d
v t

dt
ds
ds
d
d
ê
d
dt
ê
d t
t 




v
d
ê
d t

t
ê
dt
dv
a 

n
2
ê
v



34. t
ê
dt
dv
a 

n
2
ê
v


n
n
t
t ê
a
ê
a
a 


dt
dv
at 

2
n
v
a 

35. Movimiento de una partícula en el espacio
Las ecuaciones son las mismas.
O x
y
t
ê
'
t
ê
n
ê
'
n
ê
P
P’
z

36. COMPONENTES
RADIAL Y TRANSVERSAL
Movimiento plano
x
y
P

r
ê

ê
r


37. r
ê

ê

ê
r
ê r
ê


ê


ê
d
ê
d r
 r
ê
d
ê
d




dt
d
d
ê
d
dt
ê
d r
r 

 
 ê


dt
d
d
ê
d
dt
ê
d 



 r
ê




38. 
 ê
v
ê
v r
r 

r
vr

 


r
v 
dt
r
d
v


 )
ê
r
(
dt
d
r
 r
r ê
r
ê
r 
 


 ê
r
ê
r
v r






39. x
y

r
ê

ê
r


 sin
j
ˆ
cos
î
êr 





ê
cos
j
ˆ
sin
î
d
ê
d r






40. 
 ê
r
ê
r
v r







 

 ê
r
ê
r
ê
r
ê
r
ê
r
a r
r
















r
2
r ê
r
ê
r
ê
r
ê
r
ê
r
a 


 




















 ê
)
r
2
r
(
ê
)
r
r
(
a r
2 











dt
dv
a r
r 
dt
dv
a 
 
2
r r
r
a 

 
 





 r
2
r
a 

Note

41. Extensión del movimiento de una partícula en el espacio:
Coordenadas cilíndricas
k̂
z
ê
R
r r 


k̂
z
ê
R
ê
R
v R 





 

k̂
z
ê
)
R
2
R
(
ê
)
R
R
(
a R
2














 


