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Medidas de Tendencia Central, Posición y Dispersión
- 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño Sede: Barcelona, Anzoátegui Asignatura: Estadística-Saia Medidas de Tendencia Central, Posición y Dispersión Profesora: Alumno: Amelia Vásquez Valor Reynieri C.I: 25.344.142 10/09/2018
- 2. Introducción Las medidas de tendencia central señalan el valor alrededor del cual se sitúa la mayor parte de los datos del grupo, y cumplen una función doble: a) Indican cuál es la posición del grupo (cuál es la magnitud general de la variable en el grupo), y b) Reducen el conjunto de datos del grupo a UN solo número (reducción de datos). En el caso de las variables con valores que pueden definirse en términos de alguna escala de medida de igual intervalo, puede usarse un tipo de indicador que permite apreciar el grado de dispersión o variabilidad existente en el grupo de variantes en estudio. A estos indicadores les llamamos medidas de dispersión, por cuanto que están referidos a la variabilidad que exhiben los valores de las observaciones, ya que, si no hubiere variabilidad o dispersión en los datos interés, entonces no habría necesidad de la gran mayoría de las medidas de la estadística descriptiva.
- 3. Medidas de Tendencia Central Son medidas estadísticas que pretenden resumir en un solo valor a un conjunto de valores. Representan un centro en torno al cual se encuentra ubicado el conjunto de los datos. Las medidas de tendencia central más utilizadas son: media, mediana y moda.
- 4. Entre las medidas de tendencia central tenemos: Media aritmética Media ponderada Media geométrica Media armónica Mediana Moda
- 5. La Media Aritmética Es el valor obtenido por la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumadores. Por ejemplo, las notas de 5 alumnos en una prueba: 1 6,0 2 5,4 3 3,1 4 7,0 5 6,1 Primero, se suman las Notas: 6,0+5,4+3,1+7,0+6,1 Luego el resultado se divide entre la cantidad de alumnos: 27,6/5=5,52 La media aritmética en este ejemplo es de 5,52
- 6. Media Ponderada A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada.
- 7. La Media Geométrica Es una cantidad arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números, es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices.
- 8. Media Armónica Designada usualmente mediante H. de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades. Así, dados n números x1, x2, ..., xn la media armónica será igual a:
- 9. Mediana Es un valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de los datos, una vez que éstos están ordenados de menor a mayor. Por ejemplo, la mediana del número de hijos de un conjunto de trece familias, cuyos respectivos hijos son: 3, 4, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1 y 1, es 2, puesto que, una vez ordenados los datos: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, el que ocupa la posición central es 2: En caso de un número par de datos, la mediana no correspondería a ningún valor de la variable, por lo que se conviene en tomar como mediana el valor intermedio entre los dos valores centrales. Por ejemplo, en el caso de doce datos como los siguientes:
- 10. Moda Es el dato más repetido de la encuesta, el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta. En cierto sentido la definición matemática corresponde con la locución "estar de moda", esto es, ser lo que más se lleva. Su cálculo es extremadamente sencillo, pues solo necesita un recuento. En variables continuas, expresadas en intervalos, existe el denominado intervalo modal o, en su defecto, si es necesario obtener un valor concreto de la variable, se recurre a la interpolación.
- 11. Medidas de Posición Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando. La descripción de un conjunto de datos, incluye como un elemento de importancia la ubicación de éstos dentro de un contexto de valores posible. Una vez definidos los conceptos básicos en el estudio de una distribución de frecuencias de una variable, estudiaremos las distintas formas de resumir dichas distribuciones mediante medidas de posición (o de centralización), teniendo presente el error cometido en el resumen mediante las correspondientes medidas de dispersión.
- 12. Los Cuartiles (Qn) Son los tres valores de la variable de una distribución que la dividen en cuatro partes iguales, es decir, al 25%, 50% y 75%. Para calcular el valor de uno de los cuatro Cuartiles, se utiliza la fórmula: Qk = k (n/4) En donde: Qk = Cuartil número 1, 2, 3 ó 4 n = total de datos de la distribución. Se advierte que la posición del segundo cuartil corresponde a la ubicación de la mediana, es decir que el segundo cuartil será siempre igual a la mediana. Para calcular los cuartiles (datos no agrupados) debes seguir los siguientes pasos: 1º Se ordenan los datos de menor a mayor. 2º Se determina la posición que ocupa cada cuartil mediante la fórmula: Qk = k (n/4)
- 13. El primer cuartil: (Q1) es el valor de la variable que supera a lo más el 25 % de los datos y es superado por a lo más el 75 % de ellos en la distribución ordenada de menor a mayor. El segundo cuartil: (Q2) es un valor que supera a lo más el 50 % de los datos y es superado por a lo más el 50 % de ellos, es decir, Q2 coincide con la mediana. El tercer cuartil: (Q3) es un valor que supera a lo más al 75 % de los datos y es superado por a lo más el 25 % de ellos.
- 14. Medidas de Dispersión Muestran la variabilidad de una distribución, indicándolo por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos. Son Parámetros estadísticos que indican como se alejan los datos respecto de la media aritmética. Sirven como indicador de la variabilidad de los datos. Las medidas de dispersión más utilizadas son el rango, la desviación estándar y la varianza.
- 15. Rango Indica la dispersión entre los valores extremos de una variable. se calcula como la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable. Se denota como R. Para datos ordenados se calcula como: R = x(n) - x(1) Dónde: x(n): Es el mayor valor de la variable. x(n): Es el menor valor de la variable.
- 16. Desviación Media Es la media aritmética de los valores absolutos de las diferencias de cada dato respecto a la media. Donde: xi: valores de la variable. n: número total de datos
- 17. Desviación Estándar La desviación estándar mide el grado de dispersión de los datos con respecto a la media, se denota como (s) para una muestra o como σ para la población. Se define como la raíz cuadrada de la varianza según la expresión: Obsérvese que el denominador es n - 1, a diferencia de la desviación media donde se divide entre n; también existe la fórmula de desviación típica donde el denominador es n pero se prefiere n-1. Mientras menor sea la desviación estándar, los datos son más homogéneos, es decir existe menor dispersión, el incremento de los valores de la desviación estándar indica una mayor variabilidad de los datos.
- 18. Varianza Es otro parámetro utilizado para medir la dispersión de los valores de una variable respecto a la media. Corresponde a la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. Su expresión matemática es: donde Xi es el dato i-ésimo y X es la media de los N datos
- 19. Coeficiente de Variación Permite determinar la razón existente entre la desviación estándar (s) y la media. Se denota como CV. El coeficiente de variación permite decidir con mayor claridad sobre la dispersión de los datos.
- 20. Tipos de Promedios Estadísticos y Matemáticos En matemáticas o estadista un promedio es una medida de tendencial central que según la real academia española resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, de determinadas condiciones, puede representar por si solo a todo el conjunto.
- 21. Conclusión Las Medidas de tendencia central, nos permiten identificar los valores más representativos de los datos, de acuerdo a la manera como se tienden a concentrar. La Media nos indica el promedio de los datos; es decir, nos informa el valor que obtendría cada uno de los individuos si se distribuyeran los valores en partes iguales. La Mediana por el contrario nos informa el valor que separa los datos en dos partes iguales, cada una de las cuales cuenta con el cincuenta por ciento de los datos. La Moda nos indica el valor que más se repite dentro de los datos. La importancia de las medidas estudiadas está en dependencia del tipo de datos, de su distribución y del objetivo que se tiene en la realización del estudio. A pesar de ser considerada la media como la medida más importante en la mayoría de los estudios de fenómenos o hechos, el conocimiento de las tres proporciona una mejor descripción de estos. Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución se divide en medidas de dispersión absoluta y medidas de dispersión relativa que nos sirven para cuantificar la separación de los valores de una distribución. Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribución y son medidas que se toman para tener la posibilidad de establecer comparaciones de diferentes muestras, para las cuales son conocidas ya medidas que se tienen como típicas en su clase.