3. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA:
1
Donde:
• A, B ,C …son números primos
• a, b, c, …son enteros positivos
Todo número se puede
representar como:
En general:
45
72
90 =
=23x32
21x32x51
= 32x51
4. ESTUDIO DE LOS DIVISORES ENTEROS POSITIVOS:
2
Ejemplo: DETERMINE Y CLASIFIQUE LOS DIVISORES DE 45
Divisores
de 45 : 1; 3; 5; 9; 15; 45
Div.
Simples
Div.
Primos
Div.
Compuestos
Div.
Propios
6. CONSIDERACIONES IMPORTANTES:
* Los divisores de un número pueden ser simples o compuesto
* Los divisores simples son el uno y los números primos
• Para determinar la cantidad de divisores propios no se cuen
el mismo número.
4
7. 1
Resolución
Para el número 720,
calcule
a. Cantidad de divisores
primos
b. Cantidad de divisores
simples
c. Cantidad de divisores
compuestos
720=
𝟐𝟒
x𝟑𝟐
x5
a) Tiene 3 divisores
primos: 2;3 y 5.
b) Tiene 4 divisores
simples: 1;2;3 y 5.
c) CD(c)= CD(720) -
CD(s)
720
2
2x
5
7
2
2
3
6
2
1
8
9 3
3 3
1
CD(c)=
5x3x2 - 4
CD(c)=
26
8. 2
Resolución
¿Cuántosdivisores tiene el número 𝟗𝟑
×
𝟐𝟓𝟐
?
* 𝟗𝟑 =
Entonces:
∴ Tiene 35 divisores.
CD=
(𝟑𝟐)𝟑
= 𝟑𝟔
* 𝟐𝟓𝟐
= (𝟓𝟐)𝟐
=𝟓𝟒
𝟗𝟑
× 𝟐𝟓𝟐
= 𝟑𝟔
x 𝟓𝟒
(5)
(7). = 35
9. 3
Resolución
Dado el número N = 15 × 12,
¿Cuántos divisores compuestos tiene
N?
Por condición :
14 = CD(compuestos)
∴ 𝑻𝒊𝒆𝒏𝒆 𝟏𝟒 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐𝒔
N = 15
x 12
+ CD(compuestos)
N =3x5x 𝟐𝟐
x3
N = 𝟐𝟐
x 𝟑𝟐
x 5……..DC
CD(N) = CD(simples)+
CD(compuestos)
(3)(3)(2) 4
=
10. 4
Resolución
Si A = 600, ¿cuántos divisores pares e
impares tiene A?
Tenemos: 600 =
2x3x𝟐𝟐
𝒙𝟓𝟐
Para saber cuantos
divisores pares:
Para saber cuantos divisores
impares: ؞CD(impares)=(2)(3)=6
600 = 𝟐𝟑
𝒙𝟑𝒙𝟓𝟐
…………..DC
[𝟐𝟐
𝒙𝟑𝟏
𝒙𝟓𝟐
]
2
CD(pares) = (3)(2)(3) =18
[𝟑𝟏𝒙𝟓𝟐
]
23
12. 6
Resolución
El 30 de enero de 2004, el gran maestro danés Peter Nielsen jugó una
partida de ajedrez contra Chess Brain, el ordenador en red más
grande del mundo. El encuentro terminó en un empate luego de
𝒂𝟓+𝟐 movimientos. ¿En cuántos movimientos terminó el encuentro
si A = 𝟐𝒂
𝒙𝟑𝟐
𝒙𝟓𝒂+𝟏
tiene 36 divisores?
A = 𝟐𝒂 𝒙 𝟑𝟐 𝒙 𝟓𝒂+𝟏
+1
𝐶𝐷𝐴 = (a+1).
+1
(3).
+1
(a+2) = 36
(a+1).(a+2) = 12
3 4 a = 2
𝒂𝟓
+𝟐
El número de movimientos
= 𝟐𝟓
+𝟐 = 𝟑𝟒
∴ 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆
𝒎𝒐𝒗𝒊𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒇𝒖𝒆 𝟑𝟒
13. 7
Resolución
¿ Un número que tiene 2 factores primos y
cuyos exponentes son dos números
consecutivos, tiene 17 divisores compuestos.
¿Cuál es el menor valor que puede tomar
dicho número?
N = 𝑎𝑛
. 𝑏𝑛+1
a y b son números primos
N tiene que ser el menor
valor entonces: a = 3
b = 2
𝐶𝐷𝑠 = 2 + 1= 3
Reemplazando:
N = 3𝑛
. 2𝑛+1
𝐶𝐷𝑁 = (n+1).(n+2) = 17 +3
(n+1).(n+2)= 20
4 5 n = 3
N = 33
. 24 N = 432
𝐶𝐷𝑐 𝐶𝐷𝑠
14. 8
Resolución
Rosario debe repartir cierta cantidad de caramelos junto a
Armando quien le comenta que por coincidencia la cantidad
de caramelos a repartir es igual a la cantidad de divisores que
tiene el número 2500, a lo que ella replica que en realidad es
igual a la cantidad de divisores compuestos. ¿Cuál es la
verdadera cantidad de caramelos si ambos están equivocados
y esta cantidad es múltiplo de 7 y se encuentra entre las dos
cantidades indicadas?
Calculando la cantidad
de divisores de 2500
2500 = 𝟐𝟐. 𝟓𝟒
𝑪𝑫𝑨 = (3). (5)
𝑪𝑫𝑨 = 15
𝑪𝑫𝒔 = 2 + 1
𝑪𝑫𝒔 = 3
𝑪𝑫𝒄 = 15 - 3
𝑪𝑫𝒄 = 12
según el dato del problema
N° de
caramelos(𝟕)
12 < < 15
Hay 14 caramelos
