1. Flujo del Campo Gravitatorio
Tema: Campo Gravitatorio
Flujo (Ô): es una magnitud que representa el numero
de lineas de campo que atraviesan una superficie.
𝜙 = 𝑔. 𝑆 (si 𝑔 ≡ 𝑐𝑡𝑒)
𝜙 = g. S. cosθ
Donde:
𝜙 ≡ 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜
𝑔 ≡ 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜
𝑆 ≡ 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒
θ ≡ á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
Respecto a 𝑆 , su modulo es el valor de la superficie, su direccion,
perpendicular a dicha superficie, y su sentido, de la parte concava a
la convexa, si la superficie es curva.
En general:
𝜙= 𝑠𝑢𝑝
𝑔. 𝑑𝑆 , si 𝑔 no es constante
Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

2. Teorema de Gauss para el Campo Gravitatorio
Tema: Campo Gravitatorio
“El flujo neto que atraviesa una superficie cerrada que se halla en
el interior de un campo gravitatorio es funcion de la masa encerrada
en dicha superficie (denominada Gaussiana) “
Matematicamente:
𝜙= 𝑔. 𝑑𝑆 = 𝑔. 𝑑𝑆. 𝑐𝑜𝑠180 = −𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑆
𝑠𝑢𝑝 𝑠𝑢𝑝 𝑠𝑢𝑝
Al tratarse de una superficie esferica:
𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
𝜙=− 2
4. π. 𝑟 2
𝑟
𝜙 = −4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

3. Campo Gravitatorio creado por Esfera Hueca(I)
Tema: Campo Gravitatorio
• Punto interior a la superficie (r < R)
𝜙 = −4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
𝜙= 𝑠𝑢𝑝
𝑔. 𝑑𝑆 = 𝑠𝑢𝑝
−𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑆
Y, puesto que no hay masa en el interior
de la gaussiana :
𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 = 0 → 𝜙 = 0 → 𝑔 = 0
Luego: 𝑔=0
• Punto exterior a la superficie (r > R)
𝜙 = −4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
𝜙= 𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑆
𝑠𝑢𝑝 𝑠𝑢𝑝
Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

4. Campo Gravitatorio creado por Esfera Hueca(II)
Tema: Campo Gravitatorio
• Punto exterior a la superficie(r > R) (Continuacion)
Igualando:
−4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 = −g. S
4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 = g. 4. π. 𝑟 2
Con lo que:
𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
g= → 𝑔=− 𝑢𝑟
𝑟2 𝑟2
• Punto de la superficie(r =R)
Siguiendo el mismo procedimiento, se concluye que:
𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑔=− 𝑢𝑟
𝑅2
Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

5. Campo Gravitatorio creado por Esfera Maciza (I)
Tema: Campo Gravitatorio
• Punto interior a la esfera(r < R)
𝜙 = −4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
𝜙= 𝑠𝑢𝑝
𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑆
𝑠𝑢𝑝
4
𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝜌. . 𝜋. 𝑟 3
3
Luego:
4
−g. 4. π. 𝑟 2 = −4. π. 𝐺. 𝜌. . 𝜋. 𝑟 3
3
Asi:
4 4
g = 𝐺. 𝜌. . 𝜋. 𝑟 → 𝑔 = −𝐺. 𝜌. . 𝜋. 𝑟. 𝑢 𝑟
3 3
• Punto exterior a la superficie (r > R)
𝜙 = −4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
𝜙= 𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑆
𝑠𝑢𝑝 𝑠𝑢𝑝
Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

6. Campo Gravitatorio creado por Esfera Maciza (II)
Tema: Campo Gravitatorio
• Punto exterior a la superficie (r > R)
𝜙 = −4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
𝜙= 𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑆
𝑠𝑢𝑝 𝑠𝑢𝑝
−4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 = −g. S
4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 = g. 4. π. 𝑟 2
Con lo que:
𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
g= → 𝑔=− 𝑢𝑟
𝑟2 𝑟2
• Punto de la superficie(r =R)
Siguiendo el mismo procedimiento, se concluye que:
𝐺.𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑔=− 𝑢𝑟
𝑅2
Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

7. Variacion de g con la altura
Tema: Campo Gravitatorio
Para puntos de la superficie terrestre situados a diferente altitud, el
valor de g no es realmente constante.
• A nivel del mar, y llamando R al radio terrestre:
𝐺.𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑔0 =
𝑅2
• En un punto situado a una altura h:
𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
g=
(𝑅 + ℎ)2
La relacion entre ambas expresiones conduce a:
𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑔 (𝑅 + ℎ)2
=
𝑔0 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑅2
𝑅2 1
, por lo que 𝑔 = 𝑔0 . = 𝑔0 . ℎ
(𝑅+ℎ)2 (1+ )2
𝑅
Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

8. Variacion de g con la latitud
Tema: Campo Gravitatorio
El efecto de rotacion terrestre influye en el valor vector intensidad
del campo, de tal modo que:
𝑔 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑔0 + 𝑎 𝑐 = 𝑔0 . −𝑢 𝑅 + 𝜔2 . 𝑟. [𝑐𝑜𝑠𝜆. (𝑢 𝑅 ) + senλ. (𝑢⊥ )]
𝑔 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑔0 . −𝑢 𝑅 + 𝜔2 . 𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜆. [𝑐𝑜𝑠𝜆(𝑢 𝑅 ) + senλ(𝑢⊥ )]
𝑔 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑔0 − 𝜔2 . 𝑅. 𝑐𝑜𝑠 2 𝜆 . (−𝑢 𝑅 ) + 𝜔2 . 𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜆. senλ. (𝑢⊥ )
El primer sumando es mucho mayor que el
segundo, por lo que la expresion puede
expresarse como:
𝑔 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑔0 − 𝜔2 . 𝑅. 𝑐𝑜𝑠 2 𝜆 . (−𝑢 𝑅 )
Como puede apreciarse, 𝑔 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 es funcion
de la latitud
Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

9. Satelites
Tema: Campo Gravitatorio
Velocidad Orbital
𝐹𝐺 = 𝐹𝐶
1/2
𝐺𝑀𝑚 𝑚𝑣 2 𝐺𝑀
= → 𝑣=
𝑟2 𝑟 𝑟
, siendo r el radio de la orbita, M la masa de la Tierra y m la masa
del satelite
Periodo de Revolucion
𝐺𝑀
𝑣2 = 2 2
𝑟 → 4𝜋 𝑟 = 𝐺𝑀
2𝜋𝑟 𝜏2 𝑟
𝑣=
𝜏
1/2
4𝜋 2 𝑟 3
𝜏=
𝐺𝑀
Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

10. Satelites Geoestacionarios
Tema: Campo Gravitatorio
Tambien llamados GEOSINCRONOS, son satelites situados en el plano
ecuatorial y que se desplazan con un periodo igual al de rotacion
terrestre (23h 56min 3,5s). De este modo, se mantienen siempre en la
misma vertical, a una altura caracteristica de este tipo de satelites.
Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

11. Satelites (Energia de los)
Tema: Campo Gravitatorio
Para un satelite sometido tan solo a la accion del campo
gravitatorio, su energia mecanica tendra un valor de:
1 2
𝐺𝑀𝑚
𝐸 𝑚 = 𝐸 𝑘 + 𝐸 𝑝 = 𝑚𝑣 −
2 𝑟
Y, recordando que:
𝐺𝑀
𝑣2 =
𝑟
Se deduce que:
1 𝐺𝑀𝑚 𝐺𝑀𝑚
𝐸𝑚= −
2 𝑟 𝑟
𝐺𝑀𝑚 −1
𝐸𝑚=− = 𝐸
2𝑟 2 𝑝
Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

12. Satelites (velocidad de lanzamiento) (I)
Tema: Campo Gravitatorio
Se cumple que:
𝐸 𝑚 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐸 𝑚 𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎
𝐸 𝑘 + 𝐸 𝑝 𝐿𝐴𝑁𝑍𝐴𝑀𝐼𝐸𝑁𝑇𝑂 = 𝐸 𝑘 + 𝐸 𝑝 𝑂𝑅𝐵𝐼𝑇𝐴
1 𝐺𝑀𝑚 1 𝐺𝑀𝑚
𝑚𝑣 2 𝑙𝑎𝑛𝑧 − = 𝑚𝑣 2 𝑜𝑟𝑏 −
2 𝑅𝑇 2 𝑅
Pero, de nuevo:
𝐺𝑀
𝑣 2 𝑜𝑟𝑏 =
𝑅
Por lo que:
1 𝐺𝑀𝑚 1 𝐺𝑀𝑚 𝐺𝑀𝑚
𝑚𝑣 2 𝑙𝑎𝑛𝑧 − = −
2 𝑅𝑇 2 𝑅 𝑅
Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

13. Satelites (velocidad de lanzamiento) (II)
Tema: Campo Gravitatorio
Asi:
1 2 𝐺𝑀 𝐺𝑀
𝑣 𝑙𝑎𝑛𝑧 − =−
2 𝑅𝑇 2𝑅
1 1
𝑣 2 𝑙𝑎𝑛𝑧 = 2𝐺𝑀 −
𝑅 𝑇 2𝑅
1/2
1 1
𝑣 𝑙𝑎𝑛𝑧 = 2𝐺𝑀 −
𝑅𝑇 2𝑅
Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

14. Satelites (cambio de orbita)
Tema: Campo Gravitatorio
Considerando unicamente el campo gravitatorio:
∆𝐸 = 𝐸 𝑚 𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎𝐵 − 𝐸 𝑚 𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎𝐴
𝐺𝑀𝑚 𝐺𝑀𝑚
∆𝐸 = − +
2𝑟 𝐵 2𝑟 𝐴
Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

15. Satelites (energia y orbita) (I)
Tema: Campo Gravitatorio
La energia de un satelite, como sabemos, viene dada por:
𝐺𝑀𝑚 1 𝐺𝑀𝑚
𝐸𝑚=− = 𝑚𝑣 2 −
2𝑟 2 𝑟
• Caso1: E(mec)=0
• Caso2: E(mec)<0 ; E(cin)>0
• Caso3: E(mec)>0 ; E(cin)>0
Analizaremos cada uno de ellos.
Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

16. Satelites (energia y orbita) (I)
Tema: Campo Gravitatorio
• CASO 1 𝐸 𝑚= 0
El satelite escapa de la atraccion del campo gravitatorio del planeta y
por lo tanto sigue una orbita abierta. En esta situacion debe
cumplirse que, en todo momento:
𝐸 𝑘 + 𝐸 𝑝 = 0 → 𝐸 𝑘 = −𝐸 𝑝
La trayectoria descrita es una orbita parabolica, y es aproximadamente
la que describen algunos cometas de periodo muy largo que visitan
nuestro sistema solar.
Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

17. Satelites (energia y orbita) (II)
Tema: Campo Gravitatorio
• CASO 2 𝐸 𝑚< 0 ; 𝐸 𝐾 > 0
Pueden darse dos situaciones, o bien orbitas
circulares u orbitas elipticas.
a) En el caso de orbitas circulares, el radio es
constante, y por tanto, tambien lo es la
velocidad orbital.
b) Para el caso de orbitas elipticas, la constancia en el valor de
la energia mecanica conduce que, a medida que el radio de la
orbita crece, la velocidad orbital disminuye.
Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

18. Satelites (energia y orbita) (III)
Tema: Campo Gravitatorio
• CASO 3 𝐸 𝑚> 0 ; 𝐸 𝐾 > 0
La energia cinetica es siempre mayor, en valor absoluto, que la
energia potencial, por lo que el satelite podria escapar de la influenca
gravitatoria. La trayectoria sera hiperbolica.
Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato