2. Structures caténaires
2
Une structure caténaire est une structure qui, soumise à un ensemble de
charges donné, est sollicitée uniquement en tension ou en
compression. On emploie également le terme funiculaire pour décrire
une structure qui est seulement sollicitée en tension.
Une corde à linge représente un bon exemple de structure caténaire.
Sous le poids des vêtements qui y sont suspendus, la corde va se
déformer pour adopter une géométrie qui assure son équilibre statique
mais en ne développant que des efforts de tension puisqu'elle n'offre
aucune résistance à la compression ou à la flexion.
3. Deux types de formes caténaires
3
On distingue deux types de
formes caténaires. D’une part,
les câbles suspendus qui
sont sollicités uniquement en
tension et, d’autre part, les
arches qui sont sollicitées
uniquement en compression.
4. 4
La forme caténaire est associée
à une combinaison de charges
donnée. Dans le cas des
structures tendues, elles ne
peuvent supporter aucun effort
de flexion ce qui signifie que toute
variation de charges amène une
modification de géométrie. Dans
l e c a s d e s s t r u c t u r e s
comprimées, celles-ci sont rigides
et les variations de charges ont
donc peu d'influence sur leur
géométrie. En revanche, lorsque
le chargement s'éloigne de celui
correspondant à la forme
caténaire, des efforts de flexion
sont induits dans l'arche et
peuvent réduire considérablement
sa résistance.
Câble suspendu
Arche
6. 6
La ci-dessous montre le profil d'un câble suspendu
qui supporte trois charges concentrées sur une
portée de 26 m. Si on isole les trois noeuds - a, b et
c - correspondant aux points d'attache des charges -
chacun de ces noeuds est sollicité par trois charges:
une charge externe et deux charges de tension dans
le câble de part et d'autre du noeud. L'équilibre
statique des forces fait en sorte qu'il est facile de
trouver les efforts de tension dans le câble
simplement en traçant le polygone des forces à
chacun des noeuds.
7. 7
En poussant la réflexion un peu
plus loin, on s'aperçoit qu'il est
possible de superposer les trois
polygones de forces de
manière à obtenir un seul
polygone de forces regroupant
toutes les charges sollicitant le
câble. Ce polygone prend la
forme d'un triangle où toute les
charges externes sont alignées
sur une ligne verticale et où
tous les efforts internes dans
le câble convergent vers un
même point. Cette forme
constitue la caractéristique
c o m m u n e à t o u t e s l e s
structures caténaires.
9. diagramme de forme
10 m 6 m 4 m 6 m
200 kN 150 kN 300 kN
La première étape consiste à tracer, à l’échelle, le diagramme de forme en y plaçant des
lignes verticales pointillées alignées sur les deux points d’appui et les charges verticales.
10. La seconde étape consiste à ajouter la notation par intervalles. Les intervalles situés en-
dessous du câble et compris entre les points d’appui et les charges externes
seront désignés par des lettres (A, B, C, etc…).
Par convention, tout l’intervalle situé en-dessous du câble sera désigné par la lettre O.
polygone de forces
a
b
c
d
o
diagramme de forme
10 m 6 m 4 m 6 m
200 kN 150 kN 300 kN
O
A B C D
11. Dans la troisième étape, on construit le polygone de forces en plaçant d’abord les points
qui correspondent aux charges externes (i.e. les points a, b, c et d).
On place ensuite le point O.
polygone de forces
a
b
c
d
o
diagramme de forme
10 m 6 m 4 m 6 m
200 kN 150 kN 300 kN
O
A B C D
12. À la quatrième étape, on trace le profil du câble.
on commence par tracer le vecteur O-A sur le polygone de forces, puis on
rapporte une ligne parallèle à ce vecteur sur le diagramme de forme pour tracer
la ligne O-A sur le diagramme de forme …
polygone de forces
a
b
c
d
o
diagramme de forme
10 m 6 m 4 m 6 m
200 kN 150 kN 300 kN
O
A B C D
13. À la quatrième étape, on trace le profil du câble.
… on poursuit en traçant le vecteur O-B sur le polygone de forces et on rapporte
rapporte une ligne parallèle à ce vecteur sur le diagramme de forme pour y
tracer la ligne O-B …
polygone de forces
a
b
c
d
o
diagramme de forme
10 m 6 m 4 m 6 m
200 kN 150 kN 300 kN
O
A B C D
14. À la quatrième étape, on trace le profil du câble.
… on fait de même pour le segment O-C …
polygone de forces
a
b
c
d
o
diagramme de forme
10 m 6 m 4 m 6 m
200 kN 150 kN 300 kN
O
A B C D
15. À la quatrième étape, on trace le profil du câble.
… et on complète le polygone de forces et le diagramme de forme en plaçant
le segment O-D. On connaît maintenant le profil du câble caténaire.
polygone de forces
a
b
c
d
o
diagramme de forme
10 m 6 m 4 m 6 m
200 kN 150 kN 300 kN
O
A B C D
16. La cinquième et dernière étape consiste à calculer l’effort de tension maximal dans le
câble. On y parvient simplement en mesurant le plus long segment qui converge vers le
point O sur le polygone de forces. Pour l’exemple illustré ci-dessous, l’effort maximale de
tension dans le câble est égal à 475 kN.
polygone de forces
a
b
c
d
o
475kN
diagramme de forme
10 m 6 m 4 m 6 m
200 kN 150 kN 300 kN
O
A B C D
18. 18
La figure ci-dessous montre le résultat de l'analyse statique pour le câble
caténaire étudié précédemment. On remarque que les réactions d'appui
aux deux extrémités du câble (G et D) correspondent aux efforts internes
O-A et O-D sur le polygone de forces. Chacune de ces réactions
pourraient être décomposées en deux composantes orthogonales: l'une
verticale (Gv et Dv), l'autre horizontale (Gv et Dv).
19. 19
Il est significatif de constater que la composante horizontale des efforts
internes demeure constante sur toute la longueur du câble.
20. 20
En déplaçant le point o sur le polygone de forces, on pourrait tracer
d'autres courbes caténaires associées au même cas de charge. Il
existe en effet une infinité de forme caténaires capables de supporter la
même combinaison de charges.
21. 21
Sur le diagramme de forme, on peut tracer la corde de fermeture qui
est définie comme la ligne reliant les deux points d'appui. Sur le
polygone de force si on trace une ligne parallèle à la corde de fermeture
et passant par le point o, cette ligne interceptera l'axe vertical du
polygone en un point que nous appellerons le point z. Si on déplace le
point o sur cette ligne, on obtiendra une famille de courbes caténaires
qui passent toutes par les deux mêmes points d’appui.
22. 22
Si on remplace l'ensemble des forces externes qui sollicitent le par une
force résultante, celle-ci forme avec les deux réactions d'appui un
système de trois forces non-parallèles. Ces trois forces convergent
obligatoirement vers un même point pour préserver l'équilibre
statique de la structure. Cette caractéristique peut être utile au
concepteur pour choisir une forme caténaire.
23. 23
Si on inverse le polygone de forces en plaçant le point o à la gauche de
l’axe vertical représentant les charges externes, on obtient alors une
arche de forme caténaire où toutes les membrures sont sollicitées en
compression. Cette arche possède le même profil, mais inversé, que
celui d'un câble caténaire supportant les mêmes charges
25. 25
Dans la conception de structures caténaires, il arrive fréquemment que
l'on souhaite tracer une courbe caténaire qui passe par deux points
préalablement localisés dans l'espace. Prenons l'exemple d'un câble
suspendu qui supporte 5 charges concentrées de 50 kN équidistante
sur une portée de 30 m et qu'on souhaite attacher aux deux points
d'ancrage illustrés ci-dessous. Si la résistance à la tension du câble (Tr)
est égale à 200 kN, le problème consiste à trouver une courbe
caténaire qui passe par les deux points d'appui et dont l'effort maximal
de tension soit égal à 200 kN.
26. 26
Pour y parvenir, on trace d'abord un premier polygone de forces en
choisissant arbitrairement un point o dans l'espace. À partir de ce
polygone de forces on trace une courbe caténaire qui passe par le point
d'appui gauche. On obtient alors une courbe caténaire qui passe par
l'appui gauche... mais pas par l'appui droit
polygone de forces
a
b
c
d
e
f
o
diagramme de forme
50kN
50kN
50kN
50kN
50kN
A B C D E F
30 m
O
27. 27
Sur le diagramme de forme on trace une corde de fermeture qui
passe par les deux points d'appui et, sur le polygone de forces, on
trace une ligne parallèle à la corde de fermeture et passant par le
point o. Cette ligne intercepte l'axe vertical des forces externes en un
point que l'on identifie comme le point z. Comme nous l'avons déjà
mentionné, ce point z est commun à toutes les courbes
caténaires associées à ce cas de charge.
28. 28
La seconde étape consiste à tracer, sur le diagramme de forme, une corde de
fermeture passant par les deux points d'appui par lesquels on veut faire passer la
courbe caténaire. Sur le polygone de forces, on trace une ligne qui est parallèle à
cette corde de fermeture et qui passe par le point z. On sait que le point o sera
situé quelque part sur cette ligne. Visuellement on constate que, à partir du point
o le segment o-f sera le plus long. La localisation exacte du point o est donc
située au point d'intersection entre la corde de fermeture et un segment 0-f de
200 kN de longueur. Il suffit alors de retracer un polygone de forces à partir de la
nouvelle localisation du point o pour ensuite tracer le diagramme de forme qui
correspond au profil caténaire de la structure recherchée au départ.
29. 29
Il suffit alors de retracer un polygone de forces à partir de la nouvelle
localisation du point o pour ensuite tracer le diagramme de forme qui
correspond au profil caténaire de la structure recherchée au départ.
31. 31
L'autre situation que l'on rencontre couramment consiste à trouver une
courbe caténaire passant par trois points préalablement localisés dans
l'espace. Prenons l'exemple d'une arche caténaire qui supporte cinq
charges concentrées et que l'on souhaite faire passer par trois points
prédéfinis.
32. 32
La première étape consiste à tracé un polygone de forces en plaçant
arbitrairement le point o et, à partir du polygone de forces, à tracer la
forme caténaire correspondante sur le diagramme de forme en
débutant par l'appui gauche. On constate que la forme ainsi tracée ne
passe pas par les deux autres points choisis.
33. 33
Sur le diagramme de forme on trace la corde de fermeture entre les deux
points d'extrémités et on ramène sur le polygone de forces une ligne parallèle
à cette corde. Cela nous permet de localiser le point z sur l'axe vertical des
charges externes. On trace également deux cordes reliant les points
d'extrémité au point situé dans l'axe vertical du point central par lequel on
souhaite faire passer la courbe caténaire (ces cordes sont représentées par
des lignes pointillées jaune sur le diagramme de forme). On ramène sur le
polygone de forces deux lignes parallèles à ces cordes pour localiser les
points x et y sur l'axe vertical des charges externes. Comme le point z, les
points x et y sont communs à toutes les formes caténaires supportant
un même cas de charge.
34. 34
Maintenant que les points z, y et z sont localisés sur le polygone de
forces, il suffit de tracer les cordes de fermeture entre les trois points
choisis dans l'espace et à ramener sur le polygone de forces des
lignes parallèles à ces trois cordes pour localiser le point o.
35. 35
On peut alors tracer un nouveau polygone de forces à partir ce point o
et ramener des lignes parallèles sur le diagramme de forme pour
obtenir une courbe caténaire qui passe par les trois points choisis au
départ.
37. 37
Lorsqu'une structure caténaire supporte une charge uniformément
répartie, on peut tracer le profil de la structure en remplaçant la charge
uniformément répartie par une série de charges concentrées
équidistantes. Plus le nombre de charges concentrées est grand,
meilleure sera l'approximation de la courbe caténaire. Dans la plupart
des cas, une dizaine de charges suffisent pour obtenir une précision
suffisante.
Supposons, par exemple, que l'on veuille tracer le profil d'un arche
caténaire de 60 m de portée qui supporte une charge uniformément
répartie de 20 kN/m et qui passe par les trois points illustrés à la figure
ci-dessous.
38. 38
On peux diviser la travée en 10 tranches de 6 m de largeur. Chacune
de ces tranches supporte une charge totale de 120 kN (i.e. 6 × 20 kN).
On pourrait donc remplacer la charge uniformément répartie de 20 kN/
m par une charge concentrée de 120 kN appliquée au centre de la
tranche. On répète cette opération 10 fois pour tracer les charges qui
sollicitent la structure.
39. 39
Nous avons déjà mentionné que, pour les structures caténaires, les
deux réactions d'appui et la charge résultante convergent vers un
même point. Lorsque la charge est uniformément répartie sur la
structure, ce point de convergence se situe au centre de la portée à
une hauteur correspondant à deux fois la flèche de la courbe
caténaire. La flèche (appelée sag en anglais) correspond à la distance
maximale entre la structure caténaire et sa corde de fermeture. Pour
les charges symétriques, elle est située au centre de la portée.
40. 40
Cette propriété fait en sorte qu'il est possible de localiser directement
le point o sur le polygone de forces en y rapportant la corde de
fermeture et des deux segments d'extrémité qui correspondent aux
réactions d'appui. Le point o se situe alors au croisement de ces trois
droites. On complète le polygone de forces et il suffit alors de ramener
des droites parallèles aux divers segments sur le diagramme de forme
pour tracer la courbe caténaire de la structure.
6 m typ.3 m
60 m
10 × 120 kN
A B C D E F G H
O
9 m
9 m
41. 41
Dans le cas usuels des câbles caténaires supportant une charge
uniformément répartie, le constructeur a besoin de connaître la
longueur du câble (Lc) qu'il devra suspendre aux points d'appui pour
obtenir la forme caténaire recherchée. Cette longueur peut être
approximée par l'expression suivante:
où L représente la distance horizontale entre les deux points d'appui,
s la flèche et h la différence de hauteur entre les deux points d'appui.
44. 44
Les structures conçues par l'homme doivent non seulement être
résistantes, mais aussi suffisamment stables. La stabilité d'une
structure est définie comme sa capacité à ne pas subir de
modifications excessives de sa géométrie (déformations et/ou
vibrations) dans des conditions normales d'utilisation. Les
câbles caténaires ne possèdent aucune résistance à la flexion et leur
forme s'adapte au profil des charges qui la sollicitent. Si le profil des
charges subit des variations importantes, les structures caténaires
tendues se déforment facilement et leur stabilité devient souvent un
enjeu important au moment de leur conception. Une structure est
dite stable si les déformations qu'elle subit demeurent en-dessous
d'un seuil acceptable et si cette structure n'est pas soumise à des
vibrations excessives. Les concepteurs ont recours à diverses
stratégies pour assurer la stabilité de leurs structures.
45. 1ère stratégie: alourdir le tablier
45
La première stratégie consiste à alourdir volontairement la structure
de sorte que les variations de la charge vive demeurent petites p/r à
la charge morte. Prenons l'exemple d'une passerelle piétonne où
deux câbles caténaires supportent un mince pontage de bois.
Comme le poids du piéton est important comparativement au poids
de la passerelle, le câble subit des déformations importantes quand
le piéton se déplace et la structure est sensible aux vibrations. En
remplaçant le mince pontage de bois par un pontage en béton
beaucoup plus lourd, le poids de piéton devient négligeable p/r à
celui de la passerelle qui devient alors beaucoup moins déformable et
sensible aux vibrations quand le piéton se déplace.
47. 47
La stabilité du tablier peut aussi être obtenue, du moins en partie, en rigidifiant
le tablier. Par exemple, le pont Tatzelwurm en Bavière est l'un des plus long
ponts entièrement construits en bois. Les membrures de bois qui supportent
son tablier épousent une forme caténaire et elles sont principalement sollicitées
en tension pour supporter les charge verticales qui s'exercent sur le tablier.
Mais, contrairement à un câble, ces membrures sont suffisamment rigides pour
supporter des efforts de flexion significatifs ce qui contribue à rigidifier le tablier
et à lui assurer une bonne stabilité lorsque le profil de charges s'écarte de la
charge uniformément répartie qui a servie à définir la forme caténaire.
2ème stratégie: rigidifier le tablier
48. 48
3ème stratégie: appliquer une précontrainte
Une troisième stratégie de stabilisation consiste à utiliser le principe de la
précontrainte. Des gaines sont alors installées dans le tablier de la structure
caténaire qui est habituellement constituée de plusieurs segments en béton
armé. Un câble est enfilé dans la gaine et mis sous tension pour lier les
segments de tablier à la manière d'un collier de perles. Lorsque la tension
est relâchée, la forme caténaire se trouve comprimée et se comporte
comme une arche inversée ce qui lui confère une bien meilleure stabilité. La
charge d'utilisation qui sera ajoutée par la suite génère des efforts de tension
dans le câble caténaire qui viennent s'opposer à l'effort de compression
initial sans complètement l'annuler.
49. 49
4ème stratégie: ajout d’un câble stabilisateur
L'ajout d'un câble
s t a b i l i s a t e u r
c o n s t i t u e u n e
quatrième stratégie
simple et efficace qui
consiste à attacher
un (ou plusieurs)
p o i n t d u c â b l e
c a t é n a i r e p o u r
r e s t r e i n d r e s o n
déplacement.
50. 50
On peut maximiser l'efficacité
de cette méthode en utilisant
un câble stabilisateur qui
adopte une forme caténaire de
courbure inversée p/r au câble
porteur. Le câble porteur
supporte toutes les charges
orientées vers le bas alors que
le câble stabilisateur reprend
toutes les charges dirigées
vers le haut. Cette stratégie
permet de construire des
structures qui sont très
légères, mais aussi, très
rigides. Le câble stabilisateur
peut être situé en-dessous, ou
au-dessus du câble porteur.
Les deux câbles peuvent
même se croiser.
51. 51
On peut étendre la portée de cette stratégie en orientant le câble
stabilisateur perpendiculairement au câble porteur. Plusieurs toitures
en forme de selle exploitent ce principe ce câbles croisés.
52. 52
5ème stratégie: rigidifier la tablier suspendu
Il arrive souvent qu'un tablier
soit suspendu à un câble
caténaire par une série de
suspentes verticales comme
dans le cas d'un pont
suspendu. Une cinquième
stratégie consiste à rigidifier
le tablier pour stabiliser le
câble. Lorsque le profil de
charge s'écarte de la charge
uniformément répartie qui a
servie à définir la forme
caténaire, le tablier est alors
sollicité en flexion et il est
suffisamment rigide pour
s’opposer aux déformations.
53. 53
6ème stratégie: incliner les suspentes
Si on incline les suspentes, on peut
aussi créer une triangulation entre le
câble caténaire et la structure qu'il
supporte. L'espace entre le câble
caténaire et la structure agit alors
comme un treillis pour stabiliser la
structure.
54. 54
Dans certains cas rares, on arrive parfois à rigidifier la structure porteuse
caténaire en remplaçant le câble par des membrures rigides. C’est le
cas notamment du célèbre pont de Londres qui constitue un très bel
exemple de cette stratégie.
55. Réactions horizontales aux points d’appui
55
Pour conclure cette discussion sur la stabilité
des structures caténaires, on doit aborder la
question des réactions d'appui aux extrémités
du câble qui peuvent être décomposés en
deux constituantes: l'une verticale (Fv), l'autre
horizontale (Fh). La réaction d'appui horizontale
(Fh) est inversement proportionnelle au rapport
s/L (flèche/portée) et elle est généralement plus
importante que la réaction d'appui verticale (Fv).
56. 56
Il existe quatre façons de reprendre cette
force horizontale. La première consiste
simplement à fixer le câble caténaire au sol.
Cela nous oblige à s'ancrer directement au
roc (lorsque cela est possible) ou à construire
une imposante fondation en béton. La
deuxième façon consiste à accrocher le
câble caténaire au sommet d'un poteau qui
sera sollicité en flexion pour transmettre la
force horizontales aux fondations. Comme
les efforts de flexion sont considérables, les
poteaux doivent habituellement être très
costauds pur résister à ces efforts. Une
troisième technique prône l'ajout de tirants
qui fixent le sommet du poteau au sol. Cela
fait en sorte que les poteaux ne sont sollicités
qu'en compression et que la composante
horizontale est transmise à la fondation à la
base du tirant. La quatrième et dernière
option consiste à placer une membrure
horizontale pour unir les deux sommets des
poteaux. Cette membrure sera comprimée
pour reprendre les réactions horizontales aux
extrémités du câbles caténaires et aucune
force horizontale ne sera transmise aux
fondations ce qui offre un grand avantage, en
particulier lorsque la structure est déposée
sur un sol de faible résistance.
