Este documento resume la función de la circulación y el corazón. Explica que la sangre transporta oxígeno a los tejidos y dióxido de carbono a los pulmones. Describe la circulación en los lados izquierdo y derecho del corazón, incluidos los volúmenes, flujos y presiones. También cubre los conceptos de resistencia y cumplimiento de los vasos sanguíneos, y presenta un modelo matemático de la circulación descontrolada y controlada.
1. El Corazón y la Circulación Por: Rosa E. Padilla Torres Presentación para la clase Modelos Matemáticos para las Ciencias Dr. Álvaro Lecompte Montes 10 de mayo de 2011 1
2. Función de la circulación La función del corazón es bombear sangre. La sangre transporta oxígeno (O2) desde los pulmones hacia los tejidos del cuerpo y transporta el dióxido de carbono (CO2) de los tejidos nuevamente a los pulmones. Como el sistema circulatorio es un circuito cerrado, puede comenzar por cualquiera de los dos lados, tanto el izquierdo como derecho. 2
4. Lado izquierdo El corazón recibe la sangre rica en O2 y la bombea a través de las tres arterias sistémicas a los tejidos del cuerpo y capilares quienes intercambian al O2 por CO2. Al reducir la cantidad de O2 en la sangre y aumentar la de CO2, la sangre es más oscura. 4
5. Lado derecho El lado derecho del corazón es responsable de bombear sangre de las arterias pulmonares hasta los tejidos y pulmones. Los capilares transportan CO2 que es liberado de la sangre y en ésta entra O2 en los espacios de aire de los pulmones. Dejando los capilares pulmonares, la sangre oxigenada es enviada a las venas pulmonares y vuelve al corazón nuevamente. Esto completa la circulación. 5
6. Lado derecho Este proceso se tarda aproximadamente un minuto. Dada la simetría entre la circulación sistemática pulmonar, se dice que ambas tienen la misma ecuación. Realmente, el volumen de sangre sistémica es 10 veces más que el volumen de sangre pulmonar. 6
7. Volumen, flujo y presión El volumen de sangre promedio (V0) es de aproximadamente 5 litros. Flujo se le llama al volumen de sangre que pasa por un punto de la circulación por unidad de tiempo. Se mide en litros por minutos. Este flujo se simboliza con la letra Q. El flujo más importante del sistema circulatorio es la salida cardiaca que se conoce como el volumen de sangre bombeada por unidad de tiempo por cada lado del corazón. 7
8. Volumen, flujo y presión La salida cardiaca debe ser calculada por el producto de accidente cardiovascular (stroke) se le llama al volumen de sangre bombeada por latido y el número de latidos por unidad de tiempo. Los valores típicos son: Presión (P) es la fuerza por unidad de área. 8
9. Resistencia y cumplimiento de vasos sanguíneos El volumen de una arteria V, su afluencia Q1a presión P1 y su salida Q2 a presión P2. La presión externa es cero (presión atmosférica). Para conocer como Q, P1, P2 y V se relacionan, se envuelven dos propiedades de los vasos sanguíneos: resistencia al flujo sanguíneo y compromiso en respuesta a presión o tensión. Q se determina P1 – P2 9
11. Resistencia y cumplimiento de vasos sanguíneos Obtenemos V = CP El volumen residual de un vaso sanguíneo a presión cero: V = Vd + CP 11
12. El corazón como un par de bombas Una bomba es un artefacto que acepta un fluido a una presión baja (P1) y lo transfiere a un área o región de presión mayor (P2 > P1) El flujo es producto de la bomba, que a su vez es producto de la taza de flujo Q y la diferencia de presión P2 – P1. 12
14. El corazón como un par de bombas El ventrículo izquierdo recibe una válvula de entrada (mitral) y una válvula de salida (aórtica). Cuando el ventrículo se relaja (diástole), el flujo de entrada es abierto y el flujo de salida es cerrado. Durante este periodo de tiempo, el ventrículo recibe la sangre del atrio izquierdo a presión, lo que es esencial para las venas pulmonares. P1 = Psv = 5 mm Hg 14
15. El corazón como un par de bombas Cuando el ventrículo se contrae (sístole) la válvula de flujo de entrada se cierra y la válvula de salida se abre. Estobombea la sangre al árbol arterial P2 – Psa = 100 mmHg El ventrículo se describe por: V(t) = Vd + C(t) P(t) 15
16. El corazón como un par de bombas C(t) esunafunción dada con caractercualitativo. Un puntoimportanteescuando C(t) tienevalorespequeñosCsistólicacuando el ventrículo se contrae y el valor es mucho mayor Cdiastólicacuando el ventrículo se relaja. Vddepende del tiempo 16
17. El corazón como un par de bombas Volumenmáximo en el ventrículo VED = Vd + C diastolePv Volumenmáximo VEs = Vd + C sistolePq 17
18. Modelomatemático de unacirculacióndescontrolada Usos para el modelo: Estudio de propiedades de autorregulación de la circulación independientemente de mecanismos externos de control. Explicar la necesidad de controles externos. Servir como fundamento en el cual construir modelos simples para el control de la circulación. 18
23. Modelomatemático de unacirculacióndescontrolada El volumen total de la sangre Vsa + Vsv + Vpa + Vpv = V0 El modelo se completacuandoobtenemoslasnuevedesconocidas: Q, Psa, Psv, Ppa, Ppv, Vsa, Vsv, Vpa, Vpr 23
24. Modelomatemático de unacirculacióndescontrolada De la ecuación de bombeo: Psv = Q/ Kr Ppv = Q/KL Sustituyendo el resultado en la ecuación de resistencia: Psa = (Q/Kr) + Rs Q Ppa = (Q/KL) + Rp Q 24
26. Modelomatemático de unacirculacióndescontrolada Combinandoparámetros: Tsv = Csv/Kr Tpv = Cpv / KL Tsa = (Csa / Kr) + Csa Rs Tpa = (Cpa / KL) + CpaRp Esto se resume: Vi = Ti Q, i = sv, pv, sa, pa 26
27. Modelomatemático de unacirculacióndescontrolada Sustituyendoesasexpresiones en lasecuacionespara el volumen total de sangre, resolvemospara Q: (Tsa + Tsv + Tpa + Tpv) Q = V0 Q = V0 / (Tsa + Tsv + Tpa + Tpv) La soluciónescompletadausandolasecuacionesVi = Ti Q y Pi = Vi / Ci Vi = Ti V0 / (Tsa + Tsv + Tpa + Tpv) Pi = (1/ Ci)(Ti V0) / (Tsa + Tsv + Tpa + Tpv) 27
29. Balanceando los dos lados del corazón Vp / Vs = (Vpa + Vpv) / (Vsa + Vsv) = (Tpa + Tpv) / (Tsa + Tsv) = ((Cpa + Cpv) / KL + CpaRp) / ((Csa + Csv) / Kr +Csa Rs) La clave del exito de esteintríncicomecanismo de control essudependencia de la salidacardiaca en la presión de la vena. 29
30. Balanceando los dos lados del corazón Para balancear ambos lados del corazón, se asumen los volúmenespulmonar y sistémico (Vp, Vs): Vsa + Vsp = Vs Vpa + Vpv = Vp 30
31. Salidacardiaca y presión arterial: Necesidad o mecanismo de control de la circulación Las arteriolas en el ejercicio muscular se dilata y la resistencia sistémica Rs falla. La salida cardiaca y la presión sistemática se mantienen cuando aumenta la salida cardiaca. Los latidosaumentan, comotambién el riesgo de un accidente cardiovascular. 31
32. Salidacardiaca y presión arterial: Necesidad o mecanismo de control de la circulación Las consecuencias de cambios en Rses el modelo de circulacióndescontrolada. Cuando Rsbaja, resulta en unalevereducción en el ritmocardiaco. El efectoesmás notable cuando la presiónsistémicaaumenta. 32
33.
34. Salidacardiaca y presión arterial: Necesidad o mecanismo de control de la circulación Los resultadosderivados se puedenresumirutilizandoconceptos de sensitividad. Si y depende de x y x cambia, entonces la sensitibilidad de y parax se define como: yx = ∆ log (y) / ∆ log (x) = (log (y) – log (y) / (log (x’) – log (x)) = log (y’/ y) / log (x’/ x) 34
35. Salidacardiaca y presión arterial: Necesidad o mecanismo de control de la circulación Si los cambios en x y yson pequeños, estecambio se aproxima: y x = (dy/Y) / (dx/X) Si y = a xn, entonces log y = n log x y x = n 35
36. Control Neural: El CicloBarorreceptor En el cuerpo, Psqescontroladapor el ciclobarorreceptor. 36
37. Elementos del CicloBarorreceptor 1 Los barorreceptores (B) son receptoreslocalizados en la arteriacarótida, en el arco de la aorta. Transmitenimpulsosnerviosos al cerebro, queaumentansegúnaumenta la presión arterial. 37
38. Elementos del CicloBarorreceptor 2 El sistemanervisoparasimpático (PNS) se agitapor la actividad de los barorreceptores. Este efecto reduce el ritmocardiaco (F). 38
39. Elementos del CicloBarorreceptor 3 El sistemanerviososimpático (SNS) esinibidopor la actividad de los barorreceptores. Estotienevariosefectos: Aumenta el ritmocardiaco Aumenta la presión arterial y porende el volumen de flujo de salida Aumenta la resistenciasistémica 39
40. Control Neural: El CicloBarorreceptor Este ciclo se cierra a través del mecanismo de circulación, el cualimplicaqueQ = F Vstroke y Psa = QRs 40
41. Control Neural: El CicloBarorreceptor La función general de estemodeloesasumirajustes en el ritmocardiaco (F) mientras la presión arterial sistémica se acerca a un valor P* Qr = F CrPsv QL = F CLPpv 41
42. Control Neural: El CicloBarorreceptor CuandocomparamosPsv con Psa, notamosunaresistenciasistémica. Estorepresenta un 2% de error el cualescalculadomediante :Q Rs = P* 42
43. Control Neural: El CicloBarorreceptor El volumenpulmonar en comparación con el volumensistémico en la ecuación de volumen total de sangre, representa un 10 % de error, dado por: Vsa + Vsv = V0 Eso lo podemosreescribir:Csa P* + CsvPsv = V0 43
44. Control Neural: El CicloBarorreceptor A partir de aquí, podemosdeterminar Q y Psvdirectamente: Q = P* / Rs Psv = (V0 – Csa P*) Csv F = P* Csv / (Rs Cr (V0 – Csa P*)) 44
45. Control Neural: El CicloBarorreceptor Unacirculacióncontroladaresponde a cambios en Rs, con cambiosinversamenteproporcionales a los cambios de salidacardiacacuando la presión arterial se mantiene. La salidacardiacaesproporcional al volumen de sangre. 45
46. Autoregulación Fenómenosquehansidoobjeto del término de autoregulación: Cuando la relación entre presión y flujo de un tejidomedido, a menudo a suvezesrelativamenteintenso a diferentespresiones A unadiferenciaconstante de presión, el flujo a través de algunostejidos, depende de la taza de consumo de O2 del tejido. 46
47. Autoregulación La clave de la hipótesisesque la resistencia de un tejidoesreguladapor la concentración de oxígeno del tejido La concentración de oxígeno [O2] es el número de litros de oxígenoque son transportados en un litro de sangre. 47
48.
49. La [O2] venosa ([O2]v) esdiferente en los distintostejidoscorporales.
52. Autoregulación El comportamiento de estemodelo se resume: La sensitivilidad del flujo de presión ( Q P) esmenorcuandoR = R0 [O2]vquecuando R esconstante. Los tejidossiemprereciben al menos el flujominimo Q* requeridoparasostener la tazametabólica. A una P constante, si M cambia, entonces ∆Q = ∆Q* = ∆M / [O2]a . El cambio en el flujosanguíneoesjustamentenecesarioparasoportar el consumoadicional de O2 50
53. Autoregulación El comportamiento de estemodelo se resume: (Cont.) A P constante, si M aumenta, entonces R automáticamente reduce. Si [O2]a cambia, con P y R0constante, entonces Q automáticamete se ajustatalque Q [O2]aesconstante.La taza de O2necesariaessuplida a todos los tejidos de la misma forma que antes del cambio. 51
54. Cambios en la circulaciónal nacer La circulación forma un ciclocerrado simple después del nacimiento. Antes del nacimiento, la configuración del sistemacirculatorioesaúnmáscomplicadaportenerconexionesadicionales Una de esasconexionesesllamada “ductosarteriales”, los cualesconectan los sistemaspulmonares y arteriassistémicascerca del corazón. 52
55. Cambios en la circulaciónal nacer El corazónposeeunaabertura en la pared quesepara los atriosderecho e izquierdo (Fenómeno Oval). Un tejidoplanoactúacomoválvulaparapermitir o bloquear el paso de sangre del ladoderecho al izquiedo. 53
56. Cambios en la circulaciónal nacer La función de esasconexionesadicionalesesdesviarsangrefuera de los pulmones, los cualescolapsan antes del nacimiento y presentaunagranresistencia al flujosanguíneo. 54
57. Cambios en la circulaciónal nacer El desvíofluyeporductosQd, y el flujo del agujeroQf. CuandotantoQdcomoQf son cero, el modelotoma la configuración de ciclo simple, en el cual la sangrefluye a través del ladoderecho del corazón, arteriaspulmonares, tejidos y venas; ladoizquierdo del corazón, arteriassitémicas, tejidos y venas. 55
59. Cambios en la circulaciónal nacer Estadirección se eligiópara ser llamada “positiva”, la cuales la dirección normal del flujodurante la vida del feto. Durante el nacimiento, los ductosartriales se cierran y el flujova en direcciónopuesta. CuandoQd > 0 significaque el flujova en la direcciónindicadaporlasflechas. CuandoQd < 0 significaque el flujova en direcciónopuesta. 57
60. Cambios en la circulaciónal nacer Ecuacionesparacirculacióndescontrolada: Qr = KrPsv QL = KLPpv Qp = (Ppa – Ppr) / Rp Qs = (Psa – Psv) / Rs 58
61. Cambios en la circulaciónal nacer El ductoesmodeladocomoresistencia simple: Qd = (Ppa – Psa) / Rd Cuando la válvulaabre, Qf ≥ 0 y Psv = Ppv Cuando la valvulacierra, Qf = 0 y Psv ≤ Ppv 59
62. Cambios en la circulaciónal nacer Presión arterial común: Rs Qs = RpQp = Pa – Pv Qp / Qs = Rs / Rp (Q – Qd) / (Q + Qd) = Rs / Rp ResolvemosparaQd / Q: Qd / Q = (Rp – Rs) / (Rp + Rs) Si reducimos a Qf = Qdapartir de Qr = QL 60
64. Dinámica del Pulso Arterial El pulso arterial es el procesomediante el cual el corazón se comtrae y la presiónsanguíneaaumentarápidamente y caenuevamente entre contracciones, segúncomo la sangrecorrefuera de lasarterias a través de los tejidos. 62
65. Dinámica del Pulso Arterial Este pulsoesutilizadoparacontar el ritmocardiaco. Cuando la presiónesmedida con la manga de aire (“Air Cuff”) en la parte superior del brazo, determina la cantidad actual máxima (sistólica) y la mínima (diastólica). La diferencia entre ambaspresiones se le llama presión de pulso. 63
66. Dinámica del Pulso Arterial Tanto la presiónsistólicacomo la diastólicadependen de los parámetros del corazón y la circulación. En un vasosanguíneo el flujo de entrada Q1(t) en cadainstante V(t) denota el mismo. 64
67. Dinámica del Pulso Arterial Para conocer el volumen de sangre en un vasosanguíneo a un tiempo t, tenemos: 65
68. 66 Dinámica del Pulso Arterial Psv << Psaentonces: CsadPsa / dt = QL(t) – Psa / Rs Durante la diástole, cuando la valvulaaórtica se cierra, QL = 0. En esecaso la soluciónes: Psa(t) = Psa(0) exp(-t / (RsCsa))
69. 67 Dinámica del Pulso Arterial Cambio en volumen del vaso: V(t) = C P(t) ó V(t) = C P(t) + Vd Tenemosque: dV / dt = C dP / dt Entonces: C dP/dt = Q1 – Q2 Qs = (Psa – Psv) / Rs Aproximadamente Qs = Psa / Rs
70. Bibliografía F. C. Hoppensteadt, C. S. Peskin; Mathematics in Medicine and the Life Sciences; 1992; páginas 105 a 139 http://es.wikipedia.org/wiki/Barorreceptor; 6 de diciembre de 2010 http://es.wikipedia.org/wiki/Coraz%C3%B3n; 6 de mayo de 2011 68
LadoIzquierdo:El corazón recibe la sangre rica en O2 y la bombea a través de las tres arterias sistémicas a los tejidos del cuerpo y capilares quienes intercambian al O2 por CO2. Al reducir la cantidad de O2 en la sangre y aumentar la de CO2, la sangre es más oscuraLadoderecho:El lado derecho del corazón es responsable de bombear sangre de las arterias pulmonares hasta los tejidos y pulmones. Los capilares transportan CO2 que es liberado de la sangre y en ésta entra O2 en los espacios de aire de los pulmones.Dejando los capilares pulmonares, la sangre oxigenada es enviada a las venas pulmonares y vuelve al corazón nuevamente. Esto completa la circulación. Este proceso se tarda aproximadamente un minuto.Dada la simetría entre la circulación sistemática pulmonar, se dice que ambas tienen la misma ecuación. Realmente, el volumen de sangre sistémica es 10 veces más que el volumen de sangre pulmonar.
La presión es medida mediante una columna de mercurio.
R es la resistencia del vaso sanguíneo. Como los vasos sanguíneos tienden a ser elásticos y no presentan resistencia, tenemos el mismo valor en ambos extremos P = P1 = P2.
C es una constante llamada cumplimiento del vaso sanguíneo.
Ejemplo:El ventrículo izquierdo recibe una válvula de entrada (mitral) y una válvula de salida (aórtica).Cuando el ventrículo se relaja (diástole), el flujo de entrada es abierto y el flujo de salida es cerrado.Durante este periodo de tiempo, el ventrículo recibe la sangre del atrio izquierdo a presión, lo que es esencial para las venas pulmonares.
Asumiendoquelasarteriaspulmonares y sistémicas, admás de la venas, son vasoscomplementariosobtenemoslasecuaciones en pantalla.Vdes la negligencia en los vasos.
Se asumeque lostejidossistémicos y pulmonaresactúancomoresistencia.
Cadaecuacióncontieneparámetrosquecaracterizan el elemento. Estosparámetros son los coeficientes de bombeo Kr, KL;lasresistencias Rs y Rp;cumplimientoCsa, Csv, Cpa y Cpv.
Aquí V0 esotroparámetro.
Aquí V0 esotroparámetro.
Aquí V0 esotroparámetro.
Vpes el volumenpulmonar y Vs es el volumen total sistémico.
Vpes el volumenpulmonar y Vs es el volumen total sistémico.
X’= x + ∆xY’ es el valor que se obtienecuando x cambia a x’
X’= x + ∆xY’ es el valor que se obtienecuandox cambia a x’
1. Los barorreceptores (B) son receptoreslocalizados en la arteriacarótida, en el arco de la aorta.Transmitenimpulsosnerviosos al cerebro, queaumentansegúnaumenta la presión arterial.2. El sistemanervisoparasimpático (PNS) se agitapor la actividad de los barorreceptores.Este efecto reduce el ritmocardiaco (F).3. El sistemanerviososimpático (SNS) esinibidopor la actividad de los barorreceptores.Estotienevariosefectos: Aumenta el ritmocardiacoAumenta la presión arterial y porende el volumen de flujo de salidaAumenta la resistenciasistémica
Donde Cr y CL son la conformidaddiastólicatanto en el ladoderechocomo en el izquierdo del corazón.CL Ppves el “Stroke volume” ladoderecho
F:Sustituyendoesosresultados en la ecuación de corazónderecho, podemos resolver para la taza de latidos:
Concentración cantidadporunidad de volumen. La concentracióndepende de la cantidadmedida
Concentración de oxígeno arterial
Concentración de oxígeno arterial
Note que elflujo de los ductos no siemprefluye en la direcciónindicadaporlasflechas.
Los nivelesnormales de presión arterial estánalrededor de 120 / 80 mm Hg
Estorepresenta la taza de cambio en el volumen del vaso entre el flujoqueentra y el que sale.Si V = constante, Q1 = Q2
