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12- poteaux

Comportement des poteaux

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12- poteaux

  1. 1. Comportement et dimensionnement des poteaux Conception de structures Automne 2012 R. Pleau École d’architecture, Université Laval
  2. 2. Élancement des poteaux 2 Selon leur élancement, on peut diviser les poteaux en deux catégories: - les poteaux courts - les poteaux longs poteau court L d poteau court L d poteau long L’élancement est défini comme le rapport entre la longueur d’un poteau (L) et sa largeur (d). Les poteaux courts sont dits «trapus» et caractérisés par un faible rapport L/d. Les poteaux longs sont dits «élancés» et caractérisés par un rapport L/d élevé. Ces deux types de poteaux ont des modes de rupture différents et, dans les bâtiments, la très grande majorité des poteaux entre dans la catégorie des poteaux longs.
  3. 3. Élancement des poteaux 3 exemple de poteau court exemple de poteau long
  4. 4. Poteaux courts 4 La rupture des poteaux courts survient lorsque la contrainte de compression imposée au matériau excède la contrainte admissible dans le matériau. La force de rupture, Pr, est alors donnée par : Pr = ϕ σadm x A où : ϕ = coefficient de tenue = 0,9 pour l’acier = 0,9 pour le bois = 0,6 pour le béton σadm = contrainte admissible dans le matériau = 350 MPa pour l’acier de charpente = 30,2 MPa pour le bois lamellé-collé = 20 à 40 MPa pour le béton A = aire de la section du poteau poteau court P A P
  5. 5. Poteaux longs : phénomène de flambement 5 Lorsqu’un poteau est long, de petits défauts de rectitude et d’alignement font en sorte qu’il n’est jamais parfaitement droit et vertical. Ces défauts font en sorte que la charge, P, est excentrée p/r au centre du poteau ce qui provoque un moment de flexion interne M (M = P x e). P P e P P e défaut de rectitude défaut d’alignement M = P x e
  6. 6. Flambement des poteaux 6 Le moment de flexion M provoque une déformation additionnelle du poteau qui a pour effet d’accroître l’excentricité de la charge e ce qui, à son tour, fait augmenter le moment de flexion interne M ce qui provoque une déformation additionnelle du poteau qui a pour effet d’accroître l’excentricité de la charge e ce qui, à son tour, fait augmenter le moment de flexion M ce qui.... etc! Si la charge imposée au poteau (P) demeure en-deca d’une charge limite, appelée charge critique d’Euler (Pcr), la déformation du poteau finit par se stabiliser. En revanche, si la charge imposée au poteau (P) excède la charge critique d’Euler, la déformation augmente constamment et provoque une rupture SOUDAINE et BRUTALE du poteau: c’est le phénomène de flambement.
  7. 7. Expérience concrète du flambement 7
  8. 8. Rupture par flambement d’un poteau en acier 8
  9. 9. Rupture par flambement d’un poteau en acier 9
  10. 10. Rupture par flambement de poteaux en béton 10
  11. 11. Charge critique d’Euler (Pcr) 11 P P La charge critique (Pcr) est définie p/r à un poteau qui serait rotulé à ses deux extrémités et retenu latéralement. Elle est égale à : Pcr = π2 E I L2 où: E = module élastique du matériau I = moment d’inertie de la section L = longueur du poteau La contrainte de compression imposée au poteau (σcr) est obtenue en divisant la charge critique (Pcr) par l’aire de la section du poteau (A). En réarrangeant les termes, on obtient: σcr = π2 E (L/r)2 où r = I = rayon de giration A de la section L/r = élancement du poteau L
  12. 12. Charge critique vs élancement 12 charge critique d’Euler résistance du matériau élancement (L/r) Résistance à la compression (Pr) poteaux courts poteaux longs
  13. 13. Coefficient de retenue (k) 13 Lorsque le poteau n’est pas rotulé à ses deux extrémités, ou qu’il n’est pas retenu latéralement, la longueur du poteau doit être multipliée par un coefficient de retenue (k) afin d’obtenir une longueur de flambement équivalente (Le) qui tient compte de la déformation du poteau pour différentes conditions de retenue à ses extrémités. L’élancement du poteau est alors égal à kL/r. Le = L L Le = 2L k = 1 k = 2
  14. 14. Coefficients de retenue (k) 14 sans déplacement latéral avec déplacement latéral k = 1 k = 0.7 k = 0.5 k = 2 k = 2 k = 1
  15. 15. Différentes conditions de retenue 15 Le Le Le
  16. 16. Essai de flambement d’un poteau en laboratoire 16
  17. 17. Coefficients de retenue (k) 17 Comment savoir si le déplacement latéral est permis ? Pour les bâtiments courants, le mouvement latéral est permis quand la charpente est contreventée par des cadres rigides. En revanche, ce mouvement est empêché lorsqu’on utilise des contreventements en treillis ou des murs de refend. déplacement latéral empêché déplacement latéral permis
  18. 18. Le cas particulier des arches 18 Les arches sont des éléments structuraux qui sont sollicités en compression. La figure ci-dessous illustre schématiquement la déformation d’un arche lorsqu’elle est soumise au flambement et la longueur équivalente (Le) qui doit être prise en compte dans le choix de la section. Le
  19. 19. Notion d’axe fort et d’axe faible 19 Une section de poteau peut généralement être définie p/r à x x deux axes principaux qui sont perpendiculaires l’un à l’autre. Si le rayon de giration n’est pas le même selon les deux axes, l’axe qui possède le rayon de giration le plus élevé est appelé axe fort (x-x) et celui qui possède le plus faible rayon de giration est appelé axe faible (y-y). Si les conditions de retenue sont les mêmes aux extrémités du poteau, la rigidité du poteau est moins grande selon l’axe faible (EIy) que selon l’axe fort (EIx) et le poteau flambera selon l’axe faible. x x axe fort y y y y axe faible
  20. 20. Notion d’axe fort et d’axe faible 20 Si les conditions de retenue du poteau ne sont pas les mêmes sur les deux axes principaux, le poteau flambera selon l’axe où l’élancement (kL/r) est le plus élevé. kx Lx rx ky Ly ry > Lx ky Ly > ry kx Lx rx Ly Ly Lx
  21. 21. Flambement des poteaux dans une structure 21
  22. 22. Le cas des poteaux-poutres 22 Dans certains cas, les membrures seront soumises à des efforts combinés de compression et de flexion. Ces membrures sont appelées des poteaux-poutres. Elles sont en mesure de résister aux charges qui leur sont appliquées uniquement si la condition suivante (appelée équation d’interaction) est respectée. Pf + Mf < 1 Pr Mr Équation d’interaction Où: Pf = effort de compression imposé à la membrure (kN) Pr = résistance à la compression de la membrure (kN) Mf = effort de flexion imposé à la membrure (kN-m) Mr = résistance à la flexion de la membrure (kN-m)
  23. 23. Dimensionnement des poteaux 23
  24. 24. Dimensionnement des poteaux 24 1. On calcule la charge de compression maximale imposée au poteau par l’application des charges totales majorées (Pf) 2. On calcule la longueur équivalente (Le = kL) 3. On va dans les tables de sélection et on choisit un profilé pour lequel Pr > Pf Note : Les tables de sélection sont conçues pour donner la résistance du poteau selon son axe faible (Pry) puisque c’est le cas le plus courant. Si, par contre, on souhaite obtenir la résistance du poteau selon son axe fort (Prx), il suffit d’utiliser les tables de sélection avec une longueur équivalente Le = k L ÷ rx/ry où rx/ry est le ratio des rayons de giration dans les deux axes principaux (il est donné dans la partie inférieure des tables de sélection).
  25. 25. Dimensionnement des poteaux 25 4. Si on ne peut pas utiliser les tables de sélection, ou si on veut concevoir un profilé sur mesure, on peut utiliser les feuilles excel prévues à cet effet (acier.xls et bois.xls) qui sont disponibles sur le site du cours.
  26. 26. Membrures sollicitées en tension 26
  27. 27. 27 Le cas de membrures tendues (câbles et tirants) Les membrures tendues ne sont pas soumises au flambement. Les efforts de tension tendent, bien au contraire, à corriger les défauts de rectitude de la membrure. La rupture survient lorsque la contrainte de tension excède la contrainte admissible dans le matériau. La force de rupture, Tr, est alors donnée par : Tr = ϕ σadm x A où : ϕ = coefficient de tenue = 0,9 pour l’acier et le bois σadm = contrainte admissible dans le matériau = 350 MPa pour l’acier de charpente = 1000 à 1800 MPa pour l’acier des câbles = 30,2 MPa pour le bois lamellé collé A = aire de section de la membrure poteau court T A T Note : La résistance à la traction du béton est nulle (dans le béton armé, toute la traction est reprise par les armatures en acier)
  28. 28. Dimensionnement des membrures tendues (câbles et tirants) 28 1. On calcule la charge de tension maximale dans la membrure causée par l’application des charges totales majorées (Tf) 2. On utilise l’une des deux options suivantes: a) Puisque Tr = ϕ σadm A > Tf on trouve que: A > Tf / ϕ σadm b) On utilise les tables de sélection des poteaux en utilisant un élancement nul (kL = 0) puisque la résistance à la compression est alors égale à la résistance à la traction du profilé et on choisit un profilé pour lequel Pr = Tr > Tf
  29. 29. Exemple d’un contreventement en treillis 29
  30. 30. Exemple : contreventement en treillis 30 50 kN 100 kN 100 kN 100 kN 4 m 4 m 4 m 4 m 4 m La figure ci-contre montre un contreventement en treillis en acier qui supporte des charges horizontales de vent. Tous les assemblages sont rotulés. Quel profilé en acier devrait-on utiliser pour les membrures ?
  31. 31. 31 La figure ci-contre montre les efforts axiaux dans chaque membrure obtenus avec le logiciel DrFrame2D. Les membrures en rouge sont sollicitées en compression et celles en bleu en tension. Membrure en compression la plus sollicitée Pf = 495 kN L = 4000 mm / cos 45° k = 1 = 5656 mm ≈ 5500 mm Membrure en tension la plus sollicitée Tf = 800 kN
  32. 32. 32 Choix du profilé Après avoir consulté les tables de sélection (page 47), nous avons choisi le profilé suivant: W200x46 → Pr = 708 kN > 495 kN Tr = 1846 kN > 800 kN Déformation horizontale maximale Δadm = L/500 = 16000 mm/500 = 32 mm DrFrame2D → Δmax = 21 mm < 32 mm
  33. 33. Exemple d’un contreventement en cadres rigides 33
  34. 34. Exemple : contreventement en cadres rigides 34 La figure ci-contre montre un contreventement en cadres rigides en acier qui supporte des charges horizontales de vent. Tous les assemblages entre les poutres et les poteaux sont rigides. Quel profilé en acier devrait-on utiliser pour les membrures ? 50 kN 100 kN 100 kN 100 kN 4 m 4 m 4 m 4 m 4 m
  35. 35. 35 Les figures ci-dessous montrent les diagrammes d’efforts axiaux et d’efforts fléchissants obtenus avec le logiciel DrFrame2D: Efforts axiaux Moments fléchissants
  36. 36. Choix des poteaux 36 On constate que la membrure la plus sollicitée est le poteau inférieur droit qui supporte une charge de compression de 800 kN et un moment fléchissant de 700 kN-m. Cette membrure agira comme un poteau-poutre et sera orientée de manière à ce que son axe fort soit dans le plan du cadre rigide. Pf = 800 kN Mfx = 700 kN-m Mfy = 0 kN-m kx = ky = 2 Lx = Ly = 4000 mm kxLx = kyLy = 2 x 4000 mm = 8000 mm L Le = 2L
  37. 37. Choix des poteaux 37 Choix du profilé W310x158 Selon l’axe faible kLy = 8000 mm Pry = 2636 kN > 800 kN Selon l’axe fort Le = k Lx ÷ rx/ry = 2 x 4000 mm ÷ 1,76 = 4544 mm P rx = 4729 kN Mrx = 829 kN-m Pf + Mf = 800 + 700 = 0,17 + 0,84 = 1,01 ≈ 1,0 Pr Mr 4729 829
  38. 38. Choix des poutres 38 En ce qui concerne les poutres on a que: Mf = 917 kN-m Pf = 49,8 kN = valeur négligeable Choix du profilé W610x113 Mr = 1020 kN-m > 917 kN-m
  39. 39. Vérification des déformations 39 Déformation horizontale maximale DrFrame2D → Δmax = 69 mm Δadm = L/500 = 16000 mm/500 = 32 mm < 69 mm Donc notre cadre rigide est suffisamment résistant mais... beaucoup trop flexible! Il faut donc accroître la rigidité en choisissant des membrures plus grosses. Après divers essais sur DrFrame2D, notre choix s’est arrêté sur le profilé suivant (utilisé pour toutes les membrures): W760 x185 → Δmax = 31 mm < 32 mm O.K.
  40. 40. Comparaison entre le contreventement en treillis et le contreventement en cadres rigides 40 On constate que le contreventement en treillis est beaucoup plus efficace que celui en cadres rigides car il nécessite des profilés beaucoup plus petits (W200x46 vs W760x185) ce qui représente une économie de matériaux de 75% sans compter l’économie sur les assemblages qui sont beaucoup plus faciles à réaliser dans les contreventements en treillis (joints rotulés vs joints rigides)
  41. 41. L’aéroport de Dulles à Washington exemple de dimensionnement d’un poteau-poutre 41
  42. 42. Aéroport de Dulles à Washington Conçue par Eeero Saarinen, la toiture de l’aéroport est formée d’un voile de béton de 10 cm d’épaisseur supporté par des câbles en acier qui sont eux-mêmes accrochés à des poteaux inclinés 42
  43. 43. 43 Aéroport de Dulles pour les besoins de l’exercice, nous allons dimensionner des poteaux en acier en remplacement des poteaux en béton armé
  44. 44. Estimation des charges 44 câble 65 m Béton : 24 kN/m3 x 0,1 m = 2,4 kN/m2 Membrane imperméable = 0,3 kN/m2 Mécanique = 0,3 kN/m2 wD = 3 kN/m2 poteaux à 6 m c/c wL = 1 kN/m2 (charge minimale en l’absence de neige) wF = 1,25 wD + 1,5 wL = (1,25 x 3 kN/m2) + (1,5 x 1 kN/m2) = 5,25 kN/m2 Pour chaque câble wF = 5,25 kN/m2 x 6 m = 31,5 kN/m
  45. 45. Ph PF Pv 22° Forces sollicitant le poteau droit 45 Pv = 31,5 kN/m x 65 m / 2 = 1024 kN PF = 1024 kN / sin 22° = 2733 kN 2733 kN 13 m 1568 kN 35° kN 2239 1568 kN 2239 kN 21 m M = 2733 kN x 13 m = 35 530 kN-m
  46. 46. 2733 kN Efforts externes imposés au poteau et propriétés géométriques 46 13 m 1568 kN 35° kN 2239 1568 kN 2239 kN 21 m M = 2733 kN x 13 m = 35 530 kN-m Selon l’axe fort Pfx = 2239 kN Mfx = 35530 kN-m k = 2 Lx = 21 m Selon l’axe faible Pfy = 2239 kN Mfy = 0 k = 2 Ly = 21 m
  47. 47. Choix poteau rectangulaire 300 x 3500 x 25 mm + = 2239 Dimensionnement du poteau 47 Selon l’axe fort Prx = 56349 kN Mrx = 38949 kN-m Pfx Prx Mfx Mrx 56349 35530 + 38949 = 0,04 + 0,91 = 0,95 < 1 Selon l’axe faible Pry = 3407 kN > 2239 kN Mfy = 0 kN-m

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