Breve introducción de la relación esfuerzo-deformación mediante elasticidad, se basa en ejercicios referente a rosetas de deformación y desde ahí generar o visualizar el estado tensional que generó dicha deformación (mediante Young & Poisson)...

1. Mecánica de Rocas I
Ayudantía 2: “Deformación y Esfuerzos”
Profesor: Juan Jarufe
Ayudantes: Víctor Yelicich, Ivo Fritzler
Autor: Ivo Fritzler
2017

2. Contenido
• Idea General
• Teoría
– Deformación Unitaria
– Deformaciones Normal y Cortante
– Deformaciones Principales y Cortante Máximo
– Deformaciones asociadas a Esfuerzos
– Esfuerzo Normal y Cortante
– Esfuerzos Principales y Cortante Máximo
– Medición de ángulo θ
• Ejercicios
• Referencias

3. Idea General
Ensayos de Laboratorio
Medición In Situ
Roseta Delta o Equiangular
Rosetas de
deformación
Obtención de:
- Esfuerzos normales y de corte.
- Esfuerzos principales, orientación, de cortante máxima.
- Deformaciones normales y de corte.
- Deformaciones principales, de cortante máxima.
- Etc.
Strain gauge
(Galgas extensométricas)
Roseta Rectangular
Roseta a 120°

4. Teoría
• Deformación Unitaria
Valor adimensional que se obtiene por la variación de longitud de
algún material sometido a una carga por el cociente de su longitud
inicial.
𝛿
Figura N°1. Deformación Unitaria. Fuente: Elaboración propia

5. Teoría
• Deformaciones Normal y Cortante
Figura N°2. Deformación normal y cortante 2D. Fuente: http://es.slideshare.net/PaulinMalca/1-deformacin-2010
Deformación Normal Deformación Cortante

6. 1. Deformaciones Principales
2. Orientación de Deformaciones Principales
3. Deformación Cortante Máximo
Teoría
• Deformaciones Principales y Cortante Máximo
Figura N°3. Círculo de Mohr para deformaciones. Fuente: Elaboración propia

7. Teoría
• Deformaciones asociadas a Esfuerzos
Donde
εx,y: Deformación en eje x e y respectivamente
γxy: Deformación cortante en plano xy
σx,y: Esfuerzo en eje x e y respectivamente
τxy: Esfuerzo cortante en plano xy
E: Módulo de Young (MPA)
ν: Coefieciente de Poisson (Adim.)
Deformación Normal, eje x Deformación Normal, eje y Deformación Cortante xy

8. Teoría
• Esfuerzo Normal y Cortante
Figura N°4. Esfuerzo normal y cortante 2D. Fuente: https://basicmechanics.wikispaces.com/Tema+6.+2-D+y+3-D+del+esfuerzo
Esfuerzo Normal Esfuerzo Cortante

9. • Esfuerzos Principales y Cortante Máxima
1. Esfuerzos Principales
2. Orientación de Esfuerzos Principales
3. Esfuerzo Cortante Máximo
Teoría
Figura N°5. Círculo de Mohr para esfuerzos. Fuente: Elaboración propia

10. • Medición de ángulo θ
Se mide desde la horizontal hasta el plano de interés, si su medición
se realiza anti horario el ángulo será positivo, caso contrario es decir
horario, será negativo, como se aprecia en la Figura N°6.
Teoría
ൗ
𝛾
2
Figura N°6. Medición de ángulo θ. Fuente: Elaboración propia

11. Ejercicio
• Para la roseta que se aprecia en la Figura N°7, que
tiene por objetivo caracterizar las deformaciones sobre
un elemento de roca, las galgas extensiométricas
arrojaron los siguientes resultados:
εA = 0.00015, εB = 0.0004, εC = 0.0005
• Considere que el plano C respecto a la horizontal
(medido en sentido horario), forma un ángulo de 95°.
• Se solicita determinar:
a. Estado de deformaciones en los ejes cartesianos.
b. Deformaciones principales en el plano.
c. Considerando deformaciones planas y que las
propiedades elásticas de la roca son E=2.2 GPa y ν=0.25,
obtener esfuerzos principales.
Figura N°7. Roseta de deformación

12. Desarrollo
a. Estado de deformaciones en los ejes cartesianos
Procedimiento:
1. Medir ángulos de planos respecto a la Hz.
Ángulos θ
Plano A: 25°
Plano B: 137°
Plano C: 95°

13. Desarrollo
2. Generar sistema de ecuaciones a partir de deformaciones normales para
determinar deformaciones coordenadas al plano xy (Normales y Cortante)
Datos
Planos θ (°) ε (Adim.)
A 25 0.00015
B 137 0.0004
C 95 0.0005
Ecuación a utilizar:
Reemplazando para cada plano:

14. Desarrollo

15. Desarrollo
b. Deformaciones principales en el plano
Procedimiento:
1. Con las deformaciones en los ejes cartesianos se reemplaza en ecuaciones de
deformaciones principales.
Datos
εx 1.59x10−4
εy 4.87x10−4
γxy −1.77x10−5
Ecuación a utilizar:

16. Desarrollo

17. Desarrollo
c. Considerando deformaciones planas y que las propiedades
elásticas de la roca son E=2.2 GPa y ν=0.25, obtener esfuerzos
principales.
Procedimiento:
1. Como nos piden esfuerzos, debemos asociar las deformaciones cartesianas con
los esfuerzos, que a su vez esta en función de las propiedades elásticas.
Ecuaciones a utilizar:Datos
εx 1.59x10−4
εy 4.87x10−4
γxy −1.77x10−5
E 2.2 GPa
ν 0.25

18. Desarrollo

19. Desarrollo

20. Desarrollo
Pero estos esfuerzos no son principales, ya que tienen asociado una cortante, por
ende, determinaremos los esfuerzos principales de manera analítica.
Datos
σx 0.83 MPa
σy 1.41 MPa
τxy −0.16 MPa
Ecuación a utilizar:

21. Desarrollo

22. Ejercicio Propuesto
• En un macizo rocoso se caracterizó los esfuerzos
mediante Strain Gage (Figura N°8) obteniendo las
siguientes magnitudes σx = 20 MPa, σy = 35 MPa,
τxy = 12 MPa , asumiendo deformaciones planas y
que las propiedades elásticas de la roca son E=24
GPa y ν=0.22
• Se solicita determinar
a. Deformaciones normales esperadas en los Strain
Gauge A, B y C mostrados en la Figura N°8.
b. Determinar esfuerzos actuantes en un plano paralelo
al Strain Gage B
Figura N°8. Roseta de deformación

23. Respuestas
a. Strain Gage a=1.26𝑥10−3
, b=3.01𝑥10−4
, c=1.01𝑥10−3
b. σx = 18.03 MPa, σy σN = 36.97 MPa, τxy = 10.52 MPa, τyx τ = −10.52 MPa

24. Referencias
• Domcke, M. (2006). Cap 3 Deformaciones. En Ayudantías Fundamentos de Geotecnia
(pp.23-27). Santiago, Chile: Edición propia del autor.
• Orrego, C. (2015). Deformaciones y Teoría de Elasticidad [Material de Clase].
Fundamentos de Geomecánica. Universidad de Santiago de Chile, Región
Metropolitana, Santiago.
• Ñique, D. (2010). Estado de Deformación. [Material Clase]. Mecánica de Materiales.
Septiembre 16, 2016, de Universidad Nacional de Trujillo (UNT). Sitio Web:
http://es.slideshare.net/PauilinMalca/1-deformacin-2010
• Vergara, J. (2010). Estado de Esfuerzos. Septiembre 16, 2016, de Pontificia Universidad
Católica (PUC). Sitio web: http://es.slideshare.net/javergaraa/apestesf