1. Conceitos IniciaisConceitos Iniciais
PAR ORDENADOPAR ORDENADO –– conceito primitivoconceito primitivo
P(x,y)P(x,y) –– ponto no plano cartesianoponto no plano cartesiano
Abscissa Ordenada
P(x,y)
P (x,0)
P (0,y)
x
y
2. FUNFUNÇÇÃOÃO
DEFINIDEFINIÇÇÃOÃO
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relaSejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relaçção R de Aão R de A
em B, essa relaem B, essa relaçção serão seráá chamada de funchamada de funçção quandoão quando parapara
todotodo e qualquer elemento de A estiver associado ae qualquer elemento de A estiver associado a umum úúniconico
elemento em B.elemento em B.
A relaA relaçção binão bináária h = {(x;y)| y < x}ria h = {(x;y)| y < x}
xy <
A B2
4
1
3
5
h: {(2;1), (4;1), (4,3)}h: {(2;1), (4;1), (4,3)}
A relaA relaçção binão bináária g = {(x;y)| y= x + 3}ria g = {(x;y)| y= x + 3}
3+= xy
2
4
1
3
5
g: {(2;5)}g: {(2;5)}
A B
NÃONÃO ÉÉ FUNFUNÇÇÃOÃO NÃONÃO ÉÉ FUNFUNÇÇÃOÃO
3. c) A relac) A relaçção binão bináária f = {(x;y)| y = x + 1}ria f = {(x;y)| y = x + 1}
1+= xy
A B2
4
1
3
5
f: {(2;3), (4;5)}f: {(2;3), (4;5)}
ff éé uma funuma funçção de A em B, poisão de A em B, pois todotodo
elemento de A estelemento de A estáá associado aassociado a umum úúniconico
elemento em Belemento em B
ELEMENTOS DE UMA FUNELEMENTOS DE UMA FUNÇÇÃO: f: AÃO: f: A →→→→→→→→ BB
DOMDOMÍÍNIO: A = {2, 4}NIO: A = {2, 4}
CONTRA DOMCONTRA DOMÍÍNIO: B = {1, 3, 5}NIO: B = {1, 3, 5}
CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}
5. Considere a funConsidere a funçção f: Aão f: A →→→→→→→→ B definida porB definida por y = 3x + 2, podey = 3x + 2, pode--sese
afirmar que o conjunto imagem de fafirmar que o conjunto imagem de f éé::
23 += xy
A B 23 += xy
521.3 =+=y1
2
3
5
8
11
15
17
822.3 =+=y
1123.3 =+=y
23)( += xxf
→
→
→
5)1( =f
8)2( =f
11)3( =f
}11,8,5{)Im( =∴ f
6. GRGRÁÁFICO DA FUNFICO DA FUNÇÇÃO f: AÃO f: A →→→→→→→→ B definida por y = 3x + 2B definida por y = 3x + 2
Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}Pares Ordenados Obtidos: {(1,5); (2,8); (3,11)}
1 2 3
11
8
5
x
y
7. 1 2 3
11
8
5
x
y
GRGRÁÁFICO DA FUNFICO DA FUNÇÇÃO f:ÃO f: ℜℜℜℜℜℜℜℜ →→→→→→→→ ℜℜℜℜℜℜℜℜ definida por y = 3x + 2definida por y = 3x + 2
8. Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados às
proposições VERDADEIRAS:
01. O domínio da função f é {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 3}
02. A imagem da função f é {y ∈ R | - 2 ≤ y ≤ 3}
04. para x = 3, tem-se y = 3
08. para x = 0, tem-se y = 2
16. para x = - 3, tem-se y = 0
32. A função é decrescente em todo seu domínio
V
V
(3,3) ou f(3) = 3
(0,2) ou f(0) = 2
(-3,2) ou f(-3) = 2
V
V
F
F
9. APLICAAPLICAÇÇÕES: y =f(x)ÕES: y =f(x)
02) Dado que f(1) = 2 e, para todo x, f(x) = 5 f(x – 1), obtenha:
a) f(2)
b) f(3)
c) f(0)
d) f(– 1)
14. y = f(x) = ax + b
a > 0
y
D = ℜℜℜℜ Im = ℜℜℜℜ
FUNÇÃO
CRESCENTE
(0, b)
x
y
(0, b)
x
FUNÇÃO
DECRESCENTE
a < 0
Raiz ou
zero da
função
y = 0
15. y = x – 2
y
(0, -2)
x2 3
1
4
2
5
3
y = 3x – 6 y
(0, -6)
x2 3
3
4
6
5
9
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR – TAXA DE VARIAÇÃO
∆x
∆y
a =
16. Seja f(x) = ax + b. Sabe-se que f(3) = 5 e f(-1) = - 3. Dê o valor de f(8).
f(3) = 5
f(-1) = -3
(3, 5)
(-1, -3)
y = ax + b
5 = a(3) + b
-3 = a(-1) + b
=+
=+
3-ba-
5b3a
a = 2 b = - 1
f(x) = ax + b
f(x) = 2x – 1
Logo: f(8) = 2.8 – 1 f(8) = 15
17. O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste.
Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00,
o seu valor, em reais, daqui a três anos será:
x(anos)
y(reais)
0 5
160
800
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
P1(0,800)
P2(5,160)
800 = a.0 + b
b = 800
160 = a. 5 + 800
-640 = 5a
a = -128
f(x) = a.x+ b
f(x) = -128.x+ 800
f(3) = -128.3+ 800
f(3)f(3) == 416416
Portanto após 3 anos a
Máquina valerá R$ 416,00
18. A semi-reta representada no gráfico seguinte expressa o custo de produção C,
em reais, de n quilos de certo produto.
C(reais)
x(quilogramas)0 20
80
180
Se o fabricante vender esse
produto a R$ 102,00 o quilo,
a sua porcentagem de lucro
em cada venda será?
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
P1(0,80)
P2(20,180)
80 = a.0 + b
b = 80
180 = a. 20 + 80
20a = 100
a = 5
f(x) = a.x+ b
f(x) = 5.x+ 80
f(1) = 5.1+ 80 ⇒⇒ f(1) = 85f(1) = 85
R$ 85 ⇔ 100%
R$102 ⇔ x
x = 120%
LUCRO DE 20%
19.
20. Um camponês adquire um moinho ao preço de R$860,00. Com o passar do tempo,
ocorre uma depreciação linear no preço desse equipamento. Considere que, em 6
anos, o preço do moinho será de R$ 500,00. Com base nessas informações, é correto
afirmar:
x(anos)
y(reais)
0 6
500
860
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
A(0,860)
B(6,500)
860 = a.0 + b
b = 860
500 = a. 6 + 860
-360 = 6a
a = -60
f(x) = a.x+ b
f(x) = -60.x+ 860
a) f(3) = -60.3+ 860
f(3) = 680
A
B
F
b) f(9) = -60.9+ 860
f(9) = 320
F
c) f(7) = -60.7+ 860
f(7) = 440
F
d) - 60x + 860 < 200
-60x < -660
x > 11anos
F
e) f(13) = -60.13+ 860
f(13) = 440
f(13) = 80
V
21. Em um termômetro de mercúrio, a temperatura é uma função afim (função do 1o
grau) da altura do mercúrio. Sabendo que as temperaturas 0oC e 100oC
correspondem, respectivamente, às alturas 20 ml e 270 ml do mercúrio, então a
temperatura correspondente a 112,5 ml é
ml
temperatura0 100
20
270
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
P1(0,20)
P2(100,270)
20 = a.0 + b
b = 20
270 = a. 100 + 20
100a = 250
a = 2,5
f(x) = a.x+ b
f(x) = 2,5.x+ 20
y = 2,5x + 20
112,5 = 2,5x + 20
92,5=2,5x
37°C = x
22. Função do 1º grau:
y = f(x) = a.x+ b
GRÁFICO PASSA PELA ORIGEM
y = a.x
CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR
y = a.x
50 = a.40 → a = 5/4
xy
xay
.
4
5
.
=
=
xg
x
=
=
24
.
4
5
30
25. y = f(x) = ax2 + bx + c
Vértice
(0,c)
xV
yV
x1 x2
Vértice
(0,c)
xV
yV
x1 x2
y
x x
y
a > 0 a < 0
RaRaíízeszes : x: x11 ee xx22
ax2 + bx + c = 0 2 4
V V
b
x e y
a a
− −∆
= =
26. Após o lançamento de um projétil, sua
altura h, em metros, t segundos após o
seu lançamento é dada por
h(t) = – t2 + 20t. Em relação a este
lançamento, analise as afirmações a
seguir.
l. A altura máxima atingida pelo projétil
foi de 10m.
ll. O projétil atingiu a altura máxima
quando t=10s.
lll. A altura do projétil é representada por
uma função polinomial quadrática cujo
domínio é [0,20].
lV. Quando t = 11, o projétil ainda não
atingiu sua altura máxima.
Todas as afirmações corretas estão em:
a) I – III b) I – II – IV c) II – III d) III – IV
ACAFE - 2010 PUC – PR - 2010
O lucro de uma determinada
empresa é dado pela lei
L(x) =L(x) = -- xx22 + 8+ 8xx -- 77, em que x é a
quantidade vendida (em milhares de
unidades) e L é o lucro (em reais). A
quantidade que se deve vender para
que o lucro seja máximo bem como
o valor desse lucro são,
respectivamente:
A) 3.000 unidades e R$ 6.000,00
B) 4.000 unidades e R$ 9.000,00
C) 4.000 unidades e R$ 8.000,00
D) 5.000 unidades e R$ 12.000,00
E) 4.500 unidades e R$ 9.000,00
27. UFSC - 2009
Se o lucro de uma empresa é dado por
L(x) = 4(3 – x)(x – 2), onde x é a
quantidade vendida, então o lucro da
empresa é máximo quando x é igual a:
UFSC - 2013
O lucro, em reais, para a comercialização
de x unidades de um determinado
produto é dado por
L(x) = - 1120 + 148x – x2. Então, para que
se tenha lucro máximo, deve-se vender
quantos produtos?
UFSC - 2005
Tem-se uma folha de cartolina
com forma retangular, cujos lados
medem 56cm e 32cm e deseja-
se cortar as quinas, conforme
ilustração a seguir. Quanto
deve medir x, em centímetros,
para que a área da região
hachurada seja a maior possível?
GABARITO: 11
28. As dimensões de um retângulo são dadas em centAs dimensões de um retângulo são dadas em centíímetros, pelasmetros, pelas
expressões: 2x e (10expressões: 2x e (10 –– 2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valor2x) com 0 < x < 5. Determinar, neste caso, o valor
mmááximo daximo da áárea em cmrea em cm22 , que esse retângulo pode assumir., que esse retângulo pode assumir.
Vértice
5/2
yV
0 5
2x
10 – 2x
A = base x altura
A = 2x . (10 – 2x)
A(x) = – 4x2 + 20x
a = - 4 b = 20 c = 0
RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO
0 = – 4x2 + 20x
x2 - 5x = 0
x1 = 0 x2 = 5
Área
Área Máxima é o yv
A(5/2) = – 4(5/2)2 + 20(5/2)
A(5/2) = 25cm2
29. RESUMO GRÁFICO
∆∆∆∆ > 0
x1 ≠≠≠≠ x2
x1 x2
y
x
∆∆∆∆ = 0
x1 = x2
x1 = x2
x
y
∆∆∆∆ < 0
x1, x2 ∉∉∉∉ R
x
y
35. Considere o triângulo ABC, com base BC medindo 6cm e com altura 5cm. Um
retângulo inscrito nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cm de
comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a área do retângulo seja
máxima?
