[2020CAPE公開セミナー] 論理学上級 I-3「デフレ主義的真理理論」
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前回、タルスキの真理定義について紹介しましたが、タルスキの結果は大変素晴らしいものであり、その結果を受けて多くの哲学者が真理概念をどういうものであり、どういう性質を満たすべきかについて論争を始めます。その中で「デフレ主義」が台頭してきます。真理概念とは、タルスキの真理定義によって特徴付けられるような、最小限のものであるという主張です。デイヴィッドソンの批判の後、その批判を一部くみ取る形で、デフレ主義的真理理論は公理的な真理理論として形式化されてきました。 公開セミナー第三回は、デフレ主義的な真理理論とその公理的な形式化を紹介します。 Youtube: https://youtu.be/v5pxSyqep-k 講演website： https://kyoto-logic.hatenablog.com/entry/2021/03/13/000000
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[2020CAPE公開セミナー] 論理学上級 I-3「デフレ主義的真理理論」
- 1. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 論理学上級 I-3 デフレ主義的真理理論 矢田部俊介 京都大学大学院 文学研究科 応用哲学・倫理学センター（CAPE） 3/14（日） 午前 1000-1200 2020 年度 論理学上級 I 「ウソツキのパラドックス 2020（傾向と対策）ー真理理論入門」 京都大学大学院文学研究科 応用哲学・倫理学センター（CAPE）公開セミナー 1 / 58
- 3. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 1.1 背景：真理概念の歴史 ドナルド・デイヴィドソン「真理の復権」p.21 真理を貶めることが意義ある事であるかのように思わ れる以前は、真理の価値を過大に表現するか、本来持 てない力能を真理に付与することが常であった。· · · その混乱した考え方によれば、哲学は、最終的でもっ とも基礎的な真理、すなわち、科学や道徳といったそ れ以外ののすべての真理が依拠しなければならない真 理を探究するという役割が与えられていた。· · · これは · · · ひどい混同、すなわちカテゴリーミステイ クである。真理は対象ではなく、従ってそのものが真 であることなどありえない。真理は概念なのであり、 文、発話、信念、命題といった、命題的な内容を持つ 存在者に、理解可能な形で帰属するものである。 3 / 58
- 4. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 2 真理に関する哲学的理論 4 / 58
- 5. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 2.1 真理の価値の過大な表現 5 / 58
- 6. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 2.1.1 真理の対応説 ある文が真となるのは、世界の中に、その文を真にするよう な何か（ 「事実」 ）が存在し、それと対応しているからである。 • フレーゲ、ラッセル、ウィトゲンシュタインなど • 利点：文は「世界」について語っており、 「世界」のあり 方（ 「事実」 ）によって文が正しくなったり間違ったりす るという素朴な見方を反映している • 問題点： 「世界」って何？「事実」って何？どういう存 在者？ 6 / 58
- 7. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 2.1.2 真理の整合説 ある文が真となるのは、その文は、他の我々が真であると考 える文と整合的であり、そのうえその文が真であると仮定す ると色々都合がいい（有用である）からである。 • プラグマティスト • 利点：他の信念と関係である命題は真になったり、偽に なったりするので、その意味で、科学的研究における仮 説的な探求（ある時点で真と思われた仮説（天動説やフ ロギストン）は、実験データが増えることで偽と思われ るようになった）をうまく説明できる • 問題点：なんでもありになってしまう、日常的な場面で 真理概念がはたす規範的な役割を説明できない 7 / 58
- 8. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 2.2 「真理を貶める」 ：プレ・デフレ主義 8 / 58
- 9. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 2.2.1 ラムジーの真理の剰余説、クワインの引用符解除 • 真理の剰余説 • 1920 年代にラムジーによって提唱 • 「真理概念は意味論において特に役割を果たさない余計 な剰余物である（ 『φ が真であるというぐらいだったら φ と直接言えよ』 ） 」 • 引用符解除的真理観 (disquotational view of truth) • クワインが提唱 • 引用符解除的真理観は、真理述語の仕事は引用符の解除 のみであると主張する。 • 「 『雪が白い』が真である」と言うときに「真である」と いう述語がすることは、 『雪が白い』の引用括弧『』を除 去する働きしかない、冗長なものである • この意味において、真理概念は意味論において積極的な 役割は果たさない。 9 / 58
- 10. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 2.2.2 タルスキの公理的真理理論 引用解除的真理概念は、安直に公理化することができる： DT（disquotational truth） • べースの言語として、タルスキの場合と同じように、形 式的算術 PA の言語 L をベースに、真理述語 Tr を付加し たメタ理論の言語を L と名付ける。 • 言語の階層 ⟨Ln : n ∈ ω⟩ を考える。 • DTω = ⟨Trn : n ∈ ω⟩ はその言語上、以下の公理および公 理図式からなる階層的真理理論である。 • L0 上の DT0 は、PA のすべての公理および公理図式から なる理論である。 • Ln+1 上の DTn+1 は、任意の Ln の文 φ に対する T-図式か らなる理論である。 φ ≡ Trn+1(⌈φ⌉) 10 / 58
- 11. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 2.2.3 DT の性質 DT のポイントは以下の通り。 • PA の文についてはすべての T-文が公理として T1 に入っ ているため、算術の真理をすべて表現できた体系になっ ている。 • ウソツキ文のような文は、タルスキの階層理論と全く同 様に、この理論上では定義不可能である。 • この公理系の無矛盾性証明も問題ない（モデルはまさし く Tω そのものである） 11 / 58
- 12. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 2.2.4 ホーウィッチの初期型デフレ主義 DT をそのまま哲学的理論化したものと解釈できるのが、ホー ウィッチのデフレ主義（初期型）である。 • 主張：真理概念とは、T-図式をみたすもののことである。 いいかえれば、真理概念とは T-文全体の集合（文の無限 集合）以上のものではない。 • 利点 • タルスキの T-文の明快さをそのままうけついだ、脱神秘 化された真理概念 • 形式的に明快 12 / 58
- 13. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 2.2.5 （プレ／初期型）デフレ的真理理論の問題点 1 • タルスキの T-文に関しても、 「雪が白い」のような通常の 真理概念を含まない文が対象の場合、引用符解除的真理 観に倣って、真理概念はなくてもよいもの、剰余的なも の、冗長なものと見なせる • しかし、真理述語を含む文で、引用符解除的に読めない 文が存在する • 一般論、一般化された主張を述べる場合 「彼の言ったことは全て真である」 • 無限連言を述べる場合 形式化された算術の場合、例えば「PA から証明される定 理はみな真である」という主張の場合は、無限個の文 「PA の定理 φ0 は真である」,「PA の定理 φ1 は真であ る」,· · · の無限連言として解釈しなければならない。 真理は、上記のような「説明のためには不要だが、表現力のた めには不可欠」な役割を果たす。 （プレ／初期型）デフレ主義 では、こういう真理概念の用法をカバーできない。 13 / 58
- 14. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 2.2.6（プレ／初期型）デフレ的真理理論の問題点 2 デイヴィドソン 我々は素朴な真理概念をすでに持っているからこそ、 T-文を満たす述語 Tr(x) を「真理述語」と呼んでしま うのではないか。 つまり T-文だけが定義と見做すには、真理が満たして欲しい 性質を満たしていない • タルスキの真理定義の場合、その意味論において以下の 式が成立する（Fml は Lω の文のゲーデル数の集合） ： (∀x ∈ Fml)(∃y)[Try(x) ∨ Try( ˙ ¬x)] 「任意の論理式について排中律が成立する」 • しかし DTω は T-文の寄せ集めで、この排中律のような、 真理に関するメタな原理の真理性を証明できない。 • DTω では（そもそも一般論を展開する能力がないため） 真理が持つべき性質に関する一般論が展開できず、真理 概念の探求という視点から見れば、非常につまらない体 系である。 14 / 58
- 15. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 2.3 なぜ文に帰属する概念としての真理が哲学 の問題となるのか：自然言語の意味と真理 15 / 58
- 16. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 2.3.1 自然言語の意味と真理概念 一見、タルスキの真理理論は、あまり自然言語の理解（とくに 自然言語における真理概念の解明）に役立つもののようには 見えない。 • タルスキの意味論では、任意の文が実質的で形式により 意味が十全に定まるようなものであること、つまり文の 字面から一意に解釈が決まる形式言語を対象とする。 • 自然言語は曖昧性や多義性、さらには指示詞（ 「今日は火 曜日です」は日によって真偽が異なる）を含み、字面か ら意味を一意に決定できないため、対象とはならない。 • ウソツキのパラドックスのように、自然言語には自己言 及性、そして矛盾が れているように見える。 タルスキ自身は「統一科学」の言語を目指していた 16 / 58
- 17. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 2.3.2 デイヴィドソン：真理と意味 デイヴィドソン（1917 ‒ 2003） ：タルスキ流の真理定義を拡 張し、自身の自然言語の真理条件意味論を提案 • ある一定の条件を満たす真理理論（真理値が同じだか らと言って「 『雪は白い』は真である ⇐⇒ 草は緑であ る」を導出しない、等）であれば、それは対象言語に対す る意味の理論と見なせる、と主張。 • 以下の二文を比べてみよう。 • M-文： A は p ということを意味する • T-文： A が真である ⇐⇒ p 形が似ている、というか、M-文は T-文の特殊な派生物で あると言えそうだ、というのが直感的説明。 • 「ある文の意味を知るとは、その文がどんな時に真にな るかを知ることだ」と言い直すこともできる。 17 / 58
- 18. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3. （後期型）デフレ主義 18 / 58
- 19. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.1 内容豊かな公理的理論を求めて 19 / 58
- 20. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 （3.1.1 前期デイヴィドソンの真理観（思い出し） ） • デイヴィドソン「真理とは文の属性である」 （真理述語は 一変数であって、文の名前を入力としてとるだけである） • （前期）デイヴィドソン「タルスキの真理定義は我々が 文の意味理論に問うてきた全てのことを提供する」 • 一方、タルスキの構成して見せたモデル相対的な真理概 念こと「モデルにおける真理」とは、モデルと文との間 の関係であって、文の属性ではない • エチュメンディ「デイヴィドソンは、タルスキのモデル 相対的な真理概念から、デイヴィドソンがほしがってい る「絶対的」な真理概念をどうやって手にれるつもりな のか？」 20 / 58
- 21. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.1.2 （後期）デイヴィドソンの真理観 • 真理は定義不能な原始概念である • タルスキの意味論的な真理理論は、意味概念を指示概念 （モデルにおける真理値）に還元すると解釈することがで きるので、その意味で真理概念を還元する • （公理的真理理論をプッシュする方向） • 一方で、合成性など、真理に関する一般的な性質は、わ れわれが持つ真理概念に含まれており、それがないのは 困る（タルスキ推し） 一般論が言える公理的理論？ 21 / 58
- 22. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.1.3 真理に関する一般論を：合成性 真理に関するメタな原理の例として、合成性に注目して話を 進めよう。合成性は、大体以下の通りの性質である：P を（Tr 以外の）n-変数述語とし、val: 閉項 → 領域への関数とする （val は変数を表現する仕組みである） 。このとき (T1) (∀t1 · · · tn) [Tr(⌈P(t1, · · · , tn)⌉) ≡ P(val(t1), · · · , val(tn))], (T2) (∀A ∈ L) [Tr(⌈¬A⌉) ≡ ¬Tr(⌈A⌉)], (T3) (∀A, B ∈ L) [Tr(⌈A ∧ B⌉) ≡ Tr(⌈A⌉) ∧ Tr(⌈B⌉)], (T4) (∀A(v) ∈ L) [Tr⌈∀vA(v)⌉ ≡ ∀tTr(⌈A(ṫ)⌉)], この公理系は、論理結合子と量化子が真理述語と可換であるこ と、そしてつまりは真理が合成的であることを示している。 22 / 58
- 23. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.1.4 真理に関する一般論を：合成性 以上の性質が満たされている場合、任意の算術的な論理式 φ に関し、真理述語のついた論理式 Tr(φ) は、結果的に φ と同値 になることが示せる。 • 論理結合子は (T2),(T3)（→, ∨ は ¬, ∧ を組み合わせて定 義する）で還元する • 量化子は (T4) で還元する • 最後に原始述語までたどり着いたら (T1) で真理述語を除 去する その意味で、(T1)-(T4) を満たす理論は、十分多くの論理式に 対し、T-文を提供できる。 （タルスキの真理の帰納的定義の逆向きの「無限降下法」 ） 23 / 58
- 24. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.1.5 合成性を持つ事が一目で明らかな真理理論 CT0（ 真理理論 CT0（“Compositional Truth”） ： 基本的なアイディアは、量化子の範囲を、L の文だけでなく、 L の文にも広げる。 Definition (CT0) 以下の１つの公理図式と 3 公理からなる公理系を CT0 と呼ぶ (T1) (∀t1 · · · tn) [Tr(⌈P(t1, · · · , tn)⌉) ≡ P(val(t1), · · · , val(tn))] が任意の P について成立する, (C2) (∀x ∈ Fml) [Tr( ˙ ¬x) ≡ ¬Tr(x)], (C3) (∀x, y ∈ Fml) [Tr(x ˙ ∧y) ≡ Tr(x) ∧ Tr(y)], (C4) (∀x(v) ∈ Fml) [Tr(⌈∀v x(v)⌉) ≡ ∀tTr(⌈x(ṫ)⌉)], 条件 (T1) はそのまま公理図式となる（体系が持つ原始述語の 数だけ、つまり有限個の公理から構成される）が、残りは公理 として (T2)-(T4) を一段階メタな立場から記述する。つまり CT0 は有限公理化可能である。 24 / 58
- 25. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.1.6 有限公理化に関する注意 1 • (T2)-(T4) の内容は、PA ならば公理図式の形でしか記述で きない。というのも、 「任意の論理式 φ に対し」という記 述はメタレベルの量化であり、通常の対象理論の枠組み ではできないからである。 • しかし、体系が十分強力な真理述語を持っている場合、 論理式のゲーデル数（つまり自然数）上の量化、 ∀x ∈ Fml、という形で量化可能である。後は真理述語を 使い、そのゲーデル数を論理式に戻せばよい • ゲーデル数上の量化によって体系を有限公理化可能にす るというテクニックは、以下の場合でも使われる • PA は有限公理化不可能だがその部分体系で部分的真理述 語が構成可能な IΣ1 が有限公理化可能 • 一階の理論である ZF は有限公理化不可能だが二階の論理 である BG は有限公理化可能である 25 / 58
- 26. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.1.7 有限公理化に関する注意 2 現代的な公理的真理理論は、タルスキの指摘した問題点を乗 り越えた。?? 節で触れたデイヴィッドソンの転回 [Dv10] は、 このようなことが可能になった真理理論における技術革新が 理由の一つであると言われている 言語の学習可能性を考えると、無限個の公理を一つ一つ学ぶ 事は考えられないので、真理理論の有限公理化は必須であっ た。まさしく一般的な表現を可能にする真理概念の面目躍如 である。 26 / 58
- 27. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.2 「一般論の王国」 ：後期型デフレ主義 「まったく、もし一般論の国というものがあったら、 君はそこで王様になれるよ」 （村上春樹「羊をめぐる冒険」 ） 27 / 58
- 28. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.2.1 後期型デフレ主義 公理論的な後期型デフレ主義的真理概念の中心は以下の主張 である [HH05]。 「真理とは論理-数学的概念である」 「論理-数学的概念」とは何か。 • ある文と、その文が真であることとの間には、論理的ま たは数学的な関係が成立していると見なされる。 • 公理論的デフレ主義にとってこの論理-数学的概念は第一 の原始概念である。そして意味論的概念など他の概念は、 真理という語を使用して定義を開始しなければならない。 28 / 58
- 29. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.2.2 後期型デフレ主義 「論理-数学的概念」とは何か。 • 対応説では、文が真になるのは、文と世界（ 「事態」とか 「真理の作り手」 （Truth maker）とか）との間に関係があ るからと見做す • 公理論的デフレ主義においては、文と真理の間の関係と、 そういう世界との対応関係とか事実とかは関係がないと 見なされる • 対応説は、我々がある文を真だと知るのは別の「事実文」 が真だと知っているからだという認識論的関係を、文と 「事実」の間の対応関係と混同している。 29 / 58
- 30. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.2.3 後期型デフレ主義と一般論の王国 • 歴史的には真理の剰余説、およびクワインの提唱した引 用符解除的真理観 (disquotational view of truth) にまで ることができ、デフレ主義一般はその主張が引用符解除 的真理観と混同されることがある [八木沢]。 • 真理述語を含まない文に関しては、デフレ主義も引用解 除も同じ振る舞いをする。 • 公理論的デフレ主義が引用符解除的真理観と本質的な違 うのは、以下のような一般論、一般化された主張を述べ ることができる点である。 「PA から証明される定理はみな真である」 • この言明は、真理概念抜きで表現するのは困難である： 無理に真理概念抜きで表現しようとすれば、無限個の文 「PA の定理 φ0 は真である」,「PA の定理 φ1 は真であ る」,· · · の無限連言として解釈しなければならない。 • 公理論的デフレ主義者にとって、真理述語とは無限連言 を表現するためのツールである。 30 / 58
- 31. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.2.4 一般論の王国（例） 例えば後述する FS で以下の形の文が導出可能 ∀xTr(⌈φ(x)⌉) この文は明らかに引用符解除以上のことを言っている． • 無限個の文 φ0, φ1, · · · がある • 再帰関数 f(x) として，任意の n を入力すると，φ(n) の ゲーデル数 ⌈φn⌉ を出力できるものが存在したとする． • ∀xTr(f(x)) は，その直感的意味を考えると φ0 ∧ φ1 ∧ · · · という無限連言 • 引用符解除に加え，量化子に真理述語との可換性を許す ことにより無限連言を許す立場が公理的な後期型デフレ 主義の内実である。 31 / 58
- 32. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.2.5 一般論の王国への要求事項 1 公理的デフレ主義者にとっての要求事項表を作成してみよう [HH05]。まず全般的な要求事項として、以下の 3 つを持つ： D1 S はシンプル性と自然性の要求を満たすべき：理論は可 能な限り ad hoc な要素を持たないべき D2 S は真理の合成的な本性を満たすべき：S は、ある文の真 理値が、その文の部分文の真理値からどのように決定さ れるかを説明しなくてはならない D3 S は可能な限り多くの真なる一般論、無限連言文を証明 できるものであるべき：Tr をもつ最大の理由は、無限連 言を表現するためである。しかし、無限連言を表現する ことは、それが証明できなければ余り意味がない。 32 / 58
- 33. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.2.6 一般論の王国への要求事項 2 また、非古典論理を採用するべきかどうかの問題に関しては、 以下の二つの要求事項を持つ（ライトゲーブのものと同じで ある） 。 D4 S が T について推論する土台の理論（内部論理）は、S が 閉じているところの論理（外部論理）と同じであるべき D5 古典論理が望ましい。外部論理だけではなく、内部論理 も古典論理であるべき 33 / 58
- 34. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.2.7 一般論の王国についての一般論 • 公理的デフレ主義者は、真理とは一般化（または無限連 言）を導出するためのツールであると信じている。 • CT0 の (C4) のような公理が、これらの無限連言を導出す るための手段を提供すると考えるのである。 (C4) (∀x(v) ∈ Fml) [Tr(⌈∀v x(v)⌉) ≡ ∀tTr(⌈x(ṫ)⌉)], 実は、(C4) 公理を付加すると、体系の証明論的強さが劇 的に跳ね上がることが知られている。 • そのため、公理論的デフレ主義者は (C4) が死活的に重要 であると認めた上で、それを付加したことの証明論的帰結 を戦々恐々としながらチェックし続けているのであった。 34 / 58
- 35. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.3 デフレ的真理と保存拡大性 好事魔多し 35 / 58
- 36. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.3.1 あいまいな一般論の王国の私 • 公理論的デフレ主義は真理の剰余説と引用符解除的真理 観の後 であるので、無限連言に関わらないところでは、 真理概念は可能な限り余剰である事が求められる。 • 疑問： 「可能な限り」ってどの程度なの？ • 前節の要求事項リストは「自然な」とか「可能な限り多 くの」とか曖昧な要請のオンパレードである • 具体的なある体系があるとき、その体系が公理論的デフ レ主義的であることの具体的な基準はなんだろうか。 36 / 58
- 37. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.3.2 保存拡大性 一番最初に思いつく基準は、証明論的意味論における論理結 合子の基準 [?] と同じく、以下のものであろう。 Definition (理論の保存拡大性) • 言語 L′ は、言語 L に新記号を付け加え拡大した言語 • 言語 L′ 上の理論 T′ は、言語 L 上の理論 T に付加した新 記号に関する公理（図式）を付け加え、拡張した体系 • T′ が T の保存拡大であるとは、任意の L の論理式 φ に関 し、以下が成立することである： T′ ⊢ φ ならば T ⊢ φ 37 / 58
- 38. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 3.3.3 保存拡大な理論は可能な限り余剰 ベース理論として形式的な算術 T をとり、それに真理概念に 関する公理（図式）を付け加えるた理論 T′ へ拡張する場合を 考えよう。その拡張が保存拡大である場合、 • 真理述語を含まない文に関しては、もとのままである （その真理概念は剰余的である） • 真理述語を含む文に関しては、無限連言などの証明が可 能になる（一般的な表現が可能になる） ということになる。かくして、剰余的でありながら一般的な 表現が可能になる、一見矛盾する二つの理想的要素を兼ね備 えた真理概念が定義出来たことになる。 38 / 58
- 39. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 4 公理的真理理論の階層と保存拡大性の破れ 39 / 58
- 40. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 4.1 反映原理による公理的真理理論の階層化 40 / 58
- 41. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 4.1.1 反映原理 • CT0 は無矛盾であり、従って、矛盾しない限り、いくら でも好きな公理を足しても良い。 • 例えば、論理学において重要な性質を満たす「健全性」 を満たすために、以下の反映公理を付加する (∀x ∈ Fml) [provblS(x) → Tr(x)] (GRFNS) • 通常、健全性は意味論の性質であり、公理の方でそのこ とを表現しないが、ここでは統辞論的に健全性が記述さ れている • CT0 に GRFNCT0 を付加すれば、すべての CT0 の定理が 真になる事が示せる。 • もちろんタルスキの階層的理論の場合と同じく、 CT0 + GRFNCT0 では、自身の定理すべてが真になる事は 証明できない。 • CT0 + GRFNCT0 のすべての定理が真になることを示すた めには、(CT0 + GRFNCT0 ) + GRFN(CT0+GRFNCT0 ) が必要 41 / 58
- 42. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 4.1.2 一般論の王国の階層分化 ということで、またもや階層的な理論を定義することになる。 Definition 以下の公理的真理理論の階層を定義する。 • CTn+1 = CTn + {(∀x ∈ Fml) [provblCTn (x) → Tr(x)], • CT = S n∈ω CTn. CT は、構成法はタルスキの階層的理論と非常に似ているが、 一階の言語で書かれていて、レベルの非決定性等の問題とは 無縁な、非常に良い理論である。 42 / 58
- 43. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 4.1.3 NEC の王国 実は、CT は、別の特徴付けを与える事ができる。 Theorem 以下の二つの理論は同値である。 • CT • CT0 に以下の推論規則 NEC を加えた体系：任意の L の 文 A に対し A Tr(⌈A⌉) NEC NEC は、論理結合子の導入規則や様相論理の必然化規則と同 じ形をしている。 43 / 58
- 44. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 4.2 保存拡大性の破れ 44 / 58
- 45. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 4.2.1 保存拡大性の壊れ PA をベース理論としたとき、反映原理を真理概念へつけくわ えることは、理論を真に強めることを含意する [Hr12, p.76]。 Theorem (保存拡大性の壊れ) CT は保存拡大性を満たさない。 証明は、反映原理により con(PA) が証明されることによる。 このことから、PA の第二不完全性定理により、補題は証明さ れる。 • CT における con(PA) の証明は、反映原理 ∃x provable(⌈φ⌉, x) → Tr(⌈φ⌉) がすべての算術的な論理 式 φ に対し成立するため、 CT ⊢ ∃x provable(⌈0 = 1⌉, x) → Tr(⌈0 = 1⌉) • CONEC 規則を適用し対偶をとれば CT ⊢ 0̄ , 1̄ → ¬∃x provable(⌈0 = 1⌉, x) が証明可能であり，同時に CT ⊢ 0 , 1 であるので，つま り CT（そして FS）は con(PA) を証明したことになる． □ 45 / 58
- 46. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 4.2.2 ダメになってしまった一般論の王国 反映原理は，∀x [x ∈→ Tr(x) ∨ ¬Tr(x)]（ 「任意の文は真であ るか偽であるかどちらかだ」 ）のような体系全体に関するメタ な主張を証明するのに欠かせない原理であり，FS などの公理 的真理理論のアドバンテージと言われている． 反映原理によって保存拡大性が壊れることは必然的であると も言える。 46 / 58
- 47. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 5 ω-矛盾性のパラドックス 47 / 58
- 48. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 5.1 デフレ主義的公理的真理理論 FS 48 / 58
- 49. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 5.1.1 デフレ主義的公理的真理理論 FS 本節では，Friedman-Sheared の真理理論 FS[FS87] を紹介 する． FS は、公理的真理理論で最も有名な体系の一つであるが、CT に以下の T-out 規則を付加したものと同値である [FS87]。 Tr(⌈A⌉) A T − out FS は、真理述語に関し、様相論理の必然性オペレーターと同 じ扱いを行う理論であり、証明論的に非常になじみ深い形を している 1 。 1 Tr(x) は様相論理のオペレーターのように振る舞うので、ウソツキ文が 定義できない点がポイントである。 49 / 58
- 50. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 5.1.2 FS の公理系 1 フリードマン・シェアーの形式的真理理論 FS は，算術の言語 に真理述語 Tr(x) を付加した言語上で，以下の公理からなる 真理理論である． • 形式的算術 PA の公理系（ただし数学的帰納法は真理述語 を含む文にも可能な形に拡張する） • 真理述語の論理結合子との形式的可換性に関する公理 • 任意の原子論理式 ψ にたいし Tr(⌈ψ⌉) ≡ ψ, • (∀x ∈)[Tr( ˙ ¬x) ≡ ¬Tr(x)], • (∀x, y ∈)[Tr(x ˙ ∧y) ≡ Tr(x) ∧ Tr(y)], • (∀x, y ∈)[Tr(x ˙ ∨y) ≡ ¬Tr(x) ∨ Tr(y)], • (∀x, y ∈)[Tr(x ˙ →y) ≡ ¬Tr(x) → Tr(y)], • 真理述語の量化子との形式的可換性に関する公理 • (∀x ∈)[Tr(˙ ∀z x(z)) ≡ ∀zTr(x(z))], • (∀x ∈)[Tr(˙ ∃z x(z)) ≡ ∃zTr(x(z))], 50 / 58
- 51. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 5.1.3 FS の公理系 2 • 特別な推論規則： φ Tr(⌈φ⌉) NEC Tr(⌈φ⌉) φ CONEC ただし を論理式のゲーデル数の集合とする． 注意： • 任意の具体的な論理式 φ, ψ 等に対し，論理結合子との可 換性（Tr(⌈φ ∧ ψ⌉) ≡ Tr(⌈φ⌉) ∧ Tr(⌈φ⌉) など）を証明する ことは NEC，CONEC のみから可能で • 一般のゲーデル数（超準数の場合がある）に対し，可換 性を証明することは不可能であり，そのために可換性公 理が導入されている 51 / 58
- 52. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 5.1.4 無矛盾な一般論の王国 • 任意の具体的な論理式 φ に対し，T-文を証明することが できる • しかしウソツキ文はつくれず、そのことが無矛盾性を担 保する． • FS の無矛盾性に関し，FS の任意の有限断片は，グプタ とベルナップによる「真理の改訂意味論」[GB93] の ω ま での階層がモデルを提供することが知られている． 52 / 58
- 53. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 5.2 FS の ω-矛盾性 ω-矛盾性なんて1930年代の話題で、 今頃そんな問題を 研究しているヤツはいない（ある日本の哲学者、2005 年ごろ） 53 / 58
- 54. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 5.2.1 ますますダメになっていく一般論の王国 Theorem (マッギーのパラドックス) 任意の形式的な真理理論 T は，PA と NEC 規則を含み，以下 を証明する無矛盾な理論だと仮定する． (1) (∀x, y)[x, y ∈→ (Tr(x ˙ →y) → (Tr(x) → Tr(y)))], (2) Tr(⊥) → ⊥, (3) (∀x)[x ∈→ Tr(˙ ∀yx(y)) → (∀yTr(x(y)))] このとき T は ω-矛盾になる． Corollary CT は ω-矛盾である。 54 / 58
- 55. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 5.2.2 マッギーのパラドックスの証明（スケッチ） • 大まかに言うと、 「この文は真である」というホントツキ 文が生成する無限列の否定文を考える： γ ≡ ¬(Tr(⌈Tr(⌈Tr(⌈Tr(· · · )⌉)⌉)⌉)) この γ の直感的意味は 「文「文「文「· · · 」は真」は真」は偽」 （つまり「ホントツキ文は偽である」 ）である。 • γ が真だと仮定する（偽のケースは省略） 。このとき「γ は真である」も真である。同様に任意の自然数 n につい て Tr(· · · Tr | {z } n−many (⌈γ⌉) · · · ) が成立する。従って、もし体系が ω- 無矛盾（つまり ω の元が 0, 1, 2, 3, · · · という普通の自然 数のみ）であれば、∀x Tr(· · · Tr | {z } x−many (⌈γ⌉) · · · )、つまり Tr(Tr(Tr(· · · ))) という無限列も真であるはずである。し かしこの文は ¬γ と同値であり、矛盾である。 55 / 58
- 56. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 5.2.3 一般論の王国は可能な範囲でダメじゃない 注意だが，一方で，以下も知られている [H96, p.173]．： Lemma (FS の算術的健全性) 任意の算術的な論理式 φ に対し，φ が FS で証明可能であれ ば，それが自然数論の標準モデル N で真となる。 （この意味で保存拡大に似た性質を持つようにも見える）補 題より、つまり超準性に関し，PA で証明できない FS の論理 式はみな真理述語を含む。 56 / 58
- 57. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 次回予告 ω-矛盾性コワい Γ みたいな、無限の長さの文コワい!！ 次回、話はヤブローのパラドックスへ！！ 57 / 58
- 58. 論理学上級 I-3 デフレ主義的 真理理論 矢田部俊介 はじめに 真理に関する 哲学的理論 「真理の価値の過大な 表現」 「真理を貶める」 ：プ レ・デフレ主義 なぜ真理が哲学の問題 となるのか （後期型）デフ レ主義 内容豊かな公理的理論 を求めて 「一般論の王国」 ：後 期型デフレ主義 デフレ的真理と保存拡 大性 公理的真理理 論の階層と保 存拡大性の 破れ 反映原理による公理的 真理理論の階層化 保存拡大性の破れ ω-矛盾性のパ ラドックス デフレ主義的公理的真 理理論 FS FS の ω-矛盾性 Reference ドナルド・デイヴィッドソン. 『真理と解釈』野本和幸 [ほか] 訳、勁草書房, 1991： ドナルド・デイヴィッドソン. 『真理と述定』津留竜馬訳、春秋社, 2010 Hartry Field. Tarski’s theory of truth. Harvey Freidman, Michael Sheared. An axiomatic approach to self-referential truth. (1987) Anil Gupta, Nuel Belnap “The revision theory of truth” MIT Press (1993) Volker Halbach “ Axiomatische Wahrheitstheorien” Wiley-VCH (1996) Volker Halbach and Leon Horsten. The deflationist’s axioms for truth. in J.C. Beal and B. Armour-Garb (eds.) Deflationism and Paradox. Oxford Universoty Press. Leon Horsten. Tarskian Turn. (2012) Hannes Leitgeb. “Theories of truth which have no standard models” Studia Logica, 68 (2001) 69-87. Vann McGee. “How truthlike can a predicate be? A negative result” Journal of Philosophical Logic, 17 (1985): 399-410. Halbach, Volker, 2011, Axiomatic Theories of Truth, Cambridge University Press. Halbach and Horsten, 2005, The deflationist’s Axioms for truth. in Deflationism and Paradox, Oxford University press. 八木沢敬「意味・真理・存在」 58 / 58