รวมข้อสอบคณิตศาสตร์เตรียมทหาร ม.3

ตัวอย่างข้อสอบ
โรงเรียนเตรียมทหาร

วิชาคณิตศาสตร์

รวบรวมโดย คุณครูพี่อั๋น
http://CoolAun.com

เตรียมสอบเตรียมทหาร

-1-


สมบัติของจานวนนับ (ค.ร.น. และ ห.ร.ม.)
ตัวประกอบ ของจำนวนนับใดๆ คือจำนวนนับที่หำรจำนวนนับนั้นได้ลงตัว
จำนวนนับที่มี 2 เป็นตัวประกอบ เรียกว่ำ จานวนคู่ ส่วนจำนวนนับอื่น ๆ ที่ไม่ใช่จำนวนคู่ เรียกว่ำ
จานวนคี่
จานวนเฉพาะ
จำนวนเฉพำะ: จำนวนนับที่มำกกว่ำ 1 และมีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 และตัวมันเอง
จำนวนประกอบ (Composite Number): จำนวนนับที่มำกกว่ำ 1 ซึ่งไม่เป็นจำนวนเฉพำะ
ตัวอย่าง
3 เป็นจานวนเฉพาะ เพราะ 3 มีตัวประกอบเพียงสองตัว คือ 1, 3
4 เป็นจานวนประกอบ เพราะ 4 มีตัวประกอบมากกว่าสองตัว คือ 1, 2, 4
การตรวจสอบว่าจานวนที่กาหนดให้เป็นจานวนเฉพาะหรือไม่
ทำได้โดยนำจำนวนเฉพำะไปหำรจำนวนนับที่กำหนดให้ และเมื่อหำจำนวนเฉพำะที่มำกที่สุดที่ยก
กำลังสองแล้วไม่เกินจำนวนนับที่มำกที่สุดนั้น จะได้จำนวนเฉพำะตัวนั้น เป็นตัวสุดท้ำยที่จะเป็นตัวประกอบ
ของจำนวนนับที่กำหนดให้ เช่น จำกตัวอย่ำงข้ำงต้น จำนวนนับที่มำกที่สุด คือ 50 จำนวนเฉพำะที่มำกที่สุด
ที่ยกกำลังสองแล้วไม่เกิน 50 คือ 7 (72 = 49) ดังนั้น 7 เป็นจำนวนสุดท้ำยที่เรำใช้เป็นตัวประกอบ
ถ้า n เป็นจานวนนับ ซึ่งไม่มีจานวนเฉพาะ p ใด ๆ ที่หาร n ได้ลงตัว โดยที่ p x p < n แล้ว
n เป็นจานวนเฉพาะ
สรุปว่า ถ้ำเรำต้องกำรตรวจสอบว่ำ จำนวนนับ n ที่กำหนดให้เป็นจำนวนเฉพำะหรือไม่ เรำจะมี
วิธีกำรดังนี้
1) รวบรวม p ซึง p x p < n
่
2) นำ p ที่รวบรวมได้ไปหำร n ถ้ำไม่มีจำนวนเฉพำะ p ใด ๆ หำร n ได้ลงตัวแล้ว n จะเป็น
จำนวนเฉพำะ

การตรวจสอบการหารลงตัวของจานวนเต็ม


จานวนเต็มที่หารด้วย 2 ลงตัว ได้แก่ จำนวนคู่ หรือจำนวนเต็มที่ลงท้ำยด้วย 0, 2, 4, 6 และ 8
ตัวอย่าง จำนวนที่หำรด้วย 2 ลงตัว เช่น 12, 54, 296, 568, 1000 เป็นต้น
 จานวนเต็มที่หารด้วย 3 ลงตัว ได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำเลขโดดทุกตัวมำรวมกันไปเรื่อยๆ จนได้
ผลลัพธ์เป็นจำนวนหลักเดียว หรือสองหลัก แล้วดูว่ำจำนวนที่ได้นั้นหำรด้วย 3 ลงตัวหรือไม่
ตัวอย่าง 3 หำร 27 ลงตัว
เพรำะ 2 + 7 = 9
ซึง 3 หำร 9 ลงตัว
่
3 หำร 147 ลงตัว
เพรำะ 1 + 4 + 7 = 12
ซึง 3 หำร 12 ลงตัว
่
3 หำร 134 ไม่ลงตัว เพรำะ 1 + 3 + 4 = 8
ซึง 3 หำร 8 ไม่ลงตัว
่

ไม่มีใครสามารถท่าให้คุณรู้สึกตาต้อยได้ ถ้าคุณไม่ยินยอม
่

เอลีนอร์ รูสเวลต์


-2-


 จานวนเต็มที่หารด้วย 5 ลงตัว ได้แก่ จำนวนเต็มที่ลงท้ำยด้วย 0 และ 5 เท่ำนั้น (ลองสังเกตสูตร
คูณแม่ 5 ดูก็ได้ครับ)
ตัวอย่าง จำนวนเต็มที่หำรด้วย 5 ลงตัว เช่น 25, 350, 2455, 5670 เป็นต้น
 จานวนเต็มที่หารด้วย 7 ลงตัว ได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำจำนวนในหลักหน่วยมำคูณด้วย 2 แล้ว
นำไปลบออกจำกจำนวนที่เหลือจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนที่ 7 หำรลงตัว
เพรำะ 18 – (2  2) = 18 – 4 = 14
ซึง
่
เพรำะ 47 – (6  2) = 47 – 12 = 35
ซึง
่
7 หำร 576 ไม่ลงตัว เพรำะ 57 – (6  2) = 57 – 12 = 45
ซึง
่
7 หำร 45 ไม่ลงตัว
 จานวนเต็มที่หารด้วย 11 ลงตัว ได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำผลรวมของเลขโดดในหลักคู่ (หลักที่
2: หลักสิบ, หลักที่ 4: หลักพัน, หลักที่ 6: หลักแสน, ...) ลบด้วย ผลรวมของเลขโดดในหลักคี่ (หลักที่ 1:
หลักหน่วย, หลักที่ 3: หลักร้อย, หลักที่ 5: หลักหมื่น, ...) แล้วได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนที่ 11 หำรลงตัว เช่น
ผลลัพธ์เป็น 0, 11, -11 เป็นต้น
ตัวอย่าง 11 หำร 253 ลงตัว เพรำะ 5 – (2 + 3) = 0 และ 11 หำร 0 ลงตัว
11 หำร 2794 ลงตัว เพรำะ (2 + 9) – (7 + 4) = 0 และ 11 หำร 0 ลงตัว
11 หำร 45876 ไม่ลงตัว เพรำะ (5 + 7) – (4 + 8 + 6) = -6 ซึ่ง 11 หำร -6 ไม่ลงตัว
 จานวนเต็มที่หารด้วย 13 ลงตัว ได้แก่ จำนวนจำนวนเต็มที่เมื่อนำเลขโดดตัวสุดท้ำย (เลขโดดใน
หลักหน่วย) คูณด้วย 4 แล้วบวกด้วยจำนวนที่เหลือ แล้วดูว่ำ 13 หำรลงตัวหรือไม่ ถ้ำจำนวนยังมำกอยู่ก็ให้
ดำเนินกำรในทำนองเดียวกันไปเรื่อยๆ จนเหลือจำนวนที่น้อยและตรวจได้ว่ำหำรด้วย 13 ลงตัวหรือไม่
ตัวอย่าง 13 หำร 546 ลงตัว เพรำะ 54 + (6  4) = 54 + 24 = 78 (ยังเยอะอยู่)
7 + (8  4) = 7 + 32 = 39 ซึ่ง 13 หำร 39 ลงตัว
13 หำร 7618 ลงตัว เพรำะ 761 + (8  4) = 761 + 32 = 793 (ยังเยอะอยู่)
79 + (3  4) = 79 + 12 = 91 (ตรวจต่อก็ได้)
9 + (1  4) = 9 + 4 = 13 ซึ่ง 13 หำร 13 ลงตัว
13 หำร 12564 ไม่ลงตัว เพรำะ 1256 + (4  4) = 1256 + 16 = 1272
127 + (2  4) = 127 + 8 = 135
13 + (5  4) = 13 + 20 = 43 ซึ่ง 13 หำร 43 ไม่ลงตัว

่



-3-


 จานวนเต็มที่หารด้วย 17 ลงตัว ได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำจำนวนในหลักสุดท้ำยไปคูณด้วย 5
แล้วนำจำนวนที่เหลือมำตั้ง แล้วลบด้วยผลคูณของจำนวนในหลักสุดท้ำยกับ 5 (ถ้ำจำนวนยังมำกอยู่ให้
ดำเนินกำรในทำนองเดียวกันต่อไปเรื่อย) แล้วดูว่ำผลลัพธ์ที่ได้หำรด้วย 17 ลงตัวหรือไม่
เพรำะ 8 – (5  5) = 8 – 25 = -17 ซึ่งหำรด้วย 17 ลงตัว
17 หำร 612 ลงตัว เพรำะ 61 – (2  5) = 61 – 10 = 51
5 – (1  5) = 5 – 5 = 0 ซึ่งหำรด้วย 17 ลงตัว
17 หำร 2295 ลงตัว เพรำะ 229 – (5  5) = 229 – 25 = 204
20 – (4  5) = 20 – 20 = 0 ซึ่งหำรด้วย 17 ลงตัว
21 – (1  5) = 21 – 5 = 16 ซึ่งหำรด้วย 17 ไม่ลงตัว
692 – (8  5) = 692 – 40 = 652
65 – (2  5) = 65 – 10 = 55
5 – (5  5) = 5 – 25 = -20 ซึ่งหำรด้วย 17 ไม่ลงตัว
 จานวนเต็มที่หารด้วย 19 ลงตัว ได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำจำนวนในหลักสุดท้ำย (หลักสิบ, หลัก
หน่วย) คูณด้วย 2 จำกนั้นนำไปบวกกับจำนวนที่เหลือ (ถ้ำจำนวนยังมำกอยู่ให้ดำเนินกำรในทำนอง
เดียวกันต่อไปเรื่อย) แล้วดูว่ำหำรด้วย 19 ลงตัวหรือไม่
ตัวอย่าง 19 หำร 152 ลงตัว เพรำะ 15 + (2  2) = 15 + 4 = 19
ซึง
่
19 หำร 741 ลงตัว เพรำะ 74 + (1  2) = 74 + 2 = 76
7 + (6  2) = 7 + 12 = 19
ซึง
่
15 + (8  2) = 15 + 16 = 31
ซึง
่
58 + (5  2) = 58 + 10 = 68
6 + (8  2) = 6 + 16 = 22
ซึง
่

่



-4-


ตัวอย่ำง 157 เป็นจำนวนเฉพำะหรือไม่
วิธีทำ จำนวนเฉพำะ p ซึง p x p < n ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11
่
จะพบว่ำ
ดังนั้น 157 เป็นจำนวนเฉพำะ
ตัวอย่ำง จงตรวจสอบว่ำ จำนวนนับที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นจำนวนเฉพำะหรือไม่
1) 167
วิธีทำ จำนวนเฉพำะ p ซึง p x p < n ได้แก่
่

ดังนั้น
2) 701
วิธีทำ จำนวนเฉพำะ p ซึง p x p < n ได้แก่
่

การแยกตัวประกอบ
การแยกตัวประกอบ ของจำนวนนับใดๆ คือประโยคที่แสดงกำรเขียนจำนวนนั้นในรูปกำรคูณของ
ตัวประกอบเฉพำะ
ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 18
วิธีทา 18 = 2  3  3

่



-5-


ในกำรแยกตัวประกอบของจำนวนที่มีตัวประกอบหลำยๆ จำนวนเรำอำจหำตัวประกอบทีละ 2 ตัว
หลำยๆ ขั้นจนขั้นสุดท้ำยได้ตัวประกอบทุกตัวเป็นจำนวนเฉพำะ เช่นต้องกำรแยกตัวประกอบของ 420 ก็มี
วิธีคิดดังนี้คือ
420 = 2  210
= 2  2  105
= 2  2  3  35
=22357
นั่นคือแยกตัวประกอบของ 420 ได้เป็น 420 = 2  2  3  5  7
ตัวหารร่วมมาก
จำนวนที่หำรทั้ง 12 และ 18 ลงตัว ซึ่งได้แก่ 1,2,3 และ 6 เรียกว่ำตัวหารร่วม หรือ ตัวประกอบร่วม
ของ 12 และ 18
ตัวอย่าง จงหำตัวประกอบร่วมของ 16 และ 24
วิธีทา ตัวประกอบของ 16 ได้แก่ 1,2,4,8,16
ตัวประกอบของ 24 ได้แก่ 1,2,3,4,6,8,12,24
ดังนั้น ตัวประกอบร่วมของ 16 และ 24 ได้แก่ 1, 2, 4 และ 8
ตัวประกอบร่วมที่มำกที่สุดของ 16 และ 24 คือ 8 เรียก 8 ว่ำ ตัวหารร่วมมาก ของ 16 และ 24
เขียนย่อ ว่ำ ห.ร.ม. ของ 16 และ 24
ตัวอย่างที่ จงหำ ห.ร.ม. ของ 12 และ 18
วิธีทา 12 = 2  2  3
18 = 2  3  3
จำกกำรแยกตัวประกอบของ 12 และ 18 จะเห็นว่ำตัวประกอบร่วม (ยกเว้น 1) ของ 12 และ18
ได้แก่ 2, 3 และ 2  3 (ดูตัวเลขในกรอบ)
ดังนั้น ตัวประกอบร่วมที่มำกที่สุดของ 12 และ 18 คือ 2  3 หรือ 6
นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 6
ตัวอย่างที่ จงหำ ห.ร.ม. ของ 9 และ 14
วิธีทา แยกตัวประกอบของ 9 และ 14 ได้เป็น
9=33
14 = 2  7

่



-6-


จำกกำรแยกตัวประกอบของ 9 และ 14 จะเห็นว่ำไม่มีจำนวนนับที่มำกกว่ำ 1 เป็นตัวประกอบร่วม
ของ 9 และ 14 แต่ 1 เป็นตัวประกอบร่วมของทุก ๆ จำนวน ดังนั้น 1 เป็นตัวประกอบร่วมที่มำกที่สุดของ
9 และ 14 นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 9 และ 10 คือ 1
ตัวอย่างที่ 8 ห้องประชุมกว้ำง 18 เมตร ยำว 24 เมตร จะติดพัดลมเพดำนให้แต่ละตัวห่ำงเท่ำๆ กัน และ
ตัวที่อยู่ใกล้ฝำผนังอยู่ห่ำงจำกฝำผนังเท่ำกับที่อยู่ห่ำงจำกพัดลมตัวอื่นๆ ด้วย จงหำว่ำ
1. จะติดพัดลมให้ห่ำงกันได้มำกที่สุดกี่เมตร
2. จะติดพัดลมได้ทั้งหมดกี่ตัว
วิธีทา

ตัวคูณร่วมน้อย
พิจำรณำจำนวนนับที่มี 4 และ 6 เป็นตัวประกอบต่อไปนี้
จำนวนนับที่มี 4 เป็นตัวประกอบได้แก่ 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
จำนวนนับที่มี 6 เป็นตัวประกอบได้แก่ 6, 12, 18, 24, 30, 36, …
จำนวนนับใดบ้ำงที่มีทั้ง 4 และ 6 เป็นตัวประกอบ
เป็นจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่มี 4 และ 6 เป็นตัวประกอบ เรียก 12 ว่ำ ตัวคูณร่วมน้อย ของ 4 และ
6 เขียนย่อ ๆ ว่ำ ค.ร.น. ของ 4 และ 6
กำรหำ ค.ร.น. ทำได้หลำยวิธี เช่น หำ ค.ร.น. ของ 8 และ 12 ได้ดังนี้
วิธีที่ 1 หำ ค.ร.น. ของ 8 และ 12 โดยเลือกจำกจำนวนนับที่มี 8 และ 12 เป็นตัวประกอบ
จำนวนนับที่มี 8 เป็นตัวประกอบได้แก่ 8, 16, 24, 32, …
จำนวนนับที่มี 12 เป็นตัวประกอบได้แก่ 12, 24, 36, 48, …
2) เป็นจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่มี 8 และ 12 เป็นตัวประกอบ
ดังนั้น ค.ร.น. ของ 8 และ 12 คือ 24
วิธีที่ 2 หำ ค.ร.น. ของ 8 และ 12 โดยวิธีแยกตัวประกอบ
8=222
12 = 2  2  3
8

2 2 23
12
่



-7-


ดังนั้น ค.ร.น. ของ 8 และ 12 คือ 24
วิธีที่ 3 หำ ค.ร.น. ของ 8 และ 12 โดยวิธีตั้งหำร
2) 8, 12
2) 4, 6
2, 3
กำรหำ ค.ร.น. โดยวิธีตั้งหำรทำได้ดังนี้
1. หำตัวประกอบร่วมเฉพำะ คือ 2 ไปหำร 8 และ 12 ได้ 4 และ 6
2. หำตัวประกอบร่วมเฉพำะ คือ 2 ไปหำร 4 และ 6 ได้ 2 และ 3
3. เมื่อผลลัพธ์ คือ 2 และ 3 ไม่มีตัวประกอบร่วมเฉพำะแล้วจึงหยุดกำรหำร
4. นำตัวหำรในข้อ 1, ข้อ 2 และผลลัพธ์ที่ได้ในข้อ 3 ทั้งหมดมำคูณกัน ผลคูณที่ได้คือ ค.ร.น.
ของ 8 และ 12
ดังนั้น ค.ร.น. ของ 8 และ 12 คือ 2  2  2  3 หรือ 24

1. มีแอปเปิลและส้มอยู่จำนวน 209 ผล และ 117 ผล ตำมลำดับ แบ่งแอปเปิลให้เด็กกลุ่มหนึ่งทุกคนจะ
ได้แอปเปิลเท่ำกันพอดี และเมื่อแบ่งส้มให้กับทุกคนเท่ำกัน ปรำกฏเหลือส้ม 3 ผล เด็กแต่ละคนได้รับ
แอปเปิลและส้มคนละกี่ผล(ทบ.49)
1) แอปเปิล 11 ผล ส้ม 6 ผล

2. ดำวเทียม 3 ดวง ถูกยิงขึ้นไปสู่อวกำศพร้อมกัน ดวงที่หนึ่งใช้เวลำโคจรรอบโลกนำน 1.8 สัปดำห์ ดวงที่
สองใช้เวลำโคจรรอบโลก 2.1 สัปดำห์ ดวงที่สำมใช้เวลำโคจรรอบโลก 3.8 สัปดำห์ อยำกทรำบว่ำ
หลังจำกปล่อยพร้อมกันแล้วนำนเท่ำใดดำวเทียมทั้งสำมจึงจะโคจรมำในแนวเดียวกันอีกครั้ง (ทอ.49)
1. 0.092 ปี
2. 4.600 ปี
3. 0.920 ปี
4. 0.460 ปี
5. 9.200 ปี

่



-8-


3. เลขจำนวนที่มำกที่สุดที่หำร 279 และ 592 แล้วเหลือเศษ 6 และ 7 ตำมลำดับ คืออะไร (ทร.50)
1) 39
2) 40
3) 67
4) 79

4. ไม้อัดรูปสี่เหลี่ยมมุมฉำก กว้ำง 0.72 เมตร และยำว 0.84 เมตร ถ้ำต้องกำรตัดไม้อัดนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยม
จัตุรัสขนำดเท่ำ ๆ กัน ให้มีพื้นที่มำกที่สุด จะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสกี่รูป (ทร.50)
1) 12
2) 24
3) 42
4) 54

5. ถ้ำให้ m และ n เป็น ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ a และ b แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง (ตร.50)
1) n x ( a x b ) = m
2) a x b = m x n
3) a x m = b x n
4) m x( a x b )=n

6. กำหนดให้จำนวน 15, 60 และ e ให้ ถ้ำ 15 เป็น ห.ร.ม. ของจำนวนทั้ง 3 และ 60 เป็น ค.ร.น. ของ
จำนวนทั้ง 3 e มีค่ำเท่ำไร (ตร.50)
1) 90
2) 15
3) 30
4) 60

่



-9-


7. รถโดยสำร 2 คันใช้เวลำรับส่งผู้โดยสำรแต่ละรอบ (คิดเวลำทั้งเที่ยงไปและกลับ) เท่ำกับ 1 ชั่วโมง และ
1 ชั่วโมง 12 นำที ตำมลำดับ ถ้ำรถทั้งสองคันนี้ออกจำกจุดเริ่มต้นเดียวกันเวลำ 07.45 น. เวลำใดที่รถ
ทั้งสองคันจะกลับมำที่จุดเริ่มต้นพร้อมกัน (ทบ.51)
1) 13.45 น.
2) 13.50 น.
3) 13.55 น.
4) 14.00 น.
5) 14.05 น.

8. ห.ร.ม. และ ค.ร.น.ของจำนวนบวกสองจำนวน คือ 15 และ 725 ตำมลำดับ ถ้ำจำนวนแรก
คือ 29  3  5 แล้ว จำนวนที่สองจะอยู่ในข้อใด(ทบ.51)
1) 3  7  5 2) 3 5
3) 7  5
4) 5 5
5) 3 7

9. ถ้ำ a เป็นจำนวนน้อยที่สุดซึ่งเมื่อนำ 8, 9, 10, 12 ไปหำรจะเหลือเศษ 3 เสมอแล้ว จงหำ
51)
1) 33
2) 36
3) 38
4) 43

3a

(ทร.

10. มีเชือกอยู่ 3 เส้น มีควำมยำว 80 เซนติเมตร 64 เซนติเมตร และ 40 เซนติเมตร ตำมลำดับ ต้องกำร
ตัดเชือกเป็นท่อน ๆ ให้ยำวเท่ำ ๆ กัน จะได้เชือกยำวที่สุดเท่ำใด และได้เชือกกี่เส้น (ทร.51)
1) 8 เซนติเมตร จำนวน 23 เส้น

่



-10-

15
11. 0.72 , 16 , 2 7 มี ค.ร.น. เป็นที่เท่ำของ ห.ร.ม. (ทร.52)
8
1) 34500
2) 467
3) 321


4) 690

12. ผู้บริจำคสิ่งของให้โรงเรียนต่ำงๆมีหนังสือ 670 เล่ม มีสมุด 404 เล่ม มีดินสอ 1,145 แท่ง เขำต้องกำร
บริจำคให้โรงเรียนละเท่ำๆกันให้ได้จำนวนมำกที่สุด โดยสิ่งของทุกชนิดจะเก็บไว้เป็นตัวอย่ำงในปีหน้ำ
อย่ำงละ 5 ชิ้น จงหำว่ำเขำจะนำไปบริจำคได้กี่โรงเรียน (ทร.52)
1) 19 โรงเรียน

13. หลอดไฟ 5 หลอดเป็นไฟกระพริบ ถ้ำทั้ง 5 หลอดใช้เวลำในกำรกระพริบ ดังนี้ 2 ,3 ,4 ,5 ,6 วินำทีต่อ
ครั้ง ถ้ำเริ่มต้นกระพริบพร้อมกัน และจะกระพริบพร้อมกันอีกครั้งนำนกี่นำที
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
5) 5

่



-11-


ระบบตัวเลขฐานต่างๆ
จำกที่ได้ศึกษำมำแล้วนั้น ปัจจุบันระบบเลขฐำน 10 เป็นระบบที่นิยมในปัจจุบัน แต่ยังมีระบบ
ตัวเลขฐำนอื่น ๆ อีกที่เคยใช้และยังใช้อยู่ในปัจ จุบัน เช่น ระบบตัวเลขฐำนสอง (ในคอมพิวเตอร์) ฐำนแปด
ฐำนสิบสอง ฐำนสิบหก เป็นต้น
ในหัว ข้อนี้ เรำจะได้ศึกษำเกี่ยวกับกำรเปลี่ ยนฐำนของเลขฐำนต่ำง ๆ มำเป็นฐำนสิ บ และกำร
เปลี่ยนเลขสิบให้เป็นตัวเลขฐำนต่ำง เช่น เปลี่ยนเลขฐำนสองให้เป็นเลขฐำนสิบ , เปลี่ยนเลขฐำนสิบให้เป็น
เลขฐำนแปด เป็นต้น
 ระบบตัวเลขฐานสอง
ในระบบตัวเลขฐำนสอง มีสัญลักษณ์พื้นฐำนเพียง 2 ตัว คือ 0 และ 1 กำรเขียนตัวเลขฐำนสอง
จะต้องเขียน 2 กำกับไว้ เช่น 102 (หรือเขียน 10สอง ก็ได้) ซึ่งอ่ำนว่ำ หนึ่งศูนย์ในฐำนสอง
ตัวเลขฐำนสองมีวิธีกำรเขียนเหมือนตัวเลขฐำนสิบ คือ ยึดตำแหน่งเป็นหลัก โดยแต่ละตำแหน่งมี
ชื่อและมีค่ำประจำหลักดังนี้
ตำแหน่งที่
…
6
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
ค่ำประจำหลัก
…
2
2
2
2
2
20
เทียบกับตัวเลขฐำนสิบ
…
32
16
8
4
2
1
 การเปลี่ยนตัวเลขฐานสิบให้เป็นตัวเลขฐานสอง
วิธีกำรเปลี่ยนตัวเลขฐำนสิบให้เป็นตัวเลขฐำนสอง สำมำรถทำได้ 2 วิธี ดังต่อไปนี้
1. วิธีการตั้งหาร
กำรตั้งหำรทำได้โดยกำรนำสองไปหำรตัวเลขฐำนสิบ แล้วเขียนเศษไว้ แล้วนำสองไปกำรผลหำรอีก
เขียนเศษที่ได้ไว้ ทำไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งได้ผลหำรเป็นศูนย์ แล้วนำเศษที่ได้จำกกำรหำรมำเขียนเป็น
คำตอบ โดยเขียนจำกล่ำงขึ้นบน ดังตัวอย่ำง
ตัวอย่าง 1
จงเปลี่ยน 63 ให้เป็นตัวเลขฐำนสอง โดยวิธีกำรตั้งหำร
วิธีทา
2 ) 63
2 ) 31
เศษ 1
2 ) 15
เศษ 1
2)7
เศษ 1
2)3
เศษ 1
2)1
เศษ 1
0
เศษ 1
 63 = 1111112
่



วิธีทา


-12-

จงเปลี่ยน 86 ให้เป็นตัวเลขฐำนสอง โดยวิธีกำรตั้งหำร

2. การเขียนจานวนในรูปผลบวกของสองยกกาลังต่าง ๆ
จงเปลี่ยน 63 ให้เป็นตัวเลขฐำนสอง
วิธีทา 63
=
32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
=
25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20
=
(1 x 25) + 1 x 24) + (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20)
=
1111112
 63 = 1111112
จงเปลี่ยน 80 ให้เป็นตัวเลขฐำนสอง
วิธีทา

แบบฝึกหัด
1. จงเปลี่ยนตัเลขฐำนสิบต่อไปนี้ให้เป็นเลขฐำนสองโดยวิธีตั้งหำร
1) 55
2) 64

่




-13-

3) 70

4) 89

5) 105

6) 164

2. จงเปลี่ยนตัวเลขฐำนสิบต่อไปนี้ให้เป็นตัวเลขฐำนสอง โดยไม่ใช้กำรตั้งหำร
1) 19
2) 23

3) 30

่

4) 35




-14-

 การเปลี่ยนตัวเลขฐานสองให้เป็นตัวเลขฐานสิบ
กำรเปลี่ยนตัวเลขฐำนสองให้เป็นตัวเลขฐำนสิบนั้นทำได้โดยกำรเขียนตัวเลขฐำนสองให้อยู่ในรูป
ผลบวกของกำรกระจำยตัวเลขโดดในเลขฐำนสองคูณกับค่ำประจำหลัก ดังนี้

จงเปลี่ยนตัวเลขฐำนสองที่กำหนดให้เป็นตัวเลขฐำนสิบ
1) 110012 = (1 x 24) + (1 x 23) + (0 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20)
= 16 + 8 + 0 + 0 + 1
= 25
2) 10102
=
=
=
3) 1011102 =
=
=
4) 1100112 =
=
=
5) 11112
=
=
=
6) 11100102 =
=
=
7) 110110102 =
=
=
8) 1111112 =
=
=
9) 100100112 =
=
=

่



-15-


 ระบบตัวเลขฐานอื่น ๆ
นอกจำกระบบตั ว เลขฐำนสองและฐำนสิ บ ดั ง ที่ เ รำได้ เ รี ย นรู้ ม ำแล้ ว ยั ง มี ร ะบบตั ว เลขฐำน
อื่น ๆ อี กมำกมำยที่ส ำมำรถใช้เ ขีย นแทนจำนวนได้ และตั ว เลขฐำนอื่น ๆ ก็จะมีลั กษณะคล้ ำยกับตั ว
เลขฐำนสองและฐำนสิบ ดังแสดงในตำรำง
ื้
ตาแหน่งที่
…
6
5
4
3 2 1 ระบบเลขฐานและสัญลักษณ์พนฐาน
ค่ำประจำหลัก …
25
24
23
22 21 20
ฐำนสอง
สัญลักษณ์ 0, 1,
เทียบกับฐำนสิบ …
32
16
8
4 2 1
35
34
33
32 31 30
ฐำนสำม
สัญลักษณ์ 0, 1, 2,
เทียบกับฐำนสิบ … 243
81
27
9 3 1
5
4
4
2
1
0
4
4
4
4 4 4
ฐำนสี่
สัญลักษณ์ 0, 1, 2, 3
เทียบกับฐำนสิบ … 1,024 256 64 16 4 1
55
54
53
52 51 50
ฐำนห้ำ
สัญลักษณ์ 0, 1, 2, 3, 4
เทียบกับฐำนสิบ … 3,125 625 125 25 5 1
65
64
63
62 61 60
ฐำนหก
สัญลักษณ์ 0, 1, 2, 3, 4, 5
เทียบกับฐำนสิบ … 7,776 1,296 216 36 6 1
5
4
3
2
1
0
7
7
7
7 7 7
ฐำนเจ็ด
สัญลักษณ์ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
เทียบกับฐำนสิบ … 16,807 2,401 343 49 7 1
5
4
3
2
1
0
8
8
8
8 8 8
ฐำนแปด
สัญลักษณ์ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
เทียบกับฐำนสิบ … 32,768 4,096 512 64 8 1
95
94
93
92 91 90
ฐำนเก้ำ
เทียบกับฐำนสิบ … 50,049 6,561 729 81 9 1 สัญลักษณ์ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
ฐำนสิบ
105
104 103 102 101 100
เทียบกับฐำนสิบ … 100,000 10,000 1,000 100 10 1 สัญลักษณ์ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
วิธีกำรเปลี่ยนตัวเลขฐำนสิบให้เป็นตัวเลขฐำนต่ำง ๆ และกำรเปลี่ยนตัวเลขฐำนต่ำง ๆ ให้เป็นตัว
เลขฐำนสิบ สำมำรถทำได้เช่นเดียวกับตัวเลขฐำนสอง ดังตัวอย่ำงต่อไปนี้
จงเปลี่ยนตัวเลขฐำนต่ำง ๆ ที่กำหนดให้ให้เป็นตัวเลขฐำนสิบ
1) 546
= (5 x 61) + (4 x 60)
= 30 + 4 = 34
2) 1134
=
=
3) 102023 =
=
่



-16-


4) 10207

วิธีทา

=
=
5) 40029
=
=
6) 657
=
=
=
7) 108809 =
=
=
8) 1122113 =
=
=
9) 134315 =
=
=
10) 12146
=
=
=
1) จงเปลี่ยน 535 ให้เป็นตัวเลขฐำน 7 โดยวิธีกำรตั้งหำร

2) จงเปลี่ยน 7454 ให้เป็นตัวเลขฐำน 5 โดยวิธีกำรตั้งหำร
วิธีทา

่





-17-

จงเปลี่ยนตัวเลขฐำนสิบต่อไปนี้ให้เป็นตัวเลขฐำนต่ำง ๆ ที่กำหนดให้
ข้อ
1.
2.
3.
4.
5.
6.

ฐำนสิบ
8
15
35
68
185
215

ฐำนแปด

ฐำนหก

ฐำนห้ำ

ฐำนสำม

 การหาผลลัพธ์ของการบวกเลขฐานต่าง ๆ ที่ไม่ใช่ตัวเลขฐานสิบ
สำมำรถทำได้โดยกำรตั้งบวกแบบตัวเลขฐำนสิบ แต่มีหลักกำรทดดังนี้
1. เมื่อบวกกันได้เท่ำกับฐำนให้ใส่ผลลัพธ์ 0 และทดไว้ 1 เช่นในฐำน 5 เมื่อนำ 3 + 2 จะได้ 5 ให้
ใส่ 0 ที่ผลลัพธ์แล้วทดไว้ 1
2. เมื่อบวกกันได้มำกกว่ำฐำนให้กว่ำเกิ นจำกฐำนไปเท่ำใด ให้ค่ำที่เกินนั้นเป็นผลลัพธ์ แล้วทดไว้
1 เช่น ในฐำน 5 เมื่อนำ 4 + 3 จะได้ 7 ซึ่งเกิน 5 ไป 2 ให้ใส่ 2 ที่ผลลัพธ์ และทดไว้ 1
จงหำ 110112 + 111012
ตัวอย่าง 10 จงหำผลลัพธ์ 866549 + 211549
วิธีทา

วิธีทา
1 1 1 1 1
1 1 0 1 12 
1 1 1 0 12
1 1 1 0 0 02

1 1 1 1
8 6 6 5 49

2 3 4 5 49
1 2 1 2 1 89

จงหำผลลัพธ์ของ
1) 6628 + 5208
วิธีทา

3) 1308 + 258
วิธีทา

2) 5407 + 4217
วิธีทา

4) 11001112 + 10001012
วิธีทา

่




-18-

5) 65617 + 3667
วิธีทา

11) 346 + 246 + 556 + 106
วิธีทา

6) 15456 + 326
วิธีทา
12) 4657 + 2527 + 6647
วิธีทา
7) 4889 + 189
วิธีทา
13) 5628+ 1078
วิธีทา
8) 21013 + 1023
วิธีทา
14) 11012 + 11112
วิธีทา

9) 110324 + 20214
วิธีทา

15) 32712 + 9812
วิธีทา

10) 142035 + 21345
วิธีทา

16) JJJ12 + 12112
วิธีทา

่




-19-

17) 456 + 1246 + 5056
วิธีทา

18) 112 + 102 + 112 + 112
วิธีทา

 การหาผลลัพธ์ของการลบเลขฐานต่าง ๆ ที่ไม่ใช้ตัวเลขฐานสิบ
ตัวอย่าง 11 จงหำผลลัพธ์ของ 7678 – 5438
วิธีทา วิธีที่ 1 เปลี่ยนจำนวนในระบบตัวเลขฐำน 8 ให้เป็นจำนวนในระบบตัวเลขฐำน 10 ก่อน เมื่อหำ
ผลลัพธ์ได้แล้วจึงเปลี่ยนกลับให้จำนวนในระบบตัวเลขฐำน 8
7678 =
=
5438 =
=

7678 – 5438 =
=
=
วิธีที่ 2 เขียนให้อยู่ในรูปกระจำยแล้วหำผลลัพธ์
7678 =
5438 =
 7678 – 5438
=
ตัวอย่าง 12 จงหำผลลัพธ์ของ 5368 – 2638
วิธีทา
5368 =
2638 =
หรือ

5 3 68
- 2 6 38
8



5368 – 2638 =

่




-20-

จงหาผลลัพธ์ของแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 4316 – 3146
วิธีทา

2) 21013 – 12103
วิธีทา

3) 50009 – 32459
วิธีทา

4) 125 – 35
วิธีทา

5) 438 – 48
วิธีทา

6) 11012 – 1112
วิธีทา

7) 40245 – 10135
วิธีทา

8) 6527- 5617
วิธีทา

9) 9200812 – 2J14Q12 (J = 10, Q = 11)
วิธีทา

10) 402037 – 124157
วิธีทา

 การหาผลลัพธ์ของการคูณเลขฐานต่าง ๆ ที่ไม่ใช้ตัวเลขฐานสิบ
กำรคูณจำนวนระบบตัวเลขฐำนต่ำง ๆ ที่ไม่ใช่ฐำน 10 นั้น ข้อควรระวังคือกำรทด กำรทดนั้นทำได้
เมื่อคูณจำนวน 2 จำนวน ได้ผลลัพธ์เท่ำใด ให้นำผลลัพธ์ที่ได้หำรด้วยฐำน เหลือเศษเท่ำใดให้ใส่เศษที่
ผลลัพธ์ ได้ผลหำรเท่ำใดให้ทดไว้ ดังตัวอย่ำงต่อไปนี้

่




วิธีทา


-21-

จงหำผลลัพธ์ของแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 59  44
=
2) 67  37
=
3) 24  34
=
4) 26  36
=
5) 46  36
=
จงหำผลลัพธ์ของ 4256  36
4 2 56
 36
6


วิธีทา

4256  36 =
จงหำผลลัพธ์ของ 4315  235
4 3 15
 2 35

5



4315  235 =

1) 5267  347
วิธีทา

2) 101102  102
วิธีทา

3) 5839  279
วิธีทา

่




-22-

4) 4227  417
วิธีทา

8) 4327  167
วิธีทา

5) 1011012  112
วิธีทา

9) 110112  11102
วิธีทา

6) 4829  379
วิธีทา

10) 401356  436
วิธีทา

7) 4045  3445
วิธีทา

11) 124148  768
วิธีทา

 การหาผลลัพธ์ของการหารเลขฐานต่าง ๆ ที่ไม่ใช้ตัวเลขฐานสิบ
กำรหำผลลัพธ์ของกำรหำรเลขฐำนต่ำง ๆ ที่ไม่ใช้ตัวเลขฐำนสิบ สำมำรถทำได้ในทำนองเดียวกัน
กับกำรหำรจำนวนในระบบตัวเลขฐำน 10 คือ กำรหำรยำว (กำรตั้งหำร) โดยกำรหำจำนวนมำกคูณกับ
ตัวหำร แล้วได้ผลลัพธ์เท่ำกับตัวตั้ง ดังตัวอย่ำงต่อไปนี้
ตัวอย่าง 16 จงหำผลลัพธ์ของ 32678  458
วิธีทา



458 32678

32678  458 =

่




-23-

1) 536  46

5) 160537  257

2) 619  59

6) 12203  103

3) 110112  102

7) 41245  425

4) 6748  78

8) 67718  68
วิธีทา

่



-24-


 การหาฐานของระบบตัวเลขฐานต่าง ๆ
ตัวอย่าง 17 จงหำ b ที่ทำให้ 35b = 26
วิธีทา จำก
35b = 26
จะได้
3b + 5 = 26
3b = 21
b = 7
 357 = 26
ตัวอย่าง 18 จงหำ b ที่ทำให้ 65b = 10134
วิธีทา

วิธีทา

จงหำ b ที่ทำให้ 4b  5b  3b = 27b

จงหาค่า b ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. 57b = 52
วิธีทา

2. 423b = 159
วิธีทา

่



-25-


3. 34b = 28
วิธีทา

4. 100b = 36
วิธีทา

5. 203b = 35
วิธีทา

6. 101b = 50
วิธีทา

7. 2120b = 69
วิธีทา

8. 221b = 61
วิธีทา

่



-26-


9. 63b = 3912
วิธีทา

10. 24b = 317
วิธีทา

11. 1115 = 1011b
วิธีทา

12. 11011012 = 91b
วิธีทา

13. 3b  7b + 4b = 31b
วิธีทา

่



-27-


14. 4b  3b = 14b
วิธีทา

15. 5b  2b + 4b = 20b
วิธีทา

16. 210b = 442b
วิธีทา

17. 2020b/4 = 50b
วิธีทา

่



-28-


51

18. 15 b = 3
b
วิธีทา

ของแถมจ้าาาาาาา
จงหาผลลัพธ์ของ
1. จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปกระจำย
1.1 5131/2 =
1.2 2173 –8 =
1.3 252.126 =
1.4 3.02148 =
2. จงเปลี่ยนจำนวนต่อไปนี้ให้เป็นจำนวนในระบบตัวเลขฐำน 10
2.1 6321/2 =
=
=
=
2.2 214 –5 =
=
=
=
3. 61.38 + 4.358
=
4. 47.29 – 6.359
=
5. 43.26  0.256

่



-29-


6. 222.557  0.417

1. ผลบวกของจำนวนเลขฐำน 2 สองจำนวนคือ 1100111 + 1010101 มีค่ำเท่ำกับจำนวนเลขฐำน 8 ใน
ข้อใด (ทบ.49)
1) 253
2) 262
3) 265
4) 270
5) 274

2. กำหนด 2433  4226  10023  x7 จงหำค่ำ x (ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1. 152
2. 243 3. 354 4. 406
5. 526

3. พิจำรณำจำนวนเลขฐำน 11110112  112213  13334 มีค่ำเท่ำใด (ทบ.50)
1) 117
2) 118
3) 119
4) 120

5) 121

่




-30-

4. กำหนดจำนวน 111n  111112 ดังนั้น ค่ำของ n2  1 มีค่ำเท่ำกับเลขฐำน 2 ในข้อใด (ทบ.50)
1) 10001
2) 10101
3) 10100
4) 11010
5) 100101

5. ในระบบเลขฐำน กำหนดให้ 220 x  130 x  110 y แล้วค่ำของ x 2  y 2 เท่ำกับข้อใด(ทอ.50)
1. y + 2
2. 0
3. 1
4. 2y
5. 2y + 1

6. ในระบบเลขฐำน ถ้ำ 10101010102  10011110002  n10 แล้ว n มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด (ทบ.51)
1) 46
2) 48
3) 50
4) 52
5) 54

7. นินจำมีเงิน 4728 บำท ถ้ำนำจำมีเงิน 40315 บำท ถ้ำเขำคนต้องกำรรวมเงินกันซื้อรถบังคับวิทยุ
รำคำ 80010 บำท จะมีเงินเหลืออยู่กี่บำท (ทบ.51)
1) 2810
2) 1125
3) 2223
4) 1324
5) 111112

3
8. ถังน้ำใบหนึ่งมีน้ำอยู่ 4 ถัง หลังจำกใช้น้ำไป 1000112 ลูกบำศก์เมตรเหลือน้ำอยู่

กี่ลูกบำศก์เมตร (ตร.51)
1. 35 ลูกบำศก์เมตร
3. 105ลูกบำศก์เมตร

่

1
2

ถัง ถังใบนี้จุน้ำ

2. 70 ลูกบำศก์เมตร
4. 140ลูกบำศก์เมตร



-31-

9. 23. เลข 5 ใน 54326 กับเลข 5 ใน 452318 มีค่ำต่ำงกันเท่ำไร (ทบ.52)
1) 480
2) 760
3) 1080
4) 1240
1480

่


5)



-32-


ระบบจานวนเต็ม
สมบัติการบวกและการคูณของจานวนเต็มบวก
จำนวนนับ เรียกอีกอย่ำงหนึ่งว่ำ จำนวนเต็มบวก
สมบัติต่างๆของจานวนเต็มบวก
1.สมบัติกำรสลับที่
การบวก
การคูณ
ให้ a และ b แทนจำนวนเต็มบวกใดๆ
ให้ a และ b แทนจำนวนเต็มบวกใดๆ
a+b=b+a
axb=bxa
2.สมบัติกำรเปลี่ยนกลุ่ม
การบวก
การคูณ
ให้ a, b และ c เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ
ให้ a, b และ c เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ
(a + b) +c =a+(b + c)
(a x b) x c = a x (b x c)
3.สมบัติกำรแจกแจง
ให้ a, b และ c แทนจำนวนเต็มบวกใดๆ
a x (b+ c ) =( a + b )+ ( a x c)
(b + c) x a = (b x a ) +(c x a )
การบวกจานวนเต็ม
1.กำรบวกระหว่ำงจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ
ในกำรหำผลบวกระหว่ำงจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ ให้นำค่ำสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบแต่ละ
จำนวนมำบวกกัน แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มลบ
2.กำรบวกระหว่ำงจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ
ในกำรหำผลบวกระหว่ำงจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบที่มีค่ำสัมบูรณ์ไม่เท่ำกัน ให้นำค่ำสัมบูรณ์
มำลบกัน แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวกหรือลบ ตำมจำนวนที่มีค่ำสัมบูรณ์มำกกว่ำ
หลักเกณฑ์กำรบวกจำนวนเต็มมีดังนี้
1.กำรหำผลบวกระหว่ำงจำนวนเต็มบวก ให้นำค่ำสัมบูรณ์มำบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวก
2.กำรหำผลบวกระหว่ำงจำนวนเต็มลบ ให้นำค่ำสัมบูรณ์มำบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนเต็มลบ
3.กำรหำผลบวกระหว่ำงจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบที่มีค่ำสัมบูรณ์ไม่เท่ำกัน ให้นำค่ำสัมบูรณ์มำ
ลบกัน แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวกหรือลบ ตำมจำนวนที่มีค่ำสัมบูรณ์มำกกว่ำ
การลบจานวนเต็ม
ในการลบจานวนเต็มอาศัยการบวกตามข้อตกลงดังนี้
ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จานวนตรงข้ามของตัวลบ

่



-33-


การคูณจานวนเต็ม
1.กำรคูณจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ
จำนวนเต็มบวกคูณกับจำนวนเต็มลบ ได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มลบที่มีค่ำสัมบูรณ์เท่ำกับผลคูณ
ของค่ำสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น
2.กำรคูณจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มลบคูณกับจำนวนเต็มบวก ได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มลบ ที่มีค่ำสัมบูรณ์เท่ำกับผลคูณ
3. กำรคูณจำนวนเต็มลบกับจำนวนเต็มลบ
จำนวนเต็มลบคูณกับจำนวนเต็มลบ ได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก ที่มีค่ำสัมบูรณ์เท่ำกับผลคูณ
การหารจานวนเต็ม
กำรหำรจำนวนเต็มให้นำค่ำสัมบูรณ์ของตัวตั้งและของตัวหำรมำหำรกัน
ถ้ำทั้งตัวตั้งและตัวหำรเป็นจำนวนเต็มบวกทั้งคู่หรือจำนวนเต็มลบทั้งคู่จะได้คำตอบเป็นจำนวน
เต็มบวก
ถ้ำตัวตั้งหรือตัวหำรตัวใดตัวหนึ่งเป็นจำนวนเต็มลบโดยที่อีกตัวหนึ่งเป็นจำนวนเต็มบวกจะได้
คำตอบเป็นจำนวนเต็มลบ
สมบัติของหนึ่ง
1. จำนวนใดๆคูณกับหนึ่งจะได้จำนวนนั้น
2. จำนวนใดๆหำรด้วยหนึ่งจะได้จำนวนนั้น
สมบัติองศูนย์
1. จำนวนใดๆบวกกับ 0 จะได้จำนวนนั้น
2. จำนวนใดๆคูณกับ 0 จะได้ 0
3. 0 หำรด้วยจำนวนใดๆที่ไม่ใช่ 0 จะได้
4. ถ้ำผลคูณของจำนวนใดๆ เท่ำกับ 0 จำนวนใดจำนวนหนึ่งอย่ำงน้อยหนึ่งจำนวนต้องเป็น 0
เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย
สำหรับเรำ ๆ ท่ำน ๆ อำจจะคิดว่ำกำรบวกจำนวนใด ๆ ด้วย 0 นั้นเป็นเรื่องง่ำย ๆ แต่ว่ำสำหรับ
นักคณิตศำสตร์แล้ว คงไม่มีอะไรเรียกว่ำเป็นเรื่องง่ำย ๆ พวกเขำใช้เวลำเป็นพัน ๆ ปีกว่ ำที่จะตกลงกันได้
ว่ำถ้ำเรำรวมจำนวนใด ๆ เข้ำกับศูนย์แล้วจะได้ผลลัพธ์จำนวนจำนวนนั้น เช่น 5 + 0 = 5
Kjartan Poskitt (คณิตศำสตร์โหด มัน ฮำ : + –   พิสดำรเลขคณิต)

่




-34-

เศษส่วนและทศนิยม
3.1 ค่าประจาหลักของทศนิยม
พิจำรณำกำรเขียน 0.746 ให้อยู่ในรูปกำรกระจำยต่อไปนี้
0.746 = 0.7 + 0.047 + 0.006
6
7 4
7
หรือ 0.746 = 10  100  1000
= 10  42  63
10 10
1
หรือ 0.746 = (7  10 )  4  12 )  (6  13 )
10
10
1
จำกรูปกระจำย 0.746 = (7  10 )  4  12 )  (6  13 ) แสดงถึงค่ำของเลขโดดที่อยู่
10
10
3.2 การเปรียบเทียบทศนิยม
พิจำรณำจำนวน 0.521 และ 0.524
521
เรำทรำบว่ำ
0.521 = 1000
524
และ 0.524 = 1000
เรำจะได้ว่ำ 0.524 > 0.521 ทั้งนี้เพรำะ
524 521
1000 > 1000
ในกำรเปรียบเทียบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ำกัน เศษส่วนที่มีตัวเศษมำกกว่ำจะมีค่ำมำกกว่ำ
หลักเกณฑ์กำรเปรียบเทียบทศนิยมโดยไม่ต้องเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วน โดยพิจารณาเฉพาะเลข
โดดในตาแหน่งเดียวกันคู่แรกที่ไม่เท่ากัน เช่น ต้องกำรเปรียบเทียบ 0.8295 กับ 0.8278
จะเห็นว่ำเลขโดดในตำแหน่งเดียวกันคู่แรกที่ไม่เท่ำกัน คือ 9 กับ 7
เลขโดดในตำแหน่งเดียวกันคู่แรกที่ไม่เท่ำกัน
0 . 8 2 9 5
0 . 8 2 7 8
เลขโดดในตำแหน่งเดียวกันคู่ที่สองที่ไม่เท่ำกัน
เปรียบเทียบเลขโดดในตำแหน่งเดียวกันคู่แรกที่ไม่เท่ำกัน ถ้ำเลขโดดในตำแหน่งนั้นตัวใดมีค่ำ
มำกกว่ำ ทศนิยมที่มีเลขโดดตัวนั้นจะมำกกว่ำทศนิยมอีกตำแหน่งหนึ่ง
นั่นคือ 0.8295 > 0.8278

่



-35-


การบวกและการลบทศนิยม
ในกำรบวกและกำรลบทศนิยม ใช้หลักกำรเดียวกับกำรบวกและกำรลบจำนวนนับ คือจัดเลขโดด
ที่อยู่ในหลักหรือตำแหน่งเดียวกันให้ตรงกัน แล้วบวกหรือลบกัน
การคูณและการหารทศนิยม
การคูณทศนิยม
จำนวนตำแหน่งทศนิยมของผลคูณเท่ำกับผลบวกของจำนวนตำแหน่งทศนิยมของตัวตั้งและตัว
คูณ
ในกำรคูณทศนิยมมีหลักดังนี้
1. คูณเช่นเดียวกับคูณจำนวนนับ
2. ถ้ำตัวตั้งเป็นทศนิยม a ตำแหน่ง ตัวคูณเป็นทศนิยม b ตำแหน่ง ผลคูณจะเป็นทศนิยมที่มี a
+ b ตำแหน่ง
การหารทศนิยม
1. เมื่อตัวหารเป็นจานวนนับ
เมื่อเปรียบเทียบวิธีกำรหำรจำนวนนับด้วยจำนวนนับ กับกำรหำรทศนิยมด้วยจำนวนนับ จะเห็น
ว่ำวิธีกำรเหมือนกัน
โดยทั่วไปกำรหำรทศนิ ย มด้ว ยจำนวนนับ นิยมเขียนจุดทศนิยมของตัว ตั้งและผลหำรเท่ำนั้น
ตำแหน่งของจุดทศนิยมของผลหำรจะอยู่ตรงกับตำแหน่งของจุดทศนิยมของตัวตั้งเสมอ ส่วนจุดทศนิยม
อื่น ๆ อำจไม่เขียนก็ได้
ในกรณีที่กำรหำรมีเศษ ให้เติมศูนย์ที่ตัวตั้ง แล้วหำรต่อไปจนเศษเป็นศูนย์ หรือจนได้ผลหำรที่มี
จำนวนตำแหน่งทศนิยมตำมควำมต้องกำร ดังตัวอย่ำงต่อไปนี้
2. เมื่อตัวหารเป็นทศนิยม
กำรหำรเมื่อตัวหำรเป็นทศนิยมนั้น กระทำได้เช่นเดียวกับกำรหำรทศนิยมด้วยจำนวนนับ โดยทำ
ตัวหำรให้เป็นจำนวนนับเสียก่อน
ตัวอย่ำง
จงหำผลหำร 0.299  1.3
.
วิธีทำ
0.299  1.3 = 01299
.3
.
= 01299  10
.3  10
2.99
= 13
= 2.99  13
สรุปได้ว่ำกำรหำรทศนิยมมีหลักดังนี้
1. ถ้ำตัวหำรเป็นจำนวนนับ ให้หำรเสมือนว่ำเป็นกำรหำรจำนวนนับด้วยจำนวนนับ แต่ใส่จุด
ทศนิยมที่ผลหำรให้ตรงกับตำแหน่งจุดทศนิยมของตัวตั้ง
่



-36-


2. ถ้ำตัวหำรเป็นทศนิยม ทำตัวหำรให้เป็นจำนวนนับ โดยนำ 10 หรือ 100 หรือ 1000 ฯลฯ มำ
คูณทั้งตัวตั้งและตัวหำร เมื่อได้ตัวหำรเป็นจำนวนนับแล้ว หำผลหำรตำมวิธีกำรในข้อ 1
การแทนเศษส่วนด้วยทศนิยม
เรำเขียนจำนวนที่อยู่ในรูปเศษส่วนให้อยู่ในรูปทศนิยมได้โดยกำรหำรตัวเศษด้วยตัวส่วน เช่น

4 = 4  5 = 0.8
5
พิจำรณำ 2 เมื่อเขียนจำนวนในรูปทศนิยมโดยกำรหำรจะได้ว่ำเกิดกำรหำรไปเรื่อย ๆ โดยไม่
9
สิ้นสุด และมีตัวเลขซ้ำกัน เพรำะหำรเหลือเศษเท่ำกันทุกครั้ง ทศนิยมที่ได้ในข้อนี้เรียกว่ำทศนิยมซ้า
2 = 0.2222… ทศนิยมนี้ซ้ำด้วย 2 ทุกตัวไม่สิ้นสุด
9

เขียนสั้น ๆ ว่ำ 0.2 และอ่ำนว่ำ ศูนย์จุดสอง สองซ้ำ
เมื่อเขียนจำนวนที่อยู่ในรูปเศษส่วนให้อยู่ในรูปทศนิยม โดยนำตัวส่วนไปหำรตัวเศษและกำรหำร
นั้นสิ้นสุดลงเพรำะเศษที่เกิดจำกกำรหำรเป็นศูนย์ดังในข้อ 1 นั้น ถ้ำหำรต่อไปจะได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ซ้ำกัน
โดยไม่สิ้นสุด ผลหำรที่ได้จึงเป็นทศนิยมซ้ำศูนย์
จึงกล่ำวได้ว่ำ เศษส่วนทุกจำนวนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำ
การเปรียบเทียบเศษส่วน
กำรเปรียบเทียบเศษส่วนที่เป็นบวกสองจำนวนว่ำเท่ำกัน ไม่เท่ำกัน มำกกว่ำ หรือน้อยกว่ำกัน
พิจำรณำได้ดังนี้
1.เมื่อตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองนั้นเท่ำกัน ให้พิจำรณำตัวเศษ คือถ้ำตัวเศษเท่ำกัน เศษส่วนทั้ง
สองนั้นเท่ำกัน แต่ถ้ำตัวเศษไม่เท่ำกัน เศษส่วนที่มีตัวเศษมำกกว่ำจะมำกกว่ำเศษส่วนที่มีตัวเศษ
น้อยกว่ำ
2.เมื่อตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองนั้นไม่เท่ำกัน ให้ทำเศษส่วนทั้งสองเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ำกัน
แล้วเปรียบเทียบตัวเศษโดยใช้หลักเกณฑ์ตำมข้อ 1
การบวกเศษส่วน
วิธีหำผลบวกของเศษส่วนที่เป็นบวกสองจำนวนใดๆ
ถ้ำตัวส่วนเท่ำกัน นำตัวเศษมำบวกกัน ถ้ำตัวส่วนไม่เท่ำกันทำตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองให้เท่ำกัน
โดยทั่วไปจะทำให้เท่ำกับ ค.ร.น.ของตัวส่วนแล้วนำตัวเศษมำบวกกัน
การลบเศษส่วน
วิธีหำผลบวกของเศษส่วนที่เป็นลบสองจำนวนใดๆใช้ข้อตกลงเดียวกันกับที่ใช้ในกำรหำผลลบของ
จำนวนเต็ม

่




-37-

การคูณเศษส่วน
เมื่อ a และ
b

และข้อตกลงต่อไปนี้

c
เป็นเศษส่วน
d
a c
a c
 
b d
b d

ผลคูณของ a และ
b

c
d

หำได้จำกหลักเกณฑ์กำรคูณจำนวนเต็ม

การหารเศษส่วน
เมือ
่

a
b
a c
a d
  
b d
b c

และ

c
d

แทนเศษส่วนใดๆผลหำรของ

a
b

และ

c
d

หำได้จำกข้อตกลงต่อไปนี้

5
1. จงหำค่ำของ 2 3  1 6  14  8  39  (ทร.49)
8
3
9
3
1) 4
2) 11
4
3)  1
8
9
4)  5
1
2. กำหนด 1  4  2  1 = x จงหำค่ำของ 3 (ทร.49)
2
5 8
x
1) 1.16
2) 2.16
3) 2.35
4) 2.78

11  3 1
3. กำหนดให้ x = 3 26 และ y = 2.45 + 2.25 – 0.65 ข้อใดถูกต้อง (ทร.49)
733

1) x : y = 1 : 3
2) x – y = 2.04
3) x + y = 5.55
4) xy = 5.4765
1
4. จงหำผลลัพธ์ของ  4 1  1 4   2 1  1 1 ว่ำตรงกับข้อใด (แนวตร.49)
2
2 2
1) - 6
2) 6
3) -4
4) 4
่



-38-


5. ในกำรสอบเข้ำเป็นนักเรียนเตรียมทหำร ด.ช สุธี เหลือเวลำเตรียมตัวสอบอีกแค่ 17 วัน เขำได้บันทึก
1
กำรอ่ำนหนังสือของตนเองไว้ดังนี้ ใน 5 วันแรกเขำอ่ำนได้ 4 ของจำนวนหน้ำทั้งหมด 7 วัน วันต่อมำ
5
เขำอ่ำน 3 ของจำนวนหน้ำที่อ่ำนได้ใน 5 วันแรก ซึ่งเมื่อนับจำนวนหน้ำดูแล้วปรำกฏว่ำมำกกว่ำที่
อ่ำนได้ใน 5 วันแรกอยู่ 150 หน้ำ ถำมว่ำในวันที่เหลือ ถ้ำ ด.ช.สุธี จะอ่ำนหนังสือในจำนวนหน้ำที่
เท่ำๆกันทุกวันต้องอ่ำนวันละกี่หน้ำ (ทอ.49)
1) 65
2) 60
3) 70
4) 75
5) 80
6. ครอบครัวสุขนิรันดร์มีรำยได้ต่อเดือน 85,000 บำท เสียค่ำใช้จ่ำย 2 ของรำยได้ต่อเดือน ฝำกธนำคำร
5
1 ของรำยได้ที่เหลือเงินเหลือจำกนั้นจะแบ่งให้ลูกๆ 3 คน คนละเท่ำๆ กัน ดังนั้นในแต่
เป็นเงินออม 4
ละเดือนลูกแต่ละคนจะได้รับเงินคนละเท่ำไร (ตร.50)
1) 8,500 บำท
2) 9,750 บำท
3) 12,750 บำท
4) 21,250 บำท
7. ข้อใดถูกต้อง(ตร.50)
1)   4    1  10   1   83 1
2
8
2
2)  0.32  ( 0.64)  ( 6)  ( 0.003)  640
3) ( -0.42 ) + ( 1.3 ) = 42 ÷ ( -13 )
4)  3 1   4 2    3   4  1  2 
2
3
2 3
1
1
8. กำหนด 1 
เท่ำกับเท่ำใด (ทบ.50)
 45 ดังนั้น ค่ำของ 1 
1
31
a 1 1
a
b2
b 11
1
1)
2)
3)
4)
5)

1
12

2

1
4
5
12
15
31
16
31

่




-39-

9. ไม้ยำวท่อนหนึ่งปักในแนวตรงอยู่ในสระน้ำ โดยส่วนที่ปักอยู่ในโคลนก้นสระใต้น้ำคิดเป็น

1
12

ของ

ควำมยำวทั้งท่อน และมีส่วนของท่อนไม้ที่โผล่พ้นผิวน้ำเท่ำกับ 3 ของควำมยำวที่เหลือ โดยที่สระน้ำนี้
7

10.

11.

12.

13.

14.

มีผู้วัดแล้วว่ำควำมลึกของสระจำกผิวน้ำถึงโคลนก้นสระมีระยะ 1.21 เมตร จงหำควำมยำวของไม้ท่อน
นี้ (ทร.50)
1) 2.31 เมตร
2) 2.36 เมตร
3) 2.54 เมตร
4) 3.08 เมตร
1
3
41  3  3 4  2 4  1 โดยประมำณเท่ำกับเท่ำใด (ทร.51)
2 5
2
1) 0.52
2) 0.643
3) 0.73
4) 0.82
กำหนดให้ 3 2  1.260, 3 3  1.442, 3 5  1.710 จงหำค่ำประมำณของ 3 3750 (ตร.51)
1) 15.00
2) 15.08
3) 15.11
4) 15.53


จำนวน 1.34  0.482 มีค่ำเท่ำใด (ทร.50)

1) 0.478

2) 0.852

3) 0.858

4) 0.860
ข้อใดต่อไปนี้เรียงลำดับจำกน้อยไปมำก (ทร.51)
3
1)  3 , 2 , 4 , 7
5 3
5
7 , 3 , 2 , 2
2)  5 4 3 5
3
3)  3 , 4 , 2 , 7
5
3 5
7 , 3 , 3 , 2
4)  5 4 5 3
5
รถคันหนึ่งมีน้ำมันอยู่ในถัง 6 ของถัง ถ้ำขับไปเรื่อย ๆ จนน้ำมันถูกใช้ไป 2 ของน้ำมันที่มีอยู่ แล้ววัด
3
น้ำมันเหลืออยู่ 15 ลิตร ถังน้ำมันของรถคันนี้มีปริมำตรควำมจุกี่ลิตร(ทบ.51)
1) 34

่



2)
3)
4)
5)


36
42
48
54

1)
2)
3)
4)

15.

-40-

4
5
16
37
3
7
11
23

 3 1   2 2  ตรงกับข้อใด (ทร.52)
5
5
ค่ำของ
5  18   3 1  11 
 5 9 25 7 14

1
3
1
10 2  12 4  15 4
16. ค่ำของ
ตรงกับข้อใด (ทบ.52)
5 1
28 32
1) 2 2
3
2) 4 3
5
2
3) 6 3
4) 8 2
5
5) 10 2
3

่




-41-

เลขยกกาลัง
ความหมายของเลขยกกาลัง
บทนิยาม

ถ้ำ a เป็นจำนวนใด ๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
“a ยกกำลัง n” หรือ “a กำลัง n” เขียนแทนด้วย an มีควำมหมำยดังนี้
an  a  a  a
a  ...
n ตัว

n

เรียก a ว่ำ เลขยกกำลังที่มี a เป็นฐำน และ n เป็นเลขชี้กำลัง
ในกรณีที่เลขยกกำลังมีเลขชี้กำลังเป็น 1 เช่น a1 จะหมำยถึง a

สมบัตของเลขยกกาลังเกี่ยวกับการคูณและการหาร
ิ
กำรคูณเลขยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
ทฤษฎีบทที่ 1 กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ และ m, n เป็นจำนวนเต็ม
จะได้ว่ำ a m  a n  a m  n
พิสูจน์

am  an

= a  a  ...  a  a  ...
a   a a   a


m ตัว

= a  a  ...
a   a


n ตัว

.......... ..... ตัว
mn

= a
สัญลักษณ์ อำจเขียน am  an หรือ aman หรือ (am )(an ) แทน am  an
สำหรับกำรหำรเลขยกกำลังเมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
ตัวอย่างที่ 1
วิธีทา



จงหำผลคูณของ 54  56
54  56 = 54 + 6
= 510

ตอบ

จงหำผลคูณของ a4  a6  a
a4  a6  a = a4 + 6 + 1
= a11
ทฤษฎีบทที่ 2 กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ โดยที่ a  0 และ m, n เป็นจำนวนเต็ม
วิธีทา

ตอบ

a m mn
จะได้ว่ำ n  a
a

่



am
an

พิสูจน์


-42-

= a  a  ...  a  a  ...
a   a a   a


m ตัว

= a  a  ...
a   a


เมื่อ m > n

n ตัว

= amn



m  nตตั


ถ้ำ a เป็นจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้ว a0 = 1

a m mn
เพื่อให้สมบัติ n  a
ใช้ได้เมื่อ m < n จึงให้บทนิยำมของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็น
a
จำนวนเต็มลบดังนี้
1
ถ้ำ a เป็นจำนวนใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว a  n  n
a
วิธีทา
วิธีทา

วิธีทา

จงหำผลหำรของ x7  x4
x7  x4 = x7 – 4
= x3

ตอบ

x4  x4 =
=
=

ตอบ

x3  x8 =
=
=

ตอบ

สมบัตอื่นๆ ของเลขยกกาลัง
ิ
เลขยกกำลังที่มีฐำนเป็นเลขยกกำลัง

(am )n  amn
เมื่อ a  0 และ m และ n เป็นจำนวนเต็ม
เลขยกกำลังที่มีฐำนอยู่ในรูปกำรคูณหรือกำรหำรของจำนวนหลำย ๆ จำนวน
(ab)n  anbn
เมื่อ a  0, b  0 และ n เป็นจำนวนเต็ม
n
n
a  a
 
 b  bn
่



-43-


เมื่อ a  0, b  0 และ n เป็นจำนวนเต็ม

การหาผลลัพธ์จากการคูณเลขยกกาลัง
กำรคูณเลขยกกำลังทำได้โดยอำศัยสมบัติต่อไปนี้
1. a m  a n  a m  n
2. ( a m ) n  a mn
3. ( ab ) n  a n b n
วิธีทา

วิธีทา

วิธีทา

  
   





23 22
จงหำผลคูณของ  3  3
2
2
2 2 2
23 22
3  3 = 3  3  3  3  3
2
22 22
= 3  3  3
2 22 22
= 3  3  3
2 2 22
= 3  3
2 24
= 3  3
2 24
= 33
2 1 4
= 3
25
= 3

ตอบ

จงหำผลคูณของ 5  52  125
5  52  125 =
=
=

ตอบ

จงหำผลคูณของ x3  x-5 
x3  x-5 

1
x2

  
  
 






1
x2

=
=
=

่



-44-

=
วิธีทา

จงหำผลคูณของ 53x – 1  5x + 4
53x – 1  5x + 4 = 53x – 1 + x + 4
=
=


ตอบ

ตอบ

ตัวอย่างที่ 10 จงหำผลคูณของ 25x + 1  4x – 2
วิธีทา
25x + 1  4x – 2 = 25x + 1  (22)x – 2
= 25x + 1  22x – 4
=
=
=

ตอบ

ตัวอย่างที่ 11 จงหำผลคูณของ 25x + 1  4x – 2
วิธีทา
25x + 1  4x – 2 = 25x + 1  (22)x – 2
= 25x + 1  22x – 4
=
=
=

ตอบ

การหาผลลัพธ์จากการหารเลขยกกาลัง
กำรหำรเลขยกกำลังทำได้โดยอำศัยสมบัติต่อไปนี้
1. a m  a n  a mn
n
n
a  a
2.  
 b  bn
3. a0 = 1
1
4. a-m = m
a
ตัวอย่างที่ 12 จงหำผลหำรของ 25  4
วิธีทา
25  4 = 25  22
=
=

ตอบ

ตัวอย่างที่ 13 จงหำผลหำรของ 1.17  1.21
่




-45-

1.17  1.21 =
=
=

วิธีทา

ตอบ



1 10 1
ตัวอย่างที่ 14 จงหำผลหำรของ 4  8
10
10
 1 1 =  1  1
วิธีทา
 
 2
8
4 
2 
23
10
3
 1  2 
1 
=      
2 
 2  
=
=
=
=

ตอบ

สัญกรณ์วิทยาศาสตร์
กำรเขียนแทนจำนวนที่มีค่ำมำกๆ หรือน้อยๆ เช่น ระยะทำงระหว่ำงโลกกับดวงอำทิตย์ประมำณ
150,000,000 กิโลเมตร นั้น บำงครั้งเรำจะเขียนในรูป สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ (Scientific Notation) ซึ่ง
เขียนได้เป็น 1.5  108 กิโลเมตร
เช่น

สัญกรณ์วิทยำศำสตร์ คือ กำรเขียนจำนวนใดๆ ในรูป A  10n
โดยที่ 1  n < 10 และ n เป็นจำนวนเต็มใดๆ
50,000
1,720,000
0.7
0.00064

=
=
=
=

5  104
1.72  106
7  10-1
6.4  10-4

บันทึกเพิ่มเติม: Trick สังเกตว่ำเรำมีวิธีกำรทำอย่ำงรวดเร็วได้อย่ำงไรครับ???

่




-46-


จงเขียนสัญกรณ์วิทยำศำสตร์ของจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้
1) 735  102
= (7.35  102)  102
= 7.35  102 + 2
= 7.35  104
2) 1,365  10-7
=
=
=

การดาเนินการของจานวนที่อยู่ในรูปสัญกรณ์วทยาศาสตร์
ิ
กำรหำผลบวกและผลลบของสั ญ กรณ์ วิ ท ยำศำสตร์ ส ำมำรถท ำได้ เ มื่ อ 10n ของสั ญ กรณ์
วิทยำศำสตร์แต่ละจำนวนมีค่ำเท่ำกัน
ดังนั้น เมื่อพบโจทย์หรือปัญหำเกี่ยวกับกำรบวกและกำรลบสัญกรณ์วิทยำศำสตร์ เรำต้องปรับ
n
10 ของแต่ละสั ญกรณ์ให้เท่ำกันก่อน แล้วจึงนำค่ำ A ของแต่ล ะสัญกรณ์มำบวกหรือลบกันโดยอำศัย
สมบัติกำรแจกแจง
ตัวอย่างที่ 2 จงหำผลบวกและผลลบของ 1.64  103 และ 2.32  102
จำกโจทย์
1.64  103 = 16.4  102
ดังนั้น (1.64  103) + (2.32  102) = (16.4  102) + (2.32  102)
= (16.4 + 2.32)  102
=
=

=
ตอบ
และ
(1.64  103) - (2.32  102) = (16.4  102) - (2.32  102)
= (16.4 - 2.32)  102
=
=

=
ตอบ
2
3
จำกโจทย์
2.32  10 = 0.232  10
ดังนั้น (1.64  103) + (2.32  102) =
=
=
=

=
ตอบ
่



และ




-47-

(1.64  103) - (2.32  102) =
=
=
=
=

ตอบ

ส่วนกำรคูณและกำรหำรจำนวนที่อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยำศำสตร์ทำได้โ ดยนำค่ำ A ของแต่ล ะ
จำนวนมำคูณหรือหำรกัน และนำ 10n ของแต่ละจำนวนมำคูณหรือหำรกัน โดยนำสมบัติของเลขยกกำลัง
ที่เกี่ยวข้องมำใช้
ตัวอย่างที่ 4 จงหำผลคูณและผลหำรของ 6.25  105 และ 2.75  102
วิธีทา
6.25  105  2.75  102 = 6.25  2.75  105  102
= 17.1875  105 + 2
= 1.71875  101  107
=

=
ตอบ
และ

วิธีทา

6.25105
2.75102

6.25 105
= 2.75  2
10

= 0.44 105 2
= 4.4 
=

=
จงหำผลคูณและผลหำรของ 2.982  103 และ 3.55  10-2

ตอบ



=

ตอบ



=

ตอบ

วิธีทา

่



-48-


1. จงหำผลลัพธ์ของ  0.2 6   0.4  7    0.02 3 (ตร.50)


1



1
5

1) ( 20 ) 5
1
2) 20 5
1
3) 20 5
4) ( 20 )

2. ถ้ำจังหวัดหนึ่งมีพื้นที่ประมำณ 4.238 × 10 ตำรำงเมตร มีประชำกรอยู่ 5.78 × 10 คน แล้วควำม
หนำแน่นของประชำกรของจังหวัดนี้ต่อพื้นที่ 1 ตำรำงกิโลเมตรเป็นเท่ำใด (ตร.48)
1) ประมำณ 78 คน
4) ประมำณ 7,332 คน
3. ผลคูณของจำนวน2จำนวนเป็น 1701 a 3b 2 c และ ค.ร.น.ของจำนวนทั้งสองเป็น 567 a 2 bc ค่ำของ
ห.ร.ม.ของจำนวนทั้งสองเป็นเท่ำใด (แนวตร.49)
1) 9a 3b 2
2) 3ab
3) 3a 2bc
4) 1134 a 3b 2 c
4. ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง (ทร.49)
1) a 2b 2 c 2  d 2 เมื่อ d = abc
2) a 2  b 2 3  a 6  b 6
3) a b  c a
c

4)

a



1
c

b



1
ac

เมื่อ a ≠ 0

่



-49-


1

5. ให้ a = 16 จงหำค่ำของ

1 2

1 2

 
11 
1
  2 
a 6   a a  a 2   
     
 
 
 



(ทอ.50)

1) 16 2
2) 32
3) 32 2
4) 64
5) 64 2
6. ข้อใดผิด
1) a
a
2) a
a






1
pq 2
1
p q 2

n
m n 2
n
mn 2

 aq

 an

2

p 2q

3)

4)

1
 pq 
a 



 a
1 pq
 q
a 
 
 
4 p 3 q 2 2  9q  6
3 p2q5
8 p4
q2

5)
7. ถ้ำ
1)

 34q 
a 


1


 q3
3
3
 3q   q  a
 2  4 
 a  a 
1
32 2 x 1  จงหำค่ำของ
2
4
10

5x (ทร.49)

2) 10
3) 4
4) 2

่



8. ถ้ำ 5  7 , 49
1) 1
3
2) 1
5
x

3)
4)
5)

y

-503

และ

27 z  5


แล้วค่ำของ xyz คือข้อใด (ทอ.49)

1

1
12
1
4

n 1
2 2  n
9. ค่ำของ 22532n  5 3 3n คือข้อใด (ทอ.49)
3

3 3

1)

 3003

2
5

2) 2
3) 3
4)

5
1
5

5) 3
10. ถ้ำ 16 x  4 x5 จงหำค่ำ x ที่ทำให้สมกำรเป็นจริง (แนวตร.49)
1) x + 3 = 6
2) x + 5 = 2
3) x – 2 = 3
4) x – 4 = 6
1)
2)
3)
4)

n
2

3 9
4  3 n  3 n 1

มีค่ำตรงกับข้อใด (แนวตร.49)

8
13
10
13
8
1
13
11
1
13

1)
2)
3)
4)
5)

n2

2 2 n  2 2 n1
2  3n 2  3n1

3  2 n  8  2 n2
15  6 n


2 1
2 n
3n
3n

32n

่


x

13. ถ้ำ

27

1)
2)
3)
4)
5)

2
3

3
x 1
2

และ 3 y x  1  0 แล้ว

3
4
6
9
12

14.

 16


-51-

0

9

x2 y

มีค่ำเท่ำใด (ทบ.50)

(4)n 1  (9)n 1  (36)1 n มีค่ำเท่ำไร (ทร.50)

1)
2)
3)
4)

10
14
16
18
n

15. กำหนดให้

a 3n  2


n

n

n

n

 13   7   5   11 
a 2   a2   a2   a 2 

     


     

 1  5
a2   a2 
   
   

n

มีค่ำเท่ำกับ (ทร.50)

1) 6
2) 4 1

2

3) 4
4) 3 1

2


43x 

1
64

ค่ำของ

x5  7

ตรงกับข้อใด (ทร.50)

1) 6
2) 7
3) 8
4) 9
17. ถ้ำ m และ n เป็นคำตอบของระบบสมกำร 9 x
1) 8
2) 10
3) 7
4) 9
5) 11

 3 24  2 y

่

และ 2 y x

 32 4

จงหำค่ำ |m – n| (ทอ.50)




-52-

18. จงหำผลลัพธ์ของ 7 n 1  21n 6  243  7 4 n (ตร.50)
1) ( 21 ) n
2) ( 21 ) 2 n
3) ( 21 ) n 2
4) ( 21 )  n
19. ข้อใดต่อไปนี้ผิด โดยกำหนดให้ a , b และ c เป็นจำนวนจริงบวก (ตร.50)
1) 3 a12b 6 c18  a 4b 2 c 6
2) 125.3 625  256 55
3) 81.3 375  45 3
4) a 4b 2 c10.3 a 6b 9 c12  a 4b 4 c 9
20. ถ้ำ
1)
2)
3)
4)

(343)  2 x 

1 1
1
    
18  3 
 3
(7)(3 n )(30 )

1) 3
7
6
2) 7
3)  7
8
1
4)  18
1) 0
2) 1
3) 2
4) 3
1)
2)
3)
4)

3

1

  2
x



(ทร.51)

2
4
-2
-8
n2

21.

14
จงหำ
2

n2

มีค่ำเท่ำใด (ทร.51)

7 4 y 2  1 และ 3(2 3 x 1 ) = 48 ค่ำของ x 2  4 y ตรงกับข้อใด

1
A   10 9
3

และ

B  3 1012

ค่ำของ

3
9
27
81

่

A 4
B3

(ทร.51)




24. ถ้ำ
1)
2)
3)
4)
25. ถ้ำ
1)
2)
3)
4)

7  3a

และ

3  7 b แล้ว

4ab – 5 มีค่ำตรงกับข้อใด (ตร.51)

–5
–1
1
5

32  4 x  33  4 x  34  4 x  13 แล้ว 625 x มีค่ำตรงกับข้อใด (ตร.51)
1
25
1
5

5
25

2

26. ถ้ำ X=8 และ Y =2 แล้ว
1)
2)
3)
4)


-53-

4
8
16
32

XY 2 6
XY 4 X 3Y 2 2

มีค่ำเท่ำข้อใด (ทร.52)

3
4

27. ถ้ำ 9.002  10 73.03  10   1.5821 102 x 1 แล้ว X มีค่ำเท่ำใด (ทร.52)

4  10

1) 1.5
2) 2.5
3) 3
4) 5
28. ถ้ำกำหนด 4 X  9 X  1296X 1 และ 91Y  27Y 1 จงหำค่ำของ X+Y (ทร.52)
1) 1
3) 5
2) 3
4) 7
29. ถ้ำ
1)
2)
3)
4)
5)

2
 2
2 X  4Y และ 3 Z  (243)Y ค่ำของ 3 X 5YZ Y (ทบ.52)
13
25
11
25
9
23
1
3
2
3

่



30.

4x10 3 x 6x10 5
8x10 3

-54-


1) 10
2) 20
3) 30
4) 40
5) 50
31. กำหนดให้ A  1  2  3  4  5  6  7  8
แล้วค่ำของ A – B ตรงกับข้อใด(ตร.52)
1) –78
2) –32
3) 32
4) 78
32. ถ้ำ 8 = 4 - 2 แล้ว xy มีค่ำตรงกับข้อใด(ตร.52)
1) 1
2

x

2)
3)
4)


2

2

2

2

2

2

2

 92 102 และ B  169  2 1310   100

y

48
1
24
1
6
1
4

2

33. 2 3 มีค่ำตรงกับข้อใด(ตร.52)
1) 36
2) 64
3) 256
4) 512

่



-55-


จานวนจริง
จานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ

a
จานวนตรรกยะ คือ จำนวนที่เขียนแทนได้ในรูปเศษส่วน b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b  0
และ
a
เรำเรียกจำนวนที่ไม่สำมำรถเขียนแทนได้ด้วยเศษส่วน b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b  0 ว่ำ
จานวนอตรรกยะ
รากที่สอง
บทนิยาม ให้ a แทนจำนวนจริงบวกใด ๆ หรือศูนย์ รำกที่สองของ a คือ จำนวนจริงที่ยกกำลังสองแล้ว
ได้ a
สมบัติของ

a เมื่อ a  0

กำรบวกและกำรคูณจำนวนในรูป a เมื่อ a  0 มีสมบัติกำรสลับที่ กำรเปลี่ยนกลุ่ม และกำร
แจกแจง และยังมีสมบัติอีก 2 ข้อคือ
1. ถ้ำ a  0, b  0 แล้ว ab  a b
a
a

2. ถ้ำ a  0, b > 0 แล้ว
b
b
กรณีที่ a < 0, b < 0 นั้น a และ b เป็นจำนวนเชิงซ้อน สมบัติทั้งสองข้อนี้จะใช้ไม่ได้
การหารากที่สอง
วิธีกำรหำก็มีหลำยวิธีด้วยกัน คือ
- วิธีแยกตัวประกอบ
- วิธีเฉลี่ย
- วิธีดูจำกตำรำง
รากที่สาม

ให้ a แทนจำนวนจริงใด ๆ ที่รำกที่สำมของ a คือ จำนวนจริงที่ยกกำลังสำมแล้วได้ a
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 3 a
รำกที่สำมของจำนวนจริงใด ๆ จะเป็นจำนวนตรรกยะ หรือจำนวนอตรรกยะอย่ำงใดอย่ำงหนึ่ง

เท่ำนั้น

่




-56-

เมื่อทรำบจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะมำแล้ว จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะต่ำง
ก็เป็นจำนวนจริง และจำนวนจริงใด ๆ จะเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะอย่ำงใดอย่ำงหนึ่ง
เท่ำนั้น ต่อไปจะเป็นแผนผังซึ่งแสดงควำมสัมพันธ์เกี่ยวข้องกันระหว่ำงจำนวนขนิดต่ำง ๆ ที่เคยเรียน
มำแล้ว
จำนวนจริง

จำนวนตรรกยะ

จำนวนเต็ม

จำนวนเต็มบวก

จำนวนอตรรกยะ

เศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม

ศูนย์

จำนวนเต็มลบ

1. ผลต่ำงของ ค.ร.น. และ ห.ร.ม. ของ
1) 45
2) 75
3) 105
4) 115
2. ค่ำของ 4  2
1) 2
2) 3
3) 3
4) 2 3
5) 3 3

3  42 3

4

50,625 และ 14,400 มีค่ำเท่ำใด (ทร.49)

เท่ำกับข้อใด (ทบ.49)

่




-57-

3. กำหนดให้ 3 < x < 6 และ 12 < y < 30 ถ้ำ a < y –x < b และ c <
d ) เท่ำกับเท่ำใด (ทบ.49)
1) 20
2) 21
3) 22
4) 23
5) 24
4. จงหำค่ำของ 108  50 
1) 17.32
2) 18.19
3) 20.09
4) 24.61
5. กำหนดให้ A =
1)
2)
3)
4)

6
3
5
3

-2
3 -5
2 +3
2+2
2

8

48  5 2

9
10

75
18

ถ้ำ

3  1.732

y
x

< d ดังนั้นค่ำของ (a + b) – (c+

(ทร.49)

ค่ำของ 15 A คือข้อใด (ทร.49)

3

2
3
3

6. จงหำค่ำของ 328  3 2 2  3 2  3 4   3  13 (ทอ.49)
1)  8  3 2
2)  8  6 2
3)  4  3 6
4)  4  6 2
5)  24  3 2
7. ข้อใดต่อไปนี้กล่ำวถูกต้อง (ทอ.49)
1) ผลบวกของจำนวนอตรรกยะกับจำนวนอตรรกยะ เป็นจำนวนอตรรกยะ
2) ผลคูณของจำนวนอตรรกยะกับจำนวนอตรรกยะ เป็นจำนวนอตรรกยะ
3) ถ้ำ a เป็นจำนวนอตรรยะแล้วจะสำมำรถหำจำนวนนับ n ซึง เป็นจำนวนตรรกยะได้
่
4) รำกที่สองของจำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนอตรรกยะ
5) ถ้ำ a, b และ c เป็นจำนวนตรรกยะแล้ว สมกำร ax 2  bx  c  0 จะมีคำตอบเป็นจำนวนตรรกยะ
1

1

่




-58-

8. จงพิจำรณำข้อควำมต่อไปนี้
ก. ถ้ำ a < b และ c < d แล้ว ac < bd
ข. ถ้ำ 0 < a < b แล้ว a  b2  b  a
ค. ถ้ำ a , b เป็นจำนวนลบ และ a > b แล้ว

>0

ข้อควำมด้ำนบนนี้ข้อใดเป็นจริง (ทอ.49)
1) ข้อ ก และ ข จริง
2) ข้อ ก และ ค จริง
3) ข้อ ข และ ค จริง
4) ข้อ ค จริง
5) ข้อ ก, ข และ ค เป็นเท็จ
9. กำหนดให้ x และ y เป็นเลขจำนวนจริง โดยที่ 0 < x < y ข้อใดถูก (แนวตร.49)
1)

1 1

x y

2) x 2  y 2  2 xy
3)
4)

x y
y
2
x2 y2

 x y
y
x

x


( 3) 3  2( 6  2) 





2


1) 3  2
2) 3  2
3) 7 – 4 3
4) 7 + 4 3
11. ถ้ำ x และ y เป็นค่ำในอนุกรมดังต่อไปนี้ 1, 3, 7, 15, x, 63, y จงหำค่ำ y - x (แนวตร.49)
1) 31
2) 32
3) 64
4) 96

่



12. ถ้ำ a, b, c เป็นจำนวนจริงที่กำหนดค่ำโดย
1)

-59abc


แล้ว ข้อใดเป็นไปไม่ได้ (แนวตร.49)

ac
b
2

2) b + c = 2a
3) a – 2c = b
4)

a
<b
c

13. มีตัวเลขจำนวนเต็ม 0– 200 กี่จำนวนที่หำรด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 9 (แนวตร.49)
1) 17
2) 18
3) 19
4) 20
14. กำหนด x  3, y  2, x  1จงหำรำกที่ 3 ของ (3x 2 y 3  2 x 3 y 2 ) z 0 (ทร.50)
1) 0
2) 23 2
3)  33 3
4)  63 2
15. กำหนดให้ x  11  6 2  6  4 2 จงหำค่ำของ x 2  x (ทอ.50)
1) 0
2) 1
3) 2
4) 3
5) 2
16. กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็ม และ x   n  1998  1999  n  จงหำว่ำ x จะมีค่ำได้กี่ค่ำในระบบ
จำนวนจริง (ทอ.50)
1) 0
2) 1
3) 2
4) 4
5) มีค่ำได้มำกมำยนับไม่ถ้วน

่



-60-


17. ในกำรสอบครั้งหนึ่ง ข้อสอบมี 4 ฟอร์ม โดยหน้ำปกแต่ละฟอร์มเป็นสีชมพู ฟ้ำ เขียว และเหลือง โดยผู้
เข้ำสอบแถวที่ 1 ได้ข้อสอบหน้ำปกสีชมพู แถวที่ 2 ได้ข้อสอบหน้ำปกสีฟ้ำ แถวที่ 3 ได้ข้อสอบหน้ำปก
สีเขียว และแถวที่ 4 ได้ข้อสอบหน้ำปกสีเหลือง กำรแจกข้อสอบเป็นลำดับเช่นนี้ไปเรื่อยๆ จงหำว่ำผู้
เข้ำสอบแถวใดต่อไปนี้ ได้ข้อสอบหน้ำปกสีเดียวกันทั้งหมด (ทอ.50)
1) 90 , 112 , 120
2) 90 , 112 , 202
3) 17 , 103 , 221
4) 93 , 117 , 221
5) 103 , 117 , 221
18. จงพิจำรณำวิธีกำรแก้สมกำรต่อไปนี้
-x 2 – 3x + 4 = 0
( -1 ) ( -x 2 – 3x + 4 ) = ( -1 ) ( 0 )
A
x 2 + 3x – 4 = 0
B
ขั้น A และ ขั้น B ใช้สมบัติข้อใด (ตร.50)
1) สมบัติกำรสะท้อน และสมบัติของศูนย์
2) สมบัติกำรสลับที่ และสมบัติของศูนย์
3) สมบัติกำรเปลี่ยนหมู่ และสมบัติของศูนย์
4) สมบัติกำรแจกแจง และสมบัติของศูนย์
19. จงพิจำรณำวิธีกำรแยกตัวประกอบของ 15x 2 y - 18xy 2 ว่ำใช้สมบัติของจำนวนเต็มข้อใด
15x 2 y - 18xy 2 =
3 ( 5x 2 y - 6xy 2 )
=
3xy ( 5x – 6y )
(ตร.50)
1) สมบัติกำรสะท้อน และสมบัติกำรแจกแจง
2) สมบัติกำรสลับที่ และสมบัติกำรเปลี่ยนหมู่
3) สมบัติกำรเปลี่ยนหมู่ และสมบัติกำรสะท้อน
4) สมบัติกำรแจกแจง และสมบัติกำรสลับที่
20. จงหำค่ำของ
1)
2)
3)
4)

 8  16
 16   8

(ตร.50)

1
-1
3
-3

่



-61-


21. ถ้ำ 0 < X < 1 แล้ว ค่ำที่น้อยที่สุดเท่ำกับเท่ำใด (ทบ.51)
1) x 2
2) x
3)
4)
5)

1
x
1
x2
1
x3

22. เลขสองจำนวนรวมกันได้ 12 ผลคูณที่มำกที่สุดที่จะเป็นไปได้ของเลขทั้งสองจำนวนนี้คือข้อใด (ทบ.
51)
1) 20
2) 27
3) 32
4) 36
5) 40
23. ข้อใดต่อไปนี้ผิด (ทร.51)
1) ถ้ำ a และ b เป็นจำนวนอตรรกยะแล้ว a + b อำจจะเป็นจำนวนตรรกยะ
2) ถ้ำ a และ b เป็นจำนวนตรรกยะแล้ว

a
b

อำจจะเป็นจำนวนตรรกยะ

3) ถ้ำ a เป็นจำนวนตรรกยะบวกแล้ว รำกที่สองของ a เป็นจำนวนตรรกยะ
4) ถ้ำ a เป็นจำนวนอตรรกยะบวกแล้ว รำกที่สองของ a เป็นจำนวนอตรรกยะ
24. กำหนด 2  1.414, 3  1.732, 6  2.449 ผลลัพธ์ของ 98  128  72 คือข้อใด (ทร.51)
1) 12.726
2) 15.888
3) 22.041
4) 29.694
25. จงหำคำตอบของ
1)
2)
3)
4)

3

27

(ตร.50)

3
1

6

81

6

6

3

3
1

36

่



26. จงหำคำตอบ
1)
2)
3)
4)
27.

3


-62-

 125  0.0016 

1 3
 343
4

(ตร.51)

1.54
2.29
11.9
12.9
(53428)(53416)  (53434)(53410)

มีค่ำตรงกับข้อใด (ตร.51)

1) 3 2
2) 6 3
3) 6 5
4) 6  5
28. ข้อใดผิด (ทร.52)
1) ค่ำของ


0.518 เขียนเป็นเศษส่วนได้คือ

2)
3)
4)

513
990

เป็นจำนวน อตรรกยะ

0.3  0.54
3

 27   3 27

5.29


4 3  2 27
150

1) 2  2
2) 2  2
3) 2  2
4) 2  2
30. จงหำค่ำของ



62 5
3

16  8 5

8 6
12

 5

เท่ำกับข้อใด (ทร.52

ว่ำมีค่ำเท่ำกับข้อใด(ทร.52)

1) 0.99

2) 0.9
3) 5
4) 2 5
31. ถ้ำ X เป็นจำนวนจริงที่มีค่ำน้อยกว่ำ 0 แล้ว จำนวนในข้อใดที่มีค่ำน้อยกว่ำ 0 (ทบ.52)
1)  X
2)  X 2
3)  X 3
4) (X) 3
5) X

่



-63-


32. หมูอ้วนนับจำนวนบรรพบุรุษของหมูอ้วนได้ดังนี้ บรรพบุรุษของหมูอ้วนหนึ่งชั่วคนมี 2 คน คือ พ่อและแม่
บรรพบุรุษของหมูอ้วนสองชั่วคนมี 6 คน คือ พ่อ แม่ ปู่ ย่ำ ตำ และ ยำย บรรพบุรุษของหมูอ้วนสำมชั่ว
คนมี 14 คน คือ พ่อ แม่ ปู่ ย่ำ ตำ ยำย พ่อกับแม่ของปู่ พ่อกับแม่ของย่ำ พ่อกับแม่ของตำ และพ่อกับแม่
ของยำย ถ้ำหมูอ้วนนับบรรพบุรุษถึงสิบชั่วคน แล้วบรรพบุรุษของหมูอ้วนมีทั้งหมดกี่คน(ตร.52)
1) 1,024 คน
2) 1,224 คน
3) 2,046 คน
4) 2,446 คน
ก. จำนวนอตรรกยะทุกจำนวนมีสมบัติของกำรคูณ
ข. จำนวนเต็มทุกจำนวนมีสมบัติปิดของกำรหำร
ค. จำนวนตรรกยะทุกจำนวนมีสมบัติปิดของกำรหำร
ง. จำนวนอตรรกยะทุกจำนวนมีสมบัติของกำรบวก
จำกข้อควำมข้ำงต้นข้อใดกล่ำวถูกต้อง(ตร.52)
1) เป็นเท็จ 2 ข้อ
3) เป็นเท็จทุกข้อ
4) เป็นจริงทุกข้อ

่




-64-

เอกนามพหุนาม
ความหมายของเอกนาม
นิพจน์ทสามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตังแต่หนึ่ งตัวขึ้นไป และเลขชี้
่ี
้
กาลังของตัวแปรแต่ ละตัวเป็ นศูนย์หรือจานวนเต็มบวกเรียกว่าเอกนาม (Monomial)
เอกนำมประกอบด้วยสองส่วน คือ ส่วนที่เป็นค่ำคงตัว และส่วนที่อยู่ในรูปของตัวแปรหรือกำรคูณ
กันของตัวแปร
เรียกค่ำคงตัวว่ำ สัมประสิทธิ์ของเอกนาม และเรียกผลบวกของเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัว
ในเอกนำมว่ำ ดีกรี
ดีกรี
ตัวอย่ำงหนึ่งส่วนประกอบของเอกนำม
ค่ำคงตัว

n m k

Ax y z
ตัวแปร

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่ำงของนิพจน์ที่เป็นเอกนำม
นิพจน์
สัมประสิทธิ์
ตัวแปร
ดีกรี
4x
-a3
6abc
-5
0
หมำยเหตุ ค่ำคงตัวหรือจำนวนจริงใดๆ ถือเป็นเอกนำมดีกรี 0 เพรำะสำมำรถเขียนในรูปกำรคูณกันของค่ำ
คงตัวกับตัวแปร โดยที่เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ เช่น
เช่น 5 = 5x0 = 5x0y0 = 5a0b0c0
2 = 2 x0 = 2 x0 y0 = 2 a 0 b 0 c0
เป็นต้น
่



-65-


ส่วน 0 เป็นเอกนำมที่มีสัมประสิทธิ์เท่ำกับ 0 และดีกรีเท่ำกับเท่ำใดก็ได้ เพรำะ 0 คูณจำนวนใดก็
ได้ 0 เช่น 0x2 = 0xy3 = 0x2y6z3 เป็นต้น
ต่อไปนี้เป็นตัวอย่ำงของนิพจน์ที่ไม่เป็นเอกนำม
นิพจน์
เหตุผลที่ไม่เป็นเอกนำม
x
1.
y
2.
x+y
3.
( 1 )2
x
4.
4x-3
5.
1 + 3x2
ตัวอย่างที่ 1 จงพิจำรณำว่ำนิพจน์ที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นเอกนำมหรือไม่
ถ้ำเป็นจงบอกสัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนำมดังกล่ำว
ข้อ นิพจน์
ไม่เป็นเอกนำม เป็นเอกนำม สัมประสิทธิ์ ดีกรี
(1)
5
2
(2)
x + y2
(3)
a-1bc3
(4)
5x4 – 4x4
(5)
0
(6)
abc
(7)
-4x5
(8)
2x + 2y
(9)
8-6xyz2
1
(10)
3
(11)
x2yz
(12)
-4-1ab2
(13)
3 pq
(14)
3+ 3
(15)
-cd2

่



-66-


เอกนามคล้าย
ก่อนที่เข้ำสู่เรื่องกำรบวกและกำรลบเอกนำม นักเรียนจำเป็นต้องศึกษำลักษณะบำงอย่ำงของเอก
นำมก่อน ซึ่งลักษณะดังกล่ำวจะนำมำช่วยคำนวณกำรบวกและกำรลบเอกนำมได้ ลักษณะดังกล่ำวนั้นคือ
เอกนามคล้าย
เอกนำมสองเอกนำมจะคล้ำยกันก็ต่อเมื่อ
1. เอกนำมทั้งสองมีตัวแปรชุดเดียวกัน
และ 2. เลขชี้กำลังของตัวแปรตัวเดียวกันในแต่ละเอกนำมเท่ำกัน
ตัวอย่ำงเช่น
ax
คล้ำยกับ
-2ax
5x2y
-2x2y
abc2
4abc2
2x2y
ไม่คล้ำยกับ
2xy2
3a
ไม่คล้ำยกับ
4x
5
-4
เป็นต้น
ตัวอย่างที่ 2 จงพิจำรณำว่ำเอกนำมที่กำหนดให้คล้ำยกันหรือไม่ ถ้ำคล้ำยให้เขียนเครื่องหมำย 
หน้ำข้อ ถ้ำไม่คล้ำยให้เขียนเครื่องหมำย  หน้ำข้อ
1
1) 4a2 กับ  4 a2
2) 3x2y3 กับ x3y2
3) 4xy2 กับ 4x2y
1
4) 5 กับ  2 y
5) 8x กับ -4
6) xyz กับ -abc
1
7) 3x2y กับ 2 xy
8) -6 กับ 8x0
9) 14x กับ x
10) abc กับ a0b0c0

การบวกเอกนาม
เอกนำมตั้งแต่สองเอกนำมจะสำมำรถหำผลบวกได้เมื่อเอกนำมดังกล่ำวต้องเป็ นเอกนามคล้าย
ดังที่เรำได้ศึกษำไปแล้วในหัวข้อที่ผ่ำนมำ ซึ่ง การหาผลบวกของเอกนำมสำมำรถทำได้โดยใช้สมบัติกำร
แจกแจง หรือกำรกระจำยในกำรหำคำตอบ ซึ่งสำมำรถทำได้ดังนี้
ผลบวกของเอกนานาม = (ผลบวกของสัมประสิทธิ์)  (ส่วนที่อยู่ในรูปของตัวแปรหรือการคูณของตัวแปร)
่




-67-

หรือจะกล่ำวว่ำ กำรบวกเอกนำมทำได้เมื่อเอกนำมที่จำนำมำบวกกันเป็นเอกนำมคล้ำย ให้นำ
สัมประสิทธิ์มำบวกกัน โดยมีส่วนของตัวแปรคงเดิม
สำหรับเอกนำมที่ไม่คล้ำยกัน ไม่สำมำรถนำมำบวกกันได้ ให้เขียนในรูปกำรบวกของเอกนำม เช่น
ผลบวกของ 3x2y และ -4xy2 ทั้งสองเอกนำมไม่ใช่เอกนำมคล้ำ ย เมื่อหำผลบวกจะได้ จะเขียนในรูปกำร
บวกกันของเอกนำม คือ 3x2y + (-4xy2) ซึ่งจะเรียกว่ำพหุนำม และนักเรียนจะได้ศึกษำในหัวข้อต่อๆ ไป
ตัวอย่างที่ 1 จงหำผลบวกของเอกนำมต่อไปนี้
(1) 4x2 + 2x2
= (4 + 2)x2
= 6x2
(2) -5x2y2z + 4x2y2z
=
(3) -4x + (-2x)
=
2
2
(4) 3a b + (-6a b)
=
(5) -17m2 + (-2m2)
=
(6) st2 + (-5st2)
=
(7) x2y3 + (-4x2y3) + 5x2y3 =
(8) st + 4st + (-7s)
=

การลบเอกนาม
สำหรับการหาผลลบของเอกนำมสำมำรถทำได้โดยใช้สมบัติกำรแจกแจง หรือกำรกระจำยในกำร
หำคำตอบ เช่นเดียวกับกำรหำผลบวกของเอกนำม ซึ่งสำมำรถทำได้ดังนี้
ผลบวกของเอกนานาม = (ผลลบของสัมประสิทธิ์)  (ส่วนที่อยู่ในรูปของตัวแปรหรือ
การคูณของตัวแปร)

จงหำผลลบของเอกนำมต่อไปนี้
(1) 4x2 – 2x2
(2) -5x2y2z – 4x2y2z
(3) -4x – (-2x)
(4) 3a2b – (-6a2b)
(5) 3x2y2 – (-2xy)
(6) -17m2 – (-2m2)
(7) x2y3 – (-4x2y3) – 5x2y3
(8) st – 4st – (-7s)

= (4 – 2)x2
=
=
=
=
=
=
=

่

= 2x2




-68-

การคูณเอกนาม
กำรคูณเอกนำมทำได้โดย
1. นำสัมประสิทธิ์ของเอกนำมแต่ละพจน์คูณกัน
2. นำส่วนที่เป็นตัวแปรคูณกัน โดยอำศัยสมบัติของเลขยกกำลัง
ตัวอย่างที่ 1 จงหำผลคูณของเอกนำมต่อไปนี้
(1) (2ab)(5a2b4)
= (25)(ab)(a2b4)
= 10a1+2b1+4
= 10a3b5
(2) (3x)(4x)
=
=
=
(3) (5x)(-3x4)
=
=
=
(4) (-7xy)(-4x2y3)
=
=
=
(5) ( 3 x2y5z)(  4 x4y2z3)
=
3
4
=
=
(6) (-8x2yz)(-2x3y2z2)(5xy2z4) =
=
=

การหารเอกนาม
สำหรับกำรหำรเอกนำม สำมำรถทำได้ในทำนองเดียวกับกำรคูณเอกนำม กล่ำวคือ
1. หำผลหำรของสัมประสิทธิ์ของเอกนำม
2. หำผลหำรของตัวแปร โดยอำศัยสมบัติของเลขยกกำลัง
ตัวอย่างที่ 2 จงหำผลหำรของเอกนำมต่อไปนี้
7
(1) 8 x 5
= 2x7 – 5
4x
= 2x2
่



-69-

24 p 3
(2)  6 p

=

9
(3)  284a
7a

=

4
(4)  42n 2
 14n


=

a2 3
(5)  78abcb c
6

=
=
=
=
=

5 4 7
(6) 57a b c2
 19abc

=

9 8 7
(7)  80a 3b 2c
 16a b c

=

4 3 2
(8) 130r 2s 2t
26s t

=

=
=
=

ตัวอย่างโจทย์ระคน
วิธีทา

วิธีทา


จงหำผลลัพธ์ของ (6x + 3x)(-4xy3)
(6x + 3x)(-4xy3) = (9x)(-4xy3)
=
=
(6x + 3x)(-4xy3) =

ตอบ

จงหำผลลัพธ์ของ (18x3z4  6xz2) – 12x2z2
(18x3z4  6xz2) – 12x2z2 =
=
=
ดังนั้น (18x3z4  6xz2) – 12x2z2 =

ตอบ

จงหำผลลัพธ์ของ [(7x3y)(3xy2)] – (15x6y5  5x2y2)

่



วิธีทา

วิธีทา


-70-

[(7x3y)(3xy2)] – (15x6y5  5x2y2) =
=
=
=
ดังนั้น [(7x3y)(3xy2)] – (15x6y5  5x2y2) =

ตอบ

จงหำผลลัพธ์ของ (8xz2 – 14xz2)(-11xy3 + 4xy3)
(8xz2 – 14xz2)(-11xy3 + 4xy3) =
=
=
=
2
2
3
3
ดังนั้น (8xz – 14xz )(-11xy + 4xy ) =

ตอบ

การบวกและการลบพหุนาม
ผลบวกของพหุนำมหำได้โดยนำพหุนำมมำเขียนในรูปกำรบวกและถ้ำมีพจน์ที่คล้ำยกันให้บวก
พจน์ที่คล้ำยกันเข้ำด้วยกัน
ผลลบของพหุนำมทำได้โดยเขียนพหุนำมในรูปกำรลบให้อยู่ในรูปกำรบวก ซึ่งต้องอำศัยจำนวน
ตรงข้ำมของพหุนำม
ตัวอย่างที่ 1.11 จงหำผลบวกของ x2 + 4x + 3 กับ 2x2 + 7 + 5x
วิธีทา
(x2 + 4x + 3) + (2x2 + 7 + 5x) = (x2 + 2x2) + (4x + 5x) + (3 + 7)
=
กำรหำผลบวกของพหุนำม โดยเขียนกำรบวกในแนวตั้ง ให้พจน์ที่คล้ำยกันอยู่ตรงกัน จะทำให้กำร
หำผลบวกทำได้ง่ำยขึ้น (คล้ำยกำรตั้งบวกเลขธรรมดำ)
ตัวอย่างที่ 1.12 จงหำผลบวกของ 16x3 + 5x2 - 3x กับ 4x3 – 2x2 + 2x + 2
วิธีทา
16x3 + 5x2 – 3x
+
4x3 – 2x2 + 2x + 2

(16x3 + 5x2 - 3x) + (4x3 – 2x2 + 2x + 2) =

ตัวอย่างที่ 1.13 จงหำผลบวกของ 3x5y – 3x4y5 + 2x5 – x2 กับ 2x5y + 4x5 + 7x2 – 3
วิธีทา
+

่



-71-


(3x5y – 3x4y5 + 2x5 – x2) + (2x5y + 4x5 + 7x2 – 3) =


สำหรับกำรลบพหุนำม ให้นักเรียนสังเกตตัวอย่ำงต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1.14 จงหำผลลบของ 2x2 + 5x – 3 กับ x2 – 4x + 8
วิธีทา
(2x2 + 5x – 3) – (x2 – 4x + 8) = (2x2 + 5x – 3) + [– (x2 – 4x + 8)]
=
=
=
หรือนักเรียนสำมำรถหำคำตอบในลักษณะต่อไปนี้ก็ได้
(2x2 + 5x – 3) – (x2 – 4x + 8) =
=
=
หรือจะใช้วิธีกำรลบในแนวตั้ง (กำรตั้งลบ) ก็ได้
ตัวอย่างที่ 1.15 จงหำผลลัพธ์ของ (4x2 – 6xy + 2y2) – (2x2 – 2xy + 9y2)
วิธีทา
4x2 – 6xy + 2y2 –  เปลี่ยนเครื่องหมำยลบเป็นบวก
2x2 – 2xy + 9y2
 เปลี่ยนเครื่องหมำยของตัวลบเป็นตรงข้ำม
(4x2 – 6xy + 2y2) – (2x2 – 2xy + 9y2) =
ตัวอย่างที่ 1.16 จงหำผลลัพธ์ของ (x3 – 7x2 – 5x + 2) – (3x2 + 2x – x3 – 1)
วิธีทา
–
เปลี่ยนเครื่องหมำยลบเป็นบวก
เปลี่ยนเครื่องหมำยของตัวลบเป็นตรง
ข้ำม

(x3 – 7x2 – 5x + 2) – (3x2 + 2x – x3 – 1) =

การคูณพหุนาม
กำรหำผลคูณระหว่ำงพหุนำมกับพหุนำมทำได้โดยคูณแต่ละพจน์ของพหุนำมหนึ่งกับทุก ๆ พจน์
ของอีกพหุนำมหนึ่ง และนำผลคูณเหล่ำนั้นมำบวกกัน
เช่น (ax + b)(cy + d) = acxy + adx + bcy + bd
ตัวอย่างที่ 1.18 จงหำผลคูณของพหุนำมต่อไปนี้
(1) (x – 4)(x + 5)
=
่



-72-


=
=
(2) (x + 3y)(x + y + z) =
=
=
เพื่อควำมสะดวกในกำรหำผลคูณ นิยมใช้กำรคูณแบบกำรตั้งคูณ แล้วทำกำรคูณแต่ละพจน์ของ
พหุนำมหนึ่งด้วยแต่ละพจน์ของอีกพหุนำมหนึ่ง ดังตัวอย่ำงต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1.19 จงหำผลคูณของ x2 + 2xy + y2 กับ x – y + 2
วิธีทา
x2 + 2xy + y2
x–y+2


(x2 + 2xy + y2)(x – y + 2) =

่



-73-


จงหำผลคูณ 4 x2  x3  x  2

จงหำผลคูณ 2 x2  4 x3  5

จงหำผลคูณ 5x3  3x  4 

จงหำผลคูณ)  x  1  x 2  2 x  4 

จงหำผลคูณ  2 x  3  x2  x  1

การหารพหุนาม
กำรหำรพหุนำมด้วยพหุนำมใช้หลักเกณฑ์เดียวกับกำรหำรจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม มีทั้งกำร
หำรลงตัวและกำรหำรไม่ลงตัว
โดยทั่วไปกำรหำรพหุนำมด้วยพหุนำม ถ้ำผลลัพธ์เป็นพหุนำมเรำกล่ำวว่ำกำรหำรนั้นเป็นกำรหำร
ลงตัว
ในกำรหำรพหุนำมด้วยเอกนำมให้นำตัวหำรไปหำรทุกพจน์ของตัวตั้งแล้วนำผลที่ได้มำบวกกัน
ตัวอย่ำง (9x2+9x+2) (3x+1)
วิธีทำ

่



-74-


1)  4 x3  3x2  x  1   x 

2)  3x3  x2  x  2   x 

3)  4 x3  3x2  x  1   x  2 

4)  3x3  x2  x  2   x  2

5)  4 x3  3x2  x  1   x2 

6)  3x3  x2  x  2   x 2 

่



-75-


การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัติการแจกแจง
สมบัติการแจกแจง
ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ
a(b + c) = ab + ac
หรือ ab + ac = a(b + c)
กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมโดยใช้สมบัติกำรแจกแจงเป็นกำรแยกตัวประกอบโดยกำรดึงตัว
ร่วมออก
ตัวอย่ำง 1



จงแยกตัวประกอบของพหุนำมต่อไปนี้
1) 10x + 15
= 52x + 53
= 5(2x + 3)
2) x2 + 8x
= xx + 8x
= x(x + 8)
3) x2 – 5x
= xx – 5x
= x(x – 5)
4) 4x2 – 12x
= 4xx – 43x
= 4x(x – 3)
ให้นักเรียนบอกค่ำของ a, b และ c ของพหุนำมดีกรีสองต่อไปนี้
1) 2x2 + 3x + 6
(a = 2, b = 3, c = 6)
2) 5x2 + 4x – 8
(a = 5, b = 4, c = -8)
2
3) 3x + 1
(a = 3, b = 0, c = 1)
4) 7x – 2x2
(a = -2, b = 7, c = 0)
จงหำจำนวนที่คูณกันได้ c และบวกกันได้ b
c
b
1
2
1)
-1
0
2)
4
4
3)
-3
2
4)
-3
-2
5)
12
-1
6)
-48
2
7)

่

จำนวนทั้งสอง
1, 1
-1, 1
2, 2
3, -1
-3, 1
-4, 3
-6, 8


-76-


-48
-2
6, -8
8)
จงแยกตัวประกอบของ x2 + 8x + 12
วิธีทา
เพรำะว่ำ
26 = 12
และ
2+6 = 8
x2 + 8x + 12 = (x + 6)(x + 2)
ตอบ
จงแยกตัวประกอบของ x2 - 5x + 6
วิธีทา
(-3)(-2) = 6
และ
-3 + (-2) = -5
x2 - 5x + 6 = (x + 6)(x – 5)
ตอบ
จงแยกตัวประกอบของ x2 + 11x + 30
วิธีทา
65 = 30
และ
6 + 5 = 11
x2 +11x + 30 = (x + 6)(x + 5)
ตอบ
จงแยกตัวประกอบของ x2 – 4x - 12
วิธีทา
(-6)2 = -12
และ
-6 + 2 = -4
x2 – 4x – 12 = (x - 6)(x + 2)
ตอบ
สรุปขั้นตอนการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่อยู่ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c
เป็นค่าคงตัว และ a = 1 ได้ดังนี้
ขั้นที่ 1 : เขียน x2 + bx + c ในรูปกำรคูณกันของสองวงเล็บ
x2 + bx + c = (
)(
)
ขั้นที่ 2 : เติม x วงเล็บละ 1 ตัวเป็นพจน์หน้ำของแต่ละวงเล็บ
x2 + bx + c = (x
)(x
)
ขั้นที่ 3 : หำจำนวนที่คูณกันได้ c และบวกกันได้ b มำใส่วงเล็บละตัว เป็นพจน์หลัง (ในที่นี้
mn = c และ m + n = b)
x2 + bx + c = (x + m)(x + n)
จงหำผลคูณของ (3x + 5)(5x + 2)
วิธีทา
(3x + 5)(5x + 2)=
(3x + 5)(5x) + (3x + 5)(2)
2
=
15x + 25x + 6x + 10
=
15x2 + 31x + 10
ดังนั้น (3x + 5)(5x + 2)=
15x2 + 31x + 10
ตอบ
่



-77-


จงแยกตัวประกอบของ 6x2 + x - 15
ขั้นที่ 1 เขียน 6x2 + x – 15 ในรูปกำรคูณกับของสองวงเล็บ
6x2 + x – 15 =
(
)(
)
ขั้นที่ 2 แยกตัวประกอบของ 6x2 ได้ 2x และ 3x ใส่เป็นพจน์หน้ำของแต่ละวงเล็บ
6x2 + x – 15 =
(2x
)(3x
)
ขั้นที่ 3 แยกตัวประกอบของ 15 ได้ 5 และ 3 ใส่เป็นพจน์หลังของทั้งสองวงเล็บ
6x2 + x – 15 =
(2x 3)(3x
5)
ขั้นที่ 4 หำผลคูณเพื่อหำพจน์กลำงของ 6x2 + x – 15 และเพื่อกำหนดเครื่องหมำย
+10x
2
6x + x – 15 =
(2x 3)(3x
5)
-9x
ขั้นที่ 5 สรุปคำตอบ
6x2 + x – 15 =
(2x - 3)(3x + 2)
1) 15y2 – 2y – 8
= (5y – 4)(3y + 2)
2
2) -5x + 13x – 6 = (-5x + 3)(x – 2)
3) -8x2 + 10x + 3 = (-4x – 1)(2x – 3)
พหุนำมดีกรีสองที่แยกตัวประกอบได้เป็นพหุนำมดีกรีหนึ่งซึ่งซ้ำกัน เรียกพหนุำมดีกรีสองชนิดว่ำ
กาลังสองสมบูรณ์
รูปทั่วไปของพหุนำมดีกรีสองที่เป็นกำลังสองมบูรณ์คือ A2 + 2AB + B2 และ A2 - 2AB + B2
เมื่อ A และ B เป็นพหุนำม แยกตัวประกอบได้ดังสูตรต่อไปนี้
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A – B)2
รูปทั่วไปของพหุนำมที่อยู่ในรูปของผลต่ำงของกำลังสอง คือ A2 – B2 เมื่อ A และ B เป็นพหุ
นำมแยกตัวประกอบได้ดังสูตรต่อไปนี้
A2 – B2 = (A – B)(A + B)
กำลังสองสมบูรณ์
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A – B)2
ผลต่ำงของกำลังสอง
A2 – B2 = (A – B)(A + B)
1) x2 + 8x + 12
= (x + 6)(x + 2)
วิธีทา

่



วิธีทา

วิธีทา

วิธีทา

-78-

2) x2 + 4x + 4
= (x + 2)2
3) x2 – 72
= (x – 7)(x + 7)
จงแยกตัวประกอบของพหุนำม x2 + 4x + 1
x2 + 4x + 1 = x2 + 2(2)x + 22 – 22 + 1
= (x + 2)2 – 22 + 1
= (x + 2)2 – 4 + 1
= (x + 2)2 – 3
= (x + 2)2 – ( 3 )2
= (x + 2 - 3 )(x + 2 + 3 )
ดังนั้น x2 + 4x + 1 = (x + 2 - 3 )(x + 2 + 3 )
จงแยกตัวประกอบของพหุนำม x2 – 7x + 8
x2 – 7x + 8 = x2 – 2( 7 )x + ( 7 )2 - ( 7 )2 + 8
2
2
2


ตอบ

จงแยกตัวประกอบของ x2 + 3x - 238
x2 + 3x – 238 = x2 + 2( 3 )x + ( 3 )2 - ( 3 )2 – 238
2
2
2

่



-79-


ผลต่ำงของกำลังสำม A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
ผลบวกของกำลังสำม A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
จงแยกตัวประกอบของพหุนำม x3 + 8
วิธีทา
x3 + 8 = x3 + 23
= (x + 2)(x2 – 2x + 22)
= (x + 2)(x2 – 2x + 4)
x3 + 8 = (x + 2)(x2 – 2x + 4)
ตอบ
จงแยกตัวประกอบของพหุนำม x3 – 27
วิธีทา
x3 – 27 = x3 - 33
=
=
3
x – 27 =
ตอบ
ในกำรแยกตัวประกอบของพหุ นำมที่มีดีกรีสูงกว่ำสอง บำงครั้งเรำอำจทำได้โดยกำรจัดพหุนำม
นั้นให้อยู่ในรูปของกำลังสองสมบูรณ์, ผบต่ำงของกำลังสอง, ผลบวกของกำลังสำม หรือผลต่ำงของกำลัง
สำมอย่ำงใดอย่ำงหนึ่ง
จงแยกตัวประกอบของพหุนำม 16x4 - 81
วิธีทา
16x4 - 81 = (4x2)2 – 92
= (4x2 – 9)(4x2 + 9)
=
=
16x4 - 81 =
ตอบ
1) x4 – 625
=
2) 81x4 – 256y4

=

่



3) y6 – 64

-80-


=

่



วิธีทา


วิธีทา


-81-

จงแยกตัวประกอบของพหุนำม x4 + 3x + 4
x4 + 3x2 + 4 = (x2)2 +3x2 + 4
= (x2)2 +2x2(2) + 22 – x2
= (x2 + 2)2 – x2
= (x2 + 2 – x)(x2 + 2 + x)
= (x2 – x + 2 )(x2 + x + 2 )
ดังนั้น x4 + 3x2 + 4 = (x2 – x + 2 )(x2 + x + 2 )
1) x4 + x2 + 1
= (x2 – x +1)(x2 + x + 1)
2) x4 + 4
= (x2 – 2x +2)(x2 + 2x + 2)
จงแยกตัวประกอบของพหุนำม y6 - 64
y6 - 64 = (y2)3 - 43
= (y2 – 4)[(y2)2 + 4y + 42]
= (y2 – 4)(y4 + 4y2 + 16)
=
=
=
=
6
y - 64 =
1) x6 – a6
=

2) x6 – y6

ตอบ

ตอบ

=

3) 64x6 – 729


=

่




-82-

ถ้ำ a 3n = 2 เมื่อ a เป็นเลขจำนวนจริง และ n เป็นเลขจำนวนเต็มบวก แล้ว

14.

a 5n  a 4 n  a 8n  a 7 n
a 2 n  a n
a. 11
3
19
b.
3
c. 22
3
d. 15
3
17
e.
4

15.

มีค่ำเป็นเท่ำใด (ทบ.49)

A
B
Cx
 2x  8


 3
2
x x  2 x  2
x  4x 2  4x

ถ้ำ

แล้ว A – B – C มีค่ำเท่ำใด(ทบ.49)

a. -2
b. 0
c. 3
d. 4
e. 6
16.
กำหนด A และ B เป็นจำนวนเต็มบวก A มีค่ำมำกกว่ำ B อยู่ x ถ้ำ ห.ร.ม. และ
ค.ร.น. ของ A กับ B เท่ำกับ y และ z ตำมลำดับดังนั้น A  B เท่ำกับเท่ำใด(ทบ.49)
a. x 2 + 2yz
b. z 2 + 2xz
c. x 2 - 2yz
d. y 2 + 2xz
e. y 2 + 2xz
17.
พหุนำมในข้อใด เมื่อหำรด้วย x + 1 แล้วเหลือเศษที่มีค่ำน้อยที่สุด (ทบ.49)
a. 3x  8x  6x  1
b.  4x  9x  5x 1
c.  5x  7 x  2x 1
d. 12x  11x  19
2

5

3

2

2

4

3

6

3

7

2

2

่



e.

-83-


18x 3  2 x 2  x  13

่



18.

-84-

กำหนดให้ x  y 

4


และ
ถ้ำ A + B + C + D + E = u และ P + Q + R +S = v

 Ax 4  Bx 3 y  Cx 2 y 2  Dxy 3  Ey 4

x  y 3  Px 3  Ox2 y  Rxy 2  Sy 3

ดังนั้น u + v เท่ำกับข้อใด (ทบ.49)
a. 8
b. 12
c. 20
d. 24
e. 32
19.
กำหนด 402  50  32 2  202  2  53 2  32 10n จงหำค่ำ n (ทร.49)
a. n = 5
b. n = 4
c. n = 3
d. n = 1
20.
ถ้ำ x 3 + 7x 2 + 2x + 7 หำรด้วย x – 3 แล้วเหลือเศษมำกกว่ำ x 2 + 7x + b
หำรด้วย x – 3 อยู่ 12 จงหำว่ำ b เท่ำกับเท่ำใด (ทร.49)
a. 27
b. 61
c. 73
d. 85
21.
กำหนดให้ f (x) เป็นฟังก์ชันพหุนำมดีกรี 3 เมื่อนำฟังก์ชันนี้มำพล็อตกรำฟบนระนำบ
x – y พบว่ำ กรำฟนี้ตัดแกน x ที่จุด (-1, 0), ( 2, 0 ) และ ( 3, 0 ) จงหำค่ำ f (4) - f (1)
(ทร.49)
a. 2
b. 4
c. 6
d. 8
22.

กำหนดให้

9 x 2  5x 3  x  6
3  x  5x 2

= Ax + B และสัมประสิทธิ์ของ x จำกผลคูณของ

( Ax 2 + kx + B )( 2 – 3x ) มีค่ำเท่ำกับ -14 แล้ว k มีค่ำเท่ำใด (ทร.49
a. -8
b. -4
c. 4
d. 8
่



23.
a.
b.
c.
d.
24.
a.
b.
c.
d.
25.

m2
m2
m2
m2


-85-

ข้อใดเป็นตัวประกอบหนึ่งของ 3m 3 – 1029 (ทร.49)
– 7m + 36
+ 14m + 36
+ 21m + 25
+ 7m + 49
จงทำให้เป็นผลสำเร็จ

2( x  y) 2  13x  13 y  15
x 5 y

(ทร.49)

2x – 2y – 5
2x – y + 3
2x – 2y – 3
2x – 4y – 5
กำหนดให้ y =

( x 3  8)  (2 x 2  5 x  2)
( x 2  4)

ค่ำของ ( x – 2 ) y คือข้อใด (ทร.49)

a. ( x – 1 )( x – 3 )
b. ( x – 1 )( x + 3 )
c. ( x + 1 )( x + 3 )
d. ( x + 1 )( x – 3 )
26.
ถ้ำ ax 3 + bx 2 + cx + d หำรด้วย x 2 - 3 แล้วเหลือเศษ 11x + 7 จงหำค่ำของ a + b
+ c + d เมื่อผลลัพธ์ของกำรหำรนี้ได้ 3x + 5 (ทร.49)
a. 10
b. 8
c. 5
d. 2
27.
ถ้ำ ax 4 + 5x 3 + bx 2 + 20x + 7 หำรด้วย x - 3 แล้วเหลือเศษ 10 กำหนดให้ a +
b = 10 จงหำค่ำ a และ b (ทร.49)
a. a = 8 , b = 2
b. a = 1.5 , b = 8.5
c. a = 2.5, b = 7.5
d. a = 7.5, b=2.5
28.
ถ้ำ f ( x ) = x 3 - x 2 - kx – 15 หำรด้วย x 2 - 4x – 5 ลงตัว จงหำค่ำของ k
(ทร.49)
a. k = 12
่



b. k = 17
c. k = -12
d. k = -17
29.
ถ้ำ


-86-

และ a + b + c = 16 แล้ว c – b - a เท่ำกับ

a
b
c


4  a 7  a 13  c

เท่ำไร(ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
a. 4
b.
c.
d.

3
3
4
2
3
3
2

e. ไม่มีคำตอบ
30.
ให้ f x  mx  2  n เมื่อหำร f(x) ด้วย x – 2 แล้วเหลือเศษ m + 2 แต่
หำรด้วย f(x) ด้วย x – 1 แล้วจะเหลือเศษ 6 ถำมว่ำค่ำของ 5m – 2n คือข้อใด (ทอ.49)
a. 16
b. 0
c. -12
d. 2
e. -4
31.
ถ้ำนำพหุนำม P(x) ไปหำร 6x  x  21x  18 จะได้ผลหำรเป็น(x + 3) ซึ่งมีค่ำ
เท่ำกับเศษของกำรหำรแล้วผลรวมของสัมประสิทธิ์ของทุกพจน์ของ P(x) มีค่ำเป็นเท่ำใด (ทอ.49)
a. 1
b. -1
c. 3
d. 15
e. -17
32.
ถ้ำ x  2a  5x  6b หำร x  4a  1x  2b ลงตัวแล้ว x มีค่ำเท่ำใด
(ทอ.49)
a. b
2

2

2

b.
c.
d.

3

2

a2
a
b2
 2b
a2
a
b2

่



e.

-87-


b
a2

่



33.


-88-

ถ้ำให้

x2  y2
4
x y

แล้ว x 3  3x 2 y   xy 3  3 y 3   x 3  4xy  3x 2  มีค่ำ

เป็นเท่ำใด (ทอ.49)
a. 3(x + y)(x + 3y)
b. 3xy(x + 3y)
c. 4(x + y)(x + 3y)
d. 4xy(x + 3y)
e. ไม่มีข้อใดถูก
34.
a.
b.
c.
d.

ถ้ำ
0
1
2
3

35.
a.
b.
c.
d.

a
b
3

 2
x  1 2  x x  3x  2

ค่ำของ

16 2 yz 3  8 xy 3  4 xy
4 xy

ดังนั้น 2a – b มีค่ำเท่ำใด (แนวตร.49)

เท่ำกับเท่ำใด (แนวตร.49)

4xz 3 2 y 2  z
4xz 3 2 y 2  z
4xz 3 2 y 2  z
4xz 3 2 y2  z

36.


a.
b.


1
1
 2
x 1 x 1


2
1

2

c.
d.

x
x2 1

2
x
x2 1

1
1
2

e. 1
37.
ข้อใดต่อไปนี้ผิด (ทบ.50)
a. (997)(1003) = 99991
b. 3x 4 y  48x 2 y 3  3x 2 y( x  4 y)( x  4 y)
c. 2a 4b  4a 3b  30a 2b  2a 2b(a  5)(a  3)
d. 997  9  994000
e. 4x 4  64  4( x 2  4)( x  2)( x  2)
2

่




-89-

38.
กำหนด P( x 2  2x)  x 3  3x 2  5 โดยที่ x  0 จะได้ P(0) – P(3) มีค่ำเท่ำใด (ทบ.
50)
a. 4
b. 5
c. 6
d. -1
e. -2
39. จงพิจำรณำข้อต่อไปนี้ (ทบ.50)
ก. กำหนด x3  y3  ( Ax  By )(Cx2  Dxy  Ey 2 ) ดังนั้น A + B + C + D + E = 3
ข. กำหนด ( x  y) 3  Ax 3  Bx 2 y  Cxy 2  Dy3 ดังนั้น A + B = C + D
ค. กำหนด

y

2x  1
ดังนั้น x  y  1
x 1
y2

ดังนั้น ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
a. ก.เป็นจริงเพียงข้อเดียว
b. ข.เป็นจริงเพียงข้อเดียว
c. ค.เป็นจริงเพียงข้อเดียว
d. ก.และข.เป็นจริงสองข้อ
e. ก.และค.เป็นจริงสองข้อ
x

40.

กำหนด

(ทบ.50)
a. 0
b. 1
c. -1
d. 1
2
e.  1
2
41.
50)
a. 112
b. 118
c. 126
d. 135
e. 189

กำหนด x + y = 7 และ

x  x  x 1
3

2



A
Bx  C
 2
x 1 x 1

x 2  y 2  27

่

ดังนั้น ค่ำของ A + B + C เท่ำกับข้อใด

ดังนั้น ค่ำของ

x3  y3

เท่ำกับเท่ำใด (ทบ.



42.

กำหนด

a.
b.
c.
d.
e.
43.
a.
b.
c.
d.
44.
a.
b.
c.
d.
45.

x 4  7x 2  1  0


3
4
5
6
7

a.
b.
c.
d.
46.


-90x

1
x


m4

a.
b.
c.
d.
47.
a.
b.
c.
d.

ข้อใดเป็นตัวประกอบของ

2 x 3  x 2  8x  4

(ทร.50)

( x  2)(2 x  1)( x  2)
( x  2)(2 x  1)( x  1)
( x  2)(2 x  1)( x  2)
( x  2)(2 x  1)( x  2)

ถ้ำ ( 3x  5) 2  3(3x  5)  4 แล้ว ( 3x  5) 3  3 มีค่ำตรงกับ y ในข้อใด (ทร.50)
2y + 2 = 0
2y + 8 = 0
y 8  0
y  64  0

ถ้ำ

mx  2 x  m 2  4 แล้ว

m3  m  4
เหลือเศษเท่ำใด
x2

(ทร.50)

5m  4
13m  12

19m  20

พิจำรณำสมกำร

 x3  6 x 2  12 x  8  3 



 x 2  2
x2  x  6




จงหำค่ำ

2x
x4

(ทร.50)

0
1
2
3
0.5x 2  0.375x  0.875

แยกตัวประกอบได้เท่ำกับข้อใด (ทร.50)

1
(4 x  7)( x  1)
8
1
(4 x  7)( x  1)
8
1
(4 x  7)( x  1)
8
1
(4 x  7)( x  1)
8

่



48.
a.
b.
c.
d.
49.
a.
b.
c.
d.

8
9
10
108
ถ้ำ


-911
2

0
x x3

ค่ำของ

x  2 หำร x 3  5x 2  kx  8

x 99  9


ลงตัว แล้ว

k

มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด (ทร.50)

5
-5
10
-10

50.

ค่ำของ

 3 1


 3 1



2

มีค่ำตรงกับข้อใด (ทร.50)

a. 7  4 3
b. 2  3
c. 7  4 3
d. 7
51.

ถ้ำ

a. 2A = B
b. A  B2
c. A = B
d. A = 2B
e. A2  B
52.
ถ้ำ

1
1
1
8
Ax 4

 2
 4
 3
4 x  8 4 x  8 x  4 x  16 x  B

1
3  
 3
3x

x2

 1 
 
 27 

2y

1
 
 81 

2 y

 9

แล้ว

แล้วข้อใดสรุปได้ถูกต้อง(ทอ.50)

x 2  2 xy  y 2  3

มีค่ำเท่ำไร

(ทอ.50)
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
53.

คำตอบของสมกำร

x
8
2


x  1 x  1 1  x2

คือข้อใด (ตร.50)

a. 3 และ 6
b. 2 และ 5
่




-92-

c. 3 และ -6
d. 2 และ -5
54.
a.
b.
c.
d.

จงหำค่ำของ

b.
c.
d.
e.

ค่ำของ  2a



 5a  2  
1  a 2
a   2

a   2a  a
a3  a 



2


 เท่ำกับเท่ำใด(ทบ.51)



a 1
a
a2
a
a 1
a2
a2
a2
a3
a2

56.
a.
b.
c.
d.
e.
57.
a.
b.
c.
d.
e.

(ตร.50)

6 x 2  37 x  10
x2  4
6 x 2  37 x  10
x2  4
 6 x 2  37 x  10
x2  4
 6 x 2  37 x  10
x2  4

55.
a.

18 x  4  5 x 2  6 x  8 x 2  9 x  14 

 2

x 2  4  x 2  4x  4
x  4x  4 

ค่ำของ

x 2  4 x  12
x6
 3
2
x  5x  6
x  27

เท่ำกับเท่ำใด(ทบ.51)

x2  x  9
x 2  3x  9

x 2  6x  9
x 2  3x  9
x 2  6x  9

จงหำว่ำ

9 y 6  25 y 4  3 y  8

หำรด้วย 3 y  5 เหลือเศษเท่ำใด(ทบ.51)

1
2
3
4
5

่



58.
a.
b.
c.
d.
e.
59.
a.
b.
c.
d.
e.

ถ้ำ
7
6
5
6
2
3
4
3
1
3

c.
d.
61.

a x  ax  5

ค่ำของ

มีค่ำเท่ำใด(ทบ.51)

a 2 x  a 2 x เท่ำกับเท่ำใด(ทบ.51)

29
27
25
23
21
ค่ำของ

จริงที่

b.

x2  y2
x 4  2 x 2 y 2  x3 y  xy 3  y 4
 6 แล้ว
x4  2x2 y 2  y 4
xy


60.
a.


-93-

x2  y2  1

x

2

 y2

(ทร.51)



2





4 6
x  y6
3

 เท่ำกับข้อใด ถ้ำกำหนดให้ x และ y เป็นจำนวน

1
3
2

3


1
4

3

ถ้ำ

A
B
C
3x  1


 2
2
x  1 x  1 ( x  1)
( x  1)( x  1)

ข้อใดผิด (ทร.51)

a. A + B = 0
b. 2A – C = - 3
c. A + C = -1
d. -A + B – C = 1
62.
ให้ a เป็นจำนวนเต็ม ถ้ำ x – a หำร x  2x  5x  2 เหลือเศษ 4 แล้ว ผลบวก
ของค่ำ a ทั้งหมดที่สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่ำวมีค่ำเท่ำกับข้อใด (ทร.51)
a.  4
b.  2
c. 2
3

่

2




-94-

d. 4
63.
a.
b.
c.
d.

จงหำ
x 1
x2
x2
x 1
x3
x5
x5
x3

64.

ถ้ำ

x3  25 x
x3  6 x 2  5 x

x  2 x  15
x2  x  6
2

x 2  ( A  B) x  AB 

(ทร.51)



3 x 3  2 x 2  5x  6
3x  9

 โดยที่ Aและ B คือค่ำคงที่ จงหำ

3A+B (ทร.51)
a. 1
b. 5
c. 6
d. 9
( x  1) 4
ได้ผลลัพธ์เท่ำไร
x2
x 3  2 x 2  2 x เหลือเศษ -1

65.

และเหลือเศษเท่ำไร (ทร.51)

a. ผลลัพธ์
b. ผลลัพธ์ x 3  2 x 2  2 x เหลือเศษ -1
c. ผลลัพธ์ x 3  2 x 2  2x เหลือเศษ 1
d. ผลลัพธ์ x 3  2 x 2  2 x เหลือเศษ 1
66.
ถ้ำตัวประกอบหนึ่ง x  5x  6x  8 คือ x  x  2 แล้ว จงหำว่ำตัวประกอบอีก
ตัวหนึ่งของ x  5x  6x  8 นี้ตรงกับตัวประกอบหนึ่งข้อใด (ทร.51)
a. x  x  12
b. x  7 x  12
c. x  3x  2
d. x  4x  3
67.
พหุนำมข้อใดที่หำรด้วย x – 2 ได้ผลลัพธ์เป็น x  12x  33 เศษ 68 (ทร.51)
a. x  10x  9x  2
b. x  10x  9x  2
c. x  10x  9x  2
d. x  10x  9x  2
68.
ถ้ำหำรพหุนำม Ax  Bx  Cx  D ด้วย 2x  5x  3 จะได้ผลลัพธ์เป็น 2x  1
เหลือเศษ 3x  2 จงหำค่ำของ A + B + C + D (ตร.51)
a. 21
3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

่

2




-95-

b. 15
c. 12
d. 5
69.
กระดำษรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อนำมำตัดมุมทั้งสี่ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้ำนยำว x
+ 1 หน่วย และนำมำพับขอบให้เป็นกล่องทรงสี่เหลี่ยมมุมฉำกจะมีปริมำตร 9x  3x  8x  4
ลูกบำศก์หน่วยจงหำว่ำกระดำษแผ่นนี้ก่อนตัดมุมทั้งสี่มีด้ำนยำวด้ำนละกี่หน่วย (ตร.51)
a. 3x – 2
b. 4x – 1
c. 3x + 2
d. 4x + 1
3

70.

ถ้ำ

1
1
( x 2  ) 2  ( x 2  ) 2  12
x
x

แล้ว

x2 

3
 1 เท่ำกับข้อใด
x

2

(ตร.51)

a. – 9
b. 1
c. 9
d. 11
71.
ตะกั่วรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉำกกว้ำง 4x  4x หน่วย ยำว 6x  6x หน่วย
สูง 8x  8 หน่วย เมื่อนำตะกั่วมำหลอมทำเป็นลูกบำศก์เล็กๆที่มีควำมยำวแต่ละด้ำนเป็น 2x
หน่วยจะได้ลูกบำศก์ทั้งหมดกี่ลูก (ตร.51)
a. 16 ลูก
b. 24 ลูก
c. 32 ลูก
d. 48 ลูก
2

72.

จงหำผลคูณของ

 x 2  11x  24

 x 2  2 x  35


3

  x 2  11x  28 


  x 2  4 x  32 



2

2

 2x

(ตร.51)

a. 0
b. 1
c.
d.

 x 5


 x  3
 x  3


 x 5

73.
ถ้ำ
(ทร.52)
a. 4 y 3 ( y 2  1)

x 3  4 x 2 y  4 xy 2  y 3

หำรด้วย

่

x 2  xy  y 2

เหลือเศษ A จงหำ

A2  2 A



b.
c.
d.

-96-


4y9  2y3

2 y 3 ( y 3  2)
4 y 3 ( y 3  1)

่


a 2 ab b 2


3
4
3

74.


-97-

และ ab (ทร.52)
a. 4 : 5
b. 5 : 6
c. 6 : 7
d. 7 : 8
75.
กำหนด
เท่ำใด (ทร.52)
a. 56 , -1
b. 72 , 0
c. 63 , -1
d. 99 , -1


1
a b

2 3

จงหำอัตรำส่วนระหว่ำงสัมประสิทธิ์ของเทอม

a 2b

2

76.

(2 a  1)  2 2 a  1  3  0

ค่ำของ x

( x 2  x  2) x 3  2 x 2
 2
x 2  4x  3
x 9

2

ถำมว่ำ

(2 a  1)(2 a  1)

มีค่ำ

ตรงกับข้อใค (ทร.52)

a. x+1
b. x-3
c. x-2
d. x+2
77.
กำหนดให้ 2x  cx  1 เป็นตัวประกอบหนึ่ง และ x=1 เป็นคำตอบหนึ่งของพหุ
นำม 6x  ax  bx  2 แล้วค่ำของ a  b  2c คือข้อใด(ทร.52)
a. -4
b. -2
c. 2
d. 4
78.
ต้องกำรตัดกระดำษรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีควำมยำวด้ำนเท่ำกับ 2x  x  1 นิ้ว ให้
เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ำขนำด 2x  x  1 ตำรำงนิ้ว ถำมว่ำจะได้กระดำษเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ำขนำด
ดังกล่ำวได้ทั้งหมดกี่ชิ้น(ทร.52)
a. (2x 2  3x  5) ชิ้น
b. (2x 2  13x  11) ชิ้น
2

3

2

2

2

c.
d.

3
(2 x 2  x  )
2
2(5x  3) ชิ้น

ชิ้น

่



79.
a.


-98-


1
 2 x  9 x 2  A 2  ( Bx  C ) 2
9

ค่ำของ ABC คือข้อใด(ทร.52)

3
2



b.  32
c.  1
d.
80.

3
1

2

ให้

a

เป็นสัมประสิทธิ์ของ

(3x 3  2 x 2  10 x  4) จงหำค่ำของ

a. 6
b. 6 1

x 4 จำกผลคูณของ (7 x 3  3x 2  18x  5) และ

2 a  2 4  2 a2  2 a a  1
(ทร.52)

2
2 ( a 3)  16

2

c. 7
d. 7 1
81.
a.
b.
c.
d.
e.
82.
a.
b.
c.
d.
e.
83.
a.
b.
c.
d.
e.

2
X 4  9X 2  14


X2  X  4

เหลือเศษเท่ำใด (ทบ.52)

-2
-1
0
1
2
ถ้ำ

(a  7)(a  8)  9

แล้ว

a2  a  1


46
56
66
76
86
ค่ำของ (999,999) 2 มีค่ำเท่ำกับเท่ำไร (ทบ.52)
999,999,989,991
999,999,979,991
999,999,000,001
999,998,000,001
999,997,000,001

่



84.

จำกสมกำร

a.



c.

2X  2 6X 2  2X 3X  6


X 1
3X  1
X2

แล้ว X มีค่ำเท่ำใด (ทบ.52)

1
2

b.


-99-

3
2

1
2

d. 1
e.

2
3

85.
a.
b.
c.
d.
e.

กำหนดสมกำร

1 m3
m3


6 3m  6 2m  4


1

  4
m


2

(ตร.52)

0
1
4
9

่



-100-


สมการและการแก้สมการ
สมการกาลังสอง
บทนิยาม 16

สมกำรกำลังสอง (Quadratic Equation) ที่มีตัวแปรเดียว หมำยถึง สมกำรที่อยู่ในรูป
ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงโดยที่ a  0

จำกบทนิยำม 16 จำนวนจริง b และ c อำจจะมีตัวใดตัวหนึ่งหรือทั้งสองตัวเป็นศูนย์ได้ แต่ a 
0 ตัวอย่ำงของสมกำรกำลังสอง ได้แก่
x2 + 5x + 6 = 0
x2 + x = 6
สำมำรถเขียนในรูป
=0
2
12x + 9 = 56x
=0
x2 - 4x + 7 = 2
=0
2x2 = 72
= 0 เป็นต้น
การแก้สมการกาลังสองโดยการแยกตัวประกอบ
กำรแก้สมกำรกำลังสองโดยกำรแยกตัวประกอบ ต้องอำศัยสมบัติของจำนวนจริงโดยใช้ทฤษฎีบท
14.5 ที่กล่ำวว่ำ
ทฤษฎีบท 14.5 เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ ถ้ำ ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
กำหนดสมกำรกำลังสอง ax2 + bx + c = 0
...(1)
ขั้นตอนวิธีกำรแก้สมกำรนี้เพื่อหำคำตอบโดยใช้วิธีกำรแยกตัวประกอบมีดังนี้
ขั้นที่ 1 : แยกตัวประกอบของพหุนำม ax2 + bx + c สมมติให้
ax2 + bx + c =
(px + q)(rx + s)
…(2)
เมื่อ p, q, r และ s เป็นค่ำคงตัว p  0 และ r  0
ขั้นที่ 2 : ใช้ทฤษฎีบท 14.5 จะได้ว่ำ
px + q = 0 หรือ rx + s = 0
ขั้นที่ 3 : แก้สมกำร px + q = 0 หรือ rx + s = 0 จะได้
q
r
x = -p
หรือ x = - s
q r
ดังนั้น คำตอบของสมกำร (1) คือ {- p , - s }
ตัวอย่าง 16.1 จงแก้สมกำร (2x + 4)(x – 5) = 0
วิธีทา

่



ตัวอย่าง 16.2
วิธีทา

วิธีทา

วิธีทา

วิธีทา

วิธีทา

-101-


ดังนั้น คำตอบของสมกำร คือ
จงแก้สมกำร x2 + 8x + 15 = 0

จงแก้สมกำร x2 - 14x + 24 = 0

จงแก้สมกำร x2 + 5x = 24

จงแก้สมกำร x2 – 4x + 3 = 0

จงแก้สมกำร 3x2 + x – 3 = 0

่



-102-


สูตรผลต่างของกาลังสอง a2 + b2 =
ตัวอย่าง 16.7 จงแก้สมกำร x2 – 16 = 0
วิธีทา

วิธีทา

วิธีทา

จงแก้สมกำร 36x2 – 81 = 0

จงแก้สมกำร x2 –12 = 0

สูตรกาลังสอง

กำหนดสมกำร ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a  0 หำคำตอบของสมกำรได้จำกสูตร

-b  b 2 - 4 ac
x=
2a
ตัวอย่าง 16.10 จงแก้สมกำร 4x2 - 2x – 3 = 0
วิธีทา
ในที่นี้ a, b, c มีค่ำเท่ำกับ

่




-103-

ตัวอย่าง 16.11 จงแก้สมกำร 4x2 - 2x – 3 = 0
วิธีทา
ในที่นี้ a, b, c มีค่ำเท่ำกับ


1. กำหนด

1
x  2 : 2 x  4  1 : 2
2


3

x 2  6x


1) -6
2) -4
3) -2
4) 0
5) 2
2. พ่อค้ำซื้อดินสอมำโหลละ 132 บำท จำนวน 12 โหล แล้วมำเร่ขำย 5 แท่ง 60 บำท ถ้ำดินสอ
หำยไป 14 แท่ง เมื่อขำยหมดเขำจะได้กำไรหรือขำดทุนเท่ำใด (ทบ.49)
1) กำไร 12 บำท
่



-104-


3) ขำดทุน 12 บำท
5) เท่ำทุน
3. ในแต่ละวัน รักชำติจะขำยขำไข่ไก่ได้วันละ 1,000 ฟอง ฟองละ 3 บำท แต่วันนี้พอรักชำติขำยไป
ได้ 700 ฟอง รักชำติก็ลดรำคำขำยลงเหลือฟองละ 2 บำท และมีไข่ไก่บำงฟองที่แตก จึงต้องทิ้งไป
หลักจำกขำยไข่ไก่จนหมดพบว่ำรำยรับของรักชำติในวันนี้ น้องลงไป 13% ถำมว่ำจำนวนไข่ไก่ที่แตก
มีกี่ฟอง (ทร.49)
1) 15
2) 30
3) 45
4) 90
4. ร.ท. นำวิน ขับรถออกจำกบ้ำนด้วยควำมเร็ว 40 กม. / ชม. ต่อมำอีก 2 ชั่วโมง ร.อ. กสิณ จึงขับ
รถออกจำกบ้ำนหลังเดียวกันด้วยควำมเร็ว 50 กม. / ชม. อยำกทรำบว่ำ ร.อ. กสิณ จะใช้เวลำเท่ำใด
จึงจะแซงหน้ำ ร.ท. นำวิน เป็นระยะทำง 10 กม. (ทร.49)
1) 7 ชม.
2) 8 ชม.
3) 9 ชม.
4) ชม.
5. ถ้ำ

3x  1 x  3

3
2
3

แล้ว ค่ำของ 3x  12 มีค่ำเท่ำใด(ทอ.(ช้ำงเผือก)49)

1) 9
2) 16
3) 25
4) 49
5) 64
6. ในกระปุกออมสินใบหนึ่งมีเหรียญ 3 ชนิด โดยมีเหรียญห้ำบำทมำกกว่ำเหรียญสิบบำทอยู่ 32
เหรียญ และมีเหรียญบำทมำกกว่ำเหรียญห้ำบำทอยู่ 41 เหรียญ ถ้ำในกระปุกมีเงินทั้งสิ้น 457
บำท จงหำว่ำในกระปุกออมสินมีเหรียญสิบบำทอยู่กี่เหรียญ(ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1) 10
2) 12
3) 13
4) 14
5) 16
่



-105-


7. ร.ท. สมภูมิ มีดินสอมำกเป็น 4 เท่ำของจำนวนยำงลบ และมำกกว่ำปำกกำอยู่ 5 ด้ำม และเขำ
ยังมีไม้บรรทัดจำนวนเป็นกำลังสองของยำงลบ หำกเขำมีสิ่งของทั้ง 4 ชนิดนี้เป็นจำนวนรวม 215
ชิ้น จงหำผลต่ำงระหว่ำงจำนวนปำกกำกับไม้บรรทัด(ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1) 65
2) 77
3) 82
4) 101
5) ไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง
8. พ่อค้ำซื้อผ้ำมำด้วยจำนวนเงิน 75 บำท เขำเก็บผ้ำไว้ 4 เมตร แล้วขำยผ้ำที่เหลือไปด้วยรำคำเกิน
ต้นทุนเมตรละ 1 บำท ปรำกฏว่ำเขำได้เงินมำกกว่ำต้นทุนที่ลงไปทั้งสิ้น 9 บำท เขำซื้อผ้ำมำกี่
เมตร(ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1) 20 เมตร
2) 22 เมตร
3) 23 เมตร
4) 24 เมตร
5) 25 เมตร

9. จำนวนนับ 3 จำนวนมีอัตรำส่วน 2 : 3 : 4 ผลบวกของกำลังสองของเลขทั้งสำมจำนวนเป็น
16,704 ผลบวกของเลขทั้งสำมจำนวนเป็นเท่ำใด (ทอ.49)
1) 216
2) 225
3) 207
4) 234
5) 243

่



-106-


10. นนอ.ฉลำด และ นนอ.เฉลียว ปัจจุบันเป็น นนอ. ชั้นปีที่ 4 นนอ.ฉลำดอำยุมำกกว่ำ นนอ.เฉลียว
3 ปี เมื่อ 3 ปีที่แล้วตอนอยู่ชั้นปีที่ 1
อยู่
1)
2)
3)
4)
5)

ของอำยุ นนอ.ฉลำดจะมำกกว่ำ

ของ นนอ.เฉลียว

3 ปี ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง (ทอ.49)
ค่ำเฉลี่ยเลขคณิตของอำยุทั้ง 2 คน ในปัจจุบันคือ 22.5 ปี
ตอนอยู่ปี 2 นนอ.เฉลียวอำยุน้อยกว่ำ นนอ.ฉลำดอยู่ 3 ปี
อีก 8 ปีข้ำงหน้ำ อำยุ นนอ.ฉลำดจะมำกกว่ำอำยุเฉลี่ยทั้ง 2 คนในปัจจุบันอยู่ 10.5 ปี
อีก 10 ปีข้ำงหน้ำ อำยุ นนอ.เฉลียวจะมำกกว่ำอำยุเฉลี่ยทั้ง 2 คนตอนอยู่ปี 1 อยู่ 11.5 ปี
ค่ำเฉลี่ยเลขคณิตอำยุทั้ง 2 คน ตอนอยู่ชั้นปีที่ 3 น้อยกว่ำอำยุ นนอ.ฉลำดปัจจุบัน 2.5 ปี

11. กองทัพอำกำศวำงแผนจะทำกำรปรับปรุงเครื่องบิน F-16 โดยตั้งงบประมำณไว้ว่ำ ถ้ำใช้
งบประมำณปรับปรุง F-16 เครื่องละ 8 ล้ำนบำท งบประมำณจะขำดไป 10 ล้ำนบำท แต่ถ้ำใช้
งบประมำณปรับปรุงเครื่องละ 4.5 ล้ำนบำท จะมีงบเหลือ 25 ล้ำนบำท ถำมว่ำจะต้องใช้งบเท่ำใด
ในกำรปรับปรุง F-16 จึงจะพอดีกับงบประมำณที่ได้มำ (ทอ.49)
1) 5.5 ล้ำนบำท / เครื่อง
2) 6 ล้ำนบำท / เครื่อง
4) 7 ล้ำนบำท / เครื่อง

่



-107-


12. รถไฟขบวนหนึ่งยำว 150 เมตร แล่นด้วยควำมเร็ว 60 กิโลเมตร/ชั่วโมง สวนกับขบวนรถสินค้ำ
ยำว 200 เมตร แล่นด้วยควำมเร็ว 40 กิโลเมตร/ชั่วโมง รถทั้งสองขบวนจะผ่ำนพ้นกันในกี่วินำที
(แนวตร.49)
1) 12.6
2) 13.2
3) 14.5
4) 15.2

13. แบ่ง 77 ออกเป็น 2 จำนวน ให้จำนวนหนึ่งหำรด้วย 8 เหลือเศษ 7 อีกจำนวนหำรด้วย 3 เหลือเศษ 2
หำกจำนวนที่แบ่งทั้งสอง มีผลต่ำงน้อยที่สุดแล้วจงหำผลคูณของทั้งสองจำนวนนี้(แนวตร.49)
1) 882
2) 930
3) 1,482
4) 1,560

14. แก้วใบหนึ่งมีน้ำ 2/3 ของแก้ว เมื่อเทน้ำเชื่อมปริมำณ 1/4 ของน้ำที่มีอยู่ผสมกับน้ำในแก้วจะ
ทำให้ ของเหลวในแก้วมีปริมำตรเป็น 120 cc แก้วใบนี้บรรจุของเหลวได้กี่ cc (แนวตร.49)
1) 140
2) 144
3) 150
4) 155

15. ผลรวมของจำนวนเต็ม 7 จำนวน เรียงกันมีค่ำเท่ำกับ 364 จงหำจำนวนหนึ่งที่มำกที่สุดในจำนวน
เต็มที่เรียงกัน 7 ตัวนี้ (แนวตร.49)
1) 48
2) 49
3) 52
4) 55
่



-108-


16. เมื่อ 10 ปีก่อน พ่อมีอำยุเป็น 2 เท่ำของลูก โดยที่ผลรวมของอำยุของพ่อและลูกในขณะนั้น เป็น
เพียงสำมในสี่ของผลรวมของอำยุของบุคคลทั้งสองในขณะนี้ ขณะนี้ลูกมีอำยุเท่ำใด (แนวตร.49)
1) 24 ปี
2) 26 ปี
3) 28 ปี
4) 30 ปี

17. ถ้ำมุมหนึ่งของรูปสำมเหลี่ยมเป็น 3 เท่ำของมุมที่สอง และมุมที่สำมมำกกว่ำมุมที่สองอยู่ 20
องศำ มุมที่สองจะเท่ำกับกี่องศำ (แนวตร.49)
1) 18
2) 24
3) 32
4) 36
18. นำเงิน 70 บำทไปซื้อแสตมป์ดวงละ 1 บำท 3 บำท และ 5 บำท ได้จำนวน 28 ดวง ถ้ำแสตมป์ดวง
ละ 1 บำทมีจำนวนเป็น 2 เท่ำของแสตมป์ดวงละ 3 บำท จะซื้อแสตมป์ดวงละ 1 บำทไม้มำกว่ำ
แสตมป์ ดวงละ 5 บำทกี่ดวง (ทบ.50)
1) 1
2) 3
3) 4
4) 6
5) 7
19. รถยนต์ 2 คันมีอัตรำเร็วเฉลี่ยเป็นอัตรำส่วน 5 : 6 ถ้ำคันที่เร็วกว่ำแล่นได้ระยะทำง 180 กิโลเมตร
เสียเวลำน้อยกว่ำคันช้ำซึ่งแล่นได้ระยะทำง 200 กิโลเมตร อยู่ 50 นำที รถคันเร็วมีอัตรำเร็ว
มำกกว่ำรถคันช้ำกี่กิโลเมตรต่อชั่วโมง (ทบ.50)
1) 8
2) 9
3) 10
4) 11
5) 12

่




-109-

20. ชำยคนหนึ่งขับรถจำกเมือง A ไปเมือง B เป็นระยะทำง 400 กม. ใช้เวลำทั้งสิ้น 9 ชม. โดยก่อน
เวลำเที่ยงเขำใช้ควำมเร็ว50 กม./ชม. และหลังเที่ยงใช้ควำมเร็ว 40 กม./ชม. เขำเริ่มขับรถยนต์เวลำ
1) 6.00 น.
2) 7.00 น
3) 8.00 น.
4) 9.00 น.
21. เลข 2 จำนวนมีค่ำต่ำงกันอยู่ 50 จงหำค่ำของเลข 2 จำนวนนี้ ถ้ำผลคูณของเลข 2 จำนวนนี้มีค่ำต่ำ
ที่สุด (ทร.50)
1) -25,25
2) -20,30
3) -10,40
4) -5,45
22. นำวีขับรถจำกกรุงเทพฯไปเชียงใหม่ ช่วงกรุงเทพฯ-พิษณุโลก เขำขับด้วยควำมเร็ว 100 กม./ชม.
ส่วนช่วงพิษณุโลก-เชียงใหม่ เขำขับด้วยควำมเร็ว 120 กม/ชม. ถ้ำระยะทำงจำกกรุงเทพฯ-เชียงใหม่
เท่ำกับ 764 กม. และเขำใช้เวลำเดินทำงทั้งหมด 7 ชม. จงหำระยะทำงช่วง กรุงเทพฯ-พิษณุโลก
(ทร.50)
1) 360 กม.
2) 370 กม.
3) 380 กม.
4) 390 กม.
23. สำมเหลี่ยมมุมฉำกรูปหนึ่ง มีผลบวกของด้ำนประกอบมุมฉำกยำวรวมกัน 28 ซม. ถ้ำด้ำนที่ยำวที่สุด
ของสำมเหลี่ยมนี้คือ 20 ซม. จงหำกำลังสองของผลบวกของด้ำนที่ยำวที่สุด กับด้ำนที่สั้นที่สุด (ทร.
50)
1) 784 ซม.
2) 1,024 ซม.
3) 1,156 ซม.
4) 1,296 ซม.
24. เมื่อ 5 ปีที่แล้วสมทรงอำยุมำกกว่ำสมศักดิ์ 3 ปี ปัจจุบันสมศักดิ์มีอำยุ 2 เท่ำของอำยุสมชำยถ้ำ
3

สมชำยอำยุปัจจุบัน 18 ปีแล้ว ปัจจุบันนี้อำยุของสมทรงและสมศักดิ์รวมกันได้กี่ปี (ทร.50)
1) 27 ปี
2) 30 ปี
่



25.

26.

27.

28.

-110-


3) 32 ปี
4) 33 ปี
จำนวนคี่สำมจำนวนที่เรียงต่อกัน ถ้ำนำมำบวกทีละคู่จะได้ผลบวกน้อยที่สุดคือ 36 จงหำผลรวมของ
จำนวนทั้งสำม (ทร.50)
1) 55
2) 57
3) 59
4) 61
บริษัทรถไฟฟ้ำมหำนครประกำศลดรำคำค่ำตั๋วโดยสำรรถไฟฟ้ำใต้ดินลงเที่ยวละ10 บำท หำกซื้อแบบ
เหมำรวม (30 เที่ยวขึ้นไป) แทนที่จะซื้อทีละใบในแต่ละเที่ยว นำยนำวีพบหำกเขำนำเงิน 1,800
บำทไปซื้อตั๋วแบบเหมำรวมจะทำให้เขำสำมำรถใช้บริกำรรถไฟฟ้ำใต้ดินได้มำกขึ้นอีก 30 เที่ยวเมื่อ
เทียบกับกำรซื้อรำคำเต็มทีละใบ อยำกทรำบว่ำตั๋วรำคำเต็มมีรำคำใบละเท่ำใด (ทร.50)
1) 20 บำท
2) 30 บำท
3) 35 บำท
4) 40 บำท
ถ้ำ x  4  9 แล้ว x มีค่ำเท่ำใด (ทร.50)
1) 5 หรือ 13
2) -5 หรือ -13
3) 5 หรือ -13
4) -5 หรือ 13
เลขจำนวนเต็มบวกสี่ตัว เรียงจำกน้อยไปมำก ตัวที่สองมีค่ำเป็นสองเท่ำของตัวที่หนึ่ง ตัวที่สี่มีค่ำ
เป็นสำมเท่ำของตัวที่สำม ผลคูณของตัวที่สองกับตัวที่สี่มีค่ำมำกกว่ำผลคูณของตัวที่หนึ่งกับตัวที่สำม
อยู่ 600 ถ้ำตัวที่หนึ่งมีค่ำน้อยกว่ำตัวที่สำมอยู่ 14 จงหำผลต่ำงของตัวที่สำมกับตัวที่สอง(ทอ.50)
1)
2)
3)
4)
5)

6
7
9
10
854

29. เคลื่อนย้ำยกำลังทหำรไปยังจุดหมำยที่ห่ำงจำกที่ตั้ง 120 กิโลเมตร โดยมีคำสั่งให้ไปถึงจุหมำยเร็ว
ขึ้นกว่ำปกติ 10 นำที ทำให้กองกำลังนี้ใช้ควำมเร็วในกำรเดินทำงเร็วขึ้นกว่ำปกติอีก 3 กิโลเมตร/
ชั่วโมง จงหำว่ำกองกำลังนี้ใช้ควำมเร็วในกำรเดินทำงเพิ่มขึ้นเป็นกี่กิโลเมตรต่อชั่วโมง(ทอ.50)
1) 54
่



2)
3)
4)
5)


-111-

51
48
45
84

30. พ่อมีอำยุมำกกว่ำลูก 36ปีอีก 12 ปีข้ำงหน้ำลูกจะมีอำยุเป็น 2 เท่ำของอำยุพ่อจงหำอำยุปัจจุบันของ
5

31.

32.

33.

34.

ลูก(ตร.50)
1) 10 ปี
2) 12 ปี
3) 14 ปี
4) 15 ปี
ถ้ำด้ำนหนึ่งของรูปสำมเหลี่ยมยำวเป็นหนึ่งในสำมของควำมยำวรอบรูป ด้ำนที่สองยำว 10.5
เซนติเมตร และด้ำนที่สำมยำวเป็นหนึ่งในสี่ของควำมยำวรอบรูป จงหำผลต่ำงระหว่ำงด้ำนที่ยำว
ที่สุดกับด้ำนที่สั้นที่สุดของสำมเหลี่ยมรูปนี้จะเท่ำกับกี่เซนติเมตร (ตร.50)
1) 1.4
2) 4.2
3) 6.3
4) 8.1
กำหนด สมกำร 10  x  1  6  3 จงหำว่ำ x 3 1 เท่ำกับเท่ำใด(ทบ.51)
1) -2
2) 0
3) 7
4) 26
5) 63
จำนวนคู่บวก 5 จำนวนเรียงกัน รวมกันได้ 240 จงหำว่ำจำนวนที่น้อยที่สุดมีค่ำเท่ำใด (ทบ.51)
1) 38
2) 40
3) 42
4) 44
5) 48
โอกับอำร์มมีเงินรวมกัน 500 บำท ถ้ำโอให้เงินอำร์มอีก 10 บำท โอจะมีเงินมำกกว่ำอำร์ม 10 บำท
จงหำว่ำเดิมโอมีเงินกี่บำท(ทบ.51)
1) 265
2) 270

่



-112-


3) 275
4) 280
5) 285
35. ถ้ำเปิดท่อน้ำ A และ B พร้อมกัน น้ำจะเต็มถังในเวลำ 12 นำที แต่ถ้ำเปิดเฉพำะท่อ A ก่อน 14 นำที
แล้วปิด จำกนั้นเปิดท่อ B อีก 6 นำที น้ำจะเต็มถังพอดี ถ้ำถังว่ำงเปล่ำและต้องกำรเปิดเฉพำะท่อ Aให้
น้ำเต็มถัง จะใช้เวลำนำนกี่นำที(ทบ.51)
1) 16
2) 18
3) 34
4) 26
5) 28
36. เด็กชำยรวีวิ่งจำกท้ำยขบวนรถไปถึงหัวขบวนในเวลำ 18 วินำที ถ้ำรถไฟขบวนนี้ยำว 100 เมตร และ
ควำมเร็ว 100 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เด็กชำยรวีนะอยู่ห่ำงจุดเริ่มต้นวิ่งกี่เมตร เมื่อวัดระยะบนพื้นดิน
(ทบ.51)
1) 500
2) 600
3) 700
4) 800
5) 900
37. กำรสำรวจอำยุของพี่-น้องคู่หนึ่งพบว่ำ พี่ชำยมีอำยุเป็น 4 เท่ำของน้องสำว แต่ถ้ำนำอำยุของ
น้องสำวยกกำลังสองจะมำกกว่ำอำยุของพี่ชำย 5 ปี อยำกทรำบว่ำพี่ชำยอำยุมำกกว่ำน้องสำวกี่ปี
(ทร.51)
1) 3 ปี
2) 6 ปี
3) 12 ปี
4) 15 ปี
38. รถไถนำคันหนึ่งไถนำแปลงหนึ่งได้เพียง

4
9

ของที่นำแปลงนี้ก็ใช้เวลำไปแล้ว 4 ชั่วโมง ปรำกฏว่ำ

เมื่อนำรถไถนำคันที่สองมำช่วยไถนำด้วยกันใช้เวลำอีกเพียง 2 ชั่วโมงก็ไถนำเสร็จทั้งแปลง อยำกทรำบ
ว่ำถ้ำใช้รถไถนำคันที่สองเพียงคันเดียวจะไถนำแปลงนี้เสร็จในกี่ชั่วโมง (ทร.51)
1) 6 ชั่วโมง
3) 2 1 2 ชั่วโมง
่



4)
5)

5
9

-113-


ชั่วโมง

่



-114-


39. ปัจจุบัน ปัญญำ มีอำยุน้อยกว่ำมำลีอยู่ 8 ปี อีก 12 ปีข้ำงหน้ำ อัตรำส่วนของอำยุปัญญำต่ออำยุ
ของมำลีเป็น 3 : 4 จงหำว่ำปัจจุบันทั้งสองคนมีอำยุรวมกันกี่ปี (ตร.51)
1) 12 ปี
2) 20 ปี
3) 32 ปี
4) 54 ปี
40. ในกำรเลือกตั้งตัวแทนพรรคเดโมแครต เพื่อลงชิงตำแหน่งประธำนำธิบดีของสหรัฐอเมริกำ ณ หน่วย
เลือกตั้งเล็ก ๆ แห่งหนึ่งซึ่งมีผู้สมัครสองคน ผลปรำกฏ นำยบำรัค โอบำมำ ได้คะแนนเสียงมำกกว่ำ
ครึ่งหนึ่งของคะแนนที่นำงฮิลลำรี่ คลินตันได้อยู่ 10 คะแนน โดยที่ผลคูณของคะแนนเสียงของ
ผู้สมัครทั้งสองน้อยกว่ำสองเท่ำของกำลังสองของคะแนนเสียง นำยโอบำมำอยู่ 360 อยำกทรำบว่ำมีผู้
มำใช้สิทธิ์ ณ หน่วยเลือกตั้งดังกล่ำวกี่คน (ทร.51)
1) 34 คน
2) 38 คน
3) 42 คน
4) 46 คน
41. ผลต่ำงกำลังสองของเลขคู่สองจำนวนเรียงกันเท่ำกับ 36 เลขจำนวนคู่ตัวแรกคือเลขใด (ทร.51)
1)
2)
3)
4)

8
9
12
14

42. มีเลขบวก 2 จำนวน ปรำกฏว่ำ 3 เท่ำของจำนวนน้อย ต่ำงจำก 52 อยู่เท่ำกับกำลังสองของจำนวน
มำกพอดี แต่ถ้ำนำค่ำกำลังสำมของผลบวกทั้งสองจำนวนมำรวมกับกำลังสำมของผลต่ำงของทั้งสอง
จำนวนนี้จะได้เท่ำกับ 520 จงหำว่ำเลขทั้งสองจำนวนนี้รวมกันได้เท่ำไร (ทร.52)
1)
2)
3)
4)

7
8
9
10

43. เอกทำแบบทดสอบวิชำคณิตศำสตร์ 50 ข้อ ถ้ำเขำทำถูกจะได้คะแนนข้อละ 5 คะแนน แต่ถ้ำทำผิดจะ
โดนหักคะแนนข้อละ 3 คะแนน หลังจำกที่เขำทำแบบทดสอบเสร็จผลจำกกำรตรวจได้คะแนนรวม
210 คะแนนจงหำว่ำเอกทำแบบทดสอบได้ถูกต้องกี่ข้อ (ทบ.52)
1)
2)
3)
4)

30
38
42
45

่



-115-


5) 47

44. นักจักรยำนคนหนึ่งขี่จักรยำนด้วยควำมเร็ว 20 กิโลเมตรต่อชั่วโมงจำก A ไป B เมื่อเขำขี่เลยครึ่งทำง
ไปได้ 2 กิโลมตร ก็พบกับนักจักรยำนอีกคนหนึ่งซึ่งขี่รถจำก B มำยัง A ด้วยควำมเร็ว 25 กิโลเมตรต่อ
ชั่วโมง และออกเดินทำงทีหลังนักจักรยำนคนแรก 1 ชั่วโมง จงหำว่ำระยะทำงระหว่ำง A กับ B
เท่ำกับกี่กิโลเมตร (ทบ.52)
1) 40
2) 50
3) 82
4) 145
5) 164
45. ในกำรวิ่งแข่งขันระยะทำง 100 เมตร ถ้ำ ก ต่อให้ ข 5 เมตร และต่อให้ ค 10 เมตร ทั้งสำมจะ
วิ่งถึงหลักชัยพร้อมกัน ถ้ำให้ ข กับ ค วิ่งแข่งกันในระยะทำง 190 เมตร ข จะชนะ ค กี่เมตร
(ทบ.52)
1) 5
2) 10
3) 15
4) 20
5) 25
46. พำทิศอ่ำนหนังสือได้วันละ 30 หน้ำ แต่ก่อนจะอ่ำนต่อเขำจะต้องอ่ำนทบทวนก่อน 5 หน้ำทุกครั้ง ถ้ำ
หนังสือเล่มนี้มี 500 หน้ำ พำทิศจะใช้เวลำอย่ำงน้อยกี่วันจึงจะอ่ำนจบเล่ม (ทบ.52)
1) 18
2) 19
3) 20
4) 21
5) 22
47. รถไฟขบวนหนึ่งแล่นด้วยควำมเร็วสม่ำเสมอตลอดระยะทำง 360 กิโลเมตร ถ้ำเพิ่มควำมเร็วชั่วโมง
ละ 10 กิโลเมตร จะใช้เวลำน้อยลง 30 นำที จงหำว่ำรถไฟขบวนนี้แล่นด้วยควำมเร็วกี่กิโลเมตรต่อ
ชั่วโมง (ทบ.52)
1) 75
2) 80
3) 85
4) 90
5) 95
่



-116-


48. เมื่อ 10 ปีที่แล้ว บิดำอำยุ 15 เท่ำของบุตร ปัจจุบันบิดำอำยุมำกกว่ำสำมเท่ำของบุตรอยู่ 4 ปี จงหำ
ว่ำบิดำแก่กว่ำบุตรกี่ปี (ทบ.52)
1) 7 ปี
2) 14 ปี
3) 21 ปี
4) 28 ปี
5) 35 ปี
49. นำงสำวไหมพิมพ์ เปิดร้ำนขำยผ้ำไทย โดยมีผ้ำไหม ผ้ำฝ้ำย และผ้ำชนิดอื่นๆ คิดเป็นอัตรำส่วน 3: 2:
1 ตำมลำดับ หลังจำกเปิดร้ำนไหมพิมพ์ ขำยผ้ำไหมไป 50 ผืน ผ้ำฝ้ำย 20 ผืน และพบว่ำจำนวนผ้ำ
ทั้งหมดที่เหลืออยู่มีไม่ถึงครึ่งหนึ่งของจำนวนเดิม จงหำว่ำเดิมไหมพิมพ์มีผ้ำทั้งหมดอย่ำงน้อยกี่ผืน (ตร.
52)
1) 96 ผืน
2) 102 ผืน
3) 108 ผืน
4) 114 ผืน
50. แดงและดำพักอยู่ด้วยกันขับรถออกจำกบ้ำนพักในเวลำพร้อมกัน แต่ขับไปในทิศทำงตรงข้ำมกัน ถ้ำ
อัตรำเร็วของรถแดง มำกกว่ำอัตรำเร็วของรถดำ 10 กม./ชม. เมื่อเวลำผ่ำนไป 2 ชม. รถทั้งสองคันอยู่
ห่ำงกัน 120 กม. ถ้ำที่ทำงำนของแดงอยู่ห่ำวจำกบ้ำนพัก 140 กม.แดงต้องใช้เวลำขับรถจำกบ้ำนพัก
ถึงที่ทำงำนกี่ชั่วโมง(ตร.52)
2) 3.5 ชั่วโมง
5)
51. นักเรียนโรงเรียนนำยร้อยตำรวจต้องกำรทำหนังสือที่ระลึก ประจำปี 52 จึงตกลงรำคำกับโรงพิมพ์
แห่งหนึ่ง โรงพิมพ์คิดค่ำใช้จ่ำยทั้งหมดเป็นผลรวมของค่ำเพลท ซึ่งต้องจ่ำยครั้งเดียวและค่ำจ้ำงพิมพ์
เป็นรำยเล่ม ปรำกฏว่ำถ้ำพิมพ์ 400 เล่ม จะเสียค่ำใช้จ่ำย 8,000 บำท ถ้ำพิมพ์ 800 เล่ม จะเสีย
ค่ำใช้จ่ำย 12,400 บำท ถ้ำต้องกำรพิมพ์ หนังสือ 1,200 เล่ม จะเสียค่ำใช้จ่ำยทั้งหมดในกำรพิมพ์กี่
บำท(ตร.52)
1) 16,800
2) 18,800
3) 20,000
4) 24,000
่



-117-


52. กำหนดให้ x 2 – 6x + 45 = ( x + a ) 2 + b 2 ค่ำของ a + b ตรงกับข้อใด (ทร.49)
1) 2
2) 3
3) 6
4) 9
53. ถ้ำ a และ b เป็นคำตอบของสมกำร x 2 -5x–2 = 0 แล้ว a  b มีค่ำตรงกับข้อใด (แนวตร.49)
1) -2
2) 5- 33
3) 2
4) 5 + 33
54. ถ้ำคำตอบของสมกำร x 2  ax  b  0 คือ 1 และ  6 ค่ำของ a เป็นเท่ำไร (ทร.50)
1) 4
2) 5
3) 6
4) 7
55. ถ้ำ a และ b เป็นคำตอบของสมกำร 3x 2  7 x  9  0 แล้ว จงหำค่ำของ a 3b  ab 3 (ทอ.50)
1)
2)
3)
4)
5)
56. จงหำ k ที่ทำให้ y = 8x + k ตัดกับ y = x 2 - 1 เพียงจุดเดียว(ทบ.51)
1) -17
2) -15
3) -13
4) 15
5) 17

่




-118-

57. ถ้ำ x เป็นผลบวกของคำตอบของสมกำร a 2  2a  3 และ y เป็นผลคูณของคำตอบของ
สมกำร b 2  3b  2 แล้ว x2  3xy  y มีค่ำเท่ำใด(ทบ.51)
1) -6
2) -4
3) -1
4) 3
5) 6
1
1
 1 x 2  12  1 x ข้อใดคือคำตอบที่ถูกต้อง
2
2
1) 1  33 , 1  33
2
2
2)  1  33 ,  1  33
2
2
3)  3  33 ,  3 33
2
2
4) 3  33 , 3  33
2
2
3
4
จงหำคำตอบของสมกำร
(ตร.50)

 2x  3
x5
1) - 3
11
2) - 3
5
3) - 11
27
27
4)
11

58. จำกสมกำร

59.

(ตร.51)

60. เลขจำนวนหนึ่งยกกำลังสอง ลบด้วยสำมเท่ำของเลขจำนวนนั้น แล้วแบ่งออกเป็น 2 ส่วน แต่ละส่วนมี
ค่ำเท่ำกับ 2 คำตอบของเลขจำนวนนั้นที่เป็นลบ คือข้อใด(ทร.52)
1) -1
2) -2
3) -4
4) -6
61. ข้อใดเป็นคำตอบของสมกำร x 2  36 A2  4B( x  B) เมื่อ A และ B เป็นค่ำคงที่(ทร.52)
1) 3A-B , 3A+2B
2) 2A+B , 2A-B
3) B+3A , B-3A
4) 2B+6A , 2B-6A
่



62. ถ้ำ a และ b เป็นคำตอบของสมกำร
1) -1
2) 6
3) 20
4) 25
5) 27
63. ถ้ำ

3X 2  X  K  0


-1196 X 2  5 X  91  0

และ a>b แล้ว 3a-2b มีค่ำเท่ำใด (ทบ.52)

เป็นสมกำรที่มีคำตอบเท่ำกับ a จงหำค่ำของ

1

1
a

(ทบ.52)

1) 7
2) 8
3) 9
4) 10
5) 11
64. ถ้ำสมกำร abx 2  ( a 2  b 2 ) x  ab  0 แล้วรำกของสมกำรคือข้อใด (ทบ.52)
1)
2)
3)
4)

b a
,
a b
b a
,
a b
b a
,
a b
b a
,
a
b

5) 0
65. จำกสมกำร  2a - 3  b2 + 2a - 3 c2 - 16 = 0 กำหนด x คือ ผลรวมของค่ำ a ที่สอดคล้องกับสมกำร
y คือ ผลรวมของค่ำ b ที่สอดคล้องกับสมกำร z คือ ผลรวมของค่ำ c ที่สอดคล้องกับสมกำร
ข้อสรุปใดต่อไปนี้ผด(ตร.52)
ิ
1) x + y + z < 0
2) xy < 0
3) yz > 0
4) x - y + z > 0
66. ข้อใดคือผลต่ำงของรำกสมกำร 8x  2x  18  0 (ตร.52)
2

1)

1
2

2) 1
3) 1 1
4)

2
1
2
2

่



-120-


จานวนและตัวเลข
1.
ผลบวกของจำนวนเลขฐำน 2 สองจำนวนคือ 1100111 + 1010101 มีค่ำเท่ำกับจำนวนเลขฐำน
8 ในข้อใด (ทบ.49)
1) 253
2) 262
3) 265
4) 270
5) 274
2.
มีแอปเปิลและส้มอยู่จำนวน 209 ผล และ 117 ผล ตำมลำดับ แบ่งแอปเปิลให้เด็กกลุ่มหนึ่งทุก
คนจะได้แอปเปิลเท่ำกันพอดี และเมื่อแบ่งส้มให้กับทุกคนเท่ำกัน ปรำกฏเหลือส้ม 3 ผล เด็กแต่ละคน
ได้รับแอปเปิลและส้มคนละกี่ผล(ทบ.49)
3.
ผลต่ำงของ ค.ร.น. และ ห.ร.ม. ของ 50,625 และ 14,400 มีค่ำเท่ำใด (ทร.49)
1) 45
2) 75
3) 105
4)
115
4.
กำหนด 243  422 1002  x จงหำค่ำ x (ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1. 152
2. 243
3. 354
4. 406
5. 526
5.
ดำวเทียม 3 ดวง ถูกยิงขึนไปสู่อวกำศพร้อมกัน ดวงที่หนึ่งใช้เวลำโคจรรอบโลกนำน 1.8 สัปดำห์
้
ดวงที่สองใช้เวลำโคจรรอบโลก 2.1 สัปดำห์ ดวงที่สำมใช้เวลำโคจรรอบโลก 3.8 สัปดำห์ อยำกทรำบว่ำ
หลังจำกปล่อยพร้อมกันแล้วนำนเท่ำใดดำวเทียมทั้งสำมจึงจะโคจรมำในแนวเดียวกันอีกครั้ง (ทอ.49)
1. 0.092 ปี 2. 4.600 ปี 3. 0.920 ปี 4. 0.460 ปี 5. 9.200 ปี
6.
ผลคูณของจำนวน2จำนวนเป็น 1701 a 3b 2 c และ ค.ร.น.ของจำนวนทั้งสองเป็น 567 a 2 bc
ค่ำของ ห.ร.ม.ของจำนวนทั้งสองเป็นเท่ำใด (แนวตร.49)
1) 9a 3b 2
2) 3ab
3) 3a 2bc
4) 1134 a 3b 2 c
7.
พิจำรณำจำนวนเลขฐำน 11110112  112213  13334 มีค่ำเท่ำใด (ทบ.50)
1) 117
2) 118
3) 119
4) 120
5) 121
8.
กำหนดจำนวน 111n  111112 ดังนั้น ค่ำของ n 2  1 มีค่ำเท่ำกับเลขฐำน 2 ในข้อใด (ทบ.50)
1) 10001
2) 10101 3) 10100
4) 11010
5) 100101
9.
เลขจำนวนที่มำกที่สุดที่หำร 279 และ 592 แล้วเหลือเศษ 6 และ 7 ตำมลำดับ คืออะไร (ทร.
50)
1) 39
2) 40
3) 67
4) 79
4

3

6

3

7

่




-121-

10. ไม้อัดรูปสี่เหลี่ยมมุมฉำก กว้ำง 0.72 เมตร และยำว 0.84 เมตร ถ้ำต้องกำรตัดไม้อัดนี้เป็นรูป
สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนำดเท่ำ ๆ กัน ให้มีพื้นที่มำกที่สุด จะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสกี่รูป (ทร.50)
1) 12
2) 24
3) 42
4) 54
11. ในระบบเลขฐำน กำหนดให้ 220  130  110 แล้วค่ำของ x  y เท่ำกับข้อใด(ทอ.50)
1. y + 2
2. 0
3. 1
4. 2y
5. 2y + 1
12. ถ้ำให้ m และ n เป็น ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ a และ b แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง (ตร.50)
1) n x ( a x b ) = m
2) a x b = m x n
3) a x m = b x n 4) m x( a x b )=n
13. กำหนดให้จำนวน 15, 60 และ e ให้ ถ้ำ 15 เป็น ห.ร.ม. ของจำนวนทั้ง 3 และ 60 เป็น ค.ร.น.
ของจำนวนทั้ง 3 e มีค่ำเท่ำไร (ตร.50)
1) 90
2) 15
3) 30
4) 60
2

x

x

2

y

14.

ในระบบเลขฐำน ถ้ำ 10101010102  10011110002  n10 แล้ว n มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด (ทบ.51)
1) 46
2) 48
3) 50
4) 52
5) 54
15. รถโดยสำร 2 คันใช้เวลำรับส่งผู้โดยสำรแต่ละรอบ (คิดเวลำทั้งเที่ยงไปและกลับ) เท่ำกับ 1 ชั่วโมง
และ 1 ชั่วโมง 12 นำที ตำมลำดับ ถ้ำรถทั้งสองคันนี้ออกจำกจุดเริ่มต้นเดียวกันเวลำ 07.45 น. เวลำใดที่
รถทั้งสองคันจะกลับมำที่จุดเริ่มต้นพร้อมกัน (ทบ.51)
1) 13.45 น.
2) 13.50 น.
3) 13.55 น.
4) 14.00 น.
5) 14.05 น.
16. นินจำมีเงิน 4728 บำท ถ้ำนำจำมีเงิน 40315 บำท ถ้ำเขำคนต้องกำรรวมเงินกันซื้อรถบังคับวิทยุ
รำคำ 80010 บำท จะมีเงินเหลืออยู่กี่บำท (ทบ.51)
1) 2810
2) 112 5
3) 222 3
4) 132 4
5) 111112
17. ห.ร.ม. และ ค.ร.น.ของจำนวนบวกสองจำนวน คือ 15 และ 725 ตำมลำดับ ถ้ำจำนวนแรก
คือ 29  3  5 แล้ว จำนวนที่สองจะอยู่ในข้อใด(ทบ.51)
1) 3  7  5 2) 3 5
3) 7  5
4) 5 5
5) 3 7
18. ถ้ำ a เป็นจำนวนน้อยที่สุดซึ่งเมื่อนำ 8, 9, 10, 12 ไปหำรจะเหลือเศษ 3 เสมอแล้ว จงหำ 3a
(ทร.51)
1) 33
2) 36
3) 38
4) 43
19. มีเชือกอยู่ 3 เส้น มีควำมยำว 80 เซนติเมตร 64 เซนติเมตร และ 40 เซนติเมตร ตำมลำดับ
ต้องกำรตัดเชือกเป็นท่อน ๆ ให้ยำวเท่ำ ๆ กัน จะได้เชือกยำวที่สุดเท่ำใด และได้เชือกกี่เส้น (ทร.51)

่



20.


-122-

ถังน้ำใบหนึ่งมีน้ำอยู่ 3 ถัง หลังจำกใช้น้ำไป 1000112 ลูกบำศก์เมตรเหลือน้ำอยู่
4

1
2

ถัง ถังใบนี้จุ

น้ำกี่ลูกบำศก์เมตร (ตร.51)
1. 35 ลูกบำศก์เมตร 2. 70 ลูกบำศก์เมตร 3. 105ลูกบำศก์เมตร
4. 140ลูกบำศก์
เมตร
21. จงหำ ห.ร.ม. ของ 4x2  4( x2  3x)  ( x  3)2 กับ x  3x  9x  27 (ตร.51)
1. x + 3
2. x – 3
3. (x + 3) 2
4. ( x – 3) 2
3

22.

0.72 ,

15
7
,2
16
8

2

มี ค.ร.น. เป็นที่เท่ำของ ห.ร.ม. (ทร.52)

1) 34500
2) 467
3) 321
4) 690
22. ผู้บริจำคสิ่งของให้โรงเรียนต่ำงๆมีหนังสือ 670 เล่ม มีสมุด 404 เล่ม มีดินสอ 1,145 แท่ง เขำ
ต้องกำรบริจำคให้โรงเรียนละเท่ำๆกันให้ได้จำนวนมำกที่สุด โดยสิ่งของทุกชนิดจะเก็บไว้เป็นตัวอย่ำง
ในปีหน้ำอย่ำงละ 5 ชิ้น จงหำว่ำเขำจะนำไปบริจำคได้กี่โรงเรียน (ทร.52)
1) 19 โรงเรียน 2) 21 โรงเรียน
23. เลข 5 ใน 5432 6 กับเลข 5 ใน 452318 มีค่ำต่ำงกันเท่ำไร (ทบ.52)
1) 480
2) 760
3) 1080
4) 1240
5)
1480
24. ห.ร.ม. ของ 2X 2  4XY X 3  4XY 2 และ X 2  4X 2 Y  4XY 2 เป็นเท่ำใด (ทบ.
52)
1) x(x  2y)
2) 2x(x  2y)
3) (x  2y) 2
4) x(x  2y)
5) (x  2y) 2
25. หลอดไฟ 5 หลอดเป็นไฟกระพริบ ถ้ำทั้ง 5 หลอดใช้เวลำในกำรกระพริบ ดังนี้ 2 ,3 ,4 ,5 ,6 วินำที
ต่อครั้ง ถ้ำเริ่มต้นกระพริบพร้อมกัน และจะกระพริบพร้อมกันอีกครั้งนำนกี่นำที
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
5)
5

่




-123-

จานวนจริง
1.
2.

ค่ำของ
1) 2

42 3  42 3

2) 4

3) 3
4) 2

กำหนดให้ 3 < x < 6 และ 12 < y < 30 ถ้ำ a < y –x < b และ c <

(a + b) – (c+ d ) เท่ำกับเท่ำใด (ทบ.49)
1) 20
2) 21
3.
ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง (ทร.49)
1) a 2b 2 c 2  d 2 เมื่อ d = abc
3)
4.

5.

5) 3

3

a

bc

c

1) 17.32

3) 22

4)
108  50  48  5 2

กำหนดให้ A =

ถ้ำ

2) 18.19
8

9
10

75
18

< d ดังนั้นค่ำของ

4) 23
2)

ab

y
x

3

a
a

2



1
c

 b2




1
ac

(ทร.49)
3) 20.09

3

5) 24

 a 6  b6

เมื่อ a ≠ 0

3  1.732

4) 24.61

ค่ำของ 15 A คือข้อใด (ทร.49)

1) 6 2 - 2 3
2) 3 3 - 5 2
3) 5 2 + 3 3 4)3 2 + 2 3
6.
ถ้ำกำหนดจำนวนที่เรียงตำมลำดับนี้ 3 , 6 , 11 , 18 , 27 , 38 , .... , 402 , .... จำนวน
ลำดับที่ 30 เท่ำกับข้อใด (ทร.49)
่



1) 786
7.

8.

2) 843

1)  8  3 2


-124-



 

2)

86 2

32 8  3 2

1
2

3) 902
3



2  3 4  3 1

3)

4) 963

 (ทอ.49)
1
3

 43 6

4)

5)

 46 2

 24  3 2

ข้อใดต่อไปนี้กล่ำวถูกต้อง (ทอ.49)
1. ผลบวกของจำนวนอตรรกยะกับจำนวนอตรรกยะ เป็นจำนวนอตรรกยะ
2. ผลคูณของจำนวนอตรรกยะกับจำนวนอตรรกยะ เป็นจำนวนอตรรกยะ
3. ถ้ำ a เป็นจำนวนอตรรยะแล้วจะสำมำรถหำจำนวนนับ n ซึง เป็นจำนวนตรรกยะได้
่
4. รำกที่สองของจำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนอตรรกยะ
5. ถ้ำ a, b และ c เป็นจำนวนตรรกยะแล้ว สมกำร ax 2  bx  c  0 จะมีคำตอบเป็นจำนวน

ตรรกยะ

9.

จงพิจำรณำข้อควำมต่อไปนี้
ก. ถ้ำ a < b และ c < d แล้ว ac < bd
ข. ถ้ำ 0 < a < b แล้ว a  b2  b  a
ค. ถ้ำ a , b เป็นจำนวนลบ และ a > b แล้ว

>0

ข้อควำมด้ำนบนนี้ข้อใดเป็นจริง (ทอ.49)
1. ข้อ ก และ ข จริง
2. ข้อ ก และ ค จริง
3. ข้อ ข และ ค จริง
4. ข้อ ค จริง
5. ข้อ ก, ข และ ค เป็นเท็จ
10. กำหนดให้ x และ y เป็นเลขจำนวนจริง โดยที่ 0 < x < y ข้อใดถูก (แนวตร.49)
1)
11.
12.
13.

1 1

x y

ค่ำของ

2) x 2  y 2  2 xy

( 3) 3  2( 6  2) 





2

3)

x

x y
y
2

4)

x2 y2

 x y
y
x


1) 3  2
2) 3  2
3) 7 – 4 3
4) 7 + 4 3
ถ้ำ x และ y เป็นค่ำในอนุกรมดังต่อไปนี้ 1, 3, 7, 15, x, 63, y จงหำค่ำ y - x (แนวตร.49)
1) 31
2) 32
3) 64
4) 96
ถ้ำ a, b, c เป็นจำนวนจริงที่กำหนดค่ำโดย a  b  c แล้ว ข้อใดเป็นไปไม่ได้ (แนวตร.49)

่



1)
14.
15.
16.

ac
b
2


-125-

2) b + c = 2a

3) a – 2c = b 4)

a
<b
c

มีตัวเลขจำนวนเต็ม 0– 200 กี่จำนวนที่หำรด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 9 (แนวตร.49)
1) 17
2) 18
3) 19
4) 20
กำหนด x  3, y  2, x  1จงหำรำกที่ 3 ของ (3x 2 y 3  2 x 3 y 2 ) z 0 (ทร.50)
1) 0
2) 23 2
3)  33 3
4)  63 2
กำหนดให้ x  11  6 2  6  4 2 จงหำค่ำของ x 2  x (ทอ.50)
1. 0
2. 1
3. 2
4. 3
5. 2
1

17.

ให้ a = 16 จงหำค่ำของ

1 2

1 2
11  
1 2 
   
a 6   a a  a 2   
     
 
 
 



(ทอ.50)

1. 16 2
2. 32
3. 32 2
4. 64
5. 64 2
18. กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็ม และ x   n  1998  1999  n  จงหำว่ำ x จะมีค่ำได้กี่ค่ำใน
ระบบจำนวนจริง (ทอ.50)
1. 0
2. 1
3. 2
4. 4 5. มีค่ำได้มำกมำยนับไม่ถ้วน
19. ในกำรสอบครั้งหนึ่ง ข้อสอบมี 4 ฟอร์ม โดยหน้ำปกแต่ละฟอร์มเป็นสีชมพู ฟ้ำ เขียว และเหลือง
โดยผู้เข้ำสอบแถวที่ 1 ได้ข้อสอบหน้ำปกสีชมพู แถวที่ 2 ได้ข้อสอบหน้ำปกสีฟ้ำ แถวที่ 3 ได้ข้อสอบ
หน้ำปกสีเขียว และแถวที่ 4 ได้ข้อสอบหน้ำปกสีเหลือง กำรแจกข้อสอบเป็นลำดับเช่นนี้ไปเรื่อยๆ จงหำว่ำ
ผู้เข้ำสอบแถวใดต่อไปนี้ ได้ข้อสอบหน้ำปกสีเดียวกันทั้งหมด (ทอ.50)
1. 90 , 112 , 120
2. 90 , 112 , 202
3. 17 , 103 , 221
4. 93 , 117 , 221
5. 103 , 117 , 221
20. จงพิจำรณำวิธีกำรแก้สมกำรต่อไปนี้
-x 2 – 3x + 4
=0
( -1 ) ( -x 2 – 3x + 4 )
= ( -1 ) ( 0 )………………… A
x 2 + 3x – 4
=0
………………… B
ขั้น A และ ขั้น B ใช้สมบัติข้อใด (ตร.50)
1) สมบัติกำรสะท้อน และสมบัติของศูนย์ 2) สมบัติกำรสลับที่ และสมบัติของศูนย์
3) สมบัติกำรเปลี่ยนหมู่ และสมบัติของศูนย์ 4) สมบัติกำรแจกแจง และสมบัติของศูนย์
21. จงพิจำรณำวิธีกำรแยกตัวประกอบของ 15x 2 y - 18xy 2 ว่ำใช้สมบัติของจำนวนเต็มข้อใด
15x 2 y - 18xy 2 = 3 ( 5x 2 y - 6xy 2 )
= 3xy ( 5x – 6y )
(ตร.50)
1) สมบัติกำรสะท้อน และสมบัติกำรแจกแจง
่




-126-

2) สมบัติกำรสลับที่ และสมบัติกำรเปลี่ยนหมู่
3) สมบัติกำรเปลี่ยนหมู่ และสมบัติกำรสะท้อน
4) สมบัติกำรแจกแจง และสมบัติกำรสลับที่
 8  16

22.


23.

1) 1
2) -1
3) 3
ถ้ำ 0 < X < 1 แล้ว ค่ำที่น้อยที่สุดเท่ำกับเท่ำใด (ทบ.51)
1)

 16   8

(ตร.50)

2) x

x2

3)

1
x

4) -3

4)

1
x2

5)

1
x3

24. เลขสองจำนวนรวมกันได้ 12 ผลคูณที่มำกที่สุดที่จะเป็นไปได้ของเลขทั้งสองจำนวนนี้คือข้อใด
(ทบ.51)
1) 20
2) 27
3) 32
4) 36
5) 40
25. ข้อใดต่อไปนี้ผิด (ทร.51)
1) ถ้ำ a และ b เป็นจำนวนอตรรกยะแล้ว a + b อำจจะเป็นจำนวนตรรกยะ
2) ถ้ำ a และ b เป็นจำนวนตรรกยะแล้ว

26.
51)

2) 15.888

จงหำคำตอบของ
1)

28.

3

81

3

3) 22.041

6

1 3
 343
4

2. 2.29

(53428)(53416)  (53434)(53410)

1) ค่ำของ
3)

3

2.

1

3)

3

 125  0.0016 

1. 3 2

4) 29.694

(ตร.50)

27

2)

จงหำคำตอบ

29.

3

6

1. 1.54

30.

อำจจะเป็นจำนวนตรรกยะ

3) ถ้ำ a เป็นจำนวนตรรกยะบวกแล้ว รำกที่สองของ a เป็นจำนวนตรรกยะ
4) ถ้ำ a เป็นจำนวนอตรรกยะบวกแล้ว รำกที่สองของ a เป็นจำนวนอตรรกยะ
กำหนด 2  1.414, 3  1.732, 6  2.449 ผลลัพธ์ของ 98  128  72 คือข้อใด (ทร.
1. 12.726

27.

a
b

6 3


0.518 เขียนเป็นเศษส่วนได้คือ

6

4)

3

 27   3 27

่

36

(ตร.51)

3. 11.9
มีค่ำตรงกับข้อใด (ตร.51)
3. 6 5
513
990

1

2)
4)

4. 12.9
4.

6 5

0.3  0.54
5.29

เป็นจำนวน อตรรกยะ



31.
1)

ค่ำของ

4 3  2 27
150



2)

2 2

32.


-127-

62 5

3

16  8 5

8 6
12

เท่ำกับข้อใด (ทร.52)
3)

2 2
 5

4)

2 2

22

ว่ำมีค่ำเท่ำกับข้อใด(ทร.52)


1) 0.99
2) 0.9
3) 5
4) 2 5
33. ถ้ำ X เป็นจำนวนจริงที่มีค่ำน้อยกว่ำ 0 แล้ว จำนวนในข้อใดที่มีค่ำน้อยกว่ำ 0 (ทบ.52)
1)  X
2)  X 2
3)  X 3
4) (X) 3
5)

X

34. หมูอ้วนนับจำนวนบรรพบุรุษของหมูอ้วนได้ดังนี้ บรรพบุรุษของหมูอ้วนหนึ่งชั่วคนมี 2 คน คือ พ่อ
และแม่ บรรพบุรุษของหมูอ้วนสองชั่วคนมี 6 คน คือ พ่อ แม่ ปู่ ย่ำ ตำ และ ยำย บรรพบุรุษของหมูอ้วน
สำมชั่วคนมี 14 คน คือ พ่อ แม่ ปู่ ย่ำ ตำ ยำย พ่อกับแม่ของปู่ พ่อกับแม่ของย่ำ พ่อกับแม่ของตำ และพ่อ
กับแม่ของยำย
ถ้ำหมูอ้วนนับบรรพบุรุษถึงสิบชั่วคน แล้วบรรพบุรุษของหมูอ้วนมีทั้งหมดกี่คน(ตร.52)
1) 1,024 คน
2) 1,224 คน
3) 2,046 คน
4) 2,446 คน
ก. จำนวนอตรรกยะทุกจำนวนมีสมบัติของกำรคูณ
ข. จำนวนเต็มทุกจำนวนมีสมบัติปิดของกำรหำร
ค. จำนวนตรรกยะทุกจำนวนมีสมบัติปิดของกำรหำร
ง. จำนวนอตรรกยะทุกจำนวนมีสมบัติของกำรบวก
จำกข้อควำมข้ำงต้นข้อใดกล่ำวถูกต้อง(ตร.52)
3) เป็นเท็จทุกข้อ
4) เป็นจริงทุกข้อ

เศษส่วนและทศนิยม
1.
ถ้ำจังหวัดหนึ่งมีพื้นที่ประมำณ 4.238 × 10 ตำรำงเมตร มีประชำกรอยู่ 5.78 × 10 คน
แล้วควำมหนำแน่นของประชำกรของจังหวัดนี้ต่อพื้นที่ 1 ตำรำงกิโลเมตรเป็นเท่ำใด (ตร.48)
1) ประมำณ 78 คน 2) ประมำณ 136 คน 3) ประมำณ 733 คน 4) ประมำณ 7,332 คน
2.
จงหำค่ำของ  2 3  1 5  14    8  39  (ทร.49)

 

 8

1)
3.

3
4

กำหนด

6
11
2)
4
1 1 2 1
  
2 4 5 8

3 

9 

3)
= x จงหำค่ำของ

่

3
x



1
8

4)



9
5

(ทร.49)


1) 1.16
4.

2) 2.16

กำหนดให้ x =


-128-

1
1
1 3
3
6
2
73
3

3) 2.35

4) 2.78

และ y = 2.45 + 2.25 – 0.65 ข้อใดถูกต้อง (ทร.49)

1) x : y = 1 : 3 2) x – y = 2.04

3) x + y = 5.55

1
1 
1
1

  4  1     2  1  ว่ำตรงกับข้อใด
2
4 
2
2


4) xy = 5.4765

5.

จงหำผลลัพธ์ของ

6.

1) - 6
2) 6
3) -4
4) 4
ในกำรสอบเข้ำเป็นนักเรียนเตรียมทหำร ด.ช สุธี เหลือเวลำเตรียมตัวสอบอีกแค่ 17 วัน เขำ

ได้บันทึกกำรอ่ำนหนังสือของตนเองไว้ดังนี้ ใน 5 วันแรกเขำอ่ำนได้


ของจำนวนหน้ำทั้งหมด 7 วัน

ของจำนวนหน้ำที่อ่ำนได้ใน 5 วันแรก ซึ่งเมื่อนับจำนวนหน้ำดูแล้วปรำกฏว่ำ

วันต่อมำเขำอ่ำน

มำกกว่ำที่อ่ำนได้ใน 5 วันแรกอยู่ 150 หน้ำ ถำมว่ำในวันที่เหลือ ถ้ำ ด.ช สุธี จะอ่ำนหนังสือใน
จำนวนหน้ำที่เท่ำๆกันทุกวันต้องอ่ำนวันละกี่หน้ำ (ทอ.49)
1. 65
2. 60
3. 75
4. 70
5. 80
7.
ครอบครัวสุขนิรันดร์มีรำยได้ต่อเดือน 85,000 บำท เสียค่ำใช้จ่ำย 2 ของรำยได้ต่อเดือน
5

ฝำกธนำคำรเป็นเงินออม

ของรำยได้ที่เหลือเงินเหลือจำกนั้นจะแบ่งให้ลูกๆ 3 คน คนละเท่ำๆ กัน

1
4

ดังนั้นในแต่ละเดือนลูกแต่ละคนจะได้รับเงินคนละเท่ำไร (ตร.50)
1) 8,500 บำท 2) 9,750 บำท
3) 12,750 บำท
4) 21,250 บำท
8.
ข้อใดถูกต้อง(ตร.50)
1)  4    1   10    1   83 1
2) 0.32  (0.64) (6)  (0.003)  640

 



 2  



 8 

2

3) ( -0.42 ) + ( 1.3 ) = 42 ÷ ( -13 )
9.

จงหำผลลัพธ์ของ 0.2  0.4
1) ( 20 )

10.

7

6



1
5

2)

กำหนด 1 

1



1

a
b

1
12

2)

3

1
4

1
2

1 2
  3   4   3  4    
2
3

2 3

(ตร.50)

5

3)

ดังนั้น ค่ำของ 1 

 1 
 
 20 

3)

5
12

่

4)

4) ( 20 )



1
5


1
b

1
2

5

1
a

1
1

1)

 0.02

 1 
 
 20 

45
31

4)

1
2
15
31

5)

16
31



11.


-129-

ไม้ยำวท่อนหนึ่งปักในแนวตรงอยู่ในสระน้ำ โดยส่วนที่ปักอยู่ในโคลนก้นสระใต้น้ำคิดเป็น

1
12

ของควำมยำวทั้งท่อน และมีส่วนของท่อนไม้ที่โผล่พ้นผิวน้ำเท่ำกับ 3 ของควำมยำวที่เหลือ โดยที่สระน้ำนี้มี
7

ผู้วัดแล้วว่ำควำมลึกของสระจำกผิวน้ำถึงโคลนก้นสระมีระยะ 1.21 เมตร จงหำควำมยำวของไม้ท่อนนี้
(ทร.50)
1) 2.31 เมตร 2) 2.36 เมตร
3) 2.54 เมตร
4) 3.08 เมตร
1  3 1
1 3
4   3    2   โดยประมำณเท่ำกับเท่ำใด
4  4 2
2 5

12.

(ทร.51)

1) 0.52
2) 0.643
3) 0.73
4) 0.82
กำหนดให้ 3 2  1.260, 3 3  1.442, 3 5  1.710 จงหำค่ำประมำณของ 3 3750 (ตร.51)
1. 15.00
2. 15.08
3. 15.11
4. 15.53


จำนวน 1.34  0.482 มีค่ำเท่ำใด (ทร.50)
 

 

1) 0.478
2) 0.852
3) 0.858
4) 0.860
ข้อใดต่อไปนี้เรียงลำดับจำกน้อยไปมำก (ทร.51)
1)  3 , 2 , 3 , 7
2)

13.
14.
15.

5 3 4 5
7 3 2 2
 , , ,
5 4 3 5
3)  3 , 3 , 2 , 7
5 4 3 5
7 3 3 2
 , , ,
5 4 5 3

16.

รถคันหนึ่งมีน้ำมันอยู่ในถัง

4)
5
6

ของถัง ถ้ำขับไปเรื่อย ๆ จนน้ำมันถูกใช้ไป

2
3

ของน้ำมันที่มี

อยู่ แล้ววัดน้ำมันเหลืออยู่ 15 ลิตร ถังน้ำมันของรถคันนี้มีปริมำตรควำมจุกี่ลิตร(ทบ.51)
1) 34
2) 36
3) 42
4) 48
5) 54
17.

ค่ำของ

1)

4
5

1)
10

2

2
3

2
 1 
 3    2 
5
 5 
 5 18   1 11 
  5    3  
 9 25   7 14 
2) 16
3) 3
7
37
1
3
1
10  12  15
2
4
4 ตรงกับข้อใด (ทบ.52)
5
1
2 3
8
2
2) 4 3
3) 6 2
3
5

4)

4)

8

2
5

11
23

5)

2
3

่




-130-

อัตราส่วนและร้อยละ
1.
ในกำรทำขนมชนิดหนึ่ง ใช้แป้ง 8 ส่วน น้ำตำล 1 ส่วน ใช้น้ำ 7 ส่วน ถ้ำขนม 10 ชิ้น ใช้
ส่วนผสมนี้ 1 กิโลกรัม แล้วถ้ำจะทำขนมนี้ 150 ชิ้น จะใช้แป้งกี่กิโลกรัม (ทบ.49)
1) 4.5
2) 5.5
3) 6.5
4) 7.5
5) 8.5
2.
ปุ๋ยชนิด A มีควำมเข้มข้น 40% ปุ๋ยชนิด B มีควำมเข้มข้น 60% ถ้ำนำปุ๋ยทั้งสองชนิดนี้มำ
ผสมเข้ำด้วยกัน ด้วยอัตรำส่วนที่เท่ำกันแล้วเรียกว่ำปุ๋ยชนิด C ถ้ำนำยชัย นำปุ๋ยชนิด C 1 ส่วนผสมน้ำ
9 ส่วน แล้วส่วนผสมนี้มีควำมเข้มข้นกี่เปอร์เซ็นต์ (ทบ.49)
1) 4
2) 4.5
3) 5
4) 5.5
5) 6
3.
รถยนต์คันหนึ่งรำคำ 1,000,000 บำท ต้องเสียภำษีนำเข้ำ 50% ถ้ำตัวแทนจำหน่ำยต้องกำร
กำไร 10% ดังนั้น ผู้ซื้อต้องจ่ำยเงินค่ำรถคันนี้ในรำคำกี่บำท โดยที่ต้องเสียภำษีมูลค่ำเพิ่ม 7% ด้วย
(ทบ.49)
1) 1,756,500 2) 1,765,500
3) 1,760,500 4) 1,755,600
5) 1,655,700
4.
จำกรูป กำหนดจุด A , B และ C อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ถ้ำ AB  AC = k ดังนั้น k
BC

AB

A
1)

2 1
2

2)

3 1
2

3)

B
3 1
2

4)

C
5 1
2

5)

5 1
2

5.
สี่เหลี่ยมผืนผ้ำรูปหนึ่ง ถ้ำเพิ่มด้ำนยำวออกไปอีก 20% แต่ลดด้ำนสั้นลงมำ 20% แล้วพื้นที่
สี่เหลี่ยมรูปใหม่เปลี่ยนเป็น 240 ตำรำงหน่วย ดังนั้น เดิมสี่เหลี่ยมนี้มีพื้นที่กี่ตำรำงหน่วย (ทบ.49)
1) 230 2) 240
3) 250
4) 260
5) 264
6.
นำวีนำเงิน 50,000 บำท ไปฝำกกับธนำคำรแห่งหนึ่ง โดยธนำคำรคิดดอกเบี้ยเงินฝำกให้ร้อย
ละ 1.5 ต่อปี โดนหักภำษีรำยได้ร้อยละ 15 ขึ้นปีที่สองธนำคำรปรับลดดอกเบี้ยเงินฝำกลงเหลือร้อยละ 1
ต่อปี และโดนหักภำษีรำยได้ร้อยละ 15 เท่ำเดิม จงหำว่ำเมื่อสิ้นปีที่สอง ยอกเงินฝำกเพิ่มขึ้นคิดเป็นร้อย
ละเท่ำใดจำกเดิม (ทร.49)
1) 2.03
2) 2.13
3) 2.23
4) 2.33
7.
บริษัทแห่งหนึ่งประกอบกิจกำรโดยในปีแรก มียอดขำยรวมเป็นเงิน 3 x 10 7 บำท จำกเงิน
ลงทุนจำนวน 5 x 10 6 บำท ในปีที่สองบริษัทเพิ่มเงินทุนเป็น 70 x 10 5 บำท และมียอดขำยรวมเป็น
เงิน 47 x 10 6 บำท อยำกทรำบว่ำบริษัทดังกล่ำวมีกำไรเพิ่มขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์ เมื่อเทียบกับปีแรก (ทร.49)
1) 40%
2) 60%
3) 140%
4) 170%

่



-131-


8.

ตำรำงแสดงปริมำณกำรใช้กระดำษของประเทศไทยในปี 2548
ประเภทของกระดำษ
ปริมำณกำรใช้ ( พันตัน )
กระดำษหนังสือพิมพ์
249.5
กระดำษแข็ง
200.5
กระดำษอนำมัย
82.3
กระดำษพิมพ์เขียว
620.5
กระดำษดรำฟท์
1467.2
รวม
2620.0
ถ้ำนำเสนอข้อมูลข้ำงต้นโดยใช้แผนภูมิวงกลม จะมีพื้นที่ของกระดำษดรำฟท์ กี่เปอร์เซ็นต์ (ทร.49)
1) 50%
2) 52%
3) 54%
4) 56%
9.
จำกกำรสำรวจนักเรียนเตรียมทหำร ชั้นปีที่ 2 และ 3 ซึ่งมีจำนวนเท่ำกัน พบว่ำอัตรำส่วนของ
นักเรียนที่อยู่ชมรมฟุตบอลต่อชมรมรักบี้ของนักเรียนเตรียมทหำร ชั้นปีที่ 2 เป็น 4 : 1 และของนักเรียน
เตรียมทหำรชั้นปีที่ 3 เป็น 2 : 1 ถ้ำนำนักเรียนทั้งสองชั้นรวมกัน อัตรำส่วนของนักเรียนที่อยู่ชมรม
ฟุตบอลต่อชมรมรักบี้จะเป็นเท่ำไร(ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1. 5 : 2
2. 11 : 4
3. 12 : 1
4. 15 : 1
5. 17 : 7
10. นำยแดงซื้อผลไม้แอปเปิลมำ 15 กิโลกรัม กับมังคุด 20 กิโลกรัม เป็นเงินจำนวน 2,500 บำท
ถ้ำเขำขำยผลไม้แอปเปิลไปทั้งหมดในรำคำที่ได้กำไร 10% และขำยมังคุดไปทั้งหมดในรำคำที่ขำดทุน
5% ปรำกฏว่ำเขำยังได้กำไรเป็นจำนวนเงิน 136 บำท จงหำว่ำนำยแดงซื้อผลไม้แอปเปิลและมังคุดมำ
เฉลี่ยกิโลกรัมละกี่บำท(ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1. 68
2. 72
3. 75
4. 77
5. 80
11. นำยช่ำงติดตั้งเครื่องดูดอำกำศไว้ที่ถังใบหนึ่ง เพื่อดูดอำกำศออกจำกถังใบนี้ ทุกหนึ่งนำทีที่
เครื่องดูดอำกำศทำงำน

ของอำกำศถังขณะนั้นจะถูกดูดออกมำ ถ้ำเปิดเครื่องดูดอำกำศให้ทำงำนนำน

3 นำที จะมีอำกำศเหลืออยู่ในถังคิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของอำกำศเดิมที่มีอยู่ในถังตอนเริ่มทำงำน (ทอ.49)
1. 38.8
2. 45.5
3. 27.7
4. 42.2
5. 39.9
12. เครื่องดื่มชนิดหนึ่งมีส่วนผสมของแอลกอฮอล์ 15% จะต้องใช้ของผสมนี้กี่แกลลอนผสมกับ
แอลกอฮอล์บริสุทธิ์เพื่อให้ได้เครื่องดื่มจำนวน 8.5 แกลลอนที่มีแอลกอฮอล์อยู่ 60% (ทอ.49)
1. 5
2. 3
3. 4.5
4. 4
5. 3.5

่




-132-

13. คลังบรรจุสินค้ำแห่งหนึ่งมีขนำด ยำว  กว้ำง  สูง = 20  10  4 เมตร ต้องกำรเพิ่มปริมำตร
30% ส่วนสูงเพิ่ม 10% ควำมยำวคงเดิม จงหำควำมกว้ำงของคลังสินค้ำ (แนวตร.49)
1) 10
2) 10.2
3) 12.2
4)
11.8
14. ปัญญำขำยสินค้ำไปในรำคำ 50% ของรำคำที่ระบุในป้ำย แต่ยังได้กำไร 25% จำกรำคำต้นทุน
ปัญหำตั้งรำคำป้ำยไว้เป็นกี่เท่ำของรำคำต้นทุน (แนวตร.49)
1) 2
2) 2.5
3) 3
4) 3.5
15. น้ำเกลือหนัก 50 กิโลกรัมมีเกลือผสมอยู่ 5 % จะต้องระบำยน้ำออกไปกี่กิโลกรัมจึงจะเหลือ
เกลืออยู่ 10 % (แนวตร.49)
1) 47.5
2) 35
3) 30
4) 25
16.

แบ่งมรดก 1,215,500 บำท ให้ทำยำท 3 คน ตำมอัตรำส่วน 3 : 4 : 5 ทำยำทคนที่ได้มำกที่สุด
4 5 6

จะได้รับเงินเท่ำใด (แนวตร.49)
1) 382,500 บำท 2) 408,000 บำท
3) 425,000 บำท 4) 467,500 บำท
17. พ่อค้ำคนหนึ่งซื้อ 2 ชนิด คือ ผ้ำลูกไม้และผ้ำไหม โดยซื้อผ้ำลูกไม้ 20 เมตร ซื้อผ้ำไหม 25 เมตร
พ่อค้ำขำยผ้ำลูกไม้ได้กำไร 15% ขำยผ้ำไหมได้กำไร 20% ได้เงินรวมทั้งสิ้น 4,500 บำท กำไรรวม 750
บำท จงหำว่ำซื้อผ้ำไหมรำคำเมตรละเท่ำใด (แนวตร.49)
1) 150 บำท 2) 120 บำท
3) 100 บำท
4) 80 บำท
18. ถ้ำต้องกำรแอลกอฮอล์เข้มข้น 35% จำนวน 50 ลิตร จะต้องใช้แอลกอฮอล์เข้มข้น 50%
ผสมกับแอลกอฮอล์เข้มข้น 30% อย่ำงละกี่ลิตรตำมลำดับ (ทบ.50)
1) 10.5 กับ 39.5
2) 11.5 กับ 38.5
3) 12.5 กับ 37.5
4) 13.5 กับ 36.5
5) 14.5 กับ 35.5
19. พ่อค้ำซื้อไข่มำในรำคำ 5 ฟอง 6 บำท ขณะขนส่งไข่แตกไป 4% ถ้ำพ่อค้ำขำยไข่ที่เหลือหมดใน
รำคำโหลละ 18 บำท ดังนั้น พ่อค้ำจะได้กำไรหรือขำดทุนเท่ำใด (ทบ.50)
1) กำไร 12%
2) ขำดทุน 15%
3) กำไร 15%
5) กำไร 20%
20. สำมเหลี่ยมด้ำนเท่ำ ถ้ำลดควำมยำวด้ำนแต่ละด้ำนลงร้อยละ 20 ดังนั้น พื้นที่ของสำมเหลี่ยม
ด้ำนเท่ำนี้จะลดลงร้อยละเท่ำใด (ทบ.50)
1) 20
2) 28
3) 36
4) 46
5) 50

่




-133-

21. ในกำรเลือกตั้งนำยก อบต. มีผู้สมัครเพียงสองคน โดยผลกำรเลือกตั้งปรำกฏว่ำนำย ก. ชนะนำย
ข. 10 เสียง ซึ่งภำยหลังมีกำรวิเครำะห์ว่ำหำก 10% ของผู้ที่เลือกนำย ก. เปลี่ยนใจไปลงคะแนนให้นำย ข.
จะส่งผลให้นำย ข. ชนะนำย ก. 10 เสียง อยำกทรำบว่ำมีผู้ไปใช้สิทธิเลือกตั้งกี่คน (ทร.50)
1) 30 คน
2) 90 คน
3) 190 คน
4) 210 คน
22. เมื่อ 8 ปีที่แล้ว อัตรำส่วนอำยุของแดงและดำเป็น 3 : 4 ถ้ำปัจจุบันอำยุของแดงและดำ มีอัตรำส่วน
เป็น4 : 5 ปัจจุบันเขำมีอำยุรวมกันกี่ปี (ทร.50)
1) 58 ปี
2) 60 ปี
3) 72 ปี
4) 74 ปี
23. ในกำรเลือกตั้งประธำนคณะกรรมกำรนักเรียนของโรงเรียนแห่งหนึ่งมีผู้สมัครสองคน คือ นำย
อำนำจกับนำงสำวจริงใจ ผลปรำกฏว่ำนำยอำนำจเป็นผู้ชนะกำรเลือกตั้ง ซึ่งได้คะแนนมำกกว่ำนำงสำว
จริงใจ 345 คะแนน และมีบั ตรเสีย 123 ใบ ถ้ำนำงสำวจริงใจได้คะแนน 25% ของผู้ที่มำออกเสียง
ทั้งหมด ดังนั้น คะแนนกำรเลือกตั้งของนำยอำนำจเท่ำกับข้อใด (ตร.50)
1) 936 คะแนน
24.

ประสงค์ได้เงินเดือน เดือนละ 12,000 บำท และใช้ไป

8,800 บำท และใช้จ่ำยไป

ของเงินเดือน วิพลได้เงินเดือน

ของเงินเดือน ถำมว่ำใครจะเก็บเงินได้มำกกว่ำในแต่ละเดือน และ

มำกกว่ำกี่เปอร์เซ็นต์(ทอ.50)
1. ประสงค์เก็บได้มำกกว่ำวิพล 11.12 %
2. ประสงค์เก็บได้มำกกว่ำวิพล9.09 %
3. วิพลเก็บได้มำกกว่ำประสงค์ 10.02 %
4. วิพลเก็บได้มำกกว่ำประสงค์9.05 %
5. ประสงค์และวิพลเก็บเงินได้เท่ำกัน
25. ผลกำรสอบของนักเรียนห้อง ป.6/1 และ ป.6/2 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง แสดงตำมรูป ข้อใดคือ
ร้อยละของนักเรียนที่ได้เกรด A , B หรือ C(ทอ.50)
1. 85
3. 77
5. 72

2. 80
4. 75

26. ในกำรเลี้ยงนกกระทำ ถ้ำลดนกกระทำลง 6% หรือ ถ้ำเพิ่มนกกระทำขึ้นอีก 8% จะทำให้มีนก
กระทำต่ำงกัน 84 ตัว ถำมว่ำเดิมมีนกกระทำทั้งหมดกี่ตัว(ทอ.50)
1. 400 ตัว
2. 600 ตัว
3. 800 ตัว
4. 1,000 ตัว
5. 1,200 ตัว

่



-134-


27. ที่ดินของชำวสวนคนหนึ่งมีลักษณะเป็นรูปสี่เหลี่ยมคำงหมู ซึ่ง มีอัตรำส่วนของควำมสูงต่อควำม
ยำวของด้ำนคู่ขนำนสองด้ำนเป็น 3 : 5 : 6 ถ้ำวัดควำมสูงของที่ดินรูปสี่เหลี่ยมคำงหมูนี้ได้ 12 เมตร จะ
ได้พื้นที่ของที่ดินของชำวสวนคนนี้เท่ำกับข้อใด (ตร.50)
1) 264 ตำรำงเมตร
28. ถ้ำอัตรำส่วนคะแนนสอบของนำยพจน์ต่อนำยนนท์เป็น 5 : 6 และอัตรำส่วนของคะแนนสอบ
ของนำยนนท์ต่อนำยอ้นเป็น 8 : 5 ถ้ำนำยอ้นสอบได้ 90 คะแนน จะได้ผลต่ำงของคะแนนของนำยพจน์
และนำยนนท์เท่ำกับข้อใด (ตร.50)
29. ถ้ำ

8x  y
1
5x  3 y

แล้ว x + y : x – y เป็นเท่ำใด(ทบ.51)

1) 8 : 1
2) 7 : 1
3) 6 : 1
4) 5: 1
5) 4 : 1
30. โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนหญิงและนักเรียนชำยเป็นอัตรำส่วน 20 : 17 แต่ในปีกำรศึกษำหน้ำจะมี
นักเรียนหญิงย้ำยมำเข้ำใหม่อีก 12 คน และนักเรียนชำยลำออกไป 14 ซึ่งทำให้อัตรำส่วนนักเรียน
หญิงต่อนักเรียนชำยในปีหนำเป็น 3 : 2 พอดีจงหำว่ำในปีกำรศึกษำหน้ำโรงเรียนจะมีนักเรียนทั้งหมดกี่คน
(ทร.51)
1) 222 คน
2) 220 คน
3) 218 คน
4) 216 คน
31. รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ำรูปหนึ่งมีควำมยำว a และ b นิ้ว โดยที่ a : b  1 : 9 ถ้ำพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ำ
รูปนี้เท่ำกับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีควำมยำวของเส้นทแยงมุมเท่ำกับ 6 2 และ b มีค่ำเท่ำกับข้อใด (ทร.
51)
1) 12 นิ้ว
2) 15 นิ้ว
3) 16 นิ้ว
4) 18 นิ้ว
32. ในกำรเลือกตั้งนำยก อบต. ของตำบลบำงคนที จังหวัด สมุทรสงครำม มีผู้สมัครสองคน คือ
นำยไก่และนำยไข่ ปรำกฏว่ำ นำยไก่เป็นผู้ชนะกำรเลือกตั้งได้คะแนนมำกกว่ำนำยไข่ 382 คะแนน และมี
บัตรเสีย 118 ใบ ถ้ำนำยไข่ได้คะแนน 25% ของผู้มำออกเสียงทั้งหมด จงหำว่ำนำยไก่ได้คะแนนเท่ำไร
(ตร.51)
1. 618 คะแนน
33. นักมวยคนหนึ่งชั่งน้ำหนักได้ 53 กิโลกรัม ซึ่งเกินพิกัดไป 6% ถ้ำต้องกำรลดน้ำหนักลงให้ต่ำกว่ำ
พิกัด 0.5% จะต้องลดน้ำหนักลงมำกี่กิโลกรัม(ทบ.51)
1) 0.25
2) 1.50
3) 2.75
4) 3.25
5) 3.50
34. ในกำรผสมคอนกรีต อัตรำส่วนของปูนต่อทรำยโดยน้ำหนักเป็น 1 : 2 และอัตรำส่วนของทรำยต่อ
หินโดยน้ำหนักเป็น 3 : 2 ถ้ำใช้ปูน 27 ตัน จะต้องใช้ทรำยและหินอย่ำงละกี่ตัน(ทบ.51)

่



1) 32, 54


-135-

2) 54, 36

3) 30, 36

4) 36, 27

5) 27,

54
35. มำตรำส่วนที่ใช้เขียนแผนที่แผ่นหนึ่งเป็น 1 เซนติเมตร : 250 กิโลเมตร ถ้ำระยะระหว่ำงเมืองสอง
เมืองในแผนที่เป็น 2.8 เซนติเมตร ระยะทำงระหว่ำงเมืองทั้งสองเท่ำกับกี่กิโลเมตร(ทบ.51)
1) 690
2) 700
3) 710
4) 720
5) 730
36. น้ำมันแกสโซฮอล์ E20 มีส่วนผสมของแอลกอฮอล์อยู่ 20% ถ้ำต้องกำรทำให้เป็นน้ำมันแกส
โซฮอล์ที่มีแอลกอฮอล์อยู่ 7% จำนวน 250 ลิตร ต้องใช้น้ำมันแกสโซฮอล์ E20 กี่ลิตรผสมกับน้ำมันกี่ลิตร
(ทบ.51)
1) 87.5 และ 162.5
2) 70 และ 180
3) 97.5 และ 152.5
4) 82.5 และ 167.5
5) 95 และ 155
37. ทินกรซื้อคอมพิวเตอร์รำคำ 35,000 บำท โดยให้เงินผู้ขำย 5,000 บำท แล้วที่เหลือจ่ำยเดือนละ
1,500 บำท เป็นเวลำ 24 เดือน จงหำว่ำผู้ขำยคิดอัตรำดอกเบี้ยร้อยละเท่ำใดต่อปี(ทบ.51)
1) 8
2) 10
3) 12
4) 15
5) 20
38. ในกำรเช่ำซื้อแผงขำยอำหำรในตลำดแห่งหนึ่ง ในปีแรกเสียค่ำเช่ำชื้อเดือนละ 1,000 บำท ปีที่
สองเสียค่ำเช่ำซื้อลดลง 15% ของค่ำเช่ำในปีแรก ปีที่สำมเสียค่ำเช่ำซื้อลดลง 10% ของค่ำเช่ำซื้อปีทีสอง ปี
ที่สี่และปีต่อ ๆ ไปเสียค่ำเช่ำซื้อลดลง 5% ของค่ำเช่ำปีที่สำมเป็นดังนี้เรื่อย ๆ เป็นเวลำ 10 ปี ก็จะไม่ต้อง
เสียค่ำเช่ำซื้ออีก ผู้เช่ำซื้อต้องจ่ำยเงินทั้งหมดเท่ำไรจึงจะได้เป็นเจ้ำของแผงขำยอำหำรแห่งนั้น(ทร.51)
1) 40,101 บำท
2) 52,326 บำท
3) 83,706 บำท
4) 92,427 บำท
39. มุกกับแมน เป็นเด็กมัธยัสถ์ เงินค่ำขนมที่เหลือจะเก็บฝำกธนำคำรออมสิน อัตรำส่วนของ
ยอดเงินฝำกของมุกกับแมนเป็น 7 : 5 โดยคุณยำยจะฝำกเงินเพิ่มให้แมนอีก 500 บำท ทำให้เงินฝำกของ
มุกกับแมนเป็น 6 : 5 ธนำคำรคิดอัตรำดอกเบี้ยเงินฝำกร้อยละ 2 บำทต่อปีและต้องเสียภำษีดอกเบี้ย
15% เมื่อฝำกครบ 1 ปี แมนต้องกำรถอนเงินทั้งหมดจะได้เงินทั้งหมด กี่บำท (ตร.51)
1. 3559.50 บำท 2. 35660.00 บำท 3. 3560.50 บำท
4. 3561.00 บำท
40. จะต้องใช้สำรละลำยเท่ำใด ซึ่งมีส่วนผสมของแอลกอฮอล์ 80% ไปรวมกับสำรละลำย 5 ลิตร ที่
มีส่วนผสมของแอลกอฮอล์ 30% เพื่อทำให้เป็นสำรละลำยที่มีส่วนผสมของแอลกอฮอล์ 40% (ตร.51)
1. 1.25 ลิตร
2. 3.75 ลิตร
3. 6.25 ลิตร
4. 6.75 ลิตร
41. มีเงินอยู่ 140,000 บำท แบ่งฝำกธนำคำรออกเป็นสองส่วนส่วนแรกได้ดอกเบี้ย 6% ส่วนที่สอง
ได้ดอกเบี้ย 8% เมื่อครบปีได้ดอกเบี้ยทั้งหมด 8,075 บำท เมื่อหักภำษีดอกเบี้ยแล้ว 15% จงหำว่ำฝำก
ธนำคำรส่วนที่สองเท่ำใด (ตร.51)
1. 50,000 บำท
2. 55,000 บำท
3. 85,000 บำท
4. 90,000
บำท
่



-136-


42. จะต้องใช้ข้ำวพันธุ์ ก. กิโลกรัมละ 20 บำทมำผสมกับข้ำวพันธุ์ ข. กิโลกรัมละ 24 บำท เป็น
อัตรำส่วนเท่ำใด จึงจะมีกำไร 40% เมื่อขำยข้ำวที่ผสมกันไปกิโลกรัมละ 32 บำท (ทร.52)
1) 2 : 5
2) 3 : 4
3) 4 : 3
4) 5 : 2
43. จำกรูป รำคำขำยเดิมได้กำไร 20% เมื่อลดรำคำแล้วผู้ขำยจะได้กำไรหรือ
ขำดทุนเท่ำไร (ทร.52)
1) กำไร 5 %
2) กำไร 10 %
3) ขำดทุน 5 %
4) ขำดทุน 10 %
44. โลหะชนิดหนึ่งประกอบด้วยทองแดง 60% และเงิน 40% โดยน้ำหนัก ถ้ำต้องกำรหลอมใหม่ ให้ได้
ส่วนผสมของทองแดง 80% และเงิน 20% โดยน้ำหนัก ถ้ำมีโลหะนี้อยู่ 1 กิโลกรัม จะต้องเติมทองแดง
เข้ำไปกี่กรัม (ทบ.52)
1) 400
2) 600
3) 800
4) 1,000
5)
1,200
45. ไก่ ไข่ และไผ่ ช่วยกันทำงำนอย่ำงหนึ่งได้รับค่ำแรงรวมเป็นเงิน 27,450 บำท ถ้ำไก่ได้ค่ำแรงคิด
เป็นร้อยละ 125 ของส่วนแบ่งที่ ไข่ ได้รับ แต่ส่วนแบ่งของไก่คิดเป็นร้อยละ 80 ของส่วนแบ่งที่ไผ่
ได้รับ
แล้ว ก ได้รับค่ำแรงกี่บำท (ทบ.52)
1) 6,000
2) 7,450
3) 9,000
4) 10,250
5)
11,250
46. กิติติดรำคำขำยกระเป๋ำสูงกว่ำต้นทุน 20% แต่เวลำขำยจริงลดรำคำให้ 15% กิติได้กำไรหรือขำย
ทุนที่เปอร์เซนต์ (ทบ.52)
1) กำไร 2%
2) กำไร 4%
5)
ขำดทุน 5%
47. ขำยเครื่องคิดเลขจำนวน 80 เครื่อง ในรำคำ 28,600 บำท ได้กำไร 10 % จงหำรำคำทุนในกำรซื้อ
เครื่องคิดเลข จำนวน 13 เครื่อง(ตร.52)
1) 4,160 บำท
2) 4,175 บำท
3) 4,225 บำท
4) 4,275 บำท
48. ปิดรำคำขำยสินค้ำชนิดหนึ่งในรำคำ 2,000 บำท ลดรำคำ 5% จะทำให้ได้กำไร 5% จงหำรำคำทุน
ของสินค้ำชนิดนึ้(ตร.52)
1) 1,833.33 บำท
2) 1,809.52 บำท
3) 1,795.23 บำท
4) 1,785.71 บำท
49. ซื้อไข่มำ 120 ฟอง รำคำ 204 บำท ในจำนวนนี้มีไข่แตกร้อยละ 2.5 ถ้ำขำยไข่ที่เหลือทั้งหมด รำคำ
ฟองละ 2 1 บำท จะได้กำไรหรือขำดทุนร้อยละเท่ำใด(ตร.52)
2

่



1) กำไร 43.38%
3) ขำดทุน 43.38%

-137-


2) กำไร 42.15%
4) ขำดทุน 42.15%

เลขยกกาลัง
1.

ข้อใดผิด

่




-138-

p 2q

1) a 
a 

1
pq 2
1
p q 2

2) a 
a 

n
m n 2

 aq

 an

n
mn 2

1
 pq 
a 


3)   pq  a
 1
aq 
 
 

2

q2

3 2 2
4) 4 p 2q 5 

3p q

2.

4.

32 2 x 1 

1)
3.

ถ้ำ
ถ้ำ
1.

5.

จงหำค่ำของ 5x (ทร.49)

1
2

2) 10
และ

5 x  7 , 49 y  3

2.

1
3

1
5
n 1
2253  5 2 3 2n
33  3  2 n  30033n

ค่ำของ
1.

5)

9q
6
8 p4

4
10

 34q 
a 


1


 q3
3
3
 3q   q  a
 2  4 
 a  a 

2. 2

2
5

3) 4

4) 2

แล้วค่ำของ xyz คือข้อใด (ทอ.49)
4. 1
5. 1

27 z  5

3. 1

12

4

คือข้อใด (ทอ.49)
3.

4. 1

3
5

5. 3

5

ถ้ำ 16 x  4 x5 จงหำค่ำ x ที่ทำให้สมกำรเป็นจริง (แนวตร.49)
1) x + 3 = 6 2) x + 5 = 2
3) x – 2 = 3

4) x – 4 = 6

n

6.

ค่ำของ
1)

7.


2)

8
13

3)

10
13

ถ้ำ

27

x

2
3

3

 16 2

x 1

0

และ 3 y x  1  0 แล้ว
9

x2 y

1

11
13


a 3n  2


n

n

 13   7   5   11 
a 2   a2   a2   a 2 

     


     


a



1
2

n

 
  a
 
 

่

5
2






n

5)

32n


2) 4
3) 6
4) 9
(4)n 1  (9)n 1  (36)1 n มีค่ำเท่ำไร (ทร.50)
1) 10
2) 14
3) 16
n

10.

4)

8
13

2 2 n  2 2 n1
2  3n 2  3n1

3  2 n  8  2 n2
15  6 n
2) 2  n
3) 3 n
4) 3 n
2 1

1) 3
9.

1

ค่ำของ
1)

8.

3n2  9 2
4  3 n  3 n 1

5) 12
4) 18
n

มีค่ำเท่ำกับ (ทร.50)



1) 6
11.



-139-

2)
43x 

1
64

4

3) 4

1
2

ค่ำของ

4)

3

1
2


x5  7

1) 6
2) 7
3) 8
4) 9
12. ถ้ำ m และ n เป็นคำตอบของระบบสมกำร 9 x  324  2 y และ 2 y x  32 4
จงหำค่ำ m – n (ทอ.50)
1. 8
2. 10
3. 7
4. 9
5. 11
13. จงหำผลลัพธ์ของ 7 n 1  21n 6  243  7 4 n (ตร.50)
1) ( 21 ) n
2) ( 21 ) 2 n
3) ( 21 ) n 2
4) ( 21 )  n
14. ข้อใดต่อไปนี้ผิด โดยกำหนดให้ a , b และ c เป็นจำนวนจริงบวก (ตร.50)
1) 3 a12b 6 c18  a 4b 2 c 6
2) 125.3 625  256 55
3) 81.3 375  45 3
4) a 4b 2 c10.3 a 6b 9 c12  a 4b 4 c 9
15.

ถ้ำ

(343)  2 x 

14
จงหำ
2

1

  2
x


3

1) 2

2) 4

n2

16.
17.
18.
19.
20.

1 1
1
    
18  3 
 3
n
(7)(3 )(30 )
1) 3
7

1) 4
22.

3)

4)

8

4)

2



n2

2)

3)

6
7



7
8

1) 0

7 4 y 2  1 และ 3(2 3 x 1 ) = 48 ค่ำของ x 2  4 y ตรงกับข้อใด


1
A   10 9
3

2) 1

3) 2

และ

B  3 1012

ค่ำของ

A 4
B3

(ทร.51)
4) 3
4) 81
4. 5
4. 25

5

2

ถ้ำ X=8 และ Y =2 แล้ว

1
18


1) 3
2) 9
3) 27
ถ้ำ 7  3a และ 3  7 b แล้ว 4ab – 5 มีค่ำตรงกับข้อใด (ตร.51)
1. – 5
2. – 1
3. 1
ถ้ำ 32 4 x  33 4 x  34 4 x  13 แล้ว 625 x มีค่ำตรงกับข้อใด (ตร.51)
1. 1
2. 1
3. 5
25

21.

(ทร.51)

XY 
มีค่ำเท่ำข้อใด (ทร.52)
XY X Y 
 2 6

4

3

2 2

2) 8

3) 16

4) 32

2) 2.5

3) 3

4) 5

3
4
ถ้ำ 9.002  10  7.03  10   1.5821 10 2 x1 แล้ว X มีค่ำเท่ำใด (ทร.52)
3

1) 1.5

4  10

่



23. ถ้ำกำหนด
1) 1
24.

ถ้ำ

1)
25.

4 X  9 X  1296 X 1

จงหำค่ำของ X+Y (ทร.52)
3) 5
4) 7

และ

91Y  27Y 1

2) 3

2X  4Y


-140-

และ

ค่ำของ

3Z  (243) Y

13
2) 11
25
25
3
5
4x10 x 6x10
มีค่ำเท่ำใด
8x10 3

3)

3X 2  Y 2
5YZ
9
23

x

48

2

4)

5)

1
3

2
3

(ทบ.52)

1) 10
2) 20
3) 30
26. กำหนดให้ A  1  2  3  4  5  6  7  8  9
แล้วค่ำของ A – B ตรงกับข้อใด(ตร.52)
1) - 78
2) - 32
3) 32
27. ถ้ำ 8 = 4 - 2 แล้ว xy มีค่ำตรงกับข้อใด(ตร.52)
1) 1
2) 1
3) 1
2

(ทบ.52)

2

2

2

2

2

2

2

102

4) 40
และ B 

5) 50
169  2 1310   100

4) 78

y

24

28. 2 มีค่ำตรงกับข้อใด(ตร.52)
1) 36
2) 64

6

4)

1
4

32

3) 256

4) 512

ปีทาโกรัส
่



1.
49)


-141-

จำกรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD อยู่ในครึ่งวงกลมรัศมี 25 หน่วย แล้วด้ำน AB ยำวกี่หน่วย(ทบ.

1) 4 5
2) 5 2
3) 20 5
4) 15 5
5) 10 5
2.
กำหนดสำมเหลี่ยมมีด้ำนยำว 13 , 14 และ 15 หน่วย ถ้ำลำกเส้นตรงจำกจุดยอดของมุมที่
ใหญ่ที่สุดไปตั้งฉำกกับด้ำนตรงข้ำม ดังนั้น เส้นตรงนี้ยำวกี่หน่วย (ทบ.49)
1) 10.8 2) 11.2
3) 12.0
4) 12.4
5) 12.9

3.
AC เป็นเส้นทแยงมุมในกล่องสี่เหลี่ยมรูปหนึ่ง จงหำว่ำ sin ( BAC ) มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด (ทร.
49)
1) 5
2) 4
3)

13
12
5

4)

13
12
13

4.
จำกรูป พืนที่สี่เหลี่ยม ABCD เท่ำกับ 145 ตำรำงหน่วย ถ้ำด้ำน BC ยำวเป็นสองเท่ำของด้ำน
้
CD จงหำควำมยำวของด้ำน BC (ทร.49)
1) 6 หน่วย
3) 10 หน่วย
4) 12 หน่วย

5.

จำกรูป ถ้ำ AD = 5” , BC = 3” , และ CD = 10” จงหำ AB ยำวกี่นิ้ว (ทร.49)
1) 4 นิ้ว
2) 5 นิ้ว
3) 6 นิ้ว
4) 7 นิ้ว

6.
รูปสำมเหลี่ยมมุมฉำก ABC มี B เป็นมุมฉำก ด้ำน AB ยำว 8x หน่วย และ BC ยำว 12
– x หน่วย สำมเหลี่ยม ABC มีพื้นที่มำกที่สุดกี่ตำรำงหน่วย(ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1. 144
2. 140
3. 130 4. 124
5. 120
7.
สำมเหลี่ยมมุฉำก ABC มีด้ำนประกอบ (BC) ยำวกว่ำ ด้ำนประกอบ (AB) อยู่ 7 ซม. ด้ำนตรง
ข้ำมมุมฉำกยำวกว่ำด้ำนประกอบมุมฉำก (BC) อยู่ 1ซม. หำควำมยำวรอบรูปได้กี่เซนติเมตร (แนวตร.49)
่




-142-

1) 24
2) 30
3) 33
4) 36
8.
ABC เป็นสำมเหลี่ยมมีมุม C เป็นมุมฉำก ถ้ำด้ำน AB ยำว 18.5 หน่วย และเส้นรอบรูป
สำมเหลี่ยม ABC ยำว 42 หน่วย ดังนั้น พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมนี้เป็นกี่ตำรำงหน่วย (ทบ.50)
1) 36
2) 42
3) 48
4) 52.5
5) 60
9.
กำหนดให้ A B C D E F G H เป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉำกซึ่ง AB  12 ซม. BC  9 ซม.
F
BE  17 ซม. จงหำปริมำตรของทรงสี่เหลี่ยมนี้ (ทร.50) E
1) 756 ลบ.ซม
2) 864 ลบ.ซม
H
G
3) 972 ลบ.ซม
C
4) 1,080 ลบ.ซม
A
B
ˆ
ˆ
10. จำกรูป กำหนดให้มุม AED และมุม ACB เป็นมุมฉำก และ AB = 13 ซม., BC = 5 ซม.,
DE = 3 ซม. จงหำควำมยำวเส้นรอบรูปของ
BCDE (ทร.50)
1) 17.5 ซม.
2) 18.0 ซม.
3) 20.5 ซม.
4) 21.0 ซม.

11. จำกรูป ถ้ำ AB = 6 หน่วย AC = 8 หน่วย BC = 10 หน่วย และ DE = 4 หน่วย จงหำว่ำ
EC ยำวกีหน่วย(ทอ.50)
่
1. 4 1
2. 4 2
3. 5
4.

3
1
5
3

5.

3
2
5
3

12. เครื่องบินกองทัพอำกำศ ขึ้นบินจำกสนำม X และบินเป็นรูปครึ่งวงกลม เพื่อยุทธวิธีกำร
ลำดตระเวน โดยมีรัศมี AB = 3 กิโลเมตร รัศมี CD = 4.5 กิโลเมตร และรัศมี EF = 3.5 กิโลเมตร
ไปยังสนำมบิน Y ดังรูป จงหำระยะห่ำงระหว่ำงสนำมบิน X และ Y(ทอ.50)
1.

3.
269

่

2.

232

4.

250

5.

233

277




-143-

13. จำกรูป
ABC เป็นสำมเหลี่ยมมุมฉำกที่มีควำมยำวของด้ำน AB และ AC เท่ำกับ 8 และ 17
หน่วย ตำมลำดับ ถ้ำควำมยำวของด้ำน BD เท่ำกับ 5 หน่วย จงหำว่ำพื้นที่ของ ADC เท่ำกับกี่ตำรำง
หน่วย (ทบ.51)
A

B

D
C
1) 40
2) 44
3) 50
4) 56
5) 60
14. พำดบันไดไว้กับกำแพงโดยให้ปลำยบนไดตอนบนต่ำกว่ำของกำแพง 1 เมตร ถ้ำบันไดยำว 13
เมตร และโคนบันไดอยู่ห่ำงจำกกำแพง 5 เมตร จงหำว่ำกำแพงสูงกี่เมตร(ทบ.51)
1) 11
2) 12
3) 13
4) 14
5) 15
15. ถ้ำต้องกำรยิงปืนใหญ่ 2 กระบอก ดังรูปให้กระสุนไปตก ณ เป้ำหมำยในเวลำเดียวกัน ต้องยิงห่ำง
กันกี่นำทีถ้ำกระสุนปืนใหญ่เคลื่อนที่ด้วยควำมเร็ว 500 เมตรต่อนำที(ทบ.51)
เป้ำหมำย
4 กิโลเมตร


16.


1) 3
2) 4
3) 5
4) 6
จงหำพื้นที่ของสำมเหลี่ยม ABC ในรูป กำหนด CD  3, AC  5 และ AB  2
A
1) 12 ตำรำงหน่วย

่

13

5) 7
(ทร.51)




-144-


B

D

C

17. นักเรียนนำยเรือ นำวี ขี่จักรยำนจำกโรงเรียนนำยเรือ เพื่อกลับบ้ำน โดยเริ่มออกเดินทำงจำก
โรงเรียนไปทำงทิศเหนือ 6 กิโลเมตร หลังจำกนั้นเขำขี่จักรยำนไปทำงทิศตะวันตกอีก 30 กิโลเมตร แล้ว
จึงมุ่งหน้ำไปทำงทิศเหนืออีก 10 กิโลเมตร จึงถึงบ้ำนพอดี จงหำว่ำบ้ำนของนักเรียนนำยเรือ นำวี อยู่
ห่ำงจำกโรงเรียนนำยเรือเป็นระยะทำงที่สั้นที่สุดเท่ำใด (ทร.51)
1) 34 กิโลเมตร 2) 36 กิโลเมตร
3) 44 กิโลเมตร
18. จำกรูป จงหำค่ำ (a + b) 2 (ตร.51)
D
8
C
a

4

b

A

B

1. 48
2. 64
3. 96
4. 128
19. จำกรูปกำหนดให้ ABC เป็นสำมเหลี่ยมที่มี AD ตั้งฉำกกับ BC ที่จุด D โดย AB ยำว 26
หน่วย AC ยำว 40 หน่วย และ BC ยำว 42 หน่วย จงหำพื้นที่ของ ACD (ตร.51)
A
26
40
B
1. 108 ตำรำงหน่วย

D

C

42


3. 384 ตำรำงหน่วย 4. 504 ตำรำง

หน่วย
20.
ABC เป็นรูปสำมเหลี่ยม มี B เป็นมุมฉำก BD  AC ที่จุด D ถ้ำ AD = 9 หน่วย และ
DC = 5 หน่วย แล้วพื้น ABC เป็นเท่ำใด (ตร.51)
1. 17 3 ตำรำงหน่วย
21. รถจักรยำนยนต์คันหนึ่งมีวงหน้ำสั้นหว่ำวงล้อหลังอยู่ 2.5 ฟุต เมื่อวิ่งในระยะทำง 200 หลำ ล้อ
หน้ำจะหมุนมำกกว่ำล้อหลังเป็นจำนวน 8 รอบ เส้นรอบวงของล้อหน้ำกับล้อหลังรวมกันเป็นเท่ำไร
(ทร.52)
1) 25 ฟุต
2) 26.5 ฟุต
3) 27.5 ฟุต
4) 28 ฟุต
่




-145-

22. นำยกอบชัย มีที่ดินซึ่งยำวกว่ำด้ำนกว้ำง 7 เมตร และด้ำนยำวด้ำนหนึ่งอยู่ติดแม่น้ำ เขำมีลวด
หนำมอยู่จำนวนหนึ่ง ซึ่งนำมำทำรั้วรอบที่ดินโดยด้ำนที่ติดแม่น้ำไม่ต้องทำรั้ว เขำพบว่ำถ้ำทำรั้วลวด
หนำม 3 รอบ ควำมยำวลวดหนำมที่มีอยู่อำจไม่พอ ขำดไป 23 เมตร แต่ถ้ำทำรั้ว 2 รอบ ควำมยำวลวด
หนำมที่มีอยู่จะเหลือ 23 เมตรพอดี จงหำว่ำที่ดินของนำยกอบชัยมีพื้นที่กี่ตำรำงวำ (ทร.52)
1) 260 ตำรำงวำ
23. ต้องกำรตั้งเสำวิทยุสูง 24 เมตร โดยใช้สำยเคเบิลขึงที่ยอดเสำไปยังหมุด 4 ตัว ที่ตั้งอยู่บนพื้นดิน
โดยหมุดแต่ละตัวอยู่ห่ำงจำกโคนเสำ 8 เมตรเท่ำๆกัน ถ้ำมีสำยเคเบิ้ลอยู่ 96.5 เมตร ถำมว่ำสำย
เคเบิลยำวไม่พอหรือเหลือเท่ำใด (กำหนด 2  14 , 5  2.2 ) (ทร.52)
1) ขำดไป 2.54 เมตร
2) เหลือ 3.50 เมตร
3) ขำดไป 2.06 เมตร
4) เหลือ 71.86
เมตร
24. รูปสำมเหลี่ยมมุมฉำกรูปหนึ่ง มีด้ำนทั้งสำมยำว 10 , 6 , 8 เซนติเมตร เส้นแบ่งครึ่งมุมแหลมที่โต
ที่สุดที่ลำกจำกจุดยอดของมุมไปยัง ด้ำนตรงข้ำมของรูปสำมเหลี่ยมนี้ยำวเท่ำใด (ทร.52)
1) 2 3 เซนติเมตร
2) 4 5
เซนติเมตร
25. ที่จุดสังเกตหนึ่ง มองเห็นวัตถุ A อยู่ทำงเหนือและเห็นวัตถุ B อยู่ทำงทิศเหนือเฉียงมำทำง
ตะวันออก

30 o เมื่อเดินไปทำงทิศตะวันออกเฉียงเหนือ ได้

3
2

ไมล์ จะมองเห็นวัตถุ A อยู่ทำงทิศ

ตะวันตกเฉียงเหนือและเห็นวัตถุ B อยู่ทำงทิศตะวันตกพอดี ถำมว่ำ A และ B อยู่ห่ำงกันกี่ไมล์(ทร.52)
1) 1 ไมล์

2)

3
2

ไมล์

2)

2
3

ไมล์

2)

3
2

ไมล์

26. ถ้ำด้ำนประกอบมุมฉำกของสำมเหลี่ยมมุมฉำกรูปหนึ่งยำว 7 นิ้ว และ 24 นิ้ว แล้วด้ำนที่ยำวที่สุด
ของรูปสำมเหลี่ยมคล้ำยซึ่งมีพื้นที่เป็น 1 ใน 4 ของรูปสำมเหลี่ยมดังกล่ำวเท่ำกับข้อใด(ทร.52)
1) 3.125 นิ้ว
2) 6.25 นิ้ว
3) 12.5 นิ้ว
4) 18.75 นิ้ว
27. ร้อยตรีชำญมองเห็นปืนใหญ่ข้ำศึกอยู่ตรงทิศเหนือพอดี ส่วนร้อยตรีชัยมองเห็น ปืนใหญ่กระบอก
เดียวกันนี้ ทำมุมทิศเหนือเมื่อบมุมกับทิศเหนือ 30o เมื่อวัดตำมเข็มนำฬิกำ และร้อยตรีชัยวัดมุม
ตำแหน่งที่อยู่ของร้อยตรีชำญ ได้มุม 120o ทำมุมกับทิศเหนือเมื่อวัดตำมเข็มนำฬิกำ ซึ่งทรำบว่ำ
ระยะห่ำงระหว่ำงเขำทั้งสองเท่ำกับ 1 กิโลเมตร แล้วปืนใหญ่ข้ำศึกอยู่ห่ำงจำกร้อยตรีชำญกี่เมตร
(ทบ.52)
1) 866
2) 1,154.7
3) 1,414
4) 1,732
5)
2,000
28. ABC เป็นสำมเหลี่ยมด้ำนเท่ำ ยำวด้ำนละ 6 หน่วย ถ้ำ CD ยำว 6 หน่วย แล้ว BD ยำวกี่หน่วย
(ทบ.52)
่




-146-

1)

6 2

2)

6 3

3) 6 5
4) 6 6
5) 6 7
29. บ้ำนของติ๊กอยู่ทิศเหนือของวัดและตลำด โรงเรียนอยู่ทำงทิศตะวันออกของวัดและห่ำงจำกวัด 4.2
กิโลเมตร โรงพยำบำลอยู่ทำงทิศตะวันออกของตลำดและห่ำงจำกตลำด 4.8 กิโลเมตร ถ้ำระยะทำงจำก
ตลำดถึงบ้ำนของติ๊กมำกกว่ำระยะทำงจำกวัดถึงบ้ำนของติ๊ก 5 กิโลเมตร แล้ววัดอยู่ห่ำงจำกบ้ำนของติ๊กกี่
กิโลเมตร(ตร.52)
1) 3.5
2) 7
3) 21
4) 35
30. ภำรโรงคนหนึ่งลองยืนห่ำงเสำธง 15 เมตร พบว่ำ ต้องใช้เชือกเชิญธงยำว 50 เมตร อยำกทรำบว่ำ
เสำธงสูงกี่เมตร(ตร.52)
1) 20
2) 25
3) 5 91
4) ข้อมูลไม่เพียงพอ

ความคล้ายและการเท่ากันทุกประการ
1.
รถถังข้ำศึก ยำว 7 เมตร ร้อยตรีชำญ มองเห็นด้ำนข้ำงของรถถังนี้ในระยะไกล จึงหยิบไม้บรรทัด
ขึ้นมำวัดควำมยำวของรถถังด้วยสำยตำโดยเหยียดแขนออกไปสุดแขนวัดได้ 0.5 เซนติเมตร ถ้ำแขนของ
เขำยำว 70 เซนติเมตร แล้วรถถังคันนี้อยู่ห่ำงจำกเขำกี่เมตร (ทบ.49)
1) 490
2) 670
3) 730
4) 850
5) 980
2.
จำกรูปสำมเหลี่ยม ABC มีจุด X, Y, Z แบ่งด้ำน AB และจุด P, Q, R แบ่งด้ำนAC ออกเป็น 4
ส่วนเท่ำๆกัน ถ้ำสำมเหลี่ยม ZQR มีพื้นที่ 12 ตำรำงหน่วย ดังนั้นพื้นที่สำมเหลี่ยมABC เท่ำกับเท่ำใด
(ทบ.49)
A
P
Y
Q
Z
R
B
C
3.

จำกรูปที่กำหนด ด้ำน EF // BC , FG // CD , EG // BD ข้อใดผิด (ทร.49)


1) FI G  CHD
2) EG  FG
BD

CD

่




-147-

3) ถ้ำ AC = 2AF แล้วจะได้ว่ำ AG = 1 AD
2

4) ถ้ำ AE และ EB = 1 หน่วย AC = 3 หน่วย จะได้ AF =

1
3

หน่วย

4.
กำหนดสี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยมคำงหมู มีจุด E เป็นจุดกึ่งกลำงด้ำน AB และทำให้ DE =
EC ข้อสรุปใดถูกต้อง (ทร.49)
1) ADE  DEC (เหตุผล ม–ด–ม)
2) DEC  ECB (เหตุผล ด–ม–ด)
3) ADE  EBC (เหตุผล ด–ม–ด)
4) ADE และ DEC และ ECB เท่ำกันทุกประกำร (เหตุผล ด–ด–ด)
5.
จำกรูป จงหำพื้นที่สำมเหลี่ยม ABF (ทร.49)
6.
วัตถุตันรูปทรงกรวยถูกตัดออกเป็น 4 ส่วนโดยระนำบ แนวนอนที่ขนำนกับฐำนได้ปริมำตร A ,
B, C และ D ดังรูป ให้ควำมสูงของแต่ละส่วนเท่ำกับ a จงหำอัตรำส่วนของปริมำตร (ทอ.49)
1.
2.
3.
4.

37
7
45
7
37
8
45
8

5. 8
7.
จำกรูปกำหนดให้ ABC เป็น
ประกำรกับ CEB (ทร.50)

หน้ำจั่ว และ AD  CE คุณสมบัติที่ทำให้ ADB เท่ำกันทุก
B

1) ด้ำน-มุม-ด้ำน
2) มุม-ด้ำน-มุม
3) ด้ำน-ด้ำน-ด้ำน
4) ด้ำน-ด้ำน-มุม
D A

่

C E



8.
50)


-148-

กำหนดให้ DE : BC = 3: 7 และ CE = 8

3

หน่วย มี DE // BC แล้ว AC ยำวกี่หน่วย(ทอ.
1. 12
3. 14
5. 16

9.

จำกรูป AE:ED = 1 : 4 ควำมยำว EF เป็นกี่หน่วย เมื่อ
(ทร.52)
1) 27.3 หน่วย
2) 27.8 หน่วย
3) 28.0 หน่วย
4) 28.4 หน่วย

10.


BC  6

หน่วยและ

AB  AC

3
3

2. 13
4. 15

3
3

3

DC  22

หน่วย และ

AB  30

หน่วย

พิจำรณำข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง(ทร.52)

ˆ
1) E  100o
2) ABC ~ CAE
3) AB  3 2 หน่วย
4) พื้นที่ ABC  3 3 ตำรำงหน่วย
11. กำหนดให้ AC // DB จงหำควำมยำวของ X (ทบ.52)

1) 2

2) 4

่

3) 6

4) 8

5) 10




-149-

12. จำกรูป AX1B มีมุม AX1B เป็นมุมฉำก และ AX 1 B ~ X 1 X 2 B ~ X 2 X 3 B ถ้ำมุม X1AB
มีขนำดเป็นสองเท่ำของมุม X1BA และ AX1 = a หน่วย แล้ว a มีค่ำน้อยที่สุดเป็นเท่ำใด จึงจะทำให้
X3B มีควำมยำวเป็นจำนวนเต็มบวก(ตร.52)
1) 4 3
2) 2 3
3) 2

4)

1
4

พหุนาม เศษส่วนพหุนาม
1.

ถ้ำ a 3n = 2 เมื่อ a เป็นเลขจำนวนจริง และ n เป็นเลขจำนวนเต็มบวก แล้ว

a 5n  a 4 n  a 8n  a 7 n
มีค่ำเป็นเท่ำใด (ทบ.49)
a 2 n  a n
1) 11 2) 19
3) 22
3
3
3

2.

ถ้ำ

4)

A
B
Cx
 2x  8


 3
2
x x  2 x  2
x  4x 2  4x

15
3

5)

17
4

แล้ว A – B – C มีค่ำเท่ำใด(ทบ.49)

1) -2 2) 0
3) 3
4) 4
5) 6
3.
กำหนด A และ B เป็นจำนวนเต็มบวก A มีค่ำมำกกว่ำ B อยู่ x ถ้ำ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ
A กับ B เท่ำกับ y และ z ตำมลำดับดังนั้น A  B เท่ำกับเท่ำใด(ทบ.49)
1) x 2 + 2yz
2) z 2 + 2xz
3) x 2 - 2yz
4) y 2 + 2xz
5) y 2 + 2xz
2

่

2




-150-

4.

พหุนำมในข้อใด เมื่อหำรด้วย x + 1 แล้วเหลือเศษที่มีค่ำน้อยที่สุด (ทบ.49)
1) 3x  8x  6x  1
2)  4x  9x  5x 1
3)  5x  7 x  2x 1
4) 12x  11x  19
5) 18x 3  2x 2  x  13
5.
กำหนดให้ x  y   Ax  Bx y  Cx y  Dxy  Ey และ
x  y   Px  Ox y  Rxy  Sy ถ้ำ A + B + C + D + E = u และ P + Q + R +S = v ดังนั้น u +
v เท่ำกับข้อใด (ทบ.49)
1) 8
2) 12
3) 20
4) 24
5) 32
6.
กำหนด 402  50  32 2  202  2  53 2  32 10n จงหำค่ำ n (ทร.49)
1) n = 5
2) n = 4
3) n = 3
4) n = 1
7.
ถ้ำ x 3 + 7x 2 + 2x + 7 หำรด้วย x – 3 แล้วเหลือเศษมำกกว่ำ x 2 + 7x + b หำรด้วย x – 3
อยู่ 12 จงหำว่ำ b เท่ำกับเท่ำใด (ทร.49)
1) 27
2) 61
3) 73
4) 85
8.
กำหนดให้ f (x) เป็นฟังก์ชันพหุนำมดีกรี 3 เมื่อนำฟังก์ชันนี้มำพล็อตกรำฟบนระนำบ x – y
พบว่ำ กรำฟนี้ตัดแกน x ที่จุด (-1, 0), ( 2, 0 ) และ ( 3, 0 ) จงหำค่ำ f (4) - f (1) (ทร.49)
1) 2
2) 4
3) 6
4) 8
5

3

6

4

2

3

4

3

9.

3


7

2

2

4

2

3

2

2

3

3

2

4

3

9 x 2  5x 3  x  6
3  x  5x 2

= Ax + B และสัมประสิทธิ์ของ x จำกผลคูณของ

( Ax 2 + kx + B )( 2 – 3x ) มีค่ำเท่ำกับ -14 แล้ว k มีค่ำเท่ำใด (ทร.49)
1) -8
2) -4
3) 4
4) 8
10. ข้อใดเป็นตัวประกอบหนึ่งของ 3m 3 – 1029 (ทร.49)
1) m 2 – 7m + 36
2) m 2 + 14m + 36 3) m 2 + 21m + 25
4) m 2 + 7m + 49
11.

จงทำให้เป็นผลสำเร็จ
1) 2x – 2y – 5

12.

กำหนดให้ y =

2( x  y) 2  13x  13 y  15
x 5 y

2) 2x – y + 3
( x 3  8)  (2 x 2  5 x  2)
( x 2  4)

(ทร.49)

3) 2x – 2y – 3

4) 2x – 4y – 5

ค่ำของ ( x – 2 ) y คือข้อใด (ทร.49)

1) ( x – 1 )( x – 3 ) 2) ( x – 1 )( x + 3 ) 3) ( x + 1 )( x + 3 ) 4) ( x + 1 )( x – 3 )
13. ถ้ำ ax 3 + bx 2 + cx + d หำรด้วย x 2 - 3 แล้วเหลือเศษ 11x + 7 จงหำค่ำของ a + b + c + d เมื่อ
ผลลัพธ์ของกำรหำรนี้ได้ 3x + 5 (ทร.49)
1) 10
2) 8
3) 5
4) 2

่




-151-

14. ถ้ำ ax 4 + 5x 3 + bx 2 + 20x + 7 หำรด้วย x - 3 แล้วเหลือเศษ 10 กำหนดให้ a + b = 10 จงหำ
ค่ำ a และ b (ทร.49)
1) a = 8 , b = 2
2) a = 1.5 , b = 8.5 3) a = 2.5, b = 7.5
4) a = 7.5, b=2.5
15. ถ้ำ f ( x ) = x 3 - x 2 - kx – 15 หำรด้วย x 2 - 4x – 5 ลงตัว จงหำค่ำของ k (ทร.49)
1) k = 12
2) k = 17
3) k = -12
4) k = -17
16. ถ้ำ a  b  c
และ a + b + c = 16 แล้ว c – b - a เท่ำกับเท่ำไร
4a

7a

(ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1. 4

2.

3

13  c

3.

3
4

4.

2
3

3
2

5. ไม่มีคำตอบ

17. ให้ f x  mx  2  n เมื่อหำร f(x) ด้วย x – 2 แล้วเหลือเศษ m + 2 แต่หำรด้วย f(x)
ด้วย x – 1 แล้วจะเหลือเศษ 6 ถำมว่ำค่ำของ 5m – 2n คือข้อใด (ทอ.49)
1. 16
2. 0
3. -12
4. 2
5. -4
18. ถ้ำนำพหุนำม P(x) ไปหำร 6x  x  21x  18 จะได้ผลหำรเป็น(x + 3) ซึ่งมีค่ำเท่ำกับเศษ
ของกำรหำรแล้วผลรวมของสัมประสิทธิ์ของทุกพจน์ของ P(x) มีค่ำเป็นเท่ำใด (ทอ.49)
1. 1
2. -1
3. 3
4. 15
5. -17
19. ถ้ำ x  2a  5x  6b หำร x  4a  1x  2b ลงตัวแล้ว x มีค่ำเท่ำใด (ทอ.49)
1. b
2. a
3.  2b
4. a
5. b
2

2

2

2

b2

a2

20.

ถ้ำให้

3

x2  y2
4
x y

b2

a2

a2

แล้ว x 3  3x 2 y   xy 3  3 y 3   x 3  4xy  3x 2  มีค่ำเป็นเท่ำใด

(ทอ.49)
1. 3(x + y)(x + 3y)
4. 4xy(x + 3y)
21.

ถ้ำ

a
b
3


x  1 2  x x 2  3x  2

1) 0
22.

ค่ำของ

3) 2

16 2 yz 3  8 xy 3  4 xy
4 xy


3. 4(x + y)(x + 3y)

ดังนั้น 2a – b มีค่ำเท่ำใด (แนวตร.49)

2) 1

1) 4xz 3 2 y 2  z
4) 4xz 3 2 y2  z
23.

2. 3xy(x + 3y)
5. ไม่มีข้อใดถูก

เท่ำกับเท่ำใด (แนวตร.49)

2) 4xz 3 2 y 2  z

x
x2 1

2
x
x2 1

4) 3


1
1
 2
x 1 x 1

่

3) 4xz 3 2 y 2  z



1)
24.


-152-

2)

2



1
2

3)

4)

1

1
2

5) 1

ข้อใดต่อไปนี้ผิด (ทบ.50)
1) (997)(1003) = 99991
2) 3x 4 y  48x 2 y 3  3x 2 y( x  4 y)( x  4 y)
3) 2a 4b  4a 3b  30a 2b  2a 2b(a  5)(a  3)
4) 997  9  994000
5) 4x 4  64  4( x 2  4)( x  2)( x  2)
กำหนด P( x 2  2x)  x 3  3x 2  5 โดยที่ x  0 จะได้ P(0) – P(3) มีค่ำเท่ำใด (ทบ.50)
1) 4
2) 5
3) 6
4) – 1
5) – 2
จงพิจำรณำข้อต่อไปนี้ (ทบ.50)
ก. กำหนด x3  y3  ( Ax  By )(Cx2  Dxy  Ey 2 ) ดังนั้น A + B + C + D + E = 3
ข. กำหนด ( x  y) 3  Ax 3  Bx 2 y  Cxy 2  Dy3 ดังนั้น A + B = C + D
2

25.
26.

ค. กำหนด

y

2x  1
ดังนั้น x  y  1
x 1
y2

ดังนั้น ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1)ก.เป็นจริงเพียงข้อเดียว
2)ข.เป็นจริงเพียงข้อเดียว 3)ค.เป็นจริงเพียงข้อเดียว
4)ก.และข.เป็นจริงสองข้อ 5)ก.และค.เป็นจริงสองข้อ
27.

กำหนด

x
x  x  x 1
3

1) 0

2

A
Bx  C
 2
x 1 x 1



2) 1

3)

ดังนั้น ค่ำของ A + B + C เท่ำกับข้อใด (ทบ.50)
4)

1

28.

กำหนด x + y = 7 และ x 2  y 2  27 ดังนั้น ค่ำของ
1) 112
2) 118
3) 126

29.

กำหนด

30.

31.

32.

x 4  7x 2  1  0


x

1
x

1
2

5)



1
2

4) 135
5) 189

x3  y3


1) 3
2) 4
3) 5
4) 6
5) 7
ข้อใดเป็นตัวประกอบของ 2x  x  8x  4 (ทร.50)
1) ( x  2)(2x  1)( x  2)
2) ( x  2)(2x  1)( x  1)
3) ( x  2)(2x  1)( x  2)
4) ( x  2)(2x  1)( x  2)
ถ้ำ ( 3x  5) 2  3(3x  5)  4 แล้ว ( 3x  5) 3  3 มีค่ำตรงกับ y ในข้อใด (ทร.50)
1) 2y + 2 = 0 2) 2y + 8 = 0
3) y  8  0
4) y  64  0
3

ถ้ำ
1)

mx  2 x  m 2  4 แล้ว

m4

2)

2

m3  m  4
เหลือเศษเท่ำใด
x2

5m  4

่

3)

(ทร.50)

13m  12

4)

19m  20



33.

พิจำรณำสมกำร
1) 0

34.

 x3  6 x 2  12 x  8  3 



 x 2  2
x2  x  6




36.
37.

0.5x 2

1
(4 x  7)( x  1)
8
3) 1 (4 x  7)( x  1)
8
กำหนดให้ 1  2  0
x x3

1) 8
ถ้ำ x  2 หำร
1) 5
ค่ำของ

2)
4)
ค่ำของ

2) 9

x 3  5x 2  kx  8

2)

 3 1


 3 1



2

5

x 99  9

2)
2.

1
3  
 3

x2

3)

2 3

3. A = B

A  B2

 1 
 
 27 

2y

1
 
 81 

2 y

39.

ถ้ำ

40.

1. 3
2. 1
คำตอบของสมกำร x



1) 3 และ 6

2) 2 และ 5


3)
42.

1)
a3
a2

43.

x 1

 9

3. 4


a 1
a

ค่ำของ

แล้วข้อใดสรุปได้ถูกต้อง(ทอ.50)
4. A = 2B

แล้ว

8
2

x  1 1  x2

2)

4)

a2
a

x 2  4 x  12
x6
 3
2
x  5x  6
x  27

A2  B

มีค่ำเท่ำไร(ทอ.50)

5. 2

3) 3 และ -6

2)

 5a  2  
1  a 2
a   2

a   2a  a
a3  a 



5.

x 2  2 xy  y 2  3

18 x  4  5 x 2  6 x  8 x 2  9 x  14 

 2

x 2  4  x 2  4x  4
x  4x  4 

2

4) 7

74 3

4. 0
คือข้อใด (ตร.50)

6 x 2  37 x  10
x2  4
 6 x 2  37 x  10
x2  4

ค่ำของ  2a


1
(4 x  7)( x  1)
8
1
(4 x  7)( x  1)
8


1
1
1
8
Ax 4

 2
 4
 3
4 x  8 4 x  8 x  4 x  16 x  B

3x

4) 3

3) 10
4) 108
ลงตัว แล้ว k มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด (ทร.50)
3) 10
4)  10

ถ้ำ

1)

(ทร.50)


74 3

1. 2A = B

41.

2x
x4

3) 2
 0.375x  0.875 แยกตัวประกอบได้เท่ำกับข้อใด (ทร.50)

1)
38.


2) 1

1)
35.


-153-

4) 2 และ -5

(ตร.50)
6 x 2  37 x  10
x2  4
 6 x 2  37 x  10
x2  4


 เท่ำกับเท่ำใด(ทบ.51)


3) a  1
a2

4)

a2
a2

5)

เท่ำกับเท่ำใด(ทบ.51)

่




-154-

1) x  x  9
2) x  3x  9
3) x
4) x  3x  9
5) x  6x  9
จงหำว่ำ 9 y 6  25 y 4  3 y  8 หำรด้วย 3 y  5 เหลือเศษเท่ำใด(ทบ.51)
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
5) 5
2

2

2

44.
45.

ถ้ำ
1)

46.

x2  y2
x 4  2 x 2 y 2  x3 y  xy 3  y 4
 6 แล้ว
x4  2x2 y 2  y 4
xy
7
2) 5
3) 2
6
6
3

48.

ถ้ำ

ค่ำของ

 y2



2



4)

3) 25



4 6
x  y6
3

4
3

5)

1
3

a 2 x  a 2 x เท่ำกับเท่ำใด(ทบ.51)

2) 27
2


4) 23

5) 21

 เท่ำกับข้อใด ถ้ำกำหนดให้ x และ y เป็นจำนวนจริงที่

(ทร.51)

x2  y2  1

1)

a x  ax  5

x

ค่ำของ

 6x  9

2

1) 29

47.

2



1
3

2)



2
3

3)

A
B
C
3x  1


 2
2
x  1 x  1 ( x  1)
( x  1)( x  1)

4)

1



4
3


1) A + B = 0
2) 2A – C = - 3
3) A + C = -1
4) -A + B – C = 1
49. ให้ a เป็นจำนวนเต็ม ถ้ำ x – a หำร x  2x  5x  2 เหลือเศษ 4 แล้ว ผลบวกของค่ำ a
ทั้งหมดที่สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่ำวมีค่ำเท่ำกับข้อใด (ทร.51)
1)  4
2)  2
3) 2
4) 4
3

50.

2

x3  25 x
x3  6 x 2  5 x
(ทร.51)

x 2  2 x  15
x2  x  6
x 1
2) x  2
3) x  3
x2
x 1
x5
3
2
3 x  2 x  5x  6
โดยที่ Aและ
x 2  ( A  B) x  AB 
3x  9

จงหำ
1)

51.



ถ้ำ



x5
x3

4)

B คือค่ำคงที่ จงหำ 3A+B (ทร.

51)
1) 1

2) 5

( x  1)
x2

52.

4

3) 6

ได้ผลลัพธ์เท่ำไร และเหลือเศษเท่ำไร (ทร.51)

1) ผลลัพธ์ x 3  2 x 2  2x เหลือเศษ -1
2) ผลลัพธ์ x 3  2 x 2  2x เหลือเศษ 1
53. ถ้ำตัวประกอบหนึ่ง x  5x  6x  8 คือ x
ของ x  5x  6x  8 นี้ตรงกับตัวประกอบหนึ่งข้อใด
1) x  x  12
3) x  3x  2
3

3

4) 9

2

2

2

2

่

2

2) ผลลัพธ์ x 3  2 x 2  2 x เหลือเศษ -1
4) ผลลัพธ์ x 3  2 x 2  2 x เหลือเศษ 1
 x  2 แล้ว จงหำว่ำตัวประกอบอีกตัวหนึ่ง
(ทร.51)
2) x  7 x  12
4) x  4x  3
2

2




-155-

54.

พหุนำมข้อใดที่หำรด้วย x – 2 ได้ผลลัพธ์เป็น x  12x  33 เศษ 68 (ทร.51)
1) x  10x  9x  2
2) x  10x  9x  2
3) x  10x  9x  2
4) x  10x  9x  2
55. ถ้ำหำรพหุนำม Ax  Bx  Cx  D ด้วย 2x  5x  3 จะได้ผลลัพธ์เป็น 2x  1 เหลือเศษ
3x  2 จงหำค่ำของ A + B + C + D (ตร.51)
1. 21
2. 15
3. 12
4. 5
56. กระดำษรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อนำมำตัดมุมทั้งสี่ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้ำนยำว x + 1 หน่วย
และนำมำพับขอบให้เป็นกล่องทรงสี่เหลี่ยมมุมฉำกจะมีปริมำตร 9x  3x  8x  4 ลูกบำศก์หน่วยจง
หำว่ำกระดำษแผ่นนี้ก่อนตัดมุมทั้งสี่มีด้ำนยำวด้ำนละกี่หน่วย (ตร.51)
1. 3x – 2
2. 4x – 1
3. 3x + 2
4. 4x + 1
2

3

3

2

3

2

3

2

3

2

2

2

3

57.

ถ้ำ

1
1
( x 2  ) 2  ( x 2  ) 2  12
x
x

แล้ว

x2 

2

3
 1 เท่ำกับข้อใด
x

(ตร.51)

1. – 9
2. 1
3. 9
4. 11
58. ตะกั่วรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉำกกว้ำง 4x  4x หน่วย ยำว 6x  6x หน่วย สูง 8x  8 หน่วย
เมื่อนำตะกั่วมำหลอมทำเป็นลูกบำศก์เล็กๆที่มีควำมยำวแต่ละด้ำนเป็น 2x  2x หน่วยจะได้ลูกบำศก์
ทั้งหมดกี่ลูก (ตร.51)
1. 16 ลูก
2. 24 ลูก
3. 32 ลูก
4. 48 ลูก
3

2

2

2

59.

จงหำผลคูณของ
1. 0

 x 2  11x  24   x 2  11x  28 


 (ตร.51)
 x 2  2 x  35   x 2  4 x  32 




2.  x  5 
3.  x  3 




 x  3
 x 5

13. ถ้ำ x 3  4x 2 y  4xy 2  y 3 หำรด้วย x 2  xy  y 2 เหลือเศษ A จงหำ
1) 4 y 3 ( y 2  1)
2) 4 y 9  2 y 3
3) 2 y 3 ( y 3  2)
60.

a 2 ab b 2


3
4
3

(ทร.52)
1) 4 : 5
61. กำหนด
52)
1) 56 , -1
62.

1
a b

2 3

(2 a  1)  2 2 a  1  3  0

2) 72 , 0
( x 2  x  2) x 3  2 x 2
 2
x 2  4x  3
x 9

2

A2  2 A

4)

จงหำอัตรำส่วนระหว่ำงสัมประสิทธิ์ของเทอม

2) 5 : 6

ค่ำของ x

1) x+1


4. 1

3) 6 : 7
ถำมว่ำ (2
3) 63 , -1

a  1)(2

(ทร.52)
4 y 3 ( y 3  1)

a 2b

และ

ab 2

4) 7 : 8
a  1) มีค่ำเท่ำใด (ทร.
4) 99 , -1

ตรงกับข้อใค (ทร.52)

2) x-3

่

3) x-2

4) x+2


63.



-156-

เป็นตัวประกอบหนึ่ง และ x=1 เป็นคำตอบหนึ่งของพหุนำม
แล้วค่ำของ a  b  2c คือข้อใด(ทร.52)
2) -2
3) 2
4) 4

2 x 2  cx  1

6 x 3  ax 2  bx  2

1) -4

64. ต้องกำรตัดกระดำษรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีควำมยำวด้ำนเท่ำกับ 2x  x  1 นิ้ว ให้เป็นรูป
สี่เหลี่ยมผืนผ้ำขนำด 2x  x  1 ตำรำงนิ้ว ถำมว่ำจะได้กระดำษเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ำขนำดดังกล่ำว
ได้ทั้งหมดกี่ชิ้น(ทร.52)
1) (2x 2  3x  5) ชิ้น
2) (2x 2  13x  11) ชิ้น
2

2

3)
65.
1)
66.

2)

3
(2 x 2  x  ) ชิ้น
2
กำหนดให้ 1  2 x  9 x 2  A2  ( Bx  C ) 2
9
3
2)  2

3
2

ให้

a

เป็นสัมประสิทธิ์ของ
2)

ค่ำของ ABC คือข้อใด(ทร.52)
3)



4)

1
2

6

7

1
2

2 a  2 4  2 a2  2 a a  1
(ทร.52)

2
2 ( a 3)  16

3) 7

1
2

67. X  9X  14 หำรด้วย X 2  X  4 เหลือเศษเท่ำใด (ทบ.52)
1) -2
2) -1
3) 0
4) 1
2
68. ถ้ำ (a  7)(a  8)  9 แล้ว a  a  1 เท่ำกับเท่ำใด (ทบ.52)
1) 46
2) 56
3) 66
4) 76
86
69. ค่ำของ (999,999) 2 มีค่ำเท่ำกับเท่ำไร (ทบ.52)
1) 999,999,989,991
2) 999,999,979,991 3) 999,999,000,001
999,998,000,001
5) 999,997,000,001
4



4)

1
3

x 4 จำกผลคูณของ (7 x 3  3x 2  18x  5) และ

(3x 3  2 x 2  10 x  4) จงหำค่ำของ

1) 6

ชิ้น

2(5x  3)

2

5)

2

70.
1)
71.
1) 0


2X  2 6X 2  2X 3X  6


X 1
3X  1
X2

1
2

2)
กำหนดสมกำร



1
2

1 m3
m3


6 3m  6 2m  4

2) 1

3)

4)

แล้ว X มีค่ำเท่ำใด (ทบ.52)

3
2

3) 4

่

5)

4) 1
1

  4
m



2

5)

2
3

(ตร.52)
4) 9



-157-

พื้นที่ผิวและปริมาตร
1.
ปริซึมหน้ำตัดรูปสำมเหลี่ยมมุมฉำก มีอัตรำส่วนด้ำนประกอบมุมฉำก 3 : 4 ถ้ำปริซึมนี้มีควำม
สูงเป็นสองเท่ำของด้ำนตรงข้ำมมุมแกนของหน้ำตัด และมีพื้นผิวทั้งหมดเท่ำกับ 528 ตำรำงเซนติเมตร
ปริมำตรปริซึมเท่ำกับกี่ลูกบำศก์เซนติเมตร(ทบ.49)
1) 450 2) 480
3) 500
4) 540
5) 600
2.
ถังน้ำมันเป็นรูปทรงกระบอก วำงอยู่บนดินในแนวนอนมีน้ำมันบรรจุอยู่แต่ไม่เต็มถัง โดยวัดจำก
พื้นดินจนถึงระดับน้ำมันในถังได้ 1.5 เมตร ถ้ำถังนี้มีรัศมี 1 เมตร ยำว 10 เมตร แล้วในถังนี้มีน้ำมันอยู่
กี่ลูกบำศก์เมตร(ทบ.49)
1)
4)

15 2

2
3
5
3 3  8
6



2)





5)

3
3 3  6
5

3  4



2
3

3)



5  2 3
3

3.
ถ้วยแก้วรูปทรงกระบอกเส้นผ่ำนศูนย์กลำง 4 เซนติเมตร สูง 8 เซนติเมตร และกรวยกลมเส้น
ผ่ำนศูนย์กลำง 16 เซนติเมตร สูง 12 เซนติเมตร ถ้ำเอำน้ำใส่ถ้วยแก้วให้เต็มแล้วเทใส่ในกรวยระดับน้ำ
ในกรวยจะสูงกี่เซนติเมตร (ทบ.49)
1) 2
2) 3
3) 4
4) 5
5) 6
4.
จำกรูป จงหำพื้นที่ส่วนที่แรเงำว่ำมีกี่ตำรำงหน่วย ถ้ำจุดศูนย์กลำงของวงกลมแต่ละวงอยู่บนเส้น
รอบวงซึ่งกันและกัน โดยมีรัศมี r หน่วย(ทบ.49)
1)

  3  r2

3)



5)

  3  r4

2



3  2 r 2

่

2)



 r2
4) r

3 

2

2

 3
2



2




-158-

5.
จงหำอัตรำส่วนของพื้นที่สำมเหลี่ยม ABC ต่อพื้นที่วงกลมโดยกำหนดให้พื้นที่ในส่วนที่แรเงำมี
ขนำด 15 3 ตำรำงนิ้ว (ทร.49)
B

1)

20

2)

A

C

3)
4)

10 3

6.

1
3
4
9
5
13
5
18

จงหำอัตรำส่วนพื้นที่ A ต่อพื้นที่ B (ทร.49)
1)
3)

2
5
3
4

2)
4)

3
5
4
7

7.
จงหำพื้นที่ผิวทั้งหมดรอบแท่งแก้วพีระมิดที่มีฐำนเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยำวด้ำนละ 9 ซม. และมี
ควำมสูง 4 ซม. เป็นกี่ตำรำงเซนติเมตร (ทร.49)
1) 108
2) 148
3) 171
4) 189
8.
ปี๊บทรงสี่เหลี่ยมมุมฉำกใบหนึ่ง ก้นปี๊บเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยำวด้ำนละ 40 ซม. บรรจุน้ำได้
66 ลิตร นำไปเทใส่ถังรูปทรงกระบอกก้นถังเป็นรูปวงกลม มีควำมสูง 21 ซม. ได้ 10 ถัง พอดี อยำก
ทรำบว่ำปี๊บมีควำมสูงมำกกว่ำรัศมีก้นถังอยู่เท่ำใด (ทร.49)
1) 13.25 เซนติเมตร 2) 20 เซนติเมตร 3) 25 เซนติเมตร
4) 31.25 เซนติเมตร
9.
โลหะตันมีลักษณะดังรูป ส่วนที่เป็นฐำนมีรัศมี 2 ซม. ทรงตันนี้มีควำมสูง 20 ซม. โดยส่วนที่
เป็นกรวยสูง 15 ซม. ถ้ำนำโลหะนี้ไปหลอม และทำเป็นทรงกลมรัศมี

1
2

ซม. จะได้ทรงกลมทั้งหมดกี่

ลูก (ทร.49)
1) 100 ลูก
3) 200 ลูก

่

2) 120 ลูก
4) 240 ลูก




-159-

10. สี่เหลี่ยมลูกบำศก์จำนวน 4 รูป วำงเรียงกันตำมภำพ จงหำปริมำตรรวมกันทั้งหมดเป็นเท่ำใด
(ทร.49)
1) 32 x 10 3 ลูกบำศก์หน่วย
11. ปริซึมสี่เหลี่ยม มีพื้นที่ด้ำน ABFE เป็น 240 ตำรำงเมตร พื้นที่ด้ำน ADHE เป็น 192
ตำรำงเมตร และพื้นที่ด้ำน ABCD เป็น 320 ตำรำงเมตร อยำกทรำบว่ำด้ำน AD ยำวเท่ำไร
1) 12 เมตร
3) 20 เมตร
5) 24 เมตร

2) 16 เมตร
4) 8 เมตร

12. แก้วรูปทรงกระบอก บรรจุน้ำเต็มแก้ว เมื่อคิดเป็นหยดน้ำได้ จำนวน 12,000 หยด จะเต็ม
แก้วพอดี เมื่อหยดน้ำมีเส้นผ่ำนศูนย์กลำง 1 นิ้ว จงหำรัศมีของแก้ว ถ้ำส่วนสูงของแก้วเท่ำกับเส้น
10

ผ่ำนศูนย์กลำงของแก้ว(ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1. 1
2. 1
3

13.

2

3. 1

4. 2

5. 4

กำหนดสำมเหลี่ยม ABC และสำมเหลี่ยม DEF ดังรูป

ให้สำมเหลี่ยม DEF มีพื้นที่ 6.5 ตำรำงหน่วย แล้วสำมเหลี่ยม ABC มีพื้นที่เท่ำกับข้อใด (ทอ.49)
1. 7.5 ตำรำงหน่วย
14. ถังน้ำรูปทรงกลมรัศมี 4 ซม. บรรจุน้ำเต็ม ถ้ำเทน้ำในกรวยที่มีรัศมีของฐำนยำว 8 ซม. สูง 32
ซม. อยำกทรำบว่ำผิวน้ำจะอยู่สูงจำกยอดกรวยเท่ำใด (ทอ.49)
1. 16 ซม.
2. 8 ซม.
3. 4 ซม.
4. 12 ซม.
5. 20 ซม.
่



-160-


15. ก้อนวัตถุตันรูปสี่เหลี่ยมมุมฉำกมีขนำด กว้ำง×ยำว ×สูง เท่ำกับ 70×50×30 ซม. ตำมลำดับถูก
เจำะทะลุเป็นช่องโหว่ 3 ช่องตรงตำแหน่งกึ่งกลำงของด้ำน 3 ด้ำน โดยมีหน้ำตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ขนำด 10×10 ซม. จงคำนวณหำปริมำตรที่เหลือของก้อนวัตถุ (ทอ.49)
1. 89,800 ซม.3
2. 90,000 ซม.3
3. 90,100 ซม.3
4. 90,200 ซม.3
5. 90,300 ซม.3
16. แก้วน้ำรูปทรงกระบอกมีเส้นผ่ำนศูนย์กลำงยำว 5 นิ้ว สูง 10 นิ้ว มีน้ำใส่อยู่โดยมีระดับน้ำสูง
จำกพื้น 6 นิ้ว ใส่ลูกแก้วทรงกลมตันรัศมี 1 นิ้ว ลงไปในแก้วน้ำนั้นทีละลูก ถำมว่ำถ้ำใส่ลูกแก้วลูกที่
เท่ำใด น้ำจึงจะเริ่มล้นออกจำกแก้ (ทอ.49)
1. 10
2. 19
3. 20
4. 15
5. 21
17. ค่ำยทหำรแห่งหนึ่ง มีถังน้ำสองใบ ใบหนึ่งเป็นทรงกลมและอีกใบหนึ่งเป็นลูกบำศก์ ให้ทหำรช่ำง
มำทำสีถังน้ำทั้งสองใบพบว่ำ มีพื้นที่ผิวเท่ำกัน หำกถังน้ำทรงลูกบำศก์มีควำมจุ 1,000 ลิตร จงหำว่ำถัง
น้ำทรงกลมมีควำมจุประมำณเท่ำใด (กำหนดให้   22 ) (ทอ.49)
7

1. 1,000 ลิตร
4. 964 ลิตร

2. 1,264 ลิตร
5. 1,382 ลิตร

3. 1.096 ลิตร

18. จำกรูปส่วนโค้ง ACB, AXC และ BYC เป็นครึ่งวงกลมที่มี AB, AC และ BC เป็นเส้นผ่ำน
ศูนย์กลำงตำมลำดับ ถ้ำ AB ยำว 2 นิ้ว และ AC = BC แล้วพื้นที่แรเงำเป็นกี่ตำรำงนิ้ว (แนวตร.49)
1) 0.5
2) 2
3) 2.5
4) 4
19. โรงเรียนนำยร้อยตำรวจต้องกำรทำสนำมหญ้ำหน้ำโรงเรียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ำยำว 16 เมตร
กว้ำง12 เมตร โดยทำถนนดินลูกรังกว้ำง 3 เมตร ล้อมรอบ ถ้ำค่ำใช้จ่ำยในกำรทำถนน 1 ตำรำงเมตร
ต้องเสียค่ำใช้จ่ำย 100 บำท จงหำว่ำโรงเรียนต้องตั้งงบประมำณเท่ำใด (แนวตร.49)
1) 19,200 บำท 2) 19,800 บำท
3) 20,400 บำท 4) 39,600 บำท
20. กระติกน้ำรูปทรงกระบอกมีเส้นผ่ำนศูนย์กลำง 10 นิ้ว สูง 10 นิ้ว มีน้ำบรรจุอยู่เต็ม เมื่อ
ปล่อยน้ำเติมกระติกที่ 1 ซึ่งเป็นรูปทรงกระบอกเส้นผ่ำนศูนย์กลำง 6 นิ้ว สูง 10 นิ้ว จนเต็ม แล้วปล่อยน้ำ
เติมกระติกที่ 2 ซึ่งเป็นรูปทรงกระบอก เช่นกัน เส้นผ่ำนศูนย์กลำง 8 นิ้ว สูง 10 นิ้ว (เทไม่หก) ข้อใดถูก
่




-161-

1) เติมน้ำเต็มในกระติกที่ 2
2) น้ำกระติกที่ 2 สูง 5 นิ้ว
3) น้ำกระติกที่ 2 สูง 8 นิ้ว
4) น้ำเติมกระติกที่ 2 เหลือน้ำในกระติกสูง 2 นิ้ว
21. เปิดน้ำใส่ถังรูปกรวยกลมที่มีเส้นผ่ำนศูนย์กลำง 14 เซนติเมตร สูง 18 เซนติเมตร ด้วย
ปริมำตร 30ลูกบำศก์เชนติเมตรต่อนำที ถ้ำนี้มีรูรั่วที่ปลำยกรวยทำให้น้ำไหลออกนำทีละ 8 ลูกบำศก์
เซนติเมตรจะต้องเปิดน้ำกี่นำที จึงจะทำให้น้ำเริ่มล้นออกจำกถึง (แนวตร.49)
1) 30
2) 36
3) 40
4) 42
22. พีระมิดฐำนสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีด้ำนฐำนยำวด้ำนละ30 เซนติเมตร และมีสันของพีระมิดยำว 25
เซนติเมตรพีระมิดรูปนี้จะมีปริมำตรกี่ลูกบำศก์เซนติเมตร (แนวตร.49)
1) 1,500 7 2) 900 7
3) 750 7
4) 100 7
23. จำกรูป วงกลมใหญ่ A มีรัศมี 2 หน่วย และวงกลมเล็ก B และ C มีรัศมี 1 หน่วย ถ้ำ BA ตั้งฉำก
กับ AC พื้นที่แรเงำมีค่ำตรงกับข้อใด (ทบ.50)

4

1

2)



4)

1)

 2

4



3)

1
2

5)



1
2

2  5

24. หกเหลี่ยมด้ำนเท่ำรูปหนึ่งแนบในวงกลมซึ่งมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสล้อมรอบ ถ้ำด้ำนของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ยำวด้ำนละ 12 เซนติเมตร พื้นที่หกเหลี่ยมด้ำนเท่ำรูปนั้นมีพื้นที่กี่ตำรำงเซนติเมตร (ทบ.50)
1) 60 2
2) 72 2
3) 54 3
4) 48 3 5) 36 6
25. กรวยกลมตันมีสูงเอียง 12.5 เซนติเมตร และมีพื้นที่ผิวทั้งหมด 56  ตำรำงเซนติเมตร จะมี
ปริมำตรกี่ลูกบำศก์เซนติเมตร (ทบ.50)
1) 49 
2) 64 
3) 72 
4) 80 
5) 121 
26. ดำวเทียมดวงหนึ่งอยู่ที่ระดับควำมสูง h กิโลกรัมเหนือระดับน้ำทะเล โคจรรอบโลกด้วย
ควำมเร็ว v กิโลเมตรต่อชั่วโมง ในกำรโคจร1รอบใช้เวลำ 1 ชั่วโมง โลกมีรัศมีกี่กิโลเมตร (ทบ.50)
1)
4)

2h  vt
2
vt  h
2

2)
5)

vt  2
h
vt  2h
2

3)

vt  2h
2

27. ห้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสห้องหนึ่งบู่ด้วยกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนำดเท่ำกัน กระเบื้องที่ปูตำม
แนวเส้นทแยงมุมเป็นสีดำ มีจำนวน 97 แผ่น นอกจำกนั้นเป็นสีขำว จะต้องใช้กระเบื้องปูห้องทั้งหมดกี่
แผ่น (ทร.50)
1) 2,304 แผ่น 2) 2,401 แผ่น
3) 2,601 แผ่น
4) 2,704 แผ่น

่




-162-

28. สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งแนบอยู่ในวงกลม ซึ่งมีรัศมี 3 ซม. จงหำควำมยำวของเส้นรอบรูปของ
สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปนี้ (ทร.50)
1) 12 2 ซม. 2) 18 2 ซม.
3) 36 ซม.
4) 72 ซม.
29. คุณแม่แบ่งมรดกที่ดิน 40 ไร่ 2 งำน ให้ลูกชำย 2 คน ๆ ละเท่ำ ๆ กัน ถ้ำลูกชำยคนเล็กได้ที่ดิน
เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่ดินของเขำจะมีควำมยำวด้ำนละกี่เมตร (ทร.50)
1) 160 เมตร 2) 170 เมตร
3) 180 เมตร
4) 190 เมตร
30. หยดน้ำรูปทรงกลมมีเส้นผ่ำนศูนย์กลำง 0.1 นิ้ว ตกลงในกรวยกลม 500 หยดก็เต็มพอดี ถ้ำ
กรวยกลมมีส่วนสูงเท่ำกับเส้นผ่ำนศูนย์กลำงปำกกรวย กรวยกลมใบนี้มีควำมสูงกี่นิ้ว (ทร.50)
1) 0.5
2) 1
3) 2
4) 8
31. ลูกทองเหลืองทรงกลมตันลูกหนึ่งมีรัศมี 7 ซม. จงหำว่ำลูกบำศก์ทองเหลืองที่มีพื้นที่ผิวเท่ำกับ
ลูกทรงกลมทองเหลือนี้จะมีควำมยำวด้ำนละกี่ ซม. (ทร.50)
1)

 67 

4
 3 



2)

 77 

4
 3 



3)

 67 

2
 3 



4)

 77 

2
 3 



32. สำมเหลี่ยมด้ำนเท่ำรูปหนึ่งมีควำมยำวของเส้นรอบรูปเท่ำกับ 18 ซม. จงหำพื้นที่ของสี่เหลี่ยม
จัตุรัสที่อยู่บนเส้นตั้งฉำกที่ลำกจำกจุดยอดของสำมเหลี่ยมมำยังฐำน เป็นกี่ตำรำง ซม. (ทร.50)
1) 9
2) 27
3) 36
4) 45
33. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปสำมเหลี่ยมด้ำนเท่ำที่มีเส้นรอบรูปยำว 12 นิ้วเท่ำกัน จะมีพื้นที่ต่ำงกัน
กี่ตำรำงนิ้ว (ทร.50)
1) 1.7
2) 2.1
3) 3.0
4) 6.9

34.

C

พื้นที่แรเงำในสำมเหลี่ยมคือ (ทร.50)
1)
2)
3)
4)

5
r 2 (6  4 3   )
2
7
2
r (6  4 3   )
2
5
r 2 (6  5 3   )
2
5
r 2 (6  5 3   )
2

35. วงกลมวงหนึ่งมีพื้นที่
พื้นที่กี่ตำรำงหน่วย (ทร.50)

4

r
r

r

A
B
ตำรำงหน่วย สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่ที่สุดที่บรรจุภำยในวงกลม จะมี

่




-163-

1) 4
2) 6
3) 8
4) 10
36. A และ D เป็นจุดศูนย์กลำงของวงกลมที่มีรัศมี 1 หน่วยเท่ำกันและตัดกัน BC เป็นเส้นตรงที่
สัมผัสวงกลมทั้งสองวงดังรูป ถ้ำพื้นที่แรเงำ BCG เท่ำกับพื้นที่แรเงำ GEF แล้วพื้นที่สำมเหลี่ยม
ABCD มีค่ำเท่ำไร(ทอ.50)
1.

ตำรำงหน่วย


3.


4.

5.



37. จงหำพื้นที่ส่วนที่แรเงำของรูปครึ่งวงกลมที่มีด้ำนของรูปสำมเหลี่ยมมุมฉำกเป็นฐำน มีควำมยำว
ด้ำนเป็น a , b และ c ดังรูป(ทอ.50)
1.
2.
3.

4.

5. 1 ab  c 
2

38. วงกลมรัศมี 6 หน่วย จำนวน 4 วง บรรจุในสี่เหลี่ยมผืนผ้ำที่มี P เป็นมุมยอดมุมหนึ่ง Q และ
R เป็นจุดที่วงกลมสัมผัสด้ำนของสี่เหลี่ยมดังรูป พื้นที่ของสำมเหลี่ยม PQR เท่ำกับกี่ตำรำงหน่วย(ทอ.
50)
1. 270
2. 180
3. 108
4. 90

39. สำมเหลี่ยมด้ำนเท่ำและสี่เหลี่ยมจัตุรัสสีเส้นรอบรูปยำวเท่ำกัน ถ้ำเส้นรอบรูปรวมกันยำว 72
ฟุต แล้ว สำมเหลี่ยมด้ำนเท่ำจะมีพื้นที่เท่ำไร(ทอ.50)
1. 36 ตำรำงฟุต
2. 36 3 ตำรำงฟุต
5. 72 ตำรำงฟุต
40. สี่เหลี่ยมด้ำนขนำน ABCD มี BE = EF = CF ดังรูป ให้ GF // AE และ DF // GE จงหำ
พื้นทีสำมเหลี่ยม GEF ถ้ำสี่เหลี่ยม ABCD มีพื้นที่ 72 ตำรำงเซนติเมตร(ทอ.50)
่
1. 10 ตำรำงเซนติเมตร
่




-164-

41.

สมชำยมีที่ดินเป็นรูปสี่เหลี่ยม ABCD เขำมีพื้นที่ประมำณกี่ไร่ (ตร.50)
120 เมตร C
100 เมตร
250 เมตร
B
75 เมตร
D
60 เมตร

75 เมตร A
1) 15.3 ไร่
2) 16.3 ไร่
3) 17.3 ไร่
4) 18.3 ไร่
42. ผู้ก่อควำมไม่สงบต้องกำรวำงระเบิดในพื้นที่ห้องประชุมรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ำที่มีขนำดกว้ำง 18 เมตร
ยำว 24 เมตร ดังรูป ผู้ก่อกำรต้องใช้ระเบิดอย่ำงน้อยที่สุดกี่ลูก ( * คือจุดวำงระเบิด) (ตร.50)
1) 6 ลูก
2) 5 ลูก
3) 4 ลูก
4) 3 ลูก

43. กระดำษรูปวงกลมมีเส้นผ่ำนศูนย์กลำง a เซนติเมตร ต้องกำรตัดให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่
ที่สุดจะต้องตัดขอบทิ้งไปคิดเป็นพื้นที่ประมำณกี่ตำรำงเซนติเมตร(ทบ.51)
1)
4)

  2 2

a
 2 
 2  1  2

a
 2 

  1 2

a
 4 
 2  1  2

a
 4 

2)
5)

3)

  2 2

a
 4 

44. ดินสอแท่งกลมยำว 18 เซนติเมตร มีเส้นผ่ำนศูนย์กลำง 1 เซนติเมตร เหลำปลำยด้ำนหนึ่ง
เป็นรูปกรวยที่มีส่วนสูงเอียง 2 เซนติเมตร จงหำว่ำเหลำเนื้อดินสอออกไปเป็นปริมำตรกี่ลูกบำศก์
เซนติเมตร(ทอ.50)
1.

2.

3.

4.

5.

45. ช็อคโกแลตรูปทรงกลมเส้นผ่ำนศูนย์กลำง 6 นิ้ว แบ่งให้เด็ก 3 คน ในอัตรำส่วน 1 : 2 : 3
เด็กคนที่ได้รับช็อคโกแลตมำกที่สุด จะได้รับช็อคโกแลตเป็นปริมำตรมำกกว่ำเด็กคนที่ได้รับช็อคโกแลต
น้อยที่สุดเท่ำไร(ทอ.50)
่




-165-

1.

ลูกบำศก์นิ้ว

2.


4.


5.

3.



46. โรงเรียนนำยเรืออำกำศต้องกำรสร้ำงสโมสรนักเรียนบนพื้นที่ 15 ไร่ ซึ่งในพื้นที่ 15 ไร่นี้
กำหนดให้มีสระน้ำเพื่อสร้ำงทัศนียภำพที่สวยงำม โดยมีขนำดของสระน้ำกว้ำง 25 วำ ยำว 40 วำ ถ้ำ
ต้องกำรนำดินจำกกำรขุดสระน้ำดังกล่ำวมำปรับระดับพื้นที่ที่เหลือให้สูงขึ้น 1.5 เมตร จงหำว่ำจะต้องขุด
สระน้ำให้มีควำมลึกกี่เมตร(ทอ.50)
1. 7 เมตร
2. 7.5 เมตร 3. 8 เมตร
4. 8.5 เมตร 5. 9 เมตร
47. พีระมิดหกเหลี่ยมด้ำนเท่ำยำวด้ำนละ 6 หน่วย สูง 8 หน่วย จงหำพื้นที่ผิวข้ำงทั้งหมดของพีระมิดนี้
(ตร.50)
1) 54  3  91 ตำรำงหน่วย
2) 54 3 ตำรำงหน่วย
3) 128 91 ตำรำงหน่วย
4) 18 3 3  91 ตำรำงหน่วย
48. พีระมิดฐำนสี่เหลี่ยมจัตุรัสยำวด้ำนละ 8 หน่วย หน้ำตัดยำวด้ำนละ 4 หน่วย สูง 6 หน่วย ดังรูป
จะมีปริมำตรเท่ำใด (ตร.50)

8
1) 224
2) 80
3) 96
4) 186
49. หยดน้ำเป็นรูปทรงกลมมีเส้นผ่ำนศูนย์กลำง 0.8 เซนติเมตร ใส่หยดน้ำ 1000 หยด ลงในกรวย
กระดำษสำหรับดื่ม ซึ่งควำมสูงของกรวยเท่ำกับ 8 เซนติเมตร น้ำเต็มกรวยกระดำษพอดี จงหำรัศมีของ
กรวยกระดำษ (ตร.50)
1) 4 2
2) 8 2
3) 4 3
4) 8 3
50. กระป๋ องน้ ำเป็ น รู ป กรวยยอดตัด ปำกกระป๋ องมีเ ส้ น ผ่ ำ นศู นย์ กลำง 1 ฟุ ต 2นิ้ ว ลึ ก 8นิ้ ว ก้ น
กระป๋องมีเส้นผ่ำนศูนย์กลำง 6 นิ้ว นำกระป๋องนี้ตักน้ำใส่ถังรูปทรงกระบอกมีเส้นผ่ำนศูนย์กลำง 3 ฟุต 4
นิ้ว สูง 4 ฟุต 2 นิ้ว จะต้องตักน้ำเต็มกระป๋องทุกครั้งใส่ถังอย่ำงน้อยกี่กระป๋องจึงเต็มถัง(ตร.50)
1 ฟุต 2 นิ้ว
1
8 นิ้ว
่




-166-

6 นิ้ว
1) 80
2) 85
3) 90
4) 95
51. จำกรูป ด้ำนของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นเส้นผ่ำนศูนย์กลำงของครึ่งวงกลมแต่ละรูป พื้นที่ของอำณำ
บริเวณที่แรเงำเป็นกี่ตำรำงหน่วย(ทบ.51)
1) 4a  2
2) 4a 2 (  2) 3) a 3 (  2)
4)

52.

a2
(  2)
2

5)

2a 2 (  2)

ถังเก็บน้ำทรงกระบอก ฐำนมีเส้นผ่ำนศูนย์กลำง 2 เมตร สูง 3.6 เมตร และควำมหนำของก้นถัง

และด้ำนข้ำงเท่ำกับ 10 เซนติเมตร จะเก็บน้ำได้ประมำณกี่ลูกบำศก์เมตร (กำหนดให้ 
1) 7

2) 8

3) 9



22
)(ทบ.51)
7

4)10

5)11
53. เอกต้องกำรทำสีลูกบอลลูนทรงกลมที่มีเส้นผ่ำศูนย์กลำงยำว 6 เมตร โดยที่ช่ำงทำสีคิดค่ำทำสี
ตำรำงเมตรละ 5 บำท เอกต้องจ่ำยเงินค่ำทำสีกี่บำท(ทบ.51)
1) 150 
2) 180 
3) 560 
4) 1000 
5)
1440 
54. พีระมิดฐำนสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีฐำนยำวด้ำนละ 10 เซนติเมตร และสูงเอียง 13 เซนติเมตร จะ
มีปริมำตรกี่ลูกบำศก์เซนติเมตร(ทบ.51)
1) 375
2) 400
3) 415
4) 425
5) 450
55. ร้ำนทองแห่งหนึ่งต้องกำรทำแหวนทองขนำดเส้นผ่ำนศูนย์กลำงภำยใน 2 เชนติเมตร โดยมีเส้น
ผ่ำนศูนย์กลำงภำยนอก 2.4 เซนติเมตร และมีควำมสูง 0.2 เซนติเมตร กำรทำแหวนดังกล่ำวใช้กำรนำ
ทองทรงกลมตันเส้นผ่ำนศูนย์กลำง 4 เซนติเมตร มำหลอม ถ้ำร้ำนทองต้องกำรทำแหวนทองรวมทั้งสิ้น
8,000 วง อยำกทรำบว่ำจะต้องใช้ทองคำทรงกลมตันกี่ลูก (ทร.51)
1) 33 ลูก
2) 44 ลูก
3) 66 ลูก
4) 99 ลูก
56. กรวยเหลี่ยมยอดตัดที่มีพื้นทีหน้ำตัดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะมีปริมำตรแปรผันตำมผลต่ำงของ
พื้นที่หน้ำตัดทั้งสอง และแปรผันตำมกับควำมสูงของกรวยเหลี่ยมยอดตัดนี้ด้วย ถ้ำกรวยนี้มีหน้ำตัดยำว
ด้ำนละ 4 เมตร และ 3 เมตร สูง 3 เมตรจะมีปริมำตร 7 ลูกบำศก์เมตรจงหำพื้นที่ฐำนของกรวยเหลี่ยม
ยอดตัดที่มีปริมำตร 22 ลูกบำศก์เมตร สูง 6 เมตร และมีพื้นที่หน้ำตัดส่วนบนยำวด้ำนละ 5 เมตร(ทร.51)
่




-167-

1) 16 ตำรำงเมตร 2) 26 ตำรำงเมตร


4) 46 ตำรำง

เมตร
57. ถังทรงกระบอกสูง 21 เซนติเมตร มีน้ำอยู่ 396 ลูกบำศก์เมตร ใส่โลหะทรงกลมตันปริมำตร 198
ลูกบำศก์เซนติเมตรลงไปทำให้น้ำเต็มถังพอดี ถังทรงกระบอกมีรัศมียำวเท่ำไร    22  (ทร.51)




7 

1) 3
2) 6
3) 9
4) 12
58. ตำมรูปด้ำนขวำ กรวยตรงขนำดสูง 8 เซนติเมตร มีรัศมี 2 เซนติเมตร บรรจุน้ำได้เต็มปำกกรวย
พอดี ถ้ำเรำดื่มน้ำในกรวยนี้ จนระดับน้ำลดลงจำกปำกกรวย 3 เซนติเมตร ผิวน้ำที่เหลือในกรวยจะมีรัศมี
ยำวเท่ำใด (ทร.51)
59. พีระมิดฐำนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยำวด้ำนละ 9 2 เซนติเมตร หน้ำด้ำนข้ำงทุกด้ำนเป็นรูป
สำมเหลี่ยมด้ำนเท่ำ พีระมิดนี้มีปริมำตรเท่ำกับเท่ำใด (ทร.51)
1) 432 ลูกบำศก์เซนติเมตร
60. ถังบรรจุสีใบหนึ่งสูง 40 หน่วย มีปริมำณสีเหลืออยู่ในถัง 41,580 ลูกบำศก์หน่วย ซึ่งเท่ำกับ 3 ใน
4 ของถัง ถ้ำต้องกำรวัดควำมยำวแนวทแยงมุมจำกปำกถังสีจนถึงก้นถังจะมีควำมยำวเท่ำไร (ตร.51)
1. 29 หน่วย
2. 45.18 หน่วย
3. 58 หน่วย
4. 90.36 หน่วย
61. นำแท่งไม้ทรงกระบอก มีเส้นรอบหน้ำตัดเท่ำกับ 10  หน่วย มีปริมำตร 300  ลูกบำศก์หน่วย
มำกลึงทำเป็นกรวยกลมให้มีฐำนและสูงเท่ำเดิม จะได้กรวยกลมมีพื้นที่ผิวข้ำงเป็นเท่ำใด (ตร.51)
1. 63  ตร.หน่วย 2.65  ตร.หน่วย
3. 68  ตร.หน่วย 4.70  ตร.หน่วย
62. หยดน้ำรูปทรงกลมเส้นผ่ำนศูนย์กลำง 0.1 นิ้ว ตกลงในกรวยกลม 256 เม็ด ก็เต็มพอดี ถ้ำกรวย
กลมมีส่วนสูงเท่ำกับเส้นผ่ำนศูนย์กลำงปำกกรวย กรวยใบนี้สูงกี่นิ้ว(ทร.52)
1) 0.4 นิ้ว
2) 0.8 นิ้ว
3) 1.0 นิ้ว
4) 1.2 นิ้ว

่




-168-

63. แม่ค้ำต้องกำรห่อแตงโมทรงกลมที่ถูกผ่ำครึ่งด้วยพลำสติดหุ้มอำหำร โดยแตงโมลูกดังกล่ำวมีเส้น
ผ่ำนศูนย์กลำง21 นิ้ว แม่ค้ำต้องใช้พลำสติกหุ้มอำหำรมีพื้นที่เท่ำใดเพื่อห่อแตงโมทั้งครึ่งผลนั้น
( x  22 7 )(ทร.52)
1) 693 ตำรำงนิ้ว
2) 936.5 ตำรำงนิ้ว
3) 1,039.5 ตำรำงนิ้ว
4) 4,851 ตำรำงนิ้ว
64. ถังน้ำทรงกระบอกสูง 7 ฟุต เส้นผ่ำนศูนย์กลำง 8 ฟุต บรรจุแก้วทรงกลมรัศมี 0.5 ฟุต จำนวน
84 ลูก ถ้ำเทน้ำลงถังในอัตรำเร็ว 25 ลูกบำศก์ฟุตต่อนำที พบว่ำต้องใช้เวลำถึง 14 นำที น้ำจึงจะเต็ม
ถังพอดี เนื่องจำกถังใบนี้รั่ว ถำมว่ำน้ำรั่วออกจำกถังด้วยอัตรำเร็วกี่ลูกบำศก์ฟุตต่อนำที เมื่อกำหนด
  22 7 (ทร.52)
1) 3
2) 5
3) 11
4) 15
65. ทรงกลมลูกหนึ่งบรรจุอยู่ในทรงกระบอกกลมที่มีฝำปิดสองด้ำนได้พอดี อัตรำส่วนระหว่ำงพื้นที่ผิว
ของทรงกระบอกกลมต่อพื้นที่ผิวทรงกลมมีค่ำเท่ำกับข้อใด(ทร.52)
1)

4
3

2)

3
2

3)

5
3

4) 2

66.
พื้นที่ผิวข้ำงของปิระมิดสำมเหลี่ยมด้ำนเท่ำ ซึ่งมีควำมยำวรอบฐำน 12 นิ้ว ส่วนสูง 9 นิ้ว เป็นกี่
ตำรำงเมตร(ทร.52)
1) 2 741
2) 3 741
1) 3 247
1) 2 247
67.
พีระมิดฐำนสี่เหลี่ยมมุมฉำกกว้ำง 8 เมตร ยำว 13 เมตร มีปริมำตร 312 ลูกบำศก์เมตร จงหำว่ำ
พีระมิดนี้สูงกี่เมตร (ทบ.52)
1) 8
2)
3) 10
4) 11
5) 12
68. จำกรูป ABC เป็น สำมเหลี่ยมมุมฉำก มี AB = AC = CD = 8 หน่วย จงหำว่ำพื้นที่ที่แรเงำเท่ำกับ
เท่ำกับกี่ตำรำงหน่วย (ทบ.52)
1) 8(4  )
2) 8(3  )
3) 8(2  )
4) 8(4  )
5) 8(3  )
69.

ข้อใดผิด (ทบ.52)

1) 288 ลูกบำศก์นิ้ว = 1 ลูกบำศก์ฟุต

2) 1 เกวียน = 2,000 ลิตร

3) 144 ตำรำงคืบ =

4)

5)

3
ไมล์
4

=

1
10

6
1
2 ตำรำงวำ
4

1
กิโลเมตร
5

= 5 เส้น

โยชน์

่



-169-


70. คลองซึ่งมีลักษณะตัดขวำงเป็นรูปสี่เหลี่ยมคำงหมู ดังรูปจะสำมำรถระบำยน้ำได้ปริมำตรสูงสุดกี่
ลูกบำศก์เมตรต่อวินำที โดยที่น้ำไม่ล้น ถ้ำอัตรำเร็วของน้ำที่ไหลเท่ำกับ 1 เมตรต่อวินำที (ทบ.52)
1) 400
3) 800
5) 1,200

2) 600
4) 1,000

71. ทรงกระบอกซึ่งมีด้ำนบนและด้ำนล่ำงเป็นกรวยซึ่งมีลักษณะและขนำด ดังรูป พื้นที่ผิวของวัตถุนี้
มีกี่ตำรำงหน่วย (ทบ.52)
1)
2)
3)
4)
5)

72.

2 r 2 ( 2  1)
6 r 2

 r 2 ( 2  1)

2 r 2 3

3 r 2 ( 2  1)

จำกรูป พื้นที่ที่แรเงำมีกี่ตำรำงหน่วย (ทบ.52)
1)
3)
5)

( 4  3 3 )

r2
6

r2
3
r2
( 2  3 3 )
6

( 2  3 3 )

2)
4)

r2
6
r2
( 2  3 3 )
3

( 4  3 3 )

73. จำกรูป AB=10 เซนติเมตร AC=7 เซนติเมตร วงกลม D มีรัศมียำว กี่เซนติเมตร (ทบ.52)
2) 2 เซนติเมตร
่



-170-


74. สระว่ำยน้ำแห่งหนึ่งมีขนำดวัดภำยในยำว 4 เมตร กว้ำง 2.5 เมตร พื้นสระเอียงลำดด้ำนยำวลง
ระดับตื้นสุด 1.5 เมตร ไปสู่ระดับลึกที่สุด 3 เมตร ถ้ำใช้เครื่องสูบน้ำออกจำกสระได้นำทีละ 3,000 ลิตร
จะต้องใช้เวลำสูบน้ำนำนเท่ำไรจึงจะหมดสระ(ตร.52)
1)
6.5 นำที
2) 7.5 นำที
3) 8.5 นำที
4) 9.5 นำที
75. กล่องสี่เหลี่ยมมุมฉำกหนึ่งมีอัตรำส่วนควำมกว้ำงต่อควำมยำวเป็น 5:8 และควำมสูงต่อควำมยำว
เป็น 3:10 ถ้ำกล่องนี้มีควำมกว้ำง 1 ศอก จงหำปริมำตรกล่องนี้เป็นกี่ลูกบำศก์เมตร(ตร.52)
1) 0.012 ลูกบำศก์เมตร
2) 0.096 ลูกบำศก์เมตร
3) 12,000 ลูกบำศก์เมตร
4) 960,000 ลูกบำศก์เมตร
76. แก้วทรงกระบอกมีน้ำอยู่เต็ม เมื่อเทน้ำออก 77 ลูกบำศก์เซนติเมตร ปรำกฏว่ำระดับน้ำจะลดลงไป
2 เซนติเมตรและมีน้ำเหลือในแก้ว 616 ลูกบำศก์เซนติเมตร จงหำอัตรำส่วนของระยะจำกปำกแก้วน้ำถึง
ระดับผิวน้ำต่อควำมสูงของน้ำที่เหลือในแก้ว(ตร.52)
1) 2 : 15
2) 2 : 17
3) 1 : 7
4) 1 : 8
77. จำกรูปของรูปคลี่รูปเรขำคณิตสำมมิติต่อไปนี้(ตร.52)
พิจำรณำข้อควำมต่อไปนี้
ก. พื้นที่ผิวของรูปเรขำคณิตสำมมิติเท่ำกับ
120
988
 ตำรำงหน่วย
3

ข. ปริมำตรของรูปเรขำคณิตสำมมิติ เท่ำกับ
343 ลูกบำศก์หน่วย ข้อใดถูกต้อง
1) ข้อ ก. ถูกข้อเดียว
2) ข้อ ข. ถูกข้อเดียว
3) ถูกทั้ง ก. และ ข.
4) ผิดทั้ง ก. และ ข.
78. จำกรูป ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉำกที่มี BC = 2 (AB) รูปสำมเหลี่ยม XYZ คล้ำยกับรูป
สำมเหลี่ยม FYM AM : MB = DN : NC = 1 : 2 ถ้ำ MB = 40 หน่วย แล้วพื้นที่ที่แรเงำเท่ำกับกี่ตำรำง
หน่วย(ตร.52)
1) 400
2) 800
3) 1600
4) 3600

่



-171-


79. เดชนำไม้จิ้มฟันทั้งหมดที่เขำมีมำวำงเรียงต่อกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ 289 ตำรำงหน่วยได้
พอดี ซึ่งไม้จิ้มฟันแต่ละอันมีควำมยำวหนึ่งหน่วยเท่ำกัน ถ้ำเดชนำไม้จิ้มฟันทั้งหมดมำวำงเรียงต่อกันเป็น
รูปสำมเหลี่ยมหน้ำจั่ว โดยแต่ละด้ำนมีควำมยำวเป็นจำนวนเต็มหน่วยแล้ว เดชจะสำมำรถเรียงเป็นรูป
สำมเหลี่ยมหน้ำจั่วได้กี่แบบ(ตร.52)
1) 16
2) 17
3) 32
4) 33

80.

ABC

เป็นรูปสำมเหลี่ยมมุมฉำก AB = 6 หน่วย และ BC = 8 หน่วย ส่วนโค้งบนแต่ละด้ำนของ
รูปสำมเหลี่ยม ABC เป็นรูปครึ่งวงกลม พื้นที่ส่วนที่แรเงำเป็นเท่ำไร(ตร.52)
1) 41.5 ตำรำงหน่วย

81. ถ้ำลูกบำศก์ลูกหนึ่งมีปริมำตร 32 ลูกบำศก์เซนติเมตร และพื้นที่ผิวของลูกบำศก์ลูกนี้ตรงกบข้อใด
(ตร.52)
1) 4

3

16

2) 42 2 ตำรำงเซนติเมตร

ตำรำงเซนติเมตร

3

3) 48 2 ตำรำงเซนติเมตร
4) 64 ตำรำงเซนติเมตร
82. วงกลมวงหนึ่งมีเส้นรอบวงยำว 132 เซนติเมตร ตัดวงกลมเป็นรูปสำมเหลี่ยมฐำนโค้ง โดยมีจุดยอด
มุมรูปสำมเหลี่ยมรูปสำมเหลี่ยมฐำนโค้งอยู่ที่จุดศูนย์กลำงของวงกลมและมีขนำด 30 องศำ แล้วนำส่วนที่
เหลือ โดยนำรัศมีมำต่อกันเป็นรูปกรวย (ไม่เสียพื้นที่ตรงรอยต่อ) จงหำพื้นที่ผิวของรูปกรวย(ตร.52)
1) 1,270. ตำรำงเซนติเมตร
2) 1,386.0 ตำรำงเซนติเมตร
83. ทรงกระบอกสองอันซึ่งมีรัศมีเท่ำกับ อัตรำส่วนของปริมำตรเป็น 6 : 29 ถ้ำทรงกระบอกเล็กมีพื้นที่
ผิวข้ำงเป็น 108 ตำรำงนิ้ว แล้วทรงกระบอกใหญ่จะมีพื้นที่ผิวข้ำงเป็นเท่ำไร(ตร.52)
84. ทรงกลมลูกใหญ่มีปริมำตร 27 เท่ำของทรงกลมเล็ก ถ้ำทรงกลมใหญ่มีรัศมี 5 นิ้ว แล้วทรงกลมเล็ก
จะมีพื้นที่ผิวเท่ำไร
3

1)
3)

20
 ตำรำงนิ้ว
3
300
 ตำรำงนิ้ว
7

2) 100  ตำรำงนิ้ว
4)

9
500

27

ตำรำงนิ้ว

่




-172-

สมการ
1.

กำหนด

1
x  2 : 2 x  4  1 : 2
2


3

x 2  6x


1) -6 2) -4
3) -2
4) 0
5) 2
2.
พ่อค้ำซื้อดินสอมำโหลละ 132 บำท จำนวน 12 โหล แล้วมำเร่ขำย 5 แท่ง 60 บำท ถ้ำดินสอ
หำยไป 14 แท่ง เมื่อขำยหมดเขำจะได้กำไรหรือขำดทุนเท่ำใด (ทบ.49)
5) เท่ำทุน
3.
ในแต่ละวัน รักชำติจะขำยขำไข่ไก่ได้วันละ 1,000 ฟอง ฟองละ 3 บำท แต่วันนี้พอรักชำติขำย
ไปได้ 700 ฟอง รักชำติก็ลดรำคำขำยลงเหลือฟองละ 2 บำท และมีไข่ไก่บำงฟองที่แตก จึงต้องทิ้งไป
หลักจำกขำยไข่ไก่จนหมดพบว่ำรำยรับของรักชำติในวันนี้ น้องลงไป 13% ถำมว่ำจำนวนไข่ไก่ที่แตกมีกี่
ฟอง (ทร.49)
1) 15
2) 30
3) 45
4) 90
4.
ร.ท. นำวิน ขับรถออกจำกบ้ำนด้วยควำมเร็ว 40 กม. / ชม. ต่อมำอีก 2 ชั่วโมง ร.อ. กสิณ จึง
ขับรถออกจำกบ้ำนหลังเดียวกันด้วยควำมเร็ว 50 กม. / ชม. อยำกทรำบว่ำ ร.อ. กสิณ จะใช้เวลำเท่ำใด
จึงจะแซงหน้ำ ร.ท. นำวิน เป็นระยะทำง 10 กม. (ทร.49)
1) 7 ชม.
2) 8 ชม.
3) 9 ชม.
4) 10 ชม.
5.

ถ้ำ
1. 9

3x  1 x  3

3
2
3

แล้ว ค่ำของ 3x  12 มีค่ำเท่ำใด(ทอ.(ช้ำงเผือก)49)

2. 16

3. 25

4. 49

5.

64

่



-173-


6.
ในกระปุกออมสินใบหนึ่งมีเหรียญ 3 ชนิด โดยมีเหรียญห้ำบำทมำกกว่ำเหรียญสิบบำทอยู่ 32
เหรียญ และมีเหรียญบำทมำกกว่ำเหรียญห้ำบำทอยู่ 41 เหรียญ ถ้ำในกระปุกมีเงินทั้งสิ้น 457 บำท จง
หำว่ำในกระปุกออมสินมีเหรียญสิบบำทอยู่กี่เหรียญ(ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1. 10
2. 12
3. 13
4. 14
5. 16
7.
ร.ท. สมภูมิ มีดินสอมำกเป็น 4 เท่ำของจำนวนยำงลบ และมำกกว่ำปำกกำอยู่ 5 ด้ำม และ
เขำยังมีไม้บรรทัดจำนวนเป็นกำลังสองของยำงลบ หำกเขำมีสิ่งของทั้ง 4 ชนิดนี้เป็นจำนวนรวม 215
ชิ้น จงหำผลต่ำงระหว่ำงจำนวนปำกกำกับไม้บรรทัด(ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1. 65
2. 77
3. 82
4. 101
5. ไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง
8.
พ่อค้ำซื้อผ้ำมำด้วยจำนวนเงิน 75 บำท เขำเก็บผ้ำไว้ 4 เมตร แล้วขำยผ้ำที่เหลือไปด้วยรำคำ
เกินต้นทุนเมตรละ 1 บำท ปรำกฏว่ำเขำได้เงินมำกกว่ำต้นทุนที่ลงไปทั้งสิ้น 9 บำท เขำซื้อผ้ำมำกี่เมตร
1. 20 เมตร
2. 22 เมตร
3. 23 เมตร
4. 24 เมตร
5. 25 เมตร
9.
จำนวนนับ 3 จำนวนมีอัตรำส่วน 2 : 3 : 4 ผลบวกของกำลังสองของเลขทั้งสำมจำนวนเป็น
16,704 ผลบวกของเลขทั้งสำมจำนวนเป็นเท่ำใด (ทอ.49)
1. 216
2. 225
3. 207
4. 234
5. 243
10. นนอ.ฉลำด และ นนอ.เฉลียว ปัจจุบันเป็น นนอ. ชั้นปีที่ 4 นนอ.ฉลำดอำยุมำกกว่ำ นนอ.
เฉลียว

3 ปี เมื่อ 3 ปีที่แล้วตอนอยูชั้นปีที่ 1
่

ของอำยุ นนอ.ฉลำดจะมำกกว่ำ

ของ นนอ.

เฉลียวอยู่ 3 ปี ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง (ทอ.49)
1. ค่ำเฉลี่ยเลขคณิตของอำยุทั้ง 2 คน ในปัจจุบันคือ 22.5 ปี
2. ตอนอยู่ปี 2 นนอ.เฉลียวอำยุน้อยกว่ำ นนอ.ฉลำดอยู่ 3 ปี
3. อีก 8 ปีข้ำงหน้ำ อำยุ นนอ.ฉลำดจะมำกกว่ำอำยุเฉลี่ยทั้ง 2 คนในปัจจุบันอยู่ 10.5 ปี
4. อีก 10 ปีข้ำงหน้ำ อำยุ นนอ.เฉลียวจะมำกกว่ำอำยุเฉลี่ยทั้ง 2 คนตอนอยู่ปี 1 อยู่ 11.5 ปี
5. ค่ำเฉลี่ยเลขคณิตอำยุทั้ง 2 คน ตอนอยู่ชั้นปีที่ 3 น้อยกว่ำอำยุ นนอ.ฉลำดปัจจุบัน 2.5 ปี
11. กองทัพอำกำศวำงแผนจะทำกำรปรับปรุงเครื่องบิน F-16 โดยตั้งงบประมำณไว้ว่ำ ถ้ำใช้
งบประมำณปรับปรุง F-16 เครื่องละ 8 ล้ำนบำท งบประมำณจะขำดไป 10 ล้ำนบำท แต่ถ้ำใช้
งบประมำณปรับปรุงเครื่องละ 4.5 ล้ำนบำท จะมีงบเหลือ 25 ล้ำนบำท ถำมว่ำจะต้องใช้งบเท่ำใดใน
กำรปรับปรุง F-16 จึงจะพอดีกับงบประมำณที่ได้มำ (ทอ.49)
1. 5.5 ล้ำนบำท / เครื่อง 2. 6 ล้ำนบำท / เครื่อง
3. 6.5 ล้ำนบำท / เครื่อง
4. 7 ล้ำนบำท / เครื่อง
5. 7.5 ล้ำนบำท / เครื่อง
่



-174-


12. รถไฟขบวนหนึ่งยำว 150 เมตร แล่นด้วยควำมเร็ว 60 กิโลเมตร/ชั่วโมง สวนกับขบวนรถ
สินค้ำยำว 200 เมตร แล่นด้วยควำมเร็ว 40 กิโลเมตร/ชั่วโมง รถทั้งสองขบวนจะผ่ำนพ้นกันในกี่วินำที
1) 12.6
2) 13.2
3) 14.5
4) 15.2
13. แบ่ง 77 ออกเป็น 2 จำนวน ให้จำนวนหนึ่งหำรด้วย 8 เหลือเศษ 7 อีกจำนวนหำรด้วย 3 เหลือ
เศษ 2 หำกจำนวนที่แบ่งทั้งสอง มีผลต่ำงน้อยที่สุดแล้วจงหำผลคูณของทั้งสองจำนวนนี้(แนวตร.49)
1) 882
2) 930
3) 1,482
4) 1,560
14. แก้วใบหนึ่งมีน้ำ 2/3 ของแก้ว เมื่อเทน้ำเชื่อมปริมำณ 1/4 ของน้ำที่มีอยู่ผสมกับน้ำในแก้
วจะทำให้ ของเหลวในแก้วมีปริมำตรเป็น 120 cc แก้วใบนี้บรรจุของเหลวได้กี่ cc (แนวตร.49)
1) 140
2) 144
3) 150
4) 155
15. ผลรวมของจำนวนเต็ม 7 จำนวน เรียงกันมีค่ำเท่ำกับ 364 จงหำจำนวนหนึ่งที่มำกที่สุดใน
จำนวนเต็มที่เรียงกัน 7 ตัวนี้ (แนวตร.49)
1) 48
2) 49
3) 52
4) 55
16. เมื่อ 10 ปีก่อน พ่อมีอำยุเป็น 2 เท่ำของลูก โดยที่ผลรวมของอำยุของพ่อและลูกในขณะนั้น
เป็นเพียงสำมในสี่ของผลรวมของอำยุของบุคคลทั้งสองในขณะนี้ ขณะนี้ลูกมีอำยุเท่ำใด (แนวตร.49)
1) 24 ปี
2) 26 ปี
3) 28 ปี
4) 30 ปี
17. ถ้ำมุมหนึ่งของรูปสำมเหลี่ยมเป็น 3 เท่ำของมุมที่สอง และมุมที่สำมมำกกว่ำมุมที่สองอยู่
20 องศำ มุมที่สองจะเท่ำกับกี่องศำ (แนวตร.49)
1) 18
2) 24
3) 32
4) 36
18. นำเงิน 70 บำทไปซื้อแสตมป์ดวงละ 1 บำท 3 บำท และ 5 บำท ได้จำนวน 28 ดวง ถ้ำแสตมป์
ดวงละ 1 บำทมีจำนวนเป็น 2 เท่ำของแสตมป์ดวงละ 3 บำท จะซื้อแสตมป์ดวงละ 1 บำทไม้มำกว่ำ
แสตมป์ ดวงละ 5 บำทกี่ดวง (ทบ.50)
1) 1
2) 3
3) 4
4) 6
5) 7
19. รถยนต์ 2 คันมีอัตรำเร็วเฉลี่ยเป็นอัตรำส่วน 5 : 6 ถ้ำคันที่เร็วกว่ำแล่นได้ระยะทำง 180
กิโลเมตร เสียเวลำน้อยกว่ำคันช้ำซึ่งแล่นได้ระยะทำง 200 กิโลเมตร อยู่ 50 นำที รถคันเร็วมีอัตรำเร็ว
มำกกว่ำรถคันช้ำกี่กิโลเมตรต่อชั่วโมง (ทบ.50)
1) 8
2) 9
3) 10
4) 11
5) 12
20. ชำยคนหนึ่งขับรถจำกเมือง A ไปเมือง B เป็นระยะทำง 400 กม. ใช้เวลำทั้งสิ้น 9 ชม. โดย
ก่อนเวลำเที่ยงเขำใช้ควำมเร็ว50 กม./ชม. และหลังเที่ยงใช้ควำมเร็ว 40 กม./ชม. เขำเริ่มขับรถยนต์เวลำ
1) 6.00 น.
2) 7.00 น
3) 8.00 น.
4) 9.00 น.

่




-175-

21. เลข 2 จำนวนมีค่ำต่ำงกันอยู่ 50 จงหำค่ำของเลข 2 จำนวนนี้ ถ้ำผลคูณของเลข 2 จำนวนนี้มีค่ำ
ต่ำที่สุด (ทร.50)
1) -25,25
2) -20,30
3) -10,40
4) -5,45
22. นำวีขับรถจำกกรุงเทพฯไปเชียงใหม่ ช่วงกรุงเทพฯ-พิษณุโลก เขำขับด้วยควำมเร็ว 100 กม./
ชม. ส่วนช่วงพิษณุโลก-เชียงใหม่ เขำขับด้วยควำมเร็ว 120 กม/ชม. ถ้ำระยะทำงจำกกรุงเทพฯเชียงใหม่ เท่ำกับ
764 กม. และเขำใช้เวลำเดินทำงทั้งหมด 7 ชม. จงหำระยะทำงช่วง
กรุงเทพฯ-พิษณุโลก (ทร.50)
1) 360 กม.
2) 370 กม.
3) 380 กม.
4) 390 กม.
23. สำมเหลี่ยมมุมฉำกรูปหนึ่ง มีผลบวกของด้ำนประกอบมุมฉำกยำวรวมกัน 28 ซม. ถ้ำด้ำนที่ยำว
ที่สุดของสำมเหลี่ยมนี้คือ 20 ซม. จงหำกำลังสองของผลบวกของด้ำนที่ยำวที่สุด กับด้ำนที่สั้นที่สุด (ทร.
50)
1) 784 ซม.
2) 1,024 ซม.
3) 1,156 ซม.
4) 1,296 ซม.
24.

เมื่อ 5 ปีที่แล้วสมทรงอำยุมำกกว่ำสมศักดิ์ 3 ปี ปัจจุบันสมศักดิ์มีอำยุ 2 เท่ำของอำยุสมชำยถ้ำ
3

สมชำยอำยุปัจจุบัน 18 ปีแล้ว ปัจจุบันนี้อำยุของสมทรงและสมศักดิ์รวมกันได้กี่ปี (ทร.50)
1) 27 ปี
2) 30 ปี
3) 32 ปี
4) 33 ปี
25. จำนวนคีสำมจำนวนที่เรียงต่อกัน ถ้ำนำมำบวกทีละคู่จะได้ผลบวกน้อยที่สุดคือ 36 จงหำผลรวม
่
ของจำนวนทั้งสำม (ทร.50)
1) 55
2) 57
3) 59
4) 61
26. บริษัทรถไฟฟ้ำมหำนครประกำศลดรำคำค่ำตั๋วโดยสำรรถไฟฟ้ำใต้ดินลงเที่ยวละ10 บำท หำกซื้อ
แบบเหมำรวม (30 เที่ยวขึ้นไป) แทนทีจะซื้อทีละใบในแต่ละเที่ยว นำยนำวีพบหำกเขำนำเงิน 1,800
่
บำทไปซื้อตั๋วแบบเหมำรวมจะทำให้เขำสำมำรถใช้บริกำรรถไฟฟ้ำใต้ดินได้มำกขึ้นอีก 30 เที่ยวเมื่อเทียบ
กับกำรซื้อรำคำเต็มทีละใบ อยำกทรำบว่ำตั๋วรำคำเต็มมีรำคำใบละเท่ำใด (ทร.50)
1) 20 บำท
2) 30 บำท
3) 35 บำท
4) 40 บำท
27. ถ้ำ x  4  9 แล้ว x มีค่ำเท่ำใด (ทร.50)
1) 5 หรือ 13 2)  5 หรือ  13
3) 5 หรือ  13
4)  5 หรือ 13
28. เลขจำนวนเต็มบวกสี่ตัว เรียงจำกน้อยไปมำก ตัวที่สองมีค่ำเป็นสองเท่ำของตัวที่หนึ่ง ตัวที่สี่มี
ค่ำเป็นสำมเท่ำของตัวที่สำม ผลคูณของตัวที่สองกับตัวที่สี่มีค่ำมำกกว่ำผลคูณของตัวที่หนึ่งกับตัวที่สำมอยู่
600 ถ้ำตัวที่หนึ่งมีค่ำน้อยกว่ำตัวที่สำมอยู่ 14 จงหำผลต่ำงของตัวที่สำมกับตัวที่สอง(ทอ.50)
1. 7
2. 9
3. 10
4. 6
5. 854.

่




-176-

29. เคลื่อนย้ำยกำลังทหำรไปยังจุดหมำยที่ห่ำงจำกที่ตั้ง 120 กิโลเมตร โดยมีคำสั่งให้ไปถึงจุหมำยเร็ว
ขึ้นกว่ำปกติ 10 นำที ทำให้กองกำลังนี้ใช้ควำมเร็วในกำรเดินทำงเร็วขึ้นกว่ำปกติอีก 3 กิโลเมตร/ชั่วโมง
จงหำว่ำกองกำลังนี้ใช้ควำมเร็วในกำรเดินทำงเพิ่มขึ้นเป็นกี่กิโลเมตรต่อชั่วโมง(ทอ.50)
1. 54
2. 51
3. 48
4. 45
5. 84
30. พ่อมีอำยุมำกกว่ำลูก 36ปีอีก 12 ปีข้ำงหน้ำลูกจะมีอำยุเป็น 2 เท่ำของอำยุพ่อจงหำอำยุปัจจุบันของ
5

ลูก(ตร.50)
1) 10 ปี
2) 12 ปี
3) 14 ปี
4) 15 ปี
31.
ถ้ำด้ำนหนึ่งของรูปสำมเหลี่ยมยำวเป็นหนึ่งในสำมของควำมยำวรอบรูป ด้ำนที่สองยำว 10.5
เซนติเมตร และด้ำนที่สำมยำวเป็นหนึ่งในสี่ของควำมยำวรอบรูป จงหำผลต่ำงระหว่ำงด้ำนที่ยำวที่ สุดกับ
ด้ำนที่สั้นที่สุดของสำมเหลี่ยมรูปนี้จะเท่ำกับกี่เซนติเมตร (ตร.50)
1) 1.4
2) 4.2
3) 6.3
4) 8.1
32. กำหนด สมกำร 10  x  1  6  3 จงหำว่ำ x 3 1 เท่ำกับเท่ำใด(ทบ.51)
1)  2
2) 0
3) 7
4) 26
5) 63
33. จำนวนคู่บวก 5 จำนวนเรียงกัน รวมกันได้ 240 จงหำว่ำจำนวนที่น้อยที่สุดมีค่ำเท่ำใด (ทบ.51)
1) 38
2) 40
3) 42
4) 44
5) 48
34. โอกับอำร์มมีเงินรวมกัน 500 บำท ถ้ำโอให้เงินอำร์มอีก 10 บำท โอจะมีเงินมำกกว่ำอำร์ม 10
บำท จงหำว่ำเดิมโอมีเงินกี่บำท(ทบ.51)
1) 265
2) 270
3) 275
4) 280
5)
285
35. ถ้ำเปิดท่อน้ำ A และ B พร้อมกัน น้ำจะเต็มถังในเวลำ 12 นำที แต่ถ้ำเปิดเฉพำะท่อ A ก่อน 14
นำทีแล้วปิด จำกนั้นเปิดท่อ B อีก 6 นำที น้ำจะเต็มถังพอดี ถ้ำถังว่ำงเปล่ำและต้องกำรเปิดเฉพำะท่อ A
ให้น้ำเต็มถัง จะใช้เวลำนำนกี่นำที(ทบ.51)
1) 16
2) 18
3) 34
4) 26
5) 28
36. เด็กชำยรวีวิ่งจำกท้ำยขบวนรถไปถึงหัวขบวนในเวลำ 18 วินำที ถ้ำรถไฟขบวนนี้ยำว 100 เมตร
และควำมเร็ว 100 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เด็กชำยรวีนะอยู่ห่ำงจุดเริ่มต้นวิ่งกี่เมตร เมื่อวัดระยะบนพื้นดิน
(ทบ.51)
1) 500
2) 600
3) 700
4) 800
5) 900
่




-177-

37. กำรสำรวจอำยุของพี่-น้องคู่หนึ่งพบว่ำ พี่ชำยมีอำยุเป็น 4 เท่ำของน้องสำว แต่ถ้ำนำอำยุของ
น้องสำวยกกำลังสองจะมำกกว่ำอำยุของพี่ชำย 5 ปี อยำกทรำบว่ำพี่ชำยอำยุมำกกว่ำน้องสำวกี่ปี (ทร.51)
1) 3 ปี
2) 6 ปี
3) 12 ปี
4) 15 ปี
38.

รถไถนำคันหนึ่งไถนำแปลงหนึ่งได้เพียง

4
9

ของที่นำแปลงนี้ก็ใช้เวลำไปแล้ว 4 ชั่วโมง ปรำกฏ

ว่ำเมื่อนำรถไถนำคันที่สองมำช่วยไถนำด้วยกันใช้เวลำอีกเพียง 2 ชั่วโมงก็ไถนำเสร็จทั้งแปลง อยำกทรำบ
ว่ำถ้ำใช้รถไถนำคันที่สองเพียงคันเดียวจะไถนำแปลงนี้เสร็จในกี่ชั่วโมง (ทร.51)


3) 2 1 2 ชั่วโมง

4)

5
9

ชั่วโมง

39. ปัจจุบัน ปัญญำ มีอำยุน้อยกว่ำมำลีอยู่ 8 ปี อีก 12 ปีข้ำงหน้ำ อัตรำส่วนของอำยุปัญญำต่อ
อำยุของมำลีเป็น 3 : 4 จงหำว่ำปัจจุบันทั้งสองคนมีอำยุรวมกันกี่ปี (ตร.51)
1. 12 ปี
2. 20 ปี
3. 32 ปี
4. 54 ปี
40. ในกำรเลือกตั้งตัวแทนพรรคเดโมแครต เพื่อลงชิงตำแหน่งประธำนำธิบดีของสหรัฐอเมริกำ ณ
หน่วยเลือกตั้งเล็ก ๆ แห่งหนึ่งซึ่งมีผู้สมัครสองคน ผลปรำกฏ นำยบำรัค โอบำมำ ได้คะแนนเสียง
มำกกว่ำครึ่งหนึ่งของคะแนนที่นำงฮิลลำรี่ คลินตันได้อยู่ 10 คะแนน โดยที่ผลคูณของคะแนนเสียง
ของผู้สมัครทั้งสองน้อยกว่ำสองเท่ำของกำลังสองของคะแนนเสียง นำยโอบำมำอยู่ 360 อยำกทรำบว่ำมีผู้
มำใช้สิทธิ์ ณ หน่วยเลือกตั้งดังกล่ำวกี่คน (ทร.51)
1) 34 คน
2) 38 คน
3) 42 คน
5) 46 คน
41. ผลต่ำงกำลังสองของเลขคู่สองจำนวนเรียงกันเท่ำกับ 36 เลขจำนวนคู่ตัวแรกคือเลขใด (ทร.51)
1) 8
2) 9
3) 12
4) 14
42. มีเลขบวก 2 จำนวน ปรำกฏว่ำ 3 เท่ำของจำนวนน้อย ต่ำงจำก 52 อยู่เท่ำกับกำลังสองของจำนวน
มำกพอดี แต่ถ้ำนำค่ำกำลังสำมของผลบวกทั้งสองจำนวนมำรวมกับกำลังสำมของผลต่ำงของทั้งสอง
จำนวนนี้จะได้เท่ำกับ 520 จงหำว่ำเลขทั้งสองจำนวนนี้รวมกันได้เท่ำไร (ทร.52)
1) 7
2) 8
3) 9
4) 10
43. เอกทำแบบทดสอบวิชำคณิตศำสตร์ 50 ข้อ ถ้ำเขำทำถูกจะได้คะแนนข้อละ 5 คะแนน แต่ถ้ำทำ
ผิดจะโดนหักคะแนนข้อละ 3 คะแนน หลังจำกที่เขำทำแบบทดสอบเสร็จผลจำกกำรตรวจได้คะแนน
รวม 210 คะแนนจงหำว่ำเอกทำแบบทดสอบได้ถูกต้องกี่ข้อ (ทบ.52)
1) 30
2) 38
3) 42
4) 45
5) 47
44. นักจักรยำนคนหนึ่งขี่จักรยำนด้วยควำมเร็ว 20 กิโลเมตรต่อชั่วโมงจำก A ไป B เมื่อเขำขี่เลยครึ่ง
ทำงไปได้
2 กิโลมตร ก็พบกับนักจักรยำนอีกคนหนึ่งซึ่งขี่รถจำก B มำยัง A ด้วยควำมเร็ว 25 กิโลเมตรต่อชั่วโมง

่



-178-


และออกเดินทำงทีหลังนักจักรยำนคนแรก 1 ชั่วโมง จงหำว่ำระยะทำงระหว่ำง A กับ B เท่ำกับกี่
กิโลเมตร
(ทบ.52)
1) 40
2) 50
3) 82
4) 145
5)
164
45. ในกำรวิ่งแข่งขันระยะทำง 100 เมตร ถ้ำ ก ต่อให้ ข 5 เมตร และต่อให้ ค 10 เมตร ทั้งสำม
จะวิ่งถึงหลักชัยพร้อมกัน ถ้ำให้ ข กับ ค วิ่งแข่งกันในระยะทำง 190 เมตร ข จะชนะ ค กี่เมตร
(ทบ.52)
1) 5
2) 10
3) 15
4) 20
5)
25
46. พำทิศอ่ำนหนังสือได้วันละ 30 หน้ำ แต่ก่อนจะอ่ำนต่อเขำจะต้องอ่ำนทบทวนก่อน 5 หน้ำทุกครั้ง
ถ้ำหนังสือเล่มนี้มี 500 หน้ำ พำทิศจะใช้เวลำอย่ำงน้อยกี่วันจึงจะอ่ำนจบเล่ม (ทบ.52)
1) 18
2) 19
3) 20
4) 21
5) 22
47. รถไฟขบวนหนึ่งแล่นด้วยควำมเร็วสม่ำเสมอตลอดระยะทำง 360 กิโลเมตร ถ้ำเพิ่มควำมเร็ว
ชั่วโมงละ 10 กิโลเมตร จะใช้เวลำน้อยลง 30 นำที จงหำว่ำรถไฟขบวนนี้แล่นด้วยควำมเร็วกี่กิโลเมตร
ต่อชั่วโมง
(ทบ.52)
1) 75
2) 80
3) 85
4) 90
5) 95
48. เมื่อ 10 ปีที่แล้ว บิดำอำยุ 15 เท่ำของบุตร ปัจจุบันบิดำอำยุมำกกว่ำสำมเท่ำของบุตรอยู่ 4 ปี จง
หำว่ำบิดำแก่กว่ำบุตรกี่ปี (ทบ.52)
1) 7 ปี
2) 14 ปี
3) 21 ปี
4) 28 ปี
5) 35 ปี
49. นำงสำวไหมพิมพ์ เปิดร้ำนขำยผ้ำไทย โดยมีผ้ำไหม ผ้ำฝ้ำย และผ้ำชนิดอื่นๆ คิดเป็นอัตรำส่วน
3: 2: 1 ตำมลำดับ หลังจำกเปิดร้ำนไหมพิมพ์ ขำยผ้ำไหมไป 50 ผืน ผ้ำฝ้ำย 20 ผืน และพบว่ำจำนวนผ้ำ
ทั้งหมดที่เหลืออยู่มีไม่ถึงครึ่งหนึ่งของจำนวนเดิม จงหำว่ำเดิมไหมพิมพ์มีผ้ำทั้งหมดอย่ำงน้อยกี่ผืน (ตร.52)
1) 96 ผืน
2) 102 ผืน
3) 108 ผืน
4) 114 ผืน
50. แดงและดำพักอยู่ด้วยกันขับรถออกจำกบ้ำนพักในเวลำพร้อมกัน แต่ขับไปในทิศทำงตรงข้ำมกัน
ถ้ำอัตรำเร็วของรถแดง มำกกว่ำอัตรำเร็วของรถดำ 10 กม./ชม. เมื่อเวลำผ่ำนไป 2 ชม. รถทั้งสองคันอยู่
ห่ำงกัน 120 กม. ถ้ำที่ทำงำนของแดงอยู่ห่ำวจำกบ้ำนพัก 140 กม.แดงต้องใช้เวลำขับรถจำกบ้ำนพักถึงที่
ทำงำนกี่ชั่วโมง(ตร.52)
่




-179-

13. นักเรียนโรงเรียนนำยร้อยตำรวจต้องกำรทำหนังสือที่ระลึก ประจำปี 52 จึงตกลงรำคำกับโรงพิมพ์
แห่งหนึ่ง โรงพิมพ์คิดค่ำใช้จ่ำยทั้งหมดเป็นผลรวมของค่ำเพลท ซึ่งต้องจ่ำยครั้งเดียวและค่ำจ้ำงพิมพ์เป็น
รำยเล่ม ปรำกฏว่ำถ้ำพิมพ์ 400 เล่ม จะเสียค่ำใช้จ่ำย 8,000 บำท ถ้ำพิมพ์ 800 เล่ม จะเสียค่ำใช้จ่ำย
12,400 บำท ถ้ำต้องกำรพิมพ์ หนังสือ 1,200 เล่ม จะเสียค่ำใช้จ่ำยทั้งหมดในกำรพิมพ์กี่บำท(ตร.52)
1) 16,800
2) 18,800
3) 20,000
4) 24,000

1.
2.
3.
4.
50)

กำหนดให้ x 2 – 6x + 45 = ( x + a ) 2 + b 2 ค่ำของ a + b ตรงกับข้อใด (ทร.49)
1) 2
2) 3
3) 6
4) 9
ถ้ำ a และ b เป็นคำตอบของสมกำร x 2 -5x–2 = 0 แล้ว a  b มีค่ำตรงกับข้อใด (แนวตร.49)
1) -2
2) 5- 33
3) 2
4) 5 + 33
ถ้ำคำตอบของสมกำร x 2  ax  b  0 คือ 1 และ  6 ค่ำของ a เป็นเท่ำไร (ทร.50)
1) 4
2) 5
3) 6 4) 7
ถ้ำ a และ b เป็นคำตอบของสมกำร 3x 2  7 x  9  0 แล้ว จงหำค่ำของ a 3b  ab 3 (ทอ.
1.

2.

4.

3.

5.

5.

จงหำ k ที่ทำให้ y = 8x + k ตัดกับ y = x 2 - 1 เพียงจุดเดียว(ทบ.51)
1) -17
2) -15
3) -13
4) 15
5) 17
6.
ถ้ำ x เป็นผลบวกของคำตอบของสมกำร a 2  2a  3 และ y เป็นผลคูณของคำตอบของ
สมกำร b 2  3b  2 แล้ว x2  3xy  y มีค่ำเท่ำใด(ทบ.51)
1) -6
2) -4
3) -1
4) 3
5) 6
7.

1
1
 1 x 2  12  1 x
2
2
1  33 1  33
,
2
2
 3  33  3 33
,
2
2

1.
3.

ข้อใดคือคำตอบที่ถูกต้อง (ตร.51)
2.
4.

่

 1  33  1  33
,
2
2
3  33 3  33
,
2
2



8.


-1803
4

 2x  3
x5

จงหำคำตอบของสมกำร
1) - 3

2) - 3

11

(ตร.50)
3) - 11

5

4)

27

27
11

9.

เลขจำนวนหนึ่งยกกำลังสอง ลบด้วยสำมเท่ำของเลขจำนวนนั้น แล้วแบ่งออกเป็น 2 ส่วน แต่ละ
ส่วนมีค่ำเท่ำกับ 2 คำตอบของเลขจำนวนนั้นที่เป็นลบ คือข้อใด(ทร.52)
1) -1
2) -2
3) -4
4) -6
10. ข้อใดเป็นคำตอบของสมกำร x 2  36 A2  4B( x  B) เมื่อ A และ B เป็นค่ำคงที่(ทร.52)
1) 3A-B , 3A+2B
2) 2A+B , 2A-B
3) B+3A , B-3A
4) 2B+6A , 2B-6A
11. ถ้ำ a และ b เป็นคำตอบของสมกำร 6 X  5 X  91  0 และ a>b แล้ว 3a-2b มีค่ำเท่ำใด (ทบ.
52)
1) -1
2) 6
3) 20
4) 25
5) 27
2

12.

ถ้ำ

3X 2  X  K  0

1) 7
11
13. ถ้ำสมกำร
1)

b a
,
a b

เป็นสมกำรที่มีคำตอบเท่ำกับ a จงหำค่ำของ

2) 8

3) 9

abx 2  (a 2  b 2 )x  ab  0

2)

b a
,
a b

3)

1
2
3) 1 1
2

1
a

(ทบ.52)

4) 10

5)

แล้วรำกของสมกำรคือข้อใด (ทบ.52)
b a
,
a b

14. จำกสมกำร  2a - 3  b2 + 2a - 3 c2 - 16 = 0
กำหนด x คือ ผลรวมของค่ำ a ที่สอดคล้องกับสมกำร
y คือ ผลรวมของค่ำ b ที่สอดคล้องกับสมกำร
z คือ ผลรวมของค่ำ c ที่สอดคล้องกับสมกำร
ข้อสรุปใดต่อไปนี้ผด(ตร.52)
ิ
1) x + y + z < 0
2) xy < 0
3) yz > 0
4) x - y + z > 0
15. ข้อใดคือผลต่ำงของรำกสมกำร 8x2  2x  18  0 (ตร.52)
1)

1

4)

b a
,
a
b

5) 0

2) 1
4) 2 1

2

่




-181-

อสมการ
1.
จำนวนหนังสือภำษำไทย และภำษำอังกฤษรวมกันมำกกว่ำ 40 เล่ม แต่ไม่เกิน 50 เล่ม ถ้ำ
รำคำหนังสือภำษำไทยถูกกว่ำภำษำอังกฤษ เล่มละ 30 บำท โดยซื้อภำษำไทย 3 เล่ม มีค่ำเท่ำกับซื้อ
ภำษำอังกฤษ 2 เล่ม และค่ำใช้จ่ำยในกำรซื้อหนังสือทั้งหมดไม่เกิน 3,840 บำท จะซื้อหนังสือ
ภำษำอังกฤษได้มำกที่สุดกี่เล่ม(ทบ.49)
1) 42 2) 44
3) 45
4) 47
5) 48
2.

ถ้ำ
1) x

3.

x 2  16 x 2  6 x  9

 3
4 x
3 x
2) x  1
1

จำนวนนับจำนวนหนึ่งรวมกับ

2
3

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง (ทร.49)
3) x  2

4) x  2

ของผลบวกของจำนวนนับนี้กับ 6 มีค่ำน้อยกว่ำ 8 เขียนเป็น

อสมกำรได้ดังข้อใด (แนวตร.49)
1) x +

2)

3)

4)

2
x68
3
2
x x8 6
3

่

2
x  ( x  6)  8
3
2
x  ( x  8)  6
3



4.

x 3  3x  5  2  y

ถ้ำเขียนในรูปของค่ำสัมบูรณ์ได้คือข้อใด (ทบ.50)
2) x 3  3x  3  y

3)

x 3  3x  5  y  7

4)

5)
5.

จำก
1)


-182-

x 3  3x  3  y

5  y  x 3  3x  2  9  y

กำหนด 2x – 3 < 7 และ

4 y
1
2

จงพิจำรณำข้อต่อไปนี้

ก. y < 10
ข. x + y < 7
ดังนั้น ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง (ทบ.50)
1) ก.ถูกเพียงข้อเดียว
4) ก.และ ข. ถูกสองข้อ
6.

3x  2
  4 x  10
2

1. 8

7.

ค. x – y < 3
2) ข.ถูกเพียงข้อเดียว
5) ข. และ ค. ถูกสองข้อ

ถ้ำ x เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ำน้อยกว่ำ
8

2. 9

18
4

3) ค.ถูกเพียงข้อเดียว

แล้ว จะมี x กี่จำนวนที่สอดคล้องกับอสมกำร

(ทอ.50)
3. 10

เส้นจำนวนในข้อใดสอดคล้องกับอสมกำร

1)

x 3  3x  5  y 2

4. 11

x 1
7
2

5. 12

หรือ 3 X  2  3 X  5 (ตร.50)
4

2

13
2)
-4
3)
-4

13

4)
-4
13
8.
จำนวนเต็มบวกสองจำนวนต่ำงกันอยู่ 8 ถ้ำนำ 3 เท่ำของจำนวนมำกบวกจำนวนน้อย จะได้
ผลบวกมำกกว่ำ 48 แต่ไม่เกิน 68 จำนวนเต็มบวกที่เป็นจำนวนมำกสอดคล้องกับข้อใด (ตร.50)
1) 7  x < 11 2) 7 < x  11
3) 14  x < 19
4) 14 < x  19

่




-183-

9.
รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ำรูปหนึ่งมีอัตรำส่วนของควำมยำวด้ำนกว้ำงต่อด้ำนยำว เป็น 4 ต่อ 5 และมี
ควำมยำวรอบรูปไม่น้อยกว่ำ 54 เซนติเมตร รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ำรูปนี้มีพื้นที่อย่ำงน้อยกี่ตำรำงเซนติเมตร
(ตร.50)
1) 54
2) 180
3) 216
4) 270
10.

ดวงใจอ่ำนหนังสือเล่มหนึ่ง วันแรกอ่ำนได้

1
5

ของเล่มวันต่อมำอ่ำนได้อีก 30 หน้ำ รวมสองวัน

อ่ำนได้ มำกกว่ำครึ่งเล่ม จงหำว่ำหนังสื่อเล่มนี้มีจำนวนหน้ำอย่ำงมำกกี่หน้ำ(ทบ.51)
1) 96
2) 97
3) 98
4) 99
11.

ถ้ำ
1)

1
0
2x  1
มำกกว่ำ 2
7

แล้ว

1
3x  5

5) 100


2) น้อยกว่ำ

2
7

3) มำกกว่ำ

7
2

4) น้อยกว่ำ

7
3

12. สำมเท่ำของจำนวนเต็มบวกจำนวนหนึ่งมำกกว่ำ 15 อยู่ไม่เกิน 9 ผลบวกทั้งหมดของจำนวน
เต็มบวกนั้นมีค่ำเท่ำไร (ตร.51)
1. 13
2. 15
3. 21
4. 24
13. กำหนดสมกำร 2 x 2  y  3( x  3) จงพิจำรณำว่ำ ถ้ำ y < 0 แล้ว ค่ำ x จะเป็นอย่ำงไร (ตร.51)
1.  3  x  3
2

2.  3  x  3 2

3. x   3 ,1 หรือ x > 3 4.
2

x  3 หรือ x 

3
2

14. ถ้ำ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดและมำกที่สุดตำมลำดับ ที่สอดคล้องกับอสมกำร
-5<3-2x  8 แล้วค่ำของ b – a เป็นเท่ำใด (ตร.51)
1. -1
2. 2
3. 5
4. 8
15. ข้อใดเป็นค่ำของ อสมกำร 4x  x 2  32 (ทร.52)
1) 4  x  8
2)  8  x  4
1)  4  x  8
1)  8  x  4
16. วิชัยมีเหรียญห้ำบำท และเหรียญสิบบำท รวมกันเป็นเงิน 110 บำท ถ้ำวิชัยมีเหรียญทั้งหมด
รวมกันมำกกว่ำ 15 เหรียญ แต่น้อยกว่ำ 20 เหรียญ จงหำว่ำวิชียมีเหรียญบำทอยู่กี่เหรียญ(ทร.52)
1) เหรียญสิบบำทมำกกว่ำมำกกว่ำ 5 เหรียญ แต่น้อยกว่ำ 4 เหรียญ
17. ถ้ำ a  b แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ผิด (ทบ.52)
1)
3)
4)

a b
 เมือ c  0
่
c c
ac bc

2)

ac bc

4)

ac 2  bc 2

a2  b 2

่




-184-

18. ถ้ำ X<6 และ Y<3 แล้วข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง (ทบ.52)
1) X = 2Y
2) X-Y = 3
3) X > y
ถูกทุกข้อ
19. จำนวน

8X  3
3

1) น้อยกว่ำ 4.5
น้อยกว่ำ 18
20.

น้อยกว่ำ

2) มำกกว่ำ 4.5

กำหนด 1  a + 6 1)

3
6 - 7a > -12

3) 1  a - 2  <
4

6X  1
2

1
7

4) X+Y < 9

5)

จงหำว่ำค่ำของ X ในข้อใดถูกต้องที่สุด (ทบ.52)
3) น้อยกว่ำ 9

4) มำกกว่ำ 9

5)

a
1
a
ข้อใดต่อไปนี้ผด(ตร.52)
ิ
> 2 + a  +
2
4
6
2) 14  a - 1 < 22

4) 1 - a <

-

11
7

ระบบสมการ
1.
ขับรถยนต์จำกกรุงเทพฯ ไปจังหวัดนครสวรรค์ หำกเพิ่มควำมเร็ว 20 กิโลเมตร / ชั่วโมง จำก
อัตรำควำมเร็วปกติจะถึงเร็วไป 1 ชั่วโมง แต่ถ้ำลดควำมเร็วลงชั่วโมงละ 12 กิโลเมตร / ชั่วโมง จำก
อัตรำเร็วปกติ จะถึงช้ำไป 1 ชั่วโมง ขับรถจำกกรุงเทพฯ ถึงจังหวัดนครสวรรค์เป็นระยะทำงกี่กิโลเมตร
(ทบ.49)
1) 228 2) 240
3) 248
4) 250
5) 280
่




-185-

2.
กำหนด ก และ ข วิ่งด้วยควำมเร็ว 5 และ 4 เมตรต่อวินำที ตำมลำดับ ถ้ำ ก และ ข วิ่งแข่ง
กันรอบสนำมควำมยำวรอบละ 400 เมตร เป็นระยะทำง 3 กิโลเมตร ก จะแซง ข กี่ครั้ง(ทบ.49)
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
5) 0
3.
ถ้ำ ก , ข และ ค ช่วยกันทำงำนอย่ำงหนึ่งเสร็จใน 12 วัน ถ้ำให้ ก ทำคนเดียว จะเสร็จ
ภำยใน 36 วัน ถ้ำให้ ข ทำคนเดียว จะเสร็จภำยใน 36 วัน งำนนี้เมื่อเริ่มทำไปได้ 6 วัน ก ได้ลำออกจำก
งำนให้ ข และ ค ทำต่อ แต่เมื่อทำไปได้อีก 3 วัน ข ได้ลำออกเหลือ ค ทำงำนคนเดียว งำนนี้จะเสร็จ
ในกี่วัน (ทบ.49)
1) 19 2) 20
3) 21
4) 22
5) 23

5.


1 1
 4
x y

1) 32

4.

2) 40

และ

1
2
xy

ดังนั้นค่ำของ

3) 45

กำหนด x , y เป็นจำนวนจริง ถ้ำ y =

1
1
 3
3
x
y

4) 56

5) 64

3x  1
ดังนั้น จงพิจำรณำข้อต่อไปนี้ข้อใดเป็นจริง
2x  1

(ทบ.49)
1) x =
5) x =

3y 1
2 y 1
1 3y
1 2y

2) x =

3y 1
2 y 1

3) x =

1 y
3 2y

4) x =

1 y
3 2y

6.
ผลบวกของเลขสองจำนวนมีค่ำเท่ำกับ 21 แต่ผลต่ำงกำลังสองของแต่ละจำนวนมีค่ำเท่ำกับ 63
ผลหำรของเลขสองจำนวนคือข้อใด (ทร.49)
1)

4
3

หรือ

3
4

2)

1
3

หรือ 3

3)

3
2

หรือ

2
3

4)

1
2

หรือ 2

7.

จงแก้ระบบสมกำร x 2 y + xy 2 = 30
x 3 + y 3 = 35
แล้วหำค่ำของ x 2 – 2y (ทร.49)
1) 10.1
2) 5 , -2
3) 17 , 6
4) 2 , -3
8.
กำหนดให้ x 2 – y 2 = 8 และ x + y = 4 จงหำ x 2 + y 2 (ทร.49)
1) 8
2) 10
3) 12
4) 16
9.
ถ้ำ xy = 7 และ x + y = 8 แล้ว จงหำค่ำของ x – y เท่ำกับข้อใด (ทร.49)
1) 6
2) 8
3) 36
4) 64
10. ด.ช. อ๊อฟ ต้องพำยเรือทวนน้ำจำกบ้ำนไปถึงโรงเรียนในระยะทำง 1.2 กิโลเมตร และพำยเรือ
ตำมน้ำจำกโรงเรียนกลับบ้ำนใช้เวลำน้อยกว่ำขำไป 3 นำที ถ้ำอัตรำกำรพำยเรือในน้ำนิ่งเท่ำกับ 300
เมตร/นำที อยำกทรำบว่ำอัตรำเร็วของกำรพำยเรือทวนน้ำเท่ำกับเท่ำไร(ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
่




-186-

1. 100 เมตร/นำที
11. ผู้ชำย 3 คน หญิง 5 คน ทำงำนขุดบ่อเสร็จใน 17 วัน ถ้ำผู้ชำย 5 คน หญิง 3 คน
ทำงำนอย่ำงเดียวกันเสร็จใน 15 วัน จงหำอัตรำส่วนกำรทำงำนของผู้ชำยต่อกำรทำงำนของผู้หญิง
1. 3 : 1
2. 3 : 2
3. 4 : 3
4. 5 : 3
5. 6 : 5
12. ถ้ำสี่เหลี่ยมผืนผ้ำ พ.ท. = 18 ตร.ซม และถ้ำนำ 2 เท่ำของควำมยำวลบออกด้วย 2 เท่ำของ
ด้ำนกว้ำงมีค่ำ = 6 ข้อใดถูกต้องที่สุด(ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1. เส้นรอบรูปของ
นี้ = 16
นี้ = 9
นี้ = 12
นี้ = 18
นี้ = 20
13. กำหนดระบบสมกำร
………………….
1
……………...
2
(ทอ.49)
1. 0
2. m(n - m) 3. n(n – 2m)
4. n(m - n)
5. m - n
14. จำนวนบวก 2 จำนวน มีค่ำกำลังสองของผลบวกมำกกว่ำกำลังสองของผลต่ำงอยู่ 100 และ
กำลังสองของจำนวนที่มำกกว่ำจะมีค่ำมำกกว่ำผลคูณของเลขทั้งสองอยู่ 24 จงหำค่ำสัมบูรณ์ของผลต่ำง
ของเลขทั้ง 2 จำนวนนี้ (ทอ.49)
1.

2.

3.

4.

5.

15. คนงำน 12 คน สร้ำงป้อมยำมเสร็จในเวลำ 4 ชั่วโมง คนงำน 18 คน สร้ำงป้อมยำมเสร็จในเวลำกี่
ชั่วโมง (แนวตร.49)
1) 2 ชม.40
2) 3 ซม.
3) 3 ชม. 12 นำที 4) 3 ชม.24 นำที
16. ผสมข้ำวสำร 2 ชนิด รำคำกิโลกรัมละ 25 บำท และ 32 บำท ในอัตรำส่วนเท่ำใด จึงขำย
ข้ำวสำรผสมกิโลกรัมละ 36 บำท แล้วพบว่ำมีกำไร 20% จำกรำคำทุน (แนวตร.49)
1) 2 : 3
2) 2 : 5
3) 3 : 4
4) 3 : 5
17. ถ้ำ a + b = 12, a + c = 25 และ b + c = 18 อยำกทรำบว่ำค่ำ a เท่ำกับเท่ำใด (แนวตร.49)
1) 2.5
2) 9.5
3) 13.5
4) 15.0

18.

ระบบสมกำรในข้อใดไม่มีคำตอบ (แนวตร.49)

่




-187-

1) y – 14 = 8x และ 8x – 12Y = 3
2) 3x + 5y = 4 และ 7 – 5 y = 3x
3) 2y – 3x = 3 และ 4x + y = 7
4) 3x – 7y = 11 และ 3y – 7x = 11
19. ชำยคนหนึ่งพำยเรือทวนน้ำจำกฝั่งแม่น้ำหนึ่ง ไปยังฝั่งแม่น้ำตรงข้ำมใช้เวลำ 10 นำที และเขำพำย
เรือตำมน้ำกลับใช้เวลำ 4 นำที ดังนั้น อัตรำส่วนระหว่ำงอัตรำเร็วของกำรพำยเรือในน้ำกับอัตรำเร็ว
ของกระแสน้ำเป็นเท่ำใด (แนวตร.49)
1) 7 : 3
2) 5 : 2
3) 3 : 7
4) 2 : 5
20. จุดตัดทั้งสองของกรำฟ x + y = 1 กับกรำฟ y = x 2 2 x  5 อยู่ห่ำงกันกี่หน่วย (ทบ.50)
1) 5
2) 2 3
3) 3 2
4) 4 2
5) 5 2
21. ข้ำวสำรชนิด ก.รำคำต้นทุนกิโลกรัมละ 9 บำทข้ำวสำรชนิด ข.รำคำต้นทุนกิโลกรัมละ 12 บำท
ข้ำวสำรชนิด ค. รำคำต้นทุนกิโลกรัมละ 15 บำท เมื่อนำมำผสมกันด้วยอัตรำส่วน 1 : 2 : 3 ตำมลำดับ
ต้องขำยกิโลกรัมละกี่บำท จึงจะได้กำไร 10% (ทบ.50)
1) 13.60
2) 13.90
3) 14.10
4) 14.30
5) 15.50
22. กำหนด x > 0, y > 0 และ
1)

7
11

2)

4x  3y
3
4x  3y
8
11

ดังนั้น ค่ำของ
3)

9
11

x 2  y 2  xy
x 2  y 2  xy
4) 10
11

5) 1

23. ชำยคนหนึ่งขี่จักรยำนจำกตำบล ข. ด้วยควำมเร็วคงที่ใช้เวลำ 4 ชัวโมง ขำกลับเขำกลับทำงเดิม
่
แต่เพิ่มควำมเร็วขึ้นจำกขำมำอีก 3 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ปรำกฏว่ำเขำกลับถึงตำบล ก. เร็วกว่ำขำมำ 1
ชั่วโมง ดังนั้น ระยะทำงระหว่ำงตำบล ก. กับตำบล ข. เป็นเท่ำใด (ทบ.50)
24. จำนวนจริงสองจำนวน ถ้ำจำนวนที่หนึ่งบวก 3 จะเท่ำกับจำนวนที่สองคูณ 3 และถ้ำจำนวนที่สองบวก
4 จะเท่ำกับจำนวนที่หนึ่งคูณ 4 ดังนั้น ผลบวกของสองจำนวนนี้เป็นเท่ำใด (ทบ.50)
1)
25. กำหนด

27
11
1 1
 4
x y

28
11
และ 1  2
xy

2)

1) 1
2) 2
26. จงหำจุดตัดของกรำฟ y = 2x และ
1) 0, 0
2) 1, 2

3)

29
11

4)

ถ้ำ x < y ดังนั้น
3)

1 1

x y

 2x  y  5

่

(ทร.50)
3) 2, 1

5)

31
11

4)

2

30
11

2 2

5)

3 2

4) ไม่มีจุดตัด



27.


-188-



ว่ำมีค่ำสูงสุดเท่ำกับข้อใด(ทอ.50)

1.

2.

3. 10

4.
5.
28. จำกระบบสมกำรในข้อ A และข้อ B คำตอบของระบบสมกำรเป็นอย่ำงไร (ตร.50)
3 ( xy – x ) = 1
y = 2x 2 + 2x + 1
A
B
3x ( y + 2 ) = 7
y – x = -1
1) ข้อ A ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง ข้อ B มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
2) ข้อ A ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง ข้อ B ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
3) ข้อ A มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
ข้อ B มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
4) ข้อ A มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
ข้อ B ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
29. ถ้ำ x 2 + y 2 = 25 และ x – y = 1 แล้วค่ำของ xy เท่ำกับเท่ำใด(ทบ.51)
1) 3
2) 2 3
3) 3 3
4) 4 3
5) 5 3
30. ในกำรดำนำในที่นำผืนหนึ่ง ถ้ำสมชำย หรือสมศักดิ์ หรือสมพงษ์ดำเพียงคนเดียวจะต้องใช้เวลำ
10 ชั่วโมง8 ชั่วโมง และ 20 ชั่วโมง ตำมลำดับ ถ้ำให้สมชำยสมศักดิ์ช่วยกันดำไปก่อน 4 ชั่วโมง แล้วให้
สมพงษ์ดำต่อจะต้องใช้เวลำอีกกี่ชั่วโมงจึงจะแล้วเสร็จ(ทบ.51)
1) 6
2) 5
3) 4
4) 3
5) 2
31. วิเชียรพำยเรือขณะน้ำนิ่งได้ทำง 3 กิโลเมตร ในเวลำ 16 นำที แต่ถ้ำเขำพำยเรือทวนน้ำจะใช้เวลำ
20 นำทีถ้ำเขำพำยเรือตำมน้ำในระยะทำงเท่ำเดิมจะใช้เวลำกี่นำที(ทบ.51)
1)
32.

13

1
3

2)

กำหนดระบบสมกำร

2
3
8 y  6x  4
3x  4 y  2

3)

13

12

1
3

4)

11

1
3

5)

11

2
3

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง (ทร.51)

1) ระบบสมกำรมีได้หลำยคำตอบ
2) ระบบสมกำรมีคำตอบเดียว
3) ระบบสมกำรมีสองคำตอบ
4) ระบบสมกำรไม่มีคำตอบ
33. ข้อสอบคณิตศำสตร์ 40 ข้อ ถ้ำนักเรียนตอบถูกได้ข้อละ 2 คะแนน ตอบผิดถูกหักข้อละ1
คะแนน นกทำข้อสอบทุกข้อได้คะแนนรวม 35 คะแนน อยำกทรำบว่ำนก ทำข้อสอบถูกกี่ข้อ (ตร.51)
1. 21 ข้อ
2. 23 ข้อ
3. 25 ข้อ
4. 28 ข้อ
34. กำหนด x 3  y 3  4a 3 และ x 2  xy  y 2  a 2 ค่ำของ x 2  y 2 คือข้อใด (ทร.52)
1)

15 2
a
3

2)



15 2
a
3

1)

่

18 2
a
3

1)

16a 2



35.


และกำหนดให้

ax 2  (2b  a  1) y 2  91
1
(a  b) x  (a  ) y  19
2
3
จงหำ a  2b มีค่ำเท่ำกับข้อใด
x5, y
2

1) 3
2) 5
36. ถ้ำ (1 ,-1) เป็นคำตอบของระบบสมกำร
(ทบ.52)
1)

1
2


-189-

2)



1
2

(ทร.52)

4) 10
x  ay  3 และ bx  y  4 จงหำค่ำ a 2  b 2

3)

3) 8

3
2

4) 1

5)

2
3

37. ผู้ใหญ่ 3 คน เด็ก 5 คน ทำงำนอย่ำงหนึ่งเสร็จใน 17 วัน ถ้ำผู้ใหญ่ 5 คน เด็ก 3 คนทำงำนอย่ำง
เดียวกันเสร็จในเวลำ 15 วัน อัตรำส่วนกำรทำงำนของผู้ใหญ่ต่อเด็กเป็นเท่ำใด (ทบ.52)
1) 3 : 2
2) 4 : 3
3) 5 : 3
4) 6 : 5
5) 7 :
5
38. ผสมแป้งสำลีชนิดรำคำกิโลกรัมละ 5 บำท กับแป้งมันชนิดรำคำกิโลกรัมละ 6.50 บำท จะต้องใช้
อัตรำส่วนผสมของแป้งสำลีต่อแป้งมันโดยน้ำหนักเท่ำใด จึงจะขำยแป้งผสมในรำคำกิโลกรัมละ 7 บำท
แล้วยังได้กำไร 20%(ตร.52)
1) 1: 2
2) 2 : 3
3) 3 : 4
4) 4 : 5
39. จำกระบบสมกำร
7y2 + 15xy = - 68 และ x2  2 xy  2 y 2  17 ผลบวกของ y 2  x 2 เมื่อ y > x มีค่ำเท่ำใด(ตร.52)
1) – 31
2) – 24
3) -17
4) – 7

่




-190-

ตรีโกณมิติ
1.
วิชัยมองออกมำจำกหน้ำต่ำงคอนโดมิเนียม สังเกตเห็นรถแท็กซี่แล่นตรงเข้ำมำเป็นมุมก้ม 20
อีก 9 วินำทีต่อมำเห็นรถแท็กซี่คันนั้นเป็นมุมก้ม40 ถ้ำคอนโดมิเนียมแต่ละชั้นสูง 3.6 เมตร และรถแท็กซี่
แล่นด้วยควำมเร็ว 60 กิโลเมตร/ชั่วโมง วิชัยอำศัยอยู่บนคอนโดมิเนียมที่เท่ำใด กำหนด sin = 0.745
(ทบ.49)
1) 30
2) 31
3) 32
4) 33
5) 34
2.

ถ้ำ cot  = 0.6 จงหำค่ำของ
1)
4)

3.

6
5 34  34
6
34  5 34

2)
5)

cos   sin 
sec  tan 
6

5 34  34
3

(ทบ.49)
3)

3
5 34  34

34  5 34

เด็กชำยอุทิศ มองเห็นยอดเขำลูกหนึ่งด้วยมุมเงย  เมื่อเขำเดินเข้ำหำเขำลูกนี้เป็นระยะทำง 1

กิโลเมตร เขำมองเห็นยอดเขำด้วยมุมเงย  = cot  =

3
2

จงหำว่ำเขำลูกนี้สูงโดยประมำณกี่เมตร (ไม่

คิดควำมสูงของเด็กชำยอุทิศ) (ทบ.49)
1) 600
2) 700
3) 800
4) 1,000
5) 1,200
4.
จำกรูป กระดำษรูปวงกลมรัศมี 10 นิ้ว ตัดออกตำมแนวรัศมีเป็นมุมที่จุดศูนย์กลำงเท่ำกับ 
แล้วเอำส่วนที่เหลือประกบกันเป็นรูปกรวยกลม ถ้ำได้กรวยกลมสูง 6 นิ้ว ดังนั้น มุม  กำงกี่องศำ (ทบ.
49)
1) 45 °
3) 70 °
5) 84 °

5.

2) 60 °
4) 72 °

ก. sin 68 ° > cos 68 °

่




-191-

ข. sin 28 ° > cos 22 °
ค. tan 50 ° > sin 80 °
ดังนั้นข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง (ทบ.49)
1) ก. เป็นจริงข้อเดียว
4) ก. เป็นเท็จข้อเดียว

2) ข. เป็นจริงข้อเดียว
5) ข. เป็นเท็จข้อเดียว



3) ค. เป็นจริงข้อเดียว





6.
จำกรูป มุม ACD = 90 °, มุม CBD = 45 °และมุม CAD = 15 °ถ้ำ AB = 100 เซนติเมตร
ดังนั้น DC เท่ำกับกี่เซนติเมตร ( กำหนด 3 = 1.732 ) (ทบ.49)
D
1) 21.96
2) 29.28
3) 32.94
4) 36.60
5) 43.92
A
7.

B
จำกรูปที่กำหนดให้ ข้อใดมีค่ำ

C
4 13
39

(ทร.49)
1) sin A + cosec C
3) tan C – cos A

2) cosec A – cos C
4) cosec C – sin A

8.
ถ้ำลำกเส้นแบ่งครึ่งมุมใดมุมหนึ่งของรูปสำมเหลี่ยมด้ำนเท่ำมำตั้งฉำกกับด้ำนตรงข้ำมมุม แล้ว
อัตรำส่วนตรีโกณมิติ secant ของมุมที่ถูกแบ่งนี้เป็นเท่ำใด (ทร.49)
1)

3

2)

3
2

3)

3
3

4)

2 3
3

9.
เสำอำกำศตั้งอยู่บนฐำนสูง 3 ฟุต โดนพำยุพัดหักพับลงมำที่พื้น พบว่ำยอดเสำทำมุม 30
กับพื้นดิน และยอดเสำอยู่ห่ำงจำกฐำน 15 ฟุต ถำมว่ำเสำอำกำศสูงเท่ำใด (ทร.49)
1) 4 3 ฟุต
2) 10 3 ฟุต
3) 15 3 ฟุต
4) 14 3 ฟุต
10. ถ้ำ 2 - 3 tan A = 1 แล้ว cosec A จะมีค่ำเท่ำใด (ทร.49)
1)
11.

2 3
3

จำกรูป จงหำมุม

3
3

ABC ตรงกับข้อใด

2)

3)

1
2

4) 2

(ทร.49)
1) 35 °
2) 45 °

่




-192-

3) 60 °
4) 75 °
12. ถ้ำ sin (A + B) = sin A cos B + sin B cos A และ cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
แล้ว tan 75˚ จะมีค่ำเท่ำกับเท่ำใด (ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1. 2  3
2. 2  3
3. 3  3
2

4.

3 3
2

5.

13. ถ้ำ sin 2 A  4 cos 2 A และ
1.

2.

3 3
3

sec 4 A  sec 2 A  k tan 4 A

3.

แล้ว k มีค่ำเท่ำใด

4.

5.

ถ้ำ tan 602 x6  cot 302 x  13 cos ec30 แล้ว 2 x 2  5 มีค่ำเท่ำกับข้อใด (ทอ.49)
1. 7
2. 8
3. 6
4. 5
5. 3
15. นนอ. อนันต์ อยู่ทำงทิศใต้ขอเสำธง เงยหน้ำเป็นมุม 30˚เห็นยอดเสำธงพอดี นนอ. นภันต์ อยู่
ทำงทิศตะวันออกของเสำธง มองยอดเสำธงเป็นมุมเงย 45˚ โดยที่ นนอ. อนันต์ และ นนอ. นภันต์ สูง
1.80 ม. และยืนห่ำงกัน 100 ม. จงหำว่ำเสำธงนี้สูงเท่ำใด (ทอ.49)
1. 51.8 ม.
2. 50 3  1.8 ม.
3. 61.8 ม.
4. 45 3  1.8 ม.
5. 40 3  1.8 ม.
14.

16.

ผลลัพธ์ของ

ตรงกับข้อใด (ทอ.49)

1. 2 sec A
2. 2 cosec A
3. 2 cos A
4. 2(sec A + cosec A)
5. 2 sec 2 A
17. นำเชือกล่ำมวัวผูกติดกับหลัก โดยหลักยึดติดมุมรั้ว 2 ด้ำน ที่บรรจบกัน ถ้ำรั้ว 2 ด้ำนทำมุม
ประกอบกัน 120 เชือกวัวถึงหลักยำว 15 ฟุต หำพื้นที่ที่วัวเดินได้มำกที่สุดกี่ตำรำงฟุต (แนวตร.49)
1) 25
2) 50
3) 75
4) 235.7
18.

5 sin A  cos A
sin A  cos A
2) 11
7

ถ้ำ 4 tan A = 3 แล้ว
1)

7
11

เท่ำกับข้อใด (แนวตร.49)
3)

7
5

4)

19
5
30 และ 45

19. ตึกหลังหนึ่งสูง 45 เมตร ชำยสองคนยืนอยู่ห่ำงตึกหลังนี้วังมุมเงยของตึกได้
ตำมลำดับชำยสองคนอยู่ห่ำงกันกี่เมตร ( 3  1.732) (แนวตร.49)
1) 77.94
2) 50.42
3) 45
4) 32.94

่




-193-

20. พลรบ มองเห็นยอดภูเขำเป็นมุมเงย 22.5 เมื่อเขำเดินเข้ำหำภูเขำเป็นระยะทำง 600 2 เมตร
จะมองเห็นยอดภูเขำเป็นมุมเงย 45 เขำจะต้องเดินเข้ำหำภูเขำลูกนี้อีกกี่เมตรจึงจะมองเห็นยอดภูเขำ
เป็นมุมเงย 60 (ทบ.50)
1) 100 3
2) 200(3  3)
3)
300(2  2

4) 100 3
5) 200 3
21. ค่ำของ sin 2 60  sin 2 55  sin 2 50  sin 2 45  sin 2 40  sin 2 35  sin 2 30
7
4) 4
2
จำกเอกลักษณ์ของตรีโกณมิติ ดังนั้น cos  เท่ำกับข้อใด (ทบ.50)
1  sin 
1) cosec   cot 
2) cos ec  cot 

1)
22.

4)
23.

5
2

2) 3

3)

3)

9
2

sec  tan

1
cos ec  cot 
3
sin   cos   ดังนั้น ค่ำของ cos   sin  เท่ำกับเท่ำใด
8

5)

sec  tan

กำหนด

5)

0 0    90

และ

(ทบ.50)
1) 0
24.

1
2

2)

3)

D
C
B
O
1)

A
1
2

2)

1
3

1
5 1
5
4
ˆ B  OBC  OCD  90
ˆ
ˆ
จำกรูปมุม OA
1
3

4

ˆ
ˆ
ˆ
และมุม AOB   , มุม BOC  a, มุม COD  
ถ้ำ AB = BC = CD = 1 หน่วยและ OA = 2 หน่วย
ดังนั้น ค่ำของ sin   cos   tan  เท่ำกับเท่ำใด
(ทบ.50)

3)

1
4

4)

1
5

5)

1
6

25. นักเรียนนำยเรือ เก่ง ใช้อุปกรณ์วัดมุม วัดยอดประภำคำรจำกท้ำยเรือ (จุด A ) เป็นมุมเงย 60
นักเรียนนำยเรือ กล้ำ อยู่บนเสำธงเรือ ซึ่งสูงจำกดำดฟ้ำเรือ 20 เมตร และใช้อุปกรณ์ชนิดเดียวกันวัด
มุมเงยได้ 30 ถ้ำเสำธงอยู่ห่ำงจำกจุด A เป็นระยะทำง 20 เมตร ประภำคำรแห่งนี้สูงประมำณกี่เมตรจำก
ระดับน้ำทะเล (สมมติให้เรือไม่เคลื่อนที่และดำดฟ้ำเรืออยู่สูงจำกระดับน้ำทะเล 5 เมตร) (ทร.50)
1) 87 เมตร
2) 92 เมตร
3) 47 เมตร
4) 52 เมตร
่



26.

19

1)
27.

28.

5
3


2)

49

cot A 

sec A  sin A

5 34
5 34
2
sin 60 tan 45 sec 30
cos ec 2 45 cos 60 tan 30

1) 1


-194-

(ทร.50)
2

3)

34

1
2

(ทร.50)

2) 2

3)

sin 2 30° + cos 2 30°
cot 45°

4)

4)

2

 sin 60 cos 30

 sin 2 45 cos 2 45


3


tan 45

 tan 2 30  



 sin 60 sec 30 


(ทร.50)
1) 1
29.

2

4) 4

1
2

2)

3) 1

sin 30 sin 45
 (ทร.50)
cos 15
2 sin 15
sec 45
4) 2
4

ในรูปสำมเหลี่ยม ABC ถ้ำ sinA = 0.6, AB = 5 ซม. และ AC = 7 ซม.
1)

1
2

3)
31.

3) 3

กำหนดให้ sin (A+B) = sinA cosB + cosA sinB จงหำค่ำของ

1)
30.

2) 2

cos ecC sec C
cot C

4)

(ทร.50)
1

2)
2

2

A

2

4 sin(90  x)  cos ecx

กำหนด cotx = 0.25 จงหำค่ำ
1)



1
16

2)

C



1  cos 2 x
4
17

3)

1
17

B

(ทร.50)
4)

25
17

32. รถยนต์ไต่เขำคันหนึ่งวิ่งขึ้นเนินเขำทำมุม 30˚ กับพื้นระนำบ เมื่อวิ่งไปได้ 2400 เมตร รถวิ่งลง
เนินทำมุม 45˚ กับพื้นรำบ เป็นระยะทำง 172 เมตร จำกนั้นวิ่งขนำนกับพื้นรำบไปอีก 100 เมตร แล้ว
วิ่งขึ้นถนนชันอีกครั้งโดยทำมุม 45˚ กับพื้นรำบ ถ้ำยังวิ่งต่อไปอีก 3000 เมตร รถคันนี้อยู่สูงจำกระดับ
พื้นรำบด้ำนล่ำงสุดกี่เมตร (ทอ.50)
1. 3100
2. 3200
3. 3300
4. 3400
5. 3500
33. โรงเรียนนำยร้อยตำรวจสำมพรำน จัดนำคณะนักเรียนชั้นปีที่ 1 ไปทัศนศึกษำสิ่งแวดล้อมที่วน
อุทยำนแห่งชำติเขำใหญ่ นรต.รักชำติใจดี มองเห็นต้นสักทองอำยุประมำณ 150 ปีต้นหนึ่ง เขำต้องกำร
ประมำณควำมสูงของต้น สักทองต้นนี้ เขำจึงเดินออกห่ำงจำกโคนต้นสักทองประมำณ 950 เซนติเมตร
่




-195-

และมองผ่ำนกล้องส่องทำงไกลไปที่ยอดต้นสักทองแนวสำยตำที่รักชำติมองเห็นยอดต้นสักทองทำมุม 60
กับแนวระดับสำยตำพอดี ถ้ำรักชำติสูง 185 เซนติเมตร เขำจะประมำณควำมสูงต้นสักทองได้ประมำณกี่
เมตร (ตร.50)
1) ประมำณ 15.283 เมตร
34. นรต. สุจริต รักษ์สกุล นอนรำบบนหน้ำผำที่สูงจำกระดับน้ำทะเล 1,000 เมตร เขำทอดสำยตำ
ไปยังเรือสองลำที่จอดอยู่ในทะเล มุมที่แนวสำยตำทำกับเส้นระดับมองเรือลำที่ 1 และลำที่ 2 เป็นมุมก้ม
มีขนำด 30 และ 60 ตำมลำดับ ถ้ำเรือลำที่สองอยู่ห่ำงจำกหน้ำผำประมำณ 577.33 เมตร แล้วเรือทั้ง
สองลำอยู่ห่ำงกันประมำณกี่เมตร (ตร.50)
1) 732.66 เมตร 2) 836.67 เมตร
3) 1154.67 เมตร
4) 1432.67 เมตร
35. จำกรูปสำมเหลี่ยม ABC เป็นสำมเหลี่ยมมุมฉำก มีควำมยำวด้ำน AB ยำว
ด้ำน AC ยำว 2 3 หน่วย มุม ABC เป็นมุมฉำกข้อใดต่อไปนี้ผิด (ตร.50)
5
B

5

หน่วย และ

A
2
2 21
7
35
7

1) tan C sec A =
3) cos A sec C =
36.

1)

1
169

2
3

แล้ว

2)

กำหนด tan A =

C

3

2) cos C cosec A =
4) tan A sin C =

2
39

1
9

2 15
7
7
2

sin 2 A cos 2 A มีค่ำดังข้อใด (ตร.50)
3)

4
13

4)

4
169

37. นรต.เกษม สูง 165 เซนติเมตร ยืนอยู่ห่ำงเสำธงโรงเรียนนำยร้อยตำรวจสำมพรำน 30 เมตร
มองเห็นยอดเสำธงเป็นมุมเงย 60 องศำ อยำกทรำบว่ำเสำธงสูงจำกพื้นประมำณกี่เมตร(ตร.50)
1) 54 เมตร
2) 16 เมตร
3) 32 เมตร 4) 52 เมตร
38. ให้

ABC เป็นสำมเหลี่ยมที่มีมุม C เป็นมุมฉำกถ้ำsin A =

3
5


sec A  tan A
cos A  sin A

(ทบ.51)
1)

1
3

2)

1
2

3)

2
3

4)

3
2

5)

5
2

ˆ
39. จำกรูป ถ้ำด้ำนตรงข้ำมมุม A ยำว a หน่วย และ ACB กำง 60 ถ้ำวำดรูปวงกลมโดยให้จุด B
เป็นจุดศูนย์กลำง และเส้นรอบวงผ่ำนจุด A แล้ววงกลมนี้มีเส้นรอบวงยำวกี่หน่วย(ทบ.51)
่




-196-

1)

a 3

2)

2a 3

3)

3a
2
3a

4)

 3a

5)
40.

1)

tan 2 A 

b
2
b 1

2 tan A
1  tan 2 A

2)

b2 1
b

ถ้ำ
3)

แล้ว

tan 40

4)

cot 20  b

b2 1
2b

2b
2
b 1

5)

2b
1  b2

41. ร้อยโทแดงอยู่ห่ำงจำกปืนใหญ่ของฝ่ำยเรำไปทำงทิศเหนือ 5 กิโลเมตร เขำตรวจพบรถถังข้ำศึก
จำนวน 5 คันกำลังจอดเติมน้ำมันอยู่ห่ำงจำกเขำเป็นระยะ 2 กิโลเมตร และทำมุมกับทิศเหนือเป็นมุม
60 โดยวัดตำมเข็มนำฬิกำ ดังนั้น เขำจึงวิทยุให้ปืนใหญ่ยิงรถถังข้ำศึก ร้อยโทดำซึ่งอยู่ ณ ที่ตั้งปืนใหญ่
เมื่อได้รับข้อมูลคำนวณหำระยะจำกปืนใหญ่ถึงรถถังข้ำศึกได้ระยะทำงกี่กิโลเมตร (ทบ.51)
1) 37
2) 38
3) 39
4) 2 10
5) 41
42.

กำหนด
1)

5 sin 35  3

1
25

2)

1  cos 2 35
cot 35  sec 55

2
25

(ทร.51)
3
25

3)

4
25

4)

43. ในวันที่มีพำยุปรำกฏว่ำต้นไม้ต้นหนึ่งถูกพำยุพัดส่วนยอดหักงอจนแตะกับพื้นดิน โดยส่วนยอดที่
หักนี้ทำมุมก้ม 60 และปลำยที่แตะพื้นดินอยู่ห่ำงจำกโคนต้นไม้ 3 เมตร ถ้ำส่วนที่เหลือของต้นไม้ยังคง
ตั้งตรงในแนวดิ่ง จงหำควำมสูงทั้งหมดของต้นไม้ก่อนที่จะถูกพำยุพัดหัก (ทร.51)
1) 3 3 เมตร
2) 2 3  6 เมตร 3) 2 3 เมตร
4) 3 3  6 เมตร
44.

ค่ำของ

1
1


2


  tan 
 1  cos  1  cos  

1) sec 2 
45.

2)

3)

2 sec

1)

6
9


4)

cos 2 

ABC เป็นสำมเหลี่ยมมุมฉำก มี A เป็นมุมแหลม และ

sin 2 A(cot 2 A  cos 2 A. cos ec 2 A)

46.

cos A 

2
3

2 cos 

แล้ว

มีค่ำเท่ำไร (ทร.51)

7
9
2
3(cot 30  cos 60)
sin 2 45. cos 2 30

2)

3)

8
9

4) 1

(ทร.51)

1) 10
2) 20
3) 22
4) 24
47. ชำยคนหนึ่งยืนห่ำงจำกตึก 20 เมตร มองเห็นโคนเสำธง ซึ่งปักอยู่บนยอดตึกเป็นมุมเงย
และปลำยเสำธงเป็นมุมเงย 60 เสำธงสูงกี่เมตร (ทร.51)
1) 20 3  1 2) 20 3  1
3) 20 3  1
4) 20 3
่

45



48.


-197-

เด็กคนหนึ่งหมอบอยู่บนยอดหน้ำผำริมทะเลมองเห็นเรือลำหนึ่งกำลังแล่นตรงเข้ำมำเป็นมุมก้ม

15 องศำ อีก

2

1
นำทีต่อมำเขำเห็นเรือลำนั้นด้วยมุมก้ม 30 องศำ ถ้ำเรือแล่นด้วยควำมเร็ว
2

นำทีหน้ำผำสูงจำกระดับน้ำกี่เมตร (ตร.51)
1. 37.5 เมตร
2. 38 เมตร
เมตร




30 เมตร/

3. 38.5 เมตร

 




4. 39

x 2 sec2 60 x cot 2 30  sin 45 
จงหำค่ำ x จำกสมกำร


  0 (ตร.51)
4 sin 2 30
tan 4 45  cos 45 
1. x  1 ,1
2. x  1 ,1
3. x   1 ,1
4. x   1 ,1
4
4
4
4
o
o
ในสำมเหลี่ยมมุนฉำก ถ้ำ sin(66   )  0.8 ,   90 ค่ำของ

49.

50.

tan(66 o   )  cot(24 o   )

1)
3)

51.

8 cos ec30 o tan 2 60 o
2 sin 30 o tan 2 30 o

2) 4 sin 45o tan 2 60o
4) 4 sec 60o tan 2 30o

สำมเหลี่ยมมุมฉำก ABC มีมุม A เป็นมุมฉำก กำหนด

จงหำ
1)
52.
1)
53.

(sin B  cos C )

2

7  13 sec B tan C

cos 4

2 cos B  3 sin B  0

(ทร.52)

16 2
2) 16
13
13 2
1
sin x
1

 sec x 
2
cos ec x cot x
sec 2 x
1
2) sec 2 x


6

เมื่อ

tan  

1)

1)

16
2 13

8 2
13

4)

tan 2 x

มีค่ำตรงกับข้อใด(ทร.52)
3)
1
3

1 sec 2 x

โดยกำหนดให้

sin 2 A  2 sin A cos A

และ

cos 2 A  oos 2 A  sin 2 A (ทร.52)

1)

1

4

1) 1

1)

54. ให้ ABC เป็นรูปสำมเหลี่ยมที่มี C เป็น มุมฉำก ถ้ำ
แล้วค่ำของ cot A เป็นเท่ำไร(ทร.52)
1)

2 3

2)

3

3)

1)

3

25
cos 2 A

2
3

มีค่ำมำกกว่ำ

2

24

sin A

4)

25

อยู่ 0.5 นิ้ว
1
3

55. เด็กชำยกับเด็กหญิงอยู่คนละด้ำนของเสำธง เด็กทั้งสองมองเห็นยอดเสำธงเป็นมุม 45 และ 30
องศำ ตำมลำดับ ถ้ำทั้งสองคนอยู่ห่ำงกัน 20 เมตร เสำธงอยู่ประมำณกี่เมตร(ทร.52)
1) 6
2) 7
3) 8
4) 9
่



56.

ค่ำของ


-198-

sin 3 
sin  cos 
1
เท่ำกับข้อใด(ทร.52)


sot  cos ec cot   cos ec 1  cot 2 
2) cos 2  (cos   1)

1) cos 5 
3) cos  (cos 2   1)
4) cos  (cos   1) 2
57. ถ้ำ 2 sin 2A  tan 60o ; 0o  A  180o จงหำว่ำมุม A เท่ำกับกี่องศำ (ทบ.52)
1) 15
2) 30
3) 45
4) 90
5)
120
58. กำหนดให้ sin( A  B)  sin A cos B  cos A sin B จงหำค่ำของ sin(105o ) (ทบ.52)
1)

3 1
2 2
3 1

3 1

2)

2 2

3 1

3)

2

3 1

4)

5)

2

2 3

59.

กำหนด tan A 

2
5

เมื่อ

0 o  A  90 o

แล้ว

2 sin A cos A  cos A
1  sin A  sin 2 A  cos 2 A

เท่ำกับเท่ำใด

(ทบ.52)
29
5

1)

2)

2

3)

29

2
5

4)

5
2

5)

5
29

60.

จำกรูป

1) 4 3
3) 8 3
5) 15

AB  4 3

หน่วย แล้วพื้นที่ของสำมเหลี่ยม ABC มีกี่ตำรำงหน่วย (ทบ.52)
2) 6 3
4) 12

กราฟ เส้นตรงและพาราโบลา
1.

กรำฟพำรำโบลำ ( Parabola ) มีสมกำรเป็น y  2 x 2  12 x  17 จงพิจำรณำข้อต่อไปนี้
ก. กรำฟพำรำโบลำนี้มีจุดสูงสุดที่ ( 1 , 7 )
ข. กรำฟพำรำโบลำนี้มีจุดต่ำสุดที่ ( 3 , -1 )
ค. กรำฟพำรำโบลำนี้ตัดกับเส้นตรง y = 7 ที่จุด ( 5 , 7 )
1) ก. ถูก
2) ข. ถูก 3) ค ถูก
4) ก. และ ค. ถูก 5) ข. และ ค. ถูก
2.
กำหนดสมกำรกรำฟเส้นตรง 4x – 3y + 12 = 0 จงพิจำรณำข้อควำมต่อไปนี้
ก. เส้นตรงมีควำมชัน

4
3

ค. เส้นตรงตัดแกน y ที่จุด ( 0 , 4 )
่

ข. เส้นตรงตัดแกน x ที่จุด ( -3 , 0 )
ง. เส้นตรงห่ำงจำกจุดกำเนิด 2.5 หน่วย


-199-


จ. มุมที่เส้นตรงตัดกับแกน x เป็นมุมป้ำน
ดังนั้นข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง(ทบ.49)
1) ถูกทกข้อ
2) ก. และ จ. 3) ข. และ ค.
4) ข., ค. และ ง. 5) ก., ข., ค. และ
จ.
3.
ถ้ำเส้นตรง x = 2 ตัดแกน x ที่จุด A เส้นตรง y = x – 3 ตัดแกน y ที่จุด C และเส้นตรง y
กับ x ตัดกันที่จุด B จงหำพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABCD ว่ำมีกี่ตำรำงหน่วย เมื่อ D คือจุด ( 0 , 0 ) (ทบ.
49)
1) 3
2) 4
3) 5
4) 6
5) 7
4.
ถ้ำกรำฟของสมกำร y = -x 2 + bx + c มีจุดตัดแกน x คือ ( 2 , 0 ) และ ( 4 , 0 ) แล้ว
กรำฟดังกล่ำวจะมีค่ำสูงสุดหรือค่ำต่ำสุดเท่ำกับข้อใด (ทร.49)
1) ค่ำต่ำสุด 3
2) ค่ำต่ำสุด 1
3) ค่ำสูงสุด 1
4) ค่ำสูงสุด 3
5.
กำหนดกรำฟพำรำโบลำ y = -( x – 2 ) 2 และ y = -x 2 ตัดกันที่จุด ( a , b ) จงหำค่ำ a – b
มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด (ทร.49)
1) 0
2) 1
3) 2
4) 3
6.
สมกำรพำรำโบลำ y = -3 – 2x – x 2 จงหำสมกำรแกนสมมำตร และแกนสมมำตรตัดกรำฟที่จุด
ใด (ทร.49)
1) สมกำร x = 1 , จุด ( 1 , 0 )
2) สมกำร y = 1 , จุด ( 1 , -4 )
3) สมกำร x = -1 , จุด ( -1 , -2 )
4) สมกำร x = 1 , จุด ( 1 , -4 )
7.
โรงงำนแห่งหนึ่งผลิตตุ๊กตำจำหน่ำยในรำคำตัวละ 156 บำท ในวันๆหนึ่งโรงงำนนี้ผลิตตุ๊กตำได้
x ตัวและส่งจำหน่ำยได้ทั้งหมดในแต่ละวัน ถ้ำต้นทุนกำรผลิตตุ๊กตำเหล่ำนี้ต่อวัน เป็น
บำท จงหำว่ำโรงงำนสำมำรถทำกำไรได้สูงสุดวันละเท่ำใด (ทอ.49)
1. 3,625 บำท
2. 4,125 บำท
3. 3,750 บำท
4. 4,000 บำท
5. 3,875 บำท
8.

9.

สมกำรของพำรำโบลำในข้อใดต่อไปนี้มีจุดยอดเป็นระยะทำงห่ำงจำกจุดกำเนิดมำกที่สุด (ทอ.49)
1. y   x 2  4x  7
2. y  x 2  8x  16
3. y  x 2  6x  11
4. y  2x 2  8x  8
5. y  x 2  6x  6
จุดยอดของพำรำโบลำ y = x 2 - 10x + 13 อยู่ห่ำงจุดกำเนิดกี่หน่วย (แนวตร.49)
1) 5
2) 8
3) 13
4) 15

่




-200-

10. พื้นที่สำมเหลี่ยมที่เกิดจำกกรำฟ y = 6x 2 11x  10 ตัดกับแกน x และ y มีค่ำกี่ตำรำงหน่วย
(ทบ.50)
3
2) 15 1
6
4
2
กำหนด f ( x)  x  bx  c

1)

14

3)

15

5
6

4)

16

2
3

5)

17

1
3

11.
ถ้ำ f (x) มีค่ำต่ำสุดเท่ำกับ 3 เมื่อ x เท่ำกับ 2 ดังนั้น b + c
1) 3
2) 4
3) 5
4) 6
5) 7
12. ส่วนของเส้นตรง AB ที่มีจุดพิกัด A(-4, 6) และ B(5, -2) สะท้อนข้ำมแกน x และสะท้อนข้ำมแกน
y จะเกิดรูปสุดท้ำยตรงกับข้อใด (ทบ.50)
1) เป็นส่วนของเส้นตรงซึ่งมีจุดปลำยอยู่ที่พิกัด (-4, 6) กับ (5, -2)
2) เป็นส่วนของเส้นตรงซึ่งมีจุดปลำยอยู่พิกัด (-5, 2) กับ (4, -6 )
3) เป็นส่วนของเส้นตรงที่ตั้งฉำกกับส่วนของเส้นตรง AB
4) เป็นส่วนของเส้นตรงขนำนกับแกน x
5) เป็นส่วนของเส้นตรงขนำนกับแกน x
13. จำกสมกำรพำรำโบลำ y   x 2  10 x  k จงหำค่ำ k ที่ทำให้กรำฟของพำรำโบลำนี้มีจุด
ยอดเป็น(5, 2) และ แกนสมมำตร คือ x = 5 (ทร.50)
1) k  23
2) k  25
3) k  23
4) k  25
14. กำหนดให้ y   x 2  2 x  8 มีจุดตัดบนแกน y คือ y = k และมีสมกำรแกนสมมำตรคือ x
= Cค่ำของ 2 kC ตรงกับข้อใด (ทร.50)
1) 2
2) 4
3) 8
4) 16
15. ยิงจรวดต่อสู้อำกำศยำนแบบไม่นำวิถี โดยมีสมกำรของกำรเคลื่อนที่ของจรวดดังนี้
h   50t 2  1000t เมื่อ h คือควำมสูงที่จรวดอยู่เหนือพื้นดินเป็นฟุต และ t คือเวลำที่ผ่ำนไปเป็น
วินำทีหลังจำกกำรยิงถำมว่ำจรวดที่จะอยู่เหนือควำมสูง 3750 ฟุต เป็นเวลำนำนเท่ำไร(ทอ.50)
1. 7 วินำที
4. 10 วินำที 5. 11 วินำที
16. กรำฟของ y  x 2  2x  3 และ y  x  32  1 มีจุดยอดอยู่ห่ำงกันเป็นระยะทำงเท่ำไร(ทอ.
50)
1. 5
2. 13
3. 4
4. 17
5. 5
17. กำหนดจุด A (2 , -3) เป็นจุดบนระนำบ xy ให้จุด B (a , b) เป็นภำพเกิดจำกกำรสะท้อนของ
จุด A ข้ำมเส้นตรง x = -1 และ C = (c , d) เป็นภำพเกิดจำกกำรสะท้อนของจุด B ข้ำมเส้นตรง y = 2
แล้วจุดพิกัดของ C (c , d) คือข้อใด(ทอ.50)
1. (-3 , 2)
2. (-4 , 7)
3. (-4 , -3)
4. (-3 , 7)
5. (-4 , -7)
่




-201-

18. กำหนดให้จุด A( -3, 0 ), B( -3, -3 ), C( 2, 3 ), D( 2, 0 ), E( -3, 3 ) และ F( 2, -3 ) อยู่บน
ระนำบ จะเขียนเชื่อมจุดด้วยเส้นตรงเรียงตำมลำดับ ดังข้อใดจึงได้รูป S (ตร.50)
1) C , E , A , D , F , B
2) C , E , F , A , D , B
3) C , A , B , F , D , E
4) C , D , F , B , A , E
19. กรำฟของสมกำร 4x + 3y + 11 = 0 และ 2x – 4y + 22 = 0 ตัดกันที่จุดใด (ตร.50)
1) ( 3 , -5 )
2) ( -3 , -5 )
3) ( -5 , -3 )
4) ( -5 , 3 )
20. กรำฟของสมกำร 3x + 5y – 9 = 0 และ 4x – 5y -12 = 0 ทำมุมกับแกน ( เมื่อวัดทวนเข็มนำฬิกำ
) มีลักษณะตรงกับข้อใดตำมลำดับ (ตร.50)
1) ทำมุมป้ำนกับแกน x, ทำมุมแหลมกับแกน x 2) ทำมุมแหลมกับแกน x, ทั้งสองสมกำร
3) ทำมุมป้ำนกับแกน x, ทั้งสองสมกำร 4) ทำมุมแหลมกับแกน x, ทำมุมป้ำนกับแกนx
21. กรำฟของสมกำร 4x – 5y + 10 = 0 และ 10x + 8y + 12 = 0 มีลักษณะตรงกับข้อใด (ตร.50)
1) ทำมุมป้ำนกับแกน x ทั้งสองสมกำร
2) ขนำนกัน
3) ตัดกันที่จุด ( 4 , -5 )
4) ตัดกันเป็นมุมฉำก
22. กำหนดสมกำร y  x 2  2 x  4 และ y   x2  2x  9 เมื่อเขียนกรำฟแล้วจุดยอดของกรำฟ
ห่ำงกัน กี่หน่วย(ทบ.51)
1) 11
2) 9
3) 8
4) 7
5) 5
23. เส้นตรงคู่ใดต่อไปนี้ไม่ตัดกัน(ทบ.51)
1) x + 2y = 5 และ y =

5 x
2

2) 4x – 5y = 0 และ 4y – 5x = 0
5) 3y – 2x + 1 = 0 และ y =

2) x + 2y – 1 = 0 และ x – 2y – 1 = 0
4) y =

6x  5
9

2x  1
4

และ 2y + x -3 = 0

24. จงหำพื้นที่ของรูปสำมเหลี่ยมที่เกิดจำกกำรตัดกันของกรำฟ 5X+4Y = 30 และ 3X+Y = 12 กับ
แกน X โดยที่จุดตัดกันของกรำฟ X+Y=7 และ 2X+7Y = 54 เป็นจุดยอดของสำมเหลี่ยมรูปนี้ (ตร.51)
1. 20 ตำรำงหน่วย 2. 30 ตำรำงหน่วย 3. 40 ตำรำงหน่วย 4. 50 ตำรำงหน่วย

25.

กำหนดให้สมกำร 3 คู่ แต่ละคู่จะได้คำตอบเป็นกรำฟเรียงลำดับได้ดังข้อใด (ตร.51)
1. 2x  3 y  6,2x  3 y  12
2. 2x  3 y  6,2x  3 y  6

่




-202-

3. x  2 y  5,3x  6 y  15
1. ตัดกัน ทับกัน ตัดกัน
2. ขนำนกัน ทับกัน ทับกัน
3. ขนำนกัน ตัดกัน ทับกัน
4. ทับกัน ขนำนกัน ตัดกัน
26. เส้นตรง 3 y  4(2x  9) ตัดแกน x ที่จุด A เส้นตรง 2x  3( y  2) ตัดแกน Y ที่จุด B และ
เส้นตรงทั้งสองตัดกันที่จุด C ถ้ำ O แทนจุดกำเนิดแล้ว พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม AOBC เป็นเท่ำใด (ตร.51)
1. 12 ตำรำงหน่วย 2. 13.5 ตำรำงหน่วย 3. 15 ตำรำงหน่วย 4. 16.5 ตำรำง
หน่วย
27.

สะพำนแขวนโค้งมีลักษณะเป็นพำรำโบลำ

ax 2  1 

2y
15

ถ้ำขับรถขึ้นถึงกลำงสะพำน ขณะที่

เรือแล่นอยู่กึ่งกลำงแม่น้ำและลอดใต้สะพำนพอดี จงหำว่ำ ณ เวลำนั้นรถและเรืออยู่ห่ำงกันเท่ำใด(ทร.51)
1)

2
15a

หน่วย

2)

15a
2

หน่วย

3)

15a หน่วย

4)

15
2

หน่วย

28. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ใช่ลักษณะกรำฟของสมกำร y   x 2  6 x  4 (ทร.52)
1) กรำฟตัดแกน y ที่จุด ( 0,-4)
2) กรำฟพำรำโบลำคว่ำ
3) ( 3,5) เป็นจุดสูงสุด
4) x = -3 เป็นแกนสมมำตร
29. ถ้ำพับกรำฟของ y  x 2  6 x  5 ตำมแนวแกนสมมำตรจุด (4 ,-3) จะทับจุดในข้อใดต่อไปนี้(ทร.
52)
1) (1 ,-3)
2) (2 ,-3)
3) (3 ,-3)
4) ไม่มีข้อถูก
30. เส้นโค้งพำรำโบลำ ตัดแกน x ที่จุด (-2 ,0 ) และ (4 ,0 ) ถ้ำเส้นโค้งพำรำโบลำและเส้นตรง
y  x  2  0 ตัดกันที่จุด A และ จุด B ระยะ AB ยำวเท่ำกับข้อใด(ทร.52)
1) 8 2 หน่วย
2) 6 2 หน่วย
3) 5 2 หน่วย
4) 4 2 หน่วย
31. กำหนดให้สำมเหลี่ยม ABC มีพิกัดตำมจุด A( -1,1) , B( 2,1) และ C( 2,4 ) และหำก AD เป็น
เส้นตรงข้ำมมุมฉำกที่มีมุมมำกกว่ำ AC 15 องศำ จงหำพิกัดของจุด D(ทร.52)
1)

( 2,

3 3
 1)
2

5 2
 1)
2
aX  bY  3  0 ตัดกับกรำฟของสมกำร Y  1 ที่จุด

32. ถ้ำกรำฟของ
เท่ำกับเท่ำไร (ทบ.52)
1) -5
2) -4

2)

3)

( 2,3 3  1)

3) -3

( 2,

4) -2

4)

( 2,5 2  1)

(1, a ) แล้วค่ำของ a+b
5) -1

33. ถ้ำ a และ b เป็นจำนวนจริงที่ทำให้กรำฟของสมกำร y  (a  3)x 2  (b  3)x  3 ตัดแกน
X ที่จุด
(-1,0) และ (1,0) แล้ว ค่ำของ a 2  b 2 เท่ำกับข้อใด (ทบ.52)
1) 3
2) 9
3) 27
4) 81
5)
243
่



37. เปลี่ยนสมกำร Y  2X  4  X 2 ให้อยู่ในรูป
1) Y  (X  1) 2  3
3) Y  (X  1) 2  3
5) Y  (X  1) 2  3
38.

Y  a(X  h) 2  k ได้เท่ำกับข้อใด

2)
4)

1
10

(ทบ.52)

Y  (X  1) 2  3
Y  (X  1) 2  3

ถ้ำค่ำ k ทำให้คู่อันดับ ( -2, 2) เป็นจุดบนกรำฟของสมกำร ky + 8 = 6x แล้ว

(ตร.52)
1) – 10
3) 


-203-

1
k


2) – 5
4)  1

่

5



1.

จงหำค่ำมุม


-204-


ABC

เมื่อ


BAC

เรขาคณิต
= 128 ° (ทร.49)
1) 36 °
3) 24 °

2.

ถ้ำ

 1 //  2

2) 26 °
4) 17

1
3

°

ข้อใดกล่ำวไม่ถูกต้อง (ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1. x = y
4. x + y = 2z

2. x = z
5. 2x > y + z

3. y = z

ˆ
3.
สี่เหลี่ยมด้ำนขนำน ABCD มีจุด Eอยู่บน DC ABC = 120˚ AE แบ่งครึ่ง BAD BE
แบ่งครึ่ง ABC AB ยำว 10 ซม. และ BC ยำว 5 ซม. ถำมว่ำ AE ยำวเท่ำใด (ทอ.49)
1. 9
2. 5 5
3. 10
4. 8
5. 5 3
4.
สำมเหลี่ยมมุมฉำก ABC มีมุม C เป็นมุมฉำก CE ตั้งฉำกกับ AB , D เป็นจุดกึ่งกลำงของ
CE AC = 40 ซม. BC = 30 ซม. ผลต่ำงของกำลังสองของ AD และ BD เป็นเท่ำใด (ทอ.49)
1. 600
2. 650
3. 700
4. 750
5. 800
5.
กำหนดให้ ด้ำน AB ยำว 16 หน่วย ด้ำน BC ยำว 14 หน่วย ด้ำน CA ยำว 12 หน่วย จงหำ
ควำมยำวของด้ำน AF (แนวตร.49)
C
A
F
B
่



6.
49)


-205-

กำหนดให้ AB ขนำนกับ EF และมีขนำดของมุมต่ำง ๆ ดังรูป มุม ADE เท่ำกับกี่องศำ (แนวตร.

1) 40
2) 66
3) 67
4) 76
7.
สี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส สำมเหลี่ยม BEC เป็นสำมเหลี่ยมด้ำนเท่ำ มี BC เป็นด้ำน
ร่วม ลำก DE ไปพบ AB ที่จุด F จงหำควำมกว้ำงของมุม BFD (แนวตร.49)
A
E
D
1) 100 องศำ
F
2) 105 องศำ
3) 110 องศำ
B
C
4) 115 องศำ
8.
ข้อใดไม่ถูกต้อง (แนวตร.49)
1) รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีพื้นที่ 4 ตำรำงหน่วย เส้นรอบรูป 8 หน่วย
2) รูปแปดเหลี่ยมด้ำนเท่ำมุมภำยในแต่ละมุมกว้ำง 120
3) รูปหกเหลี่ยมมีเส้นทแยงมุมรวม 9 เส้น
4) รูปห้ำเหลี่ยมด้ำนเท่ำมุมภำยในรวม 540
9.
จำกรูปส่วนของเส้นตรงใด แบ่งวงกลมออกเป็นครึ่งวงกลม เมื่อ O เป็นจุดศูนย์กลำงของวงกลม
E
1) AC
D
2) BD
O
3) CE
4) BE
A
B
C
10.

จำกรูปสำมเหลี่ยม ABC ถ้ำ

EC

ยำว 2 หน่วย

BD ยำว

2 3
3

หน่วย แล้ว

DE ยำวกี่หน่วย

(ทบ.50)
1)
3)

11
3
3
5

่

2)
4)

5
3
7
3




-206-

5)

1
2

11. สำมเหลี่ยม ABC เป็นสำมเหลี่ยมที่แนบในวงกลมที่มีจุด O เป็นจุดศูนย์กลำง มีด้ำน AB
ยำว 15 ซม.และด้ำน BC ยำว 15 ซม. จงหำควำมยำวของรัศมีวงกลม (ทร.50)
A
1) 6.5 ซม.
2) 7.6 ซม.
3) 8.7 ซม.
B 30
C
4) 9.8 ซม.



12. จำกรูป AB // CD ABE = 2a องศำ BEF = 95 ° และมุมกลับ EFG = 219 ° และ
ˆ
FGD = 115 ° ดังนั้น a มีขนำดกี่องศำ (ตร.50)
1) 99 °
2) 63 °
3) 36 °
4) 23 °

13. จำกรูป วงกลม 2 วง มีจุดศูนย์กลำงร่วมกันที่จุด O ถ้ำวงกลมใหญ่มีรัศมียำว 12 หน่วย คอร์ด
AB และ CD ยำว 3 และ 9 หน่วย ตำมลำดับ แล้ววงกลมเล็กมีรัศมีกี่หน่วย (ทบ.51)
1) 3.5
2) 4.0
3) 4.5
4) 5.0
5) 5.5

(ทบ.51)

ˆ
PQ // BE , DPQ  100

และ

ˆ
ACD  48

1)
3)
5)

่

จงหำว่ำขนำดของ
32

38

2)
4)

ˆ
BAC


34

40

42




-207-

15. ให้
ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้ำนขนำน
ขนำดของ
ˆ
DPE เท่ำกับกี่องศำ (ทบ.51)
A
F
B
55°

ˆ
EF // AD, PBF  55

และ

ˆ
BCE  80


1) 45
2) 50

p

3) 55
4) 60
5) 65

80°
D

E

C

16. จำกรูป ถ้ำ O เป็นจุดศูนย์กลำงของวงกลม p และ q เป็นจุดสัมผัส แล้ววงกลมนี้มีรัศมีกี่หน่วย
(ทบ.51)
1)
3)
5)
17.

9
5
7
4
11
6

2)
4)

8
5
5
3

จำกรูป มุม  กำงกี่องศำ(ทบ.51)

1) 55
2) 60
3) 65
4) 70
5) 75
18. ให้ A, B, C, D, และ E เป็นจุด ดังรูป จงหำว่ำจำนวนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดสองจุดมี
ทั้งหมดกี่เส้น (ทบ.51)
1) 5
2) 7
3) 8
4) 10
5) 12

19.

จำกรูป

1

และ 2 เป็นเส้นตรงขนำนกัน มุม X กำงกี่องศำ (ทร.51)

่




-208-

1) 10 องศำ
2) 15 องศำ
3) 25 องศำ
4) 45 องศำ
20. จำกรูปวงกลมทั้งสองมีจุดศูนย์กลำงที่ O และ P สัมผัสกันภำยในที่จุด Q มี OT และ OS เป็น
เส้นสัมผัส โดยที่ RQ : PQ  6 : 1 ถ้ำ PQ ยำว 3 หน่วย ควำมยำว OT เป็นเท่ำไร(ทร.51)
1) 4 2
2) 8 2
3) 2 3
4) 3 3
21. จำกรูปวงกลมแต่ละวงมีขนำดเท่ำกันและเส้นผ่ำนศูนย์กลำงแต่ละรูปเท่ำกับ 6 เซนติเมตร
จงหำควำมยำวของคอร์ด AB (ทร.51)
22. จำกรูป กำหนด

หน่วย (ตร.51)

L1 // L2 // L3

ค่ำของ a + b ตรงกับข้อใด (ตร.51)
1. 62
3. 92

BA C  AD C, AB  30


2.
4.

73
103

หน่วย AC = 16 หน่วย และ CD = 8 หน่วยแล้ว
A

30

BD

ยำวกี่

16

B

24.

D
C
1. 24 หน่วย
2. 28 หน่วย 3. 32 หน่วย
4. 36 หน่วย
จำกรูป  และ m เป็นเส้นตรงที่ขนำนกัน จงหำว่ำ X เท่ำกับกี่องศำ (ทบ.52)

x

m

1) 20
4) 35

110o

2) 25
5) 40

3) 30

30o

่



25. จำกรูป AP ขนำนกับ EQ ถ้ำ
52)
1) 115
2) 120
3) 125
4) 130
5) 135

-209-

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A  25 , B  45 , C  30 , D  60


ˆ
แล้ว E เท่ำกับกี่องศำ (ทบ.

ˆ
26. รูปสำมเหลี่ยม PQR มี PQ = PR , S เป็นจุดบนด้ำน PR ซึง QPR  SQR , T เป็นจุดบนด้ำน PQ
่ ˆ
ซึง ST // RQ ถ้ำมุม STQ = 100 องศำ แล้วมุม TQS มีขนำดกี่องศำ(ตร.52)
่
1) 40
2) 60
3) 80
4) 90

27.

พิจำรณำรูปในข้อใดต่อไปนี้ ข้อใดจับคู่ไม่ถูกต้อง(ตร.52)

1)

2)

3)

4)

28.

พิจำรณำรูปสี่เหลี่ยมมุมฉำก ABCD ต่อไปนี้

่




-210-

จงหำค่ำ x เมื่อ x เป็นจำนวนเต็มที่มีหน่วยเป็นองศำ(ตร.52)
1) 48
2) 68
3) 78
4) 90
29. ค่ำ x ในข้อใดมีค่ำน้อย เป็นอันดับสอง เมื่อ x เป็นจำนวนเต็มที่มีหน่วยเป็นองศำ(ตร.52)

1)

2)

3)

4)

วงกลม
1.
วงกลม O และวงกลม P สัมผัสกันภำยในที่จุด T, OA และ OB เป็นเส้นตรงสัมผัสวงกลม P
ถ้ำ PT : ST = 1 : 6 และ PT ยำว m หน่วย OA ยำวกี่หน่วย(ทบ.49)
1) m 3
2) m

3
2
2

3) m
4) 2m 2
5) 3m 2

2.
จำกรูป AB เป็นเส้นผ่ำนศูนย์กลำงของวงกลม ลำก CD สัมผัสวงกลมที่จุดDถ้ำ ACD =

ดังนั้น ABD กำงเท่ำใด (ทบ.49)
D

่




-211-

4
A

B

C

3.
จำกรูป จุด P และ Q เป็นจุดศูนย์กลำงวงกลมสองวงรัศมีเท่ำกัน ตัดกันที่จุด A ต่อ PA
ออกไปตัดเส้นรอบวงของวงกลม Q ที่จุด B ถ้ำมุม =
ดังนั้น มุม กำงเท่ำใด (ทบ.49)
B
2)
A

P

4)

Q

R

4.
จำกรูป O เป็นจุดศูนย์กลำงวงกลมแนบในสำมเหลี่ยม ABC ด้ำน AB = 4 หน่วย ด้ำน AC
= 5 หน่วย และด้ำน BC = 6 หน่วย ถ้ำลำก PQ ผ่ำนจุด O ขนำนกับ BC ดังนั้น PQ ยำวเท่ำใด (ทบ.
49)
A
1) 3.4 หน่วย
2) 3.6 หน่วย
3) 3.8 หน่วย
P
Q
4) 3.9 หน่วย
O
5) 4.0 หน่วย
B
C
5.
จำกรูป ด้ำน AB เป็นเส้นผ่ำนศูนย์กลำงของวงกลมรัศมี 5 เซนติเมตร ล้อมรอบสำมเหลี่ยม
ABC ถ้ำพื้นที่สำมเหลี่ยม ABC = 17.25 ตำรำงเซนติเมตร ดังนั้นเส้นรอบรูปสำมเหลี่ยม ABC ยำว
เท่ำใด (ทบ.49)
C
A
B 5) 27 เซนติเมตร

่




-212-


BCO

6.
จำกรูป O เป็นจุดศูนย์กลำงของวงกลม ถ้ำ
มีขนำดกี่องศำ (ทร.49)

=

และ

1) 30 องศำ
3) 40 องศำ


ABO

วงกลมมีจุดศูนย์กลำงอยู่ที่จุด O มีเส้นตรง XY สัมผัสวงกลมที่จุด
ˆ
ˆ
BCY = 80˚ จงหำ CAO (ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1.
3.
5.
ˆ
ˆ
DAE = 40˚ , ACE = 30˚

จงหำ


ACO

2) 35 องศำ
4) 45 องศำ

7.

8. AB เป็นเส้นผ่ำนศูนย์กลำงของวงกลม

=

C
20
40
50

ˆ
AOB

= 110˚ ,
2. 35
4. 45

จงหำ

ˆ
AED (ทอ.(ช้ำงเผือก)49)

1. 10
3. 30
5. 50

2. 20
4. 40

9.
ให้ S , B , K และ T เป็นจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน SA และ TC เป็นเส้นสัมผัสวงกลม ดัง
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
รูปและกำหนดให้ AST = 42˚ , CKT = 55˚ , SBC = 155˚ จงหำ ABK (ทอ.49)

10.

11.

1. 65˚
2. 75˚
ˆ
CD
O เป็นจุดศูนย์กลำงของวงกลม จำกรูป จงหำ 3.B78˚ (ทอ.49) 4. 68˚
5. 72˚
1. 65˚
2. 70˚
3. 75˚
4. 80˚
5. ไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง
ˆ
ˆ
ˆ
AB เป็นเส้นผ่ำนศูนย์กลำงของวงกลมมี CAD  45 และ AED  25 แล้ว ADC กำงกี่องศำ
(ทบ.50)
1) 30
2) 32.5
3) 35
4) 37.5
5) 40

่



-213-


12. จำกรูป O เป็นจุดศูนย์กลำงวงกลม มีพื้นที่ 162 ตำรำงหน่วย ถ้ำนำเอำโค้ง AB ซึ่งรองรับมุมที่
จุดศูนย์กลำง 160 ไปสร้ำงเป็นเส้นรอบวงของวงกลมจะได้วงกลมมีพื้นที่กี่ตำรำงหน่วย (ทบ.50)
B
1) 32
2) 40
3) 48
A
O
4) 56
5) 64

ˆ
13. จำกรูป มุม BAC  18 ถ้ำสำมเหลี่ยม ABD และสำมเหลี่ยม ACE เป็นสำมเหลี่ยมหน้ำจั่ว
โดย
ˆ
AD = BD และ AC = CE ดังนั้น มุม DAE กำงเท่ำใด (ทบ.50)
1) 90
2) 93
3) 96
4) 99
5) 102

14. จำกรูป AB เป็นเส้นผ่ำนศูนย์กลำงวงกลมลำกต่อ AB ไปที่ C จำก C ลำกเส้นสัมผัสวงกลมที่
D ถ้ำ BC = 1 หน่วย และ CD = 2 หน่วย ดังนั้น พื้นที่สำมเหลี่ยม ACD เท่ำกับกี่ตำรำงหน่วย (ทบ.50)
1) 2
2) 2.4
3) 2.6
4) 2.8
5) 3
15. จำกรูป AB เป็นเส้นผ่ำนศูนย์กลำงวงกลมยำว 14 หน่วย ถ้ำพื้นที่สำมเหลี่ยม ABC = 33
ตำรำงหน่วย ดังนั้น ผลต่ำงควำมยำวของ AC กับ BC เป็นกี่หน่วย (ทบ.50)
C
1) 4
2) 5
3) 6
4) 7
A
B
5) 8

16.

จุด D เป็นจุดศูนย์กลำงวงกลมที่
แนบในสำมเหลี่ยม ABC ที่มีด้ำน
ˆ
AB = BC จงหำค่ำของมุม BAC (ทร.50)

่



1) 70 องศำ
2) 75 องศำ
3) 80 องศำ
4) 85 องศำ
17. จำกรูป จงหำค่ำมุม x(ทอ.50)

18.


-214-

1. 75 องศำ
3. 65 องศำ
5. 55 องศำ

2. 70 องศำ
4. 60 องศำ

จำกรูป AB เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่มีจุด O เป็นจุดศูนย์กลำง จงหำค่ำของมุม x(ทอ.50)
1. 45˚
3. 35˚
5. 25˚

2. 40˚
4. 30˚

19. ABCDE เป็นรูปห้ำเหลี่ยมด้ำนเท่ำมุมเท่ำแนบในวงกลมที่มี O เป็นจุดศูนย์กลำงต่อ CD และ


AE ไปตัดกันที่จุด F ดังนั้นผลต่ำงระหว่ำง AOC กับ AFC เท่ำกับข้อใด (ตร.50)
F
1) 54
2) 144
3) 36
4) 108
20. คอร์ด AB ตั้งฉำกกับคอร์ด CD และคอร์ด AB ยำวเท่ำกับคอร์ด CD ถ้ำคอร์ด AB ยำว 32
เซนติเมตร โดยวงกลมมี O เป็นจุดศูนย์กลำง ซึ่งเส้นผ่ำนศูนย์กลำงยำว 40 เซนติเมตร ดังนั้นส่วนของ
เส้นตรง OX จะยำวกี่เซนติเมตร (ตร.50)
1) 12 2
2) 6 2
3) 18 2
4) 16 2
21. O เป็ น จุ ด ศู น ย์ ก ลำงที่ มี รั ศ มี ย ำว 12 เซนติ เ มตร คอร์ ด AB และคอร์ ด CD ยำว

เท่ ำ กัน BOP = 60° ต่ อ AB และ CD ติ ด กัน ที่ P ท ำให้ CPA = 30 ° ดั ง นั้น คอร์ด AB ยำวกี่
เซนติเมตร (ตร.50)
่




-215-

1) 4
3) 7

2

2

2) 3
4) 6

2

2

22.

ลำกต่อเส้นผ่ำนศูนย์กลำงAB ออกไปทำงB จนถึงจุดC ลำกCD สัมผัสวงกลมที่จุด D ถ้ำ
ˆ
ˆ
DAC  29 องศำ แล้ว ACD เท่ำกับกี่องศำ (ตร.51)
1. 29 องศำ
2. 30 องศำ
3. 31 องศำ
4. 32 องศำ

23.

และ PN สัมผัสวงกลม O ที่จุด M และจุด N ตำมลำดับและมุนกลับ
MON  215 จงหำขนำดของ MP N (ตร.51)
จำกรูป

PM

1.
3.

30
40

24. จำกรูป ถ้ำ AC และ AD เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่มี O เป็นจุดศูนย์กลำง และมี
ˆ
องศำ มุม ACD กำงกี่องศำ (ทร.52)
1) 15o
2) 30 o
3) 45o
4) 60 o

25. O เป็นจุดศูนย์กลำงวงกลม
องศำ(ทร.52)
1) 25o
3) 35o

ˆ
ABC  x o

26. W เป็นจุดศูนย์กลำงของวงกลม มี
CD ยำวเท่ำใด(ทร.52)

และ

่

35
45

ˆ
CAD กำง 30

ˆ
ˆ
BAC  3x o ถ้ำ BAO  10 o จงหำว่ำ x มีขนำดกี่

2)
4)

AB  CD

2.
4.

32 o
45 o

ที่จุด E , AB=40 เซนติเมตร DE=8 เซนติเมตร



1) 21
3) 46

27. O เป็นจุดศูนย์กลำง AB และ
ˆ
ขนำดของ CAD (ทร.52)
1) 98o
3) 136 o


-216-

2) 28
4) 58

ˆ
ADC  28o

เป็นเส้นผ่ำนศูนย์กลำง และ
2)
4)

ˆ
BCD  52 o

จงหำ

114 o

156 o

28. จำกรูป A,B,C และ D เป็นจุดศูนย์กลำงของวงกลม 4 วง ที่มีรัศมีเท่ำกัน ถ้ำ AQ=13 หน่วย และ PQ
เป็นคอร์ดยำว 24 หน่วย จงหำว่ำควำมยำวของ RS เท่ำกับกี่หน่วย (ทบ.52)
1) 44
2) 56
3) 57
4) 64
5) 65

ความน่าจะเป็น
1.
หมู่บ้ำนหนึ่งมีประชำกร 10,000 คน เป็นชำย 48% เป็นเด็ก 32% โดยที่เป็นเด็กชำยครึ่งหนึ่ง
ถ้ำสุ่มเลือกมำ 1 คน ควำมน่ำจะเป็นที่จะเป็นหญิงที่ไม่ใช่เด็กเป็นเท่ำใด (ทบ.49)
1) 0.2
2) 0.32
3) 0.34
4) 0.36
5) 0.38
2.
กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วขนำดเดียวกัน 4 สี ดำ 3 ลูก แดง 2 ลูก เขียว 3 ลูก และเหลือง 4 ลูก
ถ้ำสุ่มหยิบลูกแก้วจำกกล่องขึ้นมำหนึ่งลูก จงพิจำรณำข้อต่อไปนี้
ก. ควำมน่ำจะเป็นที่จะหยิบได้สีดำเป็น
ข. ควำมน่ำจะเป็นที่หยิบไม่ได้สีเขียวเป็น

1
4

1
4

ค. ควำมน่ำจะเป็นที่หยิบได้สีแดงหรือสีเหลืองเป็น
1) ก. เป็นจริงข้อเดียว
4) ก. เป็นเท็จจริงข้อเดียว

2
3

2) ข. เป็นจริงข้อเดียว
5) ข. เป็นเท็จข้อเดียว

่

3) ค. เป็นจริงข้อเดียว




-217-

3.
กล่อง 2 ใบ ใบที่ 1 มีลูกบอลสีแดง 2 ลูก สีน้ำเงิน 3 ลูก ใบที่ 2 มีลูกบอลสีขำว 3 ลูก สีน้ำเงิน 4
ลูก ให้หยิบลูกบอล 1 ลุก จำกกล่องใบที่ 1 อย่ำงสุ่ม เพื่อนำไปใส่ในกล่องใบที่ 2 แล้วจึงทำกำรหยิบอย่ำง
สุ่มจำกกล่องใบที่ 2 อีกครั้งหนึ่ง จงหำควำมน่ำจะเป็นที่เมื่อสุ่มหยิบลูกบอล 1 ลูก จำกกล่องใบที่สองแล้ว
ได้ลูกบอลสีน้ำเงิน (ทร.49)
1)

23
40

2)

5
8

3)

4
8

4)

7
12

4.
เป้ำวงกลมตำมรูป วงกลมวงเล็ก มีรัศมี 3 นิ้ว วงกลมตรงกลำงมีรัศมี 4 นิ้ว และวงกลมใหญ่มีรัศมี
5 นิ้ว แบ่งพื้นที่เป็นวงกลมตรงกลำง, วงแหวนตรงกลำง, และวงแหวนด้ำนนอก ถ้ำท่ำนเลือกปำเป้ำ ท่ำน
จะเลือกปำพื้นที่ส่วนใดจึงจะมีโอกำสถูกเป้ำมำกที่สุด (ทร.49)
1) วงกลมตรงกลำง
2) วงแหวนตรงกลำง
3) วงแหวนด้ำนนอก
4) วงกลมตรงกลำง หรือวงแหวนด้ำนนอก
5.
เขียนแต้ม 1 แต้ม ไว้บนหน้ำหัว และแต้ม 2 ไว้บนหน้ำก้อยของเหรียญบำทเหรียญหนึ่ง โยน
เหรียญบำทเหรียญนี้กับลูกเต๋ำ 1 ลูก แล้วนับแต้มรวมทีอยู่บนหน้ำเหรียญและหน้ำลูกเต๋ำ จงหำควำม
่
น่ำจะเป็นที่แต้มรวมบนหน้ำเหรียญและหน้ำลูกเต๋ำจะมำกกว่ำ 4 แต่น้อยกว่ำ 8 (ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1. 0.1
2. 0.2
3. 0.4
4. 0.5
5. 0.6
6.
โยนเหรียญพร้อมกัน 4 เหรียญ ควำมน่ำจะเป็นของผลลัพธ์ที่หงำยหัว 3 เหรียญ หงำยก้อย 1
เหรียญ ตรงกับข้อใด (ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1.
4.
7.

2.

3.

5.

คณะกรรมกำรออกปัญหำ 24 คน สุ่มเลือกขึ้นมำ 1 คน พบว่ำควำมน่ำจะเป็นที่จะได้กรรมกำร

หญิงเป็น ถ้ำต้องกำรให้ควำมน่ำจะเป็นที่จะได้กรรมกำรหญิงเปลี่ยนเป็น จะต้องแต่งตั้งกรรมกำรหญิง
เพิ่มขึ้นอีกกี่คน (ทอ.49)
1. 2 คน
2. 8 คน
3. 3 คน
4. 6 คน
5. 4 คน
8.
เกมโชว์รำยกำรหนึ่ง ผู้เข้ำแข่งขันต้องเล่นเกมสองรอบ รอบแรกและรอบแจ็คพ็อต ในรอบแรกผู้
เข้ำแข่งขันต้องเปิดป้ำย 2 แผ่น จำกป้ำย 10 แผ่น ที่ตัวเลขอยู่หลังป้ำย 0 ถึง 9 ถ้ำป้ำยแรกมีค่ำเท่ำใด ป้ำย
ที่สองต้องมีค่ำมำกกว่ำ จึงจะถือว่ำผ่ำนรอบแรกเข้ำสู่รอบแจ็คพ็อตในรอบแจ็คพ็อตมีป้ำย 10 แผ่น โดย
ด้ำนหลังแผ่นป้ำยมีสี 5 สีๆละ 2 แผ่น และผู้เข้ำแข่งขันต้องเลือกป้ำย 2 แผ่น และจะได้รับรำงวัลแจ็คพ็อต
่




-218-

ก็ต่อเมื่อป้ำยทั้ง 2 ที่เลือกนั้นมีสีเดียวกัน จงหำควำมน่ำจะเป็นของผู้เข้ำแข่งขันที่จะผ่ำนรอบแรกและได้รับ
รำงวัลแจ็คพ็อต (ทอ.49)
1.

2.

3.

4.

5.

9.
เอ็ด และ อัล เล่นเกมโดยมีกติกำว่ำให้แต่ละคนเขียนตัวเลข 1, 2, 3 หรือ 4 หนึ่งหมำยเลขลงบน
กระดำษโดยไม่ให้อีกฝ่ำยหนึ่งเห็น เมื่อทั้งคู่เปิดขึ้นมำดู ถ้ำผลต่ำงตัวเลขทั้งสองมีค่ำมำกกว่ำหนึ่ง อัลจะ
เป็นผู้ชนะกรณีอื่นเอ็ดจะเป็นผู้ชนะ จงหำควำมน่ำจะเป็นที่อัลจะเป็นผู้ชนะ (ทอ.49)
1.

2.

3.

4.

5.

10. โยนเหรียญ 1 เหรียญ ลูกเต๋ำ 1 ลูก ถ้ำโยนเหรียญออกหัวได้ 2 คะแนน ถ้ำโยนเหรียญออกก้อย
เสีย 1 คะแนน ถ้ำโยนลูกเต๋ำออกเลขคี่ได้ 3 เท่ำของเลขที่ออก ถ้ำโยนลูกเต๋ำออกเลขคู่เสีย 2 เท่ำของ
เลขที่ออก จงหำว่ำคะแนนสูงสุดต่ำงจำกคะแนนต่ำสุดเท่ำใด (แนวตร.49)
1) 4
2) 17
3) 30
4) 35
11. ทอดลูกเต๋ำเที่ยงตรง 2 ลูก ควำมน่ำจะเป็นที่ได้ผลต่ำงของแต้มมีค่ำอย่ำงน้อย 4 คือข้อใดต่อไปนี้
1)

2
36

2)

3
36

3)

4
36

4)

6
36

12. กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วสีดำ 2 ลูก สีแดง 3 ลูก สีขำว 4 ลูก และสีเขียว 6 ลูก สุ่มหยิบลูกแก้วจำก
กล่อง 2 ลูกพร้อมกัน ควำมน่ำจะเป็นที่ได้ลูกแก้วสีต่ำงกันเป็นเท่ำใด (ทบ.50)
1)

13
21

2)

16
21

3)

17
21

4)

19
21

5)

20
21

13. ควำมน่ำจะเป็นที่สมศักดิ์จะยิงปืนถูกเป้ำเท่ำกับ 60% ถ้ำเป้ำยิงปืนเป็นวงกลมเรียงตำมลำดับ
คะแนนโดยมีพื้นที่ดังนี้ 10 คะแนนมีพื้นที่ 1 ตำรำงหน่วย 9 คะแนนมีพื้นที่ 2 ตำรำงหน่วย 8 คะแนน มี
พื้นที่ 3 ตำรำงหน่วย เป็นเช่นนี้ตำมลำดับจนถึง 1 คะแนนพื้นที่ 10 ตำรำงหน่วย ควำมน่ำจะเป็นที่
สมศักดิ์ จะยิง 1 นัดแล้วได้คะแนนตั้งแต่ 8 คะแนนขึ้นไปมีค่ำเท่ำใด (ทบ.50)
1)

15
275

2)

18
275

3)

21
275

4)

25
275

5)

27
275

14. ถ้ำหมุนลูกศรตำมวงล้อที่มีหมำยเลข กำหนดตำมรูป โดยที่แต่ละช่องมีพื้นที่เท่ำ ๆ กัน ควำมน่ำ
จะเป็นที่ลูกศรจะชี้ช่องที่มีหมำยเลขมำกกว่ำ 5 เมื่อหมุนลูกศร 1 ครั้ง มีค่ำเท่ำใด (ทร.50)
1) 18
2)
3)

3

4)

่

1

1

4
8
2




-219-

15. มีลูกเต๋ำ 1 ลูกวำงไว้คงที่ ถ้ำมองด้ำนหน้ำ มีแต้มบนหน้ำลูกเต๋ำเท่ำกับ 6 ตำมรูป ถ้ำนำลูกเต๋ำอีก
หนึ่งลูกมำวำงติดกับลูกแรก ในลักษณะเดียวกัน ควำมน่ำจะเป็นที่ผลรวมของแต้มของลูกเต๋ำทั้งสองจะมี
ค่ำมำกกว่ำ 10 มีค่ำเท่ำใด (ทร.50)
1)
3)

1
6
1
2

2)
4)

1
3
2
3

16. ตำรำงแสดงจำนวนนักเรียนชั้น ม.3 จำนวน 100 คน ที่ได้จำกกำรสุ่มเกี่ยวกับประเภทของผลไม้ที่
ชอบรับประทำนมำกที่สุด ถ้ำสุ่มนักเรียนชำยมำ 1 คน ควำมน่ำจะเป็นที่จะสุ่มได้นักเรียนชำยที่ชอบ
รับประทำนสำลี มีค่ำเท่ำใด (ทร.50)
จำนวนนักเรียน
1)
ชำย
หญิง
10
16
20
10
7
5
5
15
8
4
50
50

ประเภทผลไม้
ส้ม
สำลี่
เงำะ
ชมพู่
มะม่วง
รวม

2

5

3)

2)
7

1

5

4)

50

4

25

17. ทะเบียนรถของเกำะเล็กๆแห่งหนึ่ง ประกอบด้วยตัวเลข 4 หลัก แต่จะใช้ตัวเลขเพียง 5 ตัวเท่ำนั้น
คือ1, 2, 3, 4 และ 5 และมีเงื่อนไขในกำรออกเลขทะเบียน คือตัวเลขในแต่ละหลักใช้ซ้ำกันได้ ยกเว้นหลัก
หน่วยห้ำมใช้เลขคี่และหลักพันห้ำมใช้เลข 4 จงหำจำนวนผลลัพธ์ของเหตุกำรณ์ที่จะจัดเลขทะเบียนของ
เกำะแห่งนี้ (ทอ.50)
1. 100
2. 160
3. 200
4. 250
5. 300
18. ถุงใบหนึ่งลูกแก้ว 6 ลูก เป็นสีน้ำเงิน 3 ลูก สีแดง 2 ลูก และสีดำ 1 ลูก ถ้ำหยิบลูกแก้วจำนวน 2
ลูกพร้อมกัน ควำมน่ำจะเป็นที่ลูกแก้วทั้งสองลูกมีสีไม่เหมือนกันคือข้อใด (ทอ.50)
1.

2.

3.

4.

5.

19. ข้อสอบปรนัย 5 ตัวเลือกมีตัวเลือกที่ถูกเพียงตัวเลือกเดียว ถ้ำกำหนดให้ ตอบถูกได้ 6 คะแนน
ตอบผิดได้ -2 คะแนน ถ้ำมีข้อสอบอีก 30 ข้อที่ท่ำนยังไม่ได้ทำและเวลำในกำรทำข้อสอบใกล้หมด ถ้ำท่ำน
เลือกตัวเลือกโดยไม่อ่ำนโจทย์ ค่ำคำดหมำยที่ท่ำนจะได้คะแนนในแต่ละข้อมีค่ำตรงกับข้อใด(ทอ.50)
1. 0.4 คะแนน
2. 0.2 คะแนน
่



20.


-220-

4. -0.2 คะแนน
5. -0.4 คะแนน
ทอดลูกเต๋ำ 2 ลูก พร้อมกัน1 ครั้ง จงหำควำมน่ำจะเป็นที่ขึ้นแต้มต่ำงกัน 2 (ตร.50)
1)

2
3

2
9

2)

3)

1
3

7
9

4)

21. สุ่มหยิบสลำก 2 ใบ จำกกล่องที่มีสลำกหมำยเลข 1, 2 , 3 , 4 จงหำผลลัพธ์ของเหตุกำรณ์ที่จะ
ได้ผลบวกเท่ำกับจำนวนที่หำรด้วย 2 ลงตัว โดยหยิบสลำกทีละใบโดยไม่ใส่คืนก่อนจะหยิบสลำกใบที่2 (ตร.
50)
1) 3 วิธี
2) 2 วิธี
3) 6 วิธี
4) 4 วิธี
22. สมหญิงต้องกำรมีบุตร 4 คน ควำมน่ำจะเป็นที่สมหญิงจะมีบุตรเป็นผู้หญิง 3 คน เท่ำกับเท่ำใด
(ทบ.51)
1)

1
4

2)

3
4

3)

1
3

4)

2
3

5)

1
16

23. ทอดลูกเต๋ำ 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง ควำมน่ำจะเป็นของเหตุกำรณ์ที่ลูกเต๋ำอย่ำงน้อยหนึ่งลูกหงำย
ขึ้นแต้ม 4 เท่ำกับเท่ำใด(ทบ.51)
1)
24.

7
36

2)

8
36

3)

9
36

4)

10
36

11
36

5)

ในถุงมีลูกแอปเปิลอยู่ 20 ลูก สุ่มหยิบแอปเปิลมำ 1 ลูก พบว่ำควำมน่ำจะเป็นที่จะได้ลูกแอปเปิล

สีแดงเท่ำกับ 3 ถ้ำต้องกำรให้ควำมน่ำจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกแอปเปิลสีแดงเพิ่มเป็น 8 ต้องใส่ลูกแอปเปิลสี
9

5

แดงเพิ่มลงไปในถุงอีกกี่ลูก (ทร.51)
1) 30 ลูก
2) 42 ลูก
3) 50 ลูก
4) 52 ลูก
25. ดึงไพ่ 2 ใบจำกไพ่ 1 สำรับที่มี 52 ใบ โดยดึงที่ละใบ เมื่อดึงแล้วไม่คืนกลับที่เดิม ควำมน่ำจะเป็น
ที่ได้ไพ่ทั้ง 2 ใบ มีแต้มเกิน 3 แต่น้อยกว่ำ 10 เท่ำกับข้อใด (ทร.51)
1)

24
52

2)

23
169

3)

46
221

4)

36
169

26. ในกล่องบรรจุลูกปิงปอง 4 ลูก 4 สี เป็นสีแดง (R) สีเหลือง (Y) สีขำว (W) และสีน้ำเงิน (B) นำ
ลูกปิงปองจำกกล่องมำเรียงลงในช่อง 4 ช่อง ช่องละ 1 ลูก ตำมรูป ถ้ำช่องแรกใส่ลูกปิงปองสีแดงจำนวน
ผลลัพธ์เมื่อใส่ลูกปิงปองครบ 4 ช่อง ตรงกับข้อใด (ทร.51)
1) 2
2) 4
3) 6
4) 8
27.

ในกำรโยนลูกเต๋ำ 2 ลูก 1 ครั้ง ควำมน่ำจะเป็นที่จะได้ผลรวมของแต้มเป็น 9 คือข้อใด (ตร.51)
1. 0

2.

1
9

่

3.

1
6

4. 1




-221-

28. มีพนักงำน 6 คน เป็นชำย 4 คน เป็นหญิง 2 คน มีควำมจำเป็นจะต้องปลดออก 2 คน เพื่อลด
ค่ำใช้จ่ำย จงหำควำมน่ำจะเป็นที่ผู้ที่ถูกปลดออกเป็นชำยทั้งคู่ (ตร.51)
1. 15
2. 2 5
3. 3 5
4. 4 5
29. มีท่อนไม้ขนำด 3 ,4 ,5 ,8 ,12 ,15 และ 17 ฟุต หยิบมำ 3 ท่อนอย่ำงสุ่ม แล้วนำมำต่อเป็นรูป
สำมเหลี่ยม จงหำว่ำในบรรดำ สำมเหลี่ยมที่ต่อได้นั้น มีควำมน่ำจะเป็นที่จะได้เป็น สำมเหลี่ยมมุมฉำก
เท่ำไร (ทร.52)
1)

6
56

2)

3
56

3)

1
28

4)

1
56

30. มีฉลำกอยู่ 10 ใบในกล่อง โดยฉลำกแต่ละใบจะมีเลขกำกับอยู่ เป็นเลขจำนวนเต็มลบที่เป็นเลขคี่
ถ้ำสุ่มหยิบฉลำกมำ 1 ใบ จงหำควำมน่ำจะเป็นที่จะหยิบได้ฉลำกที่มีหมำยเลขสอดคล้องกับคำตอบของ
สมกำร x 3  7 x 2  7 x  15  0 (ทร.52)
1)

1
3

2)

1
5

3)

2
5

2)

3
10

31. ต้องกำรจัดให้รถ 4 คันประกอบด้วย รถจี๊ป รถถัง รถหุ้มเกรำะบรรทุกทหำรและรถหุ้มเกรำะ
ติดตั้งปืน ค. วิ่งตำมกันจะจัดรูปขบวนได้กี่วิธี (ทบ.52)
1) 4
2) 6
3) 8
4) 12
5)
24
32. นำยรักชำติชวนเพื่อน 3 คนไปสอบเข้ำโรงเรียนเตรียมทหำร แต่ยังไม่ได้รับคำตอบว่ำจะไปหรือไม่
ไป
จงหำควำมน่ำจะเป็นที่เพื่อนของนำยรักชำติจะไปสอบด้วยอย่ำงน้อยหนึ่งคน (ทบ.52)
1)

1
7

2)

1
8

3)

3
8

4)

6
7

5)

7
8

33. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 3 ลูก และสีน้ำเงิน 2 ลูก ถ้ำหยิบลูกแรกแล้วไม่ใส่คืน จงหำควำม
น่ำจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกบอลสีน้ำเงินทั้งสองลูก (ทบ.52)
1)

1
4

2)

2
5

3)

1
5

4)

1
10

5)

4
25

34. หวยทอง เป็นกำรเสี่ยงโชคชนิดหนึ่งมีกติกำง่ำยๆ เช่น ผู้ขำยจะขำยหวยหรือสลำกแบบ 2 ตัว มี
หมำยเลขตั้งแต่ 00 ถึง 99 ให้แก่ผู้ซื้อ โดยมีสร้อยทองคำหนึ่งเส้นเป็นรำงวัลเพียงรำงวัลเดียว กำรออก
่



-222-


รำงวัลอำศัยเลขท้ำยสองตัว ของสลำกกินแบ่งรัฐบำล นกยูงได้ชวนเพื่อนๆ มำเล่นหวยทองโดยขำยสลำก
แบบสองตัว หมำยเลขละ 100 บำท มีรำงวัลเป็นสร้อยทองคำ รำคำ 2,500 บำท ตำมพรได้ซื้อสลำกไว้หนึ่ง
หมำยเลข นกยูงขำยสลำกได้หมดทุกหมำยเลข นักเรียนคิดว่ำข้อใดกล่ำวไม่ถูกต้อง(ตร.52)
1
100
2) ควำมน่ำจะเป็นที่ซื้อสลำกหนึ่งหมำยเลขและไม่ถูกรำงวัลเท่ำกับ 99
100

1) ควำมน่ำจะเป็นที่ซื้อสลำกหนึ่งหมำยเลขและถูกรำงวัลเท่ำกับ

3) ตำมพร คำดหมำยว่ำจะเสียเปรียบผู้ขำย 75 บำท
4) ตำมพร คำดหมำยว่ำจะได้เปรียบผู้ขำย 75 บำท
35. จำกจำนวน 2, 22 , 23 , 24 , ..., 22550 เขียนลงบัตรหมำยเลขละหนึ่งใบ ควำมน่ำจะเป็นที่สุ่มหยิบ
หมำยเลข 1 หมำยเลขแล้วหำรด้วย 5 เหลือเศษ 4 เท่ำกับข้อใด(ตร.52)
1)
3)

1
4
637
2550

2)
4)

1
5
638
2550

36. ในกล่องทึบใบหนึ่งมีบัตรที่เขียนหมำยเลข 1 ถึง 8 กำกับหมำยเลขละหนึ่งใบ ถ้ำสุ่มหยิบบัตรนี้
ขึ้นมำ 3 ใบ โดยหยิบทีละใบแล้วใส่กลับคืนก่อนที่จะหยิบใบต่อไป ควำมน่ำจะเป็นที่จะได้บัตรทั้ง 3 ใบ มี
หมำยเลขไม่เรียงกันครบทั้ง 3 ใบ เท่ำกับข้อใด(ตร.52)
1)
3)

1
28
3
256

2)
4)

่

3
128
125
128



-223-


สถิติ
1.
ค่ำเฉลี่ยของผลรวม ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐำน และฐำนนิยม ของข้อมูล 29 , 19 , 15 , 2 ,
3 , 25 , 7 , 3 , 25 , 10 คือข้อใด(ทบ.49)
1) 9.8 2) 12.5
3) 13.4
4) 13.8
5) 17.1
2.
ในกำรสอบวิชำคณิตศำสตร์ครั้งหนึ่งได้ค่ำเฉลี่ยเลขคณิตเท่ำกับ 70 คะแนน อำจำรย์จึงคิดวิธีกำร
ให้เกรดดังนี้
กำหนดให้ X คือค่ำเฉลี่ยเลขคณิต และ X คือคะแนนของนักเรียน
ถ้ำ X + 10  X
จะได้เกรด 4
ถ้ำ X  X < X + 10
ถ้ำ X - 10  X < X
ถ้ำ X - 20  X < X - 10 จะได้เกรด 1
นอกจำกนี้แล้วจะได้เกรด 0
ถ้ำเด็กชำยเก่ง สอบได้ 55 คะแนน แล้วอำจำรย์ใจดีบวกคะแนนเพิ่มให้ 10 คะแนนทุกคน แล้วเด็กชำย
เก่ง จะได้เกรดเท่ำใด(ทบ.49)
1) 0
2) 1
3) 2
4) 3
5) 4
3.
จำกตำรำงแจกแจงควำมถี่
อันตรภำคชั้น
ควำมถี่
2
30 – 34
4
35 – 29
5
40 – 44
2
45 – 49
3
50 – 54
4
55 - 59
ก. ควำมกว้ำงอันตรภำคชั้น = 4
ข. มัธยฐำนอยู่ในอันตรภำคชั้น 40 – 44
ค. ค่ำเฉลี่ยเลขคณิตอยู่ในอันตรภำคชั้น 45 – 49
1) ก. ถูก
2) ข. ถูก
3) ค. ถูก
4) ก. และ ข. ถูก
5) ข. และ ค. ถูก

่



-224-


4.
จงหำค่ำกลำงของธนำคำรพำณิชย์ ที่มีจำนวนผู้ใช้บริกำรในเดือน มี.ค. 2549ตำมตำรำงข้ำงล้ำงนี้
(ทร.49)
ธนำคำรพำณิชย์
จำนวนผู้ใช้บริกำร ( คน )
กรุงเทพ
41,513
กรุงศรีอยุธยำ
12,510
กสิกรไทย
23,671
ทหำรไทย
21,832
ไทยพำณิชย์
22,019
กรุงไทย
36,031
นครหลวงไทย
51,578
1. กรุงศรีอยุธยำ
2) กรุงไทย
3) นครหลวงไทย
4) กสิกรไทย
5.
จำกแผนภูมิที่กำหนดให้ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
แผนภูมิแสดงผลผลิตต่อไร่ของข้ำวโพดและข้ำวเจ้ำ ตั้งแต่เดือนมกรำคม ถึง มีนำคม 2549 (ทร.49)
1) โดยเฉลี่ยในช่วง 3 เดือน ผลิตข้ำวโพดได้มำกที่สุด
2) ในเดือน
กุมภำพันธ์ ผลิตข้ำวเจ้ำได้มำกที่สุด
3) ผลผลิตเฉลี่ยใน 2 เดือนแรก ข้ำวเจ้ำเท่ำกับข้ำวโพด
4) โดยเฉลี่ยในช่วง 3 เดือน ผลิตข้ำวเจ้ำได้มำกที่สุด

6.
ข้อมูลชุดที่ 1 ประกอบด้วย x , y , z มีค่ำเฉลี่ยเลขคณิตเท่ำกับ 15 แต่ถ้ำมีข้อมูลมำเพิ่มเป็น
x , y , z , a , b , c จะมีค่ำเฉลี่ยเลขคณิตเท่ำกับ 20 จงหำว่ำข้อมูลชุด a , b , c มีค่ำเฉลี่ยเท่ำใด (ทร.
49)
1) 23
2) 24
3) 25
4) 26
7.
กำหนดให้ a > 0 ถ้ำค่ำเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล a , 3a , a 2  3 , 12 คือ 5 แล้ว มัธยฐำน
ของข้อมูลชุดนี้มีค่ำเท่ำไร(ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1. 4
2. 3.5
3. 3
4. 2.75
5. 2.5
8.
โรงเรียนมัธยมเอกชนแห่งหนึ่ง มีนักเรียน ม.3 50 คน มีน้ำหนักเฉลี่ย 45 กิโลกรัม นักเรียนชั้น
นี้มี 2 ห้อง ห้อง ก มีนักเรียน 30 คน มีน้ำหนักเฉลี่ย 40 กิโลกรัม น้ำหนักเฉลี่ยของนักเรียนห้อง ข
ตรงกับข้อใด(ทอ.(ช้ำงเผือก)49)
1. 50.0 กิโลกรัม
่



-225-


9.
กำหนดให้จำนวนเลขชุดหนึ่ง มี 2 , 3 , 5 , 7 ,10 , 11 , 13 , A , B , C และ A B ≤ C ถ้ำ
จำนวนเลขชุดนี้มีค่ำฐำนนิยม = 3 ค่ำมัธยฐำน = 8 และค่ำเฉลี่ยเลขคณิต = 7.5 จงหำค่ำของ
a 2  2b  c (ทอ.49)
1. 0
2. 4
3. 3
4. 2
5. 1
10. กำหนดตำรำงคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง ดังนี้
คะแนน
จุดกลำงชั้น
a–b
1
15.5
c–d
3
25.5
e-f
5
35.5
ควำมกว้ำงของอันตรภำคชั้น และค่ำของ a ตรงกับข้อใด (ทอ.49)
1. 10 , 10
2. 10 , 11
3. 10 , 10.5
4. 9 ,10.5
5. 9 , 11
11. ค่ำใช้จ่ำยในกำรสมัครสอบเป็น นตท. ของนักเรียนคนหนึ่งประกอบด้วย ค่ำอำหำร ค่ำเดินทำง
ค่ำที่พัก และค่ำสมัครสอบ เมื่อนำมำเขียนเป็นแผนภูมิรูปวงกลมมีข้อมูลดังนี้ ค่ำอำหำรเป็น 2 เท่ำของ
ค่ำสมัครสอบ ค่ำที่พักเป็น 4 เท่ำเท่ำของค่ำสมัครสอบ ส่วนค่ำเดินทำงเป็น 3 เท่ำของค่ำสมัครสอบ
ถ้ำค่ำสมัครสอบเป็น 250 บำท ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง (ทอ.49)
1. มุมที่จุดศูนย์กลำงของแผนภูมิรูปวงกลมของค่ำสมัครสอบและค่ำอำหำรรวมเป็นมุมป้ำน
2. มุมที่จุดศูนย์กลำงของแผนภูมิรูปวงกลมของค่ำที่พักเท่ำกับ 144 องศำ
3. ค่ำใช้จ่ำยรวมทั้งหมดในกำรสมัครสอบคือ 2,500 บำท
4. ข้อ 1 และข้อ 3 ถูกต้อง
5. ข้อ 1 , 2 และ 3 ถูกต้อง
12. นักเรียน 18 คน มีคะแนนเฉลี่ย 75 คะแนน ถ้ำไม่นับคะแนนของคนสูงสุดและคนต่ำสุดจะได้
คะแนนเฉลี่ย 80 คะแนน จงหำคะแนนเฉลี่ยของคนสูงสุดกับต่ำสุด (แนวตร.49)
1) 35
2) 40
3) 45
4) 50
13. ในกำรสอบเข้ำ รร.เตรียมทหำร ผู้สมัครต้องใช้คะแนนเฉลี่ยอย่ำงน้อย 75% จึงจะถือว่ำสอบ
ผ่ำน ถ้ำด.ช.สมภพ สอบได้ คะแนน 3 วิชำแรก เป็น 70% 68% และ 91% ด.ช. สมภพ จะต้องสอบ
คะแนนวิชำที่ 4 อย่ำงน้อยเท่ำใดจึงจะผ่ำน (ทั้ง 4 วิชำ คะแนนเต็มเท่ำกัน) (แนวตร.49)
1) 68%
2) 69%
3) 70%
4) 71%
14. ตำรำงส่งออก พืชพลเกษตรของประเทศไทย ปี 2548
มูลค่ำส่งออก (ล้ำนบำท)
่



-226-


ข้ำว
6,000
ยำงพำรำ
3,000
ปำล์มน้ำมัน
2,000
อื่น ๆ
x
ประเทศไทยส่งสินค้ำออกทั้งหมดคิดเป็นมูลค่ำเท่ำใด (แนวตร.49)
1) 6 พันล้ำนบำท 2) 10 พันล้ำนบำท 3) 15 พันล้ำนบำท 4) 20 พันล้ำนบำท
15. พิจำรณำข้อมูลในตำรำง (แนวตร.49)
ข้อมูลใดต่อไปนี้ถูก
จานวนวันที่หยุด
จานวนนักเรียน
1) มัธยฐำนน้อยกว่ำฐำนนิยม
0 -2
8
2) ค่ำเฉลี่ยเลขคณิตน้อยกว่ำมัธยฐำน
3-5
12
3) มัธยฐำนมำกกว่ำฐำนนิยม
6-8
10
4) ฐำนนิยมมำกกว่ำค่ำเฉลี่ยเลข
9-11
0
คณิต
12-14
10
16. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จำนวน เรียงลำดับจำกน้อยไปมำก ถ้ำมัธยฐำน ฐำนนิยมและค่ำเฉลี่ยเลขคณิต
ต่ำงเท่ำกับ 50 ค่ำพิสัยเป็น 11 และค่ำเฉลี่ยเลขคณิต 3 จำนวนตรงกลำงเป็น 51 จำนวนที่มำกที่สุดตรง
กับข้อใด (ทบ.50)
1) 51
2) 52
3) 53
4) 54
5) 55
17. ถ้ำเกรดเฉลี่ยของนักเรียนที่สอบวิชำคณิตศำสตร์มีค่ำเท่ำกับ 2.0 ดังนั้น นักเรียนที่ได้เกรด 0 มี
จำนวนกี่คน ถ้ำนักเรียนได้เกรด 1, 2, 3 และ 4 มีจำนวน 4, 11, 6 และ 3 คนตำมลำดับ (ทบ.50)
1) 0
2) 1
3) 2
4) 3
5) 4
18. ข้อมูลค่ำอำหำรกลำงวันของนักเรียน 11 คน ดังนี้ (หน่วยเป็นบำท)
15 25 30 20 16 24 28
12 20 10 20
จำกข้อมูลข้ำงต้น ข้อสรุปข้อใดถูกต้องที่สุด (ทร.50)
1) นักเรียนได้ค่ำอำหำรกลำงวันโดยเฉลี่ยคนละ 22 บำท
2) ข้อมูลนี้มีค่ำมัธยฐำน 24 บำท
3) ข้อมูลนี้มีค่ำฐำนนิยมเท่ำกับ 16 บำท
4) ข้อมูลนี้มีค่ำเฉลี่ย ค่ำมัธยฐำน และค่ำฐำนนิยมเท่ำกัน
19. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จำนวน ค่ำมัธยฐำนเท่ำกับค่ำเฉลี่ย และเท่ำกับ 6 พอดี ฐำนนิยมของข้อมูล
ชุดนี้มีค่ำ เป็นครึ่งหนึ่งของค่ำมัธยฐำน ข้อมูลชุดนี้คือข้อใด (ทร.50)
1) 2, 3, 6, 6, 13 2) 3, 3, 6, 9, 9
3) 3, 3, 6, 8, 10
4) 3, 3, 6, 6, 12
20. บริษทแห่งหนึ่งมีพนักงำน 200 คนมีรำยได้เฉลี่ยต่อเดือน 10,000 บำท ส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำน
ั
1,000 บำท ถ้ำรำยได้ของพนักงำนของบริษัทแห่งนี้มีกำรแจกจ่ำยแบบปกติ ข้อใดกล่ำวถูกต้อง (ทอ.50)
่



1.
2.
3.
4.
5.

มีพนักงำนประมำณ


-227-

168
136
168
191
191

คน
คน
คน
คน
คน

มีรำยได้ต่อเดือนระหว่ำง

8,000 9,000 9,000 9,000 8,000 -

12,000
11,000
11,000
11,000
12,000

บำท
บำท
บำท
บำท
บำ

21. น้ำหนักเฉลี่ยของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมี 8 คน เป็น 58 กิโลกรัม เมื่อรวมน้ำหนักของสวลีเพิ่มอีก
จะทำให้น้ำหนักเฉลี่ยของนักเรียน 9 คนเป็น 60 กิโลกรัม จงหำน้ำหนักของสวลี(ทอ.50)
1. 75
2. 76
3. 77
4. 78
5. 74
22. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 4 จำนวน มีค่ำเฉลี่ยเลขคณิตเท่ำกับ 6 พิสัยมีค่ำเท่ำกับ 8 และฐำนนิยมคือ
6 จงหำส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำนของข้อมูลชุดนี้(ทอ.50)
1. 0
2. 1
3. 2
4. 2
5. 2 2
23. กำหนดข้อมูลชุดหนึ่ง ดังนี้
คะแนน
10
14
18
20
29
5
15
10
20
10
ค่ำฐำนนิยม ต่ำงจำกค่ำมัธยฐำน เท่ำใด(ทอ.50)
1. 0
2. 1
3. 2
4. 3
5. 4
24. ผลกำรสอบวิชำคณิตศำสตร์ 3 คน มีค่ำมัธยฐำน 75 คะแนน ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต 82 คะแนน
และพิสัย 19 คะแนน คนที่สอบได้คะแนนสูงสุดได้คะแนนเท่ำไร (ตร.50)
1) 96 คะแนน 2) 93 คะแนน
25. นักเรียนกลุ่มหนึ่งมี 10 คน คนที่อ้วนที่สุดหนัก 89.3 กิโลกรัม พิสัยของน้ำหนักของนักเรียน
เท่ำกับ 27.8 กิโลกรัม คนที่ผอมที่สุดหนักเท่ำไร (ตร.50)
1) 65.1 ก.ก.
2) 60.8 ก.ก.
3) 61.5 ก.ก.
4) 56.1 ก.ก.
26. ด.ช.ปรีชำ ทำคะแนนสอบวิชำคณิตศำสตร์ จำนวน 5 ครั้งได้คะแนน 15 , 12 , 10 และ 18
คะแนน และ ด.ช.ปรีชำทำคะแนนสอบหำยไป 1 ครั้ง แต่ทรำบว่ำคะแนนสอบเฉลี่ยทั้งหมดได้คะแนน
19 คะแนน อยำกทรำบว่ำคะแนนที่หำยไป 1 ครั้ง ได้คะแนนเท่ำไร (ตร.50)
27. ค่ำเฉลี่ยน้ำหนักของนักเรียนห้องหนึ่งเป็น 40 กิโลกรัม ถ้ำน้ำหนักโดยเฉลี่ยของนักเรียนหญิง
เป็น 35 กิโลกรัม และน้ำหนักโดยเฉลี่ยของนักเรียนชำยเป็น 50 กิโลกรัม อัตรำส่วนของจำนวนนักเรียน
หญิงต่อจำนวนนักเรียนชำยเป็นเท่ำใด(ทบ.51)
่



28.

-228-


1) 2 : 1
2) 3 : 1
3) 5 : 3
4) 4 : 3
5) 3 : 2
ถ้ำมีข้อมูล 5, 4, 7, 8, 7, 11, 7, 3, 10, 8 แล้วข้อใดกล่ำวผิด(ทบ.51)
1) ค่ำเฉลี่ยเลขคณิตเท่ำกับ 7
2) ฐำนนิยมคือ 7 3) มัธยฐำนคือ 7
4) ถ้ำมีข้อมูลเพิ่มเข้ำมำอีกคือ 7 ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต ฐำนนิยม และมัธยฐำนจะเท่ำเดิม
5) ถ้ำลบเอำข้อมูล 7 ออกไปค่ำที่เปลี่ยนไป คือ ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต ฐำนนิยม และมัธยฐำน

29. นักเรียนห้องหนึ่งจำนวน 16 คน แต่เด็กชำยปรีชำขำดสอบเพรำะป่วย ผลกำรสอบโดยมี
ค่ำเฉลี่ยเลขคณิตเท่ำกับ 68 คะแนน มัธยฐำนเท่ำกับ 72 คะแนน และไม่มีฐำนนิยม เมื่อเด็กชำยปรีชำ
หำยป่ำยแล้วกลับมำสอบ เมื่อครูพิจำรณำคะแนนของนักเรียนห้องนี้ใหม่อีกครั้ง พบว่ำมัธยฐำนยังมีค่ำเท่ำ
เดิม แล้วค่ำเฉลี่ยเลขคณิตของนักเรียนห้องนี้มีค่ำเท่ำใด(ทบ.51)
1) 67.75
2) 68.25
3) 68.50
4) 68.75
5) 69
30. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วยเลข 18, 12, 10, a, 17, 18, b, 13 โดย b เป็น 2 เท่ำของ a และรู้ว่ำ
ข้อมูลชุดนี้มีค่ำเฉลี่ยเป็น 14 จงหำมัธยฐำนของข้อมูลชุดนี้ (ทร.51)
1) 12
2) 14
3) 12.5
4) 14.5
31. คะแนนสอบนักเรียน 10 คน ครูคิดค่ำเฉลี่ยได้ 52 คะแนน แต่เมื่อทบทวนใหม่ครูพบว่ำกรอก
คะแนนนักเรียนผิดไป 2 คน คนแรกทำได้ 53 คะแนน ทำผิดเป็น 35 คะแนน คนที่สองทำได้ 48 คะแนน
แต่ครูทำผิดเป็น 84 คะแนนเช่นกัน จงหำค่ำเฉลี่ยที่ถูกต้องของนักเรียน 10 คนนี้ (ทร.51)
1) 53.8
2) 52 เท่ำเดิม
3) 50.2
4) 48.4
32. ผลกำรสอบวิชำคณิตศำสตร์ 4 ครั้งของนักเรียนคนหนึ่ง มีค่ำมัธยฐำนเป็น 57 ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต
เป็น 56และค่ำพิสัยเท่ำกับ 10 คะแนนสอบในครั้งที่ได้ต่ำที่สุดเท่ำกับข้อใด (ทร.51)
1) 42 คะแนน 2) 48 คะแนน
33. ในกำรชั่งน้ำหนักของนักเรียน 10 คน มีค่ำเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 52.4 กิโลกรัม แต่เมื่อตรวจสอบดู
พบว่ำมีนักเรียนคนหนึ่งบอกน้ำหนักผิด ซึ่งน้ำหนักที่แท้จริงคือ 45 กิโลกรัม แต่บอกผิดเป็น 55 กิโลกรัม
ดังนั้น ค่ำเฉลี่ยเลขคณิตที่ถูกต้องเป็นเท่ำไร (ตร.51)
1. 42.4 กิโลกรัม 2. 50.4 กิโลกรัม
3. 51.4 กิโลกรัม 4. 54.4 กิโลกรัม
34. น้ำหนักของเด็ก 5 คน มีค่ำมัธยฐำนเป็น 23 กิโลกรัม ในเด็กกลุ่มนี้มีเด็กแฝด 2 คนที่มีน้ำหนัก
เท่ำกันพอดีและเด็กที่น้ำหนักมำกที่สุดคือ 26 กิโลกรัม มี 1 คน น้ำหนักคนที่น้อยที่สุดมี 1 คนต่ำกว่ำ
คนหนักที่สุด 6 กิโลกรัมและค่ำเฉลี่ยของน้ำหนักของเด็กกลุ่มนี้เท่ำกับ 23.2 กิโลกรัม จงหำว่ำเด็กแฝก
2 คนในกลุ่มนี้หนักคนละกี่กิโลกรัม (ทร.52)
1) 23 กิโลกรัม
2) 23.2 กิโลกรัม
3) 23.5 กิโลกรัม

่



-229-


35. แผนถูมิวงกลมแสดงรำยจ่ำยของร้ำนค้ำวัสดุก่อสร้ำงแห่งหนึ่ง
ของเดือนมีนำคม ปี 2552 จำกแผนภูมิรูปวงกลม (pie chart)
ค่ำเงินเดือนพนักงำน และค่ำซ่อมแซมคิดมุมที่จุดศูนย์กลำง
ได้กี่องศำ (ทร.52)
1) 216.8 องศำ
2) 226.8 องศำ
3) 262.8 องศำ
4) 280.8 องศำ
36. นักเรียนคนหนึ่งสอบครั้งแรกได้คะแนนเท่ำกับ 35 คะแนน เขำจึงตั้งใจเรียนมำกขึ้น และทำให้
คะแนนอีก 2 ครั้งสูงขึ้น เมื่อนำคะแนนสอบทั้ง 3 ครั้งมำหำค่ำเฉลี่ยเลขคณิตได้เท่ำกับ 58 คะแนน แต่
ถ้ำเขำต้องกำรค่ำเฉลี่ยเลขคณิตเท่ำกับ 60 คะแนน เขำจะต้องทำคะแนนสอบครั้งแรกเท่ำกับที่คะแนน
(ทบ.52)
1) 37
2) 38
3) 39
4) 40
5) 41
37. กำหนดข้อมูลเรียงจำกน้อยไปมำกดังนี้
6 ,12 ,12 ,15,15, X, 24,24,30
ข้อมูลชุดนี้มีฐำนนิยมค่ำเดียวและมีค่ำมำกกว่ำมัธยฐำน อยำกทรำบว่ำข้อมูลชุดนี้มีค่ำเฉลี่ยเลขตณิต
เท่ำใด (ทบ.52)
1) 15
2) 16
3) 17
4) 18
5) 19
38. เด็กกลุ่มหนึ่งมีอำยุเป็น 12 13 ,16 และ 19 ถ้ำมีเด็กแฝด 2 คนมำเข้ำร่วมด้วย จะทำให้อำยุเฉลี่ย
ของเด็กกลุ่มนี้เท่ำกับ 15 ปี จงหำว่ำเด็กแฝดมีอำยุคนละกี่ปี (ทบ.52)
1) 13
2) 14
3) 15
4) 16
5) 17
39. ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงค่ำจำกน้อยไปมำกดังนี้ 1 ,1 ,1 ,A ,4 ,4 ,5 ,6 ,8 ,10 ,B ถ้ำฐำนนิยมมีค่ำเดียว
และมีค่ำเฉลี่ยเลขคณิตเท่ำกับ 5 แล้ว A+B จะมีค่ำเท่ำใด (ทบ.52)
1) 10
2) 12
3) 13
4) 14
5) 15
40. ข้อมูลข้อใดเมื่อนำไปใช้จริงควรใช้กำรประมำณค่ำเป็นจำนวนเต็ม(ตร.52)
1) เกรดเฉลี่ยสะสมของนักเรียน
2) ค่ำควำมเข้มข้นของสำรพิษ
3) รำยได้เฉลี่ยต่อคนของแผนเศรษฐกิจของชำติ
4) กำรสรุปบัญชีขอธนำคำรในแต่ละเดือน

่




-230-

การแปรผัน
1.
สมศักดิ์ขี่จักรยำนขึ้นเขำ โดยที่ระยะทำงแปรผันตรงกับเวลำกำลังสอง หลังจำกที่สมศักดิ์ขี่
จักรยำนเป็นเวลำ 12 นำทีจำกจุดเริ่มต้น สมศักดิ์เหลือระยะทำงอีก 4 ก.ม. และใช้เวลำ 6 นำที ถำมว่ำ
ระยะทำงทั้งหมดที่สมศักดิ์ขี่จักรยำนเป็นเท่ำใด (ทร.49)
1) 16 กม.
2) 18 กม.
3) 20 กม.
4) 24 กม.
2.
รำกที่สำมของ y แปรผันเกี่ยวเนื่องกับ x, z และแปรผกผันกับรำกที่สองของ t ถ้ำ
y=1,000 เมื่อ x=100, z= 1 และ t=4 จงหำค่ำของ t เมื่อ y=27, x =
5

3 และ z=

15

(ทร.49)

1) 5
2) 6
3) 7
4) 8
3.
งำนชิ้นหนึ่งปกติใช้คนงำน 4 คน แต่ถ้ำเพิ่มคนงำนอีก 1 คน จะทำให้งำนเสร็จเร็วขึ้น 6 วัน ถ้ำ
เวลำที่ใช้ในกำรทำงำนแปรผกผันกับจำนวนคนงำน จงหำว่ำถ้ำจะทำงำนให้เสร็จเร็วกว่ำปกติ 20 วัน
จะต้องใช้คนงำนกี่คน (ทอ.49)
1. 11 คน
2. 12 คน
3. 9 คน
4. 13 คน
5. 10 คน
4.
ถ้ำ y แปรผันโดยตรงกับผลบวกของปริมำณ 2 ปริมำณ ซึ่งปริมำณหนึ่งแปรผันโดยตรงกับ sin 2 x
และอีกปริมำณหนึ่งแปรผกผันกับ cos 2 x ถ้ำ y = 5 เมื่อ x = 30 และ y = 8 เมื่อ x = 45 ค่ำของ y เมื่อ
x = 60 คือข้อใด (ทบ.50)
1) 10
2) 15
3) 16
4) 18
5) 20
5.
ถ้ำเวลำที่ใช้ในกำรทำงำนชิ้นหนึ่งให้เสร็จแปรผกผันกับจำนวนคนทำงำน เดิมงำมชิ้นหนึ่งใช้
คนทำงำน6 คน งำนเสร็จในเวลำหนึ่ง แต่ถ้ำเพิ่มจำนวนคนทำงำนอีก1 คนงำนชิ้นนี้จะเสร็จเร็วขึ้นจำกเดิม
อีก 5 วันดังนั้น หำกต้องกำรให้งำนชิ้นนี้เสร็จภำยใน15วันต้องใช้คนทำงำนกี่คน
(ทบ.50)
่



6.
=


-231-

1) 9
2) 12
3) 14
4) 15
5) 20
ถ้ำ x แปรผันตรงกับกำลังสองของ y และแปรผกผันกับรำกที่สองของ z เมื่อ x = 5, z = 9 และ y
3 จงหำค่ำ y เมื่อ x 

1)

2
5

2
, z  64 (ทร.50)
5
2) 4
5

3) 2

5

4) 20

7.
ถ้ำ x แปรผันโดยตรงกับรำกที่สองของ y และ x = 2 เมื่อ y = 3 หำค่ำของ y เมื่อ x = 6
ใด (ทร.50)
1)

2
3

2)

3
2

3) 2

3

คือข้อ

4) 3

8.
ต้นทุนในกำรผลิตสินค้ำแยกได้ 2 ส่วน ส่วนหนึ่งคงตัว อีกส่วนหนึ่งแปรผันตำมจำนวนสินค้ำที่
ผลิตถ้ำผลิต ถ้ำผลิต 1,000 ชิ้น และขำยชิ้นละ 150 บำท เมื่อขำยหมดจะได้เงินเท่ำทุนพอดี ถ้ำต้นทุนคง
ตัวเท่ำกับ 50,000 บำท แล้วผลิตสินค้ำ 10,000 ชิ้น และขำยชิ้นละ 110 บำท จะได้กำไรหรือขำดทุนกี่
บำท (ทบ.51)
1) ขำดทุน 50,000
2) ขำดทุน 100,000
3) ได้กำไร 50,000
4) ได้กำไร 100,000
5) ได้กำไร 150,000
9.
รถยนต์ 2 คัน แล่นได้ระยะทำงเป็นอัตรำส่วน 5:12 และเวลำที่แล่นเป็น 3:4 จงหำอัตรำส่วนของ
ควำมเร็วของรถคันแรกต่อคันที่สอง ถ้ำเวลำที่แล่นผันตรงกับระยะทำงและแปรผกผันกับควำมเร็ว (ทร.51)
1) 3 : 7
2) 2 : 5
3) 5 : 7
4) 5 : 9
10. ควำมต้ำนทำนไฟฟ้ำ R(โอห์ม) ของเส้นลวดเส้นหนึ่งแปรผันตรงกับควำมยำวของเส้นลวด L
(เมตร) และแปรผกผันกับกำลังสองของควำมยำวเส้นผ่ำนศูนย์กลำงของหน้ำตัด D (มิลลิเมตร) ถ้ำเส้นลวด
ยำว 10 เมตร และมีเส้นผ่ำนศูนย์กลำงของหน้ำตัดยำว 0.02 เซนติเมตร มีควำมต้ำนทำง 6 โอห์ม จงหำ
ควำมยำวเส้นผ่ำนศูนย์กลำงของหน้ำตัดเมื่อลวดทองแดงยำว 3 เซนติเมตร ควำมต้ำนทำง 20 โอห์ม (ตร.
51)
1. 0.036 มม.
2. 0.006 มม.
3. 0.06 มม.
4. 0.36 มม.
11. น้ำหนักของสิ่งต่ำงๆ บนดวงจันทร์แปรผันตรงกับน้ำหนักบนโลก ถ้ำวัตถุชิ้นหนึ่งหนัก 60
กิโลกรัม จะหนัก 3.5 กิโลกรัม บนดวงจันทร์ ของที่หนัก 21 กิโลกรัมบนดวงจันทร์จะหนักบนโลก
12. ให้ A แปรผันโดยตรงกับกำลังสองของ x และแปรผกผันกับรำกที่สองที่เป็นบวกของ y และ x ถ้ำ
y มีค่ำเป็น 2 เท่ำของค่ำเดิมแล้ว A จะมีค่ำเป็นกี่เท่ำของค่ำเดิม(ทร.52)
1) 2 2 เท่ำ
2) 2 3 เท่ำ
3) 3 2 เท่ำ
4) 3 3 เท่ำ
่


รวมข้อสอบคณิตศาสตร์เตรียมทหาร ม.3

More Related Content

What's hot

Similar to รวมข้อสอบคณิตศาสตร์เตรียมทหาร ม.3

More from คุณครูพี่อั๋น

รวมข้อสอบคณิตศาสตร์เตรียมทหาร ม.3