08 derivadas

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues
ESTUDO DAS DERIVADAS
Vamos considerar y = f(x) uma função real de variável real x, definida e limitada,
1
num intervalo ]a, b [.
Agora seja 0 x um ponto desse intervalo e x ( ) 0 x ¹ x um segundo ponto do mesmo in-tervalo.
Vamos formar a diferença ( ) ( ) 0 Dy = f x - f x que chamaremos acréscimo ou
incremento da função, e compará-la com a diferença 0 Dx = x - x que chamaremos a-créscimo
ou incremento da variável independente x, a partir de 0 x .
A razão entre essas diferenças será chamada razão incremental e representada
por
-
0 ( ) ( )
x x
f x f x
0
D
y
x
-
=
D
.
x
y
a b
y = f (x)
a x0 x b x
y
y = f (x)
f (x)
f (x0 )

Se existe o limite desta razão incremental para Dx tendendo a zero, temos que:
lim será chamada derivada ou coeficiente diferencial de f(x) no ponto 0 x e será
f x f x
D
x x x -
2
y
x D
x
D
D ®0
representada por
= D
y
lim .
x
dy
dx
x D
D ® 0
Observe que:
Se Dx ®0 e 0 Dx = x - x , então 0 0 x - x ® , o que nos leva a concluir que 0 x ® x
Assim, podemos escrever que o limite da razão incremental também pode ser represen-tada
por:
0
0
0
( ) ( )
y
lim lim
0 x x
x
-
=
D
D ® ®
e finalmente que a derivada será:
-
0 ( ) ( )
f x f x
0
lim
0 x x
dy
dx
x x -
=
®
ou
-
f x f x
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
0 x x
f x
x x -
¢ =
®
Se existe ( ) 0 f ¢ x , então dizemos que f é derivável no ponto 0 x .
O símbolo
d y
d x
se deve a Leibniz (Gottifried Wilhelm Leibniz, 1646 – 1716); a
última notação ( ) 0 f ¢ x foi introduzida por Lagrange (Joseph Louis Lagrange, 1736 –
1813).
Se não houver ambigüidade quanto à variável independente, escrevemos simplesmente
y¢ para indicar a derivada de y.
Outro símbolo para exprimir a derivada de uma função, é D y = D f (x) = f ¢ (x)
que é a notação de Cauchy (Augustin Louis Cauchy, 1789 – 1857).
Quando houver dúvida quanto à variável em relação à qual se deriva, atribuímos
ao símbolo D um índice indicativo dessa variável.
D f D f (x) x = , D u Du (x) x = ou D v Dv (t) t =
Observação importante
Lembre-se sempre desta distinção:
· A derivada de uma função f(x) num ponto x0 do seu domínio é um número real
( ) 0 f ¢ x
· A função derivada de uma função f(x) é uma função dada por f ¢(x) = y¢

-
-
0 ( ) ( ) 4 4
f x f x
-
4 x 4
x
0 x x -
f x = x + x +
0 0 f ( x ) - f ( x ) = x + 3 x + 1 - [( x ) + 3 x + 1) = x + 3 x + 1 - ( x ) - 3 x -
1 0 0
0 f (x) - f (x ) = x + 3x - (x ) - 3x = x - (x ) + 3x - 3x
= + + = + + = +
3
EXEMPLOS
1. Ache a derivada de y = 4x +1
Resolução
Vamos calcular ( ) 0 f x , para isso, basta substituir assim ( ) 4 1 0 0 f x = x +
agora, calculamos a diferença ( ) ( ) 4 1 (4 1) 0 0 f x - f x = x + - x +
0 0 0 f (x) - f (x ) = 4x +1- 4x -1 = 4x - 4x
calculamos a razão incremental
x x
0
0
0
x x
x x
-
=
-
e finalmente o limite dessa razão
0
lim
0 x x
®
lim 4 4
-
4( )
lim
-
4 4
lim
0
x x
x x
0 0
0 0
0 0 = =
-
=
-
x®x x x
x®x x x x®x
dy
logo, a derivada de y = 4x +1 é = 4
dx
ou f ¢(x) = 4
2. Calcule a derivada de f (x) = x2 + 3x +1
Resolução
( ) ( ) 2
3 1 0
2
0
2 2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
- + -
-
0 ( ) ( ) ( ) 3 3
x x x x
0
0
2
0
2
f x f x
0
x x
x x
-
=
-
+ - + -
x x x x x x
0 0 0
0
- + -
x x x x
0
0
2
0
2
0
( )( ) 3( )
lim
( ) 3 3
( ) lim
=
0 x x
0 x x
f x
x x -
x x -
¢ =
® ®
lim ( 3) 3 2 3
- + +
( x x )( x x
3)
0 0
( ) lim 0 0 0 0
0
0
-
0 0
¢ =
® ®
x x x x x
x x
f x
x x x x
ou simplesmente f ¢(x) = 2x + 3 , pois o que queremos é a função derivada
EXERCÍCIOS
Ache a derivada de:
a) f (x) = 1
5x - 7 e) ( )
2
x
f x =
b) f (x) = x2 - x +1 f)
y x
= 2 + 1
x
c) f (x) = 6 - 2x3 g) f (x) = 5x4 - 2
d) y = x3 -12x +13 h) f (x) = 2x

REGRAS DE DERIVAÇÃO
O processo que usamos para calcular derivadas é muito trabalhoso, contudo po-demos
nos valer de algumas regras e fórmulas que podem facilitar o nosso trabalho.
Regra 1: A derivada de uma função constante é zero.
Se f (x) = k , então = 0
4
d y
d x
ou f ¢ (x) = 0
Exemplos:
a) f (x) = 12⇒ f ¢(x) = 0
3
b) ( ) 0
f (x) = ⇒ f ¢ x =
5
c) f (x) = 3 17 ⇒ f ¢(x) = 0
Regra 2: A derivada da n-ésima potência de uma variável x é igual ao produto de n por
x elevado a (n - 1)-ésima potência.
Se f (x) = xn , então:
= n × xn - 1
d y
d x
ou f ¢(x) = n × xn - 1 .
Exemplos:
a) f (x) = x2 ⇒ f ¢(x) = 2x2 -1 = 2x1 ⇒ f ¢(x) = 2x
1
3
b) 4
- f x = x 4
⇒ f ¢ x = × x
1
4
( ) ( )
4 5 4
c) ( ) ( ) 4
5
x
f x = x - ⇒ f ¢ x = - x - = -
Regra 3: A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da
constante pela derivada da função.
Se y = k u , onde u = f (x) é uma função diferenciável de x, então:
d y = × d u
ou y¢ = k ×u¢
d x
k
d x
Exemplos:
a) f (x) = 10x ⇒ f ¢(x) = 10
b) f (x) = 3x2 ⇒ f ¢(x) = 2 × 3x2 -1 = 6x1 ⇒ f ¢(x) = 6x
4
1
c) 3
f (x) = -2x 3
⇒ f ¢(x) = - x
8
3

Regra 4: A derivada da soma de um número finito de funções deriváveis é igual à soma
das suas derivadas.
Se y = u + v , onde u = f (x) e v = g (x) são funções diferenciáveis de x, então:
f x = b) f (x) = 7x2 c) f (x) = -4x
3
f (x) = - x- f) f (x) = 6x-3
f (x) = x e) 5
y = x d) y = 5 10 x
= - 1 - y x e) 3 2
f x = , no ponto x = -2?
5
d y = + d v
.
d x
d u
d x
d x
Exemplos:
a) y = x2 + 3⇒ y¢ = (x2 )¢ + (3)¢ = 2x + 0 ⇒ y¢ = 2x
b) f (x) = 3x2 + 4x + 2⇒ f ¢(x) = (3x2 )¢ + (4x)¢ + (2)¢ = 6x + 4 + 0
f (x) = 3x2 + 4x + 2⇒ f ¢(x) = 6x + 4
EXERCÍCIOS
Questão 01
Dar a derivada das seguintes funções:
1
a) f (x) = 8 e) f (x) = x
2
b) f (x) = -5 1 f) f (x) = 6 x5
c) f (x) = x6 g) f (x) = 4 x
d) f (x) = x- 5
Questão 02
Determine f ¢(x) em cada caso:
1
a) ( )
4
x
1
d) 7
7
5
Questão 03
Ache a derivada das seguintes funções:
3
a) 10
5
b) 4
2
3
y = x
2
c) y = 2 x
Questão 04
2
Qual é a derivada da função ( )
3
x
Questão 05
Se f (x) = 2x3 , calcule f ¢(2) .
Questão 06
Dada a função f (x) = 3 x2 , calcule a derivada de f(x) no ponto x = 8.

Questão 07
Sejam as funções f (x) = 10x2 e g(x) = 4x , calcule f ¢(x) + g¢(x)
Questão 08
Dadas as funções a seguir, calcule f ¢(x)
a) f (x) = 7x3 - 2x2 + x -1 c) f (x) = 10x4 - 5x3 - 2x2
b) f (x) = 3x2 - 7x + 4 d) f (x) = 6x3 - 4x2 - 7x
1
3
2
f (x) = - x4 + x3 - x2 + c) 7 8 5
( ) d)
= + f) y = 3x500 +15x100
1
1 - = x
d y ( ) = × + × ⇒ 2
d y
= + + -
6
Questão 09
Ache a derivada de cada função:
a)
1
4
1
2
2
3
1
2
f (x) = x + x + x
5
8
7
1
1
1
1
b) f x = x5 + x4 + x3 + x2 + x
2
3
4
5
157
419
7
3
3
5
4
( )
4 5 7 3
= + + + x x x
f x
Questão 10
Calcule a derivada de:
1
a) 3 3 2
1
= 2 + + -
y = x2 - x + d) y 7 x x
2 2
1
= + -
b) 5 3 5
1
= + - y 9 x 3 5
x
y x e) 4
3
c) y 5x5 6x
Regra 5: A derivada de um produto de duas funções é igual a derivada da primeira ve-zes
a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Sendo u e v funções, temos:
f (x) = u × v ⇒ f ¢(x) = u¢v + uv¢
Exemplos:
a) y = (x3 + 4)(x + 3) ⇒ y¢ = (x3 + 4)¢ × (x + 3) + (x3 + 4)(x + 3)¢
y¢ = 3x2 × (x + 3) + (x3 + 4) ×1 ⇒ y¢ = 3x3 + 9x2 + x3 + 4 ⇒ y¢ = 4x3 + 9x2 + 4
b) f (x) = ( x + 3)(x2 + 6) ⇒ f ( x ) = ( x 2 + 3)( x 2 +
6)
u
d v
d x
v
d u
d x
uv
d x
1
2
d u
d x
d v
e x
d x
= 2
1 2 2
x x x x
d y
d x
( 6) ( 3) 2
2
1
= + + + × -
d y
1
3
1 2
= + + + × -
⇒ x x x x
d x
3 ( 3) 2
2
1
2
2
1
3
1 2
= + + + -
x x x x
d y
d x
3 2 6
2
3
2
2
3
5 2
⇒ x x x
d x
3 6
2
1
2

u v u v
f (x) = com v ¹ 0 , então: 2 ( )
¢ = - +
y
= + , fazemos = +1⇒ ¢ = 1 u x u , v = x2 ⇒ v¢ = 2x
e v2 = (x2 )2 = x4
derivando, temos v 2
y
¢ = × - + ×
y
¢ = - + ⇒ 4
x - x - x
y
¢ = ⇒ 4
7
c) f (x) = (3x + 7)(x- 2 + 8)
(3x + 7) = 3
d
d x
d
⇒ (x - 2 + 8) = -2x -3
d x
= 3× (x - 2 + 8) + (3x + 7) × (-2x -3 )
d y
d x
d y
⇒ = 3x - 2 + 24 - 6x - 2 -14x -3
d x
= -3x - 2 -14x - 3 + 24
d y
d x
Regra 6: A derivada de um quociente é igual ao quociente da derivada do numerador
vezes a função do denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador,
sobre o quadrado do denominador.
u
Sendo
v
v
f x
¢× - × ¢
¢ = .
Exemplos:
a)
2 -1
=
x
x
y , fazemos u = x ⇒u¢ = 1 , v = x2 -1⇒v¢ = 2x
e v2 = (x2 -1)2 = x4 - 2x2 +1
derivando, temos y
¢ = u ¢× v - u × v
¢
⇒
v 2
¢ = × - - ×
2
- +
1 ( 1) 2
x x x
4 2
2 1
x x
y
1
= - x
2
-
y ⇒
2 1
¢ = - -
2 2
1 2
x x
2 1
4 2
4 2
- +
- +
x x
x x
x
2
1
- +
4 3
2 1
x x
y
1
x
x
b) 2
u v u v
y
¢× - × ¢
1 2 ( 1) 2
x x x
¢ = ⇒ 4
x
2 (2 2 2 )
x x x
4
x
2 2 2 2
x
y
¢ = - -
2 2
x
x x
y
¢ = - + ⇒ 3
( 2)
x
x x
4
y
¢ = - +
2
x
x
Regra 7: Função seno
Se f (x) = sen x , então f ¢(x) = cos x
Regra 8: Função cosseno
Se f (x) = cos x , então f ¢(x) = -sen x
Regra 9: Função exponencial
Se f (x) = a x , então f ¢(x) = a x × ln a

Regra 10:
Este é um caso particular em que a base é o número e.
Se f (x) = ex , então f ¢(x) = ex
Nota: o número e, definido com freqüência pelo limite 
y = (3x2 + 2x +1) , fazemos u = 3x2 + 2x +1⇒u¢ = 6x + 2
f (u) = u ⇒ f ¢(u) = u ⇒ y¢ = u¢ × f ¢(u)
y¢ = (6x + 2) × x + x + ⇒ 2
8

 = +

®¥ n
e
n
1
lim 1 , vale, aproxi-madamente
e = 2, 71
Regra 11: Função logaritmo
Se f x x a ( ) = log , então
1
x a
f x
ln
( )
×
¢ =
Regra 12: Função logaritmo neperiano
Se f (x) = ln x , então
x
f x
1
¢( ) =
Regra 13: Derivada da função composta
É muito comum trabalharmos com uma função composta, isto é, funções do tipo
f (x) = sen (x2 ) , que é uma composição de g (x) = sen x com h(x) = x2 . Nesse caso,
para obter a derivada, aplicamos a seguinte regra, conhecida como regra da cadeia:
f (x) = g [h (x)]⇒ f ¢(x) = g¢[h (x)] × h¢(x)
Regra 14: Derivada da função inversa
Se f é uma função que admite inversa e é derivável no ponto x, com f (x) ¹ 0,
então
1
- ¢ = ou
( )
( 1 ) ( ( ))
f x
f f x
¢
¢ = 1
y
x x
y
¢
.
Exemplos:
a) f (x) = sen (x2 ) ⇒ f (u) = sen u ⇒ f ¢(u) = u¢ × (sen u)¢
u = x2 ⇒u¢ = 2x ⇒ f (u) = sen u ⇒ f ¢(u) = cos u ⇒ f ¢(x) = 2x × cos (x2 )
b) f (x) = e2x ⇒ f (x) = eu ⇒ f ¢(x) = u¢ × (eu )¢
u = 2x ⇒u¢ = 2
f (u) = eu ⇒ f ¢(u) = eu
f ¢(x) = 2 × e2x
3
c) 2
1
2
3
2
3
2
1
2
3
(3 2 2 1)
2
1
y¢ = (9x + 3)(3x2 + 2x +1)

1 ¢ = , mas sen2 y + cos2 y =1, daí cos2 y =1- sen2 y ⇒cos y = 1- sen2 y
9
d)
2
1
2 1




+
=
x
y
2
2 1
( 2 1)2
1
+
⇒ ¢ = -
+
=
x
x
u
x
u
f (u) = u 2 ⇒ f ¢(u) = 2u
y¢ = u¢ × f ¢(u)
1
2
x
1
2
2 2 2 +
( 1)
× ×
+
¢ = -
x x
y
4
+
¢ = -
( x
2 1)3
x
y
e) f (x) = ln (sen x)
u = sen x⇒u¢ = cos x
u
f u u f u
1
( ) = ln ⇒ ¢( ) =
f ¢(u) = u¢ × f ¢(u)
x
sen x
senx
f x x
1 cos
¢( ) = cos × =
f ¢(x) = ctg x
f) f x x 2 2x ( ) = 10 -
u = x2 - 2x⇒u¢ = 2x - 2
f (u) = 10 u ⇒ f ¢(u) = 10 u × ln 10
f ¢(u) = u¢ × f ¢(u)
( ) (2 2) 10 2 2 ln 10 f ¢ x = x - × x - x ×
( ) 10 2 2 (2 2) ln 10 f ¢ x = x - x × x - ×
g) y = arc sen x
Sua inversa é x = sen y
¢ = 1
y
x x
y
¢
x y y ¢ = cos
y
yx cos
Como x = sen y , temos cos y = 1- x2
1
Logo:
1 2
( )
x
arc sen x
-
¢ =

y b)
= 2 + 5 d)
10
EXERCÍCIOS
Questão 01
Ache a derivada das funções:
a) f (x) = 4sen x
2
b) f x sen x
3
( ) =
c) f (x) = -5cos x
d) f (x) = 3cos x
1
e) f x cos x
3
( ) = -
Questão 02
Dadas f (x) = sen x e g(x) = cos x , calcule f ¢(0) + g¢(0) .
Questão 03
Determine a derivada das funções:
a) f (x) = 2x - 3cos x b) f (x) = sen x + cos x + x
c) f (x) = 2 sen x - cos x + x2 d) f (x) = sen x - 2cos x - 3x
Questão 04
Se f (x) = 3sen x + 2cos x , calcular f ¢(p)
Questão 05
Calcular a derivada de:
a) y = (2 + 5x)(7 - 3x)
b) y = x3 × cos x
c) y = x × (3x -1)(x + 2)
d) y = 3x × sen x
e) y = sen x × cos x
Questão 06
Calcular a derivada de:
a)
= +
2 1
-
3
x
x
2
-
2 1
=
x
x
y
c)
x
x
y
4
4
1
2 -
=
x
y
Questão 07
Aplicando a derivada do quociente, demonstre que:
a) se f (x) = tg x , então f ¢(x) = sec2 x
b) se f (x) = cot g x , então f ¢(x) = -csc2 x
c) se f (x) = sec x , então f ¢(x) = tg x × sec x
d) se f (x) = csc x , então f ¢(x) = -ctg x × csc x

Questão 08
a) f (x) = (x2 -1)3 b) f (x) = (x3 - 2x)2 c) f (x) = (2x +1)4
Questão 09
a) f (x) = x - 2 b) f (x) = 3 4x +1 c) f (x) = x2 -1
Questão 10
Determine a derivada de:
a) f (x) = 3x d) 2 1 f (x) = 10x -
( ) e) f (x) = ex
( ) = f) f (x) = (ln x) × x4
11
b)
x

 =
1
x f 

2
c) f (x) = 33x + 1 f) f (x) = 10 × ex
d) f (x) = 5× 2x g) f (x) = ecos x
Questão 11
a) f (x) = ln x d) f (x) = (log x)2
b) f (x) = (ln x)2 e)
x
x
f x
ln
( )
2
=
1
c) f x ln x
2
d) f x x 2 ( ) = 3log
Questão 12
a) f (x) = sen 3x b) f (x) = cos 6x c) f (x) = sen (3x +1)
Questão 13
a) f (x) = ln (sen x)
b) f (x) = ln (x2 - 5x + 6)
c) f (x) = log (x2 - 3x)
Questão 14
Calcule f ¢(x) , sendo f (x) = log (3x2 + 2)5 .
Questão 15
a) f (x) = sen 3x - cos 2x b) f (x) = sen 2x + cos 4x

REGRA DE L’HOSPITAL
Ao estudarmos o cálculo de limites, vimos que ao tentarmos calcular um limite
0
, que chamamos de indeterminação. Neste caso, frequente-mente
= -
2 4
12
do tipo
( )
f x
( )
lim
g x
x ® a
, às vezes ocorre que lim ( ) = 0
®
f x
x a
e lim ( ) = 0
®
g x
x a
e assim, o
( )
f x
( )
lim
g x
x ®a
toma a forma
0
era necessário executarmos alguns artifícios para calcular o limite.
Teorema (Regra de L’Hospital)
Se lim ( ) = 0
®
f x
x a
e lim ( ) = 0
®
g x
x a
e se existe
¢
( )
f x
x a ¢
( )
lim
g x
®
, então existe
( )
f x
( )
lim
g x
x ® a
e en-tão
temos:
( )
f x
x a x a ¢
( )
lim
( )
f x
( )
lim
g x
g x
¢
=
® ®
Exemplo:
Resolva
4
-
2
lim
2
x
2 -
® x
x
Resolução
Calculando o limite temos
0
0
4 4
0
2 2
4
-
2
lim
2 2
2
= - =
-
-
x
® x
x
(indeterminado)
Seja f (x) = x2 - 4 e g (x) = x - 2
Derivando cada uma dessas funções, temos:
f ¢(x) = 2x e g¢(x) = 1
Logo, pela regra de L´Hospital, temos:
lim 2 2 2 4
2
1
lim
4
-
2
lim
2 2
2
2
= = = × =
-
x
® ® ®
x
x
x
x x x
EXERCÍCIOS
Calcule os limites: (usando a regra de L´Hospital)
-
9
a)
3
lim
2
x
3 -
® x
x
b)
2
8
-
x
lim ® 2 x
3 -
x
ex
c) 0 2
1
lim
x
x
-
®
1 cos
d) lim
0 2
x
x
x
-
®
e)
+ -
4 x
1 3
3 2 2
lim
2 - -
® x
x

APLICAÇÕES DA DERIVADA NA
GEOMETRIA ANALÍTICA
Interpretação geométrica: A derivada de uma função f(x) num ponto a é o valor da
inclinação da reta tangente à função f(x) no ponto [a, f(a)].
reta tangente
13
f ¢(a) = tg q , ou ainda, a derivada no
ponto a é o coeficiente angular da
reta r, tangente à função f(x).
y
f (a)
a x
q
f (x)
EXEMPLOS:
1. Dada a função f (x) = x2 - 2x , determinar a equação da reta tangente ao gráfico da
curva de f no ponto de abscissa 3.
Resolução
para escrever a equação de uma reta, precisamos de um ponto e do coeficiente an-gular
da reta.
Assim, se a abscissa é 3, temos f (x) = x2 - 2x ⇒ f (3) = 32 - 2 × 3 = 9 - 6 = 3, ou
seja, a ordenada também é 3, logo o ponto será (3, 3)
Para calcular o coeficiente angular da reta, basta encontrar a derivada no ponto de
abscissa 3, assim:
f (x) = x2 - 2x ⇒ f ¢(x) = 2x - 2 ⇒ f ¢(3) = 2 × 3 - 2 = 6 - 2 = 4 , isto é, m = 4
Agora, já temos o ponto (3, 3) e o coeficiente angular m = 4
Usando a equação da reta, temos:
( ) 3 4 ( 3) 3 4 12 0 0 y - y = m x - x ⇒ y - = × x - ⇒ y - = x - , onde finalmente
temos que y = 4x - 9

2. Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = 2x2 -3x + 4 e que seja
paralela à reta y = 2x - 3.
Resolução
Se duas retas são paralelas, então os seus coeficientes angulares são iguais
Vamos chamar de r a reta dada e de s a reta procurada, assim, temos que:
= 2 r m e f ¢(x) = 4x - 3.
No ponto 0 x , temos ( ) 0 m f x s = ¢ , logo: ( ) 4 3 0 0 m = f ¢ x = x - s
mas
5

27
27
,
4

f , logo o ponto é 
y - y =  m ( x - x ) ⇒ y - = × x - = y - = x
- 0 0 
8y - 27 = 16x - 20 ⇒ 16x - 8y + 7 = 0 (forma geral da reta)
( ) 3 0 0 y - y = m x - x ⇒ y - = - × x - ⇒ y - = - x -
4y -12 = -x + 3 ⇒ x + 4y -15 = 0
14
5
4
2 4 3 4 5 0 0 0 m = m ⇒ = x - ⇒ x = ⇒ x = r s
Note que agora já temos a abscissa, resta encontrar a ordenada, que faremos assim
4
15
4
25
16
4 2
5
3
4
4

=  2
× 5
4
( ) 2 3 4
2

2 + - × = + × - 



f x = x - x + ⇒ f
8
5 = 
- + = 25 - 30 + 32
= 8
4
15
4
25
8
4





8
5
E a equação da reta será:
5
2
2
27
8
5
4
2
27
8


3. Dada a função f (x) = x2 - 2x , determinar a equação da reta normal, no ponto de
abscissa 3.
Resolução
A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente ao gráfico da função.
Se duas retas são perpendiculares, então o coeficiente angular de uma é igual a
menos o inverso do coeficiente angular da outra
Vamos chamar de r a reta dada e de s a reta procurada, assim, temos que:
Se a abscissa é 3, temos f (x) = x2 - 2x ⇒ f (3) = 32 - 2 × 3 = 9 - 6 = 3, ou seja,
a ordenada também é 3, logo o ponto será (3, 3)
Para calcular o coeficiente angular da reta, basta encontrar a derivada no ponto de
abscissa 3, assim:
f (x) = x2 - 2x ⇒ f ¢(x) = 2x - 2 ⇒ f ¢(3) = 2 × 3 - 2 = 6 - 2 = 4 , isto é, m = 4
mas, como
r
s m
m
1 = - , então
1 = - s m
4
Agora, já temos o ponto (3, 3) e o coeficiente angular
1 = - s m
4
Usando a equação da reta, temos:
1
( 3) 4 12 ( 3)
4

EXERCÍCIOS
Questão 01
Determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f (x) = x2 - 4x +1 no
ponto P(1, -2).
Questão 02
Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = x2 + 5x no ponto de
abscissa -1.
Questão 03
Seja a curva de equação y = x3 -12x . Determine a equação da reta tangente à curva no
ponto de abscissa x = 4.
Questão 04
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = x2 - 4 e que seja pa-ralela
15
à reta de equação y = 2x -1.
Questão 05
Dê a equação da reta normal à curva dada por f (x) = x2 + 5x - 2 , no ponto x = 2.
DERIVADAS SUCESSIVAS
Questão 01
Dada a função f (x) = x3 - 6x2 + 5x - 2 , calcular f ¢(x) , f ¢¢(x) , f ¢¢¢(x) e f ¢¢¢¢(x)
Questão 02
Dada a função f (x) = 1- 4x3 - x4 , resolver a equação f ¢¢¢(x) = 0
Questão 03
Determine a derivada segunda da função f (x) = 4x3 - 5x2 + 2x -1 no ponto x = 0.
Questão 04
Calcule a derivada terceira de
x
f x
1
( ) =
Questão 05
Seja a função f (x) = 4x3 + 2x2 - 5x + 2 , calcule f ¢(0) + f ¢¢(0) + f ¢¢¢(0) .

Questão 06
= 
Se f ( x ) cos x , calcule ¢¢ p
6

f

SINAL DA DERIVADA PRIMEIRA
Se f é uma função derivável num intervalo aberto A e:
1. f é crescente em A, então f ¢(x) > 0
2. f é decrescente em A, então f ¢(x) < 0
3. f é constante em A, então f ¢(x) = 0
PONTOS CRÍTICOS
Como uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua
derivada é negativa, então ela apresenta pontos de máximo ou mínimos relativos quando
f ¢(x) = 0 . Chamamos de ponto crítico ao ponto do domínio da função onde f ¢(x) = 0 .
EXEMPLOS:
1. Determinar os possíveis pontos de máximo ou mínimo da função f (x) = x2 - 3x
f ¢(x) = 2x - 3 ⇒ f ¢(x) = 0 ⇒ 2x - 3 = 0 ⇒ 2x = 3 ⇒ x =
Observe que, como a função é de 2º grau, então a sua curva é uma parábola, que
admite concavidade voltada para cima, pois o termo a é positivo.
Já temos o V x , agora, é só encontrar o V y , que determinamos substituindo V x na
3
 = 
x x
16
Resolução
3
2
função, assim
9
4
9 18
4
9
2
9
4
3
3
2
3
2
2
( ) 3
2


- 2 - × = - = = - 



f x = x - x ⇒ f
9
3
  
Logo, o vértice que é o ponto de mínimo dessa função é -

4
,
2
2. Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de
uma tela de 16 metros de comprimento. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro
como fundo do galinheiro, determine as dimensões do mesmo para que a sua área
seja máxima.
y
Resolução
y + 2x = 16⇒ y = 16 - 2x
A = x × y ⇒ A(x) = x × (16 - 2x) ⇒ A(x) = 16x - 2x2 ⇒ A¢(x) = 16 - 4x
16 - 4x = 0 ⇒ 4x =16 ⇒ x = 4 e y =16 - 2 × 4 = 16 - 8 ⇒ y = 8

3. A janela de uma casa tem a forma da figura abaixo: um retângulo sobreposto por um
semi-círculo. Sabendo que o perímetro da janela é de 714 cm, calcule as dimensões
x e y que permitam uma maior entrada de luz. (Use p = 3,14).
x
y
x
Resolução
Haverá uma maior entrada de luz, se a área da janela for máxima, logo:
= + 1 ⇒ A = × 1
2x y + × p x
2
2 2 ⇒ p = 2x + 2y + p x e como o períme-tro
1
A = 2x × y + × p x ⇒ 2
A = 2y × x + × p x , e calculando em função de x, vem
1
A(x) = (714 - 2x - p x) × x + × p x ⇒ A(x) = 714x - 2x 2 - p x 2 + × p x
2
A(x) = 714x - 2x - × p x , e derivando, temos: A¢(x) = 714 - 4x - p x
714 - 4x - p x = 0 ⇒ 714 = 4x + p x ⇒ 4x + p x = 714 ⇒ x (4 + p) = 714
x = ⇒ x =100 cm
17
Janela retângulo círculo A A A
2
2
1
O perímetro da janela é p = x + y + × 2p x
2
é 714, temos: 2x + 2y + p x = 714 ⇒ 2y = 714 - 2x - p x
e voltando a área, temos:
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2 2
2
714
7,14
714 714
=
4 3,14
4
+
=
+ p
E para achar o valor de y, basta substituir em 2y = 714 - 2x - p x
2y = 714 - 2×100 - 3,14×100 = 714 - 200 - 314 ⇒ y = 100 cm

4. A empresa “X” produz um determinado produto, com um custo mensal dado pela
 L = R - C = x - x - x + x + x x x x
31 2 3 2 3 - - + - = 
= - 1 L x 3 + x 2 + x - ou ainda L(x) = - x3 + 2 x2 + 21 x -
20
18
1
C(x) = x3 - x2 + x + .
função 2 10 20
3
Cada unidade deste produto é vendida por R$31,00. Determinar a quantidade que
deve ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal.
Resolução
Seja x a quantidade a ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal
O lucro mensal é dado por:
Lucro (L) = Receita (R) - Custo (C)
assim
2 10 20
1
3
2 10 20 31
1
3


2 21 20
3
1
3
Calculando a derivada primeira da função lucro, em relação a x, temos:
L¢(x) = -x2 + 4x + 21
e calculando a derivada segunda, vem
L¢¢(x) = -2x + 4
Para achar os pontos críticos, é só igualar L¢(x) a zero, ou L¢(x) = 0
- x2 + 4x + 21 = 0 e resolvendo pela fórmula de Bháskara,
temos as raízes x = -3 e x = 7 que são os pontos críticos
Agora, vamos determinar os extremos relativos de L
Para x = -3 , temos L¢¢(-3) = -2(-3) + 4 = 6 + 4 = 10 > 0 , logo é um ponto de míni-mo
relativo de L.
Para x = 7 , temos L¢¢(7) = -2 × 7 + 4 = -14 + 4 = -10 < 0 , logo é um ponto de má-ximo
relativo de L.
Portanto a quantidade a ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal é
x = 7

5. Sabendo que a área de um quadrado é função de seu lado, determine:
a) a variação média da área de um quadrado, em relação ao lado, quando este varia
D = A -
A
x
(3) (2,5) = - = =
125
 - - - =  

4
f (5) - f (4) = 320 - - + = - + = @
Obs.: No item (a) vimos que o tempo t = 4 (início do 5º dia), a epidemia se alastra a
uma taxa de 48 pessoas por dia. No item (c), calculamos que durante o 5º dia, 43
pessoas serão atingidas. Essa diferença ocorreu porque a taxa de propagação da
moléstia se modificou no decorrer do dia.
19
de 2,5 a 3,0m;
b) a taxa de variação da área, em relação ao lado, quando este mede 4m.
Resolução
Sejam A a área do quadrado e x seu lado. Sabemos, então que A = x2
a) A variação média de A em relação a x, quando x varia de 2,5m a 3,0m é dada
2,75
9 6,25
por 5,5
0,5
0,5
-
3 2,5
D
A
d
dA
b) A taxa de variação da área em relação ao lado é dada por x x
dx
dx
= ( 2 ) = 2
d
Portanto, quando x = 4 , , temos A(4) = 2 × 4 = 8
dx
Assim, quando x = 4 , a taxa de variação da área do quadrado será de 8m2 pa-ra
cada metro que varia no comprimento do lado.
6. Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam
que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em
dias a partir do primeiro dia da epidemia) é dado, aproximadamente por:
3
( ) 64
t 3
f t = t - .
a) Qual a taxa de expansão da epidemia após 4 dias?
b) Qual a taxa de expansão da epidemia após 8 dias?
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia?
Resolução
A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela variação da função f (t) em re-lação
a t. Portanto, para um tempo t qualquer, essa taxa é dada por f ¢(t) = 64 - t 2 .
Assim:
a) no tempo t = 4, temos f ¢(4) = 64 -16 = 48 , ou seja, após 4 dias a moléstia esta-rá
se alastrando à razão de 48 pessoas por dia.
b) no tempo t = 8, temos f ¢(8) = 64 - 64 = 0 , ou seja, após 8 dias a epidemia esta-rá
totalmente controlada.
c) como o tempo foi contado em dias, a partir do 1º dia de epidemia, o 5º dia cor-responde
à variação de t de 4 para 5. O número de pessoas atingidas durante o
5º dia será dado, então por f (5) - f (4) , ou seja:





- × -  

 



- = × -
 

64
3
256
3
320
3
64 4
5
3
(5) (4) 64 5
3 3
f f
64 41,67 21,33 43,66 43
64
3
256
125
3

EXERCÍCIOS
Questão 01
Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que a sua distância d(t)
ao solo durante os primeiros 10 segundos de vôo é dada por d(t) = 6 + 2t + t 2 , na qual
d(t) é medido em metros e t em segundos.
a) Determine a velocidade média do balão durante o 1º segundo de vôo.
b) Determine a velocidade instantânea do balão quando t = 1 segundo
c) Entre quais instantes o balão esteve a uma altura superior a 20 metros?
Questão 02
A área A de uma pele, afetada por uma infecção cutânea, ao longo dos primeiros 10 dias
após o início de um tratamento, é dada pela função
20
1
5
= +
( ) 6 t
2 +
t
A t , com t expresso em
dias e a área em cm2. O tratamento iniciou-se à 0 hora do dia 15 de fevereiro.
a) Qual era a área da infecção quando foi iniciado o tratamento? E ao fim do 1º dia?
b) Compare a rapidez no aumento da infecção durante o 1º dia, com a rapidez na sua
redução durante o 2º dia. O que se pode concluir? E o que aconteceu durante o 3º dia
c) Qual foi a taxa de variação inicial da propagação da infecção?
Questão 03
Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registran-do
a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mos-tram
que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada por aproxi-madamente
v(t) = t 3 -10,5t 2 + 30t + 20 km/ h , onde t é o número de horas após o meio
dia. Qual o instante entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o ins-tante
em que ele é mais lento?
Questão 04
Com uma folha retangular de cartolina se quer construir uma caixa de maior volume
possível, cortando um quadrado em cada canto. As dimensões da folha são 60 cm e 40
cm. Calcular o volume máximo da caixa.
Questão 05
Um determinado produto tem preço de produção de R$ 4, 00. Ao vendê-lo a x reais o
fabricante espera vender (30 - 2x) unidades. A que preço deve ser vendido o produto
para que haja lucro máximo?
Questão 06
Uma partícula move-se ao longo da curva v (t) = t 3 - 5t 2 + 7t - 3. Calcule a aceleração
no instante em que a velocidade é nula.
Questão 07
Uma sonda é lançada para cima, verticalmente, sendo a distância acima do solo no ins-tante
t dada por s (t) = t (1.000 - t) .
a) Determine em que instante e com que velocidade a sonda atinge o solo.
b) Qual é a altura máxima que a sonda atinge?

Questão 08
Se um ponto se move ao longo do gráfico de y = x2 +1 de tal modo que sua abscissa x
varia com uma velocidade constante de 3 cm/s, qual é a velocidade da ordenada y quan-do
1 = . Determine a taxa instantânea à qual o es-forço
21
x = 4cm?
Questão 09
Um homem de 1,80m de altura afasta-se de um farol com uma lâmpada situada a 4,50m
do solo, com uma velocidade de 1,5 m/s. Quando ele estiver a 6m do farol, com que ve-locidade
sua sombra estará crescendo neste ponto e qual o comprimento da sombra?
Questão 10
Uma partícula move-se ao longo da curva y = x . Quando a partícula passa pelo ponto
(4,2), sua abscissa cresce à razão de 3 cm/s. Com que velocidade está variando a distân-cia
da partícula à origem nesse instante?
Questão 11
O tronco de uma árvore tem formato cilíndrico e cresce à razão de 0,25 cm / ano e sua
altura cresce à razão de 1 m / ano (m = metros). Determine a taxa de variação do volume
do tronco quando o diâmetro é 3 cm e sua altura for 50 m.
Questão 12
O esforço de um trabalhador solicitado por uma indústria para fabricar x unidades de um
certo produto é dado pela equação y x
2
do trabalhador seria crescente se, no mesmo momento, existe uma demanda de
40.000 unidades do produto, mas esta é crescente a uma razão de 10.000 unidades por
ano.
Questão 13
Um fazendeiro possui 2.400 m de arame farpado e quer cercar um campo retangular que
está à margem de um canal reto. Ele não precisa cercar a lateral do canal. Quais são as
dimensões do campo que tem a maior área?
Questão 14
Um vasilhame cilíndrico é fabricado para conter 1 litro de óleo. Encontre as dimensões
que irão minimizar o custo do material para produzir este vasilhame.
Questão 15
Achar o retângulo de maior área de corte, correspondentes à altura e base de um cômo-do,
inscrito dentro de um triângulo isósceles de base AB = 10 m e altura h = 6 m, cor-respondentes
à base e altura de um chalé, respectivamente.
Questão 16
Quais são as dimensões de um cercado, de área máxima que se pode construir com
1.000 m de tela?

Questão 17
Uma avaria numa central atômica fez disparar o sistema de alarme. Os técnicos ativa-ram
imediatamente os procedimentos de emergência. Supõe-se que a temperatura T da
água (em graus Celsius) do sistema de refrigeração do núcleo da central evolui a partir
daí durante 12 horas, de acordo com a função
= + - +
30 225
f t , com f em graus e t em horas.
T(2) - T(0)
r t
Calcule r(0) e diga qual é o significado físico desse valor.
22
= + +
5 x 2 x
128
T x , em que x é o tem-po
2
( )
2
+
x
(em horas) decorrido a partir do momento em que o sistema de alarme disparou.
a) Calcule a taxa de variação de T quando x = 1 h. Interprete o resultado no contexto do
problema.
b) A sirene de alarme dispara se a temperatura for superior a 43º C. Quando é que a si-rene
tocou?
Questão 18
A temperatura F (em graus centígrados) do forno de uma padaria varia, a partir do mo-mento
em que é ligado, de acordo com a função
= +
190 44
2
( )
+
t
t
F t , com t em minutos.
a) A que temperatura está o forno quando é ligado?
b) Com o decorrer do tempo, para que valor vai tender a estabilizar essa temperatura?
c) Qual é a velocidade de aquecimento do forno no momento em que é ligado?
d) E aos 10 minutos?
Questão 19
A evolução da temperatura do ar na relva, entre as 0 e 24 horas do dia 1º de fevereiro foi
t t
dada pela função
45
( ) 17
2
-
t
a) Qual foi a temperatura máxima nesse dia?
b) E a temperatura mínima?
c) Qual era a taxa de aquecimento do ar às 10 horas da manhã?
Questão 20
A equação
250
10
= +
( ) 30 t
2 +
t
T t relaciona a temperatura T (em graus Celsius) de uma
reação química com tempo t da experiência (em minutos). Sabendo que a experiência
durou 60 minutos:
a) calcule e explique o quociente
2
b) o que significa
-
(2) (0)
T T
2
lim2
-
® t
t
c) determine, analiticamente, o valor de t correspondente ao momento em que se Re-gistrou
a temperatura máxima
Questão 21
Uma mancha circular de tinta é detectada sobre um tecido. O comprimento, em centí-metros,
do raio dessa mancha, t segundos após ter sido detectada, é dado por:
= + t
t
( ) ³
( 0)
1 4
2
+
t

Questão 22
Um chá, acabado de fazer, foi colocado num refrigerador a 100º C. Passados 5 minutos,
o chá estava a 60º C. A temperatura do chá evolui de acordo com a lei T(t) = ea-b t , em
que T é a temperatura do chá e t é o tempo decorrido em minutos.
a) Determine os valores de a e b.
b) Qual é a velocidade do arrefecimento do chá quando é colocado no refrigerador? E
C(x)
23
um minuto depois?
c) Quem prefere tomar o chá frio, a 8º C, quanto tempo terá de esperar?
Questão 23
Foi administrado um medicamento a um doente às 9 horas da manhã de um certo dia. A
concentração desse medicamento, em miligramas por mililitro de sangue, t horas após
ter sido administrado, é dada por C(t) = 2t e- 0,3t . Recorrendo à derivada da função C,
determine o instante em que a concentração de medicamento no sangue do doente foi
máxima.
Questão 24
Injetou-se no instante t = 0 uma substância no sangue de um animal. No instante t (t > 0,
em segundos), a concentração C da substância injetada é dada por C(t) = 8(e-t - e-2 t ) .
7
a) calcule o instante para o qual o valor da concentração é igual a
8
( )
¢ = -
8(2 )
b) Mostre que t
t
e
e
C t 2
Questão 25
Um fabricante de pequenos motores, estima que o custo da produção de x motores por
dia é dado por
x
C x x
50
( ) = 100 + 60 + (reais).
a) Preencha as tabelas abaixo:
No de motores Custo Custo médio Custo marginal
X
C(x)
x
C¢(x)
1
2
3
4
5
6
b) Compare o custo marginal da produção de 5 motores com o custo da produção do 6º
motor.

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