Документ обсуждает Диофантовы альтернативы и сложности, связанные с распознаванием решений неравенств и уравнений для классов функций с использованием натуральных чисел и числа π. Подчеркивается, что не существует алгоритма для распознавания, имеет ли указанное уравнение решение в вещественных числах для данных классов функций. Также рассматриваются особенности работы с функциями и их пределами для одной и нескольких переменных.

1. Диофантова альтернатива
D(x1 , . . . , xm ) = 0
либо
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
либо
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}

2. Вещественные неизвестные
D(χ1 , . . . , χm ) = 0

3. Вещественные неизвестные
D(χ1 , . . . , χm ) = 0
sin(πχ1 ) = 0
.
.
.
sin(πχm ) = 0
π = 3.14159...
D 2 (χ1 , . . . , χm )+ sin2 (πχ1 ) + · · · + sin2 (πχm ) = 0

4. Следствие DPRM-теоремы
Пусть F0 обозначает класс функций многих вещественных
переменных, которые могут быть заданы выражениями,
построены из переменных, конкретных натуральных чисел и
числа π при помощи композиции операций сложения,
вычитания и умножения и функции sin в произвольном
порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной
фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F0 распознавал, имеет ли
уравнение
Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0
решение в вещественных числах.

5. Только натуральные коэффициенты
sin(ψ) = 0 2≤ψ≤4
D 2 (χ1 , . . . , χm )+
sin2 (ψχ1 ) + · · · + sin2 (ψχm ) +
sin2 (ψ) + (1 − (ψ − 3)2 − ζ 2 )2 = 0

6. Следствие DPRM-теоремы
Пусть F1 обозначает класс функций многих вещественных
переменных, которые могут быть заданы выражениями,
построены из переменных, конкретных натуральных чисел при
помощи композиции операций сложения, вычитания и
умножения и функции sin в произвольном порядке. Не
существует алгоритма, который по произвольной
фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F1 распознавал, имеет ли
уравнение
Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0
решение в вещественных числах.

7. Альтернативы
D(x1 , . . . , xm )
либо
∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
либо
∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
Φ(χ1 , . . . , χm )
либо
∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
либо
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}

8. Альтернативы
либо
∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0}
либо
∀x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) > 1}
либо
∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
либо
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1}
Φ(χ1 , . . . , χm ) = (B 2 (χ1 , . . . , χm ) + 1)(D 2 (χ1 , . . . , χm )+
sin2 (πχ1 ) + · · · + sin2 (πχm ))

9. Следствие DPRM-теоремы
Пусть F0 по-прежнему обозначает класс функций многих
вещественных переменных, которые могут быть заданы
выражениями, построены из переменных, конкретных
натуральных чисел и числа π при помощи композиции
операций сложения, вычитания и умножения и функции sin в
произвольном порядке. Не существует алгоритма, который по
произвольной фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F0 распознавал,
имеет ли неравенство
Φ(χ1 , . . . , χm ) < 1
решение в вещественных числах.

10. Случай одной переменной
A(χ) = χ sin(χ)
B(χ) = χ sin(χ3 )
Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого
положительного числа найдется вещественное число χ такое,
что
|A(χ) − α| <
B(χ) − β = 0
Не ограничивая общности считаем, что <1

11. Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2 2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α

12. Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2 2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <

13. Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2 2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <
|A(χ) − α|

14. Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2 2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <
|A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )|

15. Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2 2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <
|A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )|
= |A (χ∗ )(χ − χ0 )|

16. Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2 2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <
|A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )|
= |A (χ∗ )(χ − χ0 )| где |χ∗ − χ0 | < δ

17. Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2 2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <
|A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )|
= |A (χ∗ )(χ − χ0 )| где |χ∗ − χ0 | < δ
= |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )|

18. Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2 2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <
|A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )|
= |A (χ∗ )(χ − χ0 )| где |χ∗ − χ0 | < δ
= |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )|
< (1 + |χ0 | + δ)δ

19. Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2 2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <
|A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )|
= |A (χ∗ )(χ − χ0 )| где |χ∗ − χ0 | < δ
= |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )|
< (1 + |χ0 | + δ)δ
< (2K π + 3)δ

20. Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2 2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <
|A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )|
= |A (χ∗ )(χ − χ0 )| где |χ∗ − χ0 | < δ
= |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )|
< (1 + |χ0 | + δ)δ
< (2K π + 3)δ
<

21. Случай одной переменной
Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ]
2 2
число χ0 такое, что
A(χ0 ) = α
Найдем положительное δ такое, что
|χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <
|A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )|
= |A (χ∗ )(χ − χ0 )| где |χ∗ − χ0 | < δ
= |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )|
< (1 + |χ0 | + δ)δ
< (2K π + 3)δ
< при δ =
2K π + 3

22. Случай одной переменной
(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3

23. Случай одной переменной
(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3
0

24. Случай одной переменной
(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3
0
6(2K π − π )2
2
>
2K π + 3

25. Случай одной переменной
(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3
0
6(2K π − π )2
2
>
2K π + 3
> 2π

26. Случай одной переменной
(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3
0
6(2K π − π )2
2
>
2K π + 3
> 2π при достаточно большом K

27. Случай одной переменной
(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3
0
6(2K π − π )2
2
>
2K π + 3
> 2π при достаточно большом K
B(χ) = β

28. Случай одной переменной
(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3
0
6(2K π − π )2
2
>
2K π + 3
> 2π при достаточно большом K
B(χ) = β
|A(χ) − α| <

29. Случай одной переменной
Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого
положительного числа найдется вещественное число χ такое,
что |A(χ) − α| < , B(χ) = β.

30. Случай одной переменной
Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого
положительного числа найдется вещественное число χ такое,
что |A(χ) − α| < , B(χ) = β.
|A(C (α, β)) − α| < B(C (α, β)) = β

31. Случай одной переменной
Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого
положительного числа найдется вещественное число χ такое,
что |A(χ) − α| < , B(χ) = β.
|A(C (α, β)) − α| < B(C (α, β)) = β
Ak (χ) = A (B(. . . B (χ) . . . ))
(k−1) раз

32. Случай одной переменной
Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого
положительного числа найдется вещественное число χ такое,
что |A(χ) − α| < , B(χ) = β.
|A(C (α, β)) − α| < B(C (α, β)) = β
Ak (χ) = A (B(. . . B (χ) . . . ))
(k−1) раз
Лемма. Для любых вещественных чисел α1 , . . . , αn и любого
положительного числа
|Ak (χ) − αk | < k = 1, . . . , n
где
χ = C (α1 , C (α2 , . . . , C (αk , 0) . . . ))

33. Случай одной переменной
либо
∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
либо
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1}

34. Случай одной переменной
либо
∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
либо
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1}
Ψ(χ) = Φ(A1 (χ), A2 (χ), . . . , Am (χ))

35. Случай одной переменной
либо
∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
либо
∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1}
Ψ(χ) = Φ(A1 (χ), A2 (χ), . . . , Am (χ))
либо
∀ > 0 ∃χ{Ψ(χ) < }
либо
∀χ{Ψ(χ) ≥ 1}

36. Следствие DPRM-теоремы
1
Пусть F0 обозначает класс функций одной вещественной
переменной, которые могут быть заданы выражениями,
построены из переменной, конкретных натуральных чисел и
числа π при помощи композиции операций сложения,
вычитания и умножения и функции sin в произвольном
порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной
1
фунции Φ(χ) из класса F0 распознавал, имеет ли неравенство
Φ(χ) < 1
решение в вещественных числах.

37. Следствие DPRM-теоремы
1
Пусть F0 обозначает класс функций одной вещественной
переменной, которые могут быть заданы выражениями,
построены из переменной, конкретных натуральных чисел и
числа π при помощи композиции операций сложения,
вычитания и умножения и функции sin в произвольном
порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной
1
фунции Φ(χ) из класса F0 распознавал, имеет ли уравнение
2Φ(χ) = 1
решение в вещественных числах.

38. Тождества
либо
∀ > 0 ∃χ{Ψ(χ) < }
либо
∀χ{Ψ(χ) ≥ 1}

39. Тождества
либо
∀ > 0 ∃χ{Ψ(χ) < }
либо
∀χ{Ψ(χ) ≥ 1}
либо
∃χ{1 − Ψ(χ) + |1 − Ψ(χ)| = 0}
либо
∀χ{1 − Ψ(χ) + |1 − Ψ(χ)| = 0}

40. Следствие DPRM-теоремы
1
Пусть F2 обозначает класс функций одной вещественной
переменной, которые могут быть заданы выражениями,
построены из переменной, конкретных натуральных чисел и
числа π при помощи композиции операций сложения,
вычитания и умножения и функций sin и | | (абсолютная
величина) в произвольном порядке. Не существует алгоритма,
1
который по произвольной фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F2
распознавал, справедливо ли равенство
2Φ(χ) = 1
при всех вещественных значениях χ.

41. Снова полиномиальные уравнения
τ ∈ [0, 1]

42. Снова полиномиальные уравнения
τ ∈ [0, 1]
Υ (τ ) = 0

43. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0

44. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
sin Π(τ )τ

45. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
sin Π(τ )τ cos Π(τ )τ

46. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
A sin Π(τ )τ cos Π(τ )τ

47. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
A sin Π(τ )τ B cos Π(τ )τ

48. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
A sin Π(τ )τ + B cos Π(τ )τ

49. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ + B cos Π(τ )τ

50. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ + B cos Π(τ )τ
Φ(0) = 0

51. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ + B cos Π(τ )τ
Φ(0) = 0 ⇒ B = 0

52. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ
Φ(0) = 0 ⇒ B = 0

53. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ
Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
Φ (0) = 1

54. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ
Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
Φ (0) = 1 ⇒ A = 0

55. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ
Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
Φ (0) = 1 ⇒ A = 0
Φ(1) = 0

56. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ
Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
Φ (0) = 1 ⇒ A = 0
Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ ) = nπ

57. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ
Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
Φ (0) = 1 ⇒ A = 0
Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ ) = nπ
3 ≤ Π(0) ≤ 4

58. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ
Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
Φ (0) = 1 ⇒ A = 0
Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ ) = nπ
3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ ) = π

59. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ
Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
Φ (0) = 1 ⇒ A = 0
Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ ) = nπ
3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ ) = π
В любом решении этой системы дифференциальных уравнений
функция Π(τ ) является константой – числом π, и существует
решение, в котором эта фукция тождественно равна числу π.

60. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

61. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0

62. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0

63. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
sin Π(τ )Υ(τ )τ

64. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
sin Π(τ )Υ(τ )τ cos Π(τ )Υ(τ )τ

65. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
A sin Π(τ )Υ(τ )τ cos Π(τ )Υ(τ )τ

66. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
A sin Π(τ )Υ(τ )τ B cos Π(τ )Υ(τ )τ

67. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
A sin Π(τ )Υ(τ )τ + B cos Π(τ )Υ(τ )τ

68. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ + B cos Π(τ )Υ(τ )τ

69. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ + B cos Π(τ )Υ(τ )τ
Ψ(0) = 0

70. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ + B cos Π(τ )Υ(τ )τ
Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0

71. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ
Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0

72. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ
Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0
Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ )

73. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ
Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0
Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0

74. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ
Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0
Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0
Ψ(1) = 0

75. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ
Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0
Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0
Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ )Υ(τ ) = nπ

76. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ
Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0
Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0
Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ )Υ(τ ) = nπ
⇒ Υ(τ ) = n

77. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ
Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0
Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0
Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ )Υ(τ ) = nπ
⇒ Υ(τ ) = n

78. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) =0
Ψ(0) = 0 Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) Ψ(1) = 0

79. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ (τ ) = 0 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) =0
Ψ(0) = 0 Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) Ψ(1) = 0
В любом решении этой системы дифференциальных уравнений
функция Υ(τ ) является константой – некоторым целым
числом, и для любого целого числа n существует решение, в
котором фукция Υ(τ ) тождественно равна этому числу n.

80. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

81. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ1 (τ ) = 0 Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0
1

82. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ1 (τ ) = 0 Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0
1
...
Υm (τ ) = 0 Ψm (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψm (τ ) = 0
m
...
Ψ1 (0) = 0 Ψ1 (0) = Π(τ )Υ1 (τ ) Ψm (1) = 0

83. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ1 (τ ) = 0 Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0
1
...
Υm (τ ) = 0 Ψm (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψm (τ ) = 0
m
...
Ψ1 (0) = 0 Ψ1 (0) = Π(τ )Υ1 (τ ) Ψm (1) = 0
...
Ψm (0) = 0 Ψm (0) = Π(τ )Υm (τ ) Ψm (1) = 0

84. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ1 (τ ) = 0 Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0
1
...
Υm (τ ) = 0 Ψm (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψm (τ ) = 0
m
...
Ψ1 (0) = 0 Ψ1 (0) = Π(τ )Υ1 (τ ) Ψm (1) = 0
...
Ψm (0) = 0 Ψm (0) = Π(τ )Υm (τ ) Ψm (1) = 0
D Υ1 (τ ), . . . , Υm (τ ) = 0

85. Снова полиномиальные уравнения
Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
Υ1 (τ ) = 0 Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0
1
...
Υm (τ ) = 0 Ψm (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψm (τ ) = 0
m
...
Ψ1 (0) = 0 Ψ1 (0) = Π(τ )Υ1 (τ ) Ψm (1) = 0
...
Ψm (0) = 0 Ψm (0) = Π(τ )Υm (τ ) Ψm (1) = 0
D Υ1 (τ ), . . . , Υm (τ ) = 0

86. Снова полиномиальные уравнения
3 ≤ Π(0) ≤ 4

87. Снова полиномиальные уравнения
3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇐⇒ 3 + ∆2 (0) = Π(0) & Π(0) + ∆2 (0) = 4
1 2

88. Снова полиномиальные уравнения
3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇐⇒ 3 + ∆2 (0) = Π(0) & Π(0) + ∆2 (0) = 4
1 2
∆(α) = β

89. Снова полиномиальные уравнения
3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇐⇒ 3 + ∆2 (0) = Π(0) & Π(0) + ∆2 (0) = 4
1 2
∆(α) = β ⇐⇒ ∆(τ ) − β = (τ − α)Ω(τ )

90. Следствие DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
произвольной системе дифференциальных уравнений вида
P1 τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φ1 (τ ) =0
.
.
.
Pk τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φk (τ ) = 0,
где P1 , . . . , Pk – многочлены с целыми коэффициентами,
узнавать, имеет ли эта система решение на интервале [0, 1].

91. Следствие (трудное) DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
дифференциальному уравнению вида
n
P1 τ, Φ(τ ), Φ (τ ), . . . , Φ (τ ) =0
где P – многочлен с целыми коэффициентами, узнавать, имеет
ли это уравнение решение на интервале [0, 1].

92. Формальные степенные ряды
∞
Ψ(τ ) = ψk τ k
k=0

93. Формальные степенные ряды
∞
Ψ(τ ) = ψk τ k
k=0
Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ )

94. Формальные степенные ряды
∞
Ψ(τ ) = ψk τ k
k=0
Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ )
∞ ∞
k
τ Φ (τ ) = kφk τ = ψ0 φk τ k
k=0 k=0

95. Формальные степенные ряды
∞
Ψ(τ ) = ψk τ k
k=0
Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ )
∞ ∞
k
τ Φ (τ ) = kφk τ = ψ0 φk τ k
k=0 k=0
kφk = ψ0 φk k = 0, 1, 2, . . .

96. Формальные степенные ряды
∞
Ψ(τ ) = ψk τ k
k=0
Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ )
∞ ∞
k
τ Φ (τ ) = kφk τ = ψ0 φk τ k
k=0 k=0
kφk = ψ0 φk k = 0, 1, 2, . . .
Вырожденное решение: ψ1 = ψ2 = · · · = 0,
φ0 = φ1 = · · · = 0

97. Формальные степенные ряды
∞
Ψ(τ ) = ψk τ k
k=0
Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ )
∞ ∞
k
τ Φ (τ ) = kφk τ = ψ0 φk τ k
k=0 k=0
kφk = ψ0 φk k = 0, 1, 2, . . .
Вырожденное решение: ψ1 = ψ2 = · · · = 0,
φ0 = φ1 = · · · = 0
Невырожденное решение: ψ0 = y , ψ1 = ψ2 = · · · = 0,
φ0 = · · · = φy −1 = φy +1 = · · · = 0

98. Формальные степенные ряды
Ψ1 (τ ) = 0,
τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ),
.
.
.

99. Формальные степенные ряды
Ψ1 (τ ) = 0,
τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ),
.
.
.
Ψm (τ ) = 0,
τ Φm (τ ) = Ψm (τ )Φ1 (τ ),

100. Формальные степенные ряды
Ψ1 (τ ) = 0,
τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ),
.
.
.
Ψm (τ ) = 0,
τ Φm (τ ) = Ψm (τ )Φ1 (τ ),
D(Ψ1 (τ ), . . . , Ψm (τ )) = 0

101. Формальные степенные ряды
Ψ1 (τ ) = 0,
τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ),
.
.
.
Ψm (τ ) = 0,
τ Φm (τ ) = Ψm (τ )Φ1 (τ ),
D(Ψ1 (τ ), . . . , Ψm (τ )) = 0
Φ1 (τ ) . . . Φm (τ ) ≡ 0

102. Следствие DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
произвольной системе дифференциальных уравнений вида
P1 τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φ1 (τ ) = 0,
.
.
.
Pk τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φk (τ ) = 0,
где Pm – многочлены с целыми коэффициентами узнавать,
имеет ли эта система решение в виде формального степенного
ряда, удовлетворяющего также условию
Φ1 (τ ) ≡ 0.

103. Сходящиеся степенные ряды

104. Сходящиеся степенные ряды
Ψ (τ ) = 0,
τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0

105. Сходящиеся степенные ряды
Ψ (τ ) = 0,
τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0
−φ0 + 1 = 0

106. Сходящиеся степенные ряды
Ψ (τ ) = 0,
τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0
−φ0 + 1 = 0
−ψ0 φ0 − ψ1 = 0

107. Сходящиеся степенные ряды
Ψ (τ ) = 0,
τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0
−φ0 + 1 = 0
−ψ0 φ0 − ψ1 = 0
(k − 1)φk−1 − ψ0 φk−1 − ψk = 0, k >2

108. Сходящиеся степенные ряды
Ψ (τ ) = 0,
τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0
−φ0 + 1 = 0
−ψ0 φ0 − ψ1 = 0
(k − 1)φk−1 − ψ0 φk−1 − ψk = 0, k >2
φ0 = 1, . . . , φn = −ψ0 (1 − ψ0 )(2 − ψ0 ) . . . (n − ψ0 ), . . . .

109. Следствие DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
произвольной системе дифференциальных уравнений вида
P1 τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φ1 (τ ) = 0,
.
.
.
Pk τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φk (τ ) = 0,
где Pm – многочлены с целыми коэффициентами узнавать,
имеет ли эта система решение в виде сходящихся степенных
рядов

110. Уравнения в частных производных

111. Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym ) = 0

112. Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym ) = 0
∞
y y
Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1 ,...,ym =0

113. Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym ) = 0
∞
y y
Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1 ,...,ym =0
∂ y y
τk τk k = yk τk k
∂τk

114. Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym ) = 0
∞
y y
Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1 ,...,ym =0
∂ y y
τk τk k = yk τk k
∂τk
∂ ∂
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm
= ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1
y y

115. Уравнения в частных производных
∞
∂ ∂ y y
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = τ1 1 . . . τmm (∗)
∂τ1 ∂τm
y1 ,...,ym =0

116. Уравнения в частных производных
∞
∂ ∂ y y
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = τ1 1 . . . τmm (∗)
∂τ1 ∂τm
y1 ,...,ym =0
∂ ∂
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm
= ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1
y y

117. Уравнения в частных производных
∞
∂ ∂ y y
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = τ1 1 . . . τmm (∗)
∂τ1 ∂τm
y1 ,...,ym =0
∂ ∂
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm
= ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1
y y
1
ψy1 ,...,ym =
D(y1 , . . . , ym )

118. Уравнения в частных производных
∞
∂ ∂ y y
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = τ1 1 . . . τmm (∗)
∂τ1 ∂τm
y1 ,...,ym =0
∂ ∂
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm
= ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1
y y
1
ψy1 ,...,ym =
D(y1 , . . . , ym )
Дифференциальное уравнение (*) имеет решение в том и
только том случае, когда диофантово уравнение
D(y1 , . . . , ym ) = 0 решений не имеет

119. Уравнения в частных производных
∞
∂ ∂ y y
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = τ1 1 . . . τmm (∗)
∂τ1 ∂τm
y1 ,...,ym =0

120. Уравнения в частных производных
∞
∂ ∂ y y
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = τ1 1 . . . τmm (∗)
∂τ1 ∂τm
y1 ,...,ym =0
∂ ∂
(1 − τ1 ) . . . (1 − τm )D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = 1 (∗∗)
∂τ1 ∂τm

121. Уравнения в частных производных
∞
∂ ∂ y y
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = τ1 1 . . . τmm (∗)
∂τ1 ∂τm
y1 ,...,ym =0
∂ ∂
(1 − τ1 ) . . . (1 − τm )D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = 1 (∗∗)
∂τ1 ∂τm
Дифференциальные уравнения (*) и (**) имеют решения в том
и только том случае, когда диофантово уравнение
D(y1 , . . . , ym ) = 0 решений не имеет

122. Следствие DPRM-теоремы
Не существует алгоритма, который позволял бы по
произвольному многочлену Q с целыми коэффициентами
узнавать, имеет ли дифференциальное уравнение в частных
производных
∂ ∂
Q τ1 , . . . , τm , ∂τ1 , . . . , ∂τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = 1
решение в виде формального степенного ряда.

123. Уравнения в частных производных
a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0}

124. Уравнения в частных производных
a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0}
∂ ∂ ∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 , τ2 , . . . , τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τ2 ∂τm
= Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ),

125. Уравнения в частных производных
a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0}
∂ ∂ ∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 , τ2 , . . . , τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τ2 ∂τm
= Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ),
∂ ∂
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = · · · = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 0
∂τ2 ∂τm

126. Уравнения в частных производных
a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0}
∂ ∂ ∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 , τ2 , . . . , τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τ2 ∂τm
= Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ),
∂ ∂
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = · · · = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 0
∂τ2 ∂τm
∞
k
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φk τ1
k=0

127. Уравнения в частных производных
a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0}
∂ ∂ ∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 , τ2 , . . . , τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τ2 ∂τm
= Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ),
∂ ∂
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = · · · = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 0
∂τ2 ∂τm
∞
k
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φk τ1
k=0
∂ ∂ Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm (1 − τ2 ) . . . (1 − τm )

128. Уравнения в частных производных
∂ ∂
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm

129. Уравнения в частных производных
∂ ∂
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
=
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm )

130. Уравнения в частных производных
∂ ∂
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
=
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm )
∞
k y y
= φk τ1 τ2 1 . . . τmm
k=0 y2 ,...,ym

131. Уравнения в частных производных
∂ ∂
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
=
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm )
∞
k y y
= φk τ1 τ2 1 . . . τmm
k=0 y2 ,...,ym
∞
y y
= D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1 ,...,ym =0

132. Уравнения в частных производных
∂ ∂
D τ1 , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) =
∂τ1 ∂τm
Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
=
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm )
∞
k y y
= φk τ1 τ2 1 . . . τmm
k=0 y2 ,...,ym
∞
y y
= D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm
y1 ,...,ym =0
D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1

133. Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1

134. Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1
a ∈ M =⇒ φa = 0

135. Уравнения в частных производных
D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1
a ∈ M =⇒ φa = 0
0, если y1 ∈ M
ψy1 ,...,ym = φy 1
D(y1 ,...,ym ) , в противном случае

136. Уравнения в частных производных
n = 1, 2
a ∈ Mn ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {Dn (a, x2 , . . . , xm ) = 0}

137. Уравнения в частных производных
n = 1, 2
a ∈ Mn ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {Dn (a, x2 , . . . , xm ) = 0}
∂ ∂ ∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) Dn τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
= Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ),
∂ ∂
∂τ2 Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = ··· = ∂τm Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =0

138. Уравнения в частных производных
n = 1, 2
a ∈ Mn ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {Dn (a, x2 , . . . , xm ) = 0}
∂ ∂ ∂
(1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) Dn τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) =
= Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ),
∂ ∂
∂τ2 Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = ··· = ∂τm Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =0
∞
Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φn,k τ k a ∈ Mn =⇒ φn,a = 0
k=0

139. Уравнения в частных производных
∞
Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0
k=0
∞
Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ2,k τ k a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0
k=0

140. Уравнения в частных производных
∞
Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0
k=0
∞
Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ2,k τ k a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0
k=0
(1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1

141. Уравнения в частных производных
∞
Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0
k=0
∞
Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ2,k τ k a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0
k=0
(1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1
φ1,a + φ2,a = 1, a = 0, 1, . . .

142. Уравнения в частных производных
∞
Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0
k=0
∞
Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ2,k τ k a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0
k=0
(1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1
φ1,a + φ2,a = 1, a = 0, 1, . . .
M = {a | φ1,a = 0}

143. Уравнения в частных производных
∞
Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0
k=0
∞
Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ2,k τ k a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0
k=0
(1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1
φ1,a + φ2,a = 1, a = 0, 1, . . .
M = {a | φ1,a = 0}
a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 =⇒ a ∈ M

144. Уравнения в частных производных
∞
Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0
k=0
∞
Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = φ2,k τ k a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0
k=0
(1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1
φ1,a + φ2,a = 1, a = 0, 1, . . .
M = {a | φ1,a = 0}
a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 =⇒ a ∈ M
a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0 =⇒ φ1,a = 1 =⇒ a ∈ M