1. Comportement et
dimensionnement
des poteaux
Conception de structures
Automne 2012
R. Pleau
École d’architecture, Université Laval
2. Élancement des poteaux 2
Selon leur élancement, on peut diviser les poteaux
en deux catégories:
- les poteaux courts
- les poteaux longs
poteau court
L
d
poteau court
L
d
poteau long
L’élancement est défini comme le rapport entre la
longueur d’un poteau (L) et sa largeur (d). Les
poteaux courts sont dits «trapus» et caractérisés
par un faible rapport L/d. Les poteaux longs sont
dits «élancés» et caractérisés par un rapport L/d
élevé. Ces deux types de poteaux ont des modes
de rupture différents et, dans les bâtiments, la très
grande majorité des poteaux entre dans la
catégorie des poteaux longs.
4. Poteaux courts 4
La rupture des poteaux courts survient lorsque la
contrainte de compression imposée au matériau
excède la contrainte admissible dans le matériau.
La force de rupture, Pr, est alors donnée par :
Pr = ϕ σadm x A
où : ϕ = coefficient de tenue = 0,9 pour l’acier
= 0,9 pour le bois
= 0,6 pour le béton
σadm = contrainte admissible dans le matériau
= 350 MPa pour l’acier de charpente
= 30,2 MPa pour le bois lamellé-collé
= 20 à 40 MPa pour le béton
A = aire de la section du poteau
poteau court
P
A
P
5. Poteaux longs : phénomène de
flambement 5
Lorsqu’un poteau est long, de
petits défauts de rectitude et
d’alignement font en sorte qu’il
n’est jamais parfaitement droit et
vertical. Ces défauts font en sorte
que la charge, P, est excentrée
p/r au centre du poteau ce qui
provoque un moment de flexion
interne M (M = P x e).
P
P
e
P
P
e
défaut de
rectitude
défaut
d’alignement
M = P x e
6. Flambement des poteaux 6
Le moment de flexion M provoque une déformation additionnelle
du poteau qui a pour effet d’accroître l’excentricité de la charge e
ce qui, à son tour, fait augmenter le moment de flexion interne M
ce qui provoque une déformation additionnelle du poteau qui a
pour effet d’accroître l’excentricité de la charge e ce qui, à son
tour, fait augmenter le moment de flexion M ce qui.... etc!
Si la charge imposée au poteau (P) demeure en-deca d’une
charge limite, appelée charge critique d’Euler (Pcr), la déformation
du poteau finit par se stabiliser.
En revanche, si la charge imposée au poteau (P) excède la
charge critique d’Euler, la déformation augmente constamment et
provoque une rupture SOUDAINE et BRUTALE du poteau:
c’est le phénomène de flambement.
11. Charge critique d’Euler (Pcr) 11
P
P
La charge critique (Pcr) est définie p/r à un poteau qui
serait rotulé à ses deux extrémités et retenu latéralement.
Elle est égale à :
Pcr = π2 E I
L2
où: E = module élastique du matériau
I = moment d’inertie de la section
L = longueur du poteau
La contrainte de compression imposée au poteau (σcr) est
obtenue en divisant la charge critique (Pcr) par l’aire de la
section du poteau (A). En réarrangeant les termes, on obtient:
σcr = π2 E
(L/r)2
où r = I = rayon de giration
A de la section
L/r = élancement du poteau
L
12. Charge critique vs élancement 12
charge critique d’Euler
résistance du matériau
élancement (L/r)
Résistance à la
compression (Pr)
poteaux courts poteaux longs
13. Coefficient de retenue (k) 13
Lorsque le poteau n’est pas rotulé à
ses deux extrémités, ou qu’il n’est pas
retenu latéralement, la longueur du
poteau doit être multipliée par un
coefficient de retenue (k) afin d’obtenir
une longueur de flambement
équivalente (Le) qui tient compte de la
déformation du poteau pour
différentes conditions de retenue à ses
extrémités.
L’élancement du poteau est alors égal
à kL/r.
Le = L
L
Le = 2L
k = 1 k = 2
14. Coefficients de retenue (k) 14
sans déplacement latéral avec déplacement latéral
k = 1 k = 0.7 k = 0.5 k = 2 k = 2
k = 1
17. Coefficients de retenue (k) 17
Comment savoir si le
déplacement latéral
est permis ?
Pour les bâtiments courants, le
mouvement latéral est permis
quand la charpente est
contreventée par des cadres
rigides. En revanche, ce
mouvement est empêché
lorsqu’on utilise des
contreventements en treillis ou
des murs de refend.
déplacement
latéral empêché
déplacement
latéral permis
18. Le cas particulier des arches 18
Les arches sont des éléments structuraux qui sont sollicités en
compression. La figure ci-dessous illustre schématiquement la
déformation d’un arche lorsqu’elle est soumise au flambement et
la longueur équivalente (Le) qui doit être prise en compte dans le
choix de la section.
Le
19. Notion d’axe fort et d’axe faible 19
Une section de poteau peut
généralement être définie p/r à
x x
deux axes principaux qui sont
perpendiculaires l’un à l’autre. Si le
rayon de giration n’est pas le
même selon les deux axes, l’axe
qui possède le rayon de giration le
plus élevé est appelé axe fort (x-x)
et celui qui possède le plus faible
rayon de giration est appelé axe
faible (y-y).
Si les conditions de retenue sont
les mêmes aux extrémités du
poteau, la rigidité du poteau est
moins grande selon l’axe faible
(EIy) que selon l’axe fort (EIx) et le
poteau flambera selon l’axe faible.
x x
axe fort
y
y y y
axe faible
20. Notion d’axe fort et d’axe faible 20
Si les conditions
de retenue du
poteau ne sont
pas les mêmes
sur les deux axes
principaux, le
poteau flambera
selon l’axe où
l’élancement (kL/r)
est le plus élevé.
kx Lx
rx
ky Ly
ry
>
Lx
ky Ly >
ry
kx Lx
rx
Ly
Ly
Lx
22. Le cas des poteaux-poutres 22
Dans certains cas, les membrures seront soumises à des efforts
combinés de compression et de flexion. Ces membrures sont appelées
des poteaux-poutres. Elles sont en mesure de résister aux charges qui
leur sont appliquées uniquement si la condition suivante (appelée
équation d’interaction) est respectée.
Pf + Mf < 1
Pr Mr
Équation d’interaction
Où: Pf = effort de compression imposé à la membrure (kN)
Pr = résistance à la compression de la membrure (kN)
Mf = effort de flexion imposé à la membrure (kN-m)
Mr = résistance à la flexion de la membrure (kN-m)
24. Dimensionnement des poteaux 24
1. On calcule la charge de compression maximale
imposée au poteau par l’application des charges
totales majorées (Pf)
2. On calcule la longueur équivalente (Le = kL)
3. On va dans les tables de sélection et on choisit un profilé
pour lequel Pr > Pf
Note : Les tables de sélection sont conçues pour donner la
résistance du poteau selon son axe faible (Pry) puisque
c’est le cas le plus courant. Si, par contre, on souhaite
obtenir la résistance du poteau selon son axe fort (Prx),
il suffit d’utiliser les tables de sélection avec une longueur
équivalente Le = k L ÷ rx/ry où rx/ry est le ratio des rayons
de giration dans les deux axes principaux (il est donné
dans la partie inférieure des tables de sélection).
25. Dimensionnement des poteaux 25
4. Si on ne peut pas utiliser les tables de sélection, ou si on veut
concevoir un profilé sur mesure, on peut utiliser les feuilles
excel prévues à cet effet (acier.xls et bois.xls) qui sont
disponibles sur le site du cours.
27. 27 Le cas de membrures tendues
(câbles et tirants)
Les membrures tendues ne sont pas soumises au flambement.
Les efforts de tension tendent, bien au contraire, à corriger les
défauts de rectitude de la membrure. La rupture survient lorsque
la contrainte de tension excède la contrainte admissible dans le
matériau. La force de rupture, Tr, est alors donnée par :
Tr = ϕ σadm x A
où : ϕ = coefficient de tenue = 0,9 pour l’acier et le bois
σadm = contrainte admissible dans le matériau
= 350 MPa pour l’acier de charpente
= 1000 à 1800 MPa pour l’acier des câbles
= 30,2 MPa pour le bois lamellé collé
A = aire de section de la membrure
poteau court
T
A
T Note : La résistance à la traction du béton est nulle
(dans le béton armé, toute la traction est reprise par les armatures en acier)
28. Dimensionnement des membrures
tendues (câbles et tirants) 28
1. On calcule la charge de tension maximale dans la membrure
causée par l’application des charges totales majorées (Tf)
2. On utilise l’une des deux options suivantes:
a) Puisque Tr = ϕ σadm A > Tf on trouve que:
A > Tf / ϕ σadm
b) On utilise les tables de sélection des poteaux en utilisant
un élancement nul (kL = 0) puisque la résistance à la
compression est alors égale à la résistance à la traction
du profilé et on choisit un profilé pour lequel Pr = Tr > Tf
30. Exemple : contreventement
en treillis 30
50 kN
100 kN
100 kN
100 kN
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
La figure ci-contre montre un
contreventement en treillis en
acier qui supporte des charges
horizontales de vent. Tous les
assemblages sont rotulés.
Quel profilé en acier devrait-on
utiliser pour les membrures ?
31. 31
La figure ci-contre montre les efforts axiaux
dans chaque membrure obtenus avec le
logiciel DrFrame2D. Les membrures en
rouge sont sollicitées en compression et
celles en bleu en tension.
Membrure en compression la plus sollicitée
Pf = 495 kN L = 4000 mm / cos 45°
k = 1 = 5656 mm ≈ 5500 mm
Membrure en tension la plus sollicitée
Tf = 800 kN
32. 32
Choix du profilé
Après avoir consulté les tables de sélection
(page 47), nous avons choisi le profilé
suivant:
W200x46 → Pr = 708 kN > 495 kN
Tr = 1846 kN > 800 kN
Déformation horizontale maximale
Δadm = L/500 = 16000 mm/500 = 32 mm
DrFrame2D → Δmax = 21 mm < 32 mm
34. Exemple : contreventement
en cadres rigides 34
La figure ci-contre montre un
contreventement en cadres
rigides en acier qui supporte des
charges horizontales de vent.
Tous les assemblages entre les
poutres et les poteaux sont
rigides.
Quel profilé en acier devrait-on
utiliser pour les membrures ?
50 kN
100 kN
100 kN
100 kN
4 m
4 m
4 m
4 m
4 m
35. 35
Les figures ci-dessous montrent les diagrammes d’efforts axiaux et
d’efforts fléchissants obtenus avec le logiciel DrFrame2D:
Efforts axiaux Moments fléchissants
36. Choix des poteaux 36
On constate que la membrure la plus sollicitée est le poteau inférieur
droit qui supporte une charge de compression de 800 kN et un moment
fléchissant de 700 kN-m. Cette membrure agira comme un poteau-poutre
et sera orientée de manière à ce que son axe fort soit dans le
plan du cadre rigide.
Pf = 800 kN
Mfx = 700 kN-m
Mfy = 0 kN-m
kx = ky = 2 Lx = Ly = 4000 mm
kxLx = kyLy = 2 x 4000 mm = 8000 mm L
Le = 2L
37. Choix des poteaux 37
Choix du profilé
W310x158
Selon l’axe faible
kLy = 8000 mm
Pry = 2636 kN > 800 kN
Selon l’axe fort
Le = k Lx ÷ rx/ry = 2 x 4000 mm ÷ 1,76
= 4544 mm
P rx = 4729 kN Mrx = 829 kN-m
Pf + Mf = 800 + 700 = 0,17 + 0,84 = 1,01 ≈ 1,0
Pr Mr 4729 829
38. Choix des poutres 38
En ce qui concerne les poutres on a que:
Mf = 917 kN-m
Pf = 49,8 kN = valeur négligeable
Choix du profilé
W610x113
Mr = 1020 kN-m > 917 kN-m
39. Vérification des déformations 39
Déformation horizontale maximale
DrFrame2D → Δmax = 69 mm
Δadm = L/500 = 16000 mm/500 = 32 mm < 69 mm
Donc notre cadre rigide est suffisamment résistant mais... beaucoup
trop flexible!
Il faut donc accroître la rigidité en choisissant des membrures plus
grosses.
Après divers essais sur DrFrame2D, notre choix s’est arrêté sur le
profilé suivant (utilisé pour toutes les membrures):
W760 x185 → Δmax = 31 mm < 32 mm O.K.
40. Comparaison entre le contreventement en
treillis et le contreventement en cadres rigides 40
On constate que le contreventement en treillis est beaucoup plus
efficace que celui en cadres rigides car il nécessite des profilés
beaucoup plus petits (W200x46 vs W760x185) ce qui représente
une économie de matériaux de 75% sans compter l’économie sur
les assemblages qui sont beaucoup plus faciles à réaliser dans les
contreventements en treillis (joints rotulés vs joints rigides)
41. L’aéroport de Dulles
à Washington
exemple de
dimensionnement
d’un poteau-poutre
41
42. Aéroport de Dulles
à Washington
Conçue par Eeero Saarinen, la toiture de l’aéroport
est formée d’un voile de béton de 10 cm
d’épaisseur supporté par des câbles en acier qui
sont eux-mêmes accrochés à des poteaux inclinés
42
43. 43
Aéroport de Dulles
pour les besoins de l’exercice, nous allons
dimensionner des poteaux en acier en
remplacement des poteaux en béton armé
44. Estimation des charges 44
câble
65 m
Béton : 24 kN/m3 x 0,1 m = 2,4 kN/m2
Membrane imperméable = 0,3 kN/m2
Mécanique = 0,3 kN/m2
wD = 3 kN/m2
poteaux
à 6 m c/c
wL = 1 kN/m2 (charge minimale en l’absence de neige)
wF = 1,25 wD + 1,5 wL
= (1,25 x 3 kN/m2) + (1,5 x 1 kN/m2) = 5,25 kN/m2
Pour chaque câble wF = 5,25 kN/m2 x 6 m = 31,5 kN/m
45. Ph
PF
Pv 22°
Forces sollicitant le poteau droit
45
Pv = 31,5 kN/m x 65 m / 2
= 1024 kN
PF = 1024 kN / sin 22° = 2733 kN
2733 kN
13 m
1568 kN
35°
kN
2239 1568 kN
2239 kN
21 m
M = 2733 kN x 13 m
= 35 530 kN-m
46. 2733 kN
Efforts externes imposés au poteau
et propriétés géométriques
46
13 m
1568 kN
35°
kN
2239 1568 kN
2239 kN
21 m
M = 2733 kN x 13 m
= 35 530 kN-m
Selon l’axe fort
Pfx = 2239 kN
Mfx = 35530 kN-m
k = 2
Lx = 21 m
Selon l’axe faible
Pfy = 2239 kN
Mfy = 0
k = 2
Ly = 21 m
47. Choix
poteau rectangulaire
300 x 3500 x 25 mm
+ = 2239
Dimensionnement du poteau
47
Selon l’axe fort
Prx = 56349 kN
Mrx = 38949 kN-m
Pfx
Prx
Mfx
Mrx
56349
35530
+ 38949
= 0,04 + 0,91
= 0,95 < 1
Selon l’axe faible
Pry = 3407 kN > 2239 kN
Mfy = 0 kN-m
