Campo gravitatorio

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Campo gravitatorio

  1. 1. Flujo del Campo GravitatorioTema: Campo Gravitatorio Flujo (Ô): es una magnitud que representa el numero de lineas de campo que atraviesan una superficie. 𝜙 = 𝑔. 𝑆 (si 𝑔 ≡ 𝑐𝑡𝑒) 𝜙 = g. S. cosθ Donde: 𝜙 ≡ 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑔 ≡ 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑆 ≡ 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 θ ≡ á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 Respecto a 𝑆 , su modulo es el valor de la superficie, su direccion, perpendicular a dicha superficie, y su sentido, de la parte concava a la convexa, si la superficie es curva. En general: 𝜙= 𝑠𝑢𝑝 𝑔. 𝑑𝑆 , si 𝑔 no es constante Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato
  2. 2. Teorema de Gauss para el Campo GravitatorioTema: Campo Gravitatorio “El flujo neto que atraviesa una superficie cerrada que se halla en el interior de un campo gravitatorio es funcion de la masa encerrada en dicha superficie (denominada Gaussiana) “ Matematicamente: 𝜙= 𝑔. 𝑑𝑆 = 𝑔. 𝑑𝑆. 𝑐𝑜𝑠180 = −𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑆 𝑠𝑢𝑝 𝑠𝑢𝑝 𝑠𝑢𝑝 Al tratarse de una superficie esferica: 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝜙=− 2 4. π. 𝑟 2 𝑟 𝜙 = −4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato
  3. 3. Campo Gravitatorio creado por Esfera Hueca(I)Tema: Campo Gravitatorio • Punto interior a la superficie (r < R) 𝜙 = −4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝜙= 𝑠𝑢𝑝 𝑔. 𝑑𝑆 = 𝑠𝑢𝑝 −𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑆 Y, puesto que no hay masa en el interior de la gaussiana : 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 = 0 → 𝜙 = 0 → 𝑔 = 0 Luego: 𝑔=0 • Punto exterior a la superficie (r > R) 𝜙 = −4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝜙= 𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑆 𝑠𝑢𝑝 𝑠𝑢𝑝 Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato
  4. 4. Campo Gravitatorio creado por Esfera Hueca(II)Tema: Campo Gravitatorio • Punto exterior a la superficie(r > R) (Continuacion) Igualando: −4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 = −g. S 4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 = g. 4. π. 𝑟 2 Con lo que: 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 g= → 𝑔=− 𝑢𝑟 𝑟2 𝑟2 • Punto de la superficie(r =R) Siguiendo el mismo procedimiento, se concluye que: 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑔=− 𝑢𝑟 𝑅2 Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato
  5. 5. Campo Gravitatorio creado por Esfera Maciza (I)Tema: Campo Gravitatorio • Punto interior a la esfera(r < R) 𝜙 = −4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝜙= 𝑠𝑢𝑝 𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑆 𝑠𝑢𝑝 4 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝜌. . 𝜋. 𝑟 3 3 Luego: 4 −g. 4. π. 𝑟 2 = −4. π. 𝐺. 𝜌. . 𝜋. 𝑟 3 3 Asi: 4 4 g = 𝐺. 𝜌. . 𝜋. 𝑟 → 𝑔 = −𝐺. 𝜌. . 𝜋. 𝑟. 𝑢 𝑟 3 3 • Punto exterior a la superficie (r > R) 𝜙 = −4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝜙= 𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑆 𝑠𝑢𝑝 𝑠𝑢𝑝 Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato
  6. 6. Campo Gravitatorio creado por Esfera Maciza (II)Tema: Campo Gravitatorio • Punto exterior a la superficie (r > R) 𝜙 = −4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝜙= 𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑑𝑆 = −𝑔. 𝑆 𝑠𝑢𝑝 𝑠𝑢𝑝 −4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 = −g. S 4. π. 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 = g. 4. π. 𝑟 2 Con lo que: 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 g= → 𝑔=− 𝑢𝑟 𝑟2 𝑟2 • Punto de la superficie(r =R) Siguiendo el mismo procedimiento, se concluye que: 𝐺.𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑔=− 𝑢𝑟 𝑅2 Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato
  7. 7. Variacion de g con la alturaTema: Campo Gravitatorio Para puntos de la superficie terrestre situados a diferente altitud, el valor de g no es realmente constante. • A nivel del mar, y llamando R al radio terrestre: 𝐺.𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑔0 = 𝑅2 • En un punto situado a una altura h: 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 g= (𝑅 + ℎ)2 La relacion entre ambas expresiones conduce a: 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑔 (𝑅 + ℎ)2 = 𝑔0 𝐺. 𝑀 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑅2 𝑅2 1 , por lo que 𝑔 = 𝑔0 . = 𝑔0 . ℎ (𝑅+ℎ)2 (1+ )2 𝑅 Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato
  8. 8. Variacion de g con la latitudTema: Campo Gravitatorio El efecto de rotacion terrestre influye en el valor vector intensidad del campo, de tal modo que: 𝑔 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑔0 + 𝑎 𝑐 = 𝑔0 . −𝑢 𝑅 + 𝜔2 . 𝑟. [𝑐𝑜𝑠𝜆. (𝑢 𝑅 ) + senλ. (𝑢⊥ )] 𝑔 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑔0 . −𝑢 𝑅 + 𝜔2 . 𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜆. [𝑐𝑜𝑠𝜆(𝑢 𝑅 ) + senλ(𝑢⊥ )] 𝑔 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑔0 − 𝜔2 . 𝑅. 𝑐𝑜𝑠 2 𝜆 . (−𝑢 𝑅 ) + 𝜔2 . 𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜆. senλ. (𝑢⊥ ) El primer sumando es mucho mayor que el segundo, por lo que la expresion puede expresarse como: 𝑔 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 = 𝑔0 − 𝜔2 . 𝑅. 𝑐𝑜𝑠 2 𝜆 . (−𝑢 𝑅 ) Como puede apreciarse, 𝑔 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 es funcion de la latitud Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato
  9. 9. SatelitesTema: Campo Gravitatorio Velocidad Orbital 𝐹𝐺 = 𝐹𝐶 1/2 𝐺𝑀𝑚 𝑚𝑣 2 𝐺𝑀 = → 𝑣= 𝑟2 𝑟 𝑟 , siendo r el radio de la orbita, M la masa de la Tierra y m la masa del satelite Periodo de Revolucion 𝐺𝑀 𝑣2 = 2 2 𝑟 → 4𝜋 𝑟 = 𝐺𝑀 2𝜋𝑟 𝜏2 𝑟 𝑣= 𝜏 1/2 4𝜋 2 𝑟 3 𝜏= 𝐺𝑀 Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato
  10. 10. Satelites GeoestacionariosTema: Campo Gravitatorio Tambien llamados GEOSINCRONOS, son satelites situados en el plano ecuatorial y que se desplazan con un periodo igual al de rotacion terrestre (23h 56min 3,5s). De este modo, se mantienen siempre en la misma vertical, a una altura caracteristica de este tipo de satelites. Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato
  11. 11. Satelites (Energia de los)Tema: Campo Gravitatorio Para un satelite sometido tan solo a la accion del campo gravitatorio, su energia mecanica tendra un valor de: 1 2 𝐺𝑀𝑚 𝐸 𝑚 = 𝐸 𝑘 + 𝐸 𝑝 = 𝑚𝑣 − 2 𝑟 Y, recordando que: 𝐺𝑀 𝑣2 = 𝑟 Se deduce que: 1 𝐺𝑀𝑚 𝐺𝑀𝑚 𝐸𝑚= − 2 𝑟 𝑟 𝐺𝑀𝑚 −1 𝐸𝑚=− = 𝐸 2𝑟 2 𝑝 Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato
  12. 12. Satelites (velocidad de lanzamiento) (I)Tema: Campo Gravitatorio Se cumple que: 𝐸 𝑚 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐸 𝑚 𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎 𝐸 𝑘 + 𝐸 𝑝 𝐿𝐴𝑁𝑍𝐴𝑀𝐼𝐸𝑁𝑇𝑂 = 𝐸 𝑘 + 𝐸 𝑝 𝑂𝑅𝐵𝐼𝑇𝐴 1 𝐺𝑀𝑚 1 𝐺𝑀𝑚 𝑚𝑣 2 𝑙𝑎𝑛𝑧 − = 𝑚𝑣 2 𝑜𝑟𝑏 − 2 𝑅𝑇 2 𝑅 Pero, de nuevo: 𝐺𝑀 𝑣 2 𝑜𝑟𝑏 = 𝑅 Por lo que: 1 𝐺𝑀𝑚 1 𝐺𝑀𝑚 𝐺𝑀𝑚 𝑚𝑣 2 𝑙𝑎𝑛𝑧 − = − 2 𝑅𝑇 2 𝑅 𝑅 Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato
  13. 13. Satelites (velocidad de lanzamiento) (II)Tema: Campo Gravitatorio Asi: 1 2 𝐺𝑀 𝐺𝑀 𝑣 𝑙𝑎𝑛𝑧 − =− 2 𝑅𝑇 2𝑅 1 1 𝑣 2 𝑙𝑎𝑛𝑧 = 2𝐺𝑀 − 𝑅 𝑇 2𝑅 1/2 1 1 𝑣 𝑙𝑎𝑛𝑧 = 2𝐺𝑀 − 𝑅𝑇 2𝑅 Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato
  14. 14. Satelites (cambio de orbita)Tema: Campo Gravitatorio Considerando unicamente el campo gravitatorio: ∆𝐸 = 𝐸 𝑚 𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎𝐵 − 𝐸 𝑚 𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎𝐴 𝐺𝑀𝑚 𝐺𝑀𝑚 ∆𝐸 = − + 2𝑟 𝐵 2𝑟 𝐴 Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato
  15. 15. Satelites (energia y orbita) (I)Tema: Campo Gravitatorio La energia de un satelite, como sabemos, viene dada por: 𝐺𝑀𝑚 1 𝐺𝑀𝑚 𝐸𝑚=− = 𝑚𝑣 2 − 2𝑟 2 𝑟 • Caso1: E(mec)=0 • Caso2: E(mec)<0 ; E(cin)>0 • Caso3: E(mec)>0 ; E(cin)>0 Analizaremos cada uno de ellos. Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato
  16. 16. Satelites (energia y orbita) (I)Tema: Campo Gravitatorio • CASO 1 𝐸 𝑚= 0 El satelite escapa de la atraccion del campo gravitatorio del planeta y por lo tanto sigue una orbita abierta. En esta situacion debe cumplirse que, en todo momento: 𝐸 𝑘 + 𝐸 𝑝 = 0 → 𝐸 𝑘 = −𝐸 𝑝 La trayectoria descrita es una orbita parabolica, y es aproximadamente la que describen algunos cometas de periodo muy largo que visitan nuestro sistema solar. Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato
  17. 17. Satelites (energia y orbita) (II)Tema: Campo Gravitatorio • CASO 2 𝐸 𝑚< 0 ; 𝐸 𝐾 > 0 Pueden darse dos situaciones, o bien orbitas circulares u orbitas elipticas. a) En el caso de orbitas circulares, el radio es constante, y por tanto, tambien lo es la velocidad orbital. b) Para el caso de orbitas elipticas, la constancia en el valor de la energia mecanica conduce que, a medida que el radio de la orbita crece, la velocidad orbital disminuye. Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato
  18. 18. Satelites (energia y orbita) (III)Tema: Campo Gravitatorio • CASO 3 𝐸 𝑚> 0 ; 𝐸 𝐾 > 0 La energia cinetica es siempre mayor, en valor absoluto, que la energia potencial, por lo que el satelite podria escapar de la influenca gravitatoria. La trayectoria sera hiperbolica. Eric Calvo Lorente 2ºBachillerato

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