Procedimientos para la planificación en los Centros Educativos tipo V ( multi...
EJEMPLOS DE CADA TIPO DE FACTORIZACIÓN.
1. República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Defensa.
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la
Fuerza Armada Nacional Bolivariana.
Núcleo Aragua – sede Maracay.
Bachilleres:
Giovanni Ramos C.I. 25662697.
Gilver Peña C.I. 23791150
Sabrina Suárez C.I. 24924211.
CINU-CB-0S-N-002.
Ingeniería Civil.
Octubre, 2013
2. ¿En que consiste la factorización?
Es una técnica que consiste en la descomposición
de una expresión matemática (que puede ser un
número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en
forma de multiplicación. Existen diferentes métodos de
factorización, dependiendo de los objetos matemáticos
estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o
reescribirla en términos de «bloques fundamentales»,
que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un
número en números primos, o un polinomio en
polinomios irreducibles .
3. Tipos de factorización.
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Factor de monomio
Factor común monomio.
Factor común polinomio.
Factor común por agrupamiento.
Trinomio cuadrado perfecto.
Diferencia de cuadrados perfectos.
Caso especial de cuadrados perfectos.
Trinomio de la forma x2 + bx + c
Trinomio de la forma ax2+bx + c
Suma de cubos perfectos.
Diferencia de cubos perfectos.
4. Factor de monomio.
En este caso se buscan los factores en los
que se puede descomponer el término.
Ejemplo Nº1
15ab = 3.5 ab
Ejemplo Nº3
20ab = 4a.5b
Ejemplo Nº2
9ba = 3.3 ba
Ejemplo Nº4
25ba = 5b.5a
5. Factor común
monomio.
Es el factor que está presente en cada
término del polinomio :
• Ejemplo N°1: ¿cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z?
Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y - 6·4z = 6(2x + 3y - 4z )
6.2x= 12x , 6.3y =18y , 6.4z= 24z es decir, 6 es el factor común de 12x,18y,24z
Ejemplo N° 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en :
5a2- 15ab - 10 ac
El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores de letra
común es a, por lo tanto:
5a2- 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c )
6. Factor común polinomio.
Es el polinomio que aparece en cada término de
la expresión :
• EJEMPLO N° 1.
Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) =
Existe un factor común que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b )
= ( a + b )( x + y )
EJEMPLO N 2.
factorizar 2a(m - 2n) - b (m - 2n )
2a(m - 2n) - b (m - 2n )
= (m - 2n )( 2a - b )
7. Factor común por
agrupamiento.
Se trata de extraer un doble factor común.
EJEMPLO:
Factoriza: ap + bp + aq + bq
Se extrae factor común “p”
de los dos primeros términos
y “q” de los dos últimos , es
decir:
p(a + b ) + q( a + b )
Luego se saca factor común
polinomio
(a+b)(p+q)
8. Trinomio cuadrado
perfecto.
Un trinomio Cuadrado Perfecto, por brevedad (TCP), es
un polinomio de tres términos que resulta de elevar
al cuadrado un binomio.
• Ejemplo Nº1
a² 2ab + b² = (a + b)² Se
es trinomio cuadrado
perfecto cuando cumple la
siguiente regla:
El Cuadrado del 1er
Termino 2 Veces el 1er
Termino por el 2do + el
Cuadrado del 2do Termino.
9. Ejemplo de trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo Nº2
Factorar: m² + 6m + 9
m² + 6m + 9
↓…………..↓
m..............3
Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término
[m]y[3]
= (m + 3)²
Ahora aplica la regla del (TCP), el cuadrado del 1er termino
= m² [ + ] 2 veces el 1er termino por el 2do; [2m].[3] = 6m [+]
el cuadrado del 2do termino; [3]² =9
= m² + 6m + 9; si es un (TCP), ya que cumple la Regla.
10. Diferencia de
cuadrados perfectos.
Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por
dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.
Al estudiar los productos
notables teníamos que:
En donde el resultado es una diferencia
de cuadrados, para este capitulo es el
caso contrario:
Pasos:
1.Se extrae la raíz cuadrada de
ambos términos.
2.Se multiplica la suma por la
diferencia de estas cantidades (el
segundo termino del binomio
negativo es la raíz del termino
del binomio que es negativo).
Ejemplo explicativo:
11. Caso especial de cuadrados perfectos
ejemplo.
Factorar: (a + b)² - c²
(a + b)² = (a + b) (a + b)-c²
[(a + b) + c] [(a + b) – c] Quitamos los corchetes
= (a + b + c) (a + b – c)
12. Trinomio de la forma =x2 + bx + c
Ejemplo: a2 -2a - 15
1. Primero se buscan
los factores del
ultimo termino
2.
15 3
5 5
11
Se pone 2 paréntesis, en el
primero va la letra de la
incógnita y el signo del medio,
en el segundo va la misma letra
y la multiplicación de los 2
signos .
-5+3= -2
•Se necesita que sus
factores sumados del el
segundo termino
•Los números que se
colocan son los de la
descomposición del
15.
= (a – 5) (a + 3)
•Cuando
multiplican los
signos, tiene que
dar los mismo de
resultado de la
descomposición.
13. Trinomio de la forma ax2+bx+c
Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado (x 2) se encuentra
precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se trabaja de una manera un
poco diferente, la cual detallamos a continuación:
1.Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “a ” por cada termino del
trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el termino “bx” de la
manera “b(ax)”, y en el termino “a ” de la manera .
2.Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer
termino será la raíz cuadrada del termino la que seria “ax”.
3.al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no
variar el valor del polinomio.
4.El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino
“bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los
signos de “bx” y de “c”.
5.Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres
y cuatro del caso del trinomio anterior.
15. Suma de cubos perfectos.
Esta factorización es igual a la de la diferencia de
cuadrados, lo único que cambia es el signo de la respuesta.
Ejemplo: aᶟ 8
+
Se buscan las
raíces cubicas.
Se multiplica el binomio con el
trinomio, ese es el resultado
ᶟ
√aᶟ
a
=( a+2)
ᶟ
√8
2
a²
(a) (2)=2a
2²=4
Primer binomio
El primer termino se eleva al cuadrado, después se
resta la multiplicación del primero por el segundo y
luego se suma el segundo termino se eleva al cuadrado
= (a+2)(a²-2a+4)
16. Diferencias de cubo perfectos.
La factorización de la diferencia de los cubos es el factorizar 2
términos los cuales son cubos perfectos
Ejemplo :Xᶟ 27
Se buscan las raíces cubicas
de los términos :
ᶟ
√xᶟ ᶟ
√27
x
= (x – 3) primer binomio
3
X²
(x) (3)=3x
3²=9
De las raíces que sacamos, el primer termino se eleva
al cuadrado, después se suma la multiplicación del
- (x – 3) (x² + 3x + 9)
primero por el segundo y luego se suma el segundo
Se expresa la multiplicación del binomio y el
termino se eleva al cuadrado
trinomio, ese es el resultado
