Ejemplos resueltos de integracion

1. CÁLCULO Y GEOMETRIA ANALITICA II
MAT-350
Preparado por:
Prof. Rosa Cristina De Peña Olivares
Santo Domingo, D. N.
Marzo, 2013
Ejemplos que corresponde a casos propuestos en el
texto de Thomas :
1. Sustitución de variables.
2. Completar cuadrado .
3. Integración trigonométrica.
4. Fracción impropia.
5. Separación de fracciones.
6. Multiplicación por una forma de uno.
7. Eliminación de raíces cuadradas.
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2. Ejemplos propuestos
1. Sustitución de variables.
∫
( )
Para evaluar la integral dada, vamos a realizar la sustitución:
u = lnx du= Por lo que :
∫ ( )
∫ ∫
ver en tabla de integración inmediata caso No. 16 que:
∫ = ∫ ( ) ∫( ) =
ln(secu+tgu) +C
Debido a que: W = tgu + secu dw = (sec2u + secu tgu ) du
Sustituyendo u por su equivalente tendremos:
∫ ( )
= ln(sec lnx+tg lnx) + C
2. Completar cuadrado.
Organizamos el divisor para factorizar.
∫ ∫
( )
∫( )
Realizando la sustitución: z = x-1 dz= dx
∫ = 8 arctg z + C = 8 arc tg (x-1) + C
∫ 8 arc tg (x-1) + C
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3. 3. Integración trigonométrica.
Desarrollando el binomio tenemos:
∫( ) ∫ ∫ ∫
En la distribución nos quedan las tres integraciones siguientes:
a) ∫
b) ∫ ∫ ∫ ∫
( )
c) ∫ ∫( ) ∫ ∫ -x
Sustituyendo en la integral inicial:
∫( ) tgx + ( ) -ctgx – x + C
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4. 4. Fracción impropia
∫
Se divide x entre x+1 : x x+1
-x-1 1
-1
Sustituimos la fracción impropia por su equivalente:
∫ =∫( ) =∫ -∫
En la segunda parte de la integral podemos hacer una sustitución para tener
una integral inmediata:
Es decir si : u = x+1 du = dx
∫ =x-∫ = x - ln| | + C = x-ln | |+C
∫ = x-ln | |+C
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5. 5. Separación de fracciones.
En este ejemplo, tenemos dos términos en el numerador, por lo que
tendremos dos integrales. Una para cada término del numerador entre el
mismo divisor, como indicamos a continuación:
∫ ∫ ∫
√ √ √
Resolvemos cada integral por separado de modo que para la primera,
∫√ Corresponde a la formula No. 21 dentro de las integrales
inmediatas. Donde : a2 =1 ^ v2 = x2, Es decir: a = 1, v = x
∫√ sen-1( ) + C = sen-1 x + C = arc sen x + C
Por otra parte:
∫√ Haremos u = 1- du = - 2x dx xdx= -
( )
( )
∫√ ∫ =- ∫ = ( )( )
√
√ +C=- √ +C
∫√ sen-1 x - √ +C
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6. 6. Multiplicación por una forma de uno.
Procedemos a multiplicar la integral a resolver por la forma de uno a utilizar
en este caso que es: ( )
De este modo:
∫ ∫( )( ) ∫( )
∫( ) ∫ ∫
Como : ^
∫ ∫ =∫ ∫
∫
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7. 7. Eliminación de raíces cuadradas.
∫ √
Mediante el uso de identidades, como:
Sustituyendo dentro del radical:
∫ √ ∫ √ =∫ √
=√ ( )| = -√ cos √ cos 0 = -√ (-1) √ (1) =
√ √ = 2√
∫ √ = 2√
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