10.estimacióndeparámetros

MÉTODOS ESTATÍSTICOS
E NUMÉRICOS

UNIDADE 10

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

ÍNDICE
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas

CONTIDOS

Tipos de estimación.
Estimación puntual.
Características dos estimadores puntuais.
Estimadores puntuais: media mostral e proporción mostral.
Intervalo de confianza.
Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que
se coñece a varianza.
Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que
non se coñece a varianza.
Intervalo de confianza para a proporción.
Intervalo de confianza para a diferenza de medias.
Intervalo de confianza para a varianza dunha poboación normal.
Erro máximo admisible.
Tamaño da mostra para a estimación da media e da proporción.

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

Introdución

Observa estes tres problemas, correspondentes a situacións
parecidas pero moi distintas:

Problema 1: X

A media de idade das alumnas e alumnos que se presentan á selectividade
é de 18.1 anos; e unha desviación típica de 0.5 anos. Eliximos ao azar unha
mostra de 80 alumnos/as, cal é a probabilidade de que a media de idade da
mostra estea entre 17.9 e 18.3?
Sabemos: Queremos saber:
A media μ da poboación, que é 18.1 A media X dunha mostra.
p(17.9< X <18.3)?

Coñecemos a poboación e pretendemos deducir o comportamento das
mostras. Isto viuse no tema anterior baseándonos no teorema central do
límite.


Introdución

Problema 2:
A idade media dunha mostra de 80 alumnos/as que se presentan a
selectividade é de 18.1 anos. Cal é a probabilidade de que a media de todos
os alumnos que se presentan á selectividade estea entre 17.9 e 18.3 anos?

A media X dunha mostra:
X X =18.1 A media μ da poboación.
p(17.9<μ<18.3)?

Coñecemos unha mostra, e pretendemos deducir aspectos da poboación.
Pretendemos inferir ou estimar o valor da media poboacional a partir do
valor da media mostral. Este é o tema da presente unidade.


Introdución

Problema 3:
Está admitido como certo que a idade media dos alumnos/as que se
presentan á selectividade é de 18.1. Para comprobalo tomouse unha mostra
de 80 alumnos/as que se presentan á selectividade e calculouse a súa
media, obtendo 18.3. É razoable admitir como válida a hipótese inicial de
que μ=18.1?

A media dunha mostra: X =18.3 É admisible a afirmación de que a
media da poboación é μ=18.1?

Temos unha afirmación ou hipótese, pero sen garantías de certeza. Para
contrastalo, tomamos unha mostra, e a partir do resultado desta, decidimos
se a hipótese é ou non é admisible.
Este problema corresponde á chamada teoría da decisión ou contraste
de hipótese que veremos na seguinte unidade

Introdución

Nota :
Ao traballar con mostras, hai que diferenciar
entre:
Os parámetros observados na mostra,
chamados parámetros estatísticos ou
simplemente estatísticos.
Os parámetros reais correspondentes á
poboación, chamados parámetros poboacionais
ou simplemente parámetros.


Introdución

Estimación de Parámetros
Parámetros:
Parámetros poboacionais e Estatísticos Mostrais
H to r m d laP b c n
is g a a e o la io
Media (µ )
10
6

10
4
Varianza(σ 2)
10
2

Datos

re u n ia
10
0
Desv. Est. (σ )

F cec
80

(Poboación de Interese) 6

4
0

0 Etc.
20

0
-4 -2 0
C ss
la e
2 4
Inferencias
Histograma de la Muestra

Mostraxe 16 Estatísticos:
14

12 Termo medio( X )
Frecuencia

10

Mostras
8 Varianza mostral(S2)
6

4
Desv. Est. mostral(S)
2

0
-4 -2 0
Clases
2 4 Etc.

1. Tipos de estimación

Puntual:
Trátase de estimar un parámetro da poboación a
partir dun estatístico obtido dunha mostra dela,
dando un único valor como aproximación do
parámetro poboacional.

Tipos de Por intervalos de confianza:
estimación: A partir dunha mostra aleatoria de tamaño n
podemos estimar o valor dun parámetro da
poboación dando un intervalo dentro do cal
confiamos que estea o parámetro, intervalo de
confianza, e calculando a probabilidade de que tal
cousa ocorra; a dita probabilidade chamámoslle
nivel de confianza.


2. Estimación puntual

Estimación puntual:

Ao estimar un parámetro poboacional por estimación puntual
poden considerarse, en principio, varios estatísticos.

Exemplo:
Para estimar a media poboacional μ podemos utilizar a media
mostral x, pero tamén outros estatísticos, como mediana, moda...

Debemos, polo tanto, facer un estudo para saber que estatístico
proporciona unha estimación máis fiable do parámetro
poboacional.



Para controlar a fiabilidade da estimación proporcionada por un
estatístico, definimos o concepto de estimador:

Chamamos estimador S dun parámetro poboacional λ a unha
variable aleatoria que a cada unha das mostras dun certo tamaño n
da poboación asócialle o valor dun estatístico dado con valores
aproximados ao parámetro poboacional λ que desexamos estimar.



Exemplo:
Nun edificio viven 6 nenos de idades:

Nenos Celia Raquel María Alex Marta Xoán

Idades 5 7 8 6 1 8



Podemos polo tanto coñecer a idade media da poboación de nenos
do edificio que sería:

μ =(5+7+8+6+1+8)/6=5.83

Pero un veciño do edificio non coñece as idades de todos os nenos
así que decide estimar cal é a idade media dos nenos do edificio
preguntándolle a idade a tres dos nenos e calculando a media de
idade de dita mostra.

O parámetro media poboacional intenta estimarse mediante un
estatístico dunha mostra de tres elementos que é a media
mostral.

Pero, o valor obtido deste xeito, realmente se aproxima á media
poboacional?



Para controlar a fiabilidade da estimación, recorremos ao estudo do seguinte
estimador:
Experimento aleatorio = obtención dunha mostra de tamaño 3.
Definimos unha variable aleatoria que a cada mostra de tres nenos asígnalle a idade
media da mostra.
X =idade media mostral dunha mostra de tamaño 3
Mos Celia Celia Celia Celia Celia Celia Celia Celia Celia Celia
tras Raquel e Raquel e Raquel e Raquel e María e María e María e Alex e Alex e Marta e
María Alex Marta Xoán Alex Marta Xoán Marta Xoán Xoán

x 6.67 6 4.33 6.67 6.33 4.33 7 4.33 6.33 4.67

Mos Raquel Raquel Raquel Raquel Raquel Raquel María María María Alex
tras María e María e María e Alex e Alex e Marta e Alex e Alex e Marta e Marta e
Alex Marta Xoán Marta Xoán Xoán Marta Xoán Xoán Xoán

x 7 5.33 7.67 4.67 7 5.33 5 7.33 5.67 5



xi p( X =xi)
4.33 3/20
Trátase dunha variable 4.67 2/20
aleatoria discreta coa 5 2/20
seguinte función masa de 5.33 2/20
probabilidade 5.67 1/20
6 1/20
6.33 2/20
6.67 2/20
7 3/20
7.33 1/20


3. Características dos estimadores puntuais

Nun estimador considéranse desexables as seguintes
características:

• Ausencia de nesgo
• Eficiencia
• Consistencia

para considerar fiable a estimación correspondente.



Ausencia de nesgo
Observa as seguintes figuras onde se representa o valor real do parámetro
poboacional a estimar λ e os valores que toman certos estimadores f(x)=8

correspondentes a certos tamaños de mostra e a certos estatísticos que
f(x)=4
f(x)=0
Serie 1

poderiamos empregar.
Serie 2

λ

λ

λ


No primeiro caso os valores do estimador están arredor de λ mentres no
segundo caso a maior parte son maiores λ e no terceiro son
maioritariamente menores ca λ.

A nós interésanos que os valores do estimador se repartan ao redor de λ,
coma no primeiro caso. Isto dáse cando a súa esperanza está próxima ao
valor de λ e cando isto sucede dise que o estimador é non esguellado.

Dise que un estimador S dun parámetro λ é non esguellado se a
súa esperanza μS coincide con λ.

Se μS< λ , dise que ten nesgo negativo (caso 3)

Se μS> λ , dise que ten nesgo positivo (caso 2)



Exemplo:
Lembrades o exemplo de estimador que puxemos ?
Fixádevos no valor da idade media da poboación de
nenos do edificio e nos valores que toma o estimador X f(x)=0
Serie 1

que son as idades medias das mostras de tres
Serie 2

elementos que podemos tomar nesta poboación.
Pensades que é ou non esguellado?

4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4 7.6 7.8
λ



Se no noso exemplo calculamos a esperanza do
estimador X obtemos:

μX = ∑ xi ⋅ pi =
i

3 2 2 2 1 1
= 4.33 ⋅ + 4.67 ⋅ +5⋅ + 5.33 ⋅ + 5.67 ⋅ + 6⋅ +
20 20 20 20 20 20
2 2 3 1 1
+ 6.33 ⋅ + 6.67 ⋅ +7⋅ + 7.33 ⋅ + 7.67 ⋅ =
20 20 20 20 20
= 5.83 = idade media dos nenos do edificio



Eficiencia dun estimador
Pero observa agora os valores que toman estes dous estimadores f(x)=8

non esguellados do mesmo parámetro poboacional λ. f(x)=4
Serie 1

Cal cres ti que deberiamos empregar se queremos un resultado
Serie 2

fiable?.

λ

λ



Loxicamente nos quedariamos co segundo, pois os
valores que toma o estatístico están máis concentrados
arredor de λ.

Isto ocorre cando a desviación típica do estimador é
menor; e dise que dito estimador é máis eficiente.

De entre dous estimadores, dicimos que é
máis eficiente o que ten menor varianza ou
desviación típica.



Exemplo:
Os 4 fillos dunha familia estudan 1,2,3,4 horas diarias
respectivamente. Se desexásemos estimar o nº medio de horas de
estudo diario dos nenos desta familia mediante unha mostra de
tamaño 3, que estimador dos dous seguintes é máis eficiente?

X =media mostral dunha mostra de tamaño3
Me=mediana dunha mostra de tamaño 3.



As posibles mostra de tamaño 3
daríannos os seguintes resultados:

Calculemos as esperanzas destas Mostras x Me
variables aleatorias (estimadores)
para ver se teñen ou non nesgo
(1,2,3) 2 2
μX = (2 + 2.33 + 2.67 + 3)/4 = 2.5
μMe = (2 + 2 + 3 + 3)/4 = 2.5 (1,2,4) 2.33 2
O nº medio de horas de estudo da
poboación formada polos 4 nenos (1,3,4) 2.67 3
era:
μ = (1 + 2 + 3 + 4)/4 = 2.5 (2,3,4) 3 3
Como μ = μX = μMe
ambos estimadores son non
esguellados.



Cal é máis eficiente?

Pois aquel que teña menor varianza.
Ao calculalas podemos ver que a media mostral ten unha
varianza máis baixa polo que é un estimador máis
eficiente que a mediana.

1 1 1 1
σ X = ∑ xi ⋅ pi − x = 22 ⋅
2 2
+ 2.332 ⋅ + 2.67 2 ⋅ + 32 ⋅ − 2.52 = 0.13
i 4 4 4 4
2 1 1
σ Me = 22 ⋅ + 32 ⋅ − 2.52 = 0.25
2 2



Consistencia dun estimador
Intuitivamente canto maior é a mostra elixida, máis
próxima debería estar a estimación realizada dun
parámetro ao valor real do parámetro.

Dicimos que un estimador é consistente se a
probabilidade de que estean moi próximos a
estimación e o parámetro poboacional
aumenta e tende a 1 ao incrementarse o
tamaño da mostra.



Conclusión:
Un estimador é bo se é non esguellado, o
máis eficiente posible e consistente.


4. Estimadores puntuais: media mostral e
proporción mostral
A elección do estimador máis axeitado en cada caso excede o nivel deste
curso.

Abondará con saber:
•A media poboacional μ aproxímase pola media mostral x A mediana
.
tamén é un estimador non esguellado para a media poboacional pero menos
eficiente que a media mostral.
•A varianza poboacional σ2 aproxímase pola cuasivarianza mostral ŝ2 que
se define como:
ˆ2 = n ⋅ s2
s
n −1
Parece que o estimador máis adecuado debería ser a varianza mostral,
pero pode demostrarse que non é así.
•A proporción poboacional aproxímase por a proporción mostral.
•A diferenza de medias de dúas poboaciones μ1-μ2 aproxímase pola
diferenza de medias mostráis x1 − x 2


proporción mostral

Exemplo 1:
Das 25 aulas dun centro educativo escolléronse 5 ao
chou, e contouse o número de alumnos da clase,
obténdose os seguintes resultados: 33, 27, 19, 34, 30.
Estima o número total de alumnos do centro.


proporción mostral

Solución:
Estimaríamos o nº medio de alumnos por aula no
centro escolar calculando o nº medio de
alumnos nas 5 aulas que se tomaron como
mostra.
Como a media mostral da (33+27+19+34+30)/5=
28,6 consideramos que o nº medio de alumnos
por aula no centro escolar é 28.6 e, polo tanto,
estimariamos que o número total de alumnos no
centro escolar é de 25·28,6=715 alumnos


proporción mostral

Exemplo 2:
Entre os estudantes dunha cidade escolléronse
150 ao azar e preguntóuselles se estaban de
acordo co actual sistema de acceso á
universidade. 40 responderon que si. Estímese
a proporción de alumnos de dita cidade que
están de acordo co sistema de acceso á
universidade.

proporción mostral

Solución:
A proporción mostral é un bo estimador da
proporción poboacional, así que calculamos a
proporción de alumnos da mostra que
responderon afirmativamente e considerámola
como proporción poboacional.

40 de 150 é un 26,67%
Estimamos que un 26,67% da poboación está de
acordo co sistema de acceso á universidade.


5. Intervalo de confianza

A estimación puntual serve de pouco mentres
descoñezamos cal é o grao de aproximación entre o
estatístico mostral e o parámetro poboacional.
A estimación puntual non nos indica o erro cometido
en dita estimación.
O razoable na práctica é incluír, xunto á estimación
puntual do parámetro, un certo intervalo numérico
que mida a marxe de erro que, de acordo coas
observacións mostrais, poda ter dita estimación.
A idea de intervalo de confianza é propór un rango de
valores entre os que posiblemente se encontre o
verdadeiro valor do parámetro.



Por este motivo recórrese á estimación por
intervalos.

A partir dunha mostra de tamaño n podemos estimar o
valor dun parámetro da poboación do seguinte modo:

Dando un intervalo dentro do cal confiamos que estea
o parámetro, chamado intervalo de confianza.

•Calculando a probabilidade de que tal cousa ocorra. A
dita probabilidade chámaselle nivel de confianza que se
nomea como p=1-α sendo α o nivel de significación.



Supoñamos que para estimar unha media poboacional μ
tomamos unha mostra de tamaño n e a partir dela
construímos un intervalo de confianza ao 90% para μ. É
dicir, o nivel de confianza é 0,9 e o nivel de
significación 0,1.

No intervalo calculado pode ou non estar realmente μ.

Nin sequera podemos dicir que μ está no intervalo
calculado cunha probabilidade do 90%.

Só podemos falar de que o intervalo contén a μ cunha
confianza do 90%. Que significa entón nivel de
confianza do 90%?



Se construímos moitos intervalos de confianza para μ cun nivel de confianza do
90%

μ

O 90% de ditos intervalos de confianza conterán a media poboacional.



Nota:
Como polo xeral só vamos a dispór dunha
mostra, temos que contar (por exemplo cun
90% de confianza) que a mostra que temos
pertence ao grupo das mostras boas (as que nos
dan unha estimación do intervalo que contén o
verdadeiro valor do parámetro).



Para o cálculo de intervalos de confianza é importante
coñecer que é un intervalo característico e como
calculalo

Intervalos característicos :
Se unha variable aleatoria X ten unha distribución de
esperanza ou media μ, chámase intervalo característico
correspondente a unha probabilidade p a un intervalo
centrado na media (μ-k, μ+k) tal que a probabilidade de
que X pertenza a dito intervalo é p

p(μ-k < X < μ+k)=p



Intervalos característicos en distribucións N(0,1)
Exemplo:
Calcula o intervalo característico dunha variable
aleatoria Z que segue unha distribución normal N(0,1)
correspondente á probabilidade p=0.9.

Trátase de atopar un intervalo centrado na media μ=0 e
polo tanto da forma (-k, k) que conteña unha
probabilidade de 0.9.

Fóra do intervalo haberá unha probabilidade de
1-p=1-0.9=0.1. Como o intervalo é simétrico , a área ou
probabilidade de cada “cola” é de 0.1/2=0.05


5. Intervalo de confianza.
y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^-(x^2/2)
0.034
Relleno 2
Relleno 3
0.032 Relleno 4
x(t)=-1.65 , y(t)=t
x(t)=1.65 , y(t)=t
0.03

0.028

0.026 N(0,1)
0.024

0.022

0.02

0.018

0.016

0.014

0.012

0.01

0.008
p(-k<z<k)=p=1-α=0,9

0.006

0.004

p(z>k)=(1-p)/2=α/2=0.05
p(z<-k)=(1-p)/2=α/2=0.05 0.002

x
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-k -0.002 k
-0.004
p(z≤k)=p+(1-p)/2=1-α+α/2=0.95



Vemos , entón, que
p(Z≤k)=0.95

E recorremos á
táboa da distribución
N(0,1) para atopar o valor
de k correspondente á
probabilidade 0.95

K é un valor entre 1.64 e
1.65; polo que tomamos o
punto medio 1.645


O intervalo característico para unha variable aleatoria
Z que segue unha distribución normal N(0,1)
correspondente a unha probabilidade p= 0.9 sería:

(-1.645, 1.645)

Diremos que k=1.645 é o valor crítico correspondente a
p=0.9.
Habitualmente desígnase a probabilidade p mediante 1-
α. O valor crítico correspondente denomínase zα/2
téndose as desigualdades:

p(Z> zα/2 )=α/2 p(-zα/2 <Z< zα/2 )=1-α



Intervalos característicos en distribucións N(μ,σ)
Sexa X unha variable aleatoria que segue unha
distribución N(μ,σ).
Desexamos encontrar un intervalo centrado na media μ,
(μ-k, μ+k) tal que p(μ-k<X<μ+k)=p=1-α. É dicir, un
intervalo no que estea o (1-α).100% dos individuos da
poboación.

Se X é N(μ,σ) entón Z=(X-μ)/σ é N(0,1).
Calculariamos o intervalo característico para Z
correspondente a p=1-α que sería (-zα/2 , zα/2 ) .
Polo tanto:
p(-zα/2 <Z< zα/2 )=p (-zα/2 < (X-μ)/σ < zα/2 )=p=1-α



Multiplicando toda a desigualdade pola desviación típica σ e
sumando a toda a desigualdade a esperanza ou media μ temos:
p(μ- zα/2 ·σ < X < μ+ zα/2 ·σ )=p=1-α

O intervalo característico será :
(μ- zα/2 ·σ , μ+ zα/2 ·σ )
Exemplo:
Calcula o intervalo característico para unha distribución N(3,2)
correspondente a unha probabilidade p=1-α=0.9.

Calculariamos o valor crítico para a N(0,1) correspondente a unha
probabilidade 0.9 . zα/2 =1.645
O intervalo característico sería (3-1.645·2, 3+1.645·2) =
(-0.29 , 6.29)



O método pivotal para o cálculo de intervalos de confianza
Fixado un nivel de confianza p=1-α (0 < p < 1), o procedemento xeral
para a construción dun intervalo de confianza ao nivel
p=1-α para un parámetro de interese λ desenvólvese de acordo co
seguinte mecanismo:

1 Elección do estatístico pivotal:
Elíxese un estatístico que dependa só do parámetro que se desexa
estimar e cuxa distribución sexa coñecida T.

2 Formulación do enunciado probabilístico:
Preséntase un enunciado probabilístico tendo en conta a distribución
de probabilidade do estatístico elixido na etapa anterior e o valor
p=1-α fixado como nivel de confianza, é dicir, determínanse
constantes a e b tales que:
P (a < T < b) = p=1-α
ou dito doutro xeito, calcúlase un intervalo característico de T para
unha probabilidade p.


3 Transformación do enunciado probabilístico:

Se é posible despexar da expresión anterior, transfórmase o
enunciado probabilístico noutros equivalentes, mediante
operacións aritméticas, ata chegar a unha expresión na que o
parámetro de interese figure só no centro da desigualdade.
Dependendo das operacións aritméticas a realizar podemos obter:

P (T-1(a)< λ < T-1(b))= p=1-α
P (T-1(b)< λ < T-1(a))= p=1-α

Calculando o valor do estimador T nun caso concreto e sustituíndo
este dato no intervalo probabilístico construído anteriormente
obtense o intervalo de confianza para λ con un nivel de confianza
p=1-α.


6. Intervalo de confianza para a media dunha
poboación normal da que se coñece a varianza

Método pivotal aplicado ao cálculo dun
intervalo de confianza para a media dunha
poboación normal con varianza coñecida

Caso xeral.
X variable aleatoria que segue unha N(μ,σ),
μ descoñecida.
Para estimar μ tomamos unha mostra de tamaño
n, n≥30 e calculamos a media mostral
Como calcular un intervalo de confianza para
μ ó p·100%= (1-α)·100%?

1 Elección do estatístico pivotal :
Sabemos polo teorema central do límite que X = media mostral dunha
 σ 
mostra de tamaño n segue unha distribución N μ,  se a poboación
 n
partida X é normal ou se o tamaño das mostras é n ≥ 30 .
2 Formulació n do enunciado probabilístico :
Intentemos calcular un intervalo característico nesta distribución con probabilidade
p = 1 - α.
p(c1 < X < c2 ) = p = 1 − α
Tipificamos para pasar a unha normalN(0, 1).
 
 c1 − μ X − μ c2 − μ 
p < <  = p =1−α
 σ σ σ 
 n n n
Calculamos o intervalo característico da normal N(0,1) para unha probabilidade p = 1 - α.
Para isto calculamos o valor crítico zα para esta probabilidade p = 1 - α.
2


Temos entón
c1 − μ c2 − μ
= −zα e = zα
σ 2 σ 2
n n
σ σ
c1 = −zα ⋅ + μ e c2 = zα ⋅ +μ
2 n 2 n
e polo tanto

( )
p c1 < X < c2 = p = 1 − α ⇒

p − zα ⋅
σ
n
+ μ < X < zα ⋅
σ
n

+ μ = p = 1 − α
 2 2 
3 Transform ación do enunciado probabilístico :
E facendo as seguintes operacións na desigualdade : restar μ, restar X
e multiplicar por − 1 , chegamos a :
 σ σ 
p X − zα ⋅ < μ < X + zα ⋅  = p =1−α
 2 n 2 n
Substituímos X polo valor concreto obtido da mostra e temos que
o intervalo de confianza ao p ⋅ 100% = ( 1 - α ) ⋅ 100% para μ será :
 σ σ 
 x − zα ⋅ , x + zα ⋅ 
 2 n 2 n



Conclusión:
Deséxase estimar a media, μ, dunha poboación con
desviación típica, σ, coñecida.
Para isto recórrese a unha mostra de tamaño n na que
se obtén unha media mostral, x.
Se a poboación de partida é normal ou se o tamaño da
mostra é n≥30, entón o intervalo de confianza de μ cun
nivel de confianza de p·100%= (1-α)·100% é:
 σ σ 
 x − zα ⋅ , x + zα ⋅ 
 2 n 2 n
sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a
unha probabilidade p=1-α


Vexamos o feito nun exemplo concreto:
Os estudantes de bacharelato de Galicia dormen un
número de horas diarias que se distribúe segundo unha
lei normal de media μ descoñecida e de desviación
típica 3. A partir dunha mostra de tamaño 30 obtívose
unha media mostral igual a 7 horas.

Obtén un intervalo de confianza ao 90% para a media
de horas de sono, μ.


Partimos da seguinte situación:
Poboación: Alumnos de bacharelato de Galicia.
Variable aleatoria:
X=nº de horas diarias de sono dun alumno de bacharelato de
Galicia, que segue unha distribución normal de media μ
descoñecida e desviación típica 3; N(μ,3).

Desexamos estimar a media poboacional μ para o que tomamos
unha mostra de tamaño 30 e calculamos o estatístico media
mostral, que sabemos é un estimador non esguellado da media
poboacional, obtendo x =7.

Pero non desexamos facer unha estimación puntual senón dar un
intervalo de confianza ao 90% para a media poboacional μ.


Empregaremos o método pivotal

Polo Teorema Central do Límite:
Como X segue unha distribución normal N(μ,3), a
variable aleatoria X que a cada unha desas mostras asígnalle a súa
media mostral
mi-------› xi
segue unha distribución normal de media μ e desviación típica
3/√30=0,55. N(μ,0´55).

Primeiro trataremos de atopar un intervalo carácterístico (c1,c2)
desta distribución normal N(μ,0,55) tal que
p(c1< X<c2)=0.9.



Para poder atopar dito intervalo temos que tipificar
para poder traballar ca N(0,1) que é a única tabulada.
Se X segue unha distribución N(μ,0.55), a variable
aleatoria Z=(X-μ)/0.55 segue unha distribución N(0,1):

 c1 − μ X − μ c2 − μ 
p 
 0.55 < 0.55 < 0.55  = 0.9
 


y f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^-(x^2/2)

Lembremos como se calcula un intervalo característico da N(0,1)
0.034
Relleno 2
Relleno 3
0.032 Relleno 4

para unha probabilidade p=1-α=0.9.
x(t)=-1.65 , y(t)=t
x(t)=1.65 , y(t)=t
0.03

Trátase de atopar un intervalo de forma (-k,k) tal que p(-k<z<k)=p= 0.028

N(0,1)
=1-α=0.9
0.026

0.024

0.022

0.02

0.018

0.016

0.014

0.012

0.01

0.008
p(-k<z<k)=p=1-α=0,9

0.006

0.004

p(z>k)=(1-p)/2=α/2=0.05
p(z<-k)=(1-p)/2=α/2=0.05 0.002

x
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-k -0.002 k
-0.004
p(z≤k)=p+(1-p)/2=1-α+α/2=0.95


Empregamos as táboas da N(0,1) para
calcular o valor de k tamén nomeado
como zα/2 tal que p(Z≤k)=p(Z< zα/2 )=0.95.

Atopamos que é un valor intermedio
entre 1.64 e 1.65 polo que tomamos
1.645.

K= zα/2=1.645 chámase valor crítico
correspondente á probabilidade p=1-
α=0.9.

Polo tanto o intervalo característico
sería :
(-1.645,1.645)


Volvendo ao problema orixinal
 c1 − μ X − μ c2 − μ 
p 
 0.55 < 0.55 < 0.55  = 0.9
 
c1 − μ
= −1.645 c1 = −1.645 ⋅ 0.55 + μ
0.55
c2 − μ
= 1.645 c2 = 1.645 ⋅ 0.55 + μ
0.55
E como :

p(c1 < X < c2 ) = 0.9
p(μ − 1.645 ⋅ 0.55 < X < μ + 1.645 ⋅ 0.55) = 0.9
pero a min "interésame un intervalo para estimar μ".
Como o consigo?


Restando μ á desigualdade :
p(-1.645 ⋅ 0.55 < X - μ < 1.645 ⋅ 0.55) = 0.9
Restando X á desigualdade :
p(-1.645 ⋅ 0.55 - X < -μ < 1.645 ⋅ 0.55 - X) = 0.9
Multiplicando a desigualdade por - 1 :
p(1.645 ⋅ 0.55 + X > μ > −1.645 ⋅ 0.55 + X) = 0.9
p(X - 1.645 ⋅ 0.55 < μ < X + 1.645 ⋅ 0.55) = 0.9
Como temos unha mostra cun resultado da media mostral x = 7 substituímos
obtendo :
p(7 - 1.645 ⋅ 0.55 < μ < 7 + 1.645 ⋅ 0.55) = 0.9
p(6.09525 < μ < 7.90475) = 0.9
Poderiamos concluír que : O nº medio de horas de sono dos estudantes
de bacharelato de Galicia está no intervalo
(6.09525, 7.90475) cun nivel de confianza do 90%.



Outra maneira de enfocalo:
X variable aleatoria que segue unha N(μ,σ), μ descoñecida.
Para estimar μ tomamos unha mostra de tamaño n, n≥30 e
calculamos a media mostral
Como calcular un intervalo de confianza para μ ao p·100%=
(1-α)·100%?.
Pensemos en x como unha estimación puntual de μ.
Entón X segue unha distribución normal N(x, σ )
n
Calculamos , entón, un intervalo característico para esta distribución
correspondente a unha probabilidade p = 1 − α.
Dito intervalo sería :
 σ σ 
 x − zα ⋅ , x + zα ⋅ 
 2 n 2 n
Dito intervalo considérase o intervalo de confianza para μ ó p ⋅ 100% =
= (1 − α) ⋅ 100%.



Exemplo 2:
Co fin de investigar o cociente de intelixencia medio
dunha poboación estudiantil , pasouse unha proba a 200
estudantes. A media mostral foi de 64 puntos. Por
outra banda, sábese por estudos anteriores que o
cociente intelectual na poboación distribúese
normalmente cunha desviación típica poboacional de 9.3
puntos.
Acha un intervalo de confianza para
a media poboacional do cociente de
intelixencia ao nivel de confianza
do 92%.



SOLUCIÓN
X = cociente intelectual dun estudante
segue unha distribución normal N( μ,9.3)
Tomamos x como estimación puntual de μ
X segue unha distribución N(64, 9.3)
E como consecuencia
X = media dunha mostra de tamaño 200
9.3
segue unha distribución N(64, ) = N(64, 0.66)
200
Calculemos un intervalo característico para esta distribución con
probabilidade 0.92
p(c1 < X < c2 ) = 0.92


Tipificamos
 c − 64 X − 64 c2 − 64 
p 1 
 0.66 < 0.66 < 0.66  = 0.92
 
E traballamo s cunha N(0,1)
Buscamos o valor crítico zα para p = 1 − α = 0.92
2

Se dentro do intervalo característico
hai unha probabilidade 0.92, fóra hai
α = 0.08, e, en cada " cola" 0.04; polo tanto :
p(Z ≤ zα ) = 0.96
2

Buscamos na táboa obtendo zα = 1.75
2

Polo tanto :
c1 − 64 c − 64
= −1.75 e 2 = 1.75
0.66 0.66
c1 = 64 − 1.75 ⋅ 0.66 = 62.8
c2 = 64 + 1.75 ⋅ 0.66 = 65.2
O intervalo de confianza buscado é ( 62.8, 65.2)


Tamén o podes resolver simplemente empregando a fórmula, unha
vez sabes de onde se obtén.

Exemplo 3:
Un nadador obtén os seguintes tempos, en minutos, en 10 probas
cronometradas polo seu adestrador:
41.48 42.34 41.95 41.86 41.60 42.04 41.81 42.18 41.72 42.26

Obter un intervalo de confianza para a marca media desta proba
cun 95% de confianza, supoñendo que se coñece por outras probas
que ditas marcas deste nadador seguen unha
distribución normal con desviación típica de
0.3 minutos.


Solución:
Neste caso pídese un intervalo de confianza para a marca media
desta proba para dito nadador (μ) sabendo que as súas marcas
seguen unha normal con desviación típica σ=0.3 minutos.
A mostra coa que contamos é de tamaño n=10.
O intervalo de confianza será:

 σ σ 
 x − zα ⋅ , x + zα ⋅ 
 2 n 2 n

sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha
probabilidade p=1-α=0.95


Calculamos zα/2 , o valor crítico
para unha distribución N(0,1)
correspondente a unha
probabilidade p=1-α = 0.95

Fóra do intervalo
característico queda α=0.05 e
en cada cola α/2=0.025.

Polo tanto p(Z≤ zα/2)=0.975

E zα/2=1.96



Calculamos x
41.48 + 42.34 + 41.95 + 41.86 + 41.60 + 42.04 + 41.81 + 42.18 + 41.72 + 42.26
x= =
10
419.24
= = 41.924
10
e o intervalo de confianza ao 95% quedaría :
 σ σ 
 x − zα ⋅ , x + zα ⋅ =
 2 n 2 n
 0.3 0.3 
 41.924 − 1.96 ⋅ , 41.924 + 1.96 ⋅ =
 10 10 
= ( 41.738, 42.11)



Na seguinte páxina de internet tes unha
aplicación onde se calculan este tipo de
intervalos de confianza.
http://www.catedu.es/
matematicas_blecua/bacmat
/temario/bac2/mas2_estima1.htm


poboación normal da que non se coñece a varianza

Intervalo de confianza para a media dunha
poboación normal da que “non” se coñece a varianza.

Hai que ter en conta:
Na maioría das ocasións nas que se realiza unha
investigación estatística a varianza poboacional σ é un
parámetro tan descoñecido como a media poboacional µ

A cuasivarianza mostral 2 n ∑ i i (x − x ) 2
⋅f
s = ⋅ s2 = i
é un bo estimador de σ2 . n −1 n −1
Estimaremos a desviación típica poboacional mediante
ŝ=√ŝ2.



Distinguiremos dous casos:
Se a mostra é pequena n < 30
Se a mostra é grande n ≥ 30


Se a mostra é pequena n < 30:

Empregando o método do pivote


Fariamos unha estimación puntual da varianza poboacional mediante a
cuasivarianza mostral.
Pero a distribución correspondente a X non é unha N(μ,ŝ/√n) polo que ao
tipificala non obtemos unha N(0,1).

Gosset estudou esta variable aleatoria como estimador para calcular
intervalos de confianza para a media poboacional µ dunha poboación
normal con σ2 descoñecida :
X −μ
tn −1 =
sˆ
n
E segue unha distribución chamada t de student con n-1 graos de
liberdade.


A distribución t de Student
con n-1 graos de liberdade ten
unha función de densidade
cunha forma “parecida” a unha
N(0,1) sendo centrada no 0 e
tendo simetría par.
Esta distribución está
tabulada.
Calcular un intervalo
característico desta
distribución faise de xeito
similar a como se fai na N(0,1).



Calculariamos o intervalo característico dunha t de student con
n-1 graos de liberdade correspondente a unha probabilidade p=1-
α. Buscariamos na táboa o valor c tal que:
1−p α
p( tn −1 < c ) = p + =1−α+
2 2
Temos un intervalo característico ( −c, c) da t de student
con n - 1 graos de liberdade que cumpre :
 
 X −μ 
p( − c < tn −1 < c ) = p − c < < c = p = 1 − α
 sˆ 
 n 




Facendo operacións na desigualdade
(multiplicar por s , restar X, multiplicar por − 1)
ˆ
n

p X − c ⋅ s

ˆ < μ < X + c⋅ s  = p = 1− α
ˆ

 n n
O intervalo de confianza para μ ao p ⋅ 100% = ( 1 − α ) ⋅ 100% será :
 ˆ ,X + c⋅ s 
X − c⋅ s
ˆ 
 n n



 Se a mostra é grande n ≥ 30
Entón a t de student con n-1 graos de liberdade, tn-1 ,
aseméllase cada vez máis a unha N(0,1) . Polo que se
traballa directamente coa N(0,1) para obter o intervalo
característico con probabilidade p=1-α.
A partir de aquí o problema resólvese igual chegando ao
intervalo:

 s
ˆ s 
ˆ
 x − zα ⋅
 , x + zα ⋅ 
 2 n 2 n



Conclusión:
Deséxase estimar a media, μ, dunha poboación normal con desviación
típica, σ, descoñecida.
Para isto recórrese a unha mostra de tamaño n na que se obtén unha
media mostral, x.
Primeiro estímase puntualmente a desviación típica empregando ŝ=√ŝ2
sendo ŝ2 a cuasivarianza mostral.

• Se o tamaño da mostra é n<30, entón o intervalo de confianza de μ cun
nivel de confianza de p·100%= (1-α)·100% é:

 s
ˆ s 
ˆ
x − c⋅
 ,x + c⋅ 
 n n


sendo c o valor crítico nunha t de student con n-1 graos de liberdade
correspondente a unha probabilidade p=1-α



Se o tamaño da mostra é n≥30, entón o intervalo de
confianza de μ cun nivel de confianza de p·100% =
(1-α)·100% é:
 s
ˆ s 
ˆ
 x − zα ⋅
 , x + zα ⋅ 
 2 n 2 n

unha probabilidade p=1-α



Exemplo1:
Nunha multinacional de servicios modifícase a
aplicación informática de xestión. Os tempos (en horas)
que tardaron 15 traballadores elixidos ao azar en
adaptarse ao novo sistema foron os seguintes:
3.3, 2.9, 4.3, 2.6, 3.2, 4.1, 4.9, 2.8, 5.5, 5.3, 3.6, 3, 3.5,
2.9, 4.7
Determina un intervalo de confianza ao 95% para o
tempo medio de adaptación de todos os empregados da
empresa.



Solución:
Neste caso pídese un intervalo de confianza para o
tempo medio de adaptación de todos os empregados(μ)
sendo a desviación típica σ descoñecida, que
estimaremos puntualmente por ŝ.
A mostra coa que contamos é de tamaño n=15<30; polo
tanto, o intervalo de confianza será:

 s
ˆ s  
ˆ s
ˆ s 
ˆ
x − c⋅
 ,x + c⋅  = x − c⋅
  ,x + c⋅ 
 n n  15 15 


sendo c o valor crítico para unha distribución t de
student con n-1=14 graos de liberdade correspondente
a unha probabilidade p=1-α=0.95

xi (xi − x)2
Calculamos x : 3.3 0.2209
3.3 + 2.9 + ... + 4.7 2.9 0.7569
x= = 4.3 0.2809
15 2.6 1.3689
56.6 3.2 0.3249
= = 3.77 horas 4.1 0.1089
15 4.9 1.2769
Calculamos s :
ˆ 2.8 0.9409
5.5 2.9929
∑ (x − x )
2
⋅f 5.3 2.3409
n i i
3.6 0.0289
s2 =
ˆ ⋅ s2 = i 3 0.5929
n −1 n −1
3.5 0.0729
ˆ 12.9295 = 0.92
s2 = 2.9 0.7569
14 4.7 0.8649
12.9295
s = 0.92 = 0.96 horas
ˆ



Calculamos c, o valor crítico
para unha distribución t de
student con n-1=14 graos de
liberdade correspondente a
unha probabilidade p=1-α = 0.95

Buscamos os graos de liberdade
en vertical (14) e a
probabilidade p en horizontal
0.95.

C=1.761



 sˆ s  
ˆ s
ˆ s 
ˆ
x − c⋅
 ,x + c⋅  = x − c⋅
  ,x + c⋅ =
 n n  15 15 

 0.96 0.96 
=  3.77 − 1.761 ⋅ , 3.77 + 1.761 ⋅ =
 15 15 
= ( 3.33, 4.21)

O tempo medio de adaptación
está entre 3.33 horas e 4.21 horas
cun nivel de confianza dun 95%


Exemplo 2:
Para analizar o peso duns botes de conserva,
tómase unha mostra de tamaño 32. Os pesos en
quilogramos obtidos son:
0.97 0.99 1.01 0.98 0.99 1.00 0.98 0.98
1.00 1.02 0.97 0.97 0.99 0.99 0.99 0.96
0.98 1.00 0.99 1.01 1.00 1.00 0.98 0.99
0.99 0.98 0.97 0.97 1.01 0.96 1.03 0.92

Calcula o intervalo de confianza ao 95% para o
peso medio dos botes.


Solución:
Neste caso pídese un intervalo de confianza para o
peso medio en quilogramos duns botes de conserva(μ)
sendo a desviación típica σ descoñecida, que
estimaremos puntualmente por ŝ.
A mostra coa que contamos é de tamaño n=32>30; polo
tanto, o intervalo de confianza será:
 s
ˆ s 
ˆ
 x − zα ⋅
 , x + zα ⋅ 
 2 n 2 n
unha probabilidade p=1-α=0.95



Calculamos x : xi fi xi ·fi (xi − x)2 (xi − x)2 ·f i
∑x ⋅f
i i
31.57 0.92 1 0.92 0.004489 0.004489
x= i
= = 0.96 2 1.92 0.000729 0.001458
N 32
= 0.987 Kg 0.97 5 4.85 0.000289 0.001445
Calculamos s :
ˆ 0.98 6 5.88 0.000049 0.000294

∑ (x − x)
2 0.99 8 7.92 0.000009 0.000072
⋅f
n i i
1 5 5 0.000169 0.000845
s =
ˆ2
⋅s = i
2

n −1 n −1 1.01 3 3.03 0.000529 0.001587
0.013128
s2 =
ˆ = 0.00042 1.02 1 1.02 0.001089 0.001089
31
1.03 1 1.03 0.001849 0.001849
s = 0.00042 = 0.206 Kg
ˆ
32 31.57 0.013128




Fóra do intervalo
en cada cola α/2=0.025.


E zα/2=1.96



 s
ˆ s 
ˆ
 x − zα ⋅
 , x + zα ⋅ =
 2 n 2 n
 0.206 0.206 
 0.987 − 1.96 ⋅ ,0.987 + 1.96 ⋅ =
 32 32 
( 0.916,1.058)
O peso medio dos botes
de conserva está entre
0.916 Kg e 1.058 Kg cun
nivel de confianza do 95%


8. Intervalo de confianza para a proporción

Intervalo de confianza para a
proporción.
Desexamos atopar un intervalo de confianza
cun nivel de confianza do p’·100%=(1-α)·100%
para a proporción p poboacional de certa
característica C.



O método pivotal

Para iso recórrese a unha mostra de tamaño n, na que se obtén
unha proporción mostral pr.
Se x é o número de éxitos nas n probas, entón o estimador é:
Pr=X/n
X=nº de éxitos, en principio, corresponde a unha distribución
binomial B(n,p)
p=probabilidade de éxito , μ=np e σ=√npq.

Pero se np>5 e nq>5 dita binomial aproxímase por unha normal
N(np,√npq) .

E neste caso Pr=x/n segue unha distribución normal
N(np/n, √npq/n)=N(p,√(pq/n))=N(p,√(p(1-p)/n)


Trataremos de atopar un intervalo característico do estimador que conteña unha
probabilidade p’=1-α e p(c1<Pr<c2)=p’=1-α, Tipificamos a normal, para traballar cunha
N(0,1)  
 
c −p Pr − p c −p
p 1 < < 2  = p'= 1 − α
 p(1 - p) p(1 - p ) p( 1 - p ) 
 
 n n n 
Buscamos na táboa da N(0,1) o valor crítico para p'= 1 − α
α
p(Z ≤ zα/2 ) = 1 − α +
2
Entón :
c1 − p c2 − p
= −zα/2 e = zα/2
p(1 - p ) p( 1 - p)
n n
p(1 - p ) p(1 - p )
c1 = p − zα/2 ⋅ e c2 = p + zα/2 ⋅
n n
Polo tanto :
 p(1 - p ) p(1 - p ) 
p(c1 < Pr < c2 ) = p p − zα/2 ⋅
 < Pr < p + zα/2 ⋅  = p'= 1 − α

 n n 


Facendo as operacións seguintes na desigualdade conseguimos que p quede no
medio:
Restar p :
 p(1 - p) p( 1 - p) 
p − zα/2 ⋅
 < Pr - p < zα/2 ⋅  = p'= 1 − α

 n n 
Restar Pr :
 p(1 - p) p(1 - p) 
p − zα/2 ⋅
 − Pr < -p < zα/2 ⋅ − Pr  = p'= 1 − α

 n n 
Multiplicar por − 1 :
 p( 1 - p) p( 1 - p) 
p zα/2 ⋅
 + Pr > p > −zα/2 ⋅ + Pr  = p'= 1 − α

 n n 
 p(1 - p) p( 1 - p) 
p Pr - zα/2 ⋅
 < p < Pr + zα/2 ⋅  = p'= 1 − α
 n n  
Sustituindo Pr polo valor concreto obtido da mostra, o mesmo que p, que non é coñecido
obtemos como intervalo de confianza ao nivel de confianza dun p'⋅100% = ( 1 − α ) ⋅ 100% :
 pr(1 - pr) pr( 1 - pr ) 
 pr - zα/2 ⋅ , pr + zα/2 ⋅ 
 n n 
 


Conclusión:
Deséxase estimar a proporción p , de individuos cunha
certa característica que hai nunha poboación. Para iso
recórrese a unha mostra de tamaño n, na que se obtén
unha proporción mostral pr.
O intervalo de confianza de p cun nivel de confianza
p’·100%=(1-α)·100% é:

 pr( 1 - pr ) pr(1 - pr ) 
 pr - zα/2 ⋅ , pr + zα/2 ⋅ 
 n n 
 

unha probabilidade p’=1-α



Exemplo:

Para estudar a proporción
de estudantes que
practicaban football,
tómase unha mostra de
tamaño 300. O resultado
obtido é que o practican
210. Calcula o intervalo de
confianza para a
proporción p cun nivel de
confianza do 98%.



Queremos estimar a proporción de estudantes que practican
football, polo que tomamos unha mostra de tamaño n=300,
obtendo unha proporción mostral pr=210/300=0.7 (70%).
Sabemos que o intervalo de confianza para unha proporción p cun
nivel de confianza do 98% é:
 pr( 1 - pr ) pr( 1 - pr ) 
 pr - zα/2 ⋅ , pr + zα/2 ⋅ 
 n n 
 
probabilidade 0.98



probabilidade p’=1-α = 0.98

Fóra do intervalo
en cada cola α/2=0.01


zα/2 está entre 2.32 e 2.33,
tomaremos 2.325



O intervalo de confianza
para a proporción de estudantes
que xogan ao fútbol cun nivel de
confianza dun 98% será:
 pr( 1 - pr) pr(1 - pr ) 
 pr - zα/2 ⋅ , pr + zα/2 ⋅ =
 n n 
 
 0.7 ⋅ ( 1 − 0.7 ) 0.7 ⋅ ( 1 − 0.7 ) 
 0.7 − 2.325 ⋅ , 0.7 + 2.325 ⋅ =
 300 300 
 
( 0.64, 0.76)

O intervalo está entre
un 64% e un 76%


9. Intervalo de confianza para a diferenza de
medias

Intervalo de confianza para a diferenza de medias.
Desexamos atopar un intervalo de confianza cun nivel de confianza do
p·100% = (1-α)·100% para a diferenza de medias
μ1-μ2 de dúas poboacións sendo as desviacións típicas de ditas poboacións
coñecidas σ1 e σ2.

O método pivotal

Para iso recórrese a dúas mostras de tamaños n1 e n2, nas que se
x
obteñen dúas medias mostrais x1 e 2 .Empregaremos como
estimador :
X1 − X2
A distribución desta variable viuse que correspondía a unha normal
N(μ1-μ2, √(σ12/ n1 + σ22/ n2 )) se as poboacións iniciais eran
normais ou se o tamaño das mostras é maior de 30

medias
Trataremos de atopar un intervalo característico do estimador que conteña unha
probabilidade p=1-α
( )
p c1 < X1 − X2 < c2 = p = 1 − α
Tipificamos para traballar coa N(0,1)
 
 
 c1 − ( μ1 − μ2 ) (X1 − X2 ) − ( μ1 − μ2 ) c2 − ( μ1 − μ2 ) 
p < <  = p'= 1 − α
 σ1 + σ 2 σ12 σ2 σ12 σ2 
2 2 2 2

 n + +
 1 n2 n1 n2 n1 n2  
α
Buscamos na táboa da N(0,1) o valor crítico para p = 1 − α; p(Z ≤ zα/2 ) = 1 − α +
2
Entón :
c1 − ( μ1 − μ2 ) c2 − ( μ1 − μ2 )
= −zα/2 e = zα/2
σ
2
σ 2
σ12 σ2
2
1
+ 2
+
n1 n2 n1 n2
σ12 σ2
2
σ12 σ2
2
c1 = ( μ1 − μ2 ) − zα/2 ⋅ + e c2 = ( μ1 − μ2 ) + zα/2 ⋅ +
n1 n2 n1 n2
Polo tanto :
 σ2 σ2 σ2 σ2 
p(c1 < X1 − X2 < c2 ) = p ( μ1 − μ2 ) − zα/2 ⋅ 1 + 2 < X1 − X2 < ( μ1 − μ2 ) + zα/2 ⋅ 1 + 2  = p = 1 − α
 n1 n2 n1 n2 
 

medias
3 Transformación do enunciado probabilístico
Facendo operacións na desigualdade conseguimos que μ1 − μ2quede no medio
Restar μ1 − μ2 :
 σ2 σ2 σ2 σ2 
p − zα/2 ⋅ 1 + 2 < (X1 − X2 ) − (μ1 − μ2 ) < zα/2 ⋅ 1 + 2  = p = 1 − α
 n1 n2 n1 n2 
 
Restar X1 − X2 :
 
 − z ⋅ σ1 + σ2 − (X − X ) < −(μ − μ ) < z ⋅ σ1 + σ2 − (X − X )  = p = 1 − α
2 2 2 2
p
 α/2 n1 n2 1 2 1 2 α/2
n1 n2
1 2

 
Multiplicar por − 1 :
 σ2 σ2 σ2 σ2 
p zα/2 ⋅ 1 + 2 + (X1 − X2 ) > (μ1 − μ2 > −zα/2 ⋅ 1 + 2 + (X1 − X2 )  = p = 1 − α
 n1 n2 n1 n2 
 
 σ2 σ2 σ2 σ2 
p (X1 − X2 ) − zα/2 ⋅ 1 + 2 < μ1 − μ2 < (X1 − X2 ) + zα/2 ⋅ 1 + 2  = p = 1 − α
 n1 n2 n1 n2 
 
Substituíndo X1 − X2 polo valor concreto obtido da mostra,
obtemos como intervalo de confianza ao nivel de confianza dun p ⋅ 100% = ( 1 − α ) ⋅ 100% :
 2 
 ( x − x ) − z ⋅ σ1 + σ 2 , ( x − x ) + z ⋅ σ 1 + σ 2 
2 2 2

 1 2 α/2
n1 n2
1 2 α/2
n1 n2 
 

medias
Conclusión:
Deséxase estimar a diferenza de medias μ1-μ2 de dúas poboacións con desviacións
típicas, σ1 e σ2, , coñecidas .
Para isto recórrese a dúas mostras de tamaños n1 e n2 nas que se obteñen dúas
medias mostrais.

Entón, o intervalo de confianza de μ1-μ2 cun nivel de confianza de p·100%= (1-
α)·100% é:
 σ12 σ2
2
σ12 σ2 
2
 (x − x ) − z ⋅ + , (x1 − x2 ) + zα/2 ⋅ + 
 1 2 α/2
n1 n2 n1 n2 
 

sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α

Se as desviacións típicas, σ1 e σ2, , non fosen coñecidas, pero o tamaño das dúas
mostras fose maior de 30 tomariamos no lugar das varianzas poboacionais, as
cuasivarianzas mostrais, ŝ1 e ŝ2 .


medias

Exemplo:
O tempo en minutos que tardan en reparar certo tipo
de avaría nun taller A segue unha distribución normal
con desviación típica de 25 minutos; mentres nun taller
B a desviación típica é de 30 minutos. Nunha mostra de
10 reparacións dese tipo de avaría no taller A o tempo
medio foi de 80 minutos, mentres que nunha mostra de
15 reparacións en B a media foi de 75 minutos.

Calcula o intervalo de confianza para a diferenza de
tempos medios, cun nivel de significación α do 1%.


medias
Solución:
Neste caso pídese un intervalo de confianza para a diferenza de
tempos medios de reparación dun tipo de avaría entre dous
talleres A e B (μ1-μ2 ) sabendo que o tempo de reparación deste
tipo de avaría segue nos dous talleres unha distribución normal
con desviacións típicas σ1=25 minutos e σ2=30 minutos
respectivamente.
As mostra coas que contamos son de tamaños n1=10 e n2=15;
obténdose nelas tempos medios mostrais de 80 minutos e 75
minutos respectivamente.
Polo tanto, o intervalo de confianza será:
 σ12 σ2
2
σ12 σ2 
2
 (x − x ) − z ⋅ + , (x1 − x2 ) + zα/2 ⋅ + 
 1 2 α/2
n1 n2 n1 n2 
 
probabilidade p=1-α=1-0.1=0.99


9. Intervalo de confianza para a diferenza
de medias

Fóra do intervalo
característico queda α=0.01 e en
cada cola α/2=0.005


zα/2 está entre 2.57 e 2.58,
tomaremos 2.575


medias

O intervalo de confianza para a diferenza de medias quedaría :
 σ12 σ2
2
σ12 σ2 
2
 (x − x ) − z ⋅ + , (x1 − x2 ) + zα/2 ⋅ + =
 1 2 α/2
n1 n2 n1 n2 
 
 252 302 252 302 
 (80 − 75) − 2.575 ⋅ + , (80 − 75) + 2.575 ⋅ + =
 10 15 10 15 
 
( − 23.5, 33.5)


10. Intervalo de confianza para a varianza

Intervalo de confianza para a varianza dunha distribución
normal .
Desexamos atopar un intervalo de confianza cun nivel de confianza do p·100%=(1-
α)·100% para a varianza σ2 dunha poboación normal.

O método pivotal

Para iso recórrese a unha mostra de tamaño n, na que se obtén a
cuasivarianza mostral ŝ .
Empregaremos como estimador
ˆ
n − 1 ⋅ S2 ( )
σ2
Polo Teorema de Fisher sabemos que dita variable aleatoria segue unha
distribución chi-cadrado con n-1 graos de liberdade
No seguinte enlace podes observar a forma que ten a función de
densidade de dita distribución.



Trataremos de atopar un intervalo do estimador que
conteña unha probabilidade p=1-α e que deixe a cada
lado (dúas colas) unha probabilidade (1-p)/2=α/2

p c1 <
(n − 1) ⋅ S2 < c  = p = 1 - α
ˆ

 σ2
2
 
Buscamos na táboa da chi - cadrado con n - 1 graos de liberdade os valores
c e c que deixan á súa esquerda probabilidades
1 2
1−p α 1−p α
de = e p+ =1−
2 2 2 2
respectivamente.



3 Transformación do enunciado probabilístico
Facendo as operacións seguintes na desigualdade conseguimos que σ2 quede no
medio:

 c1 < ( n − 1) ⋅ S < c2  = p = 1 - α
 ˆ2 
p
 σ2 
 
 c1 ˆ
S2 c 
Dividir por n - 1 : p  < 2 < 2  = p =1−α
 n -1 σ n -1 
 
ˆ  c1 1 c2 
Dividir por S2 :p < 2<
 (n - 1) ⋅ S2 σ
 = p =1−α
ˆ ˆ2 
(n - 1) ⋅ S 

Ao inverter as fraccións as desigualdades dan a volta :
ˆ
 (n - 1) ⋅ S2 ˆ
(n - 1) ⋅ S2  ˆ
 (n - 1) ⋅ S2 ˆ
(n - 1) ⋅ S2 
p >σ >
2  = p =1−α ; p <σ <
2  = p =1−α
 c1 c2   c2 c1 
   
ˆ
Substituíndo S2 polo valor concreto obtido da mostra,
obtemos como intervalo de confianza ao nivel de confianza dun p ⋅ 100% = ( 1 − α ) ⋅ 100% :
ˆ ˆ
 (n - 1) ⋅ S2 (n - 1) ⋅ S2 
 , 
 c2 c1 
 



Conclusión:
Deséxase estimar a varianza σ2 dunha poboación normal.
Para isto recórrese a unha mostra de tamaño n na que se obtén a
cuasivarianza mostral ŝ2.

Entón, o intervalo de confianza de σ2 cun nivel de confianza de p·100%=
(1-α)·100% é:
ˆ ˆ
 (n - 1) ⋅ S2 (n - 1) ⋅ S2 
 , 
 c2 c1 
 
sendo c1 e c2 os valores que deixan á esquerda probabilidades
1−p α 1−p α
= e p+ = 1 − α + respectivamente nunha distribución chi-
2 2 2 2
cadrado con n-1 graos de liberdade.



Exemplo:
Un fabricante de baterías de coche asegura
que duran catro anos cunha desviación típica de
1 ano. Tense unha mostra de cinco baterías que
duraron 3, 5, 5.8, 6.4, e 8 anos
respectivamente. Determínese un intervalo de
confianza ao 99% para a varianza poboacional
σ2 e indíquese se é valida a afirmación do
fabricante.



Solución:
A variable “duración dunha batería de coche de dita marca” segue unha distribución
normal N(4,1) segundo o fabricante.
Tomamos unha mostra de 5 baterías obtendo unha media mostral e unha
cuasivarianza mostral de
∑x ⋅fi i
3 + 5 + 5.8 + 6.4 + 8 28.2
x= i
= = = 5.64 anos
N 5 5

n
(
∑ xi − x ⋅ fi ) 2

s2 =
ˆ ⋅ s2 = i
n −1 n −1

s =
ˆ 2 ( 3 - 5.64 ) 2 + ( 5 − 5.64 ) 2 + ( 5.8 − 5.64 ) 2 + ( 6.4 − 5.64 ) 2 + ( 8 − 5.64 ) 2 =
4

=
( − 2.64 ) 2 + ( − 0.64 ) 2 + 0.162 + 0.762 + 2.362 = 13.552 = 3.39
4 4
s = 3.39 = 1.84 anos
ˆ


O intervalo de confianza para a varianza poboacional a
un nivel do 99% (p=1-α=0.99) sería:

ˆ ˆ
 (n - 1) ⋅ S2 (n - 1) ⋅ S2 
 , 
 c2 c1 
 

Sendo c1 e c2 dous valores que para unha distribución
chi-cadrada con n-1 =4 graos de liberdade deixan á súa
esquerda unha probabilidade de 0.005 e 0.995
respectivamente.



Calculamos na táboa da chi-
cadrada de Pearson ditos
valores.

Obtendo c1=0.207 e c2=14.9
O intervalo de confianza para a
varianza poboacional ao 99%
obtido sería:
ˆ ˆ
 (n - 1) ⋅ S2 (n - 1) ⋅ S2 
 , =
 c2 c1 
 
 4 ⋅ 3.39 4 ⋅ 3.39 
 , =
 14.9 0.207 
( 0.91, 65.5)



Polo tanto, o intervalo de confianza para a desviación
típica poboacional obteríase calculando as raíces
cadradas dos extremos deste; obtendo que a
desviación típica da duración das baterías estaría entre
0.95 e 8.09 anos cun nivel de confianza do 99%:

(0.95, 8.09)
Tendo en conta que 1 está no intervalo, a afirmación de
que a desviación típica da duración das baterias é 1 ano
pode darse por válida.


Caso estimador Distribución na mostraxe Intervalo de confianza

Intervalo de N(μ,σ/√n)
confianza para a
media μ dunha
poboación normal con  σ σ 
X  x − zα ⋅ , x + zα ⋅ 
varianza σ2 coñecida  2 n 2 n
Intervalo de Si n<30
confianza t de student con n-1 graos  sˆ s 
ˆ
 x − c ⋅− μ , x + c ⋅
 X 
para a media dunha X −μ de liberdade tn −1 =
 sˆ n n
tn −1 = n
poboación normal da sˆ Si n≥30
que “non” se coñece a n Se aproxima a unha N(0,1)  s
ˆ s 
ˆ
 x − zα ⋅
 , x + zα ⋅ 
varianza.
 2 n 2 n

X
Intervalo de Pr=X/n N(p,√(p(1-p)/n))
confianza para a  pr(1 - pr) pr(1 - pr) 
 pr - z , pr + z 
proporción 
 α/2
⋅
n α/2
⋅
n 

 

Intervalo de N(μ1-μ2, √(σ12/ n1 + σ22/ n2 ))  2 
 (x1 − x2 ) − z ⋅ σ1 + σ 2 , (x1 − x2 ) + z ⋅ σ1 + σ 2 
2 2 2

confianza para a  n1 n2 
α/2 α/2
 n1 n2 
diferenza de medias X1 − X2

 (n -1) ⋅S2 (n -1) ⋅ S2 
 ˆ ˆ 
Intervalo de Chi-cuadrada con n-1 graos ,
(n − 1) ⋅ S2
 c c 
confianza para a ˆ de liberdade 
 2 1 

varianza σ2


11. Erro máximo admisible

Erro máximo admisible:
O erro máximo admisible nunha estimación,
empregando un intervalo de confianza con un
nivel de confianza p=1-α, é o radio de dito
intervalo de confianza.
O erro depende do tamaño da mostra n e do
nivel de confianza p=1-α.
•Canto maior é a mostra, menor é o erro
cometido.
•Canto maior é o nivel de confianza, maior é zα/2
ou similar e, polo tanto, tamén o erro.


11. Erro máximo admisible

Caso Erro máximo admisible
Intervalo de confianza para a media μ
σ
dunha poboación normal con varianza σ2
zα ⋅
n
coñecida
2

Intervalo de confianza Si n<30
s
ˆ
para a media dunha c⋅
n
poboación normal da Si n≥30 s
ˆ
que “non” se coñece a varianza. zα ⋅
2 n
Intervalo de confianza para a proporción pr(1 - pr )
zα/2 ⋅
n
Intervalo de confianza para a diferenza σ12 σ2
2
de medias zα/2 ⋅ +
n1 n2

12. Tamaño da mostra para a estimación da
media e da proporción

Tamaño da mostra :

Nalgúns casos, podemos fixar o erro máximo
admisible e o nivel de confianza p=1-α para o noso
intervalo de confianza, e calcular a partir deles o
tamaño mínimo de mostra que necesitamos para que se
cumpran ditas condicións despexando n na fórmula do
erro máximo admisible.



Caso Erro máximo Tamaño da mostra
admisible

Intervalo de confianza para
a media μ dunha poboación 2
normal con varianza σ2 σ zα ⋅ σ  zα ⋅ σ 
E = zα ⋅
coñecida
2 n n= 2
⇒n =  2 
E  E 
 

Intervalo de confianza para pr ⋅ (1 − pr )
a proporción n = zα ⋅ ⇒
pr(1 - pr ) 2 E
E = zα/2 ⋅ zα ⋅ pr ⋅ (1 − pr )
2
n
n= 2
E2


Exemplo 1:
Tomouse unha mostra aleatoria de 100 individuos
aos que se lles preguntou pola cantidade de cartos
que tiñan na súa carteira, obténdose unha media
mostral de 110€. Sábese que a desviación típica da
poboación é de 20 €.
a) Obtén o intervalo de confianza ao 90 % para a
cantidade media de cartos que leva na carteira a
poboación.
b) Cal é o erro máximo cometido na estimación
anterior?
c) Se desexamos que o erro cometido, co mesmo nivel
de confianza, sexa a décima parte do erro calculado
no apartado anterior, cal debe de ser o tamaño da
mostra?.


Solución apartado a):
Neste caso pídese un intervalo de confianza para a
cantidade media de cartos que leva na carteira un
individuo dunha poboación (μ) sabendo que dita
cantidade ten unha desviación típica σ=20€.
A mostra coa que contamos é de tamaño n=100.

 σ σ 
 x − zα ⋅ , x + zα ⋅ 
 2 n 2 n

unha probabilidade p=1-α=0.9


Calculamos zα/2 , o valor
crítico para unha
distribución N(0,1)

Fóra do intervalo
característico queda α=0.1
e en cada cola α/2=0.05.

Polo tanto, p(Z≤ zα/2)=0.95

E zα/2=1.645


Como x = 110€
o intervalo de confianza ao 90% quedaría :
 σ σ   20 20 
 x − zα ⋅ , x + zα ⋅  =  110 − 1.645 ⋅ , 110 + 1.645 ⋅ =
 2 n 2 n  100 100 
= ( 110 - 3.29, 110 + 3.29) = ( 106.71,113.29 )
Solución ao apartado 2)
σ
E = zα ⋅ = 3.29
2 n
Solución ao apartado 3)
3.29
Desexamos que o erro máximo sexa de = 0.329
10
2
 zα ⋅ σ   1.645 ⋅ 20 2
n= 2  = = 10000
 E   0.329  
 
A mostra debe ser como mínimo de 10000 persoas.



Exemplo 2:
Deséxase facer unha enquisa nos fogares da
Galicia interior co fin de determinar o consumo
de sal iodado nunha campaña para a
erradicación do bocio. Existe o convencemento,
baseado nos resultados de certas
investigacións de mercado, de que a porcentaxe
de fogares que consomen tal tipo de sal non
chega ao 30%. Cun nivel de confianza do 99% e
un erro na estimación de 0.05, cal debe ser o
tamaño da mostra?



Solución :
O tamaño mínimo da mostra para un erro máximo de 0.05, e un nivel
de confianza do 99% , tendo en conta a estimación previa do 30%
para a proporción da poboación que consome sal iodado é :
zα ⋅ pr ⋅ (1 − pr )
2
2.582 ⋅ 0.3 ⋅ ( 1 − 0.3)
n= 2 = = 559.1376
E 2
0.05 2

sendo zα o valor crítico correspondente a p = 1 − α = 0.99
2

Polo tanto, teriamos que tomar unha mostra de polo menos 560 fogares.


10.estimacióndeparámetros

More Related Content

Viewers also liked

More from German Mendez

10.estimacióndeparámetros