Ejercicios

EJERCICIOS DE EXPRESIONES
REGULARES Y AUTOMATAS
1.α + (β + γ) = (α + β) + γ
2.α + β = β + α
3.α + Ø = α
4.α + α = α
5.α · λ = α
6.α · Ø = Ø
7.α · (β · γ) = (α · β) · γ
8.α · (β + γ) = αβ + αγ, (β + γ) · α = βα + γα

9.λ* = λ
1O.Ø* = λ
11.α · α* = α* · α
12.α* = α* · α* = (α*)*
13.α* = λ + α · α*
14.(α + β)* = (α* + β*)*
15.(α + β)* = (α* · β*)* = (α* · β)* · α*
16.α · (β · α)* = (α · β)* · α
17. Si λЄ L(a), entonces a+λ=a

Ejemplo
Sean § = {0, 1} y
L, M dos lenguajes sobre § dados por
L ={1, 10} y M = {1, 01} entonces
LM = {11, 101, 1001}.
Mientras que ML = {11, 110, 001, 0110}.

Ejemplo
Dado V = {0; 1} y la ER α = 0*10*,
tenemos que:
L(0*10*) = L(0*) L(1) L(0*)
= (L(0))* L(1) (L(0))*
= {0}*.{1}.{0}*={0n
10m
| n, m ≥ 0}

Ejemplo
Si ∑ = {a, b, c} entonces
∑2
= {aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc}
Ejemplo
Sea § = {0, 1} y L = {01, 1}, entonces
L3
= {010101, 01011, 01101, 0111, 10101,
1011, 1101, 111}

Ejemplo
Obtener una ER para el lenguaje en el
alfabeto {a, b, c} en que las palabras
contienen exactamente una vez dos b
contiguas.
Por ejemplo, las palabras aabb, babba,
pertenecen al lenguaje, pero no aaba,
abbba ni bbabb.

Ejemplo
Dado el alfabeto Σ = {a, b, c},
(a U b*)a*(bc)*
Es una expresión regular que representa al
lenguaje
({a} U {b}*) · {a}* · {bc}*

Ejemplo
Dada la expresión regular (a | b)*, el
lenguaje que denota es el que puede formar
con todas las cadenas compuestas por a y
b incluida la cadena vacía. Algunos
ejemplos de sentencias de estos lenguajes
son:
λ, aaa, bbb, aba, abaaa, abbaa.

Ejemplo
Sea el vocabulario {1,2,3}, la expresión
regular (1|2)*3 indica el conjunto de todas
las cadenas formada por los símbolos 1 y 2,
sucediéndose cualquier Nº de veces (y en
cualquier orden), y siempre terminando la
cadena en el símbolo 3.
3, 13, 123, 11113, 22213, 23, 223, 113,
121211223, 111212213.

Ejemplo
Dado el alfabeto Σ = {a, b},
(λ U a)*(a U b)*(ba)*
Es una expresión regular que representa al
lenguaje
({λ} U {a})* · {a, b}* · {ba}*.

Para resolver este problema, expresamos primero
la estructura de la ER de la manera siguiente:
< contexto1 > bb < contexto2 >
El lenguaje de < contexto1 > comprende a las
palabras que no tienen bb y además no terminan
en b. 4 Esto es equivalente a decir que toda b está
seguida de una a o una c. Esto quiere decir que la
ER de este contexto va ser de la forma:
(. . . b(a + c) . . .)

Similarmente se puede obtener la expresión
para < contexto2 >, que es
((a + c ) b)*,
Por lo que finalmente la ER del problema
es:
(b(a + c))*bb((a + c)b)*

Ejemplo
Sea la ER t = a + bc + b3a.
Cuál es el lenguaje descrito por t?
Que expresión regular corresponde al
lenguaje universal sobre el alfabeto {a, b, c?

En primer lugar, esta no es estrictamente
hablando una ER, ya que no se permite b3
a:
Sin embargo, aceptamos como válida la expresión
a + bc + b3
a, como una simplificación de la ER
a+bc+bbba.
En ese caso, L(t) ={a; bc; bbba}, que como vemos
es un lenguaje finito sobre el alfabeto {a; b; c}.
La ER que describe el lenguaje universal sobre
este alfabeto es
(a + b + c)*

Ejemplo
Simplificar la ER t = a + a (b + aa) (b*aa)* b* + a (aa + b)*.
Aplicando las propiedades de las expresiones regulares,
podemos obtener una ER equivalente con tan solo 4
operadores:
a + a (b + aa) (b*aa)* b* +a (aa + b)* (Propiedad 15)
a + a (b + aa) (b + aa)* +a (aa + b)* (Propiedad 8)
a( λ + (b + aa) (b + aa)* ) + a (aa + b)* (Propiedad 13)
a( b + aa )* + a (aa + b)* (Propiedad 2)
a (aa + b)* + a (aa + b)* (Propiedad 4)
a (aa + b)*

Ejemplo
Simplificar la expresión regular :
1*O1*O (O1*O1*O + 1)* O1* + 1* de forma que sólo
aparezca un operador +.
1*O1*O (O1*O1*O + 1)* O1* + 1* (Propiedad 15)
1*O1*O (1* • O1*O1*O)* 1* • O1* + 1* (Propiedad 16)
(1*O1*O • 1*O)* 1*O1*O1*O1* + 1* (Propiedad 8)
((1*O1*O1*O)* 1*O1*O1*O + λ) 1* (Propiedad 13)
(1* • O1*O1*O)* 1* (Propiedad 15)
(1 + O1*O1*O)*

Ejemplo
Sea el vocabulario {a,b} y la expresión regular
aa*bb*. Indicar el lenguaje que denota y algunas
cadenas de dicho lenguaje.
Algunas cadenas: ab, aab, aaaab, abbbb, abb.
El lenguaje que se describe es L={cadenas que
comienzan por una a y continúan con varias o
ninguna a, y siguen con una b y continúan con
varias o ninguna b}.

Ejemplo
A = b*ab*
El lenguaje A de todas las palabras que tienen
exactamente una a:
B = b(a U b)*
El lenguaje B de todas las palabras que comienzan con b:
C = (a U b)*ba(a U b)∗
El lenguaje C de todas las palabras que contienen la
cadena ba:

Ejemplo
Encontrar expresiones regulares que representen los
siguientes lenguajes, definidos sobre el alfabeto Σ = {a, b}.
b(a U b)*a
Lenguaje de todas las palabras que comienzan con b y
terminan con a.
b*ab*ab*
Lenguaje de todas las palabras que tienen exactamente
dos a’s.
(aa U ab U ba U bb)*
Lenguaje de todas las palabras que tienen un número par
de símbolos (palabras de longitud par).

Ejemplo
Lenguaje de todas las palabras que tienen un número impar de
símbolos (palabras de longitud impar).
a(aa U ab U ba U bb)* U b(aa U ab U ba U bb)*
Lenguaje de todas las palabras que tienen un número par de a/s.
b*(ab*a)*b*.
(ab*a U b)*.
(b*ab*ab*)* U b*.
b*(b*ab*ab*)*b*.
Encontrar una expresión regular que represente el lenguaje de todas
las palabras que no contienen la cadena bc, definido sobre el alfabeto
Σ = {a, b, c}.
c (b ac ) .∗ ∪ ∗ ∗

Ejemplo
Lenguaje formado por las cadenas que
terminan en 01:
{0,1}*.{01}
({0} U {1})*.{01}
Expresión regular: (0+1)*01

Ejemplo
Lenguaje formado por palabras de longitud
par sobre a’s y b’s:
{aa,ab,ba,bb}*
({aa} U {ab} U {ba} U {bb})*
Expresión: (aa+ab+ba+bb)*

Ejemplo:
L(a*(a+b)) = L(a*)L((a+b)) = L(a)*L(a+b)
= L(a)*(L(a)UL(b)) = {a}*({a}U{b})
= {λ,a,aa,aaa,...}{a,b}
= {a,aa,...,b,ab,aab,...}
= {an
|n≥1} U {a2n
b2m+1
|n,m≥0}

Ejemplo
c*.c+c* =c*¿?
c*.c+c* = c*.c+c*+λ (por …..)
= c.c*+c*+λ (por …..)
= λ+c.c*+c* (por …..)
= c*+c* (por …..)
= c* (por …..)

Ejemplo
c+c* =c*¿?
c+c* = c+λ+c.c* (por ……)
= λ+c+c.c* (por ……)
= λ+c.λ+c.c* (por ……)
= λ+c.(λ+c*) (por ……)
= λ+c.c* (por ……)
= c* (por ……)

Ejemplo:
Sea V={0,1}
Diseñar una expresión regular que genere un
alfabeto V que empiece con 1 y pueda conseguir
cualquier cantidad de ceros y unos.
1(0 | 1)*
Diseñar una expresión regular que genere un
alfabeto V que empiece con 1, terminen con 02
ceros y si empieza con 0 termine con dos unos.
1(0 | 1)* 00 | (0 (0|1)*11)

Ejemplo
Dar una ER que denote el lenguaje consistente de: al
menos dos ceros precedidos por cualquier número de 0’s
seguidos por cualquier número de 1’s.
Primero podemos desarrollar una ER para 0 y para 0 que
denotan los lenguajes {0} y {0} respectivamente. Si
concatenamos las dos expresiones 00, obtenemos el
lenguaje {00}.
Veamos ahora como construir el resto, cualquier número
de 0’s lo podemos escribir como 0 y lo mismo para
cualquier número de 1’s, 1 y ahora debemos describir la
concatenación 0 1 .
La expresión regular completa es: 0*1* 00

Ejemplo:
Dado el lenguaje descrito por la expresión
regular (ab)*a, un AFND que acepta dicho
lenguaje es el siguiente:

Ejemplo
Sea el autómata finito A1, donde E={a,b} u {λ};
Q={q1,q2,q3,q4} y la función f viene dada por la
siguiente tabla y el conjunto de estados finales
es f={q3} f a b
q1 q2 q4
q2 q2 q3
q3 q4 q3
q4 q4 q4

Determinar el lenguaje que reconoce, representar
el diagrama de Moore e indicar la expresión
regular que representa al lenguaje.
Solución: Se construye el diagrama de Moore,
colocando en primer lugar todos los estados
dentro del circulo, marcando con doble circulo el
estado final. El estado inicial se indica con una
flecha que lo señala con la palabra INICIO encima.
Para construir las ramas, nos situamos en el
primer estado de la tabla de transiciones y se
observa que:

f(q1,a) =q2
Entonces se traza la flecha q1 y q2,
apuntando a q2 y se coloca encima de la
flecha el símbolo del vocabulario de entrada
a. De igual forma se recorre la tabla de
transiciones para cada estado y entrada
completándose el diagrama de moore.

Ejemplo
Sea ∑ ={a, b}, Q = {0, 1, 2}, q0 =0, F = {2}, y δ viene
definida así:
Se define el diagrama de transiciones de dicho autómata
como un grafo dirigido, en el que los estados se
representan por nodos, las transiciones por flechas, de tal
manera que dicho grafo satisface la definición de la función
de transición δ
Qi/δ a b
0 1 0
1 2 0
2 2 2

En este caso el autómata de la función
sería:
δ(0, a) = 1, δ (0, b) = 0, δ (1, a) = 2,
δ (1, b)=0, δ (2, a) = 2, δ (2, b)=2
Nótese que para todos los símbolos del
alfabeto, existe una transición de algún
estado.
Sabiendo esto, el anterior autómata
quedaría representado así

Se define un estado de absorción o muerte
como aquel estado q Є Q, y q∉F, que no
tiene ninguna transición hacia ningún otro
estado (opcionalmente, a sí mismo puede
tenerlos), únicamente hay transiciones que
inciden en él. Es decir:
si δ (q, a) = ø, ó, δ (q, a) = q, ∀ a Є ∑ .

Como vemos, el estado 3 no tiene ninguna transición,
únicamente hay transiciones que inciden en él. Además,
3∉F, luego 3 es un estado de muerte.
Cuando tenemos estados de muerte, se toma el convenio
de no dibujarlos.
En este último autómata,
Si w = aaab. El autómata acepta la cadena, puesto que
para en 2, que es estado de aceptación.
•Si w = bbba. El autómata rechaza la cadena, puesto que
para en 3, que no es un estado de aceptación.

Ejemplo
Hacer el autómata que reconozca este
lenguaje: (a|b)aba*

En este diagrama de transiciones, se ve que
se ha omitido un estado de muerte, porque
por ejemplo el estado 1 no tiene transición
con el símbolo "b", y va a parar a dicho
estado de muerte. Igual pasa con el estado
2 y el símbolo "a", y el estado 3 con el
símbolo "b"

Ejemplo
Hacer el diagrama de transiciones con esta
definición del autómata:
Q={0,1,2,3}
∑ ={a, b}
q 0 =0
F={0, 1, 2}

Como vemos, el estado 3 es un estado de muerte y podía haberse
omitido.
Este autómata, por ejemplo, acepta combinaciones de cadenas que no
tengan 3 "b“ seguidas.

Q={q 0 ,q 1 }
∑ ={0, 1} F={q 0 }
q 0 =q 0

Ejemplo
Suponiendo ∑ ={0, 1}, dibujar los
diagramas de transición que reconozcan.
Cadenas terminadas en 00

Cadenas con dos "unos" consecutivos.

Cadenas que no contengan dos "unos"
consecutivos.

Cadenas con dos "ceros" consecutivos o
dos "unos" consecutivos.

Cadenas con dos "ceros" consecutivos y
dos "unos" consecutivos.

Cadenas acabadas en 00 o 11.

Cadenas con un "uno" en la antepenúltima
posición.

Cadenas de longitud 4.

Ejemplo

El estado 0, para el símbolo "a" tiene dos
transiciones, una al estado 1 y otra al
estado 4, es decir, δ (0, a) = {1, 4}.
Q={0,1,2,3,4}
F={3,4}
∑ ={a, b}
q 0 =0

Pasar a DFA este NFA

Ya tenemos todos los estados marcados,
ahora ya sólo queda pintar el diagrama de
transiciones, luego el DFA quedaría así:

Ejemplo
El Autómata A=({q0,q1,q2},{0,1}, δ,q0,{q1})
Autómata representado con una tabla de transiciones:
Autómata representado con un diagrama de transiciones:
0 1
 q0 q2 q0
• q1 q1 q1
q2 q2 q1
q0 q2
Start
q1
0 1
1
0,1
0
q0 q2
Start
q1
0 1
1
0,1
0

Ejemplo
Minimizar la siguiente maquina secuencial

Creamos dos clases de equivalencia, por un
lado los estados finales y por otro el resto
de estados.
Q/E1={{A,D,E},{B,C}} c1={A,D,E} y c2={B,C}

Q/E2 = {{A,D,E},{B,C}} = Q/E1
Como no se ha producido ningún cambio,
paramos y reescribimos la tabla
nuevamente.

Ejemplo
Sea a=ba*

Ejemplo
α =01|1*

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