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[ The Art of Computer Programming ] 2.3.4.5 경로 길이 아.꿈.사 Study 2011. 05. 28 김한솔 itsfitsol@gmail.com

목 록 경로 길이 (Path Length) 완전 t진 트리 (Complete t-ary Tree) 가중 경로 길이 (Weighted Path Length) 와 최적 검색 절차 (Optimal Search Procedure)

1. 경로 길이 (Path Length) ,[object Object]

특히 이진트리는 실제 컴퓨터 표현과 매우 근접,[object Object]

특히 이진트리는 실제 컴퓨터 표현과 매우 근접Binary Tree Extended Binary Tree NULL

내부 노드n개, 외부 노드(NULL) s개 변의 개수 : n + s – 1 = 2n ∴ s = n + 1 (n = 0 일때도 성립) Extended Binary Tree

외부 경로 길이 : 루트에서 모든 외부 노드 각각 경로 길이의 합 Ex) 아래 그림에서, 외부 경로 길이 E = 3 + 3 + 2 + 3 + 4 + 4 + 3 + 3 = 25 Extended Binary Tree

내부 경로 길이 : 루트에서 모든 내부 노드 각각 경로 길이의 합 Ex) 아래 그림에서, 외부 경로 길이 I = 2 + 1 + 0 +2 + 3 + 1 + 2 = 11 Extended Binary Tree

E = I + 2n (n 은 내부 노드 수) 증명) 경로 길이 k, 자식 노드가 모두 외부 노드, 내부 노드V 삭제, E’ = (E – 2(k + 1)) + k = E – k - 2 I’ = I - k Extended Binary Tree V

Skewed(Degenerated) Tree 는 내부 경로 길이가 가장 크다. I = (n - 1) + (n - 2) + … + 1 + 0 = (n2 – n) / 2 Skewed Binary Tree

모든 이진트리들에 대한 “평균경로 길이” 는 n√n에근본적으로 비례한다.

모든 이진트리들에 대한 “평균경로 길이” 는 n√n에근본적으로 비례한다. ………. 왜 그럴까요?

2. 완전 t 진 트리 (Complete t-ary Tree) ,[object Object]

특히 완전 이진 트리는 여러 알고리즘들의 계산 시간을 최소화 함,[object Object]

자식을 t 로 확장하면 완전 t 진 트리 (단, t ≥ 2),[object Object]

위의 식을 일반화 시켜서 완전 t진 트리에 적용되는 식은? 노드k의 부모 :└ (k + t – 2) / t ┘ = ┌(k – 1) / t ┐ 노드k의 자식 : t(k – 1) + 2, t(k – 1) + 3, … , tk+ 1

3-1. 가중 경로 길이 (Weighted Path Length) ,[object Object],[object Object]

3-1. 가중 경로 길이 (Weighted Path Length) ,[object Object]

단, 가중치가 모두 1로 같다면 Balanced Tree 가 최소의 가중 경로길이를 갖는다.8+6+9+11 = 34 6+12+33+2 = 53 6+4+8+22 = 40 11 2 4 3 11 4 3 2 3 2 11 4

3-2. 최적 검색 절차 (Optimal Search Procedure) ,[object Object]

대표적으로 D. Huffman 의 우아한(?) 알고리즘.이 트리를 찾는 방법 8+6+9+11 = 34 6+12+33+2 = 53 6+4+8+22 = 40 11 2 4 3 11 4 3 2 3 2 11 4

D. Hoffman 알고리즘 ,[object Object]

주로 MPEG, JPG 등 영상, 이미지 압축에 많이 쓰인다.

흔히 쓰는 알집에서도 사용.,[object Object]

D. Hoffman 알고리즘 Step 1. 가중치 리스트를 오름차순으로 정렬한다. List (2, 11, 5, 13, 3, 17, 7) List (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17)

D. Hoffman 알고리즘 Step 2. 가중치 리스트에서 가장 작은 두 값을 찾는다. List (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17) List (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17)

D. Hoffman 알고리즘 Step 3. 작은 두 값을 더한 뒤, 더한 값을 부모 노드로 갖고 작은 두 값을 자식으로 갖는 노드로 치환한다. List (5, 5, 7, 11, 13, 17) 5 3 2

D. Hoffman 알고리즘 Step 4. 반복 ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞

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