1. Equações Algébricas
e
Transcendentes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Zero Reais de Funções Reais

2. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Sendo P(x) um polinômio em C, chama-se
equação algébrica à igualdade P(x) = 0.
O que é uma Equação Algébrica?
Portanto, as raízes da equação algébrica,
são as mesmas do polinômio P(x) .

3. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Uma equação transcendente é uma
equação que contém alguma função que não é
redutível a uma fração entre polinômios, e cuja
solução não pode ser expressa através de funções
elementares.
O que é uma Equação Transcendente?

4. Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Para se calcular uma raiz de uma equação algébrica ou
transcendente, algumas etapas devem ser seguidas:
1) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ a ; b ], o menor possível,
que contenha a raiz;
2) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de
exatidão requerido pelo problema.
Alguns livros, trazem essas etapas de forma análoga, da
seguinte maneira:
3) Utilizar programas que traçam gráficos de funções disponíveis em
algumas calculadoras ou softwares matemáticos.

5. Zeros de Funções Reais
1. Introdução
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6. Zeros de Funções Reais
Fase II: Refinamento de Raiz
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
• Existem vários métodos numéricos de refinamento de raiz.
• A forma como se efetua o refinamento é o que diferencia os
métodos.
• Todos eles são iterativos. Isto é segue uma sequência que são
executadas “passo a passo”, algumas das quais são repetidas em
ciclos.
• Métodos iterativos fornecem uma aproximação para a solução.
• Execução de ciclo recebe nome de iteração.

7. Zeros de Funções Reais
Fase II: Refinamento de Raiz
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
• Método da Bisseção;
• Método de Newton-Raphson (Tangentes);
• Método da Iteração Linear.
• Método da Secante (das Cordas ou Falsa Posição);

8. Zeros de Funções Reais
Fase II: Refinamento de Raiz
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
• Método da Bisseção

9. Zeros de Funções Reais
Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
O princípio fundamental do método da bissecção consiste em
localizar a raiz em um intervalo [x1, x2], onde a função é estritamente
crescente ou estritamente decrescente e considerar a raiz
aproximada como o ponto médio desse intervalo, ou seja, a raiz será
(x1 + x2)/2 ou (a+b)/2.
Para que a raiz pertença a tal intervalo, nas condições citadas,
devemos ter f(x1). f(x2) < 0.

10. Zeros de Funções Reais
Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
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11. Zeros de Funções Reais
Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Para tornar o erro menor, pode-se dividir o intervalo em dois
intervalos de amplitude igual à metade da amplitude do intervalo
anterior. Para isso, tomemos x3 = (x1 + x2)/2.
Veja a figura a seguir:

12. Zeros de Funções Reais
Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
A raiz estará no intervalo [x1, (x1+x2)/2] se f(x1).f((x1+x2)/2) < 0, caso
contrário ela estará no intervalo [(x1+x2)/2, x2].

13. Zeros de Funções Reais
Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
A repetição do processo fará com que, a cada iteração o ponto
médio do intervalo se aproxime cada vez mais da raiz.
Assim, o processo deverá ser continuado até que se obtenha uma
aproximação com erro inferior ao solicitado.

14. Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Para se aproximar de uma raiz, o princípio da bisseção consista em
reduzir o intervalo inicial testando o sinal de f(x) para o ponto médio
do intervalo.
Considerando o intervalo [a,b]:
• Se , o novo intervalo é [a,(a+b)/2]
• Se , o novo intervalo é [(a+b)/2,b]
( ). ( ) 0
2
a b
f a f
( ). ( ) 0
2
a b
f b f
Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

15. Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
15
xa = a0
f(x)
b = b0
x1 = (a + b)/2
x1
x
a = a1
f(x)
x1 = b1
x2 = (a + x1)/2
x2
x
f(x)
x1 = b2
x3 = (x2 + x1)/2
x2 = a2
x3
Repete-se o processo até que o valor
de x atenda às condições de parada.

16. Zeros de Funções Reais
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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

17. Zeros de Funções Reais
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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
• Solução: Começamos traçando o gráfico da função ou
tabelando e analisando a mudança de sinal. Vamos ver os dois:

18. Zeros de Funções Reais
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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
• Solução: Começamos traçando o gráfico da função ou
tabelando e analisando a mudança de sinal. Vamos ver os dois:
Claramente vemos que existe uma raiz no intervalo [-3,5 ; -3,0], uma
segunda raiz no intervalo [0 ; 0,5] e uma terceira raiz no intervalo [2,5 ;
3].

19. Zeros de Funções Reais
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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
• Solução: Agora pela tabulação e análise de sinais para
determinar os intervalos iniciais.
X -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
f(x) - + + + + + + + - - - - - +

20. Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
• Solução:
Vamos adotar o intervalo [0,0 ; 0,5], portanto, para a iteração i=1
temos:
Observem o algoritmo do método. O próximo passo é dividir o
intervalo ao meio.

21. Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
• Solução:
Critério de parada!

22. Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
• Solução:
Agora temos dois intervalos. O primeiro é [0 ; 0,25] e o segundo é
[0,25 ; 0,5]. Vamos verificar se a raiz se encontra no primeiro intervalo
fazendo:

23. Zeros de Funções Reais
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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
• Solução:
Como o produto foi positivo, o intervalo onde se encontra a raiz não
é [0 ; 0,25] e sim [0,25 ; 0,5].

24. Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
• Solução:
Vamos agora adotar o intervalo [0,25 ; 0,5], portanto, para a
iteração i=2, temos:
Observem o algoritmo do método. O próximo passo é dividir o
intervalo ao meio.

25. Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
• Solução:
Quadro!

26. Zeros de Funções Reais
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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

27. Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.
• Solução:
Quadro!

28. Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

29. 29

30. Zeros de Funções Reais
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• O método exige pouco esforço computacional.
• A convergência é lenta. Notadamente se o intervalo inicial tiver
um tamanho, b – a, muito maior que uma precisão, ε.
• O método sempre gera uma sequência convergente.
Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

31. Zeros de Funções Reais
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• Raiz(f,a,b,tol)
o Enquanto (|a-b|>tol)
• x=(a+b)/2
• Se f(x).f(a)<0
o b=x
• Senão
o a=x
o Resultado=(a+b)/2
Implementação do Método da Bisseção.

32. Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Algoritmo
k := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a;
xk+1 := (ak + bk)/2;
while critério de convergência não satisfeito and k L
if f(ak)f(xk+1) < 0 then /* raiz em [ak , xk+1] */
ak+1 := ak; bk+1 := xk+1;
else /* raiz em [xk+1, bk] */
ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ;
endif
k := k +1; xk+1 := (ak + bk)/2;
endwhile
if k>L
convergência falhou
endif
Implementação do Método da Bisseção.

33. Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Ideia: Reduzir o intervalo que contém a raiz, dividindo-o ao meio a cada
iteração.
Implementação do Método da Bisseção.

34. Exercícios
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

35. Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

36. Trabalho
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

37. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
• Método da Iteração Linear.
• Método da Secante (das Cordas ou Falsa Posição);
Pesquisa em dupla sobre os seguintes métodos:
A pesquisa deve conter:
• Descrição de cada método;
• Seguir a ABNT quanto à formatação.
• Escolher um desses métodos e mostrar uma aplicação na
Engenharia;
• Comparação entre os métodos;
Data de Entrega: Dia da prova!

38. Zeros de Funções Reais
Fase II: Refinamento de Raiz
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Método de Newton-Raphson
(Tangentes)

39. 