Temario estadistica

E s t a d í s t i c a - T e r c e r s e m e s t r e Página 1
Universidadde Estudios Superioresde LaPaz 23 de noviembre
del 2010
Universidad de Estudios Superiores de La Paz
Carrera: Licenciatura en Informática
Asignatura: Estadística
Temario
Nombre del alumno:
Hernández Mejía Brayan Alfredo
Grupo:
Grupo: LI-131
“Es mejor morir de pie, que vivir siempre de rodillas” – Emiliano Zapata

del 2010
ÍNDICE:
I. Información general de la asignatura.
a)Ficha de identificación
b)Descripción
c)Propósito
II. Competencias a desarrollar
III. Temario
IV. Metodología de trabajo
V. Evaluación
VI. Material de apoyo
VII. Desarrollo de contenidos por unidad
a) Unidad 1: Estadística descriptiva
b) Unidad 2: Distribuciones Muestrales Introducción
c) Unidad 3: Teoría de la Estimación Introducción
d) Unidad 4: Pruebas de hipótesis
Anexo: Formularios (archivos PDF y Tablas Z y gl.)

del 2010
Presentación:
I. Información general de la asignatura.
a) Ficha de identificación:
Nombre de la licenciatura o ingeniería Licenciatura en informática
Nombre del curso o asignatura Estadística
Clave de asignatura Estadística LI-131
Seriación Sin seriación
Semestre 3er semestre
Profesor Reynaga
b) Descripción:
Dentro de una sociedad que está en constante cambio y reestructuración existen variables
que permiten un cambio, sea mínimo o grande, dentro de la misma. Estos cambios, así
como la constante forma en que cambia el entorno en todo sentido y estratos (cultural,
social, tecnológico, político, educativo) hacen que los elementos cuantitativos cambien de
la misma manera, es por eso que se debe tener en cuenta la precisión con que éstos datos
actuaran sobre las decisiones que se tomen a futuro.
La estadística, como un elemento de utilería básico para poder llevar a cabo la tarea de
recopilar, analizar, sistematizar, sintetizar e interpretar los datos o elementos que son
cuantificables para poder interpretarlos de forma sencilla, clara y tangible para poder
sustentar una decisión a posteriori y saber desde donde podemos tomar medidas
estratégicas para la solución óptima de un problema.
En la Universidad de Estudios Superiores de La Paz, nos comprometemos a mejorar la
calidad integral de los alumnos y profesores que requieran, sin duda alguna, del soporte,
por ejemplo, con éste material de apoyo académico. Asimismo, inculcar una costumbre por
la búsqueda incesante del conocimiento, de trazar la trayectoria académica con excelencia y
carácter para formar profesionales éticos y visionarios para afrontar, primero de forma
personal, cualquier clase de problema que se presente teniendo la franqueza, elementos y
visión periférica de cómo optimizar sus opciones.
La materia de Estadística se compone de las unidades básicas necesarias para poder
entender, sin disyuntivas, los elementos más característicos y herramientas usadas,
expresándolo matemáticamente la síntesis de los datos y así, sembrar en el estudiante la
costumbre por la toma de decisiones, el análisis e interpretación de las posibles soluciones,
visión ante situaciones de bifurcación y la solución de problemas y eventos que interactúen
con el entorno en donde nos desenvolvemos.

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c) Propósito:
Los propósitos de la asignatura en relación al tronco básico son que los estudiantes:
1. La capacidad de interpretar y manejar los elementos gráficos (tablas, gráficos,
diagramas) para su análisis y manejo adecuado.
2. La aplicación correcta de la estadística dentro de nuestro entorno y del cómo la misma ha
beneficiado al entorno donde se aplica, así como su importancia.
3. Visualicen e identifiquen el valor de uso de la estadística en el entorno y su trascendencia
en la toma de decisiones.
4. Equiparar la ética y la profesión para el manejo y análisis adecuado de cualquier clase de
información.
II. Competencia.
Competencia general:
- Ejecutar los métodos y procesos de análisis estadístico para verificar los eventos dentro de
un contexto.
- Contrastar y entender la paridad entre las posibles soluciones a un problema o problemas
en específico, esto para poder brindar una respuesta más sustentable enfocado a la búsqueda
de la solución del problema.
Competencias específicas:
- Hacer uso de las herramientas y conceptos indispensables para la representación numérica
y gráfica de los datos recopilados y analizados dentro de un entorno.
- Generar soluciones concretas a partir del análisis de datos compilados.
- Aplicar los conocimientos estadísticos a través de pruebas aleatorias en diferentes
entornos y contextos.

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III. Temario.
Unidad 1 Estadística descriptiva
1.1 Definición y Campo Estadística
1.2 Planteamiento de un caso especifico
1.3 Organización de Datos Estadísticos
1.4 Medidas Tendencia Central
1.5 Medidas Dispersión
Unidad 2 Distribuciones Muestrales Introducción
2.1 Distribución Muestral de Media Varianza Conocida y Desconocida
2.2 Teorema del Límite Central
2.3 Distribución Muestral de Proporción
2.4Distribucion Muestral Diferencia de Medias y de diferencia de proporciones
2.5 Distribución Muestral Diferencia Medias
2.6 Distribución Muestral de la Varianza
2.7 Distribución Muestral Razón de Varianzas
Unidad 3 Teoría de la Estimación Introducción
3.1 Estimación y Propiedades Estimadores
3.2 Estimación por Intervalo
3.3 Intervalo de Confianza Media con varianza conocida y desconocida
3.4 Intervalo de Confianza Proporción y diferencia de proporciones
3.5 Intervalo de Confianza Diferencias de Medias con varianza conocida y desconocida
3.6 Intervalo Confianza Varianza
3.7 Intervalo Confianza Razón Varianzas

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Unidad 4 Pruebas de hipótesis
4.1 Conceptos Prueba de Hipótesis
4.2 Errores Tipo I y II
4.3 Prueba Hipótesis para Media con varianza conocida y desconocida
4.4 Prueba Hipótesis para Proporción y diferencia de proporciones
4.5 Prueba Hipótesis Diferencia Medias con varianzas conocidas y desconocidas
4.6 Prueba Hipótesis Varianza
4.7 Prueba de Bondad de Ajuste

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IV. Metodología de trabajo.
Las personas perciben y adquieren los conocimientos de manera distinta. Además, tienen
preferencias hacia determinadas estrategias cognitivas que son las que finalmente les
ayudarán a dar significado a la nueva información. Por ejemplo, unos prefieren hacerlo en
grupos, otros individualmente, algunos optan por la experimentación y otros requieren
asesoría.
.
El concepto estilos de aprendizaje se refiere a esas estrategias preferidas por los estudiantes
y que se relacionan con formas de recopilar, interpretar, organizar y pensar sobre la nueva
información.
El estilo de aprendizaje consiste en definitiva en cómo nuestra mente procesa la
información, cómo es influida por las percepciones de cada individuo, con el fin de
alcanzar aprendizajes eficaces y significativos. Por ejemplo, cuando se aprende un nuevo
concepto, algunos estudiantes se centran en los detalles, otros en los aspectos lógicos, otros
prefieren hacerlo leyendo o llevándolos a la práctica a través de actividades.
Por ello es necesario planificar actividades ajustadas a los estilos de aprendizaje de los
participantes de manera que sean más receptivos cuando perciban que los objetivos del
programa de formación responden a sus necesidades y expectativas.
Durante el periodo de aprendizaje en la asignatura de Estadística, se implementaran los
elementos necesarios para el correcto aprendizaje, adaptación y retención de los conceptos
básicos, así como las herramientas informáticas y matemáticas que nos permitan ejecutar
prácticas con una mayor calidad y fluidez para el entendimiento de la asignatura.
Los procesos a modelar con técnicas estadísticas suelen ser altamente complejos y son
difíciles de caracterizar pues es habitual que dependan de muchas variables, que es lo usual
al trabajar con datos reales.
Como nuestro deseo es que el alumno adquiera un aprendizaje significativo nos hemos
propuesto incidir en nuevas metodologías didácticas en la impartición de esta asignatura de
Estadística en la UES. Los alumnos, previamente, reciben materiales que les permiten
conocer los principios que establece la Estadística y colecciones de datos experimentales
para su análisis. De esta manera van a adquirir una información teórica y práctica, objetiva
y científica sobre el tema, para así conseguir los objetivos cognoscitivos que nos
proponemos.
Por tanto, para trabajar con datos reales se tienen en cuenta los conocimientos que poseen
los estudiantes de informática y en el manejo y utilización de programas de ordenador
(como son, por ejemplo, MINITAB, EXCEL, MATLAB o MAPLE), conocimientos y
habilidades que han adquirido en asignaturas ya cursadas previamente, como son
programación y Matemáticas.

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El objetivo es incidir en la enseñanza de la Estadística basada en la resolución de problemas
y casos prácticos con datos reales de diversos aspectos del ámbito de la tecnología y las
ciencias, para así potenciar los factores que condicionan positivamente el aprendizaje al
colocar a los estudiantes ante casos y problemas relativos al mundo de la Informática.
Se intenta así mejorar aspectos que inciden en la calidad en la enseñanza y en el aprendizaje
como son la motivación, los modos de aprendizaje, las metas y objetivos que los
estudiantes se plantean.
V. Evaluación.
Para que el alumno pueda aprobar la asignatura de Estadística, deberá cumplir con todos y
cada uno de los lineamientos e imperativos acordados a principio del semestre, para poder
obtener, sin mayor dificultad, la calificación mínima que estipula la UES.
Que el alumno entregue en tiempo y con las característica necesarias, todos y cada uno de
los ejercicios que se les pida subir al blog y los que se hacen durante la clase.
Asistir puntual a las cátedras e impulsar el interés del alumno en la interacción durante la
clase, esto a partir de la relación alumno-profesor.
También deberán trabajar en equipos para poder obtener un mayor rendimiento entre
alumnos, así como la interacción con los demás compañeros de clase, esto, con el objetivo
de tener una mejor relación y aprendan a trabajar en equipos.
Los puntos que se tomarán en cuenta para evaluar serán:
Actividad Porcentaje
Prácticas 50%
Examen 50%
Total 100%
VI. Material de apoyo.
Bibliografía básica:
Alatorre F., S., et.al. Introducción a los Métodos Estadísticos. Universidad Pedagógica
Nacional. México. (3 volúmenes. Sistema de Educación a Distancia.)
Castañeda J., J. Métodos de Investigación 2. Editorial McGraw-Hill. México.
Johnson, R. Estadística Elemental. Editorial Trillas. México.
Mendenhall, W.; D.D. Wackerly y R.L. Scheaffer. Estadística Matemática con
Aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamérica. México.

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Freund, John E. y Gary A. Simon. Estadística elemental. Prentice-Hall Hispanoamericana,
SA. México, 1994. (8ª edición.)
Spiegel, M.R. Estadística. McGraw-Hill. México. (Serie Schaum.)
García, P., A. Elementos de Método Estadístico. Universidad Nacional Autónoma de
México. México. (Textos Universitarios.)
Bibliografía complementaria:
Arias G., F. (comp). Lecturas para el Uso de Metodología de la Investigación. Capítulo 5
"Procesamiento de datos". Editorial Trillas. México.
Schmelkes, C. Manual para la Presentación de Anteproyectos e Informes de
Investigaciones. Capítulo 25 "Análisis de resultados". Editorial Harla. México.
Kline, M. Matemáticas para Estudiantes de Humanidades. Capítulo XXII "Métodos
estadísticos en las ciencias sociales y las biológicas" y capítulo XXIII "La teoría de las
probabilidades". Fondo de Cultura Económica. México.
Bergamini, D. Matemáticas. Capítulo 6 "El cálculo de las posibilidades en un mundo
inseguro". Editado por Offset Multicolor. México. (Colección Científica de Time-Life.)

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VII. Desarrollo de contenidos por unidad.
Unidad 1: Estadística descriptiva
Propósito:
 Que el alumno aprenda a identificar los conceptos básicos de la estadística.
 Visualizar el campo e importancia de la estadística.
 Aplicar el conocimiento con prácticas y experimentos aleatorios.
Competencia específica:
Hacer uso de las herramientas y conceptos indispensables para la representación numérica y
gráfica de los datos recopilados y analizados dentro de un entorno.
Introducción:
La estadística como un concepto básico entre la sociedad, representa a la manera con que se
frecuenta e incide en un evento o la forma en que se cuantifica un hecho de cualquier
índole. Así que para un mejor entendimiento de lo que es en esencia la estadística,
aplicaremos los elementos y herramientas básicas para su entendimiento.
Asimismo, aprenderemos y conoceremos cuáles son los campos donde se puede aplicar la
estadística y cómo interactúa, sobre todo, a nivel social.
1.1 Definición y Campo Estadística
Estadística
“Ciencia que se ocupa del estudio de fenómenos de tipo genérico, normalmente complejos
y enmarcados en un universo variable, mediante el empleo de modelos de reducción de la
información y de análisis de validación de los resultados en términos de representatividad”.
La información puede ser numérica, alfabética o simbólica. Consta de las fases de recogida
de información, de análisis y de presentación e interpretación de los resultados y
elaboración de métodos.
La estadística es una ciencia referente a la recolección, análisis e interpretación de datos, ya
sea para ayudar en la resolución de la toma de decisiones o para explicar condiciones
regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma
aleatoria o condicional. Sin embargo estadística es mucho más que eso, dado que en otras
palabras es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con la
investigación científica.
Definida así la Estadística se evita hacer mención a sí es o no una rama de las matemáticas,
visión que consideramos innecesariamente limitada, al tiempo que se establece su carácter
genérico y su campo de acción en el estudio de fenómenos complejos ubicados en un
universo amplio y variable. Con esta afirmación, de complejidad, se introduce el factor de

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incertidumbre que acompaña a los fenómenos aleatorios pero sin limitar el campo de la
Estadística de forma que puede aplicarse también a fenómenos determinísticos.
La estadística se divide en dos grandes áreas:
 La estadística descriptiva, que se dedica a los métodos de recolección, descripción,
visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos en estudio.
Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos de
parámetros estadísticos son: la media y la desviación estándar. Algunos ejemplos
gráficos son: histograma, pirámide poblacional, clústers, entre otros.
 La estadística inferencial, que se dedica a la generación de los modelos, inferencias
y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la
aleatoriedad de las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y
extraer inferencias acerca de la población bajo estudio. Estas inferencias pueden
tomar la forma de respuestas a preguntas si/no (prueba de hipótesis), estimaciones
de características numéricas (estimación), pronósticos de futuras observaciones,
descripciones de asociación (correlación) o modelamiento de relaciones entre
variables (análisis de regresión). Otras técnicas de modelamiento incluyen anova,
series de tiempo y minería de datos.
Ambas ramas (descriptiva e inferencial) comprenden la estadística aplicada. Hay también
una disciplina llamada estadística matemática, la cual se refiere a las bases teóricas de la
materia. La palabra «estadísticas» también se refiere al resultado de aplicar un algoritmo
estadístico a un conjunto de datos, como en estadísticas económicas, estadísticas
criminales, entre otros.
Etimología:
El término alemán statistik, que fue primeramente introducido por Gottfried Achenwall
(1749), designaba originalmente el análisis de datos del Estado, es decir, la "ciencia del
Estado" (también llamada aritmética política de su traducción directa del inglés). No fue
hasta el siglo XIX cuando el término estadística adquirió el significado de recolectar y
clasificar datos. Este concepto fue introducido por el inglés John Sinclair.
En su origen, por tanto, la Estadística estuvo asociada a los Estados, para ser utilizados por
el gobierno y cuerpos administrativos (a menudo centralizados). La colección de datos
acerca de estados y localidades continúa ampliamente a través de los servicios de
estadística nacionales e internacionales. En particular, los censos suministran información
regular acerca de la población.
Ya se utilizaban representaciones gráficas y otras medidas en pieles, rocas, palos de madera
y paredes de cuevas para controlar el número de personas, animales o ciertas mercancías.
Hacia el año 3000 a. C. los babilonios usaban ya pequeños envases moldeados de arcilla
para recopilar datos sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o cambiados.
Los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de
construir las pirámides en el siglo XI a. C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas

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incluyen en algunas partes trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la
población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías.
En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a. C. Los
antiguos griegos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a. C. para
cobrar impuestos.
Orígenes:
Los métodos estadístico-matemáticos emergieron desde la teoría de probabilidad, la cual
data desde la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre de Fermat (1654). Christian
Huygens (1657) da el primer tratamiento científico que se conoce a la materia. El Ars
coniectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y la Doctrina de posibilidades (1718) de
Abraham de Moivre estudiaron la materia como una rama de las matemáticas. En la era
moderna, el trabajo de Kolmogórov ha sido un pilar en la formulación del modelo
fundamental de la Teoría de Probabilidades, el cual es usado a través de la estadística.
La teoría de errores se puede remontar a la Ópera miscellánea (póstuma, 1722) de Roger
Cotes y al trabajo preparado por Thomas Simpson en 1755 (impreso en 1756) el cual aplica
por primera vez la teoría de la discusión de errores de observación. La reimpresión (1757)
de este trabajo incluye el axioma de que errores positivos y negativos son igualmente
probables y que hay unos ciertos límites asignables dentro de los cuales se encuentran todos
los errores; se describen errores continuos y una curva de probabilidad.
Pierre-Simon Laplace (1774) hace el primer intento de deducir una regla para la
combinación de observaciones desde los principios de la teoría de probabilidades. Laplace
representó la ley de probabilidades de errores mediante una curva y dedujo una fórmula
para la media de tres observaciones. También, en 1871, obtiene la fórmula para la ley de
facilidad del error (término introducido por Lagrange, 1744) pero con ecuaciones
inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introduce el principio del máximo producto de las
probabilidades de un sistema de errores concurrentes.
El método de mínimos cuadrados, el cual fue usado para minimizar los errores en
mediciones, fue publicado independientemente por Adrien-Marie Legendre (1805), Robert
Adrain (1808), y Carl Friedrich Gauss (1809). Gauss había usado el método en su famosa
predicción de la localización del planeta enano Ceres en 1801. Pruebas adicionales fueron
escritas por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837),
Friedrich Bessel (1838), W.F. Donkin (1844, 1856), John Herschel (1850) y Morgan
Crofton (1870). Otros contribuidores fueron Ellis (1844), Augustus De Morgan (1864),
Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli (1875). La fórmula de Peters para r, el probable
error de una observación simple es bien conocido.
El siglo XIX incluye autores como Laplace, Silvestre Lacroix (1816), Littrow (1833),
Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion y Karl
Pearson. Augustus De Morgan y George Boole mejoraron la presentación de la teoría.
Adolphe Quetelet (1796-1874), fue otro importante fundador de la estadística y quien
introdujo la noción del «hombre promedio» (l’homme moyen) como un medio de entender

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los fenómenos sociales complejos tales como tasas de criminalidad, tasas de matrimonio o
tasas de suicidios
Christiaan Huygens Pierre Simon Laplace Gottfried Achenwall
Padre de la estadística
Carl Fredrich Gauss Karls Pearson George Boole

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Disciplinas especializadas y campos de aplicación:
Algunos campos de investigación usan la estadística tan extensamente que tienen
terminología especializada. Estas disciplinas incluyen:
 Ciencias actuariales
 Física estadística
 Estadística industrial
 Estadística Espacial
 Matemáticas Estadística
 Estadística en Medicina
 Estadística en Medicina Veterinaria y Zootecnia
 Estadística en Nutrición
 Estadística en Agronomía
 Estadística en Planificación
 Estadística en Investigación
 Estadística en Restauración de Obras
 Estadística en Literatura
 Estadística en Astronomía
 Estadística en la Antropología (Antropometría)
 Estadística en Historia
 Estadística militar
 Geoestadística
 Bioestadística
 Estadísticas de Negocios
 Estadística Computacional
 Estadística en las Ciencias de la Salud
 Investigación de Operaciones
 Estadísticas de Consultoría
 Estadística de la educación, la enseñanza, y la formación
 Estadística en la comercialización o mercadotecnia
 Cienciometría
 Estadística del Medio Ambiente
 Estadística en Epidemiología
 Minería de datos (aplica estadística y reconocimiento de patrones para el
conocimiento de datos)
 Econometría (Estadística económica)
 Estadística en Ingeniería
 Geografía y Sistemas de información geográfica, más específicamente en Análisis
espacial
 Demografía
 Estadística en psicología (Psicometría)
 Calidad y productividad
 Estadísticas sociales (para todas las ciencias sociales)
 Cultura estadística
 Encuestas por Muestreo

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 Análisis de procesos y quimiometría (para análisis de datos en química analítica e
ingeniería química)
 Confiabilidad estadística
 Procesamiento de imágenes
 Estadísticas Deportivas
La estadística es una herramienta básica en negocios y producción. Es usada para entender
la variabilidad de sistemas de medición, control de procesos (como en control estadístico de
procesos o SPC (CEP)), para compilar datos y para tomar decisiones. En estas aplicaciones
es una herramienta clave, y probablemente la única herramienta disponible.
Importancia:
La estadística es comúnmente considerada como una colección de hechos numéricos
expresados en términos de una relación sumisa, y que han sido recopilado a partir de otros
datos numéricos.
Kendall y Buckland definen la estadística como un valor resumido, calculado, como base
en una muestra de observaciones que generalmente, aunque no por necesidad, se considera
como una estimación de parámetro de determinada población; es decir, una función de
valores de muestra.
La importancia que tiene está relacionada con el área o áreas en las que se puede aplicar,
debido a que está presente en todas las áreas del saber.
La estadística es una ciencia de aplicación práctica casi universal en todos los campos
científicos:
* En las ciencias naturales: se emplea con profusión en la descripción de modelos
termodinámicos complejos (mecánica estadística), en física cuántica, en mecánica de
fluidos o en la teoría cinética de los gases, entre otros muchos campos.
* En las ciencias sociales y económicas: es un pilar básico del desarrollo de la demografía y
la sociología aplicada.

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* En economía: suministra los valores que ayudan a descubrir interrelaciones entre
múltiples parámetros macro y microeconómicos.
* En las ciencias médicas: permite establecer pautas sobre la evolución de las enfermedades
y los enfermos, los índices de mortalidad asociados a procesos morbosos, el grado de
eficacia de un medicamento, etcétera.

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del 2010
Estadística
Es la basedeuna buena
planificación
Reune y organiza datos
numéricos para la toma de
desiciones
Se vale de métodos gráficos para
su comprensión
Hace más llamativa la
información.
Permitea las personas no
especializadas entender los
resultados de uninforme
Solo es válido enlos datos
existentes enel momento de
sacar los datos,comouna
fotografía
Tipos de gráficos yutilidad:
Barras:comparar elementos.
Pastel y barra de 100%:compararlas
fracciones de untodo.
Lineal:Comparacionesde crecimiento
a través de un tiempodeterminado.
Pictograasymapasestadísticos:para
comparar datos geográficos yde
distribución.
Características generales:
- Conciso
- Replicabilidad
- Comunicabilidad
- Simple, apto y fácilde
interpretar.
Es una herramienta

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1.2 Planteamiento de un caso especifico
Planteamiento del problema
Suele iniciarse con una fijación de objetivos o algunas preguntas como ¿cuál será la media
de esta población respecto a tal característica?, ¿se parecen estas dos poblaciones?, ¿hay
alguna relación entre... ?
En el planteamiento se definen con precisión la población, la característica a estudiar, las
variables, etcétera.
Se analizan también en este punto los medios de los que se dispone y el procedimiento a
seguir.
Elaboración de un modelo
Se establece un modelo teórico de comportamiento de la variable de estudio. En ocasiones
no es posible diseñar el modelo hasta realizar un estudio previo.
Los posibles modelos son distribuciones de probabilidad.
Extracción de la muestra
Se usa alguna técnica de muestreo o un diseño experimental para obtener información de
una pequeña parte de la población.

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1.3 Organizaciónde Datos Estadísticos.
¿Se han preguntado alguna vez para qué sirven las encuestas que a veces se hacen en la
calle?, ¿Cómo saber si una estación de radio es mejor que otra? , ¿Cuál candidato puede
ganar? Bueno, en realidad todo comienza con la recaudación de datos.
Los datos es información que se recoge, esto puede ser opinión de las personas sobre un
tema, edad o sexo de encuestados, dónde viven, cuántas personas viven en una casa, qué
tipo de sangre tiene un grupo de personas, etc.
Hay tanta información que puede servirle a diferentes profesionales para sacar datos que
son útiles en la toma de decisiones, para resolver problemas, o cualquier otro elemento que
así lo amerite.
Se preguntarán qué hacen estas personas con la información que han recogido. Se te
explicará. Una vez que se haya recogido toda la información, se procede a crear una base de
datos, donde se registran todos los datos obtenidos. Algunas veces, si los datos son muy
complicados, se codifican, esto quiere decir que se le coloca una palabra clave que
identifica un título muy largo. Cuando ya está elaborada la base de datos se parece a una
tabla.
Núm.
(número del
sujeto)
Edad
Color
(color preferido)
Inas
(Inasistencia a
clase en un mes)
Ani
(Tipo de animal que
tiene en casa)
1 8 azul 3 Perro
2 6 verde 0 Perro
3 7 rojo 7 Gato
4 7 amarillo 4 Perro
5 9 verde 3 ninguno
6 8 azul 1 gato
7 9 rojo 0 pez
8 8 morado 2 perro
9 6 azul 3 pez
10 7 verde 1 ninguno
Con esta tabla no se puede hacer mucho, pero es importante para registrar los datos. A
partir de esta base de datos se puede hacer una tabla de frecuencias. Para determinar la
frecuencia de "algo" o el número de veces que se produce un fenómeno (el fenómeno puede
ser "el color preferido de los niños de un salón", "la edad de un grupo de sujetos", "el tipo

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de animal que tiene en casa", "la cantidad de inasistencias a clase", o cualquier otro
fenómeno). Vemos ahora qué pasa con nuestra base de datos:
Con los datos obtenidos elaboramos una serie de tablas. Con los datos de las tablas
fabricamos unos gráficos (también llamados figuras) de frecuencia que podrás observar al
lado de cada tabla.
Pero esto no nos dice nada si no "analizamos" los datos. Analizar significa sacar
conclusiones de la información expuesta. Este análisis está debajo de la tabla y el gráfico.
Tabla 1.
Frecuencia de colores preferidos del grupo estudiado
Color Frecuencia
Rojo 2
Azul 3
Verde 3
Morado 1
Amarillo 1
Figura 1.
Frecuencia de colores preferidos del grupo estudiado.
Se puede observar que los colores preferidos de me mayor frecuencia son el Azul y el
Verde, cada uno con una frecuencia de 3.
Tabla 2.
Frecuencia de inasistencia a clase del grupo estudiado

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Inasistencia por días Frecuencia
0 días 2
1 día 2
2 días 1
3 días 3
4 días 1
5 días 0
6 días 0
7 días 1
Figura 2.
Frecuencia de inasistencia a clase del grupo estudiado
Se puede observar de la Figura 2, que en la muestra de sujetos estudiados, tres días es la
mayor frecuencia de inasistencia.
 Ahora, recuerden lo siguiente, los investigadores nunca colocan las tablas y los
gráficos juntos, porque en realidad dicen lo mismo, corrientemente se utiliza o una
tabla y su análisis, o un gráfico y su análisis.
Nota: también que el título de la tabla va encima de ésta, mientras que el título de la
figura va por debajo. El título, de ambas, sólo lleva la primera palabra en mayúscula
y no va subrayado.
 Creemos que ha sido fácil lo que les enseñamos, ahora les toca a ustedes hacer una
tabla de frecuencias y su respectiva figura.

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Tabla 3.
Frecuencia del tipo de animal que tiene el grupo estudiado
Tipo de animal Frecuencia
Ninguno
Perro
Pez
Gato
Figura 3.
Frecuencia del tipo de animal que tiene el grupo estudiado
Vamos a ver, por ejemplo, la edad de los niños y el tipo de animal que tienen en casa, o el
tipo de animal que tienen en casa y la edad de los niños. Utilizaremos la misma base de
datos de antes.
Núm.
(número del
sujeto)
Edad Color
(color
preferido)
Inas
(Inasistencia a clase
en un mes)
Ani
(Tipo de animal que
tiene en casa)
1 8 azul 3 perro
2 6 verde 0 perro
3 7 rojo 7 gato
4 7 amarillo 4 perro
5 9 verde 3 ninguno
6 8 azul 1 gato
7 9 rojo 0 pez
8 8 morado 2 perro
9 6 azul 3 pez
10 7 verde 1 Ninguno

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Tabla 4.
Frecuencia del tipo de animal que tiene el grupo estudiado según su edad
Edad de los niños Tipo de animal que tienen en casa
Ninguno Perro Pez Gato
6 años 0 1 1 0
7años 1 1 0 1
8 años 0 2 0 1
9 años 1 0 1 0
Figura 4.
Tabla 5.
Tipo de animal que
tienen en casa
Edad de los niños
6
años
7 años 8 años
9
años
Ninguno 0 1 0 1
Perro 1 1 2 0
Pez 1 0 0 1
Gato 0 1 1 0

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Figura 5.
Frecuencia del tipo de animal que tiene el grupo estudiado según su edad.
Responde las siguientes preguntas:
¿Cuántos niños de 6 años tienen perros?
¿Cuántos niños de 8 años tienen peces?
¿Cuántos niños de 7 años tienen peces?
¿Cuántos niños de 9 años tienen gatos?
¿Cuántos niños de 8 años tienen perros?
Con la elaboración de las tablas y gráficos se facilita obtener información. Podemos hasta
decir que la mayoría de los niños de 8 años tienen perros en su casa.
Intervalos o clases:
Un intervalo o clase está determinado por dos números
a y b de manera que todos los mayores o iguales que a
y menores que b pertenecen a dicho intervalo. Se simboliza por [a,b), donde a y b son los
extremos del intervalo.
La frecuencia absoluta de un intervalo o clase es el número de datos que pertenecen al
mismo.
La marca de clase de un intervalo, ci , es el punto medio del intervalo. Su cálculo nos lo da
la expresión:
2
b
a
ci



del 2010
Población o Universo Objetivo.
Es el conjunto (finito o infinito) de unidades de análisis que conforman a la población
que se desea describir simplemente o sobre la cual se desea hacer inferencias y
conocer sus parámetros característicos (promedio, totales proporciones, etc.).
Población Finita
Es el conjunto finito de unidades de análisis donde se puede identificar a un elemento
inicial y/o a un elemento final. Por ejemplo, la población de hoteles de Lima
Metropolitana, población de agencias de viajes existentes en la ciudad de
Cajamarca. Turistas de nacionalidad alemana que ingresaron al Perú en el a o 2000.
Población Infinita.
Conjunto infinito de elementos donde no se podría identificar a una unidad inicial
ni a la unidad final. Ejemplo, la población de los peces del mar, lo árboles de la selva
peruana, etc.
Muestra
Es un subconjunto de unidades de análisis extraída de la población objetivo buscando que
las unidades seleccionadas sean representativas con el fin de permitir que a través de
la información recabada con la muestra se realicen inferencias para toda la población.
Muestra No Probabilística
Corresponde a un subconjunto de observaciones elegidas siguiendo aquellos criterios
de representatividad que fueran establecidos arbitrariamente por el investigador.
Muestra Probabilística
Comprende a las observaciones realizadas en unidades que han sido elegidas
siguiendo un criterio probabilístico, esto es, a cada unidad de la población se
asigna probabilidad conocida (puede ser igual) para estar incluida como parte de la
muestra, por tanto, las unidades de la muestra son elegidas de la población respetando
estrictamente estas probabilidades que les han sido asignadas. Las muestra probabilísticas
permiten aplicar los métodos de la estadística inferencial y construir límites de confianza
para las estimaciones de los parámetros que se desean estudiar. La representatividad
de éstas muestras se sustenta en el hecho que son las leyes de las probabilidades las que
determinan si una unidad será incluida o no en la muestra.
Unidad de Análisis
Es el elemento que conforma a la población objetivo y de la cual se extrae la
información que se desea estudiar. Ejemplo: Se desea estudiar la capacidad hotelera en la

del 2010
ciudad de Lima y se define la unidad de análisis “hotel”, en cada uno de los hoteles
de la ciudad, se solicita la siguiente información:
• Número de habitaciones del hotel.
• Número de empleados del hotel.
• Total de clientes atendidos durante el mes de Julio.
• Ingresos totales en el mes de Julio.
• Tiene servicio de agencia de viaje (Si=1; No=0)
• Tiene servicio de restaurante (Si=1; No=0)
Recopilando la información especificada en los N hoteles de la ciudad de Lima se formar1a
la base de datos siguiente:
Unidad
(Hotel) ( i )
Numero
habitaciones
Xi
Numero
Empleados
Yi
Clientes En
Julio Zi
Ingresos en
Julio Vi
Agencia
Viaje Wi
Servicio
Restaurante Ri
1 55 12 200 14000 1 1
2 30 8 250 16000 0 1
3 20 6 100 7000 0 0
....
....
N 60 20 309 25000 0 1
Variable
Es todo factor o característica que en forma conjunta e integral conforma la
información que se solicita a cada unidad de análisis. Cada variable tomará valores
diferentes entre las unidades de análisis que se están investigando.
Variables Cualitativas
Son aquellas variables que expresan categorías o atributos y que por tanto su medida
no tiene un carácter numérico, por su naturaleza, estas variables pueden ser:
NOMINALES: Sus valores sólo representan un atributo a manera de etiqueta y no contiene
información sobre ordenamiento. Ejemplo: Sexo del cliente; Nacionalidad del entrevistado.
ORDINALES: Sus valores si representan un ordenamiento del atributo. Ejemplo: Grado
de educación del entrevistado, Grado de satisfacción sobre la atención recibida por el
cliente…

del 2010
Variables Cuantitativas
Comprender aquellos conceptos que sí pueden ser expresados en forma numérica
por que corresponde a criterios de cantidad. Éstas son de tipo discreto o de tipo
Continuo.
Variables Cuantitativas discretas
Son variables que toman valores que se expresan en números enteros. Ejemplo:
• Número de habitaciones.
• Número de empleados.
• Total de clientes atendidos durante el mes de Julio.
Se aprecia que estas variables no pueden tomar valores fraccionarios.
Variables Cuantitativas Continuas
Son aquellas variables que sus cantidades se expresan con números reales, es decir,
tienen parte fraccionaria. Ejemplo:
• Ingresos totales en el mes de Julio.
• Costo de servicio diario del hotel
• Monto pagado por el servicio de electricidad de un hotel en el mes de Julio
Observación
Es un valor particular que toma la variable estudiada en la unidad de análisis i-ésima
Parámetro:
Es el indicador resultante de consolidar toda la información referida a la población que
se está estudiando, por tanto corresponde a un resultado de una enumeración completa
donde: Xi es el valor de la variable y N es el tamaño de la población
Ejemplo:
• Número de habitaciones promedio en los hoteles de la ciudad de Lima.
• Número de empleados promedio de los hoteles de la ciudad de Lima.

del 2010
• Promedio de clientes atendidos por los hoteles de Lima durante el mes de Julio.
• Ingresos promedio de los hoteles de la ciudad de Lima en el mes de Julio.
Estadístico:
Es el indicador resultante de consolidar la información obtenida sólo de una
muestra representativa de unidades de análisis en la población. Es un valor que estima
al parámetro
donde: Xi es el valor de la variable y n es el tamaño de la muestra
Ejemplo: Se elige una muestra de los hoteles existente en la ciudad de Lima
• Número de habitaciones promedio en la muestra de hoteles.
• Número de empleados promedio en la muestra de hoteles.
• Promedio de clientes atendidos en la muestra de hoteles.
• Ingresos promedio de los hoteles elegidos en la muestra.
ORGANIZACION Y PRESENTACION DE
DATOS: Tablas de Información Estadística
Comprende a resúmenes y consolidaciones de informaciones dispersas que se efectúan con
fines de realizar una presentación ordenada y clasificada de resultados de modo que se
facilite su análisis e interpretación para la toma de decisiones. Las tablas de información
resultan de identificar las necesidades de información por tanto es necesario que para su
elaboración se consideren las características que puedan cumplir su objetivo final:
Informar. La estructura general de una tabla de información estadística es la siguiente:
1. Número de cuadro
Es un código de identificación que permite citarlo cuantas veces sea necesario a lo largo
de los comentarios de un informe.
2. Título
Corresponde a una descripción resumida de la información estadística que contiene, en
general debería responder a las clásicas preguntas: QUÉ, DÓNDE, CÓMO Y CUÁNDO
• Qué: ¿Qué información contiene el cuadro?

del 2010
• Dónde: ¿A dónde corresponde la información tabulada?
• Cómo: ¿Cómo está arreglada o clasificada la información?
• Cuándo: ¿A qué período de tiempo se refiere la
información?
3. Encabezamiento
Es la descripción resumida sobre contenido de las filas y columnas que contiene el cuadro
de información.
4. Cuerpo del cuadro
Comprende al contenido numérico de la información del
cuadro
5. Notas de pié o llamadas
Anote las aclaraciones sobre términos, siglas, abreviaturas usadas. También precisar
las unidades de medida y equivalencias que se están utilizando para expresar cantidades.
6. Fuente
Se debe anotar el nombre de la institución o de la investigación de donde se han tomado
los datos individuales.
7. Elaboración
Se anotará el nombre de la unidad responsable de la formulación y presentación
del tabulado de información estadística.
8. Fecha
Registre la fecha en que se realizó el cuadro para dejar constancia del evento y
poder actualizar de ser pertinente
Ejemplo: Según información preliminar de la Oficina de Admisión del hotel
CONFORT, en el mes de Febrero de 2006 el hotel atendió a los turistas extranjeros
siguientes:

del 2010
Turista Nacionalidad Sexo
1 Argentina (*) Masculino
2 Argentina (*) Masculino
3 Argentina Masculino
4 Argentina Femenino
7 Boliviana Masculino
8 Boliviana Masculino
9 Boliviana Femenino
10 Chilena Masculino
11 Chilena Femenino
(*) El cliente no acreditó su nacionalidad
Elabore una tabla de resultados que consolide la información dispersa en esta base
de datos construida por la Oficina de Admisión del hotel CONFORT
NÚMERO Cuadro No 01
TÍTULO
¿Qué? Número de turistas extranjeros que fueron atendidos
¿Dónde? en el hotel CONFORT
¿Cómo? según nacionalidad por
sexo (1)
¿Cuándo? ( Periodo: Febrero 2006)
Nacionalidad
Número de Turistas
Extranjeros
Sexo
Masculino Femenino
Numero
(fi)
%
(hi)
Numero
(fi)
%
(hi)
Numero
(fi)
%
(hi)
Argentina (2) 6 54.5 3 50.0 3 60.0
Boliviana 3 27.3 2 33.3 1 20.0
Chilena 2 18.2 1 16.7 1 20.0
Total General 11 100.0 6 100.0 5 100.0
NOTAS DE PIE (1) Cifras preliminares registradas al 01.03.2006
(2) Comprende a ciudadanos con nacionalización no acreditada
FUENTE Oficina de Admisión del hotel
CONFORT
RESPONSABLE Elaborado por: Asesores y Consultores
S.A.
FECHA 01.03.2006

del 2010
1.4 Medidas de tendencia central.
Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información
con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la
distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de
centralización. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros
dentro de la distribución, independientemente de que ésta esté más o menos centrada, se
habla de estas medidas como medidas de posición. En este caso se incluyen también los
cuantiles entre estas medidas.
Son estadígrafos de posición que son interpretados como valores que permiten resumir a un
conjunto de datos dispersos, podría asumirse que estas medidas equivalen a un centro de
gravedad que adoptan un valor representativo para todo un conjunto de datos
predeterminados. Estas medidas son:
1. Promedio Aritmético (Media o simplemente promedio)
2. Mediana
3. Moda
Otras medidas de posición son: Cuartiles, Deciles y Percentiles
La media aritmética:
La media aritmética es el valor obtenido por la suma de todos sus valores dividida entre el
número de sumandos.
La media resume en un valor las características de una variable teniendo en cuenta todos
los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas.
Para Datos No Agrupados.
El promedio aritmético de un conjunto de valores ( x1
x2 x3
..... xn )
es:
Ejemplo: Durante los últimos 32 días el valor de las compras en periódicos fue:
{ 5.2, 10.2, 7.0, 7.1, 10.2, 8.3, 9.4, 9.2, 6.5, 7.1, 6.6, 7.8,
6.8, 7.2, 8.4, 9.6, 8.5, 5.7, 6.4, 10.1,
8.2, 9.0, 7.8, 8.2, 5.3, 6.2, 9.1, 8.6, 7.0, 7.7, 8.3, 7.5 }
El promedio aritmético del valor de las compras de
periódicos es:

del 2010
Donde: fi = Frecuencia en la clase k-ésima
Xi = Marca de clase en la intervalo k-ésimo
Ejemplo: Para los gastos diarios en periódicos del hotel agrupados en una tabla de
frecuencia:
Intervalo
Xi fi hi Fi Hi
10
8
5.2 - 6.1 5.65 3 0.094 3 0.094
6
6.1 - 7.0 6.55 5 0.156 8 0.250
4
7.0 - 7.9 7.45 9 0.281 17 0.531
2
7.9 - 8.8 8.35 7 0.219 24 0.750
0
8.8 - 9.7 9.25 5 0.156 29 0.906
6.55
7.4
5
8.3
5 9.25
10.1
5
5.65
9.7 - 10.6 10.15 3 0.094 32 1.000
TOTAL 32 1.000
7.87
El promedio aritmético
es:
Durante los 32 días el hotel tuvo un gasto promedio en periódicos de 7.87 soles

del 2010
Las principales propiedades de la media aritmética son:
 Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos.
 Su valor es único para una serie de datos dada.
 Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado
acompañarla de una medida de dispersión.
 Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos,
ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su
propio valor:
 Minimiza las desviaciones cuadráticas de los datos respecto de cualquier valor
prefijado,

 esto es, el valor de es mínimo cuando . Este resultado se
conoce como Teorema de König. Esta propiedad permite interpretar uno de los
parámetros de dispersión más importantes: la varianza.
 Se ve afectada por transformaciones afines (cambios de origen y escala), esto es, si
xi' = axi + b entonces , donde es la media aritmética de los xi', para
i = 1, ..., n y a y b números reales.
 Es poco sensible a fluctuaciones muestrales, por lo que es un parámetro muy útil en
inferencia estadística.
Inconvenientes de su uso
 Este parámetro, aún teniendo múltiples propiedades que aconsejan su uso en
situaciones muy diversas, tiene también algunos inconvenientes, como son:
Para datos agrupados en intervalos (variables continuas) su valor oscila en función
de la cantidad y amplitud de los intervalos que se consideren.
 Es una medida a cuyo significado afecta sobremanera la dispersión, de modo que
cuanto menos homogéneos sean los datos, menos información proporciona. Dicho
de otro modo, poblaciones muy distintas en su composición pueden tener la misma
media.[4] Por ejemplo, un equipo de baloncesto con cinco jugadores de igual
estatura, 1,95 m, evidentemente, tendría una estatura media de 1,95 m, valor que
representa fielmente a esta población homogénea. Sin embargo, un equipo de
jugadores de estaturas más heterogéneas, 2,20 m, 2,15 m, 1,95 m, 1,75 m y 1,70 m,
por ejemplo, tendría también, como puede comprobarse, una estatura media de 1,95
m, valor que no representa a casi ninguno de sus componentes.
 En el cálculo de la media no todos los valores contribuyen de la misma manera. Los

del 2010
valores altos tienen más peso que los valores cercanos a cero. Por ejemplo, en el
cálculo del salario medio de un empresa, el salario de un alto directivo que gane
1.000.000 de € tiene tanto peso como el de diez empleados "normales" que ganen
1.000 €. En otras palabras, se ve muy afectada por valores extremos.
 No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase
abiertos.
La mediana
Es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de observaciones ordenadas. El
50% de las observaciones son mayores que este valor y el otro 50% son menores.
Para Datos No agrupados.
Para Datos Agrupados.
Donde:
Li = Límite Inferior del intervalo que contiene a la Mediana
Fi-1 = Frecuencia Acumulada en la clase anterior i-ésima
fi = Frecuencia en la clase que contiene a la mediana
Hi-1 = Frecuencia Relativa Acumulada en la clase anterior i-ésima
hi = Frecuencia Relativa en la clase que contiene a la mediana
c =Tamaño del intervalo de clase.

del 2010
Ejemplo: Para los gastos diarios en periódicos del hotel en una tabla de frecuencia:
Intervalo
Xi fi hi Fi Hi
10
8
5.2 - 6.1 5.65 3 0.094 3 0.094
6
6.1 - 7.0 6.55 5 0.156 8 0.250
4
7.0 - 7.9 7.45 9 0.281 17 0.531
2
7.9 - 8.8 8.35 7 0.219 24 0.750
0
8.8 - 9.7 9.25 5 0.156 29 0.906
6.55 7.45 8.35 9.25
10.1
5
5.65
9.7 - 10.6 10.15 3 0.094 32 1.000
TOTAL 32 1.000
Me=7.8
El gasto diario en periódicos más frecuente es 7.6 soles
Las principales propiedades de la mediana son:
 Es menos sensible que la media a oscilaciones de los valores de la variable. Un error
de transcripción en la serie del ejemplo anterior en, pongamos por caso, el último
número, deja a la mediana inalterada.
 Como se ha comentado, puede calcularse para datos agrupados en intervalos,
incluso cuando alguno de ellos no está acotado.
 No se ve afectada por la dispersión. De hecho, es más representativa que la media
aritmética cuando la población es bastante heterogénea. Suele darse esta

del 2010
circunstancia cuando se resume la información sobre los salarios de un país o una
empresa. Hay unos pocos salarios muy altos que elevan la media aritmética
haciendo que pierda representatividad respecto al grueso de la población. Sin
embargo, alguien con el salario "mediano" sabría que hay tanta gente que gana más
dinero que él, como que gana menos.
Sus principales inconvenientes son que en el caso de datos agrupados en intervalos, su
valor varía en función de la amplitud de estos. Por otra parte, no se presta a cálculos
algebraicos tan bien como la media aritmética.
La moda
Es el valor, clase o categoría que ocurre con mayor frecuencia y sus características son:
- Puede no existir o existir más de una moda
- Su valor no se ve afectado por los valores extremos en los datos
- Se utiliza para analizar tanto la información cualitativa como la cuantitativa
- Es una medida “inestable” cuando en número de datos es reducido.
· Para Datos No Agrupados.
Para Datos Agrupados.
Donde:
d1=(fi - fi-1) y d1=(fi - i+1)
fi=Valor de la mayor
frecuencia

del 2010
Ejemplo: El gasto diario en periódicos del hotel “AAA” agrupados en una tabla de
frecuencia:
Intervalo
Xi fi hi Fi Hi
10
8
5.2 - 6.1 5.65 3 0.094 3 0.094
6
6.1 - 7.0 6.55 5 0.156 8 0.250
4
7.0 - 7.9 7.45 9 0.281 17 0.531
2
7.9 - 8.8 8.35 7 0.219 24 0.750
0
8.8 - 9.7 9.25 5 0.156 29 0.906 10.1
5
5.65 6.55 7.45 8.35
9.25
9.7 - 10.6 10.15 3 0.094 32 1.000
TOTAL 32 1.000
Mo=7.6
d1= 9-5 = 4
d2= 9-7 =
2
c= 0.9 = Tamaño de Intervalo de
Clase
La moda estimada utilizando estos datos agrupados es:
Utilizando las frecuencias relativas, la moda estimada es:
7.6
Sus principales propiedades son:
 Cálculo sencillo.
 Interpretación muy clara.
 Al depender sólo de las frecuencias, puede calcularse para variables cualitativas. Es
por ello el parámetro más utilizado cuando al resumir una población no es posible
realizar otros cálculos, por ejemplo, cuando se enumeran en medios periodísticos las
características más frecuentes de determinado sector social. Esto se conoce
informalmente como "retrato robot".

del 2010
Inconvenientes
 Su valor es independiente de la mayor parte de los datos, lo que la hace muy
sensible a variaciones muestrales. Por otra parte, en variables agrupadas en
intervalos, su valor depende excesivamente del número de intervalos y de su
amplitud.
 Usa muy pocas observaciones, de tal modo que grandes variaciones en los datos
fuera de la moda, no afectan en modo alguno a su valor.
 No siempre se sitúa hacia el centro de la distribución.
 Puede haber más de una moda en el caso en que dos o más valores de la variable
presenten la misma frecuencia (distribuciones bimodales o multimodales).
1.5 Medidas de dispersión.
Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la
variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes
puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor,
mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe
si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.
Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la
media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma
de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar
este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (Desviación media) y
otra es tomando las desviaciones al cuadrado (Varianza).
Rango estadístico
El rango o recorrido estadístico es la diferencia entre el valor mínimo y el valor máximo en
un grupo de números aleatorios. Se le suele simbolizar con R.
Requisitos del rango
Ordenamos los números según su tamaño.
Restamos el valor mínimo del valor máximo.
Ejemplo
Para una muestra (8,7,6,9,4,5), el dato menor es 4 y el dato mayor es 9 (Valor unitario
inmediatamente posterior al dato mayor menos el dato menor). Sus valores se encuentran
en un rango de:
Rango = (9-4) =5

del 2010
Varianza
La varianza (también denominada variancia, aunque esta denominación es menos utilizada)
es una medida estadística que mide la dispersión de los valores respecto a un valor central
(media), es decir, la media de las diferencias cuadráticas de las puntuaciones respecto a su
media aritmética. Suele ser representada con la letra griega σ o una V en mayúscula.
Para datos no agruapados Para datos agrupados
Propiedades
 La varianza es siempre positiva o 0:
 Si a los datos de la distribución les sumamos una cantidad constante la varianza no
se modifica.
Yi = Xi + k c
 Si a los datos de la distribución les multiplicamos una constante, la varianza queda
multiplicada por el cuadrado de esa constante.
 Propiedad distributiva: V(X + Y) = V(X) + V(Y)

del 2010
Ejemplos:
Datos no agrupados:
Para datos agrupados:
Desviación típica
La varianza a veces no se interpreta claramente, ya que se mide en unidades cuadráticas.
Para evitar ese problema se define otra medida de dispersión, que es la desviación típica, o
desviación estándar, que se halla como la raíz cuadrada positiva de la varianza. La
desviación típica informa sobre la dispersión de los datos respecto al valor de la media;
cuanto mayor sea su valor, más dispersos estarán los datos. Esta medida viene representada
en la mayoría de los casos por S, dado que es su inicial de su nominación en inglés.
Desviación típica muestral
=== Desviación típica poblacional === anal.x

del 2010
Ejemplo
Con Scilab este cálculo se hace de la siguiente manera: QUE
-->x= [17 14 2 5 8 7 6 8 5 4 3 15 9]
x =
17. 14. 2. 5. 8. 7. 6. 8. 5. 4. 3.
15. 9.
-->stdev(x)
ans =
4.716311
-->
Primero hemos declarado un vector con nombre X, donde introduzco los números de la
serie. Luego con el comando stdev se hallará la desviación típica.

del 2010
Unidad 2: Distribuciones muestrales
Propósito:
 Que el alumno aplique el conocimiento básico para aplicarlo en el estudio de las
poblaciones y las muestras.
 Identificar dentro de un caso, los datos agrupados y no agrupados para su
concentración y estudio
Introducción:
En estudios pasados de Estadísticas centramos nuestra atención en técnicas que describen
los datos, tales como organizar datos en distribuciones de frecuencias y calcular diferentes
promedios y medidas de variabilidad. Estábamos concentrados en describir algo que ya
ocurrió.
También comenzamos a establecer los fundamentos de la estadística inferencial, con el
estudio de los conceptos básicos de la probabilidad, las distribuciones de probabilidad
discretas y continuas. Distribuciones que son principalmente generadas para evaluar algo
que podría ocurrir. Ahora veremos otro tipo de distribución de probabilidad, que se laman
distribuciones muestrales.
¿Por qué muestrear?
Muestrear es una forma de evaluar la calidad de un producto, la opinión de los
consumidores, la eficacia de un medicamento o de un tratamiento. Muestra es una parte de
la población. Población es el total de resultados de un experimento. Hacer una conclusión
sobre el grupo entero (población) basados en información estadística obtenida de un
pequeño grupo (muestra) es hacer una inferencia estadística.
A menudo no es factible estudiar la población entera. Algunas de las razones por lo que es
necesario muestrear son:
1. La naturaleza destructiva de algunas pruebas
2. La imposibilidad física de checar todos los elementos de la población.
3. El costo de estudiar a toda la población es muy alto.
4. El resultado de la muestra es muy similar al resultado de la población.
5. El tiempo para contactar a toda la población es inviable.
Distribución Muestral de las Medias
El ejemplo de los ratings de eficiencia muestra como las medias de muestras de un tamaño
específico varían de muestra a muestra. La media de la primera muestra fue 101 y la media
de la segunda fue 99.5. En una tercera muestra probablemente resultaría una media

del 2010
diferente. Si organizamos las medias de todas las posibles muestras de tamaño 2 en una
distribución de probabilidad, obtendremos la distribución muestral de las medias.
Distribución muestral de las medias. Es una distribución de probabilidad de todas las
posibles medias muestrales, de un tamaño de muestra dado, seleccionadas de una
población.
2.1 Distribución muestral de medias de varianza desconocida
Si recordamos a la distribución normal, esta es una distribución continua, en forma de
campana en donde la media, la mediana y la moda tienen un mismo valor y es simétrica.
Con esta distribución podíamos calcular la probabilidad de algún evento relacionado con la
variable aleatoria, mediante la siguiente fórmula:
En donde z es una variable estandarizada con media igual a cero y varianza igual a uno.
Con esta fórmula se pueden a hacer los cálculos de probabilidad para cualquier ejercicio,
utilizando la tabla de la distribución z.
Sabemos que cuando se extraen muestras de tamaño mayor a 30 o bien de cualquier tamaño
de una población normal, la distribución muestral de medias tiene un comportamiento
aproximadamente normal, por lo que se puede utilizar la formula de la distribución normal
con y , entonces la fórmula para calcular la probabilidad del
comportamiento del estadístico, en este caso la media de la muestra , quedaría de la
siguiente manera:
y para poblaciones finitas y muestro con reemplazo:
Ejemplo:
Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye
aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40
horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida
promedio de menos de 775 horas.

del 2010
Solución:
Este valor se busca en la tabla de z
La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16 focos sea
menor a 775 horas es de 0.0062.
Ejemplo:
Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con
una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen
200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine:
a. El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros.
b. El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros.
Solución:
Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita y un muestreo
sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección. Se procederá a
calcular el denominador de Z para sólo sustituirlo en cada inciso.
a.

del 2010
(0.7607)(200)=152 medias muestrales
b.
(0.0336)(200)= 7 medias muestrales

del 2010
Con varianza conocida:
Suponga que la tabla siguiente muestra la antiguedad en años en el trabajo de tres maestros
universitarios de matemáticas:
Maestro de matemáticas Antiguedad
A 6
B 4
C 2
Suponga además que se seleccionan muestras aleatorias de tamaño 2 sin reemplazo.
Calcule la antigüedad media para cada muestra, la media de la distribución muestral y el
error estándar, o la desviación estándar de la distribución muestral.
Solución:
Se pueden tener 3C2 =3 muestras posibles. La tabla lista todas las muestras posibles de
tamaño 2, con sus respectivas medias muestrales.
Muestras Antigüedad Media
Muestral
A,B (6,4) 5
A,C (6,2) 4
B,C (4,2) 3
La media poblacional es:
La media de la distribución muestral es:
La desviación estándar de la población es:

del 2010
El error estándar o la desviación estándar de la distribución muestral es:
Si utilizamos la fórmula del error estándar sin el factor de correción tendriamos que:
Por lo que observamos que este valor no es el verdadero. Agregando el factor de corrección
obtendremos el valor correcto:
El diagrama de flujo resume las decisiones que
deben tomarse cuando se calcula el valor del error
estándar:

del 2010
2.2 Teorema del límite central.
Un importante resultado en Probabilidades y Estadística es el llamado Teorema del
Límite Central que dice que si de una población infinita con media  y varianza  2 se
extraen muestras aleatorias de tamaño n, entonces la media muestral se
comporta aproximadamente como una variable aleatoria normal con media igual
a la media poblacional y con varianza igual a la varianza poblacional dividida por el
tamaño de la muestra, siempre que n sea grande. Lo importante de este
resultado es que es independiente de la forma de la distribución de la población. Es
decir,
Cuando n es grande. Estandarizando, esto es equivalente a:
Si la población es bastante simétrica entonces, un tamaño de muestra n de
aproximadamente 30 es suficiente para una buena aproximación a la normal. Si
la población es bastante asimétrica, entonces el tamaño de muestra debe ser mucho
más grande.
En MINITAB se puede tratar de corroborar el Teorema del Límite Central a través
de un proceso de simulación.
Ejemplo Considerar una población que consiste de 3, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 15, 20.
Primero calculamos la media y desviación estándar de dicha población.
Tr Mean StDev SE Mean
9.89 5.42 1.81
Variable Min Max Q1 Q3
C1 3.00 20.00 5.00 13.50
Notar que   9.89 y   5.42.
Segundo, extraemos 30 muestras de tamaño 4 de dicha población, ejecutando 4 veces la
siguiente secuencia CalcRandom DataSample from columns. Guardar cada una de
las 4 observaciones de las muestras en 4 columnas distintas: Obs1, Obs2, Obs3, y Obs4.

del 2010
2.3 Distribución muestral de proporción.
Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la muestra, sino que
queremos investigar la proporción de artículos defectuosos o la proporción de alumnos
reprobados en la muestra. La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar
respuesta a estas situaciones. Esta distribución se genera de igual manera que la
distribución muestral de medias, a excepción de que al extraer las muestras de la población
se calcula el estadístico proporción (p=x/n en donde "x" es el número de éxitos u
observaciones de interés y "n" el tamaño de la muestra) en lugar del estadístico media.
Una población binomial está estrechamente relacionada con la distribución muestral de
proporciones; una población binomial es una colección de éxitos y fracasos, mientras que
una distribución muestral de proporciones contiene las posibilidades o proporciones de
todos los números posibles de éxitos en un experimento binomial, y como consecuencia de
esta relación, las afirmaciones probabilísticas referentes a la proporción muestral pueden
evaluarse usando la aproximación normal a la binomial, siempre que np 5 y
n(1-p) 5. Cualquier evento se puede convertir en una proporción si se divide el número
obtenido entre el número de intentos.
Generación de la Distribución Muestral de Proporciones
Suponga que se cuenta con un lote de 12 piezas, el cual tiene 4 artículos defectuosos. Se
van a seleccionar 5 artículos al azar de ese lote sin reemplazo. Genere la distribución
muestral de proporciones para el número de piezas defectuosas.
Como se puede observar en este ejercicio la Proporción de artículos defectuosos de esta
población es 4/12=1/3. Por lo que podemos decir que el 33% de las piezas de este lote están
defectuosas.
El número posible de muestras de tamaño 5 a extraer de una población de 12 elementos es
12C5=792, las cuales se pueden desglosar de la siguiente manera:

del 2010
Artículos
Buenos
Artículos Malos
Proporción de
artículos
defectuoso
Número de
maneras en las
que se puede
obtener la muestra
1 4 4/5=0.8 8C1*4C4=8
2 3 3/5=0.6 8C2*4C3=112
3 2 2/5=0.4 8C3*4C2=336
4 1 1/5=0.2 8C4*4C1=280
5 0 0/5=0 8C5*4C0=56
Total 792
Para calcular la media de la distribución muestral de proporciones se tendría que hacer la
sumatoria de la frecuencia por el valor de la proporción muestral y dividirla entre el número
total de muestras. Esto es:
Como podemos observar la media de la distribución muestral de proporciones es igual a la
Proporción de la población.
p = P
También se puede calcular la desviación estándar de la distribución muestral de
proporciones:
La varianza de la distribución binomial es 2= npq, por lo que la varianza de la
distribución muestral de proporciones es 2
p =(Pq)/n. Si se sustituten los valores en esta
fórmula tenemos que:
, este valor no coincide con el de 0.1681, ya
que nos falta agregar el factor de corrección para una población finita y un muestreo sin
reemplazo:

del 2010
La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad en una distribución muestral de
proporciones está basada en la aproximación de la distribución normal a la binomial . Esta
fórmula nos servirá para calcular la probabilidad del comportamiento de la proporción en la
muestra.
A esta fórmula se le puede agregar el factor de corrección de si se cumple con
las condiciones necesarias.
Ejemplo:
Se ha determinado que 60% de los estudiantes de una universidad grande fuman cigarrillos.
Se toma una muestra aleatoria de 800 estudiantes. Calcule la probabilidad de que la
proporción de la muestra de la gente que fuma cigarrillos sea menor que 0.55.
Solución:
Este ejercicio se puede solucionar por dos métodos. El primero puede ser con la
aproximación de la distribución normal a la binomial y el segundo utilizando la fórmula de
la distribución muestral de proporciones.

del 2010
Aproximación de la distribución normal a la binomial:
Datos:
n=800 estudiantes
p=0.60
x= (.55)(800) = 440 estudiantes
p(x< 440) = ?
Media= np= (800)(0.60)= 480
p(x< 440) = 0.0017. Este valor significa que existe una probabilidad del 0.17% de que al
extraer una muestra de 800 estudiantes, menos de 440 fuman cigarrillos.
Distribución Muestral de Proporciones
Datos:
n=800 estudiantes
P=0.60
p= 0.55
p(p< 0.55) = ?

del 2010
Observe que este valor es igual al obtenido en el método de la aproximación de la
distribución normal a la binomial, por lo que si lo buscamos en la tabla de "z" nos da la
misma probabilidad de 0.0017. También se debe de tomar en cuenta que el factor de
corrección de 0.5 se esta dividiendo entre el tamaño de la muestra, ya que estamos
hablando de una proporción.
La interpretación en esta solución, estaría enfocada a la proporción de la muestra, por lo
que diríamos que la probabilidad de que al extraer una muestra de 800 estudiantes de esa
universidad, la proporción de estudiantes que fuman cigarrillos sea menor al 55% es del
0.17%.
Ejemplo:
Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos usuarios
pueden presentar una reacción adversa a él, más aún, se piensa que alrededor del 3% de los
usuarios tienen tal reacción. Si una muestra aleatoria de 150 personas con malestar
estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad de que la proporción de la
muestra de los usuarios que realmente presentan una reacción adversa, exceda el 4%.
a. Resolverlo mediante la aproximación de la normal a la binomial
b. Resolverlo con la distribución muestral de proporciones
a. Aproximación de la distribución normal a la binomial:
Datos:
n=150 personas
p=0.03
x= (0.04)(150) = 6 personas

del 2010
p(x>6) = ?
Media = np= (150)(0.03)= 4.5
p(x>6) = 0.1685. Este valor significa que existe una probabilidad del 17% de que al
extraer una muestra de 150 personas, mas de 6 presentarán una reacción adversa.
b. Distribución Muestral de Proporciones
Datos:
n=150 personas
P=0.03
p= 0.04
p(p>0.04) = ?

del 2010
Observe que este valor es igual al obtenido y la interpretación es: existe una probabilidad
del 17% de que al tomar una muestra de 150 personas se tenga una proporción mayor de
0.04 presentando una reacción adversa.
Ejemplo:
Se sabe que la verdadera proporción de los componentes defectuosos fabricados por una
firma es de 4%, y encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 60
tenga:
a. Menos del 3% de los componentes defectuosos.
b. Más del 1% pero menos del 5% de partes defectuosas.
Solución:
a. Datos:
n= 60 artículos
P=0.04
p= 0.03
p(p<0.03) = ?

del 2010
La probabilidad de que en una muestra de 60 artículos exista una proporción menor
de 0.03 artículos defectuosos es de 0.2327.
b. Datos:
n= 60 artículos
P=0.04
p= 0.01 y 0.05
p(0.01<p<0.05) = ?
2.3 Distribución muestral diferencia de medias y de proporciones.
Distribución Muestral de Diferencia de Medias
Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media 1 y desviación
estándar 1, y la segunda con media 2 y desviación estándar 2. Más aún, se elige una
muestra aleatoria de tamaño n1 de la primera población y una muestra independiente
aleatoria de tamaño n2 de la segunda población; se calcula la media muestral para cada
muestra y la diferencia entre dichas medias. La colección de todas esas diferencias se llama
distribución muestral de las diferencias entre medias o la distribución muestral del
estadístico

del 2010
La distribución es aproximadamente normal para n1 30 y n2 30. Si las poblaciones son
normales, entonces la distribución muestral de medias es normal sin importar los tamaños
de las muestras.
En ejercicios anteriores se había demostrado que y que , por lo que no es
difícil deducir que y que .
La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad del estadístico de diferencia de
medias es:
Ejemplo:
En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una
escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que
tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de
los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación
estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto
grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si
representa el promedio de los pesos de 20 niños y es el promedio de los pesos de una
muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20
niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas.

del 2010
Solución:
Datos:
1 = 100 libras
2 = 85 libras
1 = 14.142 libras
2 = 12.247 libras
n1 = 20 niños
n2 = 25 niñas
= ?
Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de niños sea al
menos 20 libras más grande que el de la muestra de las niñas es 0.1056.
Ejemplo:
Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos
compañías. Los tubos de la compañía A tienen una vida media de 7.2 años con una
desviación estándar de 0.8 años, mientras que los de la B tienen una vida media de 6.7 años
con una desviación estándar de 0.7. Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria
de 34 tubos de la compañía A tenga una vida promedio de al menos un año más que la de
una muestra aleatoria de 40 tubos de la compañía B.
Solución:

del 2010
Datos:
A = 7.2 años
B = 6.7 años
A = 0.8 años
B = 0.7 años
nA = 34 tubos
nB = 40 tubos
= ?
Ejemplo:
Se prueba el rendimiento en km/L de 2 tipos de gasolina, encontrándose una desviación
estándar de 1.23km/L para la primera gasolina y una desviación estándar de 1.37km/L para
la segunda gasolina; se prueba la primera gasolina en 35 autos y la segunda en 42 autos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento promedio
mayor de 0.45km/L que la segunda gasolina?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre
entre 0.65 y 0.83km/L a favor de la gasolina 1?.
Solución:

del 2010
En este ejercicio no se cuenta con los parámetros de las medias en ninguna de las dos
poblaciones, por lo que se supondrán que son iguales.
Datos:
1 = 1.23 Km/Lto
2 = 1.37 Km/Lto
n1 = 35 autos
n2 = 42 autos
a. = ?
b. ?

del 2010
La probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio en las muestras se encuentre
entre 0.65 y 0.83 Km/Lto a favor de la gasolina 1 es de 0.0117.
Distribución Muestral de Diferencia de Proporciones
Muchas aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos que deben compararse
utilizando proporciones o porcentajes. A continuación se citan algunos ejemplos:
 Educación.- ¿Es mayor la proporción de los estudiantes que aprueban matemáticas
que las de los que aprueban inglés?
 Medicina.- ¿Es menor el porcentaje de los usuarios del medicamento A que
presentan una reacción adversa que el de los usuarios del fármaco B que también
presentan una reacción de ese tipo?
 Administración.- ¿Hay diferencia entre los porcentajes de hombres y mujeres en
posiciones gerenciales.
 Ingeniería.- ¿Existe diferencia entre la proporción de artículos defectuosos que
genera la máquina A a los que genera la máquina B?
Cuando el muestreo procede de dos poblaciones binomiales y se trabaja con dos
proporciones muestrales, la distribución muestral de diferencia de proporciones es
aproximadamente normal para tamaños de muestra grande (n1p1 5, n1q1 5,n2p2 5 y n2q2
5). Entonces p1 y p2 tienen distribuciones muestrales aproximadamente normales, así que
su diferencia p1-p2 también tiene una distribución muestral aproximadamente normal.

del 2010
Cuando se estudió a la distribución muestral de proporciones se comprobó que y
que , por lo que no es difícil deducir que y que
.
La fórmula que se utilizará para el calculo de probabilidad del estadístico de diferencia de
proporciones es:
Ejemplo:
Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte difieren en sus
opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato.
Se cree que el 12% de los hombres adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que
sólo 10% de las mujeres adultas lo están. Si se pregunta a dos muestras aleatorias de 100
hombres y 100 mujeres su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte, determine
la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor sea al menos 3% mayor que el de
las mujeres.
Solución:
Datos:
PH = 0.12
PM = 0.10
nH = 100
nM = 100
p(pH-pM 0.03) = ?
Se recuerda que se está incluyendo el factor de corrección de 0.5 por ser una distribución
binomial y se está utilizando la distribución normal.

del 2010
Se concluye que la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor de la pena de
muerte, al menos 3% mayor que el de mujeres es de 0.4562.
Ejemplo:
Una encuesta del Boston College constó de 320 trabajadores de Michigan que fueron
despedidos entre 1979 y 1984, encontró que 20% habían estado sin trabajo durante por lo
menos dos años. Supóngase que tuviera que seleccionar otra muestra aleatoria de 320
trabajadores de entre todos los empleados despedidos entre 1979 y 1984. ¿Cuál sería la
probabilidad de que su porcentaje muestral de trabajadores sin empleo durante por lo
menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Boston College, en 5% o
más?
Solución:
En este ejercicio se cuenta únicamente con una población, de la cual se están extrayendo
dos muestras y se quiere saber la probabilidad de la diferencia de los porcentajes en esas
dos muestras, por lo que se debe de utilizar la distribución muestral de proporciones con
P1= P2, ya que es una misma población.
Otra de las situaciones con la cual nos topamos es que desconocemos la proporción de
trabajadores despedidos entre 1979 y 1984 que estuvieron desempleados por un período de
por lo menos dos años, sólo se conoce la
p1= 0.20 ya que al tomar una muestra de 320 trabajadores se observó esa proporción.
En la fórmula de la distribución muestral de proporciones para el cálculo de probabilidad se
necesita saber las proporciones de las poblaciones, las cuales en este ejercicio las
desconocemos, por lo que se utilizará el valor de 0.20 como una estimación puntual de P.
En el siguiente tema se abordará el tema de estimación estadística y se comprenderá el
porque estamos utilizando de esa manera el dato.

del 2010
También debe de comprenderse la pregunta que nos hace este problema, ¿cuál sería la
probabilidad de que su porcentaje muestral de trabajadores sin empleo durante por lo
menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Boston College, en 5% o
más?, la palabra difiera quiere decir que puede existir una diferencia a favor de la muestra
uno, o a favor de la muestra dos, por lo que se tendrán que calcular dos áreas en la
distribución y al final sumarlas.
Datos:
p1 = 0.20
n1 = 320 trabajadores
n2 = 320 trabajadores
P1 = P2
La probabilidad de que su proporcion muestral de trabajadores sin empleo durante por lo
menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Boston College, en 0.05 o
más es de 0.1260.

del 2010
Ejemplo:
Se sabe que 3 de cada 6 productos fabricados por la máquina 1 son defectuosos y que 2 de
cada 5 objetos fabricados por la máquina 2 son defectuosos; se toman muestras de 120
objetos de cada máquina:
a. ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina
2 rebase a la máquina 1 en por lo menos 0.10?
b. ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina
1 rebase a la máquina 2 en por lo menos 0.15?
Solución:
Datos:
P1 = 3/6 = 0.5
P2 = 2/5 = 0.4
n1 = 120 objetos
n2 = 120 objetos
a. p(p2-p1 0.10) = ?
Otra manera de hacer este ejercicio es poner P1-P2:

del 2010
La probabilidad de que exista una diferencia de proporciones de artículos
defectuosos de por lo menos 10% a favor de la máquina 2 es de 0.0011.
b. p(p1-p2
0.15)=?
La probabilidad de que exista una diferencia de proporciones de artículos defectuosos de
por lo menos 15% a favor de la máquina 1 es de 0.2357.

del 2010
2.5 Distribución Muestral Diferencia Medias.
Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media 1 y desviación
estándar 1, y la segunda con media 2 y desviación estándar 2. Más aún, se elige una
muestra aleatoria de tamaño n1 de la primera población y una muestra independiente
aleatoria de tamaño n2 de la segunda población; se calcula la media muestral para cada
muestra y la diferencia entre dichas medias. La colección de todas esas diferencias se llama
distribución muestral de las diferencias entre medias o la distribución muestral del
estadístico
La distribución es aproximadamente normal para n1 30 y n2 30. Si las poblaciones son
normales, entonces la distribución muestral de medias es normal sin importar los tamaños
de las muestras.
En ejercicios anteriores se había demostrado que y que , por lo que no es
difícil deducir que y que .
La fórmula que se utilizará para el calculo de probabilidad del estadístico de diferencia de
medias es:

del 2010
Ejemplo:
En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una
escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que
tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de
los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación
estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto
grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si
representa el promedio de los pesos de 20 niños y es el promedio de los pesos de una
muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20
niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas.
Solución:
Datos:
1 = 100 libras
2 = 85 libras
1 = 14.142 libras
2 = 12.247 libras
n1 = 20 niños
n2 = 25 niñas
= ?
Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de niños sea al
menos 20 libras más grande que el de la muestra de las niñas es 0.1056.

del 2010
Ejemplo:
Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos
compañías. Los tubos de la compañía A tienen una vida media de 7.2 años con una
desviación estándar de 0.8 años, mientras que los de la B tienen una vida media de 6.7 años
con una desviación estándar de 0.7. Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria
de 34 tubos de la compañía A tenga una vida promedio de al menos un año más que la de
una muestra aleatoria de 40 tubos de la compañía B.
Solución:
Datos:
A = 7.2 años
B = 6.7 años
A = 0.8 años
B = 0.7 años
nA = 34 tubos
nB = 40 tubos
= ?

del 2010
Ejemplo:
Se prueba el rendimiento en km/L de 2 tipos de gasolina, encontrándose una desviación
estándar de 1.23km/L para la primera gasolina y una desviación estándar de 1.37km/L para
la segunda gasolina; se prueba la primera gasolina en 35 autos y la segunda en 42 autos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento promedio
mayor de 0.45km/L que la segunda gasolina?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre
entre 0.65 y 0.83km/L a favor de la gasolina 1?.
Solución:
En este ejercicio no se cuenta con los parámetros de las medias en ninguna de las dos
poblaciones, por lo que se supondrán que son iguales.
Datos:
1 = 1.23 Km/Lto
2 = 1.37 Km/Lto
n1 = 35 autos
n2 = 42 autos
a. = ?

del 2010
b.
?
La probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio en las muestras se encuentre
entre 0.65 y 0.83 Km/Lto a favor de la gasolina 1 es de 0.0117.
2.6 Distribución Muestral de la Varianza.
A veces lo que nos interesa es estudiar la variabilidad de las medidas. La variabilidad se
suele medir con la varianza o con la desviación típica y el estadístico empleado es la
varianza muestral:

 


n
i
i
n
x
x
S
1
2
2
1
)
(
Para poder trabajar con ella necesitamos conocer la función de distribución asociada, para
esto estudiaremos la distribución chi cuadrado.

del 2010
Se dice que una variable aleatoria X sigue una distribución ji cuadrado con k grados de
libertad, cuando su función de densidad está dada por la fórmula:
Dado lo complicado de la expresión utilizaremos una tabla para conocer los valores que nos
interesen.
Propiedades de esta distribución:
1. Si X es una variable con distribución ji cuadrado con k grados de libertad, su media
es k y su varianza 2k.
2. Una variable ji cuadrado no toma valores negativos.
3. Su gráfica es de las de tipo de curvas sesgadas a la derecha.
4. A medida que aumentan los grados de libertad la curva se va haciendo más
simétrica y su cola derecha se va extendiendo.
5. Por cada valor de k hay una distribución distinta.
6. k es el único parámetro asociado a la distribución.










caso
otro
cualquier
en
six
e
x
k
x
f
x
k
x
0
0
)
2
/
1
(
)
2
/
(
1
)
(
)
2
/
1
(
1
2
/

del 2010

del 2010
2.7 Distribución Muestral Razónde Varianzas

del 2010
Unidad 3: Teoría de la estimación
Propósito:
 Aprender cómo acoplar los elementos de una población o una muestra
 Inferir en los parámetros de un problema
 Conocer los métodos y formas de presentar dicha información
Introducción:
En todo este tema vamos a suponer que estamos estudiando una población cuya
distribución es conocida excepto en un parámetro (,  , ,. ..) al que llamaremos . A
la distribución de la población la denotaremos por f(x).
Diremos que nos encontramos ante un problema de estimación cuando, dada una
población con una distribución f(x) donde  es un parámetro desconocido, aventuremos o
infiramos en base a los datos muestrales X , X ,..., X el valor de  . Si al inferir el
parámetro damos un único valor estaremos ante un problema de estimación puntual.
Estimador puntual  
$ , ,...,
 X X Xn
1 2 : será una función de la muestra aleatoria (un
estadístico) que utilizaremos para estimar el valor del parámetro.
Estimación $
 : valor obtenido del estimador al sustituir por los valores de una muestra
completa.
Cuando no haya lugar para la confusión designaremos al estimador simplemente por $
 .
Un estimador es, por tanto, un estadístico y, por ello, es una v.a. con una determinada
distribución de probabilidad llamada distribución muestral.
Dado un parámetro, podríamos utilizar distintos estimadores puntuales para estimarlo. Por
ejemplo, para estimar la varianza de la población podemos utilizar la varianza muestral o la
cuasi-varianza muestral. ¿Cuál es mejor? Veamos a continuación como comprobar si un
estadístico es un buen estimador de un parámetro. Para ello le exigiremos una serie de
propiedades. Como el estadístico es una variable aleatoria, las propiedades se las tenemos
que exigir a su distribución de probabilidad.

del 2010
3.1 Estimacióny Propiedades Estimadores.
Insesgado.- Se dice que un estimador puntual es un estimador insesgado de si
, para todo valor posible de . En otras palabras, un estimador insesgado es aquel para el
cual la media de la distribución muestral es el parámetro estimado. Si se usa la media
muestral para estimar la media poblacional , se sabe que la , por lo tanto la
media es un estimador insesgado.
Eficiente o con varianza mínima.- Suponga que 1 y 2 son dos estimadores insesgados
de . Entonces, aun cuando la distribución de cada estimador esté centrada en el valor
verdadero de , las dispersiones de las distribuciones alrededor del valor verdadero pueden
ser diferentes.
Entre todos los estimadores de que son insesgados, seleccione al que tenga varianza
mínima. El resultante recibe el nombre de estimador insesgado con varianza mínima
(MVUE, minimum variance unbiased estimator) de .
En otras palabras, la eficiencia se refiere al tamaño de error estándar de la estadística. Si
comparamos dos estadísticas de una muestra del mismo tamaño y tratamos de decidir cual
de ellas es un estimador mas eficiente, escogeríamos la estadística que tuviera el menor
error estándar, o la menor desviación estándar de la distribución de muestreo.
Tiene sentido pensar que un estimador con un error estándar menor tendrá una mayor
oportunidad de producir una estimación mas cercana al parámetro de población que se esta
considerando.
Como se puede observar las dos distribuciones tienen un mismo valor en el parámetro sólo
que la distribución muestral de medias tiene una menor varianza, por lo que la media se
convierte en un estimador eficiente e insesgado.

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