Dokumen ini membahas tentang operasi biner dan relasi biner antara himpunan dalam matematika informatika, termasuk definisi dan contoh seperti relasi refleksif, simetris, antisimetris, dan transitif. Contoh-contoh diberikan untuk menjelaskan bagaimana relasi-relasi ini bekerja dalam konteks himpunan. Selain itu, terdapat penjelasan mengenai jumlah relasi refleksif yang mungkin pada suatu himpunan dengan n anggota.

1. Mata Kuliah Matematika Informatika 3
Topik Operasi Biner
Operasi-operasi biner
Definisi Misalkan A dan B adalah himpunan. Suatu relasi biner dari A ke B
adalah subhimpunan dari A × B
Artinya suatu relasi biner dari A ke B adalah suatu himpunan R yang berisi
pasangan terurut dimana anggota pertamanya berasal dari himpunan A dan
anggota keduanya berasal dari himpunan B.
Contoh A adalah himpunan kota di Indonesia. B adalah himpunan pulau di
Indonesia. Didefinisikan relasi R dimana (a,b) adalah anggota R jika
kota a berada di pulau b.
Beberapa contoh anggota R adalah : (Lampung, Sumatera),
(Samarinda, Kalimantan), (Cirebon, Jawa), (Mataram, Lombok)
A = {0, 1, 2}, B = {a, b}
{(0,a), (0,b), (1,a), (2, b)} adalah salah satu relasi dari A ke B.
Relasi ini dapat direpresentasikan dengan gambar, atau tabel.
Definisi Suatu relasi pada suatu himpunan A adalah suatu relasi dari A ke A.
Fungsi sebagai Relasi
Jika R adalah suatu relasi dari A ke B sedemikian sehingga setiap anggota di A
adalah anggota pertama dari pasangan terurut pada R, maka R adalah suatu
fungsi. Dengan memasangkan suatu a anggota dari A ke tepat suatu b
anggota dari B sedemikian sehingga (a,b) R.
Sifat-sifat operasi biner
Definisi Suatu relasi R pada suatu himpunan A disebut refleksif jika (a,a)
R untuk a A
Contoh Perhatikan relasi-relasi berikut pada himpunan {1, 2, 3, 4}
R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)}
R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)}
R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}
R4 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}
Dari kelima relasi tersebut, hanya R3 dan R4 yang merupakan relasi
refleksif.
Onggo Wr Hal 1 dari 3

2. Definisi Suatu relasi R pada suatu himpunan A disebut simetris jika (b,a)
R jika (a,b) R untuk a, b A.
Suatu relasi R pada suatu himpunan A disebut antisimetris jika
(a,b) R dan (b,a) R hanya jika a = b untuk a, b A.
Contoh Perhatikan relasi-relasi berikut untuk suatu himpunan bilangan
bulat
R1 = {(a,b) |a ≤ b}
R2 = {(a,b) | a = b}
R3 = {(a,b) | a = b + 1}
Dari ketiga relasi tersebut, hanya R2 yang merupakan relasi simetris.
Sedangkan relasi R1, R2 dan R3merupakan relasi antisimetris.
Definisi Suatu relasi R pada suatu himpunan A disebut transitif jika (a,b)
R dan (b,c) R maka (a,c) R untuk a, b, c A.
Contoh Berapa banyak relasi refleksif pada suatu himpunan dengan n
anggota?
Jawab Suatu relasi R pada suatu himpunan A adalah subset dari A × A.
Akibatnya, suatu relasi ditentukan dengan melihat apakah masing-
masing dari n2 pasangan terurut di dalam A × A, juga terdapat di
dalam R.
Namun, jika R refleksif, tiap n pasangan terurut (a,a) untuk a A
pasti di dalam R. Sedangkan tiap n(n-1) pasangan terurut lainnya
berbentuk (a,b) dengan a≠b mungkin ada atau mungkin tidak di
dalam R. Sehingga dari aturan perkalian, akan terdapat 2n(n-1) relasi
refleksif (yaitu sebanyak cara untuk memilih setiap anggota
berbentuk (a,b) dengan a≠b yang berada di R).
Onggo Wr Hal 2 dari 3

3. Onggo Wr Hal 3 dari 3