POSCAT 올드비 세미나 5주차 자료

1. By POSTECH Computer Algorithm Team
네트워크 유량 - 2
임병찬
Network Flow - 2

2. Contents
POSTECH Computer Algorithm Team
Minimum Cut 2
Proof of Ford-Fulkerson 1
Bipartite Matching 3
Special Case of Flow Graph 4

3. POSTECH Computer Algorithm Team
Concept
Ford-Fulkerson Algorithm 리뷰
- Flow Graph에서 source에서 sink로 가는 경로를 찾는다.
- 가능할 때까지 그 경로에 Flow를 흘려준다.
- 흘려준 Flow 양만큼 Back Edge를 만들어준다.
- 더 이상 흘려줄 수 없을 때까지 반복한다.
- 이게 Maximum Flow인가?
Proof of Ford-Fulkerson

4. POSTECH Computer Algorithm Team
Concept
Cut으로 설명할 수 있다!
- Cut : Weight Graph에서 Graph를 등분하기 위한 cost
- 점 S,E가 주어진다.
- 이때, 임의의 Weight Edge를 그래프 G에서 제거한다. 이때 드는 cost는 Edge의 Weight와 같다.
- S에서 E로 가는 Path가 없으면 된다.
- Minimum Cut Problem : 가장 적은 cost로 Cut을 만드는 방법은 무엇일까?
Proof of Ford-Fulkerson

5. POSTECH Computer Algorithm Team
Concept
Cut Example

6. POSTECH Computer Algorithm Team
Concept
- 기본적으로 Cut과 Flow는 관계가 없다.
- Flow는 Flow Graph, Cut은 Weight Graph에서 생각하기 때문
- 그래서 Flow Graph에 Weight를 준다.
- Flow Graph (u, v, c)는 Weight c를 가진다. 즉, Edge를 없애려면 Capacity만큼의 cost를 지불해야 한다.
- Flow Graph의 Source, Sink를 Cut의 S와 E로 설정한다.
- 그렇다면, 이 Flow Graph의 Maximum Flow는 Minimum Cut이랑 값이 같다!! (매우중요)
Proof of Ford-Fulkerson

7. POSTECH Computer Algorithm Team
Concept
1. Maximum Flow >= Minimum Cut
- 만약 Graph G에 Maximum Flow가 흐른다고 가정하자.
- 집합 S, T를 생각하자. v가 S에 속해있다는 것 if and only if는 Graph G에서 Source는 그대로, Sink를 v로 설정
하였을 때 Flow가 1 이상이란 것이다.
- Source도 S에 속해있다고 둔다.
- T는 S의 여집합이다. 즉, T = V – S
- G가 Maximum Flow를 가지고 있으므로, sink는 T에 속하게 된다. 아니면 G는 Maximum Flow가 아니다.
Maximum Flow – Min Cut

8. POSTECH Computer Algorithm Team
Concept
- S에서 T로 가는 Edge들은 Capacity = Flow를 만족한다.
- 아닐 경우, S와 T의 정의에 모순.
- T에서 S로 가는 Edge들은 Flow = 0이다.
- 아닐 경우, S와 T의 정의에 모순.
- S와 T는 V의 partition이고 S는 source를, T는 sink를 가지고 있으므로 Cut이다.
- 이때, cost는 S에서 T로 가는 모든 Capacity의 합이고 이는 Maximum Flow의 값과 같다.
- 따라서, Minimum Cost의 정의에 의해 Maximum Flow >= Minimum Cost다.
Maximum Flow – Min Cut

9. POSTECH Computer Algorithm Team
Concept
2. Minimum Cut >= Maximum Flow
- 그래프 G가 Minimum Cut을 가지고 있다고 하자. 이때, Source가 있는 쪽을 S, Sink가 있는 쪽을 T라고 하고, 잘
린 Edge들을 E1, E2, … , Ek라고 하자.
- 원래 Graph G에서 Flow를 흘려준다 할 때, Ei들을 만드시 지나야 한다.
- Ei를 지나는 모든 Flow의 합을 Fi라고 해보자. Fi는 Ci보다 같거나 작다. (Ci = Ei의 Capacity)
Maximum Flow – Min Cut

10. POSTECH Computer Algorithm Team
Concept
- Source에서 Sink로 가는 모든 Flow Path를 F1, F2, … , Fn이라고 하자.
- 이때, F1, … , Fn을 k개의 Partition P1, P2, … , Pk로 나눌 수 있다.
- Fi가 Pj에 속해있다는 말은, Path Fi안에 Ej가 속해있다는 뜻이다.
- Pj에 속해있는 모든 Flow의 합은 Cj보다 같거나 작다.
- 따라서 모든 Flow의 합은 C1 + C2 + … + Ck보다 같거나 작다.
- C1 + C2 + … + Ck는 Minimum Cut cost다.
- 따라서, Minimum Cut >= Maximum Flow
앞에서 Minimum Cut <= Maximum Flow임을 증명하였다. 따라서 Minimum Cut = Maximum Flow임이 증명된다.
Maximum Flow – Min Cut

11. POSTECH Computer Algorithm Team
Concept
- Ford-Fulkerson Algorithm으로 돌아가자.
- Ford-Fulkerson Algorithm은 Maximum Flow를 찾는다!
- Graph G의 Minimum Cut이 있다고 하자.
- Ford-Fulkerson로 더 이상 Flow를 흘려줄 수 없을 때까지 흘려주면, 그것은 Cut이 된다.(By Definition of Cut)
- 따라서, Ford-Fulkerson >= Minimum Cut (Minimum Cut은 모든 Cut보다 작다.)
- 그리고 Ford-Fulkerson의 모든 결과는 Flow다.
- 따라서, Ford-Fulkerson <= Maximum Flow (Maximum Flow는 모든 Flow보다 크다.)
Proof of Ford-Fulkerson

12. POSTECH Computer Algorithm Team
Concept
- 따라서, Minimum Cut <= Ford-Fulkerson <= Maximum Flow
- Minimum Cut = Maximum Flow이므로, Ford-Fulkerson = Maximum Flow = Minimum Cut
- Ford-Fulkerson은 항상 Maximum Flow를 잘 찾는다.
Proof of Ford-Fulkerson

13. POSTECH Computer Algorithm Team
Concept
- Graph G를 S와 T로 나눌 수 있을 때, Bipartite Graph라 한다.
- 만약 임의의 vertex u, v가 S에 속하면, (u, v)라는 Edge는 존재하지 않는다.
- 만약 임의의 vertex u, v가 T에 속하면, (u, v)라는 Edge는 존재하지 않는다.
- 즉, 모든 Edge는 S와 T사이에 있으며 S와 S, T와 T사이를 잇는 Edge는 존재하지 않는다.
Bipartite Matching

14. POSTECH Computer Algorithm Team
Concept
- Matching : 집합 A에서 임의의 조건을 만족하는 두 element u, v를 고를 때, 이를 Matching이라고 한다.
- Graph에서 Matching : Edge들을 고를 것인데, 모든 Vertex는 최대 1개의 선택된 Edge에만 속해야 한다.
- Maximum Matching : 이렇게 Edge들을 고를 때 최대한 Edge를 많이 선택하는 Matching
- Bipartite Maximum Matching : Bipartite Graph에서 Maximum Matching을 하는 것.
Bipartite Matching

15. POSTECH Computer Algorithm Team
Concept
- Bipartite Matching은 Flow 문제로 바꿀 수 있다!
- Graph G에서, 모든 Edge가 Capacity 1을 가진다고 하자.
- Source, Sink를 만들어서, Source를 S의 모든 vertex와, Sink를 T의 모든 vertex와 연결한다. (Capacity 1)
- Flow를 계산하면, Bipartite Maximum Matching이 된다.
- 왜?
Bipartite Matching

16. POSTECH Computer Algorithm Team
Concept
- S에서 T로 가는 Edge들 중, Flow가 흐르는 Edge를 생각해 보자.
- Edge (u, v)에 Flow가 흐른다면, u와 v는 반드시 이 Edge에만 속하게 된다. 왜냐하면, Source에서 u, v에서 Sink
로 가는 Edge의 Capacity가 1이기 때문이다.
- 만약 u가 E1, E2에 동시에 속해 있다면, u로 가는 Flow값은 최소 2 이상이여야 한다. 이는 모순이다!
- 만약, Maximum Flow 이상의 Bipartite Matching이 존재한다면, 그 값이 Maximum Flow여야 한다.
- 따라서, Maximum Flow = Bipartite Matching
Bipartite Matching

17. POSTECH Computer Algorithm Team
Concept
- Bipartite Matching을 Ford-Fulkerson으로 실행하면 O(fE)의 시간이 나온다.
- Maximum Flow는 V를 넘을 수 없다. 따라서, O(VE)로 실행된다.
- Dinic Algorithm을 이용하여 Flow를 계산하면 O(V^2E)
- 하지만, Dinic Algorithm은 모든 Edge가 Unit Capacity(only 1)을 가지면 O(min(V^2/3 , E^1/2)E)로 동작한다.
- 즉, Dinic을 이용하여 Flow를 계산하면 O(E^3/2)
Bipartite Matching

18. POSTECH Computer Algorithm Team
Concept
- L-R Maximum Flow : Edge에 Capacity와 함께 Demand도 주어진다. 모든 Edge에는 Demand이상의 Flow가 흘러야한다.
- Gomory-Hu Tree : Graph가 고정되고, source와 sink가 임의로 변할 때, 모든 쌍에 대한 Flow 계산
- Min-Cost Max-Flow : Edge에 Capacity와 함께 Weight가 주어진다. Maximum Flow를 가지는 모든 Path들의 Weight
합이 최소가 되게 해야한다.
- Weighted Bipartite Maximum Matching : Bipartite Graph에 Weight가 주어진다. Maximum Matching중 최소 Weight
합을 구하는 Matching을 찾아야 한다.
- Hungarian Method
Special Case of Flow Graph

19. POSTECH Computer Algorithm Team
More
- Maximum Flow = Minimum Cut임을 증명하시오
- Ford-Fulkerson이 Maximum Flow를 가짐을 보이시오.
- Dinic Algorithm을 적고, Maximum Flow를 가짐을 보이시오.
- https://www.acmicpc.net/problem/1014
- https://www.acmicpc.net/problem/1017
- https://www.acmicpc.net/problem/1760
- https://www.acmicpc.net/problem/1671