Este documento resume os principais sistemas numéricos, como o decimal e o binário. Explica que o sistema decimal tem como base 10 dígitos de 0 a 9, enquanto o binário tem base 2 com dígitos 0 e 1. Detalha como converter números entre esses sistemas, incluindo decompor em potências da base e somar números nos diferentes sistemas.

1. Sistemas Numéricos

2. Sistemas Numéricos
• Existem diversos sistemas numéricos, o mais
comum que utilizamos no dia-a-dia é o
sistema decimal.
• O sistema decimal é chamado assim por ser
baseado em 10 dígitos (de 0 a 9). Diz-se de
base 10.
• Os outros sistemas numéricos são compostos
de bases diferentes.

3. Sistema Decimal
• Para entender melhor outros sistemas
numéricos, é necessário relembrar algumas
regras do sistema decimal.
• Um número no sistema decimal pode ser
decomposto em um somatório de produtos de
potências de base 10.
• Exemplos:
1234 = 1 x 1000 + 2 x 100 + 3 x 10 + 4 x 1
1234 = 1 x 103 + 2 x 102 + 3 x 101 + 4 x 100
16920 = 1 x 104 + 6 x 103 + 9 x 102 + 2 x 101 + 0 x 100

4. Sistema Decimal
• Para somar 2 números decimais basta seguir
os passos dos próximos slides.
– Esses passos todos já viram no ensino básico.
• Como exemplo vamos somar os números
1234 e 493.
• Os mesmos passos são utilizados para outros
sistemas numéricos.

5. Somando 2 números decimais
1 2 3 4
+ 4 9 3
Alinham-se os 2 números a direita,
um abaixo do outro.

6. Somando 2 números decimais
1 2 3 4
+ 4 9 3
7
Da direita para a esquerda, somam-se os
dígitos.

7. Somando 2 números decimais
1 2 3 4
+ 4 9 3
12 7
Se a soma resultar em 2 dígitos, o da direita fica, e o da
esquerda sobe para o próximo dígito.

8. Somando 2 números decimais
1
1 2 3 4
+ 4 9 3
2 7
Se a soma resultar em 2 dígitos, o da direita fica, e o da
esquerda sobe para o próximo dígito.

9. Somando 2 números decimais
1
1 2 3 4
+ 4 9 3
7 2 7
A soma continua incluindo os dígitos que
vieram de somas anteriores.

10. Somando 2 números decimais
1
1 2 3 4
+ 4 9 3
1 7 2 7
Em alguns casos, um dos números não possui os
dígitos mais a esquerda, é só considerar zero.

11. Somando 2 números decimais
1
1 2 3 4
+ 4 9 3
1 7 2 7
Após somar todos os dígitos, tem-se o
resultado final da soma.

12. Sistema Binário
• Sistema de base 2, ou seja, 2 dígitos (0 e 1).
• Sistema utilizado internamente pelos
computadores.
– Dígito 0 significa a ausência de corrente elétrica.
– Dígito 1 significa a presença de corrente elétrica.
• Assim como no sistema decimal, vários dígitos
podem formar um número maior.
– Exemplo: o número 11001011 em binário
corresponde ao número 203 em decimal.

13. Sistema Binário
• Assim como os números decimais podem ser
decompostos em potências de base 10, um
número binário pode ser decomposto em
potências de base 2.
• Exemplos:
1110 = 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20
1110 = 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1
1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14

14. Sistema Binário
• Tabela de alguns números binários:
Decimal Binário Decimal Binário Decimal Binário
0 0 8 1000 16 10000
1 1 9 1001 17 10001
2 10 10 1010 18 10010
3 11 11 1011 19 10011
4 100 12 1100 20 10100
5 101 13 1101 21 10101
6 110 14 1110 22 10110
7 111 15 1111 23 10111

15. Sistema Binário
• Para converter um número de binário para
decimal basta decompô-lo em suas bases:
– Exemplo:
1101101=1x26+1x25+0x24+1x23+1x22+0x21+1x20
1101101=1x64+1x32+0x16+1x8+1x4+0x2+1x1
1101101=1x64+1x32+1x8+1x4+1x1
1101101=64+32+8+4+1
1101101=109

16. Sistema Binário
• Para converter um número de decimal para
binário, é preciso encontrar quais as bases
binárias que o formam.
• Veremos os passos nos próximos slides.
• Como exemplo vamos converter o número
233 para binário.

17. Sistema Binário
233 Base Binária Valor Decimal
20 1
21 2
22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 128
28 256
Primeiro monta-se a tabela de bases binárias

18. Sistema Binário
233 Base Binária Valor Decimal
20 1
128+105
21 2
22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 128
28 256
Agora decompôe-se o resto do número (105) na maior base
menor que ele.
Neste caso a base escolhida é 128.

19. Sistema Binário
233 Base Binária Valor Decimal
20 1
128+105
21 2
128+64+41 22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 128
28 256
Nos próximos passos decompõe-se o número decimal na maior base
binária menor que o número.
Neste caso a base escolhida é 64.

20. Sistema Binário
233 Base Binária Valor Decimal
20 1
128+105
21 2
128+64+41 22 4
128+64+32+9 23 8
24 16
25 32
26 64
27 128
28 256
A decomposição continua até que o número inicial seja
totalmente decompostos em bases binárias.

21. Sistema Binário
233 Base Binária Valor Decimal
20 1
128+105
21 2
128+64+41 22 4
128+64+32+9 23 8
24 16
128+64+32+8+1
25 32
26 64
27 128
28 256
A decomposição continua até que o número inicial seja
totalmente decompostos em bases binárias.

22. Sistema Binário
233 Base Binária Valor Decimal
20 1
128+64+32+8+1
21 2
27+26+25+23+20 22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 128
28 256
Após a decomposição, os valores são convertidos
para suas potências de base 2.

23. Sistema Binário
233 Base Binária Valor Decimal
20 1
128+64+32+8+1
21 2
27+26+25+23+20 22 4
1x27+1x26+1x25+1x23+1x20 23 8
24 16
25 32
26 64
27 128
28 256
Agora as potências utilizadas são multiplicadas por 1.

24. Sistema Binário
233 Base Binária Valor Decimal
20 1
128+64+32+8+1
21 2
27+26+25+23+20 22 4
1x27+1x26+1x25+1x23+1x20 23 8
1x27+1x26+1x25+0x24+1x23+0x22+0x21+1x20 24 16
25 32
26 64
27 128
28 256
Neste caso, algumas potências como 24 e 22 não aparecem.
As potências faltantes são inseridas sendo multiplicadas por zero.

25. Sistema Binário
233 Base Binária Valor Decimal
20 1
128+64+32+8+1
21 2
27+26+25+23+20 22 4
1x27+1x26+1x25+1x23+1x20 23 8
1x27+1x26+1x25+0x24+1x23+0x22+0x21+1x20 24 16
11101001 25 32
26 64
27 128
28 256
Terminada a decomposição em potências.
Base separar os multiplicadores para obter o número binário.

26. Somando dois números binários
• Para somar dois número binários, utiliza-se o
mesmo esquema de somar dois números
decimais.
• Como exemplo, vamos somar os números
10011010010 e 111101101.

27. Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

28. Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

29. Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

30. Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

31. Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

32. Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

33. Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

34. Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
10 1 1 1 1 1 1
Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,
e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.

35. Somando dois números binários
1
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
0 1 1 1 1 1 1
Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,
e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.

36. Somando dois números binários
1 1
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 0 1 1 1 1 1 1
Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,
e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.

37. Somando dois números binários
1 1 1
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
0 1 0 1 1 1 1 1 1
Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,
e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.

38. Somando dois números binários
1 1 1
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 0 1 0 1 1 1 1 1 1
Em alguns casos, um dos números não possui os
dígitos mais a esquerda, é só considerar zero.

39. Somando dois números binários
1 1 1
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

40. Somando dois números binários
1 1 1
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1
Após somar todos os dígitos, tem-se o
resultado final da soma.

41. Outros Sistemas Numéricos
• Sistema Hexadecimal:
– Base 16
– Dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
– Exemplo: A12C0D4
– Muito utilizado para ler números grandes de sistemas
computacionais
• Sistema Octal:
– Base 8:
– Dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7
– Exemplo: 705242
– Pouco utilizado na prática

42. Outros Sistemas Numéricos
• Se você tem um número qualquer, por exemplo, 1001, como saber
em qual sistema numérico ele está?
– No caso do 1001, ele pode pertencer a qualquer um dos 4 sistemas
numéricos vistos, pois todos eles possuem os dígitos 0 e 1.
• Para dizer explicitamente a base em que se encontra um número, é
só adicionar o número da base do sistema numérico no final do
número:
– Binário: 10012
– Decimal: 100110
– Hexadecimal: 100116
– Octal: 10018
• No caso dos números decimais, é comum não mostrar o número da
base.