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Semana 15 procesos estocásticos series de tiempo

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Material de apoyo para la clase de Series de tiempo en a Universidad Continental

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Semana 15 procesos estocásticos series de tiempo

  1. 1. Procesos Estocásticos Series Temporales Ing. Sergio Jurado
  2. 2. • Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias asociada a un conjunto índice de números reales o discretos: es decir a cada elemento del conjunto de números índice, le corresponde una y solo una variable aleatoria. Proceso estocástico Ing. Sergio Jurado 1 2 3 4 t x x x x
  3. 3. • Un fenómeno estadístico que evoluciona en el tiempo de acuerdo a leyes probabilísticas se llama proceso estocástico . Proceso Estocástico Ing. Sergio Jurado Proceso de estado discreto (cadena) Unidades producidas mensualmente de un producto Proceso de estado discreto y tiempo continuo(Proc. Saltos puros) Unidades producidas hasta el instante t Proceso de Estado Continuo y Tiempo discreto Toneladas de producción diaria de un producto Proceso de estado continuo y tiempo continuo (Proceso continuo) Velocidad de un vehículo en un instante. Procesos Estocásticos Tiempo Discreto (t) Tiempo Continuo (t) VariableDiscreta(V)VariableContinua(V)
  4. 4. • La serie de tiempo puede ser vista como una realización, producto de esa ley probabilística. • Al analizar una serie de tiempo la estamos concibiendo como una realización de un proceso estocástico Proceso Estocásticos Ing. Sergio Jurado Proceso de estado discreto (cadena) Unidades producidas mensualmente de un producto Proceso de Estado Continuo y Tiempo discreto Toneladas de producción diaria de un producto Tiempo Discreto (t) VariableDiscreta(V)VariableContinua(V)
  5. 5. Ing. Sergio Jurado Series Temporales Series de tiempo
  6. 6. Objetivos de Aprendizaje. • Definir un proceso estocástico. • Definir una serie temporal. • Reconocer las componentes de una serie temporal. Al finalizar la sesión estarás en la capacidad de: Ing. Sergio Jurado
  7. 7. • Se llama Series de Tiempo a un conjunto de observaciones sobre valores que toma una variable (cuantitativa) en diferentes momentos del tiempo. Ing. Sergio Jurado Serie Temporal t Y 1 2 3 4 5 6 7 8
  8. 8. • Una serie temporal (también denominada histórica, cronológica o de tiempo) se define como un conjunto de datos, correspondientes a un fenómeno, ordenados en el tiempo. Ing. Sergio Jurado Utilidad Producto Interno Bruto Año a Año. Ventas de nuestra empresa en los últimos 10 años. Cantidad de lluvia caída al día durante el último trimestre.
  9. 9. Compo nentes Tendencia Secular Estacional Cíclica Irregular Ing. Sergio Jurado Serie Temporal
  10. 10. Ing. Sergio Jurado Componentes de una Serie Temporal Componente Tendencia Secular Componente Estacional Componente Cíclica Componente Irregular
  11. 11. ICET𝑌 Ing. Sergio Jurado Serie Temporal ICET𝑌 Modelo Aditivo Modelo Multiplicativo
  12. 12. • Dirección uniforme de una serie de tiempo de largo plazo. Ing. Sergio Jurado Tendencia Secular • Home Depot se fundó en 1978, y es el segundo minorista más grande de Estados Unidos (Wal-Mart es el más grande). En la siguiente gráfica se muestra el número de empleados en Home Depot, Inc. Puede observar que este número aumentó con rapidez en los últimos 12 años. En 1993 había poco más de 50 000 empleados, y para 2005 el número aumentó a más de 340 000.
  13. 13. • Dirección uniforme de una serie de tiempo de largo plazo. Ing. Sergio Jurado Tendencia Secular • En la siguiente gráfica se muestra el número de llamadas al servicio médico de emergencia (SME) en Horry County, Carolina del Sur, desde 1989. El número de llamadas al SME aumentó tres veces, de 12 269 en 1989 a 34 572 en 2005. Observe que el número de llamadas aumentó de 1989 a 1995. De 1995 a 2000 el número de llamadas fue casi el mismo, y en 2000 empezó otro incremento a más de 30 000. La dirección de largo plazo de la tendencia es aumentar.
  14. 14. • Dirección uniforme de una serie de tiempo de largo plazo. Ing. Sergio Jurado Tendencia Secular • El número de casas prefabricadas enviadas en Estados Unidos presentó un aumento uniforme de 1990 a 1996, luego permaneció casi igual hasta 1999, cuando el número empezó a declinar. Para 2002, el número enviado era menor al de 1990. Esta información se muestra en la siguiente gráfica.
  15. 15. • Patrones de cambio en una serie de tiempo en un año. Estos patrones tienden a repetirse cada año. Ing. Sergio Jurado Estacional
  16. 16. • Aumento y reducción de una serie de tiempo durante periodos mayores de un año. Ing. Sergio Jurado Cíclica
  17. 17. • Muchos analistas prefieren subdividir la variación irregular en variaciones episódicas y residuales. Las fluctuaciones episódicas son impredecibles, pero es posible identificarlas: como el impacto inicial de una huelga importante o de una guerra en la economía, pero una huelga o una guerra no se pueden predecir. Ing. Sergio Jurado Irregular
  18. 18. Calculo de las Componentes Series Temporales Ing. Sergio Jurado
  19. 19. Componente de Tendencia Secular Correlación y Regresión Ing. Sergio Jurado
  20. 20. • Pueda calcularse usando los modelos de regresión tratados en el anterior capitulo: • Lineal • Exponencial • Potencial • Logarítmico • Inverso • Cuadrático Ing. Sergio Jurado Tendencia Secular
  21. 21. • Se debe tener especial cuidado en el uso de estos modelos dado que se reajustan con nuevos datos que no siempre siguen la “tendencia” de la data histórica, sino que por algunas situaciones de orden aleatorio cambian en su comportamiento haciendo que el modelo se reajuste a uno semejante o a veces a uno totalmente diferente. Ing. Sergio Jurado Tendencia Secular
  22. 22. Ex01 • Ahora suponga que deseamos estimar las cargas de buques para 2015 Ing. Sergio Jurado Tendencia Secular Año 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 Número de Barcos cargados 98 105 116 119 135 156 177 208 Hacemos un gráfico de dispersión: 80 100 120 140 160 180 200 220 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Número de Barcos cargados
  23. 23. Ex01 • Ahora suponga que deseamos estimar las cargas de buques para 2015 Ing. Sergio Jurado Tendencia Secular Año 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 Número de Barcos cargados 98 105 116 119 135 156 177 208 Para mejorar los cálculos se codifica los años haciendo: 2007 = 1 2008 = 2 etc etc Año 1 2 3 4 5 6 7 8 Esto ayudara a que los coeficientes obtenidos para el modelo sean pequeños y fáciles de trabajar
  24. 24. Ex01 • Ahora suponga que deseamos estimar las cargas de buques para 2015 Ing. Sergio Jurado Tendencia Secular Año 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 Número de Barcos cargados 98 105 116 119 135 156 177 208 Calculamos los coeficientes: Año 1 2 3 4 5 6 7 8 A = 71.4286 B = 15.0714 𝑦 = 71.4286 + 15.0714𝑥
  25. 25. Ex01 • Ahora suponga que deseamos estimar las cargas de buques para 2015 Ing. Sergio Jurado Tendencia Secular Año 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 Número de Barcos cargados 98 105 116 119 135 156 177 208 Calculamos la proyección con: Año 1 2 3 4 5 6 7 8 2015 = 9 𝑦 = 71.4286 + 15.0714𝑥 𝑦 = 71.4286 + 15.0714(9) 𝑦 = 207.0712
  26. 26. Ex02 • En los últimos años, la venta de relojes electrónicos de cuarzo ha aumentado con una rapidez significativa. La tabla contiene información acerca de las ventas de estos artículos que será útil para determinar la tendencia parabólica que describe la venta de relojes. Ing. Sergio Jurado Tendencia Secular Año 2010 2011 2012 2013 2014 Número relojes 20 24 39 65 106 Calculamos la proyección para el año 2015:
  27. 27. Ing. Sergio Jurado Tendencia Secular Hacemos un gráfico de dispersión: Ex02 • En los últimos años, la venta de relojes electrónicos de cuarzo ha aumentado con una rapidez significativa. La tabla contiene información acerca de las ventas de estos artículos que será útil para determinar la tendencia parabólica que describe la venta de relojes. Año 2010 2011 2012 2013 2014 Unidades (Millones) 20 24 39 65 106 0 20 40 60 80 100 120 0 1 2 3 4 5 6 Unidades (Millones)
  28. 28. Ing. Sergio Jurado Tendencia Secular Ex02 • En los últimos años, la venta de relojes electrónicos de cuarzo ha aumentado con una rapidez significativa. La tabla contiene información acerca de las ventas de estos artículos que será útil para determinar la tendencia parabólica que describe la venta de relojes. Año 2010 2011 2012 2013 2014 Unidades (Millones) 20 24 39 65 106 Para mejorar los cálculos se codifica los años haciendo: 2010 = 1 2011 = 2 etc etc Esto ayudara a que los coeficientes obtenidos para el modelo sean pequeños y fáciles de trabajar Año 1 2 3 4 5
  29. 29. Ing. Sergio Jurado Tendencia Secular Ex02 • En los últimos años, la venta de relojes electrónicos de cuarzo ha aumentado con una rapidez significativa. La tabla contiene información acerca de las ventas de estos artículos que será útil para determinar la tendencia parabólica que describe la venta de relojes. Año 2010 2011 2012 2013 2014 Unidades (Millones) 20 24 39 65 106 Año 1 2 3 4 5 Calculamos los coeficientes: A = 29.4 B = -15.1286 𝑦 = 29.4 − 15.1286𝑥 + 6.0714𝑥2 C = 6.0714
  30. 30. Ing. Sergio Jurado Tendencia Secular Ex02 • Suponga que deseamos pronosticar las ventas de relojes para 2015. Año 2010 2011 2012 2013 2014 Unidades (Millones) 20 24 39 65 106 Año 1 2 3 4 5 Calculamos con: 2015 = 6 𝑦 = 29.4 − 15.1286𝑥 + 6.0714𝑥2 𝑦 = 29.4 − 15.1286 6 + 6.0714(6)2 𝑦 = 157.2
  31. 31. • Robin Zill y Stewart Griffiths son los propietarios de una pequeña fábrica de mesas de masaje portátiles en Hillsborough, Carolina del Norte. Desde que inició la compañía, el número de mesas que han vendido está representado por esta serie de tiempo: • a) Encuentre la ecuación de regresión que describe la tendencia del número de mesas vendidas por Robin y Stewart. Compare sin y con codificación. • b) Estime sus ventas para 2016. Ing. Sergio Jurado Ejercicio Año 2004 2005 2006 2007 2008 2010 2011 2012 2013 2014 Mesas vendidas 42 50 61 75 92 111 120 127 140 138
  32. 32. • El número de académicos que poseen computadoras personales en la Universidad de Ohio ha aumentado drásticamente entre 1990 y 1995: • a) Desarrolle la ecuación de estimación lineal que mejor describa estos datos. • b) Desarrolle la ecuación de estimación de segundo grado que mejor describa los datos. • c) Estime el número de computadoras personales que habrá en uso en la universidad en 1999, utilizando ambas ecuaciones. • d) Si hay 8,000 académicos en la universidad, ¿qué ecuación es mejor pronosticador? ¿Por qué? Ing. Sergio Jurado Ejemplo 02 Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Número de PC 50 110 350 1020 1950 3710
  33. 33. Componente Estacional Promedios Móviles Ing. Sergio Jurado
  34. 34. Año Producción 1995 5 1996 6 1997 8 1998 10 1999 5 2000 3 2001 7 2002 10 2003 12 2004 11 2005 9 2006 13 2007 15 2008 18 2009 15 2010 11 2011 14 2012 17 2013 22 Ing. Sergio Jurado Métodos de suavizamiento: Un método de suavizamiento es un proceso que permite quitar de una serie temporal las fluctuaciones cíclicas influenciadas por un factor como pueden ser las sucesión de estaciones en e año
  35. 35. Año Producción 1995 5 1996 6 1997 8 1998 10 1999 5 2000 3 2001 7 2002 10 2003 12 2004 11 2005 9 2006 13 2007 15 2008 18 2009 15 2010 11 2011 14 2012 17 2013 22 Ing. Sergio Jurado Métodos de suavizamiento: Existen dos métodos: • Exponencial: • De promedios móviles: 𝐹𝑡+1 = 𝛼𝐴 𝑡 + (1 − 𝛼)𝐹𝑡 𝑃𝑀(𝑁) = 𝑡−𝑛 𝑡 𝑥𝑖 𝑛1
  36. 36. Año Producción 1995 5 1996 6 1997 8 1998 10 1999 5 2000 3 2001 7 2002 10 2003 12 2004 11 2005 9 2006 13 2007 15 2008 18 2009 15 2010 11 2011 14 2012 17 2013 22 Ing. Sergio Jurado Promedio móvil Impar: PM3 6.33 8.00 7.67 6.00 5.00 6.67 9.67 11.00 10.67 11.00 12.33 15.33 16.00 14.67 13.33 14.00 17.67
  37. 37. Año Producción 1995 5 1996 6 1997 8 1998 10 1999 5 2000 3 2001 7 2002 10 2003 12 2004 11 2005 9 2006 13 2007 15 2008 18 2009 15 2010 11 2011 14 2012 17 2013 22 Ing. Sergio Jurado Promedio móvil Impar: PM4 7.25 7.25 6.50 6.25 6.25 8.00 10.00 10.50 11.25 12.00 13.75 15.25 14.75 14.50 14.25 16.00 PMC4 7.25 6.875 6.375 6.25 7.125 9.00 10.25 10.875 11.625 12.875 14.50 15.00 14.625 14.375 15.125
  38. 38. • Promedios móviles Impares o Pares: • Dependiendo del movimiento cíclico de la serie: Ing. Sergio Jurado Promedios Móviles 5 5 5 Promedio móvil de 5
  39. 39. • Promedios móviles Impares o Pares: • Dependiendo del movimiento cíclico de la serie: Ing. Sergio Jurado Promedios Móviles 4 4 4 Promedio móvil de 4
  40. 40. • Promedios móviles Impares o Pares: • En función de la agrupación de datos: Ing. Sergio Jurado Promedios Móviles Promedio móvil de 4 Número de huéspedes por trimestre Año I II III IV 1991 1861 2203 2415 1908 1992 1921 2343 2514 1986 1993 1834 2154 2298 1799 1994 1837 2025 2304 1965 1995 2073 2414 2339 1967
  41. 41. • Es el primer paso de la descomposición de la serie: Ing. Sergio Jurado Calculo de la componente Estacional Año Trimestre N° Huesped. 1991 I 1861 II 2203 III 2415 IV 1908 1992 I 1921 II 2343 III 2514 IV 1986 1993 I 1834 II 2154 III 2298 IV 1799 1994 I 1837 II 2025 III 2304 IV 1965 1995 I 2073 II 2414 III 2339 IV 1967 ICETY Modelo Multiplicativo IC E T Y Serie desestacionalizada (SAS)
  42. 42. Ing. Sergio Jurado Calculo de la componente Estacional Año Trimestre N° Huesped. 1991 I 1861 II 2203 III 2415 IV 1908 1992 I 1921 II 2343 III 2514 IV 1986 1993 I 1834 II 2154 III 2298 IV 1799 1994 I 1837 II 2025 III 2304 IV 1965 1995 I 2073 II 2414 III 2339 IV 1967 4 4 4 Promedio móvil de 4
  43. 43. Ing. Sergio Jurado Calculo de la componente Estacional Año Trimestre N° Huespedes Y 1991 I 1861 II 2203 III 2415 IV 1908 1992 I 1921 II 2343 III 2514 IV 1986 1993 I 1834 II 2154 III 2298 IV 1799 1994 I 1837 II 2025 III 2304 IV 1965 1995 I 2073 II 2414 III 2339 IV 1967 PM4 (1) PMC4 (2) E0 =Y/PMC4 Se necesita un E por cada trimestre PM4 (1) 2096.75 2111.75 2146.75 2171.5 2191 2169.25 2122 2068 2021.25 2022 1989.75 1991.25 2032.75 2091.75 2189 2197.75 2198.25 PMC4 (2) 2104.25 2129.25 2159.125 2181.25 2180.125 2145.625 2095 2044.625 2021.625 2005.875 1990.5 2012 2062.25 2140.375 2193.375 2198 E0 =Y/PMC4 1.1477 0.8961 0.8897 1.0742 1.1531 0.9256 0.8754 1.0535 1.1367 0.8969 0.9229 1.0065 1.1172 0.9181 0.9451 1.0983
  44. 44. Ing. Sergio Jurado Calculo de la componente Estacional Año Trimestre N° Huespedes Y 1991 I 1861 II 2203 III 2415 IV 1908 1992 I 1921 II 2343 III 2514 IV 1986 1993 I 1834 II 2154 III 2298 IV 1799 1994 I 1837 II 2025 III 2304 IV 1965 1995 I 2073 II 2414 III 2339 IV 1967 E0 =Y/PMC4 1.1477 0.8961 0.8897 1.0742 1.1531 0.9256 0.8754 1.0535 1.1367 0.8969 0.9229 1.0065 1.1172 0.9181 0.9451 1.0983 1991 1992 1993 1994 1995 I II III IV 1.1477 0.8961 0.8897 1.0742 1.1531 0.9256
  45. 45. Ing. Sergio Jurado Calculo de la componente Estacional Año Trimestre N° Huespedes Y 1991 I 1861 II 2203 III 2415 IV 1908 1992 I 1921 II 2343 III 2514 IV 1986 1993 I 1834 II 2154 III 2298 IV 1799 1994 I 1837 II 2025 III 2304 IV 1965 1995 I 2073 II 2414 III 2339 IV 1967 E0 =Y/PMC4 1.1477 0.8961 0.8897 1.0742 1.1531 0.9256 0.8754 1.0535 1.1367 0.8969 0.9229 1.0065 1.1172 0.9181 0.9451 1.0983 1991 1992 1993 1994 1995 I 0.8897 0.8754 0.9229 0.9451 II 1.0742 1.0535 1.0065 1.0983 III 1.1477 1.1531 1.1367 1.1172 IV 0.8961 0.9256 0.8969 0.9181
  46. 46. Ing. Sergio Jurado Calculo de la componente Estacional Año Trimestre N° Huespedes Y 1991 I 1861 II 2203 III 2415 IV 1908 1992 I 1921 II 2343 III 2514 IV 1986 1993 I 1834 II 2154 III 2298 IV 1799 1994 I 1837 II 2025 III 2304 IV 1965 1995 I 2073 II 2414 III 2339 IV 1967 E0 =Y/PMC4 1.1477 0.8961 0.8897 1.0742 1.1531 0.9256 0.8754 1.0535 1.1367 0.8969 0.9229 1.0065 1.1172 0.9181 0.9451 1.0983 1991 1992 1993 1994 1995 I 0.8897 0.8754 0.9229 0.9451 II 1.0742 1.0535 1.0065 1.0983 III 1.1477 1.1531 1.1367 1.1172 IV 0.8961 0.9256 0.8969 0.9181 PromedioPromedio 0.9083 1.0581 1.1387 0.9092 4.0143 Factor de corrección = fc = 4 4.0143 =0.9964 EiEi 0.9051 1.0543 1.1346 0.9060 4
  47. 47. Ing. Sergio Jurado Calculo de la componente Estacional Año Trimestre N° Huespedes Y 1991 I 1861 II 2203 III 2415 IV 1908 1992 I 1921 II 2343 III 2514 IV 1986 1993 I 1834 II 2154 III 2298 IV 1799 1994 I 1837 II 2025 III 2304 IV 1965 1995 I 2073 II 2414 III 2339 IV 1967 Ei EiEi 0.9051 1.0543 1.1346 0.9060 Ei 0.9051 1.0543 1.1346 0.9060 0.9051 1.0543 1.1346 0.9060 0.9051 1.0543 1.1346 0.9060 0.9051 1.0543 1.1346 0.9060 0.9051 1.0543 1.1346 0.9060
  48. 48. Ing. Sergio Jurado Calculo de la componente Estacional Año Trimestre N° Huespedes Y 1991 I 1861 II 2203 III 2415 IV 1908 1992 I 1921 II 2343 III 2514 IV 1986 1993 I 1834 II 2154 III 2298 IV 1799 1994 I 1837 II 2025 III 2304 IV 1965 1995 I 2073 II 2414 III 2339 IV 1967 EiEi 0.9051 1.0543 1.1346 0.9060 0.9051 1.0543 1.1346 0.9060 0.9051 1.0543 1.1346 0.9060 0.9051 1.0543 1.1346 0.9060 0.9051 1.0543 1.1346 0.9060 SAS = Y/Ei SAS = Y/Ei 2056.21 2089.45 2128.40 2106.11 2122.50 2222.23 2215.65 2192.21 2026.37 2042.97 2025.29 1985.79 2029.69 1920.62 2030.57 2169.03 2290.44 2289.57 2061.42 2171.24 Calculamos la Regresión con los datos de esta serie desestacionalizada
  49. 49. Ing. Sergio Jurado Calculo de la componente Estacional Año Trimestre N° Huespedes Y 1991 I 1861 II 2203 III 2415 IV 1908 1992 I 1921 II 2343 III 2514 IV 1986 1993 I 1834 II 2154 III 2298 IV 1799 1994 I 1837 II 2025 III 2304 IV 1965 1995 I 2073 II 2414 III 2339 IV 1967 EiEi 0.9051 1.0543 1.1346 0.9060 0.9051 1.0543 1.1346 0.9060 0.9051 1.0543 1.1346 0.9060 0.9051 1.0543 1.1346 0.9060 0.9051 1.0543 1.1346 0.9060 Periodo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 SAS = Y/Ei 2056.21 2089.45 2128.40 2106.11 2122.50 2222.23 2215.65 2192.21 2026.37 2042.97 2025.29 1985.79 2029.69 1920.62 2030.57 2169.03 2290.44 2289.57 2061.42 2171.24 Calculamos la Regresión con los datos de esta serie desestacionalizada A= 2090.7 B= 1.7238 𝑦 = 2090.7 + 1.7238𝑥
  50. 50. Ing. Sergio Jurado Calculo de la componente Estacional Año Trimestre N° Huespedes Y 1991 I 1861 II 2203 III 2415 IV 1908 1992 I 1921 II 2343 III 2514 IV 1986 1993 I 1834 II 2154 III 2298 IV 1799 1994 I 1837 II 2025 III 2304 IV 1965 1995 I 2073 II 2414 III 2339 IV 1967 Ei 0.9051 1.0543 1.1346 0.9060 𝑦 = 2090.7 + 1.7238𝑥 ETY
  51. 51. • Utilice los siguientes porcentajes del promedio real respecto al promedio móvil que describen el flujo de efectivo trimestral en el Village Bank de Carrboro, N.C. durante un periodo de 4 años, para calcular el índice estacional para cada trimestre. Ing. Sergio Jurado Resuelve: Primavera Verano Otoño Invierno 2008 87 106 86 125 2009 85 110 83 127 2010 84 105 87 128 2011 88 104 88 124 Realice el pronóstico para el Otoño de 2014

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