Este documento describe las funciones exponenciales y logarítmicas, incluyendo sus definiciones, gráficas y propiedades. Explica que la función exponencial f(x)=ax es inyectiva, por lo que se puede definir su función inversa f-1(x), que es la función logarítmica. Presenta ejemplos de gráficas para funciones exponenciales y logarítmicas con diferentes valores de a, y resume las propiedades clave de cada función. Finaliza con algunos ejercicios sobre estas funciones.

1. FUNCIÓN
EXPONENCIAL
- Definición
- Gráfica
- Propiedades
FUNCIÓN
LOGARÍTMICA
- Definición
- Gráfica
- Propiedades
(Ir)
(Ir)
(1º BACHILLERATO
CIENCIAS DE LA NATURALEZA Y DE LA SALUD/TECNOLOGÍA)
EJERCICIOS (Ir)

2. Sea a R, a >0, a  1
x
a
y
x
R
R
f





  }
0
{
:
Función exponencial de base “a”, a  1, es la aplicación
de R en los reales estrictamente positivos que hace
corresponder a cada “x” real una imagen ax real
positiva.
Para cualquier “a” se cumple que
f(0) = a0 =1 y f(1) = a1 = a
Estudiamos la gráfica cuando a>1 y cuando 0<a<1
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Sea a R, a >0, a  1

3. Veamos la gráfica de y = 2 x
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
1
0
2
3
4
1 2
-1
-2
-3 3
y=2x

4. Propiedades:
Gráfica de y = e x
1
1
0
a
2
-1
-2
-3 3
y=ax; a>1
La gráfica de la función
con a R, a>1 es:
y=ax

5. Dominio:R
Recorrido: R*
+ (ax >0, x R)
a0 =1; a1 =a (0,1) y (1,a) pertenecen a la gráfica
Estrictamente creciente
Inyectiva
Continua en todo su dominio
Está acotada inferiormente, pero no superiormente
)
/
,
( 2
1
2
1
2
1
x
x
a
a
x
x
R
x
x 




)
( 2
1
2
1
x
x
a
a x
x



R
b
a
a
lim b
x
b
x




,
)
(




)
( x
x
a
lim
izquierda
la
por
horizontal
asíntota
es
y
a
lim x
x
0
0
)
( 




PROPIEDADES

6. Veamos la gráfica de y = (1/2) x
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8
0
1
1
2
2
3
4
-1
-2
-3 3
y=(1/2)x

7. 1
1
0
a
y=ax
0<a<1
Propiedades:
La gráfica de la función y=ax con a R, 0<a<1 es:

8. Dominio:R
Recorrido: R*
+ (ax >0, x R)
a0 =1; a1 =a (0,1) y (1,a) pertenecen a la gráfica
Estrictamente decreciente
Inyectiva
Continua en todo su dominio
Está acotada inferiormente, pero no superiormente
)
/
,
( 2
1
2
1
2
1
x
x
a
a
x
x
R
x
x 




)
( 2
1
2
1
x
x
a
a x
x



R
b
a
a
lim b
x
b
x




,
)
(




)
( x
x
a
lim
derecha
la
por
horizontal
asíntota
es
y
a
lim x
x
0
0
)
( 




PROPIEDADES

9. x
y
x
R
R
f
a
log
}
0
{
:
1








Para cualquier “a” se cumple que
f -1(1) = loga 1 = 0 y f -1(a) =loga a = 1
Estudiamos la gráfica cuando a>1 y cuando 0<a<1
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
La función exponencial f(x) = ax, a  1 es inyectiva, podemos
entonces definir la función f -1 recíproca de f
Dom(f -1) = Im(f) = R+-{0}; Im(f -1) = Dom(f) = R; f -1(x) = y f(y) = x

Función logarítmica de base “a”, a  1 , es la aplicación de
R+-{0} en R que hace corresponder a cada “x” real >0 una
imagen loga x real tal que y = loga x ay = x


10. Veamos la gráfica de
y = log2 x
1
1
0
2
2
3
4
-1
-2
-3 3
y=2x
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
1
1
0
2
2
3
4
-1
-2
-3 3
y=log2x
-1
-2
x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
y -3 -2 -1 0 1 2 3
4
y=log2x
Gráfica simétrica respecto
de la bisectriz
del primer cuadrante
de la de y = 2 x

11. y =log ax ; a>1
1
1
0
a
a
y=ax; a>1
Propiedades
y =log ax con a R, a>1 es:
La gráfica de la función
Gráfica de y = log x
Gráfica de y = Ln x

12. Dominio: R +-{0} =
Recorrido: R
log a1 = 0; log a1 = 0 (1,0) y (a,1) pertenecen a la gráfica
Estrictamente creciente
Biyectiva
Continua en todo su dominio
No acotada
*

R
)
log
log
/
,
( 2
1
2
1
*
2
1 x
x
x
x
R
x
x a
a 



 
*
,
log
)
(log 



 R
b
b
x
lim a
a
b
x




)
(log x
lim a
x
vertical
asíntota
es
x
a
lim x
x
0
)
(
0






PROPIEDADES

13. 1
1
0
a
y=ax
0<a<1
a
y=logax
0<a<1
Propiedades
La gráfica de la función y=logax
con a R, 0<a<1 es:

14. Dominio: R +-{0} =
Recorrido: R
log a1 = 0; log a1 = 0 (1,0) y (a,1) pertenecen a la gráfica
Estrictamente decreciente
Biyectiva
Continua en todo su dominio
No acotada
)
log
log
/
,
( 2
1
2
1
*
2
1 x
x
x
x
R
x
x a
a 



 
*
,
log
)
(log 



 R
b
b
x
lim a
a
b
x




)
(log x
lim a
x
vertical
asíntota
es
x
a
lim x
x
0
)
(
0






*

R
PROPIEDADES

15. EJERCICIOS
1.- El cero de la función f(x) = log2 x - 2x es:
a) 0 b) no existe c) 2

 


)
( x
x
x
e
e
lim
2.-
a) +  b) 0 c) - 
3.- La función f(x) = log1/3 x es una función:
a) Creciente y no acotada
b) Positiva y no acotada
d) Decreciente y no acotada

16. 4.- La función f(x) = a |x|, con 0<a<1, es:
a) Creciente y no acotada
b) Decreciente y acotada inferiormente
c) Acotada
6.- En cualquier función logarítmica f(x) = loga x:
a) La gráfica siempre pasa por el punto (0,1)
b) La gráfica siempre pasa por el punto (1,0)
c) f(x) = f(- x)
5.- La función inversa respecto de la composición (recíproca) de
f(x) =ln[(1+x)/2] es:
a) f -1(x)= e 2x -1 b) f -1(x)= 2ex -1 c) f -1(x)= e (1+x) /2