1) O documento discute conceitos geométricos como segmentos, razão entre segmentos, segmentos proporcionais, feixes de retas paralelas, retas transversais, teorema de Tales, ampliação e redução de figuras, semelhança em figuras planas, homotetia, polígonos semelhantes, triângulos semelhantes e relações métricas no triângulo retângulo. 2) É apresentado o teorema de Pitágoras e uma demonstração geométrica deste teorema. 3)

1. 1

2. SEGMENTOS, RETAS E RELAÇÕES DE
PROPORCIONALIDADE
• Razão de segmento
A razão entre dois segmentos AB e CD é a
divisão de suas medidas, tomadas na mesma
unidade.
Sejam os segmentos AB e CD , a razão entre
eles é CD 5 , ou seja: AB é 3/5 de CD.
AB 3
2

3. SEGMENTOS PROPORCIONAIS
• Se quatro segmentos AB, CD,EF ,GH formam
AB EF
a proporção CD = GH ,dizemos que AB e CD
são proporcionais a EF e GH
AB EF
=
CD GH
2 4
=
3 6
3

4. Feixes de retas e reta transversal
Feixes de paralelas Reta transversal
• Um conjunto de retas • A reta que concorre (corta)
de um plano, todas o feixe de paralelas é
paralelas entre si, é chamada reta transversal.
chamado de feixe de Temos que: q  r  s e a
retas paralelas. reta t é a transversal.
• Temos que: t  r  s
•
4

5. TEOREMA DE TALES
• Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas
retas transversais, os segmentos de reta
determinados sobre uma são proporcionais aos
segmentos correspondentes determinados sobre
outra.
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6. Exemplos: Teorema de Tales
• Exemplo 1:
Consideremos o feixe de paralelas abaixo, cortado por duas retas
transversais.
6

7. Exemplo 2
São observadas as seguintes proporções:
7

8. Exemplo de aplicação do Teorema de Tales.
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9. SEMELHANÇA EM FIGURAS
PLANAS
Ampliação, redução, homotetia
9

10. Ampliação e Redução
Redução: a figura II foi obtida a
Ampliação: a figura II foi obtida a partir de redução da figura I
partir de ampliação da figura I I
II
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11. Relações entre as medidas das figuras
Relação entre os lados Relação entre os ângulos
• Considerando a1, b1 e c1 os lados • Considerando a figura I, e seus
da figura I e h1 a sua altura. respectivos ângulos: , ,
• Considerando a2, b2 e c2 os lados • Considerando a figura II e seus
da figura II e h2 a sua altura temos: respectivos ângulos: ´, ', '
h1 1 c1 2 1
;
h2 2 c2 4 2
• Usando um instrumento para medir
h1 c1 ângulos, verificamos que:
Assim temos que h2 c2 • =
, , ´, ', '
Verificando a mesma relação em a1,b1
e a2, b2 , verificamos que as • Assim, em uma ampliação ou
figuras são proporcionais, onde redução, os lados correspondentes
h1 = ½ h2 ou h2 = 2 h1 aumentam proporcionalmente, e os
e semelhantemente aos outros ângulos são congruentes (iguais).
lados.
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12. TRIANGULOS SEMELHANTES
Os lados correspondentes são proporcionais e os ângulos congruentes.
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13. Identifica a figura semelhante ao modelo e indica a razão de semelhança.
Figuras semelhantes e não semelhantes
• Qual das figuras é semelhante ao modelo?
• As figuras A e C tem características semelhantes ao modelo,
porém não são consideradas semelhantes pois não possuem
formas iguais e dimensões proporcionais.
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14. Homotetia: transformação de figuras planas
• A partir de um ponto O, traçamos retas que passam em cada um dos
pontos A, B, C e D da figura original . Depois, em cada reta traçada,
marcamos os pontos A’, B’, C’ e D’ de modo que OA’ = k OA , onde k é a
constante de proporcionalidade. Fazemos da mesma forma com os demais
pontos.
• O ponto O é denominado centro de homotetia.
• As figuras ABCD e A’B’C’D’ são semelhantes.
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15. Centro de homotetia
• O ponto H é o centro de • As figuras são
homotetia. semelhantes.
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16. Relação entre perímetro e área de polígonos semelhantes.
• Consideremos os polígonos • O perímetro da figura abcde é
abaixo: a+b+c+d, e o perímetro da figura
a’b’c’d’e’ é a’+b’+c’+d’+e’.
Assim, a razão entre os perímetros é :
a b c d e
a' b' ' d ' e'
Da afirmação II, concluímos que:
a b c d e k (a ' b ' c ' d ' e ')
Assim:
a b c d e
k
a' b' ' d ' e'
Concluímos então que os perímetros
I) São semelhantes, com constante são proporcionais.
de proporcionalidade igual a k.
II) Temos então que a= k a’, b = k b’ e
sucessivamente.
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17. Área de figuras semelhantes
• Consideremos os retângulos R1 e • A razão entre as áreas é:
R2, semelhantes:
A a b
A2 a' b'
Como: a = 3 a’,
b = 3b’
então:
• Sejam a, b, c e d o lados de R1, e
a’, b’, c’ e d’ os lado de R2. A a b 3a ' 3b ' 32 a ' b '
• Temos que: A2 a' b' a' b' a' b'
a 9 b 3
3; 3 Assim:
a' 3 b' 1 A 32
; A 32 A2
• A área de R1 é : A a b A2 1
• A área de R2 é: A2 a' b'
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18. Razão entre perímetro e área de
figuras semelhantes
• Perímetro: a razão entre • Área: a razão entre suas
seus perímetros é igual à áreas é igual ao quadrado
razão entre quaisquer dois da razão entre quaisquer
lados correspondentes dois lados correspondentes.
P A1 2
1
k k
P2 A2
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19. Posições relativas de duas retas
• Duas retas distintas irão assumir as seguintes posições relativas
no espaço:
• Retas paralelas: duas retas são paralelas se pertencerem ao
mesmo plano (coplanares) e não possuírem ponto de
intersecção ou ponto em comum.
•
• Retas coincidentes: pertencem ao mesmo plano e possuem
todos os pontos em comum.
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20. Posições relativas de duas retas
• Retas concorrentes: duas retas concorrentes possuem apenas
um ponto comum. Não é necessário que pertençam ao
mesmo plano.
• Retas concorrentes perpendiculares: são retas que possuem
ponto em comum formando um ângulo de 90° .
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21. Ângulos opostos pelo vértice
• Duas retas concorrentes determinam dois pares de ângulos
opostos pelo vértice.
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22. Ângulos opostos pelo vértice
• Dois ângulos opostos pelo vértice tem a
mesma medida.
• Considerando os ângulos: x, y, z e k, temos:
• x = z; y = k
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23. Ângulos formados por retas paralelas cortadas por
uma reta transversal
Consideremos as retas e ângulos abaixo:
• Temos que r e s são paralelas .
• Os ângulos a, e, c e g são
congruentes.
• Os ângulos b, d, f e h são
congruentes.
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24. Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo
• Em todo triângulo, a soma das medidas dos
três ângulos internos é igual a 180° .
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25. Triângulos
• Triângulo eqüilátero: possui os três lados iguais e também os
três ângulos.
• Triângulo isósceles: possui dois lados iguais. Os ângulos
correspondentes aos lados iguais também são iguais.
• Triângulo escaleno: possui os três lados distintos. Os ângulos
também são distintos.
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26. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
• Dois triângulos são semelhantes quando tem os
ângulos correspondentes congruentes e os lados
correspondentes proporcionais.
• Indicamos:
 ABC  A' B'C '
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27. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
• Se traçarmos um segmento de reta paralelo a qualquer um
dos lados de um triângulo e ficar determinado outro
triângulo, este será semelhante ao primeiro.
• Consideremos Pelo Teorema de
os triângulos Tales:
CAB e CEF, temos:
CE CF EF
ˆ
CEF ˆ
CAD CA CB AB
ˆ
CFE ˆ
CBA Assim:
ˆ
ECF ˆ
ACB
CAB CEF
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28. Casos de semelhança de triângulos
• AA (ângulo – ângulo): Se dois triângulos possuem
dois ângulos correspondentes congruentes, então
eles são semelhantes.
• LAL (lado – ângulo – lado): Se dois triângulos tem
dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo
por eles compreendido tem a mesma medida, eles
são semelhantes.
• LLL (lado – lado – lado): Se dois triângulos tem os
tres lados correspondentes proporcionais, eles são
semelhantes.
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29. LAL (lado – ângulo – lado)
Dois lados correspondentes proporcionais e um ângulo congruente.
29

30. AA (ângulo – ângulo)
Os ângulos correspondentes são congruentes, então os
triângulos são semelhantes.
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31. LLL (lado – lado – lado)
Os lados correspondentes são proporcionais. Os triângulos são
semelhantes.
31

32. Relações métricas no triângulo retângulo
• Triângulo Retângulo: possui um ângulo de 90° .
• Seja ABC o triângulo retângulo
• Os elementos de um triângulo recebem denominações
especiais:
• O lado a, oposto ao ângulo reto é a hipotenusa;
• Os lados b e c, são os catetos.
b
h
c
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33. Relações métricas no triângulo retângulo
Ao traçarmos a altura AD, relativa à
No triangulo retângulo ABC temos:
hipotenusa, obtemos
• h: medida da altura relativa
à hipotenusa;
• m: medida da projeção do
cateto AB sobre a
hipotenusa;
• n: medida da projeção do
cateto AC sobre a
hipotenusa.
• Hipotenusa: a
• Catetos b e c
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34. Relações métricas no triângulo retângulo
• Seja o triangulo retângulo • Os triângulos EBA e EAC
ABC. são semelhantes.
Concluímos também que
os triângulos EBA, EAC e
ABC são semelhantes.

35. Relações métricas no triângulo retângulo
• Explorando a semelhança dos triângulos temos:
•  ABC  EBA
BC AB a c
c2 a n (1)
AB BE c n
•  ABC  EAC
BC AC a b
b2 a m (2)
AC EC b m
AE BE h n
•  EBA  EAC
EC AE m h
h2 m n (3)
• Das relações (1) e (2) e em seguida usando a (3) obtemos:
a h b c
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36. Relações métricas no triângulo retângulo
• Somando membro a membro as relações (1) e (2) e
observando que m+n = a, obtemos:
b2 a m
b2 c2 a m a n b2 c2 a (m n)
 b2 c2 a2
c2 a n a
• Assim num triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa
a, temos:
2 2 2
a b c
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37. TEOREMA DE PITÁGORAS
• “Em qualquer triângulo retângulo, o
quadrado da medida da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados das medidas dos
catetos.” 2 2 2
a b c
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38. Demonstração do Teorema de Pitágoras
• O vídeo representa uma demonstração geométrica do
Teorema de Pitágoras:
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39. Relações métricas no triângulo
retângulo
• Quadro resumo: • Da semelhança de triângulos
temos as seguintes relações:
c2 a n
b2 a m
h2 m n
a h b c
a m n
a2 b2 c2
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