1. Republica bolivariana de Venezuela
ministerio del poder popular para la educación universitaria
universidad politécnica territorial Andrés Eloy blanco
Números reales y plano numérico
Rubén Silva
27008548
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2. CONJUNTOS NUMERICOS
NATURALES: Con los números naturales contamos los elementos de
un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden
que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).
El conjunto de los números naturales está formado por:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.
La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural,
sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo.
3. ENTEROS: Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura
bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número
entero.
El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero , sólo
ocurre cuando la división es exacta.
Los números enteros son del tipo:
{...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
4. RACIONALES: Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y
periódico mixto) son números racionales; pero los números decimales
ilimitados no.
La suma, la diferencia , el producto y el cociente de dos números racionales
es otro número racional.
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número
entero.
La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre
cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.
5. IRRACIONALES: Un número es irracional si posee infinitas cifras
decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de
fracción.
El número irracional más conocido es (PI), que se define como la relación
entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
Explicaciones y ejemplos de conjuntos numéricos (PI) = 3.141592653589...
Otros números irracionales son:
El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración
radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos
apreciar en los tendidos eléctricos.
e = 2.718281828459...
6. REALES: El conjunto formado por los números racionales e irracionales
es el conjunto de los números reales, se designa por R.
7. ejemplos
Ejercicio conjunto natural.
En el conjunto de los naturales N, el siguiente del número 20 es
a. 19
b. 21
c. 22
d. 18
Ejercicio conjunto entero
Los inversos aditivos de los números enteros (Z) 20 y
−5 son, respectivamente
a. 5 y −20
b. −20 y −5
c. −20 y 5
d. 20 y 5
8. Ejemplo conjunto racional
8/4 = 2
7/2 = 3.5
8/3 = 2.66666666...
1/3 = 0.333333...
Ejemplo conjunto irracional
π = 3.141592654...
e = 2.718281828...
9. Desigualdades matemáticas
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones
algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre
dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o
bien menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser
expresada con diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones
matemáticas diferente según su naturaleza.
Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el menor
número de palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad matemática
es mostrar que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes.
Menor que: <
Menor o igual que: ≤
Mayor que: >
Mayor o igual que: ≥
10. Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro
veces nuestra incógnita menos dos es superior a nueve”. Siendo el
elemento 4x-2 el elemento A y 9 el elemento B. La resolución nos mostraría
que (en números naturales) la desigualdad se cumple si x es igual o
superior a 3 (x≥3).
Tipos:
Desigualdades estrictas: son aquellas que no aceptan la igualdad entre
elementos. De este modo, entenderemos como desigualdades de este tipo
el “mayor que” (>) o “menor que” (<).
Desigualdades amplias o no estrictas: todas aquellas en las que no se
especifica si uno de los elementos es mayor/menor o igual. Por lo tanto,
estamos hablando de “menor o igual que” (≤), o bien “mayor o igual que”
(≥).
11. Propiedades
Si los miembros de la expresión son multiplicados por el mismo valor, no
cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 3(4x-2) > 3·9
Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo valor, no cambia
el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = (4x-2)/3 > 9/3
Si los miembros de la expresión son sumados o restados por el mismo valor,
no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 - 3 / 4x – 2 > 9 =
4x-2 +3 > 9+3
Si los miembros de la expresión son multiplicados por un valor negativo, sí
cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = -3(4x-2) < -3·9
Si los miembros de la expresión son divididos por un valor negativo, sí
cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3
12. Valor absoluto
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al
suprimir su signo. El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.
|−5| = 5
|5| = 5
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a
cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
Propiedades:
Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
|5| = |−5| = 5
13. El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos
de los factores.
|a · b| = |a| ·|b|
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10
El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores
absolutos de los sumandos.
|a + b| ≤ |a| + |b|
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| ≤ |5| + |2| 3 ≤ 7
