Este documento presenta los conceptos fundamentales de funciones para el curso de Cálculo I de la Facultad de Química e Ingeniería Química de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Introduce las nociones de funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, paridad de funciones, funciones periódicas y monótonas, ilustrando cada concepto con ejemplos. El objetivo es que los estudiantes aprendan a identificar y graficar diferentes tipos de funciones.
Este documento describe diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, pares e impares, periódicas y monótonas. Define cada tipo de función y proporciona ejemplos para ilustrar las definiciones.
Composición de funciones - composición de funciones - composición de funcionesGilder3
El documento habla sobre la composición de funciones, funciones inyectivas e inversas y sus aplicaciones. Explica conceptos como la definición de composición de funciones, propiedades como la asociatividad, y cómo encontrar la función inversa de una función inyectiva mediante el cambio de variables. También presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos y su aplicación en problemas de ingeniería y gestión empresarial.
Este documento trata sobre la continuidad de funciones. Define la continuidad en un punto, en un intervalo abierto y cerrado. Explica cómo se destruye la continuidad y clasifica las discontinuidades en evitables e inevitables. Presenta ejemplos para ilustrar los conceptos y actividades para que el estudiante aplique los conocimientos.
El documento presenta información sobre funciones de variables aleatorias. Explica que una función de variable aleatoria involucra aplicar una función a una o más variables aleatorias para obtener otra variable aleatoria cuya distribución de probabilidad depende de las variables originales y la función. Luego, analiza tres tipos de funciones (constantes, biunívocas y diferenciables, y genéricas) y cómo determinar la distribución de probabilidad de la nueva variable aleatoria para cada caso.
Este documento presenta tres métodos para aproximar el valor de una integral definida: el método del punto medio, el método del trapecio y el método de Simpson. Explica cada método dividiendo el intervalo en subintervalos y evaluando la función en puntos específicos para aproximar el área bajo la curva representada por la integral. También incluye un ejemplo numérico para ilustrar el método del punto medio.
El documento trata sobre la continuidad de funciones reales. Explica que una función es continua en un punto si el límite de la función cuando x se acerca al punto es igual al valor de la función en ese punto. Presenta definiciones formales de continuidad y discontinuidad, y provee ejemplos para ilustrar diferentes tipos de continuidad y discontinuidad, como discontinuidad evitable e inevitable.
Este documento presenta un libro de texto sobre cálculo diferencial e integral. El libro tiene como objetivo proporcionar a estudiantes y profesores una herramienta pedagógica para facilitar el aprendizaje del cálculo. Cubre temas como derivadas, integrales indefinidas, integrales definidas y ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta un libro de texto sobre cálculo diferencial e integral. El libro tiene como objetivo proporcionar a estudiantes y profesores una herramienta pedagógica para facilitar el aprendizaje del cálculo. Cubre temas como derivadas, integrales indefinidas, integrales definidas y ecuaciones diferenciales.
Este documento describe diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, pares e impares, periódicas y monótonas. Define cada tipo de función y proporciona ejemplos para ilustrar las definiciones.
Composición de funciones - composición de funciones - composición de funcionesGilder3
El documento habla sobre la composición de funciones, funciones inyectivas e inversas y sus aplicaciones. Explica conceptos como la definición de composición de funciones, propiedades como la asociatividad, y cómo encontrar la función inversa de una función inyectiva mediante el cambio de variables. También presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos y su aplicación en problemas de ingeniería y gestión empresarial.
Este documento trata sobre la continuidad de funciones. Define la continuidad en un punto, en un intervalo abierto y cerrado. Explica cómo se destruye la continuidad y clasifica las discontinuidades en evitables e inevitables. Presenta ejemplos para ilustrar los conceptos y actividades para que el estudiante aplique los conocimientos.
El documento presenta información sobre funciones de variables aleatorias. Explica que una función de variable aleatoria involucra aplicar una función a una o más variables aleatorias para obtener otra variable aleatoria cuya distribución de probabilidad depende de las variables originales y la función. Luego, analiza tres tipos de funciones (constantes, biunívocas y diferenciables, y genéricas) y cómo determinar la distribución de probabilidad de la nueva variable aleatoria para cada caso.
Este documento presenta tres métodos para aproximar el valor de una integral definida: el método del punto medio, el método del trapecio y el método de Simpson. Explica cada método dividiendo el intervalo en subintervalos y evaluando la función en puntos específicos para aproximar el área bajo la curva representada por la integral. También incluye un ejemplo numérico para ilustrar el método del punto medio.
El documento trata sobre la continuidad de funciones reales. Explica que una función es continua en un punto si el límite de la función cuando x se acerca al punto es igual al valor de la función en ese punto. Presenta definiciones formales de continuidad y discontinuidad, y provee ejemplos para ilustrar diferentes tipos de continuidad y discontinuidad, como discontinuidad evitable e inevitable.
Este documento presenta un libro de texto sobre cálculo diferencial e integral. El libro tiene como objetivo proporcionar a estudiantes y profesores una herramienta pedagógica para facilitar el aprendizaje del cálculo. Cubre temas como derivadas, integrales indefinidas, integrales definidas y ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta un libro de texto sobre cálculo diferencial e integral. El libro tiene como objetivo proporcionar a estudiantes y profesores una herramienta pedagógica para facilitar el aprendizaje del cálculo. Cubre temas como derivadas, integrales indefinidas, integrales definidas y ecuaciones diferenciales.
S1.1-Funciones reales de variable real Definición, dominio, regla de correspo...ALDOMORALES37
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas. Explica la definición de función real de variable real, dominio y rango. También describe cómo representar funciones gráficamente y numéricamente. Incluye ejemplos de cómo determinar el dominio y rango de funciones dadas por su regla de correspondencia.
Este documento introduce conceptos de análisis complejo como el estudio de funciones de variable compleja. Explica que una función compleja mapea números complejos de un dominio a otros en el plano complejo, aunque no se pueda graficar directamente. También define conceptos como límites, continuidad, derivadas y analiticidad para funciones complejas.
Este documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas, incluyendo funciones constantes, identidad, valor absoluto y exponenciales. Explica que una función constante toma el mismo valor para cualquier entrada, mientras que una función identidad devuelve el valor de entrada. También grafica y analiza el comportamiento de funciones exponenciales para diferentes bases.
El documento describe funciones trascendentales como las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También describe conceptos como la composición de funciones, derivadas, antiderivadas e integrales indefinidas. Explica cómo estas funciones se usan para modelar fenómenos periódicos y de crecimiento/decrecimiento en diferentes campos como la ingeniería.
Este documento presenta conceptos clave sobre funciones inversas, implícitas y dependencia funcional. Explica que una función inversa existe si la función original es biyectiva. También cubre el teorema de la función inversa y cómo el determinante jacobiano indica si una función es invertible localmente. Finalmente, distingue entre diferentes casos de cómo una ecuación implícita puede o no representar una función implícita única de x.
Este documento describe el método de integración por partes. Explica que este método se aplica para integrar el producto de dos funciones cuando una es la derivada de la otra. Presenta la fórmula de integración por partes y provee ejemplos resueltos mostrando cómo aplicar este método para calcular diferentes integrales definidas.
Este documento introduce el concepto de integral indefinida y describe cómo calcularlas para diferentes tipos de funciones, incluidos monomios, constantes multiplicadas por funciones, y sumas y restas de funciones. Proporciona ejemplos para ilustrar cada tipo y ejercicios al final para practicar.
Clase 3 - UNIT 2 - Clasificación-Funciones-trigonométricas inversas.docxManuel Ortiz
El documento presenta una clasificación de diferentes tipos de funciones como funciones radicales, racionales, logaritmicas, trigonométricas y exponenciales. También describe transformaciones de funciones como desplazamientos verticales u horizontales, reflexiones y estiramientos. Finalmente, introduce las funciones trigonométricas inversas como arcsen, arccos, arctan, etc.
Este documento presenta una introducción a las funciones especiales en matemáticas. Define una función y explica que las funciones especiales son funciones particulares con nombres establecidos debido a su importancia. Luego describe brevemente 8 funciones especiales comunes: 1) la función constante, 2) la función cuadrática, 3) la función valor absoluto, 4) la función raíz cuadrada, 5) la función signo, 6) la función por partes, 7) la función máximo entero y 8) las funciones compuestas. El documento continúa analizando ej
El documento presenta una introducción a los conceptos de derivadas de funciones de una variable. Explica la definición matemática de recta tangente a una curva y=f(x) y la definición formal de derivada. También presenta técnicas básicas para calcular derivadas, incluyendo reglas para funciones constantes, potencias, sumas, productos, cocientes y cadena. Finalmente, cubre derivadas de funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de cálculo diferencial e integral, incluyendo la derivada de funciones, propiedades de la derivada, teoremas de Rolle y Lagrange, y ejemplos de cálculo de derivadas. También incluye una reflexión agradeciendo a los profesores por hacer que la materia sea interesante y por el conocimiento adquirido.
Este documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas. Define una función homogénea y explica que una ecuación diferencial ordinaria es homogénea si sus coeficientes son funciones homogéneas del mismo grado. Afirma que si los coeficientes de una ecuación diferencial son homogéneos, se puede convertir la ecuación en una donde las variables son separables mediante la sustitución y=ux. Proporciona un ejemplo resuelto de encontrar la solución de una ecuación diferencial homogénea median
Este documento presenta una lección sobre funciones lineales y afines. Explica qué son las relaciones y funciones, y proporciona ejemplos de cada una. También define funciones lineales y afines, mostrando sus expresiones algebraicas y gráficas. Finalmente, incluye ejercicios para que los estudiantes apliquen los conceptos aprendidos.
Este documento presenta varios ejercicios de álgebra que involucran operaciones como división de monomios y polinomios, despeje de fórmulas y expresiones algebraicas. Los ejercicios se enfocan en hallar expresiones para lados, áreas, volúmenes y otras medidas geométricas a partir de datos contextualizados. El propósito es que los estudiantes aprendan a identificar y aplicar diferentes procesos algebraicos para resolver problemas simbólicos basados en situaciones reales.
El documento presenta instrucciones para completar un entregable de cálculo vectorial, incluyendo resolver casos específicos, citar referencias y usar ecuaciones. Luego, presenta una sección teórica con preguntas sobre funciones diferenciables y extremos locales vs absolutos. Finalmente, una sección práctica con problemas sobre límites, ecuación de Laplace y regla de la cadena.
Este documento explica cómo calcular la derivada de una función utilizando la definición de límite. Presenta ejemplos de cómo derivar funciones elementales como polinomios, exponenciales y logaritmos. También introduce reglas algebraicas para derivar sumas, diferencias y productos de funciones.
S1.1-Funciones reales de variable real Definición, dominio, regla de correspo...ALDOMORALES37
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas. Explica la definición de función real de variable real, dominio y rango. También describe cómo representar funciones gráficamente y numéricamente. Incluye ejemplos de cómo determinar el dominio y rango de funciones dadas por su regla de correspondencia.
Este documento introduce conceptos de análisis complejo como el estudio de funciones de variable compleja. Explica que una función compleja mapea números complejos de un dominio a otros en el plano complejo, aunque no se pueda graficar directamente. También define conceptos como límites, continuidad, derivadas y analiticidad para funciones complejas.
Este documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas, incluyendo funciones constantes, identidad, valor absoluto y exponenciales. Explica que una función constante toma el mismo valor para cualquier entrada, mientras que una función identidad devuelve el valor de entrada. También grafica y analiza el comportamiento de funciones exponenciales para diferentes bases.
El documento describe funciones trascendentales como las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También describe conceptos como la composición de funciones, derivadas, antiderivadas e integrales indefinidas. Explica cómo estas funciones se usan para modelar fenómenos periódicos y de crecimiento/decrecimiento en diferentes campos como la ingeniería.
Este documento presenta conceptos clave sobre funciones inversas, implícitas y dependencia funcional. Explica que una función inversa existe si la función original es biyectiva. También cubre el teorema de la función inversa y cómo el determinante jacobiano indica si una función es invertible localmente. Finalmente, distingue entre diferentes casos de cómo una ecuación implícita puede o no representar una función implícita única de x.
Este documento describe el método de integración por partes. Explica que este método se aplica para integrar el producto de dos funciones cuando una es la derivada de la otra. Presenta la fórmula de integración por partes y provee ejemplos resueltos mostrando cómo aplicar este método para calcular diferentes integrales definidas.
Este documento introduce el concepto de integral indefinida y describe cómo calcularlas para diferentes tipos de funciones, incluidos monomios, constantes multiplicadas por funciones, y sumas y restas de funciones. Proporciona ejemplos para ilustrar cada tipo y ejercicios al final para practicar.
Clase 3 - UNIT 2 - Clasificación-Funciones-trigonométricas inversas.docxManuel Ortiz
El documento presenta una clasificación de diferentes tipos de funciones como funciones radicales, racionales, logaritmicas, trigonométricas y exponenciales. También describe transformaciones de funciones como desplazamientos verticales u horizontales, reflexiones y estiramientos. Finalmente, introduce las funciones trigonométricas inversas como arcsen, arccos, arctan, etc.
Este documento presenta una introducción a las funciones especiales en matemáticas. Define una función y explica que las funciones especiales son funciones particulares con nombres establecidos debido a su importancia. Luego describe brevemente 8 funciones especiales comunes: 1) la función constante, 2) la función cuadrática, 3) la función valor absoluto, 4) la función raíz cuadrada, 5) la función signo, 6) la función por partes, 7) la función máximo entero y 8) las funciones compuestas. El documento continúa analizando ej
El documento presenta una introducción a los conceptos de derivadas de funciones de una variable. Explica la definición matemática de recta tangente a una curva y=f(x) y la definición formal de derivada. También presenta técnicas básicas para calcular derivadas, incluyendo reglas para funciones constantes, potencias, sumas, productos, cocientes y cadena. Finalmente, cubre derivadas de funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de cálculo diferencial e integral, incluyendo la derivada de funciones, propiedades de la derivada, teoremas de Rolle y Lagrange, y ejemplos de cálculo de derivadas. También incluye una reflexión agradeciendo a los profesores por hacer que la materia sea interesante y por el conocimiento adquirido.
Este documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas. Define una función homogénea y explica que una ecuación diferencial ordinaria es homogénea si sus coeficientes son funciones homogéneas del mismo grado. Afirma que si los coeficientes de una ecuación diferencial son homogéneos, se puede convertir la ecuación en una donde las variables son separables mediante la sustitución y=ux. Proporciona un ejemplo resuelto de encontrar la solución de una ecuación diferencial homogénea median
Este documento presenta una lección sobre funciones lineales y afines. Explica qué son las relaciones y funciones, y proporciona ejemplos de cada una. También define funciones lineales y afines, mostrando sus expresiones algebraicas y gráficas. Finalmente, incluye ejercicios para que los estudiantes apliquen los conceptos aprendidos.
Este documento presenta varios ejercicios de álgebra que involucran operaciones como división de monomios y polinomios, despeje de fórmulas y expresiones algebraicas. Los ejercicios se enfocan en hallar expresiones para lados, áreas, volúmenes y otras medidas geométricas a partir de datos contextualizados. El propósito es que los estudiantes aprendan a identificar y aplicar diferentes procesos algebraicos para resolver problemas simbólicos basados en situaciones reales.
El documento presenta instrucciones para completar un entregable de cálculo vectorial, incluyendo resolver casos específicos, citar referencias y usar ecuaciones. Luego, presenta una sección teórica con preguntas sobre funciones diferenciables y extremos locales vs absolutos. Finalmente, una sección práctica con problemas sobre límites, ecuación de Laplace y regla de la cadena.
Este documento explica cómo calcular la derivada de una función utilizando la definición de límite. Presenta ejemplos de cómo derivar funciones elementales como polinomios, exponenciales y logaritmos. También introduce reglas algebraicas para derivar sumas, diferencias y productos de funciones.
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1. FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA
CÁLCULO I
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
UNIVERSIDAD DEL PERÚ. DECANA DE AMÉRICA
FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA
EQUIPO DOCENTE DE CÁLCULO I
2023 – I
2. FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA
CÁLCULO I
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
INTRODUCCIÓN
¿Qué modelos representan cada una de
las imágenes mostradas?
¿Cómo define un modelo lineal?
¿Cada función matemática determina
un modelo en la vida real?
3. FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA
CÁLCULO I
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
¿Qué tipo de función es?
4. FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA
CÁLCULO I
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
LOGROS DE APRENDIZAJE
❑El estudiante identifica y construye la gráfica de
algunos tipos de funciones.
5. FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA
CÁLCULO I
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
CONTENIDOS
1. Funciones inyectivas, sobreyectivas
y biyectivas.
2. Paridad de una función.
3. Funciones periódicas.
4. Funciones monótonas.
6. FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA
CÁLCULO I
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Observación: 𝑓 es inyectiva si y solo si, a cada elemento del rango de 𝑓 le
corresponde un solo elemento del dominio de 𝑓.
Definición (función inyectiva): Diremos que una función 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 es inyectiva
cuando se cumple lo siguiente:
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 ⟶ 𝑥1 = 𝑥2
Lo anterior es equivalente a:
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⟶ 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓 𝑥2
Ejemplo:
1) 𝐺𝑟 𝑓 = 1, 2 , 3, 5 , 8, 5 , (4, 3) no es inyectiva.
2) la función 𝑓: ℝ ⟶ ℝ con regla de correspondencia 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 2 es
inyectiva.
3) Indicar si la siguiente función 𝑓 𝑥 =
𝑥+1
𝑥
es inyectiva.
1. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS
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ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Observación: geométricamente podemos reconocer que una función es inyectiva
si toda recta horizontal interseca a su gráfica en más de dos puntos.
Ejemplo:
1) la función 𝑔: ℝ ⟶ ℝ con regla de correspondencia 𝑔 𝑥 = 𝑥2 no es inyectiva.
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ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Ejemplo:
2) la función 𝑓 𝑥 =
𝑥+1
𝑥
es inyectiva.
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Observación: si 𝑓 es una función definida por partes como se muestra:
𝑓 𝑥 =
𝑓1 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓1
𝑓2 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓2
𝑓3 𝑥
⋮
𝑓𝑛 𝑥
,
,
,
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓3
⋮
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓𝑛
𝑓 es inyectiva si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
i. Cada 𝑓𝑘 es inyectiva
ii. 𝑅𝑎𝑛 𝑓𝑖 ∩ 𝑅𝑎𝑛 𝑓𝑗 = ∅ , ∀ 𝑖 ≠ 𝑗
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ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Ejemplo:
1) Sea la función
𝑓 𝑥 =
2𝑥 , 0 ≤ 𝑥 < 2
1
4
𝑥2 − 𝑥 + 5 , 2 ≤ 𝑥 < 6
𝑥 + 1 , 6 ≤ 𝑥
Verifique que 𝑓 es inyectiva.
11. FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA
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Definición (función sobreyectiva): Diremos que una función 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 es
sobreyectiva cuando se cumple lo siguiente:
∀𝑦 ∈ 𝐵, ∃𝑥 ∈ 𝐴 y 𝑦 = 𝑓(𝑥)
En otras palabras una función es sobreyectiva si su rango coincide con su
conjunto de llegada.
Ejemplo:
1) la función 𝑓: ℝ ⟶ ℝ con regla de correspondencia 𝑓 𝑥 = 𝑥3 es
sobreyectiva.
2) la función 𝑔: ℝ − −2, 2 ⟶ ℝ con regla de correspondencia 𝑔 𝑥 =
𝑥2
𝑥2−4
no
es sobreyectiva.
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CÁLCULO I
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Observación: se puede probar que la composición de funciones inyectivas es
inyectiva y la composición de funciones sobreyectivas también es una función
sobreyectiva.
Más adelante definiremos la inversa de una función, con esa terminología
tenemos que además una función es inyectiva si y solo si, admite inversa por la
izquierda y una función es sobreyectiva si y solo si admite inversa por la
derecha.
Ejemplo:
1) Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones tales que 𝑓: [0, +∞[⟶ ℝ con regla de
correspondencia 𝑓 𝑥 = 𝑥2
y 𝑔: ℝ ⟶ [0, +∞[ con regla de correspondencia
𝑔(𝑥) = ቊ
𝑥 , 𝑥 ≥ 0
0 , 𝑥 < 0
. A partir de la observación podemos verificar que 𝑓
es inyectiva y 𝑔 es sobreyectiva.
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ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Definición (función biyectiva): Diremos que una función 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 es biyectiva
cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
Ejemplo:
1) la función 𝑓: ℝ ⟶ ℝ con regla de correspondencia 𝑓 𝑥 = 2 − 3𝑥 es
biyectiva.
2) la función 𝑔: ℝ ⟶ ℝ con regla de correspondencia 𝑔 𝑥 = 𝑥2 no es biyectiva.
3) la función ℎ: ℝ ⟶ ℝ con regla de correspondencia ℎ 𝑥 = 𝑥3 es biyectiva.
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ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Definición: Diremos que 𝑓 es una función par si:
➢ Si 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), entonces −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓).
➢ 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓).
Su gráfica es simétrica respecto al eje Y
𝑦 = 𝑥4 − 𝑥2
𝑥
𝑦
2. PARIDAD DE UNA FUNCIÓN
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CÁLCULO I
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Definición: Diremos que 𝑓 es una función impar si:
➢ Si 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), entonces −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓).
➢ 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓).
Su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas
𝑦 =
𝑥
1 + 𝑥2
𝑥
𝑦
16. FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA
CÁLCULO I
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Ejemplo:
➢ La función 𝑓 𝑥 = 3𝑥2
− 4𝑥4
es par.
➢ La función 𝑔 𝑥 = 𝑥3 +
1
2
𝑥 es impar.
Observación: toda función definida en un intervalo simétrico puede escribirse
como la suma de una función par y una función impar.
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Definición: Diremos que 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 es una función periódica si : ∃𝑇/𝑇 ≠ 0 ∈ ℝ tal
que se cumple:
➢ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⟶ (𝑥 + 𝑇) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
➢ 𝐹 𝑥 + 𝑇 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓
Observación: 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑛𝑇 donde 𝑛 = 0, ±1, ±2, ±3, … Al valor mínimo,
mayor que cero (si existiera), de la constante 𝑇 que cumple lo anterior se le
llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la función.
Ejemplo:
➢ Las funciones 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y cos(𝑥) son funciones periódicas con periodo 𝑇 = 2𝜋
3. FUNCIONES PERIÓDICAS
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Ejemplo:
1) La función 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) tiene periodo 𝜋.
2) La función 𝑓 𝑥 = cos
𝑥
2
tiene periodo 4𝜋.
3) ¿Cuál es el periodo de la función 𝑓 𝑥 = cos
𝑥
3
+ cos
𝑥
4
?.
4) Halle el periodo de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 .
5) Halle el periodo de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 .
Observación: Las funciones 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) y cos(𝑘𝑥) son funciones periódicas con
periodo 𝑇 =
2𝜋
𝑘
19. FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA
CÁLCULO I
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
➢𝑓 es creciente en un conjunto 𝐶 ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), si 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 con 𝑥 < 𝑦, entonces
𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑦).
Ejemplo:
𝑓 𝑥 = ቐ
𝑥2 , 0 ≤ 𝑥 < 2
4 , 2 ≤ 𝑥 < 4
2𝑥 − 4 , 4 ≤ 𝑥
𝑦
𝑥
4. FUNCIONES MONÓTONAS
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CÁLCULO I
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
➢𝑓 es decreciente en un conjunto 𝐶 ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), si 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 con 𝑥 < 𝑦, entonces
𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑦).
Ejemplo:
Observación: 𝑓 es creciente (respectivamente decreciente) cuando lo es en todo
su dominio de definición. 𝑓 es monótona si 𝑓 es creciente o decreciente.
𝑓 𝑥 =
4 − 3𝑥 , 𝑥 ≤ 1
1 , 1 < 𝑥 ≤ 4
1 −
(𝑥 − 4)2
4
, 4 < 𝑥
𝑦
𝑥
21. FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA
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ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Teorema: toda función es estrictamente monótona es inyectiva.
Ejemplo:
𝑓 𝑥 = 𝑥3 (Función creciente) 𝑓 𝑥 = −𝑥3 (Función decreciente)
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
22. FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA
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ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
CONCLUSIONES
Aprendimos a resolver situaciones problemáticas con
la utilización y ayuda de algunos tipos de funciones.
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ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
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