رياضيات 2ث فلسطين ج1

U??O{U�d�«
‰Ë_« ¡e?'«
Íu�U��« w�U��« n?BK�
wŽUMB�«Ë wLKF�«
WO�UŽ bL×� Æ√ bLŠ qOKš wKŽ Æ√ åÎUI�M�ò nÝu¹ rOŠd�« b³Ž s�Š Æœ
qL'« nÝu¹ bL×� Æ√ `�U� bL×� Æœ r$ wLKŠ bL×� Æ√
W½UHŽ ËeŽ Æœ
ÊuH�R*«
5D�K� W�Ëœ
w�UF�« rOKF��«Ë WO�d��« …—«“Ë

5D K WÃËœ w wÃUFÃ« rOKF²Ã«Ë WOÐd²Ã« …—«“Ë —dÁ
Â≤∞∞∑ Ø≤∞∞∂ wÝ«—bÃ« ÂUFKÃ UNÝ—«bÄ w wLKFÃ« Íu½U¦Ã« w½U¦Ã« nBKÃ UO{U¹dÃ« »U²Â f¹—bð
Z¼UM*« e?ÂdÄ
hL(«uÐ√ dLŽÆœ ∫ ÍuÐdð ·«dý≈
ÂUFÃ« ·«d?ýù«
hL(« uÐ√ rOF½ Æœ ∫Z¼UM*« W?M' fOz—
5ÝU¹ Õö Æœ ∫Z¼UM*« eÂdÄ ÂUŽ d¹bÄ
WOMHÃ« …dz«bÃ«
…dŽUOÝ bLŠ√ ∫Í—«œ≈ ·«d?ý≈
ÍËUL× œuL×Ä ‰ULÂ ∫r?OL?Bð
Õu³?×Ð Ê«bL?Š ∫WŽU³DKÃ VÝu;« œ«bŽù«
ÊUŠdÝ ÊU ž ¡«dOÝ ¨dÄUŽ œuL×Ä dLÝ ¨w ¹bÃ« Í“u ÊUNLÝ√ ∫bOCMð
UO{dÃ« ÃUNM* wMÞuÃ« o¹dHÃ«
—UHÃ« “UMNý jO³{ ”UOÃ« Æœ åÎUI MÄò bF Ä 5D Æœ
dÐUł U½UOÃ WHOKš wKŽ Æœ bLŠ qOKš wKŽ
pAÂ qz«Ë q³IÄ bL×Ä Ê«bLŠ bL×Ä Æœ
WO d « w Ë_« WF D «
?¼ ±¥≤∑ØÂ≤∞∞∂
Z¼UM*«eÂdÄØwÃUFÃ«rOKF²Ã«ËWOÐd²Ã«…—«“uÃWþuH×Äl?³DÃ«‚uIŠlOLł
WM¹b*«eÂdÄWNłsÄ5LOÃ«vKŽŸ—Uý‰Ë√≠b¼UF*«Ÿ—Uý≠ÊuOB*«wŠ≠Z¼UM*«eÂdÄ
5D K ≠ tKÃ« Â«— ≠ ∑±π »Æ ’
´π∑∞≠≤≠≤π∂π≥∑∑ fÂU ´π∑∞≠≤≠≤π∂π≥μ∞ ÊuHKð
pcdc@palnet.com ∫w½Ëd²JÃô«Ê«uMFÃ« ≠ www.pcdc.edu.ps ∫WO½Ëd²JÃô«W×HBÃ«

bONL
VFAÃ« UŠuLÞoOI×²ÃªWOMOD KHÃ«WO uB)«wŽ«d¹ÃUNMÄl{Ë…—Ëd{wÃUFÃ«rOKF²Ã«ËWOÐd²Ã«…—«“Ë √—
VFAKÃ WOMÞuÃ« …œUO Ã« ¡UM³Ã ÎUÒLNÄ ÎUÝUÝ√ bF¹ wMOD K ÃUNMÄ ¡UMÐ Ê≈ Æ»uFAÃ« 5Ð t½UJÄ cšQ¹ v²Š wMOD KHÃ«
w²Ã« WÄ«b² *« W¹dA³Ã« œ—«uLKÃ WOLMð …«œ√Ë ¨w½U ½≈ oŠu¼Ë ¨WOÞ«dI1bÃ«Ë rOIÃ« aOÝd²Ã ÎUÝUÝ√Ë ¨wMOD KHÃ«
Æ…—«“uKÃ WO L)« WD)« ΔœU³Ä UN² Ý—
…—«“uÃ« wÃuð «cÃ ªlL²−*« ·«b¼√ oI×²ð UNÃöš sÄ w²Ã« ¨rOKF²KÃ W OzdÃ« WKOÝuÃ« t½√ w ÃUNM*« WOL¼√ sLJðË
¨VÃUDÃ«ËrKF*«bOÐvÃË_«…«œ_«Ë¨rKF²KÃjOÝuÃ«—bB*«t½_ªÃUNM*«d UMŽbŠ√¨wÝ—b*«»U²JÃUÐW UšW¹UMŽ
jzUÝuÃ«sÄU¼dOžË¨ÍdÝ_«rKF²Ã«Ë¨WOK;«W UI¦Ã«Ë¨»uÝU(«Ë¨X½d²½ù«∫rKF²Ã«qzUÝËsÄÁdOžvÃ≈W U{≈
Æ…bŽU *«
X Ół=uÔð w²Ã«¨©±≤≠ ±® WOÝ—b*« V²JÃ« lOLł nOÃQð WKŠdÄ ÂU9SÐ wÃUFÃ« rOKF²Ã«Ë WOÐd²Ã« …—«“Ë XÄUÁ bIÃ
W¹«bÐ lÄ¨wMI²Ã«Ë ¨wMN*«Ë ¨WO½U ½ù« ÂuKFÃ«Ë¨ wLKFÃ« ∫tŽËd lOL−Ð ©±≤® Íu½U¦Ã« w½U¦Ã« nBÃ« V²Â oO³D²Ð
¨WÄœUIÃ« Àö¦Ã« «uM Ã« w WKÄUýd¹uDð WDš cOHMðvKŽ ÎUOÃUŠ …—«“uÃ« qLFðË Æ©≤∞∞∑ Ø ≤∞∞∂®wÝ«—bÃ« ÂUFÃ«
WÃœ√® WOÃULJ²Ý« WDA½√Ë¨©±≤≠ ± ·uHBKÃ V²JÃ« lOLł WFł«dÄ® W¹d¹uDð WDA½√∫w¼Ë¨ ôU−Ä WFÐ—√ wDGð
ÎUOI √ YŠU³*« lOLł w Àö¦Ã« qŠ«d*« Z¼UM* WOKOK%Ë WO1uIð UÝ«—œ® WOK³I² Ä WDA½√Ë¨©WMOF*« qzUÝuÃ«Ë rKF*«
ÊU×²Ä« WOÃ¬ 5 %Ë ¨w½Ëd²JÃù« rOKF²Ã«Ë UJ³AÃ« ‰U−Ä w WO²×²Ã« WOM³Ã« lOÝuð® W¹“«uÄ WDA½√Ë ¨©ÎU¹œuLŽË
Æ©WÄUFÃ« W¹u½U¦Ã«
WOÝUÝ√…eOÂ—¨ÎUÐU²Â¥μ∞»—UI¹U¼œbŽË¨dAŽwMŁô«·uHBKÃ e$√w²Ã«rKF*«WÃœ√ËWOÝ—b*«V²JÃ«bFðË
«d³š dO u²Ã ªwIDMÄË qNÝ »uKÝQÐ X{d ÔŽ UÄuKFÄË ·—UFÄ sÄ tOKŽ qL²Að U0 ¨rKF²Ã«Ë rOKF²Ã« WOKLŽ w
lÄ Â¡ö²ðË ¨.uI²Ã« VOÃUÝ√Ë WDA½_«Ë qzUÝuÃ«Ë ¨f¹—b²Ã« oz«dDÐ qB²ð ¨W×{«Ë «dýRÄ sLC²ð ¨WŽuM²Ä
ÆÁöŽ√ …—uÂc*« WO L)« WD)« ΔœU³Ä
¨UN ¹—b²Ð ÊuÄuI¹ s¹cÃ« ULKF*«Ë 5LKF*«Ë 5¹uÐd²Ã« WÂ—UA0 ÎUÒ¹uMÝ U¼ƒ«dŁ≈Ë UN×OIMðË V²JÃ« WFł«dÄ r²ðË
w «dOG²Ã« lÄ Â¡ö²ð wÂ ªd¹uD²Ã«Ë q¹bF²KÃ WKÐUÁ WO³¹d& UF³Þ WFÐ«dÃ« vÃ≈ vÃË_« sÄ UF³DÃ« …—«“uÃ« ÈdðË
¨œuNłsÄtO ‰c³¹UÄ—«bI0œ«œeðwMOD KHÃ«wÝ—b*«»U²JÃ«WLOÁÊ≈Æ…UO(« «—UNÄËwłuÃuMJ²Ã«ËwLKFÃ«ÂbI²Ã«
w ÎUÒ¹d¼uł Î«dOOGð ÊuŁb×¹ s¹cÃ« ¨WOÝ—b*« V²JÃ« œ«bŽ≈ ‰U−Ä w 5BB ²*« sÄ sJ2 œbŽ d³Â√ WÂ—UAÄ sÄË
w Ã«dšù«Ë nOÃQ²Ã« wÃU−Ä w Z¼UM*« eÂdÄ UN Ý— WO−NM0 ¨WFł«d*« sÄ WFÝ«uÃ« UOKLFÃ« ‰öš sÄ ¨rOKF²Ã«
ÆÁbOŠuð vKŽ qLF¹ ÍcÃ« sÞuÃ« w dÞ
¨WOÃËbÃ« ULEM*«Ë U ÝR*«vÃ≈d¹bI²Ã«ËdJAÃ«q¹e−ÐÂbI²ðÊ√ô≈UNF ¹ôwÃUFÃ«rOKF²Ã«ËWOÐd²Ã«…—«“ËÊ≈
ÆZ¼UM*« ŸËdA* wÃU*« UNLŽbÃ ªUJO−KÐ WÄuJŠ W U ÐË WI¹bBÃ«Ë WOÐdFÃ« ‰ËbÃ«Ë
‰öšsÄw ¹—U²Ã«wMÞuÃ«qLFÃ««c¼ “U$≈w XÂ—Uýw²Ã«¨WOMÞuÃ«W¹uÐd²Ã« «¡UHJÃUÐd H²Ã…—«“uÃ«Ê√ULÂ
¨tFÁuÄV Š yqÂ¨…eOL*«r¼œuN−ÐrN²Â—UAÄvKŽr¼dJAðË¨WOÝ—b*«V²JÃ«œ«bŽSÐÂuIðw²Ã«¨W¹uÐd²Ã«ÊU−KÃ«
¨qLFÃ« Uý—Ë w 5Â—UA*«Ë ¨s¹—d;«Ë ¨5HÃR*«Ë ¨—«dÁù«Ë ¨Z¼UM*«eÂdÄË ¨W¹—«“uÃ« Z¼UM*« ÊU' qLAðË
ÆoO³D²Ã« ¡UMŁ√ Ê«bO*« sÄ WOÝ—b*« V²JÃ« ¡«dŁ≈ w 5Â—UA*«Ë ¨5FÐUDÃ«Ë ¨5Fł«d*«Ë ¨5ÄUÝdÃ«Ë ¨5LLB*«Ë
wÃUFÃ« rOKF²Ã«Ë WOÐd²Ã« …—«“Ë
Z¼UM*« e?ÂdÄ
Â ≤∞∞∂ ‰uK¹√

W bI
ÆÆÆ bFÐË sOLÃUFÃ« »— tKÃ bL×Ã«
UO{U¹dÃ« »U²Â sÄ ‰Ë_« ¡e−Ã« ¡«eŽ_« UM²³KDÃË ¨ ULKFLÃ«Ë sOLKFLÃ« UMzöÄeÃ ÂbI½ Ê√ U½d ¹
ÃUNMLÃ« WDš sL{ UO{U¹dÃ« Y×³LÃ WÃbFLÃ« WC¹dFÃ« ◊uD Ã« o Ë ¨wLKFÃ« Íu½U¦Ã« w½U¦Ã« nBKÃ
Æ‰Ë_« wMOD KHÃ«
Æq{UH²Ã« UIO³DðË ¨q{UH²Ã« »U ŠË ¨‰UBðô«Ë U¹UNMÃ« ∫w¼ «bŠË ÀöŁ vKŽ »U²JÃ« qL²A¹
¨ U¹UNMÃ« U¹dE½Ë ¨WDI½ bMŽ Ê«d²Áô« W¹UN½ ÂuNHÄ UMÄbÁ ©‰UBðô«Ë U¹UNMÃ«® vÃË_« …bŠuÃ« w
WODÝuÃ« rOIÃ« W¹dE½Ë ¨‰UBðô« U¹dE½Ë ¨‰UBðô«Ë ¨W¹UN½ôULÃ« w U¹UNMÃ«Ë ¨WMOFLÃ« dOž —uBÃ«Ë
Æu½«eKÐ W¹dE½Ë
‰UBðô«sOÐWÁöFÃ«Ë¨vÃË_«WI²ALÃ«Ë¨dOG²Ã«jÝu²ÄUMÄbÁ©q{UH²Ã«»U Š®WO½U¦Ã«…bŠuÃ«w Ë
‚UI²ýô«Ë¨WK K Ã«…bŽUÁË¨‚UI²ýô«vKŽWOzU¹eO ËWOÝbM¼ UIO³DðË¨‚UI²ýô«bŽ«uÁË¨‚UI²ýô«Ë
ÆW¹dz«bÃ« U½«d²Áô« UI²AÄË ¨wMLCÃ«
¨hÁUM²Ã«Ëb¹«e²Ã«Ë¨‰Ë—W¹dE½ËWDÝu²LÃ«rOIÃ«W¹dE½UMÄbÁ©q{UH²Ã« UIO³Dð®W¦ÃU¦Ã«…bŠuÃ«w Ë
·UDF½ô« jI½Ë dFI²Ã«Ë ¨WO½U¦Ã« WI²ALÃ«Ë vÃË_« WI²ALÃ« —U³²š«Ë ¨WIKDLÃ«Ë WOK×LÃ« ÈuBIÃ« rOIÃ«Ë
ÆWD³ðdLÃ« WOMÄeÃ« ôbFLÃ«Ë ¨ÈuBIÃ« rOIÃ« vKŽ WOKLŽ UIO³DðË ¨ UOM×MLÃ« rÝ—Ë
vKŽË¨ «bŠuÃ«Ë U¹dEMÃ«ËrO¼UHLKÃwIDMLÃ«q K ²Ã«vKŽUM dŠbI ¨»uKÝ_«YOŠsÄUÄ√
WK¦Ä_«ËWO×O{u²Ã«ÂuÝdÃ«pÃ–sÄ ÎôbÐU½bL²Ž«Ë¨ U¹dEMÃ«sO¼«dÐvKŽbz«“eOÂdðÊËœ¨WOLKFÃ«WÁbÃ«
ÆsJÄ√ UL¦OŠ ¨q×KÃ WÄUŽ UO−Oð«d²Ý« l{Ë lÄ WŽuMLÃ«
qC √oOI×²Ã…œ«e²Ýô«ËoLF²Ã«ËW dFLÃ«vKŽ’d×Ã«qÂÊuB¹dŠWÄUFÃ«W¹u½U¦Ã«W³KÞÊ√UM²ŽUMIÃË
s¹—UL²Ã« sÄ WŽuL−LÐ …bŠË qÂ UMF³ð√ bI ¨WOFÄU−Ã« rNðUÝ«—bÃÎ«bONLð WÄUFÃ« W¹u½U¦Ã« ÊU×²Ä« w ZzU²MÃ«
w …œ—«uÃ« «—UNLÃ«ËsO½«uIÃ«Ë ULOLF²Ã«ËrO¼UHLÃ«wDGðw²Ã«WOÃUILÃ«ËWOŽu{uLÃ«WŽuMLÃ«WK¾Ý_«Ë
ÆÀö¦Ã« «bŠuÃ« œuMÐ sÄ bMÐ qÂ W¹UN½ w qzU LÃ«Ë s¹—UL²Ã« vÃ≈ W U{ùUÐ ¨…bŠuÃ«
sOLKFÄË ¨ U dAÄË sO dAÄ ¨Ê«bOLÃ« w UMzöÄ“ sÄ ÂbI²½Ë ¨ÕU−½Ë oO uð qÂ W³KDÃ« UMzUMÐ_ vML²½
¨d¹bI²Ã«Ë Â«d²Šô« qJÐ ¨»U²JÃ« «c¼ «œu Ä ¡«dŁ≈ w «uÂ—Uý s¹cÃ« UE U×LÃ« lOLł sÄ ¨ ULKFÄË
¨t½UÄ√Ë‚b qJÐrNNOłuðË¡«eŽ_«UM²³KÞrOKF²ÐWKO³MÃ«rNðdO Ä‰ULÂ≈w rNI u¹Ê√qłËeŽvÃuLÃ«sOKzUÝ
ÆW×IMÄ …b¹bł WF³Þ —«b ù cOHM²Ã« l{uÄ »U²JÃ« l{Ë bFÐ Z¼UMLÃ« eÂdLÃ WFł«dÃ« W¹cG²Ã« r¹bIðË
oO u²Ã« wÃË tKÃ«Ë
ÊuHÃRLÃ«

U???¹u??²;«
q????{UH²Ã« »U???? Š
μ≤ d??OG²Ã« j??Ýu²Ä ±≠≤
μ∑ vÃË_« WI²A*« ≤≠≤
∂∂ ‚UI²ýô« bŽ«uÁ ≥≠≤
∑μ ‚UI²ýô« WOKÐUÁË ‰UBðô« ¥≠≤
∏± ‚UI²ýô« vKŽ UIO³Dð μ≠≤
∏∏ ©VÂd*« Ê«d²Áô« WI²AÄ® WK K Ã« …bŽUÁ ∂≠≤
π≤ wMLCÃ« ‚UI²ýô« ∑≠≤
π∏ W¹dz«bÃ« U½«d²Áô« UI²AÄ ∏≠≤
±∞≥ WÄUŽ s¹—U9
W??O½U¦Ã« …b?ŠuÃ«
q???{UH²Ã« U??IO³Dð
±∞∑ WDÝu²*« WLOIÃ« W¹dE½ ±≠≥
±±∂ WBÁUM²*«Ë …b¹«e²*« U½«d²Áô« ≤≠≥
±≤≥ Èu??BIÃ« r???OIÃ« ≥≠≥
±≥μ ·UDF½ô« jI½Ë dFI²Ã« ¥≠≥
±¥≥ UOM×M*« rÝ— μ≠≥
±¥∂ ÈuBIÃ« rOIÃ« vKŽ WOKLŽ UIO³Dð ∂≠≥
±μ≤ WD³ðd*« WOMÄeÃ« ôbF*« ∑≠≥
±∂∞ WÄUŽ s¹—U9
W??¦ÃU¦Ã« …b?ŠuÃ«
v???ÃË_« …b?ŠuÃ«‰UBðô«Ë U¹UNMÃ«
≥ WDI½ bMŽ Ê«d²Áô« W¹UN½ ±≠±
±± U¹UNMÃ« U¹dE½ ≤≠±
±∏
dH
dH
WMÒOÓFÔ*« dOž …—uBÃ«Ë U¹UNMÃ« ≥≠±
≤≤ WO¦K¦*« U½«d²Áô«Ë U¹UNMÃ« ¥≠±
≤∑ ∞∓ ← ” UÄbMŽ Ê«d²Áô« W¹UN½ μ≠±
≥≥ ‰UBðô« ∂≠±
¥≤ WODÝuÃ« rOIÃ« W¹dE½ ∑≠±
¥∑ WÄUŽ s¹—U9

‰U??B??ðô«Ë U¹UNMÃ« ±
…b???????Šu???????Ã«
≤

©Limit of a Function at a Point® WDI½ bMŽ Ê«d²Áô« W¹UN½ ±≠±
’Uš —U³²Ž« Í√ ÊËœ ¨WDIMÃ« pKð ‰uŠ WŠu²HÄ …d² w Ê«d²Áô« „uKÝ WDI½ bMŽ Ê«d²Áô« W¹UN½ `{uð
5³²OÝULÂ ¨qÄUJ²Ã«Ë q{UH²Ã« rKŽ tOÃ≈ bM² ¹ ÍcÃ« ”UÝ_« U¹UNMÃ« d³²FðË ¨UNð«– WDIMÃ« bMŽ Ê«d²Áô« WLOIÃ
Æ»U²JÃ« «c¼ w pÃ
WO¦K¦ÄË W¹d³ł U½«d²Áô U¹UNMÃ« »U ŠË ¨tÄbŽË U¼œułËË¨W¹UNMÃ« ÂuNHÄ …bŠuÃ« Ác¼ w ”—bMÝË
ÆWOÝUÝ_« UNBzUBš iFÐ ·dF²½Ë WKB²*« U½«d²Áô« ”—bMÝÎ«dOš√Ë ¨WŽuM²Ä
©±® ‰U¦Ä
Æ ” ¨± ´ ”≤Ω ©”® ‚ Ê«d²Áô« sJOÃ
ø± sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ©”®‚ rOIÃ Àb×¹ «–UÄ
∫…dþUM*« ©”®‚ rOÁË ¨± œbFÃ« —«uł w ” dOG²LKÃ ÎULOÁ 5³¹ wÃU²Ã« ‰Ëb'«
”±,μ±,±±,∞±±,∞∞±←ÆÆÆ±ÆÆÆ→,πππ∞,ππ,π∞,μ
©”®‚¥≥,≤≥,∞≤≥,∞∞≤←ÆÆÆ≥ÆÆÆ→≤,ππ∏≤,π∏≤,∏≤
»d²Ið”Ê√Í√®tMÄd³Â√rOÁ‰öšsÄ±œbFÃ«sÄ”»d²IðUÄbMŽt½√‰Ëb'«sÄkŠö½
©”®‚ rOÁ ÊS ±[∞∞± ¨ ±[∞± ¨ ±[± ¨ ±[μ rOIÃ« …c ²Ä ©5LOÃ« WNł sÄ ± sÄ
Æ≥ œbFÃ« sÄ »d²Ið VOðd²Ã« vKŽ ≥[∞∞≤ ¨ ≥[∞≤ ¨ ≥[≤ ¨ ¥ w¼Ë …dþUM*«
‰öš sÄ ± œbFÃ« sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ t½√ ÎUC¹√ kŠö½Ë
©—U OÃ« WNł sÄ ± sÄ »d²Ið ” Ê√ Í√® tMÄ dG √ rOÁ
©”®‚ rOÁ ÊS ∞,πππ¨∞,ππ¨∞,π¨∞,μ rOIÃ« …c ²Ä
VOðd²Ã«vKŽ≤,ππ∏ ¨ ≤,π∏ ¨ ≤,∏ ¨≤w¼Ë…dþUM*«
Æ©±≠±® qJAÃ« kŠô Æ≥ œbFÃ« sÄ »d²Ið
’
”
≥
±±≠
©±≠±® qJAÃ«
5LOÃ«WNłsÄ±œbFÃ«sÄUMÐd²Á«¡«uÝ¨5²ÃU(«w Ê–≈
…bŠ«Ë WLOÁ sÄ »d²Ið Ê«d²Áô« rOÁ ÊS ¨—U OÃ« sÄ Ë√
Æ≥ w¼ jI
≥

” rOÁ cšQÐ pÃ–Ë ¡UA½ ÍcÃ« —bIÃUÐ ≥ œbFÃ« sÄ »d²Ið ©”®‚ rOÁ qF$ Ê√ sJ1Ë ¨«c¼
dG √ —«bI0 ≥ œbFÃ« sÄ W³¹dÁ ©”®‚ rOÁ qFł sJ1 Îö¦L ¨ÎUO UÂ ÎUÐdÁ ± œbFÃ« sÄ W³¹dÁ
pÃ–Ë ¨ ≥[∞∞∞± ¨ ≤[ππππ s¹œbFÃ« 5Ð lIð ©”®‚ rOÁ qF$ Í√ ª ∞,∞∞∞± sÄ
WFÁ«uÃ« ” rOÁ lOL' Í√ ª ∞,∞∞∞∞μ sÄ dG √ —«bI0 ± œbFÃ« sÄ W³¹dIÃ« ” rOÁ lOL'
Æ±[∞∞∞∞μ ¨ ∞[ππππμ 5Ð
∫V²J½ “uÄdÃUÐË ¨ ≥ ÍËU ð ± sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ©”®‚ Ê«d²Áô« W¹UN½ Ê≈ ‰uI½ pÃcÃ
Æ ≥ Ω ©”®‚
± ← ”
∫n¹dFð
¨wIOIŠ œbŽ ‰ YOŠ ¨‰ Ω ©”®‚
← ”
Ê≈ ‰UI¹ Æ ‰uŠ WŠu²HÄ …d² vKŽ ÎU dFÄ ÎU½«d²Á« ©”®‚ sJOÃ
‰ sÄ W³¹dÁ ©”®‚ rOÁ qFł sJ1 YO×Ð ¨ œbFÃ« sÄ ” »«d²ÁUÐ ‰ œbFÃ« sÄ »d²Ið ©”®‚ rOÁ X½UÂ «–≈
ÆÎUO UÂ ÎUÐdÁ sÄ W³¹dIÃ« ” rOÁ lOL−Ã ¨¡UA½ ÍcÃ« »dIÃ«
WK¦Ä_«w 5³Äu¼ULÂÂUŽtłuÐÎU×O× fOÃ«c¼sJÃË¨©±®‚Ω©”®‚
± ← ”
Ê√oÐU Ã«‰U¦*«w kŠô
∫WOÃU²Ã«
©≤® ‰U¦Ä
Æ©”®‚
≥ ← ”
błË√ Æ≥ ≠ ” ¨ π ≠≤”
≥ ≠ ”
Ω ©”®‚ sJOÃ
∫…dþUM*« ©”®‚ rOÁË ≥ sÄ W³¹dIÃ« ” rOÁ iFÐ 5³¹ wÃU²Ã« ‰Ëb'«
”≥,μ≥,±≥,∞±≥,∞∞±←ÆÆÆ≥ÆÆÆ→≤[πππ≤[ππ≤,π≤,μ
©”®‚∂,μ∂,±∂,∞±∂,∞∞±←ÆÆÆ∂ÆÆÆ→μ,πππμ,ππμ,πμ,μ
Æ∂ œbFÃ« sÄ »d²Ið ©”®‚ ÊS ≥ sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ t½√ ‰Ëb'« sÄ kŠö½
Æ∂ Ω ©”®‚
≥ ← ”
∫Ê√ Í√
©≥ ´ ”® ©≥ ≠ ”®
©≥ ≠ ”®
Ω ©”®‚ Ê√ kŠô
∫`³B²Ã ©”®‚ …bŽUÁ jO ³ð sJ1 t½S ≥ ≠ ” WLOÁ Ê≈ YOŠË
¥

≥ ≠ ” ¨≥ ´ ” Ω ©”®‚
©”®‚ Ê«d???²???Áô« vM×MÄ q??¦1 ©≤≠±® q??J??A??Ã«
rOI² *« j)« vM×MÄ fH½u¼Ë
Æ©∂¨≥® WDIMÃ« ·cŠ bFÐ ≥ ´ ” Ω ’
rždÃUÐ∂Ω©”®‚
≥ ← ”
Ê√‰U¦*««c¼w kŠö½
fOÃt½√Í√ª≥Ω”bMŽ·dFÄdOž©”®‚Ê√sÄ
bMŽ ÎU dFÄ Ê«d²Áô« ÊuJ¹ Ê√ ÂUŽ tłuÐ …—ËdCÃUÐ
Æ Ω ” bMŽ Ê«d²Áô« W¹UN½ Y×³Ã Ω ”
’
”
∂
≥
©≤≠±® qJAÃ«
©≥® ‰U¦Ä
≤ ≠”¨ ¥ ≠≤”
≤ ≠ ”
≤ Ω ”¨ ≥
Ω ©”®‚ sJOÃ
Æ©”®‚
≤ ← ”
w Y×Ð« rŁ ¨©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ rÝ—«
≤ ” ¨ ≤´”
≤ Ω ” ¨ ≥
Ω ©”®‚
©”®‚Ê«d²Áô«vM×MÄq¦1©≥≠±®qJAÃ«
¨≤ œbFÃ« sÄ ” »«d²ÁUÐ t½√ kŠö½ tMÄË
Æ¥ œbFÃ« sÄ »d²Ið ©”®‚ rOÁ ÊS
Æ¥ Ω ©”®‚
≤ ← ”
∴
≥ Ω ©≤®‚ Ê√ kŠô
fOÃ t???½√ Í√ ¨¥ Ω ©”®‚
≤ ← ”
ULMOÐ
W¹UN½ Êu??J??ð Ê√ ¨ÂU???Ž t??łu??Ð ¨ÎU???¹—Ëd???{
Æ© ®‚ ÍËU ð Ω ” bMŽ Ê«d²Áô«
’
”
¥
≥
≤
©≥≠±® qJAÃ«
μ

©¥® ‰U¦Ä
± ” ¨ ≤”
± ” ¨ ±´” Ω ©”®‚ sJOÃ
Æ©”®‚
± ← ”
w Y×Ð« rŁ ¨©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ rÝ—«
©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ ©¥≠±® qJAÃ« q¦1
¨5LOÃ« WNł sÄ ± sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ∫ÎôË√
± sÄd³Â√ ÎULOÁ …c ²Ä ± sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ Í√
≤ œbFÃ« sÄ »d²Ið ± ´ ” Ω ©”®‚ rOÁ ÊS
∫“uÄdÃUÐ pÃ– sŽ d³F½Ë
’
”
≤
±
±
©¥≠±® qJAÃ« ≤ Ω ©± ´ ”® ´± ← ”
Ω ©”®‚
´± ← ”
Æ≤ ÍËU ð 5LOÃ« WNł sÄ± œbFÃ« sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ©”®‚ W¹UN½ ∫√dIðË
¨± sÄ dG √ ÎULOÁ …c ²Ä ± sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ Í√ —U OÃ« WNł sÄ ± sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ∫ÎUO½UŁ
∫“uÄdÃUÐ pÃ– sŽ d³F½Ë ± œbFÃ« sÄ »d²Ið ≤” Ω ©”®‚ rOÁ ÊS
± Ω ≤”
≠± ← ”
Ω ©”®‚
≠± ← ”
Æ± ÍËU ð —U OÃ« WNł sÄ ± sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ©”®‚ W¹UN½ ∫√dIðË
UM½S ¨± sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ t H½ œbFÃ« sÄ »d²Ið ô WÃU(« Ác¼ w ©”®‚ rOÁ Ê√ U0Ë
Æ…œułuÄ dOž ©”®‚
± ← ”
Ê≈ ‰uI½
∫n¹dFð
Æ¤ ?ł¨ › q¦Ä WŠu²HÄ …d² w ÎU dFÄ Í√ 51 vKŽÎU dFÄ ÎU½«d²Á« ©”®‚ sJOÃ
V²JðË ¨©vMLOÃ« W¹UNMÃ« vL ðË® ‰ ÍËU ð 5LOÃ« WNł sÄ sÄ »d²Ið ” UÄbMŽ ©”®‚ W¹UN½ Ê≈ ‰UI¹
·dFð q¦*UÐË Æ5LOÃ« WNł sÄ sÄ ” »«d²ÁUÐ ‰ sÄ »d²Ið ©”®‚ rOÁ X½UÂ «–≈ ¨‰ Ω ©”®‚
´ ← ”
Æ©”®‚
≠ ← ”
eÄdÃUÐ UNÃ eÄd¹Ë ¨—U OÃ« WNł sÄ sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ Èd OÃ« W¹UNMÃ«
∂

∫W¹dE½
W¹UN½ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ÊUÂ «–≈ jI Ë «–≈ ¨ sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ‰ ÍËU ð W¹UN½ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ÊuJð
∫“uÄdÃUÐ Æ‰ ÍËU ð ULNMÄ qÂË ¨5²¹ËU ²Ä ÊU²¹UNMÃ« X½UÂË ¨ Ω ” bMŽ Èd ¹ W¹UN½Ë vM1
‰ Ω ©”®‚
≠ ← ”
Ω ©”®‚
´ ← ”
⇔ ‰ Ω ©”®‚
← ”
©μ® ‰U¦Ä
∫WOÃU²Ã« U¹UNMÃ« w Y×Ð« Æ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ ©μ≠±® qJAÃ« q¦1
©”®‚
≤≠ ← ”
?ł ©”®‚
´≤≠ ← ”
» ©”®‚
≠≤≠ ← ”
√
©”®‚
≤ ← ”
?¼ ©”®‚
∞ ← ”
œ
∫Ê√ kŠö½ ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ sÄ
’
”
≥
≤
±
≤≤≠
±≠
©μ≠±® qJAÃ«
≥ Ω ©”®‚
≠≤≠ ← ”
√
± Ω ©”®‚
´≤≠ ← ”
»
W¹UNMÃ« Ê_ …œułuÄ dOž ©”®‚
≤≠ ← ”
?ł
Æ—U OÃ« sÄ W¹UNMÃ« ÍËU ð ô 5LOÃ« sÄ
∞ Ω ©”®‚
∞ ← ”
œ
≤ Ω ©”®‚
≤ ← ”
?¼
©∂® ‰U¦Ä
≤ > ” ¨ ≤´”
≤ Ω ” ¨ ≤
≤ < ” ¨ ¥
Ω ©”®‚ sJOÃ
Æ©”®‚
≤ ← ”
błË√ rÝdÃ« sÄË ¨ÎUO½UOÐ ©”®‚ q¦Ä
∑

©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ ©∂≠±® qJAÃ« q¦1
∫kŠö½ tMÄË
¥ Ω ¥
´≤ ← ”
Ω ©”®‚
´≤ ← ”
∫ÎôË√
¥Ω©≤´”®
≠≤ ← ”
Ω©”®‚
≠≤ ← ”
∫ÎUO½UŁ
¥ ÍËU ð ULNMÄ ÎöÂË ÊU²¹ËU ²Ä 5²¹UNMÃ« Ê√ U0
¥ Ω ©”®‚
≤ ← ”
∴
’
”
¥
≤
≤
©∂≠±® qJAÃ«
©∑® ‰U¦Ä
∞ ≠ ” ¨
¸”¸
” Ω ©”®‚ sJOÃ
Æ©”®‚
∞ ← ”
w Y×Ð« rŁ ¨©”® ‚ vM×MÄ rÝ—«
∫wK¹ ULÂ ©”®‚ Ê«d²Áô« …bŽUÁ WÐU²Â …œUŽ≈ sJ1
∞ < ” ¨
”
”
∞ ” ¨
”≠
”
Ω ©”®‚
∞ < ” ¨ ±
∞ > ” ¨ ±≠
Ω
Æ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ ©∑≠±® qJAÃ« q¦1
’
”
≤
±
± ≤≤≠ ±≠
±≠
≤≠
©∑≠±® qJAÃ«
± Ω ±
´∞ ← ”
Ω ©”®‚
´∞ ← ”
∫ÎôË√
±≠ Ω ±≠
≠∞ ← ”
Ω ©”®‚
≠∞ ← ”
∫ÎUO½UŁ
∞ ← ”
∴ ∞ Ω ” bMŽ Èd OÃ« W¹UNMÃ« ÍËU ð ô vMLOÃ« W¹UNMÃ« Ê√ U0Ë
∏

©∏® ‰U¦Ä
∫błË√ rŁ ¨©”®‚ vM×MÄ rÝ—« Æ[≤¨∞] …d²HÃ« vKŽ ÎU dFÄ [”] ≠ ” Ω©”®‚ sJOÃ
©”®‚
≠≤ ← ”
∫ÎUO½UŁ ©”®‚
± ← ”
∫ÎôË√
∫wÃU²ÃUÂ ©”®‚ Ê«d²Áô« …bŽUÁ WÐU²Â …œUŽ≈ sJ1
± > ” ≥ ∞ ¨ ∞ ≠ ”
≤ > ” ≥ ± ¨ ± ≠ ”
≤ Ω ” ¨ ≤ ≠ ”
Ω ©”®‚
Ω
± > ” ≥ ∞ ¨ ”
≤ > ” ≥ ± ¨ ± ≠ ”
≤ Ω ” ¨ ∞
∫kŠö½ qJAÃ« sÄË ¨[≤¨∞] …d²HÃ« vKŽ ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ ©∏≠±® qJAÃ« q¦1
∞ Ω ©± ≠ ”®
´± ← ”
Ω ©”®‚
´± ← ”
√ ∫ÎôË√
± Ω ”
≠± ← ”
Ω ©”®‚
≠± ← ”
»
©”®‚
≠± ← ”
≠©”®‚
´± ← ”
Ê√ U0Ë
± ← ”
ÊS
± Ω ©± ≠ ”®
≠≤ ← ”
Ω ©”®‚
≠≤ ← ”
∫ÎUO½UŁ
’
”
±
± ≤
©∏≠±® qJAÃ«
π

©±≠±® s¹—U9
Æ©”®‚ Ω ’ Ê«d²Áô« vM×MÄ q¦1 —ËU−*« qJAÃ« ±
∫sÄ qÂ œU−¹≈ w rÝdÃ« vKŽ bL²Ž«
’
”
±
± ≤ ≥ ¥±≠
©”®‚
≠± ← ”
» ©”®‚
´± ← ”
√
©”®‚
≥ ← ”
œ ©”®‚
± ← ”
?ł
…œułuÄ dOž ©”®‚
← ”
U¼bMŽ ÊuJð w²Ã« rOÁ Ë ©”®‚
≤ ← ”
?¼
∞ ≥ ” ¨ ≤
”
≤ > ” > ∞ ¨ ”≤ ≠≥
≤ ” ¨ ≤
Ω©”®‚ sJOÃ ≤
∫WOÃU²Ã« U¹UNMÃ« w Y×Ð« rŁ ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ rÝ—«
©”®‚
´≤ ← ”
œ ©”®‚
∞ ← ”
?ł ©”®‚
´∞ ← ”
» ©”®‚
≠∞ ← ”
√
©”®‚
± ← ”
“ ©”®‚
≤ ← ”
Ë ©”®‚
≠≤ ← ”
?¼
Æ [≤¨∞] …d²HÃ« vKŽ ÎU dFÄ [± ´ ”≤] Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« sJOÃ ≥
∫rÝdÃ« sÄ błË√ rŁ ©”®‚ vM×MÄ rÝ—«
©”®‚
±
≤
← ”
?ł ©”®‚
´ ±
≤
← ”
» ©”®‚
≠ ±
≤
← ”
√
©”®‚
±[≤ ← ”
?¼ ©”®‚
≠≤ ← ”
œ
∫Ê≈ YO×Ð Ê«d²Á« vM×M* ÎUO³¹dIð ÎöJý rÝ—« ¨WOðü« ôU(« sÄ WÃUŠ qÂ w ¥
≤ Ω ©±≠®?¼¨ …œułuÄ dOž ©”®?¼
±≠ ← ”
» ·dFÄ dOž ©±®‚ ¨ μ Ω ©”®‚
± ← ”
√
μ Ω ©≥®‰ ¨ ¥ Ω ©”®‰
≥ ← ”
œ W dFÄ dOž ©≤® Â ¨…œułuÄ dOž ©”®Â
≤ ← ”
?ł
±∞

©Limit Theorems® U¹UNMÃ« U¹dE½ ≤≠±
WK¹uÞ WOKLŽ ÊuJð Ê√ sJ1 ‰Ëbł s¹uJð vKŽ œUL²ŽôUÐ WDI½ bMŽ Ê«d²Áô« W¹UN½ »U Š WOKLŽ Ê√ UMÃ 5³ð
d OÐ W¹UNMÃ« »U ŠË ¨l{uÃ« «c¼ W'UFÄ w bM³Ã« «c¼ w UNÝ—bMÝ w²Ã« U¹UNMÃ« U¹dE½ U½bOHðË ªWÁUýË
ÆU¼dOžË WO³ MÃ« U½«d²Áô«Ë œËb(« «dO¦Â q¦Ä U½«d²Áô« iFÐ w W U ÐË ¨WÃuNÝË
©±® ‰U¦Ä
Æ©”®‚
± ← ”
błË√ ¨ ∋ ”¨≥ Ω ©”®‚ sJOÃ
WOIOI(« ” rOÁ lOL' ≥ Ω ©”®‚ Ê√ U0
5LOÃ« WNł sÄ ± sÄ W³¹dÁ ÎULOÁ ” c ²ð UÄbMŽ t½S
Æ©π≠±® qJAÃ« dE½« ¨—U OÃ« Ë√
∫Ê√ Í√ ª≥ ÍËU ð ©”®‚ ÊS
Æ≥ Ω ©”®‚
± ← ”
’
”
≥
±
©π≠±® qJAÃ«
∫ÂUŽ tłuÐ
∫©±® W¹dE½
Æ?ł Ω ©”®‚
← ”
¨ wIOIŠ œbŽ Í_ t½S ¨XÐUŁ ?ł YOŠ ¨ ?ł Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
©≤® ‰U¦Ä
¨ ∋ ” ¨ ” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
Æ©”®‚
≤ ← ”
błË√
WOIOI(« ” rOÁ lOL' ” Ω ©”® ‚ Ê√ U0
—U OÃ« Ë√ 5LOÃ« WNł sÄ ≤ sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ t½S
Æ©±∞≠±® qJAÃ« dE½« ¨ÎUC¹√ ≤ sÄ »d²Ið ©”®‚ ÊS
≤ Ω ©”®‚
≤ ← ”
Ê√ Í√
’
”
≤
≤
©±∞≠±® qJAÃ«
±±

∫ÂUŽ tłuÐ
∫©≤® W¹dE½
Ω ©”®‚
← ”
¨ wIOIŠ œbŽ Í_ t½S ∋ ” ¨ ” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
Ë√ ¨ÕdÞ Ë√ ¨lLł UOKLŽ ULNDÐdð 5½«d²Á« sÄ ÊuJÄ Ê«d²Áô W¹UNMÃ« »U Š sÄ UMMJ9 WOÃU²Ã« W¹dEMÃ«
ÆÊU¼dÐ ÊËœ UNÄbI½Ë ªWL Á Ë√ ¨»d{
©≥® W¹dE½
∫ÊS ÎUOIOIŠÎ«œbŽ ?ł ÊUÂË Â Ω ©”®?¼
← ”
¨‰ Ω ©”®‚
← ”
X½UÂ «–≈
©wIOIŠ œbŽ w »dCÃ«® ‰ × ?ł Ω ©”®‚
← ”
?ł Ω ©”®‚ ?ł
← ”
±
©lL'« …bŽUÁ® Â ´ ‰ Ω ©”®?¼
← ”
´ ©”®‚
← ”
Ω ©©”®?¼ ´ ©”®‚® ← ”
≤
©ÕdDÃ« …bŽUÁ® Â ≠ ‰ Ω ©”®?¼
← ”
≠ ©”®‚
← ”
Ω ©©”®?¼ ≠ ©”®‚® ← ”
≥
©»dCÃ« …bŽUÁ® Â × ‰ Ω ©”®?¼
← ”
× ©”®‚
← ”
Ω ©©”®?¼ × ©”®‚® ← ”
¥
©WL IÃ« …bŽUÁ® ∞ ≠ Â ◊dAÐ ¨
‰
Â Ω
©”®‚
← ”
©”®?¼
← ”
Ω
©”®‚
©”®?¼ ← ”
μ
©≥® ‰U¦Ä
∫błËQ ¨ ∂ Ω ©”®?¼
≤ ← ”
¨ ¥ Ω ©”®‚
≤ ← ”
X½UÂ «–≈
©©”®‚ ≠ ”
®≤ ← ”
» ©©”®?¼≤ ´ ©”®‚®≤ ← ”
√
©μ ´ ©”®≤
‚®≤ ← ”
œ ©©”®?¼ × ©”®‚
©”®?¼ ´ ” ® ≤ ← ”
?ł
±≤

©”® ?¼≤
≤ ← ”
´ ©”®‚
≤ ← ”
Ω ©©”®?¼≤ ´ ©”®‚®≤ ← ”
√
©”® ?¼
≤ ← ”
≤´ ©”®‚
≤ ← ”
Ω
∂ ≤ ´ ¥ Ω
±∂ Ω
©”®‚
≤ ← ”
≠ ”
≤ ← ”
Ω ©©”®‚ ≠ ”
®≤ ← ”
»
¥ ≠ ≤Ω
≤≠Ω
©©”® ?¼ × ©”®‚®≤ ← ”
©©”®?¼ ´ ”
®≤ ← ”
Ω ©©”® ?¼ ©”®‚
©”®?¼ ´ ” ®≤ ← ”
?ł
©”® ?¼
≤ ← ”
× ©”®‚
≤ ← ”
©”®?¼
≤ ← ”
´ ”
≤ ← ”
Ω
∂ × ¥
∂ ´ ≤
Ω
≥ Ω
μ
≤ ← ”
´©”®≤
‚
≤ ← ”
Ω ©μ´©”®≤
‚®≤ ← ”
œ
μ
≤ ← ”
´ ©”®‚
≤ ← ”
©”®‚
≤ ← ”
Ω
μ ´ ©¥ ¥® Ω
≤±Ω
±≥

∫5½«d²Á« sÄ d¦Â√ qLA²Ã WIÐU Ã« ©≥® W¹dEMÃ« w »dCÃ«Ë lL'« wðbŽUÁ rOLFð sJ1
©”®Ê
‚
← ”
´ÆÆÆ´ ©”®≤
‚
← ”
´ ©”®±
‚
← ”
Ω©©”®Ê
‚´ÆÆÆ´©”®≤
‚´©”®±
‚® ← ”
±
©”®Ê
‚
← ”
×ÆÆÆ× ©”®≤
‚
← ”
×©”®±
‚
← ”
Ω©©”®Ê
‚ ×ÆÆÆ×©”®≤
‚×©”®±
‚® ← ”
≤
∫ZzU²½
ÆVłuÄ `O× œbŽ Ê YOŠ ¨
Ê
©©”®‚
← ”®Ω
Ê
©©”®‚® ← ”
±
ÆVłuÄ `O× œbŽ Ê YOŠ
Ê
Ω
Ê
”
← ”
≤
∫ ÊS œËbŠ dO¦Â ÎU½«d²Á« ∞
´ ”
±
´ ∞∞∞´±≠Ê”
±≠Ê
´ Ê
” Ê
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≥
Æ©?ł®‚ Ω∞
´ ?ł ±
´ ∞∞∞´ ±≠Ê
?ł±≠Ê
´ Ê
?ł Ê
Ω ©”®‚
?ł ← ”
Æ©?ł®‚ ÍËU ð tÃU−Ä w ?ł Ω ” bMŽ ©”®‚ œËb(« dO¦Â W¹UN½ Ê√ Í√
∫ÊS ∞ ≠ ©”®?¼ ¨œËbŠ «dO¦Â ©”® ?¼ ¨ ©”®‚ YOŠ ÎUO³ ½ ÎU½«d²Á«
©”®‚
©”® ?¼
Ω ©”®Â ÊUÂ «–≈ ¥
∞ ≠ ©?ł® ?¼ ◊dAÐ ©?ł® Â Ω
©?ł®‚
©?ł® ?¼
Ω
©”®‚
©”® ?¼ ?ł ← ”
Ω ©”®Â
?ł ← ”
Æ© ?ł®Â ÍËU ð tÃU−Ä w ?ł Ω ” bMŽ ©”®Â w³ MÃ« Ê«d²Áô« W¹UN½ Ê√ Í√
©¥® ‰U¦Ä
Æ©∂´”μ´≥
”¥®
≤← ”
błË√
∫ÊuJ¹ dýU³*« i¹uF²ÃUÐ Ê–≈ ¨œËbŠ dO¦Â Ê«d²Á« u¼ ∂ ´ ”μ ´ ≥ ”¥ Ω ©”®‚ Ê«d²Áô«
¥∏ Ω ∂ ´ ©≤®μ ´ ≥
©≤®¥ Ω ©∂´”μ´ ≥ ”¥®
≤ ← ”
±¥

©μ® ‰U¦Ä
Æ
≤´”¥´ ≤”
≥´”≤ μ ← ”
błË√
¨μ Ω ” bMŽ Î«dH ÍËU ¹ ô tÄUIÄ w³ ½ Ê«d²Á« u¼
≤´”¥´ ≤”
≥´”≤
Ω ©”® ?¼ Ê«d²Áô«
∫ÊuJ¹ dýU³*« i¹uF²ÃUÐ Ê–≈
≤´©μ®¥ ´≤
©μ®
≥´©μ®≤
Ω
≤´”¥´ ≤”
≥´”≤ μ ← ”
¥∑
±≥
Ω
©¥® W¹dE½
∫ÊS ÎU³łuÄ ÎU×O× Î«œbŽ Ê ÊUÂË ¨‰ Ω ©”®‚
← ”
X½UÂ «–≈
ÆWOłË“ ©Ê® ÊuJð UÄbMŽ ∞ ‰ ÊuJð Ê√ ◊dAÐ ¨
±
Ê
‰ Ω
±
Ê
©©”®‚
← ”®Ω
±
Ê
©©”®‚® ← ”
‰
Ê
Ω ©”®‚
← ”
Ê
Ω ©”®‚
Ê
← ”
Ê√ Í√
©∂® ‰U¦Ä
∫7OÃU²Ã« 5²¹UNMÃ« sÄ ÎöÂ błË√
≤ ´ ”
≥
±∞≠ ← ”
» π ´≤”
¥ ← ”
√
μ Ω π´±∂ Ω ©π´≤
”®
¥ ← ”
Ω π´≤”
¥ ← ”
√
≤≠ Ω ≤ ´ ±∞≠
≥
Ω ©≤´”®
±∞≠ ← ”
≥
Ω≤´”
≥
±∞≠ ← ”
»
±μ

©≤≠±® s¹—U9
∫WOÃU²Ã« U¹UNMÃ« sÄ ÌqÂ WLOÁ błËQ ¨±≠ Ω ©”® „
≤ ← ”
¨ ≥ Ω ©”®?¼
≤ ← ”
¨μ Ω ©”®‚
≤ ← ”
X½UÂ «–≈ ±
©”® ‚ ”
©”®„ ´ ©”® ?¼ ≤ ← ”
»
©©”® ?¼ ≥ ≠ ©”®‚≤®≤ ← ”
√
©”®≤
?¼≠©”® ≤
‚
≤ ← ”
?ł
Æ
©”® ?¼ Ê ≠ ©”®‚ Â
Ê ≠ Â ← ”
błË√ ¨Ê ≠ Â YOŠ Ê Ω ©”®?¼
← ”
¨Â Ω ©”®‚
← ”
X½UÂ «–≈ ≤
Æ rOÁØWLOÁ błËQ ¨± Ω ©∑´ ”μ ´≤”®
← ”
Ê√ XLKŽ «–≈ ≥
∫wK¹ U2 qÂ WLOÁ błË√ ¥
≥
©μ ≠ ”®
≤ ´¥
©μ ≠ ”≤® ≥ ← ”
?ł ±
≥ ©¥ ≠≤”≥®
≤ ← ”
» μ´≤”
≤ ← ”
√
©∑® ‰U¦Ä
Ê«d²Áô« vM×MÄ ©±±≠±® qJAÃ« q¦1
©”®‚
π
∂ ← ”
błË√ ¨” UŠ Ω ©”®‚
∫Ê√ kŠö½ qÐUI*« w½UO³Ã« rÝdÃ« sÄ
” UŠ
π
∂ ← ”
Ω ©”®‚
π
∂ ← ”
±
≤
Ω
’
”
±
±≠
π−
≤
ππ− ∞
π
∂
±
≤
©±±≠±® qJAÃ«
∫ÂUŽ tłuÐ
Æ ∋ qJÃ ¨ Uł Ω ”Uł
← ”
±
Æ ∋ qJÃ ¨ U²ł Ω ”U²ł
← ”
≤
±∂

∫ błË√ ¨
± ” ¨ ±´”≤
≥ ” ± ¨ μ ≠≤”
≥ <” ¨ ±≥ ´”
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ μ
©”®‚
≥ ← ”
» ©”®‚
± ← ”
√
ø WLOÁ UL …œułuÄ ©”®‚
± ← ”
X½UÂË ¨
± ” ¨ μ´≤”
± ” ¨ ”
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ∂
≤ ” ¨ μ ≠≤”Â
≤ ” ¨ Ê ´ ”≤
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ∑
Æ∑ Ω ©”®‚
≤ ← ”
Ê√ XLKŽ «–≈ Ê ¨Â sÄ ÌqÂ WLOÁ błË√
∫© błË Ê≈® WOÃU²Ã« U¹UNMÃ« sÄ ÌqÂ WLOÁ błË√ ∏
›≥´”≤¤
±
≤
← ”
» ›”¤ ”
∞ ← ”
√
›”¤
” ≤ ← ”
œ ¸¥≠
≤
”¸
≤ ≠ ” ≤ ← ”
?ł
∞ ” ¨ ±
∞ ” ¨ ±≠
Ω ©”®?¼ ¨
∞ ” ¨ ±≠
∞ ” ¨ ±
Ω ©”®‚ sJOÃ π
…œułuÄ dOž ©”® ?¼
∞ ← ”
Ê√ 5Ð » …œułuÄ dOž ©”®‚
∞ ← ”
Ê√ 5Ð √
©”® ©?¼ ‚®
∞ ← ”
błË√ œ ©”® ©?¼ ‚® …bŽUÁ błË√ ?ł
©”® ©
‚
?¼
®
∞ ← ”
błË√ Ë ©”® ©
‚
?¼
® …bŽUÁ błË√ ?¼
ø©≥® W¹dE½ w WL IÃ«Ë »dCÃ« wðbŽUÁ lÄ Ë ¨ œ 5ŽdHÃ« sÄ ÌqÂ w W−O²MÃ« ÷—UF²ð q¼
©≤” ´ ©± ≠ ”≤®‚¥®≥ ← ”
błËQ ∑ Ω ©”®‚
μ ← ”
X½UÂ «–≈ ±∞
±∑

(Limits & Indeterminate Forms)
dH
dH
WMÒÓOÓFÔ*« dOž …—uBÃ«Ë U¹UNMÃ« ≥≠±
d¹œUIÄ „UM¼ Ê√ dOž ÆÎ«dH ÍËU ð ÂUI*« W¹UN½ ÊuJð ô√ ◊d²Að U¹UNMÃ« w WL IÃ« …bŽUÁ Ê√ ÎUIÐUÝ U½błË
¨
∞
∞ Ω
j ³Ã« W¹UN½
ÂUI*« W¹UN½
ÊuJð Í√ ¨ ”?Ã WMOFÄ WLOÁ bMŽÎ«dH ÍËU ð UNO ÂUI*«Ë j ³Ã« sÄ qÂ W¹UN½ ÊuJð W¹d Â
Ác¼ q¦Ä U¹UN½ »U Š sJ1 sJÃË ¨…œb×Ä W¹œbŽ W−O²½ wDFð ô UN½_ WMOFÄ dOž …—u vL ð …—uBÃ« Ác¼Ë
…—uBÃ«“ËU−²ð¨W¾ UJÄ…—u vKŽÍd JÃ«Ê«d²Áô«l{uÃW¹d³ł UOKLŽ¡«dłSÐ¨ÎU½UOŠ√¨W¹d JÃ« U½«d²Áô«
∫WOðü« WK¦Ä_« sÄ `C²¹ ULÂ ¨WMOF*« dOž
©±® ‰U¦Ä
” ≠
≥
”
±≠ ” ≠≤ ”≤ ± ← ”
błË√
∞ Ω ©± ≠ ” ≠≤”≤®
± ← ”
pÃcÂË ∞ Ω ©” ≠≥”®
± ← ”
Ê√ kŠö½
∫wK¹ ULÂ W¾ UJÄ …—u vKŽ Íd JÃ« Ê«d²Áô« WÐU²ÂË ÂUI*«Ë j ³Ã« sÄ qÂ qOK% vÃ≈ Q−K½ pÃcÃ
©±´”® ©±≠”®”
©±´”≤® ©±≠”® ± ← ”
Ω
” ≠≥”
±≠ ” ≠≤ ”≤ ± ← ”
± ≠ ” ¨
©±´”®”
©±´”≤® ± ← ”
Ω
≤
≥
Ω
©≤® ‰U¦Ä
Æ
≥≠ ¥´”
μ ≠ ” μ ← ”
błË√
∞ Ω ©μ≠”®
μ ← ”
pÃcÂË ∞ Ω ©≥≠ ¥ ´”
® μ ← ”
Ê√ kŠö½
±∏

o «dÄ w ÂUI*«Ë j ³Ã« sÄ qÂ »dCÐ pÃ–Ë ¨W¾ UJÄ …—uBÐ Ê«d²Áô« WÐU²Â vÃ≈ Q−K½ «cÃ
∫wK¹ ULÂ j ³Ã«
¥´”≥´
≥´ ¥´”
¥´”≥≠
μ ≠ ” μ ← ”
Ω
¥´”≥ ≠
μ ≠ ” μ ← ”
π ≠ ©¥´”®
©≥´ ¥´” ® ©μ≠”®
μ ← ”
Ω
©μ ≠ ”®
©≥´ ¥´” ® ©μ≠”®
μ ← ”
Ω
μ ”¨
±
©≥´ ¥´” ®
μ ← ”
Ω
±
∂
Ω
©≥® ‰U¦Ä
Æ
±
≤
≠
±
≤´”
” ∞ ← ”
błË√
∞ Ω ”
∞ ← ”
pÃcÂË ∞ Ω © ±
≤
≠
±
≤´” ® ∞ ← ”
∫Ê√ kŠô
∫wK¹ ULÂ —UB²šô«Ë UÄUI*« bOŠu²Ð pÃ–Ë ¨W¾ UJÄ …—uBÐ Ê«d²Áô« WÐU²Â vÃ≈ Q−K½ «cÃ
”
©≤´” ®≠≤
©≤´”®≤
∞ ← ”
Ω
≠
”
±
≤´”
±
≤
∞ ← ”
© ±
” ×
” ≠
©≤´”®≤®∞ ← ”
Ω
∞ ≠ ” ¨
±≠
©≤´”®≤ ∞ ← ”
Ω
±≠
¥
Ω
±π

©¥® ‰U¦Ä
Æ
≥
≠≥
”
≠ ” ← ”
błË√
WÐU²Â vÃ≈ Q−K½ «cÃË ªWMOFÄ dOž …—u Ác¼Ë ¨
∞
∞ Ω W¹UNMÃ« Ê√ kŠö½ dýU³*« i¹uF²ÃUÐ
∫qÄ«uFÃ« vÃ≈ qOK×²ÃUÐ pÃ–Ë ¨W¾ UJÄ Èdš√ …—uBÐ d JÃ«
©≤
´ ” ´≤”® © ≠ ”®
© ≠ ”® ← ”
Ω
≥
≠≥”
≠ ” ← ”
≠ ” ¨ ©≤
´ ” ´ ≤”®
← ”
Ω
≤
≥ Ω
∫rOLFð
ÆVłuÄ `O× œbŽ Ê YOŠ
±≠Ê
Ê Ω
Ê
≠Ê
”
≠ ” ← ”
©μ® ‰U¦Ä
Æ
∂≤μ ≠ ¥
©≤ ´ ”®
≥ ≠ ” ≥ ← ”
błË√
≤ ≠ ’ Ω ” ÊuJð ¨ ≤ ´ ” Ω ’ Ê√ ÷dHÐ
μ ← ’ ÊS ≥ ← ” UÄbMŽË
Æ
¥
μ ≠ ¥’
μ ≠ ’ μ ← ’
Ω
∂≤μ ≠ ¥
©≤ ´ ”®
≥ ≠ ” ≥ ← ”
∴
≥
μ × ¥ Ω
±≤μ × ¥ Ω
μ∞∞ Ω
≤∞

©≥≠±® s¹—U9
∫WOÃU²Ã« U¹UNMÃ« sÄ ÌqÂ WLOÁ błË√ ±
∏≠”≤´≤
”
”≤≠ ≤” ≤ ← ”
» ± ´”
≤ ≠”≠ ≤” ± ← ”
√
¥ ≠ ”
≤≠ ”
¥ ← ”
œ
±
∑ ≠ ±
”´≤
μ ≠ ” μ ← ”
?ł
≤≠ ” ≠≤”≤´≥”
¥ ≠≤” ≤≠ ← ”
Ë
”
≥ ≠ ” ´π ∞ ← ”
?¼
∏ ´≥ Â
≤ ´ Â ≤≠ ← Â
Õ
” ´±≠
”
” ≠±
∞ ← ”
“
∏± ≠ ¥”
≥ ≠ ” ≥ ← ”
„
≥ ≠ ∂ ≠ ”
±μ ≠ ” ±μ ← ”
◊
≤¥≥ ≠ μ
©± ≠ ”®
¥ ≠ ” ¥ ← ”
Â ∏ ≠ ∂”
¥ ≠ ¥” ≤ ← ”
‰
∫5²OÃU²Ã« 5²ÃU(« sÄ qÂ w ©≤®‚ ≠ ©?¼ ´≤®‚
??¼ ∞ ← ?¼
błË√ ≤
” Ω ©”®‚ » ≤” Ω ©”®‚ √
≤ ≥ ” ¨ ¥ ≠≤”
≤ ≠ ”
≤ < ” ¨ ± ´ ”
Ω ©”®‚ sJOÃ ≥
WLOÁ błËQ ¨…œułuÄ ©”®‚
≤ ← ”
X½UÂË
≤±

(Limits & Trigonometric Functions) WO¦K¦*« U½«d²Áô«Ë U¹UNMÃ« ¥≠±
ªÍdz«bÃ«d¹bI²ÃUÐ”YOŠ ∞←”UÄbMŽ
”Uł
” Ω©”®‚Ê«d²Áô«W¹UN½vKŽbM³Ã««c¼w UM²Ý«—œbL²Fð
ÆUNðUI²AÄË W¹dz«bÃ« U½«d²Áô« U¹UN½ w ÎUIŠô UN²OL¼_ pÃ–Ë
Â«b ²ÝUÐW¹UNMÃ«ÃU²M²Ý«UMMJ1ôË¨
∞
∞ WMOF*«dOž…—uBÃ«vKŽqB×½
”Uł
”
Ê«d²Áô«w dýU³*«i¹uF²ÃUÐ
ÆoÐU Ã« bM³Ã« w W¹d³'« ‚dDÃ«
∞ Ω ” ‰uŠ
”Uł
”
Ê«d²Áô« „uKÝ `{u¹ wÃU²Ã« ‰Ëb'«
”±∞[±∞[∞±∞[∞∞±ÆÆÆ←∞ÆÆÆ→∞[∞∞±≠∞[∞±≠∞[±≠±≠
”Uł
”∞[∏¥±¥∑∞[ππ∏≥≥∞[ππππ∏∞[ππππππ∏≥ÆÆÆ←±ÆÆÆ→∞[ππππππ∏≥∞[ππππ∏∞[ππ∏≥≥∞[∏¥±¥∑
wH²JMÝ w²Ã« WOÃU²Ã« W¹dEMÃ« «c¼ `{u¹Ë ∞ ← ” UÄbMŽ ± sÄ »d²Ið
”Uł
” Ê√ ‰Ëb'« sÄ kŠö½
ÆÊU¼dÐ ÊËœ U¼dÂcÐ
∫W¹dE½
Ídz«bÃ« d¹bI²ÃUÐ ” ¨ ± Ω
”Uł
”
∞ ← ”
©±® ‰U¦Ä
”≤Uł
” ∞ ← ”
błË√
”≤Uł
”≤ ∞ ← ”
≤ Ω
”≤Uł
”≤
≤
∞ ← ”
Ω
”≤Uł
” ∞ ← ”
©∞ ← ” UÄbMŽ ∞ ← ?¼ Ê√ kŠô®Æ”≤ Ω ?¼ YOŠ ¨
?¼Uł
?¼ ∞ ← ?¼
≤ Ω
≤ Ω± ≤ Ω
”U²ł ”Uł≤
” ∞ ← ”
Ω
”≤Uł
” ∞ ← ”
∫dš¬ qŠ
”U²ł
∞ ← ”
”Uł
” ∞ ← ”
≤ Ω
≤ Ω ± ± ≤ Ω
≤≤

∫W−O²½
©Ídz«bÃ« d¹bI²ÃUÐ ”® ¨ ± Ω
” Uþ
” ∞ ← ”
∫ÊU¼d³Ã«
” Uł
”U²ł
±
” ∞ ← ”
Ω
” Uþ
” ∞ ← ”
±
”U²ł ∞ ← ”
” Uł
” ∞ ← ”
Ω
± Ω ± ±Ω
∫rOLFð
Ω
” Uł
” ∞ ← ”
±
Ω
” Uþ
” ∞ ← ”
≤
©≤® ‰U¦Ä
Æ
”≥Uł
”μUł ∞ ← ”
błË√
©” vKŽ ÂUI*«Ë j ³Ã« sÄ ÌqÂ WL IÐ®
”≥Uł
”
”μUł
”
∞ ← ”
Ω
”≥Uł
”μUł ∞ ← ”
”≥Uł
” ∞ ← ”
”μUł
” ∞ ← ”
Ω
≥
μ
Ω
≤≥

©≥® ‰U¦Ä
Æ
±≠”U²ł
” ∞ ← ”
błË√
±≠©
”
≤
≤
Uł ≤≠±®
” ∞ ← ”
Ω
±≠”U²ł
” ∞ ← ”
”
≤
≤
Uł ≤≠
” ∞ ← ”
Ω
©
”
≤
Uł®
”
≤
Uł
” ∞ ← ”
≤≠ Ω
©
”
≤
Uł®
∞ ← ”
” ±
≤
Uł
” ∞ ← ”
≤≠ Ω
ÆdH Ω dH
±
≤
≤≠ Ω
©± ´ ” U²ł® —«bI*UÐ ÂUI*«Ë j ³Ã« sÄ ÌqÂ »dCÐ pÃ–Ë ¨Èdš√ WI¹dDÐ ‰U¦*« qŠ sJ1 ∫WEŠöÄ
©¥® ‰U¦Ä
Æ
”≥Uł ´ ”μUł
”≤Uł ´ ”∏Uł ∞ ← ”
błË√
©” vKŽ ÂUI*«Ë j ³Ã« sÄ qÂ WL IÐ®
”≥Uł
” ´
”μUł
”
”≤Uł
” ´
”∏Uł
”
∞ ← ”
Ω
”≥Uł ´ ”μUł
”≤Uł ´ ”∏Uł ∞ ← ”
”≥Uł
” ∞ ← ”
´
”μUł
” ∞ ← ”
”≤Uł
” ∞ ← ”
´
”∏Uł
” ∞ ← ”
Ω
¥
μ
Ω
∏
±∞
Ω
≥ ´ μ
≤ ´ ∏
Ω
≤¥

©μ® ‰U¦Ä
Æ©”®‚
± ← ”
błË√ ¨
± ” ¨
©±≠ ” √® Uł ”≤
± ≠ ”
± ” ¨ ± ´ ›”¤
Ω ©” ®‚ sJOÃ
∫wÃU²ÃUÂ ± Ω” —«uł w ©”®‚ …bŽUÁ WÐU²Â …œUŽ≈ sJ1
± ” ¨
©±≠ ” √® Uł ”≤
± ≠ ”
± ” ∞ ¨ ±
± Ω ” ¨ ≤
Ω ©”®‚
©±≠ ” √® Uł ”≤
± ≠ ” ´± ← ”
Ω©”®‚
´± ← ”
√
©±≠ ” √® Uł ”≤
©±´ ” √® ©±≠ ” √® ´± ← ”
Ω
±≠ ” √ Ω ?¼ YOŠ ¨
?¼ Uł
?¼ ´∞ ← ?¼
”≤
±´ ” √ ´± ← ”
Ω
± Ω ± ± Ω
± Ω ±
≠± ← ”
Ω ©”®‚
≠± ← ”
»
± Ω ©”®‚
± ← ”
∴
©∂® ‰U¦Ä
Æ
” Uł
” ≠ ± ± ← ”
błË√
©WKLJ*« VOł Ω W¹Ë«“ Í√ VOł Ê_®
©” ≠ ®Uł
” ≠ ± ± ← ”
Ω
” Uł
” ≠ ± ± ← ”
©” ≠ ±® Uł
” ≠ ± ± ← ”
Ω
Æ” ≠ ± Ω ?¼ YOŠ
?¼ Uł
?¼ ∞ ← ?¼
Ω
Ω
≤μ

©¥≠±® s¹—U9
∫WOÃU²Ã« U¹UNMÃ« sÄ ÎöÂ błË√ ±
” Uł
±´ ” √ ´∞ ← ”
»
”≥Uł
”≤ ∞ ← ”
√
” ≥ Uþ
”μ ∞ ← ”
œ ”
” Uþ ∞ ← ”
?ł
≤
”
”≤
U²ł ≠± ∞ ← ”
Ë
”μ Uþ
” ≤ Uþ ∞ ← ”
?¼
”¥ U²ł ≠±
±≠ ”∏ U²ł ∞ ← ”
Õ ≤
”
”U²ł ≠± ∞ ← ”
“
”Uł”
”U²ł ≠± ∞ ← ”
Í
” Uł ´”≤
” ∞ ← ”
◊
±∞´ ” μ
©≤´”® Uł ≤≠ ← ”
‰ ”μ U²Á ”≤ Uþ
∞ ← ”
„
©±≠”® Uł
≥≠”´≤”≤ ± ← ”
Ê
≤”≤´ ” ±∞
”Uł∑ ∞ ← ”
Â
©”Uł® Uł
” ∞ ← ”
Ÿ ” Uł ” ´ ”≤ U²ł≠±
” ≤
Uł ∞ ← ”
”
©”®‚
∞ ← ”
błË√
∞ <” ¨
”∂ Uł
”≥ Uþ
∞ ≥” ¨ › ≥ ´ ” ¤
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≤
” Uł
” ´ ≤ ≤≠ ← ”
błË√ ≥
≤∂

(Limits at Inﬁnity) ∞∓ ← ” UÄbMŽ Ê«d²Áô« W¹UN½ μ≠±
W¹UN½ bM³Ã« «c¼ w ”—bMÝË ¨ 5FÄ wIOIŠ œbŽ sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ©”®‚ Ê«d²Áô« W¹UN½ ÎUIÐUÝ UM dFð
UÄbMŽpÃcÂË¨©∞®W¹UN½ôUÄsÄ”»d²IðUÄbMŽÍ√¨œËbŠöÐËW³łuÄrOIÐ”œ«œeðUÄbMŽ©”®‚Ê«d²Áô«
Æ©∞≠® W¹UN½ôUÄ VÃUÝ sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ Í√ ¨œËbŠ öÐË W³ÃUÝ rOIÐ ” hÁUM²ð
ÆjI WO³ MÃ« U½«d²Áô« vKŽ bM³Ã« «c¼ w UM²Ý«—œ dB²I²ÝË
©±® ‰U¦Ä
∞ ≠ ” ¨ ±
” Ω ©”®‚ sJOÃ
ø ∞ sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ©”®‚ rOIÃ Àb×¹ «–UÄ √
ø ∞≠ sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ ©”®‚ rOIÃ Àb×¹ «–UÄ »
W³łuÄ rOIÐ d¦ÂQ d¦Â√ ” rOÁ œ«“ ULKÂ t½√ ©±≤≠±® qJAÃ« sÄ kŠö½ √
¨dHBÃ« sÄ ©”®‚ rOÁ XÐd²Á«
©”®‚ W¹UN½ Ê≈ ‰uI½ pÃcÃ
ÍËU ð W¹UN½ôUÄ sÄ ” »d²Ið UÄbMŽ
∫“uÄdÃUÐË ªÎ«dH
dH Ω ±
”
∞ ← ”
Ω ©”®‚
∞ ← ”
ULKÂ t½√ qJAÃ« sÄ kŠö½ pÃcÂ »
W³ÃUÝ rOIÐ d¦ÂQ d¦Â√ ” rOÁ dG
ªdHBÃ« sÄ ©”®‚ rOÁ XÐd²Á«
dH Ω ±
”
∞≠ ← ”
∫Ê≈ ‰uI½ pÃcÃË
∞≠ ←”
” → ∞
’
”
©±≤≠±® qJAÃ«
©≤® ‰U¦Ä
∫błË√ ¨ ≥” Ω ©”®‚ sJOÃ
©”®‚
∞≠ ← ”
» ©”®‚
∞ ← ”
√
≤∑

œ«œeð…dþUM*«©”®‚rOÁÊS ¨W¹UN½ôUÄsÄ”»d²IðUÄbMŽt½√©±≥≠±®qJAÃ«sÄkŠö½ √
pÃ–Ë¨Á—uBð sJ1 VłuÄ wIOIŠ œbŽ Í√ sÄ d³Â√ ©”®‚ rOÁ qFł sJ1Ë ¨d¦ÂQ d¦Â√
UÄbMŽ ©”®‚ Ê«d²Áô« W¹UN½ Ê≈ WÃU(« Ác¼ w ‰uI½Ë ÆWO UÂ Wł—bÐ …dO³Â ” rOÁ —UO²šUÐ
∫“uÄdÃUÐË ªW¹UN½ôUÄ ÍËU ð W¹UN½ôUÄ sÄ ” »d²Ið
∞ Ω ≥”
∞ ← ”
Ω ©”®‚
∞ ← ”
©”®‚ Ê«d²Áô« W¹UN½ Ê√ vÃ≈ q u²Ã« UMMJ1 q¦*UÐË »
w¼ W¹UN½ôUÄ VÃUÝ sÄ »d²Ið ” UÄbMŽ
∫“uÄdÃUÐË ªW¹UN½ôUÄ VÃUÝ
∞≠ Ω ≥”
∞≠ ← ”
Ω ©”®‚
∞≠ ← ”
∞
∞≠ ←”
” → ∞
∞−
’
”
©±≥≠±® qJAÃ«
©≥® ‰U¦Ä
∫œU−¹≈ w wÃU²Ã« ©±¥≠±® qJAÃ« Âb ²Ý«
©”®‰
∞∓ ← ”
» ©”®‚
∞∓ ← ”
√
’
”
≤” Ω ©”®‰
”
≥
≥ Ω ©”®‚
’
©±¥≠±® qJAÃ«
∫Ê√ `C²¹ 5½«d²Áô« wOM×MÄ sÄ
≥ Ω ©”®‚
∞≠ ← ”
¨ ≥ Ω ©”®‚
∞ ← ”
√
∞ Ω ©”®‰
∞≠ ← ”
¨ ∞ Ω ©”®‰
∞ ← ”
»
≤∏

∫ÂUŽ tłuÐ
…bŽUÁ
XÐUŁ ?ł YOŠ ¨ ?ł Ω ?ł
∞≠ ← ”
¨ ?ł Ω ?ł
∞ ← ”
±
∫ÊS ÎU³łuÄ ÎU×O× Î«œbŽ Ê ÊUÂ «–≈ ≤
∞ Ω Ê
”
∞ ← ”
©√®
WOłË“ Ê X½UÂ «–≈ ¨ ∞
W¹œd Ê X½UÂ «–≈ ¨ ∞≠
Ω Ê
”
∞≠ ← ”
©»®
∫WEŠöÄ
5½«d²Á« WL Á Ë√ »d{ Ë√ ‚d Ë√ ŸuL−Ä W¹UNMÐ WIKF²*«Ë ±≤ W×H w WIÐU Ã« U¹UNMÃ« W¹dE½
∫WOÃU²Ã« bŽ«uIÃ« …UŽ«dÄ lÄ ¨ ←” sÄ ÎôbÐ ∞∓ ←” lC½ UÄbMŽ W×O× vI³ð ¨ ←” UÄbMŽ
XÐUŁ ?ł¨ ∞≠ Ω ?ł ∓ ∞≠ ©»® XÐUŁ ?ł ¨ ∞ Ω ?ł ∓ ∞ ©√®
∞ < ?ł UÄbMŽ ¨ ∞≠
∞ > ?ł UÄbMŽ ¨ ∞
Ω ∞≠ × ?ł ©œ®
∞ < ?ł UÄbMŽ ¨ ∞
∞ > ?ł UÄbMŽ ¨ ∞≠
Ω ∞ × ?ł ©?ł®
∞ Ω ∞ + ∞ ©Ë® ∞ Ω ∞ × ∞ ©?¼®
©
dH
dH …—uBÃ« ÊQý pÃ– w UN½Qý® WMOFÄ dOž —u wN WOÃU²Ã« —uBÃ« UÄ√
∞
∞ ©?ł® ∞ × ∞ ©»® ∞ ≠ ∞ ©√®
©¥® ‰U¦Ä
©μ ´ ±
” ®
∞ ← ”
błË√
μ Ω μ ´ ∞ Ω μ
∞ ← ”
´ ±
” ∞ ← ”
Ω ©μ ´ ±
” ®
∞ ← ”
©μ® ‰U¦Ä
±
≥” ∞≠ ← ”
błË√
±
” ∞≠ ← ”
× ±
” ∞≠ ← ”
× ±
” ∞≠ ← ”
Ω ±
≥” ∞≠ ← ”
dH Ω dH × dH × dH Ω
≤π

∫ÂUŽ tłuÐ
∫…bŽUÁ
XÐUŁ ¨ VłuÄ `O× œbŽ Ê YOŠ ¨ ∞ Ω Ê” ∞≠ ← ”
¨ ∞ Ω Ê” ∞ ← ”
qÄUFÂ”ÈuÁd³Â√Ã«dšSÐpÃ–»U ŠUMMJ1Ë¨∞∓←”UÄbMŽWO³ ½ U½«d²Á« U¹UN½wK¹ULO ”—bMÝ
∫WOðü« WK¦Ä_« sÄ `C²¹ ULÂ —UB²šô« rŁ ¨ÂUI*« w „d²AÄ qÄUFÂ ” ÈuÁ d³Â√ pÃcÂË j ³Ã« w „d²AÄ
©∂® ‰U¦Ä
∑ ≠ ”μ ´ ≤”≤
μ ≠ ≤”≥ ∞ ← ”
błË√
© ∑
≤” ≠ μ
” ´ ≤® ≤”
© μ
≤” ≠ ≥® ≤
” ∞ ← ”
Ω ∑ ≠ ”μ ´ ≤”≤
μ ≠ ≤”≥ ∞ ← ”
∑
≤” ≠ μ
” ´ ≤
μ
≤” ≠ ≥ ∞ ← ”
Ω
∑
≤” ∞ ← ”
≠ μ
” ∞ ← ”
´≤
∞ ← ”
μ
≤” ∞ ← ”
≠ ≥
∞ ← ”
Ω
≤
≥
Ω
∞ ≠ ∞ ´ ≤
∞ ≠ ≥
Ω
©∑® ‰U¦Ä
”∑ ´ ≤”μ
μ ≠ ≥”≤ ∞ ≠ ← ”
błË√
© ∑
” ´ μ® ≤”
© μ
≥” ≠ ≤® ≥
” ∞ ≠ ← ”
Ω
”∑ ´ ≤”μ
μ ≠ ≥”≤ ∞ ≠ ← ”
≥∞

∑
” ´ μ
μ
≥” ≠ ≤ ∞ ≠ ← ”
×
±
”
∞ ≠ ← ”
Ω
μ
≤
× dH Ω
dH Ω
©∏® ‰U¦Ä
”∑ ´ ≤” ≠ ≥”μ
”≤ ≠ ∂ ∞ ← ”
błË√
© ∑
≤” ´ ±
” ≠ μ® ≥”
©≤ ≠ ∂
” ® ” ∞ ← ”
Ω
”∑ ´ ≤” ≠ ≥”μ
”≤ ≠ ∂ ∞ ← ”
∑
≤” ´ ±
” ≠ μ
©≤ ≠ ∂
” ® ∞ ← ”
× ≤
”
∞ ← ”
Ω
μ
≤≠
× ∞ Ω
∞≠ Ω
©π® ‰U¦Ä
©∑ ´ ”μ ≠ ≥”®
∞ ← ”
błË√
© ∑
≥” ´ μ
≤” ≠ ±® ≥”
∞ ← ”
Ω ©∑ ´ ”μ ≠ ≥”®
∞ ← ”
© ∑
≥” ´ μ
≤” ≠ ±®
∞ ← ”
× ≥”
∞ ← ”
Ω
± × ∞ Ω
∞ Ω
≥±

©μ≠±® s¹—U9
∫WOÃU²Ã« U¹UNMÃ« sÄ ÎöÂ błË√ ±
©± ≠ ”μ ≠ ≥”®
∞ ≠ ← ”
≤ ©± ´ ≤”μ ≠ ≥”®
∞ ← ”
±
¥ ´ ”≤
≤ ´ ”μ ∞ ← ”
¥ μ
Ÿ ´ ≥ ∞ ≠ ← Ÿ
≥
≥”μ
”μ ≠ ≤”≤ ∞ ≠ ← ”
∂ ≤ ≠ ”
∂ ´ ”μ ≠ ≤” ∞ ≠ ← ”
μ
± ´ ≥”¥
± ≠ ≥”μ ∞ ← ”
∏
≤”μ ≠ ≤
≤”≥ ≠ ” ∞ ≠ ← ”
∑
”
± ´ ” »
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≤
¥
∑
Ω ©”®‚
± ← ”
¨ ≤
≥
Ω ©”®‚
∞ ← ”
X½UÂË
Æ» ¨ 5²ÐU¦Ã« błË√
≥≤

(Continuity) ‰UBðô« ∂≠±
bM³Ã« «c¼ w Ë ¨WDIMÃ« pKð bMŽ Ê«d²Áô« WLOIÃ ’Uš —U³²Ž« Í√ ÊËœ WDI½ bMŽ Ê«d²Áô« W¹UN½ ÎUIÐUÝ UMÝ—œ
ÆÎUFÄ t²¹UN½Ë Ê«d²Áô« WLOÁ ”—bMÝ
∫WDI½ bMŽ Ê«d²Áô« ‰UBð«
vKŽ WDIMÃ« ‰uŠ ©”®¥
‚ ¨©”®≥
‚ ¨©”®≤
‚ ¨©”®±
‚ U½«d²Áô« UOM×MÄ ©±μ≠±® qJAÃ« `{u¹
∫ Ω ” YOŠ vM×M*«
©”®≤
‚ Ê
Â
”
’
©”®±
‚ Ê
Â
”
’
©”®¥
‚
Ê
Â
”
’
©”®≥
‚ Ê
Â
”
’
©±μ≠±® qJAÃ«
WDIMKÃ 5ð—ËU−*« Ê ¨Â 5²DIMÃ« 5Ð lÁ«uÃ« vM×M*« ¡eł rÝ— sJ1¨©”®±
‚ Ê«d²Áô« WÃUŠ w ¨t½√ kŠö½
¨©”®≤
‚ U½«d²Áô« WÃUŠ w pÃ– lOD² ½ ô ULMOÐ ªWÁ—uÃ« sŽ rKIÃ« sÝ l dÃ WłU(« ÊËœ Ω ” bMŽ
Æ©”®¥
‚ ¨©”®≥
‚
©”®¥
‚ ¨©”®≥
‚ ¨©”®≤
‚ U½«d²Áô« Ê√ 5Š w ¨ Ω” bMŽ qB²Ä ÏÊ«d²Á« ©”®±
‚ Ê«d²Áô« Ê≈ ‰uI½
Æ Ω ” bMŽ WKB²Ä dOž Ë√ WKBHMÄ U½«d²Á«
≥≥

∫n¹dFð
© ®‚ Ω ©”®‚
← ”
X½UÂ «–≈ jI Ë «–≈ tÃU−Ä w Ω” bMŽ ÎöB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊuJ¹
∫Ê√ wMF¹ «c¼Ë
∫ÎUFÄ WOÃU²Ã« WŁö¦Ã« ◊ËdAÃ« XII% «–≈ jI Ë «–≈ Ω ” bMŽ ÎöB²Ä ÊuJ¹ ©”®‚ Ê«d²Áô«
Ω ” bMŽ ·dFÄ ©”®‚ ±
…œułuÄ ©”®‚
← ”
≤
© ®‚ Ω ©”®‚
← ”
≥
¨oÐU Ã«©±μ≠±®qJAÃ«w ¨©”®¥
‚¨©”®≥
‚¨©”®≤
‚¨©”®±
‚ U½«d²Áô« UOM×MÄvÃ≈ŸułdÃUÐË
∫ Ê√ kŠö½
Æ© ®±
‚ Ω ©”®±
‚
← ”
Ê_ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®±
‚ ±
Æ Ω ” bMŽ ·dFÄ dOž ©”®≤
‚ Ê_ pÃ–Ë Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ©”®≤
‚ ≤
Æ© ®≥
‚ ©”®≥
‚
← ”
Ê_ pÃ–Ë Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ©”®≥
‚ ≥
Æ…œułuÄ dOž ©”®¥
‚
← ”
Ê_ pÃ–Ë Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ©”®¥
‚ ¥
©±® ‰U¦Ä
± ” ¨ ≤”
± ” ¨ ±´”
Ω©”®‚ Ê«d²Áô« ‰UBð« w Y×Ð«
± Ω ” bMŽ » ∞ Ω ” bMŽ √
∞Ω©∞®‚ √
dH Ω ≤”
∞ ← ”
Ω ©”®‚
∞ ← ”
©∞®‚ Ω ©”®‚
∞ ← ”
Ê√ U0
≥¥

∞ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ ∴
±Ω©±®‚ »
≤ Ω ©±´”®
´± ← ”
Ω ©”®‚
´± ← ”
± Ω ≤”
≠± ← ”
Ω ©”®‚
≠± ← ”
± ← ”
⇐
± Ω” bMŽ qB²Ä dOž ©”®‚ Ê«d²Áô« Ê√ Í√
Æ©±∂≠±® qJAÃ« w ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ dE½«
’
”
≥
≤
±
± ≤±≠
©±∂≠±® qJAÃ«
©≤® ‰U¦Ä
≤ Ω ” bMŽ ¨
≤ ” ¨
¥≠≤”
≤≠”
≤ Ω ” ¨ μ
Ω©”®‚ Ê«d²Áô« ‰UBð« w Y×Ð«
¥≠≤”
≤≠” ≤ ← ”
Ω ©”®‚
≤ ← ”
©≤≠”® ©≤´”®
≤≠” ≤ ← ”
Ω
¥ Ω ©≤´”®
≤ ← ”
Ω
μ Ω ©≤®‚
©≤®‚ ©”®‚
≤ ← ”
Ê√ U0Ë
≤ Ω ” bMŽ ©qBHMÄ® qB²Ä dOž ©”®‚ ∴
©±∑≠±® qJAÃ« kŠô
μ
¥
≥
≤
±
± ≤ ≥ ¥
’
”
©±∑≠±® qJAÃ«
∫WEŠöÄ
U½bŽ√ «–≈ sJÃË Æ©≤®‚ ©”®‚
≤ ← ”
Ê_ ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ©”®‚ Ê√ oÐU Ã« ‰U¦*« w kŠö½
Æ≤ Ω ” bMŽ ÎöB²Ä `³B¹ ©”®‚ ÊS ¥ Ω ©≤®‚ `³BOÃ ≤ Ω ” bMŽ Ê«d²Áô« n¹dFð
≥μ

©≥® ‰U¦Ä
± ” ¨ ?ł´ ”≤
± ” ¨ ≥´≤”
Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« qF& w²Ã« ?ł WLOÁ błË√
Æ ± Ω ” bMŽ ÎöB²Ä
…œułuÄ ©”®‚
± ← ”
ÊuJð Ê√ V−¹ ¨± Ω ” bMŽ ÎöB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊuJ¹ v²Š
Æ©±®‚ ÍËU ðË
©±®‚ Ω ©”®‚
≠± ← ”
Ω©”®‚
´± ← ”
⇐
≤ Ω ?ł UNMÄË ¨ ?ł ´ ≤ Ω ¥ ∴
‰UBðô« U¹dE½
‰UBð« WÝ«—œ w U½bŽU ð w²Ã« WOÃU²Ã« U¹dEMÃ« vÃ≈ q u²Ã« sJ1 WIÐU Ã« U¹UNMÃ« U¹dE½ vKŽ œUL²ŽôUÐ
ÆWKB²Ä Èdš√ U½«d²Á« WÃôbÐ W dFÄ U½«d²Á«
∫©±® W¹dE½
∫ÊS Ω ” bMŽ 5KB²Ä 5½«d²Á« ©”®?¼ ¨©”®‚ ÊUÂ «–≈
Ω ” bMŽ qB²Ä ©”® ©?¼ ´ ‚® ±
Ω ” bMŽ qB²Ä ©”® ©?¼ ≠ ‚® ≤
Ω ” bMŽ qB²Ä ©”® ©?¼ Æ ‚® ≥
∋ „ YOŠ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”® ?¼ Æ „ ¥
∞ ≠© ® ?¼ YOŠ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”® © ‚
?¼ ® μ
«–≈ ∞ <© ®‚ Ê√ ◊dAÐË ¨VłuÄ `O× œbŽ Ê YOŠ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚
Ê
∂
ÆWOłË“ Ê X½UÂ
©¥® ‰U¦Ä
≤ Ω ” bMŽ WOÃU²Ã« U½«d²Áô« sÄ qÂ ‰UBð« w Y×Ð« Æ≤ Ω ” bMŽ ÎöB²Ä ÎU½«d²Á« ©”®‚ sJOÃ
± ≠ ≤” √ Ω ©”®?¼ ?ł ©”®‚
μ ´ ” Ω ©”®‰ » ©”®‚ ´ ≤
” Ω ©”®Ÿ √
≥∂

©ø«–U*® ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä ≤” Ê«d²Áô« √
bMŽ 5KB²Ä 5½«d²Á« ŸuL−Ä t½_ ª≤ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ ´ ≤
” Ω ©”®Ÿ Ê«d²Áô« ∴
ÆUN H½ WDIMÃ«
©ø«–U*® ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä μ ´ ” Ê«d²Áô« »
bMŽ 5KB²Ä 5½«d²Á« WL Á "U½ t½_ ª≤ Ω ” bMŽ qB²Ä
©”®‚
μ ´ ” Ω ©”®‰ Ê«d²Áô« ∴
∞ ≠ ≤ bMŽ ÂUI*« WLOÁË ¨UN H½ WDIMÃ«
©ø«–U*® ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä ± ≠ ≤” Ê«d²Áô« ?ł
©∂ Ÿd ©±® W¹dE½® ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä ± ≠ ≤” √ Ω ©”®?¼ Ê«d²Áô« ∴
∫…d² vKŽ Ê«d²Áô« ‰UBð«
∫n¹dFð
∫ÊuJ¹ ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊS ›»¨ ¤ WIKG*« …d²HÃ« vKŽ ÎU dFÄ ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈
Æ© ®‚ Ω ©”®‚
´ ← ”
X½UÂ «–≈ Ω ” bMŽ 5LOÃ« WNł sÄ ÎöB²Ä ±
Æ©»®‚ Ω ©”®‚
≠» ← ”
X½UÂ «–≈ » Ω ” bMŽ —U OÃ« WNł sÄ ÎöB²Ä ≤
∫©±∏≠±® qJAÃ« w wÃU²Ã« `O{u²Ã« kŠô
©”®≤
‚
”
’
»
—U OÃ« WNł sÄ » Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®≤
‚
5LOÃ« WNł sÄ Ω ” bMŽ qBHMÄË
©”®±
‚
”
’
»
5LOÃ« WNł sÄ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®±
‚
—U OÃ« WNł sÄ » Ω ” bMŽ qBHMÄË
©±∏≠±® qJAÃ«
≥∑

∫n¹dFð
Æ…d²HÃ« w WDI½ qÂ bMŽ ÎöB²Ä ÊUÂ «–≈ ¤»¨ › WŠu²H*« …d²HÃ« vKŽ ÎöB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊuJ¹ ±
…d²HÃ« w WDI½ qÂ bMŽ ÎöB²Ä ÊUÂ «–≈ ›»¨ ¤ WIKG*« …d²HÃ« vKŽ ÎöB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊuJ¹ ≤
Æ—U OÃ« WNł sÄ » Ω ” bMŽË 5LOÃ« WNł sÄ Ω ” bMŽ ÎöB²Ä ÊUÂË ¨¤»¨ › WŠu²H*«
∫wK¹ U2 qÂ W× sÄ oI×²Ã« pMJ1 U½«d²Áô« U¹UN½Ë oÐU Ã« n¹dF²Ã« vKŽ œUL²ŽôUÐ
Æ vKŽ ÎöB²Ä ÊuJ¹ œËb(« dO¦Â Ê«d²Áô« ±
ÆÂUI*« —UH √ «bŽ vKŽ ÎöB²Ä ÊuJ¹ w³ MÃ« Ê«d²Áô« ≤
Æ vKŽ ÊöB²Ä ÂUL²Ã« VOł Ê«d²Á«Ë VO'« Ê«d²Á« ≥
Æ vKŽ qB²Ä ¸”¸ Ω ©”®‚ WIKD*« WLOIÃ« Ê«d²Á« ¥
©μ® ‰U¦Ä
∫WOÃU²Ã« U½«d²Áô« ‰UBð« w Y×Ð«
μ ´ ≤” Ω ©”®‚ √
±´≤”
¥≠≤” Ω ©”® ?¼ »
¤ π∞¨∞ › …d²HÃ« vKŽ ” Uþ Ω ©”®‰ ?ł
Æ ∋ ” rOÁ lOLł bMŽ qB²Ä uN œËbŠ dO¦Â Ê«d²Á« μ ´ ≤” Ω ©”®‚ √
≤≠Ω”¨≤ Ω” «bŽ ∋” rOÁ lOLł bMŽ qB²Ä uN w³ ½ Ê«d²Á«
±´≤”
¥≠≤” Ω©”®?¼ »
5KB²Ä 5½«d²Á« WL Á Ã—Uš
”Uł
”U²ł
Ω ” Uþ Ω ©”®‰ ?ł
©ÂUI*« dH ® π
≤
Ω ” «bŽ UÄ ¤ π∞¨∞ › ∋” rOÁ lOLł bMŽ qB²Ä uN
≥∏

©∂® ‰U¦Ä
± ≥ ” ≥ ∞ ¨ ≤ ´ ”
≤ ≥ ” > ± ¨ ≥
Ω ©”®‚ sJOÃ
Æ›≤¨∞¤ …d²HÃ« vKŽ ©”®‚ Ê«d²Áô« ‰UBð« w Y×Ð«
ÆœËbŠ dO¦Â t½_ ¤±¨∞› WŠu²H*« …d²HÃ« vKŽ qB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ∫ÎôË√
ÆœËbŠ dO¦Â t½_ ¤≤¨±› WŠu²H*« …d²HÃ« vKŽ qB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ∫ÎUO½UŁ
∫Ê_ ± Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ∫ÎU¦ÃUŁ
≥ Ω ©±®‚ Ω©”®‚
≠± ← ”
Ω©”®‚
´± ← ”
∫Ê_ ª5LOÃ« WNł sÄ ∞ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ∫ÎUFÐ«—
≤ Ω ©∞®‚ Ω ©≤´”®
´∞ ← ”
Ω ©”®‚
´∞ ← ”
∫Ê_ ª—U OÃ« WNł sÄ ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ∫ÎU ÄUš
≥ Ω ©≤®‚ Ω ©”®‚
≠≤ ← ”
›≤ ¨∞¤ vKŽ qB²Ä ©”®‚ ∴
©∑® ‰U¦Ä
≤≠ Ω ” ¨ ≤
± ≥ ” > ≤≠ ¨ ≤”
≤ ≥ ” >± ¨ ” ≠≤
Ω ©”®‚ sJOÃ
‰UBð« w Y×Ð« rŁ ©”®‚ vM×MÄ rÝ—«
Æ›≤¨≤≠¤ …d²HÃ« vKŽ ©”®‚
Æ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ ©±π≠±® qJAÃ« q¦1
¤±¨≤≠› WŠu²H*« …d²HÃ« vKŽ qB²Ä ©”®‚ ∫ÎôË√
ÆœËbŠ dO¦Â t½_
¤≤[±› WŠu²H*« …d²HÃ« vKŽ qB²Ä ©”®‚ ∫ÎUO½UŁ
ÆÎUC¹√ œËbŠ dO¦Â t½_
”
¥
≥
≤
±
± ≤
’
≤≠ ±≠
©±π≠±® qJAÃ«
≥π

∫Ê_ ± Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ ∫ÎU¦ÃUŁ
± Ω ≤”
≠± ← ”
Ω©”®‚
≠± ← ”
¨ ± Ω ©”≠≤®
´± ← ”
Ω©”®‚
´± ← ”
± Ω ©±®‚ Ω©”®‚
± ← ”
∴
∫Ê_ 5LOÃ« WNł sÄ ≤≠ Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ©”®‚ ∫ÎUFÐ«—
≤ Ω ©≤≠®‚ ULMOÐ ¥ Ω ≤”
´≤≠ ← ”
Ω ©”®‚
´≤≠ ← ”
©≤≠®‚ ©”®‚
´≤≠ ← ”
Ê√ Í√
∫Ê_ —U OÃ« sÄ ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ ∫ÎU ÄUš
∞ Ω ©≤®‚ ¨ ∞ Ω ©”≠≤®
≠≤ ← ”
Ω ©”®‚
≠≤ ← ”
©≤®‚ Ω ©”®‚
≠≤ ← ”
Ê√ Í√
›≤ ¨≤≠¤ vKŽ qB²Ä dOž ©”®‚ ∴
qB²ÄË¨¤≤¨≤≠›∋ ”rOÁlOLłbMŽqB²Ät½_›≤¨≤≠›vKŽqB²Ä©”®‚Ê√kŠô
Æ—U OÃ« sÄ ≤ Ω ” bMŽ
©∂≠±® s¹—U9
Æ›≥¨±≠¤ vKŽ©”®‚Ê«d??²Áô«v??M×MÄq??ÐUI*«qJ??AÃ«q???¦1 ±
∫V³ Ã« dÂ– lÄ W¾ÞUš UN¹√Ë W³zU WOÃU²Ã« «—U³FÃ« Í√ 5Ð
”
±
± ≤ ≥
’
±≠ ∞
Æ —U OÃ« WNł sÄ ±≠ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ √
± Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ »
∞ Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ©”®‚ ?ł
≤ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ œ
Æ›∞ ¨±≠¤ …d²HÃ« vKŽ qB²Ä ©”®‚ ?¼
Æ›± ¨∞ › …d²HÃ« vKŽ qB²Ä ©”®‚ Ë
Æ¤ ≥ ¨± › …d²HÃ« vKŽ qB²Ä ©”®‚ “
ÆU¼bMŽ ÎöB²Ä `³BOÃ ± Ω ” bMŽ ©”®‚ n¹dFð sJ1 Õ
ÆU¼bMŽ ÎöB²Ä `³BOÃ ∞ Ω ” bMŽ ©”®‚ n¹dFð …œUŽ« sJ1 ◊
¥∞

∫UNMÄ qÂ ¡«“≈ WMO³*« ” rOÁ bMŽ WOÃU²Ã« U½«d²Áô« sÄ qÂ ‰UBð« w Y×Ð« ≤
± Ω ” bMŽ ± ” ¨
±≠≤”
±≠”
± Ω ” ¨ ¥
Ω ©”®‚ √
± Ω ” bMŽ ± ” ¨
¸±≠”¸
±≠”
± Ω ” ¨ μ
Ω ©”®‰ »
∞ Ω ” bMŽ
∞ ≠ ” ¨
” Uł
¸ ”¸
∞Ω ” ¨ ±
Ω ©”®Â ?ł
Æ›≤ ¨∞¤ …d²HÃ« vKŽ ©”®‚ ‰UBð« w Y×Ð«
± ” ∞¨ ” ≠≤
≤ ” ±¨ ±
≤ Ω ” ¨ μ
Ω ©”®‚ sJOÃ ≥
Æ vKŽ ÎöB²Ä ©”®‚ ÊuJOÃ » ¨ 5²ÐU¦Ã« błË√
±≠ ” ¨ ´ ≤”
± ” ±≠ ¨ ¥ ´”
± ” ¨
”
»´”
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ¥
± > ” ≥≤≠ ¨ ≤” ≠≥
≤ ≥ ” > ± ¨ ±´ ”
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ μ
Æ ›≤ ¨≤≠¤ …d²HÃ« vKŽ ©”®‚ Ê«d²Áô« ‰UBð« w Y×Ð«
∫U¼bMŽ ÎöB²Ä WOÃU²Ã« U½«d²Áô« sÄ qÂ ÊuJ¹ w²Ã« ” rOÁ błË√ ∂
” Uł ´ ¸± ≠ ”¸Ω ©”®‚ ?ł
μ´”
≥´” ≠≤”
Ω©”®‚ » ”μ ´
±
≤≠”
Ω ©”®‚ √
” Uþ ” Ω ©”®‚ Ë
” ≤
Uł ≠ ±
” U²ł
Ω ©”®‚ ?¼ ± ´ ”≤ Ω ©”®‚ œ
∞ Ω ” bMŽ ÎöB²Ä
∞ ≠ ” ¨
” Uł
” ≤
∞Ω ” ¨
Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« qF& w²Ã« WLOÁ błË√ ∑
¥±

(Intermediate Value Theorem) WODÝuÃ« rOIÃ« W¹dE½ ∑≠±
WO{U¹— hzUBš WIKGÄ …d² vKŽ WKB²*« U½«d²ÁöÃ
ÆbM³Ã« «c¼ w UNCFÐ ·dF²½ ·uÝ WLNÄ
vKŽqB²*«©”®‚Ê«d²Áô«vM×MÄ©≤∞≠±®qJAÃ«q¦1
¨©»®‚ ¨© ®‚ 5Ð lIð ±
‰ WLOIÃ« Æ› » ¨ ¤ W?IKG*« …d²HÃ«
Æ±
‰ Ω ©?ł®‚ YOŠ » ¨ 5Ð lIð ?ł Ω ” œułË kŠö½Ë”
’
?ł ± ?ł ≤ ?ł ≥ ?ł »
©»®‚
≤ ‰
± ‰
© ®‚
©≤∞≠±® qJAÃ«
t½√Ë¨ÎUC¹√©»®‚¨© ®‚5ÐlIð≤
‰Ê√kŠö½pÃcÂ
5Ð UNFOLł lIðË ≥
?ł¨≤
?ł¨±
?ł w¼ ”?Ã rOÁ ÀöŁ błu¹
≤
‰ Ω ©≥
?ł®‚ Ω ©≤
?ł®‚ Ω ©±
?ł®‚ YOŠ » ¨
» ¨ 5Ð lIð ”?Ã qÁ_« vKŽ …bŠ«Ë WLOÁ błuð ©»®‚ ¨ © ®‚ 5Ð lIð ‰ WLOÁ Í_ t½S ¨ÂUŽ tłuÐË
vKŽ …bŠ«Ë WDI½ bMŽ ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ lDI¹ Ê√ bÐô ‰ Ω ’ rOI² *« Ê√ Í√ ª‰ Ω ©”®‚ Ê≈ YO×Ð
∫WOÃU²Ã« W¹dEMÃ« vÃ≈ U½œuI¹ «c¼Ë¨¤ » ¨ › ∋ ?ł YOŠ ¨©©?ł®‚ ¨ ?ł®qÁ_«
∫WODÝuÃ« rOIÃ« W¹dE½
lI¹ ‰ q¦Ä œbŽ Í_ t½S ©»®‚ ≠ © ®‚ ¨› » ¨ ¤ WIKG*« …d²HÃ« vKŽ ÎöB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊUÂ «–≈
Æ‰ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð¨¤ » ¨ › ∋ ?ł q¦Ä qÁ_« vKŽ bŠ«Ë œbŽ błu¹ ©»® ‚ ¨© ® ‚ 5Ð
©±® ‰U¦Ä
Æ ›≥¨±¤ …d²HÃ« vKŽ ÎU dFÄ ”≥≠≥” Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« sJOÃ
≤Ω ©?ł®‚ YO×Ð ¨¤≥¨±› ∋ ?ł œbŽ œułË X³Ł« √
Æ?ł WLOÁ błË√ »
œËbŠ dO¦Â t½_ ›≥¨±¤ vKŽ qB²Ä Ê«d²Á« ”≥ ≠≥”Ω ©”®‚ √
±∏ Ω ©≥®‚ ¨ ≤≠Ω ©±®‚
¤≥¨±› ∋ ?ł błu¹ WODÝuÃ« rOIÃ« W¹dE½ V Š t½S ±∏¨≤≠ 5Ð lIð ≤ Ω ‰ Ê≈ YOŠË
Æ≤ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð
¥≤

≤ Ω ©?ł®‚ »
∞ Ω ≤ ≠ ?ł≥ ≠≥?ł ∴
∞ Ω ©± ´ ?ł≤´ ≤
?ł® ©≤ ≠ ?ł®
∞ Ω ≤
©± ´ ?ł® ©≤ ≠ ?ł®
±≠¨ ≤ Ω ?ł ∴
Æ¤≥¨±› …d²HKÃ wL²Mð ô ±≠ Ê_ ±≠ Ω ?ł i dðË ≤ Ω ?ł ∴
©≤® ‰U¦Ä
≤ >” ≥ ∞ ¨ ± ´≤”
≤ Ω ” ¨ ≤
¥ ≥” > ≤ ¨ ≤ ´”
Ω ©”®‚ sJOÃ
›¥¨∞¤ vKŽ WODÝuÃ« rOIÃ« W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ô ©”®‚ Ê√ 5Ð √
øμ Ω ©?ł®‚ YO×Ð ¤¥¨∞› ∋ ?ł błuð q¼ »
ÆœËbŠ dO¦Â t½_ ¤≤¨∞¤ vKŽ qB²Ä ©”®‚ √
ÆœËbŠ dO¦Â t½_ ›¥¨≤› vKŽ qB²Ä ©”®‚
μ Ω ©± ´ ≤”®
≠ ≤ ← ”
Ω ©”®‚
≠ ≤ ← ”
¥ Ω ©≤ ´ ”®
´ ≤ ← ”
Ω ©”®‚
´ ≤ ← ”
”
∂
μ
¥
≥
≤
±
± ≤ ≥ ¥
’
©≤±≠±® qJAÃ«
≤ ← ”
∴
≤Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ©”®‚ ∴
›¥¨∞¤ vKŽ qB²Ä dOž wÃU²ÃUÐË
›¥¨∞¤ vKŽ WODÝuÃ« rOIÃ« W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ô ©”®‚ ⇐
μ Ω ©?ł®‚ »
©±® ÆÆÆÆÆÆ ≤ >?ł ≥∞ ¨ μ Ω ± ´ ≤?ł UÄ≈ ∴
©≤® ÆÆÆÆÆÆ ¥ ≥ ?ł >≤ ¨ μ Ω ≤ ´ ?ł Ë√
≥ Ω ?ł w¼ WO½U¦Ã« WÃœUF*« oI% w²Ã« ?ł WLOÁË vÃË_« WÃœUF*« oI% ?ł?Ã WLOÁ błuð ô
Æ©≤±≠±® qJAÃ« kŠô Æ≥ w¼ WÐuKD*« ?ł WLOÁ ∴
¥≥

©≥® ‰U¦Ä
∞ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¤≤ ¨ ± › ∋ ?ł błu¹ t½√ X³ŁQ ± ≠ ” ≠ ≥” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
ÆœËbŠ dO¦Â t½_ ›≤ ¨ ± ¤ vKŽ qB²Ä Ê«d²Á« ©”®‚
μ Ω ©≤®‚ ¨±≠ Ω ©±®‚
μ¨±≠ 5Ð lIð dH Ω ‰ WLOIÃ« Ê≈ YOŠË
WODÝuÃ« rOIÃ« W¹dE½ V Š t½S
ÆdH Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¤≤ ¨ ± › ∋ ?ł błu¹
Æ©≤≤≠±® qJAÃ« dE½«
’
”
± ≤±≠
©≤≤≠±® qJAÃ«
∫u½«eKÐ W¹dE½ rÝUÐ ·dFð WODÝuÃ« rOIÃ« W¹dE½ sÄ W Uš WÃUŠ `{u¹ oÐU Ã« ‰U¦*«
∫u½«eKÐ W¹dE½
¨…—Uýù« w 5HK² Ä ©»® ‚ ¨© ® ‚ ÊUÂË ¨› » ¨ ¤ vKŽ ÎöB²Ä ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈
Æ∞ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¨¤ » ¨ › ∋ ?ł błu¹ t½S
©¥® ‰U¦Ä
∋ ”¨¥ ≠ ” ´ ¥”Ω ©”®‚ sJOÃ
ÆtÃU−Ä w Ê«d²ÁöÃ qÁ_« vKŽ bŠ«Ë dH œułË u½«eKÐ W¹dE½ Â«b ²ÝUÐ X³Ł«
Æu½«eKÐ W¹dE½ ◊Ëdý ©”®‚ Ê«d²Áô« UNO oI×¹ ›≤ ¨ ±¤ sJ²ÃË UÄ …d² »d$
∞ >≤≠ Ω ¥ ≠ ± ´ ± Ω ©±®‚
∞ <±¥ Ω ¥ ≠ ≤ ´ ±∂ Ω ©≤®‚
…—Uýù« w ÊUHK² Ä ©≤®‚ ¨ ©±®‚ ∴
ÆœËbŠ dO¦Â t½_ ›≤ ¨ ±¤ …d²HÃ« vKŽ qB²Ä ©”®‚
Æ›≤ ¨ ±¤ …d²HÃ« vKŽ u½«eKÐ W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ©”®‚ ∴
Æ¤≤ ¨ ±› …d²HÃ« w ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ qÁ_« vKŽ bŠ«Ë dH błu¹ ∴
ÆtÃU−Ä w qÁ_« vKŽ bŠ«Ë dH ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ∴
¥¥

©μ® ‰U¦Ä
≤ ≥ ” ¨ ¥≠”≥´≤”
≤ < ” ¨ ≤”≥≠≥”
Ω ©”®‚ sJOÃ
Æ›¥ ¨ ≥≠¤ …d²HÃ« vKŽ u½«eKÐ W¹dE½ ◊Ëdý oI% w Y×Ð« √
øu½«eKÐ W¹dE½ lÄ W−O²MÃ« Ác¼ ÷—UF²ð q¼ ¨∞ Ω © ?ł®‚ YO×Ð ¤¥ ¨ ≥≠› ∋ ?ł bł »
¥≠ Ω ©≤”≥ ≠ ≥”®
´ ≤ ← ”
Ω ©”®‚
´ ≤ ← ”
√
∂ Ω ©¥ ≠ ”≥ ´ ≤”®
≠ ≤ ← ”
Ω ©”®‚
≠ ≤ ← ”
≤ ← ”
∴
Æ›¥ ¨ ≥≠¤ …d²HÃ« vKŽ qB²Ä dOž uN ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ©”®‚ ∴
Æ›¥ ¨ ≥≠¤ …d²HÃ« vKŽ u½«eKÐ W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ô ©”®‚ ∴
∞ Ω ©?ł®‚ »
©±® ÆÆÆÆÆ ≤ ≥ ?ł ≥≥≠ ¨ ∞ Ω ¥ ≠ ?ł≥ ´ ≤
?ł UÄ≈ ∴
©≤® ÆÆÆÆÆ ¥ ≥ ?ł >≤ ¨ ∞ Ω ≤
?ł≥ ≠ ≥
?ł Ë√
¥≠ Ω ?ł i d½Ë ± Ω ?ł ⇐ ∞Ω ©±≠ ?ł® ©¥´ ?ł® ⇐ ∞ Ω ¥ ≠ ?ł≥ ´≤
?ł
∞ Ω ?ł i d½Ë ≥ ¨ ∞ Ω ?ł ⇐ ∞ Ω ≤
?ł≥ ≠≥
?ł
∞ Ω ©?ł®‚ ÊöF& ≥ ¨ ± UL¼ ¤¥ ¨ ≥≠› …d²HKÃ ÊUOL²Mð ?ł ?Ã ÊU²LOÁ błuð ∴
sJ1 ô t½S u½«eKÐ W¹dE½ ◊Ëdý oI×²ð rÃ «–≈ t½_ ªu½«eKÐ W¹dE½ lÄ W−O²MÃ« Ác¼ ÷—UF²ð ô
Æ ?ł œułË ÂbŽ Ë√ œułuÐ pÃ– sÄ Âe'«
nOBM²Ã« WI¹dÞ …UL *«WI¹dDÃ« vKŽ œUL²ŽôUÐ U½«d²Áô« —UH _ WO³¹dIð rOÁ œU−¹≈ w u½«eKÐ W¹dE½ Âb ² ð
∫wÃU²Ã« ‰U¦*« w W×{u*«
¥μ

©∂® ‰U¦Ä
≥ ¨ ≤ 5Ð ¥≠” ≠≤” Ω ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ qÁ_« vKŽ bŠ«Ë dH błu¹ t½√ 5Ð
ÆnOBM²Ã« WI¹dÞ Â«b ²ÝUÐ tÃ W¦ÃUŁ WO³¹dIð WLOÁ błË√ rŁ
œËbŠ dO¦Â t½_ ›≥ ¨ ≤ ¤ vKŽ qB²Ä Ê«d²Á« ¥ ≠” ≠≤” Ω ©”®‚
…—Uýù« w ÊU²HK² Ä ≤ Ω ©≥®‚ ¨ ≤≠ Ω ©≤®‚
∞ Ω ©?ł®‚ YOŠ ¤ ≥ ¨ ≤ › ∋ ?ł błu¹ u½«eKÐ W¹dE½ V Š ∴
≤[μ Ω
≤
≥ ´ ≤
Ω ±
?ł wÐU (« jÝuÃ« —U² ½ ±
?ł vÃË√ WO³¹dIð WLOÁ œU−¹ù
∫Ê«d²Áô« dHBÃ ≤
?ł WO½UŁ W³¹dIð WLOÁ œU−¹ù
dH >∞[≤μ≠ Ω ¥ ≠ ≤[μ ≠≤
©≤[μ® Ω ©≤[μ®‚ V ×½
vKŽ u½«eKÐ W¹dE½ oO³Dð sJ1 «cÃ ª©≥®‚ …—U??ý≈ sŽ nK² ð ©≤[μ®‚ …—U??ý≈ Ê√ kŠö½
Æ›≥¨≤[μ ¤ …d²HÃ«
≤[∑μ Ω
≤
≥ ´ ≤[μ
Ω ≤
?ł —U² ½Ë ¤≥¨≤[μ› ∋ Ê«d²Áô« dH ∴
∫≥
?ł W¦ÃUŁ WO³¹dIð WLOÁ œU−¹ùË
∞ <∞[∏±≤μ Ω ¥≠ ≤[∑μ≠ ≤
©≤[∑μ® Ω ©≤[∑μ®‚ V ×½
Æ …—Uýù« w ©≤[μ®‚ sŽ nK² ðË
›≤[∑μ ¨ ≤[μ¤ …d²HÃ« vKŽ u½«eKÐ W¹dE½ oI×²ð ∴
¤≤[∑μ ¨ ≤[μ› ∋ ≥
?ł Ê«d²Áô« dH ∴
≤[∂≤μ Ω
≤
≤[∑μ ´ ≤[μ
Ω ≥
?ł YÃU¦Ã« V¹dI²Ã« ÊuJ¹Ë
©∑≠±® s¹—U9
Æμ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¤ ≥¨± › ∋ ?ł błu¹ t½√ sOÐ ¨›≥¨±¤ …d²HÃ« vKŽ ÎU dFÄ ±∞´”∏≠≥”Ω©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±
ø∏ Ω ©?ł®‚ YO×Ð ¤ ≥¨≤ › ∋ ?ł błu¹ qN ¨”≠≥”Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≤
›≤¨±¤ WIKG*« …d²HÃ« vKŽ ·dF*« μ≠≥”Ω©”®‚ Ê«d²Áô« dHBÃ W¦ÃUŁ WO³¹dIð WLOÁ œU−¹ù u½«eKÐ W¹dE½ Âb ²Ý« ≥
Æ¤≤¨±› WŠu²H*« …d²HÃ« w ≤ √ Ω œbFKÃ W¦ÃUŁ WO³¹dIð WLOÁ œU−¹ù u½«eKÐ W¹dE½ Âb ²Ý« ¥
Æ©›≤¨±¤ …d²HÃ« vKŽ ÎU dFÄ ¨ ≤ ≠ ≤” Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« Âb ²Ý« ∫œUý—«®
ÆqÁ_« vKŽÎ«bŠ«Ë ÎöŠ ” Ω ” U²ł WÃœUFLKÃ Ê√ 5Ð μ
Æ¤¥¨¥≠› …d²HÃ« w WHK² Ä —Ëcł WŁöŁ ∞ Ω ± ´ ”±μ ≠≥” WÃœUFLKÃ Ê√ 5Ð ∂
ø ¤≤¨≤≠› …d²HÃ« w ± ≠ ”¥ ≠ ≥” Ω ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ÏdH błu¹ q¼ ∑
¥∂

WÄUŽ s¹—U9
∫wK¹ ULO W×O×BÃ« WÐUłù« eÄ— ‰uŠ …dz«œ l{ ±
Ω ”
≤ ≠ ¥´” √
∞ ← ”
±
¥ œ
¥
± ?ł ∞ » dH √
Ω ”
” U²ł
π ← ”
≤
∞ œ
π
± ?ł
π
±≠ » π ≠ √
Ω
∑≠”≤
¸ ”¥¸
∞≠ ← ”
≥
∞≠ œ ∞ ?ł ≤≠ » ≤ √
Ω ” bMŽ qB²Ä ›∞[∑ ´ ”¤ Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« ¥
∞[∑≠ œ ±[≥ ?ł ∞[≥ » dH √
∫w¼ ÎULz«œ ÎöB²Ä
≤ ≥ ” ¨ ≤≠ ≤”
≤ < ” ¨ ”
Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« qF& w²Ã« WLOÁ μ
±≠ œ ≤ ?ł ± » dH √
Ω ”≠≤”
π≠≤”
≥ ← ”
∂
…œułuÄ dOž œ ≥≠ ?ł ≥ » dH √
Ω ”≤≤
Uł
”≤
Uł
∞ ← ”
∑
¥ œ
¥
± ?ł ≤ »
≤
±
√
Ω
∏´”∂≠≤”
”≤≠≤”
∞ ← ”
∏
dH œ ± ?ł ±≠ » ≤≠ √
¥∑

Ω
≤´”
¸ ≤´”¸
´ ≤≠ ← ”
π
∞ œ dH ?ł ±≠ » ± √
Ω
±¥≠”μ´≤”
∂´”μ≠≤”
≤ ← ”
±∞
π
±
≠ œ
π
± ?ł ±≠ » ± √
©”®‚ Ω ’ Ê«d²Áô« vM×MÄ q¦1 qÐUI*« qJAÃ« ♦
∫±≥ vÃ« ±± sÄ WK¾Ý_« sŽ WÐUłù« w pÃ– vKŽ bL²Ž«
≥
≤
±
± ≤ ≥
’
±≠
”
Ω ©”®‚
´ ≤ ← ”
±±
≥ œ ≤ ?ł ± » dH √
Ω ©”®‚
≠ ≤ ← ”
±≤
≥ œ ≤ ?ł ± » dH √
Ω ©”®‚
≤ ← ”
±≥
…œułuÄ dOž œ ≥ ?ł ≤ » ± √
Ω
±≠≥”
±´”μ
∞≠ ← ”
±¥
∞ œ dH ?ł μ≠ » μ √
Ω
±´”¥
≤”≤≠∂
∞ ≠ ← ”
±μ
∞ ≠ œ ∞ ?ł
≤
±
≠ » dH √
∫…d²HÃ« w Î«dH ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ Ê√ bÂR*« sL ≥≠”≤´≤”≠μ” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±∂
¤±≠ ¨ ≤≠› œ ¤∞ ¨ ±≠› ?ł ¤≤ ¨ ±› » ¤± ¨ ∞› √
¥∏

Ω ©¸”¸
±
≠ ”
±
®∞ ≠ ← ”
±∑
…œułuÄ dOž œ ∞ ≠ ?ł ∞ » dH √
Ω ©≤”±∞∞ ≠ ≥”≤®
∞≠ ← ”
±∏
…œułuÄ dOž œ ∞ ≠ ?ł ∞ » dH √
Ω ”≤Uþ
”Uł
∞ ← ”
±π
…œułuÄ dOž œ
≤
±
≠ ?ł
≤
± » dH √
Ω ©≥®‚ ÊS ≤≤ Ω ©©”® ‚≤´∏®
≥ ← ”
X½UÂË ¨ÎöB²Ä ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≤∞
dH œ ± ?ł ∑ » ±¥ √
∫WOÃU²Ã« U¹UNMÃ« sÄ ÌqÂ WLOÁ błË√ ≤
∑ ≠ ”
≤ ≠ ±´” ≥
√
∑ ← ”
?ł
π ≠ ”
π
±
≠ ”
±
π ← ”
»
¥´” √
± ≠ ”
± ← ”
√
”μ Uþ ”≥ Uł
”¥ Uł ”≤
∞ ← ”
Ë ”≤ U²Á ”
∞ ← ”
?¼ ”≤
©” Uł® Uþ
∞ ← ”
œ
± ≠ ≥”
± ´ ≤”μ
∞ ← ”
◊
± ≠ ”μ
≤”≤ ≠ ∂
∞≠ ← ”
Õ
μ ≠ ≤”≤
≤”≤
∞ ← ”
“
∫błËQ ¨ ∂ Ω ©”®?¼
≤ ← ”
¨¥ Ω ©”®‚
≤ ← ”
X½UÂ «–≈ ≥
©∏ ≠ ≤” ´ ©±´”®‚® ± ← ”
»
©”®?¼
≤” ´ ©”®‚
≤ ← ”
√
≥ ≥” ¨ ± ´ ”≤
μ >” >≥ ¨ » ´ ”
μ ≤” ¨ ≤ ´ ≤”
Ω ©”®‚ sJOÃ ¥
ÆWOIOI(« ” rOÁ qJÃ ÎöB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« qF& w²Ã« »¨ rOÁ błË√
¥π

±∞ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ∋ ?ł błu¹ t½√ X³Ł√ Æ”´≤”≠≥” Ω ©”®‚ sJOÃ μ
” Ω ©”®?¼ ¨ ± ≠ ”μ Ω ©”®‚ sJOÃ ∂
©?ł®?¼ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¤± ¨ ∞› ∋ ?ł błu¹ t½√ X³Ł√
∞ ≠” ¨ ”≥
”≤ Uþ
∞ Ω ” ¨ ?ł
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ∑
∞ Ω ” bMŽ ÎöB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« qF& w²Ã« ?ł WLOÁ błË√
błË√rŁª∑Ω©?ł®‚Ê≈YO×Ð¤≤¨±›∋ ?łbłu¹t½√X³ŁQ ¨›≤¨±¤∋”¨”´≥”Ω©”®‚ÊUÂ«–≈ ∏
Æ?ł œbFKÃ WO½UŁ WO³¹dIð WLOÁ
∞ Ω ” bMŽ ›”¤ ≤” Ω ©”®Â Ê«d²Áô« ‰UBð« w Y×Ð« π
¨ ¥ Ω ©μ®‚ ¨ ±≠ Ω ©¥®‚ ¨ ≤ Ω ©≥®‚ ¨ ±≠ Ω ©∞®‚ ÊUÂË ›μ¨∞¤ …d²HÃ« vKŽ ÎöB²Ä ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±∞
ø¤μ¨∞› …d²HÃ« w U¼œułuÐ Âe'« pMJ1 w²Ã« ©”®‚ Ê«d²Áô« —UH √ sÄ œbŽ qÁ√ u¼ UL
t½√ X³ŁQ ¨›±¨∞¤ ∋ ” ∀ ¨ ± > ©”®‚ > ∞ ÊUÂË ›±¨∞¤ …d²HÃ« vKŽ ÎöB²Ä ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±±
Æ?ł Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¤±¨∞› ∋ ?ł błu¹
Æ© ›±¨∞¤ …d²HÃ« vKŽ ” ≠ ©”®‚ Ω ©”®?¼ Ê«d²Áô« ·ÒdŽ ∫œUý—« ®
μ∞

μ±
q????{UH²Ã« »U???? Š ≤
…b???????Šu???????Ã«
±
” ”

μ≤
∫bON9
pÃ–Ë¨w½U*_«eM³¹ôË¨ÍeOK$ô«sðuO½5*UFÃ«sÄ ÌqÂb¹vKŽdAŽlÐU Ã«ÊdIÃ«w q{UH²Ã«rKŽ√bÐ
WO½U¦Ã«Ë¨tOKŽWDI½bMŽvM×MÄÍ_”UL*UÐoKF²ðËWOÝbM¼vÃË_«∫5²OÝUÝ√5²ÃQ ÄqŠULN²ÃËU×ÄbMŽ
vÃ≈ 5²ÃQ *« qŠ UNOKŽ ÂuI¹ w²Ã« WÂd²A*« …dJHÃ« œ√ bÁË Æ„d×²Ä r ' WOE×KÃ« WŽd ÃUÐ oKF²ðË WOzU¹eO
ÂuKFÃ« lOLł w dB% œUJðô UIO³Dð UNÃ błË w²Ã« vÃË_« WI²A*« u¼Ë ô√ ¨rŽ√Ë qLý√ w{U¹— ÂuNHÄ
ÂeK¹ WI²A*« ÂuNHÄ .bI²ÃË ÆtÃ …eO2 WH dOG²Ã« ÊuJ¹ ‰U−Ä qÂ w Ë ¨W¹œUB²Áô«Ë ¨WOzU¹eOHÃ«Ë ¨WOÝbMNÃ«
ÆdOG²Ã« jÝu²Ä ÂuNHÄ vKŽ ÎôË√ ·dF²Ã«
(Average Rate of Change) d??OG²Ã« j??Ýu²Ä ±≠≤
ªlÐU²Ã« dOG²*« ©’® dšü« vL ¹Ë ¨qI² *« dOG²*« ©”® UL¼bŠ√ vL ¹ ’ ¨” s¹dOG²Ä 5Ð WÁöŽ Ê«d²Áô«
Æ’ dOG²LKÃ jI …bŠ«Ë WLOÁ ” dOG²*« rOÁ sÄ WLOÁ qJÃ 5F²ð YO×Ð
¨≤
” vÃ«±
” sÄ ” tO dOGðË ¨ÎU½«d²Á« ©”®‚ Ω ’ ÊUÂ «–≈
Æ©≤
”®‚ Ω≤
’ vÃ« ©±
”®‚ Ω±
’ sÄ dOG²ð ’ WLOÁ ÊS
©” U²Ãœ ∫√dIÔ¹Ë® ”Δ eÄdÃUÐ ≤
” vÃ≈ ±
” sÄ ” w dOG²KÃ eÄd¹
±
” ≠≤
” Ω ”Δ ∫Ê√ Í√
∫Ê√ Í√ ©’ U²Ãœ ∫√dIÔ¹Ë® ’Δ eÄdÃUÐ ’ w dOG²KÃ eÄd¹ t½S q¦*UÐË
©±
”®‚≠©≤
”®‚ Ω±
’ ≠≤
’ Ω ©”®‚ Δ Ω ’Δ
Æ©±≠≤® qJAÃ« kŠô
’
”
±
” ≤
”
©≤
’ ¨ ≤
”®
©±
’ ¨ ±
”®
”Δ
’Δ
©”®‚ Ω ’
©±≠≤® qJAÃ«
©±® ‰U¦Ä
∫” dOG²ð UÄbMŽ ©”®‚ Ω ’ w dOG²Ã« błËQ ¨μ≠”≥´ ≤” Ω ©”®‚ Ω ’ ÊUÂ «–≈
¥Ω≤
” vÃ≈ ± Ω±
” sÄ √
μ≠Ω≤
” vÃ≈ ≥ Ω±
” sÄ »
≥≠ Ω ”Δ YO×Ð ≤
” vÃ≈ ≤ Ω±
” sÄ ?ł
©±®‚ ≠ ©¥®‚ Ω’Δ √

μ≥
≤¥ Ω ©±≠® ≠≤≥ Ω
©≥®‚ ≠ ©μ≠®‚ Ω’Δ »
∏≠ Ω ±≥≠μ Ω
”Δ ´ ±
” Ω ≤
” ?ł
±≠ Ω ≥≠ ´ ≤ Ω
©±
”®‚ ≠ ©≤
”®‚ Ω’Δ ⇐
©≤®‚≠©±≠®‚ Ω
±≤≠ Ωμ ≠∑≠ Ω
dOG²Ã« jÝu²Ä ∫n¹dFð
W³ MÃUÐÊ«d²Áô«dOGðjÝu²ÄÊS ¨”Δ´±
”Ω≤
”vÃ≈±
”sÄ” dOGðË¨ÎU½«d²Á«©”®‚Ω’ÊUÂ«–≈
ÆÎ«dH ÍËU ¹ ô ” w dOG²Ã« Ê√ ◊dAÐ ¨” w dOG²Ã« vÃ≈ ’ w dOG²Ã« 5Ð W³ MÃ« t½QÐ ·dF¹ ” ?Ã
∞ ≠ ”Δ ¨
©±
”®‚ ≠ ©”Δ´±
”®‚
”Δ
Ω ”Δ
’Δ
Ω dOG²Ã« jÝu²Ä Ê√ Í√
jÝu²Ä ÊS ©≤≠≤® qJAÃ« w 5³*« Ê«d²Áô« u¼ ©”®‚ Ω ’ ÊUÂ «–S
UNK¦1Ë ¨ ”Δ
’Δ
W³ MÃ« u¼ ≤
” ¨±
” 5Ð ” ?Ã W³ MÃUÐ ©”®‚ w dOG²Ã«
∫5²DIMÃ« w Ê«d²Áô« vM×M* lÞUIÃ« » rOI² *« qOÄ
©©≤
”®‚ ¨≤
”®» ¨©©±
”®‚¨±
”®
Æ©≤≠≤® qJAÃ« dE½«
’
”
±
” ≤
”
»
”Δ
’Δ
?ł
?¼
?¼
©©±
”®‚ ¨±
”®
©©≤
”®‚ ¨≤
”®
©≤≠≤® qJAÃ«
©≤® ‰U¦Ä
” ?Ã W³ MÃUÐ ©”®‚ w dOG²Ã« jÝu²Ä błËQ ¨μ≠”´≤”Ω©”®‚ ÊUÂ «–≈
Æ¥ vÃ≈ ± sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ
©±®‚≠©¥®‚
±≠¥
Ω dOG²Ã« jÝu²Ä
∂ Ω
©≥≠®≠±μ
≥
Ω

μ¥
©≥® ‰U¦Ä
≤ ≥ ” ¨ ¥´”≥
≤ <” ¨ ”≥´≤”
Ω ©”®‚ sJOÃ
∫WOÃU²Ã« ôU(« w ©”®‚ dOGð jÝu²Ä błË√ √
Æμ vÃ≈ ≤ sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ ±
±≠ vÃ≈ ≤ sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ ≤
?¼ ´ ≤ vÃ≈ ≤ sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ ≥
Æ≤ ¨± 5L IÃ« w pÐ«uł W× sÄ bÂQ²KÃ ©≥® r Á w UNOÃ≈ XK uð w²Ã« …bŽUIÃ« Âb ²Ý« »
≤ ≠ μ
©≤®‚ ≠ ©μ®‚
Ω dOG²Ã« jÝu²Ä ± √
±∞Ω ©¥´∂® ≠ ©±μ´≤μ®
≥
Ω
©≤®‚ ≠ ©±≠®‚
≤≠±≠
Ω dOG²Ã« jÝu²Ä ≤
≥ Ω
©¥´∂®≠©¥´≥≠®
≥≠
Ω
±∞ ≠ ©?¼´≤®‚
?¼
Ω
©≤®‚ ≠ ©?¼´≤®‚
≤≠?¼´≤
Ω dOG²Ã« jÝu²Ä ≥
∫5²ÃUŠ d³²F½
∫ ∞ <?¼ UÄbMŽ √
±∞≠ ?¼≥´∂´≤
?¼ ´ ?¼¥´¥
?¼
Ω
±∞≠ ©?¼´≤®≥´≤
©?¼´≤®
?¼
∞ ≠ ?¼ ¨ ?¼ ´∑ Ω
?¼
©?¼´∑®?¼
Ω
?¼
≤
?¼´?¼∑
Ω
∫ ∞ >?¼ UÄbMŽ »
?¼
©±∞® ≠¥ ´ ©?¼´≤®≥
∞ ≠ ?¼ ¨ ≥ Ω ?¼
?¼≥
Ω
∞ <?¼ ¨ ?¼ ´ ∑
∞ > ?¼ ¨ ≥
Ω ”Δ
’Δ
dOG²Ã« jÝu²Ä ∴

μμ
±∞ Ω ≥ ´ ∑ Ω dOG²Ã« jÝu²Ä ÊuJ¹ pÃcÃË ª∞ <≥Ω ?¼ ÊuJð μ vÃ≈ ≤ sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ »
Æ≥ Ω dOG²Ã« jÝu²Ä ÊuJ¹ pÃcÃ ª ∞ > ≥≠ Ω ?¼ ÊuJð ±≠ vÃ≈ ≤ sÄ ” dOG²ð UÄbMŽË
Æ≤ ¨± 5L IÃ« w 5²ÐUłù« lÄ ÊU²−O²MÃ« oÐUD²ð Ê–≈
©¥® ‰U¦Ä
©”®‚ Ω ’ Ê«d²Áô« vM×MÄ ©≥≠≤® qJAÃ« q¦1
∫©”®‚ w dOG²Ã« jÝu²Ä bł
» Ω ” ¨ Ω ” 5Ð √
œ Ω ” ¨ ?ł Ω ” 5Ð »
’
”
»
?ł
Ÿ
œ
‰
º
±μ∞
©≥≠≤® qJAÃ«
» Ω ” ¨ Ω ” 5Ð dOG²Ã« jÝu²Ä √
≥
±≠
Ω Ú ±μ∞Uþ Ω Ÿ ‰ lÞUIÃ« qOÄ Ω
ÆdH Ω UMO Ã« —u×Ä qOÄ Ω œ ?ł lÞUIÃ« qOÄ ÍËU ð œ Ω ” ¨ ?ł Ω ” 5Ð dOG²Ã« jÝu²Ä »
©μ® ‰U¦Ä
vDF¹ j)« vKŽ t²ÐUŁ WDI½ sŽ —U²Ä_UÐ · ÁbFÐ Ê≈ YO×Ð rOI² Ä jš vKŽ r ł „d×²¹
w sÄeKÃ W³ MÃUÐ · w dOG²Ã« jÝu²Ä bł Æw½«u¦ÃUÐ Ê ¨Êμ´≤
Ê Ω ©Ê®‚ Ω · …bŽUIÃUÐ
Æ› ≥ ¨ ± ¤ WOMÄeÃ« …d²HÃ«
ÊΔ
·Δ
Ω Ê ?Ã W³ MÃUÐ · w dOG²Ã« jÝu²Ä
±≠≥
©±®‚ ≠ ©≥®‚
Ω
ÀØÂ π Ω
≤
±∏
Ω
≤
©μ´±®≠©±μ´π®
Ω
Ær −KÃ WDÝu²*« WŽd Ã«
ÊΔ
·Δ
dOG²Ã« jÝu²Ä vL ¹ ∫WEŠöÄ

μ∂
©±≠≤® s¹—U9
∫©”®‚ Ê«d²Áô« w dOG²Ã« WLOÁ błËQ μ´” ≠≤” Ω©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±
Æ≥ vÃ≈ ± sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ √
Æ?¼´± vÃ≈ ± sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ »
Æ©√® ŸdHÃ« w pÐ«uł W× sÄ bÂQ²KÃ ©»® ŸdHÃ« w UNOÃ≈ XK uð w²Ã« …bŽUIÃ« Âb ²Ý« ?ł
Æπ ≥ Ω ≤
” ¨
≤
π Ω ±
” 5Ð ©”®?¼ w dOG²Ã« jÝu²Ä błËQ ¨”U²ł ≥≠”Uł Ω ©”®?¼ ÊUÂ «–≈ ≤
±≠ ≥” ¨ μ´”≥
±≠ <” ¨ ¥´”≥´≤”
Ω©”®‚ Ê«d²Áô« w dOG²Ã« jÝu²Ä bł ≥
Æ≤ Ω ” ¨±≠ Ω ” 5Ð ©”®‚ w dOG²Ã« jÝu²Ä œU−¹ù "UMÃ« Âb ²Ý« rŁ¨”Δ´±≠ Ω ” ¨±≠ Ω ” 5Ð
ø» WLOÁ UL ¨
≥
± ÎU¹ËU Ä » Ω ” ¨≤ Ω ” 5Ð ±´”¥ Ω ©”®‚ w dOG²Ã« jÝu²Ä ÊUÂ «–≈ ¥
dOG²Ã« jÝu²Ä błËQ ¨μ ÎU¹ËU Ä π Ω≤
” vÃ≈ ±Ω±
” sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ ©”®‚ w dOG²Ã« jÝu²Ä ÊUÂ «–≈ μ
Æ≤ Ω ” ¨ ≤≠ Ω ” 5Ð ©μ´”≤®‚≤” Ω ©”®‰ Ê«d²Áô« w
sÄeÃ« Ê ¨—U²Ä_UÐ UNFDI¹ w²Ã« W U *« · YOŠ¨Ê≤´≥
Ê Ω · WÁöFÃ« o Ë rOI² Ä jš vKŽ r ł „d×²¹ ∂
Æ› μ ¨ ≤ ¤ WOMÄeÃ« …d²HÃ« w r '« «cNÃ WDÝu²*« WŽd Ã« bł Æw½«u¦ÃUÐ
±
” sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ WÃUŠ qÂ w q¦L*« Ê«d²Áô« dOGð jÝu²Ä błË√ ¨WOÃU²Ã« WO½UO³Ã« ‰UJýô« vKŽ œUL²ŽôUÐ ∑
Æ≤
” vÃ≈
©”®‰
”
±
≤
Ω±
” ≤
±
≤
Ω≤
”
©”®‰ Ω ’
μ
¥
≥
≤
±
’
”
≤Ω±
” ¥Ω≤
”
º
≥∞
©”®?¼ Ω ’
≥
≤
±
’
”
±Ω±
” ≥Ω≤
”
©”®‚ Ω ’
≥
≤
±
©?ł® ©»® ©√®
›≤
”¨±
”¤ …d²HÃ« w ©”®‰ Ê«d²Áô« w dOG²Ã« jÝu²Ä Ê√ X³ŁU ¨©”®?¼ ´ ©”®‚ Ω ©”®‰ ÊUÂ «–≈ ∏
ÆUNð«– …d²HÃ« w ©”®?¼ Ê«d²Áô« w dOG²Ã« jÝu²Ä ´ ©”®‚ Ê«d²Áô« w dOG²Ã« jÝu²Ä ÍËU ¹

μ∑
First Derivative vÃË_« WI²A*« ≤≠≤
∫t½QÐ ¨”Δ´±
” vÃ≈ ±
” sÄ ” dOG²ð UÄbMŽ ¨©”®‚ Ω ’ Ê«d²Áô« w dOG²Ã« jÝu²Ä UM ]dŽ Ê√ o³Ý
∞ ≠ ”Δ ¨ ”Δ
©±
”®‚ ≠ ©”Δ´±
”®‚
Ω ”Δ
’Δ
«c¼ ÊS ¨dHBÃ« sÄ »d²Ið ”Δ UMKFłË ¨W²ÐUŁ ±
” XOIÐ «–S ”Δ ¨±
” vKŽ t²LOÁ nÁu²ð —«bIÄ «c¼Ë
Æ±
” Ω ” bMŽ Ê«d²ÁöÃ vÃË_« WI²A*« Ë√ Ê«d²Áô« dOGð ‰bFÄ vL ð WMOFÄ W¹UN½ tÃ ÊuJð bÁ —«bI*«
∫n¹dFð
eÄdÃUÐ tÃ eÄd½Ë ¨tÃU−Ä w ±
” Ω ” bMŽ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ vÃË_« WI²A*« Ë√ Ê«d²Áô« dOGð ‰bFÄ ·dF¹
∫t½QÐ ¨©±
”®Ó‚
ÆW¹UNMÃ« œułË ◊dAÐ ¨
?¼
©±
”®‚ ≠ ©?¼´±
”®‚
∞ ← ?¼
Ω ©±
”®Ó‚
∫UC¹√ wÃU²Ã« u×MÃ« vKŽ vÃË_« WI²A*« Ë√ Ê«d²Áô« dOGð ‰bFÄ WÐU²Â sJ1Ë
±
” ≠ ”
©±
”®‚ ≠ ©”®‚
±
” ← ”
Ω ©±
”®Ó‚
»«d²ÁUÐt½√ ©¥≠≤®qJAÃ«sÄkŠö½WOÝbMNÃ«WOŠUMÃ«sÄË
dOG²Ã« ‰bFÄ vÃ≈ ©lÞUIÃ« qOÄ® dOG²Ã« jÝu²Ä ‰ËR¹ ±
” sÄ ”
Æ±
” bMŽ ©”UL*« qOÄ®
”
±
” ”
lÞUÁ
’
”U2
©¥≠≤® qJAÃ«

μ∏
©±® ‰U¦Ä
Æ©μ®Ó‚ n¹dF²Ã« Â«b ²ÝUÐ błËQ ≤≠”≥´≤”Ω©”®‚ ÊUÂ «–≈
?¼
©μ®‚ ≠ ©?¼´μ®‚
∞ ← ?¼
Ω ©μ®Ó‚
?¼
©≤≠±μ´≤μ®≠©≤≠©?¼´μ®≥´≤
©?¼´μ®®
∞ ← ?¼
Ω
?¼
≥∏≠≤≠?¼≥´±μ´≤
?¼´?¼±∞´≤μ
∞ ← ?¼
Ω
±≥ Ω
?¼
©?¼´±≥®?¼
∞ ← ?¼
Ω
?¼
≤
?¼´?¼±≥
∞ ← ?¼
Ω
©≤® ‰U¦Ä
Æ©∂®Ó‚ n¹dF²Ã« Â«b ²ÝUÐ błËQ ≥≠”≤ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
∂ ≠ ”
©∂®‚ ≠ ©”®‚
∂ ← ”
Ω ©∂®Ó‚
∂ ≠ ”
≥ ≠ ≥≠”≤
∂ ← ”
Ω
ÂUI*«Ë j ³Ã« sÄ ÌqÂ »dCÐ®
≥ ´ ≥≠”≤
≥ ´ ≥≠”≤
×
∂ ≠ ”
≥ ≠ ≥≠”≤
∂ ← ”
Ω
©j ³Ã« o «dÄ w
©≥ ´ ≥≠”≤ ® ©∂≠”®
π≠ ≥ ≠ ”≤
∂ ← ”
Ω
©≥ ´ ≥≠”≤ ® ©∂≠”®
©∂ ≠ ”®≤
∂ ← ”
Ω
≥
±
Ω
∂
≤
Ω
≥ ´ ≥≠”≤
≤
∂ ← ”
Ω

μπ
∫WEŠöÄ
bŠQÐ ÎUC¹√ UNÃ eÄd¹ ¨© ® Ó‚ Í√ ¨ Ω ” bMŽ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ vÃË_« WI²A*« ÊS ©”®‚ Ω ’ ÊUÂ «–≈
∫WOÃU²Ã« “uÄdÃ«
Ω ” bMŽ Ó’ ¨ ” œ
’ œ
Ω ”
¸ ¨
Ω ”
¸ ©©”® ‚®” œ
œ
©≥® ‰U¦Ä
Æ ” œ
’ œ
¥ Ω ”
¸ n¹dF²Ã« Â«b ²ÝUÐ błËQ ¨
±≠”≥
≥´”≤
Ω ©”®‚ Ω’ X½UÂ «–≈
¥ ≠ ”
©¥®‚ ≠ ©”®‚
¥ ← ”
Ω ” œ
’ œ
¥ Ω ”
¸
¥ ≠ ”
± ≠
± ≠ ”≥
≥ ´ ”≤
¥ ← ”
Ω
¥ ≠ ”
© ± ≠ ”≥
±´”≥≠≥´”≤
®
¥ ← ”
Ω
±±
±
≠ Ω
¥ ≠ ”
±
×
± ≠ ”≥
©¥ ≠ ”®≠
¥ ← ”
Ω
∫—U OÃ« sÄË 5LOÃ« sÄ WI²A*«
©”®‚Ω’Ê«d²ÁöÃ©vMLOÃ«WI²A*«®5LOÃ«sÄWI²A*«·=dF½¨—U OÃ«sÄW¹UNMÃ«Ë5LOÃ«sÄW¹UNMÃ«UM ]dŽULK¦Ä
∫UN½QÐ ´
© ®Ó‚ eÄdÃUÐ UNÃ eÄd¹Ë ¨tÃU−Ä w WFÁ«uÃ« Ω ” bMŽ
≠ ”
© ®‚ ≠ ©”®‚
´ ← ”
Ω ´
© ®Ó‚ W¾ UJÄ …—uBÐ Ë√
?¼
© ®‚ ≠ ©?¼´ ®‚
´∞ ← ?¼
Ω ´
© ®Ó‚
eÄdÃUÐ UNÃ eÄd¹Ë ¨tÃU−Ä w Ω ” bMŽ ©”®‚ Ω ’ Ê«d²ÁöÃ ©Èd OÃ« WI²A*«® —U OÃ« sÄ WI²A*« ·dFð q¦*UÐË
≠ ”
© ®‚ ≠ ©”®‚
≠ ← ”
Ω ≠
© ®Ó‚ W¾ UJÄ …—uBÐ Ë√
?¼
© ®‚ ≠ ©?¼´ ®‚
≠∞ ← ?¼
Ω ≠
© ®Ó‚ ∫UN½QÐ ≠
© ®Ó‚
Æ≠
© ®Ó‚ Ω ´
© ®Ó‚ X½UÂ «–≈ jI Ë «–≈ Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊuJ¹Ë
Æ» ¨ sO dDÃ« bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ÊuJ¹ ö ›» ¨ ¤ WIKG*« …d²HÃ« vKŽ ·dF*« ©”®‚ Ê«d²Áô« UÒÄ√

∂∞
©¥® ‰U¦Ä
± ≥” ¨ ”μ ´ ≤”
± <” ¨ ≤ ´ ”¥
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
©±®Ó‚ » ©≤®Ó‚ √ ∫n¹dF²Ã« Â«b ²ÝUÐ błËQ
¨≤ œbFÃ« —«uł w ” rOÁ lOL' ≤ ´ ”¥ Ω ©”®‚ Ê√ U0 √
≤ ≠ ”
©≤®‚ ≠ ©”®‚
≤ ← ”
Ω©≤®Ó‚ ∴
≤ ≠ ”
©≤ ´ ∏® ≠ ©≤ ´ ”¥®
≤ ← ”
Ω
≤ ≠ ”
∏ ≠ ”¥
≤ ← ”
Ω
¥
≤ ← ”
Ω
≤ ≠ ”
©≤ ≠ ”®¥
≤ ← ”
Ω
¥ Ω
± ≠ ”
©±®‚ ≠ ©”®‚
± ← ”
Ω ©±®Ó‚ »
± Ω ” —«uł w dOG²ð ©”®‚ Ê«d²Áô« …bŽUÁ Ê√ U0
± Ω ” bMŽ Èd OÃ«Ë vMLOÃ« WI²A*« »U Š vÃ≈ Q−K½ UM½S
± ≠ ”
∂ ≠ ”μ ´ ≤”
≠ ± ← ”
Ω
± ≠ ”
©±®‚ ≠ ©”®‚
≠ ± ← ”
Ω ≠
©±®Ó‚ ∫ÎôË√
∑ Ω
± ≠ ”
©∂ ´ ”® ©± ≠ ”®
≠ ± ← ”
Ω
± ≠ ”
©±®‚ ≠ ©”®‚
´ ± ← ”
Ω ´
©±®Ó‚ ∫ÎUO½UŁ
± ≠ ”
¥ ≠ ”¥
´ ± ← ”
Ω
± ≠ ”
©μ ´ ±® ≠ ©≤ ´ ”¥®
´ ± ← ”
Ω
¥ Ω
± ≠ ”
©± ≠ ”®¥
´ ± ← ”
Ω
Ê«d²Áô« Ê≈ WÃU(« Ác¼ q¦Ä w ‰uI½Æ …œułuÄ dOž ©±®Ó‚ Ê–≈ ´
©±®Ó‚ ≠ ≠
©±®Ó‚ Ê√ U0Ë
Æ± Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ dOž ©”®‚

∂±
∫©vÃË_« WI²A*« Ê«d²Á«® o²A*« Ê«d²Áô«
Y×³MÝwK¹ULO ËÆtÃU−Äw Ω”…œb×ÄWDI½bMŽ©”®‚Ê«d²Áô«WI²AÄœU−¹«WOHOÂWIÐU Ã«WK¦Ä_«w UMÝ—œ
Æ©”®Ó‚ o²A*« Ê«d²Áô« vL ¹ dš¬ Ê«d²Á« vKŽ qB×MÃ ¨tÃU−Ä w ” WDI½ qÂ bMŽ ©”®‚ Ê«d²Áô« WI²AÄ w
∫n¹dFð
∫t½QÐ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ©”®Ó‚ o²A*« Ê«d²Áô« ·dF¹
?¼
©”®‚ ≠ ©?¼´”®‚
∞ ← ?¼
Ω ©”®Ó‚
ÆW¹UNMÃ« œułË ◊dAÐ ¨ ” ≠ Ÿ
©”®‚ ≠ ©Ÿ®‚
” ← Ÿ
Ω ©”®Ó‚ ∫Ë√
Æ©”®‚ ‰U−Ä sÄ WOzeł WŽuL−Ä ÎULz«œ ÊuJ¹ ©”®Ó‚ ‰U−Ä Ê√ n¹dF²Ã« sÄ kŠö¹
©μ® ‰U¦Ä
Æ©”®Ó‚ błËQ ¨ μ ≠ ”≥ ´≤” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
” ≠ Ÿ
©”®‚ ≠ ©Ÿ®‚
” ← Ÿ
Ω ©”®Ó‚
” ≠ Ÿ
©μ ≠ ”≥ ´ ≤”® ≠ ©μ ≠ Ÿ ≥ ´ ≤Ÿ®
” ← Ÿ
Ω
” ≠ Ÿ
©”≥ ≠ Ÿ ≥ ® ´ ©≤” ≠ ≤Ÿ®
” ← Ÿ
Ω
” ≠ Ÿ
©” ≠ Ÿ ®≥ ´ ©” ´ Ÿ® ©” ≠ Ÿ®
” ← Ÿ
Ω
” ≠ Ÿ
©≥ ´ ” ´ Ÿ ® ©” ≠ Ÿ®
” ← Ÿ
Ω
©≥ ´ ” ´ Ÿ®
” ← Ÿ
Ω
≥ ´ ”≤ Ω ≥ ´ ” ´ ” Ω
≥ ´ ”≤ Ω ©”®Ó‚ Ê√ Í√

∂≤
©∂® ‰U¦Ä
ÆtÃU−Ä 5ŽË ©”®Ó‚ błËQ ¨ ∞ ≤” ¨ ” √ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
” ≠ Ÿ
©”®‚ ≠ ©Ÿ®‚
” ← Ÿ
Ω ©”®Ó‚
” ≠ Ÿ
” √ ≠ Ÿ √
” ← Ÿ
Ω
” √ ´ Ÿ √
” √ ´ Ÿ √
× © ” ≠ Ÿ
” √ ≠ Ÿ √
® ” ← Ÿ
Ω
©” √ ´ Ÿ √®©” ≠ Ÿ ®
©” ≠ Ÿ ®
” ← Ÿ
Ω
” √ ≤
±
Ω
” √ ´ Ÿ √
±
” ← Ÿ
Ω
” √ ≤
±
Ω ©”®Ó‚ ∴
ÆW³łu*« WOIOI(« œ«bŽ_« lOLł u¼ ©”®Ó‚ ‰U−Ä
©∑® ‰U¦Ä
Æ©”®Ó‚ błË√ ¨
± >” ≥±≠ ¨ ≤”
≥ ≥” ≥± ¨ ≤ ≠ ”≥
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
∫ ¤±¨±≠› WŠu²H*« …d²HÃ« vKŽ ‚UI²ýô« ∫ÎôË√
∫ÊuJ¹ ¨ ¤±¨±≠› ∋ ” ∀
” ≠ Ÿ
≤” ≠ ≤Ÿ
” ← Ÿ
Ω ” ≠ Ÿ
©”®‚ ≠ ©Ÿ®‚
” ← Ÿ
Ω ©”®Ó‚
”≤ Ω ©” ´ Ÿ ®
” ← Ÿ
Ω ” ≠ Ÿ
©” ´ Ÿ® ©” ≠ Ÿ®
” ← Ÿ
Ω

∂≥
∫ ¤ ≥¨±› WŠu²H*« …d²HÃ« vKŽ ‚UI²ýô« ∫ÎUO½UŁ
∫ÊuJ¹ ¨ ¤ ≥¨±› ∋ ” ∀
” ≠ Ÿ
©”®‚ ≠ ©Ÿ®‚
” ← Ÿ
Ω ©”®Ó‚
” ≠ Ÿ
”≥ ≠ Ÿ ≥
” ← Ÿ
Ω ” ≠ Ÿ
©≤≠”≥® ≠ ©≤ ≠ Ÿ ≥®
” ← Ÿ
Ω
≥ Ω ” ≠ Ÿ
©” ≠ Ÿ ®≥
” ← Ÿ
Ω
± Ω ” YOŠ Ê«d²Áô« n¹dFð dOGð WDI½ bMŽ ‚UI²ýô« ∫ÎU¦ÃUŁ
± ≠ ”
©±®‚ ≠ ©”®‚
´ ± ← ”
Ω
´
©±®Ó‚
± ≠ ”
©≤ ≠ ± × ≥® ≠ ©≤ ≠ ”≥®
´ ± ← ”
Ω
≥ Ω ≥
´ ± ← ”
Ω
± ≠ ”
≥ ≠ ”≥
´ ± ← ”
Ω
± ≠ ”
©±®‚ ≠ ©”®‚
≠ ± ← ”
Ω
≠
©±®Ó‚
± ≠ ”
©≤ ≠ ± × ≥® ≠ ≤”
≠ ± ← ”
Ω
≤ Ω ©± ´ ”®
´ ± ← ”
Ω
± ≠ ”
± ≠ ≤”
´ ± ← ”
Ω
≠
©±®Ó‚ ≠
´
©±®Ó‚ Ê√ U0Ë
Æ…œułuÄ dOž ©±®Ó‚ ∴
ÊU²O dÞ ÊU²DI½ UL¼ ≥ Ω ” ¨ ±≠ Ω ” Ê_ ª…œułuÄ dOž ©≥®Ó‚ pÃcÂË ¨…œułuÄ dOž ©±≠®Ó‚ ∫ÎUFÐ«—
± >” >±≠ ¨ ”≤
≥ >” >± ¨ ≥
≥¨±¨±≠ Ω ” ¨ …œułuÄ dOž
Ω ©”®Ó‚ ∴

∂¥
©∏® ‰U¦Ä
?¼≥
©≥®‚ ≠ ©?¼μ´≥®‚
∞ ← ?¼
błËQ ¨ ±≤ Ω ©≥®Ó‚ X½UÂ «–«
∞ ← Ë ÊS ∞ ← ?¼ UÄbMŽË ¨
μ
Ë
Ω ?¼ ÊuJ² Ë Ω ?¼ μ Ê√ ÷dH½
μ
Ë
× ≥
©≥®‚ ≠ ©Ë´≥®‚
∞ ← Ë
Ω
?¼≥
©≥®‚ ≠ ©?¼μ´≥®‚
∞ ← ?¼
∴
Ë
©≥®‚ ≠ ©Ë´≥®‚
∞ ← Ë ≥
μ
Ω
≤∞ Ω ±≤ ×
≥
μ
Ω ©≥®Ó‚ ×
≥
μ
Ω
©π® ‰U¦Ä
¥ ≠ ”
©±≤®‚ ≠ ©”≥®‚
¥ ← ”
błËQ μ Ω ©±≤®Ó‚ ¨∑ Ω ©¥®Ó‚ Ê√ XLKŽ «–≈
±≤ ← Ÿ ÊS ¥ ← ” UÄbMŽË ¨
≥
Ÿ
Ω ” ÊuJ² Ÿ Ω ”≥ Ê√ ÷dH½
¥ ≠
≥
Ÿ
©±≤®‚ ≠ ©Ÿ®‚
±≤ ← Ÿ
Ω
¥ ≠ ”
©±≤®‚ ≠ ©”≥®‚
¥ ← ”
∴
±≤ ≠ Ÿ
©±≤®‚ ≠ ©Ÿ®‚
±≤ ← Ÿ
× ≥ Ω
©±≤®Ó‚ × ≥ Ω
±μ Ω μ × ≥ Ω

∂μ
©≤≠≤® s¹—U9
∫ WÁöFÃUÐ …UDFÄ ”Δ´≤ vÃ≈ ≤sÄ ” dOGð sŽ W&UMÃ« ’Δ X½UÂË ©”®‚ Ω ’ X½UÂ «–≈ ±
Æ≤ Ω ” bMŽ
’œ
”œ błËQ ≤
©”Δ®≤ ´ ”Δ∂ Ω’Δ
∫UNMÄ qÂ ¡«“≈ …—uÂc*« WDIMÃ« bMŽ © błË Ê≈® WOðü« U½«d²Áô« sÄ qÂ WI²AÄ bł ¨WI²A*« n¹dFð Â«b ²ÝUÐ ≤
± Ω ” ¨ ≤
” ´ ” Ω ©”®‚ » ≤ Ω ”¨ ≥´”μ≠
≤
” Ω ©”®‚ √
± Ω” ¨
± ≥”¨ ”¥´≤”
± <”¨ ≥≠ ”∏
Ω ©”®‰ œ ¥ Ω ”¨ ¸∏≠”≤¸Ω’ ?ł
ÆUNÃU−Ä 5Ž rŁ ©”®Ó‚ n¹dF²Ã« Â«b ²ÝUÐ błËQ ”≥´μ √ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≥
∫sÄ ÌqÂ WLOÁ błËQ ≤¥ Ω ©≥®Ó‚ X½UÂ «–≈ ¥
Ë∂
©≥®‚ ≠ ©Ë≤ ´ ≥®‚
∞ ← Ë
√
Æ©j ³KÃ ©≥®‚ ÕdÞ«Ë n{√ ∫œUý—≈®
Ë±≤
©Ë ≠ ≥ ®‚ ≠ ©Ëμ ´ ≥®‚
∞ ← Ë
»
Æ
∏ ≠ ”≤
©μ®‚ ≠ ©∑ ≠ ”≥®‚
¥ ← ”
błËQ ≥ Ω ©μ®Ó‚ X½UÂ «–≈ μ
Æ©±≠®Ó ?¼ WI²A*« n¹dFð Â«b ²ÝUÐ błËQ ¨ ©μ ´ ”≤®‚≥ Ω ©”®?¼ ÊUÂË ¨∂ Ω ©≥®Ó‚ Ê√ XLKŽ «–≈ ∂
≥ > ” ¨ ”μ´≤”
≥ Ω ” ¨ ≤¥
≥ < ” ¨ ≥ ≠ ”π
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ∑
Æ©”®Ó‚ œ ©≥®Ó‚ ?ł ´©≥®Ó‚ » ≠
©≥®Ó‚ √ ∫błËQ
‰uDÃ W³ MÃUÐ UN²ŠU Ä dOGð ‰bFÄ V Š« ÆUNKJAÐ WEH²×Ä vI³ð YO×Ð qJAÃ« WFÐdÄ W×OH œbL²ð ∏
ÆrÝ ≤∞ lKCÃ« ‰uÞ ÊuJ¹ UÄbMŽ UNFK{

∂∂
(Rules of Differentiation) ‚UI²ýô« bŽ«uÁ ≥≠≤
WI²A*« Ác¼ vKŽ ‰uB(« qON ²ÃË ¨UÄ Ê«d²Áô vÃË_« WI²A*« œU−¹« w WI²A*« n¹dFð ÎUIÐUÝ Âb ² ½ UMÂ
∫WOÃU²Ã« bŽ«uIÃ« Â«b ²Ý« UMMJ1
∫©±® …bŽUÁ
∋”∀ ∞ Ω ©”®Ó‚ ÊS ¨XÐUŁ ?ł YOŠ ¨ ?ł Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
∫ÊU¼d³Ã«
?ł ≠ ?ł
?¼ ∞ ← ?¼
Ω
©”®‚≠©?¼´”®‚
?¼ ∞ ← ?¼
Ω ©”®Ó‚
∞ Ω ∞
∞ ← ?¼
Ω
∞
?¼ ∞ ← ?¼
Ω
©±® ‰U¦Ä
Æ©≥®Ó‚ ¨ ©”®Ó‚ błËQ ±μ √ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
∋” rOÁ lOL' ∞ Ω ©”®Ó‚
∞ Ω ©≥®Ó‚ ∴
∫©≤® …bŽUÁ
±≠Ê”Ê Ω ©”®Ó‚ ÊS ™
◊ ∋Ê ¨ Ê” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
∫ÊU¼d³Ã«
” ≠ Ÿ
©”®‚ ≠ ©Ÿ®‚
” ← Ÿ
Ω ©”®Ó‚
” ≠ Ÿ
Ê” ≠ ÊŸ
” ← Ÿ
Ω
©≤∞ W×H rOLF²Ã« dE½«® ±≠Ê”Ê Ω

∂∑
©≤® ‰U¦Ä
Æ©≤≠®Ó‚ ¨ ©”®Ó‚ błËQ ¨ μ” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
∋” rOÁ lOL' ¨ ¥”μ Ω ©”®Ó‚
∏∞ Ω ¥
©≤≠® × μ Ω ©≤≠®Ó‚ ∴
∫©≥® …bŽUÁ
∫ÊS ∋ ?ł X½UÂË ¨ ” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ÎU½«d²Á« ©”®?¼ ¨ ©”®‚ sÄ qÂ ÊUÂ «–≈
Æ©”®Ó‚ × ?ł Ω ©”®Ó„ ÊuJ¹Ë¨ ” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ ©”®‚ × ?ł Ω ©”®„ ±
Æ©”®Ó ?¼ ´ ©”®Ó‚ Ω ©”®ÓŸ ÊuJ¹Ë¨” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ ©”®?¼ ´ ©”®‚ Ω ©”®Ÿ ≤
Æ©”®Ó ?¼ ≠ ©”®Ó‚ Ω©”®Ó‰ ÊuJ¹Ë¨” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ ©”®?¼ ≠ ©”®‚ Ω ©”®‰ ≥
∫ÊU¼d³Ã«
Ë
©”®„ ≠ ©Ë ´ ”®„
∞ ← Ë
Ω ©”®Ó„ ±
Ë
©”®‚ ?ł ≠ ©Ë ´ ”®‚ ?ł
∞ ← Ë
Ω
Æ©”®Ó‚ ?ł Ω Ë
©”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®‚
∞ ← Ë
?ł Ω
Ë
©”®Ÿ ≠ ©Ë ´ ”®Ÿ
∞ ← Ë
Ω ©”®ÓŸ ≤
Ë
©©”®?¼ ´ ©”®‚®≠ ©©Ë ´ ”®?¼ ´ ©Ë ´ ”®‚®
∞ ← Ë
Ω
Ë
©©”®?¼ ≠ ©Ë ´ ”®?¼®´ ©©”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®‚®
∞ ← Ë
Ω
Ë
©”®?¼ ≠ ©Ë ´ ”®?¼
∞ ← Ë
´ Ë
©”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®‚
∞ ← Ë
Ω
Æ»uKD*« u¼Ë ©”®Ó ?¼ ´ ©”®Ó‚ Ω
ÆVÃUDKÃ ÊU¼d³Ã« „d²¹ ≥

∂∏
©≥® ‰U¦Ä
Æ©≤®Ó‚ błËQ ≤” ´≥”μ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
”≤ ´≤”±μ Ω ”≤ ´≤”≥ × μ Ω ©”®Ó‚
∂¥ Ω ≤ × ≤ ´ ≤
©≤® × ±μ Ω ©≤®Ó‚ ∴
∫rOLFð
∫t½√ Í√ ‚UI²ýöÃ 5KÐUÁ 5½«d²Á« sÄ d¦Â√ qLA²Ã ©≥® …bŽUÁ rOLFð sJ1
¨ ” bMŽ ‚UI²ýöÃ WKÐUÁ U½«d²Á« ©”®Ê
‚ ¨ÆÆÆ ¨©”®≤
‚ ¨ ©”®±
‚ X½UÂ «–≈
∫ÊS ∋ Ê
?ł ¨ ÆÆÆ¨≤
?ł¨±
?ł X½UÂË
Æ©”®Ê
Ó‚Ê
?ł ∓ÆÆÆ∓ ©”®≤
Ó‚ ≤
?ł ∓ ©”®±
Ó‚ ±
?ł ΩÓ
©©”®Ê
‚ Ê
?ł ∓ÆÆÆ∓ ©”®≤
‚ ≤
?ł ∓ ©”®±
‚ ±
?ł®
∫’UšÌtłuÐË
‚UI²ýöÃ qÐUÁ ©”®‚ ÊS ¨œËbŠ dO¦Â ÎU½«d²Á« ∞
´ ”±
´ ÆÆÆ ´ ±≠Ê”±≠Ê
´ Ê”Ê
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
±
´ ÆÆÆ ´ ≤≠Ê” ©±≠Ê® × ±≠Ê
´ ±≠Ê”Ê × Ê
Ω ©”®Ó‚ ÊuJ¹Ë ¨ ∋”∀
©¥® ‰U¦Ä
Æ©”® ?Ó ?¼ błËQ ±± ´ ”μ ≠≤”¥ ´ ≥”≥ ≠ ¥”≤ Ω ©”® ?¼ ÊUÂ «–≈
μ ≠ ”∏ ´ ≤”π ≠ ≥”∏ Ω©”® ?Ó ?¼
©μ® ‰U¦Ä
± Ω ©≤® ?Ó ?¼ ¨μ Ω ©≤®?¼ ¨©”®?¼≥´©”®‚ Ω ©”®‰ ÊUÂË ¨”≥´≤” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
Æ©≤®Ó‰ błËQ
©”® ?Ó ?¼≥ ´ ©”®Ó‚Ω ©”®Ó‰
©”® ?Ó ?¼≥ ´ ©≥ ´ ”≤® Ω
©≤® ?Ó ?¼≥ ´ ©≥ ´ ≤ × ≤® Ω ©≤®Ó‰ ⇐
±∞ Ω ± × ≥ ´ ∑ Ω

∂π
∫©¥® …bŽUÁ
∫sO½«d²Á« »d{ q UŠ WI²AÄ
∫ÊS ©”®?¼ × ©”®‚ Ω ©”®‰ ÊUÂË ¨” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ÎU½«d²Á« ©”®?¼ ¨©”®‚ sÄ yqÂ ÊUÂ «–≈
Æ©”®Ó‚ × ©”®?¼ ´ ©”®Ó ?¼ × ©”®‚ Ω ©”®Ó‰ ÊuJ¹Ë ¨” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ ©”®‰
∫ÊU¼d³Ã«
Ë
©”®‰ ≠ ©Ë ´ ”®‰
∞ ← Ë
Ω ©”®Ó‰
Ë
©”®?¼ × ©”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®?¼ × ©Ë ´ ”®‚
∞ ← Ë
Ω
Ë
©”®?¼ ©”®‚ ≠ ©”®?¼ ©Ë ´ ”®‚ ´ ©”®?¼ ©Ë ´ ”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®?¼ ©Ë ´ ”®‚
∞ ← Ë
Ω
©j ³Ã« w ©”®?¼ ©Ë ´ ”®‚ —«bI*« ÕdÞË W U{UÐ®
Ë
©©”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®‚®©”®?¼ ´ ©©”®?¼ ≠ ©Ë ´ ”®?¼®©Ë ´ ”®‚
∞ ← Ë
Ω
Ë
©”®‚ ≠ ©Ë ´ ”®‚
©”®?¼
∞ ← Ë
´ Ë
©”®?¼ ≠ ©Ë ´ ”®?¼
©Ë ´ ”®‚
∞ ← Ë
Ω
Æ»uKD*« u¼Ë ©”®Ó‚ × ©”®?¼ ´ ©”®Ó ?¼ × ©”®‚ Ω
‰Ë_« WI²AÄ × w½U¦Ã« ´ w½U¦Ã« WI²AÄ × ‰Ë_« Ω ‚UI²ýöÃ 5KÐUÁ 5½«d²Á« »d{ q UŠ WI²AÄ Ê√ Í√
©∂® ‰U¦Ä
Æ ” œ
’ œ
błËQ ¨©¥´”≥®©±≠”μ´≤”® Ω ’ X½UÂ «–≈
©μ´”≤® ©¥´”≥® ´ ≥ × ©±≠”μ´≤”® Ω ” œ
’ œ
≤∞´”≤≥´≤”∂ ´ ≥≠”±μ´≤”≥ Ω
±∑´”≥∏´≤”π Ω

∑∞
¥≠”±∑´≤”±π´≥”≥Ω ’ ÊuJð dýU³*« »dCÃUÐ t½√ kŠô
Æ5²−O²MÃ« oÐUDð kŠô ±∑´”≥∏´≤”π Ω ” œ
’ œ
UNMÄË
©∑® ‰U¦Ä
Æ©±®Ó‚ błËQ ©≥≠”´≤”≠≥”≤®©±´”¥≠≤”≤´≥”® Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
©¥≠”¥´≤”≥®©≥≠”´≤” ≠≥”≤®´©±´”≤≠≤”∂®©±´”¥≠≤”≤´≥”® Ω ©”®Ó‚
∫vKŽ qB×½ ± Ω ” i¹uF²ÐË
≥≠ Ω ≥ × ±≠ ´ μ × dH Ω ©±®Ó‚
©∏® ‰U¦Ä
Æ¥ Ω ©≤®?¼ ¨μ Ω ©≤®Ó ?¼ ÊQÐ ÎULKŽ ©≤®Ó‚ błËQ ¨©”®?¼×©±±≠”μ´≤”®Ω©”®‚ ÊUÂ «–≈
©μ´”≤® × ©”®?¼ ´ ©”®Ó ?¼×©±±≠”μ´≤”® Ω ©”®Ó‚
π × ©≤®?¼ ´ ©≤®Ó ?¼ × ≥ Ω ©≤®Ó‚ ⇐
∫Z²M¹ i¹uF²ÃUÐ
μ± Ω π ×¥ ´ μ × ≥ Ω ©≤®Ó‚
∫Ê«d²Á« »uKIÄ WI²AÄ ∫©μ® …bŽUÁ
∫ÊS ” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ©”®‚ ÊUÂË ¨∞ ≠ ©”®‚ ¨
©”®‚
±
Ω ©”®‰ ÊUÂ «–≈
≤
©©”®‚®
©”®Ó‚≠
Ω ©”® Ó‰ ÊuJ¹Ë ” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ ©”®‰
∫ÊU¼d³Ã«
?¼
©”®‰ ≠ ©?¼ ´ ”®‰
∞ ← ?¼
Ω ©”®Ó‰
©©”®‚ © ?¼ ´ ”®‚
©?¼´”®‚ ≠ ©”®‚
® ?¼
±
∞ ← ?¼
Ω
©©”®‚
±
≠
© ?¼ ´ ”®‚
±
® ?¼
±
∞ ← ?¼
Ω

∑±
©©”®‚ © ?¼ ´ ”®‚
±
×
?¼
©©”®‚≠©?¼´”®‚®±≠
® ∞ ← ?¼
Ω
©”®‚ © ?¼ ´ ”®‚
±
∞ ← ?¼
×
?¼
©©”®‚≠©?¼´”®‚®
∞ ← ?¼
±≠ Ω
≤
©©”®‚®
©”®Ó‚≠
Ω ≤
©©”®‚®
±
× ©”®Ó‚ × ±≠ Ω
∫sO½«d²Á« WL Á ZðU½ WI²AÄ∫©∂® …bŽUÁ
∫ÊS ∞ ≠ ©”®?¼ ¨” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ©”®?¼ ¨©”®‚ sÄ qÂ ÊUÂ «–≈
≤
©©”®?¼®
©”®Ó ?¼ ©”®‚ ≠ ©”®Ó‚©”®?¼
Ω ©”®Ó‰ÊuJ¹Ë ” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ
©”®?¼
©”®‚
Ω©”®‰
∫ÊU¼d³Ã«
∞ ≠ ©”®?¼ ¨
©”®?¼
±
× ©”®‚ Ω
©”®?¼
©”®‚
Ω ©”®‰
” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÊöÐUÁ
©”®?¼
±
¨©”®‚ Ê√ U0Ë
∫ÊuJ¹Ë ” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ ©”®‰ Ê«d²Áô« u¼Ë »dCÃ« q UŠ ∴
©”®?¼
±
× ©”®Ó‚ ´ ≤
©©”®?¼®
©”®Ó ?¼≠
× ©”®‚ Ω ©”®Ó‰
©”®?¼
©”®Ó‚
´ ≤
©©”®?¼®
©”®Ó ?¼ ©”®‚≠
Ω
≤
©©”®?¼®
©”®Ó ?¼ × ©”®‚ ≠ ©”®Ó‚ × ©”®?¼
Ω ≤
©©”®?¼®
©”® ?¼ × ©”®Ó‚ ´ ©”®Ó ?¼ × ©”®‚≠
Ω
≤
©ÂUILÃ«®
ÂUILÃ« WI²AÄ × j ³Ã« ≠ j ³Ã« WI²AÄ × ÂUILÃ«
Ω ‚UI²ýöÃ 5KÐUÁ 5½«d²Á« WL Á "U½ WI²AÄ Ê√ Í√
©π® ‰U¦Ä
Æ©”®Ó‚ błËQ ¨
≤
μ
≠ ” ¨
μ≠ ”≤
± ´ ”≥
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
≤
μ
≠ ” ¨ ≤
©μ ≠ ”≤®
±∑≠
Ω ≤
©μ ≠ ”≤®
≤ × ©± ´ ”≥® ≠ ≥ × ©μ ≠ ”≤®
Ω ©”®Ó‚

∑≤
©±∞® ‰U¦Ä
∫ÊQÐ ÎULKŽ ©≥®Ó ?¼ błËQ ¨
μ
∂≠
≠ ” ¨
∂ ´ ”μ
©”®‚
Ω ©”®?¼ ÊUÂ «–≈
∑
±
Ω ©≥®Ó‚ ¨ ±μ Ω ©≥®‚
≤
©∂ ´ ”μ®
μ × ©”®‚ ≠ ©”®Ó‚ × ©∂ ´ ”μ®
Ω ©”®Ó ?¼
©±® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ≤
©≤±®
μ × ©≥®‚ ≠ ©≥®Ó‚ ≤±
Ω ©≥®Ó ?¼ ⇐
∫Ê√ Z²M¹ ©±® w i¹uF²ÃUÐ
¥π
∏≠
Ω
¥¥±
∑≤≠
Ω ≤
©≤±®
μ × ±μ ≠
∑
±
× ≤±
Ω ©≥®Ó ?¼
∫W−O²½
±≠Ê≠” Ê≠ Ω ” œ
’ œ
∫ÊS ™
◊ ∋ Ê ∫Ê≠” Ω ’ X½UÂ «–≈
ÆW³ÃU Ã« W×O×BÃ« fÝ_« WÃUŠ w ÎUC¹√ o³DMð W³łu*« W×O×BÃ« fÝ_« WÃUŠ w ‚UI²ýô« …bŽUÁ Ê√ Í√
∫ÊU¼d³Ã«
™
◊ ∋ Ê ¨ Ê”
±
Ω Ê≠” Ω ’
±≠Ê≠”Ê≠ Ω Ê≤≠±≠Ê”Ê≠ Ω Ê≤”
±≠Ê”Ê≠
Ω ” œ
’ œ
©±±® ‰U¦Ä
Æ©≤®Ó‚ błËQ ≥≠” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
¥”
≥≠
Ω ¥≠”≥≠ Ω ©”®Ó‚
±∂
≥≠
Ω ¥
≤
≥≠
Ω ©≤®Ó‚ ⇐

∑≥
©±≤® ‰U¦Ä
Æ©”®Ó‚ błËQ ∞ ≠ ” ¨ ≤”
¥
´ ”≤
μ
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
∞ ≠ ” ¨ ≤≠”¥ ´ ±≠”
≤
μ
Ω ©”®‚
≥≠”≤≠ × ¥ ´ ≤≠”±≠ ×
≤
μ
Ω ©”®Ó‚ ⇐
≥”
±
× ∏ ≠ ≤”
±
×
≤
μ≠
Ω
≥”
∏
≠ ≤”≤
μ≠
Ω
∫UOKFÃ« UI²A*«
Ê«d²ÁöÃo²A*«Ê«d²Áô«vL ¹dš¬ÎU½«d²Á«q¦9©”®Ó‚WI²A*«ÊS ¨‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁÎU½«d²Á«©”®‚Ω’ÊUÂ«–≈
WI²A*« vL ð © ” œ
’ œ
® ” œ
œ
Í√ o²A*« Ê«d²ÁöÃ vÃË_« WI²A*«Ë Æ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ vÃË_« WI²A*« Ë√ ©”®‚
eÄd¹ q¦*UÐË Æ©”®Î‚ Ë√ ¨©lOÐdð ” ‰«œ ’ 5MŁ« ‰«œ √dIðË® ≤” œ
’≤
œ
eÄdÃUÐ UNÃ eÄd¹Ë ¨©”®‚ Ê«d²ÁöÃ WO½U¦Ã«
Æ©”®©≥®
‚ Ë√ ≥” œ
’≥
œ
Ë√ ©≤” œ
’≤
œ
® ” œ
œ
eÄdÃUÐ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ W¦ÃU¦Ã« WI²ALKÃ
Ê” œ
’Ê
œ
Ë√ ©”® ©Ê®
‚ eÄdÃUÐ UNÃ eÄd¹ w²Ã«Ë ¨©”®‚ Ω ’ Ê«d²ÁöÃ WO½uMÃ« WI²A*« ·dF½ UM½S ¨ÂUŽ tłuÐË
Æ ©±≠Ê” œ
’±≠Ê
œ
® ” œ
œ
UN½QÐ
©±≥® ‰U¦Ä
Æ ≤ ´ ”μ ´≥”≤ ≠¥” Ω ’ Ê«d²ÁöÃ W¦ÃU¦Ã«Ë WO½U¦Ã«Ë vÃË_« WI²A*« bł
μ ´≤”∂ ≠≥”¥Ω ” œ
’ œ
”±≤≠≤”±≤ Ω ©μ´≤”∂≠≥”¥® ” œ
œ
Ω ≤” œ
’≤
œ
±≤ ≠ ”≤¥ Ω ©”±≤ ≠≤”±≤® ” œ
œ
Ω ≥” œ
’≥
œ

∑¥
©≥≠≤® s¹—U9
∫WOÃU²Ã« U½«d²Áô« sÄ qÂ WI²AÄ bł ±
©¥´≤”® ©≤´”≥® Ω©”® ?ł » ≥≠ ”μ ´≤”≤ ≠≥” Ω©”®‚ √
∑ ≠ Ê∂´
≥
Ê
≥
≠ ¥
Ê
μ
¥
Ω · œ ≥´”μ´≤”¥≠≥” ≤
≥
Ω ’ ?ł
± ≠ ”≥
μ ´ ”≤
Ω ©”® ?¼ Ë ©∏´”≥≠≤”®”≤ Ω ©”®‚ ?¼
± ≠ ”≤
≥ ≠ ”
©≤´”≥® Ω ©”®Â Õ ©μ´”≥® ©±´”≤® ©±´”® Ω ©”®‰ “
∫błËQ ± Ω ©≥®Ó ?¼ ¨μ Ω ©≥®Ó‚ ¨ ≥ Ω ©≥® ?¼ ¨≤≠ Ω ©≥®‚ ÊUÂ «–≈ ≤
≥ Ω ”
¸ ©©”®‚ × ≤”
® ” œ
œ
» ©≥®Ó©©”®?¼≥´ ©”®‚≤® √
≥ Ω ”
¸ ©©”®?¼μ
©”®‚≥
® ” œ
œ
œ
≥ Ω ”
¸ ©©”®?¼
≤
® ” œ
œ
?ł
Æ» ¨ 5²ÐU¦Ã« błËQ ¨ ∑Ω ©±®Ó‚ Ω ©±®‚ ÊUÂË ≤´” »´≤” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≥
∫WOÃU²Ã« U½«d²Áô« sÄ qJÃ WO½U¦Ã« WI²A*« bł ¥
∞ ≠ ” ¨ ”
±
Ω ©”® ?¼ » ∑´≤”≤´≥” ≠¥”≤ Ω ©”®‚ √
Æ©±®ÓÂ błËQ ©”®‚ ” Ω ©”®Â ÊUÂË ¨ ≤ Ω ©±®‚ ¨ ≥ Ω ©±®Ó‚ ÊUÂ «–≈ μ
Æ©”®Ó‚ błQ ¨
± ≥ ” ¨ ”≤ ´ ≤”
± < ” ¨ ± ´ ”≤
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ∂
∫błËQ ©”® ?¼ × ©”® ‚ Ω ©”®‰ ÊUÂ «–≈ ∑
ÆÊUðœułuÄ ©”® ?¼ ¨ ©”® ‚ 5½«d²ÁöÃ WO½U¦Ã«Ë vÃË_« WI²A*« ÊQÐ ÎULKŽ ¨©”®Î‰

∑μ
(Continuity and Differentiability) ‚UI²ýô« WOKÐUÁË ‰UBðô« ¥≠≤
∫wÃU²Ã« ‰U¦*« ”—bMÃ ø5ÄuNH*« 5Ð jÐdð WÁöŽ sÄ qN ¨…bŠ vKŽ qÂ ‚UI²ýô«Ë ‰UBðô« UÄuNHÄ UMFÄ dÄ
©±® ‰U¦Ä
∫Ê«d²Áô« vM×MÄ q¦1 ©μ≠≤® qJAÃ«
± ≥ ” ¨ ≤”
± < ” ¨ ”
Ω ©”®‚
± ¨ ∞ Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ Ê«d²Áô« WOKÐUÁ ”—œ«
”
± ≤ ≥
’
±≠
≥
≤
±
©μ≠≤® qJAÃ«
∞ Ω ” bMŽ √
≤” Ω ©”®‚ ¨ ∞ Ω ” —«uł w
”≤ Ω ©”®Ó‚ ∴
∞ Ω©∞®Ó‚ ∴
∫± Ω ” bMŽ »
∫Èd OÃ«Ë vMLOÃ« 5²I²A*« WÝ«—œ ÂeKð WÃU(« Ác¼ w Ë ¨tH¹dFð ©”®‚ Ê«d²Áô« dOG¹ ± Ω ” bMŽ
?¼
©±®‚ ≠ ©?¼ ´ ±®‚
´ ∞ ← ?¼
Ω ´
©±®Ó‚ ±
?¼
≤
± ≠ ©?¼ ´ ±®
´ ∞ ← ?¼
Ω
± Ω ±
´ ∞ ← ?¼
Ω
?¼
?¼
´ ∞ ← ?¼
Ω
?¼
©±®‚ ≠ ©?¼ ´ ±®‚
≠ ∞ ← ?¼
Ω ≠
©±®Ó‚ ≤
?¼
≤
± ≠ ≤
©?¼ ´ ±®
≠ ∞ ← ?¼
Ω
≤ Ω ©?¼ ´ ≤®
≠ ∞ ← ?¼
Ω
?¼
≤
?¼ ´ ?¼≤
≠ ∞ ← ?¼
Ω
≠
©±®Ó‚ ≠ ´
©±®Ó‚ Ê√ U0Ë
± Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ dOž ©”®‚ ∴

∑∂
dOž tMJÃË ± Ω ” bMŽ qB²Ä t½√Ë ¨U¼bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁË ∞ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« Ê√ kŠô
ÆU¼bMŽ ‚UI²ýöÃ t²OKÐUÁ …—ËdCÃUÐ wMF¹ ô WDI½ bMŽ Ê«d²Áô« ‰UBð« Ê√ Í√ ¨U¼bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ
øWDIMÃ« pKð bMŽ ‰UBðô« sLC²ð WDI½ bMŽ ‚UI²ýô« WOKÐUÁ q¼ øfJFÃ« sŽ «–UÄ sJÃË
Æ‰ƒU ²Ã« «c¼ sŽ VO& WOÃU²Ã« W¹dEMÃ«
∫W¹dE½
±
” Ω ” bMŽ ÎöB²Ä ÊuJ¹ ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊS ±
” Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ÎU½«d²Á« ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊUÂ «–√
∫ÊU¼d³Ã«
±
” Ω ” bMŽ ÎöB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊuJ¹
dH Ω ©©±
”®‚ ≠ ©”®‚®±
” ← ”
Í√ ©±
”®‚ Ω ©”®‚
±
” ← ”
ÊUÂ «–≈
©©±
” ≠”® —«bI*« vKŽ WL IÃ«Ë »dCÃUÐ® ©±
” ≠”® ×
±
” ≠ ”
©±
”®‚≠©”®‚
Ω ©±
”®‚ ≠ ©”®‚ —«bI*«
©±
” ≠”® ×
±
” ≠ ”
©±
”®‚≠©”®‚
±
” ← ”
Ω ©©±
”®‚ ≠ ©”®‚®±
” ← ”
∴
©±
” ≠”®
±
” ← ”
×
±
” ≠ ”
©±
”®‚≠©”®‚
±
” ← ”
Ω
dH Ω dH × ©±
”®Ó‚ Ω
dH Ω ©©±
”®‚ ≠ ©”®‚®±
” ← ”
∴
©≤® ‰U¦Ä
± ≥ ” ¨ μ ´ ≤”≤
± < ” ¨ ´ ”¥
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
Æ XÐU¦Ã« WLOÁ błËQ Æ ± Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ
± Ω ” bMŽ qB²Ä uN ¨ ± Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ ©”®‚
©±®‚ Ω ©”®‚
≠ ± ← ”
Ω©”®‚
´ ± ← ”
∴
∑ Ω ´ ¥
≥ Ω

∑∑
∫WEŠöÄ
∫…—U³FÃ« u¼Ë UNÃ wÐU−¹ô« fÂUF*« T UJð WIÐU Ã« W¹dEMÃ«
±
” Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ dOž ©”®‚ ÊS ±
” Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈
©≤® ‰U¦Ä
± ≥ ” ¨ ≤ ´ ≤”μ ´ ≥”
± < ” ¨ ”≤ ´ ≤”
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
± Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ ©”®‚ Ê«d²Áô« WOKÐUÁ w Y×ÐU
∫ ± Ω ” bMŽ ©”®‚ ‰UBð« w ÎÎôË√ Y×³½
∏ Ω ≤ ´ μ ´ ± Ω ©±®‚
∏ Ω ©≤ ´ ≤” μ ´ ≥”®
≠ ± ← ”
Ω ©”®‚
≠ ± ← ”
≥ Ω ©”≤ ´≤”®
´ ± ← ”
Ω©”®‚
´ ± ← ”
± Ω ” bMŽ qBHMÄ ©”®‚ ∴
± Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ dOž ©”®‚ ÊS wÃU²ÃUÐË
©≥® ‰U¦Ä
≤ >” ¨ μ≠”¥´ ≤”
≤ ≤” ¨ ±´”≥
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
≤ Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ ©”®‚ Ê«d²Áô« WOKÐUÁ w Y×ÐU
∫Ê√ b−M ≤Ω” bMŽ ©”®‚ ‰UBð« ÎôË√ ”—b½
∑ Ω ± ´ ≤ × ≥ Ω©≤®‚
∑ Ω ©± ´ ”≥®
´ ≤ ← ”
Ω ©”®‚
´ ≤ ← ”
∑ Ω ©μ≠”¥´≤”®
≠ ≤ ← ”
Ω©”®‚
≠ ≤ ← ”
≤ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ ∴
Â«b ²Ýô Q−K½ «cNÃË ¨ô Â√ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ©”®‚ ÊUÂ Ê≈ pÃ– vKŽ ¡UMÐ rJ(« UMMJ1 ô

∑∏
5²I²A*« »U Š Vłu² ¹ U2 ≤ Ω ” bMŽ tH¹dFð dOG¹ Ê«d²Áô« Ê√ …UŽ«dÄ lÄ ¨n¹dF²Ã«
∫U¼bMŽ Èd OÃ«Ë vMLOÃ«
©μ≠∏´¥®≠©±´”≥®
≤ ≠ ” ´ ≤ ← ”
Ω
©≤®‚≠©”®‚
≤ ≠ ” ´ ≤ ← ”
Ω ´
©≤®Ó‚
≥ Ω ≥
´ ≤ ← ”
Ω
∂≠” ≥
≤ ≠ ” ´ ≤ ← ”
Ω
©μ≠∏´¥® ≠ ©μ≠”¥´≤”®
≤ ≠ ” ≠ ≤ ← ”
Ω
©≤®‚≠©”®‚
≤ ≠ ” ≠ ≤ ← ”
Ω ≠
©≤®Ó‚
∏ Ω
©∂´”®©≤≠”®
≤ ≠ ” ≠ ≤ ← ”
Ω
±≤≠”¥´≤”
≤ ≠ ” ≠ ≤ ← ”
Ω
Æ≤ Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ dOž ©”®‚ Ê√ Í√ ¨…œułuÄ dOž ©≤® Ó‚ ÊS tOKŽË
©¥® ‰U¦Ä
Æ©”®Ó‚ o²A*« Ê«d²Áô« błËQ
± > ” ¨ ≤”
± ≤ ” ¨ ±≠”≤
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
± > ” ¨ ”≤
± < ” ¨ ≤
Ω ©”®Ó‚
Æ± Ω ” bMŽ ©”® ‚ Ê«d²Áô« ‰UBð« w Y×³½ ©±®Ó‚ œU−¹ôË
©pÃ– sÄ oI%® Æ± Ω ” bMŽ qB²Ä ©”® ‚ Ê«d²Áô«
± ≠ ”
©±®‚ ≠ ©”®‚
´ ± ← ”
Ω ´
©±®Ó‚ √
± ≠ ”
≤≠”≤
´ ± ← ”
Ω
± ≠ ”
©±≠≤® ≠ ©±≠”≤®
´ ± ← ”
Ω
≤ Ω
± ≠ ”
©±≠”®≤
´ ± ← ”
Ω
± ≠ ”
©±®‚ ≠ ©”®‚
≠ ± ← ”
Ω ≠
©±®Ó‚ »
≤ Ω± ´ ”
≠ ± ← ”
Ω
± ≠ ”
± ≠≤”
≠ ± ← ”
Ω

∑π
± >” ¨ ”≤
± < ” ¨ ≤
± Ω ” ¨ ≤
Ω ©”®Ó‚ ∫wÃU²ÃUÐË ≤ Ω ©±®Ó‚ ⇐
©”®Ó‚
≠ ± ← ”
Ω≠
©±®Ó‚ ¨ ©”®Ó‚
´ ± ← ”
Ω ´
©±®Ó‚ ∫Ê√ oÐU Ã« ‰U¦*« w kŠö½
«–≈ tH¹dFð Ê«d²Áô« U¼bMŽ dOG¹ w²Ã« WDIMÃ« bMŽ WI²A*« œU−¹ù n¹dF²Ã« WI¹dÞ dOž Èdš√ WI¹dDÐ U½œËe¹ «c¼Ë
ÆÎöB²Ä ÊUÂ
©μ® ‰U¦Ä
Æ©”®Ó‚ błËQ
≤ ≥” ¨ ∏´≤”≠≥”
≤ <” ¨ ”¥´≤
”
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
≤ >” ¨ ”≤≠≤”≥
≤ <” ¨ ¥´”≤
Ω ©”®Ó‚
∫n¹dF²Ã« vÃ≈ ¡u−KÃ« ÊËœ ©≤®Ó‚ œU−¹ôË
≤ Ω ” bMŽ ©”®‚ ‰UBð« ”—b½ √
±≤ Ω ∏ ´ ¥ ≠ ∏ Ω ©≤®‚
±≤ Ω ©∏ ´ ≤” ≠ ≥”®
≠ ≤ ← ”
Ω©”®‚
≠ ≤ ← ”
±≤ Ω ©”¥´≤”®
´ ≤ ← ”
Ω ©”®‚
´ ≤ ← ”
Æ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ ∴
∏ Ω ©¥ ´ ”≤®
´ ≤ ← ”
Ω©”®Ó‚
´ ≤ ← ”
Ω ´
©≤®Ó‚ »
∏ Ω ©”≤ ´ ≤”≤®
≠ ≤ ← ”
Ω©”®Ó‚
≠ ≤ ← ”
Ω ≠
©≤®Ó‚
∏ Ω ©≤®Ó‚ ∴
≤ >” ¨ ”≤≠≤”≥
≤ <” ¨ ¥´”≤
≤ Ω ” ¨ ∏
Ω ©”®Ó‚ ⇐

∏∞
©¥≠≤® s¹—U9
∫UNMÄ qÂ ¡«“≈ …—uÂc*« jIMÃ« Ø WDIMÃ« bMŽ ‚UI²ýöÃ WOÃU²Ã« U½«d²Áô« WOKÐUÁ w Y×Ð√ ±
≤ Ω ” ¨
≤ ≥ ”¨ μ´”≠ ≤”≥
≤ < ”¨ ”μ≠≤”´≥”
Ω ©”®‚ √
± ¨ ∞ Ω ” ¨ ¸”¸ Ω ©”®‰ »
± ¨
≥
≤
Ω ” ¨ ›”¤ Ω ©”®?¼ ?ł
± ≥ ” ¨ » ´ ” ≠ ≤”
± < ” ¨ ¥
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≤
Æ» ¨ 5²ÐU¦Ã« błËQ ± Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ
∞ ≤ ” ¨ ±´ ≤”
∞ > ” ¨ ´ ”
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≥
ø ∞ Ω ” bMŽ ÎöB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« qF& w²Ã« WLOÁ UÄ
ø ∞ Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ©”®‚ Ê«d²Áô« qF& ?Ã WLOIÃ« Ác¼ q¼Ë
Æ©”®Ó‚ błËQ ≥
¸”¸ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ¥
Æ©”®Ó‚ błËQ ¨
±[μ >” ≥± ¨ ›≥´”≤¤
≤ >” ≥±[μ ¨ ¸≤≠”¸
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ μ
ÆULNMÄ ÌqÂ QDš `{u¹ ÎôU¦Ä jŽ√ ÆÊU²¾ÞUš ÊU²Oðü« ÊUð—U³FÃ« ∂
Æ∂ Ω ©≤®Ó‚ ÊS ≥ Ω ©±®Ó‚ Ê≈ YO×Ð ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈ √
qÐUÁ dOž ULNŽuL−Ä ÊS Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ dOž ÎU½«d²Á« ©”®?¼ ¨©”®‚ sÄ yqÂ ÊUÂ «–≈ »
Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ

∏±
‚UI²ýô« vKŽ UIO³Dð μ≠≤
∫©ÍœuLFÃ«Ë ”UL*«® WOÝbM¼ UIO³Dð ©±®
¨WDIMÃ«pKðbMŽÊ«d²Áô«vM×M*ÂuÝd*«”UL*«qOÄq¦9tÃU−Äw WDI½bMŽ©”®‚Ê«d²ÁöÃvÃË_«WI²A*«Ê√UMFÄdÄ
Æ”UL²Ã« WDI½ vL ð w²Ã«Ë tOKŽ WFÁ«uÃ« ©© ®‚¨ ® WDIMÃ« bMŽ ©”®‚ vM×M* ÂuÝd*« ”UL*« qOÄ Ω © ®Ó‚ Ê√ Í√
∫n¹dFð
«cNÃÂuÝd*«”UL*«qOÄt½QÐtOKŽWDI½bMŽÊ«d²Á«vM×MÄqOÄ·dF¹
ÆWDIMÃ« pKð bMŽ vM×M*«
∫n¹dFð
vKŽÍœuLFÃ«t½QÐtOKŽWDI½bMŽÊ«d²Á«vM×MÄvKŽÍœuLFÃ«·dF¹
ÆWDIMÃ« pKð bMŽ vM×M*« ”U2
∫©∂≠≤® qJAÃ« kŠô
’
”
©”®‚ Ω ’
”U2
ÍœuLŽ
ÍœuLŽ
”U2
©∂≠≤® qJAÃ«
©±® ‰U¦Ä
ÆtOKŽ WFÁ«uÃ« ©≤ ¨ ±® WDIMÃ« bMŽ ¥ ´ ”≥ ≠≤” Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×M* ”U2 rÝ—
ÆtKOÄ W¹Ë«“ pÃcÂË ”UL*« «c¼ WÃœUFÄ bł
≥ ≠”≤ Ω ©”®Ó‚
±≠ Ω ≥ ≠ ± ×≤Ω ©±®Ó‚ Ω”UL*« qOÄ ⇐
∫w¼ ”UL*« WÃœUFÄ
©±
” ≠ ”®Â Ω ±
’ ≠ ’
©± ≠ ”®±≠ Ω ≤ ≠ ’
± ´ ”≠ Ω ≤ ≠ ’
≥ ´ ”≠ Ω ’
?¼ Ω ”UL*« «c¼ qOÄ W¹Ë«“ Ê√ ÷dH½
±≠ Ω ?¼ Uþ ⇐
œ
π
¥
≥
Ω º
±≥μ Ω ?¼ ⇐

∏≤
©≤® ‰U¦Ä
Æ ∑ ΩtKOÄ ÊUJ tOKŽ WDI½ bMŽ ≤≠”´≤” Ω ©”®‚ vM×M* ”U2 rÝ—
Æ”UL²Ã« WDI½ wOŁ«bŠ≈ bł
± ´ ”≤ Ω ©”®Ó‚
± ´ ≤ Ω ”UL*« qOÄ ÊuJ¹ ¨©© ®‚ ¨ ® ”UL²Ã« WDI½ Ê√ ÷dHÐ
≥ Ω UNMÄË ¨ ∑ Ω± ´ ≤
©±∞¨≥® Ω ©©≥®‚¨≥®w¼ ”UL²Ã« WDI½ ∴
©≥® ‰U¦Ä
ÆtOKŽ WFÁ«uÃ« ©±¨≤® WDIMÃ« bMŽ
≤ ≠ ”≥
”≤
Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ qOÄ bł
ÆWDIMÃ« Ác¼ bMŽ ©”®‚ vM×MÄ vKŽ ÍœuLFÃ« WÃœUFÄ bł rŁ
≥ ”≤≠©≤®©≤≠”≥®
≤
©≤≠”≥®
Ω ©”®Ó‚
±≠
¥
Ω
¥≠
±∂
Ω
≥ ¥≠≤ ©≤≠∂®
≤
©≤≠∂®
Ω ©≤®Ó‚ ÍËU ¹ ©±¨≤® WDIMÃ« bMŽ vM×M*« ”U2 qOÄ
±≠
¥
Ω WDIMÃ« Ác¼ bMŽ Ê«d²Áô« vM×MÄ qOÄ ∴
¥ Ω Â UNMÄË ¨±≠ Ω
±≠
¥
Â ÊuJ¹ ¨ Â Ω vM×M*« vKŽ ÍœuLFÃ« qOÄ Ê√ ÷dHÐË
©±
” ≠ ”® Â Ω ±
’ ≠ ’ ∫w¼ WDIMÃ« Ác¼ bMŽ vM×M*« vKŽ ÍœuLFÃ« WÃœUFÄ
©≤≠”®¥ Ω ©±≠’®
∑ ≠ ”¥ Ω ’
©¥® ‰U¦Ä
∑≠”≠≤” Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×M* ÂuÝd*« ”UL*« WÃœUFÄ bł
±± Ω ’≥ ´ ” rOI² *« bÄUF¹ ÍcÃ«
±± Ω ’≥ ´ ” rOI² *« qOÄ Ω ”UL*« vKŽ ÍœuLFÃ« qOÄ
” ±
≥
≠
±±
≥
Ω ’ rOI² *« qOÄΩ
©
±
≥
≠ Ω
’œ
”œ Ê√ kŠô®
±
≥
≠Ω

∏≥
≥ Ω ”UL*« qOÄ ⇐
± ≠ ”≤ Ω ©”®Ó‚
±≠ ≤ Ω ”UL*« qOÄ ÊuJ¹ ©© ®‚¨ ® ”UL²Ã« WDI½ Ê√ ÷dHÐË
≤ Ω UNMÄË ¨ ≥ Ω±≠ ≤ ∴
©μ≠¨≤® Ω ©©≤®‚¨≤® w¼ ”UL²Ã« WDI½ ∴
©±
” ≠ ”® Â Ω ±
’ ≠ ’ ∫w¼ ”UL*« WÃœUFÄ
©≤≠”®≥ Ω ©μ´’®
±± ≠ ”≥ Ω ’
©μ® ‰U¦Ä
¨≥ ≠ ” ´≤”≤ Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×M* ÎUÝU2 ´ ”μ Ω ’ rOI² *« ÊUÂ «–≈
Æ XÐU¦Ã« WLOÁ błËQ
± ´ ”¥ Ω ©”®Ó‚ ¨ μ Ω
’œ
”œ
Ω ”UL*« qOÄ
± ´ »¥Ω ”UL*« qOÄ ÊuJ¹ ©©»®‚¨»® ”UL²Ã« WDI½ Ê√ ÷dHÐË
± Ω » UNMÄË ¨ μ Ω±´ »¥
©∞¨±® Ω ©©±®‚¨±® w¼ ”UL²Ã« WDI½ ∴
μ≠ Ω UNMÄË ¨ ´± μ ΩdH ∫Ê√ Í√ t²ÃœUFÄ oI% wN ”UL*« vKŽ lIð WDIMÃ« Ác¼ sJÃ
∫©Ÿ—U ²Ã«Ë WŽd Ã«® WOzU¹eO UIO³Dð ©≤®
Æ©∑≠≤® qJAÃ« w 5³*« ‰ rOI² *« j)« vKŽ W²ÐUŁ WDI½ Ë sJ²ÃË ©Ê®· ©ÊΔ´Ê®·
´‰
©∑≠≤® qJAÃ«
WŽd Ã« ÊS Ê sÄeÃ« bMŽ Ë WDIMÃ« sŽ r '« WŠ«“≈ q¦9 · X½UÂ YO×Ð rOI² *« «c¼ vKŽ r ł „d% «–≈ √
ÊΔ
©Ê®· ≠ ©ÊΔ ´ Ê®·
Ω
ÊΔ
·Δ
w¼ ›ÊΔ ´ Ê ¨Ê¤ WOMÄeÃ« …d²HÃ« w r '« «cNÃ WDÝu²*«
ÆŸ eÄdÃUÐ UNÃ eÄd¹Ë Ê sÄeÃ« bMŽ r −KÃ WOE×KÃ« WŽd Ã« vL ²
Ê œ
· œ
ÍËU ðË
ÊΔ
·Δ
∞ ← ÊΔ
UÄ√

∏¥
ÊΔ
ŸΔ
t½QÐ ›ÊΔ ´ Ê ¨Ê¤ WOMÄeÃ« …d²HÃ« w r −KÃ jÝu²*« Ÿ—U ²Ã« ·dF¹ WKŁU2 WI¹dDÐË »
≤
Ê œ
· ≤
œ
Ω © Ê œ
· œ
® Ê œ
œ
Ω
Ê œ
Ÿ œ
Ω wE×KÃ« Ÿ—U ²Ã« ÊuJ¹Ë
©∂® ‰U¦Ä
r '« WŠ«“≈ · YOŠ ¨≤
Ê≤ ´≥
Ê Ω ©Ê®· WÁöFKÃ ÎUF³ð rOI² Ä jš vKŽ r ł „d×²¹
∫błË√ Æw½«u¦ÃUÐ sÄeÃ« Ê ¨WÂd(« jš vKŽ Ë W²ÐUŁ WDI½ sŽ —U²Ä_UÐ
¥Ω Ê bMŽ WŽd Ã« » ≥ΩÊ¨±ΩÊ 5Ð WDÝu²*« WŽd Ã« √
≥ Ω Ê bMŽ Ÿ—U ²Ã« œ ›μ ¨ ≤¤ WOMÄeÃ« …d²HÃ« w jÝu²*« Ÿ—U ²Ã« ?ł
≤
Ê≤ ´≥
Ê Ω ©Ê®·
ÀØÂ ≤± Ω
≤
≥ ≠ ¥μ
Ω
± ≠ ≥
©±®· ≠ ©≥®·
Ω
ÊΔ
·Δ
Ω WDÝu²*« WŽd Ã« √
Ê¥ ´≤
Ê≥ Ω
Ê œ
· œ
ΩŸ »
ÀØÂ ∂¥ Ω ¥ × ¥ ´ ±∂ × ≥ ÍËU ð ¥ Ω Ê UÄbMŽ WOE×KÃ« WŽd Ã« ∴
≤ ≠ μ
©≤®Ÿ ≠ ©μ®Ÿ
Ω
ÊΔ
ŸΔ
Ω jÝu²*« Ÿ—U ²Ã« ?ł
≤
ÀØÂ ≤μ Ω
≥
∑μ
Ω
≤ ≠ μ
©≤×¥´¥×≥®≠©≤∞´ ≤μ×≥®
Ω
¥ ´ Ê∂Ω
Ê œ
Ÿ œ
Ω œ
≤
ÀØÂ≤≤ Ω ¥ ´ ≥ × ∂ ÍËU ð ≥ Ω Ê UÄbMŽ ∴
©∑® ‰U¦Ä
vDF¹—U²Ä_UÐ·tŽUHð—«ÊUÂË¨÷—_«`DÝvKŽ©Ë®WDI½sÄvKŽúÃÎUOÝ√—r ł·cÁ
Æw½«u¦ÃUÐ sÄeÃ« Ê ¨≤
Êμ ≠ Ê≥∞ Ω· …bŽUIÃUÐ
≤ Ω Ê bMŽ Ÿ—U ²Ã« bł » Ær −KÃ ©∞
Ÿ® WOz«b²Ðô« WŽd Ã« bł √
Æ◊u³NÃ« sÄ“ Ω œuFBÃ« sÄ“ Ê√ X³Ł√ œ Ær '« tOÃ≈ qB¹ ŸUHð—« vBÁ√ bł ?ł
ÆvÃË_« lÐ—_« w½«u¦Ã« w r '« UNFDÁ w²Ã« WOKJÃ« W U *« bł ?¼

∏μ
Ê œ
· œ
ΩŸ √
Ê±∞ ≠ ≥∞ ΩŸ
∞ Ω Ê bMŽ WOE×KÃ« WŽd Ã« w¼ ©Ÿ® WOz«b²Ðô« WŽd Ã«
ÀØÂ ≥∞ Ω ∞ × ±∞ ≠ ≥∞ Ω ∞
Ÿ
±∞≠ Ω
Ê œ
Ÿ œ
Ω »
¨≤
ÀØÂ±∞≠ Ω ÊuJð ≤ Ω Ê bMŽË
ÆWO½UŁ qJÃ ÀØÂ±∞ ‰bF0 ©t²ŽdÝ hIMð® QÞU³²¹ r '« Ê√ Í√
∞ΩŸ t²ŽdÝ ÊuJð UÄbMŽ ŸUHð—« vBÁ√ vÃ≈ r '« qB¹ ?ł
∞Ω Ê±∞ ≠≥∞ UÄbMŽ Í√
Ê«uŁ ≥Ω Ê
ÆÎ«d²Ä ¥μ Ω ≤
≥×μ ≠ ≥×≥∞ Ω· ŸUHð—« vBÁ√ ÊuJ¹Ë
Ê«uŁ ≥ Ω œuFBÃ« sÄ“ œ
Â“öÃ« sÄeÃ« u¼Ë wKJÃ« WÂd(« sÄ“ b$ ◊u³NÃ« sÄ“ œU−¹ôË
∞ Ω · ÊuJð czbMŽ ÆË WDIMÃ« vÃ≈ r '« œuFOÃ
≤
Êμ ≠ Ê≥∞ Ω dH
©Ê≠∂® Êμ Ω dH
Â¥μ
Âμ
Ë
´
©∏≠≤® qJAÃ«
ÆÊ«uŁ ∂ Ω WÂd(« sÄ“ ∴ ÆÊ«uŁ ∂ Ω Ê Ë√ ∞ Ω Ê
Æ◊u³NÃ« sÄ“ Ω œuFBÃ« sÄ“ Ê√ wMF¹ U2 ÆÊ«uŁ ≥ Ω ≥≠∂ Ω ◊u³NÃ« sÄ“ ∴
ŸUHð—« vKŽ r '« ÊuJ¹ ¨Ê«uŁ ¥ Ω Ê UÄbMŽ ?¼
ÆÎ«d²Ä ¥∞ Ω±∂×μ − ¥×≥∞ Ω ·
ÎUDÐU¼ ÊuJ¹ Ê«uŁ ¥ bFÐ r '« ÊS ¨©Ê«uŁ ≥® œuFBÃ« sÄ“ sÄ d³Â√ Ê«uŁ ¥ sÄeÃ« Ê√ U0Ë
ÆÎ«d²Ä ¥∞ ŸUHð—« vKŽË
Âμ Ω ¥∞ ≠¥μ Ω r '« UND³¼ w²Ã« W U *«
ÆÎ«d²Ä μ∞ Ω μ ´ ¥μ Ω r '« UNFDÁ w²Ã« WOKJÃ« W U *«
Æ©∏≠≤® qJAÃ« kŠô

∏∂
©∏® ‰U¦Ä
ÎUOÝ√— r ł oKÞ√ ¨©π≠≤® qJAÃ« kŠô ¨Âμ∞ ÷—_« `DÝ sŽ lHðd¹ Ãd??Ð WLÁ sÄ
∫…bŽUIÃUÐ vDFð WO½UŁ Ê bFÐ Ãd³Ã« WLÁ sŽ —U²ÄôUÐ · t²Š«“≈ X½UJ vKŽúÃ
∫bł Æ≤
Êμ ≠ Ê±μ Ω·
ÆÀ ≤ Ω Ê bMŽ r '« «c¼ WŽdÝ √
ÆÃd³Ã« WLÁ sÄ Â ±∞ ŸUHð—« vKŽ r '« ÊuJOÃ Â“öÃ« sÄeÃ« »
Æ÷—_« `D Ð r '« ÂUDð—« WŽdÝ ?ł
Ê ±∞≠±μ Ω
Ê œ
· œ
Ω Ÿ √
ÀØÂ μ≠ = ≤ ±∞≠±μ Ω Ÿ ÊuJð ≤ Ω Ê UÄbMŽË
ÆÀØÂ μ U¼—«bIÄ WŽd Ð qHÝ√ vÃ≈ ÎUN−²Ä ÊuJ¹ r '« Ê√ Í√Âμ∞
´
Ë
©π≠≤® qJAÃ«
≤
Êμ ≠ Ê±μ Ω · »
≤
Êμ ≠ Ê±μ Ω ±∞
∞ Ω ±∞ ´ Ê±μ ≠≤
Êμ
∞ Ω ≤ ´ Ê≥ ≠≤
Ê
À≤¨ À± Ω Ê ⇐ ∞ Ω ©≤≠Ê® ©±≠Ê®
…bŠ«Ë WO½UŁ bFÐ vÃË_« ∫5ðdÄ Ãd³Ã« WLÁ sÄ Â±∞ ŸUHð—« vKŽ ÊuJ¹ r '« Ê√ wMF¹ «c¼Ë
ÆjÐU¼ u¼Ë 5²O½UŁ bFÐ Èdš_«Ë ¨bŽU u¼Ë
μ∞≠ Ω · ÊuJð ÷—_« `D Ð r '« ÂUDð—« bMŽ ?ł
≤
Êμ ≠ Ê±μ Ω μ∞≠
∞ Ω μ∞ ´ Ê±μ ≠≤
Êμ
∞ Ω ±∞ ´ Ê≥ ≠≤
Ê
∞ Ω ©≤´Ê® ©μ≠Ê ®
≤≠ ¨ μ Ω Ê
÷—_« `D Ð r '« ÂUDð—ô Â“öÃ« sÄeÃ« ¨Ê«uŁ μ Ω Ê
ÀØÂ≥μ≠ Ω μ ±∞≠±μ Ω Ÿ ÊuJð U¼bMŽË
ÆqHÝ√ vÃ≈ ÀØ Â≥μ U¼—«bIÄ WŽd Ð ÷—_« `D Ð rDðd¹ r '« Ê√ Í√

∏∑
©μ≠≤® s¹—U9
ÆtOKŽ WFÁ«uÃ« ©≥ ¨ ∞® WDIMÃ« bMŽ ≥ ´ ” ≠≤” Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×M* ÂuÝd*« ”UL*« qOÄ bł ±
U¼bMŽ ÂuÝd*« ”UL*« ÊuJ¹ w²Ã« μ´≤”≥≠≥” Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ vKŽ WFÁ«uÃ« ◊UIMÃ«ØWDIMÃ« bł ≤
Æ UMO Ã« —u; ÎU¹“«uÄ
∑ Ω ’μ ≠ ” rOI² *« vKŽ ÎU¹œuLŽ ÊUJ μ ≠ ” ´≤” Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×M* ”U2 rÝ— ≥
Æ”UL*« WÃœUFÄ bł
vKŽ ÍœuLFÃ« qOÄ W¹Ë«“ ÊuJð w²Ã« WDIMÃ« bMŽ ∑≠≤”´≥” Ω ©”®‚ vM×M* ÂuÝd*« ”UL*« WÃœUFÄ bł ¥
Æœ
π ≥
¥
Ω U¼bMŽ vM×M*«
∑ ´ ”μ ≠≤”≤ Ω ©”®‚ vM×M* ÎUÝU2 ©»¨±®¨ ©±≠¨∞® 5²DIMÃ« 5Ð q «uÃ« rOI² *« ÊUÂ «–≈ μ
Æ» WLOÁ błË√
f1Ë ¨©≥ ¨ ±® WDIMÃUÐ ?ł ´ ”» ´ ≤” Ω ’ Ê«d²Áô« vM×MÄ d1 YO×Ð ?ł ¨ » ¨ XÐ«u¦Ã« błË√ ∂
Æ©∞ ¨ ≤® WDIMÃ« bMŽ ∏ Ω ’ ´ ”¥ rOI² *«
Ætł—Uš WFÁ«uÃ« ©∞ ¨ ±® WDIMÃ« sÄ ≤” Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×M* ÂuÝd*« ”UL*« WÃœUFÄ błË√ ∑
øWÃQ LKÃ ÎöŠ rÂ
jš vKŽ „d×²¹ r ' w½«u¦ÃUÐ Ê sÄeÃ«Ë —U²ÄôUÐ · WŠ«“ô« 5Ð WÁöFÃ« w¼ μ´≤
Ê≥≠≥
Ê Ω · X½UÂ «–≈ ∏
Æ≥ Ω Ê bMŽ tŽ—U ðË r '« «c¼ WŽdÝ błËQ ¨rOI² Ä
w½«u¦ÃUÐ Ê t²ÂdŠ sÄ“Ë t cÁ WDI½ sŽ —U²Ä_UÐ · tŽUHð—« 5Ð WÁöFÃ« X½UJ vKŽúÃ ÎUOÝ√— r ł ·cÁ π
Æ≤
Êμ ≠ Êμ∞ Ω · ∫w¼
Ær '« tOÃ≈ qB¹ ŸUHð—« vBÁ√ bł √
ÆÎ«d²Ä ∏∞ ŸUHð—« vKŽ ÊuJ¹ UÄbMŽ r '« «c¼ WŽdÝ bł »
ÆvÃË_« X Ã« w½«u¦Ã« w WŽuDI*« W U *« bł ?ł

∏∏
(Chain Rule) ©VÂd*« Ê«d²Áô« WI²AÄ® WK K Ã« …bŽUÁ ∂≠≤
Ê«d²Áô«n¹dFðsJ1t½S ©”®‚ ‰U−Ä ⊇©”®?¼ÈbÄÊUÂYO×Ð5½«d²Á«©”®?¼¨©”®‚ÊUÂ«–≈t½√rKF½
øÊ«d²Áô« «c¼ WI²AÄ b$ nOJ ¨©©”® ?¼®‚ Ω ©”®©?¼ μ ‚® VÂd*«
©±® ‰U¦Ä
Æ©”®Ó©?¼ °‚® błËQ ¨≥≠”≤ Ω ©”®?¼ ¨ ≤” Ω©”®‚ ÊUÂ «–≈
≤
©≥≠”≤®Ω©©”® ?¼®‚Ω©”® ©?¼ °‚®
π ´ ”±≤≠≤
”¥Ω
±≤≠”∏ Ω ©”®Ó©?¼ °‚® ∴
øtðbŽUÁ W dFÄ vÃ≈ ¡u−KÃ« ÊËœ VÂd*« Ê«d²Áô« WI²AÄ œU−¹≈ UMMJ1 q¼ sJÃË
∫‰ƒU ²Ã« «c¼ sŽ VO& WOÃU²Ã« …bŽUIÃ«
∫WK K Ã« …bŽUÁ
Ê«d²Áô« ÊS ¨©”®?¼ bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ©”®‚ ÊUÂË ¨” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ÎU½«d²Á« ©”®?¼ ÊUÂ «–≈
Æ©”®Ó ?¼ × ©©”® ?¼®Ó‚ Ω ©”®Ó©?¼ °‚® ÊuJ¹Ë ¨” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ÊuJ¹ ©”® ©?¼ °‚® VÂd*«
©≤® ‰U¦Ä
∫błËQ ±´≤” Ω ©”® ?¼ ¨μ´”≤´≥” Ω ©”® ‚ ÊUÂ «–≈
©±®Ó©‚ °?¼® » ©”®Ó©?¼ °‚® √
”≤ Ω ©”®Ó ?¼ ¨ ≤´≤” ≥ Ω ©”®Ó‚
©”®Ó ?¼ × ©©”® ?¼®Ó‚ Ω ©”®Ó©?¼ °‚® √
”≤ × ©±´≤”®Ó‚ Ω
©”≤® × ©≤´≤
©±´≤”® ≥® Ω
”±∞ ´≥”±≤ ´μ”∂ Ω
©±®Ó‚ × ©©±®‚®Ó ?¼ Ω ©±®Ó©‚ °?¼® »
∏∞ Ω μ × ±∂ Ω ©±®Ó‚ × ©∏®Ó ?¼ Ω

∏π
∫WEŠöÄ
∫ÊS wÃU²ÃUÐË ©©”® ?¼®‚ Ω’ ÊS ¨©”®?¼ Ω Ÿ ¨ ©Ÿ®‚ Ω ’ ÊUÂ «–≈ t½√ kŠô
©”®Ó ?¼ Æ ©©”®?¼®Ó‚ Ω ©©”®©?¼ °‚®® ” œ
œ
Ω ” œ
’ œ
©”®Ó ?¼ Æ ©Ÿ®Ó‚ Ω
” œ
Ÿ œ
Æ
Ÿ œ
’ œ
Ω
” œ
Ÿ œ
Æ
Ÿ œ
’ œ
Ω ” œ
’ œ
Ê√ Í√
©≥® ‰U¦Ä
Æ ” œ
’ œ
błËQ ¨≥≠”≤´≥” Ω Ÿ ¨ ±´Ÿ≥´≤
Ÿ Ω ’ ÊUÂ «–≈
” œ
Ÿ œ
× Ÿ œ
’ œ
Ω ” œ
’ œ
©≤´≤”≥® ©≥´Ÿ ≤®Ω
©≤´≤”≥® ©≥´ ©≥≠”≤´≥”®≤®Ω
©≤´≤”≥® ©≥≠”¥´≥”≤®Ω
∂≠”∏ ´ ≤”π ≠ ≥”±∂ ´ μ”∂Ω
Æ5½«d²Á« sÄ d¦Â√ qLA²Ã WK K Ã« …bŽUÁ rOLFð sJ1 ∫WEŠöÄ
©¥® ‰U¦Ä
∞ Ω ”
¸ ” œ
Ÿ œ
błËQ ¨”≥´≤”´≥”Ω’¨μ´’≠≤’Ω‰¨≥´≤
‰≤´≥
‰ Ω Ÿ X½UÂ «–≈
” œ
‰ œ
×
‰ œ
Ÿ œ
Ω ” œ
Ÿ œ
” œ
’ œ
× ’ œ
‰ œ
×
‰ œ
Ÿ œ
Ω
©≥´”≤´≤”≥®©±≠’≤® ©‰¥´≤
‰≥® Ω
μ Ω ‰¨ ∞ Ω ’ ÊuJð ∞ Ω ” UÄbMŽË
≤∏μ≠ Ω ≥ × ±≠ × ©≤∞´≤μ × ≥® Ω
∞ Ω ”
¸ ” œ
Ÿ œ
∴

π∞
©μ® ‰U¦Ä
∫Ê≈ YO×Ð vKŽ ‚UI²ýöÃ ÊöÐUÁ ÊU½«d²Á« ©”®?¼ ¨ ©”®‚
©±®Ó©?¼ °‚® błË√ ¨ ±∞Ω©±® ?¼ ¨≥ Ω ©±∞®Ó‚¨≤≠ Ω©±®Ó‚ ¨μ Ω ©±®Ó ?¼
©±®Ó ?¼ × ©©±® ?¼®Ó‚ Ω ©±®Ó©?¼ °‚®
±μ Ω μ × ≥ Ω μ × ©±∞®Ó‚ Ω
©∂® ‰U¦Ä
≥ Ω ©π®Ó‚ ÊQÐ ÎULKŽ ©≤®Ó‰ błËQ ¨ ©±≠”≥´≤”®‚ Ω ©”®‰ ÊUÂ «–≈
±≠”≥´≤” Ω ©”®?¼ Ê√ ÷dHÐ
©©”® ?¼®‚ Ω ©”®‰ ÊuJ¹
©”®Ó?¼ × ©©”® ?¼®Ó‚ Ω ©”®Ó‰ ∴
©≥´”≤® × ©±≠”≥´≤”®Ó‚ Ω
≤±Ω ∑ × ≥ Ω ∑ × ©π®Ó‚ Ω ©≤®Ó‰ ∴
∫W−O²½
∫ÊS ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂË ¨`O× œbŽ Ê ¨ Ê
©©”®‚®Ω ’ X½UÂ «–≈
©”®Ó‚ × ±≠Ê
©©”® ‚®Ê Ω ” œ
’ œ
∫ÊU¼d³Ã«
Ê Ÿ Ω ’ ÊuJO ¨©”®‚ Ω Ÿ Ê√ ÷d «
” œ
Ÿ œ
× Ÿ œ
’ œ
Ω ” œ
’ œ
©”®Ó‚ × ±≠Ê
©©”® ‚®Ê Ω ©”®Ó‚ × ±≠ Ê Ÿ Ê Ω
©∏® ‰U¦Ä
” œ
’ œ
błËQ ¨ μ
©±≠”≥® Ω ’ X½UÂ «–≈
¥
©±≠”≥® ±μ Ω ≥ × ¥
©±≠”≥®μ Ω ” œ
’ œ

π±
©∂≠≤® s¹—U9
∫ błËQ ”≤≠ ≥ Ω ©”®?¼ ¨ ≥” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±
©”®Ó©‚ °?¼® » ©”®Ó©?¼ °‚® √
Æ ” œ
’ œ
błËQ ±≠”≥´≤”≤ Ω Ÿ ¨ ∂ ´ Ÿμ ≠≥Ÿ Ω ’ X½UÂ «–≈ ≤
±≠ Ω ©≤®Ó ?¼¨ ¥Ω ©≤® ?¼ ∫ÊQÐ ÎULKŽ ¨©≥®Ó‰ błËQ ©≤´”≥≠≤”®?¼ × ”Ω ©”®‰ ÊUÂ «–≈ ≥
≤ Ω ©±® Ó‚ ¨ ≥ Ω ©±®‚ ÊQÐ ÎULKŽ ¨©±®ÓÂ błËQ ©”®≥
‚ ≠ ©≤”®‚ Ω ©”®Â ÊUÂ «–≈ ¥
∫błËQ ¨ μ ´ ’≥ Ω ” ¨± ≠ ”∑ ´≤” Ω ‰¨ ‰ ≠≤
‰ Ω Â X½UÂ «–≈ μ
’œ
Â œ
»
’œ
‰ œ
√
Æ©≤®Ó‰ błËQ μ
©≥≠”≠≤”® Ω ©”®‰ ÊUÂ «–≈ ∂
≤ Ω ”
¸ ” œ
’ œ
błËQ ©©”
±
®?¼®‚ Ω’ ÊUÂ «–≈ ∑
∂ Ω ©≤®Ó‚ ¨ ¥ Ω ©≥≠®Ó‚ ¨ ≤Ω © ≤
±
®Ó ?¼ ¨ ≥≠ Ω © ≤
±
®?¼ ÊQÐ ÎULKŽ
∫WOÃU²Ã« ’«u)« tÃ Ê«d²Á« ©”®‚ ∏
”∞±≤¥
©”®‚∞±≥∂
©”®Ó‚±±≤≥
©”®Î‚≤±±∞
≤ ¨ ± ¨ ∞ Ω ” bMŽ WO½U¦Ã«Ë vÃË_« t²I²AÄË „ Ê«d²Áô« WLOÁ błË√ ©≤”® ‚ ” Ω ©”®„ sJOÃ
∫t½√ s¼dÐ Æ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ÎU½«d²Á« ©”®‚ sJOÃ π
ÆÎU¹œd ÎU½«d²Á« ÊuJ¹ ©”®Ó‚ ÊS ÎUOłË“ ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈ √
ÆÎUOłË“ ÎU½«d²Á« ÊuJ¹ ©”®Ó‚ ÊS ÎU¹œd ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈ »
ÎU¹œd ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊuJ¹Ë ¨©”®‚ Ω ©”≠®‚ ÊUÂ «–≈ ÎUOłË“ ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊuJ¹ ∫œUý—≈®
©©”®‚≠ Ω ©”≠®‚ ÊUÂ «–≈

π≤
(Implicit Differentiation) wMLCÃ« ‚UI²ýô« ∑≠≤
w Ë Æ” WÃôbÐ W×¹d …—uBÐ …UDFÄ ’ YOŠ ©”®‚ Ω ’ tð—u Ê«d²Áô vÃË_« WI²A*« b$ nOÂ ÎUIÐUÝ UM dFð
Ë√ ÎU½«d²Á« ÎUOML{ ·=dFÔð ’ Ê≈ ‰UI¹ ¨ULNOKÂ Ë√ WÃœUF*« w dÞ bŠ√ w ÎUFÄ Ê«dOG²*« UNO dNE¹ w²Ã« Èdš_« ôU(«
∫wÃU²Ã« ‰U¦*« w ULÂ wMLCÃ« ‚UI²ýô« ÁUL *« WI¹dDÃUÐ U½«d²Áô« Ác¼ sÄ Í_ WI²A*« »U Š sJ1Ë Æd¦Â√
©±® ‰U¦Ä
” œ
’ œ
błËQ ≤μΩ≤’´≤” X½UÂ «–≈
Æ≥ Ω ” UÄbMŽ ” œ
’ œ
błË√ ¨pÃ– sÄË
∫wK¹ ULÂ ” ?Ã W³ MÃUÐ WÁöFÃ« w dÞ o²A½
©≤μ® ” œ
œ
Ω ©≤’® ” œ
œ
´ ©≤”® ” œ
œ
dH Ω ” œ
’ œ
× ©≤’® ’ œ
œ
´ ”≤
dH Ω ” œ
’ œ
’≤ ´ ”≤
’
”≠
Ω ’ ≤
”≤≠
Ω ” œ
’ œ
∴
≤” ≠ ≤μ √ Ω±
’
’
”
≤” ≠ ≤μ √ ≠ Ω≤
’ ©¥≠ ¨ ≥®
©¥ ¨ ≥®
©±∞≠≤® qJAÃ«
¥∓ Ω ’ ÊuJð ≥ Ω ” UÄbMŽ
¥
≥≠
Ω
©¥ ¨ ≥®
¸ ” œ
’ œ
∴
≤” ≠ ≤μ √ Ω±
’ Ê«d²Áô« vM×M* ”UL*« qOÄ q¦9 w¼Ë
Æ©…dz«bÃ« sÄ ÍuKFÃ« nBMÃ«® ©±∞≠≤® qJAÃ« w ULÂ
¥
≥
Ω
¥≠
≥≠
Ω
©¥≠¨ ≥®
¸ ” œ
’ œ
≤” ≠ ≤μ √ ≠ Ω≤
’ Ê«d²Áô« vM×M* ”UL*« qOÄ q¦9 w¼Ë
Æ©…dz«bÃ« sÄ wKH Ã« nBMÃ«® ©±∞≠≤® qJAÃ« w ULÂ

π≥
©≤® ‰U¦Ä
Æ Â œ
‰ œ
błËQ ∂ ´ ‰¥ Ω Âμ ´≥Â≤
‰ X½UÂ «–≈
∫Ê√ Z²M¹ Â ?Ã W³ MÃUÐ 5 dDÃ« ‚UI²ýUÐ
Â œ
‰ œ
¥ Ω μ ´ Â œ
‰ œ
‰≤ ≥Â ´≤Â≥ ≤
‰
≤Â≤
‰≥ ≠ μ≠ Ω Â œ
‰ œ
¥≠ Â œ
‰ œ ≥Â ‰≤
≤Â≤
‰≥ ≠ μ≠ Ω ©¥ ≠ ≥Â‰≤® Â œ
‰ œ
¥ ≠ ≥Â‰≤
≤Â≤
‰≥ ≠ μ≠
Ω Â œ
‰ œ
⇐
©≥® ‰U¦Ä
Æ ” œ
’ œ
błËQ ¨ ∑ ≠≥
’ ´≤
”≤ Ω μ
©’≥´”® X½UÂ «–≈
∫Ê√ Z²M¹ ” ?Ã W³ MÃUÐ 5 dDÃ« ‚UI²ýUÐ
” œ
’ œ ≤’ ≥´”¥Ω © ” œ
’ œ
≥´±® ¥
©’≥´”® μ
” œ
’ œ ≤’≥ ´ ”¥ Ω ” œ
’ œ ¥
©’≥´”®±μ´¥
©’≥´”®μ
¥
©’≥ ´ ”®μ ≠ ”¥ Ω ©≤’≥ ≠ ¥
©’≥ ´ ”®±μ® ” œ
’ œ
≤’≥≠¥
©’≥´”®±μ
¥
©’≥´”®μ ≠”¥
Ω ” œ
’ œ
∴
©¥® ‰U¦Ä
©≥¨±≠® WDIMÃ« bMŽ ÂuÝd*« ≤∞Ω ’≤ ´”¥≠≤’´≤” vM×MLKÃ ”UL*« WÃœUFÄ bł
ÆtOKŽ WFÁ«uÃ«
∫Ê√ Z²M¹ ” dOG²LKÃ W³ MÃUÐ WÁöFÃ« w dÞ ‚UI²ýUÐ
∞ Ω ” œ
’ œ
≤ ´ ¥≠ ” œ
’ œ
’≤ ´ ”≤
∫ÊuJ¹ ©≥¨±≠® WDIMÃ« w i¹uF²ÃUÐË

π¥
≥
¥
Ω ” œ
’ œ
UNMÄ Ë ¨ ∞ Ω ” œ
’ œ
≤ ´ ¥ ≠ ” œ
’ œ
∂ ´ ≤≠
≥
¥
ÍËU ¹ ©≥¨±≠® WDIMÃ« bMŽ vM×MLKÃ ÂuÝd*« ”UL*« qOÄ ∴
∫w¼ ”UL*« WÃœUFÄ ∴
©±
” ≠ ”®Â Ω ±
’ ≠ ’
©± ´ ”® ≥
¥
Ω ≥ ≠ ’
≥ ´ ”≥ Ω ±≤ ≠ ’¥
±μ
¥
´ ” ≥
¥
Ω ’
∫W¹d JÃ« ÈuIÃ« WI²AÄ ∫W−O²½
±≠
Â
Ê ”
Ê
Â
Ω ” œ
’ œ
∫ÊS ¨w³ ½ œbŽ
Ê
Â
¨
Â
Ê ” Ω ’ X½UÂ «–≈
∫ÊU¼d³Ã«
Â
Ê ”Ω ’
Ê
©
Â
Ê ”®Ω Ê’
Â
” Ω Ê’
∫” ?Ã W³ MÃUÐ ‚UI²ýôUÐ
±≠Â
” Â Ω ” œ
’ œ±≠Ê’Ê ⇐
±≠
Â
Ê ”
Ê
Â
Ω
Â
Ê ´Â≠±≠Â
”
Ê
Â
Ω Â
Ê
≠Â
”
±≠Â
”
×
Ê
Â
Ω
± ≠ Ê
©
Â
Ê ”®
±≠Â
”
×
Ê
Â
Ω ±≠Ê’ Ê
±≠Â
” Â
Ω ” œ
’ œ
©μ® ‰U¦Ä
Æ©∏®Ó‚ błËQ ¨
≤
≥ ” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
±≠
≥ ”
≥
≤
Ω ©”®Ó‚
±≠
≤
≥
≤
Ω
±≠
≥ ©≥
≤®
≥
≤
Ω
±≠
≥ ©∏®
≥
≤
Ω ©∏®Ó‚
≥
±
Ω
≤
±
≥
≤
Ω

πμ
©∂® ‰U¦Ä
Æ
± Ω ‰
¸ ‰ œ
Â œ
błË√
±
¥ ‰∏ ´
μ
≥ ‰∂ ≠
¥
μ ‰ Ω Â sJ²Ã
≥≠
¥ ‰
¥
±
∏ ´
≤
≥ ‰
≥
μ
∂ ≠
±≠
μ ‰
μ
¥
Ω
‰ œ
Â œ
≥≠
¥ ‰≤ ´
≤
≥ ‰±∞ ≠
±≠
μ ‰
μ
¥
Ω
± ≤´± ±∞ ≠±
μ
¥
Ω
‰ œ
Â œ
ÊuJð± Ω ‰ UÄbMŽË
∑[≤≠ Ω
∫wðü« u×MÃ« vKŽ WIÐU Ã« W−O²MÃ« rOLFð sJL¹Ë
∫ÊS ‚UI²ýöÃ qÐUÁ ©”®‚ ¨ w³ ½ œbŽ
Ê
Â
¨
Â
Ê ©©”®‚®Ω ’ X½UÂ «–≈
©”®Ó‚
±≠
Â
Ê ©©”®‚®
Ê
Â
Ω ” œ
’ œ
∫’Uš qJAÐË
©”®‚ √ ≤
©”®Ó‚
Ω ” œ
’ œ
∫ÊS …œułuÄ ©”®Ó‚ ∞ < ©”®‚ ¨ ©”®‚ √ Ω ’ X½UÂ «–≈
©∑® ‰U¦Ä
Æ
≤ Ω ”
¸ ” œ
’ œ
błËQ ≤¥ ´ ≥” √
μ
Ω ’ X½UÂ «–≈
±
μ ©≤¥ ´ ≥”®Ω ’
©≤”≥®
¥≠
μ ©≤¥ ´ ≥”® ±
μ
Ω ” œ
’ œ
©±≤®
¥≠
μ ©≥≤® ±
μ
Ω
≤ Ω ”
¸ ” œ
’ œ
≥
≤∞
Ω
±≤ ±
±∂ μ
Ω

π∂
©∏® ‰U¦Ä
Æ ” œ
’ œ
błËQ ∏´”´≤” √ Ω ’ X½UÂ «–≈
∏´”´≤” √ ≤
©±´”≤®
Ω ” œ
’ œ
©π® ‰U¦Ä
Æ ” œ
’ œ
błËQ μ ´≤” Ω ’ ”≥ √ ÊUÂ «–≈
∫Ê√ Z²M¹ ” ?Ã W³ MÃUÐ WÁöFÃ« w dÞ ‚UI²ýUÐ
”≤ Ω
’ ”≥ √ ≤
’ ≥´ ” œ
’ œ
”≥
’ ”≥ √ ”¥ Ω ’≥ ´ ” œ
’ œ
”≥
”≥
’≥ ≠ ’ ”≥ √ ”¥
Ω ” œ
’ œ
Æ” vÃ≈ W³ MÃUÐ wMLCÃ« ‚UI²ýô« rŁ 5 dDÃ« lOÐd²Ð pÃ–Ë ¨Èdš√ WI¹dDÐ ‰U¦*« qŠ sJ1 ∫WEŠöÄ

π∑
©∑≠≤® s¹—U9
∫U¼¡«“≈ …—uÂc*« WI²A*« bł ¨WOÃU²Ã« UÁöFÃ« sÄ qÂ w ±
Ÿ œ
‰ œ
ª ≥´≤
‰ Ω Ÿ μ ≠ ‰ Ÿ »
” œ
’ œ
ª μ ≠”≥ Ω ≤’´’ ” √
” œ
’ œ
ª ¥≠”≥´
¥≠
μ ”±∞´
≤
≥ ” ∂ Ω ’ œ
” œ
’ œ
ª ≤’≠”≥ Ω μ
©’≤´”® ?ł
©≤®Ó‚ ª ∑ ´ ” ≠≤” √ Ω ©”®‚ Ë
μ≠ Ω ”
¸ ” œ
‰ œ
ª ±∏ ´ ”≤
≥
√Ω ‰ ?¼
” œ
’ œ
ª μ≠’≥´≤” Ω ’´”≥ √ “
‰
≥
√
≤
Ω
” œ
‰ œ
≤” π ∫ Ê√ X³ŁQ ≥
©¥≠≥”® √ Ω ‰ X½UÂ «–≈ ≤
· √ ≥ Ω Ÿ ∫WÁöFÃ« o Ë r ł „d×²¹ ≥
ÆXÐUŁ Ÿ—U ²Ð dO ¹ r '« «c¼ Ê√ X³Ł√ ¨VOðd²Ã« vKŽ WŠ«“ù«Ë WŽd Ã« UL¼ ·¨Ÿ
Æ ≥’
±≠
Ω ≤” œ
’ ≤
œ
∫ Ê√ X³ŁQ ± Ω≤’ ≠≤” ÊUÂ «–≈ ¥
”UL*« W??ÃœU??F??Ä b???łË√ r??Ł ¨ ±π Ω≤’ ´’ ” ´≤” ∫WÁöFÃ« vM×MÄ vKŽ lIð ©≤¨≥® WDIMÃ« Ê√ =5Ð μ
ÆU¼bMŽ vM×M*« vKŽ ÍœuLFÃ«Ë
∂ Ω ’ UÄbMŽ
Ÿ œ
” œ
błËQ ¨ ∏´≤’ ≠’μ Ω Ÿ ¨ ±∏ Ω ’ ”≥´≤’ ÊUÂ «–≈ ∂
Æ©≤ ¨ ±® WDIMÃ« bMŽ ∂ Ω ’ ”´≤’ ∫WÁöFÃ« vM×M* ÂuÝd*« ”UL*« WÃœUFÄ bł ∑
∫5ðdz«bÃ« Ê√ q{UH²Ã« »U Š Â«b ²ÝUÐ =5Ð ∏
∞ Ω ±∞≠’´”≤´≤’´≤” ¨ ∞ Ω ≤μ´’∂≠”±≤ ≠≤’´≤”
Æ©±¨≤® WDIMÃ« bMŽ ÊU²ÝUL²Ä
Æ©± ¨ ≤® WDIMÃ« bMŽ
’≤
œ
≤
”œ
błËQ ” Ω ’´≥’ X½UÂ «–≈ π
ÆÎUOI √ U¼bMŽ ”UL*« ÊuJ¹ w²Ã«Ë ¨∞ Ω ¥ ´ ’ ” ≠ ≤” vM×M*« vKŽ WFÁ«uÃ« ◊UIMÃ«ØWDIMÃ« błË√ ±∞

π∏
W¹dz«bÃ« U½«d²Áô« UI²AÄ ∏≠≤
WOI «u²Ã« WÂd(« ∫q¦Ä W¹—ËbÃ« WH qL% w²Ã« d¼«uEÃ« sÄ dO¦JÃ« n Ë w W¹dz«bÃ« U½«d²Áô« Âb ² ð
dO¦Â rN w W Uš WOL¼√ U½«d²Áô« Ác¼ UI²AÄ WÝ«—œ `M1 U2 U¼dOžË ¨WO OÞUMGÄËdNJÃ« ‰uI(«Ë ¨WDO ³Ã«
ÆWOFO³DÃ« d¼«uEÃ« sÄ
∫©±® W¹dE½
Æ” U²ł Ω ©”®Ó‚ ÊS ¨Ídz«bÃ« d¹bI²ÃUÐ ” ¨”Uł Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
∫ÊU¼d³Ã«
?¼
©”®‚ ≠ ©?¼ ´ ”®‚
∞ ← ?¼
Ω ©”®Ó‚
?¼
” Uł ≠ ©?¼ ´ ”®Uł
∞ ← ?¼
Ω
?¼
” Uł ≠ ?¼ Uł ” U²ł ´ ?¼ U²ł ”Uł
∞ ← ?¼
Ω
?¼
?¼ Uł
” U²ł
∞ ← ?¼
´ © ?¼
± ≠ ?¼ U²ł
®” Uł
∞ ← ?¼
Ω
?¼
?¼ Uł
∞ ← ?¼
× ” U²ł ´
?¼
± ≠ ?¼ U²ł
∞ ← ?¼
× ” Uł
∞ ← ?¼
Ω
©≤¥ W×H ≥ ‰U¦Ä dE½« ¨ dH Ω
?¼
± ≠ ?¼ U²ł
∞ ← ?¼
YOŠ® ¨ ± × ” U²ł ´ dH × ” UłΩ
” U²łΩ
©±® ‰U¦Ä
Æ©π
∂ ®Ó‚ błËQ ¨” Uł Ω ©”® ‚ ÊUÂ «–≈
” U²ł Ω ©”®Ó‚
≤
≥ √
Ω ©π
∂ ®U²ł Ω ©π
∂ ®Ó‚

ππ
©≤® ‰U¦Ä
Æ©”®Ó ?¼ błËQ ”Uł ≤” Ω ©”® ?¼ ÊUÂ «–≈
” Uł ”≤ ´” U²ł ≤” Ω ©”®Ó ?¼
©≥® ‰U¦Ä
Æ
’œ
” œ
błËQ ©”≥≠μ® Uł Ω’ X½UÂ «–≈
©”≥≠μ® U²ł ≥≠ Ω ≥≠ ©”≥≠μ® U²ł Ω
’œ
” œ
©¥® ‰U¦Ä
Æ
π Ω ”
¸ ” œ
Ÿ œ
błË√ ©” Uł® Uł Ω Ÿ ÊUÂ «–≈
” U²ł ©©” Uł® U²ł®Ω
Ÿ œ
” œ
π U²ł ©©π Uł® U²ł®Ω
Ÿ œ
” œ
ÊS π Ω ” UÄbMŽË
±≠ Ω±≠ ± Ω π U²ł ∞ U²ł Ω
∫©≤® W¹dE½
” Uł ≠ Ω ©”®Ó‚ ÊS ¨ ” U²ł Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
∫ÊU¼d³Ã«
©”≠
≤
® Uł Ω ” U²ł Ω ©”® ‚
” Uł≠ Ω ±≠ ©”≠
≤
® U²ł Ω ©”®Ó‚
©μ® ‰U¦Ä
©”®Ó?¼ błËQ ©”≤≠±® ≥
U²ł Ω©”®?¼ ÊUÂ «–≈
≥
©©”≤≠±® U²ł® Ω ©”®?¼
≤≠ ©©”≤≠±® Uł ≠® ≤
©©”≤≠±® U²ł®≥ Ω ©”®Ó ?¼
©”≤≠±® Uł ©”≤≠±®≤
U²ł ∂ Ω

±∞∞
©∂® ‰U¦Ä
’ œ
” œ
błËQ ¨ ” Ω ©’ ”®U²ł ÊUÂ «–≈
∫Ê√ Z²M¹ ” vÃ≈ W³ MÃUÐ WÁöFÃ« w dÞ ‚UI²ýUÐ
± Ω ©’ ´
’ œ
” œ
”® ©’ ”®Uł≠
©’ ”® Uł ’ ´ ± Ω ” œ
’ œ
©’ ”® Uł ”≠
©’ ”® Uł ”
©’ ”® Uł ’ ´ ±
≠ Ω
©’ ”® Uł ”≠
©’ ”® Uł ’ ´ ±
Ω ” œ
’ œ
∫Èdš_« W¹dz«bÃ« U½«d²Áô« UI²AÄ ∫©≥® W¹dE½
” ≤
UÁ Ω ” œ
’ œ
ÊS ” Uþ Ω ’ X½UÂ «–≈ ±
”≤
U²Á≠ Ω ” œ
’ œ
ÊS ” U²þ Ω ’ X½UÂ «–≈ ≤
” Uþ ” UÁ Ω ” œ
’ œ
ÊS ” UÁ Ω ’ X½UÂ «–≈ ≥
” U²þ ” U²Á≠ Ω ” œ
’ œ
ÊS ” U²Á Ω ’ X½UÂ «–≈ ¥
∫ÊU¼d³Ã«
” Uł
” U²ł
Ω ” Uþ Ω ’ ±
”≤
UÁ Ω
±
”≤
U²ł
Ω
”≤
Uł´”≤
U²ł
”≤
U²ł
Ω
” Uł − ” Uł ≠ ” U²ł ” U²ł
”≤
U²ł
Ω
’ œ
” œ
ÆWKŁU2 WI¹dDÐ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ bŽ«uIÃ« W× vKŽ WM¼d³Ã« sJ1Ë

±∞±
©∑® ‰U¦Ä
Æ
’ œ
” œ
błË√ ”μ ≤
U²Á ≠” Uþ ≤ Ω ’ X½UÂ «–≈
≤
©”μ U²Á® ≠” Uþ ≤ Ω’
μ ©”μ U²þ ” μ U²Á≠® ±
©” μ U²Á®≤ ≠” ≤
UÁ≤ Ω
’ œ
” œ
” μ U²þ ” μ ≤
U²Á ±∞´” ≤
UÁ ≤ Ω
©∏® ‰U¦Ä
w½«u¦ÃUÐ ©Ê® sÄeÃ«Ë —U²Ä_UÐ · WŠ«“ù« 5Ð WÁöFÃ« w¼ Ê≤ U²ł ´Ê ≥ Uł Ω · X½UÂ «–≈
Æ
π
∂
Ω Ê UÄbMŽ r '« «c¼ Ÿ—U ðË WŽdÝ błËQ ¨rOI² Ä jš vKŽ „d×²¹ r '
Ê ≤ Uł ≤≠ Ê ≥ U²ł ≥ Ω
· œ
Ê œ
Ω Ÿ
π
≥
Uł ≤ ≠
π
≤
U²ł ≥ Ω Ÿ ÊS
π
∂
Ω Ê UÄbMŽË
ÀØÂ ≥ √ ≠ Ω
≥ √
≤
≤ ≠ ∞ Ω Ÿ
Ê ≤ U²ł ¥ ≠ Ê ≥ Uł π≠ Ω
Ÿ œ
Ê œ
Ω
π
≥
U²ł ¥ ≠
π
≤
Uł π≠ Ω ÊS
π
∂
Ω Ê UÄbMŽË
±
≤
¥≠ π≠ Ω
≤
ÀØÂ ±±≠Ω

±∞≤
©∏≠≤® s¹—U9
∫
’ œ
” œ
błË√ WOÃU²Ã« U½«d²Áô« sÄ qÂ w ±
”≤
U²ł´”≤
Uł Ω’ » ” U²ł≤ ≠” Uł ≥ Ω ’ √
©
”
≤
® U²ł ¥Ω’ œ ≤
” Uþ ≠ ≥
Ω’ ?ł
” ´ π √ U²Á Ω’ Ë ”≤
UÁ ≠”≤
Uþ Ω’ ?¼
©”≥ Uł® UÁ Ω’ ?Š ©” ≠μ®≥
U²þ Ω’ “
Æ
’ œ
” œ
błËQ ”≥ U²ł´μ Ω Â ¨ Â Uł´≥ Ω ’ X½UÂ «–≈ ≤
Æ ”≤ Uł ≤ Ω
’ œ
” œ
Ê√ X³ŁQ ¨ ”≤ Uł ” Uþ Ω ’ X½UÂ «–≈ ≥
Æ
’ œ
” œ
błËQ ¨ ”≤ U²þ ≠ ” ≥ Ω ©’ ”® Uł ÊUÂ «–≈ ¥
”UL*« ÊuJ¹ w²Ã«Ë ¨› π≤ ¨ ∞¤ ∋ ” ¨ ”≤ U²ł ≠” Ω ©”® ‚ vM×MÄ vKŽ WFÁ«uÃ« ◊UIMÃ«ØWDIMÃ« bł μ
Æ UMO Ã« —u; ÎU¹“«uÄ UNMÄ ÌqÂ bMŽ vM×MLKÃ ÂuÝd*«
Æ ©±¨
≤ ®WDIMÃ« bMŽ ©’ ”® Uł Ω’ vM×M* ÂuÝd*« ”UL*« WÃœUFÄ bł ∂
Æ©”®Î ?¼ błËQ Æ” ≥ UÁ Ω ©”® ?¼ ÊUÂ «–≈ ∑
Æ©’≥´±® ©’´±®≤ Ω
’ ≤
œ
≤
” œ
∫Ê√ X³ŁQ ¨” ≤
Uþ Ω’ X½UÂ «–≈ ∏
Æ dH Ω ’ ´
’ œ
” œ
´
’ ≤
œ
≤
” œ
´
’ ≥
œ
≥
” œ
Ê√ X³ŁQ ” U²ł≤ ´” Uł Ω’ X½UÂ «–≈ π
Ê√ X³Ł√ ¨XÐ«uŁ ?ł ¨ » ¨ YOŠ ¨ ©?ł ´ Ê »® U²ł Ω · WÁöFÃ« o Ë rOI² Ä jš w r ł dO ¹ ±∞
Æw½«u¦ÃUÐ Ê sÄeÃ« ¨—U²Ä_UÐ · WŠ«“ù« ÊQÐ ÎULKŽ ¨· ≤
»≠ Ω r '« Ÿ—U ð

±∞≥
WÄUŽ s¹—U9
∫wK¹ ULO W×O×BÃ« WÐUłù« eÄ— ‰uŠ …dz«œ l{ ±
∫ÍËU ð ©±®‚ ÊS ∏ Ω ©≥®‚ X½UÂË ¥ ÍËU ¹ ≥ Ω ” ¨ ± Ω ” 5Ð ©”®‚ Ê«d²Áô« dOGð jÝu²Ä ÊUÂ «–≈ ±
¥ œ dH ?ł ≤ » ±∂ √
∫ÍËU ð ©±≤®Ó‚ ÊS ¨ ›μ´”
±
≥ ¤Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≤
¥ œ dH ?ł …œułuÄ dOž » ±
≥
√
w ©≤”®‚ Ê«d²Áô« dOGð jÝu²Ä ÊS π ÍËU ¹ ›±∂ ¨ ±¤ …d²HÃ« w ©”®‚ Ê«d²Áô« dOGð jÝu²Ä ÊUÂ «–≈ ≥
∫ÍËU ¹ ›¥ ¨ ±¤ …d²HÃ«
ÁœU−¹≈ sJ1 ô œ π ?ł ≥ » ¥μ √
∫ÍËU ð
”≤ U²ł ≠ ©?¼≠”≤® U²ł
?¼ ∞ ← ?¼
¥
”≤Uł≠ œ ”≤Uł ?ł ”≤Uł≤≠ » ”≤Uł≤ √
∫ÍËU ð ©
≤
®Ó©?¼ °‚® ÊS ”U²ł ≤Ω©”®?¼ ¨ ”Uł Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ μ
≤≠ œ ≤ ?ł ±≠ » ± √
∫ÍËU ð ©
±
¥
®Ó©?¼ °‚® ÊS ” √ Ω ©”®?¼ ¨ ± ≠ ” ´ ≤”≤ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ∂
±≠
≤
œ ≥≠ ?ł ±
≤
» ≥ √
∫ÍËU ð ≥≠∂
©?¼´±®≥
?¼ ≤ ∞ ← ?¼
∑
≥ œ π ?ł ±∏ » …œułuÄ dOž √
∫ÍËU ð © ®‚≠©?¼´ ®‚
?¼ ∞ ← ?¼
ÊS ”≤Uþ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ∏
W dFÄ dOž œ dH ?ł ≤≠ » ≤ √
∫ÍËU ð ”≥
Uł≠©?¼≤´”®≥
Uł
?¼ ≥ ∞ ← ?¼
π
”≤
U²ł œ ”≤Uł ” Uł ?ł ”≤
U²ł
≤
≥
» ”≤
Uł≤ √

±∞¥
∫ÍËU ð ©”® Ó‚ ÊS ©≤”®?¼ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±∞
©≤”®Ó ?¼ ”≤ œ ©”®Ó ?¼ ”≤ ?ł ©”≤®Ó ?¼ » ©≤”®Ó ?¼ √
ÊS ± Ω ” bMŽ „d²AÄ ”U??2 ” » ´≤
”≤Ω ©”®???¼¨ ±´≤” Ω ©”®‚ 5½«d²Áô« wOM×M* ÊUÂ «–≈ ±±
∫ UL¼ VOðd²Ã« vKŽ » ¨ w²LOÁ
Æ5²ÐU¦Ã«œU−¹ùwHJðô…UDF*« UÄuKF*« œ ≥¨≤ ?ł ¥¨≥ » ≤¨≥ √
∫UÄbMŽ ÎU¹œbŽ ÊU¹ËU ²¹ tŽ—U ðË r '« «c¼ WŽdÝ ÊS ¨Ê∂≠≤
ÊΩ· WÁöFÃ« o Ë rOI² Ä jš vKŽ r ł „d% «–≈ ±≤
WÂd(« ¡bÐ bMŽ œ ¥ Ω Ê ?ł ≥ Ω Ê » ≤ Ω Ê √
∫ÍËU ð ©±®Ó‚ ÊS
± ” ¨ ”≥ ´ ≤” √
± ” ¨ ≥≠”μ
Ω©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±≥
…œułuÄ dOž œ ± ?ł ∏ » μ √
∫ÍËU ð WLOÁ ÊS ´≤” Ω ’ T UJ*« lDIKÃ ÎUÝU2 ” Ω ’ rOI² *« ÊUÂ «–≈ ±¥
dH œ ±
¥
?ł ≤ » ±
≤
√
∫ÍËU ð©≥®Ó‚ÊS ∂ Ω’≥≠”≤∫w¼ ©∞¨≥® WDIMÃ« bMŽ ©”®‚ vM×MÄ vKŽ ÍœuLFÃ« WÃœUFÄ X½UÂ «–≈ ±μ
≥≠
≤
œ ≤≠
≥
?ł ≤
≥
» ≥
≤
√
∫ ULNMÄ qÂ ¡«“≈ WMO³*« WDIMÃ« bMŽ ‚UI²ýöÃ 5OOÃU²Ã« 5½«d²Áô« WOKÐUÁ w Y×Ð« ≤
∞ Ω ” ¨
∞ ” ¨ ” ´±
∞ ” ¨ ” ≠±
Ω ©”®‚ √
≤ Ω ” ¨
≤ ” ¨
≤≠”
≤≠”
≤ Ω ” ¨ ±
Ω ©”®?¼ ÊUÂ «–« »
∫wK¹ U2 WÃUŠ qÂ w
’ œ
” œ błË√ ≥
∞ ” ¨
± ´≤” μ ´ ∑”
” Ω ’ » ±
π
´ ≤” μ ´ ∑” Ω ’ √
± ´ ≤” √ Uł Ω ’ œ ± Ω ’ ” √ ?ł
π
≤
Ω ” bMŽ ©” Uł ´ ± ® ” U²ł Ω ’ Ë ” ≤
UÁ ≠ ” ≤
Uþ Ω ’ ?¼

±∞μ
©¥≠ ¨ ≥® WDIMÃ« bMŽ
’≤
œ
≤”œ
∫błËQ ¨≤μ Ω ≤’ ´ ≤” ÊUÂ «–« ¥
Æ»¨ 5²ÐU¦Ã« błËQ ≤ Ω ” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ¨
≤ ” ¨
±
±≠”
≤ ” ¨ » ´≤
”
Ω ©”® ?¼ ÊUÂ «–« μ
ø WLOÁ UL ≤± Ω
©?¼´±®Ó‚≠©±®Ó‚
?¼≤ ∞ ← ?¼
X½UÂË ¨ ≥” ≠¥”≤ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ∂
Æ∞ © ®Ó ?¼¨
© ®Ó ?¼
© ®Ó‰
Ω© ®‚ Ê√ X³ŁQ ¨ ∞ Ω© ®Ó‚¨ Ω” bMŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ
©”®‰
©”®?¼
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ∑
Æ©±¨≤® bMŽ
’œ
”œ
błËQ ¨©’≤®‚Ω≤” ÊUÂË ∂ Ω ©≤®Ó‚ ¨ ¥ Ω ©≤®‚ X½UÂ «–≈ ∏
Æ”≤
UÁ ©’´±®≤ Ω
’≤
œ
≤”œ
Ê√ s¼d³ ¨”Uþ ” Ω ’ X½UÂ «–≈ π
∫błËQ ∏ Ω ©±∑®Ó‰ ¨± Ω ©μ®Ó‰ ¨©±´≤”®‰ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±∞
©¥®‚ ≠ ©≤
”®‚
≤ ≠” ≤ ← ”
» ©≤®‚≠©?¼´≤®‚
?¼ ∞ ← ?¼
√
±Ω” ¨ ∞Ω” bMŽ ©”®Ó ?¼ ¨ ©”®Ó‚¨ ©”®?¼ ¨ ©”®‚ rOÁ q¦1 wÃU²Ã« ‰Ëb'« ±±
”©”®‚©”®?¼©”®Ó‚©”®Ó ?¼
∞≤±±≠∞
±∞≤≤≠±≠
∫wK¹ U2 qÂ w WMO³*« ” WLOÁ bMŽ©”®Ó‰ bł
∞ Ω ”¨
©”®≤
‚
©”®?¼
Ω ©”®‰ » ± Ω ”¨ ©©”®?¼≤≠±®©”®‚ Ω ©”®‰ √
ÆÊ«bÄUF²Ä UMO Ã« —u×Ä lÄ tFÞUIð w²DI½ bMŽ ∂´”μ≠≤” Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×M* 5ÝUL*« Ê√ X³Ł√ ±≤
Ê«d²Áô« vM×MÄ vKŽ ÍœuLFÃ« Ë ”UL*« Ë UMO Ã« —u×Ä 5Ð …—uB;« WO¦K¦*« WIDM*« WŠU Ä bł ±≥
ÆtOKŽ WFÁ«uÃ« ©μ¨¥® WDIMÃ« sÄ±≥´”∂≠≤” Ω ©”®‚

±∞∂
q???{UH²Ã« U??IO³Dð ≥
…b???????Šu???????Ã«

±∞∑
(Mean Value Theorem) WDÝu²*« WLOIÃ« W¹dE½ ±≠≥
ÂuKFÃ« sÄ U¼dOžË ¨W¹œUB²Áô«Ë ¨WOzU¹eOHÃ«Ë ¨WOÝbMNÃ« UIO³D²Ã« sÄ dO¦Â w WLNÄ UÄ«b ²Ý« WI²ALKÃ
Ác¼ w UNMÄ b¹e*« ·dF²MÝË ¨WIÐU Ã« …bŠuÃ« w UIO³D²Ã« pKð iFÐ UM dFð Ê√ o³Ý bÁË ªWO½U ½ù« ·—UF*«Ë
¨WD³ðd*«WOMÄeÃ« ôbF*«pÃcÂË¨WO½UO³Ã«UNÄuÝ—Ë¨ÈuBIÃ«UNLOÁË¨UNBÁUMðË¨ U½«d²Áô«b¹«eðq¦Ä…bŠuÃ«
W¹dE½w¼ËÂUŽtłuÐqÄUJ²Ã«Ëq{UH²Ã«rKŽw Ë…bŠuÃ«Ác¼w WLN*«ZzU²MÃ«sÄdO¦ÂUNÃW¹dE½ ÎôË√”—bMÝË
ÆWDÝu²*« WLOIÃ«
tÃ vÃË_« WI²A*« Í√ Ê«d²Áô« dOGð ‰bFÄË UÄ …d² vKŽ Ê«d²Áô« dOGð jÝu²Ä 5Ð WÁöFÃ« W¹dEMÃ« Ác¼ ‰ËUM²ð
Æ…d²HÃ« pKð w WDI½ bMŽ
∫WDÝu²LÃ« WLOIÃ« W¹dE½
bŠ«Ë wIOIŠ œbŽ błu¹ t½S ¨¤ »¨ › vKŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁË ›»¨ ¤ vKŽ ÎöB²Ä ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈
≠ »
© ®‚ ≠ ©»®‚
Ω©?ł®Ó‚ Ê≈ YO×Ð ¨¤ »¨ › ∋ ?ł qÁ_« vKŽ
Ê«d²ÁöÃ vÃË_« WI²A*« Ê≈ YO×Ð ¤»¨ › ∋ ?ł qÁ_« vKŽ bŠ«Ë wIOIŠ œbŽ œułË WDÝu²*« WLOIÃ« W¹dE½ bÂRð
Æ›»¨ ¤ w Ê«d²Áô« dOGð jÝu²Ä ÍËU ð ?ł bMŽ
qOÄ ÍËU ¹ ?ł Ω ” UÄbMŽ Ê«d²Áô« vM×M* ”UL*« qOÄ Ê√ Í√
¨ ©© ®‚¨ ® 5???²DIMÃ« bMŽ Ê«d²Áô« v????M×M* lÞUIÃ« rOI²???? *«
ÆÊU¹“«u²ÄlÞUIÃ«Ë—uÂc*«”UL*«Ê√wMF¹«c¼Ë©©»®‚¨»®
q???B²*« ©”®‚ Ê«d??²Áô« vM×MÄ —ËU??−*« ©±≠≥® qJý 5³¹
…d²HÃ« vKŽ ‚UI²ýöÃ qÐUIÃ«Ë › » ¨ ¤ W??IKG*« …d²HÃ« vKŽ
bMŽvM×MLKÃ ÊUÝU2 błu¹ qJAÃ« «c¼ w Ë Æ¤ »¨ › WŠu²H*«
ÆlÞUIÃ« ÊU¹“«u¹ ≤
?ł Ω ”¨±
?ł Ω ”
’
”
±
?ł ≤
?ł »
lÞUÁ
©©»®‚ ¨»®
©© ®‚ ¨ ®
”
U2
”
U2
©±≠≥® qJAÃ«

±∞∏
©±® ‰U¦Ä
…d²HÃ« vKŽ WDÝu²*« WLOIÃ« W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ≥≠”≤ ´ ≤” Ω©”®‚ Ê«d²Áô« Ê√ 5Ð
Æ W¹dEMÃ« U¼œb% w²Ã« ?ł rOÁØ WLOÁ bł rŁ ¨ › ≤¨≤≠¤
∫W¹d?EMÃ« ◊Ëdý w Y×³Ã« ∫ÎôË√
ÆœËbŠ dO¦Â t½_ › ≤¨≤≠¤ vKŽ qB²Ä ‚ √
Æ œËbŠ dO¦Â t½_ ¤ ≤¨≤≠› vKŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ ‚ »
›≤¨≤≠¤ …d²HÃ« vKŽ WDÝu²*« WLOIÃ« W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ‚ ∴
∫?ł rOÁ Ø WLOÁ œU−¹≈ ∫ÎUO½UŁ
©≤≠®‚ ≠ ©≤®‚
©≤≠® ≠ ≤
Ω © ?ł ®Ó‚
≤ Ω ≥ ´ μ
¥
Ω
≤ ´ ”≤ Ω ©”®Ó‚ Ê≈ YOŠË
≤ Ω ≤ ´ ?ł≤ Ω ©?ł®Ó‚ ∴
¤≤¨≤≠› ∋ ∞ Ω ?ł UNMÄË
Æ©≤≠≥® qJý w rÝdÃ« dE½«
”
± ≥ μ
’
μ≠ ≥≠ ±≠
©μ ¨≤®
©≥≠ ¨ ≤≠®
lÞUÁ”U2
μ
≥
±
≥≠
μ≠
©≤≠≥® qJAÃ«
©≤® ‰U¦Ä
± ≥ ” ¨ ≤≠≤”
± < ” ¨ ≥≠”≤
Ω ©”®‚Ê«d²Áô« oI×¹ q¼
ø › ≥¨±≠ ¤ …d²HÃ« vKŽ WDÝu²*« WLOIÃ« W¹dE½ ◊Ëdý
ÆW¹dEMÃ« U¼œb% w²Ã« © błË Ê≈® ?ł rOÁØ WLOÁ 5Ž
∫›≥¨±≠ ¤ vKŽ ‰UBðô« √
Æ œËbŠ dO¦Â t½_ ¤±¨±≠¤ vKŽ qB²Ä ‚ Ê«d²Áô«

±∞π
Æ œËbŠ dO¦Â t½_ › ≥¨± › vKŽ qB²Ä ‚ Ê«d²Áô«
±≠ Ω ©≥≠”≤®
´ ± ← ”
Ω©”®‚
´ ± ← ”
±≠ Ω ©≤≠≤”®
≠ ± ← ”
Ω©”®‚
≠ ± ← ”
±≠Ω ≤≠±Ω ©±®‚
± Ω ” bMŽ qB²Ä ‚ ∴
Æ ›≥¨±≠¤ vKŽ qB²Ä ‚ ∴
∫ ¤ ≥¨±≠ › vKŽ ‚UI²ýô« WOKÐUÁ »
± > ” ¨ ”≤
± < ” ¨ ≤
Ω ©”®Ó‚
≤Ω± ≤Ω ≠
©±®Ó‚ ¨ ≤ Ω´
©±®Ó‚ ¨ ± Ω ” bMŽ qB²Ä ‚ Ê√ U0 Ë
…œułuÄ ©±®Ó‚ ∴
Æ ¤ ≥¨±≠› vKŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ ‚ ∴
Æ ›≥¨±≠¤ vKŽ WDÝu²*« WLOIÃ« W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ‚ ∴
∫?ł rOÁ Ø WLOÁ œU−¹≈ ∫ÎUO½UŁ
± Ω
©±≠® ≠ ≥
¥
Ω
©±≠®‚ ≠ ©≥®‚
©±≠® ≠ ≥
Ω ©?ł®Ó‚
± ≥” >±≠ ¨ ”≤Ω ©”®Ó‚ Ê≈ YOŠË
± ≥ ?ł >±≠ ¨ ± Ω ?ł≤ Ω ©?ł®Ó‚ ∴
±
≤
Ω ?ł ∴
± ≠ ≤ Ω ©”®Ó‚ ÊS ¨ ± < ” UÄbMŽË
± < ” UÄbMŽ W¹dEMÃ« oI% ?ł błuð ô ∴
ÆW¹dEMÃ« UNMOFð w²Ã« ¤ ≥¨±≠› …d²HÃ« w …bOŠuÃ« WLOIÃ« w¼
±
≤
Ω ?ł ∴

±±∞
©≥® ‰U¦Ä
±≠ ≥ ” ≥≤≠ ¨ ≤´ ”
± ≥ ” >±≠ ¨ ≤”
Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« sJOÃ
ø›±¨≤≠¤ …d²HÃ« vKŽ WDÝu²*« WLOIÃ« W¹dE½ ◊Ëdý ©”®‚ oI×¹ q¼
ø
©≤≠®‚ ≠ ©±®‚
©≤≠® ≠ ±
Ω ©?ł®Ó‚ YO×Ð ¤±¨≤≠› ∋ ?ł błuð q¼
∫ ›±¨≤≠¤ vKŽ ©”®‚ ‰UBð« √
Æ©ø «–U*® ›±¨≤≠¤ vKŽ qB²Ä ©”®‚
∫¤±¨≤≠› vKŽ ‚UI²ýöÃ ‚ WOKÐUÁ »
±≠ >” >≤≠ ¨ ±
± > ” >±≠ ¨ ”≤
Ω ©”®Ó‚
± Ω ≠
©±≠®Ó‚ ¨≤≠ Ω ±≠ × ≤ Ω ´
©±≠®Ó‚ ¨ ±≠ Ω ” bMŽ qB²Ä ‚ Ê√ U0Ë
Æ…œułuÄ dOž©±≠®Ó‚ ∴
Æ›±¨≤≠¤ …d²HÃ« vKŽ WDÝu²*« WLOIÃ« W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ô ©”®‚ ∴
Æ©W¹dEMÃ« ◊Ëdý oI% ÂbŽ wMF¹ W¹dEMÃ« wÞdý sÄ Í√ oI% ÂbŽ Ê√ kŠô®
∫?ł œułË ∫ÎUO½UŁ
U¼œb% w²Ã« ?ł œu??łË ÂbFÐ Âe??'« pÃ– sÄ sJ1 ô t½S d «u²ð rÃ W¹dEMÃ« ◊Ëd??ý Ê√ U0
∫Ê«d²Áô« WI²A* œuF½ pÃ– w Y×³KÃË ¨W¹dEMÃ«
±
≥
Ω
∞ ≠ ±
≥
Ω
©≤≠®‚ ≠ ©±®‚
©≤≠® ≠ ±
Ω ©?ł®Ó‚
± >” >±≠ ¨ ”≤Ω©”®Ó‚ Ê≈ YOŠË
± >?ł >±≠ ¨ ?ł≤Ω©?ł®Ó‚ ∴
¤ ±¨ ±≠ › ∋ ±
∂
Ω ?ł ⇐ ±
≥
Ω ?ł≤ ∴
Æ¤ ±≠ ¨ ≤≠ › ∋ ?ł błuð ôË
ÆW¹dEMÃ« W−O²½ oI% w²Ã« ¤ ± ¨ ≤≠ › …d²HÃ« w …bOŠuÃ« WLOIÃ« w¼ ±
∂
Ω ?ł ∴

±±±
w ½dHÃ«w{U¹dÃ«rÃUFÃ«rÝUÐ‰Ë—W¹dE½…UL *«W¹dEMÃ«wK¹ULO dÂc½WDÝu²*«WLOIÃ«W¹dE½sÄW UšWÃU×Â
ÆÂ±∂π± ÂUŽ w W¹dEMÃ« WžUO w qCHÃ« tÃ ÊUÂ ÍcÃ« ‰Ë— qOAOÄ
∫©Rolle's Theorem® ‰Ë— W¹dE½
t½S ¨©»®‚Ω© ®‚ ÊUÂ Ë ¨¤ »¨ ›vKŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁË ¨›»¨ ¤ vKŽ ÎöB²Ä ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈
ÆdH Ω ©?ł®Ó‚ Ê≈ YO×Ð ¤ »¨ › ∋ ?ł qÁ_« vKŽ bŠ«Ë wIOIŠ œbŽ błu¹
›»¨ ¤vKŽ ÎöB²ÄÎU½«d²Á«©”®‚ÊUÂ«–≈t½√W¹dEMÃ«bÂRð
ÊUÂÍ√©»®‚Ω© ®‚ÊUÂË¨¤»¨ ›vKŽ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁË
©©»®‚¨»®¨©© ®‚¨ ®5²DIMÃ«bMŽÊ«d²Áô«vM×M*lÞUIÃ«
YO×Ð ¤»¨ › …d²HÃ« w ?ł qÁ_« vKŽ WLOÁ błu¹ t½S ¨ÎUOI √
ÆÎUOI √ ©©?ł®‚ ¨ ?ł®WDIMÃ« bMŽ Ê«d²Áô« vM×M* ”UL*« ÊuJ¹
Æ©≥≠≥® qJAÃ« dE½«
’
”
?ł »
wI √ ”UL*«
©© ®‚¨ ® wI √ lÞUIÃ« ©©»®‚¨»®
©≥≠≥® qJAÃ«
©¥® ‰U¦Ä
Æ ›π≤¨∞¤ …d²HÃ« vKŽ ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ”U²ł´”Uł Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« Ê√ 5Ð
ÆW¹dEMÃ« U¼œb% w²Ã« ?ł rOÁØ WLOÁ błË√ rŁ
ÆUNð«– …d²HÃ« vKŽ 5KB²Ä 5½«d²Á« ŸuL−Ä t½_ ›π≤¨∞¤ vKŽ qB²Ä ‚ √
ÆUNð«– …d²HÃ« vKŽ ‚UI²ýöÃ 5KÐUÁ 5½«d²Á« ŸuL−Ä t½_ ¤ π ≤¨∞› vKŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ ‚ »
±Ω π≤U²ł´ π≤Uł Ω ©π ≤®‚ ¨ ±Ω∞U²ł´∞Uł Ω ©∞®‚ ?ł
©π≤®‚ Ω ©∞®‚ Ê√ Í√
Æ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ‚ ∴
dH Ω ©?ł®Ó‚ ∫ÎUO½UŁ
¤π≤¨∞› ∋ ”¨”Uł≠”U²ł Ω ©”®Ó‚ Ê≈ YOŠË
π ≤ > ?ł >∞ ¨ ∞ Ω ?łUł ≠ ?łU²ł Ω ©?ł®Ó‚ ∴

±±≤
?łU²ł Ω ?łUł ∴
± Ω ?łUþ ∴
¤π≤¨∞› ∋ π μ
¥
¨ π
¥
Ω ?ł ∴
©μ® ‰U¦Ä
rŁ ¨©¥≠≥® qJAÃ« w 5K¦L*« 5½«d²Áô« sÄ qÂ w ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý oI×²ð ô «–U* 5Ð
ÆdH Ω ©?ł®Ó‚ Ê≈ YO×Ð ¤ »¨ › ∋ ?ł błuð ULNMÄ Í√ w 5Ž
’
”
»
©”®≤
‚
»
’
”
»
√
©”®±
‚
©¥≠≥® qJAÃ«
Ê_ ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëd??ý oI×¹ ô ©”®±
‚ Ê«d²Áô«
¤ »¨ › ∋ ?ł błuð pÃ– lÄË ¨©»®‚ ≠ © ®‚
ÆdH Ω ©?ł®Ó‚ Ê≈ YO×Ð
Æ©μ≠≥® qJAÃ« kŠô
’
”
?ł »
©”®±
‚
©μ≠≥® qJAÃ«
dOž t½_ ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ ô ©”®≤
‚ Ê«d²Áô«
W¹Ë«eÃ« ”√— k??Šô® Æ¤ »¨ › vKŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ
¤»¨ ›∋ ?łbłuðôË¨©bOŠË”U2błu¹ôYOŠ
ÆdH Ω ©?ł®Ó‚ Ê≈ YO×Ð
Æ©∂≠≥® qJAÃ« kŠô
’
”
»
©”®≤
‚
©∂≠≥® qJAÃ«

±±≥
©∂® ‰U¦Ä
∫WÃœUFLKÃ Ê√ U³Łù u½«eKÐ W¹dE½ Âb ²Ý« √
Æ w qÁ_« vKŽÎ«bŠ«ËÎ«—cł ∞ Ω± ´ ”±≥ ´μ”∂
ÆbOŠË —c'« Ê√ U³Łù ‰Ë— W¹dE½ Âb ²Ý« »
Æ ∋ ” ¨ ± ´ ”±≥ ´μ”∂ Ω ©”®‚ sJOÃ √
VÃUÝ —«bIÄ ¨ ±∏≠ Ω ±´©±≠®±≥´ μ
©±≠® ∂ Ω ©±≠® ‚
VłuÄ —«bIÄ ¨ ± Ω ©∞®‚
Æ œËbŠ dO¦Â t½_ ›∞¨±≠¤ vKŽ qB²Ä ©”®‚
Æu½«eKÐ W¹dE½ ◊Ëdý o³DMð ∴
∞ Ω ©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¤∞¨ ±≠› ∋ ?ł błuð ∴
¤∞¨ ±≠› …d²HÃ« w qÁ_« vKŽ bŠ«Ë —cł ∞ Ω±´”±≥´μ”∂ WÃœUFLKÃ błu¹ t½√ Í√
≤
?ł >±
?ł Ê√Ë ≤
?ł¨±
?ł s¹—cł œułË ÷d²H½ bOŠË —c'« Ê√ U³Łù »
dH Ω ©≤
?ł®‚ Ω ©±
?ł®‚ ∴
œËbŠ dO¦Â t½_ ¤≤
?ł¨±
?ł› vKŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁË ›≤
?ł¨±
?ł¤ vKŽ qB²Ä ‚ Ê≈ YOŠË
Æ¤≤
?ł¨±
?ł› ∋ œ qÁô« vKŽ bŠ«Ë œbŽ œułË Z²M¹Ë ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý o³DMð ∴
±≥ ´ ¥”≥∞ Ω ©”®Ó‚ sJÃ ¨ ∞ Ω ©œ®Ó‚ Ê≈ YO×Ð
Ê_ WOIOI(« œ«bŽ_« WŽuL−Ä w qŠ UNÃ fOÃ WÃœUF*« Ác¼ sJÃË ¨ ∞ Ω ±≥ ´¥
œ ≥∞ ∴
ÆÎULz«œ VłuÄ s1_« ·dDÃ«
Æ‰Ë— W¹dE½ lÄ iÁUM²¹ «c¼Ë ¨ ∞ Ω ©œ®Ó‚ YO×Ð ¤≤
?ł¨±
?ł› ∋ œ błuð ô ∴
ÆbOŠË —c'« Ê√ Í√ ª`O× dOž ≤
?ł¨±
?ł s¹—cł œułuÐ ÷dHÃ« ∴
©∑® ‰U¦Ä
¤»¨ › vKŽ ‚UI²ýöÃ 5KÐUÁË ›»¨ ¤ vKŽ 5KB²Ä 5½«d²Á« ©”®„ ¨©”®‚ ÊUÂ «–≈
qÁ_« vKŽ bŠ«Ë œbŽ œułË X³ŁQ ¨©»®„ Ω ©»®‚ ¨© ®„ Ω © ®‚ ÊUÂË
Æ©?ł®Ó„ Ω ©?ł®Ó‚ Ê≈ YO×Ð¤»¨ › ∋ ?ł

±±¥
©”®?¼ Ê«d??²Áô« Êu?J¹ ¨›»¨ ¤ vKŽ ©”®„ ≠ ©”®‚ Ω ©”®???¼ Ê«d??²Áô« n¹d?F²Ð
‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ©”®?¼ Ê«d²Áô« ÊuJ¹Ë ¨5KB²Ä 5½«d²Á« ‚d t½_ ›»¨ ¤ v?KŽ Îö??B²Ä
Æ‚UI²ýöÃ 5KÐUÁ 5½«d²Á« ‚d t½_ ¤»¨ › vKŽ
© ®„ Ω © ®‚ Ê_ ¨ dH Ω © ®„≠© ®‚ Ω © ®?¼ pÃcÂ
©»®„ Ω ©»®‚ Ê_ ¨ dH Ω ©»®„≠©»®‚ Ω ©»®?¼ ÎUC¹√Ë
©»®?¼ Ω © ®?¼ ∴
›»¨ ¤ …d²HÃ« w ©”®?¼ Ê«d²Áô« vKŽ ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý o³DMð ∴
∞ Ω ©?ł®Ó ?¼ YO×Ð ¤»¨ › ∋ ?ł błuð ∴
∞ Ω ©?ł®Ó„ ≠ ©?ł®Ó‚ ∴
Æ©?ł®Ó„ Ω ©?ł®Ó‚ ∴
©±≠≥® s¹—U9
rOÁ ØWLOÁ 5Ž rŁ ¨ …UDF*« …d²HÃ« vKŽ WDÝu²*« WLOIÃ« W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ WOðü« U½«d²Áô« sÄ ÎöÂ Ê√ 5Ð ±
∫ WÃUŠ qÂ w W¹dEMÃ« UNMOFð w²Ã« ?ł
›¥ ¨ ±¤ …d²HÃ« vKŽ ”¥≠ ” √ ≥ Ω ©”®‚ √
› π¨ ∞¤ …d²HÃ« vKŽ ”≤U²ł≠”Uł≤Ω ©”®‚ »
›≤ ¨ ±≠¤ …d²HÃ« vKŽ ∂≠”≠≤” Ω ©”®‚ ?ł
w²Ã« ?ł rOÁØWLOÁ 5Ž rŁ ¨ …UDF*« …d²HÃ« vKŽ ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹ WOðü« U½«d²Áô« sÄ ÎöÂ Ê√ 5Ð ≤
∫ WÃUŠ qÂ w W¹dEMÃ« UNMOFð
›≤ ¨ ±
≤
¤ …d²HÃ« vKŽ ±
” ´ ” Ω ©”®‚ √
›π ≥
≤
¨ π
≤ ¤…d²HÃ« vKŽ ”U²ł Ω ©”®‚ »
›±¨±≠¤ …d²HÃ« vKŽ
±≠≤”
≤≠” Ω ©”®‚ ?ł
∞ Ω ” ¨ ≥
± > ” > ∞ ¨ ?ł´”≥´ ≤”≠
≤ ≥ ” ≥ ± ¨ » ´ ”
Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« qF& w²Ã« ?ł¨»¨ XÐ«u¦Ã« bł ≥

±±μ
Æ›≤ ¨ ∞¤ …d²HÃ« vKŽ WDÝu²*« WLOIÃ« W¹dE½ ◊Ëdý oI×¹
≥≠ ±≠”≤ Ω©”®‚ sJOÃ ¥
ø›≤ ¨ ±≠¤ …d²HÃ« vKŽ ‚ Ê«d²Áô« UNII×¹ ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý sÄ Í√ √
ø ∞ Ω ©?ł®Ó‚ YO×Ð ¤≤ ¨ ±≠› ∋ ?ł błuð q¼ »
± < ” ¨ ∂´”¥≠≤”
± ≥ ” ¨ ”¥≠∑
Ω ©”®‚ sJOÃ μ
ø›μ ¨±≠ ¤ …d²HÃ« w ‚ Ê«d²Áô« UNII×¹ ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý sÄ Í√ √
ø ∞ Ω ©?ł®Ó‚ Ê≈ YO×Ð ¤ μ ¨ ±≠ › ∋ ?ł błuð q¼ »
ø«–U* ø ‰Ë— W¹dE½ lÄ ©»®¨ © ® w UÐUłù« ÷—UF²ð q¼ ?ł
ÆjI Î«bŠ«Ë ÎUOIOIŠÎ«—cł ∞ Ω ∏ ≠ ”≥≥ ´ ≤”π ´ ≥” ∫ WÃœUFLKÃ Ê√ X³Ł√ ∂
Æ 5HK² Ä 5OIOIŠ s¹—cł sÄ d¦Â√ ∞ Ω±∞∞≠≤”∑´¥”∂ WÃœUFLKÃ ÊuJ¹ Ê√ sJ1 ô t½√ X³Ł√ ∑
vKŽ ÎU dFÄ ≥” Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« vKŽ WDÝu²*« WLOIÃ« W¹dE½ Âb ²ÝU 5OIOIŠ s¹œbŽ »¨ ÊUÂ «–≈ ∏
≤
?ł≥ Ω≤
» ´ » ´≤
YO×Ð ¤ »¨ › ?ł qÁ_« vKŽ bŠ«Ë wIOIŠ œbŽ œułË U³Łù ›»¨ ¤
œbŽ œułË X³ŁQ » > ?ł > YOŠ ©?ł®‚ Ω ©»®‚ Ω © ®‚ ÊUÂË ¨œËbŠ dO¦Â ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈ π
Æ ∞Ω © œ ®Î‚ YO×Ð ¤ »¨ › ∋ œ qÁ_« vKŽ bŠ«Ë wIOIŠ
Æ©± ¨ ≥® ¨ © μ ¨ ≤® ¨ ©≥ ¨ ±® ◊UIMÃUÐ ÁUM×MÄ d1 œËbŠ dO¦Â Ê«d²Á« ©”®‚ ±∞
∞ <©±
?ł®ÓÓ‚ YO×Ð ¤ ≤ ¨ ± › …d²HÃ« ∋ ±
?ł qÁ_« vKŽ bŠ«Ë œbŽ œułË X³Ł√ √
∞ >©≤
?ł®ÓÓ‚ YO×Ð ¤ ≥ ¨ ≤ › …d²HÃ« ∋ ≤
?ł qÁ_« vKŽ bŠ«Ë œbŽ œułË X³Ł√ »
∞ Ω ©?ł®ÓÓ‚ YO×Ð ¤ ≥ ¨ ± › …d²HÃ« ∋ ?ł qÁ_« vKŽ bŠ«Ë œbŽ œułË X³Ł√ ?ł

±±∂
(Increasing and Decreasing Functions) WBÁUM²*«Ë …b¹«e²*« U½«d²Áô« ≤≠≥
vM×MÄ„uKÝn uÃ¨XÐUŁË¨hÁUM²ÄË¨b¹«e²Ä ULKÂ Âb ² ½·uÝ
¨5LOÃ«vÃ≈—U OÃ«sÄÁUM×MÄvKŽWDI½„d×²ðUÄbMŽtÃU−ÄvKŽ©”®‚Ê«d²Áô«
…d²HÃ« vKŽ hÁUM²Ä t½≈ ‰UI¹ ©∑≠≥® qJAÃUÐ ÎUO½UOÐ q¦L*« ©”®‚ Ê«d²Áô« Îö¦L
Æ¤∞¨≤¤ vKŽ XÐUŁË ›≤¨±¤ …d²HÃ« vKŽ b¹«e²ÄË ¨›±¨∞≠›”
± ≤
’
hÁUM²Ä
b¹«e²Ä
XÐUŁ
©∑≠≥® qJAÃ«
Æ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ hÁUM²Ã«Ë b¹«e²Ã« vMFÄ ÎUO{U¹— nB¹ wÃU²Ã« n¹dF²Ã«
∫n¹dFð
∫· …d²HÃ« vKŽ ·dF*« ©”®‚ Ê«d²Áô« Ê≈ ‰UI¹
∫wÃU²Ã« ◊dAÃ« oI% «–≈ · vKŽ b¹«e²Ä ±
©±
”®‚ <©≤
”®‚ ÊS ±
” <≤
” ÊUÂ «–≈ ¨ · ∋ ≤
”¨±
” lOL'
∫wÃU²Ã« ◊dAÃ« oI% «–≈ · vKŽ hÁUM²Ä ≤
©±
”®‚ >©≤
”®‚ ÊS ±
” <≤
” ÊUÂ «–≈ ¨ · ∋ ≤
”¨±
” lOL'
∫wÃU²Ã« ◊dAÃ« oI% «–≈ · vKŽ XÐUŁ ≥
©±
”®‚ Ω ©≤
”®‚ ¨ · ∋ ≤
”¨±
” lOL'
©±® ‰U¦Ä
∫©π≠≥® ¨©∏≠≥® 5KJAÃ« w ÎUO½UOÐ 5K¦L*« 5½«d²ÁöÃ hÁUM²Ã«Ë b¹«e²Ã« ôU−Ä œbŠ
”
’
©”®?¼
”
’
©”®‚
©π≠≥® qJAÃ« ©∏≠≥® qJAÃ«

±±∑
∫Ê√ kŠö½ ©”® ?¼ ¨ ©”®‚ 5½«d²Áô« sÄ qJÃ w½UO³Ã« qO¦L²Ã« sÄ
Æ vKŽ b¹«e²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« √
Æ¤∞¨∞¤ …d²HÃ« vKŽ b¹«e²ÄË ›∞¨ ∞≠ › …d²HÃ« vKŽ hÁUM²Ä ©”® ?¼ Ê«d²Áô« »
∫WBÁUM²*«Ë …b¹«e²*« U½«d²ÁöÃ vÃË_« WI²A*« —U³²š«
Ê√Ë ¨›»¨ ¤ vKŽ Î«b¹«e²Ä ÎU½«d²Á« ©±∞≠≥® qJAÃ« w kŠö½
ÁU&ô« lÄ …œUŠ W¹Ë«“ lMB¹ ¤»¨ › ∋ WDI½ W¹√ bMŽ vM×MLKÃ ”UL*«
ÆÎU³łuÄ ÊuJ¹ ”UL*« qOÄ Ê√ Í√ ¨ UMO Ã« —u; Vłu*«
”
»
’
”U2
…œUŠ
©±∞≠≥® qJAÃ«
¨›»¨ ¤…d?²HÃ«vKŽÎU??BÁUM²ÄÎU½«d²Á«©±±≠≥®qJAÃ«w k?Šö½Ë
lÄ WłdHMÄ W¹Ë«“ lMB¹ ¤»¨ › ∋ WDI½ W¹√ bMŽ vM×MLKÃ ”UL*« Ê√ Ë
ÆÎU³ÃUÝ ÊuJ¹ ”UL*« qOÄ Ê√ Í√ ¨ UMO Ã« —u; Vłu*« ÁU&ô«
”
»
’
”U2
WłdHMÄ
©±±≠≥® qJAÃ«
¨›» ¨ ¤ …d?²HÃ« vKŽ ÎU??²ÐUŁ ÎU½«d²Á« ©±≤≠≥® qJAÃ« w k?Šö½ ULMOÐ
Ê√ Í√ ¨ÎUOI √ ÊuJ¹ ¤»¨ ›∋ WDI½ W¹√ bMŽ vM×MLKÃ ”UL*« Ê√Ë
Æ∞ Ω ©”®Ó‚
Ê«d²Áô« «c¼ WFO³Þ œb% Ê«d²ÁöÃ vÃË_« WI²A*« …—Uý≈ Ê√ wMF¹ «c¼Ë
∫WOÃU²Ã« W¹dEMÃ« ÊuLCÄ u¼ «c¼Ë ¨ÎU²ÐUŁ Ë√ ÎUBÁUM²Ä Ë√Î«b¹«e²Ä
”
»
’
”U2
©±≤≠≥® qJAÃ«
∫W¹dE½
∫t½S ¤»¨ › vKŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁË ›»¨ ¤ vKŽ ÎöB²Ä ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈
Æ›»¨ ¤ vKŽ b¹«e²Ä Ê«d²Á« ©”®‚ ÊS ¤ »¨ › ∋ ” lOL' ∞ < ©”®Ó‚ X½UÂ «–≈ ±
Æ›»¨ ¤ vKŽ hÁUM²Ä Ê«d²Á« ©”®‚ ÊS ¤ »¨ › ∋ ” lOL' ∞ > ©”®Ó‚ X½UÂ «–≈ ≤
Æ›»¨ ¤ vKŽ XÐUŁ Ê«d²Á« ©”®‚ ÊS ¤ »¨ › ∋ ” lOL' ∞ Ω ©”®Ó‚ X½UÂ «–≈ ≥

±±∏
©≤® ‰U¦Ä
∋ ”¨ ≤ ´ ”≥ ≠≥” Ω ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ hÁUM²Ã«Ë b¹«e²Ã« «d² 5Ž
vKŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁË qB²Ä uN œËbŠ dO¦Â Ê«d²Á« ©”®‚
≥ ≠≤”≥ Ω ©”®Ó‚
∫©”®Ó‚ …—Uý≈ w Y×³½
±≠¨±Ω” UÄbMŽ ∞ Ω ≥ ≠≤”≥Ω ©”®Ó‚
©”®Ó‚ …—Uý≈ 5³¹ ©±≥≠≥® qJAÃ«
±≠ >” Ë√ ± <” UÄbMŽ W³łuÄ ©”®Ó‚ Ê√ U0
´´´©”®Ó‚ …—Uý≈
” ±≠ ±
≠≠≠
©”®‚ „uKÝ
´´´ dH dH
©±≥≠≥® qJAÃ«
¤∞¨±¤ …d²HÃ« vKŽ b¹«e²Ä ©”®‚ ∴
›±≠¨∞≠› …d²HÃ« vKŽ pÃcÂË
± >” >±≠ UÄbMŽ W³ÃUÝ©”®Ó‚ Ê√ U0Ë
Æ›±¨±≠¤ …d²HÃ« vKŽ hÁUM²Ä ©”®‚ ∴
©≥® ‰U¦Ä
ÆtÃU−Ä vKŽ
± ´ ≤”
”
Ω ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ hÁUM²Ã«Ë b¹«e²Ã« «d² 5Ž
vKŽ qB²Ä uN ÎULz«œ VłuÄ tÄUIÄ w³ ½ Ê«d²Á« ©”®‚
≤
©± ´ ≤”®
©”≤®” ≠ ©± ´ ≤”®
Ω ©”®Ó‚
≤
©± ´ ≤”®
≤” ≠ ±
Ω
©”®Ó‚ …—Uý≈ 5³¹ ©±¥≠≥® qJAÃ«
©”®Ó‚ …—Uý≈
” ±≠ ±
≠≠≠
©”®‚ „uKÝ
´´´≠≠≠ dHdH
©±¥≠≥® qJAÃ« ¤ ±≠ ¨ ∞ ≠ › …d²HÃ« w ∞ >©”®Ó‚
¤ ∞ ¨ ± › …d²HÃ« vKŽ pÃcÂË
¤ ∞ ¨± ¤ …d²HÃ« vKŽ pÃcÂË ›±≠ ¨ ∞ ≠ › …d²HÃ« vKŽ hÁUM²Ä ©”®‚ ∴
¤ ± ¨ ±≠ › …d²HÃ« w ∞ <©”®Ó‚
Æ›± ¨ ±≠¤ …d²HÃ« vKŽ b¹«e²Ä ©”®‚ ∴

±±π
©¥® ‰U¦Ä
Æ› π≤¨∞¤ …d²HÃ« vKŽ b¹«e²Ä ”Uł´” Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« Ê√ 5Ð
Æ5KB²Ä 5½«d²Á« ŸuL−Ä t½_ ›π≤¨∞¤ vKŽ qB²Ä ©”®‚
‚UI²ýöÃ 5KÐUÁ 5½«d²Á« ŸuL−Ä t½_ ¤ π≤¨∞ › vKŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁ ©”®‚
”U²ł ´ ± Ω ©”®Ó‚
∫©”®Ó‚ …—Uý≈ w Y×³½
∞ Ω ”U²ł ´ ± UÄbMŽ ∞Ω ©”®Ó‚
π Ω ” UÄbMŽ Í√ ±≠ Ω ”U²ł UÄbMŽ
¤ π¨ ∞› ∋ ” qJÃ ± >”U²ł >±≠ Ê√ U0
≤ >”U²ł ´ ± >∞ ∫`³Bð WM¹U³²*« œËb( ± W U{SÐ t½S
¤ π¨ ∞› w ÎU³łuÄ ÊuJ¹ ©”®Ó‚ Ê√ Í√©”®Ó‚ …—Uý≈
” ∞ π≤
´´´
©”®‚ „uKÝ
´´´ dH
π
b¹«e²Ä
©±μ≠≥® qJAÃ«
©”®Ó‚ …—Uý≈ 5³¹ ©±μ≠≥® qJAÃ«
Æ›π¨∞¤ vKŽ b¹«e²Ä ©”®‚ ∴
¨ ¤π≤¨π › …d²HÃ« w ÎU³łuÄ ÊuJ¹ ©”®Ó‚ q¦*UÐË
Æ›π≤¨π¤ vKŽ b¹«e²Ä ©”®‚ ∴
Æ›π≤¨∞¤ vKŽ b¹«e²Ä ©”®‚ ÊS π Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ Ê≈ YOŠË
©μ® ‰U¦Ä
©”®Ó‚ vM×MÄ ©±∂≠≥® qJAÃ« q¦1
∫œËbŠ dO¦Â ©”®‚ Ê«d²Áô
©”®‚ Ê«d²ÁöÃ hÁUM²Ã« Ë b¹«e²Ã« «d² 5Ž √
∞ >©”®Î‚ WM¹U³²*« qŠ WŽuL−Ä błË√ »
”
≤ ≥ ¥
±≠
©”®Ó‚
©±∂≠≥® qJAÃ«
ÆœËbŠ dO¦Â t½_ vKŽ ‚UI²ýöÃ qÐUÁË qB²Ä ©”®‚
©”®Ó‚ …—Uý≈
” ≤
©”®‚ „uKÝ
≠≠≠´´´ dH
¥
´´´dH
©±∑≠≥® qJAÃ«
vKŽ ©”®Ó‚ …—Uý≈ ©±∑≠≥® qJAÃ« 6³¹
∞ <©”®Ó‚ Ê√ kŠö½ qJAÃ« sÄ √

±≤∞
¥ <” Ë√ ≤ >” UÄbMŽ
¤∞¨¥¤ …d²HÃ« vKŽ pÃcÂ Ë ›≤¨∞≠› …d²HÃ« vKŽ b¹«e²Ä ©”®‚ ∴
¥ >” >≤ UÄbMŽ ∞ >©”®Ó‚ Ê√ qJAÃ« sÄ kŠö½ pÃcÂ
›¥¨≤¤ …d²HÃ« vKŽ hÁUM²Ä ©”®‚ ∴©”®Î‚ …—Uý≈
”
≠≠≠
≥
´´´dH
©±∏≠≥® qJAÃ« vKŽ ©”®Î‚ …—Uý≈ ©±∏≠≥® qJAÃ« 6³¹ »
Æ…d²HÃ« Ác¼ w hÁUM²Ä Ó‚ Ê_ ≥ >” UÄbMŽ ∞ >©”®Î‚
Æ¤≥¨∞≠› w¼ ∞ >©”®Î‚ WM¹U³²*« qŠ WŽuL−Ä ∴
∫WEŠöÄ
∞ < ©”®Ó‚ X½UÂË ¨ULNOKÂ Ë√ ›»¨ ¤ …d²HÃ« w dÞ bŠ√ bMŽ ÎöB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« sJ¹ rÃ «–≈
…d²HÃ«w ∞>©”® Ó‚X½UÂ«–≈UÄ√ª¤»¨ ›vKŽÎ«b¹«e²ÄÊuJ¹©”®‚ÊS ¨¤»¨ ›…d²HÃ«w Îö¦Ä
Æ¤ » ¨ › w ÎUBÁUM²Ä ÊuJ¹ ©”®‚ ÒÊS ¤ » ¨ ›
sJ1 t½S ULNOKÂ Ë√ 5 dDÃ« bŠ√ vKŽ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ hÁUM²Ã« Ë√ b¹«e²Ã« ôU−Ä ‰UL²ýUÐ oKF²¹ ULO Ë
Æ©±π≠≥® qJAÃ« kŠô ¨©”®‚ Ê«d²Áô« vM×M* w½UO³Ã« qO¦L²Ã«Ë n¹dF²KÃ …œuFÃ«
©”®≥
‚
”
’
»
¤ » ¨ ¤ vKŽ hÁUM²Ä ©”®≥
‚
©”®≤
‚
”
’
»
¤ » ¨ › vKŽ b¹«e²Ä ©”®≤
‚
©”®±
‚
”
’
»
› » ¨ ¤ vKŽ b¹«e²Ä ©”®±
‚
©±π≠≥® qJAÃ«

±≤±
©∂® ‰U¦Ä
± >” ≥±≠ ¨ ¸”¸≤ ≠ ≤”
± Ω ” ¨ dH
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
ÆtÃU−Ä vKŽ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ hÁUM²Ã«Ë b¹«e²Ã« «d² 5F
∫wK¹ ULÂ Ê«d²Áô« n¹dFð bOF½
∞ >” ≥±≠ ¨ ”≤ ´ ≤”
± >” ≥∞ ¨ ”≤ ≠ ≤”
± Ω ” ¨ dH
Ω ©”®‚
©ø«–U*® dH Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô«
∞ >” >±≠ ¨ ≤ ´ ”≤
± >” >∞ ¨ ≤ ≠ ”≤
Ω ©”®Ó‚
≤Ω ≠
©∞®Ó‚ ¨ ≤≠Ω ´
©∞®Ó‚
…œułuÄ dOž ©∞®Ó‚ ∴
∫©”®Ó‚ …—Uý≈
©”®Ó‚ …—Uý≈
” ±≠ ∞
≠≠≠
©”®‚ „uKÝ
±
´´´
©≤∞≠≥® qJAÃ« ©”®Ó‚ …—Uý≈ 5³¹ ©≤∞≠≥® qJAÃ«
¤ ∞ ¨ ±≠ › …d²HÃ« w ∞ < ©”®Ó‚
› ∞ ¨ ±≠ ¤ …d²HÃ« w b¹«e²Ä ©”®‚ ∴
¤ ± ¨ ∞ › …d²HÃ« w ∞ > ©”®Ó‚
¤ ± ¨ ∞ ¤ …d²HÃ« w hÁUM²Ä ©”®‚ ∴
WO dDÃ« WDIMÃ« bMŽ qB²Ä dOž ©”®‚ Ê√ kŠô
Ê«d²Áô«vM×M*w½UO³Ã«qO¦L²Ã«bL²F½«cÃ¨±Ω”YOŠ
Ê√ kŠö½Ë ¨©≤±≠≥® qJAÃ« w u¼ ULÂ
”
±
’
±≠
©≤±≠≥® qJAÃ«
Æ¤ ± ¨ ∞ ¤ hÁUM²Ã« …d² vÃ≈ ·UCð ô ± Ω ”

±≤≤
©≤≠≥® s¹—U9
∫ WOðü« U½«d²Áô« sÄ ÌqJÃ hÁUM²Ã« Ë b¹«e²Ã« «d² 5Ž ±
∂´≤”≥≠≥”Ω©”®‚ √
¥≠≤” Ω©”®‚ »
› π ¨∞¤ ∋ ” ¨ ”≤
U²łΩ©”®‚ ?ł
Æ ∋ ” lOL' ©”®Ó„ <©”®Ó‚ YO×Ð 5½«d²Á« ©”®„ ¨ ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≤
Æ vKŽ b¹«e²Ä ©”®„ ≠ ©”®‚ Ê«d²Áô« Ê√ 5³
Æ ∋ ” lOL' ©”®Ó„ Ω ©”®Ó‚ YO×Ð 5½«d²Á« ©”®„ ¨ ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≥
ÆXÐUŁ ?ł YOŠ¨ ?ł ´ ©”®„ Ω ©”®‚ Ê√ 5³
ÊUÂ «–≈ ¨ ›∂¨±¤ ∋ ” rOÁ lOL' ∞ ≠ ©”®?¼ YOŠ ›∂¨±¤ vKŽ ÊU dFÄ œËbŠ «dO¦Â ©”®?¼ ¨©”®‚ ¥
w ÎUBÁUM²Ä ©”®?¼ ÊUÂË tÃU−Ä w Î«b¹«e²Ä ©”®‚ ÊU??ÂË¨‰Ë_« lÐdÃ« w ÊUFI¹ ©”®?¼ ¨©”®‚ UOM×MÄ
Æ›∂¨±¤ w b¹«e²Ä ©”® ©
‚
?¼ ® Ê√ X³ŁQ ¨tÃU−Ä
Æ › π
¥
¨∞¤ …d²HÃ« vKŽ b¹«e²Ä ”≠”Uþ Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« Ê√ X³Ł√ μ
Æ › π
¥
¨∞¤ …d²HÃ« vKŽ ” ≤”Uþ Ê√ X³Ł√ pÃ– sÄ
∫Ê«d²ÁöÃ hÁUM²Ã«Ë b¹«e²Ã« ôU−Ä 5Ž ∂
∞ ≥”≥±≠ ¨ ≤”
± ≥” ≥∞ ¨ ›”¤ ≠ ” Ω ©”®‚

±≤≥
(Extreme Values) Èu??BIÃ« r???OIÃ« ≥≠≥
¨Ê«d²Áô«vM×MÄvKŽWFÁ«uÃ«◊UIMÃ«Ê√bM³Ã««c¼w b−MÝËÜNBÁUMðË U½«d²Áô«b¹«eðoÐU Ã«bM³Ã«w UMÝ—œ
WOÝUÝ√ ◊UI½ w¼ ¨b¹«e²Ä vÃ≈ hÁUM²Ä sÄ fJFÃUÐ Ë√ ¨hÁUM²Ä vÃ≈ b¹«e²Ä sÄ tÂuKÝ vM×M*« U¼bMŽ dOG¹ w²Ã«Ë
tłËvKŽU¼bMŽÊ«d²Áô«c ²¹◊UI½UN½√ULÂªtBzUBš·dFðË¨Ê«d²Áô«vM×M*ÂUFÃ«qJAÃ«rÝ—w Î«dO¦ÂbŽU ð
ÆÎUIŠô ÈdMÝ ULÂ WOKLFÃ« UIO³D²Ã« sÄ dO¦Â w W Uš WOL¼√ «– wN wÃU²ÃUÐË ªÈdG Ë√ vLEŽ ÎULOÁ ÂuLFÃ«
∫WIKD*«Ë WOK;« ÈuBIÃ« rOIÃ«
’
”
±
” ≤
” ≥
” »
©≤≤≠≥® qJAÃ«
WLOÁÊ√kŠö½Æ›»¨ ¤ …d²HÃ«vKŽ·dF*«©”®‚Ê«d²Áô«vM×MÄÁöŽ√w ÂuÝd*«©≤≤≠≥®qJAÃ«5³¹
‰uI½pÃcÃÜNMÄÎUO UÂÎUÐdÁW³¹dIÃ«Ë±
”?Ã…—ËU−*«”rOÁlOL'Ê«d²ÁöÃÈdš√WLOÁÍ√sÄd³Â√±
”bMŽÊ«d²Áô«
WOK×Ä vLEŽ WLOÁ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ÊuJ¹ q¦*UÐ ª©±
”®‚ w¼ ±
” bMŽ WOK×Ä vLEŽ WLOÁ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ Ê≈
Ê«d²Áô« ‰U−Ä w ” rOÁ lOL' Ê«d²Áô« WLOÁ sÄ d³Â√ ©≥
”®‚ WOK;« vLEFÃ« WLOIÃ« Ê√ U0Ë ¨≥
” Ω ” bMŽ
ÆÊ«d²ÁöÃ WIKDÄ vLEŽ WLOÁ ÎUC¹√ vL ð UN½S
≤
”?Ã…—ËU−*«”rOÁlOL'Ê«d²ÁöÃÈdš√WLOÁÍ√sÄdG √≤
”bMŽÊ«d²Áô«WLOÁÊ√ ÎUC¹√qJAÃ«5³¹Ë
Æ©≤
”®‚ w¼ ≤
” Ω ” bMŽ WOK×Ä ÈdG WLOÁ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ Ê≈ ‰uI½ pÃcÃË ÜNMÄ ÎUO UÂ ÎUÐdÁ W³¹dIÃ«Ë
vKŽ ©»®‚ ¨ © ®‚ UL¼ » Ω ” ¨ Ω ” sÄ ÌqÂ bMŽ ÊU²OK×Ä ÊU¹dG ÊU²LOÁ Ê«d²ÁöÃ ÊuJ¹ q¦*UÐ
vL ð UN½S tÃU−Ä w ” rOÁ lOL' Ê«d²ÁöÃ WLOÁ dG √ w¼ © ®‚ WOK;« ÈdGBÃ« WLOIÃ« Ê≈ YOŠË ¨VOðd²Ã«
ÆÊ«d²ÁöÃ WIKDÄ ÈdG WLOÁ

±≤¥
∫n¹dFð
∫t½≈ ‰UI¹ Æ Ÿ ∋ ?ł sJ²ÃË ¨Ÿ ‰U−*« vKŽ ÎU dFÄ ÎU½«d²Á« ©”®‚ sJOÃ
Íu²% · WŠu²HÄ …d² błË «–≈ ©?ł®‚ w¼ ?ł Ω ” bMŽ WOK×Ä vLEŽ WLOÁ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ błu¹ ±
Æ©Ÿ ∩ ·® ∋ ” lOL' ©”®‚ ≤©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¨ ?ł vKŽ
vKŽ Íu²% · WŠu²HÄ …d² błË «–≈ ©?ł®‚ w¼ ?ł Ω ” bMŽ WOK×Ä ÈdG WLOÁ Ê«d²ÁöÃ błu¹ ≤
Æ©Ÿ ∩ ·® ∋ ” lOL' ©”®‚ ≥©?ł®‚ Ê≈ YO×Ð ¨ ?ł
ÆŸ ∋ ” lOL' ©”®‚ ≤©?ł®‚ X½UÂ «–≈ ©?ł®‚ w¼ ?ł Ω ” bMŽ WIKDÄ vLEŽ WLOÁ Ê«d²ÁöÃ błu¹ ≥
ÆŸ ∋ ” lOL' ©”®‚ ≥©?ł®‚ X½UÂ «–≈ ©?ł®‚ w¼ ?ł Ω ” bMŽ WIKDÄ ÈdG WLOÁ Ê«d²ÁöÃ błu¹ ¥
ÆtÃ ÈuBÁ ÎULOÁ Ê«d²ÁöÃ WIKDÄ Ë√ X½UÂ WOK×Ä ÈdGBÃ« rOIÃ«Ë vLEFÃ« rOIÃ« sÄ qÂ vL ð
Æ`O× dOž fJFÃ« sJÃË ¨WOK×Ä ÈuBÁ WLOÁ w¼ WIKDÄ ÈuBÁ WLOÁ qÂ Ê√ kŠö*« sÄË
©±® ‰U¦Ä
≤ >” ≥±≠ ¨ ≤” Ω ©”®‚ sJOÃ
≤ ≥” ≥±≠ ¨ ¸± ≠ ”¸ Ω ©”®?¼
Ê≈®ULNÃWIKD*«ËWOK;«ÈuBIÃ«rOIÃ«œU−¹≈w 5½«d²Áô«sÄÌ qJÃw½UO³Ã«qO¦L²Ã«Âb ²Ý«
Æ© błË Ê≈® ÈuBIÃ« WLOIÃ« jI½Ø WDI½ bMŽ vÃË_« WI²A*« 5Ž rŁ Æ© błË
’
”
± ≤
©”®?¼
±≠
≤
±
’
”
≤
©”®‚
±≠
¥
©≤¥≠≥®qJAÃ« ©≤≥≠≥®qJAÃ«

±≤μ
©≤≥≠≥® qJAÃ« kŠô ∫©”®‚ Ê«d²Áô« ∫ÎôË√
± Ω ©±≠®‚ w¼Ë ¨ ±≠ Ω ” bMŽ WOK×Ä vLEŽ WLOÁ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ
WLOÁ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ błu¹ ôË ªWO dÞ WDI½ q¦9 ±≠ Ω ” Ê_ …œułuÄ dOž ©±≠®Ó‚
ÆWIKDÄ vLEŽ
∞ Ω ©∞®‚ w¼Ë ¨ ∞ Ω ” bMŽ WIKDÄË WOK×Ä ÈdG WLOÁ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ
Æ©pÃ– sÄ oI%® ∞ Ω ©∞®Ó‚
©≤¥≠≥® qJAÃ« kŠô ∫©”®?¼ Ê«d²Áô« ∫ÎUO½UŁ
¨≤ Ω ©±≠®???¼ UL¼ ≤ Ω ” ¨ ±≠ Ω ” bMŽ ÊU²OK×Ä ÊUOLEŽ ÊU²LOÁ ©”®???¼ Ê«d²ÁöÃ
WLOIÃ«Ë ¨5²O dÞ 5²DI½ Êö¦9 ULN½_ …œułuÄ dOž ULNMÄ ÌqÂ bMŽ WI²A*« ¨± Ω ©≤®?¼
ÆÎUC¹√ WIKDÄ vLEŽ WLOÁ w¼ ≤ Ω ©±≠®?¼ WOK;« vLEFÃ«
∞ Ω ©±®?¼ w¼Ë ¨ ± Ω ” bMŽ WIKDÄË WOK×Ä ÈdG WLOÁ ©”®?¼ Ê«d²ÁöÃ
Æ©pÃ– sÄ oI%® Æ…œułuÄ dOž ©±®Ó ?¼ YOŠ
∫WOK;« ÈuBIÃ« rOIÃ« 5OFð w vÃË_« WI²A*« Â«b ²Ý«
«–UÄ sJÃË ¨Ê«d²ÁöÃ WOK;« ÈuBIÃ« rOIÃ« jI½ b¹b% w bŽU ¹ tÃU−Ä vKŽ Ê«d²Á« Í_ w½UO³Ã« qO¦L²Ã« Ê≈
øWI²A*« sŽ
dOž ÊuJð Ë√ Î«dH ÍËU ð U¼bMŽ WI²A*« YOŠ WOKš«œ jI½ bMŽ błuð ÈuBIÃ« rOIÃ« Ê√ o³Ý U2 UMEŠô
ÆWłdŠ ÎUDI½ jIMÃ« Ác¼ ‰U¦Ä√ vL ð Æ…œułuÄ dOž WI²A*« YOŠ Ê«d²Áô« n¹dFð …d² w dÞ bMŽ Ë√ ¨…œułuÄ
∫n¹dFð
©”®‚ Ê«d²ÁöÃ WłdŠ WDI½ ¨©”®‚ ‰U−Ä vÃ≈ wL²Mð ?ł YOŠ ¨©©?ł®‚ ¨ ?Š®WDIMÃ« vL ð
Æ…œułuÄ dOž ©?ł®Ó‚ Ë√ ¨ ∞ Ω ©?ł®Ó‚ X½UÂ «–≈

±≤∂
©≤® ‰U¦Ä
Æ ∋” ¨ ≤´”∏´≤”≥≠≥” ±
≥
Ω ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ Włd(« jIMÃ« lOLł 5Ž
WI²A*«YOŠjIMÃ«w¼Włd(«jIMÃ«ÊS vKŽ·dFÄœËbŠdO¦ÂÊ«d²Á«©”®‚Ê≈YOŠ
ÆÎ«dH Ω vÃË_«
∏ ´ ”∂ ≠≤” Ω ©”®Ó‚
∞ Ω ∏ ´ ”∂≠≤” ⇐ ∞Ω ©”®Ó‚
¥ ¨ ≤ Ω ” ⇐
©
≥
≤≤
¨ ¥® ¨ ©
≥
≤∂
¨ ≤® Í√ ¨©©¥®‚ ¨ ¥®¨ ©©≤®‚ ¨ ≤®∫UL¼ ÊU²łd(« ÊU²DIMÃ«
©≥® ‰U¦Ä
≤ ≥” ≥≤≠ ¨ ≥” Ω ©”®‚ sJOÃ
Æ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ Włd(« jIMÃ« lOLł 5Ž √
√ r IÃ« w UNðbłË w²Ã« Włd(« jIMÃ« sÄ WDI½ qÂ Ÿu½ 5Ž rÝdÃ« sÄË ¨©”®‚ vM×MÄ rÝ—« »
ÆpÃ– dOž Ë√ ÈuBÁ ÎULOÁ UN½uÂ YOŠ sÄ
≤”≥ Ω ©”®Ó‚
∞ Ω ” ⇐ ∞ Ω≤”≥ ⇐ ∞ Ω ©”®Ó‚
≤ ¨ ≤≠ Ω ” bMŽ Í√ ‰U−*« w dÞ bMŽ …œułuÄ dOž ©”®Ó‚
©©≤®‚¨≤®¨ ©©∞®‚¨∞®¨ ©©≤≠®‚¨≤≠®∫w¼ Włd(« jIMÃ«
∫t½√ kŠö½ ©≤μ≠≥® qJAÃ« sÄ
©∏≠¨≤≠® Ω ©©≤≠®‚¨≤≠®Włd(« WDIMÃ« bMŽ
ÆÎUC¹√ WIKDÄ w¼Ë WOK×Ä ÈdG WLOÁ błu¹
©∏¨≤® Ω ©©≤®‚¨≤®Włd(« WDIMÃ« bMŽË
ÆÎUC¹√ WIKDÄ w¼Ë WOK×Ä vLEŽ WLOÁ błu¹
ÈuBÁ WLOÁ W¹√ Ê«d²ÁöÃ błu¹ ô ULMOÐ
©∞ ¨ ∞® Ω ©©∞®‚ ¨ ∞®Włd(« WDIMÃ« bMŽ
”
’
≤≤≠
∏
∏≠
©≤μ≠≥® qJAÃ«

±≤∑
WOK;« ÈuBIÃ« rOIÃ« 5OF²Ã vÃË_« WI²A*« —U³²š«
sJð rÃ sJÃË ªÊ«d²ÁöÃ Włd(« jIMÃ« bMŽ ô≈ błuð ô WOK;« ÈuBIÃ« rOIÃ« Ê√ WIÐU Ã« WK¦Ä_« w U½błË
ÈuBÁ WLOÁ WDI½ Ê«d²ÁöÃ Włd(« WDIMÃ« ÊuJð Ê–≈ v²L ª©≥® ‰U¦Ä lł«— ¨ÈuBÁ WLOÁ WDI½ WłdŠ WDI½ qÂ
Æ‰«R Ã« «c¼ sŽ WÐUłù« ‚dÞ ÈbŠ≈ u¼ wðü« —U³²šô« øtÃ
∫©vÃË_« WI²ALÃ« —U³²š«® W¹dE½
W??Šu²HÄ …d² b???łËË ¨ ?ł bMŽ qB²*« ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ WOKš«œ WłdŠ WDI½ ©©?ł®‚¨ ?ł® X½UÂ «–≈
∫YO×Ð ?ł ‰uŠ
ÆWOK×Ä vLEŽ WLOÁ ©?ł®‚ ÊS ¨ ?ł <” UÄbMŽ ∞ >©”®Ó‚ ¨ ?ł >” UÄbMŽ ∞ <©”®Ó‚ ±
ÆWOK×Ä ÈdG WLOÁ ©?ł®‚ ÊS ¨ ?ł <” UÄbMŽ ∞ <©”®Ó‚ ¨ ?ł >” UÄbMŽ ∞ >©”®Ó‚ ≤
ÈuBÁWLOÁ©”®‚Ê«d²ÁöÃbłu¹ôt½S ?łw³½UłvKŽvÃË_«WI²A*«…—Uý≈w dOGðÀb×¹rÃ«–≈t½√kŠô
Æ©≤∂≠≥® qJAÃ« dE½« Æ?ł bMŽ WOK×Ä
’
”
X OÃ ©∞¨∞® WDIMÃ«
WOK×Ä ÈuBÁ WLOÁ
∞ Ω ©∞® Ó‚
∞< Ó‚
∞< Ó‚
’
”
ÈdG
WOK×Ä
∞ > Ó‚
∞ Ω Ó‚
∞ < Ó‚
?ł
’
”
WOK×Ä vLEŽ
∞ > Ó‚∞ < Ó‚
∞ Ω Ó‚
?ł
©?ł® ©»® ©√®
©≤∂≠≥® qJAÃ«
©¥® ‰U¦Ä
Ê«d²ÁöÃ WOK;« ÈuBIÃ« rOIÃ« Ø WLOIÃ« 5F ∋ ” ¨ μ≠”±≤≠≥” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
ÆvÃË_« WI²A*« —U³²š« ÎUÄb ² Ä ©”®‚
∞ Ω±≤≠≤”≥ ⇐ ∞ Ω ©”®Ó‚ ∫Włd(« jIMÃ« ∫ÎôË√
≤≠ Ë√ ≤ Ω ” ⇐

±≤∏
©©≤≠®‚ ¨ ≤≠® ¨ ©©≤®‚ ¨ ≤® ∫UL¼ ÊU²łdŠ ÊU²DI½ UM¹bÃ ∴
©±± ¨ ≤≠® ¨ ©≤±≠ ¨ ≤® Í√
∫©”®Ó‚ …—Uý≈ ∫ÎUO½UŁ´´´©”®Ó‚ …—Uý≈
” ≤≠ ≤
≠≠≠´´´ dH dH
©”®‚ „uKÝ
©≤∑≠≥® qJAÃ«
©”®Ó‚ …—Uý≈ 5³¹ ©≤∑≠≥® qJAÃ«
∫vÃË_« WI²A*« —U³²š« ∫ÎU¦ÃUŁ
œËbŠdO¦Â t½_ ≤≠ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ √
≤≠ Ω ” bFÐ W³ÃUÝ vÃ≈ ≤≠ Ω ” q³Á W³łuÄ sÄ ©”®Ó‚ …—Uý≈ dOG²ð ≤≠ Ω ” —«uł w Ë
ÆWOK×Ä vLEŽ WLOÁ ±± Ω ©≤≠®‚ ∴
œËbŠ dO¦Â t½_ ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ »
≤ Ω ” bFÐ W³łuÄ vÃ≈ ≤ Ω ” q³Á W³ÃUÝ sÄ ©”®Ó‚ …—Uý≈ dOG²ð ≤ Ω ” —«uł w Ë
ÆWOK×Ä ÈdG WLOÁ ≤±≠ Ω ©≤®‚ ∴
©μ® ‰U¦Ä
pÃ–Ë Ê«d²ÁöÃ WOK;« ÈuBIÃ« rOIÃ«ØWLOIÃ« 5F ∋” ¨ ¸±≠≤”¸ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
ÆvÃË_« WI²A*« —U³²š« Â«b ²ÝUÐ
∫Włd(« jIMÃ« ∫ÎôË√
±≠ ≥” ¨ ±≠≤
”
± ≥” ≥±≠ ¨
≤
”≠±
± ≤” ¨ ±≠≤”
Ω ©”®‚
±≠ >” ¨ ”≤
± >” >±≠ ¨ ”≤≠
± <” ¨ ”≤
©ø«–U*® ±∓ Ω ” ¨ …œułuÄ dOž
Ω ©”®Ó‚ ⇐
± >” >±≠¨ ∞ Ω ”≤≠ ⇐ ∞Ω©”®Ó‚
∞ Ω ” ⇐

±≤π
±∓ Ω ” bMŽ …œułuÄ dOž ©”®Ó‚
±¨ ∞¨ ±≠ Ω ” YOŠ ◊UIMÃ« w¼ Włd(« jIMÃ« ∴
∫vÃË_« WI²A*« …—Uý≈ ∫ÎUO½UŁ
©”®Ó‚ …—Uý≈
” ±≠ ∞
´´´≠≠≠
dOž
…œułuÄ dH
±
´´´≠≠≠
dOž
…œułuÄ
©”®‚ „uKÝ
©≤∏≠≥® qJAÃ«
©”®Ó‚ …—Uý≈ 5³¹ ©≤∏≠≥® qJAÃ«
±≠ Ω ” YOŠ Włd(« WDIMÃ« √
±≠ Ω ” bMŽ qB²Ä ‚ Ê«d²Áô«
W³łuÄ vÃ≈ W³ÃUÝ sÄ ©”®Ó‚ …—Uý≈ dOGðË
ÆWOK×Ä ÈdG WLOÁ ∞ Ω ©±≠®‚ ∴
dH Ω ” YOŠ Włd(« WDIMÃ« »
∞ Ω ” bMŽ qB²Ä ‚ Ê«d²Áô«
W³ÃUÝ vÃ≈ W³łuÄ sÄ ©”®Ó‚ …—Uý≈ dOGðË
Æ WOK×Ä vLEŽ WLOÁ ± Ω ©∞®‚ ∴
± Ω ” bMŽ Włd(« WDIMÃ« ?ł
± Ω ” bMŽ qB²Ä ‚ Ê«d²Áô«
W³łuÄ vÃ≈ W³ÃUÝ sÄ ©”®Ó‚ …—Uý≈ dOGðË
ÆWOK×Ä ÈdG WLOÁ ∞ Ω ©±®‚ ∴
∫WEŠöÄ
©”®‚ Ê«d²Áô« ÊUÂË ©Îö¦Ä Èd ¹® WO dÞ WDI½ ©© ®‚ ¨ ® X½UÂ «–≈ ¨WO dDÃ« Włd(« jIMÃ« WÃUŠ w
ÊS ¨UNMO1 vKŽË sÄ W³¹dIÃ« ” rOÁ lOL' W³łuÄ ©”®Ó‚ …—Uý≈ X½UÂË ¨U¼bMŽ 5LOÃ« sÄ ÎöB²Ä
dE½« ÆWOK×Ä vLEŽ WLOÁ © ®‚ ÊS W³ÃUÝ ©”®Ó‚ X½UÂ «–≈ UÄ√ ªWOK×Ä ÈdG WLOÁ ÊuJð © ®‚
Æ©» ¨ √ ∫≤π≠≥® qJAÃ«
Æ©œ ¨ ?ł ∫ ≤π≠≥® qJAÃ« dE½« ¨» vMLOÃ« WO dDÃ« WDIMÃ« d³² ð WKŁU2 WI¹dDÐË
Ê«d²Áô« vM×M* w½UO³Ã« rÝdÃ« Â«b ²Ý« UMMJ1 t½S ¨WO dÞ WłdŠ WDI½ bMŽ qB²Ä dOž ©”®‚ ÊUÂ «–≈ UÄ√
ÆÈuBIÃ« rOIÃ« w Y×³KÃ

±≥∞
”
»
’
∞ > Ó‚
ÈdG
WOK×Ä
”
»
’
∞ < Ó‚
vLEŽ
WOK×Ä
”
’
∞ > Ó‚
vLEŽ
WOK×Ä
”
’
∞ < Ó‚
ÈdG
WOK×Ä
©œ® ©?ł® ©»® ©√®
©≤π≠≥® qJAÃ«
©∂® ‰U¦Ä
≤ >” ≥±≠ ¨ ≤”
≤ Ω ” ¨ ≤
Ω ©”®‚ sJOÃ
ÆtÃU−Ä vKŽ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ WOK;« ÈuBIÃ« rOIÃ«ØWLOIÃ« 5Ž
∫Włd(« jIMÃ« ∫ÎôË√
≤ >” >±≠ ¨ ”≤Ω ©”®Ó‚
∞ Ω ” UNMÄË ∞ Ω ”≤ UÄbMŽ ∞ Ω ©”®Ó‚
≤ ¨ ±≠ Ω ” YOŠ 5²O dDÃ« 5²DIMÃ« bMŽ …œułuÄ dOž ©”®Ó‚
©”®‚ vM×MÄ vKŽ WFÁ«uÃ« jIMÃ« w¼ Włd(« jIMÃ« ∴
≤ ¨ ∞ ¨ ±≠ Ω ” YOŠ
∫©”®Ó‚ …—Uý≈ ∫ÎUO½UŁ
©”®‚ „uKÝ
©”®Ó‚ …—Uý≈
” ±≠ ∞
≠≠≠
≤
´´´
©≥∞≠≥® qJAÃ«
©”®Ó‚ …—Uý≈ 5³¹ ©≥∞≠≥® qJAÃ«
±≠ Ω ” YOŠ Włd(« WDIMÃ« √
±≠ Ω ” YOŠ WO dDÃ« WDIMÃ« bMŽ 5LOÃ« WNł sÄ qB²Ä ‚
±≠ Ω ” 51 vKŽ ∞ > ©”®Ó‚
ÆWOK×Ä vLEŽ WLOÁ WDI½ ©± ¨ ±≠® Ω ©©±≠®‚ ¨ ±≠® ∴

±≥±
∞ Ω ” YOŠ Włd(« WDIMÃ« »
W³łuÄ vÃ≈ W³ÃUÝ sÄ ©”®Ó‚ …—Uý≈ dOG²ðË ¨ ∞ Ω ” bMŽ qB²Ä ‚
ÆWOK×Ä ÈdG WLOÁ WDI½ ©∞ ¨ ∞® Ω ©©∞®‚ ¨ ∞® ∴
≤ Ω ” YOŠ Włd(« WDIMÃ« ?ł
≤ Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ‚
vÃË_« WI²A*« Â«b ²ÝUÐ Âe'« sJ1 ô ∴
≤ Ω ” bMŽ ÈuBÁ WLOÁ œułuÐ
©”®‚ vM×M* w½UO³Ã« qO¦L²Ã« vÃ≈ ŸułdÃUÐË
∫Ê√ jŠö½ ¨©≥±≠≥® qJAÃ« w u¼ ULÂ
©≤ ¨ ≤® Ω ©©≤®‚ ¨ ≤®Włd(« WDIMÃ«
ÆWOK×Ä ÈdG WLOÁ WDI½ w¼
”
± ≤
’
¥
±
±≠
©≥±≠≥® qJAÃ«
WOÃU²Ã« W¹dEMÃ«Ë U½«d²ÁöÃ WIKD*« ÈuBIÃ« rOIÃ« WÝ«—œ w W Uš WOL¼√ ›»¨ ¤ WIKGÄ …d² vKŽ ‰UBðöÃ
∫pÃ– `{uð
∫WIKDLÃ« ÈuBIÃ« rOIÃ« W¹dE½
WLOÁË WIKDÄ vLEŽ WLOÁ c ²¹ ©”®‚ ÊS ›»¨ ¤ WIKG*« …d²HÃ« vKŽ ÎöB²Ä ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈
Æ›»¨ ¤ vKŽ WIKDÄ ÈdG
Ê√ WIKD*« ÈuBIÃ« rOIÃ« 5OF²Ã wHJ¹ ¨WIKGÄ …d² vKŽ ÎöB²Ä Ê«d²Áô« ÊuJ¹ UÄbMŽ Í√ ¨WÃU(« Ác¼ w
ÊuJðË ¨WIKD*« vLEFÃ« WLOIÃ« w¼ U¼d³Â√ ÊuJ² ªU¼bMŽ Ê«d²Áô« rOÁ Ê—UI½ rŁ ¨ÎôË√ Włd(« jIMÃ« lOLł 5F½
ÆWIKD*« ÈdGBÃ« WLOIÃ« w¼ U¼dG √
©∑® ‰U¦Ä
μ ≥” ≥∞ YOŠ π ´ ”∂ ≠≤” Ω ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ WIKD*« ÈuBIÃ« rOIÃ« 5Ž
›μ¨∞¤ WIKG*« …d²HÃ« vKŽ qB²Ä uN œËbŠ dO¦Â Ê«d²Á« ©”®‚
Æ…d²HÃ« Ác¼ vKŽ WIKDÄ ÈdG WLOÁË WIKDÄ vLEŽ WLOÁ c ²¹ ©”®‚ ∴
∫Włd(« jIMÃ«

±≥≤
μ >” >∞ ¨ ∂≠ ”≤
μ ¨ ∞ Ω ” ¨ …œułuÄ dOž
Ω ©”®Ó‚
¤μ¨∞› ∋ ≥ Ω ” UÄbMŽ Í√ ∞ Ω ∂≠”≤ UÄbMŽ ∞ Ω ©”®Ó‚
©ÊU²O dÞ ÊU²DI½® μ ¨ ∞ Ω ” bMŽ …œułuÄ dOž ©”®Ó‚
μ¨≥¨∞ Ω” UÄbMŽ w¼ Włd(« jIMÃ« ∴
¥ Ω π ´ ≥∞ ≠ ≤μ Ω ©μ®‚ ¨ dH Ω π ´ ±∏ ≠ π Ω ©≥®‚ ¨ π Ω ©∞®‚
∫Ê√ Z²M² ½ Àö¦Ã« rOIÃ« W½—UI0Ë
Æ Ê«d²ÁöÃ WIKD*« ÈdGBÃ« WLOIÃ« w¼ ¨ ∞ Ω ©≥®‚
ÆÊ«d²ÁöÃ WIKD*« vLEFÃ« WLOIÃ« w¼ ¨ π Ω ©∞®‚
©∏® ‰U¦Ä
± >” ≥∞ ¨ ”≤≠¥
≤ ≥” ≥± ¨ ±´”
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
© błË Ê≈®‚ Ê«d²ÁöÃ WIKD*« ÈuBIÃ« rOIÃ« 5F
©pÃ– sÄ oI%® ›≤¨∞¤ vKŽ qB²Ä ©”®‚
Æ›≤¨∞¤ vKŽ WIKDÄ ÈdG WLOÁË WIKDÄ vLEŽ WLOÁ c ²¹ ©”®‚
∫Włd(« jIMÃ«
± >” >∞ ¨ ≤≠
≤ >” >± ¨ ±
©ø«–U*® ≤¨±¨∞ Ω ” ¨ …œułuÄ dOž
Ω ©”®Ó‚
≤¨±¨∞ Ω ” YOŠ Włd(« jIMÃ« ∴
≥ Ω ©≤®‚ ¨ ≤ Ω ©±®‚ ¨ ¥ Ω ©∞®‚
∫Ê√ Z²M² ½ Àö¦Ã« rOIÃ« W½—UI0Ë
ÆÊ«d²ÁöÃ WIKD*« ÈdGBÃ« WLOIÃ« w¼ ≤ Ω ©±®‚
ÆÊ«d²ÁöÃ WIKD*« vLEFÃ« WLOIÃ« w¼ ¥ Ω ©∞®‚

±≥≥
©≥≠≥® s¹—U9
ø© błË Ê≈® WLOIÃ« Ác¼ Ÿu½ UÄË ø?ł Ω ” bMŽ WOK×Ä ÈuBÁ WLOÁ c ²¹ WOðü« ‰UJý_« sÄ qÂ w U½«d²Áô« Í√ ±
’
”
?ł
’
”
?ł
’
”
?ł
©?ł® ©»® © √ ®
’
”
?ł
’
”
?ł
’
”
?ł
©Ë® ©?¼® ©œ®
∫WOðü« U½«d²Áô« sÄ qJÃ Włd(« jIMÃ« lOLł 5Ž ≤
Æ›¥ ¨ ∞¤ …d²HÃ« w ” √ Ω©”®„ ?ł Æ›”¤ Ω ©”®?¼ »
≥≠”≤
π≠≤” Ω ©”®‚ √
∫WOðü« U½«d²Áô« sÄ qJÃ © błË Ê≈® WOK;« ÈuBIÃ« rOIÃ«Ø WLOIÃ« 5OFð w vÃË_« WI²A*« —U³²š« Âb ²Ý« ≥
± >” ¨ ”≤≠
¥ ≥” ≥± ¨ ≥≠”
¥ < ” ¨ ”≠μ
Ω ©”®‚ » ≤≠”≥´≥” Ω ©”®‚ √
› ≥
≤
¨ ±
≤
≠¤ ∋ ” ¨≤´ ” ≤≠≤” Ω ©”®‚ ?ł
¤ π ≤¨ ∞ › ∋ ” ¨ ”≤
Uł Ω ©”®‚ œ
Æ› π≤¨∞¤ …d²HÃ« vKŽ ”U²ł ´ ”Uł Ω ’ Ê«d²ÁöÃ WIKD*«Ë WOK;« ÈuBIÃ« rOIÃ«ØWLOIÃ«błË√ ¥

±≥¥
∫©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ©”®Ó‚ vÃË_« WI²A*« vM×MÄ —ËU−*« rÝdÃ« 5³¹ μ
Æ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ Włd(« jIMÃ« 5Ž √
Æ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ hÁUM²Ã«Ë b¹«e²Ã« ôU−Ä 5Ž »
Æ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ WOK;« ÈuBIÃ« rOIÃ« 5Ž ?ł
”
± ≤ ≥
©”®Ó‚
©¥ ¨ ∞®¥
≥
≤
±
Ê«d²Áô« vM×MÄ oI×¹ YO×Ð œ¨?ł¨»¨ XÐ«u¦Ã« błË√ ∂
∫ÎUFÄ WOÃU²Ã« ◊ËdAÃ« œ ´” ?ł´≤”»´≥” Ω ©”®‚
¥ Ω ” bMŽ WłdŠ WDI½ tÃ » q _« WDIMÐ d1 √
∞ Ω ∑ ´ ’ ≠ ”π ∫w¼ tOKŽ ©©±®‚¨±®WDIMÃ« bMŽ vM×MLKÃ ”UL*« WÃœUFÄ ?ł
bMŽ WOK×Ä ÈdG WLOÁË ¨ Ω ” bMŽ WOK×Ä vLEŽ WLOÁ tÃË ¨ vKŽ ·dFÄ œËbŠ dO¦Â Ê«d²Á« ©”®‚ ∑
¤»¨ › ∋ ?ł qÁ_« vKŽ bŠ«Ë œbŽ œułË X³Ł√ ¨©”®Ó‚ Ê«d²Áô« vKŽ ‰Ë— W¹dE½ oO³D²Ð Æ» Ω ”
Æ ∞ Ω ©?ł®Î‚ YO×Ð
∫WOðü« U½«d²Áô« sÄ qJÃ © błË Ê≈® WIKD*« ÈuBIÃ« rOIÃ« 5Ž ∏
›¥¨±¤ ∋ ” ¨ ±∞´”∂´≤”
≤
μ
≠
≥
≥”
Ω©”®‚ √
∏ ≥” ≥±≠ ¨ ” ≥
√ Ω ©”®‚ »
± >” ≥∞ ¨ ”
≥ ≥” ≥± ¨ ¸≤ ≠ ”¸
Ω ©”®‚ ?ł

±≥μ
(Concavity & Points of Inﬂection) ·UDF½ô« jI½Ë dFI²Ã« ¥≠≥
b¹«e²Ä Ê«d²Á« ≥” Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« Ê√ —ËU−*« ©≥≤≠≥® qJý `{u¹
ÁU&« sŽ nK² ¹ ∞ Ω ” q³Á vM×M*« ”uIð ÁU&« Ê√ kŠö¹ sJÃË ª vKŽ
Æ∞ Ω ” bFÐ tÝuIð
X% lI¹ vM×M*« Ê√ kŠö½ ¨ ∞ > ” UÄbMŽ Í√ vÃË_« WÃU(« w
¨ ∞ < ” UÄbMŽ Í√ ¨WO½U¦Ã« WÃU(« w UÄ√ ª¡e'« «c¼ w tðUÝU2 lOLł
Æ¡e'« «c¼ w tðUÝU2 lOLł ‚u lI¹ v?M×M*« ÊS
’
”
≥” Ω ’
©≥≤≠≥® qJAÃ«
∫n¹dFð
Ác¼ w tðUÝU2 lOLł ‚u ÎUFÁ«Ë ÊUÂ «–≈ tÃU−Ä sÄ …d² w vKŽúÃ dFIÄ t½≈ ©”®‚ Ê«d²Á« vM×M* ‰UI¹
Æ…d²HÃ« Ác¼ w tðUÝU2 lOLł X% ÎUFÁ«Ë ÊUÂ «–≈ tÃU−Ä sÄ …d² w qHÝúÃ dFIÄ t½≈Ë ¨…d²HÃ«
©≥≥≠≥® qJAÃ« w ULÂ ¨ ≤” Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ Îö¦L
qOÄ Ê√ WÃU(« Ác¼ w kŠö½ Æ tÃU−Ä vKŽ vKŽúÃ dFIÄ vM×MÄ
ÊS wÃU²ÃUÐË ªb¹«e²Ä Ê«d²Á« ©”®Ó‚ Ê√ Í√ ¨” œU¹œ“UÐ b¹«e²¹ ”UL*«
ÆW³łuÄ ©”®Î‚
’
”
∞ > ©”®Ó‚
∞ Ω ©∞®Ó‚
∞ < ©”®Ó‚
©≥≥≠≥® qJAÃ«
©≥¥≠≥®qJAÃ«w ULÂ¨≤”≠Ω©”®‚vM×MÄÊS ¨fJFÃUÐË
hÁUM²¹ ”UL*« qOÄ Ê√ WÃU(« Ác¼ w kŠö½ Æ vKŽ qHÝúÃ dFIÄ
©”®Î‚ÊS wÃU²ÃUÐËª vKŽhÁUM²ÄÊ«d²Á«©”®Ó‚Ê√Í√¨”œU¹œ“UÐ
ÆW³ÃUÝ
’
”
∞ < ©”®Ó‚
∞ Ω ©∞®Ó‚
∞ > ©”®Ó‚
©≥¥≠≥® qJAÃ«

±≥∂
©WO½U¦Ã« WI²ALÃ« Â«b ²ÝUÐ dFI²Ã« —U³²š«® ∫W¹dE½
∫t½S ¤ »¨ › vKŽ 5² dFÄ ©”®Î‚¨ ©”® Ó‚ X½UÂË › »¨ ¤ vKŽ ÎöB²Ä ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈
› »¨ ¤ …d²HÃ« w vKŽúÃÎ«dFIÄ ÊuJ¹ ©”®‚ vM×MÄ ÊS ¤ »¨ › ∋” lOL' ∞<©”®Î‚ X½UÂ «–≈ ±
› »¨ ¤ …d²HÃ« w qHÝúÃÎ«dFIÄ ÊuJ¹ ©”®‚ vM×MÄ ÊS ¤ »¨ › ∋” lOL' ∞>©”®Î‚ X½UÂ «–≈ ≤
©±® ‰U¦Ä
©”®‚Ê«d²Áô«vM×MÄUNO ÊuJ¹w²Ã« «d²HÃ«5ŽÆμ≠”≤≠≤”∂´≥”Ω©”®‚sJOÃ
ÆqHÝúÃÎ«dFIÄ UNO ÊuJ¹ w²Ã« «d²HÃ«Ë ¨vKŽúÃÎ«dFIÄ
μ ≠ ”≤ ≠ ≤”∂ ´≥”Ω ©”®‚
≤ ≠ ”±≤ ´≤”≥Ω ©”®Ó‚
±≤ ´ ”∂Ω ©”®Î‚
©”®Î‚ …—Uý≈
” ≤≠
≠≠≠ ´´´dH
vM×MÄ ”uIð
©”®‚
©≥μ≠≥® qJAÃ«
©≥μ≠≥® qJAÃUÐ 5³Ä u¼ ULÂ ©”®Î‚ …—Uý≈
≤≠ >” UÄbMŽ ∞ > ©”®Î‚
›≤≠¨∞≠› …d²HÃ« w qHÝúÃ dFIÄ ©”®‚ vM×MÄ ∴
≤≠ <” UÄbMŽ ∞ < ©”®Î‚ Ê√ kŠö½ pÃcÂ
¤∞¨≤≠¤ …d²HÃ« w vKŽúÃ dFIÄ ©”®‚ vM×MÄ ∴
vL ² ÁdFIð ÁU&« U¼bMŽ vM×M*« dOG¹ w²Ã« ©±μ¨≤≠® WDIMÃ« Í√ ©©≤≠®‚¨≤≠® WDIMÃ« UÄ√
ÆÊ«d²Áô« vM×M* ·UDF½« WDI½
©·UDF½ô« WDI½® ∫n¹dFð
d]Ož«–≈Ê«d²Áô«vM×M*·UDF½«WDI½©©?ł®‚¨?ł®WDIMÃ«vL ðª?łΩ”bMŽ ÎöB²ÄÎU½«d²Á«©”®‚sJOÃ
ÆfJFÃUÐ Ë√ qHÝ√ vÃ≈ vKŽ√ sÄ ª ?ł WDIMÃ« bMŽ ÁdFIð ÁU&« ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ

±≥∑
ÆWHK² Ä U½«d²Áô ·UDF½ô« WDI½ `{u¹ ©≥∂≠≥® qJAÃ«
vKŽ_ dFIÄ
qHÝ_ dFIÄ ·UDF½« WDI½
vKŽ_ dFIÄqHÝ_ dFIÄ
·UDF½« WDI½ vKŽ_ dFIÄ
qHÝ_ dFIÄ
·UDF½« WDI½
©≥∂≠≥® qJAÃ«
∫WEŠöÄ
ÎUO UÂ ÎUÞdý fOÃ «c¼ Ê√ ô≈ ª…œułuÄ dOž Ë√ Î«dH Ω ©?ł®Î‚ ÊuJð ©©?ł®‚¨?ł®·UDF½ô« WDI½ bMŽ
WDIMÃ«sJÃË∞Ω©∞®Î‚◊dAÃ«oI×¹¨‰U¦*«qO³ÝvKŽ¨¥”Ω©”®‚Ê«d²ÁôU ¨·UDF½«WDI½œułuÃ
Æ©pÃ– sÄ oI%® ¨ÎULz«œ vKŽúÃ dFIÄ t½_ ¥” Ω Ê«d²Áô« vM×M* ·UDF½« WDI½ X OÃ ©©∞®‚¨∞®
©≤® ‰U¦Ä
qHÝ_«ËvKŽúÃdFI²Ã« «d² Ø…d² błËQ › π≤¨∞¤∋ ”¨”Uł≠”Ω©”®‚ÊUÂ«–≈
Æ© błË Ê≈® ·UDF½ô« jI½ØWDI½ 5ŽË ¨‚ vM×M*
› π≤¨∞¤ ∋ ”¨ ”Uł ≠ ” Ω ©”®‚
”U²ł ≠ ± Ω ©”®Ó‚
”Uł Ω ©”®Î‚
©”®Î‚ …—Uý≈
” ∞
´´´
π
≠≠≠dH
π ≤
vM×MÄ ”uIð
©”®‚
©≥∑≠≥® qJAÃ«
©≥∑≠≥® qJAÃ« w 5³Ä u¼ ULÂ ©”®Î‚ …—Uý≈
¤ π¨∞ › ∋ ” UÄbMŽ ∞<©”®Î‚
› π¨∞ ¤ …d²HÃ« w vKŽúÃ dFIÄ ‚ vM×MÄ ∴
¤ π≤¨π › ∋ ” UÄbMŽ ∞ >©”®Î‚
› π≤¨π ¤ …d²HÃ« w qHÝúÃ dFIÄ ‚ vM×MÄ ∴
π Ω ” bMŽ qB²Ä ‚ Ê«d²Áô« Ê√ U0Ë
U¼—«uł w ÁdFIð ÁU&« dOG¹Ë
Æ·UDF½« WDI½ ©π¨π® Ω ©©π®‚¨π®WDIMÃ« ∴

±≥∏
©≥® ‰U¦Ä
WDI½Ë ©”®‚ vM×M* qHÝ_«Ë vKŽúÃ dFI²Ã« ôU−Ä 5F ¨¸π ≠ ≤”¸ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
Æ© błË Ê≈® ·UDF½ô«
¸π ≠ ≤”¸ Ω ©”®‚
≥≠ ≥” ¨ π ≠ ≤”
≥ >” >≥≠ ¨ π ´ ≤”≠
≥ ≤” ¨ π ≠ ≤”
Ω
≥≠ >” ¨ ”≤
≥ >” >≥≠ ¨ ”≤≠
≥ <” ¨ ”≤
≥ ∓ Ω ” ¨ …œułuÄ dOž
Ω ©”®Ó‚
≥≠ >” ¨ ≤
≥ >” >≥≠ ¨ ≤≠
≥ <” ¨ ≤
≥ ∓ Ω ” ¨ …œułuÄ dOž
Ω ©”®Î‚
©”®Î‚ …—Uý≈
”
´´´ ≠≠≠
≥≥≠
´´´
vM×M*« ”uIð
©≥∏≠≥® qJAÃ«
©≥∏≠≥® qJAÃUÐ 5³Ä u¼ ULÂ ©”®Î‚ …—Uý≈
≥ >” >≥≠ UÄbMŽ ∞ >©”®Î‚
›≥¨≥≠¤ …d²HÃ« w qHÝúÃ dFIÄ ©”®‚ vM×MÄ ∴
≥ <” pÃcÂË ¨ ≥≠ >” UÄbMŽ ∞ <©”®Î‚
Æ›≥≠¨∞≠› …d²HÃ« w vKŽúÃ dFIÄ ©”®‚ vM×MÄ ∴
¤∞¨≥¤ …d²HÃ« w pÃcÂË
¨·UDF½« WDI½ ©∞ ¨≥≠® Ω ©©≥≠®‚¨≥≠® WDIMÃ«
ÁU&«vM×M*«dOG¹Ë¨≥≠Ω”bMŽqB²Ä©”®‚Ê_
©∞¨≥® Ω ©©≥®‚¨≥®WDIMÃ« pÃcÂË ¨UNÃuŠ ÁdFIð
Ætð«– V³ KÃ WO½UŁ ·UDF½« WDI½
Æ©”®‚ vM×MÄ q¦1 ÍcÃ« ©≥π≠≥® qJAÃ« dE½«
”
’
≥≠
π
≥
©≥π≠≥® qJAÃ«

±≥π
©¥® ‰U¦Ä
qB²*« Ê«d²ÁöÃ ©”®Î‚ vM×MÄ ©¥∞≠≥® qJAÃ« q¦1
Æ›¥¨ ≥≠¤ …d²HÃ« vKŽ ©”®‚
Æ©”®‚ vM×M* qHÝúÃË vKŽúÃ dFI²Ã« ôU−Ä 5Ž √
Æ© błË Ê≈®·UDF½ô« jI½Ø WDI½ 5Ž »
”
©”®Î‚ Ω ’
≥≠ ¥
©¥∞≠≥® qJAÃ«
©”®Î‚ …—Uý≈ `{u¹ ©¥±≠≥® qJAÃ«
¤∞¨ ≥≠› …d²HÃ« vKŽ ∞ <©”®Î‚ √
›∞¨ ≥≠¤ …d²HÃ« vKŽ vKŽúÃ dFIÄ ©”®‚ vM×MÄ ∴
¤¥¨∞› …d²HÃ« vKŽ ∞ >©”®Î‚©”®Î‚ …—Uý≈
” ≥≠
´´´
vM×M*« ”uIð
∞
≠≠≠≠≠
¥
∞
©¥±≠≥® qJAÃ«
›¥¨∞¤ …d²HÃ« vKŽ qHÝúÃ dFIÄ ©”®‚ vM×MÄ ∴
∞ Ω ” bMŽ qB²Ä ‚ Ê_ ·UDF½« WDI½ ©©∞®‚¨∞®WDIMÃ« »
ÆU¼bMŽ ÁdFIð ÁU&« vM×M*« dOG¹Ë
©μ® ‰U¦Ä
∫błËQ ¨ ∞ ≠ ” ¨ ”
±
´ ” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈
Æ‚ vM×M* qHÝúÃ Ë vKŽúÃ dFI²Ã« «d² √
Æ błË Ê≈ ·UDF½ô« jI½Ø WDI½ »
≤ ≠” ≠ ± Ω ≤”
±
≠± Ω ©”®Ó‚
≥”
≤
Ω ≥ ≠”≤ Ω ©”®Î‚
©”®Î‚ …—Uý≈
”
≠≠≠
∞
´´´
vM×M*« ”uIð
©¥≤≠≥® qJAÃ«
©¥≤≠≥® qJAÃ« w 5³Ä u¼ ULÂ ©”®Î‚ …—Uý≈
¤∞¨∞› …d²HÃ« vKŽ ∞ <©”®Î‚
¤∞¨∞› …d²HÃ« vKŽ vKŽúÃ dFIÄ ‚ vM×MÄ ∴
¤∞¨∞≠› …d²HÃ« vKŽ UÄbMŽ ∞ >©”®Î‚
¤∞¨∞≠› …d²HÃ« vKŽ qHÝúÃ dFIÄ ©”®‚ vM×MÄ ∴
ÎU dFÄfOÃt½_∞Ω”bMŽqB²ÄdOžÊ«d²Áô«sJÃË¨∞Ω”—«ułw ÁdFIðdOG¹vM×M*«
ÆÊ«d²Áô« vM×M* ·UDF½« WDI½ W¹√ Ê–≈ błuð ö ªU¼bMŽ

±¥∞
(Second Derivative Test) ÈuBIÃ« rOIÃ« 5OFð w WO½U¦Ã« WI²A*« —U³²š«
WO½U¦Ã« WI²A*« Â«b ²Ý« sJL*« sÄË ª U½«d²ÁöÃ ÈuBIÃ« rOIÃ« 5OF²Ã vÃË_« WI²A*« ÎUIÐUÝ UMÄb ²Ý« bÁ UMÂ
ÆÎ«dH ÍËU ð U¼bMŽ vÃË_« WI²A*« YOŠ Włd(« WDIMÃ« bMŽ UNð«– W¹UGKÃ
∫W¹dE½
∫t½S ∞ Ω ©?ł®Ó‚ ÊUÂË ¨ ?ł Íu% WŠu²HÄ …d² vKŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈
ÆWOK×Ä vLEŽ WLOÁ ©?ł®‚ ÊS ∞ >©?ł®Î‚ ÊUÂ «–≈ ±
ÆWOK×Ä ÈdG WLOÁ ©?ł®‚ ÊS ∞ <©?ł®Î‚ ÊUÂ «–≈ ≤
¨ ∞ Ω ©?ł®Ó‚ YOŠ ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ ©¥≥≠≥® qJAÃ« `{u¹
?ł —«uł w UÝUL*« Ê√ Í√ ∞ > ©?ł®Î‚ ¨wI √ ?ł bMŽ ”UL*« Ê√ Í√
ÆWOK×Ä vLEŽ WLOÁ ©?ł®‚ Ê√ wMF¹ U2 vM×M*« ‚u lIð
’
”
∞ Ω ©?ł®Ó‚
?ł
©¥≥≠≥® qJAÃ«
ÆWO½U¦Ã« WÃU(« `O{uð sJ1 q¦*UÐË
©∂® ‰U¦Ä
∫Ê«d²ÁöÃ ÈuBIÃ« rOIÃ« 5OFð w WO½U¦Ã« WI²A*« Âb ²Ý«
∋ ” ¨ ¥∏ ´ ”≤∑ ≠ ≥” Ω ©”®‚
¥∏ ´ ”≤∑ ≠≥” Ω ©”®‚
≤∑ ≠ ≤”≥ Ω ©”®Ó‚
”∂ Ω ©”®Î‚
∞ Ω ©”®Ó‚ YOŠ Włd(« jIMÃ«
∞ Ω ≤∑ ≠ ≤”≥
≥ ∓ Ω ” UNMÄË
≥ Ω ” YOŠ Włd(« WDIMKÃ WO½U¦Ã« WI²A*« —U³²š« √
∞ <±∏ Ω ≥ × ∂ Ω ©≥®Î‚

±¥±
WOK×Ä ÈdG WLOÁ WDI½ ©∂≠ ¨ ≥® Ω ©©≥®‚ ¨ ≥® ∴
≥ ≠ Ω ” YOŠ Włd(« WDIMKÃ WO½U¦Ã« WI²A*« —U³²š« »
∞ <±∏≠ Ω ≥≠ × ∂ Ω ©≥≠®Î‚
WOK×Ä vLEŽ WLOÁ WDI½ ©±∞≤ ¨ ≥≠® Ω ©©≥≠®‚ ¨ ≥≠® ∴
∫WEŠöÄ
ÆvÃË_« WI²A*« —U³²š« vÃ≈ œuF½ czbMŽË ªqAH¹ WO½U¦Ã« WI²A*« —U³²š« ÊS ¨…œułuÄ dOž Ë√ ¨ ∞ Ω ©?ł®Î‚ X½UÂ «–≈
©∑® ‰U¦Ä
ÆÊ«d²ÁöÃ WOK;« ÈuBIÃ« rOIÃ« błË√ ∋ ” ¨ ¥” Ω ©”®‚ sJOÃ
≥”¥ Ω ©”®Ó‚
∞ Ω ” ⇐ ∞ Ω ©”®Ó‚
∞ Ω ” bMŽ …bŠ«Ë WłdŠ WDI½ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ∴
≤”±≤ Ω ©”®Î‚
`{«uÃ« sÄË ¨vÃË_« WI²A*« —U³²šô œuF½ «cÃË ¨qAH¹ WO½U¦Ã« WI²A*« —U³²š« ⇐ ∞ Ω ©∞®Î‚ ∴
∞ Ω ” —«uł w ” rOÁ œU¹œ“UÐ W³łuÄ vÃ≈ W³ÃUÝ sÄ UNð—Uý≈ dOGð vÃË_« WI²A*« Ê√
∞ Ω ©∞®‚ ÍËU ðË ∞ Ω ” bMŽ WOK×Ä ÈdG WLOÁ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ∴
©¥≠≥® s¹—U9
∫WOðü« U½«d²Áô« sÄ qJÃ błË Ê≈ ·UDF½ô« jI½ØWDI½Ë qHÝúÃË vKŽúÃ dFI²Ã« «d² Ø…d² 5Ž ±
”
±
Ω ©”®‚ » ≤”
≤
±
≠ ¥”
¥
±
Ω ©”®‚ √
¤
≤
π
¨
≤
π≠
› ∋” ¨ ≤≠”Uþ Ω ©”®‚ œ › π≤¨ ∞¤ ∋” ¨ ”U²ł ´ ”Uł Ω ©”®‚ ?ł
∫5Oðü« 5½«d²Áô« sÄ qJÃ ÈuBIÃ« rOIÃ« 5OF²Ã WO½U¦Ã« WI²A*« —U³²š« Âb ²Ý« ≤
”
≤∑
≠ ≤” Ω ©”®‚ » ¥”≤ ≠ ≤”∏ Ω ©”®‚ √

±¥≤
ø WLOÁ UL ¨ ≤≠” ´≤” Ω ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ·UDF½« WDI½ ©©±®‚ ¨ ±®WDIMÃ« X½UÂ «–≈ ≥
∫5²Oðü« 5²ÃU(« sÄ qÂ w »¨ 5²ÐU¦Ã« błËQ μ ´ ”» ´ ≤” ´ ≥” Ω©”®‚ ÊUÂ «–≈ ¥
Æ≥ Ω ” bMŽ WOK×Ä ÈdG WLOÁË¨±≠ Ω ” bMŽ WOK×Ä vLEŽ WLOÁ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ √
Æ± Ω ” bMŽ ·UDF½« WDI½Ë¨ ¥ Ω ” bMŽ WOK×Ä ÈdG WLOÁ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ »
∫Ê√ XLKŽ «–≈ Æ©”®Î‚ vM×MÄ q¦1 —ËU−*« qJAÃ« μ
∫błËQ ∂¨±≠ Ω ” bMŽ w¼ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ Włd(« ◊UIMÃ«
©”®‚ Ê«d²ÁöÃ qHÝúÃË vKŽúÃ dFI²Ã« «d² √
©”®‚ Ê«d²ÁöÃ WOK;« ÈuBIÃ« rOIÃ« jI½ »
©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ·UDF½ô« jI½ØWDI½ ?ł
”
©”®Î‚
¥≤≠
Æº
±≥μ ÍËU ¹
± ≠ ≤”
”
Ω ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ·UDF½ô« WDI½ bMŽ ”UL*« qOÄ W¹Ë«“ ”UOÁ Ê√ X³Ł√ ∂
Æ©”®‚ vM×M* ·UDF½ô« jI½ØWDI½ błËQ
π ´ ≤”
”
Ω ©”®Ó‚ YO×Ð vKŽ ÎU dFÄ ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ∑
Ê«d²Áô« ÊUÂË ¨…d²HÃ« Ác¼ w Î«dH WLOIÃ« c ²¹ ôË ¨›»¨ ¤ vKŽ Î«b¹«e²Ä œËbŠ dO¦Â ©”®„ ÊUÂ «–≈ ∏
Ê«d²Áô«vM×MÄÊ√X³ŁQ ¨”μ≠
©”®„
∑
Ω©”®Ó‚Ê≈YO×Ð¤»¨ › …d²HÃ«vKŽ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ©”®‚
Æ›»¨ ¤ w qHÝöÃ dFIÄ ©”®‚
ÈdG WLOÁË ±
” bMŽ WOK×Ä vLEŽ WLOÁ œ ´ ”?ł´ ≤”» ´ ≥” Ω©”®‚ Ê«d²Áô« vM×M* ÊUÂ «–≈ π
Æ
≤
≤
” ´ ±
”
bMŽ ·UDF½« WDI½ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ Ê√ X³ŁQ ≤
” bMŽ WOK×Ä
∫œU−¹≈ w qJAÃ« vKŽ bL²Ž« Æ©”®Ó‚ vM×MÄ —ËU−*« qJAÃ« q¦1 ±∞
©”®‚ Ê«d²ÁöÃ WłdŠ jI½ U¼bMŽ błu¹ w²Ã« ” rOÁ √
Æ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ hÁUM²Ã«Ë b¹«e²Ã« ôU−Ä »
Æ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ÈuBIÃ« rOIÃ« jI½ ?ł
Æ©”®‚ vM×M* qHÝúÃË vKŽúÃ dFI²Ã« ôU−Ä œ
Æ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ·UDF½ô« jI½Ø WDI½ ?¼
”
©”®Ó‚
≥≥≠
¥≠

±¥≥
(Curve Sketching) UOM×M*« rÝ— μ≠≥
ÂUFÃ« qJAÃ« rÝ— w ULNÄ«b ²Ý« ©”®Î‚ WO½U¦Ã« WI²A*«Ë ©”®Ó‚ vÃË_« WI²ALKÃ WLN*« UIO³D²Ã« 5Ð sÄ
Æ©”®‚ Ω ’ Ê«d²Áô« vM×M*
∫UÄ Ê«d²Á« vM×M* ÂUFÃ« qJAÃ« rÝ— bMŽ WOðü« WOÝUÝ_« «uD)« ŸU³ð« UMMJ1¨ ÂUŽ tłuÐË
Æ©”®Î‚¨ ©”®Ó‚ b$ rŁ Ê«d²Áô« ‰U−Ä 5F½ √
Æ© błË Ê≈® ÈuBIÃ« rOIÃ« jI½Ë hÁUM²Ã«Ë b¹«e²Ã« «d² 5F½ »
Æ© błË Ê≈® ·UDF½ô« jI½Ë dFI²Ã« «d² 5F½ ?ł
lÞUI²Ã« jI½Ë ¨©dÄ_« ÂeÃ Ê≈® UNÃuŠ W³ÝUMÄ Èdš√ ÎUDI½Ë ¨wð—UJ¹bÃ« Èu² *« w WIÐU Ã« ◊UIMÃ« 5F½ œ
Æ©sJÄ√ Ê≈®5OŁ«bŠù« s¹—u;« lÄ
ÆÊ«d²Áô« ‰U−Ä …UŽ«dÄ lÄ vM×M*« qLJ½Ë ¨bN2 j Ð WIÐU Ã« ◊UIMÃ« 5Ð qB½ ?¼
©±® ‰U¦Ä
Æμ ´ ≥”¥ ≠ ¥” Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×M* ÂUFÃ« qJAÃ« rÝ—«
tÃU−Ä œËbŠ dO¦Â Ê«d²Á« ©”®‚
©≥≠”® ≤”¥ Ω ≤”±≤ ≠ ≥”¥ Ω ©”®Ó‚ √
©≤≠”®”±≤ Ω ”≤¥ ≠ ≤”±≤ Ω ©”®Î‚
∫ÈuBIÃ« rOIÃ«Ë hÁUM²Ã«Ë b¹«e²Ã« »
∫Włd(« jIMÃ«
∞ Ω ©≥≠”®≤”¥ ⇐ ∞ Ω ©”®Ó‚
≥¨ ∞ Ω ” ⇐
©”®‚ „uKÝ
©”®Ó‚ …—Uý≈
” ≥
´´´≠≠≠
hÁUM²Ä
dH
b¹«e²Ä
∞
≠≠≠ dH
hÁUM²Ä
©¥¥≠≥® qJAÃ«
©¥¥≠≥® qJAÃ« w 5³Ä u¼ ULÂ ©”®Ó‚ …—Uý≈
≥ <” UÄbMŽ ∞ <©”®Ó‚
¤∞¨≥¤ vKŽ b¹«e²Ä ©”®‚ ∴
¤≥¨∞› ∋ ” UÄbMŽ pÃcÂË ¨ ∞ >” UÄbMŽ ∞ >©”®Ó‚
œËbŠ dO¦Â t½_ ∞ Ω ” bMŽ qB²Ä ©”®‚ Ê≈ YOŠË
›≥¨∞≠› vKŽ hÁUM²Ä ©”®‚ ∴

±¥¥
∞ Ω ” ‰uŠ UNð—Uý« dOGð ô ©”®Ó‚ Ê_ ÈuBÁ WLOÁ X OÃ ©∞®‚
WOK×Ä ÈdG WLOÁ WDI½ wN ©≤≤≠¨≥® Ω ©©≥®‚¨≥®UÄ√
≥ Ω ” bFÐ W³łuÄ vÃ≈ ≥ Ω ” q³Á W³ÃUÝ sÄ UNð—Uý« dOGð ©”®Ó‚ Ê_
·UDF½ô« jI½Ë dFI²Ã« ?ł
≤¨ ∞ Ω ” ⇐ ∞ Ω ©”®Î‚
vM×M*« ”uIð dFIÄ
vKŽ_
dFIÄ
qHÝ_
dFIÄ
vKŽ_
©”®Î‚ …—Uý≈
”
´´´ ≠≠≠
≤∞
´´´
©¥μ≠≥® qJAÃ«
©¥μ≠≥® qJAÃ« w 5³Ä u¼ ULÂ ©”®Î‚ …—Uý≈
≤ >” >∞ UÄbMŽ ∞ >©”®Î‚
›≤¨∞¤ vKŽ qHÝúÃ dFIÄ ‚ vM×MÄ ∴
∞ >” UÄbMŽ pÃcÂË ¨ ≤ <” UÄbMŽ ∞ <©”®Î‚
›∞¨∞≠› pÃcÂË ¤∞¨≤¤ …d²HÃ« vKŽ vKŽúÃ dFIÄ ©”®‚ vM×MÄ ∴
©”®‚ ‰UBðô ·UDF½« U²DI½ UL¼ ©±±≠¨≤® Ω ©©≤®‚¨≤®¨©μ¨∞® Ω ©©∞®‚¨∞®ÊU²DIMÃ« ∴
ÆULNMÄ ÌqÂ ‰uŠ dFI²Ã« ÁU&« dOGðË UL¼bMŽ
∫vM×M*« vKŽ Èdš√ ◊UI½ œ
∫s¹—u;« lÄ lÞUI²Ã« jI½
μ Ω ’ ÊuJð ∞ Ω ” UÄbMŽ
∞ Ω μ ´ ≥”¥ ≠ ¥” ÊuJ¹ ∞ Ω ’ UÄbMŽ
©UNÂd²M WÃœUF*« Ác¼ qŠ qN Ã« sÄ fOÃË®
μ Ω ’ ÊuJð ¥ Ω ” UÄbMŽ ∫Èdš√ jI½
±∞ Ω ’ ÊuJð ±≠ Ω ” UÄbMŽË
wð—UJ¹bÃ« Èu² *« vKŽ WIÐU Ã« ◊UIMÃ« 5F½ ?¼
„uKÝ …UŽ«dÄ lÄ bN2 j Ð UNMOÐ qB½Ë
Æ WHK² *« «d²HÃ« vKŽ Ê«d²Áô«
Æ©¥∂≠≥® qJAÃ« kŠô
”
± ≤ ≥ ¥
’
©≤≤≠¨≥®
WIKDÄ ÈdG
·UDF½« WDI½
·UDF½« WDI½
≤∞
±∂
±≤
∏
¥
¥≠
∏≠
±≤≠
±∂≠
≤∞≠
≤¥≠
±≠
©¥∂≠≥® qJAÃ«

±¥μ
©μ≠≥® s¹—U9
∫YO×ÐË ¨ ∞ Ω ” bMŽ qB²*« ©”®‚ Ω ’ Ê«d²ÁöÃ ÎUO³¹dIð vM×MÄ rÝ—« ±
∞ <” UÄbMŽ ∞ <©”®Ó‚ ¨ ∞ >” UÄbMŽ ∞ >©”®Ó‚
∫YO×ÐË ¨ ∞ Ω ” bMŽ qB²*« ©”®‚ Ω ’ Ê«d²ÁöÃ ÎUO³¹dIð vM×MÄ rÝ—« ≤
∞ <” UÄbMŽ ∞ <©”®Î‚ ¨ ∞ >” UÄbMŽ ∞ >©”®Î‚
∫jIMÃUÐ d1 ÍcÃ« ¨©”®‚ Ω ’ Ê«d²Áô« vM×M* ÂUFÃ« qJAÃ« rÝ—« ≥
©≤¨≤® ¨ ©±¨±® ¨ ©∞¨∞® ¨ ©±¨±≠® ¨ ©≤¨≤≠®
∫wK¹ ULÂ Ê«d²ÁöÃ ©”®Î‚ WO½U¦Ã«Ë ©”®Ó‚ vÃË_« WI²A*« …—Uý≈Ë
©”®Î‚ …—Uý≈
” ±≠
´´´≠≠≠
±
≠≠≠ ©”®Ó‚ …—Uý≈
” ∞
´´´≠≠≠
≤≠
´´´
≤
≠≠≠
∫5Oðü« 5½«d²Áô« sÄ ÌqÂ vM×MÄ rÝ—« ¥
¥∏ ´ ”≥≤ ≠ ¥” Ω ©”®‚ » ≤”≥ ´ ≥” Ω ©”®‚ √
∫wK¹ UÄ oI×¹Ë ›≥¨≥≠¤ …d²HÃ« vKŽ ·dFÄ Ê«d²Á« ©”®‚ μ
≥ >” >± ± ± >” >≤≠ ≤≠ ≤≠ >” >≥≠ ”
W³ÃUÝ dH W³łuÄ dH W³ÃUÝ ©”®Ó‚
≥ >” > ≠ ≠ ≠ >” >≥≠
”
W³ÃUÝ dH W³łuÄ ©”®Î‚
∫WOðü« WK¾Ý_« sŽ WÐUłûÃ UÄuKF*« Ác¼ vKŽ bL²Ž«
øÈdG WLOÁ U¼bMŽ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ÊuJ¹ w²Ã« ” WLOÁ UÄ √
ø©”®‚ Ê«d²ÁöÃ hÁUM²Ã« ôU−Ä UÄ »
ø·UDF½« WDI½ U¼bMŽ Ê«d²ÁöÃ ÊuJ¹ w²Ã« ” WLOÁ UÄ ?ł
ÈdGBÃ«Ë vLEFÃ« rOIÃ« jI½ tOKŽ ÎUMO³Ä Ê«d²Áô« vM×M* ÎU³¹dIð ÎöJý rÝ—U ± Ω ©≥≠®‚ ÊUÂ «–≈ œ
Æ·UDF½ô«Ë

±¥∂
ÈuBIÃ« rOIÃ« vKŽ WOKLŽ UIO³Dð ∂≠≥
dOGBð WÃQ Ä ¨WOKLFÃ«Ë WOLKFÃ« ôU−*« sÄ U¼dOžË …—U−²Ã«Ë WŽUMBÃ«Ë WÝbMNÃ« w WOÝUÝ_« qzU *« sÄ
Æ UOKLFÃ« pKð Ułd Ä w ÃU²½ô«Ë `ÐdÃ« rOEFðË ¨ UOKLFÃ« öšbÄ w œ«u*«Ë WHKJ²Ã«Ë bN'«
ÁœbBÐ s×½ ÍcÃ« Ê«d²ÁöÃ ÈuBIÃ« rOIÃ« »U Š w tð«¡«dł≈Ë q{UH²Ã« —UJ √ sÄ …œUH²Ýô« sJL*« sÄË
∫WOÃU²Ã« WK¦Ä_« sÄ `C²¹ ULÂ UIO³D²Ã« Ác¼ q¦Ä w
©±® ‰U¦Ä
WI¹b×KÃ WÐuKD*« WŠU *« X½UÂ «–≈ ÆÃUO Ð UNDO×¹ qJAÃ« WKOD² Ä WI¹bŠ qLŽ Ÿ—«eÄ b¹d¹
Æ©©μ≥≠≥® qJAÃ« dE½«® d²Ä qJÃ dO½U½œ ∂ o¹dDÃ« WNł sÄ ÃUO Ã« WHKJð X½UÂË ¨≤
Â ∏∞∞
qÁ√ nOÃUJ²Ã« ÊöF−¹ s¹cKÃ« WI¹b(« ÍbFÐ b− ¨d²Ä qJÃ s¹—UM¹œ Èdš_« UN'« sÄË
ønOÃUJ²Ã« Ác¼ WLOÁ mK³ð rÂË ¨sJ1 UÄ
©¥∑≠≥® qJAÃ« w ULÂ ’¨” WI¹b(« ÍbFÐ ÷dH½
WOKJÃ« nOÃUJ²Ã« Ê√ ÷dH½Ë
≤
Â ∏∞∞ Ω ’ ” WŠU *«
’≤ ´ ’≤ ´ ”≤ ´ ”∂ Ω
’¥ ´ ”∏ Ωo¹dDÃ«
”
’
©¥∑≠≥® qJAÃ«
”
∏∞∞
Ω ’ sJÃ
”
∏∞∞
× ¥ ´ ”∏ Ω ∴
”
≥≤∞∞
´ ”∏ Ω
∫Włd(« ◊UIMÃ« 5F½ nOÃUJ²KÃ ÈdGBÃ« WLOIÃ« œU−¹ù
≤”
≥≤∞∞
≠ ∏ Ω ©”® Ó
∞ Ω ≤”
≥≤∞∞
≠ ∏ ⇐ ∞ Ω ©”® Ó
≥≤∞∞ Ω≤”∏
¥∞∞ Ω ≤”

±¥∑
©ø«–U*® ≤∞≠ Ω ” qLN½ Æ ≤∞ ∓ Ω ” ∴
≥”
∂¥∞∞
Ω ©”® Î
∞ < ≥
≤∞
∂¥∞∞
Ω ©≤∞® Î
ÆsJ1 UÄ dG √ nOÃUJ²Ã« ÊuJð ≤∞ Ω ” bMŽ ∴
Â¥∞ Ω
≤∞
∏∞∞
Ω ”
∏∞∞
Ω ’ ÊuJðË
Â¥∞ Ω ’ ¨ Â≤∞ Ω ” bMŽ ÈdG WLOÁ cšQð nOÃUJ²Ã« Ê√ Í√
ÆÎ«—UM¹œ ≥≤∞ Ω ©¥∞®¥ ´ ©≤∞®∏ czbMŽ nOÃUJ²Ã« mK³ðË
∫wK¹ ULÂ WOKLFÃ« UIO³D²ÃUÐ WIKF²*« qzU *« qŠ w UNMÄ …œUH²ÝöÃ oÐU Ã« ‰U¦*« w U¼UMF³ð« w²Ã« «uD)« hO Kð UMMJ1
ÆW³ÝUMÄ “uÄdÐ UNð«dOG²Ä V²J½Ë ¨UNO »uKD*«Ë UODF*« 5F½Ë ¨WÃQ *« ”—b½ •
Æ©ÎU³ÝUMÄ pÃ– ÊUÂ «–≈® WÃQ LKÃ ÎUO×O{uð ÎöJý rÝd½ •
ÆbŠ«Ë dOG²0 Ê«d²Á« WGO w ÈuBIÃ« t²LOÁ 5OFð œ«d¹ ÍcÃ« dOG²*« sŽ d³F½ •
ÆWÐuKD*« ÈuBIÃ« WLOIÃ« oI×¹ UNMÄ ÎU¹√ d³² ½Ë Ê«d²ÁöÃ Włd(« jIMÃ« 5F½ •
©≤® ‰U¦Ä
Æ©∞¨≤® WDIMÃ« vÃ≈ ± ≠ ” √ Ω ’ vM×M*« vKŽ WFÁ«Ë WDI½ »dÁ√ bł
Æ©¥∏≠≥® qJAÃ« w ULÂ vM×M*« vKŽ UÄ WDI½ ©’¨”® ?¼ WDIMÃ« Ê√ ÷dH½
≤’ ´ ≤
©≤≠”® √ Ω · Ω ?¼ W U *«
± ≠ ” √ Ω ’ sJÃ
± ≠ ” Ω≤’ ∴
∫Ê√ Z²M¹ ” WÃôbÐ ’ sŽ i¹uF²ÃUÐË
± ≠ ” ´ ≤
©≤≠”® √ Ω·
”
’
·
± ≠ ” √ Ω ’
©’¨”® ?¼
±
©∞¨≤®
©¥∏≠≥® qJAÃ«
≥ ´ ” ≥ ≠≤” √ Ω ·

±¥∏
≥ ´ ” ≥ ≠≤” √ ≤
≥ ≠ ”≤
Ω ” œ
· œ
≤
≥
Ω ” UNMÄË ∞ Ω ≥ ≠ ”≤ ⇐ ∞ Ω ” œ
· œ
∫Włd(« ◊UIMÃ«
©WO dÞ WDI½® ± Ω ” bMŽ …œułuÄ dOž ” œ
· œ” œ
· œ
…—Uý≈
≤
≥”
´´´≠≠≠
±
Ê«d²Áô« „uKÝ
©¥π≠≥® qJAÃ«
©¥π≠≥® qJAÃ« w 5³Ä u¼ ULÂ ” œ
· œ
WI²A*« …—Uý≈
Æ©WIKDÄ w¼Ë® WOK×Ä ÈdG WLOÁ błuð
≤
≥
Ω ” bMŽ ∴
©
≤ √
±
¨
≤
≥
® Ω ©©
≤
≥
®‚ ¨
≤
≥
® WDIMÃ« w¼ ©∞ ¨ ≤® WDIMKÃ vM×M*« vKŽ WDI½ »dÁ√ ∴
©≥® ‰U¦Ä
¨ÎUOÄu¹ …dÂcð ≥∞∞ lO³ð UN½S —UM¹œ ≤∞∞ …dÂc²Ã« dFÝ ÊuJ¹ 5Š t½√ Ê«dOÞ WÂdý XEŠô
dÂ«cð ≥ WFO³*« dÂ«c²Ã« œbŽ œ«œe??¹ …dÂc²Ã« dFÝ w bŠ«Ë —UM¹œ Á—«bIÄ iOH ð qJÃ t½√Ë
øqšbÃ« pÃ– —«bIÄ UÄË ¨sJ1 UÄ d³Â√ WÂdAÃ« qšœ qF−¹ ÍcÃ« …dÂc²Ã« dFÝ bł ÆÎUOÄu¹
—UM¹œ ” …dÂc²Ã« dFÝ w iOH ²Ã« —«bIÄ Ê√ ÷dH½
Î«—UM¹œ ©” ≠ ≤∞∞® …dÂc²Ã« dFÝ `³BO
©”≥ ´ ≥∞∞® WFO³*« dÂ«c²Ã« œbŽ ÊuJ¹Ë
©”≥ ´ ≥∞∞® ©” ≠ ≤∞∞® Ω ’ qšbÃ«
”∂ ≠ ≥∞∞Ω ±≠ × ©”≥´ ≥∞∞® ´ ≥ × ©” ≠ ≤∞∞® Ω Ó’
μ∞ Ω ” UÄbMŽ ∞ Ω Ó’
∞ >∂≠ Ω Î’
WIKDÄ w¼Ë vLEŽ WLOÁ błu¹ μ∞ Ω ” UÄbMŽ ∴
mK³ðË WÂdAKÃ qšœ d³Â√ oI×¹ ÍcÃ« u¼ Î«—UM¹œ ±μ∞ Ω μ∞ ≠ ≤∞∞ Ω …dÂc²Ã« dFÝ Ê√ Í√
Æ—UM¹œ ∂∑μ∞∞ Ω ¥μ∞ × ±μ∞ qšbÃ« «c¼ WLOÁ

±¥π
©¥® ‰U¦Ä
Æ≥
rÝœπ∏±UN²FÝËvKŽ√sÄWŠu²HÄWLzUÁW¹dz«œW½«uDÝ«W¾O¼w w½bFÄ¡UŽËlM œ«d¹
Î«bŠ«Ë Î«—UM¹œË ¨W½«uDÝô« …bŽUÁ sÄ ≤
rÝ œ qJÃ dO½U½œ ≥ WKLF² *« œ«u*« WHKJð X½UÂ «–S
ÆsJ1 UÄ qÁ√ nOÃUJ²Ã« qF& w²Ã« W½«uDÝô« œUFÐ√ b− w³½U'« UN×DÝ sÄ ≤
rÝœ qJÃ
Æ©μ∞≠≥® qJAÃ« w ULÂ Ÿ UNŽUHð—«Ë o½ W½«uDÝô« …bŽUÁ dDÁ nB½ Ê√ ÷dH½
± × ©Ÿ o½ π ≤®´ ©≤
o½ π®≥ Ω WOKJÃ« nOÃUJ²Ã«
Ÿ o½ π≤´≤
o½ π ≥ Ω
π ∏± Ω Ÿ ≤
o½ π Ω W½«uDÝô« WFÝ sJÃ
Ÿ
o½
©μ∞≠≥® qJAÃ«
≤
o½
∏±
Ω Ÿ ∴
© ≤
o½
∏±
× o½≤ ´≤
o½≥® π Ω ÊuJð Ÿ sŽ i¹uF²ÃUÐ
©
o½
±∂≤
´≤
o½≥® π Ω
© ≤
o½
±∂≤
≠o½∂® π Ω
o½ œ
œ
∞ Ω ≤
o½
±∂≤
≠o½∂ ⇐ ∞ Ω
o½ œ
œ
rÝœ ≥ Ω o½ ∴
≥
o½
≤ × ±∂≤
´ ∂ Ω ≤
o½ œ
≤
œ
∞ <
≤∑
≤ × ±∂≤
´ ∂ Ω ≤
o½ œ
≤
œ
≥ Ω o½
¸
rÝ œ ≥ Ω o½ bMŽ ÈdG WLOÁ nOÃUJ²Ã« ÊuJð ∴
rÝœπ Ω Ÿ b$ i¹uF²ÃUÐ

±μ∞
©∂≠≥® s¹—U9
d³Â√ t²ŠU Ä X½UÂ «–≈ YK¦*« Ÿö{√ ‰«uÞ√ błË√ Æ5ÁU Ã« ÍËU ²Ä ÎU¦K¦Ä ÊuJOÃ rÝ ±≤ tÃuÞ pKÝ wMŁ ±
ÆsJ1 UÄ
ÆrÝ≤∞ U¼dDÁ nB½ ‰uÞ …dz«œ qš«œ tLÝ— sJ1 qOD² Ä d³Â√ WŠU Ä bł ≤
WIÐUD²Ä…dOG UFÐdÄWFÐ—√lDIÐpÃ–Ë¨vKŽ√sÄÕu²HÄ öOD² ÄÍ“«u²ÄW¾O¼w ‚ËbM lM œ«d¹ ≥
qÂ lK{‰uÞUÄÆvKŽ√vÃ≈·«u(«wMŁrŁ¨rÝœ±≤UNFK{‰uÞqJAÃ« WFÐdÄWO½bFÄW×OH U¹«Ë“sÄ
øsJ1 UÄ d³Â√ ‚ËbMBÃ« WFÝ X½UÂ «–≈ UFÐd*« Ác¼ sÄ
vDFÄ j)««c¼vKŽ©Ë®W²ÐUŁWDI½sŽ—U²ÄôUÐ©·®U¼bFÐÊuJ¹YO×ÐrOI² ÄjšvKŽW¹œUÄWDI½„d×²ð ¥
ÆsJ1 UÄ dG √ WŽd Ã« tO ÊuJð ÍcÃ« sÄeÃ« bł Æw½«u¦ÃUÐ sÄeÃ« Ê ¨ Ê±≤ ´ ≤
Êπ ≠ ≥
Ê≤ Ω · ∫WÁöFÃUÐ
WLOI² *«lDIÃ«dBÁ√u¼ UMO Ã«—u×ÄvKŽ©≥¨≤®WDIMÃ«sÄ‰“UMÃ«œuLFÃ«Ê√q{UH²Ã«Â«b ²ÝUÐs¼dÐ μ
Æ UMO Ã« —u×ÄË ©≥ ¨ ≤® WDIMÃ« 5Ð qBð w²Ã«
Æ±∂ Ω ≤’ ≠ ≤” vM×M*«Ë ©∂ ¨ ∞® WDIMÃ« 5Ð W U Ä dBÁ√ błË√ ∂
Uł«—bÃ« œbŽ œ«“ «–≈Ë ¨Î«—UM¹œ ≤∞ …bŠ«uÃ« Wł«—bÃ« w t³ JÄ ÊUÂ Wł«—œ ±∞∞ Uł«—bKÃ lMBÄ ŸUÐ «–≈ ∑
Wł«—œ qÂ sŽ —UM¹œ ∞[± —«bI0 qI¹ WFO³*« Uł«—bÃ« sÄ …bŠ«uÃ« Wł«—bÃ« w V J*« ÊS ±∞∞ sŽ WFO³*«
ø`Ð— d³Â√ lMBLKÃ wDFð w²Ã« Uł«—bÃ« œbŽ rÂ Æ…œU¹“
5OŁ«bŠù« s¹—u;« lÄ lMB¹Ë ©¥ ¨ ≥® WDIMÃUÐ d1 ÍcÃ« rOI² *« WÃœUFÄ bł ∏
ÆsJ1UÄ dG √ t²ŠU Ä ÎU¦K¦Ä ‰Ë_« lÐdÃ« w
`L ¹ …dz«bÃ« nB½ ÃUł“ ÊUÂ «–S Æ…dz«œ nB½ ÁuKF¹ qOD² Ä W¾O¼ w …c U½ π
«–≈Ë ¨WFÐdÄ …bŠË qJÃ ¡uCÃ« sÄ qOD² *« ÃUł“ tÐ `L ¹ UÄ nB½ ‰ušbÐ
`L ð w²Ã« …c UMÃ« œUFÐ√ b− ¨Â∂ ÍËU ¹ …c UMKÃ wKJÃ« jO;« Ê√ XLKŽ
Æ¡uCÃ« sÄ —bÁ d³Â√ —Ëd0

±μ±
ÊU²MOH Ã« XIKD½« ÆUNMÄ rÂ ≤∞ bFÐ vKŽ » »uMł lIð YO×Ð d×³Ã« ÷dÔŽ w » ¨ ÊU²MOHÝ nIð ±∞
ÆÎUÐuMł”ØrÂμWLE²MÄWŽd ÐWO½U¦Ã« —UÝË ÎUÁdýWŽUÝØrÂ±∞WLE²MÄWŽd Ð vÃË_« —UÝYO×Ð
ø„«c½¬ bF³Ã« «c¼ ÊuJ¹ rÂË ¨sJ1 UÄ dG √ 5²MOH Ã« 5Ð bF³Ã« tO ÊuJ¹ ÍcÃ« sÄeÃ« bł
÷dŽ ÊuJ¹ YO×ÐË WŽu³D*« …œU*« sÄ ≤
rÝμ∞∞ vKŽ Íu²×¹ YO×Ð qJAÃ« qOD² Ä oBKÄ rOLBð œ«d¹ ±±
Ê«cKÃ« oBK*« «bFÐ UÄ Ær??Ýμ 5O³½U'« 5AÄUNÃ« sÄ qÂË ¨r??Ý±∞ wKH Ã«Ë ÍuKFÃ« 5AÄUNÃ« sÄ qÂ
øsJ1 UÄ dG √ t²ŠU Ä ÊöF−¹
5JK Ð ULN²O³¦ð œ«d¹ ÆÂ±∞ ULNMOÐ bF³Ã«Ë Â∂ ¨Â¥ UL¼ôuÞ Ê«œuLŽ ±≤
bðuÃ« «c¼ lI¹ s¹√ ÆqJAÃ« w ULÂ ÷—_« Èu² Ä w bðuÐ 5KB²Ä
øsJ1 UÄ dG √ 5JK Ã« wÃuÞ ŸuL−Ä ÊuJ¹ YO×Ð” ≠ ±∞
Â∂
”
Â¥
5HK² Ä 5³½UłvKŽËrÂ≥ULNMOÐbF³Ã« »¨ 5²DI½jH½»u³½√qB¹ ±≥
?ł Ë 5Ð ¡U*« X% »u³½_« sÄ ¡eł ÊUÂ «–S ¨ rÂ± t{dŽ dN½ sÄ
¨» vÃ≈ ?ł sÄ ¨TÞUAÃ« vKŽ ÎU uAJÄ dšü« ¡e'«Ë ¨©qJAÃ« dE½«®
WHKJð ·UF{√ WŁöŁ ¡U??*« X% »u??³??½_« sÄ d²ÄuKOJÃ« WHKJð X½UÂË
qF−¹ Íc??Ã« ?ł lÁuÄ b− TÞUAÃ« vKŽ lÁ«uÃ« ¡e??'« w d²ÄuKOJÃ«
ÆsJ1 UÄ qÁ√ nOÃUJ²Ã«
»?ł
rÂ±
rÂ≥
UMO Ã« —u×Ä vKŽ tðbŽUÁ o³DMð YO×Ð ‰Ë_« lÐdÃ« w lÁ«uÃ«Ë Èd³JÃ« WŠU *« Í– qOD² *« œUFÐ√ bł ±¥
Æ ≤” ≠ ”∂ ´ μ≠ Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ vKŽ Ê«dšü« ÁUÝ√— lI¹Ë

±μ≤
(Related Rates) WD³ðd*« WOMÄeÃ« ôbF*« ∑≠≥
”Ë—œ w UM dFð bÁË ¨’ dOG²LKÃ wMÄeÃ« ‰bF*« vL ð
Ê œ
’ œ
WI²A*« ÊS ©Ê® sÄeÃ« w ÎU½«d²Á« ’ ÊUÂ «–≈
dB²Ið ôË ª
Ê œ
Ÿ œ
Ω Ÿ—U ²Ã«Ë ¨
Ê œ
· œ
Ω WŽd ÃU ¨Ÿ—U ²Ã«Ë WŽd Ã« q¦Ä WOMÄeÃ« ôbF*« iFÐ WIÐUÝ
¨…—«d(UÐ ÂU ł_« œb9 ∫q¦Ä ¨…dO¦Â Èdš√ UIO³Dð vKŽ qL²Að qÐ ¨Ÿ—U ²Ã«Ë WŽd Ã« vKŽ WOMÄeÃ« ôbF*«
ÆpÃ– dOžË ¨„öÝ_« w ¡UÐdNJÃ« o bðË ¨UNMÄË WOŽË_« vÃ≈ lz«u*« o bðË
oO³Dð sJL*« sÄ ÊS ¨WÃœUF0 5D³ðdÄ ¨sÄeÃ« vKŽ …bL²F*« «dOG²*« sÄ ©d¦Â√ Ë√® Ê«dOG²Ä ÊUÂ «–≈Ë
s¹dOG²*« s¹cNÃ 5OMÄeÃ« 5ÃbF*« 5Ð jÐdÃ« rŁ sÄË ¨sÄeKÃ W³ MÃUÐ WÃœUF*« Ác¼ w dÞ vKŽ wMLCÃ« ‚UI²ýô«
∫WOÃU²Ã« WK¦Ä_« w `C²¹ ULÂ
©±® ‰U¦Ä
∫WÃœUF*UÐ ÊUD³ðd¹ YO×Ð ¨Ê sÄeÃ« w 5½«d²Á« ’¨” Ê«dOG²*« ÊUÂ «–≈
Ê œ
’ œ
b− ª ≤ Ω ’ ¨ ± Ω ” bMŽ ≤ Ω
Ê œ
” œ
ÊUÂË ¨ ≤± Ω≤
’μ´≤
”
∫Ê vÃ≈ W³ MÃUÐ WÃœUF*« w dÞ o²A½
∞ Ω
Ê œ
’ œ ’±∞ ´
Ê œ
” œ ”≤
∫ÊuJO …UDF*« rOIÃUÐ ÷uF½
∞[≤≠ Ω
Ê œ
’ œ
⇐ ∞ Ω
Ê œ
’ œ
≤ × ±∞´≤ × ± × ≤
”—bð s¹cKÃ« s¹dOG²*« 5Ð jÐdð w²Ã« WÃœUF*« s¹uJð dÄ_« ÂeK² ¹ UÄ Î«dO¦Â ¨WOKLFÃ« qzU *« w Ë
∫qzU *« Ác¼ q¦Ä qŠ w WOðü« «uD)« ŸU³ð« sJL*« sÄË ª5D³ðd*« 5OMÄeÃ« ULNOÃbFÄ WÃQ *«
ÆtOKŽ W³ÝUM*« UOL ²Ã«Ë rOIÃ« l{Ë lÄ ©ÎU³ÝUMÄ pÃ– ÊUÂ Ê≈® ÎUODOD ð ÎöJý rÝd½ •
ÆW¹eÄdÃ« …—uBÃUÐ WÃQ *« «dOG²Ä lOLł V²J½ •
ÆWÃQ *« «dOG²Ä jÐdð w²Ã« WÄUFÃ« WÃœUF*« V²J½ •
ÆWOMÄeÃ« ôbF*« 5Ð jÐdð WÄUŽ WÁöŽ vKŽ ‰uB(« qł√ sÄ ¨sÄeKÃ W³ MÃUÐ WÃœUF*« w dÞ o²A½ •
Æ»uKD*« wMÄeÃ« ‰bF*« b$Ë ¨WÃQ *« w …UDF*« rOIÃUÐ ÷uF½ •

±μ≥
©≤® ‰U¦Ä
∫bł ÆÀØrÝ≤ ‰bF0 t{dŽ b¹«e²¹Ë ¨ÀØrÝ≤ ‰bF0 qOD² Ä ‰uÞ hÁUM²¹
ÆqOD² *« WŠU Ä dOG²Ã wMÄeÃ« ‰bF*« √
ÆqOD² *« dDÁ ‰uÞ dOG²Ã wMÄeÃ« ‰bF*« »
ÆrÝμ t{dŽË rÝ±≤ qOD² *« ‰uÞ ÊuJ¹ UÄbMŽ pÃ–Ë
¨rÝ ’ t{dŽË ¨rÝ ” qOD² *« ‰uÞ Ê√ ÷dH½
Æ©μ±≠≥® qJAÃ« w ULÂ
ÀØ rÝ ≤ Ω
Ê œ
’ œ
¨ÀØrÝ≤≠ Ω
Ê œ
” œ”
’
‰
©μ±≠≥® qJAÃ«
Ê œ
‰ œ
» ¨
Ê œ
Â œ
√ ∫sÄ qÂ œU−¹« ∫»uKD*«
Æt¹dDÁ bŠ√ ‰uÞ ‰ ¨qOD² *« WŠU Ä Â YOŠ
’ ” Ω Â √
Ê œ
” œ ’ ´
Ê œ
’ œ ” Ω
Ê œ
Â œ
∫ÊuJ¹ ¨ rÝ μ Ω ’ ¨ rÝ ≤ Ω ” UÄbMŽË
ÀØ≤
rÝ ±¥ Ω ≤≠ × μ´≤ × ±≤ Ω
Ê œ
Â œ
ÀØ≤
rÝ ±¥ ‰bF0 czbMŽ b¹«e²ð WŠU *« Ê√ Í√
≤’ ´≤” Ω≤
‰ ∫ÊuJ¹ ”—užU¦O W¹dE½ Â«b ²ÝUÐ »
Ê œ
’ œ ’≤ ´
Ê œ
” œ ”≤ Ω
Ê œ
‰ œ
‰≤
∫5 dDKÃ ≤ vKŽ WL IÃUÐ
Ê œ
’ œ ’ ´
Ê œ
” œ ” Ω
Ê œ
‰ œ
‰
rÝ±≥ Ω ‰ ⇐ ≤
©μ®´≤
©±≤® Ω ≤
‰ ÊuJ¹ μ Ω ’ ¨±≤ Ω ” bMŽ
∫WIÐU Ã« WÃœUF*« w i¹uF²ÃUÐ
≤ × μ´ ≤≠ × ±≤ Ω
Ê œ
‰ œ
× ±≥
±¥≠ Ω
Ê œ
‰ œ
× ±≥
ÀØrÝ
±≥
±¥
≠ Ω
Ê œ
‰ œ
ÀØrÝ
±≥
±¥
‰bF0 czbMŽ hÁUM²¹ dDIÃ« ‰uÞ Ê√ Í√

±μ¥
©≥® ‰U¦Ä
ÊuÃU³Ã« `DÝ WŠU Ä b¹«eð ‰bFÄ bł ÆWIOÁbÃ« ØÎ«d²Ã ≤μ ‰bF0 “UGÃ« tO aC¹ ÍËdÂ ÊuÃUÐ
ÆrÝμ∞ ÁdDÁ nB½ ‰uÞ ÊuJ¹ UÄbMŽ
¨o½ ÁdDÁ nB½ ‰uÞË ¨Â t×DÝ WŠU ÄË ¨Õ ÊuÃU³Ã« r−Š Ê√ ÷dH½
ÆrÝμ∞ Ω o½ UÄbMŽ
Ê œ
Â œ
»uKD*« ¨WIOÁœ ØÎ«d²Ã≤μ Ω
Ê œ
Õ œ
≥
o½ π
≥
¥
Ω Õ
Ê œ
o½ œ
× ≤
o½≥ × π
≥
¥
Ω
Ê œ
Õ œ
Ê œ
o½ œ
× μ∞ × μ∞ × π¥ Ω ≤μ∞∞∞
WIOÁœ Ø rÝ
π ≤
μ
Ω
Ê œ
o½ œ
≤
o½ π ¥ Ω Â
Ê œ
o½ œ
× o½ ≤ × π ¥ Ω
Ê œ
Â œ
WIOÁœØ≤
rÝ±∞∞∞Ω
π ≤
μ
× μ∞ × ≤ × π ¥ Ω
©¥® ‰U¦Ä
ÎUÄU9 »uM'« vÃ≈ rÂ ∏∞ bFÐ vKŽ lIð © ® WMOH Ã« X½UÂ ¨Î«dNþ …dAŽ WO½U¦Ã« WŽU Ã« w
¨»dGÃ« ÁU&« w WŽUÝØrÂ ¥∞ WŽd Ð czcMŽ © ® WMOH Ã« XÂd% «–S Æ©»® WMOH Ã« sÄ
¨»uM'«ÁU&«w WŽUÝØrÂ≤∞WŽd Ð¨…bŠ«ËWŽU Ð© ®„d%bFÐ©»®WMOH Ã«XÂd%Ë
ÆdNEÃ« bFÐ WO½U¦Ã« WŽU Ã« bMŽ 5²MOH Ã« 5Ð W U *« dOGð ‰bFÄ b−
WO½U¦Ã« WŽU Ã« ÂU9 w U²½UÂ » ¨ 5²MOH Ã« Ê√ ÷dH½
ULN½√Ë ¨VOðd²Ã« vKŽ ?ł ¨ Ë 5²DIMÃ« bMŽ ¨Î«dNþ …dAŽ
ÆVOðd²Ã« vKŽ ?¼ ¨ Â 5²DIMÃ« bMŽ U²½UÂ WŽUÝ Ê bFÐ
Æ©μ≤≠≥® qJAÃ« kŠô
ÆWŽUÝØrÂ ¥∞ Ω
Ê œ
” œ
Í√ WŽdÝ
» WMOH Ã«
Â ” Ë
WMOH Ã«
’’≠∏∞
?ł
?¼
·
»
©μ≤≠≥® qJAÃ«
ÆWŽUÝØrÂ ≤∞ Ω
Ê œ
’ œ
Í√ » WŽdÝ

±μμ
WE( W¹√ bMŽ 5²MOH Ã« 5Ð W U *« q¦9 ·
∫»uKD*«
≤ Ω Ê bMŽ
Ê œ
· œ
∫”—užU²O W¹dE½ Â«b ²ÝUÐ
≤
©’≠∏∞® ´≤” Ω≤
·
Ê œ
’ œ
≠ × ©’ ≠ ∏∞®≤ ´
Ê œ
” œ ”≤ Ω
Ê œ
· œ
·≤
©±®ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ
Ê œ
’ œ
≠ × ©’ ≠ ∏∞® ´
Ê œ
” œ ” Ω
Ê œ
· œ
·
ÆrÂ ≤∞ Ω ≤∞ × ± Ω ’ ¨ rÂ ∏∞ Ω ¥∞ × ≤ Ω ” ÊuJð ¨≤ Ω Ê bMŽ
≤
©≤∞ ≠ ∏∞® ´≤
©∏∞® Ω≤
·
rÂ±∞∞ Ω ·
∫©±® WÃœUF*« w i¹uF²ÃUÐ
≤∞≠ × ©∂∞® ´ ¥∞ × ∏∞ Ω
Ê œ
· œ
× ±∞∞
ÆdNEÃ« bFÐ WO½U¦Ã« WŽU Ã« bMŽ 5²MOH Ã« 5Ð W U *« dOGð ‰bFÄ WŽUÝØrÂ ≤∞ Ω
±∞∞
≤∞∞∞
Ω
Ê œ
· œ
©μ® ‰U¦Ä
sŽ Î«bF²³Ä Â±[∑μ tÃuÞ h ý „d??% ÆÂμ[≤μ tŽUHð—« œuLŽ WLÁ w dOG ÕU³BÄ
tÐ „d×²¹ ÍcÃ« ‰bF*« pÃcÂË ¨tKþ ‰uÞ …œU??¹“ ‰bFÄ bł ÆÀØr??Ý±≤ ‰bF0 ÕU³B*«
ÆœuLFÃ« sÄ —U²Ä√ ¥ bFÐ vKŽ h AÃ« «c¼ ÊuJ¹ UÄbMŽ tKþ ”√—
¨Î«d²Ä”ΩÊWE(W¹√bMŽœuLFÃ«sŽh AÃ«bFÐÊ√÷dH½
Æ©μ≥≠≥® qJAÃ« kŠôÆÎ«d²Ä ’ Ω czbMŽ tKþ ‰uÞ Ê√Ë
»
’
Âμ[≤μ
?¼
”
Ë
·
Â±[∑μ
?ł
WÂd(« ÁU&«
©μ≥≠≥® qJAÃ«
ÀØrÝ ±≤ Ω
Ê œ
” œ
∫ Ë » ¨ ?¼ ?ł » 5¦K¦*« tÐUAð sÄ √
μ[≤μ
’ ´ ”
Ω
±[∑μ
’
’ ´ ” Ω ’≥
” Ω ’≤
Ê œ
” œ
Ω
Ê œ
’ œ
≤

±μ∂
ÀØrÝ ∂ Ω ±≤ ×
≤
±
Ω
Ê œ
” œ
×
≤
±
Ω
Ê œ
’ œ
ÀØrÝ∂ ‰bF0 b¹«e²¹ h AÃ« qþ ‰uÞ Ê√ Í√
Ê œ
· œ
Ω qEÃ« ”√— „d% ‰bFÄ »
’ ´ ” Ω ·
Ê œ
’ œ
´
Ê œ
” œ
Ω
Ê œ
· œ
ÀØrÝ±∏ Ω ∂ ´ ±≤
©∂® ‰U¦Ä
vÃ≈ ◊Ëd *« ”√— ÊUÂ «–S ªWIOÁœØ≥
rÝ œ ≤¥≥ ‰bF0 rzUÁ Ídz«œ ◊Ëd Ä w ¡U*« VB¹
UÄbMŽ ¡U*« ŸUHð—« WŽdÝ UL ¨rÝ œ ±μ tðbŽUÁ dDÁ nB½Ë ¨ rÝœ ≥∞ tŽUHð—«Ë ¨qHÝ√
ørÝœ ±∏ tO ¡U*« ŸUHð—« ÊuJ¹
`D Ã« dDÁ nB½Ë ¨Ÿ WE( W¹√ bMŽ ¡U??*« ŸUHð—« Ê√ ÷dH½
Æ©μ¥≠≥® qJAÃ« kŠô ÆÕ ¡U*« r−ŠË ¨” ¡ULKÃ ÍuKFÃ«?¼ œ
≥∞
»
Ÿ
±μ
”
?ł
©μ¥≠≥® qJAÃ«
WIOÁœØ≥
rÝ œ ≤¥≥ Ω
Ê œ
Õ œ
rÝ œ ±∏ Ω Ÿ bMŽ
Ê œ
Ÿ œ
∫»uKD*«Ë
©±®ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ Ÿ ≤” π
≥
± Ω Õ
∫?¼ œ ¨?ł » 5¦K¦*« tÐUA½ ¨” dOG²*« sÄ hK ²KÃ
Ÿ
≤
± Ω ” ⇐
±μ
”
Ω
≥∞
Ÿ
©±® w ” sŽ i¹uF²ÃUÐ
Ÿ ×
≤
Ÿ
¥
±
× π
≥
±
Ω Õ
©≤®ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ
≥
Ÿ
±≤
π
Ω Õ
∫Ê vÃ≈ W³ MÃUÐ ©≤® WÃœUF*« w dÞ o²A½
Ê œ
Ÿ œ ≤
Ÿ
¥
π
Ω
Ê œ
Ÿ œ
× ≤
Ÿ ≥ ×
±≤
π
Ω
Ê œ
Õ œ
WIOÁœØrÝ œ
≥
π
Ω
Ê œ
Ÿ œ
UNMÄË
Ê œ
Ÿ œ
× ±∏ × ±∏ ×
¥
π
Ω ≤¥≥

±μ∑
©∑® ‰U¦Ä
jzU(« sŽ Î«bF²³Ä rK Ã« oÃe½« «–S ÆWOI √ ÷—√Ë wÝ√— —«bł vKŽ eJðd¹ Â ±μ tÃuÞ rKÝ
∫b− WIOÁœØ d²Ä ± ‰bF0
ÆjzU(« sÄ Âπ bFÐ vKŽ rK Ã« ÊuJ¹ UÄbMŽ rK Ã« WLÁ ◊u³¼ ‰bFÄ √
Æ©μμ≠≥® qJAÃ« dE½« ÆczbMŽ ?¼ W¹Ë«eÃ« b¹«eð ‰bFÄ »
¨” Ω WE( W¹√ bMŽ —«b'« sŽ rK Ã« …bŽUÁ bFÐ Ê√ ÷dH½
ÆŸ Ω ÷—_« sŽ rK Ã« WLÁ ŸUHð—« Ê√Ë
?¼
”
Ÿ
‰
Â±μ
÷—√
rKÝ
—«bł
©μμ≠≥® qJAÃ«
WIOÁœØd²Ä ± Ω
Ê œ
” œ
Âπ Ω ” bMŽ
Ê œ
Ÿ œ
∫œU−¹≈ »uKD*« √
∫”—užU¦O W¹dE½ Â«b ²ÝUÐ
©±®ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ≤≤μ Ω≤Ÿ´≤”
∞ Ω
Ê œ
Ÿ œ Ÿ ≤ ´
Ê œ
” œ ”≤
©≤®ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ∞ Ω∞ Ω
Ê œ
Ÿ œ Ÿ ´
Ê œ
” œ ”
©±® WÃœUF*« w i¹uF²ÃUÐ Ÿ b$ ¨ Âπ Ω” bMŽ
Â ±≤ Ω Ÿ UNMÄË ≤≤μ Ω
≤
Ÿ ´ ∏±
©≤® WÃœUF*« w Ÿ ¨
Ê œ
” œ
¨” sŽ i¹uF²ÃUÐ
∞ Ω
Ê œ
Ÿ œ
× ±≤ ´ ± × π
ÆWE×KÃ« pKð w WIOÁœØÂ
¥
≥
‰bF0 j³Nð rK Ã« WLÁ Ê√ Í√ ¨WIOÁœØÂ
¥
≥
≠ Ω
Ê œ
Ÿ œ
±μ
”
Ω ?¼ Uł ∫?¼ W¹Ë«eÃ« dOGð ‰bFÄ »
Êœ
” œ
×
±μ
±
Ω
Êœ
?¼ œ
× ?¼ U²ł
μ
¥
Ω
±μ
±≤
Ω
±μ
Ÿ
Ω ?¼ U²ł …UDF*« WE×KÃ« w
± ×
±μ
±
Ω
Êœ
?¼ œ
×
μ
¥
∴
ÆWIOÁœØW¹dDÁ nB½ W¹Ë«“
±≤
±
Ω
Êœ
?¼ œ
ÆWE×KÃ« pKð bMŽ WIOÁœØW¹dDÁ nB½ W¹Ë«“
±≤
±
‰bF0 b¹«e²ð ?¼ W¹Ë«eÃ« Ê√ Í√

±μ∏
©∑≠≥® s¹—U9
∫wK¹ ULŽ Vł√ ¨©Ê® sÄeÃ« w U½«d²Á« w¼ wðQ¹ ULO «dOG²*« lOLł Ê√ ÷dHÐ ±
Æ
Ê œ
’ œ
b− ¨ ± Ω ’ ¨± Ω ” bMŽ μ Ω
Ê œ
” œ
¨ ≤≠ Ω ”≤’≥ ≠ ≥” ÊUÂ «–≈ √
Æ
Ê œ
” œ
b− ¨ ≤∞∞≠ Ω ” bMŽ π∂ Ω
Ê œ
?¼ œ
¨
≤∞∞
”
Ω ?¼ UÞ ÊUÂ «–≈ »
W³Á«d*«WD×Ä5ÐËtMOÐW U *«dOG²ÃwMÄeÃ«‰bF*« mK³¹rÂ¨ÀØrÂ≤WŽd ÐvKŽ√vÃ≈ÎUOÝ√—ŒË—U oKÞ√ ≤
`DÝ sŽ «d²Ä uKOÂ ¥ tŽUHð—« mK³¹ UÄbMŽ ŒË—UBÃ« ‚öÞ≈ WBMÄ sÄ «d²Ä uKOÂ ≥ bFÐ vKŽ WFÁ«uÃ«
ø÷—_«
Â WOKJÃ« WÄËUI*« vDFð ©qJAÃ« dE½«® Í“«u²Ã« vKŽ ≤
Â¨±
Â 5²ÄËUIÄ q Ë bMŽ ≥
ÀØÂË√ ∞[∞≤ 5ÃbF*UÐ Ê«œ«œeð ≤
Â¨±
Â X½UÂ «–≈ Æ
≤
Â
± ´
±
Â
± Ω Â
± WÃœUF*UÐ
¨ÎUÄË√ ≤∞Ω±
Â ÊuJð UÄbMŽ Â dOGð ‰bFÄ UL ¨VOðd²Ã« vKŽ ÀØÂË√∞[∞≥ Ë
øÎUÄË√ μ∞Ω≤
Â
≤
Â±
Â
vÃË_« WŽdÝ X½UÂ «–S ¨º
±≤∞ UNÝUOÁ W¹Ë«“ ÊUFMB¹ 5I¹dÞ w Â WDI½ sŽ 5ðbF²³Ä ÊU²MOHÝ „d×²ð ¥
ÊuJ¹ UÄbMŽ 5²MOH Ã« 5Ð W U *« dOGð ‰bFÄ UL ¨WŽU Ã«Ø ÎöOÄ ≤± WO½U¦Ã« WŽdÝË ¨WŽU Ã«Ø ÎöOÄ ±¥
øwÃ«u²Ã« vKŽ ‰UOÄ√ ≥ ¨‰UOÄ√ μ ÊU¹ËU ¹ Â sŽ UL¼«bFÐ
‰uÞb¹«eð‰bFÄÊUÂË¨rÝ±μ∞ŸUHð—«vKŽtJ 1ÍcÃ«jO)«·dÞÊUÂYO×ÐWOÁ—Ë…dzUÞqHÞ„d×¹ μ
¡UMŁ√ w Î«œËbAÄ jO)« wIÐ «–≈ ÆÂ ≥±[μ ŸUHð—« vKŽ ÎUOI √ „d×²ð WOÁ—uÃ« …dzUDÃ«Ë ÀØrÝ∂∞ jO)«
ÆÎ«d²Ä μ∞ jO)« ‰uÞ ÊuJ¹ UÄbMŽ …dzUDÃ« WŽdÝ b− ¨…dzUDÃ« WÂdŠ
‰bFÄ ÊUÂ«–S ¨VOðd²Ã« vKŽ ÀØ
œ
≤
± ¨ÀØrÝ≤ ‰bF0 Ídz«œ ŸUDIÃ W¹eÂd*« W¹Ë«eÃ«Ë dDIÃ« nB½ œ«œe¹ ∂
b− ¨
œ
± ÍËU ð czbMŽ W¹eÂd*« t²¹Ë«“ X½UÂË ¨ÀØ≤
r??Ý±≤ u¼ WMOFÄ WE( w ŸUDIÃ« WŠU Ä …œU??¹“
ÆczbMŽ ŸUDIÃ« WŠU Ä

±μπ
«–S ¨Ÿ—UAÃ« w WMOFÄ WDI½ sÄ d²ÄuKOÂ
¥
± ŸUHð—« vKŽ ÎUOÝ√— W²ÐUŁ nIð ¨ «—UO Ã« W³Á«d* W¹œuLŽ …dzUÞ ∑
qN ¨WŽUÝØrÂμ∑ ‰bF0 UNMŽ …bŽU³²Ä ¨…dzUDÃ« sÄ d²Ä uKOÂ nB½ bFÐ vKŽ …—UOÝ …dzUDÃ« —«œ«— kŠô
øWŽUÝØ rÂ∂∞ w¼Ë UNÃ …œb;« WŽd Ã« …—UO Ã« “ËU&
U¼b d¹h ý‚u ÎUOÝ√—WFÁ«uÃ«WDIMÃUÐd1rOI² Ä jšw W²ÐUŁWŽd Ð Â≥∞∞∞ŸUHð—«vKŽ…dzUÞdODð ∏
W¹Ë«“ ∞[∞≤‰bF0b¹«e²ðUN½√Ëº
∂∞…dzUDÃ«ŸUHð—«W¹Ë«“Ê√ b «dÃ«błËUÄWE(bMŽËÆ÷—_«`DÝsÄ
ø…dzUDÃ« WŽdÝ X½UÂ rÂ ÆÀØW¹dDÁ nB½
…bŽUÁdDÁnB½ÊUÂ«–S ÆWIOÁœØ≥
rÝ±∞∞‰bF0w½«uDÝ√¡U½≈vÃ≈wÞËd ÄlLÁsÄ6Ã«‚u× Ä‰eM¹ π
w 6Ã«ŸUHð—«‰bFÄb− ¨rÝ≤∞tŽUHð—«Ë¨rÝ±∞Ω◊Ëd *«…bŽUÁdDÁnB½Ë¨rÝ±μΩW½«uDÝô«
ø„«c½¬ lLIÃ« w 6Ã« ÷UH ½« ‰bFÄ UÄË ÆrÝ ±∞ lLIÃ« w 6Ã« ŸUHð—« ÊuJ¹ UÄbMŽ ¡U½ù«
ÆdDIÃ« nB½ lÄ ÎUO JŽ VÝUM²¹ ‰bF0 b¹«e²¹ UNDO×Ä ÊS XÐUŁ ‰bF0 …dz«œ WŠU Ä b¹«eð «–≈ t½√ X³Ł√ ±∞
b− ¨ÕU³B*« sÄ —U²Ä√ ≥ bFÐ vKŽË t H½ ŸUHð—ô« sÄ d−Š jIÝ «–S ¨Â±≤ ÷—_« sŽ ÕU³BÄ lHðd¹ ±±
UNFDI¹ w²Ã« —U²Ä_UÐ W U *« Ê√ XLKŽ «–≈ ¨t²ÂdŠ ¡bÐ sÄ …bŠ«Ë WO½UŁ bFÐ ÷—_« vKŽ d−(« qþ WŽdÝ
Æ≤
Ê ¥[π Ω · …bŽUIÃUÐ vDFð WO½UŁ Ê w d−(«

±∂∞
WÄUŽ s¹—U9
∫WOðü« WK¾Ý_« sÄ ÌqJÃ W×O×BÃ« WÐUłù« d²š« ±
∫ÊS ” ” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±
WOK×Ä vLEŽ WLOÁ ©∞®‚ » …œułuÄ dOž ©∞®Ó‚ √
·UDF½« WDI½ ©©∞®‚ ¨ ∞® œ WOK×Ä ÈdG WLOÁ ©∞®‚ ?ł
Ê«d²Áô« vKŽ WDÝu²*« WLOIÃ« W¹dE½ oO³Dð sÄ UNOKŽ qB×½ w²Ã« ?Š WLOÁ ≤
∫w¼ [≤ ¨ ∞] …d²HÃ« w
± ≥ ” ≥ ∞ ¨ ”≤
≤ ≥ ” > ± ¨ ± ´ ≤”
Ω ©”®‚
μ
¥
œ ≥
≤
?ł ≤
≥
» ¥
μ √
] ≥ ¨ ∞[ …d²HÃ« vKŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁË [≥ ¨ ∞] …d²HÃ« vKŽ ÎU dFÄ ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≥
∫ÍËU ¹ ‚ Ê«d²ÁöÃ Włd(« ◊UIMÃ« œbŽ ÊS ≤ ≠ ”
± ´ ” Ω ©”®Ó‚ YO×Ð
μ œ ¥ ?ł ≥ » ≤ √
Æ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ©”®Î‚ vM×MÄ —ËU−*« qJAÃ« q¦1 ¥
ø©”®‚ vM×MÄ ·UDF½« WDI½ UOŁ«bŠ≈ UÄ
©∞ ¨ ≥≠® » ©≤ ¨ ∞® √
©©≥≠®‚ ¨ ≥≠®® œ ©©∞®‚ ¨ ∞® ?ł
”
©”®Î‚
≤
±
≥≠ ≤≠ ±≠
Æ ]¥ ¨ ≤≠[ …d²HÃ« vKŽ ©”®Ó‚ vM×MÄ —ËU−*« qJAÃ« q¦1 ♦
[¥ ¨ ≤≠] vKŽ ·dFÄ ©”®‚ Ê√ XLKŽ «–≈
∫WOÃU²Ã« ∑ ¨ ∂ ¨ μ WK¾Ý_« sŽ WÐUłù« w pÃ– vKŽ bL²ŽU
∫u¼ ©”®‚ Ê«d²Áô« b¹«eð ‰U−Ä μ
[± ¨ ±≠] » [± ¨ ≤≠] √
[¥ ¨ ±] œ [≥ ¨ ±≠] ?ł
”
©”®Ó‚
≤
±
≤≠ ±≠ ≥ ¥
©≤¨±®
∫WDIMÃ« bMŽ WOK×Ä ÈdG WLOÁ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ÊuJ¹ 5 dDÃ« ¡UM¦²ÝUÐ ∂
©©±≠®‚ ¨ ±≠®® œ ©≤ ¨ ±® ?ł ©∞ ¨ ≥® » ©∞ ¨ ±≠® √

±∂±
∫w¼ ©”®‚ vM×MÄ ·UDF½« WDI½ ∑
©©±®‚ ¨ ±®® œ ©≤ ¨ ±® ?ł ©∞ ¨ ±≠® » ©∞ ¨ ≥® √
dOG²Ã wMÄeÃ« ‰bF*« błË√ ¨ÀØrÝ≤ Ω
” œ
Ê œ Ê≈ YO×Ð ≥” Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ vKŽ WDI½ „d×²ð ∏
Æ± Ω ” UÄbMŽ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ”UL*« qOÄ
≤¥ œ ±≤ ?ł ∂ » ≥ √
Æ]μ ¨ ±[ ∋ ” rOÁ lOL' ∞ < ©”®Ó‚ ¨[μ ¨ ±] vKŽ qB²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« π
∫ÎULz«œ W×O× WOÃU²Ã« «—U³FÃ« ÈbŠ≈
[μ ¨ ±] vKŽ hÁUM²Ä ©”®‚ » μ Ω ” bMŽ vLEŽ WLOÁ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ √
[μ ¨ ±] vKŽ hÁUM²Ä ©”®‚ ” Ω ©”® ?¼ Ê«d²Áô« ?ł
Æ ]μ ¨ ±[ w ·UDF½« WDI½ ‚ Ê«d²ÁöÃ błu¹ ô œ
∫w¼ [ π
≤
¨ ∞] …d²HÃ« w ”U²ł ´ ”Uł Ω ©”®‚ Ê«d²Áô« vKŽ ‰Ë— W¹dE½ U¼œb% w²Ã« ?ł WLOÁ ±∞
π
≥
œ π
¥
?ł π
∂
» ∞ √
∫5OÃU²Ã« ±≤ ¨±± 5Ã«R Ã« sŽ WÐUłù« w pÃ– vKŽ bL²ŽU μ ≠ ” ´ ≤” ≥
≤
´ ≥” ≤
≥
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ♦
∫…d²HÃ« w hÁUM²Ä ©”®‚ Ê«d²Áô« ±±
[ ±
≤
≠ ¨ ±≠] » [± ¨ ±
≤
] √
Æ] ∞ ¨ ±
≤
≠ [ pÃcÂË ] ±≠ ¨ ∞ ≠[ œ [ ≤
¥
≠ ¨ ∞ ≠] ?ł
∫…d²HÃ« w vKŽúÃ dFIÄ ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ ±≤
] ∞ ¨ ± ≠ [ pÃcÂË ] ±≠ ¨ ∞ ≠[ » [ ±
≤
≠ ¨ ±≠] √
] ∞ ¨ ≥
¥
≠ ] œ ] ≥
¥
≠ ¨ ∞ ≠[ ?ł
∫w¼ ‚ Ê«d²ÁöÃ WIKD*« vLEFÃ« WLOIÃ« ÊS [≤ ¨ ≤≠] ∋ ”¨μ ≠ ¸ ≤ ≠ ” ¸ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±≥
±≠ œ ± ?ł ≤≠ » ≤ √
ÈbŠ≈ ÊS ¨[± ¨ ∞] vKŽ hÁUM²Ä ©”®Ó‚ ¨ [∞ ¨ ±≠] vKŽ b¹«e²Ä ©”®Ó‚ YO×Ð ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±¥
∫ÎULz«œ W×O× WOÃU²Ã« «—U³FÃ«
[± ¨ ∞] …d²HÃ« vKŽ b¹«e²Ä ©”®‚ » [± ¨ ∞] …d²HÃ« vKŽ hÁUM²Ä ©”®‚ √
©”®‚ vM×M* ·UDF½« WDI½ ©©∞®‚ ¨ ∞®® œ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ WłdŠ WDI½ ∞ Ω ” bMŽ ?ł

±∂≤
w²Ã« ” rOÁ lOLł WŽuL−Ä UL ¥
©μ≠”® ≥
©±≠”® ≤
©≥ ≠”® Ω ©”®Ó‚ YO×Ð ÎU½«d²Á« ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±μ
ø©”®‚ Ê«d²ÁöÃ WOK×Ä ÈdG WLOÁ UNMÄ qÂ bMŽ błu¹
± œ ≥ ¨ ± ?ł μ ¨ ≥ » μ √
∫ÊuJ¹ ©”® ©?¼ ° ‚® Ê«d²Áô« Æ vKŽ Ê«b¹«e²Ä œËbŠ «dO¦Â ÊU½«d²Á« ©”®?¼ ¨ ©”®‚ ±∂
vKŽ ÎUBÁUM²Ä » vKŽÎ«b¹«e²Ä √
WIKDÄ vLEŽ WLOÁ tÃ œ ∞ Ω ” bMŽ WOK×Ä vLEŽ WLOÁ tÃ ?ł
[¥ ¨ ∞] …d²HÃ« vKŽ ·dF*« ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ q¦1 —ËU−*« qJAÃ« ±∑
∫w¼ ©©≤®‚ ¨ ≤® WDIMÃ«
ÆWIKDÄ vLEŽ WLOÁ WDI½ » Æ©”®‚ vM×M* ·UDF½« WDI½ √
ÆWOK×Ä vLEŽ WLOÁ WDI½ œ ÆWIKDÄ ÈdG WLOÁ WDI½ ?ł”
©”®‚
± ≤ ≥ ¥
∫ÊS ∋ ” ¨ ≤ ´ ”≥≤ ≠ ¥” Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ±∏
∞ Ω ” bMŽ ·UDF½« WDI½ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ √
Æ©©≤®‚ ¨ ≤® WDIMÃ« bMŽ WOK×Ä vLEŽ WLOÁ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ »
Æ©©≤®‚ ¨ ≤® WDIMÃ« bMŽ WOK×Ä ÈdG WLOÁ ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ?ł
ÆÎULz«œ qHÝúÃ dFIÄ ©”®‚ Ê«d²Áô« vM×MÄ œ
Æ‚ vM×M* ·UDF½« WDI½ ∞ Ω ?Š bMŽË ¨…œułuÄ Î‚ ¨ [± ¨ ±≠] …d²HÃ« vKŽ ·dFÄ Ê«d²Á« ©”®‚ ±π
∫ÎULz«œ W×O× WOÃU²Ã« «—U³FÃ« ÈbŠ≈
[∞ ¨ ±≠] …d²HÃ« w qHÝúÃ dFIÄ ©”®‚ vM×MÄ √
[± ¨ ∞] …d²HÃ« w vKŽúÃ dFIÄ ©”®‚ vM×MÄ »
] ± ¨ ± ≠ [ …d²HÃ« w WłdŠ WDI½ UNÃ ©”®Ó‚ ?ł
] ± ¨ ± ≠ [ Ω …d²HÃ« w WłdŠ WDI½ UNÃ ©”®Î‚ œ
± ≥ ” ≥ ∞ ¨ ” ≠ ≤”
≥ ≥ ” > ± ¨ ± ≠ ”
Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ ≤∞
∫w¼ [≥ ¨ ∞] …d²HÃ« w ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ WłdŠ WDI½ UNMÄ qÂ bMŽ ÊuJ¹ w²Ã« ” rOÁ lOLł WŽuL−Ä ÊS
≥ ¨±¨ ±
≤
¨ ∞ œ ≥¨ ±
≤
¨ ∞ ?ł ≥ ¨ ∞ » ≥ ¨ ± ¨ ∞ √

±∂≥
∫wK¹ UÄ błËQ ¨
± ≥” ¨ ≤” ≠ ”≥
± <” ¨ » ´ ” ´ ≤”≤
Ω ©”®‚ Ê√ XLKŽ «–≈ ≤
Æ vKŽ ‚UI²ýöÃ ÎöÐUÁ ©”®‚ Ê«d²Áô« ÊöF−¹ s¹cKÃ« » ¨ 5²ÐU¦Ã« √
ÆÎ«b¹«e²Ä ©”®‚ UNO ÊuJ¹ w²Ã« «d²HÃ« Ø …d²HÃ« »
Æ©”®‚ vM×M* ·UDF½ô« jI½ Ø WDI½ ?ł
Æ vKŽÎ«bOŠËÎ«dH ∏ ≠
≥
” ≤
Uł ´ ” Ω ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ Ê√ X³Ł√ ≥
vKŽ ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý Ê«d²Áô« oI×¹Ë q _« WDIMÐ ÁUM×MÄ d1 WO½U¦Ã« Wł—bÃ« sÄ œËbŠ dO¦Â Ê«d²Á« ©”®‚ ¥
Æ©”®‚ Ê«d²Áô« …bŽUÁ błËQ ¥≠ ÍËU ð …d²HÃ« Ác¼ w Ê«d²ÁöÃ ÈdGBÃ« WLOIÃ« X½UÂ «–≈ Æ[¥ ¨ ∞] …d²HÃ«
pÃcÂË[ ±≠¨∞≠[ …d²HÃ«vKŽÎ«b¹«e²Ä©”®Ó‚ÊUÂË∞Ω©∂®Ó‚Ω©≤®Ó‚YO×ÐœËbŠdO¦ÂÊ«d²Á«©”®‚ μ
∫błË√ [¥ ¨ ±] vKŽ ÎUBÁUM²Ä ©”® Ó‚ ÊUÂË ] ∞ ¨ ¥ [ …d²HÃ« vKŽ
Æ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ WOK;« ÈuBIÃ« rOIÃ« jI½ √
Æ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ hÁUM²Ã«Ë b¹«e²Ã« ôU−Ä »
tLÝ—sJ1qOD² Äd³Â√WŠU ÄUÄ¨rÝ∂Ω» ‰uÞË5ÁU Ã«ÍËU ²ÄË?łw W¹Ë«eÃ«rzUÁYK¦Ä?ł» ∂
øWLzUIÃ« wFK{ vKŽ Ê«dšü« ÊUÝ√dÃ« lI¹Ë ¨» dðuÃ« vKŽ tŽö{√ bŠ√ o³DM¹ YO×Ð YK¦*« qš«œ
ØWLOÁ 5Ž rŁ [± ¨ ±≠] …d²HÃ« vKŽ
≥ ´ ≤”
≤” ≠ ± √
Ω ©”®‚ Ê«d²ÁöÃ ‰Ë— W¹dE½ ◊Ëdý d uð w Y×Ð« ∑
Æ© błË Ê≈® W¹dEMÃ« U¼œb% w²Ã« ?ł rOÁ
∫UNðôU−Ä vKŽ WOÃU²Ã« U½«d²ÁöÃ ÈuBIÃ« rOIÃ« błË√ ∏
∂ ´ ”μ ´ ≤
” Ω ©”®‚ » [ π ≤ ¨ ∞ ] …d²HÃ« vKŽ ” Uł ≠ ” Ω ©”®‚ √
∫błËQ [
≤
¨ ∞] ∋ ” ¨ ”≤ U²ł ≠ ”≤
U²ł ´ ≤ Ω ©”®‚ ÊUÂ «–≈ π
Æ·UDF½ô« jI½ ØWDI½ » Æ©”®‚ vM×MLKÃ qHÝúÃË vKŽúÃ dFI²Ã« ôU−Ä √
ŸUHð—« W¹Ë«“ X½UÂË ¨Â≤∞ ÍËU ¹ Â≥∞ tŽUHð—« vM³Ä qþ ‰uÞ ÊUÂ ¨UÄ WE( w ±∞
Æ„«c½¬ vM³*« qþ dOGð ‰bFÄ bł ÆWIOÁœ ØWł—œ ∞[≤μ ‰bF0 b¹«e²ð ?¼ fLAÃ«
?¼

±∂¥
»U²JÃ« —«dÁ≈ w sOÂ—UALÃ« ¡ULÝ√
w½ôu'« qO³½ ≠
Ê«d³ł bÃUš ≠
ÂUMž uÐ√ bÃUš ≠
dOÞ uÐ√ Êu OÄ ≠
»U¹– bL×Ä ≠
VNý_« ¡UMÝ ≠
WÃ«ež uÐ√ X dOÄ ≠
…Ëö(« uÐ√ vMÄ ≠
WK¹bŽ 5Ä√ ≠
»dł_« …bO³Ž ≠
VNý_« ÃËbš ≠
w¼d²Ã« bFÝ√ ≠
Ê«d¼“ ”UM¹≈ ≠
…dŽ uÐ√ —UB²½« ≠
WMŠ«d Ã« bL×Ä ≠
wÃu²Ä rO¼«dÐ≈ ≠
qL'« d¼uł ≠
…bÄULŠ d U½ ≠
œUÒ¹“ uÐ√ s1√ ≠
f½u¹ uÐ√ s Š ≠
»uIF¹ vN½ ≠
tKÃ« “dŠ bLŠ√ ≠
ÊU½Ë WO½«— ≠
„öÄ bz«— ≠
ÍdOC(« —U¼œ“« ≠
ŸU³FÐ ÂU ²Ð« ≠
rÃUÝ rOJ(« b³Ž ≠
`ÃU ÂUE½ bL×Ä ≠
WÄöÝ k U(« b³Ž ≠
WK−ŠuÐ√ tKÃ« dB½ ≠
—bÐ WKONÝ ≠
Õö ÂöŠ√ ≠
s O×Ä qOKš ≠
WŽ—«uHÃ« ‰œUŽ ≠
Ê«bLŠ wKŽ bL×Ä ≠
wDODÃ« e¹U ≠
VOD)« k U(« b³Ž ≠
ÕU³ WAzUŽ ≠
ËdLŽ w½UNð ≠
p¹ËbÃ« sÝuÝ ≠
WMOMÝ uÐ√ WÃuš ≠
wÂdJÃ« dHFł ≠
wðUÐdAÃ« ¡UM¼ ≠
»Ëd(« nÝu¹ ≠
»U¹– dCš ≠
…dłU$ bFÝ√ ≠
‘dÞ_« s¹d ½ ≠
bOL×Ä uÐ√ …—UÝ ≠
…dÄULŠ »u¹√ ≠
`KBÄ w½uł ≠
t²Ð«uŁ WMOLÝU¹ ≠
Õö œULŽ ≠
rÝUÁ œULŽ ≠
f¹uŽ …bz«— ≠
wŽdÄ ÊU½bŽ ≠
œu¹“ sLŠdÃ« b³Ž ≠
Ê«b¹“ ÷U¹— ≠
—u½ bL×Ä≠
…dLŽ uÐ√ ”UM¹« ≠
XÐUŁ ‰ULł ≠
uMŠ ÂU²š
qOKš jÝU³Ã« b³Ž ≠
w UŽ ÊU½bŽ ≠
WÝ—«bÄ wM Š ≠
W½U³ý fOÁ ≠
…œË«uŽ bLŠ√ ≠
WO³Ž bL×Ä ≠
5ÄU¹ rÝUÐ ≠
oO uð ‰œUŽ ≠
.dJÃ« b³Ž d U½ ≠
ÊU u qÄ√ ≠
WýË«—œ bL×Ä ≠
WO³Ž uÐ√ rO¼«dÐ≈ ≠
‰UŠ— d¼UÞ ≠
»UNý uÐ√ “ËeFÄ ≠
Õö*« ÂU ²Ð« ≠
U dŽ ¡«b½ ≠
qOLÂ œuL×Ä ≠
Â«eŽ sLŠdÃ« b³Ž ≠
tKÃ«b³Ž vN²MÄ ≠
UOKFÃ« bL×Ä ≠
`¹bÁ ÂU Ð ≠
…uKŠ uÐ√ vKŽ ≠
1- Thomas Calculus, 10th
Edition‚ Addison Wisely, 2000
2- Calculus with Analytic Geometry‚ Edwards & Penny‚ 4th
Edition‚ Prentice hall 1994
3- Calculus, Howard Anton, 6th
Edition‚ John Wiley, 1999
4- Calculus, One & Several Variables, S.L.Salas, Einar hille, 4th
Edition‚ 1982,
5- http:// archives.math.utk.edu
6- http:// www.mathrefrence.com
lł«dLÃ«

رياضيات 2ث فلسطين ج1

رياضيات 2ث فلسطين ج1

More Related Content

Viewers also liked

رياضيات 2ث فلسطين ج1