Ruch obrotowy bryły sztywnej

1. 1

2. Bryła sztywna – ciało którego elementy nie mogą się
przemieszczać względem siebie
Ruchu bryły sztywnej nie można
opisywać tak jak ruchu punktu
materialnego ponieważ bryła
sztywna może wykonywać oprócz
postępowego ruch obrotowy.
Podczas ruchu obrotowego każdy
element bryły sztywnej porusza się
z inną prędkością liniową i innym
przyspieszeniem liniowym.
2

3. rs 
r
s

 długość łuku/długość promienia
Kąt  wyrażamy w radianach:
360°=2 radianów
Przmieszczenie kątowe
if  
3

4. 4
Średnia prędkość kątowa:
Chwilowa prędkość kątowa:
Średnia przyspieszenie kątowe:
Chwilowe przyspieszenie kątowe:
ttt if
if








ttt if
if








dt
d
tt

 



 0
lim
dt
d
tt

 



 0
lim

5. 5
Prędkość kątowa jest wektorem. Jej
kierunek i zwrot można wyznaczyć
stosując regułę prawej dłoni, lub
śruby prawoskrętnej.

6. 6
tif  
2
2
1
ttiif  
atvv if 
2
2
1
attvxx iif 
Ruch obrotowy: Ruch postępowy:

7. 7
 
dt
d
r
dt
rd
dt
ds
v





dt
d
rv 
 
dt
d
r
dt
rd
dt
dv
at





dt
d
rat 
Punkty o różnych odległościach od osi obrotu (różnych r) poruszają
się z takimi samymi prędkościami i przyspieszeniami kątowymi, ale z
różnymi prędkościami i przyspieszeniami postępowymi.

8. 8
r
v
ar
2
 rv 
 



ra
r
r
r
a
t
r

 2
2
tr aaa 

9. 9
Każdy element bryły sztywnej
posiada energię kinetyczną
związaną ze swoją masą i
prędkością ruchu postępowego:
2
2
ii
i
vm
K 
Całkowita energia kinetyczna ruchu
obrotowego jest sumą energii
poszczególnych elementów:
  222
2
1
2
1
iiiiiobr rmvmKK
2
ii
rmI  definicja mometu bezwładności

10. 10
Ruch obrotowy: Ruch postępowy:
2
2
1
IKobr  2
2
1
mvKpos 
Moment bezwładności w ruchu obrotowym jest
odpowiednikiem masy w ruch postępowym.
Moment bezwładności zależy nie tylko od masy bryły,
ale także od rozkładu masy wokół osi obrotu

11. 11
dmrmrI i
i
i
m  

22
0
lim
Obręcz (masa M rozłożona
równomiernie w odległości R od
środka)
222
MRdmRdmrI  

12. 12
obręcz, pierścień walec kula
pręt względem
końca
pręt względem
środka
2
MRI 
2
2
1
MRI  2
5
2
MRI 
2
12
1
MLI 2
3
1
MLI 

13. 13
2
MdII ŚM

Twierdzenie Steinera pozwala obliczyć moment bezwładności
względem wybranej osi równoległej do osi przechodzącej przez
środek masy i odległej od niej o d.
Przykład:
Dla pręta o masie M i długości L dla osi
przechodzącej przez środek masy:
2
12
1
MLIŚM

Dla osi przechodzącej przez koniec pręta
(odległej o L/2 od środka):
2
2
2
3
1
212
1
ML
L
MMLI 






oś obrotu
oś przez
środek
masyd

14. 14
Frτ 
Moment siły– iloczyn wektorowy
wektora r łączącego oś obrotu i miejsce
przyłożenia siły oraz wektora siły F.
Moment siły można interpretować jako
zdolność siły do obracania ciała.
Iloczyn wektorowy wektorów a i b
jest prostopadły do płaszczyzny w
której leżą te wektory
sinabba

15. 15
kierunek
działania
siły
FdrF   sin
Moment siły powoduje obrót bryły sztywnej
221121 dFdF  
wypadkowy moment siły
>0 gdy skręcenie jest przeciwnie do ruchu wskazówek zegara
<0 gdy skręcenie jest zgodnie z ruchem wskazówek zegara
d – ramię siły (prostopadłe do F)
sinrd 

16. 16
tt maF   rmarF tt  rat 
    2
mrrmr  Imr 2
 I
 I
Druga zasada dynamiki Newtona dla
ruchu obrotowego: wypadkowy
moment siły działający na bryłę jest
proporcjonaly do jej przyspieszenia
kątowego, a stałą proporcjonalności
jest moment bezwładności bryły.
Ft – siła styczna (prostopadła do r)

17. 17
   rdFddW sin sF
rdds 
Jedynie składowa styczna siły (Fsin)
wykonuje pracę, bo jest równoległa do
elementu łuku ds.
Składowa radialna (Fcos) jest prostopadła
do ds więc praca przez nią wykonana jest
równa zero.
ddW 
W ruchu postępowym: dxFdW x
   rF sin

18. 18






d
d
I
dt
d
d
d
I
dt
d
II 
dWdId  
Praca wykonana przez siły zewnętrzne nad obracającą się bryłą
sztywną jest równa zmianie jej energii kinetycznej ruchu
obrotowego
22
2
1
2
1
if IIdIdW
f
i
f
i





 

19. 19
x
dt
dx
v 
dt
dv
a 
m
maF 
2
2
1
mvK 
Ruch postępowy Ruch obrotowy

dt
d
 
dt
d
 
I
 I
2
2
1
IKobr 
przemieszcznie przemieszcznie kątowe
prędkość prędkość kątowa
przyspieszenie przyspieszenie kątowe
masa moment bezwładności
siła moment siły
energa kinetyczna
ruchu postępowego
energa kinetyczna
ruchu obrotowego